3. ÓÔÏÉ ÅÉÙÄÇÓ ÈÅÙÑÉÁ ÊÕÊËÏÖÏÑÉÁÊÇÓ ÑÏÇÓ 3.1 ÔïðïèÝôçóç ôïõ ÐñïâëÞìáôïò

Transcript

1 3. ÓÔÏÉ ÅÉÙÄÇÓ ÈÅÙÑÉÁ ÊÕÊËÏÖÏÑÉÁÊÇÓ ÑÏÇÓ 3.1 ÔïðïèÝôçóç ôïõ ÐñïâëÞìáôïò Ùò åöáñìïãþ ôçò åîßóùóçò äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò ãéá ïéïíåß ìïíïäéüóôáôá Óõíå Þ ÌÝóá ðïõ áíáðôýîáìå óôï Êåö..3 èá óêéáãñáöþóïõìå ðáñáêüôù ôç èåùñßá ðïõ ðåñéãñüöåé ôç ñïþ ï çìüôùí óôçí áðëþ ðåñßðôùóç, üðïõ ôá ï Þìáôá ïäåýïõí êáôü ìþêïò ìßáò ïäéêþò áñôçñßáò ìå ìéá ìüíï ëùñßäá êõêëïöïñßáò. Ç èåùñßá ðïõ åí óõíôïìßá áíáðôýóóïõìå óôo êåöüëáéï áõôü áíáðôý èçêå áðü ôïõò Lighthill and Witham 1 êáé Richards. Åíþ óôçí ðñáãìáôéêüôçôá Ý ïõìå íá êüíïõìå ìå Ýíáí áñéèìü äéáêñéôþí ï çìüôùí ðïõ áíü ðüóá óôéãìþ ïäåýïõí ðüíù óôïí áõôïêéíçôüäñïìï, áðü ôç óêïðéü ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò ÌÝóïõ, åßìáóôå áíáãêáóìýíïé íá äéáôõðþóïõìå ìáèçìáôéêýò ðñïôüóåéò óôç âüóç ìéáò ìýóçò ôéìþò ôïõ ðëþèïõò ôùí ï çìüôùí ðïõ áíáìýíåôáé íá âñßóêïíôáé óå Ýíá ôõðéêü ìþêïò ôçò ïäïý (ðñâë. Êåö ). Ôï ßäéï åðßóçò éó ýåé êáé ãéá ôçí ôá ýôçôá ôùí ï çìüôùí, ðïõ áí êáé èá äéáöýñåé êüðùò áðü ü çìá óå ü çìá, õðïêáèßóôáôáé ìå ìéá ìýóç ôéìþ, áñáêôçñéóôéêþ ôçò èýóçò êáé ôçò ñïíéêþò óôéãìþò ðïõ ìåëåôüìå. Ð.. áí èýëïõìå íá ðñáãìáôïðïéþóïõìå ìýóïõò üñïõò ðüíù óå äåßãìá <n>=0 ï çìüôùí, ôüôå óôçí ðåñßðôùóç âáñåéüò êõêëïöïñßáò ôï áíôßóôïé ï äåéãìáôïëçðôéêü ìþêïò èá Þôáí ðåñß ôá L=100 m, åíþ óôçí ðåñßðôùóç åëáöñéüò êõêëïöïñßáò ßóùò êáé L=1. km, ï äå áíôßóôïé ïò äåéãìáôïëçðôéêüò ñüíïò ðåñß ôï T=1. min. Ç õðüèåóç ôïõ Óõíå ïýò óôçí ðåñßðôùóç ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò åßíáé éêáíïðïéçôéêþ ãéá âáñåßá êõêëïöïñßá Þ ãéá ìåãüëåò áðïóôüóåéò åðß ôçò ïäïý. Ðáñ üëá áõôü äßíåé åíôõðùóéáêü áðïôåëýóìáôá ðïõ ðåñéãñüöïõí éêáíïðïéçôéêü ôéò åìðåéñéêýò ðáñáôçñþóåéò áêüìá êáé óå Üëëåò áêñáßåò ðåñéðôþóåéò. Ôï ðñüâëçìá ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò ðåñéãñüöåôáé áðü ôéò åîþò ðïóüôçôåò: ãñáììéêþ ðõêíüôçôá ï çìüôùí, l = l (x,t), ìå äéáóôüóåéò [ l ]= ï / km (ìýóç) ôá ýôçôá ï çìüôùí vl = vl(x,t), ìå äéáóôüóåéò [ v l ] = km / hr. Ãéá ëüãïõò áðëïýóôåõóçò óôï óõìâïëéóìü óôç óõíý åéá èá ðáñáëåßøïõìå ôï êüôù äåßêôç l ðïõ õðïäçëþíåé üôé ôï áíôßóôïé ï óõíå Ýò åßíáé ãñáììùôü. ÅðåéäÞ óôï ðñüâëçìá ðïõ èåùñïýìå, êáôü ìþêïò ôçò ïäïý ðïõ ìåëåôüìå, äåí õðüñ ïõí ïýôå åßóïäïé ïýôå Ýîïäïé ï çìüôùí, ç áëëáãþ ôçò ðõêíüôçôáò 1 M.J. Lighthill and G.B. Whitham, On kinematic waves: I. Flood measurements in long rivers; II. Theory of traffic flow on long crowded roads. Proc. Roy. Soc. A., 9, (1955). P.I. Richards. Shock waves on the highway. Oper. Res. 4, 4-51 (1956).

2 60 ôùí ï çìüôùí åîáñôüôáé ìüíï áðü ôç ùñéêþ ìåôáâïëþ ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò, q = v (1) êáé õðáêïýåé óôï íüìï äéáôþñçóçò ôçò ìüæáò: b dx q( b) q( a) = 0 () a Áí äå èïýìå üôé ç óõíüñôçóç ðõêíüôçôáò åßíáé óõíå Þò, äçëáäþ áí äå èïýìå üôé äåí äçìéïõñãïýíôáé éó õñýò áóõíý åéåò, ç ðáñáðüíù åîßóùóç äéáôþñçóçò ìðïñåß íá ãñáöåß óå ôïðéêþ ìïñöþ: ( v) = 0 (bis) Ïðùò èá äïýìå ðáñáêüôù (Êåö. 3.7) áõôþ ç ðáñáäï Þ óõíý åéáò ðïõ ïäçãåß áðü ôéò Åî.(1) êáé () óôçí Åî. (bis) äåí åßíáé ðüíôïôå äõíáôþ. 3. ÊáôáóôáôéêÞ Ó Ýóç Ðõêíüôçôáò Ôá ýôçôáò Ç äéýðïõóá ôï ðñüâëçìá Åî. () ðåñéý åé äýï áãíþóôïõò, ôçí ðõêíüôçôá êáé ôç ôá ýôçôá v. Ãéá íá ìðïñýóïõìå íá ëýóïõìå ôï ðñüâëçìá, ñåéáæüìáóôå êáé Üëëç ìßá åðéðëýïí ó Ýóç ðïõ íá óõíäýåé ôéò áãíþóôïõò ôïõ ðñïâëþìáôïò. Ç ó Ýóç áõôþ ìåôáîý êáé v åßíáé ìßá åìðåéñéêþ ó Ýóç ôçò ìïñöþò v = V( ) (3) ðïõ ðñýðåé íá ðñïóäéïñéóèåß ìåôü áðü ðáñáôçñþóåéò êáé ìåôñþóåéò óå áñáêôçñéóôéêýò ïäéêýò áñôçñßåò. Ìéá ôýôïéá ó Ýóç, ëýãåôáé êáôáóôáôéêþ åîßóùóç, äéüôé ðåñéãñüöåé ôçí êáôüóôáóç ôïõ Óõíå ïýò ÌÝóïõ ðïõ ìåëåôüìå. Ç êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ìåôáîý ôá ýôçôáò êáé ðõêíüôçôáò óôï ðñïêåßìåíï ðñüâëçìá åñìçíåýåôáé öõóéêü ùò åîþò: Ïé ïäçãïß ôùí ï çìüôùí ðñïóáñìüæïõí ôçí ôá ýôçôá ôïõ ï Þìáôïò óôçí ðõêíüôçôá ôçò êõêëïöïñßáò ðïõ áíôéëáìâüíïíôáé óôçí ðåñéï Þ ôïõò. Ð.. áí õðïèýóïõìå üôé ôï üñéï ôá ýôçôáò (ôá ýôçôá ó åäéáóìïý) åßíáé v 0 = 60 km/ hr ôüôå óå áìçëýò ðõêíüôçôåò áõôþ èá åßíáé êáé ç (ìýóç) ôá ýôçôá ôùí ï çìüôùí. Ïóï áõîüíåé ç ðõêíüôçôá, ôüóï ìåéþíåôáé ç ôá ýôçôá êõêëïöïñéáêþò ñïþò. ÕðÜñ åé, ôýëïò, ìßá ïñéáêþ ðõêíüôçôá = σ, üðïõ ðáñáôçñåßôáé êõêëïöïñéáêþ óõìöüñçóç êáé ç ôá ýôçôá ìçäåíßæåôáé.

3 61 Äå üìåíïé ôçí ðáñáðüíù êáôáóôáôéêþ ó Ýóç (3), ìðïñïýìå íá áðáëåßøïõìå ôçí ôá ýôçôá áðü ôéò Åî. () êáé (3) åéóüãïíôáò ôçí êõêëïöïñéáêþ ñïþ q ùò åîáñôçìýíç ìåôáâëçôþ: ( ) = ( ) q = Q V (4) ÅìðåéñéêÝò Ó Ýóåéò Ôá ýôçôáò Ðõêíüôçôáò ÊáôÜ êáéñïýò Ý ïõí ðñïôáèåß äéüöïñá êáôáóôáôéêü ìïíôýëá ãéá ôçí êõêëïöïñéáêþ ñïþ (ð.. ôá ìïíôýëá Underwood kai Greenberg 3 ), ðïõ âáóßæïíôáé óå ìåôñþóåéò êáé áíôßóôïé ç óôáôéóôéêþ åðåîåñãáóßá äåäïìýíùí. Ôï ðáñáêüôù ãñüöçìá áöïñü óå ìéá óýãêñéóç ôçò êáìðýëçò (q,ñ), ðïõ ðñïýêõøå áðü êõêëïöïñéáêýò ìåôñþóåéò ðïõ Ýãéíáí óôç óþñáããá Lincoln ôçò ÍÝáò Õüñêçò 4 ìå ðñüóöáôåò ìåôñþóåéò óôç Ëåùöüñï ÂïõëéáãìÝíçò ( ) áðü ïìüäá ôïõ Å.Ì.Ð Ëåùö. ÂïõëéáãìÝíçò Licoln Tunnel q [ï / hr] ñ [ï / km] 3 É.Ì ÖñáíôæåóêÜêçò - Ã.Á. Ãéáííüðïõëïò. Ó åäéáóìüò ôùí Ìåôáöïñþí êáé ÊõêëïöïñéáêÞ Ôå íéêþ. ÐáñáôçñçôÞò A.J. Roberts. A One-Dimensional Introduction to Continuum Mechanics. World Scientific, ÓðïõäáóôéêÞ Åñãáóßá ôùí ê.ê. Ð. ÂáñåëëÞ, êáé Ó. ÊáðåôáíÜêç õðü ôçí åðßâëåøç ôùí Êáèçã. ê. ê. Áìðáêïýìêéí êáé Á. Óôáèüðïõëïõ ôïõ ÔïìÝá Ìåôáöïñþí êáé ÓõãêïéíùíéáêÞò ÕðïäïìÞò Å.Ì.Ð.

4 6 Ôá åìðåéñéêü äåäïìýíá ìðïñïýí íá áíá èïýí óå Ýíá áðëü ðïëõùíõìéêü íüìï, q = Q( ) = (4bis) Ìéá ôýôïéá êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ñïþò-ðõêíüôçôáò ðáñïõóéüæåé Ýíá ìýãéóôï dq = 0 d 63.4 οχ/km, 173 οχ/ hr m q m Áõôü ôï ìýãéóôï åßíáé áðü óêïðéüò ó åäéáóìïý ç âýëôéóôç ñïþ ï çìüôùí êáé áíôéóôïé åß óôç âýëôéóôç ðõêíüôçôá ñïþò m, ðïõ íáé ìåí áíôéóôïé åß óå ìýãéóôç ñïþ ï çìüôùí áëëü êáé óå ìßá áñêåôü áìçëþ ìýóç ôá ýôçôá ï çìüôùí, q 173 οχ / hr v = vm = = 63.4 οχ / km 7.3 km/hr 3.3 Åîßóùóç ÊõêëïöïñéáêÞò ÑïÞò Ìå âüóç ôéò ðáñáðüíù ðáñáôçñþóåéò ìðïñïýìå ôþñá íá äéáôõðþóïõìå ôç äéáöïñéêþ åîßóùóç ðïõ äéýðåé ôï ðñüâëçìá ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò. Áðü ôéò åîéóþóåéò (1) ùò (3) Ý ïõìå: Q x dq d ( ) = 0 = 0 ÈÝôïíôáò c = C ( ) = dq d (5) ôåëéêü ëáìâüíïõìå C ( ) = 0 (6) Áñá, ìåôáâïëýò óôçí ðõêíüôçôá êõêëïöïñéáêþò ñïþò õðáêïýïõí óå ìéá ïéïíåß ãñáììéêþ äéáöïñéêþ åîßóùóç ìå ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ùò ðñïò x êáé t. Óôç èåùñßá äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ìéá ôýôïéá åîßóùóç ôáîéíïìåßôáé ùò åîßóùóç õðåñâïëéêïý ôýðïõ, êáé ðåñéãñüöåé öõóéêü öáéíüìåíá ðïõ Ý ïõí êõìáôéêü áñáêôþñá ôá äå áíôßóôïé á êýìáôá ëýãïíôáé åßôå õðåñâïëéêü Þ êéíçìáôéêü 6. Ôá êéíçìáôéêü êýìáôá ðñïêýðôïõí ìüíï áðü ôç ñþóç ôçò Á.Ä.Ì. êáé Ýíá åìðåéñéêü êáôáóôáôéêü íüìï êáé áíôéäéáóôýëëïíôáé áðü ôá ëåãüìåíá äõíáìéêü êýìáôá, ãéá ôçí ðåñéãñáöþ ôùí ïðïßùí ñåéüæïíôáé 6 Ðñâë. G.B. Whitham. Linear and Non-linear Waves. John Wiley & Sons, 1974

5 63 åðßóçò êáé ïé äõíáìéêýò åîéóþóåéò. ÌïíïäéÜóôáôá ãñáììéêü êá ìç-ãñáììéêü äõíáìéêü êýìáôá ìáò åßíáé ãíùóôü áðü ôçí Õäñïìç áíéêþ êáé èá áíáöåñèïýìå ó' áõôü åêôåíþò óôá Êåö. 5. êáé 5.3. Ïðùò èá äïýìå óôç óõíý åéá, äéáôáñá Ýò óôçí ðõêíüôçôá êõêëïöïñéáêþò ñïþò ìåôáäßäïíôáé êáôü ìþêïò ôçò ïäéêþò áñôçñßáò ìå ôá ýôçôá c. ÁíÜëïãá äå ìå ôï ðñüóçìï ôçò c ôï êýìá ðõêíüôçôáò ìåôáäßäåôáé åßôå ðñïò ôç êáôåýèõíóç ôçò êõêëïöïñßáò åßôå áíôßèåôá ðñïò áõôþ. Óôï ðáñáðüíù ðáñüäåéãìá Ý ïõìå c = C( ) = Ðáñáôçñïýìå üôé ( 0) = V ( 0) 60 km/ hr C = Áñá óå åëáöñü êõêëïöïñßá äéáôáñá Ýò óôçí ðõêíüôçôá ôùí ï çìüôùí êéíïýíôáé ìå ôçí ßäéá ôá ýôçôá üðùò ôá ßäéá ôá ï Þìáôá êáèþò äåí õðüñ åé ìåãüëç áëëçëåðßäñáóç ìåôáîý ôùí ï çìüôùí. ËáìâÜíïíôáò õð üøç c = d d ( V( ) ) = V( ) V ( ) êáé üôé V ( ) < 0, ðáñáôçñïýìå üôé ç ôá ýôçôá ìåôüäïóçò ôùí äéáôáñá þí ôçò ðõêíüôçôáò êõêëïöïñßáò åßíáé ðüíôïôå ìéêñüôåñç ôçò ôá ýôçôáò ôùí ï çìüôùí. Áõôü óçìáßíåé üôé ôá ï Þìáôá åéóýñ ïíôáé óôéò äéáôáñá Ýò áðü ôá ðßóù êáé üôé óå âáñåßá êõêëïöïñßá ( > m ) ç ôá ýôçôá ìåôüäïóçò ôùí äéáôáñá þí ãßíåôáé ðñïò ôá ðßóù, c ( ) < 0. Óôçí ïñéáêþ ðåñßðôùóç üðïõ ç ðõêíüôçôá áíôéóôïé åß ðåñßðïõ óôçí ôéìþ óõìöüñçóçò, σ, ôï êýìá

6 64 êéíåßôáé ðñïò ôá ðßóù ìå ôá ýôçôá c σ. Ãéá ôçí åêôßìçóç ôçò êáôáóôáôéêþò óõìðåñéöïñüò êïíôü óôçí ðõêíüôçôá óõìöüñçóçò êüíïõìå ôï åîþò õðïëïãéóìü: Åóôù t α ï ñüíïò áíôßäñáóçò ôïõ ïäçãïý, l = 1/ ç ìýóç áðüóôáóç ìåôáîý ôùí ï çìüôùí êáé l c = 1/ σ ôï ìýóï ìþêïò ï çìüôùí. Ãéá ðõêíüôçôåò êïíôü óôç ðõêíüôçôá óõìöüñçóçò Ý ïõìå üôé V l l c l = c tα tα σ 1 cσ = l c tα Óôï ðáñüäåéãìá Ý ïõìå cσ = 30 km/ hr, ðïõ óçìáßíåé üôé, ãéá ôõðéêü 1000 éóïäýíáìï ìþêïò ï Þìáôïò l c = 6.67m åêôéìïýìå Ýíá ìýóï ñüíï 150 áíôßäñáóçò tα = 6.67 m = 0. sec m /(3600 sec) 3.4 Ó åäüí Ïìïéüìïñöç ÑïÞ Ãéá íá ìåëåôþóïõìå ôç öýóç ôïõ öáéíüìåíïõ ðïõ ðåñéãñüöåé ç äéáöïñéêþ Åî. (6), èá äéáðéóôþíïõìå êáô áñ Þí üôé õðüñ åé ìéá áðëþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò, ðïõ áíôéóôïé åß óå óôáèåñþ ðõêíüôçôá ( x,t) = = σταθ. Ç ëýóç áõôþ áíôéóôïé åß óôçí ïìïéüìïñöç êáôüóôáóç Þ óôç ëåãüìåíç êáôüóôáóç éóïññïðßáò ï çìüôùí, ðïõ éóáðý ïõí ìåôáîý ôïõò êáé ðïõ êéíïýíôáé ìå óôáèåñþ ôá ýôçôá v = V( )

7 65 Ôþñá ìðïñïýìå íá ìåëåôþóïõìå ôçí ðåñßðôùóç, üðïõ ðáñáôçñåßôáé ìßá ìéêñþ äéáôáñá Þ ôçò ðõêíüôçôáò, Ýôóé þóôå óå êüðïéá ñïíéêþ óôéãìþ t íá éó ýåé üôé = ~ ( x,t ) Ï óõíôåëåóôþò c( ) óôçí Åî. (6) ìðïñåß íá ãñáöåß ùò áíüðôõãìá óåéñüò Taylor ìå êýíôñï ôï óçìåßï éóïññïðßáò ùò åîþò, ~ ) c( ) = c( = c( ) c( ) c ( ) ~ dc d Ο ( ~ ) ~ 1 d c d ~ K Áíôéóôïß ùò ç äéáöïñéêþ åîßóùóç ëáìâüíåé ôçí åîþò ìïñöþ: [ c( ) c ( ) ~ ] ~ ) ( ( ~ ~ ~ c( ) c ( ) ~ = 0 ~ ) = 0 Èåùñïýìå üôé ï õðïãñáììéóìýíïò üñïò óôçí ðáñáðüíù åîßóùóç ìðïñåß íá ðáñáëçöèåß, äéüôé ðåñéý åé ãéíüìåíá ìéêñþí ðïóïôþôùí. Ìå ôçí ðáñáäï Þ áõôþ ôåëéêü ðñïêýðôåé ç åîþò åîßóùóç ãéá ôç äéáôáñá Þ ôçò ðõêíüôçôáò ~ ~ c = 0, c = c( ) = σταθ. Ç åîßóùóç áõôþ êáëåßôáé åîßóùóç êýìáôïò áðëþò êáôåýèõíóçò êáé Ý åé ìéá ðïëý áðëþ ãåíéêþ ëýóç, ôç ëåãüìåíç ëýóç D Alembert, ~ = f(x c t) üðïõ ç óõíüñôçóç ( ) f åßíáé ìßá ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç ç ïðïßá ðñïóäéïñßæåôáé áðü ôçí áñ éêþ óõíèþêç ôïõ ðñïâëþìáôïò. ÐñÜãìáôé, áí äå èïýìå üôé ç äéáôáñá Þ ( x,t) Alembert: ( η), η = x c t ~ = f ôüôå ~ äßäåôáé áðü ôç ëýóç D

8 66 ~ = df dη dη dt = c f, ~ = df dη dη dx = 1f ~ ~ c = c f c f = 0 (! ) Áò äå èïýìå ôþñá üôé ôç ñïíéêþ óôéãìþ, t = 0 ãíùñßæïõìå ôçí ðõêíüôçôá ñïþò. Ïðüôå áðü ôçí áñ éêþ óõíèþêç Þ ( x,0 ) = 0 ( x) ( x) = f(x c 0) ( x) = ( x) f 0 0 Áñá óå ìéá åðüìåíç ñïíéêþ óôéãìþ t = t1 > 0 ç ëýóç åßíáé: (,t ) = f(x c t) = (x c t) x 0 ðïõ óçìáßíåé üôé ç ðõêíüôçôá óôï ãåãïíüò (x,t) åßíáé ç ßäéá ìå ôçí áñ éêþ ðõêíüôçôá óôï ãåãïíüò ( x c t,0). Óçìåéþíïõìå üôé ç èýóç x c t âñßóêåôáé óå áðüóôáóç c t óôá áñéóôåñü ôçò èýóçò x. Áñá ç ðïóüôçôá c = C( ) åßíáé ôá ýôçôá ìåôüäïóçò êýìáôïò ðõêíüôçôáò.

9 67 Ðáñáôçñïýìå ôýëïò üôé óôç ëýóç D Alembert ôï ó Þìá ôçò äéáôáñá Þò ðáñáìýíåé áíáëëïßùôï óôï ñüíï êáé áðëþò ìåôáäßäåôáé óáí êýìá ðñïò ôá äåîéü ìå ôá ýôçôá c. áñáêôçñéóôéêýò ÃñáììÝò Óôï åðßðåäï ôùí ãåãïíüôùí Ï(x,t) ó åäéüæïõìå ôéò ëåãüìåíåò áñáêôçñéóôéêýò ãñáììýò (.Ã.) x = s c t ðïõ ôýìíïõí ôïí Üîïíá ôùí x (t=0) óôç èýóç ðïóüôçôá x = s. ÐÜíù óôéò (.Ã.) ç η = x c t = s = σταθ. Ïðüôå óõìðåñáßíïõìå üôé ðüíù óôéò.ã. ç ðõêíüôçôá = (η) ìåôáöýñåôáé áíáëëïßùôç. 3.5 Ëýóç ôïõ ÐñïâëÞìáôïò ôçò ÊõêëïöïñéáêÞò ÑïÞò ìå ôç ÌÝèïäï ôùí áñáêôçñéóôéêþí Ãñáììþí Ç ÌÝèïäïò ôùí áñáêôçñéóôéêþí Ãñáììþí (Ì..Ã.) åßíáé ìéá ãåíéêþ õðïëïãéóôéêþ ìýèïäïò êáé ñçóéìåýåé óôçí åðßëõóç ðïëëþí åöáñìïóìýíùí ðñïâëçìüôùí, ôüóï óôçí Õäñïìç áíéêþ üóï êáé óôç Ìç áíéêþ ôïõ Ðáñáìïñöþóéìïõ Óôåñåïý Óþìáôïò. Ãéá ðáñüäåéãìá áíáöýñïõìå åäþ åíäåéêôéêü ðñïâëþìáôá ÏñéáêÞò Áíôï Þò óå äýï äéáóôüóåéò óôçí Åäáöïìç áíéêþ, ðïõ åðéëýïíôáé áêñéâþò Þ ðñåóåããéóôéêü ìå ôç Ì..Ã., áöïý ïé åîéóþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïõí ôï ðñüâëçìá åßíáé õðåñâïëéêïý ôýðïõ. Ïðùò áíáöýñáìå ðéï ðüíù, ç äéáöïñéêþ åîßóùóç ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò

10 68 c ( ) = 0 (6) åßíáé Ýíá ôõðéêü ðáñüäåéãìá ïéïíåß ãñáììéêþò õðåñâïëéêþò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ðïõ ëýíåôáé ìå ôç Ì..Ã.. Óôçí ðñïêåßìåíç ðåñßðôùóç ç áíüëõóç x,t. ìå ôç ìýèïäï áõôþ ãßíåôáé óôï ùñï ñïíéêü åðßðåäï ôùí ãåãïíüôùí Ï( ) Áò äå èïýìå ðùò óå ìßá äåäïìýíç ðåñßðôùóç ãíùñßæïõìå ôçí ðõêíüôçôá ( x,t), ïðüôå èá ìðïñïýóáìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ( Γ ) óôï åðßðåäï Ï( x,t) ç ïðïßá äßäåôáé áðü ìéá óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò x = Χ t ( ) ( Γ) Ýôóé þóôå dχ dt = c ( ( Χ(t),t) ) Ç êáìðýëç áõôþ ïíïìüæåôáé áñáêôçñéóôéêþ ãñáììþ (.Ã.) ôçò Åî. (6). ÐÜíù óôç.ã. ( Γ ) ç ðõêíüôçôá ìðïñåß íá èåùñçèåß üôé åßíáé óõíüñôçóç ìüíï ôïõ ñüíïõ t : = ( Χ( t), t) ïðüôå ðüíù óôç ( Γ ): d dt = dχ dt Þ, ëüãù ôïõ ðáñáðüíù ïñéóìïý ôçò ( Γ ) êáé ôçò Åî. (6), d dt = d c dx d dt = 0 Áñá, ðüíù óå ìßá.ã. ç ðõêíüôçôá ðáñáìýíåé óôáèåñþ. Åðßóçò, ðáñáôçñïýìå ôá åîþò: C( ) : óôáèåñþ åðß ôçò ( Γ) dχ : óôáèåñþ åðß ôçò ( Γ) dt x,t. Γ : åõèåßá ãñáììþ óôï þñï Ï( )

11 69 Ìå âüóç ôéò ðáñáðüíù ðáñáôç-ñþóåéò ìðïñïýìå íá óêéáãñáöþ-óïõìå ôçí áêñéâþ ìáèçìáôéêþ åðß-ëýóç ôçò äéáöïñéêþò Åî. (6) ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò: Èåùñïýìå ãíùóôþ ôçí áñ éêþ êáôáíïìþ ôçò ðõêíüôçôáò êõêëïöïñéáêþò ñïþò: (,0 ) = ( x) = x 0 Óå êüèå óçìåßï s ôïõ Üîïíá ôùí ( t 0) ìåôüäïóçò ôïõ êýìáôïò ( s) = C( ( s)) c0 0 x = õðïëïãßæïõìå ôçí ôá ýôçôá Áðü ôï óçìåßï ( s,0 ) óôï åðßðåäï Ï( x,t ) öýñíïõìå ôç.ã. ( ) Γ ìå êëßóç dχ dt = c0 ( s) ( Γ) Ç ãñáììþ áõôþ ðåñéãñüöåôáé áðü ôçí åîßóùóç x = s c0 t ( s) ( Γ) ÐÜíù óôç.ã. ( Γ ) ç ðõêíüôçôá åßíáé óôáèåñþ, ßóç ðñïò ( s) 0. Áðü ôéò ðáñáðüíù ðáñáôçñþóåéò ðñïêýðôåé ôåëéêü ç ëýóç ôçò Åî. (1) óå ðáñáìåôñéêþ ìïñöþ: ( s) = 0 ãéá: x = s c0( s)t ÃñáöéêÜ ç ëýóç áõôþ êáôáóêåõüæåôáé ùò åîþò: Ó åäéüæïõìå ôéò áñáêôçñéóôéêýò ðïõ äéýñ ïíôáé áðü ôá óçìåßá ( s1,0 ),( s,0)k, êáé óçìåéþíïõìå ðüíù óå áõôýò ôéò áíôßóôïé åò ôéìýò ôçò ðõêíüôçôáò 1 = 0 ( s 1 )K,.. Óå ìßá åðüìåíç ñïíéêþ óôéãìþ t = t 1 ôýìíïõìå ôéò áñáêôçñéóôéêýò ìå ìßá åõèåßá ðáñüëëçëç ðñïò ôïí Üîïíá x êáé Ý ïõìå ôçí áíôßóôïé ç êáôáíïìþ ( x,t 1 ).

12 70 ÁñéèìçôéêÜ ç ëýóç ðñïêýðôåé åýêïëá ìå ôç ñþóç ëïãéóìéêïý Üñôïõ (Excel). ÐáñÜäåéãìá: Ãéá ìéá áñ éêþ êáôáíïìþ ðõêíüôçôáò ôçò ìïñöþò, 0 50., s < = πs sin,.5 και s > 5 s 5 Ý ïõìå ôá åîþò áðïôåëýóìáôá: x0=s ñ(x,0) c0(s) x1=sc*t ñ(x1,t1)

13 ÄÝóìç.Ã.: Ç Ëåéôïõñãßá ôïõ Öùôåéíïý Óçìáôïäüôç Èåùñïýìå ìßá óõóôïé ßá ï çìüôùí ðïõ ðåñéìýíåé ôï óþìá óå Ýíá öùôåéíü óçìáôïäüôç ãéá íá óõíå ßóåé ôçí ðïñåßá ôçò. Ãéá ëüãïõò ìáèçìáôéêþò áðëüôçôáò èåùñïýìå üôé ï óçìáôïäüôçò âñßóêåôáé óôç èýóç x = 0. Åðßóçò äå üìáóôå üôé ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 ï óçìáôïäüôçò áëëüæåé áðü åñõèñü óå ðñüóéíï óþìá êáé ç êõêëïöïñßá ôùí ï çìüôùí îåêéíü. Åôóé, ãéá ñüíïõò t>0 ôá ï Þìáôá ìðïñïýí íá äéýëèïõí áðü ôï óçìåßï x = 0, ïðüôå êáé ðáñáôçñïýìå üôé ç ïõñü ôùí ï çìüôùí ðïõ äçìéïõñãþèçêå ðßóù áðü ôï óçìáôïäüôç áñáéþíåé óõí ôù ñüíù. Óôç óõíý åéá èá ðáñïõóéüóïõìå ôï ìáèçìáôéêü ìïíôýëï áõôþò ôçò äéáäéêáóßáò ùò åöáñìïãþ ôçò èåùñßáò êõêëïöïñéáêþò ñïþò. Óôçí ðñïêåßìåíç ðåñßðôùóç ç áñ éêþ óõíèþêç ãéá ôçí ðõêíüôçôá ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò åßíáé ç âçìáôéêþ óõíüñôçóç Heaviside : 0 x > 0 (x,0) = σ x < 0 σ t=0 Ç ôéìþ σ áíôéóôïé åß üðùò åßäáìå ðáñáðüíù óôçí ôéìþ óõìöüñçóçò, äéüôé ðßóù áðü ôï óçìáôïäüôç ôá ï Þìáôá ðåñéìýíïõí ðïëý êïíôü ôï Ýíá óôï Üëëï ìå ôçí åëü éóôç áðüóôáóç ìåôáîý ôïõò. Ìå ôçí áëëáãþ ôïõ öùôåéíïý óçìáôïäüôç (t>0) ðåñéìýíïõìå ç ðõêíüôçôá ôùí ï çìüôùí íá ðüñåé ôç ìïñöþ êýìáôïò åêôüíùóçò, üðïõ óå êüðïéá áðüóôáóç ìðñïóôü áðü ôï óçìáôïäüôç ç ðõêíüôçôá èá åßíáé áêüìç ìçäýí, áöïý êáíýíá ü çìá äåí èá Ý åé ðñïëüâåé íá öôüóåé åêåß, åíþ óå êüðïéá áðüóôáóç ðßóù áðü ôï óçìáôïäüôç ôá ï Þìáôá èá åßíáé áêüìç áêßíçôá. Ç åéêüíá áõôþ ãßíåôáé óáöþò, áí ó åäéüóïõìå ôéò.ã. ôïõ ðñïâëþìáôïò ðïõ áíôéóôïé ïýí óôçí ðáñáðüíù áñ éêþ óõíèþêç. c σ 0 c 0 Ð.. ãéá ôçí êáôáóôáôéêþ ó Ýóç ôïõ ðáñáäåßãìáôïò ðïõ äþóáìå ðéï ðüíù Ý ïõìå:

14 7 c 0 = C (0) 60 km/hr cσ = C ( σ) 30.km/hr Ôï ùñßï ðïõ ìáò åíäéáöýñåé ( < x <, t 0) ùñßæåôáé óå ôñåéò ðåñéï Ýò: I. Óôçí ðåñéï Þ ðßóù áðü ôï öùôåéíü óçìáôïäüôç, üðïõ ç ðõêíüôçôá êõêëïöïñéáêþò ñïþò éóïýôáé ìå ôçí ðõêíüôçôá óõìöüñçóçò ( = σ) êáé áíôéóôïß ùò ïé.ã. Ý ïõí áñíçôéêþ êëßóç c = c σ < 0. Ç ðåñéï Þ II. áõôþ öñüæåôáé áðü ôá äåîéü áðü ôçí.ã. ( σ ) ðïõ äéýñ åôáé áðü ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, Ο(0,0). Óôçí ðåñéï Þ ìðñïóôü áðü ôï óçìáôïäüôç, üðïõ ï äñüìïò åßíáé åëåýèåñïò êáé ç ðõêíüôçôá = ο = 0. Óôçí ðåñéï Þ áõôþ ïé.ã. Ý ïõí ôç ìåãáëýôåñç äõíáôþ èåôéêþ êëßóç c = c0 > 0, ðïõ áíôéóôïé åß óôç ìýãéóôç ìýóç ôá ýôçôá êõêëïöïñßáò ôùí ï çìüôùí. Ç ðåñéï Þ áõôþ öñüæåôáé áðü ôá áñéóôåñü áðü ôçí.ã. ( 0 ), ðïõ êáé áõôþ äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï Ο(0,0). Ι êáé( ΙΙ ), Ýôóé þóôå ïé.ã. ( σ ) êáé ( 0 ) íá áíþêïõí åðßóçò êáé óôçí ðåñéï Þ áõôþ. III. Ç ðåñéï Þ áõôþ ó Þìáôïò V, óõíäýåé ôéò äýï åêáôýñùèåí ðåñéï Ýò ( ) Óôçí ðåñéï Þ ( ΙΙΙ ) ïé.ã. áðïôåëïýí äýóìç åõèåéþí ðåñß ôï óçìåßï Ο (0,0) (óçìåßï Prandtl), ôï ïðïßï ìå ôç óåéñü ôïõ áñáêôçñßæåé ôç èýóç ôïõ öùôåéíïý óçìáôïäüôç. Ïé.Ã. ôçò äýóìçò áõôþò ðåñéãñüöïíôáé áðü ôç ó Ýóç x = C( ) t

15 73 Ãéá ôçí êáôáóêåõþ ôçò ëýóçò èåùñïýìå ìéá ñïíéêþ óôéãìþ t = t > 0 êáé èýëïõìå íá õðïëïãßóïõìå ôç êáôáíïìþ ôùí ï çìüôùí ðåñß ôï óçìåßï x = 0 ôçò èýóçò ôïõ óçìáôïäüôç. Ç åõèåßá t = t ôýìíåé ôçí ôõ ïýóá.ã. ( ) Üñá * óôï óçìåßï Α (x,t ), σ t 0 x = C( ) t C( ) = x t Ðáñáôçñïýìå üôé ç èýóç x âñßóêåôáé óôï äéüóôçìá [ x min,x max], üðïõ * xmin= cσt, * xmax = cοt Óôç èýóç x min êáé ðßóù áðü áõôþí ç ðõêíüôçôá ôùí ï çìüôùí åßíáé ìýãéóôç êáé ôá ï Þìáôá äåí êéíïýíôáé, åíþ óôç èýóç x max êáé åìðñüò áðü áõôþí ç ðõêíüôçôá åßíáé ìçäåíéêþ, äçëáäþ: ãéá x xmin : = σ, v = 0 ãéá x x max : = 0, (v = v 0 ) Ç ôá ýôçôá ôùí ï çìüôùí áõîüíåôáé óôáäéáêü áðü v = 0 óôç èýóç óå v = v0 = max! óôç èýóç x = x max. x = x min Åðßóçò, ðáñáôçñïýìå üôé óôç èýóç ôïõ óçìáôïäüôç Ý ïõìå ðüíôïôå ðùò ç ôá ýôçôá ôùí ï çìüôùí éóïýôáé ðñïò ôçí âýëôéóôç ôá ýôçôá ó åäéáóìïý, x = 0 C ( ) = 0 = m, v = vm Áõôü êáôáäåéêíýåé ôçí áðïäïôéêüôçôá ôùí öùôåéíþí óçìáôïäïôþí, ãåãïíüò ðïõ äåí Þôáí óáöýò ìý ñé ôç äåêáåôßá ôïõ 50, ïðüôå êáé áíáðôý èçêå ç èåùñßá ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò. ÔÝëïò, ãéá ôçí êáôáóêåõþ ôïõ äéáãñüììáôïò êáôáíïìþò ôçò ðõêíüôçôáò êõêëïöïñéáêþò ñïþò ôçí ôõ ïýóá ñïíéêþ óôéãìþ t =t åðéëýïõìå ôçí åîßóùóç C x t ( ) = = Åóôù x min t = t 0 x max

16 74 C( ) = ôüôå ð.. óå ñüíï t =. sec Ý ïõìå, xmin = cσ t = 30 km/hr xmax êáé ð.. ãéá = cο t = 60 km/hr hr 3600 hr 3600 = 16.7m = 33.4m x = 7.83m = 45 οχ/km ÔÝëïò åðéóçìáßíïõìå üôé ôï áðïôýëåóìá x min = 16.7m óçìáßíåé ðñáêôéêü üôé, sec ìåôü ôçí áëëáãþ ôïõ öùôåéíïý óçìáôïäüôç, ôï êýìá åêêßíçóçò ôùí ï çìüôùí Ý åé öèüóåé óå áðüóôáóç 16.7m ( - 3 ï çìüôùí) ðßóù áðü ôï óçìáôïäüôç. Ïðüôå Ýíá ü çìá óå áðüóôáóç d ðßóù áðü ôï óçìáôïäüôç èá îåêéíþóåé ìåôü áðü ñüíï d t = c σ Óôï ðáñüäåéãìá: d = 16.7m, c σ = 30 km/hr t = sec. Óôï ßäéï ñïíéêü äéüóôçìá ôï ðñþôï ü çìá ôçò ïõñüò èá âñßóêåôáé óôç èýóç x max = d. Ôï áðïôýëåóìá áõôü äéêáéïëïãåß êüðùò ôïí åêíåõñéóìü ôùí ïäçãþí ðïõ ðåñéìýíïõí óôçí ïõñü ðßóù áðü ôï óçìáôïäüôç ñ [ï /km] 100 t= sec x [m]

17 Êñïõóôéêü Êýìá 7 Üñéí áðëüôçôáò èåùñïýìå üôé óôï ðñüâëçìá êõêëïöïñéáêþò ñïþò C ( ) = 0 (6) ç ó Ýóç ôá ýôçôáò-ðõêíüôçôáò åßíáé êáôü ðñïóýããéóç ãñáììéêþ V ( ) = v max 1 (7) max Áò õðïèýóïõìå ôþñá üôé èýëïõìå íá õðïëïãßóïõìå ôçí êáôáíïìþ ðõêíüôçôáò = (x,t) ãéá ôçí ðáñáêüôù áñ éêþ óõíèþêç, ðïõ áíôéóôïé åß óå ìéá ðýêíùóç êáôüíôç ôçò ïäïý: 1 max 4 (x,0) = 3 max 8 x < 0 x > 0 7 Áããë. shock wave

18 76 Ðáñáôçñïýìå ôþñá üôé óôç âüóç ôçò êáôáóôáôéêþò ó Ýóçò (7) Ý ïõìå, Q( ) = V( ) = v max max C( ) = dq = vmax 1 d max Ïðüôå áðü ôïí ïñéóìü ìéáò.ã. óôï åðßðåäï Ï(x,t): x = s C( )t ç ðáñáðüíù áñ éêþ êáôáíïìþ ðõêíüôçôáò ïäçãåß óå áëëçëïôïìßá ôùí.ã. óôçí ðåñéï Þ 0 s. Áõôü óçìáßíåé ðùò îåêéíþíôáò áðü ôï óçìåßï Ï(0,0) èá âñßóêïõìå óçìåßá (ãåãïíüôá) óôï åðßðåäï O(x,t), ôá óçìåßá áëëçëïôïìßáò äõï.ã., üðïõ ç ðõêíüôçôá èá Ý åé äýï ôéìýò. ÁõôÞ ç äéôéìßá ðñïóïìïéüæåé ìáèçìáôéêü ôç ðåñßðôùóç üðïõ óå ðïëý ìéêñþ áðüóôáóç ç ðõêíüôçôá êõêëïöïñéáêþò ñïþò áëëüæåé áðüôïìá áðü ìéá ôéìþ = 0.5max óå ìéá ôéìþ, = 0.375max >

19 77 Aíôéóôïß ùò âýâáéá óôï ìéêñü áõôü äéüóôçìá èá ðñýðåé íá ðñïóáñìïóôïýí êáé ïé ôá ýôçôåò ôùí åéóåñ ïìýíùí óôï ìýôùðï ðýêíùóçò ï çìüôùí, áðü ìéá ó åôéêü õøçëþ ôá ýôçôá v = 0.75v max óå ìéá áìçëüôåñç v = 0.65 vmax < v Ìéá ôýôïéá ïñéáêþ êáôáíïìþ ðõêíüôçôáò ëýãåôáé êñïõóôéêü êýìá, äéüôé ïé ïäçãïß ôùí ï çìüôùí åéóåñ üìåíïé óôï ìýôùðï ðñýðåé íá åðéâñáäýíïõí áðüôïìá Þ áëëéþò èá óõãêñïõóèïýí ìå ôïõò ðñïçãïýìåíïõò. Êáé óôéò äýï ðåñéðôþóåéò ôá åéóåñ üìåíá ï Þìáôá ðñýðåé íá ìåéþóïõí ôçí ôá ýôçôü ôïõò ãéá íá ðñïóáñìïóôïýí óôéò åêåß åðéêñáôïýóåò óõíèþêåò êõêëïöïñßáò. Ðáñáôçñïýìå üôé óôï óõãêåêñéìýíï ðáñüäåéãìá åêáôýñùèåí ôïõ êñïõóôéêïý êýìáôïò ðáñáôçñïýíôáé áóõíý åéåò ôüóï óôçí ðõêíüôçôá üóï êáé óôçí ôá ýôçôá, ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ôá Üëìáôá [ ] = = 0.15max [ v] = v v = 0.15 v max Ôï öáéíüìåíï ðïõ ðåñéãñüøáìå åäþ åßíáé ôõðéêü óôç Ìç áíéêþ ìç-ãñáììéêþí êõìüôùí êáé ìïéüæåé ìå ôç ëåãüìåíç ëýãåôáé èñáýóç èáëáóóßïõ êýìáôïò êïíôü óôçí áêôþ ðïõ èá áíáëýóïõìå óôï Êåö Ðáñ üëç ôç ìáèçìáôéêþ ïìïéüôçôá ìåôáîý ôùí äýï ðñïâëçìüôùí, èá ðñýðåé íá ôïíßóïõìå åäþ üôé óôç ðåñßðôùóç ðïõ åîåôüæïõìå åäþ äåí Ý åé öõóéêü íüçìá íá õðïèýóïõìå üôé ç ðõêíüôçôá ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò ðáßñíåé óå ìéá èýóç ðáñáðüíù áðü ìéá ôéìþ. Ãé áõôü èá åîåôüóïõìå áìýóùò ðáñáêüôù ôç ðåñßðôùóç äçìéïõñãßáò ìéáò áóõíý åéáò óôç ðõêíüôçôá. Õðåíèõìßæïõìå üôé ðüíù óôï êñïõóôéêü êýìá êáôáññýåé ôï ìáèçìáôéêü ìïíôýëï ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò, äéüôé, üðùò áíáöýñáìå åéóáãùãéêü óôï Êåö. 3.1, ç Åî. () éó ýåé ìüíï åêåß üðïõ ïé óõíáñôþóåéò ôá ýôçôáò êáé ðõêíüôçôáò åßíáé óõíå åßò êáé ðáñáãùãßóéìåò. Ôá ýôçôá ÌåôÜäïóçò Êñïõóôéêïý Êýìáôïò Ãéá ôç ìåëýôç ìåôüäïóçò áóõíå åéþí óôçí ðõêíüôçôá èåùñïýìå üôé óå ìéá èýóç x = D(t) (D : discontinuity) åìöáíßæåôáé Ýíá Üëìá óôçí ðõêíüôçôá [ ] = = ( ) D,t ( D,t)

20 78 êáé êáô åðýêôáóç ìéá áóõíý åéá óôç ñïþ [q] = q q = q D [q] = v v ( ),t q( D,t) Åóôù dd c d = dt ç ôá ýôçôá ìåôüäïóçò ôïõ êñïõóôéêïý êýìáôïò. ÅðåéäÞ ç ìüæá ðñýðåé íá äéáôçñåßôáé åêáôýñùèåí ôçò áóõíý åéáò, x = D(t), óõìöþíùò ìå ôï ó Þìá Ý ïõìå a m& = dx D(t) q(a ) cd Ïðüôå, a m& = m& m& = dx D(t) D(t) q(a ) c d dx cd q(a ) t a

21 79 a D(t) m& = dx dx q(a ) cd D(t) a Ç Áñ Þ ÄéáôÞñçóçò ôçò ÌÜæáò åðéôüóóåé üðùò ( c q(a ) ) a m& = 0 dx q(a ) cd ( q(a ) cd ) = 0 a Áí ôþñá ðüñïõìå ôï üñéï d a = a = a 0 ôï ïëïêëþñùìá óôçí ðáñáðüíù ó Ýóç äåí óõíåéóöýñåé ôßðïôå, êáé ëáìâüíïõìå ôåëéêü ôç ëåãüìåíç óõíèþêç Rankine Hugïnéot 8 q cd = q cd v cd = v cd Þ ( v cd) = ( v c d ) ðïý óõíäýåé ôéò ôéìýò ôçò ðõêíüôçôáò êáé ôá ýôçôáò åêáôýñùèåí ôçò áóõíý åéáò ìå ôçí ôá ýôçôá ìåôüäïóçò ôçò. ÐñÜãìáôé áðü ôç ðáñáðüíù óõíèþêç ðáßñíïõìå ôåëéêü, [q] c d = (7) [ ] Ç óõíèþêç Rankine-Hugoniot óçìáßíåé üôé üôáí åêáôýñùèåí ìéáò åðéöüíåéáò (ãñáììþò åí ðñïêåéìýíù) x = D(t) åìöáíßæïíôáé Üëìáôá óôçí ðõêíüôçôá êáé óôç ñïþ, ôüôå ç åðéöüíåéá áõôþ êéíåßôáé ìå ôá ýôçôá c d. ÅðéóôñÝöïõìå ôþñá óôï ðáñüäåéãìá ðïõ áíáöýñáìå ðéï ðüíù, ïðüôå Ý ïõìå [Q( )] [ ] c d = = 1 vmax [ ] max [ ] = 0.5max ( ) = max 8 R. Haberman, Elementary Applied Partial Differential Equations, Prentice-Hall, sect. 1.6., 1998

22 80 = max ( ) = max [ ] = 0.15max, [ ] = max c d = 1 vmax = vmax 0.15 Ïðùò öáßíåôáé óôï áíôßóôïé ï ãñüöçìá ôï ìýôùðï x = D(t) = vmax t äéýñ åôáé áðü ôï óçìåßï (0,0) êáé ùñßæåé ôï ðåäßï ïñéóìïý ôïõ ðñïâëþìáôïò óå äýï ðåñéï Ýò, óõíý åéáò ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò. Áñá ôï êñïõóôéêü êýìá ðõêíüôçôáò êéíåßôáé ðñïò ôá åìðñüò ìå ôá ýôçôá c d =.5km /hr.

23 81 ÁóêÞóåéò 1. Èåùñïýìå ôç ñïíéêþ óôéãìþ t=0 ìéá äéáôáñá Þ ~ (x) ìéáò ïìïéüìïñöçò ñïþò, ôçí ïðïßá ðåñéãñüöïõìå Üñéí áðëüôçôáò ìå ìßá ôñéãùíéêþ óõíüñôçóç = ~ 0 (x), 0 = 0, ~ = 70 5 x 0 x km á) Íá âñåèïýí êáé ó åäéáóèïýí ïé.ã. ôïõ ðñïâëþìáôïò â) Íá õðïëïãéóèåß ç ìïñöþ ôçò äéáôáñá Þò óå ñüíïõò 1 min, min êáé 3 min.. ÕðïèÝôïõìå üôé ïé ïäçãïß ôùí ï çìüôùí ðñïóáñìüæïõí ôçí ôá ýôçôü ôïõò óôéò åêüóôïôå óõíèþêåò êõêëïöïñßáò ìåéþíïíôáò Þ áõîüíïíôáò ôá ýôçôá áí âëýðïõí üôé âñßóêïíôáé óå ðýêíùóç Þ áñáßùóç ôçò ðõêíüôçôáò áíôéóôïß ùò. ÁõôÞ ç õðüèåóç ïäçãåß óôçí åîþò âåëôßùóç ôïõ ìïíôýëïõ ãéá ôçí (ìýóç) ôá ýôçôá ôùí ï çìüôùí, v = V( ) ν (8) üðïõ ç óõíüñôçóç V( ) åßíáé ãñáììéêþ (ðñâë. Åî. (*) ðáñáðüíù) êáé ç 1 óôáèåñü í ðñïóäéïñßæåôáé åìðåéñéêü êáé Ý åé äéáóôüóåéò [L T ].

24 8 ÃñÜöïíôáò ν = l c v 0 óçìåéþíïõìå üôé ôï áñáêôçñéóôéêü ìþêïò l c ðñïêýðôåé ó åôéêü ìéêñü. á) Íá áðïäåé èåß üôé ç áíôßóôïé ç äéáöïñéêþ åîßóùóç ðïõ äéýðåé ôçí êõêëïöïñéáêþ ñïþ åßíáé ç åîßóùóç Burger v max 1 max = ν (10) â) Íá äéåñåõíçèåß ç äéüäïóç ìéáò âçìáôéêþò äéáôáñá Þò 1 max 4 (x,0) = 3 max 8 x < 0 x > 0 êáé íá óõãêñéèïýí ôá áðïôåëýóìáôá ãéá äéüöïñåò åðéëïãýò ôïõ áñáêôçñéóôéêïý ìþêïõò l c (äéü õóç êñïõóôéêïý êýìáôïò). ÐáñáôÞñçóç Ç ðáñáðüíù åîßóùóç Burger (10) ìå ôç âïþèåéá ôïõ ìåôáó çìáôéóìïý C = vmax 1 max ðáßñíåé ôçí êáíïíéêþ ìïñöþ C C C C = ν Ç åîßóùóç áõôþ åßíáé ç áðëïýóôåñç äõíáôþ ðïõ óõíäõüæåé ìç-ãñáììéêü êõìáôéêü áñáêôþñá ìå áñáêôþñá äéü õóçò (ðñâë. Êåö 7.6). Ç åîßóùóç Burger áíáëýåôáé äéåîïäéêü óôï âéâëßï ôïõ G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, Wiley, 1974.

25 83 3. Ãéá íá äéåñåõíþóïõìå ôçí åðßäñáóç ôïõ ñüíïõ áíôßäñáóçò τ ôïõ ïäçãïý õðïèýôïõìå üôé ç ôá ýôçôá ôïõ ï Þìáôïò ðñïóáñìüæåôáé ðñïò ôçí ôïðéêþ ôéìþ ôçò ðõêíüôçôáò êõêëïöïñéáêþò ñïþò ü é óå ðñáãìáôéêü ñüíï áëëü óå ñüíï ðñïãåíýóôåñï, ïðüôå ãéá ìéêñïýò ó åôéêü ñüíïõò áíôßäñáóçò ç êáôáóôáôéêþ åîßóùóç (3) áíôéêáèßóôáôáé áðü ôçí åîþò (ãéáôé;) v = V ( (x,t τ) ) V( ) τv ( ) (11) á) Íá áðïäåé èåß üôé óôç óõãêåêñéìýíç ðåñßðôùóç ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (6) ôçò êõêëïöïñéáêþò ñïþò ãßíåôáé, C ( ) = τ V ( ) (1) â) Ãéá ìéêñýò äéáôáñá Ýò ãýñù áðü ìßá ëýóç éóïññïðßáò, * = ~ (x,t) íá áðïäåé èåß üôé ç Åî. (1) ïäçãåß óôçí åîþò ãñáììéêïðïéçìýíç åîßóùóç ãéá ôç äéáôáñá Þ, ~ ~ ~ * * * c = τ V ( ) (13) ã) Íá åîáôáóèåß ç ýðáñîç ëýóåùí ôçò Åî. (13) ôçò ìïñöþò, ( exp(ikx st) ), i = 1 ~ = Re êáé íá áðïäåé èåß üôé ï ñõèìüò Üõîçóçò ôçò äéáôáñá Þò äßäåôáé áðü ôçí ðáñáêüôù ó Ýóç "äéáóðïñüò" * ikc s = * * 1 iτk V'( ) ÌåôÜ áðü êáôüëëçëç åðéëïãþ ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ ðñïâëþìáôïò íá äéåñåõíçèåß ç åõóôüèåéá ôçò ëýóçò éóïññïðßáò, äçëüäç íá âñåèåß ãéá ðïéýò ôéìýò ôùí ðáñáìýôñùí ôïõ ðñïâëþìáôïò, s < 0 Re(s) = s > 0 ευσταθþ ςλýση ασταθþ ςλýση

26 84