ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

2 Ανάλυση συστήματος Εισαγωγή Μαθηματική Περιγραφή Διαφορικές Εξισώσεις Μετασχηματισμός LLCE Συνάρτηση Μεταφοράς

3 Βήματα για την μελέτη του συστήματος Ορισμός του συστήματος και των συνιστωσών του. Ορισμός του μαθηματικού μοντέλου και απαραίτητες προσεγγίσεις. Διαφορικές Εξισώσεις που περιγράφουν το σύστημα. Μετασχηματισμός LLCE των Δ.Ε και εξαγωγή των Σ.Μ. Επίλυση των Σ.Μ για τις προς εξέταση εξόδους. Σχεδιασμός του Σ.Α.Ε.

4 Οι Δ.Ε. που περιγράφουν τις δυναμικές συμπεριφορές των συστημάτων βασίζονται στους φυσικούς νόμους της Μηχανικής, της Θερμοδυναμικής, της Υδραυλικής και του Ηλεκτρισμού. Οι μονάδες μέτρησης στο Διεθνές Σύστημα (S.I):

5 ΒΑΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΟΝΑΔΕΣ ΣΥΜΒΟΛΑ Μήκος Μάζα Χρόνος Θερμοκρασία Ρεύμα Mr Kilogrm Scod Klvi mr ΠΑΡΑΓΩΓΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΟΝΑΔΕΣ ΣΥΜΒΟΛΑ m kg k Ταχύτητα Επιφάνεια Δύναμη Στροφορμή Πίεση Ενέργεια Ισχύς Mr/c Squr mr Nwo Kilogrm.mr cl Joul W m/ m N=kg.m/ kg.m J=N.m W=J/

6 Μετασχηματισμοί LLCE (αναδρομή) Ο μετασχηματισμός Llc υπάρχει για τις γραμμικές Δ.Ε για τις οποίες ισχύει η σύγκλιση του ολοκληρώματος για την : d

7 Ζεύγος Μετασχηματισμού Llc: d L d L Εξ ορισμού ισχύει: d d d

8 Μετασχηματισμοί LLCE γνωστών συναρτήσεων Συνάρτηση παλμού (uiqu imul ucio) δ Εξ ορισμού ισχύει: L d d d d

9 Βηματική Συνάρτηση (S υciο} u U U u d L u d Η βηματική συνάρτηση είναι ακαθόριστη για =.

10 Συνάρτηση καθυστέρησης L d L d

11 Συνημίτονο coω co co d L co co d d L

12 Συνάρτηση αναρρίχησης (Rm ucio): u =. u L d Με ολοκλήρωση κατά μέρη: udv uv vdu dv v L d u du d d

13 Συνάρτηση τη μορφής Με ολοκλήρωση κατά μέρη: L udv d d uv d vdu

14 Ιδιότητες του μετασχηματισμού LLCE Mετασχηματισμός LLCE αθροίσματος συναρτήσεων L L L L L

15 Mετασχηματισμός σταθεράς επί συνάρτηση Lc c L Μετασχηματισμός συνάρτησης L

16 Μετασχηματισμός της μορφής L! Mετατόπιση κατά την θετική διεύθυνση του χρόνου L u

17 Μετασχηματισμός συνάρτησης d d Π.χ d L L d d d

18 Mετασχηματισμός της πρώτης παραγώγου L D Της δεύτερης L D D Της νιοστής D D L D Για Α.Σ=

19 Mετασχηματισμός του ολοκληρώματος Γενικεύοντας Όπου: D D d L D L D D D L Y d y d y d y y D y D

20 lim Θεώρημα της αρχικής τιμής lim Θεώρημα της τελικής τιμής lim lim Σύνθετη ολοκλήρωση L d

21 Αντίστροφος μετασχηματισμός LΑLΑCE Με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Llc μπορούμε να λάβουμε την χρονική απόκριση μιας συνάρτησης: L Η ( ) μπορεί να βρεθεί με την χρήση υπολογιστή, ή από πίνακες μετασχηματισμών. Προς τούτο η () πρέπει να αναλυθεί σε άθροισμα παραγόντων ου ή ου βαθμού (του ) στον παρανομαστή και ο συνολικός αντίστροφος μετασχηματισμός, είναι το άθροισμα των επί μέρους αντίστροφων μετασχηματισμών.

22 Γενικά η () τίθεται υπό μορφή κλάσματος με αριθμητή και παρανομαστή (όπου w και είναι οι βαθμοί τους αντίστοιχα). Τα και είναι πραγματικές σταθερές και για ένα πραγματικό φυσικό σύστημα ισχύει: w. Q w w w w

23 Πρέπει να θέσουμε την () υπό την μορφή: Q k k Ανάλογα με την μορφή των ριζών του παρανομαστή διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για την (): Η () έχει πόλους πραγματικούς ου βαθμού (όρος ου βαθμού). Η () έχει πολλαπλούς πόλους πραγματικούς ου βαθμού. Η () έχει πόλους συζυγείς μιγαδικούς (όρος ου βαθμού). Η () έχει πόλους συζυγείς μιγαδικούς επαναλαμβανόμενους (όροι ου βαθμού).

24 Πόλοι πραγματικοί ου βαθμού ω σ Q

25 Πόλοι πραγματικοί ου βαθμού Q L - Για να είναι ένα σύστημα ευσταθές, πρέπει οι πόλοι του να βρίσκονται στο αριστερό μιγαδικό ημιεπίπεδο (δηλαδή με αρνητικό πραγματικό μέρος).

26 Εύρεση συντελεστών Α k k k k k k Q k k k k Q Q

27 Εύρεση συντελεστών Α k k k k k Q Q Οι συντελεστές Α k είναι οι τιμές της () στους αντίστοιχους πόλους. k k k k Q d Q d Q

28 Παράδειγμα υπολογισμού Q 6 6

29 Πολλαπλοί πραγματικοί πόλοι ου βαθμού ω σ

30 Πολλαπλοί πραγματικοί πόλοι ου βαθμού L -

31 Εύρεση συντελεστών Α qr Q r q q q k r q k r q r q r q r q qr

32 Εύρεση συντελεστών Α qr Q r q r q r q r q q q r q qr q q r q qr Q

33 Εύρεση συντελεστών Α qr Η εύρεση του Α qr δεν επιτυγχάνεται με απλό τρόπο. Πολ/σιάζοντας ξανά τους όρους της σχέσης με τον όρο (- q ) r- και θέτοντας = q μπoρεί να μας προκύψει άπειρο και στα δύο μέρη, πράγμα που καθιστά αδύνατο τον υπολογισμό του Α q(r-). Ο υπολογισμός του μπορεί να γίνει με διαφόριση της σχέσης από την οποία υπολογίστηκε ο Α qr : q d r q d r Q q

34 Εύρεση συντελεστών Α qr Η εύρεση του Α q(r-) κατά τον ίδιο τρόπο γίνεται: q r q r q Q d d q r q k k k r q Q d k d! Και γενικεύοντας:

35 Παράδειγμα υπολογισμού Q d d d d 6 4 d d

36 Παράδειγμα υπολογισμού Q L -

37 Πόλοι συζυγείς μιγαδικοί ω ω 4c c 4c η=co - ξ σ σ =-ξω

38 Πόλοι συζυγείς μιγαδικοί Θέτουμε αντί για,, c, τα μεγέθη ω και ξ, καθ ότι αυτά μας δίνουν πληροφορίες για την συμπεριφορά του συστήματος, όπως θα δούμε στην συνέχεια. Q

39 Πόλοι συζυγείς μιγαδικοί Επειδή οι πόλοι είναι συζυγείς μιγαδικοί και η () μια πραγματική ποσότητα, τα Α Α θα πρέπει να είναι επίσης συζυγείς μιγαδικοί. Η () μπορεί να γραφεί και υπό μορφή:

40 * * * co i *

41 * * * * i co i co i co i co i co

42 i.i co.co i i co i co co. i.co i i

43 i i 9 9 i i

44 Πόλοι συζυγείς μιγαδικοί φ i

45 Παράδειγμα υπολογισμού , ,

46 Παράδειγμα υπολογισμού,59 4 i 4,6 Η εν λόγω συνάρτηση, σ ότι αφορά το τμήμα της με τις μιγαδικές ρίζες, φαίνεται και στους πίνακες μετασχηματισμών (αριθμός ). Από την σχέση, το τόξο της φάσης θα είναι: c

47 Παράδειγμα υπολογισμού Επειδή δε είναι: 4 4 Για την αποφυγή λαθών είναι καλό να σχεδιάζεται το σχήμα, για να γίνεται αναγωγή στο τεταρτημόριο που βρίσκεται το όρισμα το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε.