CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSTRIAL ROBÓTICO HIDRÁULICO (MIRH1)

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1 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1)

2 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1)

3 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) NSIUO POLlECNICO NACIONAL SECREARIA DE INVESIGACION y POSGRADO CARA CESION DE DERECHOS En la Ciudad de México, D. F., el día 19 del mes de Junio del año 006. el(la) que suscribe Jose Reyes Garcia alumno (a) del Programa de Maestría en Ciencias de Ingenieria Mecánica. con número de registro B adscrito a la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la E.S.I.M.E. Unidad Zacatenco, manifiesta que es autor(a) intelectual del presente rabajo de esis bajo la dirección del Dr. Samuel Alcántara Montes y cede los derechos del trabajo intitulado: Cinemática Y Dinámica Del Manipulador Industrial Robótico Hidráulico (MIRH1) al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines Académicos y de Investigación. Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, graficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección: le_lutin@hotmail.com. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

4 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) RESUMEN En el presente trabajo se desarrollan las ecuaciones de movimiento cinemático y dinámico de un manipulador de cinco grados de libertad, se obtienen las ecuaciones cinemáticas de movimiento, se resuelve la cinemática directa e inversa del manipulador, empleando la metodología Craigh aplicada a los parámetros de Denavit-Hartenberg, mismos que describen la geometría del manipulador de forma matricial, y a partir de los cuales se obtienen las matrices de transformación de los eslabones que componen el MIRH1, las matrices de transformación, al multiplicarse, relacionan entre si los eslabones obteniendo una matriz del brazo manipulador, que describe las orientaciones y posiciones del extremo libre del MIRH1, se calculan las coordenadas generalizadas, se calculan las velocidades y aceleraciones de los vectores del extremo libre del manipulador. Una vez que son resueltas las ecuaciones cinemáticas del manipulador, se desarrolla la dinámica a partir de la metodología de Lagrange Euler, con la que se obtienen las ecuaciones de movimiento dinámico del MIRH1.

5 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) ABSRAC In this work, the cinematic and dynamic movement equations of a five freedom degrees manipulator are developed, the cinematic equations are obtained by solving the direct and inverse cinematic of the system, employing a methodology that cases the Denavit Hartenberg parameters. he Denavit-Hartenberg parameters describe the manipulator geometry in a matrix way, and starting from them the transformation link matrices for the MIRH1. once the transformation matrices are multiplied the MIRH1 links are related to each other getting the arm manipulator matrix, which describes the free side s positions and orientations, and the generalized coordinates are calculated. he speed and acceleration vectors of the free side are calculated. When the cinematic equations are solved, the dynamic is developed using the Lagrange-Euler methodology to obtain the MIRH1 dynamic movement equations.

6 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) INDICE RESUMEN...4 ABSRAC...5 OBJEIVOS...10 Objetivo general...10 Objetivos específicos...10 INRODUCCIÓN...11 GLOSARIO CAPÍULO 1. ESADO DEL ARE DE LOS MANIPULADORES ROBÓICOS INDUSRIALES Clasificación de los robots de acuerdo a su configuración mecánica Geometría cartesiana Geometría cilíndrica Geometría esférica Geometría articulada Clasificación de los robots de acuerdo a su fuente de poder Potencia hidráulica Potencia neumática Potencia electromagnética Clasificación de acuerdo a la organización internacional de estándares (ISO) Secuencia rayectoria Adaptables eleoperados...19

7 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) 1.4. Clasificación de acuerdo a su empleo Robot de tomar y colocar Servorobot Robot programable Robot controlado por computadora Robot sensorial Robot para línea de ensamble Beneficios y desventajas de la robótica...0 CAPÍULO. ASPECOS FÍSICOS DEL MANIPULADOR Clasificación MIRH Capacidades del MIRH Volumen de trabajo Alcance longitudinal Alcance vertical Capacidades de carga máxima Capacidades de carga máxima Obtención de los parámetros de Denavit Hartenberg Momentos de inercia de masa del MIRH Jacobiano del manipulador Cálculo del movimiento diferencial del manipulador La transformación de traslación y rotación diferencial Cambios de transformación diferencial entre marcos relacionados Las invariaciones lineales de una matriz de CAPÍULO 3. CÁLCULO DE LA CINEMÁICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO MIRH1...54

8 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) 3.1. Obtención de las matrices de transformación de los eslabones del manipulador MIRH Ecuaciones cinemáticas del MIRH Cinemática directa del manipulador MIRH Cinemática Inversa del manipulador MIRH Cálculo de las velocidades angulares de las articulaciones del manipulador MIRH Cálculo de las aceleraciones angulares de las articulaciones del MIRH CAPÍULO 4. CÁLCULO DE LA DINAMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Cálculo de la energía cinética del manipulador Cálculo de la energía potencial del manipulador Ecuaciones de movimiento del manipulador Cálculo del vector de fuerza de Coriolis y centrífuga...96 CAPIULO 5. ANALISIS DE RESULADOS CONCLUSIONES RECOMENDACIONES ANEXOS Programa para calcular la matriz de transformación del brazo Programa para calcular las ecuaciones cinemáticas del manipulador Programa para calcular la cinemática directa del manipulador....1 Programa para calcular las cinemática inversa del manipulador...14 Programa para calcular las velocidades angulares de los eslabones del manipulador Programa para calcular las aceleraciones angulares de los eslabones del manipulador Funciones de los programas...131

9 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Programa para calcular la dinámica utilizando el método de Lagrange-Euler BIBLIOGRAFIA....16

10 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) OBJEIVOS Objetivo general Obtener las fuerzas generalizadas que deberán tener los motores de las articulaciones, para mover los eslabones del manipulador a una velocidad angular determinada, en el extremo libre del manipulador. Objetivos específicos 1. Obtener los parámetros de Denavit-Hartenberg del manipulador, a partir de la geometría y el número de grados de libertad del manipulador.. Obtener la matriz Jacobiana del manipulador. 3. Obtener las matrices de transformación de los eslabones 4. Obtener las ecuaciones de movimiento del manipulador, a través de la correlación matricial de los eslabones del manipulador, referidos a un eje de referencia inercial. 5. Calcular la cinemática directa del manipulador 6. Calcular las coordenadas generalizadas del manipulador para una trayectoria dada de trabajo, mediante la aplicación del método numérico de Newton- Raphson. 7. Calcular las velocidades angulares de los motores de cada articulación, para una velocidad dada de trabajo. 8. Calcular las aceleraciones angulares de los motores de cada articulación 9. Calcular la energía cinética del manipulador 10. Calcular la energía potencial del manipulador 11. Obtener las ecuaciones de movimiento dinámico del manipulador.

11 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) INRODUCCIÓN Un robot es un aparato programable destinado a mover materiales, piezas, herramientas y componentes especializados, en una gran variedad de movimientos, para una gran variedad de tareas. Las máquinas automáticas son máquinas destinadas a una sola tarea, que bien pueden ser reprogramadas, pero siempre con el fin de realizar una tarea específica. La diferencia entre un robot y una máquina automática radica en que el robot se puede volver a programar las veces que sean necesarias para ejecutar las diferentes tareas que le son asignadas, a diferencia de las máquinas automáticas que sólo pueden ejecutar la tarea específica para la cual fueron diseñadas. Un robot puede constar de dos o más eslabones, entre los cuales destacan el cuerpo del manipulador, que es el conjunto de eslabones que están unidos de manera consecutiva, y un efector final, que será el eslabón que realizará la acción que se requiere del robot, estos pueden ser para sujetar piezas, soldar, pintar, atornillar, o bien la combinación de todas las anteriores. La robótica ha tenido un desarrollo importante a lo largo de los años, incrementándose de manera exponencial en las últimas décadas, al hacer uso de la tecnología de punta, obteniendo como resultado robots autónomos, con inteligencia artificial capaces de resolver problemas cotidianos, sin necesidad de ser reprogramados. En la sección de estudios de posgrado de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, unidad profesional Zacatenco, se esta diseñando un manipulador robótico de cinco grados de libertad, este proyecto tiene el nombre Manipulador Robótico Industrial Hidráulico MIRH1. Es un tema multidisciplinario, que se desarrolla en varias etapas. La primer etapa fue el diseño mecánico del mismo, realizado en una tesis de maestría por el M. en C. Raymundo Vázquez, haciendo el diseño estático del manipulador, este trabajo es la segunda etapa del proyecto, y es el diseño cinemático y dinámico del MIRH1, donde se desarrollan las ecuaciones de movimiento cinemático y dinámico, que serán utilizadas en las etapas posteriores del proyecto, cuando se diseñe el control del manipulador. A continuación se presenta un breve resumen del desarrollo recorrido por la robótica a través de los años. En 1801, Joseph Jacquard inventó la máquina textil que era operada por medio de tarjetas perforadas, está máquina fue llamada telar programable y fue usada para la producción en masa. En 189, en los Estados Unidos, Seward Babbit desarrolla una grúa motorizada, equipada con un efector final para remover lingotes de una caldera. En 191, se da la primera referencia de la palabra robot por el checoslovaco Karen Capek, la cual aparece en Londres, está palabra tiene sus raíces en el checo robota, la cual significa servir en una labor de sirviente, a partir de está fecha se toma el concepto de robot.

12 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) En 1938, es diseñado un mecanismo de pintura en spray programable para la compañía DeVilbiss, por los americanos William Pollard y Harold Roselund En 1946, George Devol patenta el aparato para controlar máquinas de propósito general, el cual usa un proceso de grabación magnética. En 1948, Norbert Wiener un profesor del Instituto ecnológico de Mássachussets, publica el libro Cybernetics, el cual describe el concepto de comunicación y control en electrónica, mecánica, y sistemas biológicos. En 1951, es diseñado un brazo articulado equipado con un teleoperador por Raymond Goertz para la Comisión de Energía Atómica. En 1954, es diseñado el primer robot programable por George C. Devol, quien utiliza el término automatización universal. En 1959, la compañía Planet corporation introduce en el mercado el primer robot comercial disponible. En 1960, la compañía Condec Corporation compra Unimation y comienza el desarrollo del Unimate Robot system. En 1961, es instalado el primer robot Unimate. En 196, General Motors instala el primer robot industrial en una línea de producción, el robot seleccionado es de la marca Unimate. En 1968, el instituto de investigación de Stanford, construye y prueba un robot con capacidad de visión, el cual es nombrado Shakeys. En 1970, es desarrollado, en la universidad de Stanford, un brazo robot, el cual se convierte en la base para los proyectos de investigación. La fuente de potencia del brazo es eléctrica y es conocido como el brazo de Stanford. En 1971, la Asociación de Robots Industriales Japonesa (JIRA por sus siglas en inglés) comienza la promoción del uso de robots en las industrias japonesas. En 1973, es desarrollado el primer robot controlado por mini computadora, comercialmente disponible, por Richard Honh para la compañía Cincinnati Milacron. El robot es llamado el 3, la herramienta del mañana. En 1975, se forma el Instituto de Robots Americano (RIA) para ayudar efectivamente a las industrias norteamericanas a implementar robots, en la automatización de las fábricas. En 1976, El robot de la NASA Viking II aterriza en Marte. El cual disponía de un brazo robótico articulado. En 1977, ASEA Brown Boberi Robotics Inc, una compañía europea de robots, ofrece dos tamaños de robots industriales eléctricos controlados por microcomputadora.

13 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) En 1978, con apoyo de la General Motors, Unimation desarrolla la máquina universal de ensamble programable (PUMA), usando tecnología de la empresa Vircarm. En 1984, son introducidos los robots Direct-drive por la compañía Adept, con motores eléctricos conectados directamente en los brazos, eliminando la necesidad de engranes y cadenas intermediarias. En 1990, ASEA Brown Boberi Robotics Inc. compra la división de robótica de la compañía Cincinnati Milacron, y todos los robots futuros serán ASEA machines Los robots industriales pueden clasificarse de diversas maneras, entre las que destacan la geometría, la fuente de poder y las aplicaciones, temas que serán tratados en el capítulo uno del presente trabajo El capítulo dos, trata el cálculo de las coordenadas generalizadas del manipulador, al obtener por principio, la matriz de datos de los parámetros de Denavit-Hartenberg, obtenidos al posicionar los ejes de referencia de cada uno de los eslabones del manipulador, para después obtener las matrices de transformación que los relacionan con respecto a un sistema de ejes de referencia inercial y así obtener las ecuaciones de movimiento del manipulador, ecuaciones que serán resueltas usando el método iterativo de Newton Raphson, debido a que se tiene un sistema no lineal sobredeterminado En el capítulo tres, se obtienen los aspectos físicos del manipulador como son determinación de la matriz de inercia de cada eslabón al referir el mismo a sus ejes de revolución, así como a los centros de masa y los vectores que relacionan los eslabones con el sistema inercial en la base del manipulador. En el capítulo cuarto, se obtienen los pares de fuerzas para mover los eslabones del manipulador, estos se obtienen a partir de la metodología de Lagrange, la cual se divide en dos partes principales, el cálculo de la energía cinética total y el cálculo de la energía potencial total del manipulador, que al sumarse dan como resultado la energía total necesaria, para que el manipulador pueda cambiar de posición, misma que es transformada en energía mecánica, obteniendo así las fuerzas y momentos necesarios, para que el manipulador recorra una distancia en la punta de su extremo libre. Las conclusiones y recomendaciones se dan en el capítulo cinco, estás que pueden ser útiles en el desarrollo de las demás áreas necesarias futuras para el desempeño total del manipulador, obteniéndose los puntos críticos del movimiento, las limitaciones del funcionamiento, y los posibles errores generados por la disposición mecánica.

14 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) GLOSARIO. Cinemática Rama de la mecánica que estudia los movimientos de los cuerpos, con independencia de las fuerzas que los producen. Cadena cinemática movimiento. Sucesión de eslabones relacionados entre si para transmitir Coordenada Cada una de las líneas que sirven para determinar la posición de un punto, y de los ejes y planos a que se refieren dichas líneas. Coordenada generalizada Son cada uno de los parámetros, independientes entre si, que determinan la configuración del sistema respecto a un eslabón fijo. Dinámica Rama de la mecánica que estudia las relaciones de las fuerzas y los movimientos. Efector final una tarea especifica. Último eslabón de un manipulador robótico, diseñado para realizar Eslabón odos y cada uno de los elementos que forman la cadena cinemática de un manipulador robótico. Fuerza cuerpo. acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento de un Geometría Disciplina matemática que tiene por objeto el estudio riguroso del espacio y de las formas. Grados de libertad Cantidad de coordenadas generalizadas que determinan completamente la configuración del mecanismo. Hidráulica los líquidos. Jacobiano el tiempo. Ciencia y técnica que trata las leyes de la estabilidad y circulación de Representación de la geometría de los elementos de un mecanismo en Manipulador robótico Mecanismo reprogramable. Máquina Conjunto de mecanismos combinados para recibir una forma determinada de energía, transformarla y restituirla en otra más apropiada. Marcos de referencia Ejes de coordenadas con respecto a los cuales se describen los eslabones de un manipulador.

15 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Matriz de inercia Matriz que contiene los momentos de inercia y los productos de inercia de un cuerpo. Matriz de transformación Descripción de un par cinemático de acuerdo a la metodología de Denavit-Hartenberg. Mecánica Ciencia que tiene por objeto el estudio de las fuerzas y de sus acciones. Mecanismo Conjunto de eslabones articulados, diseñados para trazar una trayectoria, generar una función o mover un cuerpo por ángulos y puntos dados. Momento Es la acción de una fuerza referenciada a un punto distante de su aplicación. Robot Conjunto de eslabones seriados automáticos y programables, capaces de realizar una tarea preestablecida. Robótica Conjunto de técnicas utilizadas para el diseño y construcción de robots industriales y la puesta en práctica de sus aplicaciones. rayectoria Línea descrita por un punto material en movimiento. Vector de posición eslabón. Vector que ubica la posición del centro de masa de un

16 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) CAPÍULO 1. ESADO DEL ARE DE LOS MANIPULADORES ROBÓICOS INDUSRIALES En el presente capítulo se revisarán las diferentes clasificaciones en que pueden ser catalogados los manipuladores robóticos industriales, tomando en cuenta: la morfología, la energía primaria para inducir el movimiento, la clasificación de acuerdo a los lineamientos de la Organización Internacional de Estandarización y el uso final al que estén destinados. 1.1 Clasificación de los robots de acuerdo a su configuración mecánica De acuerdo a la geometría o a la configuración mecánica básica del manipulador robótico, estos pueden clasificarse como cartesianos, cilíndricos, esféricos y articulados Geometría cartesiana Un robot con geometría cartesiana, puede mover su efector final a cualquier posición dentro de un cubo o un rectángulo definido como su área de trabajo. Esta configuración está formada por dos categorías, transversal y longitudinal. Este tipo de coordenadas geométricas tienen las siguientes ventajas: Áreas muy largas de trabajo, ya que el desplazamiento en el eje X puede ser incrementado fácilmente. El montaje de cabezales deja grandes áreas de manufactura libres para otros usos. Pueden ser usados sistemas de control simples. Las desventajas que presentan estos tipos de coordenadas son: El acceso al área de trabajo, por medio del cabezal con carga de otros materiales o equipos, puede desequilibrar la estructura. En algunos modelos la posición de los mecanismos de manejo, así como el control eléctrico, pueden causar dificultades de mantenimiento. [1] Geometría cilíndrica Un robot de geometría cilíndrica puede mover su efector final dentro del volumen descrito por un cilindro. El brazo de geometría cilíndrica está posicionado, en el área de trabajo, por dos movimientos lineales, uno a lo largo del eje Z, otro en la dirección del radio R, y uno de rotación angular alrededor del eje Z.

17 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Algunas de las ventajas en la geometría cilíndrica son las siguientes: Un profundo alcance horizontal en las máquinas de producción. La estructura vertical de la máquina ahorra espacio en la planta. Es necesaria una estructura muy rígida para soportar grandes cargas y una buena repetibilidad. La gran desventaja de está geometría, es el alcance limitado a la izquierda y a la derecha, debido a las deformaciones mecánicas. [1] Geometría esférica Los brazos de geometría esférica, también llamados polares, son aquellos que pueden mover su efector final dentro del volumen descrito por una esfera, requieren un movimiento coordenado en todos los ejes de posición para movimiento en las direcciones X, Y y Z. Los brazos de geometría esférica, posicionan al robot en dos rotaciones y un desplazamiento lineal. La orientación de la herramienta está dada por medio de tres rotaciones en la muñeca (rotación, cabeceo y alabeo). Las ventajas y desventajas son las mismas que las de los brazos de geometría cilíndrica, con la excepción de que los robots de geometría cilíndrica poseen una estructura más vertical, y los de geometría esférica son más bajos y alargados en tamaño. [1] Geometría articulada Los robots industriales articulados, también llamados máquinas antropomórficas, tienen un área de trabajo irregular, tienen dos grandes variantes: verticalmente articulado y horizontalmente articulado. Los robots verticalmente articulados, son también llamados juntas esféricas y tienen tres movimientos principales angulares, la base de rotación (eje 1), el hombro (eje ) y antebrazo (eje 3). Ventajas de los robots verticalmente articulados: Aunque ocupan un mínimo de espacio en el piso, tienen una gran distancia de alcance horizontal. ienen un buen radio de alcance, resultado de la habilidad de contraer el brazo cuando se encuentra en su posición de nido. Una alta movilidad y posicionamiento del brazo les permiten tener alcance en espacios cerrados, y alrededor de obstrucciones.

18 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Existen dos posibles variaciones de la geometría verticalmente articulada, descritas como: Un eje adicional de movimiento rotacional (eje 4) en el antebrazo, que le permite rotar a este eslabón. Un eje de movimiento adicional lineal (eje 4) en el antebrazo, que le permite extenderse y expandirse. El robot horizontalmente articulado, tiene dos movimientos angulares que consisten en: una rotación en el brazo y el antebrazo, y un movimiento de posición lineal para un posicionamiento vertical. Los brazos horizontalmente articulados están divididos por dos configuraciones mecánicas: El brazo de robot articulado. El robot articulado de base horizontal. [1] 1.. Clasificación de los robots de acuerdo a su fuente de poder Existen tres fuentes primarias para la alimentación de energía en la manufactura de los sistemas de potencia, energía hidráulica, energía neumática y fuerza electromagnética, usadas como generadores de movimiento en los robots actuales. La clasificación de los robots en base a la fuente de energía utilizada es la siguiente: Potencia hidráulica Los robots que utilizan como fuente primaria un generador hidráulico, son diseñados para trabajos en los que la fuerza necesaria para ejecutar la tarea es muy grande, estos robots obtienen la fuerza requerida a través de una bomba hidráulica que alimenta los actuadores hidráulicos que a su vez generan el movimiento de los eslabones del manipulador Potencia neumática Los robots que utilizan como fuente primaria el aire comprimido, son diseñados para trabajos en los que la fuerza que se requerirá es pequeña, pero a velocidades considerables, estos robots obtienen la fuerza requerida a través de un compresor de aire, que alimenta los actuadores neumáticos, que a su vez generan el movimiento de los eslabones del manipulador Potencia electromagnética Los robots que utilizan la potencia electromagnética, son los de menor capacidad en cuanto a fuerza de trabajo se refiere, pueden llegar a ser muy precisos, dependiendo el número de pasos de los motores que moverán las articulaciones, estos motores son alimentados a través de una corriente eléctrica a diferentes voltajes.

19 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) 1.3. Clasificación de acuerdo a la organización internacional de estándares (ISO) La ISO ha establecido muchos documentos de estándares para ayudar en la colección de datos válidos de un robot, siendo cuatro áreas principales: secuencia, trayectoria, adaptabilidad y tele operación. La operación del controlador del robot provee la principal diferencia en la clasificación de categorías dadas por el estándar. [1] Secuencia El robot neumático no servo-controlado con control de línea de paro a paro, ya sea en geometría cartesiana o cilíndrica, es el que mejor describe a está categoría. La naturaleza binaria de encendido y apagado del controlador de salida, maneja los ejes secuencialmente, para una buena definición de los puntos finales. La trayectoria sin embargo, no está controlada o definida. El controlador más frecuentemente usado para está categoría de robots es el PLC o controlador lógico programable. [1] rayectoria Está categoría incluye todas las geometrías con servomotores eléctricos o con ejes hidráulicos y operaciones de trayectoria controlada. Está clasificación se caracteriza por el movimiento de multiejes y movimientos en línea recta generados internamente. [1] Adaptables Está es una nueva categoría que incluye las máquinas pensantes. Ejemplos puros de está categoría no existen actualmente, sin embargo, robots de trayectoria operados con sensores adaptables, o controles con funciones de autoaprendizaje, tipifican estos sistemas eleoperados Robots teleoperados que extienden las funciones motrices humanas y robots en otros planetas y lugares remotos, han sido usados por muchos años para manipular material radioactivo. Está categoría incluye una nueva clase de máquinas operadas a distancia, que pueden programarse para responder a las acciones del operador. [1] 1.4. Clasificación de acuerdo a su empleo Robot de tomar y colocar. Es el robot más sencillo, este robot toma un objeto y lo coloca en otro lugar. La libertad del movimiento suele estar limitada a los grados de libertad del manipulador Servorobot. En este robot se emplean servomecanismos para los brazos y manos, a fin de modificar su sentido de movimiento cuando están en el aire.

20 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Robot programable. Se acciona con un controlador programable, en el cual se almacena una secuencia de movimientos en una memoria y se estos se repiten en forma continua Robot controlado por computadora. Este tipo de robot se programa mediante instrucciones electrónicas al controlador Robot sensorial. Es un robot controlado por computadora, que tiene uno o más sentidos artificiales para detectar las zonas de trabajo y retroalimentar información al controlador Robot para línea de ensamble. Es un robot controlado por computadora, que puede o no tener sensores; está destinado a trabajos en la línea de ensamble. [] 1.5. Beneficios y desventajas de la robótica La ventaja que presenta en la industria, el invertir dinero en un robot, es que, aunque es una inversión a largo plazo, por el alto costo inicial que representa el comprar un robot, la productividad es aumentada considerablemente, además de una mejor eficiencia comparada con la que podría tener un operario calificado, ya que al ser humano le afectan muchos factores de su vida cotidiana, como son las desveladas, la mala alimentación, y conflictos emocionales que se le pueden llegar a presentar, teniendo estos un gran peso en la calidad del producto que se está elaborando, a diferencia de un manipulador robótico, el cual, al no poseer sentimientos, no tiene ningún tipo de problema emocional, además de que pueden trabajar turnos seguidos sin cansarse, manteniendo la misma calidad en su trabajo y con la misma eficiencia. En cuanto a seguridad se refiere, es más barato tener a un robot para realizar tareas de alto riesgo, que a un operador calificado, ya que primero, en caso de que sucediera un accidente, el robot no necesita de un hospital para ser atendido, por lo tanto no se necesita pagar una póliza de seguro para resguardar su salud. omando como ejemplo el proceso de soldadura con arco eléctrico, el cual es un proceso en el cual se produce mucho calor, lo que produce mas cansancio en el soldador, además de ser riesgoso y tedioso por lo repetitivo, existe riesgo de que el operador sufra un accidente, consecuencia de las condiciones de trabajo, a diferencia del manipulador, que está diseñado específicamente para realizar tareas repetitivas. Cabe mencionar que los robots actuales no van a sustituir a las personas, ya que los robots no pueden actuar ante situaciones imprevistas, ni con cambios de condiciones, por lo que en la mayoría de las plantas manufactureras se emplean personas y robots en las líneas de producción, en donde las personas elaboran actividades que requieren de la capacidad

21 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) motora y perceptiva humana, la coordinación de los ojos con las manos, la planeación, decisiones y evaluación. De lo anterior se pueden resumir las razones por las cuales se instala un robot en una industria. La reducción de costos de mano de obra. Mejorar la calidad del producto. Eliminar trabajos peligrosos y monótonos. Aumentar el volumen de producción. Aumentar la flexibilidad en los productos. Reducir el desperdicio de materiales. Cumplir con los reglamentos de seguridad industrial. Disminuir la rotación de personal. Reducir el costo de inversiones en equipo. La clasificación de los manipuladores industriales ayuda a poder seleccionar el robot más adecuado para realizar una tarea determinada, al tener parámetros de selección como es el área o volumen de trabajo, la fuerza necesaria para realizar una tarea, el sistema de control necesario, en virtud de los ciclos que serán llevadas a cabo y la necesidad de reprogramarlos. Ya se han presentado las diferentes clasificaciones de los manipuladores robóticos que existen actualmente en la industria, por lo que en el siguiente capitulo, será el MIRH1, el objeto de estudio, clasificándolo, describiendo sus capacidades como son el volumen de trabajo, además de comenzar el estudio de sus eslabones al obtener los parámetros de Denavit-Hartenberg, y los momentos de inercia del manipulador.

22 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) [1] REHG, James A. INRODUCION O ROBOICS IN CIM SYSEMS. New Jersey. Prentice Hall 000. [] FEIRER, John L. MEALISERIA ARE Y CIENCIA DEL RABAJO CON MEALES. México. McGraw-Hill 1990.

23 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) CAPÍULO. ASPECOS FÍSICOS DEL MANIPULADOR Dentro del presente capítulo, se hablará de la conformación del manipulador, pudiendo así posicionarlo dentro de las diferentes clasificaciones de manipuladores robóticos, también se hablará de la capacidad de trabajo, el volumen de trabajo, los momentos de inercia de sus eslabones y la obtención de la matriz Jacobiana del manipulador. Para clasificar el MIRH1, primero se darán a conocer sus capacidades y su geometría, además de la energía primaria con la que opera. Para poder situar el MIRH1 en un área de trabajo, es necesario catalogarlo, de acuerdo a las clasificaciones del capitulo 1, para después comenzar el estudio cinemático obteniendo sus parámetros geométricos en una matriz numérica que los describa, para así desarrollar las ecuaciones cinemáticas de movimiento, esto se hace haciendo uso de los parámetros de Denavit-Hartenberg, mismos que serán desarrollados posteriormente..1 Clasificación MIRH1 De acuerdo a la geometría del manipulador, el MIRH1 se clasifica dentro de los robots industriales de geometría articulada, verticalmente articulado, ya que posee tres movimientos principales, que son una rotación en la base, un hombro y un antebrazo, además de poseer un eje adicional de movimiento rotacional, que le permite rotar el antebrazo. Con respecto a la fuente de poder, el MIRH1 se sitúa dentro de los robots hidráulicos, de donde viene su nombre, debido a que el movimiento esta generado por la fuerza que le transmite una bomba hidráulica, repartida mediante tubería a sus diferentes actuadores para así lograr movimiento en sus eslabones. El MIRH1 es un robot de trayectoria, de acuerdo a la clasificación de la Organización Internacional de Estándares, ya que es la que contiene a los robots hidráulicos con operaciones de trayectorias controladas.. Capacidades del MIRH1 Las capacidades del MIRH1 están enfocadas básicamente al volumen de trabajo, y a la capacidad de carga que puede tener el manipulador, éstas capacidades fueron obtenidas directamente de la tesis de maestria Diseño mecánico de un brazo Manipulador Industrial Robótico Hidráulico (MIRH1) de 5 grados de libertad del M. En C. Raymundo Vázquez, trabajo que precede al actual y en el que se definió la estructura y diseño mecánico del MIRH1. [1]

24 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1)..1. Volumen de trabajo El MIRH1 tiene un volumen de trabajo determinado por la geometría articulada de sus eslabones, la capacidad de sus pistones y motores hidráulicos. Este volumen comprende un alcance máximo y mínimo longitudinal, tomado a partir del eje de giro del motor de la base al extremo libre del brazo, y un alcance vertical superior e inferior, medidos desde de la base sobre la cual está montado, hasta el extremo libre del manipulador Alcance longitudinal El alcance máximo horizontal del MIRH1 es de mm a una altura de mm tomando como referencia el eje de rotación del motor de la base, como se muestra en la figura.1 El alcance mínimo horizontal del MIRH1 es de mm a una altura de mm tomando como referencia el eje de rotación del motor de la base, como se muestra en la figura. Figura.1 Alcance máximo horizontal del MIRH1 Figura. Alcance mínimo horizontal del MIRH1

25 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1)..1. Alcance vertical El alcance máximo vertical del MIRH1 es una altura de mm, a una distancia longitudinal de mm, tomando como referencia el eje de rotación del motor del eslabón 1 y la base de anclaje, como se muestra en la figura.3 El alcance inferior vertical del MIRH1 está situado a una altura de mm, por debajo de la base de anclaje del manipulador, a una distancia de mm, tomando como referencia el eje de rotación del motor del eslabón 1, como se muestra en la figura.4 Figura.3 Alcance máximo vertical de MIRH1 Figura.4 Alcance mínimo vertical del MIRH1

26 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) VISA LAERAL VISA FRONAL VISA SUPERIOR Figura.4b Volumen de trabajo del MIRH1

27 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1).. Capacidades de carga máxima. El MIRH1 tiene dentro de su configuración dos motores hidráulicos, ubicados de tal manera que uno de ellos genera movimiento al eslabón 5, y el otro da movimiento al efector final, una vez que este sea instalado, estos motores son de capacidades limitadas teniendo torques máximos de 80N-m y 38 N-m respectivamente. El movimiento de los eslabones dos y tres, es generado a partir de cilindros hidráulicos de doble efecto, ya que es en estos eslabones en los que se requiere la mayor fuerza para mover el manipulador. [1].3. Obtención de los parámetros de Denavit Hartenberg Los parámetros de Denavit-Hartenberg, permiten describir a partir de matrices, la geometría de los eslabones del MIRH1, este método matricial, establece un sistema coordenado para cada elemento de una cadena articulada. La representación de Denavit- Hartenberg, resulta en una matriz de transformación homogénea de 4x4, que representa cada uno de los sistemas de coordenadas del elemento previo, así mediante transformaciones secuenciales, el extremo libre del manipulador, se puede transformar y expresar en coordenadas de la base, que constituyen el sistema inercial. La convención a usar para localizar los marcos de coordenadas de los eslabones como se ilustra en la figura.5 es la siguiente: De acuerdo con la metodología Craig [] el eje Z del marco {i}, llamado Z i, debe coincidir con el eje de rotación i. El origen del marco {i} deberá estar localizado donde la perpendicular a i intersecte el eje de revolución i. X i deberá apuntar a lo largo de a i en del dirección del eje de revolución i al eje de revolución i+1. Cuando a i = 0, X i será normal al plano Z i y Z i+1. αi será medida de acuerdo a la regla de la mano derecha respecto a X i, teniéndose la libertad de escoger el signo de αi en dos opciones de dirección X i y Y i, debiendo tener siempre en cuenta la regla de la mano derecha para completar el i-ésimo marco.

28 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Figura.5 Marcos de referencia. a = Es la distancia de Z0 a Z1 medida a lo largo de X0 igual a 0. 0 α = Es el ángulo entre Z0 y Z1 medido sobre X0 igual a 0. 0 d = Es la distancia de X0-1 a X0 medida a lo largo de Z0 igual a 0. 0 θ = Es el ángulo entre X0 y X1 medido sobre Z0 y es variable. 0 a = Es la distancia de Z1 a Z medida a lo largo de X1 igual a 0. 1 α = Es el ángulo entre Z1 y Z medido sobre X1 igual a d = Es la distancia de X0 a X1 medida a lo largo de Z1 igual a 0. 1 θ = Es el ángulo entre X0 y X1 medido sobre Z1 y es variable 1 a = Es la distancia de Z a Z3 medida a lo largo de X igual a 450mm. α = Es el ángulo entre Z y Z3 medido sobre X igual a 0. d = Es la distancia de X1 a X medida a lo largo de Z igual a 0. θ = Es el ángulo entre X1 y X medido sobre Z y es variable. a = Es la distancia de Z3 a Z4 medida a lo largo de X3 igual a 450mm. 3 α = Es el ángulo entre Z3 y Z4 medido sobre X3 igual a 0. 3 d = Es la distancia de X a X3 medida a lo largo de Z3 igual a 0. 3 θ = Es el ángulo entre X y X3 medido sobre Z3 y es variable. 3

29 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) a = Es la distancia de Z4 a Z5 medida a lo largo de X4 igual a 0. 4 α = Es el ángulo entre Z4 y Z5 medido sobre X4 igual a d = Es la distancia de X3 a X4 medida a lo largo de Z4 igual a 0. 4 θ = Es el ángulo entre X3 y X4 medido sobre Z4 y es variable. 4 a = Es la distancia de Z5 a Z6 medida a lo largo de X5 igual a 0. 5 α = Es el ángulo entre Z5 y Z6 medido sobre X5 igual a 0. 5 d = Es la distancia de X4 a X5 medida a lo largo de Z5 igual a 44mm. 5 θ = Es el ángulo entre X4 y X5 medido sobre Z5 y es variable. 5 En la figura.5 se muestran únicamente los ejes de referencia 0 a 5, por lo que los elementos que hacen referencia a los ejes -1 y 6 serán cero. En la tabla.3.1, se resumen los parámetros de Denavit-Hartenberg. [], que describen las medidas geométricas de cada par cinemático. abla.3.1 j θ j a j α j d j Valor de θ 0 θ θ 1 0 π 0 π θ π 3 θ θ 4 0 π θ

30 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1).4. Momentos de inercia de masa del MIRH1 Cuando un cuerpo rígido esta sometido a fuerzas y pares de fuerza, el movimiento rotacional resultante depende no solo de su masa, sino también de cómo esta distribuida la masa [8]. Para calcular los momentos de inercia de un cuerpo, es conveniente modelarlos como distribuciones continuas de masa, y expresar el momento de inercia de masa respecto a un eje, de la siguiente manera: I = m rdm Donde r es la distancia perpendicular del eje del centro de masa, al elemento diferencial de masa dm Los momentos de inercia de cuerpos complejos se pueden determinar sumando los momentos de inercia de sus partes individuales. Esto es factible de hacer utilizando el teorema de los ejes paralelos, que relaciona los momentos de inercia de cuerpos compuestos, por combinaciones de partes sencillas. Donde m es la masa del cuerpo I0 = I + dm d es la distancia perpendicular entre el eje al que se referencia el momento de inercia de la figura, y el eje al que se quiere encontrar el momento de inercia I es el momento de inercia del cuerpo referenciado a su centro de masa. Para determinar el momento de inercia de una pieza compuesta se recomienda lo siguiente: Dividir el cuerpo en partes cuyos momentos de inercia de masa se reconozcan o se puedan determinar con facilidad. Determinar el momento de inercia de esas partes, primero determinando el momento de inercia que pasa por el centro de masa, y después utilizar el teorema de los ejes paralelos para reverenciarlo al eje que se requiere. Sumar los momentos de inercia de todas las partes que componen el cuerpo.

31 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Los momentos de inercia de los eslabones, fueron obtenidos de la tesis Diseño mecánico de un manipulador industrial robótico hidráulico (MIRH1) de cinco grados de libertad, siendo estos como a continuación se describen. [1] Propiedades de masa del eslabón 0 Densidad: 0.01 g 3 mm Z 0 Masa: g Volumen: mm Área: X m Centro de masa: Matriz de inercia: X = 11.70mm Y = 31.74mm Z = 31.74mm E x x10 kg m x Figura.6 Eslabón 0 del MIRH1 Propiedades de masa del eslabón 1 Densidad: 0.01 g 3 mm Masa: g Volumen: Área: mm m X 1 Centro de masa: X = 50.11mm Y = 18.75mm Z = 0.09mm Y 1 Matriz de inercia: x kg m x Figura.6 Eslabón 1 del MIRH1

32 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Densidad: 0.01 g 3 mm Y X Masa: g Volumen: Área: mm m Figura.7 XEslabón = 4.43mm 1 del MIRH1 Centro de masa: Matriz de inercia: Y = 0.80mm Z = 0.5mm x10 kg m x Figura.8 Eslabón del MIRH1 Propiedades de masa del eslabón 3 Densidad: 0.01 g 3 mm Masa: g Y 3 X 4 Volumen: Área: mm m Z 4 X 3 Centro de masa: X = 64.57mm Y = 0.39mm Z = 0.00mm Matriz de inercia: x x10 kg m x x x Figura.9 Eslabón 3 del MIRH

33 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Propiedades de masa del eslabón 3 Densidad: 0.01 g 3 mm Masa: 49.50g X 5 Volumen: mm Área: m Z 5 Centro de masa: X = 0.00mm Y = 0.056mm Z = 1.17mm Matriz de inercia: x x kg m Figura.10 Eslabón 4 del MIRH1.5 Jacobiano del manipulador El jacobiano es la representación de los elementos geométricos de un mecanismo en el tiempo. Permite la conversión de movimientos o velocidades diferenciales de articulaciones individuales, en los movimientos o velocidades diferenciales de los puntos de interés. ambién contiene la manera en que afectan las articulaciones individuales a todo el movimiento del mecanismo. El jacobiano es relativo al tiempo, ya que los valores de los ángulos varían en el tiempo, los elementos del jacobiano también variarán de la misma manera. Los cambios diferenciales de posición y orientación en la matriz de transformación, están dados por los cambios de los ángulos de sus articulaciones de rotación dθ. Se definirán las transformaciones diferenciales de cambio, que corresponden a una unidad de rotación diferencial alrededor del eje z, siendo este aplicado al eslabón i-1, i 1 teniendo la nomenclatura. i

34 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1).5.1. Cálculo del movimiento diferencial del manipulador A partir del teorema de Chasles que dice Dadas dos posiciones distintas de un sólido, siempre se puede pasar de una a otra aplicando una traslación seguida de un giro de infinitas formas posibles. Entre ellas hay una en la que el eje de rotación es paralelo a la traslación, por lo que el movimiento resultante es de tipo helicoidal o de tornillo podemos aplicar lo mismo para las relaciones diferenciales, que son de gran importancia para la manipulación. La mas obvia es el caso de los movimientos de acomodo, por ejemplo cuando una cámara observa el efector final del manipulador y calcula los cambios diferenciales de posición y orientación. Las relaciones diferenciales también son empleadas para encontrar los cambios correspondientes en las articulaciones de un cambio diferencial especifico. En este caso se quiere transformar los cambios diferenciales de un marco especifico a otro marco. Dada una matriz de transformación cuyos elementos son funciones de algunas variables, la transformación diferencial con respecto a esas variables es la transformación cuyos elementos son las derivadas de los elementos de la transformación original. Ahora bien si se restringe solo a las transformaciones que representan traslación y rotación, se pueden expresar las derivadas de la traslación y rotación como una traslación y una rotación diferencial. Mas aun se puede expresar la traslación y la rotación diferencial en términos ya sea de las coordenadas dadas de un marco especifico, o en el marco de coordenadas de la base. Lo que es, dado un marco especifico G, podemos expresar G+dG como: Donde: raslacion( dx, dy, dz ) (,, ) (, θ ) G+ dg = raslación dx dy dz Rotación kd G (.1) Es la transformación que representa la traslación de dx, dy y dz, en las coordenadas de la base. Rotacion( kdθ, ) Es la transformación que representa la rotación diferencial dθ, alrededor de un vector k también en las coordenadas de la base. De lo anterior se deduce que ( (,, ) (, θ ) ) dg = raslación dx dy dz Rotación kd I G (.) Alternativamente se puede expresar el cambio diferencial en términos de una traslación y una rotación diferencial en el marco especifico G (,, ) (, ) G+ dg = G raslación dx dy dz Rotación kdθ (.3)

35 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Donde: raslacion( dx, dy, dz ) Es ahora una transformación que representa la traslación diferencial con respecto al marco de referencia G. Rotacion( kdθ, ) Representa la rotación diferencial dθ, alrededor de un vector k descrito en el marco de referencia G. dg estará dada entonces por: ( (,, ) (, θ ) ) dg = G raslación dx dy dz Rotación kd I (.4).5. La transformación de traslación y rotación diferencial La expresión común que aparece en las ecuaciones (.) y (.4) (,, ) (, ) raslación dx dy dz Rotación kdθ I Representa la traslación y rotación diferencial, que será denotada por el símbolo = raslacion dx, dy, dz Rotacion kdθ, 1 (.5) La ecuación (.), se puede escribir como: dg = G (.6) Siendo ésta el cambio con respecto al marco de coordenadas de la base. Para el cambio con respecto a un marco de referencia se indica con el superíndice por delante como se indica en (.7): dg = G (.7) La traslación y la rotación alrededor de un vector k son: ras d dx d y = dz (.8)

36 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Rot k (, θ ) kkvers x x θ + cosθ kkvers y x θ ksen z θ kkvers z x θ ksen y θ 0 kkvers x y θ + ksen z θ kkvers y y θ + cosθ kkvers z y θ ksen x θ 0 = kkvers x z θ ksen y θ kkvers y z θ ksen x θ kkvers z z θ + cosθ (.9) La ecuación (.9), representa la matriz de rotación respecto a un eje arbitrario, en la que k x, k y y k z, son los vectores unitarios que representan el marco inercial de coordenadas y θ, es el ángulo de rotación respecto al eje Z [4] Para tener un cambio diferencial dθ, las funciones trigonométricas cambian a: limsenθ θ 0 dθ limcosθ 1 θ 0 limversθ 0 θ 0 Por lo que, la ecuación (.9) se reduce a: Rot k (, θ ) 1 kd z θ kd y θ 0 kd z θ 1 kd x θ 0 = kd y θ kd x θ (.10) Por lo tanto, la ecuación (.5) se define como: dx 1 kd z θ kd y θ dy kd z θ 1 kd x θ = dz kd y θ kd x θ kd z θ kd y θ dx kd z θ 0 kd x θ dy = kd y θ kd x θ 0 dz (.11) Ahora bien, estableciendo una relación entre las transformaciones de rotación alrededor de los ejes x, y, z, se tiene que: Rot x (, θ ) cosθ senθ 0 = 0 senθ cosθ (.1)

37 CINEMÁICA Y DINÁMICA DEL MANIPULADOR INDUSRIAL ROBÓICO HIDRÁULICO (MIRH1) Rot y Rot z (, θ ) (, θ ) cosθ 0 senθ = senθ 0 cosθ cosθ senθ 0 0 senθ cosθ 0 0 = Para el caso de cambios diferenciales en los que, senθ rotaciones (.1) (.13) y (.14) quedan de la siguiente manera: Rot x Rot y Rot z (, δ ) x (, δ y ) (, δ ) z δ 0 x = 0 δx δ y = δy δ z 0 0 δ z = (.13) (.14) dθ y cosθ 1, las (.15) (.16) (.17) Por lo que, al relacionar los giros en los tres ejes, e ignorando los términos de segundo orden se tiene: (, δ ) (, δ ) (, δ ) Rot x Rot y Rot z x y z 1 δz δy 0 δz 1 δx 0 = δy δx (.18) Así pues, al comparar las ecuaciones (.18) y (.10), se nota que las diferenciales de rotación dθ, alrededor de un eje k, son equivalentes a las rotaciones diferenciales δ, δ y δ z, por lo que, la ecuación (.11) queda de la siguiente manera: x y