ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ

Transcript

1 Ευθεία

2 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ε, αν αυτή έχει εξίσωση: 5x 6 i) y = x- 1 ii) y = 3 5x iii) y iv) x = y v) 18x-6y + 5 = 0 vi) x = vii) y =. Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης, αν υπάρχει, της ευθείας: i) που διέρχεται από τα σημεία Α(,-3) και Β(-1,6). ii) που διέρχεται από τα σημεία Γ(0,-) και Δ(0,3). iii) που είναι κάθετη στη ΓΔ. 3. Να βρεθεί η γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα χ χ η ευθεία: i) που διέρχεται από τα σημεία Α(4,-) και Β(3,-3). ii) που διέρχεται από τα σημεία Γ(3,-1) και Δ(-,-1). iii) που διέρχεται από τα σημεία Ε(4,-) και Ζ(4,1). 4. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x'x η ευθεία, η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο με: i) 1 ii) -1 iii) 3 iv) 0 ν) 5. Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζει με άξονα x'x η ευθεία με εξίσωση: 1 i) y x ii) y x 3 1 iii) y = 1 - x iv) y = l v) y = 3 vi) x = 0 vii) x= 6. Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οποίες : η ευθεία ε : y = ( α - 10)x+ 4 σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία Να βρεθεί ο α R έτσι ώστε η ευθεία: i) ε: y x να σχηματίζει 45 γωνία με τον άξονα x x ii) ε: y 3 x 1 να σχηματίζει 30 γωνία με τον άξονα y y και κανένα σημείο της να μη βρίσκεται στο 1 ο τεταρτημόριο

3 ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το Α(-1,3) και είναι : i) παράλληλη στην ευθεία δ: y = -x ii) κάθετη στην ευθεία δ: y x iii) κάθετη στην ευθεία δ: x = 5 iv) παράλληλη στην ευθεία δ: y = Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(3,-) και : α) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (, 5) β) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (0, 3) γ) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα (,0) δ) είναι κάθετη στο διάνυσμα (,1) ε) είναι κάθετη στο διάνυσμα (0, 4) στ) σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία Δίνονται τα σημεία Α (1, 4) και Β (- 1, - 5). α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας τον ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 11. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών 1 και του διπλανού σχήματος. 1 y 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών x 6

4 13. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ε του διπλανού σχήματος. Α y 1 ε - Ο x 14. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από τις κορυφές Α (, -1), Β (4, -5) και Γ(-3, 4) τριγώνου ΑΒΓ και είναι παράλληλες προς τις απέναντι πλευρές. 15. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που τέμνει τον άξονα χ χ στο σημείο Α (-, 0) και είναι παράλληλη στην διχοτόμο της γωνίας x Οy. 16. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία με εξίσωση: y=3x-1. ΤΟΜΕΣ ΕΥΘΕΙΩΝ 17. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1,10) και από το σημείο τομής των ευθειών :ε1: y x 5 και y 5x Δίνεται η ευθεία ε: y 3x 011. Να βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ζ1 που είναι παράλληλη στην ευθεία ε και διέρχεται από το σημείο Α(1,-5) ii) την εξίσωση της ευθείας ζ που είναι κάθετη στην ε και διέρχεται από το σημείο Β(-3,13) iii) το σημείο τομής των ευθειών ζ1 και ζ 19. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1: y=x+3, ε: y=-x+15 και ε3: y=3x-5 διέρχονται από το ίδιο σημείο. 0. Δίνονται τα σημεία Α(1,5),Β(4,-1),Γ(3,7) και Δ(-1,-9).Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών ΑΒ και ΓΔ. 1. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ του διπλανού σχήματος. A 4, B,0 Μ. Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου του τμήματος ΑΒ, όπου Α(- 1,0) και Β(5, ).

5 ΣΗΜΕΙΟ ΠΟΥ ΑΝΗΚΕΙ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ 3. Δίνονται τα σημεία Α(4,-3) και Β(-, 5).Nα βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ε που διέρχεται από τα σημεία Α και Β ii) για ποια τιμή του λ R η ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Γ(-5,λ+1) 4. Δίνονται τα σημεία Α(α,α-3) και Β(7α,3α-1), με α R.Η ευθεία ε: y=3x- διέρχεται από το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.Να βρείτε : i) τον αριθμό α ii) τα σημεία τομής της ευθείας ΑΒ με τους άξονες. 5. Θεωρούμε την ευθεία y x 5 και το διάνυσμα (3, 4),με λ R.Η ευθεία ε είναι παράλληλη στο διάνυσμα. α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Το σημείο Α(μ,7-μ),με μ R,ανήκει στην ευθεία ε.να βρείτε : i) τον αριθμό μ ii) την ευθεία ζ που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην ε. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟΥ ΩΣ ΠΡΟΣ ΕΥΘΕΙΑ 1 6. Δίνεται το σημείο Α(-3,5) και η ευθεία y x 1.Να βρείτε : i) την προβολή του Α στην ε ii) το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία ε 7. Έστω η ευθεία ε: y=x+1 το σημείο Α(,1) α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της προβολής του σημείου Α πάνω στην ε β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του συμμετρικού του Α ως προς την ε 8. Δίνεται η ευθεία ε: y x. Να βρείτε τη συμμετρική ευθεία της ε, ως προς: α) τον άξονα χ χ β) τον άξονα y y γ) την αρχή Ο των αξόνων δ) τη διχοτόμο y x. ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 9. Να αποδείξετε ότι : i) τα σημεία Α(1,), Β(3,6) και Γ(4,10) είναι κορυφές τριγώνου, ii) τα σημεία Α(1,), Β(3, 6) και Γ(4, 8) δεν είναι κορυφές τριγώνου. 30. Δίνονται τα σημεία Α(4, 5), Β(6,- 1) και Γ(1,1).

6 i) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. ii) Να βρείτε σημείο Δ, ώστε το τετράπλευρο ΑΒΓΔ να είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 31. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(1,), Β(-3,-), Γ(3,-4). Να βρεθούν οι εξισώσεις του ύψους, της διαμέσου και της μεσοκαθέτου που αντιστοιχούν στην πλευρά ΑΓ. 3. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(5,), Β(1,), Γ(3,4). Να υπολογιστούν οι συντελεστές διεύθυνσης των πλευρών και να βρεθεί το είδος του τριγώνου. 33. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία Α(,1), Β(-1,-1), Γ(-3,). Να βρεθούν οι εξισώσεις : i) του φορέα του ύψους ΒΔ ii) του φορέα της διαμέσου ΑΜ iii) της μεσοκαθέτου της πλευράς ΒΓ 34. Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (- 8, ), Β (7, 4) και Η (5, ) το ορθόκεντρο του.να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ γ) τις εξισώσεις των πλευρών του. δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. ε) Να βρεθεί το εμβαδόν τον τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ. 35. Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγμένες (,1) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται τα δύο ύψη του έχουν εξισώσεις y = - 3x + 11 και y = x + 3.Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών Β, Γ του τριγώνου. 36. Η κορυφή Α ενός τετραγώνου ΑΒΓΔ έχει συντεταγμένες (3,1) και μια πλευρά του βρίσκεται στην ευθεία με εξίσωση y = x- 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών πάνω στις βρίσκονται οι άλλες τρεις πλευρές του τετραγώνου. 37. Να βρεθούν οι συντεταγμένες των κορυφών παραλληλογράμμου που έχει δύο πλευρές 1 με εξισώσεις ε1 y x 1 y 3x 1 και το κέντρο του Ο έχει συντεταγμένες 4 5, Τα σημεία Α(,0) και Β(-1,4) είναι διαδοχικές κορυφές τετραγώνου. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του.

7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη και τον άξονα y'y σε σημείο με τεταγμένη -3, ii) την ευθεία x = 5 σε σημείο με τεταγμένη 4 και την ευθεία y = - σε σημείο με τετμημένη -1, iii) την ευθεία y = x - 1 σε σημείο με τετμημένη 4 και την ευθεία y = x + 1 σε σημείο με τεταγμένη -.. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών: 3x + 4y - 11 = 0 και x - 3y + 1 = 0 και είναι: α) παράλληλη προς την ευθεία x + γ + 1 = 0 β) κάθετη προς την ευθεία 3x - y + 5 = 0 γ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) παράλληλη στον άξονα χ χ ε} παράλληλη στον άξονα γ'y στ) παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων ζ) παράλληλη στη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων 3. Δίνονται τα σημεία Β(-3,7), Γ(3,1) και οι ευθείες (ε1):3x y 0 και (ε): x y 7 0οι οποίες τέμνονται στο σημείο Α. Να βρεθούν : α) Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΒΓ, η γωνία που σχηματίζει η ΒΓ με τον άξονα x x και η εξίσωση της ΒΓ. β) Οι συντεταγμένες του σημείου Α. γ) Η εξίσωση της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΑΒΓ και η γωνία των ευθειών ΑΜ, ΒΓ. δ) η εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΕΥΘΕΙΩΝ 4. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ R η εξίσωση (- μ) x - (μ + 5)y + μ- 1 = 0 παριστάνει : i) ευθεία, ii) ευθεία ε παράλληλη στον άξονα χ χ, iii) ευθεία ε παράλληλη στον άξονα y'y, iv) ευθεία, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 5. Nα δείξετε ότι για κάθε τιμή του λ, η εξίσωση (x+y-5)+λ(3x-y+1)=0 (1) παριστάνει ευθεία. Στη συνέχεια να δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζονται από την

8 (1) διέρχονται από το ίδιο σημείο. Τέλος να βρείτε ποια από τις παραπάνω ευθείες της εξίσωσης (1) : i) Διέρχεται από το σημείο Α(3,-1) ii) Είναι παράλληλη στον χ χ iii) Είναι παράλληλη στον y y iv) Είναι παράλληλη στην ευθεία 4x+3y-5=0 v) Είναι κάθετη στην ευθεία x+3y+7=0 6. Δίνεται η εξίσωση: (κ +κ-)x+(k -4)y+κ+4=0 (1) α) Να βρεθούν οι τιμές του κ ώστε η (1) να παριστάνει ευθεία β) Να βρεθούν οι τιμές του κ για τις οποίες οι ευθείες αυτές περνούν από το σημείο Α(4,) ΣΧΕΤΙΚΗ ΘΕΣΗ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ 7. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx + 8y-4λ +4 = 0 και ε : (λ-1)x +(λ+ )y- 3 = 0. Να βρείτε τη σχετική θέση των ε1,ε για τις διάφορες τιμές του λ R. 8. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx + (λ+ 1)y-3 = 0 και ε : (λ-)x +λy-1 = 0. i) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ R οι ευθείες ε1,ε έχουν μοναδικό κοινό σημείο. ii) Να βρείτε το λ,ώστε η ευθεία ζ : 3x+y+3=0 να διέρχεται από το μοναδικό κοινό σημείο των ε1 και ε. 9. Δίνονται οι ευθείες ε1 : λx + (λ+ 3)y-6 = 0 και ε : (λ-1)x +(λ+ )y-3 = 0. i) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1,ε έχουν μοναδικό κοινό σημείο για κάθε λ R. ii) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ, το σημείο τομής Μ των ε1 και ε κινείται πάνω σε μία ευθεία. 10. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ε1 : 3x + y -4 = 0, ε :y = -x+l και ε3 : x + y = 0 διέρχονται από το ίδιο σημείο. 11. Να βρείτε για ποιες τιμές του μ R οι ευθείες ε1 : y = μx + 5 και ε : y = (3μ - 4)x + μ 1 είναι : i) παράλληλες ii) κάθετες 1. Δίνονται οι ευθείες ε1: (μ + 1) x + (μ + ) y = 0 και ε: μx - (3μ + )y+7=0. Να βρείτε τον μ, ώστε η γωνία των ε1 και ε να είναι Οι ευθείες : ε1: ( 6)x y 1 0 και ε: x ( )y 0 είναι παράλληλες, ενώ οι ευθείες ε3 : ( )x y 9 0 και ε4 : ( )x ( )y 7 0 είναι κάθετες. i) Να βρείτε τις τιμές των λ και μ ii) Αν Α είναι το σημείο τομής των ε1 και ε και Β είναι το σημείο τομής των ε3 και ε4 να βρείτε το μέτρο του διανύσματος.

9 ΓΩΝΙΑ ΔΥΟ ΕΥΘΕΙΩΝ 14. Να βρείτε την σχετική θέση των ευθειών ε1: μx-y=μ- και ε: 3x-y=1 για τις διάφορες τιμές του μ R. Για ποια τιμή του μ R η ευθεία ε σχηματίζει με την ε 1 γωνία ίση με: α), και β) Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε1 : x = και ε : x 3 3y k Να βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε1: y=x-5 και ε : y=-3x Οι ευθείες ε1 : x ( 6)y 0 και ε : ( 5)x ( 7)y 13 0 είναι παράλληλες.να βρείτε : i) τον πραγματικό αριθμό λ ii) την οξεία γωνία των ευθειών ε1 και ε3 : 3x+y-5= Δίνονται οι ευθείες ε1: αx+y+3=0 και ε : 5x-3y+8=0.Να βρείτε τον αριθμό α,ώστε οι ευθείες ε1 και ε να σχηματίζουν γωνία 45. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ 19. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ(6-3λ, 1 + λ), όταν το λ παίρνει όλες τις πραγματικές τιμές. 0. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος τωv σημείων Μ (5-μ,3μ +4),μ R. 1. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων 3,3. Από τα προηγούμενα σημεία να βρείτε το πλησιέστερο στην αρχή των αξόνων. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ x By xy x y Z 0. Δίνεται η εξίσωση : x y 3xy 7x y 3 0 (1) i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο ευθείες,οι οποίες είναι κάθετες. ii) Να βρείτε το σημείο τομής των δύο ευθειών του ερωτήματος (i) 3. Δίνεται η εξίσωση : x y xy x y 3 0 (1) i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (1) παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες ε1 και ε. ii) Έστω ότι οι ευθείες ε1 και ε τέμνουν τον άξονα y y στα σημεία Α και Β και έστω Μ το μέσο του ΑΒ.Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας ζ που διέρχεται από το Μ και είναι παράλληλη στις ε1 και ε. 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y 3xy x 0 παριστάνει ζεύγος δύο κάθετων μεταξύ τους ευθειών, οι οποίες διέρχονται από την αρχή των αξόνων.

10 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 1. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Μ(,-3) από την ευθεία y= x β) Να βρεθεί η απόσταση της αρχής Ο των αξόνων από την ίδια ευθεία y= x Να βρεθεί το σημείο του άξονα y'y που ισαπέχει από την αρχή των αξόνων και από την ευθεία ε : 4x-3y + 4 = Να βρείτε τα σημεία της ευθείας ε : x + y - = 0 που απέχουν από την ευθεία ζ : 3x + 4y-10 = 0 απόσταση ίση με. 4. Να υπολογισθεί το μήκος του ύψους ΑΔ τριγώνου ΑΒΓ στο οποίο Α(4,13), Β(10,1), Γ(-,5) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 5. Να βρείτε τις ευθείες που είναι παράλληλες στην ευθεία ζ: 3x+y-011=0 και απέχουν από το σημείο A(-4,) απόσταση ίση με Να βρείτε τις ευθείες που σχηματίζουν με τον άξονα χ χ γωνία 45 και απέχουν από το σημείο Α(,5) απόσταση ίση με 3 7. Δίνεται η ευθεία ζ: x+y-15=0 και το σημείο Α(3,1):Να βρείτε: i) την απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ζ, ii) τις ευθείες που είναι κάθετες στη ζ και απέχουν από το Α απόσταση ίση με 0 8. Να βρείτε τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Ρ(6,5) και απέχουν από το σημείο Α(3,-1) απόσταση ίση με Να βρείτε την ευθεία ε που είναι παράλληλη στην ευθεία ζ: 6x-3y-13=0 και ισαπέχει από τα σημεία Α(1,-4) και Β(5,) ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΕΥΘΕΙΩΝ 10. Να βρείτε την απόσταση των ευθειών ε1: 4x -6y+5=0 και ε: y= 3 x Δίνονται οι ευθείες ε1: x-y+1=0 και ε: 3x-4y-1=0. Nα βρείτε σημείο Μ της ε1 που απέχει από την ε απόσταση ίση με 1 μονάδα

11 1. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών, οι οποίες είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: y = 3 x - και απέχουν από αυτή απόσταση ίση με Δίνονται οι ευθείες ε1 : y = 3x - 4 και ε : y = 3x + 0. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ε, η οποία απέχει από τις ε 1, ε αντίστοιχα αποστάσεις με λόγο Η μια πλευρά τετραγώνου ΑΒΓΔ, με Α(, -1), βρίσκεται πάνω στην ευθεία ε : 3x - 4y + 0 = 0.Nα βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου. 15. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τετραγώνου του οποίου οι δύο πλευρές βρίσκονται πάνω στις ευθείες ε : 5x - 1y-60 = 0 και ζ : 5x - 1y + 31 = i) Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών που παριστάνει η εξίσωση x + xy + y -x-y-μ = 0 ii) Για ποια τιμή του μ η απόσταση των παραπάνω ευθειών είναι ίση με 10 ; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ-ΜΕΣΟΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 17. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών: α) ε1 : 3x-y+1=0 και ε :-6x+y-3=0 β) ε: x = 4 και ε : x = - 6 γ) ε1: y =x και ε :y =x Η ευθεία ε : y = 5 1 x + 3 είναι η μεσοπαράλληλος δύο ευθειών ε 1, ε, οι οποίες απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 8. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών αυτών. 19. Δίνονται οι ευθείες ε1: 3x-4y+1=0 και ε: 8x-6y+5=0.Να βρείτε : i) τις εξισώσεις των διχοτόμων των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε ii) ποια από τις παραπάνω διχοτόμους αντιστοιχεί στην οξεία γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε 0. Δίνονται τα σημεία Α(3,1) και Β(13,6).Έστω ε1 η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη στο διάνυσμα v (3,6) και ε η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β. Να βρείτε : i) τις εξισώσεις των ευθειών ε1 και ε ii) την απόσταση του σημείου Β από την ευθεία ε1 iii) τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες ε1 και ε ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνονται τα σημεία Α(-,1),Β(3,4) και Γ(1,-6).Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

12 . Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που έχει κορυφές τα σημεία Α(1, - ),Β(-, 3), Γ (- 1, - 4) και Δ (5, 0). 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ, του οποίου οι τρεις κορυφές είναι τα σημεία Α(- 1, 5), Β(5, -3), Γ(-, 3). 4. Δίνονται τα σημεία Α(8,3) και Β(6,-1).Να βρείτε σημείο Γ του άξονα χ χ,ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να έχει εμβαδόν 7 τ.μ. 5. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Αν ισχύει ότι (8,4) και (1, 3),να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 6. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία : x 3y 1 0 και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1τμ. 7. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από το σημείο Ρ(-, 6) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν Έστω τα σημεία Α(1,), Β(-3,4), Γ(λ+1,-λ+1), λ. i) Να δειχθεί ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι κορυφές τριγώνου με σταθερό εμβαδό για κάθε λ. ii) Nα δείξετε ότι το σημείο Γ κινείται πάνω σε ευθεία της οποίας να βρείτε την εξίσωση iii) Nα βρείτε το λ ώστε το σημείο Γ(λ+1, -λ+1) να απέχει από την αρχή των αξόνων την ελάχιστη απόσταση ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ 9. Δίνεται η ευθεία ε:x+y-6=0.να βρείτε : i) τη μικρότερη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας ε από την αρχή των αξόνων, ii) ποιο σημείο της ευθείας ε απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Μ(,-3) 30. Δίνονται τα σημεία Α(-,4) και Β(8,-1). α) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ,όπου Ο η αρχή των αξόνων. β) Έστω η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β.Να βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ε ii) ποιο σημείο της ευθείας ε απέχει τη μικρότερη απόσταση από το σημείο Γ(5,3). 31. Θεωρούμε τα σημεία Μ(λ-4,3λ-) με λ R i) Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του λ τα σημεία Μ κινούνται σε ευθεία ε της οποίας να βρείτε την εξίσωση

13 ii) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας ε από την αρχή των αξόνων. 3. Οι ευθείες ε 1 : λx+(λ -1)y-5=0 και ε 1 : (λ +1)x-(λ +4)y-15=0 είναι κάθετες. Να βρείτε: i) τον αριθμό λ ii) το σημείο τομής των ευθειών ε1 και ε iii) την ελάχιστη απόσταση που απέχει ένα σημείο της ευθείας ε1 από την αρχή των αξόνων,καθώς και ποιο είναι το σημείο αυτό. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 33. Δίνονται τα σημεία Α(,3),Β(5,λ) και Γ(λ-6,5),με λ R,για τα οποία ισχύει ότι 35. Να βρείτε : i) τον αριθμό λ ii) την απόσταση του σημείου Γ από την ευθεία ΑΒ iii) τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α και ισαπέχουν από τα σημεία Β και Γ 34. Οι παράλληλες ευθείες : y x και 1 : y x απέχουν απόσταση ίση με 1. α) Να βρείτε τον αριθμό λ β) Να βρείτε τη μεσοπαράλληλη των ε1 και ε γ) Έστω ε3 η ευθεία που διέρχεται από το σημείο Α(4,) και τέμνει την ε1 σε σημείο με τετμημένη 7.Να βρείτε : i) την εξίσωση της ευθείας ε3 ii) τις διχοτόμους των γωνιών που σχηματίζουν οι ευθείες εκαι ε Οι ευθείες : x ( 4)y 0 και 1 : ( 1)x (3 )y 3 0 είναι κάθετες.να βρείτε : i) τον αριθμό λ ii) τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Ρ(,-1) και σχηματίζουν με τις ε1και ε τρίγωνο με εμβαδόν 1 τ.μ. 36. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Γ(-,-1),στο οποίο η πλευρά ΑΒ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση x y 10 0 και το ύψος ΑΔ βρίσκεται πάνω στην ευθεία με εξίσωση : x 3y 15 0.Να βρείτε : i) τις συντεταγμένες της κορυφής Α ii) τις εξισώσεις των πλευρών ΑΓ και ΒΓ iii) τις συντεταγμένες της κορυφής Β iv) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 37. Δίνονται τα σημεία Α(8,0) και Β(0,4) του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. Α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που ορίζεται από την αρχή των αξόνων Ο και το μέσο Δ του τμήματος ΑΒ. Β) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Δ και είναι κάθετη στην ευθεία ΟΔ.

14 Γ) Έστω τυχαίο σημείο της παραπάνω ευθείας (ε).να δείξετε ότι ισχύει η σχέση: MA MB OM (ΘΕΤΙΚΗ ο ΘΕΜΑ) 38. Σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy, εξίσωση της ευθείας ( 1) x ( 1) y 3 0 όπου λ πραγματικός αριθμός περιγράφει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέμπει ένας περιστρεφόμενος φάρος Φ. α) Nα βρείτε τις συντεταγμένες του φάρου Φ β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σημεία Κ(,),Λ(-1,5) και Μ(1,3).Να βρείτε τις εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ,Λ και Μ. γ) Nα υπολογίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκονται πλησιέστερα στην φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ. δ) Nα υπολογίσετε το εμβαδόν της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ. (ΘΕΤΙΚΗ ο ΘΕΜΑ) 39. Δίνεται η εξίσωση x y 6x 9 0 α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες ε1 και ε. β) Να δείξετε ότι οι ευθείες ε1 και ε είναι κάθετες. γ) Να βρείτε ένα σημείο Μ (κ,λ) με κ>0 και λ>0 τέτοιο ώστε το διάνυσμα a (3, k ) να είναι παράλληλο προς τη μία από τις δύο ευθείες ε1 και ε και το διάνυσμα ( 16, 4 ) να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία. δ) Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων άξονα συμμετρίας τον άξονα x x και διέρχεται από το σημείο Μ. (ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ο ΘΕΜΑ) 40. Δίνεται ένα τρίγωνο με κορυφές Α(λ 1, 3λ+), Β(1,) και Γ(,3) όπου λ IR με λ. Α. Να αποδείξετε ότι το σημείο Α κινείται σε ευθεία, καθώς το λ μεταβάλλεται στο IR. Β. Εάν λ=1, να βρείτε: α. το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ β. την εξίσωση του κύκλου, που έχει κέντρο την κορυφή Α(1,5) και εφάπτεται στην ευθεία ΒΓ. (3ο 003) 41. Δίνονται οι παράλληλες ευθείες ε1 : 3x+4y+6 = 0 και ε : 3x+4y+16=0. A. Να βρείτε την απόσταση των παράλληλων ευθειών ε1 και ε Β. Να βρείτε την εξίσωση της μεσοπαράλληλης ευθείας των ε1 και ε Γ. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο τομής της ευθείας ε1 με τον άξονα χ χ και αποκόπτει από την ευθεία ε χορδή μήκους δ=4 3 (4ο 004)