ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΕΠΙΓΕΙΩΝ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΥΓΡΩΝ ΠΟΥ ΔΙΕΓΕΙΡΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΕΠΙΓΕΙΩΝ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΩΝ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΥΓΡΩΝ ΠΟΥ ΔΙΕΓΕΙΡΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΥ Β. ΝΙΚΟΛΑΟΥ Πολιτικού Μηχανικού ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ Σ. ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ ΠΑΤΡΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2016

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Εδώ και αρκετές δεκαετίες οι δεξαμενές αποτελούν το κυριότερο μέσο για την αποθήκευση μιας σειράς από υγρά, εξαιρετικής σημασίας για τη σύγχρονη κοινωνία. Τέτοια υγρά είναι το νερό, το πετρέλαιο, η βενζίνη, η νάφθα καθώς και μια σειρά από άλλα καύσιμα που βρίσκονται σε υγρή μορφή. Δεξαμενές αποθήκευσης υγρών υπάρχουν σε εργοστάσια παραγωγής, βιομηχανικές μονάδες, διυλιστήρια, εγκαταστάσεις ύδρευσης, μονάδες παραγωγής ηλεκτρισμού κ.α. Όπως είναι προφανές μια ενδεχόμενη αστοχία σε μια κατασκευή τέτοιου τύπου θα προκαλέσει τεράστια προβλήματα, όπως απώλεια ζωών ή σοβαρούς τραυματισμούς, ρύπανση του περιβάλλοντος και μεγάλη οικονομική ζημία. Για αυτούς τους λόγους καθίσταται επιβεβλημένη η επισταμένη μελέτη της συμπεριφοράς τέτοιων κατασκευών υπό την σεισμική διέγερση, που αποτελεί και την κυριότερη απειλή για δεξαμενές αυτού του τύπου. Η παρούσα εργασία προσπαθεί να διαφωτίσει την συμπεριφορά επίγειων δεξαμενών αποθήκευσης υγρών υπό σεισμική διέγερση καθώς και να διερευνήσει τους παράγοντες που επηρεάζουν την απόκριση κατασκευών αυτού του τύπου. Για την εκπόνηση της παρούσας εργασίας απαραίτητη ήταν η χρήση του προγράμματος Mat lab, στο οποίο αναπτύχθηκε κώδικας με βάση τον οποίο προσομοιώθηκε η κατασκευή και υπολογίστηκαν τα μεγέθη απόκρισής της. Η παρούσα εργασία έγινε στο πλαίσιο της ολοκλήρωσης των μεταπτυχιακών μου σπουδών, στον Τομέα Κατασκευών του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών. Η διατριβή αυτή ολοκληρώθηκε υπό την καθοδήγηση και επίβλεψη του Καθηγητή του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών Απόστολου Σ. Παπαγεωργίου, τον οποίο θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά για την έμπρακτη συμπαράσταση του και βοήθεια σε κάθε είδους δυσκολία που μου παρουσιάστηκε. Η συνεισφορά του υπήρξε καταλυτική σε όλα τα στάδια της εργασίας. Η άρτια επιστημονική του κατάρτιση υπήρξε καθοριστική στην ολοκλήρωση της εργασίας. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου, Βασίλειο και Παναγιώτα, και την αδελφή μου Μαρίνα, για την στήριξη που μου παρείχαν καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου. «Αν δεν φυτέψουμε το δέντρο της γνώσης όταν είμαστε νέοι, δεν θα μας δώσει τον ίσκιο του όταν θα έχουμε γεράσει». Pilip Stanope i

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα εργασία έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της συμπεριφοράς επίγειων κυλινδρικών δεξαμενών αποθήκευσης υγρών υπό την διέγερση σεισμικών κυμάτων. Τα κύματα που θα μας απασχολήσουν κατά κύριο λόγο είναι τα επιφανειακά, καθώς είναι κι αυτά που προκαλούν τις μεγαλύτερες φθορές σε κατασκευές τέτοιου τύπου. Το σύστημα εδάφους-δεξαμενής-υγρού προσομοιώνεται με τη βοήθεια αναλυτικού κώδικα που αναπτύχθηκε με χρήση του προγράμματος Mat lab. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να διερευνήσουμε το πώς επηρεάζει την απόκριση του συστήματος έδαφος-δεξαμενή-υγρό η μεταβολή ορισμένων παραμέτρων αυτού του συστήματος καθώς και η μεταβολή των παραμέτρων της διέγερσης. Η απόκριση του συστήματος ποσοτικοποιείται μέσω μιας σειράς διαγραμμάτων των εσωτερικών εντατικών μεγεθών που αναπτύσσονται στην κατασκευή καθώς και του ύψους κυματισμού του περιεχόμενου στη δεξαμενή υγρού. Η δομή της παρούσας διατριβής αποτελείται από επτά κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται θεωρητική ανάλυση των χαρακτηριστικών των δεξαμενών αποθήκευσης υγρών. Παρουσιάζονται οι κατηγορίες στις οποίες μπορούμε να κατατάξουμε τις δεξαμενές, οι προβλέψεις σε κώδικες και κανονισμούς σχετικά με αυτές, γίνεται βιβλιογραφική ανασκόπηση καθώς και καταγραφή των ζημιών σε δεξαμενές από σεισμούς του παρελθόντος. Στο δεύτερο κεφάλαιο της εργασίας γίνεται θεωρητική αναφορά των χαρακτηριστικών των σεισμικών διεγέρσεων. Ξεκινούμε παρουσιάζοντας τη θεωρία των λιθοσφαιρικών πλακών και την μορφολογία των ρηγμάτων και συνεχίζουμε με την παρουσίαση τόσο των κυμάτων ομοιογενούς χώρου όσο και των κυμάτων επιφανείας. Το κεφάλαιο κλείνει με την ανάλυση του σεισμολογικού προσομοιώματος των Halldorsson και Παπαγεωργίου, το οποίο ανταποκρίνεται στα χαρακτηριστικά του ελλαδικού χώρου. Στο τρίτο κεφάλαιο αναπτύσσουμε το θεωρητικό και μαθηματικό υπόβαθρο στο οποίο στηρίζεται η εργασία μας. Παρουσιάζουμε δηλαδή το σύνολο των εξισώσεων που περιγράφουν τις κινήσεις που συνθέτουν την απόκριση του συστήματος έδαφος-δεξαμενή-υγρό. Αυτή η παρουσίαση είναι σταδιακή και αναλυτική και καταλήγει στο τελικό σύστημα, με επίλυση του οποίου προσδιορίζουμε τις άγνωστες ζητούμενες μετακινήσεις του θεμελίου. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουμε επίσης διαγράμματα μεταβολής των συντελεστών που χρησιμοποιούνται στις εξισώσεις που αναπτύξαμε και υπάρχουν στη διεθνή βιβλιογραφία. Αυτά τα διαγράμματα αναπαρήχθησαν και με χρήση του προγράμματος Η/Υ που αναπτύξαμε στο Mat lab και παρουσιάζονται στο παρόν κεφάλαιο, ώστε να είναι συγκρίσιμα με τα ήδη υπάρχοντα στη βιβλιογραφία. Στο επόμενο κεφάλαιο της εργασίας εξετάζεται η απόκριση της κατασκευής σε διέγερση τόσο με κύματα ομοιογενούς χώρου όσο και με κύματα επιφανείας. Παρουσιάζονται κοινά διαγράμματα των μεγεθών απόκρισης και για τους δύο διαφορετικούς τρόπους διέγερσης, ώστε να είναι εύκολα συγκρίσιμα και να μπορέσουμε να εξάγουμε ασφαλή συμπεράσματα. Στο πέμπτο κεφάλαιο της εργασίας διερευνούμε την επιρροή ορισμένων παραμέτρων του συστήματος στα μεγέθη απόκρισης. Αυτές οι παράμετροι είναι η πυκνότητα του υγρού l που περιέχεται στη δεξαμενή, καθώς και ο λόγος του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής H /. Στο επόμενο κεφάλαιο διερευνούμε την επιρροή των παραμέτρων της διέγερσης στα μεγέθη απόκρισης του συστήματος. Αυτές οι παράμετροι της διέγερσης είναι η ένταση του σεισμού, η συχνότητα της σεισμικής διέγερσης, το είδος ii

4 του εδάφους και η απόσταση της δεξαμενής από το επίκεντρο της σεισμικής διέγερσης. Στο έβδομο και τελευταίο κεφάλαιο εξάγουμε τα τελικά συμπεράσματα στα οποία καταλήγει η εργασία μας. iii

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΥΓΡΩΝ 1.1 Εισαγωγή..σελ Κατηγοριοποίηση των Δεξαμενών Αποθήκευσης Υγρών...σελ Πιθανές Μορφές Αστοχίας των Δεξαμενών σελ Λυγισμός σε Σχήμα Διαμαντιού (Diamond Sape Buckling).σελ Λυγισμός σε Σχήμα Πέλματος Ελέφαντα (Elepant Foot Buckling..σελ Βλάβες Λόγω Κυματισμού του Περιεχόμενου Υγρού...σελ Βλάβη στη Σύνδεση των Σωληνώσεων..σελ Αστοχία της Θεμελίωσης σελ Παρατηρήσεις από Σεισμούς του Παρελθόντος..σελ Προβλέψεις Περί Δεξαμενών σε Κώδικες και Κανονισμούς..σελ Γενικές Επισημάνσεις.σελ Τύποι Δεξαμενών...σελ Ιδιοπερίοδος της Ωστικής (Impulsive) Ιδιομορφής σελ Ιδιοπερίοδος της Συναγωγικής (Convective) Ιδιομορφής..σελ Ύψος Κυματισμού του Περιεχόμενου Υγρού σελ Απόσβεση...σελ Αλληλεπίδραση Εδάφους-Κατασκευής..σελ Επίδραση της Αδρανειακής Μάζας του Τοιχώματος της Δεξαμενής..σελ Ανασκόπηση της Υπάρχουσας Βιβλιογραφίας..σελ Γενικές Επισημάνσεις σελ Μεταλλικές Δεξαμενές..σελ Εργασίες Σχετικά με τις Αγκυρωμένες Δεξαμενές...σελ Εργασίες Σχετικά με τις Μη Αγκυρωμένες Δεξαμενές σελ Πειραματικές Εργασίες.σελ Δεξαμενές από Σκυρόδεμα σελ Ορθογωνικές Επίγειες Δεξαμενές.σελ Υπερυψωμένες Δεξαμενές σελ Αλληλεπίδραση Υγρού-Δεξαμενής σελ Αλληλεπίδραση Εδάφους-Κατασκευής..σελ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΔΙΕΓΕΡΣΕΩΝ 2.1 Εισαγωγή.σελ Θεωρία Λιθοσφαιρικών Πλακών σελ Μορφολογία Ρηγμάτων...σελ Κύματα Ομοιογενούς Χώρου..σελ Γενικές Επισημάνσεις.σελ Διαμήκη Κύματα σελ Εγκάρσια Κύματα..σελ Κύματα Επιφανείας.σελ Γενικές Επισημάνσεις.σελ Κύματα Rayleig σελ Κύματα Love..σελ.41 iv

6 2.6 Προσομοίωση Σεισμών στον Ελλαδικό Χώρο κατά Halldorsson & Papageorgiou..σελ Γενικές Επισημάνσεις σελ Το Σεισμολογικό Προσομοίωμα σελ Εφαρμογή του Προσομοιώματος σε Σεισμούς στον Ελλαδικό Χώρο.σελ Χαρακτηριστικά των Παραγόμενων Αρχείων Εδαφικών Διεγέρσεων..σελ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΣ 3.1 Εισαγωγή.σελ Βασικά Στοιχεία και Χαρακτηριστικά του υπό Μελέτη Συστήματος..σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα σε Άκαμπτη Δεξαμενή.σελ Εξισώσεις Περιγραφής της Κίνησης του Υγρού σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Ωστικής Συνιστώσας...σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Συναγωγικής Συνιστώσας..σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα σε Άκαμπτη Δεξαμενή υπό Οριζόντια Διέγερση..σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Ωστικής Συνιστώσας...σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω Αρμονικής Απόκρισης της Συναγωγικής Συνιστώσας...σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω Παροδικής Απόκρισης της Συναγωγικής Συνιστώσας...σελ Ανάπτυξη του Μηχανικού Μοντέλου του Συστήματος υπό Οριζόντια Διέγερση..σελ Παρουσίαση Εκφράσεων για Άκαμπτη Δεξαμενή υπό Οριζόντια Διέγερση..σελ Υδροδυναμική Πίεση στη Βάση και στο Τοίχωμα της Δεξαμενής σελ Τέμνουσα Βάσης σελ Ροπή Ανατροπής στο Τοίχωμα και στη Βάση της Δεξαμενής σελ Ύψος Κυματισμού του Υγρού στην Ελεύθερη Επιφάνεια της Δεξαμενής...σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα σε Άκαμπτη Δεξαμενή υπό Στροφική Διέγερση..σελ Εξισώσεις Περιγραφής της Κίνησης του Υγρού σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Ωστικής Συνιστώσας...σελ Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Συναγωγικής Συνιστώσας..σελ Παρουσίαση Εκφράσεων για Άκαμπτη Δεξαμενή υπό Στροφική Διέγερση..σελ Υδροδυναμική Πίεση στο Τοίχωμα της Δεξαμενής...σελ Τέμνουσα Βάσης σελ Ροπή Ανατροπής στο Τοίχωμα και στη Βάση της Δεξαμενής.σελ.101 v

7 3.8.4 Ύψος Κυματισμού του Υγρού στην Ελεύθερη Επιφάνεια της Δεξαμενής.σελ Επίδραση της Δυσκαμψίας του Τοιχώματος της Δεξαμενής. σελ Επίλυση Εξισώσεως και Προσδιορισμός Αγνώστων για Ταυτόχρονη Δράση Οριζόντιας και Στροφικής Διέγερσης.σελ Ανάπτυξη του Αντίστοιχου Κώδικα με Χρήση του Mat lab..σελ Γραφική Απεικόνιση του Πίνακα που Αντιπροσωπεύει τα Χαρακτηριστικά του Συστήματος..σελ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΟΣΟ ΜΕ ΚΥΜΑΤΑ ΧΩΡΟΥ (BODY WAVES) ΟΣΟ ΚΑΙ ΜΕ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ (SURFACE WAVES) 4.1 Εισαγωγή...σελ Καθορισμός Τιμών και Εύρους Μεταβολής Παραμέτρων Συστήματος και Διέγερσης...σελ Παρουσίαση Διαγραμμάτων και Αποτελεσμάτων σελ Εκτέλεση 1 η - r 30 km, f Hz, Soil B σελ Εκτέλεση 2 η - r 30 km, f Hz, Soil C σελ Εκτέλεση 3 η - r 30 km, f Hz, Soil D σελ Εκτέλεση 4 η -r 50 km, f Hz, Soil D σελ Εκτέλεση 5 η - r 50 km, f Hz, Soil D σελ Εκτέλεση 6 η - r 87 km, f Hz, Soil D σελ Εξαγωγή Συμπερασμάτων.σελ ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ ΥΓΡΟΥ - ΕΔΑΦΟΥΣ ΣΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ 5.1 Εισαγωγή...σελ Επιρροή της Μεταβολής της Πυκνότητας του Περιεχόμενου Υγρού σελ Καθορισμός Τιμών και Εύρους Μεταβολής Παραμέτρων Συστήματος και Διέγερσης..σελ Παρουσίαση Ενδεικτικών Διαγραμμάτων και Αποτελεσμάτων σελ Εκτέλεση 1 η - M w 6.0, r 50 km, f Hz, Soil D σελ Εκτέλεση 2 η - M w 6.0, r 87 km, f Hz, Soil B σελ Εκτέλεση 3 η - M w 6.5, r 18 km, f Hz, Soil C σελ Εξαγωγή Συμπερασμάτων..σελ Επιρροή της Μεταβολής του Λόγου του Ύψους του Υγρού στη Δεξαμενή προς την Ακτίνα της Δεξαμενής H /...σελ Μεταβολή του Λόγου H / με Διατήρηση της Ακτίνας Σταθερής.σελ Καθορισμός Τιμών και Εύρους Μεταβολής Παραμέτρων Συστήματος και Διέγερσης σελ.149 vi

8 Παρουσίαση Ενδεικτικών Διαγραμμάτων και Αποτελεσμάτων...σελ Εκτέλεση 1 η - M w 6.0, r 150 km, f Hz, Soil D.σελ Εκτέλεση 2 η - M w 6.0, r 10 km, f Hz, Soil D.σελ Εξαγωγή Συμπερασμάτων...σελ Μεταβολή του Λόγου H / με Διατήρηση της Μάζας του Υγρού m Σταθερής σελ Καθορισμός Τιμών και Εύρους Μεταβολής Παραμέτρων Συστήματος και Διέγερσης.σελ Παρουσίαση Ενδεικτικών Διαγραμμάτων και Αποτελεσμάτων..σελ Εκτέλεση 1 η - M w 5.5, r 18 km, f Hz, Soil B σελ Εκτέλεση 2 η - M w 6.0, r 30 km, f Hz, Soil C σελ Εξαγωγή Συμπερασμάτων.σελ ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ ΣΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΤΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή..σελ Επιρροή της Μεταβολής της Έντασης της Σεισμικής Διέγερσης.σελ Καθορισμός Τιμών και Εύρους Μεταβολής Παραμέτρων Συστήματος και Διέγερσης..σελ Παρουσίαση Ενδεικτικών Διαγραμμάτων και Αποτελεσμάτων σελ Ζεύγος Σεισμών M w σελ Ζεύγος Σεισμών M w σελ Ζεύγος Σεισμών M w σελ Εξαγωγή Συμπερασμάτων σελ Επιρροή της Μεταβολής του Τύπου του Εδάφους σελ Καθορισμός Τιμών και Εύρους Μεταβολής Παραμέτρων Συστήματος και Διέγερσης...σελ Παρουσίαση Ενδεικτικών Διαγραμμάτων και Αποτελεσμάτων.σελ Εκτέλεση 1 η - M w 5.5, r 87 km, f0 0.25Hz...σελ Εξαγωγή Συμπερασμάτων σελ Επιρροή της Μεταβολής της Συχνότητας της Σεισμικής Διέγερσης..σελ Καθορισμός Τιμών και Εύρους Μεταβολής Παραμέτρων Συστήματος και Διέγερσης..σελ Παρουσίαση Ενδεικτικών Διαγραμμάτων και Αποτελεσμάτων σελ Ζεύγος Συχνοτήτων f Hz...σελ Ζεύγος Συχνοτήτων f Hz σελ.194 vii

9 Ζεύγος Συχνοτήτων f Hz.σελ Ζεύγος Συχνοτήτων f Hz..σελ Εξαγωγή Συμπερασμάτων..σελ Επιρροή της Μεταβολής της Απόστασης της Δεξαμενής από το Επίκεντρο του Σεισμού.σελ Καθορισμός Τιμών και Εύρους Μεταβολής Παραμέτρων Συστήματος και Διέγερσης σελ Παρουσίαση Ενδεικτικών Διαγραμμάτων και Αποτελεσμάτων σελ Τριάδα Αποστάσεων r km σελ Τριάδα Αποστάσεων r km σελ Εξαγωγή Συμπερασμάτων.σελ ΕΞΑΓΩΓΗ ΤΕΛΙΚΩΝ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΩΝ 7.1 Τελικά Συμπεράσματα για Διέγερση τόσο με Κύματα Επιφανείας όσο και με Κύματα Χώρου.σελ Τελικά Συμπεράσματα για Μεταβολή των Παραμέτρων του Συστήματος σελ Τελικά Συμπεράσματα για την Μεταβολή της Πυκνότητας του Περιεχόμενου Υγρού l.σελ Τελικά Συμπεράσματα για τη Μεταβολή του Λόγου του Ύψους του Υγρού στη Δεξαμενή προς την Ακτίνα της Δεξαμενής H / με Διατήρηση της Ακτίνας Σταθερής..σελ Τελικά Συμπεράσματα για τη Μεταβολή του Λόγου του Ύψους του Υγρού στη Δεξαμενή προς την Ακτίνα της Δεξαμενής H / με Διατήρηση της Συνολικής Μάζας του Υγρού m l Σταθερής σελ Τελικά Συμπεράσματα για Μεταβολή των Παραμέτρων της Διέγερσης...σελ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ viii

10 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα 1.1 Υπόγεια δεξαμενή αποθήκευσης υγρών από οπλισμένο σκυρόδεμα (πριν την επίχωση)..σελ.2 Εικόνα 1.2 Υπερυψωμένη μεταλλική δεξαμενή αποθήκευσης υγρών σελ.2 Εικόνα 1.3 Αγκυρωμένη σε θεμέλιο δεξαμενή σελ.3 Εικόνα 1.4 Δεξαμενή με λυγισμό μορφής διαμαντιού στο πάνω αριστερό της τμήμα.σελ.4 Εικόνα 1.5 Λυγισμός σε σχήμα πέλματος ελέφαντα σε δεξαμενή αποθήκευσης υγρών καυσίμων σελ.5 Εικόνα 1.6 Βλάβη σε δεξαμενή στην Καλιφόρνια λόγω κυματισμού του περιεχόμενου υγρού..σελ.5 Εικόνα 1.7 Αστοχία σωληνώσεων δεξαμενής μετά από σεισμό.σελ.6 Εικόνα 1.8 Δεξαμενή από οπλισμένο σκυρόδεμα στο Cristcurc..σελ.9 Εικόνα 2.1 Οι τεκτονικές πλάκες που απαρτίζουν τη λιθόσφαιρα της Γης σελ.31 Εικόνα 2.2 α) Όρια απόκλισης β) Όρια σύγκλισης γ) Όρια μετασχηματισμού..σελ.32 Εικόνα 2.3 Σύγκρουση δύο ωκεάνιων πλακών..σελ.33 Εικόνα 2.4 Σύγκρουση ωκεάνιας με ηπειρωτική πλάκα σελ.33 Εικόνα 2.5 Σύγκρουση δύο ηπειρωτικών πλακών.σελ.33 Εικόνα 2.6 Επιφανειακό ρήγμα στο Crowley Lake στην Καλιφόρνια. Όπως παρατηρούμε το έδαφος βορείως του ρήγματος έχει ανασηκωθεί έντονα σε σχέση με το έδαφος νοτίως του σελ.34 Εικόνα 2.7 Επιφανειακό ίχνος του ρήγματος του Αγίου Ανδρέα στην Καλιφόρνια...σελ.35 Εικόνα 2.8 α) Ρήγμα οριζόντιας μετατόπισης β) Κανονικό ρήγμα γ) Ανάστροφο ρήγμα σελ.37 Εικόνα 2.9 Σχηματική αναπαράσταση των διαμήκων κυμάτων σελ.38 Εικόνα 2.10 Σχηματική απεικόνιση των εγκαρσίων κυμάτων σελ.39 Εικόνα 2.11 Σχηματική απεικόνιση της διάδοσης των κυμάτων Rayleig σελ.41 Εικόνα 2.12 Σχηματική απεικόνιση της διάδοσης των κυμάτων Love.σελ.42 ix

11 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 1.1 Αριστερά: Κίνηση του υγρού εντός της δεξαμενής Δεξιά: Μηχανικό μοντέλο που ανέπτυξε ο Housner..σελ.23 Σχήμα 1.2 α) Βασική διαμόρφωση με χρήση κολώνων και ακτινικών δοκών σύνδεσης β) Διαμόρφωση με χρήση επιπλέον κεντρικής κολώνας γ) Διαμόρφωση με χρήση δεύτερης εσωτερικής σειράς κολώνων και δοκών που συνδέονται με την εξωτερική σειρά δ) Διαμόρφωση με χρήση διαγώνιων συνδέσμων.σελ.25 Σχήμα 2.1 Διάκριση των σεισμικών κυμάτων.σελ.30 Σχήμα 2.2 Μοντέλο για την προσομοίωση της περιοχής του ρήγματος.σελ.35 Σχήμα 2.3 Σχηματική παρουσίαση του μοντέλου SBM που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση του ρήγματος, το οποίο αποτελείται από ισομεγέθη υπογεγονότα διατεταγμένα ώστε να μην επικαλύπτονται. Η διάρρηξη σε κάθε υπογεγονός ξεκινά στο κέντρο του και συνδέεται με μια τοπική μείωση τάσεως L, η οποία διαδίδεται ακτινικά προς την περίμετρο του κύκλου..σελ.44 Σχήμα 2.4 Διαγράμματα της μέγιστης τιμής της εδαφικής επιτάχυνσης (PGA) σε συνάρτηση με την οριζόντια απόσταση από την πηγή. Υπάρχουν τέσσερα διαγράμματα που αντιστοιχούν σε σεισμούς διαφορετικού μεγέθους και σε διαφορετικούς εδαφικούς τύπους. Το σεισμολογικό προσομοίωμα με χρήση του μοντέλου SBM συγκρίνεται με τα υπάρχοντα στη βιβλιογραφία μοντέλα των Seao3- Skarlatoudis et al. (2003), M&Ho2-Margaris & Hatzidimitriou (2002), Meao2- Margaris et al. (2002). Στο παραπάνω σχήμα, SMA σημαίνει προσέγγιση με χρήση στοχαστικού μοντέλου και GMPE σημαίνει προσέγγιση με χρήση συνάρτησης πρόβλεψης της εδαφικής κίνησης.σελ.46 Σχήμα 3.1 Σύστημα δεξαμενής-υγρού-εδάφους που θεωρήθηκε...σελ.49 Σχήμα 3.2 Μηχανικό προσομοίωμα του συστήματος υγρού-δεξαμενής για άκαμπτη δεξαμενή υπό οριζόντια διέγερση.σελ.65 Σχήμα 3.3 Γραφική παράσταση των ενεργών υψών συναρτήσει του λόγου ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία...σελ.67 Σχήμα 3.4 Γραφική παράσταση των ενεργών υψών συναρτήσει του λόγου ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab..σελ.67 Σχήμα 3.5 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, o z συναρτήσει του λόγου z/ H για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.69 Σχήμα 3.6 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, o z συναρτήσει του λόγου z/ H για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.69 x

12 Σχήμα 3.7 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 1 z συναρτήσει του λόγου z/ H για πέντε διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.70 Σχήμα 3.8 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 1 z συναρτήσει του λόγου z/ H για πέντε διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.70 Σχήμα 3.9 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 2 z συναρτήσει του λόγου z/ H για πέντε διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.71 Σχήμα 3.10 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 2 z συναρτήσει του λόγου z/ H για πέντε διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.71 Σχήμα 3.11 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 0 r συναρτήσει του λόγου r / για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.72 Σχήμα 3.12 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 0 r συναρτήσει του λόγου r / για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.72 Σχήμα 3.13 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 1 r συναρτήσει του λόγου r / για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.73 Σχήμα 3.14 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 1 r συναρτήσει του λόγου r / για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.73 Σχήμα 3.15 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 2 r συναρτήσει του λόγου r / για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία σελ.74 Σχήμα 3.16 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 2 r συναρτήσει του λόγου r / για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.74 Σχήμα 3.17 Γραφική παράσταση των ισοδύναμων μαζών συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία..σελ.75 xi

13 Σχήμα 3.18 Γραφική παράσταση των ισοδύναμων μαζών συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab..σελ.76 Σχήμα 3.19 Γραφική παράσταση των συντελεστών C, M, o, C M, 1, και C M, 2, συναρτήσει του H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.77 Σχήμα 3.20 Γραφική παράσταση των συντελεστών C, C M, o, M, 1, και C συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab.σελ.77 Σχήμα 3.21 Γραφική παράσταση των συντελεστών, M C o, και, M C 1, M, 2, συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.79 Σχήμα 3.22 Γραφική παράσταση των συντελεστών, M C o, και, M C 1, συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.79 Σχήμα 3.23 Γραφική παράσταση του λόγου r t D t,, / cos συναρτήσει c, z n, του λόγου r /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία σελ.80 Σχήμα 3.24 Γραφική παράσταση του λόγου r t D t,, / cos συναρτήσει c, z n, του λόγου r /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab...σελ.80 Σχήμα 3.25 Δεξαμενή κατά την στροφική διέγερση..σελ.82 Σχήμα 3.26 Διάκριση του δυναμικού της ταχύτητας λόγω ωστικής συνιστώσας σε δύο επιμέρους συνιστώσες...σελ.83 r 2 r 2 Σχήμα 3.27 Γραφική παράσταση των λόγων Io / m H και Io / m H συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.87 r 2 r 2 Σχήμα 3.28 Γραφική παράσταση των λόγων Io / m H και Io / m H συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.87 r Σχήμα 3.29 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r, z o συναρτήσει του λόγου z/ H για τέσσερις διαφορετικές τιμές του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία σελ.92 r Σχήμα 3.30 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r, z o συναρτήσει του λόγου z/ H για τέσσερις διαφορετικές τιμές του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab...σελ.93 r Σχήμα 3.31 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r z 1, συναρτήσει του λόγου z/ H για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.94 xii

14 r Σχήμα 3.32 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r z 1, συναρτήσει του λόγου z/ H για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab σελ.94 r Σχήμα 3.33 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r z συναρτήσει του 2, λόγου z/ H για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία.σελ.95 r Σχήμα 3.34 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r z συναρτήσει του 2, λόγου z/ H για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab.σελ.95 Σχήμα 3.35 Κατακόρυφη τομή της δεξαμενής..σελ.103 Σχήμα 3.36 Μηχανικό προσομοίωμα του συστήματος δεξαμενή-υγρό-θεμελίωση λαμβάνοντας υπ όψιν τόσο την οριζόντια όσο και τη στροφική διέγερση σελ.105 Σχήμα 3.37 Διάγραμμα του στοιχείου t 11 του πίνακα...σελ.112 Σχήμα 3.38 Διάγραμμα του στοιχείου t 12 του πίνακα t σελ.112 Σχήμα 3.39 Διάγραμμα του στοιχείου t 21 του πίνακα t..σελ.113 Σχήμα 3.40 Διάγραμμα του στοιχείου t 22 του πίνακα t..σελ.113 Σχήμα 4.1 Κοινό διάγραμμα οριζόντιας εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves).σελ.118 Σχήμα 4.2 Κοινό διάγραμμα στροφικής εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves).σελ.118 Σχήμα 4.3 Κοινό διάγραμμα πίεσης στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves).σελ.118 Σχήμα 4.4 Κοινό διάγραμμα της συνολικής τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves)...σελ.119 Σχήμα 4.5 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας (impulsive part) συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves)..σελ.119 Σχήμα 4.6 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας (convective part) συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves)...σελ.119 xiii

15 Σχήμα 4.7 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω οριζόντιας κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves)..σελ.120 Σχήμα 4.8 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω στροφικής κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves)..σελ.120 Σχήμα 4.9 Κοινό διάγραμμα ροπής ανατροπής στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves)..σελ.120 Σχήμα 4.10 Κοινό διάγραμμα του ύψους κυματισμού στην επιφάνεια του υγρού συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves) σελ.121 Σχήμα 4.11 Κοινό διάγραμμα οριζόντιας εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου (body waves) και κύματα επιφανείας (surface waves)..σελ.121 Σχήμα 4.12 Κοινό διάγραμμα στροφικής εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.122 Σχήμα 4.13 Κοινό διάγραμμα πίεσης στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.122 Σχήμα 4.14 Κοινό διάγραμμα της συνολικής τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.122 Σχήμα 4.15 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.123 Σχήμα 4.16 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ,123 Σχήμα 4.17 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω οριζόντιας κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.123 Σχήμα 4.18 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω στροφικής κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.124 Σχήμα 4.19 Κοινό διάγραμμα ροπής ανατροπής στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.124 Σχήμα 4.20 Κοινό διάγραμμα του ύψους κυματισμού στην επιφάνεια του υγρού συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας...σελ.124 xiv

16 Σχήμα 4.21 Κοινό διάγραμμα οριζόντιας εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.125 Σχήμα 4.22 Κοινό διάγραμμα στροφικής εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.125 Σχήμα 4.23 Κοινό διάγραμμα πίεσης στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.125 Σχήμα 4.24 Κοινό διάγραμμα της συνολικής τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.126 Σχήμα 4.25 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.126 Σχήμα 4.26 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.126 Σχήμα 4.27 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω οριζόντιας κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.127 Σχήμα 4.28 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω στροφικής κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.127 Σχήμα 4.29 Κοινό διάγραμμα ροπής ανατροπής στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.127 Σχήμα 4.30 Κοινό διάγραμμα του ύψους κυματισμού στην επιφάνεια του υγρού συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.128 Σχήμα 4.31 Κοινό διάγραμμα οριζόντιας εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.128 Σχήμα 4.32 Κοινό διάγραμμα στροφικής εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.128 Σχήμα 4.33 Κοινό διάγραμμα πίεσης στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.129 Σχήμα 4.34 Κοινό διάγραμμα της συνολικής τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.129 Σχήμα 4.35 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση λόγω της ωστικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας...σελ.129 xv

17 Σχήμα 4.36 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.130 Σχήμα 4.37 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω οριζόντιας κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.130 Σχήμα 4.38 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω στροφικής κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.130 Σχήμα 4.39 Κοινό διάγραμμα ροπής ανατροπής στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας...σελ.131 Σχήμα 4.40 Κοινό διάγραμμα του ύψους κυματισμού στην επιφάνεια του υγρού συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.131 Σχήμα 4.41 Κοινό διάγραμμα οριζόντιας εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.131 Σχήμα 4.42 Κοινό διάγραμμα στροφικής εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.132 Σχήμα 4.43 Κοινό διάγραμμα πίεσης στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.132 Σχήμα 4.44 Κοινό διάγραμμα της συνολικής τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.132 Σχήμα 4.45 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.133 Σχήμα 4.46 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.133 Σχήμα 4.47 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω οριζόντιας κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.133 Σχήμα 4.48 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω στροφικής κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.134 Σχήμα 4.49 Κοινό διάγραμμα ροπής ανατροπής στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας...σελ.134 xvi

18 Σχήμα 4.50 Κοινό διάγραμμα του ύψους κυματισμού στην επιφάνεια του υγρού συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.134 Σχήμα 4.51 Κοινό διάγραμμα οριζόντιας εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.135 Σχήμα 4.52 Κοινό διάγραμμα στροφικής εδαφικής επιτάχυνσης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας..σελ.135 Σχήμα 4.53 Κοινό διάγραμμα πίεσης στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.135 Σχήμα 4.54 Κοινό διάγραμμα της συνολικής τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.136 Σχήμα 4.55 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.136 Σχήμα 4.56 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας σελ.136 Σχήμα 4.57 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω οριζόντιας κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.137 Σχήμα 4.58 Κοινό διάγραμμα της τέμνουσας στη βάση της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και λόγω στροφικής κίνησης συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας.σελ.137 Σχήμα 4.59 Κοινό διάγραμμα ροπής ανατροπής στη βάση της δεξαμενής συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας...σελ.137 Σχήμα 4.60 Κοινό διάγραμμα του ύψους κυματισμού στην επιφάνεια του υγρού συναρτήσει του χρόνου για κύματα χώρου και κύματα επιφανείας...σελ.138 Σχήμα 5.1 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην υδροδυναμική πίεση που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων σελ.142 Σχήμα 5.2 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην τέμνουσα βάσης που ασκείται στη δεξαμενή. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων..σελ.143 Σχήμα 5.3 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην ροπή ανατροπής που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων σελ.143 xvii

19 Σχήμα 5.4 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στο ύψος κυματισμού του υγρού στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων, οι οποίες όμως δίνουν όλες το ίδιο ύψος κυματισμού σελ.144 Σχήμα 5.5 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην υδροδυναμική πίεση που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων σελ.144 Σχήμα 5.6 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην τέμνουσα βάσης που ασκείται στη δεξαμενή. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων...σελ.145 Σχήμα 5.7 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην ροπή ανατροπής που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων σελ.145 Σχήμα 5.8 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στο ύψος κυματισμού του υγρού στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων, οι οποίες όμως δίνουν όλες το ίδιο ύψος κυματισμού σελ.146 Σχήμα 5.9 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην υδροδυναμική πίεση που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων σελ.146 Σχήμα 5.10 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην τέμνουσα βάσης που ασκείται στη δεξαμενή. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων..σελ.147 Σχήμα 5.11 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στην ροπή ανατροπής που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων σελ.147 Σχήμα 5.12 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής της πυκνότητας του υγρού στο ύψος κυματισμού του υγρού στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής. Στο διάγραμμα παρουσιάζονται τέσσερις διαφορετικές τιμές πυκνοτήτων, οι οποίες όμως δίνουν όλες το ίδιο ύψος κυματισμού σελ.148 Σχήμα 5.13 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην υδροδυναμική πίεση που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.150 Σχήμα 5.14 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στη συνολική τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H / σελ.151 xviii

20 Σχήμα 5.15 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.151 Σχήμα 5.16 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.152 Σχήμα 5.17 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω οριζόντιας επιτάχυνσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.152 Σχήμα 5.18 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω στροφικής επιτάχυνσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.153 Σχήμα 5.19 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην ροπή ανατροπής της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H / σελ.153 Σχήμα 5.20 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στο ύψος κυματισμού του υγρού στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /.σελ.154 Σχήμα 5.21 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην υδροδυναμική πίεση που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /.σελ.154 Σχήμα 5.22 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στη συνολική τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.155 Σχήμα 5.23 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /.σελ.155 Σχήμα 5.24 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης λόγω της συναγωγικής συνιστώσας. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H / σελ.156 Σχήμα 5.25 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου / H του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της xix

21 δεξαμενής λόγω οριζόντιας επιτάχυνσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.156 Σχήμα 5.26 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω στροφικής επιτάχυνσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.157 Σχήμα 5.27 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην ροπή ανατροπής της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /.σελ.157 Σχήμα 5.28 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στο ύψος κυματισμού του υγρού στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /.σελ.158 Σχήμα 5.29 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην υδροδυναμική πίεση που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /.σελ.161 Σχήμα 5.30 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στη συνολική τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.162 Σχήμα 5.31 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.162 Σχήμα 5.32 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H / σελ.163 Σχήμα 5.33 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω οριζόντιας επιτάχυνσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.163 Σχήμα 5.34 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω στροφικής επιτάχυνσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.164 Σχήμα 5.35 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην ροπή ανατροπής της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /.σελ.164 xx

22 Σχήμα 5.36 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στο ύψος κυματισμού του υγρού στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.165 Σχήμα 5.37 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην υδροδυναμική πίεση που ασκείται στη βάση της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.165 Σχήμα 5.38 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στη συνολική τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /...σελ.166 Σχήμα 5.39 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.166 Σχήμα 5.40 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H / σελ.167 Σχήμα 5.41 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω οριζόντιας επιτάχυνσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /.σελ.167 Σχήμα 5.42 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω στροφικής επιτάχυνσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.168 Σχήμα 5.43 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στην ροπή ανατροπής της δεξαμενής. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H / σελ.168 Σχήμα 5.44 Διάγραμμα επιρροής της μεταβολής του λόγου H / του ύψους του υγρού στη δεξαμενή προς την ακτίνα της δεξαμενής στο ύψος κυματισμού του υγρού στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού. Παρουσιάζονται 4 διαφορετικοί λόγοι H /..σελ.169 Σχήμα 6.1 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 6.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.173 xxi

23 Σχήμα 6.2 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 6.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter..σελ.174 Σχήμα 6.3 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 6.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter...σελ.174 Σχήμα 6.4 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 6.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter...σελ.175 Σχήμα 6.5 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην ροπή ανατροπής στη δεξαμενή. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 6.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.175 Σχήμα 6.6 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στο ύψος κυματισμού του υγρού που βρίσκεται στην επιφάνεια της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 6.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter σελ.176 Σχήμα 6.7 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.176 Σχήμα 6.8 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.177 Σχήμα 6.9 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter..σελ.177 Σχήμα 6.10 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.178 Σχήμα 6.11 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην ροπή ανατροπής στη δεξαμενή. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.178 Σχήμα 6.12 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού w M στο ύψος κυματισμού του υγρού που βρίσκεται στην επιφάνεια της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter..σελ.179 xxii

24 Σχήμα 6.13 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 6.0 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.179 Σχήμα 6.14 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 6.0 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.180 Σχήμα 6.15 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 6.0 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter..σελ.180 Σχήμα 6.16 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 6.0 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.181 Σχήμα 6.17 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στην ροπή ανατροπής στη δεξαμενή. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 6.0 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter.σελ.181 Σχήμα 6.18 Διάγραμμα επιρροής της έντασης του σεισμού M w στο ύψος κυματισμού του υγρού που βρίσκεται στην επιφάνεια της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή δύο σεισμών με ένταση 5.5 και 7.0 βαθμούς της κλίμακας Ricter...σελ.182 Σχήμα 6.19 Διάγραμμα επιρροής του τύπου του εδάφους στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή τριών διαφορετικών εδαφικών τύπων.σελ.184 Σχήμα 6.20 Διάγραμμα επιρροής του τύπου του εδάφους στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή τριών διαφορετικών εδαφικών τύπων.σελ.184 Σχήμα 6.21 Διάγραμμα επιρροής του τύπου του εδάφους στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή τριών διαφορετικών εδαφικών τύπων.σελ.185 Σχήμα 6.22 Διάγραμμα επιρροής του τύπου του εδάφους στην συνολική τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή τριών διαφορετικών εδαφικών τύπων.σελ.185 Σχήμα 6.23 Διάγραμμα επιρροής του τύπου του εδάφους στην τέμνουσα βάσης της ωστικής συνιστώσας λόγω οριζόντιας επιτάχυνσης. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή τριών διαφορετικών εδαφικών τύπων.σελ.186 Σχήμα 6.24 Διάγραμμα επιρροής του τύπου του εδάφους στην τέμνουσα βάσης της ωστικής συνιστώσας λόγω στροφικής επιτάχυνσης. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή τριών διαφορετικών εδαφικών τύπων.σελ.186 xxiii

25 Σχήμα 6.25 Διάγραμμα επιρροής του τύπου του εδάφους στην ροπή ανατροπής στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή τριών διαφορετικών εδαφικών τύπων..σελ.187 Σχήμα 6.26 Διάγραμμα επιρροής του τύπου του εδάφους στο ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνεται η επιρροή τριών διαφορετικών εδαφικών τύπων..σελ.187 Σχήμα 6.27 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.40Hz..σελ.190 Σχήμα 6.28 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.40Hz..σελ.190 Σχήμα 6.29 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.40Hz σελ.191 Σχήμα 6.30 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.40Hz..σελ.191 Σχήμα 6.31 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης λόγω ωστικής συνιστώσας της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.40Hz.σελ.192 Σχήμα 6.32 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης λόγω συναγωγικής συνιστώσας της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.40Hz.σελ.192 Σχέση 6.33 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην ροπή ανατροπής στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.40Hz...σελ.193 Σχήμα 6.34 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στο ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.40Hz σελ.193 Σχήμα 6.35 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.60Hz.σελ.194 Σχήμα 6.36 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.60Hz.σελ.194 xxiv

26 Σχήμα 6.37 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.60Hz σελ.195 Σχήμα 6.38 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.60Hz..σελ.195 Σχήμα 6.39 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης λόγω ωστικής συνιστώσας της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.60Hz.σελ.196 Σχήμα 6.40 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης λόγω συναγωγικής συνιστώσας της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.60Hz.σελ.196 Σχήμα 6.41 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην ροπή ανατροπής στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.60Hz σελ.197 Σχήμα 6.42 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στο ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.60Hz.σελ.197 Σχήμα 6.43 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.75Hz..σελ.198 Σχήμα 6.44 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.75Hz..σελ.198 Σχήμα 6.45 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.75Hz σελ.199 Σχήμα 6.46 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.75Hz..σελ.199 Σχήμα 6.47 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης λόγω ωστικής συνιστώσας της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.75Hz.σελ.200 Σχήμα 6.48 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης λόγω συναγωγικής συνιστώσας της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.75Hz..σελ.200 xxv

27 Σχήμα 6.49 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην ροπή ανατροπής στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.75Hz.σελ.201 Σχήμα 6.50 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στο ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.25Hz και 0.75Hz..σελ.201 Σχήμα 6.51 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.40Hz και 0.75Hz...σελ.202 Σχήμα 6.52 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.40Hz και 0.75Hz..σελ.202 Σχήμα 6.53 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.40Hz και 0.75Hz σελ.203 Σχήμα 6.54 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.40Hz και 0.75Hz..σελ.203 Σχήμα 6.55 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης λόγω ωστικής συνιστώσας της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.40Hz και 0.75Hz.σελ.204 Σχήμα 6.56 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην τέμνουσα βάσης λόγω συναγωγικής συνιστώσας της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.40Hz και 0.75Hz.σελ.204 Σχήμα 6.57 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στην ροπή ανατροπής στη βάση της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.40Hz και 0.75Hz σελ.205 Σχήμα 6.58 Διάγραμμα επιρροής της συχνότητας της διέγερσης στο ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής. Στο συγκεκριμένο διάγραμμα συγκρίνονται οι διεγέρσεις με συχνότητες 0.40Hz και 0.75Hz..σελ.205 Σχήμα 6.59 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις..σελ.208 Σχήμα 6.60 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις..σελ.208 xxvi

28 Σχήμα 6.61 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις..σελ.209 Σχήμα 6.62 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις...σελ.209 Σχήμα 6.63 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω οριζόντιας διέγερσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις..σελ.210 Σχήμα 6.64 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω οριζόντιας διέγερσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις..σελ.210 Σχήμα 6.65 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην ροπή ανατροπής της δεξαμενής. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις...σελ.211 Σχήμα 6.66 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στο ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις..σελ.211 Σχήμα 6.67 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην οριζόντια εδαφική επιτάχυνση. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις σελ.212 Σχήμα 6.68 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην στροφική εδαφική επιτάχυνση. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις σελ.212 Σχήμα 6.69 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην υδροδυναμική πίεση στη βάση της δεξαμενής. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις.σελ.213 Σχήμα 6.70 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις..σελ.213 Σχήμα 6.71 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω οριζόντιας διέγερσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις.σελ.214 Σχήμα 6.72 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην τέμνουσα βάσης της δεξαμενής λόγω στροφικής διέγερσης στην ωστική συνιστώσα. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις.σελ.214 xxvii

29 Σχήμα 6.73 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στην ροπή ανατροπής της δεξαμενής. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις σελ.215 Σχήμα 6.74 Διάγραμμα επιρροής της απόστασης r της δεξαμενής από το επίκεντρο του σεισμού στο ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής. Παρουσιάζονται τρεις διαφορετικές αποστάσεις σελ.215 Σχήμα 7.1 Μεταβολή του συντελεστή ωστικής μάζας m 0 συναρτήσει του ύψους H του υγρού στη δεξαμενή.σελ.218 Σχήμα 7.2 Μεταβολή του λόγου που δίνεται από τη σχέση (7.2) ως προς τον λόγο H /..σελ.219 Σχήμα 7.3 Μεταβολή του λόγου που δίνεται από τη σχέση (7.3) ως προς τον λόγο H /..σελ.220 Σχήμα 7.4 Μεταβολή του λόγου που δίνεται από τη σχέση (7.4) ως προς τον λόγο H /..σελ.221 Σχήμα 7.5 Μεταβολή του λόγου που δίνεται από τη σχέση (7.5) ως προς τον λόγο H /..σελ.222 Σχήμα 7.6 Μεταβολή της ωστικής συνιστώσας του υγρού με τη μεταβολή του ύψους του υγρού στη δεξαμενή και με διατήρηση της ακτίνας της δεξαμενής σταθερής.σελ.223 Σχήμα 7.7 Διάγραμμα των τεσσάρων διαφορετικών συνιστωσών που συνθέτουν την συνολική πίεση...σελ.224 Σχήμα 7.8 Διάγραμμα των τεσσάρων διαφορετικών συνιστωσών που συνθέτουν την συνολική τέμνουσα.σελ.225 r Σχήμα 7.9 Μεταβολή του συντελεστή m 1 συναρτήσει του λόγου H / σελ.226 Σχήμα 7.10 Μεταβολή του συντελεστή m 0 συναρτήσει του H /.σελ.227 xxviii

30 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 1.1 Τύποι δεξαμενών που υπάρχουν σε κάθε κανονισμό σελ.11 Πίνακας 1.2 Τιμές για την απόσβεση της ωστικής ιδιομορφής σύμφωνα με τον NZSEE σελ.14 Πίνακας 2.1 Ταχύτητα διάδοσης διαμήκων και εγκαρσίων κυμάτων σε διάφορα είδη εδαφών σελ.40 r r Πίνακας 3.1 Τιμές των συντελεστών I o και I o για διάφορες τιμές του λόγου H /, σύμφωνα με την υπάρχουσα βιβλιογραφία.σελ.86 r r Πίνακας 3.2 Τιμές των συντελεστών I o και I o για διάφορες τιμές του λόγου H /, σύμφωνα με τους υπολογισμούς που έκανα στο Mat lab σελ.86 Πίνακας 3.3 Τιμές συντελεστών της ωστικής συνιστώσας για διάφορες τιμές του λόγου H /. Πίνακας που δίνεται στη βιβλιογραφία σελ.97 Πίνακας 3.4 Τιμές συντελεστών της ωστικής συνιστώσας για διάφορες τιμές του λόγου H /. Πίνακας που αναπτύξαμε με χρήση του Mat lab.σελ.98 Πίνακας 3.5 Τιμές συντελεστών της συναγωγικής συνιστώσας για διάφορες τιμές του λόγου H /. Πίνακας που δίνεται στη βιβλιογραφία.σελ.99 Πίνακας 3.6 Τιμές συντελεστών της συναγωγικής συνιστώσας για διάφορες τιμές του λόγου H /. Πίνακας που αναπτύξαμε με χρήση του Mat lab..σελ.100 r r r r Πίνακας 3.7 Τιμές των συντελεστών r C r z H και r C r z H 1 1, 2 2, για διάφορες τιμές του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία..σελ.102 r r r r Πίνακας 3.8 Τιμές των συντελεστών r C r z H και r C r z H 1 1, 2 2, για διάφορες τιμές του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Mat lab...σελ.102 Πίνακας 5.1 Κατηγορίες υγρών που μπορούν να περιέχονται σε δεξαμενές αποθήκευσης υγρών σελ.141 xxix

31 1. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΥΓΡΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι δεξαμενές αποθήκευσης υγρών αποτελούν κατασκευές ζωτικής σημασίας για την επιβίωση του σύγχρονου ανθρώπου, κι αυτό λόγω της ευρείας χρήσης τους σε μια σειρά από εφαρμογές. Δεξαμενές υγρών χρησιμοποιούνται για την αποθήκευση μεγάλων ποσοτήτων νερού για ύδρευση, άρδευση, πυρόσβεση κ.α., για την αποθήκευση πετρελαίου, βενζίνης και λοιπών πετρελαιοειδών σε διυλιστήρια και λοιπές μονάδες παραγωγής, καθώς και σε πυρηνικές εγκαταστάσεις για αποθήκευση μιας σειράς χημικών υγρών καθώς και χημικών αποβλήτων. Ειδικά τις τελευταίες δεκαετίες η χρήση τους είναι εξαιρετικά διαδεδομένη, γεγονός που καθιστά αναγκαία τη λήψη μέτρων για την προστασία τους. Όπως είναι προφανές η κύρια απειλή για τις δεξαμενές αποθήκευσης υγρών είναι οι σεισμοί. Σε χώρες με έντονα σεισμικά φαινόμενα όπως είναι η Ελλάδα, η Τουρκία, οι Η.Π.Α., η Ιαπωνία κ.α., η κατασκευή τέτοιων δεξαμενών πρέπει να γίνεται με εξαιρετική προσοχή και λαμβάνοντας υπ όψιν μια σειρά από παραμέτρους, ώστε να μην βρεθούμε προ δυσάρεστων εκπλήξεων. Ένα επιπλέον γεγονός που καθιστά απαραίτητη τη διεξοδική μελέτη σχεδίασης και κατασκευής των δεξαμενών αυτών είναι οι ενδεχόμενες συνέπειες μιας μερικής ή πλήρους αστοχίας τους. Σε ένα τέτοιο σενάριο θα έχουμε διαφυγή στο έδαφος, στο υπέδαφος καθώς και στην ατμόσφαιρα τεράστιας ποσότητας βλαβερών ουσιών. Ακόμα, πιθανό είναι το σενάριο της πρόκλησης μεγάλων εκρήξεων καθώς και πυρκαγιών που θα στοιχήσουν τη ζωή σε πολλούς ανθρώπους. Αυτές οι δεξαμενές και λόγω της μεγάλης τους μάζας είναι ιδιαίτερα τρωτές στις έντονες σεισμικές διεγέρσεις. Αυτό γίνεται εύκολα αντιληπτό αν ανατρέξουμε σε σεισμούς του παρελθόντος και εστιάσουμε στις βλάβες που υπέστησαν δεξαμενές αποθήκευσης υγρών. Μέχρι το 1964 και τον σεισμό της Αλάσκας οι επιστήμονες δεν έδιναν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην αντισεισμική σχεδίασή τους. Μετά τις εκτεταμένες βλάβες που υπέστησαν δεξαμενές σε αυτόν τον σεισμό, ακολούθησαν μια σειρά μελετών για τη διερεύνηση της σεισμικής απόκρισης κατασκευών τέτοιου τύπου. Πολλές από αυτές τις μελέτες ήταν πειραματικές, ενώ οι θεωρητικές ασχολήθηκαν με μια σειρά προβλημάτων τα οποία θα εξετάσουμε αναλυτικά σε επόμενα κεφάλαια της εργασίας μας. Άλλα θέματα που απασχόλησαν και απασχολούν τους επιστήμονες είναι η συμπεριφορά του περιεχόμενου υγρού της δεξαμενής καθώς και η αλληλεπίδραση της κατασκευής με το έδαφος στο οποίο εδράζεται. 1.2 ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗΣ ΥΓΡΩΝ Αρχικά, μπορούμε να διακρίνουμε τις δεξαμενές αποθήκευσης υγρών ως προς τη διαμόρφωσή τους. Υπάρχουν υπερυψωμένες (υπέργειες), στηριζόμενες στο έδαφος (επίγειες) και θαμμένες εντός του εδάφους (υπόγειες) δεξαμενές. Οι υπόγειες δεξαμενές (Εικόνα 1.1) όπως είναι προφανές πρέπει αναγκαστικά να διαθέτουν στέγη, ώστε μετά την επίχωση να προστατεύεται το περιεχόμενο υγρό από τα εδαφικά υλικά. Οι επίγειες δεξαμενές είναι αυτές που συναντάμε συνηθέστερα στην 1

32 πράξη. Οι διαστάσεις τους ποικίλουν με ακτίνες που ξεκινούν από λίγα μέτρα και καταλήγουν μέχρι και σε ογκώδεις δεξαμενές με ακτίνα πολλών δεκάδων μέτρων. Το σχήμα τους είναι συνήθως κυλινδρικό. Οι υπερυψωμένες δεξαμενές (Εικόνα 1.2) όπως είναι λογικό δεν μπορούν να ξεπεράσουν ένα συγκεκριμένο μέγεθος καθώς είναι πολύ πιο ευαίσθητες, λόγω του μεγάλου ύψους στο οποίο έχουν συγκεντρωμένη μεγάλη μάζα. Εικόνα 1.1 Υπόγεια δεξαμενή αποθήκευσης υγρών από οπλισμένο σκυρόδεμα (πριν την επίχωση) Ως προς το υλικό κατασκευής διακρίνουμε τόσο μεταλλικές όσο και δεξαμενές από οπλισμένο σκυρόδεμα. Οι υπόγειες δεξαμενές κατασκευάζονται συνήθως από σκυρόδεμα σε αντίθεση με τις υπέργειες, οι οποίες είναι κατά κύριο λόγο μεταλλικές. Το υλικό κατασκευής των επίγειων δεξαμενών ποικίλει, αν και κατά κύριο λόγο είναι μεταλλικές. Εικόνα 1.2 Υπερυψωμένη μεταλλική δεξαμενή αποθήκευσης υγρών 2

33 Μια επιπλέον διάκριση για τις μεταλλικές δεξαμενές γίνεται ανάλογα με τον τρόπο υποστήριξής τους στο έδαφος. Έτσι, διαχωρίζουμε τις μεταλλικές δεξαμενές σε αγκυρωμένες (Εικόνα 1.3) και μη. Οι αγκυρωμένες δεξαμενές συνδέονται σε μεγάλα θεμέλια, ώστε να αποφευχθεί η ανύψωσή τους σε περίπτωση σεισμού. Όμως, η αγκύρωση αυτή δεν είναι εύκολη στην κατασκευή και είναι αρκετά ακριβή γι αυτό και δεν χρησιμοποιείται πολύ στην πράξη. Επιπρόσθετα, σε περίπτωση σεισμού αγκύρια και μπουλόνια που δεν έχουν σχεδιαστεί σωστά ενδέχεται να επιφέρουν βλάβη στο κέλυφος της δεξαμενής. Λόγω των παραπάνω μειονεκτημάτων της αγκύρωσης είναι συνηθέστερο το κέλυφος των μεταλλικών δεξαμενών να υποστηρίζεται σε κυκλική θεμελίωση από σκυρόδεμα χωρίς τη χρήση αγκυρίων. Εικόνα 1.3 Αγκυρωμένη σε θεμέλιο δεξαμενή 1.3 ΠΙΘΑΝΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΣΤΟΧΙΑΣ ΤΩΝ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ Οι σεισμικές διεγέρσεις προκαλούν μια σειρά από βλάβες στις δεξαμενές, οι οποίες δεν έχουν σχεδιαστεί σωστά και με πρόβλεψη προστασίας από τις μορφές αστοχίας τις οποίες θα εκθέσουμε στη συνέχεια. Η έρευνα σχετικά με την σεισμική απόκριση και συμπεριφορά των δεξαμενών υγρών καυσίμων, είναι εξέχουσας σημασίας καθώς μια ενδεχόμενη βλάβη θα έχει ανυπολόγιστες κοινωνικές, περιβαλλοντικές και οικονομικές συνέπειες. Για τους παραπάνω λόγους καθίσταται αναγκαία η επισταμένη μελέτη των μορφών αστοχίας τέτοιων κατασκευών, ώστε να είναι στην πορεία δυνατή η λήψη μέτρων για την προστασία τους. Στη συνέχεια θα αναφέρουμε συνοπτικά τους κυριότερους τύπους βλαβών που συναντούμε σε δεξαμενές υγρών καυσίμων Λυγισμός σε Σχήμα Διαμαντιού (Diamond Sape Buckling) Αυτή η μορφή αστοχίας είναι ένα ελαστικό φαινόμενο λυγισμού, όπου ο λυγισμός συμβαίνει πριν την πλαστικοποίηση, εξαιτίας της υπάρξεως υψηλής θλιπτικής αξονικής δύναμης (υπεύθυνη για τη δημιουργία αξονικών τάσεων στο κέλυφος της δεξαμενής). Αυτές οι αξονικές τάσεις που προκαλούν τον λυγισμό είναι 3

34 συνάρτηση του μεγέθους των ατελειών που υπάρχουν στη δεξαμενή, της εσωτερικής πίεσης, του πάχους του εξωτερικού κελύφους της δεξαμενής, καθώς και της διαφοροποίησης της τιμής της αξονικής τάσης στην περιφέρεια της δεξαμενής. Οι ατέλειες της δεξαμενής δρουν αρνητικά καθώς μειώνουν την αντοχή σε λυγισμό. Η εσωτερική πίεση του υγρού στο κέλυφος της δεξαμενής αυξάνει την αντοχή σε λυγισμό δρώντας ανασταλτικά στο φαινόμενο του λυγισμού σε σχήμα διαμαντιού. Αυτό το σταθεροποιητικό φαινόμενο της ανάπτυξης μεγάλης εσωτερικής πίεσης στα τοιχώματα της δεξαμενής από το υγρό, μπορεί να μειωθεί εξαιτίας της ανάπτυξης πίεσης στη δεξαμενή λόγω της κάθετης συνιστώσας του σεισμού. Αυτή η μείωση της πίεσης μπορεί να οδηγήσει σε λυγισμό μορφής διαμαντιού. Αυτή η μορφή λυγισμού παρατηρείται συνήθως στη βάση της δεξαμενής, μπορεί όμως να συμβεί και σε πολύ ψηλότερα σημεία (Εικόνα 1.4) όπου η υδροδυναμική πίεση έχει πολύ μικρότερες τιμές. Όπως είναι προφανές αυτό το φαινόμενο του λυγισμού τύπου διαμαντιού πλήττει μόνο τις μεταλλικές κατασκευές. Εικόνα 1.4 Δεξαμενή με λυγισμό μορφής διαμαντιού στο πάνω αριστερό της τμήμα Λυγισμός σε Σχήμα Πέλματος Ελέφαντα (Elepant Foot Buckling) Μια αρκετά συνηθισμένη μορφή βλάβης σε μεταλλικές δεξαμενές είναι ο προς τα έξω λυγισμός του κελύφους τους ακριβώς πάνω από τη βάση τους (Εικόνα 1.5). Αυτό το φαινόμενο λόγω της μορφής του ονομάζεται λυγισμός σε σχήμα πέλματος ελέφαντα αφού θυμίζει έντονα το πέλμα ενός ελέφαντα. Συνήθως συναντάται σε κοντές και πλατιές δεξαμενές με μικρό λόγο ύψους προς ακτίνα. Προκαλείται από την αυξημένη εσωτερική πίεση του υγρού (η οποία προφανώς αυξάνει με το βάθος, γι αυτό λαμβάνει στη βάση της δεξαμενής την μέγιστη τιμή προκαλώντας εκεί το εν λόγο φαινόμενο). Αυτή η μορφή λυγισμού έχει πολύ υψηλές εφελκυστικές τάσεις στην μια διεύθυνση, συνδυασμένες με αρκετά μικρές θλιπτικές τάσεις στην άλλη διεύθυνση. 4

35 Εικόνα 1.5 Λυγισμός σε σχήμα πέλματος ελέφαντα σε δεξαμενή αποθήκευσης υγρών καυσίμων Βλάβες Λόγω Κυματισμού του Περιεχόμενου Υγρού Ένας σημαντικός κίνδυνος που συναντάται τόσο σε μεταλλικές όσο και σε δεξαμενές από οπλισμένο σκυρόδεμα είναι οι βλάβες που μπορούν να δημιουργηθούν λόγω κυματισμού του υγρού που περιέχεται στη δεξαμενή. Για αυτό οι κατασκευαστές θα πρέπει να δίνουν ιδιαίτερη προσοχή στο ελεύθερο ύψος που αφήνουν μεταξύ της επιφάνειας του υγρού και τη στέγη της δεξαμενής. Μπορούν να προκληθούν και κυματισμοί που ξεπερνούν το ένα μέτρο, οι οποίοι είναι ικανοί να προκαλέσουν την αστοχία της στέγης και τον διαχωρισμό της από το υπόλοιπο σώμα της δεξαμενής. Στην Εικόνα 1.6 βλέπουμε μια δεξαμενή που περιείχε πετρέλαιο, η οποία αστόχησε λόγω αυξημένου κυματισμού με αποτέλεσμα τη διαρροή πετρελαίου από την κορυφή της. Εικόνα 1.6 Βλάβη σε δεξαμενή στην Καλιφόρνια λόγω κυματισμού του περιεχόμενου υγρού 5

36 1.3.4 Βλάβη στη Σύνδεση των Σωληνώσεων Μια από τις πιο κοινές αιτίες απώλειας του περιεχόμενου υγρού μιας δεξαμενής αποτελεί η αστοχία των σωληνώσεων (Εικόνα 1.7) στις συνδέσεις τους. Γενικά, αυτό το φαινόμενο προκαλείται λόγω μεγάλων κάθετων μετακινήσεων που προκύπτουν από κάποιου είδους λυγισμό (αναφέρθηκαν στις ενότητες και 1.3.2), ανύψωση του τοιχώματος της δεξαμενής ή ακόμα και αστοχία της θεμελίωσης. Επιπλέον, μπορεί να προκληθεί αστοχία σωληνώσεων που συνδέουν μεταξύ τους γειτονικές δεξαμενές και λόγω οριζόντιων μετακινήσεων των δεξαμενών που προκαλούνται από σεισμικές διεγέρσεις. Εικόνα 1.7 Αστοχία σωληνώσεων δεξαμενής μετά από σεισμό Αστοχία της Θεμελίωσης Μεγάλη προσοχή πρέπει να δίνεται στην τοποθεσία που θα επιλεγεί για την κατασκευή μιας δεξαμενής, καθώς πρέπει να αποφεύγονται μαλακά εδάφη με φτωχές ιδιότητες έδρασης. Σε τέτοιου είδους εδάφη είναι πιθανή η ρευστοποίηση των εδαφικών υλικών που σε συνδυασμό με την εφαρμοζόμενη σεισμική ροπή στη βάση της δεξαμενής μπορεί να οδηγήσει σε στροφή του θεμελίου και σε μεγάλες μετακινήσεις της τάξεως αρκετών μέτρων. Σε άλλες περιπτώσεις η απώλεια του περιεχόμενου υγρού από μια κατασκευή που έχει υποστεί βλάβη μπορεί να φθείρουν το έδαφος γειτονικά της θεμελίωσης της δεξαμενής προκαλώντας επιδείνωση της εδαφικής υποστήριξης στη δεξαμενή. 1.4 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΣΕΙΣΜΟΥΣ ΤΟΥ ΠΑΡΕΛΘΟΝΤΟΣ Όπως είναι φυσικό, η παρατήρηση των βλαβών και των φθορών επί των δεξαμενών που προκλήθηκαν από σεισμούς του παρελθόντος είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο στα χέρια των μηχανικών. Μέσω της καταγραφής της συμπεριφοράς των δεξαμενών σε μια σειρά από σεισμούς που έχουν γίνει τις τελευταίες δεκαετίες έχουν 6

37 εξαχθεί πληθώρα χρήσιμων συμπερασμάτων από τους μελετητές. Παρακάτω θα εκθέσουμε συνοπτικά ορισμένες από τις φθορές που προκλήθηκαν τόσο σε μεταλλικές όσο και σε δεξαμενές από οπλισμένο σκυρόδεμα σε σεισμούς του παρελθόντος. Σεισμός του El Centro (18 Μαΐου 1940): Είχαμε κατάρρευση των δεξαμενών εφοδιασμού νερού των πόλεων Holtville και Imperial (Ricter, 1958). Το επίκεντρο του σεισμού βρισκόταν σε πολύ μικρή απόσταση από τις δύο πόλεις (10km και 15km αντίστοιχα), γεγονός που συνέτεινε στις έντονες βλάβες στις δεξαμενές. Σεισμός στο Kern Country (21 Ιουλίου 1952): Ο σεισμός είχε ένταση 7.5 βαθμούς της κλίμακας Ricter, προκαλώντας εκτεταμένες καταστροφές σε κτίρια και λοιπές κατασκευές. Οι βλάβες όμως σε γειτονικές δεξαμενές ήταν πολύ μικρές, γεγονός που ίσως οφείλεται στα χαμηλά επίπεδα πληρότητάς τους. Σεισμός στην Αλάσκα (27 Μαρτίου 1964): Ο σεισμός είχε ένταση 7.5 βαθμούς της κλίμακας Ricter, κι όπως ήταν φυσικό λόγω της μεγάλης του έντασης προκάλεσε τεράστιες ζημίες σε πληθώρα δεξαμενών, οι οποίες είχαν σχεδιαστεί σύμφωνα με μοντέρνες προδιαγραφές. Οι βλάβες σε δεξαμενές που βρίσκονταν κοντά στο επίκεντρο του σεισμού ήταν τεράστιες και σε αυτό συνετέλεσε και το τσουνάμι που επακολούθησε της σεισμικής δόνησης. Μεταλλικές δεξαμενές που βρίσκονταν στο αεροδρόμιο της Αλάσκας με λόγο ύψους προς ακτίνα κοντά στο ένα, υπέστησαν λυγισμό σε σχήμα πέλματος ελέφαντα καθώς και καταστροφές στο κέλυφος και στην στέγη (Rinne, 1967). Επιπλέον, παρατηρήθηκε πως δεξαμενές λιγότερο από το μισό γεμάτες δεν έπαθαν βλάβες από τον σεισμό. Σεισμός στο Ιλινόις (9 Νοεμβρίου 1968): Φθορές παρατηρήθηκαν σε επίγεια κυκλική δεξαμενή από οπλισμένο σκυρόδεμα με ακτίνα 7.9m. Προϋπάρχουσες τριχοειδείς ρωγμές άνοιξαν απελευθερώνοντας μεγάλες ποσότητες νερού. Το ύψος του τοίχου της δεξαμενής ήταν 3.6m και το πάχος του 300mm. Σεισμός στο San Fernando (9 Φεβρουαρίου 1971): Μια υπόγεια δεξαμενή αποθήκευσης νερού υπέστη σοβαρές βλάβες συμπεριλαμβανομένου της κατάρρευσης ενός τοίχου (Jennings, 1971). Σεισμός στην Imperial Valley (15 Οκτωβρίου 1979): Η ένταση του σεισμού ήταν 6.5 βαθμοί της κλίμακας Ricter και οι καταστροφές που παρατηρήθηκαν ήταν παρόμοιες με αυτές που είχαν καταγραφεί σε λοιπούς μεγάλους σεισμούς του παρελθόντος. Κάποιες από τις βλάβες που καταγράφηκαν ήταν λυγισμός του κελύφους της δεξαμενής λίγο πάνω από τη βάση 7

38 της, βλάβες σε στέγες δεξαμενών λόγω κυματισμού του υγρού καθώς και αστοχία σωληνώσεων. Επιπλέον, παρατηρήθηκε πως δεξαμενές με μεγάλο λόγο ύψους προς ακτίνα έφεραν εκτεταμένες ζημιές στο κέλυφος τους. Σεισμός στη Loma Prieta (17 Οκτωβρίου 1989): Η ένταση του σεισμού ήταν 7.1 βαθμοί της κλίμακας Ricter και προκάλεσε βλάβες και σε δεξαμενές σχεδιασμένες πρόσφατα σύμφωνα με μοντέρνους κανονισμούς καθώς και σε άλλες σχεδιασμένες πολύ παλιότερα χωρίς ιδιαίτερη αντισεισμική θωράκιση. Επιπλέον, επλήγησαν δεξαμενές που βρίσκονταν σε μεγάλη απόσταση από το επίκεντρο του σεισμού. Η ανύψωση μεγάλων δεξαμενών που δεν ήταν αγκυρωμένες στη βάση τους προκάλεσε την αστοχία προσαρτημένων σε αυτές εξαρτημάτων, όπως σωληνώσεις και αγωγοί και στη συνέχεια υπήρξε απώλεια του περιεχόμενου υγρού. Ακόμα, ανύψωση πολλών δεξαμενών προκλήθηκε λόγω του κυματισμού του περιεχόμενου υγρού. Δύο δεξαμενές που ήταν σχεδόν γεμάτες τη στιγμή του σεισμού υπέστησαν λυγισμό τύπου διαμαντιού στην κορυφή τους. Επιπλέον, μια μεταλλική δεξαμενή υπέφερε έντονα από κυματισμό του υγρού καθώς μεγάλες ποσότητες πετρελαίου χύθηκαν από τους αεραγωγούς της που βρίσκονταν στην κορυφή της. Μια αιτία για τις εκτεταμένες φθορές ήταν οι σεισμικές διεγέρσεις μεγάλης περιόδου που έδωσαν μεγάλη συναγωγική συνιστώσα (convective component, θα αναλύσουμε σε επόμενα κεφάλαια την έννοια αυτή) και επομένως μεγάλο ύψος κυματισμού του υγρού. Σεισμός στο Nortridge (17 Ιανουαρίου 1994): Ο σεισμός αυτός είχε ένταση 6.7 βαθμούς της κλίμακας Ricter, προκάλεσε αρκετές βλάβες σε μεγάλο αριθμό κυλινδρικών δεξαμενών αποθήκευσης υγρών καθώς και την πλήρη κατάρρευση μιας δεξαμενής. Εννιά δεξαμενές της Υπηρεσίας Παροχής Νερού και Ενέργειας, με χωρητικότητα από 0.5 έως 2.5 εκατομμύρια γαλόνια, υπέστησαν βλάβες στη βάση τους (ρωγμές και λυγισμό του κελύφους) καθώς και στις στέγες τους. Άλλες δεξαμενές εξαιτίας της στροφής έπαθαν βλάβη στις σωληνώσεις τους κι έχασαν μέρος του περιεχόμενου υγρού. Σεισμός στο Kobe (17 Ιανουαρίου, 1995): Ο σεισμός αυτός είχε μέγεθος 6.9 βαθμούς της κλίμακας Ricter και σημειώθηκαν εκτεταμένες βλάβες σε κυλινδρικές υπόγειες δεξαμενές από οπλισμένο σκυρόδεμα. Επιπλέον, ζημιές προκλήθηκαν στις δεξαμενές ενός σταθμού αποθήκευσης υγρών, λόγω ρευστοποίησης του εδάφους. Ο σταθμός είχε χτιστεί σε φτωχό έδαφος πολύ κοντά (2-4km) σε ενεργό ρήγμα και βίωσε μέγιστες επιταχύνσεις της τάξεως των g. Σεισμός στο Kocaeli της Τουρκίας (17 Αυγούστου 1999): Ο σεισμός είχε μέγεθος 7.4 βαθμούς της κλίμακας Ricter, προκαλώντας καταρρεύσεις δεξαμενών και διαρροή πετρελαιοειδών στο μεγαλύτερο διυλιστήριο της Τουρκίας το TUPRAS. Ο σεισμός προκάλεσε έντονο κυματισμό ο οποίος έσπασε τους συνδέσμους μεταξύ στέγης και κελύφους δεξαμενής και η έντονη τριβή μεταξύ των δύο μετάλλων προκάλεσε σπίθες. Αυτές οι σπίθες προκάλεσαν πυρκαγιές σε δεξαμενές αποθήκευσης νάφθας, οι οποίες έκαιγαν για μέρες (Jonson, 2002). Από 8

39 τις 46 δεξαμενές του διυλιστηρίου οι 30 καταστράφηκαν ανεξαρτήτως μεγέθους (Suzuki, 2002). Παρότι καμία δεξαμενή δεν ήταν αγκυρωμένη στη βάση της, δεν παρατηρήθηκαν μεγάλες ολισθήσεις. Σεισμός στο Darfield (4 Σεπτεμβρίου 2010): Εξετάστηκαν 44 δεξαμενές από οπλισμένο σκυρόδεμα (Εικόνα 1.8) σε 34 διαφορετικές τοποθεσίες, όλες τους ιδιοκτησία του Δήμου του Cristcurc. Οι περισσότερες είχαν κυκλική διατομή βάσης, ενώ υπήρχαν και λίγες με ορθογωνική. Οι περισσότερες κατασκευές είχαν δημιουργηθεί πριν την έκδοση του κανονισμού του 1986 που προέβλεπε διατάξεις σχετικά με την σχεδίαση δεξαμενών αποθήκευσης υγρών. Παρόλα αυτά οι περισσότερες είχαν σχεδιαστεί με εξαιρετική προσοχή και μέριμνα κατά του σεισμού. Τρεις δεξαμενές βρίσκονταν σε αλλουβιακά (προσχωσιγενή) εδάφη, ενώ οι υπόλοιπες σε βράχο. Από το σύνολο των δεξαμενών μόνο δύο τους παρουσίασαν σοβαρές βλάβες και οι δύο τους βρίσκονταν σε αλλουβιακά εδάφη. Η πρώτη από τις δύο δεξαμενές υπέστη βλάβες στη σύνδεση της στέγης με τον τοίχο, κυρίως επειδή η αιχμή από σκυρόδεμα στην κορυφή του τοίχου δεν μπορούσε να αντέξει το αδρανειακό βάρος που εφαρμοζόταν από τη στέγη. Η δεύτερη δεξαμενή υπέστη μερική κατάρρευση της στέγης, η οποία προκλήθηκε λόγω της αυξημένης συναγωγικής συνιστώσας (convective component) που οδήγησε στη δημιουργία έντονου κυματισμού του υγρού. Εικόνα 1.8 Δεξαμενή από οπλισμένο σκυρόδεμα στο Cristcurc 1.5 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΕΡΙ ΔΕΞΑΜΕΝΩΝ ΣΕ ΚΩΔΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥΣ Γενικές Επισημάνσεις Οι κώδικες αντισεισμικού σχεδιασμού δεξαμενών χρησιμοποιούνται για να περιορίσουν τις βλάβες στις δεξαμενές στην περίπτωση ενός ενδεχόμενου σεισμού. Υπάρχει μεγάλη ποικιλία κανονισμών για την αντισεισμική σχεδίαση επίγειων κυλινδρικών δεξαμενών αποθήκευσης υγρών, που προσδιορίζουν βασικούς κανόνες και αρχές για τους μελετητές. Οι κανονισμοί που χρησιμοποιούνται συχνότερα στην πράξη είναι ο API-650 (2005), ο NZSEE (1986), ACI (2006) καθώς και ο Ευρωκώδικας 8 (2006). Ο API- 650 εκδόθηκε από το Αμερικανικό Ινστιτούτο Πετρελαίου (American Petroleum 9

40 Institute) και είναι ένας από τους πρώτους κανονισμούς που εισάγουν μια συστηματική προσέγγιση στην αντισεισμική σχεδίαση δεξαμενών υγρών καυσίμων. Αυτός ο κανονισμός βασίζεται στην μέθοδο που αναπτύχθηκε από τον Housner (1954) με τις τροποποιήσεις των Wozniak και Mitcell (1978) για την εκτίμηση των εισαγόμενων από τον σεισμό φορτίων στη δεξαμενή. Η πιο πρόσφατη προσθήκη στον κανονισμό αναφέρεται στον ASCE 7-05 ως «Ελάχιστα Φορτία Σχεδιασμού για Κτίρια και Λοιπές Κατασκευές», και αφορά τα φορτία που πρέπει να ληφθούν υπ όψιν στον αντισεισμικό σχεδιασμό μεταλλικών δεξαμενών. Ένας από τους κανονισμούς που χρησιμοποιούνται συχνότερα στον σχεδιασμό ορθογωνικών δεξαμενών από οπλισμένο σκυρόδεμα είναι ο ACI (2006). Η πρώτη έκδοση του κανονισμού έγινε το 2001 από την επιτροπή ACI με τίτλο «Αντισεισμικός Σχεδιασμός Κατασκευών από Σκυρόδεμα που Περιέχουν Υγρά». Η διαδικασία σχεδιασμού βασίζεται στο μοντέλο του Housner στο οποίο όμως η υδροδυναμική πίεση λαμβάνεται ως πρόσθετες μάζες που εφαρμόζονται στο τοίχωμα της δεξαμενής. Η δυναμική απόκριση του τοιχώματος της δεξαμενής λαμβάνεται μέσω της θεώρησης του ως έναν ισοδύναμο ανεστραμμένο πρόβολο. Οι πιο περιεκτικές κατευθυντήριες οδηγίες δίνονται στον NZSEE (1986), ο οποίος δημιουργήθηκε από τον Priestley και την ομάδα συνεργατών του. Ο κώδικας προβλέπει την ύπαρξη μηδενικής διαρροής ή βλάβης της δεξαμενής υπό τον σεισμό σχεδιασμού, κι όπως είναι φυσικό οδηγεί σε συντηρητικό σχεδιασμό ειδικά για τις μεγάλες δεξαμενές αποθήκευσης υγρών. Όσον αφορά τις άκαμπτες (απαραμόρφωτες) δεξαμενές με κυκλική διατομή ο κανονισμός χρησιμοποιεί το μηχανικό μοντέλο των Veletsou και Yang (1977), ενώ για εύκαμπτες δεξαμενές χρησιμοποιεί το μοντέλο των Haroun και Housner (1981). Ο Ευρωκώδικας 8 (1998) προβλέπει τη χρήση του μηχανικού μοντέλου των Veletsou και Yang (1977) ως μια αποδεκτή διαδικασία για άκαμπτες κυκλικές δεξαμενές. Για ελαστικές κυκλικές δεξαμενές, τα μοντέλα του Veletsou (1984) και τον Haroun και Housner (1981) χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με τη διαδικασία των Malotra et al (2000). Οι παραπάνω κώδικες έχουν το κοινό στοιχείο ότι οι υδροδυναμικές δυνάμεις του συστήματος υγρό-δεξαμενή που δημιουργούνται από τα σεισμικά φορτία μετατρέπονται σε ισοδύναμο σύστημα μάζας-ελατηρίου, το οποίο αναπτύσσει τις ίδιες δυνάμεις και ροπές στο τοίχωμα της δεξαμενής (Housner, 1954). Το παραπάνω σύστημα αποτελείται από δύο συνιστώσες. Η πρώτη συνιστώσα αντιπροσωπεύει το μέρος του υγρού που κινείται σε αρμονία με το τοίχωμα της δεξαμενής και ονομάζεται ωστική συνιστώσα (impulsive). Η δεύτερη συνιστώσα αντιπροσωπεύει το μέρος του υγρού που βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια του υγρού και υπόκειται σε κυματισμό. Αυτή η συνιστώσα ονομάζεται συναγωγική (convective) και μοντελοποιείται τοποθετώντας μια σειρά από ταλαντωτές ενός βαθμού ελευθερίας στο απλοποιημένο ισοδύναμο σύστημα Τύποι Δεξαμενών Στις εφαρμογές του Πολιτικού Μηχανικού χρησιμοποιούνται πολλοί διαφορετικοί τύποι δεξαμενών αποθήκευσης υγρών καυσίμων. Όμως, οι επίγειες κυλινδρικές δεξαμενές είναι αυτές που χρησιμοποιούνται περισσότερο στην πράξη γιατί είναι απλούστερες στον σχεδιασμό αλλά και στην κατασκευή. Κάποιοι από τους κανονισμούς αναφέρονται μόνο σε συγκεκριμένους τύπους δεξαμενών, μην έχοντας διατάξεις για τους υπόλοιπους. Στον Πίνακα 1.1 που ακολουθεί δίνονται 10

41 λεπτομέρειες για τους τύπους των δεξαμενών που κάθε κώδικας περιλαμβάνει. Οι επίγειες δεξαμενές είναι είτε πακτωμένες στη βάση σε θεμέλιο είτε εδράζονται επί ελαστικού θεμελίου. Πίνακας 1.1 Τύποι δεξαμενών που υπάρχουν σε κάθε κανονισμό Κανονισμός ACI API 650 Eurocode 8 Τύπος Δεξαμενής Επίγειες κυλινδρικές και ορθογωνικές δεξαμενές από σκυρόδεμα σε εύκαμπτο θεμέλιο ή πακτωμένες Υπερυψωμένες δεξαμενές Επίγειες μεταλλικές δεξαμενές Επίγειες κυλινδρικές και ορθογωνικές δεξαμενές πακτωμένες σε θεμέλιο Υπερυψωμένες δεξαμενές Όσον αφορά τις επίγειες δεξαμενές μπορούν να κατηγοριοποιηθούν με βάση τις ακόλουθες τρεις διαφοροποιήσεις: 1. Άκαμπτες (Απαραμόρφωτες) Δεξαμενές-Ελαστικές (Παραμορφώσιμες) Δεξαμενές 2. Αγκυρωμένες Δεξαμενές-Μη Αγκυρωμένες Δεξαμενές 3. Πακτωμένες στη Βάση Δεξαμενές-Ελαστικά Εδραζόμενες στη Βάση Δεξαμενές Ως προς την πρώτη διάκριση αυτή δηλώνεται ρητά μόνο στον Ευρωκώδικα 8. Οι προβλέψεις του API 350 ασχολούνται μόνο με μεταλλικές δεξαμενές, οι οποίες λαμβάνονται ως παραμορφώσιμες. Επιπλέον, ο κώδικας ACI έχει προβλέψεις μόνο για δεξαμενές από σκυρόδεμα, οι οποίες θεωρούνται ως άκαμπτες Ιδιοπερίοδος της Ωστικής (Impulsive) Ιδιομορφής Αρχικά, στη δημοσίευσή του το 1954 ο Housner έκανε την παραδοχή ότι η ιδιοπερίοδος της ωστικής ιδιομορφής θα ληφθεί ίση με το μηδέν καθώς η δεξαμενή θεωρείται άκαμπτη. Στις πρόσφατες όμως μελέτες όπου το τοίχωμα της δεξαμενής θεωρείται ελαστικό πρέπει να γίνεται υπολογισμός της ιδιοπεριόδου της ωστικής ιδιομορφής ακόμα και σύμφωνα με τους κανονισμούς που χρησιμοποιούν την μέθοδο του Housner (όπως ο API 650). Στον υπολογισμό της ιδιοπεριόδου αυτής δεν συνυπολογίζεται η πυκνότητα του τοιχώματος της δεξαμενής καθώς χρησιμοποιείται η πυκνότητα του υγρού που περιέχεται στη δεξαμενή. Αυτό συμβαίνει γιατί όπως είναι προφανές η μάζα του υγρού είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από τη μάζα του τοιχώματος της δεξαμενής γεγονός που καθιστά αμελητέα την πυκνότητα του υλικού από το οποίο είναι κατασκευασμένη η δεξαμενή. Για ελαστικές αγκυρωμένες μεταλλικές δεξαμενές η πρώτη ιδιοπερίοδος της ωστικής ιδιομορφής είναι περί τα 0.5 δευτερόλεπτα ή λιγότερο. Για πακτωμένες στη βάση κυκλικής διατομής δεξαμενές, ο κανονισμός NZSEE (1986) χρησιμοποιεί τον ακόλουθο τύπο των Haroun και Housner (1981a) για τον υπολογισμό της ιδιοπεριόδου της ωστικής ιδιομορφής: 11

42 5.61* * H Ti * (1.1) K E Όπου είναι η πυκνότητα του περιεχόμενου στη δεξαμενή υγρού, H είναι το ύψος του υγρού στη δεξαμενή, E είναι το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της δεξαμενής και K είναι η δυσκαμψία της δεξαμενής στην οριζόντια διεύθυνση. Ο Ευρωκώδικας 8 (2006) κάνει χρήση του ακόλουθου τύπου του Scarf (1990): T i R H R H R 2 (0.157( / ) ( / ) 1.49) Et( z / H 1/ 3) H (1.2) Όπου είναι η πυκνότητα του περιεχόμενου στη δεξαμενή υγρού, H είναι το ύψος του υγρού στη δεξαμενή, E είναι το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της δεξαμενής, t είναι το πάχος του τοιχώματος της δεξαμενής και R η ακτίνα της δεξαμενής. Ο κανονισμός API 650 (2005) κάνει χρήση του ακόλουθου τύπου του Malota (2000) για τον υπολογισμό της ιδιοπεριόδου ελαστικών δεξαμενών: T i CH i 2tu D E (1.3) Όπου είναι η πυκνότητα του περιεχόμενου στη δεξαμενή υγρού, H είναι το ύψος του υγρού στη δεξαμενή, E είναι το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της δεξαμενής, t είναι το ισοδύναμο ομοιόμορφο πάχος του τοιχώματος της δεξαμενής, D είναι η u διάμετρος της δεξαμενής και C i είναι παράμετρος Ιδιοπερίοδος της Συναγωγικής (Convective) Ιδιομορφής Η κυρίαρχη ιδιοπερίοδος της συναγωγικής ιδιομορφής εξαρτάται κατά κύριο λόγο από τη διάμετρο της δεξαμενής και κατά δεύτερο λόγο από το ύψος του υγρού στη δεξαμενή. Συνήθως η κυρίαρχη ιδιοπερίοδος της συναγωγικής ιδιομορφής είναι πολύ μεγάλη (από 6 έως 10 δευτερόλεπτα για μεγάλες δεξαμενές) και επηρεάζεται περισσότερο από τις σεισμικές εδαφικές μετακινήσεις παρά από τις σεισμικές εδαφικές επιταχύνσεις. Όπως είναι αναμενόμενο λόγω της μεγάλης ιδιοπεριόδου η συναγωγική συνιστώσα δεν επηρεάζεται τόσο από την ελαστικότητα του τοιχώματος και την ελαστικότητα της θεμελίωσης, γι αυτό κι όλοι οι κανονισμοί δίνουν την ιδιοπερίοδο της συναγωγικής συνιστώσας μόνο για άκαμπτες δεξαμενές. Δηλαδή η δεξαμενή αντιμετωπίζεται εξαρχής ως άκαμπτη. Ο κανονισμός API 650 (2005) κάνει χρήση του ακόλουθου τύπου του Housner (1954), ο οποίος δίνει μόνο την πρώτη ιδιοπερίοδο της συναγωγικής συνιστώσας: 12

43 Tc H tan( ) D D (1.4) Όπου H είναι το ύψος του υγρού στη δεξαμενή και D είναι η διάμετρος της δεξαμενής. Ο NZSEE (1986) και ο Ευρωκώδικας 8 (2006) έχουν υιοθετήσει τον ακόλουθο τύπο των Veletsou και Yang (1977), ο οποίος επιτρέπει τον υπολογισμό όχι μόνο της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου, αλλά και μεγαλύτερων: T c 2 R/ g nh n tan( ) R (1.5) Όπου H είναι το ύψος του υγρού στη δεξαμενή, R είναι η ακτίνα της δεξαμενής, g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας και για το n έχουμε Ύψος Κυματισμού του Περιεχόμενου Υγρού Όλοι οι κανονισμοί έχουν πρόβλεψη για τον υπολογισμό του μέγιστου ύψους κυματισμού του περιεχόμενου υγρού. Οι σχέσεις που προτείνουν οι κανονισμοί έχουν μικρές διαφορές μεταξύ τους, όπως θα διαπιστώσουμε παρακάτω. Ο API 650 (2005) προτείνει την ακόλουθη σχέση: 0.5 DA ( T ) (1.6) s c c1 Ο NZSEE (1986) κάνει χρήση της ακόλουθης σχέσης: 0.5D 0.84 A ( T ) 0.07 A ( T )... (1.7) s c c1 c c2 Ο Ευρωκώδικας 8 (2006) προτείνει τη σχέση που ακολουθεί: 0.42 DA ( T ) (1.8) s c c1 Όπου D είναι η διάμετρος της δεξαμενής, T c1 είναι η πρώτη ιδιοπερίοδος της συναγωγικής (convective) συνιστώσας, T c2 είναι η δεύτερη ιδιοπερίοδος της A T είναι συντελεστής. συναγωγικής (convective) συνιστώσας και Όπως παρατηρούμε όλες οι παραπάνω σχέσεις που δίνουν το μέγιστο ύψος κυματισμού είναι συνάρτηση της διαμέτρου της δεξαμενής καθώς και του συντελεστή A T, ο οποίος εξαρτάται από την ιδιοπερίοδο της συναγωγικής ιδιομορφής, τον c cn τύπο του εδάφους και την μέγιστη εδαφική επιτάχυνση. Σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους η μέγιστη τιμή του ύψους κυματισμού συμβαίνει στην περιφέρεια του τοιχώματος της δεξαμενής για γωνία 0. c cn 13

44 Σε αντίθεση με τους άλλους κανονισμούς ο NZSEE (1986) για τον υπολογισμό του ύψους κυματισμού κάνει χρήση όχι μόνο της πρώτης ιδιομορφής, αλλά και των υπολοίπων, οι οποίες συνδυάζονται με χρήση του κανόνα SRSS. Όλοι οι κανονισμοί όμως συμφωνούν ότι τόσο η ελαστικότητα του εδάφους όσο και η συνθήκη στήριξης της δεξαμενής στη βάση δεν επηρεάζουν τον υπολογισμό του μέγιστου ύψους κυματισμού. Έχει διαπιστωθεί ότι για μη αγκυρωμένες δεξαμενές οι παραπάνω σχέσεις δίνουν μη συντηρητικά αποτελέσματα στον υπολογισμό του μέγιστου ύψους κυματισμού Απόσβεση Όσον αφορά το μέγεθος της απόσβεσης που θα λάβουμε στη συναγωγική (convective) ιδιομορφή όλοι οι κανονισμοί συμφωνούν και συνιστούν να λαμβάνεται ίση με 0.5%. Για την απόσβεση που λαμβάνεται στην ωστική ιδιομορφή δίνεται ένα εύρος τιμών από 2% έως 5%. Ο κανονισμός API 650 συστήνει απόσβεση 5%, ενώ ο Ευρωκώδικας 8 λαμβάνει απόσβεση 2% τόσο για αγκυρωμένες όσο και για μη αγκυρωμένες δεξαμενές που εδράζονται σε άκαμπτο θεμέλιο. Οι τιμές της απόσβεσης που προβλέπει ο NZSEE φαίνονται στον Πίνακα 1.2 και εξαρτώνται από τον τύπο του εδάφους καθώς και τον τρόπο στήριξης της δεξαμενής. Ο NZSEE και ο Ευρωκώδικας 8 λαμβάνουν υπ όψιν τους όχι μόνο την απόσβεση λόγω των υλικών κατασκευής της δεξαμενής και του εδάφους θεμελίωσης αλλά και την απόσβεση λόγω ακτινοβολίας (δηλαδή η ενέργεια που χάνεται). Επίσης, η απόσβεση του συστήματος δεξαμενή-θεμελίωση δίνεται τόσο για άκαμπτες όσο και για ελαστικές δεξαμενές που υπόκεινται σε οριζόντιες και κάθετες διεγέρσεις. Πίνακας 1.2 Τιμές για την απόσβεση της ωστικής ιδιομορφής σύμφωνα με τον NZSEE Τύπος Δεξαμενής Απόσβεση Μαλακό Έδαφος Σταθερό Έδαφος ή Βράχος Οριζόντια Διεύθυνση Κάθετη Διεύθυνση Οριζόντια Διεύθυνση Κάθετη Διεύθυνση Αγκυρωμένη Δεξαμενή 5% 7.5% 2% 5% Μη αγκυρωμένη Δεξαμενή 15% 7.5% 10% 5% Αλληλεπίδραση Εδάφους-Κατασκευής Η αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής δεν υφίσταται μόνο στην απόκριση σε οριζόντια κίνηση αλλά και σε κάθετη. Η ελαστικότητα του εδάφους επαυξάνει την περίοδο της ωστικής συνιστώσας και η συνολική απόσβεση της κατασκευής αυξάνεται εξαιτίας του φαινομένου της απόσβεσης λόγω ακτινοβολίας του εδάφους. Σε αντισεισμικούς κανονισμούς, η επίδραση της ελαστικότητας του εδάφους στην συμπεριφορά της δεξαμενής λαμβάνεται υπ όψιν τροποποιώντας την ιδιοπερίοδο της ωστικής ιδιομορφής τόσο σε πλευρικές όσο και κάθετες κινήσεις αλλά και τις τιμές της απόσβεσης για τις δεξαμενές. Ο NZSEE και ο Ευρωκώδικας 8 παρέχουν εκφράσεις για τον υπολογισμό της περιόδου λαμβάνοντας υπ όψιν τα φαινόμενα αλληλεπίδρασης εδάφους-κατασκευής 14

45 συνοδευόμενα με τύπους που δίνουν την ισοδύναμη απόσβεση μιας δεξαμενής συμπεριλαμβάνοντας την απόσβεση λόγω ακτινοβολίας του εδάφους (Veletsos, 1984). Σε αντίθεση με τους παραπάνω κανονισμούς ο API 650 δεν λαμβάνει υπ όψιν του την αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής Επίδραση της Αδρανειακής Μάζας του Τοιχώματος της Δεξαμενής Ο NZSEE και ο Ευρωκώδικας 8 προτείνουν να λαμβάνεται υπ όψιν η αδρανειακή μάζα του κελύφους του τοιχώματος της δεξαμενής αλλά και της στέγης στην ανάλυση των τάσεων που αναπτύσσονται στον φλοιό της δεξαμενής καθώς και στη θεμελίωσή της. 1.6 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΤΗΣ ΥΠΑΡΧΟΥΣΑΣ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑΣ Γενικές Επισημάνσεις Για την μεγαλύτερη πληρότητα της εργασίας αναγκαία είναι μια βιβλιογραφική έρευνα με σκοπό την ανασκόπηση της υπάρχουσας βιβλιογραφίας και των εργασιών και μελετών που έχουν διατυπωθεί στο παρελθόν. Διαπιστώνουμε λοιπόν πως έχουν εκπονηθεί πολυάριθμες θεωρητικές, πειραματικές καθώς και αριθμητικές μελέτες που επιδιώκουν πιθανές βελτιώσεις στον αντισεισμικό σχεδιασμό των δεξαμενών αποθήκευσης υγρών. Όμως είναι γεγονός πως οι δεξαμενές αποθήκευσης υγρών έχουν έντονη μη γραμμική συμπεριφορά σε μεγάλους σεισμούς, αν και χρησιμοποιείται ευρέως η γραμμική θεωρία για τη ανάλυση του τοιχώματος της δεξαμενής. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιήθηκε ευρέως για την ανάλυση τόσο αγκυρωμένων όσο και μη αγκυρωμένων δεξαμενών. Όμως πολλές απλοποιήσεις έχουν γίνει στα μοντέλα με σκοπό να διευκολυνθεί η ανάλυση. Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί αλγόριθμοι με πλήρη μη γραμμική αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής κάνοντας χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Στις επόμενες παραγράφους θα προσπαθήσουμε να παρουσιάσουμε τις κυριότερες έρευνες που έχουν πραγματοποιηθεί στο παρελθόν Μεταλλικές Δεξαμενές Εργασίες Σχετικά με τις Αγκυρωμένες Δεξαμενές Οι πρώτες μελέτες που έγιναν για τον υπολογισμό της υδροδυναμικής πίεσης που αναπτύσσεται σε μια κατασκευή λόγω σεισμού χρονολογούνται στη δεκαετία του 30. Η πρώτη σχετική λύση προτάθηκε το 1933 από τον Westergaard, ο οποίος υπολόγισε την πίεση σε μια ορθογωνική δεξαμενή που διεγέρθηκε με οριζόντια κίνηση. Πρότεινε πως οι υδροδυναμικές πιέσεις ασκούνται μόνο από ένα συγκεκριμένο μέρος του υγρού που ονόμασε ωστική (impulsive) μάζα. Αυτή η μάζα μετακινείται σε αρμονία με την υπόλοιπη δεξαμενή. Ο Jacobsen (1949) ανέπτυξε αναλυτικές εξισώσεις για τον υπολογισμό των πιέσεων που ασκούνται από το υγρό στα τοιχώματα της δεξαμενής, της τέμνουσας βάσης καθώς και της ροπής που 15

46 αναπτύσσονται λόγω της ωστικής συνιστώσας. Ο Housner (1954) πρότεινε πως εκτός από την ωστική συνιστώσα υφίσταται και μια δεύτερη λόγω του κυματισμού του υγρού που βρίσκεται κοντά στην επιφάνεια της δεξαμενής. Αυτή η συνιστώσα ονομάστηκε συναγωγική (convective). Παρουσίασε την απόκριση του υγρού με ένα ισοδύναμο μηχανικό μοντέλο ικανό να δώσει τις ίδιες δυνάμεις και ροπές με το ρεαλιστικό πρόβλημα όταν υπόκειται στην ίδια εδαφική διέγερση. Οι μάζες τις ωστικής και της συναγωγικής συνιστώσας του υγρού αναπαρίστανται στο μοντέλο του Housner με χρήση σταθερών μαζών προσαρμοσμένων σε έναν μονοβάθμιο ταλαντωτή. Ο Edwards (1969) έκανε χρήση πεπερασμένων στοιχείων και της θεωρίας κελυφών με σκοπό τον υπολογισμό των σεισμικών τάσεων και μετατοπίσεων σε κυκλικές δεξαμενές με λόγο ύψους προς ακτίνα μικρότερη του ένα. Η μελέτη ασχολήθηκε με τη συζευγμένη αλληλεπίδραση μεταξύ του ελαστικού τοιχώματος και του περιεχόμενου υγρού. Οι Saaban και Nas (1975) έκαναν παρόμοιες μελέτες σχετικές με την σεισμική απόκριση κυλινδρικών ελαστικών δεξαμενών κάνοντας χρήση κι αυτοί της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων. Ο Veletsos (1974) παρουσίασε μια προσεγγιστική μελέτη βασισμένη στην παραδοχή μιας προκαθορισμένης ιδιομορφής παραμόρφωσης του τοιχώματος της δεξαμενής με χρήση μιας ανόθευτης διατομής και «πρόσθετες μάζες» που αποσκοπούν στην αναπαράσταση των αδρανειακών φαινομένων στο υγρό. Η αλληλεπίδραση μεταξύ του παραμορφώσιμου κελύφους της δεξαμενής και του υγρού που υπόκειται σε κυματισμό αγνοείται χάρις στο γεγονός ότι η συναγωγική συνιστώσα χαρακτηρίζεται από ταλαντώσεις πολύ μεγαλύτερων περιόδων σε σχέση με την ωστική συνιστώσα. Για αυτόν τον λόγο προτείνει τον υπολογισμό των φαινομένων της συναγωγικής συνιστώσας με χρήση της μεθόδου που εφαρμόζεται σε άκαμπτες δεξαμενές. Τρία χρόνια αργότερα, το 1977, ο Veletsos σε συνεργασία με τον Yang υπολόγισαν τις ιδιοσυχνότητες του συστήματος υγρό-δεξαμενή εφαρμόζοντας την θεωρία κελυφών του Flugge σε συνδυασμό με χρήση της μεθόδου των Rayleig-Ritz χρησιμοποιώντας τις ιδιομορφές ταλάντωσης ενός προβόλου ομοιόμορφης διατομής. Οι Haroun και Housner (1980) έκαναν χρήση της θεωρίας των συνοριακών ολοκληρωτικών υπολοίπων για να αναπαραστήσουν την περιοχή του υγρού και πεπερασμένα στοιχεία μορφής δαχτυλιδιού για να αναπαραστήσουν το τοίχωμα της δεξαμενής. Αυτό έγινε ώστε να αναπτυχθεί μια αξιόπιστη μέθοδος ανάλυσης της δυναμικής συμπεριφοράς παραμορφώσιμων κυλινδρικών δεξαμενών. Επιπλέον, διερευνήθηκε η επιρροή της ακαμψίας της στέγης της δεξαμενής στην συμπεριφορά των τοιχωμάτων λόγω της σεισμικής δόνησης. Το έδαφος θεμελίωσης προσομοιώθηκε με ελατήρια-αποσβεστήρες ώστε να ληφθεί υπ όψιν η ελαστικότητά του. Με σκοπό να διερευνηθεί η επίδραση της σύζευξης μεταξύ των ιδιομορφών βάση των οποίων ταλαντώνεται το υγρό και των ιδιομορφών ταλάντωσης του κελύφους, η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού αναπαρίσταται από ομόκεντρα δακτυλίδια υποστηριζόμενα στην κανονική διεύθυνση μέσω ελατηρίων. Τελικά αποδείχθηκε ότι η σύζευξη μεταξύ ιδιομορφών κυματισμού του υγρού και των ιδιομορφών ταλάντωσης του κελύφους του τοιχώματος μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Έτσι, μπορεί απλά να προστεθεί μια συνιστώσα, που θα διαθέτει μια αντίστοιχη μάζα και ένα ελατήριο με αντίστοιχη σταθερά, στο απλοποιημένο μηχανικό μοντέλο του Housner (1954) με σκοπό να ληφθεί υπ όψιν η παραμορφωσιμότητα του τοιχώματος της δεξαμενής. Το 1992 οι Haroun και Abou-Izzeddine ανέπτυξαν δύο διαφορετικά μηχανικά μοντέλα για ελαστικές κυλινδρικές δεξαμενές λαμβάνοντας υπ όψιν την 16

47 αλληλεπίδραση τοιχώματος-υγρού-εδάφους. Το πρώτο μοντέλο συνυπολογίζει την επίδραση της στροφικής κίνησης της βάσης την οποία θεωρεί άκαμπτη καθώς και την οριζόντια μετακίνηση μιας ελαστικής κυλινδρικής δεξαμενής. Το δεύτερο μοντέλο αναπαριστά την δεξαμενή υπό κατακόρυφη κίνηση. Και στα δύο παραπάνω μοντέλα το έδαφος αναπαρίσταται με τη χρήση ελατηρίων και αποσβεστήρων, το εύκαμπτο κέλυφος της δεξαμενής ταλαντώνεται βάση προκαθορισμένης μορφής και ο κυματισμός της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού δεν συνυπολογίζεται. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων συνδυασμένη με τη μέθοδο συνοριακών στοιχείων χρησιμοποιήθηκαν σε αρκετές ερευνητικές εργασίες, όπως των Grilli (1988), Hwang (1988) και Kondo (1990). Οι Hwang και Ting (1987 και 1989) κάνοντας χρήση της μεθόδου συνοριακών στοιχείων υπολόγισαν τις υδροδυναμικές πιέσεις που συνδέονται με διεγέρσεις μικρής έντασης. Έλαβαν όρους ανεξάρτητους από την συχνότητα και τους συσχέτισαν με τις ιδιομορφές ταλάντωσης μιας ελαστικής δεξαμενής ενσωματώνοντας τες εντός μιας διατύπωσης μιας ελαστικής δεξαμενής που έγινε με χρήση πεπερασμένων στοιχείων στο πεδίο της συχνότητας. Οι γενικευμένες μετατοπίσεις υπολογίζονται με χρήση του μετασχηματισμού Fourier FFT. Ο Mourad (1991) κάνοντας χρήση ιδιομορφικής ανάλυσης κατάφερε να εκτιμήσει την επίδραση στην απόκριση των ατελειών του τοιχώματος της δεξαμενής. Επιπλέον, εξέτασε τον λυγισμό πραγματικών δεξαμενών. Ο Costley (1991) παρουσίασε μια μέθοδο για τον υπολογισμό του κρίσιμου φορτίου λυγισμού δεξαμενών κάνοντας χρήση μεθόδων πειραματικής ιδιομορφικής ανάλυσης. Ο Rinne (1967) ανέπτυξε ένα κριτήριο για τον λυγισμό του κελύφους εξαιτίας οριζόντιων δυνάμεων και όρισε έναν συντελεστή αντίστασης του κελύφους της δεξαμενής σε λυγισμό. Οι Manos και Cloug (1995) αξιολόγησαν την επίδοση των επίγειων κυλινδρικών μεταλλικών δεξαμενών που υπέστησαν βλάβες από τον σεισμό της Coalinga το Έγινε συσχέτιση των απόλυτων ορίων που προβλέπονται στους κανονισμούς, για το ύψος κυματισμού του υγρού καθώς και για την ροπή ανατροπής που προκαλεί λυγισμό στο τοίχωμα της δεξαμενής, με τις βλάβες που παρατηρήθηκαν μετά το σεισμό ώστε να φανεί εάν οι κανονισμοί είναι επαρκείς. Κατέληξαν στα ακόλουθα συμπεράσματα: αν και η μάζα λόγω συναγωγικής (convective) συνιστώσας έχει μικρή επιρροή στον λυγισμό του τοιχώματος της δεξαμενής, ο κυματισμός του υγρού (ο οποίος εξαρτάται εξ ολοκλήρου από τη συναγωγική συνιστώσα) ήταν ο κύριος παράγοντας που προκάλεσε τις βλάβες στις δεξαμενές με πλωτή στέγη. Το ύψος κυματισμού που προέβλεπαν οι Αμερικάνικοι κανονισμοί προέκυψε αρκετά μικρότερο από αυτό που συνέβη στην πράξη. Οι οριζόντιες αδρανειακές δυνάμεις, οι οποίες προκύπτουν κυρίως από την ωστική συνιστώσα του υγρού που υπόκειται σε φασματική επιτάχυνση, εισάγουν τέμνουσα βάσης καθώς και ροπή ανατροπής στη δεξαμενή. Επιπλέον, η ανύψωση που προκαλείται από την παραπάνω ροπή ανατροπής υποεκτιμάται από τους κανονισμούς καθιστώντας τρωτές τις δεξαμενές σε πραγματικούς μεγάλους σεισμούς. Οι Fiscer και Rammerstorfer (1999) συνυπολόγισαν την επίδραση της παραμόρφωσης του τοιχώματος στην πίεση που αναπτύσσεται λόγω της συναγωγικής (convective) συνιστώσας. Παρατηρήθηκε πως το μέγεθος της επιρροής της παραμορφωσιμότητας του τοιχώματος στην πίεση της συναγωγικής συνιστώσας ήταν μηδαμινό σε σχέση με την «κλασσική» πίεση που λαμβανόταν υπ όψιν μέχρι στιγμής σε προηγούμενες μελέτες. Επιπρόσθετα, η μελέτη κατέληξε στο συμπέρασμα πως για ψηλές δεξαμενές (με μεγάλο λόγο ύψους προς ακτίνα) η πίεση λόγω συναγωγικής 17

48 συνιστώσας δεν πρέπει να υπολογίζεται μόνο με χρήση της πρώτης ιδιομορφής, αλλά να γίνεται χρήση και επόμενων ιδιομορφών. Με σκοπό να καταστήσουν τη διαδικασία πιο ακριβή και γενικώς αποδεκτή, οι Malotra et al. (2000) απλοποίησαν παραπάνω το μοντέλο που είχε προτείνει ο Veletsos το 1984, προσθέτοντας και την επίδραση επόμενων ιδιομορφών πέραν της πρώτης τόσο για την ωστική όσο και για την συναγωγική συνιστώσα. Οι Virella et al. (2003) αποτίμησαν την επιρροή της στέγης της δεξαμενής στις ιδιοπεριόδους ταλάντωσης μια λεπτότοιχης μεταλλικής δεξαμενής με συνοριακές συνθήκες που αντιστοιχούν σε πάκτωση στη βάση της. Επιπλέον, μελετήθηκαν δεξαμενές χωρίς στέγη, με αυτοϋποστηριζόμενες στέγες καθώς και με στέγη στηριζόμενη σε κεκλιμένες δοκούς, κι όλα αυτά για αρκετούς διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα της δεξαμενής. Οι διατομές που μελετήθηκαν περιλαμβάνουν κωνικές, θολωτές καθώς και επίπεδες στέγες. Παρατηρήθηκε πως για ελεύθερη ταλάντωση αδειανών δεξαμενών με σταθερή στέγη κυριαρχούν είτε οι ιδιομορφές του κυλίνδρου είτε οι ιδιομορφές της στέγης. Για αυτοϋποστηριζόμενες στέγες κυριαρχούν οι ιδιομορφές της στέγης, ενώ για δεξαμενές με στέγες που στηρίζονται σε κεκλιμένες δοκούς οι ιδιομορφές του κυλίνδρου κυριαρχούν την δυναμική συμπεριφορά της δεξαμενής. Οι κυρίαρχες ιδιομορφές της στέγης έχουν ιδιοπεριόδους που παραμένουν σταθερές ανεξαρτήτως του λόγου ύψους προς ακτίνα της δεξαμενής. Οι Razzagi και Esgi (2004) διερεύνησαν την συμπεριφορά αγκυρωμένων και μη μεταλλικών κυλινδρικών δεξαμενών υπό την επίδραση εγγύς και μακρινού πεδίου σεισμικών διεγέρσεων. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν πως η απόκριση των δεξαμενών σε διεγέρσεις εγγύς πεδίου ήταν τελείως διαφορετική από την απόκριση σε σεισμούς μακρινού πεδίου. Οι Virella et al. (2006) εξέτασαν την κρίσιμη οριζόντια μέγιστη τιμή της επιτάχυνσης, η οποία είναι υπεύθυνη για τον ελαστικό λυγισμό στην κορυφή αγκυρωμένων κυλινδρικών δεξαμενών. Το υγρό μοντελοποιείται με χρήση πρόσθετων μαζών, όπου η μάζα του υγρού λαμβάνεται από την κατανομή της πίεσης στην ωστική συνιστώσα που δίνεται με χρήση αναλυτικών μεθόδων. Τα φαινόμενα του υγρού λόγω συναγωγικής συνιστώσας αγνοούνται ώστε να επαληθευτεί ότι η ιδιομορφή λόγω λυγισμού ανακύπτει κυρίως από την ωστική δράση της υδροδυναμικής απόκρισης του υγρού. Απέδειξαν πως οι αρνητικές πιέσεις που αναπτύσσονται στη δεξαμενή κοντά στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, όπου η υδροδυναμική πίεση λόγω ωστικής συνιστώσας που δημιουργείται από τη σεισμική διέγερση υπερβαίνει την αντίστοιχη υδροστατική πίεση, εισάγουν τοπικά θλιπτικές τάσεις που οδηγούν σε τοπικό λυγισμό της δεξαμενής Εργασίες Σχετικά με τις Μη Αγκυρωμένες Δεξαμενές Πολλές προσπάθειες έγιναν για να προσομοιωθεί θεωρητικά η έντονη μη γραμμική συμπεριφορά των μη αγκυρωμένων δεξαμενών. Ο Cloug (1977) ανέπτυξε μια οιονεί στατική σχέση μεταξύ της μέγιστης ροπής ανατροπής και της στροφικής μετακίνησης της δεξαμενής κάνοντας χρήση των παραδοχών σχετικά με τις δυνάμεις αντίδρασης και τα πρότυπα (μοτίβα) ανύψωσης στο δάπεδο της δεξαμενής. Η απόκριση χαρακτηρίζεται από στροφή του τοιχώματος της δεξαμενής ως ενιαίο σώμα, η οποία ανασηκώνει τη δεξαμενή στη μια της πλευρά και στρέφεται δεχόμενοι ότι αυτός ο λικνισμός συμβαίνει χωρίς ιδιαίτερη παραμόρφωση της κυκλικής διατομής της βάσης της. Το μέρος της πλάκας της βάσεως της δεξαμενής που 18

49 παραμένει σε επαφή με το έδαφος λαμβάνεται ως κυκλικής διατομής και εφαπτόμενο στο κέλυφος της δεξαμενής στο σημείο επαφής με την θεμελίωση. Όταν το τοίχωμα στρέφεται λόγω σεισμικής διέγερσης, μια περιοχή της πλάκας της βάσης της δεξαμενής με σχήμα ημισελήνου ανασηκώνεται από τη θεμελίωση της κατασκευής. Το βάρος του υγρού που δρα στην ανασηκωμένη περιοχή φέρεται από το τοίχωμα το οποίο παραμένει σε επαφή με τη θεμελίωση. Η ροπή ανατροπής, η οποία προκαλεί ανύψωση της δεξαμενής δίνεται μέσω του μηχανικού ανάλογου του Housner. Οι δύο άγνωστοι του προβλήματος είναι η μέγιστη θλιπτική τάση στο τοίχωμα της δεξαμενής και η γωνία που σχηματίζεται στην επιφάνεια επαφής. Αυτοί οι άγνωστοι προσδιορίζονται μέσω της επίλυσης δυο μη γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, οι οποίες προκύπτουν από την εφαρμογή ισορροπίας δυνάμεων και ισορροπίας ροπών. Βασικό μειονέκτημα του μοντέλου είναι πως δεν λαμβάνει υπ όψιν την ελαστικότητα ούτε του τοιχώματος ούτε της πλάκας της βάσεως της δεξαμενής. Το 1978 οι Wozniak και Mitcell πρότειναν ένα πιο ρεαλιστικό μοντέλο για την ανύψωση της δεξαμενής συμπεριλαμβάνοντας την ελαστικότητα της πλάκας της βάσεως. Γίνεται η αποδοχή ότι η επιφάνεια επαφής της πλάκας της βάσεως της δεξαμενής με την θεμελίωση είναι ένα τμήμα με άγνωστη επίκεντρη γωνία. Η ελαστικότητα του τοιχώματος της δεξαμενής δεν λαμβάνεται υπ όψιν, σε αντίθεση με την ελαστικότητα της πλάκας της βάσεως που όπως προείπαμε θεωρείται υπαρκτή. Η πλάκα της βάσεως αναπαρίσταται ως μια λωρίδα μοναδιαίου πλάτους στην διεύθυνση της περιφέρειας της δεξαμενής (κυκλικού σχήματος προφανώς) επειδή η σχετική περιοχή ανύψωσης λαμβάνεται ως ένα δαχτυλίδι με πλάτος πολύ μικρότερο από την ακτίνα της δεξαμενής. Η λωρίδα δρα ως μια δοκός που εδράζεται σε άκαμπτη θεμελίωση και υπόκειται σε πίεση από το υγρό και ανυψώνεται λόγω μιας κατακόρυφης δύναμης στο ελεύθερο άκρο της. Η μέγιστη τιμή της δύναμης που μπορεί να φέρει η δοκός υπολογίζεται με τη θεώρηση δύο πλαστικών αρθρώσεων. Η μια στο ελεύθερο άκρο και η δεύτερη σε ένα ενδιάμεσο σημείο στο ανυψωμένο τμήμα της. Συνήθως το πάχος του τοιχώματος είναι μεγαλύτερο από αυτό του πάτου της δεξαμενής, γι αυτόν το λόγο η παραδοχή για θεώρηση πλαστικής άρθρωσης στο άκρο του πάτου της δεξαμενής είναι δικαιολογημένη. Εάν η δεξαμενή υπόκειται σε ανύψωση, δύο δυνάμεις ανθίστανται σε αυτήν την παραμόρφωση. Το βάρος της στέγης, του τοιχώματος και του μέρους του υγρού της δεξαμενής που υπόκεινται σε ανύψωση. Γράφοντας τις εξισώσεις ισορροπίας δυνάμεων και ροπών και λύνοντας το σύστημα μπορούμε να προσδιορίσουμε την μέγιστη θλιπτική τάση και την άγνωστη επίκεντρη γωνία όπως ακριβώς και στο ακριβώς προηγούμενο προσομοίωμα. Ο Lau (1992) υιοθέτησε μια γενική μέθοδο για την περιγραφή της κίνησης μιας κυλινδρικής δεξαμενής αποθήκευσης υγρών που είναι ελεύθερη να ανυψωθεί. Η πλάκα της βάσεως, η οποία υπόκειται τόσο σε εφελκυσμό της μεμβράνης όσο και σε κάμψη της πλάκας, χωρίζεται στις περιοχές που είναι ανυψωμένες και σε αυτές που βρίσκονται σε επαφή με τη θεμελίωση. Οι παραμορφώσεις της πλάκας της βάσεως της δεξαμενής υπολογίζονται με μια μέθοδο τύπου Ritz κάνοντας χρήση διαδοχικών επαναλήψεων για τον προσδιορισμό του συνόρου επαφής μεταξύ των δύο παραπάνω περιοχών (της ανυψωμένης και της μη). Το κυλινδρικού σχήματος κέλυφος της δεξαμενής αναλύεται κάνοντας χρήση της θεωρίας του Flugge για λεπτότοιχα κελύφη. Η τριβή που αναπτύσσεται στο μέρος του πάτου της δεξαμενής που βρίσκεται σε επαφή με το θεμέλιο προσομοιώνεται με τη χρήση οριζόντιων ελατηρίων. Οι Leon και Kausel (1986) πρότειναν ορισμένες τροποποιήσεις στο προσομοίωμα των Wozniak και Mitcell. Κατέληξαν στο συμπέρασμα πως αυτό το μοντέλο, που αποτελεί τη βάση του κανονισμού API 650 (2005), μπορεί να οδηγήσει 19

50 σε έντονη υποεκτίμηση της μέγιστης θλιπτικής τάσης που αναπτύσσεται στο τοίχωμα της δεξαμενής κάτω από μέση ανύψωση, και υπερεκτίμηση της συνεισφοράς του βάρους του υγρού στην αντίσταση σε ανύψωση. Ο El Zeiny (1995) ανέπτυξε ένα πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων για να αναλύσει τη μη γραμμική δυναμική απόκριση μη αγκυρωμένων κυλινδρικών δεξαμενών που υπόκεινται σε σεισμικές διεγέρσεις, λαμβάνοντας υπ όψιν του τόσο τον μεγάλου πλάτους κυματισμό του υγρού καθώς και τη μη γραμμικότητα της αλληλεπίδρασης μεταξύ υγρού-κατασκευής και εδάφους-κατασκευής. Η περιοχή του υγρού περιγράφεται με χρήση της εξίσωσης του Laplace, ενώ η θεμελίωση προσομοιώνεται με χρήση εύκαμπτων ελατηρίων. Παρατηρήθηκε πως η απόκριση μη αγκυρωμένων δεξαμενών κυριαρχείται από μηχανισμό ανύψωσης που μεταβάλλεται μη γραμμικά με την ένταση και την συχνότητα της σεισμικής διέγερσης. Επιπρόσθετα, η μελέτη κατέληξε στο συμπέρασμα πως μη αγκυρωμένες δεξαμενές που εδράζονται σε εύκαμπτα θεμέλια εμφανίζουν μικρότερες θλιπτικές τάσεις και αυξημένες ανυψωτικές μετακινήσεις σε σχέση με δεξαμενές εδραζόμενες σε άκαμπτες θεμελιώσεις (Haroun και El Zeiny, 1995). Οι Malotra και Veletsos (1994a, 1994b και 1994c) και Malotra (1995) παρουσίασαν μια μέθοδο για τον υπολογισμό της απόκρισης μη αγκυρωμένων κυλινδρικών δεξαμενών σε οριζόντια κίνηση του εδάφους. Η πλάκα της βάσης της δεξαμενής προσομοιώνεται με μια ομοιόμορφα φορτισμένη, ημι-άπειρη, πρισματικής διατομής δοκό που εδράζεται σε άκαμπτη θεμελίωση και ανυψώνεται μέσω μιας κατακόρυφης δύναμης στο ένα της άκρο. Η δοκός αναλύεται θεωρώντας την επίδραση μιας συνεχώς μεταβαλλόμενης περιοχής επαφής στη βάση και τις μη γραμμικότητες που σχετίζονται με την πλαστική διαρροή στην πλάκα της βάσης. Εξαιτίας της διαφοράς ανάμεσα στις κυρίαρχες περιόδους των φαινομένων λόγω ωστικής συνιστώσας και των φαινομένων λόγω συναγωγικής συνιστώσας, οι ωστικές και οι συναγωγικές δράσεις θεωρούνται ασύζευκτες. Αφού η συνεισφορά της συναγωγικής συνιστώσας της απόκρισης είναι συνήθως μικρή μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Για δεξαμενές με λόγο ύψους προς ακτίνα μικρότερο του 1.5, η συνεισφορά των μεγαλύτερων ιδιομορφών (πέραν της πρώτης) της ταλάντωσης της ωστικής συνιστώσας στην απόκριση μπορούν επίσης να αγνοηθούν. Επομένως, το σύστημα υγρό-δεξαμενή μπορούμε να θεωρήσουμε πως αποκρίνεται σαν ένα μονοβάθμιο σύστημα με μια ωστική μάζα. Επιπλέον, αποδείχθηκε πως ο λόγος ύψους υγρού προς ακτίνα δεξαμενής είναι η σημαντικότερη παράμετρος που καθορίζει την ανύψωση της δεξαμενής. Οι Aari et al. (2009) διερεύνησαν την ανύψωση της πλάκας της βάσης μη αγκυρωμένων δεξαμενών προσομοιώνοντας τες με κωνικές δοκούς που εδράζονται σε άκαμπτη θεμελίωση. Τα φαινόμενα που προκύπτουν λόγω των φαινομένων επαφής μεταξύ βάσεως και θεμελίου καθώς και η γεωμετρική μη γραμμικότητα λαμβάνονται υπ όψιν σε συνδυασμό με το σχηματισμό πλαστικής αρθρώσεως στο άκρο της δοκού. Οι αναλυτικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση της δοκού λύνονται αριθμητικά και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά υπαρχουσών μεθόδων που αναπτύσσονται σε ομοιόμορφη δοκό. Η διαφορά στη διατομή κατά μήκος της δοκού προκαλεί 5% απόκλιση σε σύγκριση με την δοκό ομοιόμορφης διατομής όπως διαπιστώθηκε για την περίπτωση απόκρισης σε ανύψωση. Η αύξηση του πάχους του τοιχώματος της δεξαμενής επηρεάζει ελαφρώς την αρχική αντίσταση της δεξαμενής σε ανύψωση, αλλά κυρίως επηρεάζει ουσιωδώς την αντίσταση σε ανύψωση μετά τη δημιουργία της πλαστικής άρθρωσης. 20

51 Πειραματικές Εργασίες Πληθώρα πειραματικών ερευνών έχουν διεξαχθεί για τη διερεύνηση της συμπεριφοράς δεξαμενών αποθήκευσης υγρών, κυρίως μη αγκυρωμένων κι αυτό γιατί το φαινόμενο της διαδοχικής επαφής και αποχωρισμού μεταξύ της βάσεως της δεξαμενής και του εδάφους έδρασης είναι πολύ σύνθετο ώστε να προσομοιωθεί αναλυτικά ή αριθμητικά. Οι Cloug και Niwa (1979) διεξήγαγαν μια σειρά από πειράματα σε μια ψηλή κυλινδρικής διατομής δεξαμενή αποθήκευσης υγρών. Η συμπεριφορά που παρατηρήθηκε συγκρίθηκε με αποτελέσματα από τυπικούς υπολογισμούς που χρησιμοποιούνται στον σχεδιασμό στην πράξη και παρατηρήθηκε ότι οι μη αγκυρωμένες δεξαμενές ανέπτυσσαν πολύ μεγαλύτερη αξονική τάση από αυτήν που προβλεπόταν από τις τυπικές διαδικασίες που ακολουθούνται στην πράξη για την σχεδίαση. Στην πραγματικότητα, οι θλιπτικές τάσεις είναι συγκεντρωμένες σε μια πολύ στενότερη περιοχή επαφής από ότι ήταν αναμενόμενο, οδηγώντας σε αυξημένες τιμές της τάσης. Ο Kana (1979) μέτρησε πειραματικώς τις τάσεις που αναπτύσσονται στο τοίχωμα μιας κυλινδρικής εύκαμπτης δεξαμενής λόγω αδρανειακών φορτίων αλλά και κυματισμού. Οι Niwa και Cloug (1982) αναπαρήγαγαν τις ψηλές μη αγκυρωμένες δεξαμενές που υπέστησαν βλάβες στον σεισμό του Greenville-Mt Diablo στις 24 Ιανουαρίου του 1980 με σκοπό να εξετάσουν την αντισεισμική τους συμπεριφορά και τον μηχανισμό με τον οποίο συμβαίνει ο λυγισμός. Όλες οι δεξαμενές που υπέστησαν βλάβες ήταν μη αγκυρωμένες στη βάση τους και τελείως γεμάτες με υγρό. Ο λυγισμός τύπου ποδιού ελέφαντα ήταν ο κύριος τρόπος αστοχίας για φαρδιές δεξαμενές, ενώ οι ψηλές δεξαμενές υπέφεραν κυρίως από λυγισμό μορφής διαμαντιού. Μια δεξαμενή με διάμετρο 2.9m και ύψος 6.1m (υπό κλίμακα προσομοίωμα πραγματικής δεξαμενής) δοκιμάστηκε τόσο σε οριζόντια όσο και σε κατακόρυφη επιτάχυνση που καταγράφηκε στον συγκεκριμένο σεισμό. Το συμπέρασμα ήταν πως οι μορφές λυγισμού που παρατηρήθηκαν στο προσομοίωμα ήταν παρόμοιες με αυτές που συνέβησαν στον σεισμό. Οι Niwa και Cloug κατέληξαν στο συμπέρασμα πως η κρίσιμη τάση λυγισμού που προβλέπεται στους υπάρχοντες κανονισμούς για τον σχεδιασμό μεταλλικών δεξαμενών μπορεί να οδηγήσει σε αρκετά συντηρητικές εκτιμήσεις της αντοχής λυγισμού για μη αγκυρωμένες δεξαμενές που υπόκεινται σε στροφική κίνηση. Προφανώς, οι πραγματικές συνθήκες φόρτισης κατά τη διάρκεια της απόκρισης σε ανύψωση ήταν τελείως διαφορετικές από αυτές που υπάρχουν σε στατικές εργαστηριακές δοκιμές λυγισμού μικρών κυλίνδρων υπό ομοιόμορφη αξονική θλίψη που χρησιμοποιούνται στους κανονισμούς για την κρίσιμη τάση λυγισμού. Αν και αναπτύχθηκαν υψηλές θλιπτικές τάσεις στο τοίχωμα της δεξαμενής, ο λυγισμός μορφής ποδιού ελέφαντα δεν παρουσιάστηκε καθώς οι αναπτυσσόμενες τάσεις έφτασαν μόλις το 60% της τάσης διαρροής. Ο Cambra (1982) διευρένησε την σεισμική απόκριση προσομοιωμάτων μη αγκυρωμένων φαρδιών δεξαμενών, με διάμετρο 3.66m (12ft) και ύψος 1.83m (6ft). Η μελέτη περιελάμβανε δοκιμές αξονικής συμμετρικής ανύψωσης, δοκιμές στροφής της δεξαμενής και δημιουργίας κλίσης υπό στατική όμως φόρτιση καθώς και δυναμικές διεγέρσεις σε ειδική πλατφόρμα πρόκλησης κίνησης τόσο σε συνθήκες πακτωμένης βάσης όσο και σε συνθήκες ελαστικής βάσεως. Το βασικό συμπέρασμα ήταν πως η σεισμική απόκριση των δεξαμενών επηρεάζεται σημαντικά από την ύπαρξη ή μη ελαστικότητας του εδάφους. Επιπλέον, περιγράφηκε ένα εμπειρικό μοντέλο 21

52 αναπαράστασης της συμπεριφοράς της πλάκας της δεξαμενής υπό ανύψωση με σκοπό να βελτιωθούν οι διαδικασίες σχεδίασης μη αγκυρωμένων δεξαμενών. Ο Manos (1986) διεξήγαγε μια σειρά από πειράματα τόσο σε φαρδιές (μικρός λόγος ύψους προς ακτίνα) όσο και σε ψηλές (μεγάλος λόγος ύψους προς ακτίνα) δεξαμενές με σκοπό τον υπολογισμό των συχνοτήτων των ιδιομορφών καθώς και των ροπών ανατροπής. Παρατηρήθηκε πως οι συχνότητες που λαμβάνονται από τις αναλυτικές εξισώσεις διαφέρουν κατά πολύ από αυτές που μετρήθηκαν κατά τη διάρκεια των πειραμάτων. Οι Sakai et al. (1987) εκτέλεσαν στατικές δοκιμές στροφής σε ένα προσομοίωμα δεξαμενής σε πραγματική κλίμακα με σκοπό να διερευνήσουν την συμπεριφορά σε ανύψωση μεγάλου μεγέθους κυλινδρικών δεξαμενών αποθήκευσης υγρών. Κατέληξαν πως τα πειραματικά δεδομένα δεν συμφωνούν σε καμία περίπτωση με τις θεωρητικές μελέτες για την περιοχή της βάσεως της δεξαμενής. Οι Tanaka et al. (2000) διεξήγαγαν έρευνες υπό δυναμική φόρτιση σε προσομοιώματα μικρής και μεγάλης κλίμακας υπό σεισμική φόρτιση με σκοπό να διερευνήσουν τον λυγισμό σε σχήμα ποδός ελέφαντα καθώς και τον μηχανισμό πλευρικής ολίσθησης κυλινδρικών δεξαμενών. Η πιο πρόσφατη πειραματική έρευνα ανήκει στους Maton και Limam (2006), οι οποίοι παρουσίασαν τα αποτελέσματα μιας σειράς πειραμάτων που διεξήχθησαν σε λεπτότοιχα κυλινδρικά κελύφη δεξαμενών υπό κάμψη. Ο σκοπός της μελέτης ήταν να διερευνήσει το φαινόμενο του λυγισμού με μορφή διαμαντιού λαμβάνοντας υπ όψιν την καμπτική ροπή υπό την επίδραση εσωτερικής πίεσης Δεξαμενές από Σκυρόδεμα Ορθογωνικές Επίγειες Δεξαμενές Μια από τις πρώτες μελέτες σχετικά με τις δεξαμενές ορθογωνικής διατομής δημοσιεύθηκε από τους Hoskins και Jacobsen (1934), οι οποίοι διερεύνησαν τόσο με αναλυτικό όσο και πειραματικό τρόπο την υδροδυναμική πίεση που αναπτύσσεται λόγω οριζόντιας κίνησης. Αργότερα, ο Housner (1957 και 1963) δημιούργησε μια εξιδανίκευση που εφαρμόζεται συχνά στην πράξη, για την εκτίμηση της απόκρισης του υγρού σε άκαμπτες ορθογωνικές δεξαμενές υπό σεισμική διέγερση. Το υγρό θεωρείται ασυμπίεστο και με μηδενικό ιξώδες. Σε αυτήν τη μέθοδο, η υδροδυναμική πίεση που δημιουργείται λόγω της σεισμικής διέγερσης χωρίζεται σε δύο συνιστώσες, την ωστική και την συναγωγική, κάνοντας χρήση της προσεγγίσεως με τις συγκεντρωμένες μάζες. Όπως έχουμε αναφέρει και παραπάνω η πίεση της ωστικής συνιστώσας προκαλείται από το μέρος του υγρού που κινείται σε αρμονία με την δεξαμενή, ενώ η πίεση της συναγωγικής συνιστώσας προκαλείται από το μέρος του υγρού που υπόκειται σε κυματισμό στη δεξαμενή. Με βάση την παραπάνω παραδοχή, ο Housner ανέπτυξε απλοποιημένες εκφράσεις για να περιγραφούν οι πιέσεις που δημιουργούνται από την παραδοχή των συγκεντρωμένων μαζών. Η συγκεντρωμένη μάζα που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της ωστικής πίεσης συνδέεται άκαμπτα με το τοίχωμα της δεξαμενής, ενώ η συγκεντρωμένη μάζα που χρησιμοποιείται για την περιγραφή της συναγωγικής πίεσης συνδέεται με το τοίχωμα της δεξαμενής με χρήση ελατηρίων όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.1. Αυτό το μοντέλο έχει υιοθετηθεί με κάποιες τροποποιήσεις στους περισσότερους σύγχρονους κανονισμούς και κώδικες. 22

53 Σχήμα 1.1 Αριστερά: Κίνηση του υγρού εντός της δεξαμενής Δεξιά: Μηχανικό μοντέλο που ανέπτυξε ο Housner Λίγα χρόνια αργότερα, ο Epstein (1976) παρουσίασε διαγράμματα, οι καμπύλες των οποίων χρησιμοποιούνται σύμφωνα με το μοντέλο του Housner για την εκτίμηση της καμπτικής ροπής καθώς και της ροπής ανατροπής. Ο Minowa (1980 και 1984) διερεύνησε την επίδραση της ελαστικότητας του τοιχώματος της δεξαμενής και της υδροδυναμικής πίεσης που ασκείται στο τοίχωμα. Επιπλέον, πειραματικές μελέτες διεξήχθησαν για τον προσδιορισμό των δυναμικών χαρακτηριστικών ορθογωνικών δεξαμενών. Ο Haroun (1984) παρουσίασε μια λεπτομερή αναλυτική μέθοδο με βάση την τυπική διέγερση ορθογωνικών δεξαμενών. Υπολογίστηκαν οι καμπτικές ροπές που δημιουργούνται λόγω σεισμού και ασκούνται στα τοιχώματα ορθογωνικών δεξαμενών αποθήκευσης υγρών από σκυρόδεμα. Η δεξαμενή θεωρείται ότι υπόκειται σε ταυτόχρονη οριζόντια και κατακόρυφη συνιστώσα της σεισμικής διέγερσης. Το υγρό θεωρείται ομοιογενές, ασυμπίεστο και με μηδενικό ιξώδες. Οι υδροδυναμικές πιέσεις υπολογίζονται κάνοντας χρήση της κλασσικής προσέγγισης ροής δυναμικού και συγκρίνονται με αυτές τις τιμές που λαμβάνονται από την ακριβή ανάλυση. Παρουσιάζονται αναλυτικές εκφράσεις για τον υπολογισμό των εσωτερικών ροπών, καθώς και αριθμητικές τιμές των συντελεστών ροπής με μορφή πίνακα έτοιμες για χρήση στο σχεδιασμό αντισεισμικών δεξαμενών. Οι Veletsos και Tang (1986) ανέλυσαν δεξαμενές αποθήκευσης υγρών που υπόκεινται σε κατακόρυφη εδαφική κίνηση τόσο σε άκαμπτα όσο και σε ελαστικά εδάφη έδρασης. Αποδείχθηκε πως η αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής μειώνει τα υδροδυναμικά φαινόμενα. Οι Haroun και Abou-Izzeddine (1992) διεξήγαγαν μια παραμετρική έρευνα με ένα πλήθος παραμέτρων, οι οποίες επηρεάζουν την αλληλεπίδραση εδάφουςδεξαμενής υπό οριζόντια και κατακόρυφη διέγερση κάνοντας χρήση μιας εξιδανίκευσης της θεμελίωσης με συγκεντρωμένες μάζες-παραμέτρους. Οι Kim et al. (1996) ανέπτυξαν περαιτέρω μεθόδους αναλυτικών λύσεων και παρουσίασαν την απόκριση γεμάτων ελαστικών ορθογωνικών δεξαμενών υπό κατακόρυφη διέγερση. Αυτή η μέθοδος είναι απλή και βολική για πρακτικούς σκοπούς, αλλά η ελαστικότητα του τοιχώματος δεν συνυπολογίζεται πλήρως. Οι Park et al. (1992) πραγματοποίησαν ερευνητικές μελέτες σχετικά με τη δυναμική απόκριση ορθογωνικών δεξαμενών. Χρησιμοποίησαν τη μέθοδο συνοριακών στοιχείων (BEM) για τον υπολογισμό της κατανομής της υδροδυναμικής πίεσης και τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (FEM) για την ανάλυση του τοιχώματος της δεξαμενής. 23

54 Οι Dogangun et al. (1997) διερεύνησαν τη σεισμική απόκριση δεξαμενών αποθήκευσης υγρών κάνοντας χρήση αναλυτικών μεθόδων, και η χρήση πεπερασμένων στοιχείων εφαρμόστηκε για την ανάλυση της κατασκευής μέσω του αντίστοιχου κώδικα Η/Υ SAPIV. Το υγρό λαμβάνεται γραμμικά ελαστικό και με μηδενικό ιξώδες. Διερευνήθηκε η αποδοτικότητα της προσέγγισης Lagrange για τον αντισεισμικό σχεδιασμό δεξαμενών καθώς και η επίδραση της ελαστικότητας του τοιχώματος στη συμπεριφορά της δεξαμενής υπό δυναμική φόρτιση. Οι Cen και Kianous (2005) υπολόγισαν την υδροδυναμική πίεση σε ορθογωνικές δεξαμενές δύο διαστάσεων συμπεριλαμβάνοντας και τη επίδραση της ελαστικότητας του τοιχώματος. Όμως, ο κυματισμός του υγρού αγνοήθηκε στην μελέτη τους. Ένα χρόνο αργότερα, οι Kianous και Cen (2006) διερεύνησαν τη δυναμική συμπεριφορά ορθογωνικών δεξαμενών που υπόκεινται σε κατακόρυφη σεισμική δόνηση σε δυσδιάστατο χώρο. Επιπλέον, διερευνήθηκε η σημασία της κατακόρυφης συνιστώσας του σεισμού στη συνολική απόκριση του συστήματος δεξαμενή-υγρό. Επιπρόσθετα, οι Kianous et al. (2006) εισήγαγαν μια νέα μέθοδο για τη σεισμική ανάλυση ορθογωνικών δεξαμενών σε δυσδιάστατο πάλι χώρο, στην οποία μέθοδο γίνεται υπολογισμός στο πεδίο του χρόνου τόσο για τα φαινόμενα της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας. Οι Gaemmagami και Kianous (2009) διερεύνησαν τη σεισμική συμπεριφορά ορθογωνικών δεξαμενών κι αυτοί σε δυσδιάστατο χώρο. Δημιουργήθηκαν δυο διαφορετικά προσομοιώματα και τα δύο με χρήση πεπερασμένων στοιχείων. Το ένα μοντέλο αντιστοιχούσε σε φαρδιά δεξαμενή (με μικρό λόγο ύψους προς ακτίνα) και το δεύτερο σε ψηλή δεξαμενή (με μεγάλο λόγο ύψους προς ακτίνα). Το θεμέλιο θεωρήθηκε άκαμπτο και η μελέτη έγινε υπό την επίδραση τόσο οριζόντιας όσο και κατακόρυφης κίνησης. Λήφθηκε υπ όψιν και η αλληλεπίδραση υγρού-δεξαμενής, ενσωματώνοντας σε αυτήν και την ελαστικότητα του τοιχώματος. Προέκυψε το συμπέρασμα πως η ελαστικότητα του τοιχώματος και τα χαρακτηριστικά απόσβεσης που παρουσιάζει το υγρό έχουν σημαντική επίδραση στη συμπεριφορά της δεξαμενής κατά το σεισμό. Η επίδραση της κατακόρυφης κίνησης στη δυναμική απόκριση δεξαμενών αποδείχθηκε πως διαδραματίζει δευτερεύων ρόλο όταν δρα ταυτόχρονα με την οριζόντια Υπερυψωμένες Δεξαμενές Αντικείμενο της εργασίας μας είναι οι επίγειες δεξαμενές και δεν θα ασχοληθούμε καθόλου με τις υπέργειες, όμως για λόγους πληρότητας της εργασίας θα αναφερθούμε περιληπτικά σε κάποιες έρευνες που έχουν γίνει στο παρελθόν και αφορούν τις υπερυψωμένες δεξαμενές. Οι Kalani και Salpekar (1978) διεξήγαγαν μια συγκριτική μελέτη ανάμεσα στις συμβατικές μεθόδους ανάλυσης κι αυτές που κάνουν χρήση μητρώων, σχετικά με την έδραση υπέργειων δεξαμενών. Έκαναν χρήση προγράμματος Η/Υ για την περάτωση της σχεδίασης της κατασκευής καθώς και την επιλογή των βέλτιστων διατομών. Ως παράμετρος θεωρήθηκε ο αριθμός των κολώνων στις οποίες στηρίζεται η δεξαμενή καθώς και η κλίση που αυτές έχουν με τη κατακόρυφο. Εξετάστηκαν οι περιπτώσεις 6, 8 και 10 κολώνων. Η κατασκευή υπόκειται σε κατακόρυφα φορτία λόγω ιδίου βάρους και βάρους του περιεχόμενου υγρού, καθώς και σε οριζόντια φορτία λόγω ανέμου και σεισμού. Παρατηρήθηκε πως η συμβατική μέθοδος είναι πιο συντηρητική σε σχέση με αυτήν με τη χρήση μητρώων. Για την μέγιστη αξονική 24

55 δύναμη είναι συντηρητικότερη κατά 10.4%, για την καμπτική ροπή κατά 39.6% και για την τέμνουσα δύναμη 17.1%. Οι Dutta et al. (2000) παρατήρησαν πως σε σεισμούς τους παρελθόντος, όπως το 1952 στο Kern Country και το 1993 στο Killari, οι υπερυψωμένες δεξαμενές αστόχησαν εξαιτίας της αυξημένης σπρεπτικής απόκρισης. Έχει διαπιστωθεί πως κατασκευές τέτοιου τύπου έχουν αυξημένη στροφή λόγω της στροφικής συνιστώσας κυρίως όταν ο λόγος στροφικής ιδιοπεριόδου προς την οριζόντια ιδιοπερίοδο είναι κοντά στο 1. Σκοπός της έρευνας τους είναι η αποτίμηση της τρωτότητας της κατασκευής σε στρέψη. Στο σεισμό του Killari το 1993 μια υπέργεια δεξαμενή από οπλισμένο σκυρόδεμα κατέρρευσε κατακόρυφα θάβοντας τις 6 κολώνες ακριβώς κάτω από την πλάκα της βάσης της δεξαμενής. Λόγω της συμμετρικότητάς τους, κατασκευές τέτοιου τύπου είναι αναμενόμενο να μην παρουσιάζουν μεγάλη εκκεντρότητα μεταξύ κέντρου βάρους και κέντρου δυσκαμψίας. Όμως, παράγοντες όπως η τοποθέτηση σκάλας ή σωληνώσεων, ο κυματισμός του υγρού κατά τη διάρκεια της διέγερσης καθώς και η μη ομοιομορφία και οι κατασκευαστικές ατέλειες ενδέχεται να εισαγάγουν μικρές τυχηματικές εκκεντρότητες ανάμεσα στο κέντρο μάζας και το κέντρο δυσκαμψίας. Αυτές οι εκκεντρότητες μπορεί να δημιουργήσουν ενισχυμένη στροφική απόκριση υπό οριζόντια διέγερση αν ο λόγος στροφικής προς οριζόντια ιδιοπερίοδο είναι κοντά στο 1. Σε άλλη τους έρευνα οι Dutta et al. (2000) διερεύνησαν εναλλακτικούς τρόπους διάταξης των κολώνων στήριξης της δεξαμενής, ώστε ο λόγος των ιδιοπεριόδων που αναφέρθηκε παραπάνω να βγει εκτός της κρίσιμης περιοχής 0.7 και 1.25 που είναι υπεύθυνη για την πρόκληση αρκετών βλαβών. Οι εναλλακτικές συνθέσεις των κολώνων γίνονται είτε με προσθήκη στην βασική διαμόρφωση με τις ακτινικές δοκούς μιας κεντρικής κολώνας (Σχήμα 1.2β) είτε με τη δημιουργία μια δεύτερης ομόκεντρης αλλά μικρότερης ακτίνας σειράς κολώνων που συνδέονται κι αυτές μεταξύ τους αλλά και με τις υπόλοιπες κολώνες μέσω δοκών (Σχήμα 1.2γ). Επιπλέον, μελετάται η τοποθέτηση διαγώνιων συνδέσμων που θα δημιουργήσουν επιπλέον φατνώματα μεταξύ των υπαρχουσών κολώνων και των δοκών σύνδεσης τους (Σχήμα 1.2δ). Σχήμα 1.2 α) Βασική διαμόρφωση με χρήση κολώνων και ακτινικών δοκών σύνδεσης β) Διαμόρφωση με χρήση επιπλέον κεντρικής κολώνας γ) Διαμόρφωση με χρήση δεύτερης εσωτερικής σειράς κολώνων και δοκών που συνδέονται με την εξωτερική σειρά δ) Διαμόρφωση με χρήση διαγώνιων συνδέσμων Στην έρευνα αυτή προτείνονται ακριβείς κλειστού τύπου εκφράσεις για τον υπολογισμό τόσο της οριζόντιας όσο και της στροφικής δυσκαμψίας για όλες τις παραπάνω διαμορφώσεις. Οι παραπάνω υπολογισμοί που δίνονται μέσω αναλυτικών 25

56 εκφράσεων ελέγχονται επίσης με βάση αυτά που λαμβάνονται από της FEM (ακριβή μέθοδο) για ένα πλήθος υπέργειων δεξαμενών. Για την διεξαγωγή της ανάλυσης με χρήση της FEM χρησιμοποιήθηκε το SAP. Αυτή η έρευνα μπορεί να φανεί εξαιρετικά χρήσιμη σε μηχανικούς που θα επιλέξουν να σχεδιάσουν υπερυψωμένες δεξαμενές με χρήση των παραπάνω διαμορφώσεων. Το σφάλμα της ακριβούς μεθόδου είναι πολύ μικρό και η απόκλιση με τις υπόλοιπες μεθόδους είναι μικρότερη του 10%. Επιπλέον, η έρευνα κατέληξε στο συμπέρασμα πως η χρήση διαγώνιων συνδέσμων είναι πιο αποδοτική στη μείωση του λόγου των ιδιοπεριόδων όταν ο αριθμός των κολώνων είναι μικρός και των φατνωμάτων μεγάλος. Οι Livaoglu και Dogangun (2007) προσπάθησαν να προσδιορίσουν την επίδραση του συστήματος έδρασης στην σεισμική απόκριση λαμβάνοντας υπ όψιν τους και την αλληλεπίδραση υγρού-κατασκευής. Οι δεξαμενές υποβλήθηκαν στις N-S συνιστώσες σεισμών, που συνέβησαν στο παρελθόν στην Τουρκία. Η ανάλυση των χρονοϊστοριών έγινε με χρήση απόσβεσης τύπου Rayleig. Η έρευνα κατέληξε πως το σύστημα έδρασης επηρεάζει την μετακίνηση λόγω κυματισμού που παρατηρείται αλλά κυρίως την μετακίνηση της στέγης Αλληλεπίδραση Υγρού-Δεξαμενής Εξαιτίας των περιορισμών που εισάγουν οι αναλυτικές μέθοδοι για τον υπολογισμό των ρεαλιστικών δράσεων του υγρού σε μια παραμορφώσιμη κατασκευή, έχουν αναπτυχθεί μια σειρά από αριθμητικούς αλγόριθμους σχετικά με την αλληλεπίδραση υγρού-δεξαμενής. Οι Ko et all. (1988) εφήρμοσαν μια συζευγμένη διαδικασία BEM-FEM με σκοπό την ανάλυση της δυναμικής απόκρισης τρισδιάστατων ορθογωνικών δεξαμενών που υπόκεινται σε οριζόντια εδαφική διέγερση συμπεριλαμβανομένου και του κυματισμού. Η δεξαμενή προσομοιώνεται με χρήση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων και η περιοχή του υγρού με χρήση της έμμεσης μεθόδου συνοριακών στοιχείων. Οι Hwang και Ting (1989) μελέτησαν την δυναμική απόκριση δεξαμενών υγρών καυσίμων που υπόκεινται σε σεισμικές διεγέρσεις εφαρμόζοντας συνδυασμό της μεθόδου των συνοριακών στοιχείων και αυτής των πεπερασμένων στοιχείων, συμπεριλαμβάνοντας τις υδροδυναμικές αλληλεπιδράσεις. Το τοίχωμα της δεξαμενής καθώς και το υγρό μεταχειρίζονται ως δύο υποκατασκευές του συνολικού συζευγμένου συστήματος μέσω των υδροδυναμικών πιέσεων. Η μέθοδος συνοριακών στοιχείων εφαρμόζεται για τον υπολογισμό των υδροδυναμικών πιέσεων με μικρού εύρους διεγέρσεις και αμελητέα φαινόμενα κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής. Οι Tosaka et al. (1989) έκαναν χρήση μια Λανγκραντζιανής προσέγγισης για να χειριστούν την θέση της ελεύθερης επιφάνειας σε μια δυσδιάστατη δεξαμενή με προκαθορισμένη κίνηση. Γίνεται χρήση συνοριακών στοιχείων για την επίλυση της εξίσωσης του Laplace. Επιπλέον, στην εργασία παρουσιάζονται παραδείγματα τόσο ορθογωνικών όσο και κυλινδρικών δεξαμενών. Οι Nakayama και Tanaka (1990) ασχολήθηκαν με κυλινδρικές δεξαμενές στις οποίες ο κυματισμός θεωρήθηκε πως υπακούει στη μη γραμμική θεωρία και προκαλεί μεγάλες μετακινήσεις. Η κατασκευή διακριτοποιείται με χρήση συνοριακών στοιχείων, ενώ οι λύσεις που προκύπτουν αφορούν μόνο οριζόντια κίνηση. Οι Kock και Olson (1991) ανέπτυξαν μια μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων για την ανάλυση τόσο γραμμικών όσο και μη γραμμικών προβλημάτων αλληλεπίδρασης 26

57 υγρού-δεξαμενής κάνοντας χρήση ενός μεταβαλλόμενου δείκτη που βασίζεται στην αρχή του Hamilton. Το υγρό θεωρείται πως έχει μηδενικό ιξώδες και η ροή του είναι αστρόβιλη. Οι Tallec και Mourob (2001) προσομοίωσαν τις ιξώδεις ροές εντός των κατασκευών σαν ένα μοναδικό ενιαίο μέσο θεωρώντας την ύπαρξη αλληλεπίδρασης υγρού-κατασκευής. Για την ανάλυση της κατασκευής γίνεται χρήση Lagrangian αλγόριθμου, ενώ το υγρό το μεταχειρίζονται με χρήση αυθαίρετου Lagrangian Eulerian (ALE) σχηματισμού. Οι Czygan και von Estorff (2002) έκαναν σύζευξη της Μεθόδου Πεπερασμένων Στοιχείων για την ανάλυση της κατασκευής και της Μεθόδου Συνοριακών Στοιχείων για την ανάλυση του υγρού με σκοπό να προσομοιωθεί η αλληλεπίδραση υγρού-δεξαμενής και να ληφθούν υπ όψιν παράγοντες όπως η μη γραμμική συμπεριφορά των υλικών κατασκευής καθώς και οι μεγάλες παραμορφώσεις στην κατασκευή. Η παραπάνω προτεινόμενη μεθοδολογία εφαρμόστηκε σε γεμάτη με υγρό δεξαμενή και έδωσε αξιόπιστα αποτελέσματα Αλληλεπίδραση Εδάφους-Κατασκευής Η ελαστικότητα του μέσου έδρασης, όπως ακριβώς κι η ελαστικότητα του τοιχώματος της δεξαμενής, θεωρούμε πως επηρεάζουν μόνο την ωστική συνιστώσα. Επομένως, τα μεγέθη της συναγωγικής συνιστώσας μπορούν να υπολογιστούν θεωρώντας το μέσο υποστήριξης ως άκαμπτο, αφού η συναγωγική συνιστώσα συνδέεται με δράσεις πολύ μεγαλύτερης περιόδου συγκρινόμενη με τις περιόδους της διέγερσης. Για μια συγκεκριμένη εδαφική διέγερση ελευθέρου πεδίου, η ωστική συνιστώσα της απόκρισης μιας δεξαμενής υποστηριγμένης σε εύκαμπτο έδαφος μπορεί να διαφέρει αρκετά από την αντίστοιχη συνιστώσα μιας όμοιας δεξαμενής που υποστηρίζεται άκαμπτα. Κι αυτό συμβαίνει κυρίως λόγω των ακόλουθων παραγόντων: Το ελαστικά εδραζόμενο σύστημα έχει περισσότερους βαθμούς ελευθερίας και γι αυτό το λόγο διαφορετικά χαρακτηριστικά απόκρισης. Κι αυτό γιατί η κίνηση του ελαστικά εδραζόμενου συστήματος εξαιτίας της αλληλεπίδρασης ή της ενδεχόμενης σύζευξης με το μέσο υποστήριξης περιλαμβάνει και μια στροφική συνιστώσα ακόμα κι αν η εδαφική διέγερση είναι μόνο οριζόντια. Αυτή η στροφική συνιστώσα μπορεί να είναι καθοριστική κυρίως για ψηλές δεξαμενές και πολύ εύκαμπτα εδάφη. Μέρος της ενέργειας που εισάγεται στο ελαστικά εδραζόμενο σύστημα λόγω του σεισμού μπορεί να καταναλώνεται εντός του μέσου υποστήριξης είτε μέσω ακτινοβολίας των κυμάτων είτε λόγω της υστερητικής δράσης του εδάφους αυτού καθ αυτού. Οι Veletsos και Tang πρότειναν το σύστημα δεξαμενής-υγρού να θεωρείται ως άκαμπτα συνδεδεμένο και να εξιδανικεύεται ως ένα σύστημα με πολλούς βαθμούς ελευθερίας, και η αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής να επηρεάζει μόνο τη συνεισφορά της κυρίαρχης ιδιομορφής της ωστικής συνιστώσας. Η συνεισφορά των επόμενων ιδιομορφών σε αυτήν την προσέγγιση λαμβάνονται υπ όψιν προσεγγιστικά θεωρώντας τη δεξαμενή άκαμπτα εδραζόμενη στη βάση. Επιπρόσθετα, τα φαινόμενα αλληλεπίδρασης για την κυρίαρχη ιδιομορφή λαμβάνονται υπ όψιν εμμέσως τροποποιώντας την ιδιοσυχνότητα και την απόσβεση αυτής της ιδιομορφής και 27

58 υπολογίζοντας την απόκριση στην εδαφική διέγερση θεωρώντας την δεξαμενή άκαμπτα συνδεδεμένη στη βάση. Οι Wolf και Song (1996) προσομοίωσαν τη θεμελίωση με ένα ισότροπο ομοιογενές ελαστικό μέσο ώστε να ληφθεί υπ όψιν η αλληλεπίδραση εδάφους και κατασκευής. Το πεδίο κοντά στη δεξαμενή προσομοιώθηκε με χρήση πεπερασμένων στοιχείων, ενώ αυτό μακρύτερα με χρήση ελατηρίων και αποσβεστήρων. Το έδαφος στις περισσότερες περιπτώσεις θεωρείται ένα ημιάπειρο μέσο, και ο απεριόριστος χώρος πρέπει να έχει αρκετό εύρος ώστε να συμπεριλάβει την αλληλεπίδραση εδάφους κατασκευής όπως έδειξαν στις έρευνές τους οι Cloug (1993) και Wilson (2002). Σύμφωνα με τα ευρήματα των ερευνών τους ένα μοντέλο θεμελίωσης που εκτείνεται όσο το ύψος μιας δεξαμενής ανάντη, κατάντη και προς τα κάτω συνήθως επαρκεί. 28

59 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΩΝ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΔΙΕΓΕΡΣΕΩΝ 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εδώ και χιλιάδες χρόνια η βασικότερη αιτία πρόκλησης καταστροφών στις ανθρώπινες κατασκευές είναι οι σεισμικές διεγέρσεις. Ένας από τους βασικούς λόγους που οι επιστήμονες ασχολούνται διεξοδικά με τους σεισμούς είναι οι μεγάλες καταστροφές που προκαλούνται από αυτούς. Σε πολλές περιοχές του πλανήτη ο σεισμικός κίνδυνος είναι έντονος, είτε αυτό είναι γνωστό είτε όχι στους κατοίκους των περιοχών αυτών. Ένας λόγους που καθιστά μη αισθητό σε πολλούς ανθρώπους τον σεισμικό κίνδυνο είναι η σπανιότητα του φαινομένου σε σχέση με την διάρκεια της ανθρώπινης ζωής. Δεν πρέπει όμως να παραγνωρίζουμε πως ενώ ένας μεγάλος σεισμός είναι σπάνιος, εάν συμβεί οι καταστροφές θα είναι τεράστιες. Με τη γένεση και τη διάδοση των σεισμικών κυμάτων ασχολείται η επιστήμη της Σεισμολογίας. Η αρχική εστίαση αφορούσε την διάδοση των σεισμικών κυμάτων και πως αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εξάγουμε συμπεράσματα για το εσωτερικό της Γης. Τα τελευταία χρόνια έχει γίνει στροφή στην γένεση των σεισμικών κυμάτων και στον τρόπο που αυτή χρησιμοποιείται για να μελετηθούν οι σεισμοί. Η σχέση είναι τόσο ισχυρή που πολλές φορές η Σεισμολογία θεωρείται ως η επιστήμη που μελετά τους σεισμούς κι όχι τα ελαστικά κύματα που παράγονται εντός της Γης. Οι σεισμοί κατά κανόνα συμβαίνουν σε ρήγματα, δηλαδή επιφάνειες που η μια κινείται σε σχέση με τη άλλη. Συνήθως, οι σεισμοί συμβαίνουν σε ρήγματα που έχουν καταγραφεί στο παρελθόν. Οι σεισμοί που συμβαίνουν σε μικρό βάθος και στη στεριά συνήθως αφήνουν ορατά «σημάδια» κατά μήκος του ρήγματος. Για παράδειγμα, το ρήγμα του Αγίου Αντρέα είναι ορατό από μεγάλη απόσταση καθώς διασχίζει την Καλιφόρνια. Οι περισσότεροι σεισμοί συμβαίνουν στα όρια των τεκτονικών πλακών (πάχους περί τα 100km), λόγω του ότι αυτές συγκλίνουν, αποκλίνουν ή ολισθαίνουν η μια σε σχέση με την άλλην. Υπάρχουν όμως και σεισμοί, οι οποίοι συμβαίνουν εντός των ορίων μιας τεκτονικής πλάκας. Η ενέργεια που απελευθερώνεται από τους ισχυρούς σεισμούς είναι εκπληκτική. Για παράδειγμα στον σεισμό του San Francisco το 1906 παρατηρήθηκε ολίσθηση σχεδόν 4m σε ένα ρήγμα με μήκος 450km, απελευθερώνοντας ελαστική ενέργεια 3x10^16 Joules. Ενδεικτικά αυτή η ενέργεια είναι μεγαλύτερη από την ενέργεια που απελευθερώθηκε από την έκρηξη της ατομικής βόμβας στη Χιροσίμα. Ο μεγαλύτερος καταγεγραμμένος σεισμός όλων των εποχών έχει συμβεί στη Χιλή το 1960, όπου παρατηρήθηκες ολίσθηση 21m σε ένα ρήγμα μήκους 800km, ενώ απελευθερώθηκε ενέργεια 10^19 Joules. Επειδή τα όρια των πλακών εκτείνονται σε μήκος μεγαλύτερο των km, σεισμοί συμβαίνουν πολύ συχνά στον πλανήτη. Σύμφωνα με στατιστικά στοιχεία, ένας σεισμός έντασης 7 βαθμών της κλίμακας Ricter συμβαίνει περίπου μια φορά κάθε μήνα σε κάποιο σημείο της Γης, ενώ ένας σεισμός εντάσεως 6 βαθμών συμβαίνει περίπου ανά τρεις μέρες. Πρέπει να τονίσουμε πως ένας σεισμός με ένταση ένα βαθμό μικρότερη από έναν άλλον συμβαίνει 10 φορές συχνότερα. Επειδή η ένταση ενός σεισμού είναι ανάλογη του λογάριθμου της ενέργειας που απελευθερώνεται, είναι προφανές πως το μεγαλύτερο ποσό ενέργειας απελευθερώνεται στους σεισμούς μεγάλης έντασης. Ενδεικτικά πρέπει να 29

60 αναφέρουμε πως ένας σεισμός έντασης 8.5 απελευθερώνει όση ενέργεια όλοι οι σεισμοί που συμβαίνουν σε ένα έτος αθροιστικά. Επομένως, οι επικίνδυνοι σεισμοί είναι αυτοί που έχουν μεγάλη ένταση. Οι σεισμικές διεγέρσεις οφείλονται στα σεισμικά κύματα, τα οποία δημιουργούνται στην πηγή και μπορεί να είναι είτε φυσικά (π.χ. σεισμός), είτε τεχνητά (π.χ. έκρηξη). Τα κύματα που προκύπτουν διαδίδονται μέσω του μέσου, δηλαδή ενός μέρους της γης, και καταγράφονται στους σεισμικούς δέκτες. Αυτή η καταγραφή της κίνησης του εδάφους στον δέκτη ονομάζεται σεισμογράφημα και περιέχει πληροφορίες τόσο για την πηγή όσο και για το μέσο διάδοσης. Τα κύματα παρέχουν πληροφορίες για τη θέση και τη φύση της πηγής που τα παράγει. Αν ο χρόνος που τα κύματα ξεκινούν από την πηγή είναι γνωστός, τότε η διαφορά μεταξύ αυτού και του χρόνου που τα κύματα καταγράφονται στον δέκτη μας δίνει τον χρόνο που αυτά ταξιδεύουν εντός του μέσου διάδοσης. Έτσι, καταφέρνουμε να συγκεντρώσουμε πληροφορίες για την ταχύτητα διάδοσης του κύματος κι επομένως για τις φυσικές ιδιότητες του μέσου. Η θέση γέννησης ενός σεισμού είναι γνωστή ως εστία ή υπόκεντρο (Σχήμα 2.1), το οποίο προσδιορίζεται μέσω των διαφορών στους χρόνους αφίξεων των σεισμικών κυμάτων που καταγράφονται σε σεισμογράφους σε διαφορετικές τοποθεσίες. Η προβολή της εστίας στην επιφάνεια της Γης ονομάζεται επίκεντρο (Σχήμα 2.1) του σεισμού. Το μέγεθος των σεισμών μετριέται μέσω του εύρους (μέγιστης τιμής) της κίνησης που καταγράφεται στους σεισμογράφους, και εκφράζεται ως ένταση του σεισμού σε διάφορες κλίμακες, η γνωστότερη από τις οποίες είναι η Ricter. Όπως θα αναλύσουμε στη συνέχεια, τα σεισμικά κύματα χωρίζονται σε κύματα χώρου και κύματα επιφανείας. Τα κύματα χώρου χωρίζονται περαιτέρω σε εγκάρσια και διαμήκη, ενώ τα κύματα επιφανείας σε Rayleig και Love (Σχήμα 2.1). Σχήμα 2.1 Διάκριση των σεισμικών κυμάτων 30

61 2.2 ΘΕΩΡΙΑ ΛΙΘΟΣΦΑΙΡΙΚΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Η θεωρία των λιθοσφαιρικών πλακών προέκυψε από την προγενέστερη θεωρία της μετακίνησης των ηπείρων, που προτάθηκε στην μοντέρνα της μορφή από τον Alfred Wegener το Η ιδέα ότι οι ήπειροι ολισθαίνουν ήταν πολύ παλαιότερη, βασισμένη στη χαρακτηριστική ταύτιση των ακτών της Νότιας Αμερικής και της Αφρικής, γεγονός που φανερώνει πως κάποτε οι δύο ήπειροι ήταν ένα και στην πορεία του χρόνου χωρίστηκαν. Όμως το γεγονός πως δεν υπήρξαν χειροπιαστές αποδείξεις για την ύπαρξη τόσο ισχυρών δυνάμεων, ικανών να μετακινήσουν ολόκληρες ηπείρους σε τόσο μεγάλες αποστάσεις, έκανε τους περισσότερους γεωλόγους να απορρίψουν την θεωρία του Wegener. Τη δεκαετία του 70' τα πράγματα άλλαξαν. Οι γεωλόγοι αποδέχτηκαν την μετακίνηση των ηπείρων κατά μεγάλα τμήματα χάρις σε παλεομαγνητικές μετρήσεις, βασισμένες στη γεωμετρία και την ιστορία του μαγνητικού πεδίου της Γης, που απέδειξαν πως οι ήπειροι έχουν στην πραγματικότητα μετακινηθεί κατά μεγάλες αποστάσεις στα εκατομμύρια των ετών που υφίσταται ο πλανήτης. Ο συνδυασμός αυτών των παρατηρήσεων με αποτελέσματα από την επιστήμη της σεισμολογίας, της θαλάσσιας γεωλογίας και της γεωφυσικής οδήγησαν στο συμπέρασμα ότι όχι μόνο οι ήπειροι, αλλά όλα τα τμήματα του εξωτερικού φλοιού της Γης μετακινούνται. Η θεωρία των τεκτονικών πλακών θεωρεί τον εξωτερικό φλοιό της Γης αποτελούμενο από 15 συνολικά πλάκες, από τις οποίες 7 μεγάλες (Αφρικανική, Β. Αμερικανική, Ν. Αμερικανική, Ευρασιατική, Ινδο-Αυστραλιανή, πλάκα του Ειρηνικού, Ανταρκτική) και άλλες μικρότερες (Αραβική, Νάζκα, Φιλιππίνων κ.α.) όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.1, με πάχος περί τα 100km στις ηπειρωτικές περιοχές και 80km στις ωκεάνιες περιοχές. Η μια πλάκα μετακινείται σε σχέση με την άλλη με ταχύτητες της τάξεως των λίγων cm ετησίως. Οι πλάκες θεωρούνται άκαμπτες με τη έννοια ότι πολύ μικρές (σχεδόν μηδενικές) παραμορφώσεις συμβαίνουν στο εσωτερικό τους. Επομένως, οι κυριότερες παραμορφώσεις συμβαίνουν στα σύνορα τους, προκαλώντας τη γέννηση των σεισμών, την δημιουργία των βουνών, των ηφαιστείων καθώς κι άλλων εντυπωσιακών φαινομένων. Αυτές οι ισχυρές πλάκες αποτελούν την λιθόσφαιρα της Γης, και ολισθαίνουν πάνω στο υποκείμενο παχύρρευστο μανδυακό υλικό, που ονομάζεται ασθενόσφαιρα. Εικόνα 2.1 Οι τεκτονικές πλάκες που απαρτίζουν τη λιθόσφαιρα της Γης 31

62 Τα αίτια που προκαλούν την κίνηση των λιθοσφαιρικών πλακών αποτελούν ακόμα θέμα συζήτησης μεταξύ της επιστημονικής κοινότητας. Σύμφωνα με κάποιους οφείλονται σε ρεύματα μεταφοράς που υπάρχουν στην ασθενόσφαιρα, ενώ άλλοι υποστηρίζουν πως ευθύνεται η διαφορά πυκνότητας μεταξύ ηπειρωτικών και ωκεάνιων πλακών. Όπως είναι προφανές τα όρια των πλακών αυτών είναι περιοχές που χαρακτηρίζονται από έντονη γεωλογική δραστηριότητα, η οποία εκδηλώνεται με τη γένεση σεισμών, οροσειρών, ηφαιστείων καθώς και ωκεάνιων τάφρων. Τα όρια των πλακών διακρίνονται σε όρια απόκλισης (divergent/spreading boundaries), όρια σύγκλισης (convergent/subduction boundaries), όρια μετασχηματισμού (transform boundaries) και όρια σύγκρουσης (plate boundaries). Στα όρια απόκλισης (ή αλλιώς ωκεάνιες ράχες) έχουμε έξοδο και στερεοποίηση μάγματος, προερχόμενου από τον ανώτερο μανδύα, με ταυτόχρονη αύξηση του φλοιού (Εικόνα 2.2α). Δηλαδή στην ουσία έχουμε δημιουργία των λιθοσφαιρικών πλακών. Οι μεσωκεάνιες ράχες φτάνουν σε ύψος και τα 3km από τον ωκεάνιο πυθμένα και σε πλάτος τα 2km, ενώ διαχωρίζονται σε μικρότερα ρήγματα από έναν μεγάλο αριθμό ρηγμάτων, που ονομάζονται ρήγματα μετασχηματισμού. Η σχετική μετακίνηση των πλακών πάνω στα ρήγματα αυτά έχει ως αποτέλεσμα την απομάκρυνση τους από τις μεσωκεάνιες ράχες. Το χαρακτηριστικότερο παράδειγμα του παραπάνω μηχανισμού είναι η Μεσοατλαντική ράχη, η οποία χωρίζει στα δύο τον Ατλαντικό ωκεανό, εκτεινόμενη από τον Αρκτικό ωκεανό έως τη δυτική πλευρά της Αφρικής. Στις ράχες έχουμε μέτρια σεισμική δράση που χαρακτηρίζεται κυρίως από επιφανειακούς σεισμούς, με επίκεντρα πάνω στους άξονες των ραχών και στα ρήγματα μετασχηματισμού. Εικόνα 2.2 α) Όρια απόκλισης β) Όρια σύγκλισης γ) Όρια μετασχηματισμού Στα όρια σύγκλισης των πλακών (ή αλλιώς ωκεάνιες τάφρους) έχουμε σύγκρουση των λιθοσφαιρικών πλακών, με παράλληλη βύθιση της μιας κάτω από την άλλη. Στην περίπτωση σύγκρουσης δυο ωκεάνιων πλακών (Εικόνα 2.3) κατά την βύθιση συμβαίνει τήξη της βυθιζόμενης πλάκας, το δε υλικό της τήξης ανέρχεται με τη μορφή μάγματος και δημιουργεί ηφαίστεια και ηφαιστειακά νησιωτικά τόξα. Στην περίπτωση σύγκρουσης ωκεάνιας με ηπειρωτική πλάκα (Εικόνα 2.4) έχουμε κατάδυση της ωκεάνιας πλάκας κάτω από την ηπειρωτική με αποτέλεσμα τη δημιουργία στο ηπειρωτικό τμήμα σχεδόν ευθύγραμμης οροσειράς (ευρύτερα γνωστή ως οροσειρά τύπου Άνδεων). Τέλος, στην περίπτωση που έχουμε σύγκρουση δύο ηπειρωτικών λιθοσφαιρικών πλακών (Εικόνα 2.5) προκύπτει ορογένεσις, δημιουργία δηλαδή ιδιαίτερα υψηλών οροσειρών, όπως τα Ιμαλάια και οι Άλπεις. Οι ζώνες σύγκλισης αποτελούν ζώνες έντονης σεισμικής δραστηριότητας που δίνουν σεισμούς με συχνά μεγάλο εστιακό βάθος. 32

63 Εικόνα 2.3 Σύγκρουση δύο ωκεάνιων πλακών Εικόνα 2.4 Σύγκρουση ωκεάνιας με ηπειρωτική πλάκα Εικόνα 2.5 Σύγκρουση δύο ηπειρωτικών πλακών Τα όρια μετασχηματισμού είναι ζώνες στις οποίες δεν έχουμε ούτε παραγωγή αλλά ούτε και καταστροφή γεωλογικού υλικού, διότι οι πλάκες κινούνται μεταξύ τους σε οριζόντιες μετατοπίσεις, οι οποίες αυξάνουν τη συγκέντρωση τάσεων με αποτέλεσμα την έντονη σεισμικότητα. Ζώνες μετασχηματισμού παρατηρούνται στις μεσωκεάνιες ράχες, όπου ο νέος πυθμένας χωρίζεται σε ρήγματα μετασχηματισμού, μήκους λίγων μέτρων έως πολλών χιλιομέτρων. Τα όρια σύγκρουσης είναι μεγάλες περιοχές στις οποίες δεν είναι σαφή τόσο τα όρια όσο και τα αποτελέσματα των σχετικών μετακινήσεων των πλακών. 33

64 Παράδειγμα αποτελεί η συνάντηση της Ευρασιατικής με την Αφρικανική πλάκα, ανάμεσα στις οποίες έχουν εγκλωβιστεί μικρότερα τμήματα πλακών, με αποτέλεσμα τη δημιουργία περίπλοκων γεωλογικών και σεισμικών δομών. 2.3 ΜΟΡΦΟΛΟΓΙΑ ΡΗΓΜΑΤΩΝ Για να μπορέσουμε να κατανοήσουμε τους μηχανισμούς που είναι υπεύθυνοι για την δημιουργία των σεισμικών κυμάτων πρέπει πρώτα να ασχοληθούμε με την γεωμετρία των ρηγμάτων. Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε τη γεωμετρία ενός ρήγματος, κάνουμε την αποδοχή ότι ένα ρήγμα αποτελείται από μια επίπεδη επιφάνεια κατά μήκος της οποίας εκδηλώνεται η κίνηση κατά τη διάρκεια του σεισμού. Φυσικά αυτό αποτελεί μια εξιδανίκευση, αλλά γεωλογικές παρατηρήσεις επιφανειακών ρηγμάτων δείχνουν πως αυτή μας η παραδοχή βρίσκεται πολύ κοντά στην πραγματικότητα. Παρομοίως, θα διαπιστώσουμε πως αυτή η παραδοχή συνήθως (όχι πάντα) είναι συνεπής με τα σεισμικά δεδομένα. Έτσι, η γεωμετρία του ρήγματος περιγράφεται κάνοντας χρήση του προσανατολισμού του επιπέδου του ρήγματος καθώς και της διεύθυνσης της ολίσθησης κατά μήκος του επιπέδου. Εικόνα 2.6 Επιφανειακό ρήγμα στο Crowley Lake στην Καλιφόρνια. Όπως παρατηρούμε το έδαφος βορείως του ρήγματος έχει ανασηκωθεί έντονα σε σχέση με το έδαφος νοτίως του. Πιο συγκεκριμένα, η γένεση των επιφανειακών σεισμών αποδίδεται στη συνεχή ελαστική παραμόρφωση των πετρωμάτων, λόγω συσσώρευσης μεγάλων ποσών δυναμικής ενέργειας, η οποία ονομάζεται ενέργεια ελαστικής παραμόρφωσης. Όταν οι τάσεις αυτές υπερβούν την αντοχή του πετρώματος έχουμε θραύση και μετακίνηση των δυο τεμαχίων πάνω σε μια συγκεκριμένη επιφάνεια και κατά συγκεκριμένη διεύθυνση. Ο χώρος στον οποίο γίνεται η συγκέντρωση των τάσεων λέγεται σεισμογόνος χώρος και η επιφάνεια ολίσθησης λέγεται ρήγμα. Οι ισχυρότεροι σεισμοί προέρχονται από συσσώρευση τάσεων γύρω από παλαιά ρήγματα και όχι από τη δημιουργία νέων. Επιφανειακά ίχνη ρηγμάτων (Εικόνα 2.6) που προκάλεσαν ισχυρούς σεισμούς και δίνουν τη δυνατότητα επιτόπου μελέτης είναι εξαιρετικά χρήσιμα. Σε αυτήν την κατηγορία υπάγεται το ρήγμα του Αγίου Ανδρέα (Εικόνα 2.7) 34

65 και το ρήγμα της Ανατολίας στην Τουρκία. Στην πλειοψηφία των σεισμικών δονήσεων δεν παρατηρείται εμφάνιση επιφανειακού ίχνους και ο τρόπος για να τα μελετήσουμε βασίζεται στην καταγραφή και μελέτη των διαφόρων τύπων των σεισμικών κυμάτων, τα οποία μας οδηγούν σε συμπεράσματα σχετικά με τον ορισμό του επιπέδου του ρήγματος, την διεύθυνση και το είδος της διάρρηξης, καθώς και το μέγεθος της μετάθεσης. Εικόνα 2.7 Επιφανειακό ίχνος του ρήγματος του Αγίου Ανδρέα στην Καλιφόρνια Το μοντέλο με το οποίο περιγράφονται συχνότερα τα ρήγματα φαίνεται στο Σχήμα 2.2. Το επίπεδο του ρήγματος χαρακτηρίζεται με το διάνυσμα n. Η διεύθυνση της κίνησης δίνεται από το διάνυσμα d, που ονομάζεται διάνυσμα ολίσθησης στο επίπεδο του ρήγματος. Το διάνυσμα ολίσθησης δείχνει την διεύθυνση στην οποία η πάνω πλευρά του ρήγματος θα μετακινηθεί σε σχέση με την κάτω. Τα διανύσματα d και n είναι κάθετα μεταξύ τους. Σχήμα 2.2 Μοντέλο για την προσομοίωση της περιοχής του ρήγματος 35

66 Όσον αφορά το σύστημα συντεταγμένων, ο άξονας x 1 είναι παράλληλος στη διεύθυνση εκδήλωσης του ρήγματος, δηλαδή στη διασταύρωση του επιπέδου του ρήγματος με την επιφάνεια της Γης. Ο άξονας x 3 κατευθύνεται προς τα πάνω και ο άξονας x 2 είναι κάθετος στους δύο προηγούμενους. Η γωνία στο κεκλιμένο επίπεδο, δίνει τον προσανατολισμό του επιπέδου του ρήγματος σε σχέση με τη επιφάνεια του εδάφους. Στην ουσία είναι η γωνία της ρηξιγενούς επιφάνειας με το οριζόντιο επίπεδο και λαμβάνει τιμές από 0 έως 90. Η κατεύθυνση της κίνησης αντιπροσωπεύεται από τη γωνία ολίσθησης,, που μετράται στο επίπεδο του ρήγματος όπως φαίνεται στο σχήμα θεωρώντας ως θετική την αντίθετη φορά των δεικτών του ρολογιού. Για να μπορέσουμε να προσανατολίσουμε το σύστημα μας με βάση τις γεωγραφικές συντεταγμένες, ορίζουμε τη γωνία, η οποία είναι η γωνία που σχηματίζει ο άξονας 1 x με τον γεωγραφικό βορρά στην επιφάνεια της Γης. Η γωνία μετράται θεωρώντας θετική τη φορά των δεικτών του ρολογιού. Μια απλουστευμένη κατηγοριοποίηση των ρηγμάτων που χρησιμοποιείται ευρέως στην πράξη είναι αυτή που βασίζεται στην διεύθυνση και φορά της σχετικής κίνησης των τεμαχίων κατά τη διάρρηξη. Έτσι, τα ρήγματα χωρίζονται σε κανονικά (normal), ανάστροφα (reverse faults) και οριζόντιας μετατόπισης (strike-slip faults). Κανονικά (Εικόνα 2.8β) ονομάζονται τα ρήγματα στα οποία το πάνω τεμάχιο της κεκλιμένης ρηξιγενούς επιφάνειας κινείται προς τα κάτω, δηλαδή τα δύο τεμάχια απομακρύνονται το ένα από το άλλο. Τα ρήγματα αυτά είναι αποτέλεσμα εφελκυστικών δυνάμεων, συνδέονται επομένως με την έκταση του γεωλογικού σχηματισμού και παρατηρούνται εκεί όπου η λιθόσφαιρα διευρύνεται. Το επίπεδο της ρηξιγενούς επιφάνειας έχει συνήθως μεγάλη κλίση (πάνω από 45 ). Όμως παρότι ονομάζονται κανονικά δεν είναι τα πλέον συχνά συναντούμενα. Ανάστροφα (Εικόνα 2.8γ) ονομάζονται τα ρήγματα στα οποία συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο από τα κανονικά ρήγματα. Δηλαδή το πάνω τεμάχιο του ρήγματος κινείται προς τα πάνω, επομένως τα δύο τεμάχια πλησιάζουν το ένα το άλλο και έχουμε σμίκρυνση του γεωλογικού σχηματισμού. Τα ανάστροφα ρήγματα συνδέονται με θλιπτικές τάσεις και μείωση του φλοιού της Γης. Τα παρατηρούμε στα όρια σύγκλισης των λιθοσφαιρικών πλακών και συνδέονται με τη δημιουργία ορεινών όγκων. Αυτό το είδος ρηγμάτων διαχωρίζεται ανάλογα με την γωνία κλίσης του επιπέδου του ρήγματος. Έτσι ανάστροφα θεωρούνται όσα έχουν κλίση μεγαλύτερη των 45, ενώ αν η κλίση είναι μικρότερη των 45 ονομάζονται εφιππεύσεις (trust faults). Οριζόντιας μετατόπισης (Εικόνα 2.8α) ονομάζονται τα ρήγματα στα οποία παρατηρείται οριζόντια μετατόπιση των τεμαχίων επί της ρηξιγενούς επιφάνειας, χωρίς αύξηση ή μείωση του γεωλογικού σχηματισμού. Έχουν μηχανισμό πολύ πιο σύνθετο από τις δύο παραπάνω κατηγορίες ρηγμάτων, καθώς συνδέονται με συμπιεστικές κυρίως τάσεις και συναντώνται κυρίως στο άκαμπτο τμήμα του φλοιού της Γης. Σε αυτήν την κατηγορία ανήκουν και τα ρήγματα μετασχηματισμού, τα οποία διαφέρουν ως προς τον τρόπο γένεσης και εμφανίζονται στις μεσωκεάνιες ράχες. Διακρίνονται σε δεξιόστροφα (dextral strike-slip faults) όταν η μια πλευρά του ρήγματος φαίνεται κινούμενη από τα αριστερά προς τα δεξιά, παρατηρούμενη από την απέναντι πλευρά του ρήγματος και αριστερόστροφα (sinistral strike-slip faults) στα οποία η μια πλευρά του ρήγματος φαίνεται να κινείται από δεξιά προς τα αριστερά, όταν παρατηρείται από την απέναντι πλευρά του ρήγματος. f 36

67 Εικόνα 2.8 α) Ρήγμα οριζόντιας μετατόπισης β) Κανονικό ρήγμα γ) Ανάστροφο ρήγμα Το μήκος του ρήγματος εξαρτάται άμεσα από το μέγεθος του σεισμού και μπορεί να φτάνει και τα εκατοντάδες χιλιόμετρα. Το μέγεθος της ολίσθησης και ο χρόνος διάρρηξης είναι επίσης ανάλογα από το μέγεθος του σεισμού. Τέλος, η ταχύτητα διάρρηξης δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα διάδοσης των επιμηκών κυμάτων. Στην πραγματικότητα όμως, τα ρήγματα έχουν πεπερασμένες διαστάσεις και οι γεωμετρίες τους είναι πολύ πιο σύνθετες. Αν μεταχειριστούμε ένα ρήγμα ως ορθογωνικό όπως προτείνεται στο μοντέλο παραπάνω, τότε η διάσταση κατά μήκος της διέγερσης ονομάζεται μήκος του ρήγματος, ενώ η διάσταση στην κεκλιμένη διεύθυνση αποτελεί το πλάτος του ρήγματος. Στην πραγματικότητα το ρήγμα μπορεί να παρουσιάζει καμπύλα τμήματα κι έτσι να χρειάζεται τρισδιάστατη περιγραφή. Επιπλέον, η διάρρηξη των πετρωμάτων μπορεί να λαμβάνει χώρα για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα και να αποτελείται από αρκετά υπογεγονότα σε διαφορετικά σημεία του ρήγματος και με διαφορετικές κατευθύνσεις. Αυτά τα περίπλοκα σεισμικά φαινόμενα μπορούν να αντιμετωπιστούν ως υπέρθεση άλλων απλούστερων. Σαν αποτέλεσμα, εάν καταφέρουμε να κατανοήσουμε τα σεισμικά κύματα που δημιουργούνται από ένα απλό, δισδιάστατο, ορθογωνικό ρήγμα, μπορούμε να προσομοιώσουμε και αυτά που προκύπτουν από ένα πιο σύνθετο. 2.4 ΚΥΜΑΤΑ ΟΜΟΙΟΓΕΝΟΥΣ ΧΩΡΟΥ Γενικές Επισημάνσεις Η ενέργεια που παράγεται κατά την εκδήλωση ενός σεισμού διαδίδεται μέσω των σεισμικών κυμάτων. Μετρώντας τα χαρακτηριστικά αυτών των κυμάτων είναι δυνατή η εκτίμηση της ταυτότητας του σεισμικού γεγονότος (π.χ. θέση-μέγεθος σεισμού). Υπάρχουν διαφορετικά είδη σεισμικών κυμάτων και όλα τους κινούνται με διαφορετικό τρόπο. Όπως έχουμε αναφέρει και παραπάνω οι δυο κύριοι τύποι σεισμικών κυμάτων είναι τα κύματα χώρου και τα επιφανειακά κύματα. Τα κύματα χώρου φθάνουν σε έναν σεισμολογικό σταθμό πριν από τα επιφανειακά κύματα που εκπέμπονται από την εστία ενός σεισμού. Τα κύματα αυτά διαδίδονται προς κάθε κατεύθυνση στο εσωτερικό της Γης, τόσο στα επιφανειακά, όσο και στα βαθύτερα στρώματα αυτής. Επίσης, αυτά τα κύματα είναι υψηλότερης 37

68 συχνότητας σε σχέση με τα επιφανειακά κύματα. Υπάρχουν δύο είδη κυμάτων ομοιογενούς χώρου, τα οποία θα αναλύσουμε στις επόμενες ενότητες. Τα διαμήκη και τα εγκάρσια κύματα. Επιπρόσθετα, πρέπει να γνωρίζουμε πως οι αλλαγές στην ταχύτητα διάδοσης των σεισμικών κυμάτων οδηγούν στην εξαγωγή συμπερασμάτων για τις συνθήκες που επικρατούν στο εσωτερικό της Γης (σύσταση, πίεση, θερμοκρασία). Γενικά, ισχύει πως οι ταχύτητες των σεισμικών κυμάτων αυξάνονται με την αύξηση της πίεσης, ενώ ελαττώνονται με την αύξηση της θερμοκρασίας Διαμήκη Κύματα Τα διαμήκη κύματα σχετίζονται με την μεταβολή του όγκου ή της πυκνότητας του μέσου διάδοσης (Εικόνα 2.9). Λέγονται και κύματα P, από το λατινικό «primae» που σημαίνει πρώτα, επειδή είναι τα πρώτα που φθάνουν και καταγράφονται στους σεισμολογικούς σταθμούς. Διαδίδονται και σε στερεό και σε υγρό μέσο και δεν είναι τόσο καταστρεπτικά όσο τα εγκάρσια κύματα. Λέγονται επίσης και κύματα συμπίεσης, γιατί δημιουργούν διαδοχικές συμπιέσεις και αραιώσεις στα υλικά σημεία του μέσου διάδοσης, παράλληλες προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων P δίνεται σε συνάρτηση με τα ελαστικά μέτρα και την πυκνότητα του μέσου διάδοσης, σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο: v P 2 G(1 ) (1 2 ) (2.1) Όπου G είναι το μέτρο διάτμησης του μέσου διάδοσης, είναι η πυκνότητα του μέσου διάδοσης και είναι ο λόγος του Poisson. Εικόνα 2.9 Σχηματική αναπαράσταση των διαμήκων κυμάτων 38

69 2.4.3 Εγκάρσια Κύματα Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται μόνο με διατμητική ελαστική παραμόρφωση του μέσου διάδοσης, δηλαδή τα υλικά σημεία πολώνονται σε ορθή γωνία προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος (Εικόνα 2.10). Λέγονται αλλιώς και κύματα S από το λατινικό «secundae» που σημαίνει δεύτερα, καθώς φθάνουν μετά τα κύματα P στους σεισμικούς σταθμούς καταγραφής. Τα δευτερεύοντα αυτά κύματα S ταξιδεύουν σχεδόν δύο φορές πιο αργά από τα διαμήκη κύματα, όμως λόγω του μεγάλου πλάτους τους είναι αυτά που επιφέρουν την ισχυρή μετακίνηση του εδάφους που χαρακτηρίζει τους μεγάλους σεισμούς. Με δεδομένο ότι τα υγρά δεν επιδέχονται διατμητικές τάσεις, τα εγκάρσια κύματα δεν διαδίδονται σε υγρό μέσο. Σε ρευστοποιημένο μέσο το πλάτος τους μειώνεται σημαντικά. Μέσω αυτής της ιδιότητας των εγκαρσίων κυμάτων οι επιστήμονες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι ο πυρήνας της Γης βρίσκεται σε υγρή μορφή. Όπως και τα διαμήκη κύματα χαρακτηρίζονται ως κύματα χώρου και διαδίδονται προς κάθε κατεύθυνση, τόσο στα επιφανειακά στρώματα όσο και στον πυρήνα. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων S δίνεται σε συνάρτηση με τα ελαστικά μέτρα και την πυκνότητα του μέσου διάδοσης, σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο: v S E 2 (1 ) (2.2) Όπου G είναι το μέτρο διάτμησης του μέσου διάδοσης, είναι η πυκνότητα του μέσου διάδοσης και είναι ο λόγος του Poisson. Εικόνα 2.10 Σχηματική απεικόνιση των εγκαρσίων κυμάτων 39

70 Στον Πίνακα 2.1 που ακολουθεί παρακάτω βλέπουμε ενδεικτικές τιμές της ταχύτητας διάδοσης των διαμήκων καθώς και των εγκαρσίων κυμάτων σε διάφορα είδη εδαφών. Πίνακας 2.1 Ταχύτητα διάδοσης διαμήκων και εγκαρσίων κυμάτων σε διάφορα είδη εδαφών Είδος Εδάφους v m / s v m / s ξηρά κορεσμένα Χαλαρά εδάφη-πρόσφατες αποθέσεις <400 < Μαλακοί βράχοι-σκληρά εδάφη Βράχοι >800 >1600 >2000 S P 2.5 ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Γενικές Επισημάνσεις Τα κύματα επιφανείας περιορίζονται στην επιφάνεια της Γης, τα πλάτη τους δηλαδή είναι μεγάλα κοντά στην επιφάνεια και μειώνονται όσο αυξάνεται το βάθος. Τα επιφανειακά κύματα είναι μεγαλύτερης περιόδου (άρα μικρότερης συχνότητας) από τα κύματα χώρου, και κατά συνέπεια διακρίνονται εύκολα στο σεισμογράφημα. Αν και φθάνουν μετά από τα κύματα χώρου, τα επιφανειακά κύματα είναι κατά κύριο λόγο υπεύθυνα για τη ζημιά και την καταστροφή που συνδέονται με τους σεισμούς. Αυτή η ζημία που προκαλούν καθώς και η ισχύς τους μειώνονται σε βαθύτερους σεισμούς. Ένα τους χαρακτηριστικό είναι πως η ενέργεια τους είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης από την πηγή, ενώ η ενέργεια των κυμάτων χώρου είναι αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης από την πηγή. Έτσι, όπως είναι προφανές σε μεγάλες αποστάσεις από την πηγή τα κύματα επιφανείας είναι αυτά που διαδραματίζουν τον κυρίαρχο ρόλο, καθώς η ενέργεια τους μειώνεται με πολύ μικρότερο ρυθμό. Οι δύο κυριότερες κατηγορίες επιφανειακών κυμάτων, τις οποίες θα αναλύσουμε και στις επόμενες ενότητες, είναι τα κύματα Love και τα κύματα Rayleig. Επιφανειακά κύματα είναι επίσης και τα κύματα Stonley, τα οποία ακολουθούν επιφάνειες ασυνέχειας μέσα στη Γη και δύσκολα γίνονται διακριτά στα σεισμογραφήματα. Υπάρχουν και άλλα είδη κυμάτων που προκύπτουν από συνδυασμό των παραπάνω κυμάτων. Τέτοια είναι τα διαυλικά, που διαδίδονται μέσα σε στρώμα μικρής ταχύτητας, τα κύματα ουράς και τα στάσιμα κύματα που παράγονται από την συμβολή των Love και Rayleig Κύματα Rayleig Τα κύματα Rayleig είναι τα πιο αργά όλων των τύπων των σεισμικών κυμάτων και κατά κάποιον τρόπο τα πιο περίπλοκα. Κατά την διάδοση των κυμάτων αυτών τα υλικά σημεία του μέσου μετάδοσης καταγράφουν ελλειπτικές τροχιές των οποίων οι μεγάλοι άξονες είναι κατακόρυφοι προς την διεύθυνση διάδοσης του 40

71 κύματος, οι δε μικροί παράλληλοι προς αυτήν (Εικόνα 2.11). Το πλάτος ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το βάθος, λόγω δε της μικρότερης ταχύτητας καταγράφονται από τα οριζόντια και κατακόρυφα σεισμόμετρα πάντα τελευταία. Τα κύματα Rayleig μετακινούν το έδαφος με τον ίδιο τρόπο όπως ένα θαλάσσιο κύμα μετακινεί τα επιφανειακά νερά. Επειδή κυλά, κινεί το έδαφος πάνωκάτω, δεξιά-αριστερά στην ίδια κατεύθυνση που το κύμα κινείται. Το μεγαλύτερο μέρος του τινάγματος που γίνεται αισθητό από έναν σεισμό οφείλεται στα κύματα Rayleig, τα οποία μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερα από τους άλλους τύπους σεισμικών κυμάτων. Εικόνα 2.11 Σχηματική απεικόνιση της διάδοσης των κυμάτων Rayleig Κύματα Love Τα κύματα Love αν και είναι αρκετά πιο αργά από τα κύματα χώρου είναι τα γρηγορότερα από τα κύματα επιφανείας. Για τη δημιουργία τους είναι απαραίτητη η ύπαρξη ορισμένου πάχους πάνω σε ημίχωρο. Κατά τη διάδοσή τους τα υλικά σημεία του μέσου κινούνται με οριζόντιες ταλαντώσεις κάθετες στη διεύθυνση διάδοσης, πρόκειται δηλαδή για κύματα οριζοντίως πολωμένα (Εικόνα 2.12). Επειδή ακριβώς δεν διαθέτουν κατακόρυφη συνιστώσα, καταγράφονται μόνο από τους οριζόντιους σεισμογράφους. Τα κύματα Love δημιουργούν δηλαδή πλευρικές μετακινήσεις στην επιφάνεια του εδάφους. Περιορισμένα στην επιφάνεια της κρούστας της Γης, τα κύματα Love παράγουν εξ ολοκλήρου την οριζόντια κίνηση. Αν και ταξιδεύουν αργά από την σεισμική πηγή, είναι πολύ καταστρεπτικά. Είναι αυτά τα κύματα που είναι συχνότερα υπεύθυνα για την κατάρρευση κτιρίων κατά τη διάρκεια ενός σεισμού. 41

72 Εικόνα 2.12 Σχηματική απεικόνιση της διάδοσης των κυμάτων Love 2.6 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΕΙΣΜΩΝ ΣΤΟΝ ΕΛΛΑΔΙΚΟ ΧΩΡΟ ΚΑΤΑ HALLDORSSON & PAPAGEORGIOU Γενικές Επισημάνσεις Σε αυτήν την ενότητα θα παρουσιάσουμε το προσομοίωμα που ανέπτυξαν οι Benedikt Halldorson και Apostolos Papageorgiou στα πλαίσια του Rasor project. Αυτό το προσομοίωμα χρησιμοποιείται για την παραγωγή χρονοϊστοριών σεισμικών δονήσεων που ταιριάζουν στα γεωλογικά δεδομένα του ελλαδικού χώρου. Στις ενότητες που ακολουθούν θα παρουσιάσουμε αναλυτικά το προτεινόμενο μοντέλο καθώς και το θεωρητικό υπόβαθρο στο οποίο βασίζεται. Χρήση χρονοϊστοριών που προέκυψαν από το συγκεκριμένο προσομοίωμα θα χρησιμοποιηθούν ως αρχεία εδαφικών διεγέρσεων με βάση τα οποία θα διεγερθούν τα προσομοιώματα δεξαμενών μας στην παρούσα εργασία Το Σεισμολογικό Προσομοίωμα Η εδαφική κίνηση λόγω της σεισμικής διέγερσης συντίθεται με βάση το γενικό πλαίσιο της μεθόδου της στοχαστικής προσομοίωσης και εφαρμόζεται για σεισμικά κύματα υψηλών συχνοτήτων (>1Hz). Μια σεισμική πηγή μεγέθους M w σε μια απόσταση r αναπαρίσταται από μια ενεργή σημειακή πηγή ολίσθησης. Η εκπεμπόμενη σεισμική ενέργεια από την πηγή με την μορφή ελαστικών κυμάτων έχει γενικά φασματικά χαρακτηριστικά σε ένα συγκεκριμένο τόπο, που περιγράφονται 42

73 από το φασματικό πλάτος της εδαφικής επιτάχυνσης στο πεδίο συχνοτήτων και δίνεται από τη ακόλουθη σχέση: A( M, r, f ) cs( M, r, f ) D( f, r) P( f ) (2.3) w όπου f είναι η συχνότητα σε Hz. Το σεισμολογικό μοντέλο μέσω της παραπάνω σχέσης λαμβάνει υπ όψιν του την επίδραση της πηγής που δημιουργεί το σεισμό μέσω του παράγοντα S M,, w r f, την επίδραση της διαδρομής διάδοσης μέσω του παράγοντα D f, r και την επίδραση της τοπικής τοποθεσίας μέσω του παράγοντα P f. Με εξαίρεση το μοντέλο που προσομοιώνει την πηγή του σεισμού, όλες οι υπόλοιπες παράμετροι καθώς και οι συναρτήσεις του σεισμολογικού μοντέλου λαμβάνονται ως έχουν από προηγούμενες μελέτες σεισμικών διεγέρσεων στην Ελλάδα (Margaris and Boore 1998; Margaris and Hatzidimitriou 2002). Όσον αφορά το προσομοίωμα που χρησιμοποιείται για να περιγράψει την πηγή του σεισμού, σε αυτήν την μελέτη γίνεται χρήση του «specific barrier model», ευρύτερα γνωστό με τη συντομογραφία SBM. Το παραπάνω μοντέλο αναπτύχθηκε από τους A. Papageorgiou & Aki (1983b) με σκοπό την ποσοτική περιγραφή της ετερογενούς σεισμικής διάρρηξης και βαθμονομήθηκε σε σεισμούς διαφορετικών τεκτονικών περιοχών (Halldorsson and Papageorgiou 2005, Foster et al 2012). Σύμφωνα με το SBM (Σχήμα 2.3) το σεισμικό ρήγμα οπτικοποιείται ως ένα ορθογωνικό ρήγμα με μήκος L και πλάτος W, το οποίο αποτελείται από ένα άθροισμα από N κυκλικά υπογεγονότα (διατμητικές ρωγμές) ίσης διαμέτρου. Η διάμετρος κάθε κυκλικού «φράγματος» είναι 2 0 (συνήθως αναφέρεται ως απόσταση μεταξύ των φραγμάτων). Σε κάθε υπογεγονός συμβαίνει μια ομοιόμορφη μείωση τάσεως L (συνήθως αναφέρεται ως «τοπική μείωση τάσεως»), η οποία διαδίδεται ακτινικά προς την περίμετρο με σταθερή ταχύτητα διάρρηξης v. Η σεισμική ροπή κάθε υπογεγονότος δίνεται από τη σχέση: M o L o i (2.4) Αυτή η ροπή απελευθερώνεται όταν ενεργοποιείται η διάρρηξη στο αντίστοιχο υπογεγονός μέσω του μετώπου διάρρηξης. Αυτή η διάρρηξη γίνεται με ταχύτητα V. 43

74 Σχήμα 2.3 Σχηματική παρουσίαση του μοντέλου SBM που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση του ρήγματος, το οποίο αποτελείται από ισομεγέθη υπογεγονότα διατεταγμένα ώστε να μην επικαλύπτονται. Η διάρρηξη σε κάθε υπογεγονός ξεκινά στο κέντρο του και συνδέεται με μια τοπική μείωση τάσεως L, η οποία διαδίδεται ακτινικά προς την περίμετρο του κύκλου. Στο συγκεκριμένο μοντέλο η άγνωστη αθροιστική φασματική σεισμική επιτάχυνση της πηγής S(Mw, f) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: sin( ft ) S M f N N N f M f ( w, ) ( 1)( ) (2 ) o i ( ) (2.5) ft0 όπου T 0 είναι η διάρκεια της διάρρηξης, ενώ η άγνωστη ροπή δίνεται από την ακόλουθη σχέση: M oi M oi ( f) (2.6) 2 1 ( f / f ) όπου η συχνότητα f 2 δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 2 C s f2 (2.7) 2 όπου C s είναι μια συνάρτηση αυξανόμενη με τον λόγο / (με 1.72 C s 1.85 για 0.7 / 0.9) και β η ταχύτητα διάδοσης των διατμητικών κυμάτων στην περιοχή της πηγής Εφαρμογή του Προσομοιώματος σε Σεισμούς στον Ελλαδικό Χώρο Η φασματική σεισμική επιτάχυνση της πηγής του μοντέλου SBM, της οποίας τον τύπο δώσαμε στην προηγούμενη ενότητα έχει βαθμονομηθεί εμμέσως με ελληνικές σεισμικές δονήσεις αντιστοιχίζοντας τα φασματικά επίπεδα με αυτά που προβλέπονται από το «ω-τετράγωνο» φάσμα της πηγής και είναι διαθέσιμα στη βιβλιογραφία (Margaris and Boore 1998; Margaris and Hatzidimitriou 2002). Η μοναδική παράμετρος που χρειάστηκε για την βαθμονόμηση ήταν η τοπική μείωση τάσης, η οποία για σεισμούς στην Ελλάδα είναι περίπου L 93bars. Με βάση την παραδοχή ότι η παγκόσμια μείωση τάσης λαμβάνεται 30 G bars, που είναι αντιπροσωπευτικό για σεισμούς σε τοποθεσίες μεταξύ τεκτονικών περιοχών, οι υπόλοιπες παράμετροι του μοντέλου SBM δίνονται μέσω της συσχέτισης των παραμέτρων του μοντέλου της σεισμικής πηγής (Halldorsson and Papageorgiou 2005; Halldorsson and Papageorgiou 2012a; Halldorsson and Papageorgiou 2012b). Αφού καταστρώθηκε το σεισμολογικό προσομοίωμα για την περιγραφή των σεισμικών εδαφικών κινήσεων υψηλής συχνότητας στον ελλαδικό χώρο, η στοχαστική μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δημιουργηθούν χρονοϊστορίες σεισμικών διεγέρσεων ή μέσω της Θεωρίας Τυχαίων Ταλαντώσεων, να γίνει 44

75 πρόβλεψη της μέγιστης τιμής παραμέτρων της διέγερσης (Boore, 2003). Η προσέγγιση με χρήση της Θεωρίας Τυχαίων Ταλαντώσεων για την πρόβλεψη π.χ. της μέγιστης τιμής της εδαφικής επιτάχυνσης (PGA) είναι ιδιαίτερα αποτελεσματική και χρήσιμη καθώς συνθέτει ακολουθίες χρονοϊστοριών σεισμικών διεγέρσεων περιττών για συγκεκριμένους σκοπούς, όπως η πρόβλεψη της απόσβεσης της τιμής του PGA συναρτήσει της απόστασης. Μια περιεκτική σύγκριση μεταξύ του σεισμολογικού προσομοιώματος που προτάθηκε παραπάνω με υπάρχοντα στη βιβλιογραφία μοντέλα, τόσο στοχαστικά όσο και εμπειρικά, παρουσιάζεται στο Σχήμα 2.4 για σεισμούς με διαφορετικό μέγεθος και διαφορετικά χαρακτηριστικά του εδάφους. Τα αποτελέσματα δείχνουν αρκετά καλή ταύτιση μεταξύ του σεισμολογικού προσομοιώματος που παρουσιάστηκε σε αυτήν την μελέτη και τα υφιστάμενα στη βιβλιογραφία μοντέλα. Αυτή η ταύτιση είναι πιο έντονη στο εύρος της έντασης του σεισμού και της απόστασης από την πηγή που συγκεντρώνονται τα περισσότερα δεδομένα (Mw= και r=9-116km). Για αποστάσεις μεταξύ τοποθεσίας καταγραφής του σεισμού και πηγής πολύ μικρές (<10km) οι προβλέψεις σκιαγραφούν την ευαισθησία του προτεινόμενου σεισμολογικού μοντέλου σε παραμέτρους που ελέγχουν το ενεργό βάθος της σεισμικής πηγής. Το SBM λαμβάνει ένα μέσο βάθος 7km όντας σε συμφωνία με προγενέστερες μελέτες (Margaris et al. 2002). 45

76 Σχήμα 2.4 Διαγράμματα της μέγιστης τιμής της εδαφικής επιτάχυνσης (PGA) σε συνάρτηση με την οριζόντια απόσταση από την πηγή. Υπάρχουν τέσσερα διαγράμματα που αντιστοιχούν σε σεισμούς διαφορετικού μεγέθους και σε διαφορετικούς εδαφικούς τύπους. Το σεισμολογικό προσομοίωμα με χρήση του μοντέλου SBM συγκρίνεται με τα υπάρχοντα στη βιβλιογραφία μοντέλα των Seao3-Skarlatoudis et al. (2003), M&Ho2-Margaris & Hatzidimitriou (2002), Meao2-Margaris et al. (2002). Στο παραπάνω σχήμα, SMA σημαίνει προσέγγιση με χρήση στοχαστικού μοντέλου και GMPE σημαίνει προσέγγιση με χρήση συνάρτησης πρόβλεψης της εδαφικής κίνησης Χαρακτηριστικά των Παραγόμενων Αρχείων Εδαφικών Διεγέρσεων Με βάση το θεωρητικό υπόβαθρο που αναπτύχθηκε στις προηγούμενες ενότητες, δημιουργήθηκε κώδικας Η/Υ με σκοπό την παραγωγή αρχείων εδαφικών διεγέρσεων που αντιστοιχούν στα χαρακτηριστικά του ελλαδικού χώρου. Ο κώδικας γράφτηκε σε Fortran με χρήση του Microsoft Develop Studio Fortran Powerstation 4.0. Οι δημιουργοί του προγράμματος ανέπτυξαν ένα μεγάλο αριθμό από αρχεία με εδαφικές διεγέρσεις που ταιριάζουν στον ελληνικό χώρο. Το σύνολο των αρχείων είναι 288 και καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα παραμέτρων. Οι κυριότερες παράμετροι και το εύρος τιμών τους είναι οι ακόλουθες: Μέγεθος σεισμού Mw=[ ] Κατηγορία εδάφους [Έδαφος (βράχος) κατηγορίας B, Έδαφος κατηγορίας C, Έδαφος κατηγορίας D] Οριζόντια απόσταση μεταξύ της σεισμικής πηγής και του σημείου καταγραφής του σεισμού r=[ ] km Κυρίαρχη συχνότητα f0=[ ] Hz Με βάση τον συνδυασμό των παραπάνω παραμέτρων αναπτύχθηκαν λοιπόν 288 αρχεία, των περισσοτέρων εκ των οποίων έκανα χρήση στη συνέχεια της εργασίας μου ως input για την εδαφική διέγερση. Αυτά τα αρχεία αποτελούνται από 9 διαφορετικές στήλες που έχουν ως εξής: 1 η Στήλη: Διάνυσμα χρόνου (sec) 2 η Στήλη: Χρονοϊστορία της συνολικής (λόγω κυμάτων χώρου και κυμάτων επιφανείας) σεισμικής εδαφικής επιτάχυνσης στην εγκάρσια (transverse) συνιστώσα (cm/s 2 ) 3 η Στήλη: Χρονοϊστορία της συνολικής (λόγω κυμάτων χώρου και κυμάτων επιφανείας) σεισμικής εδαφικής επιτάχυνσης στην ακτινική (radial) συνιστώσα (cm/s 2 ) 4 η Στήλη: Χρονοϊστορία της συνολικής (λόγω κυμάτων χώρου και κυμάτων επιφανείας) σεισμικής εδαφικής επιτάχυνσης στην κατακόρυφη (vertical) συνιστώσα (cm/s 2 ) 5 η Στήλη: Χρονοϊστορία της σεισμικής εδαφικής επιτάχυνσης λόγω μόνο των κυμάτων επιφανείας στην εγκάρσια (transverse) συνιστώσα (cm/s 2 ) 6 η Στήλη: Χρονοϊστορία της σεισμικής εδαφικής επιτάχυνσης λόγω μόνο των κυμάτων επιφανείας στην ακτινική (radial) συνιστώσα (cm/s 2 ) 7 η Στήλη: Χρονοϊστορία της σεισμικής εδαφικής επιτάχυνσης λόγω μόνο των κυμάτων επιφανείας στην κατακόρυφη (vertical) συνιστώσα (cm/s 2 ) 46

77 8 η Στήλη: Χρονοϊστορία της στροφικής επιτάχυνσης λόγω των κυμάτων επιφανείας (rad/s 2 ) 9 η Στήλη: Χρονοϊστορία της συνολικής (λόγω κυμάτων χώρου και κυμάτων επιφανείας) στροφικής επιτάχυνσης (rad/s 2 ) Από τις παραπάνω 9 στήλες των αρχείων μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε πως μας δίνεται η ευκαιρία να διαχωρίσουμε την επίδραση των κυμάτων χώρου από την επίδραση των κυμάτων επιφανείας. Αυτό το πλεονέκτημα θα το εκμεταλλευτούμε στην συνέχεια της εργασίας μας, καθώς θα μας φανεί χρήσιμο για την εξαγωγή ορισμένων συμπερασμάτων. 47

78 3. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΣ 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε αυτό το κεφάλαιο θα γίνει εκτενής παρουσίαση της διαδικασίας που ακολουθήθηκε για την ανάπτυξη των εξισώσεων που περιγράφουν το μηχανικό σύστημα στο οποίο εξιδανικεύεται η δεξαμενή. Θα παρουσιαστούν επίσης τα διαγράμματα ορισμένων συντελεστών που χρησιμοποιούνται στις εξισώσεις αυτές. Αυτά τα διαγράμματα θα επαληθευτούν με αντίστοιχα που ανέπτυξα με χρήση του προγράμματος Matlab για τα πλαίσια της εργασίας. Θα ελέγξουμε έτσι το κατά πόσο οι συντελεστές αυτοί έχουν αναπτυχθεί σωστά στον κώδικα που δημιούργησα και κατά πόσο τα διαγράμματα αυτά συμφωνούν με την υπάρχουσα βιβλιογραφία. Παρόμοια, θα αναπτυχθούν και οι αντίστοιχοι πίνακες με τιμές συντελεστών και θα συγκριθούν κι αυτοί με τους ήδη υπάρχοντες στην βιβλιογραφία. Όσον αφορά την ανάπτυξη των εξισώσεων αυτή θα γίνει αναλυτικά και θα παρουσιαστεί βήμα προς βήμα. Επιπρόσθετα, θα εξηγηθούν όλες οι ιδιαιτερότητες του προβλήματος που καλούμαστε να επιλύσουμε καθώς και οι τυχόν διαφοροποιήσεις της εργασίας μας από άλλες προηγούμενες. Τέλος, θα αναφερθούμε στην ανάπτυξη του αντίστοιχου κώδικα που έγινε με χρήση του Matlab και βασίζεται στις μαθηματικές εξισώσεις περιγραφής του συστήματος έδαφος-δεξαμενή-υγρό. Όπως γνωρίζουμε καλά οι δεξαμενές αποθήκευσης υγρών αποτελούν βασικό συστατικό των σύγχρονων βιομηχανικών δραστηριοτήτων. Τις τελευταίες δεκαετίες έχει αυξηθεί η κατασκευή τους κι έχουν αυξηθεί κατά πολύ και οι διαστάσεις τους, φτάνοντας σε πολλές περιπτώσεις και ακτίνες ίσες με 50m. Αυτό το γεγονός καθιστά ακόμα πιο απαραίτητη την αντισεισμική μελέτη και θωράκιση τέτοιων κατασκευών. Λόγω της υπάρξεως του περιεχόμενου υγρού στην δεξαμενή αναπτύσσονται έντονα υδροδυναμικά φαινόμενα, τα οποία μπορούν να εκφραστούν ως το άθροισμα των ακόλουθων δύο συνιστωσών (Jacobsen, 1949; Housner, 1957): Της συναγωγικής συνιστώσας (convective component), η οποία συνδέεται με τον κυματισμό του υγρού. Της ωστικής συνιστώσας (impulsive component), η οποία αντιπροσωπεύει την επίδραση του μέρους του υγρού που θεωρούμε πως κινείται σε αρμονία (ενιαία) με το τοίχωμα της δεξαμενής. Οι δύο κυριότερες μέθοδοι ανάλυσης που έχουν αναπτυχθεί είναι αυτή των Veletsou-Yang και αυτή των Haroun-Housner. Και οι δύο παραπάνω διαδικασίες δέχονται πως η συναγωγική συνιστώσα δεν επηρεάζεται από την ελαστικότητα του τοιχώματος της δεξαμενής, κι αυτό γιατί χαρακτηρίζεται από ταλαντώσεις πολύ μεγαλύτερων περιόδων σε σχέση με τις ταλαντώσεις της ωστικής συνιστώσας. Επομένως, ο υπολογισμός της επίδρασης των φαινομένων της συναγωγικής συνιστώσας γίνεται θεωρώντας την δεξαμενή άκαμπτη. Οι δύο παραπάνω μέθοδοι ανάλυσης διαφέρουν στον τρόπο που υπολογίζουν την επίδραση της ωστικής συνιστώσας. Οι δυνάμεις που αναπτύσσονται λόγω της επίδρασης της ωστικής συνιστώσας είναι ανάλογες της επιτάχυνσης του τοιχώματος της δεξαμενής, ενώ οι δυνάμεις που αναπτύσσονται λόγω της επίδρασης της συναγωγικής συνιστώσας συνδέονται όπως είπαμε και παραπάνω με τις συχνότητες 48

79 κυματισμού του υγρού και λίγο πολύ είναι ανεξάρτητες από την ελαστικότητα της δεξαμενής. Στις ψηλές δεξαμενές με μεγάλο λόγο ύψους προς ακτίνα δεξαμενής η συνιστώσα που κυριαρχεί δίνοντας μεγαλύτερες τιμές είναι η ωστική. Αντίθετα, στις φαρδιές δεξαμενές με μικρό λόγο ύψους προς ακτίνα η συναγωγική συνιστώσα λαμβάνει αρκετά μεγαλύτερες τιμές προσεγγίζοντας την ωστική. Οι πιέσεις που εισάγονται από την ωστική συνιστώσα είναι μέγιστες κοντά στη βάση της δεξαμενής και συνδέονται με ταλαντώσεις μεγάλων συχνοτήτων (μικρών περιόδων), ενώ οι πιέσεις της συναγωγικής συνιστώσας είναι μέγιστες στην επιφάνεια του υγρού και συνδέονται με ταλαντώσεις χαμηλών συχνοτήτων (υψηλών περιόδων). Τα μεγέθη της απόκρισης με τα οποία θα ασχοληθούμε στα επόμενα κεφάλαια της παρούσας εργασίας είναι οι υδροδυναμικές πιέσεις που αναπτύσσονται στα τοιχώματα και τη βάση της δεξαμενής, η τέμνουσα βάσης, η ροπή ανατροπής καθώς το ύψος κυματισμού του υγρού στην ελεύθερη επιφάνεια της δεξαμενής. 3.2 ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΥΠΟ ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Το σύστημα που θεωρήθηκε φαίνεται στο Σχήμα 3.1 και είναι μια επίγεια κυλινδρική δεξαμενή με κυκλική διατομή με ακτίνα. Η δεξαμενή περιέχει υγρό το οποίο φθάνει σε ύψος H και υποστηρίζεται σε άκαμπτο κυκλικό θεμέλιο με ακτίνα R στην επιφάνεια ενός ομογενούς ελαστικού ημίχωρου. Το τοίχωμα της δεξαμενής θεωρείται ομοιόμορφου πάχους και πακτωμένο στη βάση της δεξαμενής. Η πυκνότητα του υλικού κατασκευής της δεξαμενής είναι, του περιεχόμενου στη δεξαμενή υγρού είναι και η πυκνότητα του εδάφους είναι s. Το μέτρο ελαστικότητας του υλικού της δεξαμενής είναι E και ο λόγος του Poisson είναι. Το μέτρο διάτμησης του μέσου υποστήριξης της δεξαμενής είναι G και ο λόγος Poisson του είναι s. Το σύστημα συντεταγμένων είναι το κυλινδρικό με μεταβλητές r,θ, z και το κέντρο του βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο της βάσης της δεξαμενής. s Σχήμα 3.1 Σύστημα δεξαμενής-υγρού-εδάφους που θεωρήθηκε 49

80 Η σεισμική διέγερση αποτελείται από δύο διακριτές μεταξύ τους κινήσεις. Η μια είναι η οριζόντια εδαφική διέγερση, η οποία διεγείρει το σύστημα με επιτάχυνση που συμβολίζεται με x t και η δεύτερη είναι η στροφική εδαφική διέγερση, η g οποία διεγείρει το σύστημα με στροφική επιτάχυνση g t. Αυτή η στροφική εδαφική διέγερση αποτελεί καινοτομία της παρούσας εργασίας, καθώς αντίστοιχες δημοσιεύσεις του παρελθόντος δεν λάμβαναν υπ όψιν τους στροφική εδαφική διέγερση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελούν παλαιότερες εργασίες του Veletsou, στις οποίες λαμβάνεται μόνο οριζόντια εδαφική διέγερση. Λόγω της ελαστικότητας του μέσου υποστήριξης, η οριζόντια μετακίνηση του θεμελίου, xt, είναι γενικά διαφορετική από την εδαφική μετακίνηση λόγω της διέγερσης xg t. Το ίδιο ισχύει και για την στροφική μετακίνηση του θεμελίου, t, η οποία γενικά διαφέρει από την στροφική μετακίνηση της διέγερσης t Η στροφική μετακίνηση του θεμελίου. t αναμένουμε να είναι προεξέχουσα για ψηλές δεξαμενές με μεγάλο λόγο ύψους προς ακτίνα και για ελαστικά εδάφη. g 3.3 ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΕ ΑΚΑΜΠΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ Εξισώσεις Περιγραφής της Κίνησης του Υγρού Αρχικά, θα προχωρήσουμε σε κάποιες θεμελιώδεις παραδοχές με βάση τις οποίες θα πορευτούμε στη συνέχεια. Το υγρό πλήρωσης της δεξαμενής θεωρείται ομοιογενές, ασυμπίεστο και με μηδενικό ιξώδες. Επιπλέον, το πεδίο ροής λαμβάνεται ως αστρόβιλο και δεχόμαστε πως δεν υπάρχουν σε κανένα του σημείο πηγές ή καταβόθρες. Τέλος, θεωρούμε πως συμβαίνουν μόνο μικρού πλάτους ταλαντώσεις στην περιοχή του υγρού. Αφού όπως υποθέσαμε παραπάνω η ροή είναι αστρόβιλη και το υγρό r,, z, t ικανοποιεί την εξίσωση του ασυμπίεστο, το δυναμικό της ταχύτητας Laplace δηλαδή ισχύει: 2 0 (3.1) Στην περιοχή που καταλαμβάνει το υγρό, δηλαδή ισχύουν οι συνθήκες 0 r R, 0 2, 0 z H, έχουμε: ( ) (3.2) r r r r z r r r r z r Είναι βολικό να θεωρήσουμε την θετική κατεύθυνση της ροής στην κατεύθυνση στην οποία η διανυσματική ποσότητα (π.χ. το δυναμικό της ταχύτητας) μειώνεται (Daily & Halerman, 1966). Δηλαδή: q ( r,, z, t) (3.3) Οι συνιστώσες της ταχύτητας στην ακτινική, εφαπτομενική και κατακόρυφη διεύθυνση δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: 50

81 1 qr q qz r r z (3.4) Η υδροδυναμική πίεση σε ένα τυχαίο σημείο του όγκου του υγρού δίνεται από την ακόλουθη έκφραση: p (,,, ) (3.5) D r z t t Στην περιοχή του υγρού όμως ισχύουν και κάποιες συνοριακές συνθήκες, οι οποίες προκύπτουν από την διαπίστωση ότι οι ταχύτητες του υγρού και της δεξαμενής στα κοινά τους σύνορα θα πρέπει να έχουν την ίδια τιμή. Επομένως: Στον άκαμπτο πάτο της δεξαμενής (όπου z 0), η ταχύτητα του υγρού στην κατακόρυφη διεύθυνση είναι ίση με την κάθετη συνιστώσα της ταχύτητας του πάτου της δεξαμενής που είναι μηδέν. Δηλαδή: z z0 0 (3.6) Η ακτινική ταχύτητα του υγρού που γειτνιάζει με το άκαμπτο τοίχωμα της δεξαμενής (όπου r ), πρέπει να είναι ίση με την αντίστοιχη (ακτινική) συνιστώσα της εδαφικής κίνησης. Δηλαδή: ug ( t) cos (3.7) r r Όπου η διεύθυνση 0 ταυτίζεται με την θετική διεύθυνση του άξονα x. Η μετακίνηση του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής, μετρημένη από την r,, t. Επομένως στην ελεύθερη επιφάνεια σε ηρεμία συμβολίζεται με ελεύθερη επιφάνεια του υγρού ισχύει η σχέση: z H ( r,, t) (3.8) Στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού μπορούν να εφαρμοστούν οι ακόλουθες δύο συνοριακές συνθήκες: 1. Κινηματική συνθήκη: Δηλώνει πως το μέρος του υγρού που βρίσκεται στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού μια στιγμή θα συνεχίσει να βρίσκεται για πάντα σε αυτήν τη θέση. 2. Δυναμική συνθήκη: Δηλώνει πως η πίεση στην ελεύθερη επιφάνεια είναι μηδέν. Αυτή η συνθήκη εφαρμόζεται μέσω της εξίσωσης του Bernoulli για ασταθή, αστρόβιλη ροή, η οποία είναι: 51

82 p 1 ( ) ( ) g ( z H ) 0 (3.9) t 2 όπου p είναι η πίεση του υγρού, είναι η πυκνότητα του υγρού και g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας. Θεωρώντας τώρα κύματα μικρού πλάτους, οι συνθήκες στην ελεύθερη επιφάνεια γίνονται: Κινηματική συνθήκη: ( r,, z, t ( r,, t) z t zh (3.10) Δυναμική συνθήκη: ( r,, z, t) g( r,, t) 0 (3.11) t zh Στις παραπάνω εκφράσεις, τα φαινόμενα δευτέρας τάξεως θεωρούνται αμελητέα και παραλείπονται (ο μη γραμμικός όρος ( ) ( ) δεν λαμβάνεται υπ όψιν όντας δευτέρας τάξεως). Οπότε συνδυάζοντας τώρα τις δύο παραπάνω εξισώσεις λαμβάνουμε: ( r,, z, t) ( r,, z, t) 2 2 g t z zh zh 0 (3.12) 2 Η λύση της διαφορικής εξισώσεως 0 είναι συνήθως βολικό να εκφράζεται σαν το άθροισμα της ωστικής (συμβολίζεται με i από το impulsive) και της συναγωγικής (συμβολίζεται με c από το convective) συνιστώσας ως εξής: i c (3.13) Επομένως η κάθε μια από τις δύο παραπάνω συνιστώσες ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace. Έτσι λαμβάνουμε: 0 & 0 (3.14) 2 2 i c Η μερική λύση, i, η οποία αναπαριστά τα φαινόμενα λόγω της ωστικής συνιστώσας, πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνοριακές συνθήκες: i z z0 0 i ug ( t) cos (3.15) r r i t zh 0 52

83 Η μερική λύση, c, η οποία αναπαριστά τα φαινόμενα λόγω της συναγωγικής συνιστώσας, πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες συνοριακές συνθήκες: c z c r z0 r 0 0 (3.16) 2 c c i g g 2 t z z H zh z zh Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Ωστικής Συνιστώσας Ο πρώτος που ασχολήθηκε με το πρόβλημα των ωστικών δυνάμεων που δρουν επί άκαμπτης δεξαμενής είναι ο Jacobsen (1949). Στη συνέχεια το πρόβλημα μελετήθηκε από τον Bauer (1964), ο οποίος παρουσίασε την ακριβή λύση για το σύνολο των υδροδυναμικών φαινομένων που δρουν σε μια δεξαμενή. Όπως αναφέραμε και στην προηγούμενη ενότητα, η μερική λύση i ( r,, z, t), η οποία εκφράζει το δυναμικό της ταχύτητας λόγω ωστικής συνιστώσας, ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace, εκφρασμένη σε κυλινδρικές συντεταγμένες: 1 1 r r r r z i i i i i (3.17) Επιπλέον, ισχύουν και οι ακόλουθες συνοριακές συνθήκες τις οποίες αναπτύξαμε στην προηγούμενη ενότητα: i z z0 0 i ug ( t) cos (3.18) r r i t zh 0 Επομένως για την επίλυση της παραπάνω διαφορικής εξισώσεως που συνοδεύεται από τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες θα κάνουμε χρήση της γνωστής μεθόδου του χωρισμού των μεταβλητών: i ( r,, z, t) R( r) ( ) Z( z) T( t) (3.19) Διαιρώντας με R( r) ( ) Z( z) T ( t) την εξίσωση (3.17) λαμβάνουμε: 53

84 R 1 R 1 Z 0 (3.20) 2 R r R r Z Αντικαθιστώντας τώρα τη σχέση (3.19) στις συνοριακές συνθήκες που δίνονται από τη σχέση (3.18) λαμβάνουμε: RZ T 0 Z 0 z0 z0 R ZT u ( t) cos (3.21) ra g RZ T 0 Z 0 zh Από τη δεύτερη από τις παραπάνω τρεις συνοριακές συνθήκες της σχέσης (3.21) λαμβάνουμε: ( ) cos zh T( t) u ( t) (3.22) Τελικά λύνοντας την εξίσωση (3.20) με παράλληλη χρήση και των σχέσεων (3.21) και (3.22) λαμβάνουμε: g r n1 I1 (2n1) ( ) 8( 1) 2 H z i( r,, t, z) ug( t) H cos cos (2n 1) (3.23) 2 n1 (2n 1) 2 H I 1 (2n 1) ( ) 2 H όπου I 1 είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και πρώτης τάξεως και I 1 είναι η παράγωγος της τροποποιημένης συνάρτησης Bessel πρώτου είδους και πρώτης τάξεως Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Συναγωγικής Συνιστώσας Η μερική λύση ( r c,, z, t ), η οποία εκφράζει το δυναμικό της ταχύτητας λόγω συναγωγικής συνιστώσας, ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace, εκφρασμένη σε κυλινδρικές συντεταγμένες: 1 1 r r r r z c c c c c (3.24) Επιπλέον, ισχύουν και οι ακόλουθες συνοριακές συνθήκες τις οποίες αναπτύξαμε στην προηγούμενη ενότητα (3.3.1): 54

85 c z c r z0 r 0 0 (3.25) 2 c c i g g 2 t z z H zh z Επομένως για την επίλυση της παραπάνω διαφορικής εξισώσεως που συνοδεύεται από τις παραπάνω συνοριακές συνθήκες θα κάνουμε χρήση της γνωστής μεθόδου του χωρισμού των μεταβλητών: zh i t ( r c,, z, ) R ( r ) ( ) Z ( z ) e (3.26) Διαιρώντας με R( r) ( ) Z( z) e it την εξίσωση (3.24) λαμβάνουμε: R 1 R 1 Z 0 (3.27) 2 R r R r Z Αντικαθιστώντας τώρα τη σχέση (3.26) στις συνοριακές συνθήκες που δίνονται από τη σχέση (3.25) λαμβάνουμε: Z R z0 ra 0 0 r I (2n1) 2 H (3.28) (2 1) 2 H 1 2 g 4 RZ zh grz zh cos i n1 (2n1) I 1 n Τελικά λύνοντας την εξίσωση (3.27) με παράλληλη χρήση και της σχέσης (3.28) λαμβάνουμε: r z J1( ) cos( ) 2 n n g it n H c( r,, z, ) e cos tan( ) (3.29) n i n 1 n n 1 J1( n ) H cos( n ) όπου J 1 είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και πρώτης τάξεως και n είναι οι ρίζες της εξισώσεως J ( ) 0 1. Οι πρώτες λύσεις της προηγούμενης εξισώσεως είναι οι ακόλουθες: (3.30)

86 Επιπλέον, στη σχέση (3.29) n είναι η ιδιοσυχνότητα ταλάντωσης του υγρού κατά τον κυματισμό και δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 2 n ng H tan n (3.31) Για μια άκαμπτη δεξαμενή που διεγείρεται από αρμονική εδαφική επιτάχυνση i t της μορφής u () t u e στη σχέση (3.29) λαμβάνουμε: g go r z J1( ) cos( ) n n it c( r,, z, ) ( ugoe ) H( )cos (3.32) 2 2 i H n 1 n 1 J1( n) H 1 cos( n ) n 3.4 ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΕ ΑΚΑΜΠΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΥΠΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΔΙΕΓΕΡΣΗ Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Ωστικής Συνιστώσας Στην προηγούμενη ενότητα αναπτύξαμε τη σχέση (3.23) για τον υπολογισμό του δυναμικού της ταχύτητας λόγω της επίδρασης της ωστικής συνιστώσας σε δεξαμενή της οποίας το τοίχωμα θεωρείται άκαμπτο. Ο δείκτης στο δυναμικό της ταχύτητας δηλώνει πως οφείλεται σε οριζόντια διέγερση μόνο, γιατί όπως θα δούμε στη συνέχεια θα χρειαστεί να υπολογίσουμε το δυναμικό της ταχύτητας και για στροφική διέγερση. Για να υπολογίσουμε τώρα την υδροδυναμική πίεση p (,,, ), r z t που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής λόγω της ωστικής Di συνιστώσας και εξαιτίας οριζόντιας διέγερσης έχουμε: i pdi, ( r,, z, t) t r n1 I1 (2n1) ( ) 8( 1) 2 H z pd, i ( r,, z, t) ug ( t) H cos cos (2n 1) 2 n1 (2n 1) 2 H I 1 (2n 1) ( ) 2 H p r z t C r z H u t i, p D, i(,,, ) o, cos g ( ) (3.33) p, Στην παραπάνω σχέση κάναμε χρήση του συντελεστή C, όπως εύκολα προκύπτει δίνεται από την ακόλουθη σχέση: o r z, ο οποίος 56

87 r n1 I1 (2n1) ( ) p, 8( 1) 2 H z Co r, z cos (2n 1) (3.34) 2 n1 (2n 1) 2 H I 1 (2n 1) ( ) 2 H Αφού υπολογίσαμε την υδροδυναμική πίεση που αναπτύσσεται λόγω οριζόντιας διέγερσης, επόμενο μας βήμα είναι ο υπολογισμός της αντίστοιχης υδροδυναμικής οριζόντιας δύναμης που μπορεί να προκύψει μέσω ολοκλήρωσης της πίεσης της σχέσης (3.33) στον όγκο του υγρού. Έτσι έχουμε: H 2 b, i D, i ra 0 0 Q ( t) p ( r,, z, t) cos ddz I1 (2n 1) H 16 2 H Qb, i ( t) ug ( t) m 3 n1 (2n 1) I 1 (2n1) 2 H Q ( t) u ( t) m (3.35) b, i g o Στην παραπάνω σχέση κάναμε χρήση του συντελεστή m o, ο οποίος καλείται ωστική μάζα (impulsive mass) και θα μας φανεί αρκετά χρήσιμος και στη συνέχεια. Άρα με βάση την παραπάνω σχέση έχουμε: m o I1 (2n 1) H 16 2 H m (3.36) 3 n1 (2n 1) I 1 (2n1) 2 H 2 Στην παραπάνω σχέση m ( H) είναι η συνολική μάζα του υγρού που περιέχεται στην δεξαμενή. Η ροπή ανατροπής που δημιουργείται λόγω της υδροδυναμικής πίεσης στο τοίχωμα της δεξαμενής δίνεται από την ακόλουθη σχέση: H 2 b, i D, i ra 0 0 M ( t) p ( r,, z, t) cos z ddz I1 (2n 1) ( 1) n 1 H H M b, i ( t) ug ( t) m H 1 3 n1 (2n 1) (2 n 1) (3.37) I 1 (2n1) 2 H Αντίστοιχα η ροπή ανατροπής που δημιουργείται λόγω της υδροδυναμικής πίεσης στον πάτο της δεξαμενής δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 57

88 2 2 M b, i ( t) pd, i ( r,, z, t) z0 cos r drd 0 0 I 1 2 (2n1) 16( 1) n 2 H M b, i ( t) ug ( t) m H (3.38) 3 n1 (2n 1) I 1 (2n1) 2 H Αφού υπολογίσαμε τις εκφράσεις που δίνουν την τέμνουσα βάσης και τις δύο παραπάνω ροπές ανατροπής για οριζόντια διέγερση και μόνο λόγω της επίδρασης της ωστικής συνιστώσας, τώρα μπορούμε να ορίσουμε τα αντίστοιχα ενεργά ύψη, o, και ol,, στα οποία θεωρούμε πως εφαρμόζεται η ωστική μάζα m o που ορίσαμε παραπάνω. Τα ενεργά ύψη λοιπόν δίνονται από τις σχέσεις: M ( t) M ( t) Δ (3.39) Q ( t) Q ( t) b, i b, i o, o, b, i b, i o, Με βάση τα παραπάνω μπορούμε να ορίσουμε και το συνολικό ενεργό ύψος που προκύπτει ως άθροισμα των δύο παραπάνω ενεργών υψών και συνυπολογίζει τόσο τη ροπή που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής όσο και αυτή που ασκείται στον πάτο της. M ( t) M ( t) b, i, o, Q b, i () t b i (3.40) Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (3.35) και (3.37) στην πρώτη έκφραση της εξίσωσης (3.39) και εκτελώντας τις αναγκαίες πράξεις λαμβάνουμε: I1 (2n 1) ( 1) n 1 H 1 3 n 1 (2n 1) (2 n 1) I 1 (2n1) o, 2 H (3.41) H I1 (2n 1) 16 2 H 3 n1 (2n 1) I 1 (2n1) 2 H Αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (3.35) και (3.38) στην δεύτερη έκφραση της εξίσωσης (3.39) και εκτελώντας τις αναγκαίες πράξεις λαμβάνουμε: 58

89 (2n1) 2 H 2 16( 1) n1 3 n1 (2n 1) I 1 n o, H I (2 1) 2 (3.42) H H I1 (2n 1) 16 2 H 3 n1 (2n 1) I 1 (2n1) 2 H Επομένως αθροίζοντας τις δύο παραπάνω εξισώσεις (3.41) και (3.42) λαμβάνουμε την έκφραση για το συνολικό ενεργό ύψος: I1 (2n 1) I (2n 1) 16 n n 2 H 2( 1) 16( 1) 2 H n 1(2n 1) (2 n 1) H n1(2 1) I1 (2n 1) n I1 (2n 1) o, 2 H 2 H H I 1 16 (2n 1) 2 H 3 n1 (2n 1) I 1 (2n1) 2 H (3.43) Η κατακόρυφη ταχύτητα με την οποία κινούνται τα μόρια του νερού που βρίσκονται στην επιφάνεια του υγρού, δηλαδή για z H, δίνεται από τη σχέση: q ( r,, z,) t i, z zh i z r I1 (2n 1) 4 2 H qi, z ( r,, z, t) zh ug ( t) cos (3.44) n1 (2n 1) I 1 (2n1) 2 H zh Επομένως η ζητούμενη κατακόρυφη μετακίνηση i ( r,, t) του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής προκύπτει με ολοκλήρωση της ταχύτητας της σχέσεως (3.44): ( r,, t) q ( r,, z, t) dt i i, z zh r I1 (2n 1) 4 2 H i ( r,, t) ug( t) cos (3.45) n1 (2n 1) I 1 (2n1) 2 H Τέλος, για μια αρμονική εδαφική διέγερση της μορφής που μας δίνει το δυναμικό της ταχύτητας λαμβάνει τη μορφή: i t ugoe, η σχέση (3.23) 59

90 r n1 I1 (2n1) ( ) u go it 8( 1) 2 H z i ( r,, z, ) e H cos cos (2n 1) (3.46) 2 i n1 (2n 1) 2 H I 1 (2n 1) ( ) 2 H Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω Αρμονικής Απόκρισης της Συναγωγικής Συνιστώσας Στην προηγούμενη ενότητα αναπτύξαμε τη σχέση (3.32) για τον υπολογισμό του δυναμικού της ταχύτητας λόγω της επίδρασης της συναγωγικής συνιστώσας σε δεξαμενή της οποίας το τοίχωμα θεωρείται άκαμπτο. Ο δείκτης στο δυναμικό της ταχύτητας δηλώνει πως οφείλεται σε οριζόντια διέγερση μόνο, γιατί όπως θα δούμε στη συνέχεια θα χρειαστεί να υπολογίσουμε το δυναμικό της ταχύτητας και για στροφική διέγερση. Επιπλέον, σε αυτήν την ενότητα θα ασχοληθούμε με την απόκριση λόγω αρμονικής διέγερσης. Αυτό ακριβώς δηλώνει και η παύλα που υπάρχει στον συμβολισμό των μεγεθών που θα υπολογίσουμε στη συνέχεια. Για να υπολογίσουμε τώρα την υδροδυναμική πίεση p c ( r,, z, ) που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής λόγω της ωστικής συνιστώσας και εξαιτίας οριζόντιας διέγερσης έχουμε: c c pc ( r,, z, t) t r z J1( ) cos( ) 1 2 n n it pc ( r,, z, ) ( ugoe ) H ( )cos (3.47) 2 2 H n 1 n 1 J1( n) H 1 cos( n ) n Αφού υπολογίσαμε την υδροδυναμική πίεση που αναπτύσσεται λόγω οριζόντιας διέγερσης, επόμενο μας βήμα είναι ο υπολογισμός της αντίστοιχης υδροδυναμικής οριζόντιας δύναμης που μπορεί να προκύψει μέσω ολοκλήρωσης της πίεσης της σχέσης (3.47) στον όγκο του υγρού. Έτσι έχουμε: H 2 b, c c ra 0 0 Q ( ) p ( r,, z, ) cos d dz it 1 2 H Qb, c ( ) ( ugoe ) m ( ) tan(λ ) (3.48) 2 2 n H n1 n( n 1) 1 n Η ροπή ανατροπής που δημιουργείται λόγω της υδροδυναμικής πίεσης στο τοίχωμα της δεξαμενής δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 60

91 H 2 b, c c ra 0 0 M ( ) p ( r,, z, ) cos z ddz it 1 2 H n H M b, c( ) ( ugoe ) m H tan(λ ) 1 tan 2 2 n (3.49) n1 n ( n 1) H nh 2 1 n Αντίστοιχα η ροπή ανατροπής που δημιουργείται λόγω της υδροδυναμικής πίεσης στον πάτο της δεξαμενής δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 2 2 M b, c( ) pc( r,, z, ) z0 cos r drd it J2 n b, c go 2 2 n1 n n 1 H J1 n 1 2 ( ) 1 M ( ) ( u e ) m H (3.50) ( ) H 1 cos( n ) n Στην παραπάνω σχέση J 2 είναι η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και δευτέρας τάξεως. Η κατακόρυφη ταχύτητα με την οποία κινούνται τα μόρια του νερού που βρίσκονται στην επιφάνεια του υγρού, δηλαδή για z H, δίνεται από τη σχέση: c qc, z ( r,, z, ) zh z zh r u J1( ) 1 2 n go it n H qc, z ( r,, z, ) z H ( e ) cos tan (3.51) 2 2 n i n1 n 1 J1( n) 1 n Επομένως η ζητούμενη κατακόρυφη μετακίνηση c ( r,, ) του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής προκύπτει με ολοκλήρωση της ταχύτητας της σχέσεως (3.51): ( r,, ) q ( r,, z, ) dt c c, z zh r u J1( ) 1 2 n go it n H c( r,, ) ( e ) cos tan (3.52) n n1 n 1 J1( n) 1 n Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω Παροδικής Απόκρισης της Συναγωγικής Συνιστώσας Στην προηγούμενη ενότητα αναπτύξαμε τις αρμονικές αποκρίσεις των μεγεθών της απόκρισης του συστήματος που μας ενδιαφέρουν και θα μας 61

92 απασχολήσουν και στη συνέχεια. Όμως, μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε πως H όλες οι παραπάνω εκφράσεις είναι σύνθετες αποκρίσεις συχνότητας,, i t πολλαπλασιασμένες με e. Άρα με εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier, μπορούμε να λάβουμε την μοναδιαία ωστική απόκριση, t, του αντίστοιχου μεγέθους απόκρισης που μας ενδιαφέρει (π.χ. τέμνουσα βάσης, ροπή ανατροπής κ.α.). Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας συνέλιξη μεταξύ της μοναδιαίας ωστικής απόκρισης t u t λαμβάνουμε την και μιας τυχαίας διέγερσης g αντίστοιχη παροδική απόκριση. Για να καταστούν κατανοητά τα παραπάνω, θα εφαρμόσουμε την όλη διαδικασία σαν παράδειγμα στην υδροδυναμική πίεση, p (,,, ) D r z t. Έτσι έχουμε: it Tan,,, u t e Rigid k p r z H e g D p 1 1 it it e d t Rigid Tan k pt H pe d 2 2 Tan,,, u t u t d Rigid k p r z t u t d g g D g p Η απόκριση της συχνότητας της υδροδυναμικής πίεσης p ( r,, z, ) που χρησιμοποιείται παραπάνω, με χρήση της σχέσεως (3.47) και θέτοντας u 1 μπορεί να γραφεί με τον ακόλουθο τρόπο: it e pd r,, z, f r,, z (3.53) 2 n1 1 n Επομένως, με βάση τα παραπάνω έχουμε: it 1 e p t f r,, z d 2 2 n1 1 n 2 n pt f r,, z sin nt (3.54) n1 Άρα αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στην ισοδυναμία που αναπτύξαμε στην αρχή της ενότητας λαμβάνουμε για την υδροδυναμική πίεση: t,,, p r z t u t d D 0 g p 1 p r,, z, t f r,, z u sin t d (3.55) t 2 D n 0 g n n1 n D,,,,, p r z t f r z A t n1 n n, D go it 62

93 Αν θεωρήσουμε μη μηδενική την απόσβεση στις ιδιομορφές ταλάντωσης του υγρού της συναγωγικής συνιστώσας, τότε η επιτάχυνση A t μιας τυχαίας ιδιομορφής, έστω n, της συναγωγικής συνιστώσας δίνεται από την ακόλουθη σχέση: t nn( t ) 2 e 2 n, n g Dn Dn n n 0 Dn A t u sin t d, 1 (3.56) Στην παραπάνω σχέση n είναι η απόσβεση της n-οστής ιδιομορφής της συναγωγικής συνιστώσας, η οποία λαμβάνει τιμές μεταξύ 0.1% και 1% (Veletsos, 1984). Επομένως, η υδροδυναμική πίεση της παροδικής απόκρισης μπορεί με βάση όλα τα παραπάνω να δοθεί από την ακόλουθη σχέση: r z J1( ) cos( ) 2 n n pd, c ( r,, z, t) H cos A 2 n, t n 1 n 1 H J1( n) H cos( n ), p D, c n n, n1 p ( r,, z, t) H cos C ( r, z) A t (3.57) Στην παραπάνω σχέση (3.38) για πιο σύντομη γραφή κάναμε χρήση του p, συντελεστή Cn ( r, z ), ο οποίος όπως μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε δίνεται από την ακόλουθη σχέση: C p, n r z J1( ) cos( ) 2 n n ( r, z) (3.58) 2 n 1 H J1( n) H cos( n ) n, C C p, n p, n Από την σχέση (3.58) μπορούμε θέτοντας r να λάβουμε τον συντελεστή z ως εξής: z cos n, p, p 2 Cn z Cn r, z (3.59) 2 n 1 H H cos n Από την σχέση (3.58) μπορούμε θέτοντας z 0 να λάβουμε τον συντελεστή r ως εξής: r J1 n, p, p 2 1 Cn r Cn r, z 0 (3.60) 2 n 1 H J1 n H cos n 63

94 Εργαζόμενοι τώρα με παρόμοιο τρόπο με αυτόν που εργαστήκαμε για να αναπτύξουμε τη σχέση (3.57) αναπτύσσουμε τις εκφράσεις που μας δίνουν και τα υπόλοιπα μεγέθη απόκρισης. Έτσι έχουμε: 2 H Q t m tan A t (3.61) b, c 2 n n, n1 n n 1 H 2 H n H Mb, c t m H tan 1 tan, (3.62) 2 n An t n1 1 H nh 2 n n 2 2 J2 n 1 b, c 2 n, n1 nn 1 H J H 1 n cos n M t m H A t (3.63) r J1 n 2 n H qc, z r,, t cos tan 2 n Vn, t (3.64) 1 J n 1 n 1 n 1 n n c, z 2 n n, n1 n 1 J1 n r J 2 H r,, t cos tan D t (3.65) Η ταχύτητα V t και η μετατόπιση D n, n, t που εμφανίζονται στις σχέσεις (3.64) και (3.65) αντίστοιχα δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις σε συνάρτηση με την επιτάχυνση A t που υπολογίσαμε στη σχέση (3.56). Έτσι έχουμε: n, 1 1 V t A t, D t A t (3.66) n, n, n, 2 n, n n 3.5 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΟΥ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΥΠΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΔΙΕΓΕΡΣΗ Με βάση τις προηγούμενες εργασίες του Housner (1957, 1963), όσον αφορά τον υπολογισμό της τέμνουσας βάσης και της ροπής ανατροπής στο σύστημα υγρούδεξαμενής σε άκαμπτη δεξαμενή μπορούμε να κάνουμε χρήση του μοντέλου που φαίνεται στο Σχήμα 3.2 για την εξιδανίκευση του συστήματος υπό οριζόντια διέγερση. Με βάση το μηχανικό προσομοίωμα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα μπορούμε να αναπτύξουμε την εξίσωση που το περιγράφει ως ακολούθως: 0 (3.67) m u u k u n g n n n Με βάση το παρακάτω μηχανικό ανάλογο και την εξίσωση (3.67) που το περιγράφει, η τέμνουσα βάσης και η ροπή ανατροπής για οριζόντια διέγερση δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: 64

95 b, o g n n, n1 Q t m u t m A t b, o o g n n n, n1 M t m u t m A t (3.68) (3.69) Σχήμα 3.2 Μηχανικό προσομοίωμα του συστήματος υγρού-δεξαμενής για άκαμπτη δεξαμενή υπό οριζόντια διέγερση Στην παραπάνω σχέση κάναμε χρήση του συντελεστή m o, ο οποίος καλείται ωστική μάζα (impulsive mass) και δίνεται από τη σχέση (3.36) που αναπτύξαμε παραπάνω. Ο συντελεστής m n είναι η συναγωγική μάζα (convective mass) της n- οστής ιδιομορφής της συναγωγικής συνιστώσας και δίνεται από την ακόλουθη σχέση: m n 2 H m tan (3.70) 2 n n 1 nh Στην σχέση (3.69) παραπάνω το ενεργό ύψος o δίνεται από τη σχέση (3.43) που αναπτύξαμε παραπάνω ως άθροισμα των ενεργών υψών o, και ol,, που δίνονται από τις σχέσεις (3.41) και (3.42). Ο συντελεστής n ή n, είναι το ενεργό ύψος της συναγωγικής συνιστώσας (effective convective eigt) που αναφέρεται στη n-οστή ιδιομορφή και δίνεται από την ακόλουθη σχέση διαιρεμένος με το ύψος H του υγρού στη δεξαμενή: 65

96 n H J, n 2 n 1 1 tan (3.71) H nh 2 H J1 n H sin n Τα αντίστοιχα ενεργά ύψη της συναγωγικής συνιστώσας n, και n, για την ροπή που ασκείται στο τοίχωμα και την ροπή που ασκείται στον πάτο της δεξαμενής αντίστοιχα διαιρεμένα με το ύψος του υγρού στη δεξαμενή H, δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: n, n H 1 tan (3.72) H nh 2 n, J2 1 n 1 = (3.73) H H J1 n H H jh sin n sin n Τα ύψη που προκύπτουν από τις παραπάνω σχέσεις (3.72) και (3.73) για την πρώτη ιδιομορφή n 1 της συναγωγικής συνιστώσας καθώς και από τις σχέσεις (3.41) και (3.43) για την ωστική συνιστώσα δίνονται από το διάγραμμα του Σχήματος 3.3 που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Στα πλαίσια της εργασίας σχεδίασα τις παραπάνω σχέσεις με χρήση του προγράμματος Matlab και το διάγραμμα που προκύπτει φαίνεται στο Σχήμα 3.4. Όπως εύκολα προκύπτει η ταύτιση μεταξύ των δύο διαγραμμάτων είναι πλήρης, γεγονός που καθιστά σαφές πως τα αποτελέσματα μας συμφωνούν με αυτά της βιβλιογραφίας. 66

97 Σχήμα 3.3 Γραφική παράσταση των ενεργών υψών συναρτήσει του λόγου ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Σχήμα 3.4 Γραφική παράσταση των ενεργών υψών συναρτήσει του λόγου ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. Στην παραπάνω σχέση (3.67) χρησιμοποιείται η δυσκαμψία n k της n-οστης ιδιομορφής της συναγωγικής συνιστώσας, η οποία δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 67

98 k m 2 n n n (3.74) Στην παραπάνω σχέση η μάζα m n δίνεται από τη σχέση (3.70) και n είναι η κυκλική συχνότητα της n-οστης ιδιομορφής της συναγωγικής συνιστώσας που δίνεται από την ακόλουθη σχέση: ng H n tan n (3.75) 3.6 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΚΑΜΠΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΥΠΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΔΙΕΓΕΡΣΗ Υδροδυναμική Πίεση στη Βάση και στο Τοίχωμα της Δεξαμενής Η συνολική υδροδυναμική πίεση που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση οριζόντιας διέγερσης (εξού κι ο δείκτης ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: p p D o g n n, n1,, p r,, z, t C z H cos u t C z H cos A t (3.76) Στην παραπάνω σχέση αφού η πίεση ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής όπως είναι προφανές θέτουμε r. Ομοίως για τον υπολογισμό του συντελεστή, p, p C z C r, z θέτουμε στη σχέση (3.34) r. Η γραφική παράσταση του o o παραπάνω συντελεστή φαίνεται στο Σχήμα 3.5. Η σχέση (3.34) που δίνει το p, διάγραμμα μεταβολής του συντελεστού C z αναπαρήχθει με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα 3.6. Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση των δύο διαγραμμάτων. o 68

99 Σχήμα 3.5 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, o z συναρτήσει του λόγου z/ H για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Σχήμα 3.6 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, o z συναρτήσει του λόγου z/ H για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. Ομοίως ο υπολογισμός του συντελεστή p, n C z γίνεται από τη σχέση (3.58) που εκθέσαμε παραπάνω. Η γραφική παράσταση του παραπάνω συντελεστή για την πρώτη ιδιομορφή n 1 της συναγωγικής συνιστώσας φαίνεται στο Σχήμα 3.7 και 69

100 για την δεύτερη ιδιομορφή n 2 φαίνεται στο Σχήμα 3.9. Η σχέση (3.58) που δίνει το διάγραμμα μεταβολής του συντελεστού C p, n z αναπαρήχθει με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα για την πρώτη ιδιομορφή φαίνεται στο Σχήμα 3.8 και για την δεύτερη στο Σχήμα Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση και στις δύο περιπτώσεις. Σχήμα 3.7 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 1 z συναρτήσει του λόγου z/ H για πέντε διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Σχήμα 3.8 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 1 z συναρτήσει του λόγου z/ H για πέντε διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. 70

101 Σχήμα 3.9 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 2 z συναρτήσει του λόγου z/ H για πέντε διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Σχήμα 3.10 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 2 z συναρτήσει του λόγου z/ H για πέντε διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. Η συνολική υδροδυναμική πίεση που ασκείται στη βάση της δεξαμενής λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση οριζόντιας διέγερσης (εξού κι ο δείκτης ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: p p D o g n n, n1,, p r,, z 0, t C r H cos u t C r H cos A t (3.77) 71

102 Στην παραπάνω σχέση αφού η πίεση ασκείται στη βάση της δεξαμενής όπως είναι προφανές θέτουμε z 0. Ομοίως για τον υπολογισμό του συντελεστή p, 0 C r C r z θέτουμε στη σχέση (3.34) z 0. Η γραφική παράσταση του, p, o o παραπάνω συντελεστή φαίνεται στο Σχήμα Η σχέση (3.34) που δίνει το διάγραμμα μεταβολής του συντελεστού C p, o r αναπαρήχθει με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση των δύο διαγραμμάτων. Σχήμα 3.11 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 0 r συναρτήσει του λόγου r / για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Σχήμα 3.12 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 0 r συναρτήσει του λόγου r / για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. Ομοίως ο υπολογισμός του συντελεστή p, n C r γίνεται από τη σχέση (3.60) που εκθέσαμε παραπάνω. Η γραφική παράσταση του παραπάνω συντελεστή για την 72

103 πρώτη ιδιομορφή n 1 της συναγωγικής συνιστώσας φαίνεται στο Σχήμα 3.13 και για την δεύτερη ιδιομορφή n 2 φαίνεται στο Σχήμα Η σχέση (3.60) που δίνει το διάγραμμα μεταβολής του συντελεστού C p, n r αναπαρήχθει με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα για την πρώτη ιδιομορφή φαίνεται στο Σχήμα 3.14 και για την δεύτερη στο Σχήμα Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση και στις δύο περιπτώσεις. Σχήμα 3.13 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 1 r συναρτήσει του λόγου r / για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Σχήμα 3.14 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 1 r συναρτήσει του λόγου r / για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. 73

104 Σχήμα 3.15 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 2 r συναρτήσει του λόγου r / για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Σχήμα 3.16 Γραφική παράσταση του συντελεστή C p, 2 r συναρτήσει του λόγου r / για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. 74

105 3.6.2 Τέμνουσα Βάσης Η συνολική τέμνουσα βάσης που ασκείται στη δεξαμενή λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση οριζόντιας διέγερσης (εξού κι ο δείκτης ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Q Q b, o, g n, n, n1,, Q t C m u t C m A t (3.78) Στην παραπάνω σχέση ισχύει παράσταση του συντελεστή συντελεστές C συνιστώσας και m m Q, 1 1, C C Q, o, C Q, o, m o m m C o m και Q, n, m n m. Η γραφική της ωστικής συνιστώσας καθώς και οι για την πρώτη ιδιομορφή 1 m m Q, 2 2, για την δεύτερη ιδιομορφή 2 n της συναγωγικής n της συναγωγικής συνιστώσας φαίνονται σε κοινό διάγραμμα στο Σχήμα Οι σχέσεις (3.36) και (3.70) που δίνουν το διάγραμμα μεταβολής των παραπάνω συντελεστών αναπαρήχθησαν με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση των δύο διαγραμμάτων. Σχήμα 3.17 Γραφική παράσταση των ισοδύναμων μαζών συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. 75

106 Σχήμα 3.18 Γραφική παράσταση των ισοδύναμων μαζών συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab Ροπή Ανατροπής στο Τοίχωμα και στη Βάση της Δεξαμενής Η συνολική ροπή ανατροπής που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση οριζόντιας διέγερσης (εξού κι ο δείκτης ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: M M b, o, g n, n, n1,, M t C m H u t C m H A t (3.79) Στην παραπάνω σχέση ο συντελεστής C δίνεται συναρτήσει του λόγου της ωστικής μάζας με τη συνολική μάζα του υγρού και του ισοδύναμου ύψους της ωστικής συνιστώσας μέσω της ακόλουθης σχέσης: M, o, C m H M, mo o, o, (3.80) Στη σχέση (3.79) ο συντελεστής C M, n, δίνεται συναρτήσει του λόγου της ωστικής μάζας με τη συνολική μάζα του υγρού και του ισοδύναμου ύψους της συναγωγικής συνιστώσας μέσω της ακόλουθης σχέσης: C m H M, mn n, n, (3.81) 76

107 Η γραφική παράσταση του συντελεστή και οι συντελεστές συνιστώσας και C της ωστικής συνιστώσας καθώς M, o, M, C 1, για την πρώτη ιδιομορφή 1 M, C για την δεύτερη ιδιομορφή 2 2, n της συναγωγικής n της συναγωγικής συνιστώσας φαίνονται σε κοινό διάγραμμα στο Σχήμα Οι σχέσεις (3.80) και (3.81) που δίνουν το διάγραμμα μεταβολής των παραπάνω συντελεστών αναπαρήχθησαν με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση των δύο διαγραμμάτων. Σχήμα 3.19 Γραφική παράσταση των συντελεστών C, M, o, C M, 1, και C M, 2, του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. συναρτήσει Σχήμα 3.20 Γραφική παράσταση των συντελεστών C, C M, o, M, 1, και C συναρτήσει M, 2, του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. 77

108 Η συνολική ροπή ανατροπής που ασκείται στη βάση της δεξαμενής λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση οριζόντιας διέγερσης (εξού κι ο δείκτης ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: M M b, o, g n, n, n1,, M t C m H u t C m H A t (3.82) Στην παραπάνω σχέση ο συντελεστής, M C o, δίνεται συναρτήσει του λόγου της ωστικής μάζας με τη συνολική μάζα του υγρού και του ισοδύναμου ύψους της ωστικής συνιστώσας μέσω της ακόλουθης σχέσης: C m H, M mo o, o, (3.83) Στη σχέση (3.82) ο συντελεστής, M C n, δίνεται συναρτήσει του λόγου της ωστικής μάζας με τη συνολική μάζα του υγρού και του ισοδύναμου ύψους της συναγωγικής συνιστώσας μέσω της ακόλουθης σχέσης: C m H, M mn n, n, (3.84) Η γραφική παράσταση του συντελεστή και οι συντελεστές συνιστώσας και, M C o,, M C 1, για την πρώτη ιδιομορφή 1, M C για την δεύτερη ιδιομορφή 2 2, της ωστικής συνιστώσας καθώς n της συναγωγικής n της συναγωγικής συνιστώσας φαίνονται σε κοινό διάγραμμα στο Σχήμα Οι σχέσεις (3.83) και (3.84) που δίνουν το διάγραμμα μεταβολής των παραπάνω συντελεστών αναπαρήχθησαν με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση των δύο διαγραμμάτων. 78

109 Σχήμα 3.21 Γραφική παράσταση των συντελεστών, M C o, και, M C 1, λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. συναρτήσει του Σχήμα 3.22 Γραφική παράσταση των συντελεστών, M C o, και, M C 1, λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. συναρτήσει του Ύψος Κυματισμού του Υγρού στην Ελεύθερη Επιφάνεια της Δεξαμενής Το ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής cz, r,, t υπό την επίδραση οριζόντιας διέγερσης (εξού κι ο δείκτης ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: r J 2 H r,, t cos tan D t (3.85) 1 n n c, z 2 n n, n1 n 1 J1 n 79

110 Όπως παρατηρούμε στην παραπάνω σχέση λαμβάνονται υπ όψιν μόνο τα φαινόμενα της συναγωγικής συνιστώσας, αγνοώντας πλήρως την ωστική συνιστώσα. Αυτό είναι αναμενόμενο καθώς το ύψος κυματισμού του υγρού συνδέεται κατά κύριο λόγο με τα δημιουργούμενα λόγω κυματισμού επιφανειακά κύματα στην επιφάνεια της δεξαμενής, δηλαδή με την συναγωγική συνιστώσα. Στη βιβλιογραφία υπάρχει το διάγραμμα του Σχήματος 3.23 στο οποίο σχεδιάζεται η τιμή του συντελεστή που προκύπτει από διαίρεση του cz, r,, t με Dn, t cos. Ο ίδιος συντελεστής σχεδιάστηκε για τα πλαίσια της εργασίας με τη βοήθεια του Matlab και παρουσιάζεται στο Σχήμα Όπως παρατηρούμε τα αποτελέσματα συμφωνούν απόλυτα. Σχήμα 3.23 Γραφική παράσταση του λόγου r t D t,, / cos συναρτήσει c, z n, του λόγου r /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. Σχήμα 3.24 Γραφική παράσταση του λόγου r t D t,, / cos συναρτήσει c, z n, του λόγου r /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. 80

111 3.7 ΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΕ ΑΚΑΜΠΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΥΠΟ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ Εξισώσεις Περιγραφής της Κίνησης του Υγρού Έχουμε ήδη δείξει πως για αστρόβιλη ροή ασυμπίεστου υγρού με μηδενικό r,, z, t, πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση ιξώδες, το δυναμικό της ταχύτητας, του Laplace: διεύθυνση 1 1 r r r r z Η ταχύτητα ενός τυχαίου σημείου του υγρού, v r,, z, t n 0 (3.86), σε μια τυχαία n n 1, συνδέεται με το δυναμικό της ταχύτητας μέσω της σχέσης: r,, z, t vn r,, z, t n r,, z, t (3.87) n Η υδροδυναμική πίεση σε ένα τυχαίο σημείο δίνεται από την ακόλουθη σχέση: pd r,, z, t (3.88) t Οι συνοριακές συνθήκες που ισχύουν για την περιοχή του υγρού, κατά τη διάρκεια της στροφικής διέγερσης της άκαμπτης δεξαμενής, είναι οι ακόλουθες: r r cos g z z0 2 r r g 2 t z zh r z cos g r r 0 (3.89) Στην παραπάνω σχέση g είναι η στροφική ταχύτητα της διέγερσης του εδάφους, όπως φαίνεται και στο Σχήμα

112 Σχήμα 3.25 Δεξαμενή κατά την στροφική διέγερση Το δυναμικό της ταχύτητας εκφράζεται ως το άθροισμα δύο συνιστωσών, όπως ακριβώς κάναμε και στις προηγούμενες ενότητες για την οριζόντια διέγερση. Αυτές οι συνιστώσες είναι η ωστική και η συναγωγική και ισχύει η σχέση: r r r i c (3.90) r Η ωστική συνιστώσα του δυναμικού της ταχύτητας, i, ικανοποιεί τις πραγματικές συνοριακές συνθήκες κατά μήκος της βάσης και του τοιχώματος της δεξαμενής, και τη συνθήκη για την υδροδυναμική πίεση στο ύψος z H. Σαν αποτέλεσμα, δεν καλύπτονται τα φαινόμενα των επιφανειακών κυμάτων που συνδέονται με τον κυματισμό του υγρού. Έτσι έχουμε: r i r cos g z r i t z0 zh 0 (3.91) r i z cos g r r r Η συναγωγική συνιστώσα, c, έρχεται για να διορθώσει τη διαφορά μεταξύ των πραγματικών συνοριακών συνθηκών στο ύψος z H και αυτής που θεωρήθηκαν παραπάνω στον δεύτερο τύπο της σχέσης (3.91). Έτσι έχουμε: 82

113 r c z z0 0 2 r r r c c i g g 2 t z z zh zh r c r r 0 (3.92) Οπότε όπως προκύπτει από τα παραπάνω το άθροισμα των δεύτερων τύπων των σχέσεων (3.91) και (3.92) δίνουν ακριβώς τον δεύτερο τύπο της σχέσης (3.89) όπως ακριβώς περιμέναμε Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Ωστικής Συνιστώσας Η συνάρτηση που μας δίνει το δυναμικό της ταχύτητας στην ωστική συνιστώσα,, διαιρείται περαιτέρω σε και (Σχήμα 3.26). Ο πρώτος όρος r i που περιέχει το w αναφέρεται στο δυναμικό της ταχύτητας που οφείλεται στην στροφή του τοιχώματος της δεξαμενής και ο δεύτερος όρος που περιέχει το b αναφέρεται στο δυναμικό της ταχύτητας που οφείλεται στην στροφή της βάσης της δεξαμενής. Επομένως, ισχύει: r iw r ib r r r i iw ib (3.93) Σχήμα 3.26 Διάκριση του δυναμικού της ταχύτητας λόγω ωστικής συνιστώσας σε δύο επιμέρους συνιστώσες. r r Όπως είναι εύκολα αντιληπτό τόσο το iw όσο και το ib είναι αρμονικές συναρτήσεις, δηλαδή ικανοποιούν την εξίσωση του Laplace. Οι δύο παραπάνω ποσότητες ικανοποιούν από κοινού τις συνοριακές συνθήκες του δυναμικού της ταχύτητας λόγω ωστικής συνιστώσας που δίνονται από τη σχέση (3.91). Οι r συνοριακές συνθήκες που ισχύουν για το iw είναι οι ακόλουθες: r i 83

114 r iw z r iw t r iw r z0 zh r 0 0 (3.94) z cos g r Οι συνοριακές συνθήκες που ισχύουν για το ib είναι οι ακόλουθες: r ib z r ib t r ib r z0 zh r r cos g 0 (3.95) 0 r r Η λύση των δύο επιμέρους συνιστωσών, iw και ib προκύπτει με εφαρμογή της μεθόδου του χωρισμού των μεταβλητών και εκφράζεται στην ακόλουθη μορφή: όπου C C r ow r ob r z r r C r, z H t cos (3.96) iw ow g r r C r, z H t cos (3.97) ib ob g r I1 n H n H z, 1 cos (3.98) 2 3 n n 1 n n H I 1 n H r I1 n H 2 H z r z r, z cos + 1 (3.99) 3 n n1 n H H I 1 n H Στις παραπάνω σχέσεις I 1 είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και πρώτης τάξεως και I 1 είναι η παράγωγος της. Επιπλέον, ο συντελεστής δίνεται από την ακόλουθη σχέση: n n 2n 1 (3.100) 2 Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (3.96) και (3.97) στη σχέση (3.93) λαμβάνουμε: 84

115 C r o,, cos r r i Co r z H g t r r r i iw ib r r r C r, z H t cos C r, z H t cos i ow g ob g r r r i Cow r z Cob r z H g t, cos (3.101) r Ο συντελεστής C, r z o r z δίνεται από την ακόλουθη σχέση: r I1 n H 2 n 1 2 H z r z, 1 cos 1 (3.102) 2 n n1 n n H H I 1 n H Η ωστική συνιστώσα της υδροδυναμικής πίεσης προκύπτει αντικαθιστώντας τη σχέση (3.101) στη σχέση (3.88). Έτσι, έχουμε: r r p r, z, C r, z H t cos (3.103) i Η τέμνουσα βάσης που αντιστοιχεί στην ωστική συνιστώσα της πίεσης προκύπτει μέσω διπλής ολοκλήρωσης της πίεσης της σχέσης (3.103): g 2 H r b, i i 0 0 r Q t p r, z, cos dzd r r b, i o g Q t m H t (3.104) όπου m r o n 1 I1 n 1 H H 2 1 m (3.105) 3 2 n1 n n I 1 n H Οι ροπές που αναπτύσσονται λόγω της ωστικής συνιστώσας, τόσο στο r r τοίχωμα της δεξαμενής, M t, M t, όσο και στη βάση της δεξαμενής, b, i δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: b, i 2 H r b, i i 0 0 r M t z p r, z, cos dzd r r b, i o, g M t I t 2 r r M b, i t pi r, z 0, 2 r cos drd 0 0 r r b, i o, g M t I t (3.106) (3.107) 85

116 όπου n 1 I1 n r 1 H H Io, 1 m H n1 n n n I 1 n H (3.108) 2 I2 n r 1 2 n 1 2 H 2 Io, 3 1 m H 4 H n1 n n I 1 n H (3.109) Στην παραπάνω σχέση I 2 είναι η τροποποιημένη συνάρτηση Bessel πρώτου είδους και δευτέρας τάξεως. Για τους συντελεστές των παραπάνω σχέσεων (3.108) και (3.109) στη διεθνή βιβλιογραφία οι τιμές τους δίνονται από τον Πίνακα 3.1 για ορισμένες τιμές του H /. Στα πλαίσια της εργασίας ανέπτυξα αντίστοιχο πίνακα με χρήση του προγράμματος Matlab ώστε να καταστεί εφικτή η σύγκριση. Στον Πίνακα 3.2 φαίνονται τα ευρήματα μας, τα οποία συμφωνούν με αυτά του Πίνακα 3.1. r r Πίνακας 3.1 Τιμές των συντελεστών I o και I o για διάφορες τιμές του λόγου H /, σύμφωνα με την υπάρχουσα βιβλιογραφία. r r Πίνακας 3.2 Τιμές των συντελεστών I o και I o για διάφορες τιμές του λόγου H /, σύμφωνα με τους υπολογισμούς που έκανα στο Matlab. r r H I o I o 2 2 mh mh

117 Επιπλέον, στη βιβλιογραφία υπάρχει και το διάγραμμα του Σχήματος 3.27, το r 2 r 2 οποίο αποτελεί γραφική παράσταση των λόγων Io / m H και Io / m H συναρτήσει του λόγου H /. Το ίδιο διάγραμμα κατασκευάστηκε και με χρήση του Matlab και φαίνεται στο Σχήμα Όπως φαίνεται τα αποτελέσματα συμφωνούν απόλυτα. r 2 r 2 Σχήμα 3.27 Γραφική παράσταση των λόγων Io / m H και Io / m H συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. r 2 r 2 Σχήμα 3.28 Γραφική παράσταση των λόγων Io / m H και Io / m H συναρτήσει του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. 87

118 3.7.3 Υδροδυναμικά Φαινόμενα λόγω της Συναγωγικής Συνιστώσας r Η συναγωγική συνιστώσα του δυναμικού της ταχύτητας, c, όπως αναφέραμε στην παράγραφο ικανοποιεί την εξίσωση του Laplace και τις συνοριακές συνθήκες της σχέσης (3.92). Οπότε λύνοντας την εξίσωση του Laplace με εφαρμογή της πρώτης και της τρίτης συνοριακής συνθήκης λαμβάνουμε: t r r z c cos Fj d J1 j cos j (3.110) j1 0 Η συνάρτηση Fj t θα προσδιοριστεί μέσω της δεύτερης (μη ομογενούς) συνοριακής συνθήκης της σχέσης (3.92). Η υδροδυναμική πίεση λόγω της συναγωγικής συνιστώσας υπό στροφική πάντα διέγερση δίνεται από τη σχέση: r r c pc r, z, t r r z pc r, z, cos Fj J 1 j cos j j1 (3.111) Η δεύτερη συνοριακή συνθήκη της σχέσης (3.92) αν πολλαπλασιάσουμε με και λάβουμε την μερική παράγωγο μπορεί να γραφεί στην ακόλουθη μορφή: t 2 r r r pc p c p i g g (3.112) 2 t z z zh Επομένως αντικαθιστώντας τις σχέσεις (3.103) και (3.111) στη σχέση (3.112), εκτελώντας τις πράξεις και λύνοντας ως προς F t λαμβάνουμε: F j t j zh j jj1 j H H tan cos j 1 j j 2 H j n1 4 1 r j tan j 1 A 2 j, t (3.113) H n1 n H 2 j n H Στην παραπάνω σχέση η κυκλική συχνότητα j της j-οστης ιδιομορφής της συναγωγικής συνιστώσας δίνεται από τη σχέση (3.75) που αναπτύξαμε παραπάνω, ενώ η επιτάχυνση της j-οστης ιδιομορφής της συναγωγικής συνιστώσας για μηδενική απόσβεση δίνεται από τη ακόλουθη σχέση: 88

119 Η συνάρτηση t r j, j g j 0 A t H sin t d (3.114) Fj ακόλουθη διαφορική εξίσωση: t, έχει διαστάσεις επιτάχυνσης και ικανοποιεί την D F t F t H 2 j 2 j j j j g E j ακολουθούν: Στην παραπάνω σχέση οι συντελεστές D και E δίνονται από τις σχέσεις που j j D j 1 2 n (3.116) 2 j j tan j j n1 an j a n Ej J1 j cos j (3.117) Στην παραπάνω σχέση ο συντελεστής ακολουθέι: H j j j δίνεται από τη σχέση που (3.118) Η λύση της διαφορικής εξισώσεως της σχέσης (3.115) μπορεί να γραφεί στη μορφή : Dj r Fjt Aj, t (3.119) E j Επομένως, η υδροδυναμική πίεση λόγω της συναγωγικής συνιστώσας υπό στροφική πάντα διέγερση δίνεται από τη σχέση: όπου Με τον συντελεστή r r r pc r, z, cos C j r, z Aj, t (3.120) j1 r z J1 j cos j r C j r, z Dj (3.121) J1 j H cos j D j να δίνεται από τη σχέση: 89

120 D j 2 1 j 1 tan csc (3.122) 2 j 1 j 2 j Η τέμνουσα βάσης λόγω της συναγωγικής συνιστώσας που προκύπτει υπό στροφική διέγερση δίνεται από την ακόλουθη σχέση: 2 H r b, c c 0 0 r Q t p r, z, cos dzd r r r b, c j j, j1 Q t m A t (3.123) ακολουθεί: Ο συντελεστής m j της παραπάνω σχέσης δίνεται από τη σχέση που 2 r H H 2 n mj j tan j j 1 1 m (3.124) n1 an 2 j j 1 H j a n H Η ροπή που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής, συναγωγικής συνιστώσας και υπό στροφική διέγερση δίνεται από τη σχέση: M r b, c t, λόγω της 2 H r b, c c 0 0 r M t z p r, z, cos dzd r r r r b, c j j j, j1 M t m A t (3.125) Η ροπή που ασκείται στον πάτο της δεξαμενής λόγω της συναγωγικής συνιστώσας και υπό στροφική διέγερση δίνεται από τη σχέση: Όπου 2 r r M b, c t pc r, z 0, 2 r cos drd 0 0 r r r r b, c j j j, j1 Δ M t m A t (3.126) r j 1 j H 1 tan (3.127) H j H 2 r j 1 1 (3.128) H H j H sin j 90

121 Συγκρίνοντας τις σχέσεις (3.72) και (3.73) με τις σχέσεις (3.127) και (3.128) διαπιστώνουμε πως τα ενεργά ύψη υπό οριζόντια διέγερση είναι ίσα με αυτά υπό στροφική διέγερση. Έτσι έχουμε:,, r r r Δ (3.129) j j j j j j Τώρα ώστε να υπάρξει κοινός συμβολισμός και να διευκολύνουμε την γραφή των εξισώσεων παρακάτω θέτουμε:,, r r r Δ Δ (3.130) j j j j j j j j j Η κατακόρυφη μετακίνηση του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής, r,, t, δίνεται από την ακόλουθη σχέση: r r t C r z H A t r,, cos j, j, j 1 g (3.131) 3.8 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΕΚΦΡΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΑΚΑΜΠΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ ΥΠΟ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ Υδροδυναμική Πίεση στο Τοίχωμα της Δεξαμενής Η συνολική υδροδυναμική πίεση που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση στροφικής διέγερσης (εξού κι ο δείκτης r ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: r r r r pd r,, z, t Co zh g t C j zaj, t cos (3.132) j1 Από την παραπάνω σχέση μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε πως η υδροδυναμική πίεση στην περιφέρεια της δεξαμενής μεταβάλλεται σαν μια συνημιτονοειδής συνάρτηση. Επιπλέον, συμπεραίνουμε πως η ωστική συνιστώσα είναι ανάλογη της στροφικής εδαφικής επιτάχυνσης H t, ενώ η συναγωγική συνιστώσα είναι ανάλογη της ψευδοεπιτάχυνσης A r j, g t. Η παραπάνω συνάρτηση αντιπροσωπεύει τις στιγμιαίες τιμές της απόκρισης της ψευδοεπιτάχυνσης μιας σειράς από γραμμικούς ταλαντωτές ενός βαθμού ελευθερίας, οι ιδιοσυχνότητες και η απόσβεση των οποίων είναι οι ίδιες με αυτές των ιδιομορφών ταλάντωσης της συναγωγικής συνιστώσας. Οι παραπάνω ταλαντωτές διεγείρονται με την ίδια εδαφική r στροφική επιτάχυνση H t A t. Έτσι, για μηδενική απόσβεση η επιτάχυνση g δίνεται από τη σχέση (3.114), ενώ για μη μηδενική απόσβεση δίνεται από τη σχέση: j, 91

122 A t H e sin t d, 1 (3.133) 2 t r j j jt 2 j, g Dj Dj j j Dj 0 Στην παραπάνω σχέση (3.132) αφού η πίεση ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής όπως είναι προφανές θέτουμε r. Ομοίως για τον υπολογισμό του r r C z C r, z θέτουμε στη σχέση (3.102) r. Η γραφική συντελεστή o o παράσταση του παραπάνω συντελεστή φαίνεται στο Σχήμα Η σχέση (3.102) που δίνει το διάγραμμα μεταβολής του συντελεστού C z αναπαρήχθει με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση των δύο διαγραμμάτων. r o r Σχήμα 3.29 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r, z o συναρτήσει του λόγου z/ Hγια τέσσερις διαφορετικές τιμές του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. 92

123 r Σχήμα 3.30 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r, z o συναρτήσει του λόγου z/ Hγια τέσσερις διαφορετικές τιμές του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. Από το παραπάνω διάγραμμα του Σχήματος 3.29 μπορούμε εύκολα να διαπιστώσουμε πως στην ωστική συνιστώσα της υδροδυναμικής πίεσης που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής για ψηλές δεξαμενές (μεγάλος λόγος H / ) κυρίαρχο ρόλο διαδραματίζει η στροφική κίνηση του τοιχώματος. Αντίθετα, για φαρδιές δεξαμενές (μικρός λόγος H / ) κυρίαρχο ρόλο διαδραματίζει η στροφική κίνηση του πάτου της δεξαμενής. r C r z γίνεται από τη σχέση Ομοίως ο υπολογισμός του συντελεστή 1, (3.121) που εκθέσαμε παραπάνω. Η γραφική παράσταση του παραπάνω συντελεστή για την πρώτη ιδιομορφή n 1 της συναγωγικής συνιστώσας φαίνεται στο Σχήμα 3.31 και για την δεύτερη ιδιομορφή n 2 της συναγωγικής συνιστώσας φαίνεται στο Σχήμα Η σχέση (3.121) που δίνει το διάγραμμα μεταβολής του συντελεστού r C r z αναπαρήχθει με χρήση του προγράμματος Matlab στα πλαίσια της 1, εργασίας μας με σκοπό να επιβεβαιώσουμε την ορθότητά του. Το αποτέλεσμα για την πρώτη ιδιομορφή φαίνεται στο Σχήμα 3.32 και για την δεύτερη στο Σχήμα Όπως μπορούμε να διαπιστώσουμε παρατηρείται πλήρης ταύτιση και στις δύο περιπτώσεις. 93

124 r Σχήμα 3.31 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r z 1, συναρτήσει του λόγου z/ H για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. r Σχήμα 3.32 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r z 1, συναρτήσει του λόγου z/ H για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. 94

125 r Σχήμα 3.33 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r z συναρτήσει του 2, λόγου z/ H για τρεις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. r Σχήμα 3.34 Γραφική παράσταση του συντελεστή C r z συναρτήσει του 2, λόγου z/ H για τέσσερις διαφορετικούς λόγους ύψους προς ακτίνα H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. 95

126 3.8.2 Τέμνουσα Βάσης Η συνολική τέμνουσα βάσης που ασκείται στη δεξαμενή λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση στροφικής διέγερσης (εξού κι ο δείκτης r ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: Q t m H t m A t r r r r b, o g j j, j1 (3.134) r Στην παραπάνω σχέση m o είναι η ωστική μάζα για σύστημα υπό στροφική r διέγερση που δίνεται από τη σχέση (3.105) που αναπτύξαμε παραπάνω και m j είναι η συναγωγική μάζα για σύστημα υπό στροφική διέγερση που δίνεται από τη σχέση (3.124). Οι παραπάνω δύο συντελεστές σχετίζονται με τις αντίστοιχες ποσότητες που αναπτύξαμε για οριζόντια διέγερση μέσω της ακόλουθης σχέσης: r o r j mo mo mj mj H H (3.135) Αντικαθιστώντας τη σχέση (3.135) στη σχέση (3.134) λαμβάνουμε: r o Qb, t mo H g t mj Aj, t H j1 H j r (3.136) Στην παραπάνω σχέση mo είναι η ωστική μάζα του υγρού για δεξαμενή που υπόκειται σε οριζόντια κίνηση και δίνεται από τη σχέση (3.36), ενώ m j είναι η συναγωγική μάζα του υγρού για δεξαμενή που υπόκειται σε οριζόντια κίνηση και δίνεται από τη σχέση (3.70). Όσον αφορά τα o και j εκφράζουν τα ύψη στα οποία πρέπει να συγκεντρωθούν οι μάζες mo και m j ώστε να δώσουν τις πραγματικές τιμές των αντίστοιχων ροπών του θεμελίου. Οι εκφράσεις της σχέσης (3.135) προκύπτουν με εφαρμογή της αρχής των Betti-Maxwell. Οι τιμές για τους παραπάνω συντελεστές για διάφορους λόγους του H / και για την ωστική συνιστώσα δίνονται στον Πίνακα 3.3 που ακολουθεί. Ο ίδιος πίνακας αναπτύχτηκε στα πλαίσια της εργασίας μας με τη βοήθεια του Matlab. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 3.4 και όπως είναι εύκολα αντιληπτό τα αποτελέσματα παρουσιάζουν εξαιρετική ταύτιση. Οι τιμές για τους παραπάνω συντελεστές για διάφορους λόγους του H / και για την συναγωγική τώρα συνιστώσα δίνονται στον Πίνακα 3.5 που ακολουθεί. Ο ίδιος πίνακας αναπτύχτηκε στα πλαίσια της εργασίας μας με τη βοήθεια του Matlab. Τα αποτελέσματα φαίνονται στον Πίνακα 3.6 και όπως είναι ευδιάκριτο κι εδώ τα αποτελέσματα παρουσιάζουν εξαιρετική ταύτιση. 96

127 Πίνακας 3.3 Τιμές συντελεστών της ωστικής συνιστώσας για διάφορες τιμές του λόγου H /. Πίνακας που δίνεται στη βιβλιογραφία. 97

128 Πίνακας 3.4 Τιμές συντελεστών της ωστικής συνιστώσας για διάφορες τιμές του λόγου H /. Πίνακας που αναπτύξαμε με χρήση του Matlab. H C r, z 0 o H mo m o H o H o H

129 Πίνακας 3.5 Τιμές συντελεστών της συναγωγικής συνιστώσας για διάφορες τιμές του λόγου H /. Πίνακας που δίνεται στη βιβλιογραφία. 99

130 Πίνακας 3.6 Τιμές συντελεστών της συναγωγικής συνιστώσας για διάφορες τιμές του λόγου H /. Πίνακας που αναπτύξαμε με χρήση του Matlab. 1, 0 m1 m H C r a z m 2 m 1 H H H 2 H 100

131 3.8.3 Ροπή Ανατροπής στο Τοίχωμα και στη Βάση της Δεξαμενής Η συνολική ροπή ανατροπής που ασκείται στο τοίχωμα της δεξαμενής λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση στροφικής διέγερσης (εξού κι ο δείκτης r ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: r r r r b, o, g j j j, j1 M t I t m A t r r r M b, t Io, g t m j j Aj, t j1 H j (3.137) Όλοι οι συντελεστές και οι ποσότητες που χρησιμοποιούνται στη σχέση αυτή έχουν παρουσιαστεί εκτενώς σε προηγούμενες ενότητες. Η συνολική ροπή ανατροπής που ασκείται στη βάση της δεξαμενής λόγω της επίδρασης τόσο της ωστικής όσο και της συναγωγικής συνιστώσας υπό την επίδραση στροφικής διέγερσης (εξού κι ο δείκτης r ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: r r r r b, o, g j j j, j1 M t I t m A t r r r M b, t Io, g t m j j Aj, t j1 H j (3.138) Και σε αυτήν τη σχέση οι ποσότητες και οι συντελεστές που χρησιμοποιούνται έχουν παρουσιαστεί σε προηγούμενες ενότητες. Όσον αφορά τις ποσότητες j και j ξαναθυμίζουμε πως είναι τα ύψη στα οποία οι μάζες πρέπει να τοποθετηθούν ώστε να δώσουν τις σωστές ροπές στη βάση της δεξαμενής Ύψος Κυματισμού του Υγρού στην Ελεύθερη Επιφάνεια της Δεξαμενής r Το ύψος κυματισμού του υγρού στην επιφάνεια της δεξαμενής cz, r,, t υπό την επίδραση στροφικής διέγερσης (εξού κι ο δείκτης r ) δίνεται από την ακόλουθη σχέση: A r,, r j c z r,, t cos C j r, z H (3.139) j1 g Όπως παρατηρούμε στην παραπάνω σχέση λαμβάνονται υπ όψιν μόνο τα φαινόμενα της συναγωγικής συνιστώσας, αγνοώντας πλήρως την ωστική συνιστώσα. Αυτό είναι αναμενόμενο καθώς το ύψος κυματισμού του υγρού συνδέεται κατά κύριο λόγο με τα δημιουργούμενα λόγω κυματισμού επιφανειακά κύματα στην επιφάνεια της δεξαμενής, δηλαδή με την συναγωγική συνιστώσα. Στη βιβλιογραφία υπάρχει ο r C r, z H που Πίνακας 3.7 στον οποίο παρουσιάζονται οι τιμές του συντελεστή δίνεται από τη σχέση (3.121) για z H και για τις δύο πρώτες ιδιομορφές j 1 και t j 101

132 j 2. Ο ίδιος πίνακας αναπαρήχθει και για τα πλαίσια της εργασίας με τη βοήθεια του Matlab και παρουσιάζεται στον Πίνακα 3.8. Όπως παρατηρούμε τα αποτελέσματα συμφωνούν απόλυτα. r r r r Πίνακας 3.7 Τιμές των συντελεστών r C r z H και r C r z H 1 1, 2 2, για διάφορους τιμές του λόγου H /. Διάγραμμα που υπάρχει στη βιβλιογραφία. r r r r Πίνακας 3.8 Τιμές των συντελεστών r C r z H και r C r z H 1 1, 2 2, για διάφορους τιμές του λόγου H /. Διάγραμμα που ανέπτυξα με χρήση του Matlab. r r H 1 r 2 r ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΤΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΤΟΥ ΤΟΙΧΩΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΔΕΞΑΜΕΝΗΣ Συνήθως η επίδραση της δυσκαμψίας του τοιχώματος και της στέγης της δεξαμενής είναι αμελητέες (Veletsos, 1984; Veketsos & Tank, 1987). Όμως εμείς για μεγαλύτερη πληρότητα της εργασίας μας και καλύτερη ακρίβεια του προγράμματος στο Matlab που θα αναπτύξουμε θα συνυπολογίσουμε και τη δυσκαμψία του τοιχώματος της δεξαμενής και τα αδρανειακά φαινόμενα που σχετίζονται με αυτήν. Η τέμνουσα M t που προκύπτουν λόγω της επίδρασης της Q t και η ροπή b, b, δυσκαμψίας του τοιχώματος της δεξαμενής υπό οριζόντια μόνο διέγερση (εξού κι ο δείκτης ) δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: b, tw tr g Q t m m u t M t m I m I u t b, tw tw tr tr g (3.140) (3.141) 102

133 Στις παραπάνω σχέσεις m tw και m tr είναι η μάζα του τοιχώματος και της στέγης της δεξαμενής αντίστοιχα, οι οποίες δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: m tw m 2 H (3.142) 2 tr (3.143) Στις παραπάνω δύο σχέσεις είναι η ακτίνα της δεξαμενής, H είναι το ύψος του υγρού στη δεξαμενή, είναι το πάχος του τοιχώματος της δεξαμενής και είναι η πυκνότητα του υλικού κατασκευής της δεξαμενής. Αυτές οι ποσότητες έχουν οριστεί λεπτομερώς και στην ενότητα 3.2 και συνεχίζουμε να χρησιμοποιούμε τον ίδιο συμβολισμό κι εδώ προφανώς. Στην παραπάνω σχέση (3.141) I tw είναι η απόσταση του κέντρου μάζας του τοιχώματος της δεξαμενής από την βάση της και I tr είναι η απόσταση του κέντρου μάζας της στέγης της δεξαμενής από την βάση της. Για μια δεξαμενή ομοιόμορφου πάχους και συνολικού ύψους L (Σχήμα 3.35) ισχύει: I L / 2 I L (3.144) tw Επομένως, αντικαθιστώντας τη σχέση (3.144) στη σχέση (3.141) λαμβάνουμε: Η τέμνουσα tr L M b, t mtw mtr Lug t (3.145) 2 r r Q t και η ροπή M b, b, t που προκύπτουν λόγω της επίδρασης της δυσκαμψίας του τοιχώματος της δεξαμενής υπό στροφική μόνο διέγερση (εξού κι ο δείκτης r ) δίνονται από τις ακόλουθες σχέσεις: r 1 Qb, t mtw mtr L g t 2 1 M b, t mtw L mtr LL g t 3 (3.146) (3.147) Σχήμα 3.35 Κατακόρυφη τομή της δεξαμενής 103