Ευθείες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Κατεύθυνση Κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 1 1 /

Transcript

1 Ευθείες Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα Kgllykos..gr / / 0 8 Κατεύθυνση Κεφάλαιο 59 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο

2 τηλ. Οικίας κινητό Τα πάντα για τις ευθείες 750. Ευθεία διέρχεται από τα σημεία Α(-,4) και Β(,5), να βρεις την ευθεία και τη γωνία που σχηματίζει με χχ. 9 y x 75. Ευθεία διέρχεται από το σημείο Α(3,) και σχηματίζει γωνία 60 με χχ. Να βρεις το α ώστε το σημείο Μ(α,-) να ανήκει στην ευθεία. a Ν.δ.ο. η ευθεία που διέρχεται από Α(3,-), Β(,4) είναι παράλληλη με την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Γ(,0) και Δ(,3) Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από Α(-,-) στις παρακάτω περιπτώσεις, 35 xx, / / a (5, 3), (,) 3 Ευθείες 3 y x, y x 3, y x, y x Μορφή ευθείας y y x x Διέρχεται από το σημείο 754. Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από το Μ(,3) και είναι / / y 3x, 4x 3y 0 o x, y λ αν γνωρίζεις τη γωνία ω με χχ τότε λ=εφω αν γνωρίζεις δύο σημεία που διέρχεται,,, A x y B x y o o y x αν η ευθεία σου είναι παράλληλη σε ευθεία ή διάνυσμα θα έχει το ίδιο λ o y x αν η ευθεία σου είναι κάθετη σε ευθεία ή διάνυσμα θα έχει αντιθετοαντίστροφο λ 755. Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από A(, 3), B(,5) (,3), (,3) (,3), (,9) (,5), (3,6) y 8x, y 3, x, y x 3 Προσοχή αν σε ευθεία δεν ορίζεται το λ τότε θα έχει τη μορφή x x o 756. Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από Α(-,) και Β(-3,).Να βρεις το λ ώστε το σημείο Γ(λ-3,-3λ) να ανήκει στην ευθεία.

3 τηλ. Οικίας κινητό Δίνονται τα σημεία Α(,),Β(4,-5),Γ(4,).Να εξετάσεις αν δημιουργείται τρίγωνο.αν ναι, να βρεις τις εξισώσεις των πλευρών. y 3x 7, x 4, y 758. Δίνονται οι εξισώσεις πλευρών τριγώνου x y 0,3x 4y 7 0,6x 5y 8 0, να βρεις τις κορυφές του τριγώνου,,,4,, Να βρεις τα ύψη τριγώνου με κορυφές Α(-8,-),Β(0,5),Γ(,6). Να βρεις το ορθόκεντρο 0 4 y x 7, y x 5, y x Να βρεις τις διαμέσους και το βαρύκεντρο τριγώνου με κορυφές Α(0,),Β(-,-3),Γ(5,0) 76. Να βρεις τη μεσοκάθετο του ΑΒ με Α(0,),Β(-6,4) y3x Ευθεία διέρχεται από σημείο αν το σημείο επαληθεύει την εξίσωσή της. Για να βρεις το λ ευθείας θα πρέπει να λύσεις την εξίσωση της ως προς y και να δεις το συντελεστή του χ. Αν δεν υπάρχει y τότε δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης και η ευθεία είναι // yy. 76. Να βρεις μεσοκαθέτους και περίκεντρο του τριγώνου με κορυφές τα σημεία Α(-,-5),Β(,),Γ(,5) 763. Έστω σημεία B 3,7, C3, βρεις και Α το σημείο τομής των ευθειών 3x y 0,x y 7 0, να Το συντελεστή διεύθυνσης της ΒΓ Τη γωνία της ΒΓ με τον οριζόντιο άξονα Το σημείο Α Τη διάμεσο ΑΜ του ΑΒΓ Τη γωνία των ευθειών ΑΜ και ΒΓ Το ύψος ΓΔ του ΑΒΓ 764. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με, A, πλευρά x y 4 0 και διάμεσο ΒΜ x y 0 B, C ; 765. Να βρεις τις ευθείες που διέρχονται από το M,3 και σχηματίζουν με άξονες τρίγωνο με εμβαδό y a 0 x Να βρεις το α ώστε να σχηματίζει 35 ο με τον xx η ευθεία 767. Έστω σημεία,,, A x y B x y της ευθείας y kx b AB x x k, ν.δ.ο.

4 τηλ. Οικίας κινητό Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από το K,3 και τέμνει τους άξονες xx, yy στα Α,Β αντίστοιχα ώστε BK KA 769. Αν Α,Β δύο σημεία της ευθείας y3x 0, όπου τετμημένη του Β μεγαλύτερη κατά από του Α, να βρεις τη διαφορά των τεταγμένων τους a,3, b 4 j, A,3, c 3a b, να βρεις 770. Έστω την ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στο c να βρεις το πλησιέστερο σημείο της ευθείας στην αρχή των αξόνων 7y 6x 7, M..., Να βρεις την ευθεία που τέμνει τον κατακόρυφο άξονα στο 3 και είναι κάθετη στη διχοτόμο της xoy Προβολή & συμμετρία 77. Να βρεις την προβολή του σημείου Α(-3,) πάνω στην ευθεία ε x y 0 7 9, Ν.δ.ο. η προβολή της αρχής Ο των αξόνων, πάνω στην ευθεία yx, είναι σημείο της ευθείας με εξίσωση x 4y 0 Να βρεις προβολή και συμμετρικό ενός σημείου Α ως προς ευθεία (ε) βρίσκεις την ευθεία που διέρχεται από το Α και είναι κάθετη στην (ε). Λύνεις σύστημα τις δύο ευθείες και βρίσκεις την προβολή Ρ. Το Ρ θα είναι μέσο του ΑΑ όπου Α το συμμετρικό του Α., 774. Να βρεις το συμμετρικό του σημείου Μ(,-3)ως προς την ευθεία ε 3x 4y Να βρεις το συμμετρικό της αρχής των αξόνων ως προς την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α(3,0), Β(-3,0) 776. Ν.δ.ο. το συμμετρικό κάθε σημείου της ευθείας y=x+, ως προς ευθεία x-y=, ανήκει ευθεία x-7y-7= Δίνεται x y 4 0, A, Να βρεις συντεταγμένες του ίχνους Κ του Α πάνω στην (ε) Το συμμετρικό Γ του σημείου Α ως προς την (ε) Τα σημεία Β,Δ ώστε ΑΒΓΔ τετράγωνο Το εμβαδό του ΑΒΓΔ 3

5 τηλ. Οικίας κινητό a 3a 5 x a a y a 0, να 778. Δίνεται η εξίσωση εξετάσεις αν παριστάνει ευθεία για κάθε τιμή του α, για ποια τιμή του α διέρχεται από (0,0) αν ορίζεται πάντα ο συντελεστής διεύθυνσης., a, a, a x 3a a y 5a a Δίνεται η εξίσωση, να βρεις για ποιες τιμές του α παριστάνει ευθεία. Πότε η ευθεία είναι // xx. Πότε η ευθεία είναι //yy. Πότε διέρχεται από Α(,3). Πότε σχηματίζει 35 γωνία με xx., a, a,, Να απαντήσεις τα ερωτήματα της άσκησης 770 για την εξίσωση x y x y 4,,,, a b x a b y Δίνεται η εξίσωση Να βρεις τα α, β ώστε να παριστάνει ευθεία Να βρεις τα α, β ώστε η ευθεία να διέρχεται από το A, a, b 3a x a y 4 8a Δίνεται η εξίσωση M Ν.δ.ο. παριστάνει ευθεία για κάθε α Ν.δ.ο. η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο, Οικογένεια ευθειών ab x ab y Δίνεται η εξίσωση Οικογένεια ευθειών Ax+By+Γ=0 Δεν ορίζεται όταν υπάρχει λ ώστε Α=0 και Β=0 Είναι // xx όταν Α=0 Είναι // yy όταν Β=0 Διέρχεται από (0,0) όταν Γ=0 Σχηματίζει ω με xx όταν A B 4

6 τηλ. Οικίας κινητό Ν.δ.ο. παριστάνει ευθεία για κάθε διάνυσμα Ν.δ.ο. η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο M, ax y 0& a x a y Δίνονται οι εξισώσεις Ν.δ.ο. παριστάνουν ευθεία για κάθε α Να βρεις το α ώστε η η να είναι παράλληλη στην 4x y3 0 Να βρεις το α ώστε η η να είναι κάθετη στην x3y 4 0 Ν.δ.ο. τέμνονται για κάθε α Να βρεις την οξεία γωνία των ευθειών Ν.δ.ο. η η διέρχεται από σταθερό σημείο a, a, a, a,, M, Ν.δ.ο. για οποιαδήποτε μη μηδενικά διανύσματα a b x a b y 4ab 0 M, ab, διέρχεται από σταθερό σημείο η ευθεία Παραλληλία & καθετότητα παραμετρικών ευθειών 786. Να βρεις τις τιμές του α ώστε να είναι ( a ) x ( a ) y 0// (3a 7) x ( a ) y a 0 3 a 3,, 787. Να βρεις το λ ώστε να είναι ( 3) x ( 4) y 5 0 ( 5) x y Να βρεις το λ ώστε ( ) x ( ) y 3 0 ( ) x ( ) y Να βρεις το α ώστε αx+( α-)y-3=0 // (3α-4)x+(α-3)y+α-= Τα μέσα πλευρών τριγώνου είναι Κ(,),Λ(0,-3),Μ(,5), να βρεις τις εξισώσεις των πλευρών του. 3,9,, 7,, 79. Θεωρούμε την ευθεία x5y 0και τα σημεία Α(,),Β(-3,4). Να βρεις το σημείο Μ της ευθείας ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ. 5

7 τηλ. Οικίας κινητό Να βρεις το σημείο της ευθείας x+y-3=0 που ισαπέχει από τα σημεία Α(3,), Β(4,6) 3 9, 793. Έστω τα σημεία Α(3,), Β(,3), 3x+y-6=0, να βρεις το Γ της ευθείας ώστε το ΑΒΓ να είναι ισοσκελές στο Γ 3 3, 794. Ν.δ.ο. τα σημεία Α(-,3),Β(0,),Γ(3,4),Δ(8,3) δημιουργούν ισοσκελές τραπέζιο να βρεις τις εξισώσεις των διαγωνίων του και της διαμέσου Να βρεις το σημείο τομής των διαγωνίων του παραπάνω τετραπλεύρου 796. Έστω τα σημεία Α(,-3),Β(,),Γ(3,).Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από το A, AB 3A y x 797. Έστω ευθείες x y 4 0, 3x y 6 0, A(, 5), Να βρεις το Ν της ευθεία ώστε το μέσο Μ του ΑΝ να ανήκει στην 798. Σε τρίγωνο ΑΒΓ, A, και μία πλευρά και μία διάμεσός του αντίστοιχα έχουν εξισώσεις y x 5, x, να βρεις τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών, 3, 3, 799. Σε τρίγωνο ΑΒΓ,, A και δύο διάμεσοί του αντίστοιχα έχουν εξισώσεις x 3y 0, y, να βρεις τις συντεταγμένες των άλλων κορυφών 800. Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από το Α(,3) και το τμήμα που αποκόπτει από τους άξονες έχει μέσο το Α 80. Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από το Α(,3) και το τμήμα που αποκόπτει από τους άξονες έχει μήκος Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από το Α(,3) και δημιουργεί με άξονες τρίγωνο με εμβαδό Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από Α(,) και το τμήμα που αποκόπτει από τους άξονες χωρίζεται από το Α σε λόγο Να βρεις το λ ώστε οι ευθείες ( ) x y 3 0, x ( ) y να είναι παράλληλες ή κάθετες Υπολογίζεις το συντελεστή διεύθυνσης κάθε ευθείας βάζοντας αντίστοιχους περιορισμούς, 0και βρίσκεις το λ ώστε να έχω //ή. Στο τέλος μην ξεχάσεις να αντικαταστήσεις στις αρχικές ευθείες τις τιμές των λ που είχες απορρίψει για να δεις τι γίνεται. 7 6

8 τηλ. Οικίας κινητό Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,) οι εξισώσεις δύο υψών είναι 3x+y-=0, x-y+3=0, να βρεις τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου και το τρίτο ύψος y x 3, y x, y Σε τρίγωνο ΑΒΓ με Α(,), Β(3,), ορθόκεντρο Η(,-), να βρεις τις εξισώσεις των πλευρών 7 y, y x, y x Σε τρίγωνο ΑΒΓ με 9 5 AB y 4 x, a x y, y ( x 3), να βρεις 4 εξισώσεις πλευρών και 3 ο ύψος 807. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με y x 7, y x 9, y x, να βρεις τις εξισώσεις πλευρών και 3 η διάμεσο 6 B,, 3, Έστω ΑΒΓ με Α(3,-), ύψος x+y-=0, διάμεσος x+3y-=0, να βρεις κορυφές τριγώνου και εξισώσεις πλευρών 809. Σε ΑΒΓ με κορυφή (3,), διαμέσους x+y=0, 4x-y+0=0, να βρεις κορυφές και εξισώσεις πλευρών 80. Δύο πλευρές παραλληλογράμμου είναι x+y-=0, x+y= με κέντρο # το Κ(3,-), να βρεις κορυφές του 4,0, 5, 4,,, Σε ΑΒΓΔ # δύο πλευρές είναι x+y=,8x+3y=-,διαγώνιός του 3x+y=-3, να βρεις κορυφές του,5,, 3, 5, 9, 8, 7 8. Αν ΑΒΓΔ ορθογώνιο έχει κορυφή (,-4), πλευρές 3x+4y-7=0,4x-3y-=0, να βρεις κορυφές του 3 3,,,, Ευθεία x+y-3=0 αποκόπτει από τους άξονες τμήμα που είναι διαγώνιος ρόμβου, όπου η μία κορυφή του έχει τετμημένη, να βρεις τις άλλες κορυφές,,, 84. Να βρεις τις ευθείες που διέρχονται από το Α(,-) και ορίζουν με άξονες ισοσκελές τρίγωνο 85. Αν η ευθεία y=λx+βτέμνει τους άξονες στα Β,Γ με OB O ; 7

9 τηλ. Οικίας κινητό Να βρεις τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α(,-) και τέμνουν τις ευθείες x+3y=6,x+3y=-6 σε δύο σημεία με απόσταση Μία ευθεία ε διέρχεται από το σημείο Α(-,) της x+y= και τέμνει την ευθεία x+y=3 σε σημείο Β. Να βρεις την εξίσωση της ε, αν είναι γνωστό ότι το μέσο του ΑΒ είναι σημείο της ευθείας y=x- 88. Να αποδείξεις ότι η εξίσωση 6x xy y 0 Παριστάνει ευθείες Η οξεία γωνία που σχηματίζουν είναι Ποια η σχετική θέση των ευθειών kx y k & x y 80. Να βρεις το γεωμετρικό τόπο των σημείων M 3k,k M a b,3a 5 b, a b M a, a 3 3y x, y x 7, y x 7 8. Να βρεις τι παριστάνουν οι γραμμές x y 4 0 x y 0 x xy y x y y x 6, y x & y x & x y 4, x y 6 Αποστάσεις 8. Να βρεις την απόσταση του σημείου Α(3,-) από την ευθεία x-4y+= Να βρεις την απόσταση του Ο(0,0) από την ευθεία y=x Να βρεις το μ ώστε η απόσταση του σημείου Α(,-) από την 4x+3y+μ=0 να είναι 8, 8

10 τηλ. Οικίας κινητό Να βρεις την απόσταση των ευθειών x+y-3=0, x+4y+5= Να βρεις τα α,β ώστε οι ευθείες με εξισώσεις x+αy+=0, x+y+β=0 είναι // με απόσταση a, b 6,0 87. Να βρεις την εξίσωση της ευθείας που ισαπέχει από τις ευθείες 3x+y=7, 6x+y-=0 x 4y Να αποδείξεις ότι οι ευθείες x 3y 5,x 3y 7 είναι παράλληλες και να βρεις τη μεσοπαράλληλό τους. x3y Να βρεις τη διχοτόμο των ευθειών y x 5, y x 3, καθώς και τη γωνία τους x, y 4, Να βρεις τη μεσοπαράλληλη των ευθειών y x, y x 4 yx Να βρεις την απόσταση Σημείο με σημείο A x, y, B( x, y ) τότε AB x x y y Σημείο με ευθεία M x, y, Ax By 0 Ax dm (, ) By Ευθεία με ευθεία βρίσκεις ένα σημείο σε μία από τις δύο ευθείες και υπολογίζεις την απόστασή του από την άλλη ευθεία 83. Δίνονται τα σημεία Α(,3),Β(8,-),Γ(0,) και η ευθεία xy 6. Να υπολογίσεις τις αποστάσεις ΑΒ,ΒΓ,ΑΓ, d,, d,, d, 83. Να βρεις τη διχοτόμο των ευθειών y x 3,4 y x 833. Να βρεις τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το Μ(3,) και απέχουν από την αρχή των αξόνων Ο απόσταση Να βρεις την εξίσωση της ευθείας που είναι παράλληλη στην x 3y 0 και απέχει από το σημείο Α(,-) απόσταση 3 7 b Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με κορυφή Α(,) όπου δύο του πλευρές έχουν εξισώσεις x y, x y, να βρεις Εκφράσεις Η απόσταση του Α από Β είναι 3 AB Η απόσταση Α από την ε είναι da (, ),... Το Α ισαπέχει από Β,Γ......, Το Α ισαπέχει από Β και ευθεία ε d( A, )......, Το Α ισαπέχει από ευθείες, d( A, ) d( A, )

11 τηλ. Οικίας κινητό Εξισώσεις των άλλων δύο πλευρών Την απόσταση του Α από την x y Τη διχοτόμο των ευθειών x y, x y Να βρεις τις μεσοπαράλληλες των πλευρών του παραλληλογράμμου, 0,,, y x y x y x 836. Οι εξισώσεις των πλευρών μιας γωνίας είναι x y,x y, να βρεις Κορυφή γωνίας Διχοτόμο γωνίας,, Να βρεις τους θετικούς αριθμούς α,β ώστε οι ευθείες x by 0, by y a 0 να είναι παράλληλες και η απόστασή τους να είναι b, a Να βρεις τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από την αρχή των αξόνων και ισαπέχουν από τα σημεία Α(3,) και Β(-,) y 3, x y x Να βρεις την απόσταση των ευθειών x 3y 0, 4x 6y Να βρες τη μεσοπαράλληλη των ευθειών x y 0, x 4y 3 0 4x8y Να βρεις την εξίσωση της ευθείας της οποίας κάθε σημείο ισαπέχει από τις ευθείες 3x 4y 0, 8x 6y 3 0 x y 7,4x 4y 84. Να βρεις τη γωνία των ευθειών 4x 3y 5 0, 7x y Να βρεις το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζεται από τις ευθείες x y 0, x y 0, 3 x 3y 3 0 Να βρεις γωνία ευθειών Υπολογίζεις το λ των ευθειών και δημιουργείς τα,,, διανύσματα οπότε υπολογίζεις τη γωνία τους. 0

12 τηλ. Οικίας κινητό ,,,,, Να αποδείξεις ότι οι κορυφές Α(,3),Β(4,3),Γ(6,-),Δ(8,-) Δημιουργούν παραλληλόγραμμο Να βρεις το εμβαδόν του 845. Δίνονται κορυφές τραπεζίου Α(,),Β(4,3),Γ(6,-),Δ(α,α-), να βρεις α εμβαδό 6 5 a,, Να βρεις τη γωνία μεταξύ των ευθειών y, y x 847. Να βρεις τη διχοτόμο των ευθειών y x 3,4 y x 848. Το Α κινείται πάνω στην ευθεία y x x y 0 κινείται πάνω στην ευθεία με εξίσωση y7x, να αποδείξεις ότι το συμμετρικό του Α ως προς την ευθεία 849. Να αποδείξεις ότι οι ευθείες x 3y 5,x 3y 7 είναι παράλληλες και να βρεις τη μεσοπαράλληλό τους Να βρεις τη διχοτόμο των ευθειών y x 5, y x 3, καθώς και τη γωνία τους 85. Να βρεις τη μεσοπαράλληλη των ευθειών y x, y x Δίνονται τα σημεία Α(,3),Β(8,-),Γ(0,) και η ευθεία xy 6. Να υπολογίσεις τις αποστάσεις ΑΒ,ΒΓ,ΑΓ, d,, d,, d, 853. Να βρεις τη γωνία των ευθειών y x, y 3x Να βρεις το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές Α(,),Β(-5,-6),Γ(,) Να βρεις το εμβαδό παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ με κορυφές Α(,),Β(,),Γ(5,-8) Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από το Α(,) και φτιάχνει με άξονες εμβαδό. k 4 k Υπολογισμός εμβαδού τριγώνου ΑΒΓ δημιουργώ τα διανύσματα, det, AB A και υπολογίζω το det τους οπότε

13 τηλ. Οικίας κινητό Να βρεις την ευθεία που διέρχεται από (0,0) και απέχει από το Μ(3,5) απόσταση. 5k 30k Να βρεις την ευθεία που είναι παράλληλη στην yx5 b 48 και φτιάχνει με άξονες εμβαδό Να βρεις την ευθεία που είναι κάθετη στην 3xy 5 και απέχει από το Μ(3,5) απόσταση. Να βρεις το εμβαδό τετραπλεύρου ΑΒΓΔ φέρνω τη διαγώνιο και υπολογίζω το εμβαδό των δύο τριγώνων που δημιουργούνται. Προσοχή, αν το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο,ορθογώνιο,ρόμβος,τετράγωνο τα δύο τρίγωνα που δημιουργώ με διαγώνιο είναι ίσα. 0 b Ποιο το σημείο του xx που ισαπέχει από το Α(,) και Β(3,3). 3, Ποιο το σημείο του yy που φτιάχνει εμβαδό 5 με Α(,) και Β(3,3) ,, 0, 86. Να βρεις τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το Α(,-)και απέχουν από την αρχή των αξόνων απόσταση 3 5 y x, x Να βρεις τις ευθείες που διέρχονται από Α(,) και ισαπέχουν από Β(-5,) και Γ(,4) 864. Να βρεις τις ευθείες που είναι παράλληλες στη διχοτόμο ου και 3 ου τεταρτημορίου και ισαπέχουν από σημεία Β(-5,) και Γ(,4) 9 b 865. Να βρεις τις ευθείες που διέρχονται από το Α(,3) και σχηματίζουν με διχοτόμους αξόνων τρίγωνο με εμβαδό 866. Να βρεις πλευρές ρόμβου με εμβαδό 5 και δύο απέναντι κορυφές Α(-,) και Γ(,3) 867. Να βρεις ευθείες που είναι παράλληλες στην x 3y 0 και σχηματίζουν με άξονες τρίγωνο εμβαδού 3 τ.μ. b Ευθεία τέμνει άξονες για xx βάζω όπου y=0 και βρίσκω το x, για yy βάζω όπου x=0 και βρίσκω το y.

14 τηλ. Οικίας κινητό Να βρεις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Μ(-,) και σχηματίζουν με ευθείες x y 0, x y 3 0 τρίγωνο με εμβαδό τ.μ 869. Τρίγωνο ΑΒΓ έχει κορυφές A3k,k 3, B k, k, C k,4 Να βρεις το Γ.Τ. της κορυφής Α Ποιο το κ ώστε το τρίγωνο να είναι ορθογώνιο 870. Να βρεις την εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το Α(-,) και το τμήμα της που αποκόπτεται από τους άξονες έχει μέσο το Α 87. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με AB 4, 6, AC, 8 Να βρεις το AM (διάμεσος) Να βρεις το εμβαδόν του ΑΒΓ Ν.δ.ο. η γωνία Α είναι οξεία Αν A 3,, να βρεις τις άλλες κορυφές του ΑΒΓ 87. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(,4) και x y 4 0, 3x y 4 εξισώσεις των πλευρών του 873. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(,4) και x y 4 0, 3x y 4 τις εξισώσεις των πλευρών του 874. Δίνονται τα σημεία A,, B, Αν C ABC,6 ; 0, να βρεις τις 0, να βρεις Να βρεις το Γ.Τ. των σημείων Μ ώστε MAB CAB 875. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(,4) και x y 4 0, 3x y 4 0, να βρεις τις εξισώσεις των πλευρών του Εκφράσεις που θα πρέπει να ξέρεις να φτιάξεις σε σχέση Η απόσταση του Α από Β είναι σια της απόστασης του Γ από ε Το άθροισμα των αποστάσεων του Α από Β,Γ είναι 3 ΑΒ+ΑΓ= 3 Το άθροισμα των αποστάσεων του Β από ε,ε είναι Η διαφορά των αποστάσεων του από Β,Γ είναι Το τετράγωνο της απόστασης Α,Β είναι σιο απόστασης Γ από ε Τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Το Α είναι συμμετρικό του Β ως προς Γ 876. Δίνεται η εξίσωση x y xy x y 3 0 Ν.δ.ο. παριστάνει ευθείες παράλληλες Να βρεις την απόστασή τους Να βρεις τη μεσοπαράλληλη y x, y x 3, d, y x 3

15 τηλ. Οικίας κινητό Σε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφή Α(,3) και 3x 4y 3 0, 5x 9y 6 0, να βρεις τις εξισώσεις των πλευρών του 878. Δύο πλευρές παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ έχουν εξισώσεις x 3y 4 0, 3x y 0 και κέντρο του το σημείο Κ(0,-), να βρεις τις κορυφές του 879. Δίνονται οι ευθείες k x y 3 0, m x y 0, K, Κ και τέμνει τις ευθείες (κ),(μ) στα Β,Γ αντίστοιχα Να βρεις διάνυσμα a k, b m Ν.δ.ο. οι ευθείες (κ),(μ) είναι κάθετες και μία ευθεία (ζ) δι ερχεται από το Να βρεις τις διχοτόμους των ευθειών (κ),(μ) Να βρεις το σημείο τομής Α των (κ),(μ) Αν τοι τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές, να βρεις την εξίσωση της ΒΓ 880. Να βρεις τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το Α(,3) και ορίζουν με άξονες ισοσκελές τρίγωνο 88. Να βρεις τις γωνίες των ευθειών 4x 3y 5 0, 7x y Να βρεις την απόσταση των ευθειών x 3y 0, 4x 6y 7 0 d Να βρεις τη μεσοπαράλληλη των ευθειών της προηγούμενης άσκησης 884. Να βρεις την εξίσωση της ευθείας της οποίας κάθε σημείο ισαπέχει από 3x 4y 0, 8x 6y 3 0 και ποια η γεωμετρική της ερμηνεία 885. Δίνονται τα σημεία A,, B3,5, C,4 Ν.δ.ο. τα σημεία Α,Β,Γ σχηματίζουν τρίγωνο Αν για τυχαίο Μ ισχύει MBC 3 ABC Να βρεις ευθεία που ισαπέχει από το Μ, να βρεις το Γ.Τ του Μ 886. Να βρεις την εξίσωση της ευθείας της οποίας κάθε σημείο ισαπέχει από 3x 4y 0, 6x 8y 6 0 και ποια η γεωμετρική της ερμηνεία x6 y 887. Να βρεις το εμβαδό του τετραπλεύρου με κορυφές Α(,),Β(4,-),Γ(-4,),Δ(-,-3) 888. Δίνονται οι ευθείες ax y 0& x ay a 0, a 0 Ν.δ.ο. οι ευθείες και ο yy σχηματίζουν τρίγωνο 4

16 τηλ. Οικίας κινητό Να βρεις το εμβαδόν του τριγώνου Ν.δ.ο. το E a E 889. Να βρεις τις εξισώσεις των ευθειών που είναι κάθετες στην 3x y 5 0 και ορίζει με άξονες τρίγωνο με εμβαδό 3 τ.μ Να βρεις το εμβαδόν τετραγώνου με εξισώσεις δύο πλευρών 3x 4y 5 0, 3x 4y Πως υπολογίζεις γωνία ευθείας με xx 89. Πως βρίσκεις ότι δύο ευθείες είναι παράλληλες 893. Πως βρίσκεις ότι δύο ευθείες είναι κάθετες 894. Πως υπολογίζεις το (ΔΕΖ) 895. Πως υπολογίζεις το (ΑΒΓΔ) 896. Πως υπολογίζεις το (ΑΒΓΔ) παραλληλογράμμου 897. Πως βρίσκεις προβολή σημείου σε ευθεία 898. Πως βρίσκεις το συμμετρικό σημείου σε σημείο 899. Πως βρίσκεις το συμμετρικό σημείου σε ευθεία 900. Δίνεται ευθεία Ax By C 0, να εξετάσεις Είναι πάντα ευθεία; Πότε //xx Πότε // yy Πότε διέρχεται από Ο(0,0) Πότε διέρχεται από Α(,) Πότε // y=x Πως βρίσκεις διχοτόμο γωνιών 90. Πως υπολογίζεις απόσταση ευθειών 903. Πως βρίσκεις μεσοπαράλληλη 904. Πως βρίσκεις γωνία ευθειών Τυχαίο σημείο Μ Να απαντήσεις τα εξής 905. Να συμπληρώσεις τις εκφράσεις 5

17 τηλ. Οικίας κινητό Τυχαίο σημείο Μ του xx Τυχαίο σημείο του yy Τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Β Δημιουργείται με άξονες Το Κ είναι μέσο του ΑΒ Η απόσταση Α από Β είναι 3 Η απόσταση του Α από ευθεία (ε) είναι Το Α ισαπέχει από Β,Γ Το Α ισαπέχει από Β και ευθεία (ε) Το Α ισαπέχει από ευθείες, Η απόσταση του Α από Β είναι διπλάσια της απόστασης του Γ από ε Το άθροισμα των αποστάσεων του Α από Β,Γ είναι 0 Το άθροισμα αποστάσεων του Β από, είναι 5 Η διαφορά των αποστάσεων του Α από Β και Γ είναι Το τετράγωνο της απόστασης Α από Β είναι διπλάσιο της απόστασης του Γ από ε Το Α είναι συμμετρικό του Β ως προς Γ Τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά Πως υπολογίζεις γωνία ευθειών Πως υπολογίζεις απόσταση παραλλήλων ευθειών Πως υπολογίζεις διχοτόμο γωνίας ευθειών Πως υπολογίζεις το εμβαδό του τριγώνου ΔΕΖ Πως υπολογίζεις το εμβαδό του ΑΒΓΔ 906. Αν x y 0 τότε τι ισχύει όταν ε//χχ ε//yy ε διέρχεται από (0,0) ε//y=x+5 εσχηματίζει 45 με χχ ε απέχει από Δ(,3) απόσταση ε τέμνει χχ ε τέμνει yy 6

18 τηλ. Οικίας κινητό Δίνεται ευθεία ( a ) x ( a ) y a 0, να απαντήσεις στα επόμενα είναι πάντα ευθεία ; πότε //xx πότε κάθετη xx πότε διέρχεται από Α(,) διέρχεται από σταθερό σημείο ; για α=0 να βρεις συγκεκριμένη ευθεία, τα σημεία Α,Β που τέμνει άξονες και το εμβαδό ΑΒΓ με Γ(3,4) 908. Δίνονται οι ευθείες x y 0, x y 0, να βρεις Αν τέμνονται και σε ποιο σημείο Τη γωνία των δύο ευθειών Ποια από τις δύο ευθείες διέρχεται από Α(3,3) Ποια ευθεία βρίσκεται πλησιέστερα του Β(0,5) Καλό πήξιμο 7

19 τηλ. Οικίας κινητό