Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1

2 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος: Αναλυτική Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Αναλυτική Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Ιδιότητες γραμμικών δυναμικών συστημάτων Ομογενής και ειδική λύση Ομογενής λύση σε συστήματα 2 ης τάξης 2

3 Ανακοινώσεις Όποιος ενδιαφέρεται να συμμετάσχει στο μάθημα MATLAB/simulink για την επίλυση των εξισώσεων κίνησης δυναμικών συστημάτων να στείλει Office Hours: Δευτέρα 1-3 μμ, Εργαστήριο Εμβιομηχανικής, Ισόγειο Κτηρίου Μ ( ) Το web site του μαθήματος λειτουργεί κανονικά Διαλέξεις, σημειώσεις, βιβλιογραφία 3

4 Επανάληψη: Μοντελοποίηση Επιλογή & απλοποίηση συστήματος Αναγνώριση διακριτών στοιχείων (αδράνειας, ελαστικότητας, απόσβεσης) & εξωτερικών διεγέρσεων Ν=1 Ν=2 Ν=4 4

5 Επανάληψη: Δυναμικές Εξισώσεις Επιλογή βαθμών ελευθερίας. Κινηματική Κινητική και δυναμική ενέργεια Εξισώσεις Lagrange Συστήματα που περιλαμβάνουν μηχανικά, ηλεκτρικά, και ρευστομηχανικά υποσυστήματα Μ q q + C q q + K q = ξ grav + ξ nonlin + ξ Δυνάμεις αδράνειας Δυνάμεις απόσβεσης Δυνάμεις ελαστικότητας Δυνάμεις βαρύτητας Μη γραμμικές δυνάμεις Εξωτερικές δυνάμεις/ροπές 5

6 2 Ο Μέρος: Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων 6

7 2 Ο Μέρος: Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων Αναλυτική επίλυση Ιδιότητες γραμμικών δυναμικών συστημάτων Απόκριση σε αρχικές συνθήκες Απόκριση σε εισόδους Απόκριση συστημάτων Ν Β.Ε. Επίλυση μέσω μ/χ Laplace Αριθμητική επίλυση MATLAB/simulink 7

8 Γενική περίπτωση Δυναμικές Εξισώσεις Σύστημα μη-γραμμικών συνήθη διαφορικών εξισώσεων (ΣΔΕ) Μ q q + C q q + K q = ξ grav (q) + ξ nonlin (q, q ) + ξ Γραμμικά δυναμικά συστήματα Σύστημα Γραμμικών ΣΔΕ με σταθερούς συντελεστές Μ q + C q + K q = ξ Συνήθως πολύπλοκα δυναμικά συστήματα απλοποιούνται σε αυτή τη μορφή διότι μπορούν να αναλυθούν αναλυτικά Αυτό το μάθημα εστιάζει σε γραμμικά δυναμικά συστήματα 8

9 Δυναμικές Εξισώσεις Μορφή Μητρώων Μάζας-Ελαστικότητας Κλασσική θεωρεία ταλαντώσεων Μ q + C q + K q = ξ Μητρώο αδράνειας Μητρώο απόσβεσης Μητρώο ελαστικότητας Εξωτερική διέγερση 9

10 Δυναμικές Εξισώσεις Μορφή μεταβλητών κατάστασης Αριθμητική ολοκλήρωση Αυτόματος Έλεγχος x = A x + b u x = q q u = ξ Μεταβλητές κατάστασης Διεγέρσεις συστήματος A = b = O M 1 K O M 1 I M 1 C 10

11 Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων H κατάσταση του συστήματος x(t) (ισοδύναμα οι Β.Ε. q(t)) μεταβάλεται ως συνάρτηση του χρόνου Υπολογισμός απόκρισης: Πρόβλημα ΣΔΕ αρχικών συνθηκών Μ q + C q + K q = ξ(t) q(0) = q 0 q (0) = q 0 q(t) x = A x + b u x(0) = x 0 u(t) = ξ(t) x(t) 11

12 Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων q t = q h (t) + q p (t) Απόκριση Ειδική λύση Ομογενής λύση Ομογενής λύση Απόκριση όταν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις (ξ = 0) Απόκριση σε «αρχικές συνθήκες» Ιδιότητα του συστήματος! Ειδική λύση Απόκριση σε εξωτερικές δυνάμεις ξ 0 Εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της διέγερσης 12

13 Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων q t = q h (t) + q p (t) Απόκριση Ειδική λύση Ομογενής λύση Μ q + C q + K q = ξ(t) q(0) = q 0 q (0) = q 0 Μ q + C q + K q = 0 q(0) = q 0 q (0) = q 0 Μ q + C q + K q = ξ(t) q(0) = 0 q (0) = 0 q h (t) q p (t) 13

14 Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Αρχή της επαλληλίας (ομογενής λύση) Μ q + C q + K q = 0 q(0) = q 01 q (0) = q 01 Μ q + C q + K q = 0 q(0) = q 02 q (0) = q 02 q h1 (t) q h2 (t) Μ q + C q + K q = 0 q 0 = q 01 + q 02 q 0 = q 01 + q 02 q h1 (t) + q h2 (t) 14

15 Επίλυση ομογενούς ΣΔΕ Παράδειγμα (1 Β.Ε.) q + 3q + 2q = 0 q(0) = 2 q (0) = 1 q + 3q + 2q = 0 q(0) = 1 q (0) = 1 q h t = 5e t 3e 2t q h t = 3e t 2e 2t q + 3q + 2q = 0 q 0 = 3 q 0 = 2 q h t = 8e t 5e 2t 15

16 Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Αρχή της επαλληλίας (ειδική λύση) Μ q + C q + K q = ξ 1 (t) q(0) = 0 q (0) = 0 q p1 (t) Μ q + C q + K q = ξ 2 (t) q(0) = 0 q (0) = 0 q p2 (t) Μ q + C q + K q = ξ 1 t + ξ 2 t q(0) = 0 q (0) = 0 q p1 (t)+ q p2 (t) 16

17 Παράδειγμα (1 Β.Ε.) q + 3q + 2q = u s (t) q(0) = 0 q (0) =0 q + 3q + 2q = 0 q(0) = 0 q (0) = 1 q t = 0.5u s t e t + 0.5e 2t q t = 2e t e 2t q + 3q + 2q = u s (t) q 0 = 0 q 0 = 1 q t = 0.5u s t + e t 0.5e 2t 17

18 Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Χρονική ανεξαρτησία Μ q + C q + K q = ξ 1 (t) q(0) = 0 q (0) = 0 q p (t) = q p1 (t) Μ q + C q + K q = ξ 1 (t τ) q(τ) = 0 q (τ) = 0 q p t = q p1 (t τ) 18

19 Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Παραγώγιση & ολοκλήρωση Μ q + C q + K q = ξ 1 (t) q(0) = 0 q (0) = 0 q p (t) = q p1 (t) Μ q + C q + K q = dξ 1(t) dt q(τ) = 0 q (τ) = 0 q p t = dq p1(t) dt t Μ q + C q + K q = q(0) = 0 τ=0 ξ 1 τ dτ q p t = t τ=0 q p1 τ dτ q (0) = 0 19

20 Βηματική διέγερση (heavyside) Εξωτερικές Διεγέρσεις πχ: ανάρτηση που συναντά ένα πεζούλι Κρουστική διέγερση (impulse) πχ: σφυρί που χτυπά μια κατασκευή 20

21 Αρμονική διέγερση Εξωτερικές Διεγέρσεις πχ: αρμονική δύναμη λόγω αζυγοσταθμίας Τυχαία διέγερση πχ: διέγερση σε σκάφος λόγω κυμματισμού 21

22 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Μοντέλο: m x + c x + k x = f(t) x + c m x + k m x = 0 Αδιάστατοποιημένο μοντέλο x + 2 ζ ω x + ω 2 x = 0 ω = k m Λόγος απόσβεσης Φυσική κυκλική συχνότητα 2 ζ ω = c m 22

23 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Ομογενής λύση x + 2ζωx + ω 2 x = 0 x(0) = x 0 x (0) = u 0 x h t = c 1 e λ 1t + c 2 e λ 2t λ 1, λ 2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λ 2 + 2ζωλ + ω 2 = 0 Οι σταθερές c 1, c 2 προκύπτουν από αρχικές συνθήκες x 0, u 0 23

24 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση λ 1, λ 2 είναι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί x h t = λ 1,2 = ζω ± ω ζ λ 1 λ 2 [x 0 ( λ 2 e λ 1t + λ 1 e λ 2t )+v 0 (e λ 1t e λ 2t )] 24

25 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση 0<ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση λ 1, λ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λ 1,2 = ζω ± ω 1 ζ 2 j x h t = e ζωt [x 0 cos (ω n t)+ v 0 + ζω n x 0 ω n sin(ω n t)] ω n = ω 1 ζ 2 Συχνότητα αποσβενόμενων ταλαντώσεων 25

26 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση 0<ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση Η απόκριση γράφεται και ως: x h t = Αe ζωt sin(ω n t+φ) Μέτρο απόσβεσης 26

27 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Εκτίμηση m, c, k 27

28 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ=0: Κίνηση χωρίς απόσβεση λ 1, λ 2 είναι φανταστικοί αριθμοί λ 1,2 = ±ωj x h t = x 0 cos (ωt)+ v 0 ω sin(ωt) Θεωρητικό ενδιαφέρον μόνο! Στην πράξη όλα τα συστήματα έχουν κάποια απόσβεση 28

29 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ<0: Ασταθές δυναμικό σύστημα Ρίζες λ 1, λ 2 είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί Το σύστημα τείνει να απομακρυνθεί από την θέση ισορροπίας x = x = 0 29

30 Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο 0<ζ<1 Im(s) x ζ=0 ζ<0 ζ>1 x x x x x x Re(s) x Ευστάθεια Αστάθεια 30

31 Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο Im(s) Ταχύτερο ω Re(s) Ταχύτερο ω Ευστάθεια Αστάθεια 31

32 Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο Λιγότερη απόσβεση Im(s) Re(s) Λιγότερη απόσβεση Ευστάθεια Αστάθεια 32