ε x = du dx ε(x) = ds ds = du(x) dx

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1 Capítulo 8 ECUCIONES DIFERENCIES Cálculo de desplazamientos Dr. Fernando Flores 8.. INTRODUCCIÓN En este capítulo se sistematizan las ecuaciones que gobiernan el comportamiento de vigas. En general se recurre al denominado método de equilibrio o método de los desplazamientos, que consiste en epresar las ecuaciones diferenciales de equilibrio en función de los desplazamientos. Inicialmente se estudia el comportamiento frente a cargas aiales, luego se estudia el problema de eión y nalmente el de torsión. as ecuaciones diferenciales ordinarias resultantes, con sus correspondientes condiciones de contorno, pueden integrarse y obtener los desplazamientos y giros de un elemento de viga aislado. Se muestran algunos ejemplos simples de como realizar dicha integración. 8.. VIGS SOMETIDS ESFUERZOS XIES 8... Ecuación diferencial Recordemos la hipótesis de Bernoullí: durante la deformación de una pieza recta sometida a esfuerzo ail las secciones transversales permanecen planas y paralelas a si misma, lo cual conduce a que todos los puntos de la sección sometida a un esfuerzo aial en su baricéntro mecánico se deforman una misma magnitud ε. Esta deformación ε puede escribirse en función de los desplazamiento aiales u como ε = du Una epresión diferencial que relaciona una medida de deformación ε ) con componentes de desplazamiento u) se denomina una relación o ecuación) cinemática. a epresión de la deformación especíca ε ) 8.) resulta de comparar ver Figura 8..) la longitud del elemento diferencial antes ds = ) y después que se desplace ds = + du ) ε) = ds ds ds = du) 8.) 8.)

2 + ds u u+du ds * +u du ++u+ Figura 8.: Deformación de un elemento diferencial de barra a tensión en cada punto de la sección se obtiene a partir de la ley de Hooke σ = E ε 8.3) Una epresión que relaciona una medida de tensión σ ) con una medida de deformación ε ) se denomina una relación constitutiva dene el comportamiento mecánico del material constitutivo). Si la sección es homogénea será la misma tensión para todos los puntos de la sección. Recordemos que el esfuerzo aial N se dene como la integral de las tensiones aiales sobre la sección: si la sección es homogénea N = = si la sección no es homogénea se dene el valor σ d 8.4) Eε d 8.5) N = σ = E ε 8.6) E = E d 8.7) N = E ε 8.8) Consideremos una barra de sección transversal constante o de variación suave, ver Figura 8..) sometida a una carga distribuida p) en la dirección del eje de la barra. Se ha supuesto que la variación de la sección es sucientemente suave de tal forma que es aceptable la hipótesis de Bernoulli de que la deformación ε es uniforme en cada sección. El elemento diferencial de barra una rebanada) se dene como el limitado por dos secciones separadas un diferencial. El equilibrio de este elemento diferencial resulta de sumar esfuerzos internos y fuerzas eternas actuando sobre el mismo Reemplazando 8.6) y 8.) en 8.9) resulta d dn ) +p) = 8.9) E) du ) +p) = 8.) Si el área de la sección es constante la ecuación anterior se simplica a: Que es una ecuación diferencial: E d u +p) = 8.)

3 ordinaria: es función de una única coordenada, de segundo orden: el máimo orden de derivación que aparece es, lineal : no hay productos entre las variables o entre las variables y sus derivadas a coecientes constantes : los coecientes que multiplican a la incógnita y sus derivadas no dependen de la coordenada. Para resolver esta ecuación debe conocerse, además de la carga eterna p), cuales son las condiciones de contorno o borde. a cantidad de condiciones de contorno que pueden y deben jarse es el orden de la ecuación) y en general una en cada etremo de la barra. Estas pueden ser de desplazamiento jar el valor de u) o de fuerza jar el valor de N o equivalentemente el de ε) Problemas isostáticos Cuando el problema es isostático, esto es cuando es suciente con las condiciones de equilibrio para determinar los esfuerzos, puede resultar más sencillo primero obtener los esfuerzos N ), con estos las deformaciones ε) usando la ley de Hooke y luego los desplazamientos u integrando la ecuación cinemática. Es decir:. a partir de la ecuación de equilibrio 8.9 donde una de las dos condiciones de contorno debe ser de fuerza supongamos en el etremo Final = ), se obtiene N ) como: N ) = N )+ p). Con los esfuerzos se obtienen las deformaciones usando la ley de Hooke 8.6 ε) = N ) E 3. Integramos la ecuación cinemática 8. utilizando la segunda condición de contorno en el etremo opuesto a la de fuerzas) que debe ser de desplazamientos en este caso supuesto en el etremo en = ) u) = u)+ ε) N p) dn N+ X Figura 8.: Equilibrio de un elemento diferencial de barra 3

4 8..3. Combinación de soluciones En buena parte de los problemas de ingeniería resulta aceptable la hipótesis de linealidad utilizada en esta parte del curso. En tal caso es posible sumar las soluciones de una misma estructura con distintas cargas y/o diferentes condiciones de contorno para obtener una nueva solución. Es decir que si dada una barra denida por su geometría longitud y sección) y material, se conocen dos soluciones u ) y u ) para estados de carga p ) y p ) y condiciones de contorno cc y cc respectivamente E d u +p ) = + cc = u ) E d u +p ) = + cc = u ) entonces u) = α u )+β u ) es solución de E d u +[α p )+β p )] = + [α cc +β cc ] donde α y β son coecientes arbitrarios. Es importante notar que. a estructura aislada debe ser la misma misma geometría y material). a suma de las condiciones de contorno implica sumar todas las variables de interés en dichos puntos. Si las condiciones de contorno en cada etremo son del mismo tipo la suma es directa. Sin embargo muchas veces las condiciones de contorno de las soluciones combinadas son de distinto tipo, por lo que la condición resultante en el contono es la suma de las soluciones en el contorno. Por ejemplo si en el etremo = la solución tiene una condición de fuerza N ) = P y la solución tiene una condición de desplazamiento u) = ū, la condición resultante debe interpretarse como u) = α u ) + β u ) o N ) = α N )+β N ) Ejemplos Barra ja en ambos etremos y sometida a peso propio Veamos un primer ejemplo de la solución de la ecuación 8.). Dada una columna cilíndrica impedida de desplazarse en ambos etremos y bajo la acción del peso propio ver Figura 8..4.), interesa determinar la distribución de tensiones en la altura. El eje ha sido orientado de abajo a arriba y su origen está en el etremo inferior, la carga por unidad de longitud es p) = γ donde γ = ρg es el peso especíco del material constitutivo. Notar que en este problema es constante luego la ecuación diferencial resulta E d u = γ 4

5 γα + - u ε σ N Figura 8.3: Columna bajo la acción de peso propio y la integración de la misma resulta sencillamente d u = γ E du) = γ E = γ E +C = γ +C = ε) E u) = γ E +C+D 8.) a determinación de las constantes de integración C y D ) se logra imponiendo las condiciones de contorno, en nuestro caso si los etremos de la columna no pueden desplazarse resulta u =) = D = u =) = γ E +C+D = de la primera D =, llevando a la segunda C = γ y estos valores a 8.) se tiene E u) = γ E ) ε ) = du = γ ) E N ) = Eε ) = γ ) a integral se plantea entre el primer etremo y un valor genérico de que se re-escribre de la misma forma d u = d ) du = du du ) = = du du ) ) = q ) E q ) du + E ) du ) = u) u) = u) = q ) du + E ) q ) du + E )+ u) y habitualmente se reemplaza el valor de du ) y u) por constantes C y D 5

6 Notar entonces, que el desplazamiento u) varía en forma cuadrática, vale en los etremos y es máimo a la mitad de la columna siempre negativo). a deformación ε) varía linealmente y por lo tanto la tensión σ y el esfuerzo interno N ), es nulo a la mitad de la columna, máimo positivo tracción) en el etremo superior y mínimo negativo compresión) en la base. as reacciones en los etremos se obtienen directamente como el valor de N en tales puntos, notando que en el primer etremo = hay que cambiarle el signo porque la reacción es el esfuerzo sobre la cara negativa de la sección es decir que la normal saliente a la sección va en la dirección negativa del eje ) R = N =) = γ R = N =) = γ El peso de la columna es entonces soportado por mitades en cada etremo Barra ja en un etremo, libre en el otro y sometida a peso propio Consideremos ahora el caso de que la misma columna del ejemplo anterior sólo este apoyada en la base. a ecuación diferencial no cambia, sí cambian las condiciones de contorno. En este caso la condición de contorno del borde superior es la que se modica, ahora corresponde a un borde libre, y debe jarse el esfuerzo N = en este caso) o en forma equivalente la deformación ε = en este caso). a solución general de la ecuación diferencial no se modica ec. 8.), lo que hay que recalcular es el valor de las constantes de integración C y D de acuerdo a las nuevas condiciones de borde. hora tenemos u =) = D = du = γ E +C = =) de donde resulta D =, y C = γ, con lo cual: E u) = γ ) E ε ) = du = γ E ) N ) = Eε) = γ ) Notar que el desplazamiento u) vale en la base y crece en forma cuadrática hasta el etremo superior. El esfuerzo interno N varía linealmente desde un valor máimo negativo compresión) en la base de valor igual al peso de la columna), hasta un valor nulo en el etremo superior. Naturalmente todo el peso de la columna está ahora soportado por el apoyo Columna cónica bajo peso propio Supongamos una columna cónica apoyada en su base y libre en la punta, bajo la acción del peso propio. En este caso la ecuación diferencial no es a coecientes constantes y en general en estos casos puede demandar herramientas matemáticas más complejas. a ecuación diferencial a utilizar ahora es la versión 8.). El radio es lineal en donde r o es el radio en la base) r) = r o ) 6

7 γα - u ε σ N Figura 8.4: Columna bajo la acción de peso propio El área de la sección es ) = π[r)] = πr o ) a ecuación a resolver es reordenando d [ Eπro ) ] du γπro = ) [ d Eπro ) ] du γπro ) = }{{}}{{} N p [ d Eπro ) ] du = γπro ) integrando una vez N = Eπr o ) du = oγ πr 3 +C 3 ) En el etremo libre debe cumplirse que el primer miembro se anule N = ), de donde C =. Despejando la derivada e integrando u) = γ 3E du = γ ) 3E ) ) +D valuando en el borde inferior u = = ) resulta D =, nalmente u = γ 3E [ ) ] Sin embargo en este caso el problema es isostático y la solución puede obtenerse en forma sencilla evaluando a) primero los esfuerzos, b) luego las tensiones, c) con ellas las deformaciones usando la ecuación constitutiva y d) nalmente integrando los desplazamientos a partir de las deformaciones. Veamos a continuación los detalles. 7

8 a condición de equilibrio global eige que en cada punto el esfuerzo N ) equilibre el peso de la parte superior. Como la columna es cónica dicho peso vale esto es equivalente a integrar p) entre y el etremo libre = ) N ) = γ ) = γv ) = γ 3 )h) donde h) = es la altura del cono por encima de la sección. a tensión y la deformación valen respectivamente σ) = N ) ) = γ 3 ) ε) = σ) E = γ 3E ) luego la ecuación cinemática 8. permite escribir: du = γ 3E ) u = γ 3E ) +C = γ 3E ) +C la constante de integración C se obtiene usando la condición u =) =, que conduce a C = con lo cual se completa la solución del problema. El desplazamiento de la punta u =) resulta: u) = γ 3E ) = γ 6E Columna tronco-cónica bajo peso propio El presente ejemplo muestra como combinar dos soluciones. Supongamos una columna similar a la anterior pero truncada a una altura H. F γα γα H = + Figura 8.5: Columna tronco-cónica bajo peso propio Dado que la ecuación diferencial es lineal, podemos obtener la solución del problema como la suma de la solución del ejemplo anterior mas la solución del tronco de cono sometido a la fuerza F igual al peso del cono por encima de la altura H F = γh) H) = γ 3 H)πr o H ) 8

9 lamando ū a esta segunda solución, esta surge de resolver despejando integrando N ) = F = E dū = Eπr o dū = F Eπro ū) = F Eπr o ) ) +C la constante C se obtiene con la condición ū =) = con lo cual ū) = F Eπr o C = F Eπro [ ) ] ) dū reemplazando F por su valor, sumando la solución del ejemplo anterior y reordenando u) = γ 3E { [ ) ] + H ) [ ]} 3 ) Notar que esta solución vale para el tronco de cono [ : H]) Por otro lado si se quisiera obtener la solución de la columna tronco-cónica bajo peso propio pero restringida en ambos etremos, puede obtenerse de la siguiente forma, apelando nuevamente a que la ecuación diferencial es lineal y que pueden combinarse linealmente soluciones:. de la solución bajo peso propio con borde libre determinamos el desplazamiento del etremo superior u =H) = γ 3E {[ H ) ] H + H ) [ 3 H. de la solución con borde bajo la acción de una carga F = obtenemos el desplazamiento del borde superior [ ū =H) = Eπro H 3. la restricción de que el borde superior no se desplace implica una reacción R una fuerza puntual aplicada en = H) tal que: u =H) +Rū =H) = de donde puede obtenerse la reacción correspondiente R = u =H) ū =H) y la solución completa es la suma de la solución con el borde libre más la solución debida a la reacción R: u) = γ 3E = γ 3E { [ ) ] + [ ) ] + E H ) [ 3 [ R πr o 9 γ 3 ) ] ]} ) ) ][ 3 H ) ]} [ + R Eπro ] ) ) ]

10 Columna ja en ambos etremos con una carga puntual. Veamos ahora como considerar el caso de un carga puntual aplicada a una altura a. a columna está restringida de desplazarse en ambos etremos y su sección es constante. Pa/ a P + u + ε σ N P-a/) Figura 8.6: Columna con carga puntual a ecuación diferencial no tiene término independiente en todo el dominio E d u = Debido a que la carga puntual P implica una discontinuidad en N en = a, para integrar la ecuación diferencial resulta necesario dividir el dominio en dos partes [ : ] = [ : a] + [a : ], integrando en [ : a] N = E du = C < a en a está la carga puntual que modica el valor de N. a carga puntual puede interpretarse como si en un entorno δ de = a hay una carga distribuida p = P δ entorno δ es: a+ δ N δ =a+ ) = Edu = C + P ) = C P a δ δ de tal forma que en el segundo tramo de tal forma que la integral en dicho N = E du = C P a < integrando nuevamente en cada tramo por separado Eu = C +C Eu = C P a)+c < a a < a determinación de las constantes es muy sencilla, valuando la primera e = llevando a la segunda y valuando en = Eu =) = C = Eu =) = C P a) C = P a ) 3

11 a solución es entonces ) u) = P a E < a u) = P ) a E P E a) = Pa [ ] a < E a variación de los desplazamientos es bi-lineal. os esfuerzos en los etremos valen en = N = C = P a ) en = N = C P = P a Notar que la convención positiva para P es la dirección positiva del eje, así para una carga P positiva el esfuerzo en el primer tramo es de tracción y el tramo superior de compresión. as reacciones son inversamente proporcionales a su distancia al punto de aplicación de la carga ver Figura) Columna con movimientos de etremo Finalmente consideremos el caso de una columna de longitud, que no tiene carga aplicada p) = ) pero de la cual se conocen los desplazamientos u y u de sus etremos. a ecuación diferencial es suponiendo que la columna es de sección constante) cuya integral es sencillamente E du = du = ε = C u) = C+D o primero que debe notarse, lo cual es sencillo e intuitivo, es que al no haber fuerzas distribuidas el esfuerzo normal N es constante. uego al haber supuesto E constante, la deformación es también constante en toda la pieza. as constantes de integración se calculan a partir de las condiciones de donde u =) = D = u u =) = C+D = u D = u y C = u u = ε u) = u u +u = u ) +u donde puede verse que el desplazamiento varía linealmente con entre u y u. Finalmente el esfuerzo normal es N = Eε = E u u ) 8.3) 3

12 a diferencia entre los desplazamientos de los etremos u u ) es la elongación e de la barra y al cociente E se lo denomina la rigidez aial K de la barra, con dicha notación N = Ke que asimila el comportamiento de una barra al de un resorte de rigidez K. Recordar que debido a la hipótesis de linealidad es posible superponer las acciones y respuestas. De esta forma es posible evaluar la respuesta de una columna bajo peso propio de la cual se conocen los desplazamientos de sus etremos como la suma de las soluciones del primer ejemplo y de este último VIGS EN FEXIÓN Teoría clásica de vigas en eión pura Resumiendo lo visto en los capítulos 4-6, las hipótesis más importantes del comportamiento de vigas en eión son además de las de linealidad): El eje de la viga es recto a sección no cambia en todo el tramo. a dirección normal al plano de la viga es una de las direcciones principales de inercia de la sección Supondremos sin ninguna perdida de generalidad) que el plano de movimiento o plano de carga) de la viga es el plano y) y que el eje coincide con el eje de la viga. Denominaremos con v a los desplazamientos en la dirección y.. as fuerzas eternas actúan en la dirección y no hay fuerzas eternas en la dirección aial, si las hubiera la solución de tal problema es lo tratado en la sección anterior).. as tensiones normales en la dirección transversal a la viga σ y ) son despreciables, esto incluye las tensiones de contacto debidas a las cargas aplicadas, luego es indistinto que las cargas se apliquen sobre la partes superior, inferior o sobre el eje de la viga. 3. as secciones se mantienen planas al deformarse la viga 4. as deformaciones debidas al corte transversal son despreciables γ =. Es decir que las secciones se mantienen normales al eje deformado. as últimas dos 3 y 4) conforman la hipótesis de Bernoulli-Navier, la 3) epresa que los desplazamientos u en la dirección debidos a la eión) dependerán del giro de la sección φ y variarán linealmente en la altura de la viga con valor nulo en el eje donde la segunda igualdad resulta de 4). u,y) = φ)y = dv) y 8.4) En base a lo anterior las únicas deformaciones relevantes son las deformaciones de eión en la dirección, que denominaremos simplemente con ε. Estas deformaciones varían linealmente en el espesor en función de la distancia al baricentro de la sección y son proporcionales a la curvatura del eje. ε,y) = du = d dv) ) y = χy 8.5) 3

13 Y φ u=-φy dv y v X Figura 8.7: Desplazamientos en vigas. Plano -y donde la curvatura del eje originalmente recto queda entonces denida por χ) = dφ) = d v 8.6) uego las tensiones en la dirección aial valen σ,y) = Eε,y) = Eχ) y 8.7) El esfuerzo normal por hipótesis vale, lo que se verica ya que N ) = σ,y)d = Eχ)yd = Eχ) y d 8.8) donde la última integral indicada es porque el eje pasa por el baricentro de la sección. El momento ector resulta de integrar el momento de estas tensiones en el área de la sección M ) = σ,y)y d = Eχ) y d = Eχ)I 8.9) Esta última ecuación nos provee la relación constitutiva entre el esfuerzo generalizado M ) y la deformación generalizada χ). a ecuación de equilibrio a la traslación vertical) resulta dt ) +q) = 8.) En tanto que la ecuación de equilibrio de momentos alrededor del eje normal z) al plano de movimiento y) es T )+ dm ) dm ) T ) = levando esta última a la epresión 8.) de equilibrio a la traslación = 8.) 8.) d M ) +q) = 8.3) 33

14 y q) T dt T+ M dm M+ Figura 8.8: Equilibrio en vigas a su vez reemplazando la epresión del momento en función de la curvatura 8.9) d χ) +q) = 8.4) y en base a la hipótesis de que la sección es constante en toda la pieza d χ) +q) = 8.5) nalmente reemplazando aquí la curvatura en función de los desplazamientos 8.6) d4 v) 4 +q) = 8.6) tenemos la ecuación diferencial de equilibrio de la viga a eión en función de los desplazamientos. Esta ecuación diferencial ordinaria, lineal, de 4 orden requiere de 4 condiciones de borde, en general por etremo. Estas condiciones pueden ser de dos tipos: de Dirichlet, esenciales, cinemáticas o geométricas. Físicamente podemos imponer los desplazamientos en un etremo. Estos desplazamientos pueden ser en la dirección y, es decir podemos imponer v), o en la dirección, en este último caso como u depende del giro φ 8.4) lo que podemos imponer es dv. de Neumann, naturales o de fuerzas. Físicamente podemos imponer las fuerzas en un etremo. Estas fuerzas pueden ser el esfuerzo de corte T o el momento ector M energéticamente asociados respectivamente al desplazamiento vertical v y al giro φ. Naturalmente en un mismo etremo pueden tenerse simultáneamente una condición de cada una pero no las conjugadas, es decir puedo simultáneamente imponer el desplazamiento y el momento ector borde simplemente apoyado) o imponer el giro y el corte condición de simetría), pero no simultáneamente el desplazamiento y el corte, o el giro y el momento. as combinaciones de condiciones de contorno más comunes son 34

15 Empotramiento v = φ = dv = rticulación v = M = χ = d v = Etremo libre Simetría T = dm = v d3 = 3 T = dm = v d3 = 3 M = χ = d v = φ = dv = En las epresiones anteriores se indican condiciones de contorno nulas, pero debe entenderse que una condición de contorno no nula es igualmente tratable. Resulta importante destacar la convención de signos utilizada para giros φ), curvaturas χ) y momentos M ). as variables giro φ, y momento ector M son, desde el punto de vista espacial, las componentes sobre la normal al plano de eión eje z), de los vectores φ y M. a convención utilizada corresponde entonces a que dichos vectores tengan una componente positiva sobre el eje z. De esta forma resulta que un giro positivo sentido anti-horario) conduce a desplazamientos u positivos en la parte donde y es negativo ecuación 8.4). Esta opción se hace etensiva al momento ector, de forma que el momento ector es positivo si tracciona las bras donde y es negativo las inferiores en este caso) de donde resulta el signo en la denición usual del momento ecuación 8.9) y en la epresión de las tensiones en función del momento ector σ,y) = M ) y 8.7) I Finalmente la elección de la convención positiva para la curvatura χ coincide con la del momento. Desde el punto de vista de un problema eclusivamente bi-dimensional a menudo se utiliza una convención contraria a la indicada, esto no acarrea ningún problema en tal caso, pero al estudiar problemas tridimensionales resulta conveniente que estas variables, que son componentes de un vector, tengan signo positivo si su sentido coincide con la dirección positiva del eje correspondiente. De esta forma naturalmente a las variables que hemos denido como φ, χ y M les agregaremos un subíndice z para distinguirlas de las restantes componentes. demás será necesario distinguir los diferentes momentos de inercia, luego a I le agregaremos un subíndice indicando alrededor de que eje estamos tomando momento I z = y d 8.8) Finalmente a las fuerzas eternas y a los esfuerzos internos se les agregará un subíndice indicando la dirección en la cual actúan, es decir q) = q y ) T ) = T y ) Recordar además que la distribución de tensiones de corte transversales al eje de la viga se calcula a partir de la epresión de Jourasky teoría de Collignon). quí se incluye la hipótesis de que no hay fuerzas tangenciales aplicadas sobre las caras de la viga, luego por reciprocidad de tensiones tangenciales el valor de las tensiones de corte es cero en las caras superior e inferior. demás notar que al haber despreciado las deformaciones transversales de corte γ = ) no hay una relación constitutiva que pueda ligar T con γ, por lo cual el corte T se obtiene de la condición de equilibrio de momentos ecuación 8.) 35

16 8.3.. Problemas isostáticos Para que un problema sea isostático es necesario que dos de las condiciones de contorno sean de fuerza naturales) y dos de desplazamientos esenciales). Entonces es posible:. Determinar reacciones y diagramas de esfuerzos en particular el momento ector como función de M )) usando las dos condiciones de contorno de fuerzas:. Utilizar la relación constitutiva generalizada para obtener la curvatura χ) = M ) 3. Integrar la ecuación cinemática para obtener giros y desplazamientos d v M ) = χ) = dv = φ) = M ) +C M ) v) = +C +C 4. Usar las condiciones de contorno de desplazamientos para determinar las constantes C y C Ejemplos Viga bi-empotrada Como un primer ejemplo sencillo observemos como obtener la solución de una viga bi-empotrada con carga uniforme. d 4 v) 4 = q q Figura 8.9: Viga empotrada bajo carga uniforme cuyas condiciones de contorno son v =) = v =) = dv dv = = =) =) 36

17 Integrando esta ecuación diferencial se obtiene una vez d 3 v 3 = q)+ = T) dos veces tres veces d v = dv = M) q)++b = q)+ +B+C = φ 8.9) cuatro veces v = 3 q)+ 6 + B +C+D Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer allí las condiciones de biempotramiento tendremos Donde hemos denominado con 3 6 v q = q φ q = q = = B C D = 4 = q4 4 3 = q3 6 v q φ q = q4 4 = q3 6 En el sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas resultante, las dos primeras ecuaciones son de resolución inmediata, [ C D ] = [ lo que puede llevarse a las dos restantes, resultando entonces [ 3 ][ ] [ 6 v q = B φ q de donde = q En consecuencia el momento ector vale ] ] = q3 6 B = q [ /4 M) = q + + B = q q [ = q ) ] que valuado en los etremos y el centro vale M =) = q M = ) = q 4 ] + q M =) = + q Para ver el valor de los momentos sobre los empotramientos debe recordarse que hay que cambiar el signo al que actúa en el etremo izquierdo cara negativa). El corte puede obtenerse derivando el momento o T ) = q) = q+ q 37

18 nuevamente, las reacciones verticales de apoyo resultan de evaluar el corte en los etremos R y=) = T =) = q R y=) = T =) = q En tanto que los desplazamientos son v) = q4 4 q 4 ) 4 3 q + ) 4 [ 4 = q4 4 3 ) ] + 4 ) ) ) El máimo desplazamiento es en el centro y vale v = ) = v má = q Viga simplemente apoyada bajo carga uniforme a solución general es idéntica al caso anterior 8.9), cambian las condiciones de borde. hora en vez de anular el giro en los etremos hay que anular las curvaturas χ) = q χ =) = B χ =) = q ++B ++B as cuatro ecuaciones para obtener las constantes resultan ahora de las dos primeras de la cuarta puede despejarse y de la tercera C 3 6 C = B C D B = D = = q = q 4 } { q q = q3 6 4 nalmente el desplazamiento y el momento resultan v) = q4 4 q 3 + q3 4 = q4 4 M ) = q q [ = q ) ) ] [ ) 4 ) 3 + ) ] 38

19 En este caso, que es posible evaluar los esfuerzos a partir eclusivamente de las condiciones de equilibrio estructura isostática), se puede hacer: R = q T ) = R q = q q ) ) M ) = T ) = q = q y obtener los desplazamientos integrando la deformación generalizada: d v = M ) dv = q v = q3 [ = q ) ) ] [ ) ) ] [ = q3 ) 3 ) ] C + 3 [ ) 3 ) [ +C ] = q4 3 ) 4 6 ) 3 +C )+C ] El cálculo de las constantes C y C se hace valuando las condiciones de contorno de desplazamientos en ambos etremos v =) =, v =) = ), lo cual conduce a luego El máimo desplazamiento es en el centro y vale C = C = [ v) = q4 4 3 ) + 4 ) ) ] v = ) = v má = 5q4 384 que es 5 veces el desplazamiento máimo del caso biempotrado. Simp. poy. Empotr. Figura 8.: Elástica de la viga bajo carga uniforme Viga simplemente apoyada bajo carga puntual a viga es de longitud y la carga puntual está aplicada a una distancia a del apoyo izquierdo Dado que la estructura es isostática, podemos directamente escribir d 3 v ) = T 3 = P [ a) H a)] { dondeh es la función escalón que vale para < a y para a 39 }

20 a P P-a) T) M) Pa Figura 8.: Viga simplemente apoyada bajo carga puntual χ) = M ) = P [ a) a ] { donde la función es nula si el argumento es negativo y vale el argumento si es > } H a) se puede escribir también [ φ) = P a) integrando una segunda vez en forma similar v) = P3 6 a ) para evaluar el giro integramos una vez ] ) a +C [ 3 ] 3 a) ) a +C +C as constantes C y C resultan de aplicar las condiciones de contorno. a primera condición de contorno ocurre en =, que corresponde al etremo izquierdo, valuando entonces en = resulta C =. a segunda condición de contorno ocurre en =, que corresponde al etremo, derecho, valuando entonces en = de donde [ v) = P3 a) 6 = P3 6 v =) = P3 ) a a) 3 +C 6 = P3 6 a a) a)+c C = P 6 a a) a) 3 3 ] ) a P3 6 a a) a) {[ ) a a) ] a) } 3 a En este caso en que la carga no está centrada, el máimo desplazamiento no se produce bajo la carga, para determinarlo hay que encontrar el punto donde se anula el giro, por ejemplo si a =,4 se aplica en la primera mitad) el desplazamiento máimo ocurre en el segundo tramo donde el argumento de es positivo φ) = P [ ) ) ] a) a a 3 a) a) lo cual implica anular el corchete, el que operando resulta ) = + ) a + ) 3 4

21 de donde ) má = a +)/3 =,47 v má =,975) P3 Para el caso particular de a = es máimo y vale para a =,4) carga en el centro de la viga), el desplazamiento del centro v má = 48 NOT: a integración de las ecuaciones diferenciales a los nes de calcular los desplazamientos puede resultar muy engorrosa, en particular si las acciones eternas no pueden denirse por una única curva suave sobre todo el dominio, por ejemplo cargas lineales por tramos o cargas puntuales. El método planteado aquí está orientado a mostrar que es posible realizar tales cálculos y no con el objetivo de establecerlo como un método práctico de aplicación habitual. Para el caso de estructuras isostáticas o cuando de alguna forma se conocen los esfuerzos eisten formas más sencillas para evaluar desplazamientos. sí en algunas estructuras isostáticas particulares puede utilizarse el Método de la Viga Conjugada o con mayor generalidad una técnica denominada el Método de la Carga Unitaria basada en el Principio de Fuerzas Virtuales que permite evaluar desplazamientos y giros en puntos seleccionados. P Viga bi-empotrada bajo carga puntual Supongamos ahora el mismo ejemplo anterior pero con ambos etremos empotrados. a diferencia con el caso simplemente apoyado es que los etremos están impedidos de girar. a principal ventaja de la hipótesis de linealidad es que permite combinar soluciones. En este caso vamos a combinar dos soluciones, la anterior que indicaremos con el subíndice S) con la denida a continuación: Supongamos una viga sin carga en el interior q = d 4 v) 4 = cuyas condiciones de borde son desplazamientos nulos en los etremos y giros no nulos conocidos iguales y opuestos a los que se obtienen con la solución simplemente apoyada: sin q) v =) = v =) = dv = φ = φ S=) = P a 3 3a +a ) =) 6 dv = φ = φ S=) = P =) 6 a a ) Como ya vimos antes, integrando esta ecuación diferencial se obtiene idéntica a 8.9) pero una vez d 3 v 3 = = T) dos veces d v = +B = M) tres veces cuatro veces dv = +B+C = φ v = B +C+D 4

22 Utilizando la 3ra y la 4ta, para imponer allí las condiciones de contorno tendremos con lo cual de las dos primeras se tiene 3 6 B C D = φ φ C = φ D = llevando a las dos últimas [ 3 6 resolviendo ][ B ] [ φ = φ φ ] = 6 φ +φ ) B = φ +φ ) y con ello ) 3 ) v) = φ +φ ) φ +φ ) +φ ) φ) = 3φ +φ ) φ +φ ) +φ ) M ) = { 6φ +φ ) φ +φ ) T ) = 6 {φ +φ } } = {φ [6 4 ]+φ [6 ]} Si ahora sumamos ambas soluciones reemplazando φ y φ por los valores denidos antes, se obtiene la solución de una viga con una carga puntual cuyos etremos no se desplazan y no giran. El perl de desplazamiento transversal para el caso particular a =,4 se muestra en la Figura. Puede notarse la fuerte disminución de los desplazamientos al cambiar las condiciones de contorno. a=.4 P φ φ Empotr. Simp. poy. Figura 8.: Elástica de la viga bajo carga puntual Fleión en el plano z Cuando la eión no se restringe a un plano principal de inercia, es necesario analizar separadamente lo que ocurre en cada uno de dichos planos. Para ello hay que utilizar un segundo grupo 4

23 Z φ y φ u= z y dw z w X Figura 8.3: Deformaciones en vigas. Plano -z de ecuaciones, que no dieren sustancialmente de las anteriores, sólo cambian las denominaciones y el hecho de que el eje normal al plano y) es entrante al plano en este caso u,z) = φ y )z = dw) z 8.3) ε,z) = du = d dw) ) z = χ y z 8.3) χ y ) = dφ y = d w 8.3) M y ) = σ,z) = Eε,z) = Eχ y z 8.33) σ,z)z d = Eχ y ) z d = Eχ y )I y 8.34) dt z ) +q z ) = 8.35) T z ) = dm y) 8.36) d M y ) +q z ) = 8.37) d χ y ) +q z ) = 8.38) d4 w) 4 +q z ) = 8.39) Notar que en este caso la denición de giros y momentos en el plano z conduce a desplazamientos y tensiones longitudinales positivos en la parte donde la coordenada z es positiva. 43

24 8.4. VIGS SOMETIDS TORSIÓN Respecto a la torsión, usando el mismo criterio anterior, consideraremos como positivos los momentos torsores que vectorialmente coincidan con la dirección positiva del eje ; lo mismo diremos del giro correspondiente. as ecuaciones diferenciales que gobiernan la torsión de Saint Venant sin restricción de alabeo) se dividen en: a) una ecuación diferencial ordinaria que, conocida la rigidez a torsión, gobierna el comportamiento global de la pieza en función de esfuerzos y deformaciones generalizadas; y b)una ecuación diferencial en derivadas parciales cuya solución permite conocer la distribución de tensiones de corte sobre la sección transversal y evaluar la rigidez a torsión Comportamiento a lo largo del eje de la viga Conduce a una ecuación diferencial similar formalmente idéntica) a la de la barra con esfuerzos aiales. Observando la Figura 8.4., el equilibrio entre los momentos actuando en dos secciones transversales separadas y un momento torsor distribuido es dm +m ) = 8.4) donde M ) es el momento torsor esfuerzo interno) M ) = τ y z +τ z y)d 8.4) y m ) es el momento torsor distribuido aplicado a lo largo del eje. M M + m dm Figura 8.4: Equilibrio de un elemento de barra sometida a momentos torsores a ecuación constitutiva asociada es M = GρJθ = GI t θ 8.4) donde J es el momento polar de inercia, ρ es un factor que depende de la forma de la sección que sólo es para secciones circulares o anulares cerradas) y de otras condiciones geométricas asociadas a la restricción de alabeo y la longitud de la pieza, G es el módulo de elasticidad transversal y θ es el ángulo especíco de giro deformación generalizada asociada) θ = dφ 8.43) 44

25 El reemplazo de estas últimas dos ecuaciones en la primera conduce a para secciones uniformes) GI t d φ +m ) = 8.44) a determinación de la rigidez a la torsión GI t no puede hacerse en general en forma eacta salvo para secciones circulares). En algunos casos pueden utilizarse fórmulas aproimadas o debe recurrirse a una técnica numérica como se verá más adelante. as condiciones de contorno que pueden imponerse aquí son normalmente una en cada etremo) el giro φ, o el momento torsor M Ejemplo de torsión con eión Supongamos un eje circular bajo una carga distribuida q z ecéntrica que además de eión en el plano z) produce un momento torsor distribuido m = q z e ver Figura 8.4..). Es importante recordar que los distintos esfuerzos están desacoplados, por lo cual la solución de este problema consiste en resolver en forma independiente: a) la eión en el plano z debida a la carga distribuida y las condiciones de contorno a eión que tenga no están indicadas en la gura) b) la torsión debida a la aplicación ecéntrica de la carga que es lo que interesa en este punto. Respecto a las condiciones de borde supongamos que los giros en los etremos están impuestos de valor φ y φ φ e q φ Figura 8.5: torsión de un eje a ecuación diferencial a resolver es con ρ = e I t = J) d φ = q ze GJ dφ ) φ ) = q ze GJ = q ze +C = θ) GJ +C+D as constantes de integración se determinan en función de las condiciones de contorno φ = ) = D = φ φ = ) = q ze GJ +C+D = φ 45

26 de donde con lo cual reordenando) D = φ C = q ze GJ + φ φ ) φ ) = q ze GJ )+φ + φ φ ) θ) = q ze ) + φ φ ) GJ M t ) = q z e ) +GJ φ φ ) Debido a la linealidad de la ecuación diferencial, al mismo resultado se llega si se analizan por separado la inuencia de la carga y de las condiciones de contorno de giros impuestos. a solución encontrada puede verse como la combinación suma) de las siguientes soluciones debido al momento torsor distribuido con condiciones de contorno de giros nulos en los etremos. Esto se conoce como solución de la ecuación diferencial no-homogénea con término independiente no nulo) y condiciones de contorno homogéneas giros nulos), y se la denomina solución particular porque depende de la distribución de carga. En este caso vale φ P ) = q ze GJ ) Mt P ) = q z e ) debido a cada una de las condiciones de contorno en forma separada) y sin carga de tramo. Esto se conoce como solución general de la ecuación diferencial homogénea termino independiente nulo) y condiciones de contorno no-homogéneas giros no nulos en general). Que vale φ H ) = φ + φ φ ) M H t ) = GJ φ φ ) a última epresión es similar a 8.3) y dene la rigidéz torsional de la viga GJ, como la relación entre el momento torsor aplicado y la diferencia entre los giros de sus etremos 8.5. Combinación de acciones En las secciones anteriores se ha mostrado como determinar los desplazamientos en una viga sometida a las distintas acciones en forma separada. Cuando las acciones actúan en forma simultánea sólo resta aplicar el principio de linealidad superposición de acciones y efectos). Recordemos que los desplazamientos que aparecen para cada acción son: Esfuerzo aial N : desplazamientos aiales u) constantes en el plano de la sección Fleión en el plano y M z ): desplazamientos v) del eje de la viga y desplazamientos u.y) = dv) y 46

27 Fleión en el plano z M y ): desplazamientos w) del eje de la viga y desplazamientos u.z) = dw) z Torsión M : rotación φ de las secciones alrededor del eje de torsión con desplazamientos ) z φ y alabeo de la sección torsión uniforme de Saint Venant) uy,z) v w ) = a suma de los distintos efectos permite escribir los desplazamientos de un punto cualquiera de la pieza como u) = u v w,y,z) = u) N + dv) y v) w) + dw) z + Mz My uy,z) φ z φ y M 47