β = (9, x) να είναι ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ...Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΣΗΣ...

Transcript

1 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 ο i) Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x y = και 1 + y y= µονάδες 15 ii) Ο συντελεστής διεύθυνσης του του διανύσµατος α) 0 β) 4 γ) a =,0 είναι : 3 δ) δεν ορίζεται µονάδες 5 iii) Το διάνυσµα a = ( λ 4, λ + λ) είναι παράλληλο στον yy αν : 1 α) λ = β) λ = - γ) λ = δ) λ = ± µονάδες 10 ΘΕΜΑ ο i) Να βρεθεί ο πραγµατικός αριθµός x ώστε τα διανύσµατα αντίρρορπα. a = (x, 1) και β = (9, x) να είναι µονάδες 1 ii) ίνονται τα σηµεία Α(3, ), Β (7, -4). Να βρεθεί σηµείο του άξονα xx ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ισοσκελές µε κορυφή Μ. µονάδες 1 iii) ίνονται τα σηµεία Α(, 9 ), Β(3, 4 ), Γ(5, 7) α) Να αποδείξετε ότι τα παραπάνω σηµεία σχηµατίζουν τρίγωνο β) Να βρείτε το µέσο Μ της ΑΓ γ) Να βρείτε το µήκος της διαµέσου ΒΜ του τριγώνου ΑΒΓ µονάδες 6 µονάδες 4 µονάδες 6

2 ΘΕΜΑ 3 ο i) ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Αν Μ ένα σηµείο της πλευράς ΒΓ τέτοιο, ώστε ΜΒ = 3ΜΓ, να αποδείξετε ότι 4 AM = AB+ 3 AΓ. µονάδες 15 ii) ίνονται τα διανύσµατα a = (x +y, y y-x + 1 ) και β = (-, x y). Να βρεθούν τα x, y ώστε τα α, β να είναι παράλληλα. µονάδες 15

3 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΜΑΡΤΙΟΣ 01 ΘΕΜΑ 1 Ο A. Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου x + y =ρ στο σηµείο του Μ( 1, y 1 ) x είναι x x1 + y y1 = ρ. Μονάδες 19 B. Tι ονοµάζουµε παραβολή µε εστία Ε και διευθετούσα δ ; Μονάδες 3 Γ. Να χαρακτηρίσετε Σωστό, Λάθος τις παρακάτω προτάσεις α) Η εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής y = px στο σηµείο Μ(x 1, y 1 ) είναι yy = p( x+ ) β) Η παραβολή y = px έχει άξονα συµµετρίας τον xx γ) Η παραβολή x = py έχει διευθετούσα την ευθεία x + p = 0 ΘΕΜΑ Ο 1 x1 Μονάδες 3 A. Nα βρείτε την εστία και τη διευθετούσα της παραβολής B. Να βρείτε την εφαπτοµένη της παραβολής x = y y = 4x στο σηµείο Μ(1,4) Γ. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων, άξονα συµµετρίας τον yy και διευθετούσα την ευθεία y = 1 / Μονάδες 8 Μονάδες 8 Μονάδες 9 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου x + y + 4x 6y 3 = 0 Μονάδες 10 Β. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σηµείο Α(1, 4) Μονάδες 15

4 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Η εφαπτοµένη του κύκλου x + y = 5 στο σηµείο Μ(3, 4) τέµνει τους άξονες στα σηµεία Α, Β. Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. Β. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής ευθεία 5x 5y + 1 = 0 Μονάδες 15 y = x η οποία είναι κάθετη στην Mονάδες 10

5 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω δυο διανύσµατα a= ( x, y ) και β = ( x, y ) 1 1 αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι 1 Β. Αν α = ( λ 5λ+ 6, λ 1) οποίες έχουν νόηµα στη Β στήλη. a= β λ = λ µε συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ αντιστοιχίστε τα στοιχεία της στήλης Α µε τις τιµές του λ για τις µονάδες 10 ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. α / /x x α. δεν υπάρχει λ R. a / / yy ' 3. α = 0 β. λ = 1 γ. λ = - ή λ = -3 δ. λ = ή λ = 3 ε. λ = -1 Γ. Να δώσετε τον ορισµό του εσωτερικού γινοµένου δυο διανυσµάτων. ΘΕΜΑ Α. Αν υ = ( 5,1) τριπλάσιο µέτρο από αυτό., να βρείτε διάνυσµα α, το οποίο είναι παράλληλο προς το υ και έχει Β. Σε παραλληλόγραµµο ΑΒΓ είναι Α(1, 4), Β(-1, 9) και (5, -3). Να βρεθεί η κορυφή Γ. µονάδες 9 µονάδες 6 µονάδες 15 µονάδες 10 ΘΕΜΑ 3 ίνονται τα σηµεία Α(-3, 6), Β(-10, 5), Γ(, -4), (-6, ). α) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Β,, Γ είναι συνευθειακά. β) Να βρείτε τη γωνία των διανυσµάτων Α, ΒΓ µονάδες 10 µονάδες 15

6 ΘΕΜΑ 4 Α. ίνονται τα διανύσµατα α = (,), β = ( 1,), γ = ( 8, 10). α) Να βρείτε τα µέτρα τους β) Να βρείτε τις συντεταγµένες των διανυσµάτων u, ν, αν u= a β ν = α γ Β. Αν α =, β = α α β Α = ( ) α, β = 45 ο και ( ), να βρεθεί η τιµή της παράστασης, µονάδες 5 µονάδες 8 µονάδες 1

7 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 011

8

9 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 010

10

11 Καλή Επιτυχία.

12 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΜΑΡΤΙΟΣ 010 ΘΕΜΑ 1 Ο A. Να δείξετε ότι η εφαπτοµένη του κύκλου Μ(, ) x είναι 1 y 1 x x. 1+ y y1 = ρ x + y =ρ στο σηµείο του Μονάδες 19 Β. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας η οποία : x, και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. i) διέρχεται από το σηµείο Α( o y o ) ii) διέρχεται από τα σηµεία Α( x, ) και Β( x, ) 1 y 1 y iii) διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία y = 3x-. ΘΕΜΑ ο Μονάδες 6 Α. Να βρείτε για ποιές τιµές του µ οι ευθείες ε 1 : y = µx + 5 και ε : y = (3µ-4)x + µ 1 είναι παράλληλες. µονάδες 10 Β. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών x -5y + 3 = 0 και x 3y 7 = 0 και έχει συντελεστή διεύθυνσης 3. µονάδες 15 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο την αρχή των αξόνων και διέρχεται από το σηµείο Α(1, 4) Μονάδες 10 Β. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου µε διάµετρο ΑΒ, όπου Α(-1, ) και Β(7, 8) Μονάδες 15 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου x + y + 4x 6y 3 = 0 Μονάδες 9 Β. Η εφαπτοµένη του κύκλου x + y = 5 στο σηµείο Μ(3, 4) τέµνει τους άξονες στα σηµεία Α, Β. Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου ΑΟΒ. Μονάδες 16

13 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ 1 Ο 1. Να γραφεί ο συντελεστής διεύθυνσης ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σηµεία Α(x 1, y 1 ) και Β(χ, y ).. Να γραφεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία διέρχεται από γνωστό σηµείο Α(x o, y o ) µε γνωστό συντελεστή διεύθυνσης. 3. Να γραφεί η εξίσωση της ευθείας η οποία είναι : a) παράλληλη στον xx b) παράλληλη στον yy 4. Ποια σχέση συνδέει τους συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών ε 1, ε αν a) ε 1 // ε.. b) ε 1 ε.. 5. Αν η ευθεία έχει εξίσωση Αx + By + Γ = 0, να ορίσετε τον συντελεστή διεύθυνσης της. 6. ίνεται η ευθεία ε : Αx + By + Γ = 0 µε Α 0 ή Β 0. Να γράψετε δυο διανύσµατα u, δ τέτοια ώστε u / /( ε ) και δ ( ε ). 7. ίνεται η ευθεία ε : Αx + By + Γ = 0. Ποια συνθήκη πρέπει να ισχύει ώστε α) να είναι παράλληλη στον xx β) να είναι κάθετη στον xx γ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 8. Ποιος τύπος δίνει το εµβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ αν είναι γνωστές και οι 3 κορυφές του. 9. Ποια η απόσταση του σηµείου Μ(x o, y ο ) από την ευθεία Αx + By + Γ = Ποια σχέση συνδέει τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας και της γωνίας που σχηµατίζει αυτή µε τον άξονα xx ;

14 ΘΕΜΑ o Ένας πολεοδοµικός χάρτης είναι εφοδιασµένος µε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων. Ο δρόµος (δ 1 ) διέρχεται από τα σηµεία Α(-, 1) και Β(-1, ) ενώ ένας άλλος δρόµος (δ ) διέρχεται από τα σηµεία Γ(5, ) και (3, 4). Α. Nα βρείτε τις εξισώσεις που έχουν οι δυο δρόµοι στο χάρτη. Β. Να εξετάσετε αν οι δρόµοι τέµνονται κάθετα. Γ. Να βρείτε τις συντεταγµένες της διασταύρωσης Σ των δυο δρόµων.. Να βρείτε τις συντεταγµένες της τέταρτης κορυφής Ε του οικοδοµικού τετραγώνου (ορθογωνίου), του οποίου οι τρεις κορυφές είναι τα σηµεία Β, Σ,.

15 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ 1 Ο ίνεται η εξίσωση (ε λ ): (λ-)χ+(λ+3)ψ-3λ+1=0, λ R. Α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει για κάθε τιµή του αριθµού λ εξίσωση ευθείας. (ΜΟΝΑ ΕΣ 6) Β) Να αποδείξετε ότι οι ευθείες µε εξίσωση (ε λ ) διέρχονται για κάθε τιµή του λ από σταθερό σηµείο το οποίο και να βρεθεί. (ΜΟΝΑ ΕΣ 10) Γ) Να βρείτε την τιµή του αριθµού λ ώστε η ευθεία (ε λ ) να διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ µε Α(,6) και Β(-4,). (ΜΟΝΑ ΕΣ 9) ΘΕΜΑ Ο ίνονται οι ευθείες (ε 1 ): λχ+(λ-)ψ+8=0 και (ε ): (λ-1)χ+λψ-λ=0. Να βρείτε τον αριθµό λ ώστε να είναι: Α) (ε 1 )//(ε ) Β) (ε 1 ) (ε ) Γ) Να τέµνονται στον άξονα ψ ψ. (ΜΟΝΑ ΕΣ 9) (ΜΟΝΑ ΕΣ 9) (ΜΟΝΑ ΕΣ 7) ΘΕΜΑ 3 Ο ίνονται οι ευθείες µε εξισώσεις λχ-ψ=8 και χ+λψ=4. Α) Αποδείξτε ότι οι παραπάνω ευθείες τέµνονται για κάθε τιµή του αριθµού λ και βρείτε το σηµείο τοµής (χ 0,ψ 0 )τους το οποίο να ονοµάσετε Μ. (ΜΟΝΑ ΕΣ 13) Β) Να αποδείξετε ότι το σηµείο µε συντεταγµένες (( λ 1) χ 0,( λ 1) ψ 0) + +, όπου (χ 0,ψ 0 ) το προηγούµενο σηµείο, όταν το λ µεταβάλλεται στο R, κινείται σε σταθερή ευθεία της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. (ΜΟΝΑ ΕΣ 1)

16 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ 1 ο Θεωρούµε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Αν Α(,-), Β(1,-3) και Γ(3,4). α)να βρείτε τις συντεταγµένες του διανύσµατος AB. β) Να βρείτε τις συντεταγµένες του σηµείου γ) Να εξετάσετε αν οι διαγώνιές του είναι ίσες. ΘΕΜΑ ο Σε ορθοκανονικό σύστηµα Οxy µε µοναδιαία διανύσµατα i και j δίνονται τα σηµεία Α (-, 1) και Β (1, -3). α) Να βρείτε τις συντεταγµένες του AB. β) Να βρείτε το µέτρο του AB. γ) Να υπολογίσετε το διάνυσµα θέσης του µέσου του AB. δ) Να βρείτε το διάνυσµα που είναι οµόρροπο του AB και έχει µέτρο 10.

17 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ 1 ο A. Αν Μ(-1,1) είναι το µέσο του ΑΒ και (,-3) είναι οι συντεταγµένες του Α, τότε να βρείτε τις συντεταγµένες του Β. B. Θεωρούµε ένα παραλληλόγραµµο ΑΒΓ. Αν Α(1,-), Β(1,-3) και Γ(01,-4). 1) Να βρείτε τις συντεταγµένες του µέσου της διαγωνίου Β. ) Να εξετάσετε αν οι διαγώνιές του είναι ίσες. Γ) Θεωρούµε τα σηµεία Α(-,1), Β(3,-) και ένα σηµείο Μ της ευθείας ΑΒ. Αν η τετµηµένη του Μ είναι -1, τότε να βρείτε την τεταγµένη του. ΘΕΜΑ ο Να προσδιορίσετε τα διανύσµατα α =(λ-,µ+1) και β = (λ,-3µ+) ώστε τα διανύσµατα α + β, α - β να είναι συγγραµµικά προς τα διανύσµατα γ = (-,4) και δ = (1,5).,αντίστοιχα.

18 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ 1 Ο ίνονται τα σηµεία A( 3,6 ), B( 10,5 ), Γ(, 4 ), ( 6, ) α) Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Β,, Γ είναι συνευθειακά. β) Να βρείτε τη γωνία των διανυσµάτων A, ΒΓ. γ) Το γινόµενο ΒΑ ΒΓ είναι ίσο µε: Α. Β Γ Β. Β ΒΓ Γ. ΒΑ ΑΓ 1. 3 δ) Να δείξετε ότι Α = ( ΑΒ+ΑΓ). Γ ΑΓ Ε. 0 ΘΕΜΑ Ο Για τα διανύσµατα a, β δίνεται ότι a = 1, β = u= α + 3 β, v= α β. Να υπολογίσετε: και π ( a, β ) =. 3 Έστω τα διανύσµατα α) το εσωτερικό γινόµενο a β, β) τα µέτρα u, v των διανυσµάτων u και v, γ) το εσωτερικό γινόµενο u v, δ) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων u και v.

19 Αµυραδάκη 0, Νίκαια ( ) ΘΕΜΑ 1 ο Α. Αν Α( x 1, y 1 ) και Β(x, y ) δυο σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου και (x, y) οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ΑΒ, να αποδείξετε ότι : x 1 + x x y = και 1 + y y= Μονάδες 0 Β. Να συµπληρώσετε τα παρακάτω κενά, ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις : a 1. Αν = (x, y), τότε OA = (..,.. ) και =.. Αν a = ( x1, y 1 ) και β = (x, y ), τότε ΑΒ= (..., ) και ΑΒ =... a Μονάδες 10 ΘΕΜΑ ο Α. ίνονται τα σηµεία Α(, 9), Β(3, 4), Γ(5, 7) και το διάνυσµα x = (κ-, λ-5) Α) Να βρείτε τα κ, λ ώστε να ισχύει : x = BΓ ΑΒ Β) Να βρείτε το µήκος της διαµέσου ΒΜ του τριγώνου ΑΒΓ. Β. Να βρείτε το λ ώστε τα διανύσµατα a = (λ-1, 1) και β = (1, λ-1) να είναι παράλληλα Μονάδες 0 Μονάδες 15

20 ΘΕΜΑ 3 ο Α. Να βρείτε το διάνυσµα που είναι κάθετο στο u = (1, ) και έχει µέτρο 5 Β. Αν το διάνυσµα a είναι µοναδιαίο, β = και π α, β = να βρείτε το 3 εσωτερικό γινόµενο a β α β Μονάδες 0 Μονάδες 15