Lecture Notes in Physics 1B. Michael Gedalin and Ephim Golbraikh

Transcript

1 Lecture Notes in Physics 1B Michael Gedalin and Ephim Golbraikh

2 ii

3 תוכן העניינים 1 מבוא 1 3 קינמטיקה מערכת יחוס וקואורדינטות תנועה חד-ממדית: מושגי יסוד העתק העתק, מסלול, דרך מהירות ממוצעת מהירות רגעית תאוצה דרך תנועה בשניים ושלושה ממדים, וקטורים קואורדינטות העתק ודרך וקטורים מכפלה סקלרית וקטור המקום ותנועה בצורה וקטורית תנועה מעגלית תכונות כלליות של תנועה בשניים ושלושה ממדים זריקה חוקי ניוטון חוק ראשון חוק שני וחוק שלישי יחסות גלילאי ישומים של חוקי ניוטון כוח הכבידה כוח התגובה, משקל חיכוך כוח הגרר מערכות מואצות ומסתבבות מערכות מואצות מערכות מסתובבות אנרגיה ועבודה אנרגיה קינטית ועבודה עבודה כאינטגרל לאורך המסלול אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה iii

4 תוכן העניינים iv מושג אנרגיה פוטנציאלית אנרגיה פוטנציאלית של כוחות מסוימים חוק שימור האנרגיה ומשפט אנרגיה-עבודה קשר בין אנרגיה פוטנציאלית וכוח תכונות תנועה חד-ממדית באנרגיה פוטנציאלית מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) תנע וחוק שני של ניוטון ערכים של מערכת מרכז המסה אנרגיה של מערכת שימור האנרגיה ומשפט אנרגיה-עבודה למערכת התנגשויות התנגשות אלסטית של שני גופים תנועה סיבובית של גוף קשיח מושגי יסוד: תנע זוויתי, מומנט התמד, מומנט פיתול מכפלה וקטורית תנע זוויתי ומומנט פיתול לחלקיק נקודתי מומנט התמד של חלקיק (גוף נקודתי אחד) תנע זוויתי של מערכת מומנט פיתול של כוח הכבידה גוף קשיח ציר סיבוב קבוע הערות חשובות חישוב מומנט התמד אנרגיה קינטית של גוף קשיח מסתובב שיווי משקל של גוף קשיח יישומים 6.3 יישומי החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית של גוף קשיח גלגול תנודות תנועה הרמונית פשוטה כוח בתנועה הרמונית פשוטה אנרגיה בתנודות הרמוניות למה תנודות הרמוניות? יישומים מטוטלת פיזיקלית מילון אנגלי-עברי למונחי מכניקה תשובות לשאלות הבנה פתרונות לתרגילים

5 פרק 1 מבוא פיזיקה היא מדע ניסויי. ניסוי שולט וקובע את הכל. אם תיאוריה לא נתמכת ע י ניסוי, יש להחליף את התאוריה ולבנות חדשה. כך פיזיקה מתפתחת: הכל מתחיל מניסוי אשר לא מתאים לתיאוריות קיימות. הצעד הראשן לפיתוח תיאוריה חדשה הוא הסבר של הניסוי. אחריו חייב להגיע שלב של קפיצה מחשבתית. קפיצה זו לא נובעת מהניסוי והסברו אלא מרחיבה את התאוריה על מעבר לנודע באותו רגע ומובילה לניבוי תופעות חדשות אשר צריך לבדוק בניסויים חדשים, שעוד לא היו דומים להם. במידה וכל הניסויים תומכים בתיאוריה, היא הופכת לתיאוריה המקובלת. עד אשר נעשה ניסוי חדש אשר לא מסתדר עם התאוריה המקובלת, וכל התהליך (הסבר, קפיצה מחשבתית, ניבוי, סדרת ניסויים תומכים) מתחיל מחדש. בספירלה הזאת הכרעות נעשות ע י מדידה בניסוי וע י עיבוד מתמטי של תיאוריה לצורך ניבוי. למעשה, מתמטיקה היא השפה של פיזיקה. ללא מתמטיקה פיזיקה לא קיימת. חוק הפיזיקה (חוק הטבע) אינו תיאור מילולי של תופעות הטבע אלא תיאור כמותי (מתמטי) של הסיבות לתופעה. תיאור זה חייב להיות בצורת נוסחה מתמטית, אחרת הוא חסר משמעות, כי אין דרך להשוות עם ניסוי שבו המדידות מתבטאות במספרים, בסופו של דבר. 1

6 2 פרק 1. מבוא

7 פרק 2 קינמטיקה מכניקה לומדת תנועה, ז א שינוי המיקום בזמן. לכן יש צורך לדעת למדוד מיקום ו זמן. בפרק זה נלמד את הכלים הדרושים כדי לתאר תנועה, ללא קשר לגורם לתנועה. 2.1 מערכת יחוס וקואורדינטות כדי למדוד מיקום וזמן אנחנו זקוקים למערכת ייחוס. למערכת ייחוס שלושה מרכיבים (כולם הכרחיים): צופה - גוף פיזיקלי אשר מבצע (או יכול לבצע באופן עקרוני) מדידות מכל סוג שהוא, שעון - למדידות הזמן, ומערכת קואורדינטות - למדידת המיקום. קיום הצופה הכרחי, למרות שבמקרים רבים הוא איננו מוזכר כלל דיון על מדידת התנועה. גם כאשר לא נאמר במפורש שום דבר על הצופה, יש לזכור שכל המדידות נעשות ע י מישהו, כל תנועה מתוארת ע י מישהו, ולכן כל תיאור הוא ביחס למישהו (צופה). ניתן הסבר מפורט יותר של יחסות יותר מאוחר. בינתיים מספיק לזכור שכל תנועה היא ביחס לצופה (או מערכת יחוס). כדי למדוד זמן, הצופה זקוק לשעון. נושא מדידות הזמן אינו פשוט, אך במסגרת מכניקת גלילאי אנחנו נניח שניתן לבנות שעונים זהים ולספק לכל הצופים ואצל כולם שעונים אלה מודדים אותו זמן: הזמן אינו תלוי במערכת יחוס. כדי למדוד מיקום יש לבנות מערכת קואורדינטות. דוגמת מערכת קואורדינטות היא מערכת כתובות הדואר. מערכת קואורדינטות זו מספיקה לצורכי הדואר אבל לא לנו. דוגמה אחרת - מערכת שורה וכיסה באולם הקולנוע. בשלב זה אנחנו מטפלים בתנועה חד-ממדית, כאשר יש צורך בקואורדינטה אחת בלבד. לצורך זה נניח שכל היקום שלנו נמצא על קו ישר (לא חייב להיות ישר, אבל קל יותר לשרטט ולהסביר). מערכת קואורדינטות אמורה לתאר מיקום של כל נקודה על הקו הזה ע י מספר אחד. כדי לבנותה יש לבצע את הבא: 3 לבחור את נקודת הייחוס (ראשית הקואורדינטות), קואורדינטה של הנקודה הזו תהיה 0 לפי ההגדרה. לבחור כיוון חיובי, לכל הנקודות שבצד החיובי מהראשית תהינה קואורדינטות חיוביות, לכל השאר - שליליות. לבחור אופן המדידה וקני מידה, אנחנו נבחר מרחק כאופן המדידה. קואורדינטה של כל נקודה תהיה שווה למרחקה מראשית הקואורדינטות עם סימן פלוס, אם הנקודה בצד החיובי, ומינוס, אם היא בצד השלילי מהראשית.

8 4 פרק 2. קינמטיקה איור 1.2: מערכת קואורדינטות חד-ממדית לאחר שבנינו מערכות הקואורדינטות, לכל נקודה P מייחסים קואורדינטה x אשר מגדירה באופן מלא את מיקום הנקודה. התייחסנו לקואורדינטות של נקודות. בפיזיקה אנחנו מעוניינים בגופים פיזיקליים. בשלב זה של הקורס נתעלם מממדים של הגופים ונתייחס אליהם כאילו הם גופים נקודתיים (שם נרדף: חלקיק). גופים אמתיים סביבנו אינם נקודתיים. אפשרות להתעלם מממדיהם תלויה בנסיבות (מצב פיזיקלי). לדוגמה: כאשר מדובר על משך או אורך של נסיעות בינעירוניות אין חשיבות לגודל הרכב, לכן אפשר (ואף צריך) להתייחס אליו כאל גוף נקודתי. לעומת זאת, גודל של אותו רכב חשוב ביותר כאשר מחנים אותו. בנסיבות אלה הוא איננו גוף נקודתי. 2.2 תנועה חד-ממדית: מושגי יסוד העתק תנועה היא שינוי המיקום בזמן. אחרי שבנינו מערכת קואורדינטות (נזכיר, שאנחנו מדברים על גוף נקודתי - לא נדגיש את זה בהמשך), שינוי המיקום הוא פשוט שינוי הקואורדינטה. אם הגוף עבר מנקודה P 1 עם קואורדינטה x 1 לנקודה P 2 עם קואורדינטה,x 2 שינוי המיקום שלו הוא שינוי הקואורדינטה. x = x 2 x 1 לשינוי הקואורדינטה הזה קוראים העתק. להעתק יש גודל 1 x = x 2 x וכיין: הגוף מעתיק את מקומו בכיוון חיובי מהראשית אם > 0 x ובכיוון שלילי אם < 0 x. תכונות ההעתק: אם הגוף עבר מנקודה x 1 לנקודה x 2 ולאחר מכן לנקודה x, 3 x 3 x 1 = (x 2 x 1 ) + (x 3 x 2 ) (2.1) x 13 = x 12 + x 23 = x 23 + x 12 (2.2) זה חיבור ההעתקים. הסכום לא תלוי בסדר המחוברים! כפל של העתק במספר ממשי מוגדר בצורה הבאה: אם נתון העתק x אז להעתק החדש a x גודל a x וכיוון זהה לכיוון של x אם > 0 a והפוך לכיוון של x אם < 0.a העתק, מסלול, דרך נניח שגוף עבר דרך נקודות,x n,...,x 2,x 1 כך מנקודה x i לנקודה הבאה i+1 x הוא היה נע באותו כיוון. כתוצאה בכל התנועה הגוף זז העתק x. = x n x 1 העתק אינו

9 .2.2 תנועה חד-ממדית: מושגי יסוד 5 תלוי בנקודות הביניים אלא רק בנקודה התחלתית ונקודה סופית. להעתק יש גודל וכיוון. איור 2.2: העתק, מסלול, דרך כל הנקודות ביחד שבהן עבר הגוף במשך כך התנועה (כולל את כל הנקודות בין x) i מהוות מסלול. במילים פשוטות: אילו הגוף היה מצביע כל נקודה שהוא היה בה, אז כל הנקודות הצבועות ביחד הן מסלול. למסלול אין ערך מספרי, הוא צורה הנדסית. אם הגוף נע בין x i לבין 1+i x באותו כיוון כל הזמן, אז המרחק שלו מהנקודה x i גדל עד שהוא מגיע לנקודה 1+i x בקטע זה של שתנוע הגוף עובר דרך = i,i+1 s i,i+1 = x i x. 1+i x דרך זה מרחק ולכן תמיד חיובי. במשך כל התנועה הגוף עובר דרך n 1 n 1 s = s i,i+1 = x i+1 x i (2.3) מהירות ממוצעת i=1 i=1 עד כה דיברנו רק על שינוי המיקום. תנועה היא שינוי המיקום בזמן, ז א קואורדינטה כפונקציה של זמן,.x(t) נניח שגוף היה בנקודה x 1 ברגע t 1 ובנקודה x 2 ברגע מאוחר יותר.t 2 הגוף זז העתק x = x 2 x 1 תוך זמן. t = t 2 t 1 היחס v x = x t (2.4) נקרא מהירות ממוצעת. איור 3.2: מהירות ממוצעת

10 6 פרק 2. קינמטיקה מכיוון שפרק זמן t הוא מספר חיובי, למהירות יש גודל וכיוון (כמו כיוון ההעתק). אם ידועה מהירות ממוצעת v x במשך זמן t, גם ההעתק ידוע ושווה x. = v x t ידע של ההעתק בלבד לא מספיק כדי לדעת איפה הגוף יימצא בסוף התנועה (כעבור זמן t ( כי העתק הוא שינוי המיקום. כדי לדעת את המיקום הסופי צריך לדעת בנוסף את המיקום התחלתי, ז א באיזו קואורדינטה הגוף היה לפני התנועה. אם נסמן את הקואורדינטה הזאת ב x, 0 אז הקואורדינטה בסוף תהיה x( t) = x 0 + v x t (2.5) אם כיוון התנועה לא השתנה במשך זמן t, אז הקשר בין העתק לדרך נותן לנו.s = v x t שאלת הבנה הממוצעת שלו? גוף יצא מנקודה כלשהי וחזר אליה כעבור זמן מה. מהי המהירות שאלת הבנה הגוף נע כל הזמן באותו כיוון. במשך זמן t 1 הוא נע במהירות v 1 ובמשך זמן נוסף של t 1 הוא נע במהירות v. 2 מהי המהירות הממוצע שלו? שאלת הבנה גוף נע כל הזמן באותו כיוון. הוא עבר דרך s 1 במהירות ממוצע v 1 ועוד דרך s 1 במהירות ממוצאת v. 2 מהי המהירות הממוצעת במשך כל התנועה? אם כל התנועה, בין x(t 1 ) = x 1 לבין x(t 2 ) = x 2 מחולקת לקטעים,x(t i ) = x i בכל חלק,x(t i+1 ) x(t i ) = v x (i) t כאשר t i+1 t i = t ולפשטות ונוחות אנחנו מניחים שכל הפרשי הזמן זהים. ההעתק הכולל הוא סכום ההעתקים, לכן x 2 x 1 = i v x (i) t (2.6) מהירות רגעית מהירות ממוצעת מספקת רק מידע חלקי על תנועה. אם x(t 1 ) = x 1 ו-,x(t 2 ) = x 2 אז ) 1. v x = (x 2 x 1 )/(t 2 t מערך זה אי אפשר להסיק שום דבר על התנועה בין t 1 לבין t. 2 מצד שני, כאשר נבחר t 1 ו- t 2 שונים, גם מהירות ממוצעת תשתנה בהתאם. אם נחלק את כל התנועה לחלקים קטנים, בכל חלק קטן נמצא מהירות ממוצעת. ככל שגודל הקטעים (פרק זמן) יהיה קטן, המידע יהיה מפורט יותר. היחס x v x = lim t 0 t = lim t 0 x(t + t) x(t) t (2.7) (2.8) הוא מהירות ממוצעת בקטע של תנועה ששואף לאפס.

11 .2.2 תנועה חד-ממדית: מושגי יסוד 7 איור 4.2: מהירות רגעית מהירות זו נקראת מהירות רגעית. בהמשך מונח מהירות יהיה שמור למהירות רגעית. כאשר יהיה מדובר על מהירות ממוצעת, זה ייאמר במפורש. מבחינה מתמטית, היחס הנ ל הוא נגזרת, לכן v x (t) = dx dt (2.9) איור 5.2: תיאור גרפי: קואורדינטה כפונקציה של זמן בהמשך dt יסמן פרק זמן מאוד קצר פיזיקלית (שואף לאפס מבחינה מתמטית - אינפיניטזימאלי), ז א t 0.dt = t בהתאם t 0 dx = x (דיפרנציאל של פונקציה

12 8 פרק 2. קינמטיקה (.x(t) בהתאם להגדרת מהירות רגעית dx = v x (t)dt (2.10) ז א העתק אינפיניטזימאלי (קטן מאוד) שווה למהירות רגעית כפול זמן אינפיניטזימאלי. אם אנחנו רוצים למצאו את ההעתק הכולל, נשתמש נוסחה שכבר הוכחנו x 2 x 1 = i v x (i) t (2.11) ובה צריך לקחת 0 t. אז הסכום הופך לאינטגרל: x = x 2 x 1 = x(t 2 ) x(t 1 ) = t2 t 1 v x (t )dt (2.12) כאשר (t) v x היא מהירות רגעית (פונקציה של זמן). בביטוי הזה t מסמן את כל הרגעים בין t 1 ו- t. 2 הביטוי להעתק אפשר לרשום בצורה הבאה: x(t) x 0 = t t 0 v x (t )dt (2.13) כאן אנחנו מתייחסים לאינטגרל כאל פונקציה של זמן t, והוספנו תנאי התחלה.x(t 0 ) = x 0 לבסוף, הביטוי לקואורדינטה כפונקציה של זמן הוא x(t) = x 0 + t t 0 v x (t )dt (2.14) איור 6.2: תיאור גרפי: העתק כאינטגרל של המהירות

13 .2.2 תנועה חד-ממדית: מושגי יסוד תאוצה מהירות היא קצב השינוי של הקואורדינטה. להלן צמד המילים קצב השינוי צריך להבין כ נגזרת לפי זמן. מכיוון שמהירות היא פונקציה של זמן, אפשר להתעניין בקצב השינוי של המהירות, אשר נקרא תאוצה: a x (t) = dv x dt (2.15) איור 7.2: תיאור גרפי: מהירות כפונקציה של זמן אם ידועה תאוצה (t) a x אפשר למצוא גם את המהירות וגם את הקואורדינטה של הגוף. לצורך זה נשתמש בעקרונות חשובים: א)נוסחאות מתמטיות אינן יודעת מה משמעות האותיות בהן וב) משוואות דומות - פתרונות דומים. לכן מהביטויים v x = dx dt x(t) = x 0 + t t 0 v x (t )dt (2.16) נקבל באופן מיידי את הבא a x = dv t x dt v x(t) = v x0 + a x (t )dt (2.17) t 0 היינו יכולים להמשיך לקצב השינוי של תאוצה והלאה, או היינו יכולים להסתפק במהירות. התמקדות בתאוצה נובעת מעובדה ניסויית: השפעה של גופים אחרים מתבטאת בתאוצה, לכן הבעיה העיקרית של מכניקה היא למצוא תאוצה ובהמשך מהירות וקואורדינטה. תרגיל יוסיין בולט התעייף ורץ 100 מ ב- 10 ש. 10 מטרים ראשונים הוא רץ בתאוצה קבועה ממצב מנוחה ולאחר מכן המשיך במהירות קבועה. מהי מהירות ממוצעת שלו ומהי המהירות המרבית שלו? דרך מהפונקציה x(t) אפשר למצוא העתק כהפרש של קואורדינטות. דרך אי אפשר למצוא בצורה כה פשוטה. כדי למצוא דרך, צריך לחלק את התנועה לקטעים קטנים, שבהם

14 קינמטיקה פרק מהירות לא משנה כיוון. בכל קטע כזה s i = x i = v x (i) t (2.18) לכן s = i x i = v x (i) t (2.19) כאשר 0 t מהירות ממוצעת הופכת למהירות רגעית, לכן s 12 = t2 t 1 v x (t ) dt (2.20) תרגיל נתון.v x (t 0 ) = v 0,a x = a 0 = const מצאו ביטויים להעתק ודרך כפונקציות של זמן.

15 .2.3 תנועה בשניים ושלושה ממדים, וקטורים תנועה בשניים ושלושה ממדים, וקטורים קואורדינטות העולם שלנו בעל שלושה ממדים. כדי לתאר תנועה היותר מממד אחד, יש לבנות מערכת קואורדינטות בהתאם. בקורס זה אנחנו נשתמש בקואורדינטות קרטזיות, אשר בנויות על קווים ישרים ניצבים (אורטוגונליים) זה לזה,x.,y z אם נתונה נקודה כלשהי P, קואורדינטות שלה מוגדרות לפי התהליך הבא: בונים מהנקודה ניצבים לכל אחד מהקווים הבסיסיים ומקבלים שלוש נקודות חדשות,.P x, P y, P z נקודה P x נמצאת על קוו ישר x, נקודה P y נמצאת על קוו ישר y ונקודה P z נמצאת על קוו ישר z. קואורדינטה של כל נקודה חדשה קובעים לפי הכלל של ממד אחד, ז א לנקודה P x תהיה קואורדינטה x על קוו x, וכדומה. בסופו של דבר לנקודה P תהינה שלוש קואורדינטות (z,x).,y השלישייה הזאת קובעת באופן חד-משמעי את המיקום של P, וזאת המטרה של מערכת הקואורדינטות. איור 8.2: מערכת קואורדינטות קרטזיות בשני ממדים ייחודיות של קואורדינטות קרטזיות בכך שהמרחק בין שתי נקודות ) 1 P 1 (x 1, y 1, z ו- ) 2 P 2 (x 2, y 2, z מחושב לפי משפט פיתגורס: S 12 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (2.21) לאחר קביעת מערכת הקואורדינטות נשתמש בעקרון אי-תלות הדדית של תנועות בכיוון כל קואורדינטה. כלומר, לכל קואורדינטה יש מהירות ותאוצה באופן בלתי תלוי והקשרים נשארים בדיוק כפי שהיו במקרה של תנועה חד-ממדית: v x = dx dt, a i = dv i dt v i = v i0 + x i = x i0 + v y = dy dt, v z = dz dt (2.22), i = x, y, z (2.23) t t 0 a i (t )dt (2.24) t t 0 v i (t )dt (2.25)

16 12 פרק 2. קינמטיקה נא לשים לב: תנועה מתוארת ע י כל השלישייה z(t)) (x(t), y(t), ולכן מהירות הגוף גם היא שלישיה (t)) (v x (t), v y (t), v z כך גם תאוצה העתק ודרך העתק הוא שינוי המיקום, לכן גם העתק הוא שלישיה ) 1.(x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z אומרים שלהעתק יש שלושה רכיבים. כנ ל למהירות ולתאוצה. איור 9.2: מערכת קואורדינטות קרטזיות בשני ממדים: העתק העתק אשר גוף זז במשך זמן אינפיניטזימאלי (שואף לאפס) dt הוא (dx, dy, dz) = (x(t + dt) x(t), y(t + dt) y(t), z(t + dt) z(t)) (2.26) בדומה למקרה חד-ממדי, dx = v x dt, dy = v y dt, dz = v z dt (2.27) המרחק בין שתי נקודות סמוכות z(t)) (x(t), y(t), ו- dt)) (x(t + dt), y(t + dt), z(t + הוא ds = dx 2 + dy 2 + dz 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 zdt (2.28) מרחק זה הוא, לפי הגדרה, הדרך האינפיניטזימאלית אשר הגוף עובר תוך זמן.dt כדי לחשב את הדרך שהגוף עובר במשך כל התנועה, יש לחבר את הדרכים הקטנות: s 12 = t2 t 1 v 2 x + v 2 y + v 2 zdt (2.29) נדגיש שוב: העתק הוא שלישיה (בעל שלושה רכיבים), דרך היא מספר חיובי אחד.

17 .2.3 תנועה בשניים ושלושה ממדים, וקטורים וקטורים להעתק תלת-ממדי אותן תכונות כמו להעתק חד-ממדי (בהמשך אנחנו רושמים שני ממדים בלבד כדי לקצר, אבל כל הביטויים נכונים גם לשלושה): חיבור ההעתקים: (x 2 x 1, y 2 y 1 ) + (x 3 x 2, y 3 y 2 ) = (x 3 x 1, y 3 y 1 ) (2.30) סכום ההעתקים הוא העתק, סכום לא תלוי בסדר החיבור. איור 10.2: חיבור העתקים כפל במספר ממשי: a(x 2 x 1, y 2 y 1 ) = (a(x 2 x 1 ), a(y 2 y 1 )) (2.31) מכפלה של מספר והעתק היא העתק חדש. הכפלת העתק במספר נעשית ע י הכפלה של כל אחד מרכיביו במספר זה. מערך עם תכונות אלה נקרא וקטור. כל מבנה כזה, בעל שלושה רכיבים, המקיים כללי חיבור והכפלה במספר, הוא ווקטור. אנחנו נסמן ווקטורים א י אות אם חץ מעליה:. a = (a x, a y, a z ) הסימן הזה מסמן, בעצם, מבנה בעל שלושה רכיבים:. a

18 14 פרק 2. קינמטיקה איור 11.2: וקטור ורכיבים נניח שנתונים שני וקטורים ) z a = (a x, a y, a ו- ) z b = (b x, b y, b ושני מספרים ממשיים α ו- β. הלהלן כללי הפעולות שהווקטורים חייבים לקיים: c = a + b = b + a c x = a x + b x, c y = a y + b y, c z = a z + b z (2.32) d = α a d x = αa x, d y = αa y, d z = αa z (2.33) (α + β) a = α a + β a (2.34) α( a + b) = α a + α b (2.35) זוהי גישה אלגברית לווקטורים. מבחינה הנדסית, ווקטור הוא מבנה, בעל גודל וכייון, עם כללי חיבור והכפלה במספר מוגדרים באופן מסוים: החיבור הוא החיבור ההנדסי (משולש או מקבילית). איור 12.2: חיבור וקטורים הנדסי הכפלה במספר מכפילה את גודל הווקטור בערך מוחלט אל מספר זה. הכיוון של הווקטור החדש הוא כיוונו של הווקטור המוכפל, אם המספר המכפיל חיובי, וכיוון הפוך, אם המספר שלישי. הגדרות אלה מסתדרות עם ההבנה היומיומית שלנו של כיוון. שאלת הבנה האם כל מבנה בעל גודל וכיוון הוא וקטור?

19 .2.3 תנועה בשניים ושלושה ממדים, וקטורים 15 מהדרך שבה הגענו לווקטורים די ברור שהעתק הוא וקטור. אכן, כל הכללים הנ ל מקוימים. הגדרנו וקטור כמערך של שלושה רכיבים. האם הרכיבים האלה משתנים כאשר בוחרים מערכת קואורדינטות אחרת? נניח שאנחנו רוצים למצוא העתק בין המרחק בלבד לא מספיק, יש שתי נקודות P 1 ו-, P 2 הנמצאות במרחק s זו מזו. להוסיף כיוון. אותו אנחנו מוסיפים באמצעות מערכת קואורדינטות. נבחר מערכת אז קואורדינטות כך שראשיתה תהיה בנקודה P 1 וקוו x יעבור דרך שתי הנקודות. ההעתק יהיה (0,s). אם, לעומת זאת, נבחר מערכת קואורדינטות כך שקוו y יעבור דרך שתי הנקודות, ההעתק יהיה (s,0). המסקנה: רכיבי הווקטור תלויים במערכת קואורדינטות. לעומת זאת, גודל הווקטור אינו תלוי במערכת קואורדינטות. בהמשך מכיוון שגודל ההעתק קשור לרכיביו לפי משפט גודל של וקטור a מסומן ע י a. פיתגורס, כך גם לכל וקטור אחר: a = a 2 x + a 2 y + a 2 z (2.36) מכפלה סקלרית קיימת פעולה אשר הופכת שני וקטורים לסקלר. סקלר הוא מספר אחד אשר אינו תלוי במערכת קואורדינטת. פעולה זו מכפילה וקטור בווקטור סקלרית: לכל שני וקטורים ) z a = (a x, a y, a ו- ) z b = (b x, b y, b מכפלה סקלרית שלהם מוגדרת כדלקמן: a b = a x b x + a y b y + a z b z (2.37) בדרך הזאת משישה מספרים (שלושה רכיבים לכל וקטור) מתקבל מספר אחד. כדי להראות שהוא אכן סקלר, נבטא אותו מאמצעות פרמטרים הנדסיים, אשר אינם תלויים בקואורדינטות. נבחור קואורדינטות כך, שווקטור a יימצא על ציר x ויפנה בכיוון חיובי שלו, ואילו וקטור b יימצא במישור x. y בעקבות הבחירה הזאת הוקטורים מקבלים את הצורה הבאה: a = ( a, 0, 0) (2.38) b = ( b cos ( a, b), b sin ( a, b), 0) (2.39) כאשר (b,a ) זאת הזווית בין שני הווקטורים. לכן המכפלה הסקלרית של השניים תהיה a b = a x b x + a y b y + a z b z = a b cos ( a, b) (2.40) איור 13.2: וקטורים וזווית

20 16 פרק 2. קינמטיקה ביטוי זה כולל רק ערכים שאינם תלויים במערכת קואורדינטות ולכן התוצאה עצמה, מכפלה סקלרית, לא תלויה במערכת קואורדינטות, דהיינו, היא סקלר. אזהרה: זאת איננה הוכחה מתמטית מדוקדקת אלא המחשה המבוססת חקלית על תפיסה יומיומית של מרחק וזווית. תכונות מכפלה סקלרית: a b = b a (2.41) a a 0 (2.42) a a = 0 a = 0 (2.43) (α a) b = α a b (2.44) ( a + b) c = a c + b c (2.45) שימושים במכפלה סקלרית: גודל הווקטור: a = a a (2.46) זווית בין שני וקטורים אפשר למצוא בדרך הבאה: cos ( a, b) = a b a b (2.47) מכאן התנאי לכך ששני ווקטרים ניצבים זה לזה הוא a. b לכול וקטור 0 a אפשר לבנות וקטור יחידה â = a a, â â = 1 (2.48) a = a â (2.49) בביטוי האחרון כל המידע על הכיוון נמצא בווקטור היחידה â, ואילו כל המידע על הגודל מופרד מהכיוון. דוגמה אם שני וקטורים a ו- b מקבילים, אפשר לכתוב b = ( b â)â (2.50) אכן, אם שני הווקטורים מקבילים, אז הזווית בין שניים או 0 או 180, ז א או = 1 bˆ â או 1 = bˆ â. אפשר לאחד את שני הביטיים האלה לאחד ˆb = (ˆb â)â (2.51) מכפילים את הביטוי האחרון ב b ומשתמשים בתכונות מכפלה סקלרית. תרגיל a וניצב לו. נתונים שני וקטורים, a ו- b. יש לפרק את הווקטור b למקביל לווקטור

21 .2.3 תנועה בשניים ושלושה ממדים, וקטורים 17 איור 14.2: פירוק של וקטור לרכיב מקביל לווקטור אחר ורכיב ניצב לו אנחנו נדרשים לבטא b = b + b, (2.52) b a, b a (2.53) מהפיתוח הקודם b = ( b â)â (2.54) b = ( b â)â, b â = 0 (2.55) b = b b (2.56) â = a a (2.57) וקטור המקום ותנועה בצורה וקטורית נגדיר וקטור המקום כווקטור ההעתק המחבר את ראשית הקואורדינטות עם הנקודה שבה נמצא הגוף:

22 18 פרק 2. קינמטיקה איור 15.2: וקטור המקום r = (x 0, y 0, z 0) = (x, y, z) (2.58) שינוי המיקום הופך לשינוי ווקטור המקום: r = r 2 r 1 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) (2.59) המשוואות שרמשנו קודם לשלוש הקואורדינטות,x,t z עכשיו אפשר לרשום בצורה מקוצרת באמצעות וקטורים: v = d r t dt, r = r 0 + v(t )dt (2.60) t 0 a = d v dt, v = v 0 + t t 0 a(t )dt (2.61) במקרים רבים נוח להשתמש בווקטורי יחידה,xˆ,ŷ ẑ אשר פונים בכיוונים חיוביים של הצירים. באמצעות וקטורים אלה (שלא תלויים בזמן) אפשר לרשום r = xˆx + yŷ + zẑ (2.62) v = v xˆx + v y ŷ + v z ẑ = dx dy ˆx + dt dt ŷ + dz dt ẑ (2.63) צורה וקטורית מאוד נוחה לניתוח כללי, אבל לחישובים כמעט תמיד יש לעבור לקואורדינטות תנועה מעגלית בתנועה מעגלית גוף נע במישור וכל הזמן נמצא באותו מרחק מנקודה אחת. יהיה נוח לבחור את הנקודה הזאת כראשית הקואורדינטות ומישור x y כמישור התנועה. נסמן את המרחק הקבוע מהגוף לראשית ב-,R אז x 2 + y 2 = R וגם. r = R כדי לקבוע באופן יד משמעי את המיקום של הגוף אל המעגל מספיקה קואורדינטה אחד: זווית φ בין הרדיוס המחבר את הגוף לראשית לבין ציר x.

23 .2.3 תנועה בשניים ושלושה ממדים, וקטורים 19 איור 16.2: תנועה מעגלית: זווית ומהירות זוויתית לכן התנועה זאת היא תנועה חד-ממדית ואפשר להשתמש בכל הפיתוחים הקודמים שלנו אם שינוי קטן - הוספת לשמות המשתנים מילה אשר מראה שמדובר על זווית. מהירות זוויתית היא ω. = dφ סימן חיובי מראה שהגוף נע במעגל נגד כיוון השעון. dt תאוצה זוויתית היא α. = dω התאם, שינוי מהירות זוויתית וזווית הסיבוב הם dt ω = φ = t t 0 α(t )dt (2.64) t t 0 ω(t )dt (2.65) בכל זאת, תנועה מעגלית מתקיימת במרחב דו-ממדי (מישור x, y ( לכן יש צורך לדעת איך מתארים אותה בדרך הרגילה, באמצעות קואורדינטות קרטזיות ו/או וקטור המקום. הקשר של כל אלה לזווי הוא כדלקדמן: x = R cos φ (2.66) y = R sin φ (2.67) r = R cos φˆx + R sin φŷ (2.68) r = r ˆr (2.69) r = R, ˆr = cos φˆx + sin φŷ (2.70) כדי למצוא מהירות צריך לגזור את וקרטור המקום לפי זמן (שימוש בכלל שרשרת!): v = ωr ˆφ (2.71) ˆφ = sin φˆx + cos φŷ (2.72) קל לבדוק שווקטור φˆ הוא ווקטור יחידה אשר ניצב לווקטור rˆ. לכן וקטור זה (וגם וקטור המהירות) ניצב לרדיוס ומשיק למעגל. גודל המהירות מכאן הוא v = ω R (2.73)

24 20 פרק 2. קינמטיקה מהירות זוויתית מופיעה עם ערך מוחלט, כי יכול להיות שלילית. כדי למצוא תאוצה, יש לגזור את המהירות לפי זמן (שוב כלל שרשרת!): a = αr ˆφ ω 2 Rˆr (2.74) לתאוצה שני רכיבים ניצבים זה לזה. איור 17.2: תנועה מעגלית הרכיב המשיק למעגל, αr φˆ קיים רק כאשר מהירות זוויתית משתנה, 0 α. הרכיב השני, a r = ω 2 Rˆr מכוון כלפי מרכז המעגל ונקרא בהתאם תאוצה צנטריפטלית (בכיוון המרכז ביוונית). תאוצה זו קיימת תמיד אם הגוף נע במעגל, 0 ω. גודל התאוצה הצנטריפטלית הוא a r = ω 2 R = v 2 R (2.75) אם נגזור את גודל המהירות לפי זמן, נקבל d v = dω R = α R (2.76) dt dt ז א, אם תאוצה זוויתית מתאפסת, גודל המהירות לא משתנה. 2.4 תכונות כלליות של תנועה בשניים ושלושה ממדים מביטוי להעתק קטן בצורה וקטורית d r = vdt קל לקבל את הביטוי לדרך בקטע קטן:.ds = d r = v dt מכאן, הדרך שהגוף עובר במשך כל התנועה היא s 12 = t2 t 1 v(t ) dt (2.77)

25 .2.4 תכונות כלליות של תנועה בשניים ושלושה ממדים 21 ראינו שבתנועה מעגלית מהירות הייתה בכיוון המשיק למסלול (מעגל). באופן כללי, כיוון המהירות הוא כיוון ההעתק בין שתי נקודות סמוכות. כאשר הנקודות האלה שואפות זו לזו, כיוון זה שואף למשיק, לכן, באופן כללי לחלוטין, מהירות בנקודה כלשהי של מסלול תמיד מכוונת לאורך המשיק למסלול באותה נקודה. נפצל מהירות לגודל וכיוון: v. = v ˆv אפשר לומר שווקטור היחידה vˆ משיק למסלול. איור 18.2: תנועה במסלול עקום: העתק ומהירות ממוצעת איור 19.2: תנועה במסלול עקום: העתק קטן ומהירות איור 20.2: תנועה במסלול עקום: מהירות ותאוצה

26 22 פרק 2. קינמטיקה ראינו שבתנועה מעגלית התאוצה מורכבת מתאוצה בכיוון המשיק (שהוא גם כיוון המהירות) ומתאוצה בכיוון המרכז (כיוון ניצב למהירות). כדי לנתח את המקרה הכללי, נגזור את הביטי למהירות לפי זמן: ( ) ( ) d d a = dt v ˆv + v dt ˆv (2.78) כדי להבין מה הכיוון של dˆv/dt נשתמש בזהות = 1 vˆ vˆ ונגזור אותה לפי זמן: 2ˆv ( ) d dt ˆv = 0 (2.79) ז א הווקטור dˆv/dt ניצב למהירות. פרקנו את התאוצה לשני חלקים: a = a t + a n (2.80) ( ) d a t = dt v ˆv (2.81) ( ) d a n = v dt ˆv (2.82) התאוצה המשיקית a t היא בכיוון המהירות ומתארת שינוי בגודל המהירות (אם הגודל לא משתנה, התאוצה הזאת מתאפסת). התאוצה הניצבת a n היא הכיוון ניצב למהירותה ומתארת שינוי בכיוון המהירות (אם הכיוון לא משתנה, תאוצה זו מתאפסת). נניח שאנחנו מעוניינים לתאר תנועה בנקודה כלשהי כאילו זאת תנועה מעגלית. במילים אחרות, אנחנו רוצים להתאים מעגל למסלול בנקודה זו. איור 21.2: רדיוס העקמומיות מבחינה פיזיקלית, רדיוס מעגל זה חחיב להיות כזה שהתאוצה הניצבת הופכת לתאוצה צנטריפטלית בנקודה זו. הביטוי לתנאי זה הוא a n = ω 2 R = v 2 R (2.83) R = v 2 a n (2.84) רדיוס המעגל המותאם בצורה כזאת נקרא רדיוס העקמומיות.

27 2.5. זריקה זריקה כדי להראת את היישום של הפיתוחים הכלליים ננתח את תנועת הגוף אחרי שהוא נזרק מקרקע במהירות שגודלה v 0 בזווית θ לאופק. נבחר מערכת קואורדינטות כך שציר x יהיה ציר אופקי וציר y אנכי עם כיוון חיובי כלפי מעלה. אפשר לבחור מערכת קואורדינטות בצורה אחרת, זאת בחירתנו. בקואורדינטות האלה כל זמן שהגוף נע יש לו תאוצה קבועה.g > 0, a = gŷ = const איור 22.2: זריקה המהירות התחלתית היא θ). v 0 = (v 0 cos θ, v 0 sin נבחר ראשית קואורדינטות במקום תחילת התנועה ותחילת התנועה ברגע אפס, כך ש = 0 0 r ו- = 0 0 t. מכאן v = v 0 cos θˆx + (v 0 sin θ gt)ŷ (2.85) r = v 0 cos θtˆx + (v 0 sin θt 12 ) gt2 ŷ (2.86) או, בצורה אחרת, v x = v 0 cos θ, v y = v 0 sin θ gt (2.87) x = v 0 cos θt, y = v 0 sin θt 1 2 gt2 (2.88), dy ז א ברגע t 1 כאשר = 0 1.v 0 sin θ gt הצבה של שיא הגובה מושג כאשר = 0 y dt = v t 1 לתוך הביטוי של y נותנת y max = v2 0 sin 2 θ 2g (2.89) הגוף חוזר לקרקע כאשר = 0 y, לכן v 0 sin θt gt2 2 = 0 (2.90) x max = x(t 2 ) = v2 0 sin 2θ 2g (2.91)

28 24 פרק 2. קינמטיקה s(t) = = t 0 t 0 הדרך שהגוף עובר (אורך המסלול שלו) היא v 2 x + v 2 ydt (2.92) v 2 0 cos 2 θ + (v 0 sin θ gt ) 2 dt (2.93) נחשב גם את התאוצה המשיקית, את התאוצה הניצבת ואת רדיוס העקמומיות: ˆv = v 0 cos θˆx + (v 0 sin θ gt)ŷ v 2 0 cos 2 θ + (v 0 sin θ gt) 2 (2.94) a = gŷ (2.95) a t = a t = a ˆv = g v y (2.96) v 2 x + vy 2 a n = a n = a 2 a 2 t = g 2 a 2 t (2.97) = gv x v 2 x + v 2 y = gv 0 cos θ v 2 x + v 2 y (2.98) R = v2 x + vy 2 = (v2 x + v y ) 3/2 a n gv 0 cos θ = v 3 gv 0 cos θ (2.99) להשוואה: בשיא הגובה v y = 0, v = v 0 cos θ ורדיוס העקמומיות הוא.R = (v 0 cos θ) 2 /g בנקודה התחלתית v = v 0 ורדיוס העקמומיות הוא.R = v 2 0/g cos θ

29 פרק 3 חוקי ניוטון אחרי שבנינו לעצמנו כלים לתיאור התנועה הגיע זמן לטפל בגורמי התנועה. הבסיס לזה שלושת חוקי ניוטון. קודם כל, ננסח את שלושה הגדולים ואחר מכן נפרט: קיימות מערכות התמדיות F = m a F 1 2 = F חוק ראשון מערכת יחוס מורכבת מצופה, שעון ומערכת קואורדינטות. הצופה מודד תנועה של כל גוף אחר (לא עצמו) באמצעות השעון ומערכת הקואורדינטות שלו. נתמקד בגוף כלשהו. בהמשך נקרא לא גוף הבוחן. נניח גוף הבוחן נטול השפעת גופים אחרים (בודד ומבודד). החוק הראשון של ניוטון טוען שקיימת מערכת יחוס שבה הגוף הזה נע במהירות קבועה. המערכת הזאת נקראת מערכת התמדית. החוק הראשון בלתי נפרד מעקרון אשר ידוע בשם יחסות גלילאי (ראו מטה). יחסות גלילאי קובעת שאין מערכת יחוס מיוחדת: לחוקי הטבע אותה צורה בכל מערכות יחוס התמדיות. ביחד עם יחסות גלילאי החוק הראשון קובע שיש אינסוף מערכות יחוס התמדיות. משמעות של החוק הראשון היא שהוא קובע שאם מודדים במערכות יחוס מסוג מסוים, השפעת גופים אחרים מתבטאת בשינוי התנועה. 3.2 חוק שני וחוק שלישי החוק השני של ניוטון קובע את בדברים הבאים: השפעה של כל גוף אחר על גוף הבוחן בתבטאת בווקטור הכוח כוח גורם לתאוצה, תאוצה פרופורציונלית לכוח במשוואה F = m a מסה m היא מדד כמותי של יכולת הגוף לקבל תאוצה בהשפעת הכוח, מסה היא מספר חיובי וסקלר 25

30 26 פרק 3. חוקי ניוטון איור 1.3: החוק השני החוק השני של ניוטון קובע שגופים מפעילים כוחות באופן בלתי תלוי. נניח שגוף 2 מפעיל אל גוף 1 כוח 1 2 F כאשר אין אף גוף נוסף ביקום חוץ מ- 2 ו- 1. נניח שגוף 3 מפעיל על גוף 1 כוח 1 3 F כאשר אין אף גוף נוסף ביקום חוץ מ- 3 ו- 1. איור 2.3: החוק השני: חיבור הכוחות כאשר ישנם כל השלושה הכוח שמופעל על גוף 1 יהיה סכום ווקטורי של הכוחות שהופעלו ע י גופים 2 ו- 3 בנפרד F 1 = F F 3 1 (3.1) הסכום הזה נקרא כוח שקול

31 .3.3 יחסות גלילאי 27 בחוק השני של ניוטון F = m a הכוח F הוא כוח שקול. תאוצה לא נגרמת ע י כוחות שונים בנפרד אלא ע י כוח שקול (הגוף לא יכול לזהות מי הפעיל הכוח אלא מרגיש את הכל ביחד ). חשוב להדגיש שהמשוואה F = m a מחברת בתוכה דברים שונים לגמרי: הערכים באגף ימין שייכים לגוף הבוחן (הגוף המואץ, הגוף המושפע), ואילו הערך באגף שמאל שייך לשאר היקום להוציא את גוף הבוחן. החוק השלישי של ניוטון קובע שכל זוג הגופים (נקרא להם 1 ו- 2 ) מפעילים זה על זה כוחות באופן בלתי תלוי בגופים אחרים והכוחות האלה מכוונים לאורך קוו ישר המחבר את הגופים וגם מקיימים את הכלל 2 1 F 1 2 = F. איור 3.3: החוק השלישי המשמעות האמיתית של החוק השלישי תתברר יותר מאוחר, כאשר נלמד מערכות חלקיקים. הערה חשובה: לא לשכוח שעד כה כל הדיון מתייחס לגופים נקודתיים, ללא מימדים וללא מבנה פנימי כלשו. 3.3 יחסות גלילאי מדידות התנועה תמיד נעשות ע י צופה (מערכת יחוס). עקרון היחסות קובע שאין מערכת יחוס מיוחדת וכל אחד יכול ללמוד פיזיקה במערכת יחוס משלו. כדי לדעת לפרש את המדידות, יש להבין מה הקשר בין המדידות של שני צופים שונים. נניח שצופה אחד עומד על כביש (מערכת עומדת S) וצופה נוסף נוסע באוטובוס על אותו כביש (מערכת נעה S) לאורך קוו ישר. שני הצופים מודדים את תנועתו של גוף הבוחן ( פרפר ).

32 28 פרק 3. חוקי ניוטון איור 4.3: שתי מערכות יחוס לשני הצופים שעונים זהים ושניהם בונים מערכות קואורדינטות כך שהצירים המתאימים מקבילים:.x x, y y, z z כל אחד מהצופים מודד את המיקום של הפרפר: העומד מודד r(t) והנע מודד (t) r. מהשרטור, הקשר בין השניים הוא כדלקמן: r(t) = r (t) + R(t) (3.2) כאשר R(t) הוא המיקום של הנע (ראשית הקואורדינטות במערכת שלו) לפי מדידות של העומד. שימו לב: כאן r ו- r הם של הפרפר, ו- R הוא של מערכת הייחוס הנעה. ברור ששני הצופים מודדים מיקומים שונים של אותו גוף (הפרפר). כדי למצוא את הקשר בין המהירויות של הפרפר אשר השניים מודדים, נגזור את הביטוי (2 3). לפי זמן וניקח בחשבו ש- : v = d r /dt, v = d r/dt v(t) = v (t) + V (t) (3.3) כאשר V = dr/dt היא המהירות של הנע לפי המדידות של העומד (מהירות יחסית של שתי מערכות הייחוס). גם כאן v ו- v הן של הפרפר, ו- V היא של מערכת הייחוס הנעה. רואים ששני הצופים מודדים מהירויות שונות של אותו גוף. נניח עכשיו שהמערכת S נעה במהירות קבועה,. V = const נגזור את הביטוי 3) (3. ונקבל a = a (3.4) ז א, אם המהירות היחסית בין שתי מערכות ייחוס קבועה, שתי המערכות מודדות אותה תאוצה של הגוף. נניח עכשיו שידוע לנו על המערכת העומדת שהיא מערכת התמדית. משמעות הדבר שאם גופים אחרים לא משפיעים אל הפרפר הוא (הפרפר) נע במהירות קבועה, = 0 a. אז מהביטוי (4 3). נקבל ש- = 0 a, ז א גם במערכת הנעה מהירות הגוף קבועה אם אין השפעה של גופים אחרים. המסקנה היא שגם המערכת הנעה היא מערכת התמדית. הניתוח שלנו מראה שכל מערכת ייחוס, הנעה ביחס למערכת התמדית במהירות קבועה, התמדית גם היא. לכן אם קיימת מערכת יחוס התמדים אחת אז יש אינסוף מערכות יחוס התמדיות.

33 .3.4 ישומים של חוקי ניוטון 29 נרשום עכשיו את החוק השני של ניוטון במערכת יחוס התמדית: F = m a. כאן F זה סכום כל הכוחות שמפעילים גופים אחרים על הפרפר. עם גם המערכת הנעה התמדית, V = const, אז נקבל F = m a (3.5) במילים אחרות, לחוק השני של ניוטון אותה צורה בכל מערכות יחוס התמדיות, כאשר הכוח השקול הוא סכום הכוחות שמפעילים גופים אחרים, ללא כל תוספות או שינויים. תוצאה זו מהווה את עקרון היחסות של גלילאי: בכל מערכות יחוס התמדיות לחוקי פיזיקה אותה צורה. במקרה שלנו, כל חוקי פיזיקה משמעות החוק השני של ניוטון. 3.4 ישומים של חוקי ניוטון כוח הכבידה אחנחו יודעים שליד הקרקע כל הגופים נופילים בתאוצה קבועה g אם אין השפעה של גופים נוספים. איור 5.3: כוח הכבידה F g = m g אשר נקרא כוח הכבידה. כוח זה מופעל ע י כדור הארץ. בהתאם לחוק השלישה של ניוטון, הגוף מפעיל על כדור הארץ כוח הפוך. מכיוון שמסת כדור הארץ גדולה בהרבה ממסת הגופים שמסביב, תאוצת כדור הארץ בגלל כוחות אלה זניחה. ברוב הישומים אנחנו מתיחסים לכדור הארץ כאילו הוא מערכת התמדית, בקירוב (אבל ראו את הדיון על מערכות מסתובבות מטה) כוח התגובה, משקל דוגמה גוף נמצא במנוחה על משטח אופקי (שולחן). אנחנו כבר יודעים שעל הגוף פועל כח הכבידה F g = m g בכיוון אנכי כלפי מטה. מכיוון שתאוצת הגוף היא

34 30 פרק 3. חוקי ניוטון אפס, סכום הכוחות שפועלים על הגוף, חייב להיות אפס. זה אומר שהשולחן חייב להפעיל כוח על הגוף, נסמן אותו ב- N. החוק השני קובע F g + N = 0 N = F g = m g (3.6) כוח זה הוא כוח התגובה של המשטח. הגוף, אשר נמצא על המשטח, מעקם אותו והמשטח מחזיר כוח, כמו קפיץ. כאשר עיקום המשטח קטן, פשוט מזניחים את שינוי צורת שמשטח (משטח קשיח). כיוון כוח זה הוא ניצב למשטח ולכן לעתים קרובות מכנים אותו נורמל. במקרה הזה N פועל בכיוון אנכי כלפי מעלה. איור 6.3: כוח התגובה הניצב יש לשים לב: כוח התגובה של משטח יכול להיות מכוון רק מהמשטח לצד של הגוף ( דוחף ). משטח לא יכול למשוך אליו את הגוף שעליו. לפי החוק השלישי, הגוף מפעיל כוח W = N = m g על השולחן. הכוח הזה, הגוף מפעיל על המשענת (שולחן) נקרא משקל. הגדרה זו מתואמת עם הבנה יומיומית של המשקל ככוח שמופעל על מזניים. דוגמה גוף תלוי בחוט שמחובר לתקרה ונמצא במנוחה. איור 7.3: כוח התגובה: תלייה

35 .3.4 ישומים של חוקי ניוטון 31 שוב סכום הכוחות שפועלים על הגוף חייב להיות אפס, לכן אנחנו מסיקים שהחוט מפעיל כוח T אשר נקרא כוח המתיחות. גם כוח זה הוא כוח התגובה: הגוף מותח את החוט ומאריך אותו. החוט מחזיר כוח כמו קפיץ. גם כאן, לעתים קרובות שינוי האורך זניח (החוט לא מתארך). לפי החוק השני, F g + T = 0 T = m g (3.7) יש לשים לב: כוח המתיחות יכול להיות מכוון רק מהגוף בכיוון החוט. חוט אינו יכול לדחוף את הגוף שמחובר אליו. לפי החוק השלישי, הגוף מפעיל כוח W = T על החוט. גם הכוח הזה הוא מקשל. באופן כללי, משקל הוא הכוח שמפעיל גוף על משענת או תלייה. דוגמה נחזור לדוגמה של גוף נח על שולחן, אלא שהפעם הכל מתרחש במעלית עולה או יורדת. איור 8.3: משקל במעלית כדי לנתח את המצב, נבחר מערכת קואורדינטות עם ציר x אנכי כאשר כיוון חיובי כלפי מעלה. נסמן את התאוצה של המעלית ב- a. אם > 0 a המעלית עולה בתאוצה, אם < 0 a המעלית יורדת בתאוצה. הגוף שעל השולחן נע בתאוצת המעלית. הכוחות (רכיבי x( שפועלים עליו הם כוח הכבידה F g = mg וכוח התוגבה N. מכיוון שכוח התגובה לא יכול להיות כלפי מטה, 0 N. החוק השני נותן N mg = ma (3.8) מכאן N = m(g + a), if g + a 0 (3.9) כאשר a, < g ז א, המעלית יורדת התוצה גדולה יותר מתאוצת נפילה חופשית, המצב המתואר (הגוף נח על השולחן) בלתי אפשרי. גודל הכוח שהגוף מפעיל על השולחן (משקל) הוא a).w = N = m(g + דוגמה גוף מונח על מישור משופע בעל זווית θ עם האופק.

36 32 פרק 3. חוקי ניוטון איור 9.3: מישור משופע מה התאוצה? יהיה נוח לבחור קואורדינטות כך ש- x תהיה לאורך שמדרון כלפי מטה ו- y תהיה בכיוון ניצב למדרון. החוק השני יירשם בצורה הבאה: x : mg sin θ = ma (3.10) y : N mg cos θ = 0 (3.11) מכאן התאוצה a = g sin θ וגודל כוח התגובה (ומשקל).N = mg cos θ דוגמה סביב צירה. שני גופים מחוברים באמצעות חוט העובר מעל גלגלת שיכולה להסתובב

37 .3.4 ישומים של חוקי ניוטון 33 איור 10.3: גופים וגלגלת החוט אינו מתארך ואין לו מסה. לגלגלת אין מסה ואין חיכוך לא בין החוט לגלגלת ולא בין הגלגלת לציר הסיבוב. מסות הגופים הן m 1 ו- m. 2 מה התאוצות? מכיוון ששני הגופים נעים בכיוון אנכי בלבד, מספיק בקואורדינטה אחת. נבחר (שרירותית לחלוטין) כיוון חיובי כלפי מטה ונניח (שרירורתית לחלוטין) שתאוצת גוף 1 היא a 1 כלפי מטה. אם בסוף הפתרון יתברר ש- > 0 1 aאז גוף 1 אכן נע כלפי מטה. אם נמצא ש- < 0 1 a אז גוף 1 נע כלפי מעלה. בהנחה שגוף 1 נע כלפי מטה הגוף 2 חייב לנוע כלפי מעלה. בהתאם נסמן את התאוצה שלו ב- a, 2 כך שאם > 0 2 a הוא אכן נע כלפי מעלה. החוק השני יהיה m 1 g T 1 = m 1 a 1 (3.12) m 2 g T 2 = m 2 a 2 (3.13) כאשר T 1 ו- T 2 הם כוחות המתיחות אשר החוט מפעיל על הגופים. בצורה כזאת אין אפשרות למצוא שום דבר, אנחנו צריכים להוסיף אילוצים. נתון, שהחוט אינו מתארך. זה אומר שהמרחק שגוף 1 יורד שווה למרחק שגוף 2 עולה. מכאן 1 v 2 = v ו- 1. a 2 = a בהתחשב בסימנים שקבענו,.a 2 = a 1 מכיוון שאין לחוט ולגלגלת אין מסה ואין חיכוך (כוחות נוספים), לא דרש כוח כדי

38 34 פרק 3. חוקי ניוטון להאיץ חוט וגלגלת ולכן T. 1 = T 2 = T נציב את כל זה בחוק השני ונקבל m 1 g T = m 1 a 1 (3.14) T m 2 g = m 2 a 1 (3.15) ( ) m1 m 2 a 1 = g (3.16) m 1 + m 2 T = 2m 1m 2 g (3.17) m 1 + m 2 נבדוק את התשובה במקרים קיצוניים, כאשר התוצאה ידועה מראש. אם m, 1 = m 2 הגופים לא אמורים לזוז כלל וכוח המתיחות אמור להיות שווה m. 1 g אכן. אם = 0 2 m, גוף 1 פשוט נופל נפילה חופשית, a, 1 = g וכוח המתיחות מתאפס. אכן. דוגמה על גוף תלי מופעל כוח אופקי כך החוט מוסט לזווית θ ביחס לאנך. איור 11.3: כוח חיצוני מופעל על גוף תלוי מהו גודל כוח המתיחות? סכום ווקטורי של כוח הכבידה (כלפי מטה), הכוח האופקי וכוח המתיחות (לאורך החוט) חייב להיות שווה לאפס. מהמשולש רואים ש- T cos θ = mg (3.18) דוגמה גוף בעל מסה m תלוי בחוט שאורכו l מסתובוב במעגל אופקי (באותו גובה) במהירות זוויתי קבועה ω.

39 .3.4 ישומים של חוקי ניוטון 35 איור 12.3: גוף תלוי מסתובב מהי הזווית בין החוט לאנך? נסמן את הזווית ב θ. הגוף מבצע תנועה מעגלית במעגל בעל רדיוס R, = l sin θ לכן יש לו תאוצה צנטריפטלית שגודלה a = ω 2 R בכיוון מרכז המעגל. נבחר מערכת קואורדינטות (רגעית) כך שציר x יהיה לאורך הרדיוס כלפי המרכז, וציר y אנכית כלפי מעלה. החוק השני של ניוטון נותן: x : T sin θ = mω 2 R = mω 2 l sin θ (3.19) y : T cos θ = mg (3.20) מכאן או = 0,θ,T = mg או cos θ = g ω 2 l (3.21) הפתרון השני אפשרי רק כאשר 1 θ,cos ז א.ω ω c = g/l כאשר ω < ω c החוט יישאר במצב אנכי. כאשר ω > ω c המצב האנכי הוא אחד הפתרונות, אבל פתרון זה אינו יציב: כל הפרעה קטנה יוציא את החוט ממצב זה והוא יהיה מוסט לזווית שמוגדרת ע י.cos θ = g/ω 2 l את האי-יציבות לא נוכל להוכיח כאן. דוגמה מטוס שנע במהירות v (גודל) עושה סיבוב במעגל שרדיוסו R.

40 36 פרק 3. חוקי ניוטון איור 13.3: סיבוב המטוס מה זווית בין מישור הכנפיים והאופק? כוח האוויר פועל בכיוון ניצב הכנף. בדומה לדוגמה הקודמת F air sin θ = mv2 R (3.22) F air cos θ = mg (3.23) tan θ = v2 gr (3.24) דוגמה רכב נוסע במעגל אופקי בעל רדיוס R. איור 14.3: רכב במסלול מעגלי מהצד החיצוני מהי המהירות המקסימלית האפשרית בנקודה העלינה אם הרכב נוגע במשטח בנקודה זה? מבחר כיוון חיובי של הקואורדינטה כלפי מעלה, כך ש 0 N. החוק

41 .3.4 ישומים של חוקי ניוטון 37 השני: N mg = mv2 (3.25) R) N = m (q v2 0 (3.26) R v 2 R q v2 gr (3.27) אם הרכב רוצה לעבור במשטח הפנימי (מלמטה), איור 15.3: רכב במסלול מעגלי מהצד הפנימי אז כוח התגובה פועל כלפי מטה והחוק השני ייתן N + mg = mv2 (3.28) ( R ) v 2 N = m R g 0 (3.29) v 2 gr (3.30) יש לשים לב: בשני המקרים התנאי היה שכוח התגובה פועל מהמשטח בכיוון הגוף הנשען ולא יכול למשוך את הגוך כלפי המשטח חיכוך עד כה דיברנו על כוח התגובה בין משטח לגוף. כוח זה מופעל על הגוף בנקודת המגע בכיוון ניצב למשטח. בין משטח לגוף קיים כוח תגובה נוסף, אשר פועלה בכיוון משיק למשטח. גם כוח זה מופעל בנקודת המגע והוא גם תלוי במצב בנקודה זו. כוח זה הוא כוח החיכוך. קיימים שני סוגי החיכוך: חיכוך סטטי חיכוך קינטי. לשני הסוגים תכונות שונות. כוח חיכוך סטטי פועל בנקודת המגע בין הגוף למשטח כאשר בנקודה זו אין מהירות יחסית בין השניים, ז א נקודת הגוף שנמצאת במגע עם המשטח נחה ביחס למשטח. כוח חיכוך סטטי מכוון נגד כיוון התנועה של נקודת המגע שהייתה נוצרת

42 38 פרק 3. חוקי ניוטון אילו כוח זה לא היה קיים. כל עוד מדובר על גוף נקודתי, כוח חיכוך סטטי יהיה מנוגד לכוח חיצוני אחר אשר מופעל על הגוף כדי להזיזו. במקרה של גופים עם ממדים זה לא תמיד כך, נלמד את זה בפרק על תנועה סיבובית של גוף קשיח. איור 16.3: חיכוך סטטי אם מופעל כוח חיצוני (לא חיכוך) והגוף לא זז (אין תאוצה) אז סכום הכוחות חייב להיות אפס. זה אומר שכוח החיכוך סטטי שווה בגודלו וכוח החיצוני ומנוגד לו. מצב זה יכול להקיים רק עד גבול מסוים: קיים כוח חיכוך סטטי מרבי. בקירוב טוב f s µ s N (3.31) כאן כוח חיכוך סטטי מסומן ב- N, f s הוא כוח התגובה הניצב ( נורמל ), ו- µ s הוא מקדם חיכוך סטטי, אשר תלוי רק בחומרים שמהם עשויים הגוף והמשטח (בקירוב). יש לשים לב: הביטוי נותן קשר רק בין הגדלים, הכיוונים של N ו- f s ניצבים זה לזה. כל עוד המצב סטטי, כוח חיכוך סטטי מתאים את עצמו לתנאים.גודלו אינו ידוע מראש ונדרש למצוא אותו יחדי עם שאר הנעלמים במהלך ניתוח של המצב הפיזיקלי. כאשר כוח חיכוך סטטי, שנדרש כדי להשאיר את גוף במנוחה ביחס למשטח, גדול מהכוח המרבי N f s max = µ s, לגוף יש מהירות ביחס למשטח בנקודת המגע. במקרה זה החיכוך הופך לחיכוך קינטי. כיוון כוח חיכוך קינטי הפוך לכיוון המהירות של הגוף ביחס למשטח בנקודת המגע,

43 .3.4 ישומים של חוקי ניוטון 39 איור 17.3: חיכוך קינטי וגודלו תלוי רק בגודל של כוח התגובה הניצב: f k = µ k N (3.32) כאשר µ k הוא מקדם חיכוך קינטי, אשר לא יכול להיות גדול ממקדם חיכוך סטטי. בניגוד לכוח חיכוך סטטי, כיוון כוח חיכוך קינטי ידוע, כי הוא הפוך למהירות נקודת הגוף אשר נמצאת במגע עם משטח. אם נסמן את המהיורת הזאת באמצעות v contact אז כיוון כוח חיכוך קינטי יהיה vˆ contact והווקטור וכולו אפשר לרשום בצורה f k = µ k N ˆv contact (3.33) לגוף נקודתי v contact שווה למהירות הגוף. למרות שבינתיים הדיון מתייחס רק לגופים נקודתיים, בכל האמור על חיכוך הדגשנו שמדובר על המצב בנקודת המגע בין הגוף לבין המשטח. זאת נקודה חשובה מאור אם נזכרים בכך שלגופים, בדרך כלל, יש מידות וצורה. כאשר אנחנו מהלכים, הגוף שלנו נע במהירות כלשהי ביחס לרצפה, אבל את כף הרגל אנחנו משתדלים להצמיד למשטח כדי שלא תחליק. בכיוון שבנקובת המגע מהירות יחסית בין כף הרגל למשטח היא אפס, החיכוך הוא חיכוך סטטי. לעובדה שהפלג העלין של הגוף נע ביחס לרצפה אין שום משמעות בקביעת סוג החיכוך, כי הרצפה מגיבה רק למה שקורה בנקודת המגע. כוח חיכוך סטטי הוא זה שמניע גם אותנו וגם את הרכב שלנו (כאשר הגלגלים אינם מחליקים). דוגמה גוף נקודתי בעל מסה m נמצא על משטח אופקי מחוספס עם מקדם חיכוך סטטי µ. s

44 40 פרק 3. חוקי ניוטון איור 18.3: כוח מינימלי הדרוש להזזת גוף מה הוא גודל הכוח הקטן ביות הנדרש כדי להזיז את הגוף? נניח שמופעל כוח שגודלו F בזווית θ מעל לאופק. הרעיון הוא למצוא עד איזה F הגוף עדיין נמצא במנוחה. הכוח במרבי בתנאי זה הוא יהיה הכוח הקטן ביותר הנדרש להזזה (הגבול בין שני המצבים - סטטי ותנועה). נבחר מערכת קואורדינטות כך שציר x אופקי ובכיוון של הרכיב האופקי של הכוח המופעל וציר y אנכי כלפי מעלה. ברור שכוח חיכוך סטטי, שגודלו f, s יפעל נגד הרכיב האופקי של הכוח החיצוני. החוק השני של ניוטון קובע: x : F cos θ f s = 0 (3.34) y : F sin θ + N mg = 0 (3.35) במשוואות האלה N f, s F, גדלים של הכוחות, לכן כולם חיוביים. בנוסף, מכיוון שהחיכוך הוא חיכוך סטטי, חייב להתקיים התנאי: f s µ s N (3.36) פתרון המשוואות נותן: f s = F cos θ (3.37) N = mg F sin θ (3.38) F cos θ µ s (mg F cos θ) (3.39) µ s mg F cos θ + µ s sin θ (3.40) לכל זווית θ הכוח הקטן ביותר שנדרש להזזה הוא F min (θ) = µ s mg cos θ + µ s sin θ (3.41) נותר למצוא את המינימום של הפונקציה הזאות. כדי שיחס יהיה מינימלי, המכנה צריך להיות מקסימלי (המונה לא תלוי בזויית). גוזרים את המכנה לפי θ ומשווים

45 .3.4 ישומים של חוקי ניוטון 41 לאפס, מקבלים tan θ c = µ s (3.42) 1 1 cos θ c = = 1 + tan 2 θ c 1 + µ 2 s (3.43) sin θ c = F min = tan θ s 1 + tan 2 θ c = µ s 1 + µ 2 s (3.44) µ smg 1 + µ 2 s (3.45) כדי לוודא שזה מינימום ולא מקסימום, נשווה את התוצאה עם שני מקרים קיצוניים. כאשר מפעילים כוח אופקית, = 0,θ כוח המינימלי הוא.µ s mg > F min כאשר מפעילים כוח אנכית, הכוח המינימלי הוא.mg > F min המסקנה: הכוח המינימלי.tan θ = µ s וצריך להפעילו בזווית F min = הוא µsmg דוגמה גוף מונח על מישור משופע מחוספס. זווית המישור היא θ ומקדמי החיכוך הם.µ s, µ k 1+µ 2 s איור 19.3: מישור משופע עם חיכוך מהי תאוצת הגוף? מערכת הקואורדינטות לאורך שמישור ובניצב לו החוק השני נותן: mg sin θ f = ma N mg cos θ = 0 (3.46) מכיוון שלא ידוע מראש, האם הגוף בכלל זז (חיכוך קינטי) או נח (חיכוך סטטי), יש צורך לנתח את האפשרויות. נניח בהתחלה שהגוף לא נע, = 0 a. במקרה זה החיכוך

46 42 פרק 3. חוקי ניוטון הוא חיכוך סטטי: mg sin θ f s = 0 (3.47) f s = mg sin θ (3.48) N = mg cos θ (3.49) f s µ s N tan θ µ s (3.50) לכן, כאשר tan θ µ s הגוף יישאר במצב מנוחה. כאשר tan θ > µ s הגוף יתחיל לנוע והחיכוך יהיה חיכוך קינטי,,f = µ k mg cos θ לכן a = g(sin θ µ k cos θ) (3.51) תרגיל על אותו מישור משופע מספקים לגוף מהירות התחלתית v 0 למטה במדרון. מצאו את הדרך שהגוף יעבור עד רגע t. המדרון אינסופי. דוגמה רכב נכנס לסיבוב עם רדיוס העקמומיות R. מקדמי החיכוך בין הצמיגים לקרקע הם.µ s, µ k איור 20.3: סיבוב הרכב באיזו מהירות מרבית יכול לנוע רכב ולהישאר בסיבוב? כדי להישאר בסיבוב הרכב חייב לא להחליק, לכן החיכוך הוא חיכוך סטטי. כוח החיכוך הסטטי הוא הכוח היחיד אשר יכול לספק תאוצה צנטריפטלית a, = v 2 R/ לכן f s = mv2 R µ sn = µ s mg (3.52) v 2 µ s gr (3.53) תרגיל מרוץ אופניים באולמות מתקיים על משטח פנימי של חרוט חתוך שצירו אנכי. בחתך דרך הציר משטח זה הוא מישור משופע בעל זווית θ.

47 .3.4 ישומים של חוקי ניוטון 43 איור 21.3: מירוץ אופניים באולמות רוכב אופניים רוצה לנוע במהירות קבוע (גודל קבוע) בגובה קבוע, כך שינוע במעגל בעל רדיוס R. מקדם החיכוך הסטטי בין גלגלי האופניים לבין המשטח הוא µ. s מהו טווח המהירויות האפשריות? כוח הגרר על כל גוף שנע בתווך (גז או נוזל) פועל כוח התנגדות התווך. כוח זה נוצר בגלל התנגשויות הגוף עם מולקולות התווך והעברת התנע אליהן (ראו תנע בהמשך). כיוון כוח זה הפוך לכיוון מהירות הגוף. כאשר מהירות הגוף אינה גבוהה, הכוח פרופורציוני למהירות:. F = b v המקדם b תלוי בתכונות התווך והגודל וצורה של הגוף, אבף לא תלוי במהירות. דוגמה עד כה הזנחנו את כוח הגרר בטיפול בנפילה האוויר. הזנחה זו לא תהיה קטלנית לצנחנים. נניח שגוף נקודתי מתחיל ליפול ממצב מנוחה. נביר ציר x אנכית כלפי מטה, אז החוק השני של ניוטון יירשם בצורה הבאה: ma = mg bv (3.54) m dv = mg bv dt (3.55) זאת משוואה דיפרנציאלית ונצטרך לפתור אותה. לפני כן ננסה להוציא לפחות חלק מהמידע. בהתחלה, כשר מהירות קרובה לאפס, כוח הגרר bv זניח ביחס לכוח הכבידה mg והגוף מתחיל ליפול בתאוצה g. ככל שהמהירות גדלה, גם גודל כוח הגרירה גדל הכוח השקול mg bv קטן, אבל כיוונה נשאר כלפי מטה. לכן הגוף ממשיך לנועה בתאוצה כלפי מטה, אבל גודל התאוצה קטן. התאוצה מתאפסת, כאשר הכוח השקול מתאפס, bv,mg = מרגע זה הגוף ממשיך לנוע במהירות קבועה. זאת אומרת, שהגוף מגיע למהירות מירבית v. = mg/b כדי לפתור את המשוואה, במקום לחפש מהירות הפונקמיה של זמן, נחפש זמן כפונקציה של מהירות: כאשר מהירות אפס הזמן אפס, כאשר מהירות v הזמן.t(v)

48 44 פרק 3. חוקי ניוטון מכאן נקבל: dt dv = 1 dv/dt = m (3.56) mg bv v m t = 0 mg bv dv = m mg bv ln (3.57) b mg mg bv = e bt/m (3.58) mg מכיוון שנחנו כבר יודעים ש- 0 bv,mg mg bv = mge bt/m (3.59) v = mg ( ) 1 e bt/m b (3.60) רצוי תמיד לבדוק במקרים ברורים מראש. כאשר 1 bt/m פיתוח טיילור נותן e bt/m 1 bt m (3.61) v mg bt = gt b m (3.62) כאשר 1 bt/m e bt/m 0 (3.63) v mg b (3.64) בהתאם לניתוח הקודם שלנו. 3.5 מערכות מואצות ומסתבבות מערכות מואצות לא כל מערכות יחוס התמדיות ורצוי לדעת איך לטפל באלה שאינן. נחזור לדוגמה שלנו של שתי מערכות יחוס, עומדת ונעה, ונאפשר למערכת הנעה להיות מואצת בכיוון התנועה (לאורך קוו ישר). שני הצופים מודדים את התנועה של פרפר. הקשר בין המהירויות הוא v = v + V (3.65) כאשר v היא מהירות הפרפר לפי מדידות הצופה הועמד, v היא מהירותה של הפרפר לפי מדידות הנע, ו- V היא מהירות של הצופה הנע לפי מדידות של העומד. אם נגזור לפי זמן, נקבל a = a + A (3.66) כאשר a היא תאוצת הפרפר לפי מדידות הצופה הועמד, a היא תאוצת הפרפר לפי מדידות הנע, ו- A היא תאוצת הצופה הנע לפי מדידות של העומד. החוק השני של ניוטון במערכת העומדת (הנחנו שהיא התמדית) נראה כדלקמן: F other bodies = m a (3.67)

49 .3.5 מערכות מואצות ומסתבבות 45 כאן הדגשנו שהכוח השקול נגרם ע י גופים פיזיקליים אחרים. אם נציב את הקשר בין התאוצות, נקבל: m a = F total (3.68) F total = F other bodies + F inertia (3.69) F inertia = m A (3.70) לחוק השני של ניוטון במערכת הייחוס המואצת אותה מוצר כמו במערכת ההתמדית, אבל הכוח השקול הפעם מורכב מהכוחות שנגרמו ע י גופים פיזיקליים אחרים וכוח נוסף, כוח האינרציה, אשר לא קשור לשום גוף פיזיקלי. כוח זה מופיע רק בגלל שהמערכת איננה התמדית. לעתים קרובות קוראים לכוחות אלה מדומים. מבחינתי האם אינם מדומים, כי ניתן למדוד אותם. במקרה של מערכת מואצת כוח זה דומה לכוח הכבידה: הוא שווה למסה כפול ווקטור קבוע. למעשה, אילו היה אפשר להסתיר את כדור הארץ מניסיונאי, הוא לא היה יכולה להבדיל בין כוח האינרציה זה וכוח הכבידה. דוגמה גוף תלוי בחוט שמחובר לתקרת האוטובוס הנע בתאוצה קבועה a. איור 22.3: גוף תלוי במערכת מואצת מהי הזווית בין החוט לאנך? ננתח את המצב בשתי מערכות יחוס: התמדית (עומדת) ומואצת (אוטובוס). ביחס למערכת עומדת הגוף נע בתאוצה קבועה, לכן סכום הכוחות (כוח הכבידה וכוח המתיחות) שפועלים עליו m g + T = m a (3.71) מהמשולש של הכוחות tan θ = a g (3.72) במערכת האוטובוס הגוף נח, לכן הכום הכוחות (כוח הכבידה, כוח המתיחות וכוח האינרציה) חייב להיות אפס: m g + T + ( m a) = 0 (3.73) זאת אותה משוואה ווקטורית כמו במערכת ההתמדית, רק פרשנויות של שני הצופים שונות: הצופה העומד טוען שסכום הכוחות מספק לגוף תאוצה ואילו הצופה הנע טוען שבכום הכוחות (כולל את כוח האינרציה) הוא אפס.

50 46 פרק 3. חוקי ניוטון מערכות מסתובבות יש סוג נוסף של מערכות לא התמדיות, סוג חשוב מאוד כי אנחנו חיים באחת כזאת: מערכות מסתובבות. נניח שצופה אחר (עומד) הוא מערכת התמדית. צופה אחר מסתובב עם קרוסלה במהירות זוויתית קבועה. ω נשווה את התמונה שרואים שני הצופים כאשר הם מודדים תנועה של גוף בוחן כלשהו. איור 23.3: מערכת מסתובבת נתחיל בגוף בוחן אשר מסתובב עם הקרוסלה ונמצא כל הזמן באותה נקודה במרחק R מציר הסיבוב. מבחינת הצופה העומד, גוף זה נע בתאוצה צנטריפטלית אשר נגרמת ע י חיכוך בינו לבין המשטח המסתובב: f s = mω 2 R (3.74) כוח החיכוך זה מכוון כלפי המרכז. מבחינת הצופה המסתובב, הגוף נמצא במנוחה וסכום הכוחות שפועלים עליו חייב להיות אפס. לכן קיים כוח נוסף, כוח האינרציה, אשר פועל בכיוון מהמרכז החוצה ושווה בגודלו לכוח החיכוך f s + F inertia = 0 (3.75) F inertia = f s = mω 2 R (3.76) הסימן מינוס כאן מראה את הכיוון מהמרכז החוצה. כוח זה נקרא כוח צנטריפוגלי. על כל גוף במערכת מסתובבת פועל כוח צנטריפוגלי mω 2 R בכיוון מהמרכז החוצה, כאשר R זה המרחק מהגוף לציר הסיבוב. כוח זה פועל ללא קשר לתנועת הגוף במערכת המסתובבת. נניח שגוף בוחן אחר נע מהמרכז החוצה במהירות קבועה במערכת העומדת. לא פועלים עליו שום כוחות, לפי המדידות של הצופה העומד, כי אין לגוף תאוצה במערכת העומדת (התמדית) בה הוא נע לאורך קוו ישר. מבחינת הצופה המסתובב, הגוף מתרחק מהמרכז אבל המסלול שלו מתעקם. כוח צנטריפוגלי בלבד לא היה יכול לעקם את המסלול, כי הוא מכוון לאור הרדיוס, ואילו לכוח המעקם חייב להיות ניצב למהירות (תאוצה משיקית ותאוצה ניצבת - זוכרים?). הכוח שמעקם את המסלול נקרא כוח קוריוליס. הוא תמיד ניצב למהירות הגוף במערכת המסתובבת. כדוגמה נוספת ניקח גוף בוחן אשר נח במערכת העומדת במרחק R מציר הסיבוב.. מבחינת

51 .3.5 מערכות מואצות ומסתבבות 47 הצופה העומד, אין כוחות. מבחינת הצופה המסתובב, הגוף נע במעגל במהירות v, = ωr לכן יש לו תאוצה צנטריפטלית a r = ω 2 R ביכוון מרכז המעגל (כיוון חיובי לפי בחירתנו). פועלים עליו כוח צנטריפוגלי mω 2 R בכיוון מהמרכז וכוח קוריוליס F. c החוק השני של ניוטון אומר mω 2 R + F c = ma r = mω 2 R (3.77) F c = 2mω 2 R = 2mωv (3.78) כוח קוריוליס משחק תפקיד חשוב בהיווצרות המערבולות באטמוספירה של כדור הארץ. הוא גם אחראי לסיבוב של מישור התנודות של מטוטלת פוקו (בניין פיזיקה).

52 48 פרק 3. חוקי ניוטון

53 פרק 4 אנרגיה ועבודה 4.1 אנרגיה קינטית ועבודה ננסה ניסוי מחשבתי (קצת מטומטם אבל בכל זאת מקורב להבנה יומיומית): נניח שפיל ועכבר רצים ביחד. את מי מהם יותר קשה לעצור? ברור שכדי לעצור, צריך להפעיל כוח נגד התנועה. כאשר שואלים על יותר קשה הכוונה היא על מי צריך להפעיל כוח יותר גדול, או, אם אותו כוח מופעל על כל אחד מהם, על מי צריך להפעיל כוח במשך זמן רב יותר? הניסיון היומיומי שלנו אומר שאת הפיל יהיה יותר קשה לעצור. ואם שני פילים, אחד רץ ושני הולך באטיות? גם כאן ברור שיותר קשה לעצור את זה שרץ. ניסוי מחשבתי זה מרמז שיש טעם לייחס לגוף נע ערך שקשור למסה שלו ומהירותו, והוא ערך ווקטורי (כיוון הכוח היה חשוב). הווקטור הטבעי שמורכב ממסה ווקטור המהירות הוא p = m v ונקרא תנע. בדיון מעלה אין כלום שמוכיח באמת שהערך החדש מועיל ובעל משמעות מעבר למה שאנחנו כבר יודעים. הסיבה להגדרה זו הרבה יותר עמוקה ומעבר לנושאים של הקורס. בכל זאת, גם הרמז טוב. בדומה לניסוי המחשתי הנ ל, נשאל מי בין השניים (פיל ועכבר שרצים ביחד) לגרום להרס יותר גדול אם ננסה לעצור אותם באמצעות קיר זכוכית. התשובה די ברורה. אם נמשיך את קוו הדיון הזה, נגיע למסקנה שגודל ההרס תלוי במסה ובמהירות, אבל לא תלוי בכיוון המהירות. לכן ישנו ערך סקלרי, אשר בנוי ממסה ומהירות. את הערך הזה, אשר נקרא אנרגיה קינטית, בונים בצורה הבאה: K, = mv2 כאשר אנחנו 2 מקצרים בכתיבה ומסמנים v v. = המשמעות והתועלת האמתית של המושגים החדשים תתברר יותר מאוחר, כאשר נגיע לחוקי שימור ומערכות מורכבות מגופים רבים (יותר מגוף אחד). בפרק זה אנחנו נתמקד באנרגיה קינטית וכל הקשור לה. לפני זה כמה מילים על אז מה זה אנרגיה קינטית (תנע, וכו ), מעבר לנוסחה שכתבת?. שאלה זו נשאלת הרבה פעמים. די ברור הרצון לראות או להרגיש כל מושג כפי שאנחנו רואים או מרגישים לפחות חלק מהם (מיקום, כיוון, מהירות). אבל לא תמיד זה כל כך ישר כמו במקרה של, נגיד, מסה. יש להבין שלכל המושגים האלה יש משמעות כלשהי רק בגלל שישנה פעולת גומלין עם גופים אחרים. אילו היקום היה מורכב מגוף אחד בודד, שלא משפיע עליו שום גוף אחר והוא לא משפיע על שום גוף אחר, לא היה שום משמעות לכל המושגים, כולל אלה שאנחנו, כביכול, רואים. גם מהירות צריך למדוד מישהו, ותהליך המדידה כולל בתוכו השפעה מסוימת על הגוף הנמדד. מסה, שלכאורה אנחנו מבינים כאילו זה כמות החומר (הבנה שגויה לגמרי), למעשה נמדדת לפי החוק השני של ניוטון: אנחנו מפעילים כוח תקני ולפי תאוצת הגוף מסיקים מה המסה שלו. האשליה שאנחנו מבינים מסה או מהירות בדרכים אחרות היא בגלל שהתרגלנו 49

54 50 פרק 4. אנרגיה ועבודה למושגים אלה והם נכנסו לחיי היומיום שלנו, אמנם לא בצורה מדעית. המצב לא היה כזה לפני כמה מאות שנים. המושגים של פיזיקה נכנסים חלקם לחיי יומיום דרך טכנולוגיות חדשות. לעתים קרובות מושגים אלה נתפסים כאילו מובנים אבל למעשה מעוותים ומופשטים ומשמעותם לא מדעית שונה מזו שיש להם במדע (למשל, חשמל לא מקבלים משקע). מושגים פיזיקליים רבים לא מצאו את דרכם לשפת היומיום, או בגלל שחלקם בטכנולוגיה מוסתר או בגלל שהומצאו שמות אחרים. מושגים כאלה לא ניתן לראות אלה להבין כפי שצריך להבין את כל מושגי פיזיקה: מה הביטוי למושגים אלה בפעולת גומלין בין הגופים. כך נעשה. ברוח הדברים, אנחנו מתעניינים כאן בשינוי אנרגיה קינטית. מכיוון שמסת גוף נקודתי איננה משתנה, אנרגיה קינטית יכולה להשתנות רק בגלל שינוי גודל המהירות. מהירות משתנה בגלל הכוח אשר מופעל ע י גופים אחרים (כל הדיון מכאן ואילך מתקיים במערכת התמדית). כאשר מהירות משתנה, גם גודל וגם כיוון יכולים להשתנות. אנרגיה קינטית משתנה רק כאשר גודל המהירות משתנה, שינוי הכיוון לא משפיע. לכן לא רק ידע של כוח בלבד חשוב כדי לדעת את השינוי, אלא גם כיוונו ביחס למהירות. כדי לתאר את זה כמותית, ננתח את קצב השינוי של אנרגיה קוניטית: K = m 2 v2 = m v v 2 (4.1) dk d v = m v dt dt = m a v = F v (4.2) המכפלה הסקלרית של כוח ומהירות נקראת הספק הכוח. קצב השינוי של אנרגיה קינטית שווה להספק הכוח השקול המופעל על הגוף. בין היתר, הביטוי שקיבלנו מראה שרק רכיב הכוח שמקביל למהירות תורם לשינוי האנרגיה הקינטית. כדי למצוא את השינוי כולו מרגע t 1 עד לרגע t, 2 יש לסכום את כל השיניים במשך זמן זה: K = t2 t 1 F (t ) v(t )dt (4.3) בנוסחה זו הדגשנו שאנחנו צריכים לדעת את התלות של הכוח ושל המהירות בזמן, כדי לחשב את האינטגרל. האינטגרל עצמו, W 12 = t2 t 1 F (t ) v(t )dt (4.4) נקרא עבודה של הכוח F אשר נעשתה במשך זמן התנועה, מרגע t 1 עד לרגע t. 2 יכול להיות שבמקום שתהיה ידועה לנו תלות בזמן של הכוח, F נדע מה היה הכוח בכול נקודות המסלול, זאת אומרת, הכוח יהיה פונקציה של וקטור המקום, ( r). F = F נשים לב שהעתק אינפיניטזימאלי (קטן) הוא,d r = vdt לכן האינטגרל לעבודה יהפוך לאינטגרל מסוג אחר: W 12 = 2 1 F d r (4.5) יש להדגיש שעבודה נעשית במשך תנועה בין הרגעים t 1 ו- t 2 או בין הנקודות 1 ו- 2 במסלול. אין עבודה בלי מסלול, לכן הדגשנו את זה בסימון W. 12 משמעות הביטוי (??) שצריך לחלק את המסלול לקטעים קטנים, בכל קטע לחשב מכפלה סקלרית של הכוח השקול בהעתק הקטן. מכפלה זו תיתן לנו את העבודה הקטנה שנעשית בקטע הקטן הזה. בסופו של דבר יש לסכום את כל העבודות שנעשות בכל הקטעים של המסלול.

55 .4.1 אנרגיה קינטית ועבודה 51 איור 1.4: עבודה בקטע קטן. הערה 1: אם ידוע הכוח כפונקציה של המיקום, (r ) F = F בכל נקודות המסלול, ואין תלות הכוח במהירות, עבודה לאורך המסלול לא תהיה תלויה בזמן הנדרש כדי לעבור במסלול זה. חשוב אמנם שהגוף נע מנקודה 1 לנקודה 2. אם נהפוך את כיוון התנועה, מ- 2 ל- 1, נקבל עבודה W 21 ולא W. 12 במקרה, כאשר הכוח תלוי רק במיקום ולא תלוי בכיוון המהירות,.W 21 = W 12 הערה 2: עבודה כוללת נעשית ע י כוח שקול. עבודה של הכוח השקול שווה לשינוי אנרגיה קינטית שהוא אנרגיה קינטית בסוף פחות אנרגיה קינטית בהתחלה: K(t 2 ) K(t 1 ) = W 12, t 2 > t 1 (4.6) W 12 = = 2 1 t2 t 1 F vdt (4.7) F d r (4.8) יחד עם זאת, כל כוח עושה עבודה באופן בלתי תלוי, ועבודת הכוח השקול שווה לסכום העבודות שכל כוח עושה בנפרד: F = F 1 + F (4.9) W 12,tot = = F 1 d r + F d r (4.10) 2 1 F 2 d r +... (4.11) W 12,tot = W 12,F1 + W 12,F2 + W 12,... (4.12) תכונה זו מאפשרת לנו לדון בנפרד בעבודות שעושים כוחות שונים. דוגמה עבודה של כוח קבוע,. F = const במקרה זה 2 ( 2 ) W 12 = F d r = F d r = F ( r 2 r 1 ) (4.13) 1 1

56 52 פרק 4. אנרגיה ועבודה עבודה זו איננה תלויה במסלול אלא רק בנקודת ההתחלה r 1 ונקודת הסוף r. 2 ממש לא משנה איך הגוף הגיע מ- r 1 ל- r. 2 אם הגוף חוזר לנקודת התחלה העבודה היא אפס. כוח הכבידה הוא כוח כזה ועבודתו W g = m g ( r 2 r 1 ) (4.14) איור 2.4: עבודת כח הכבידה. אם נבחר מערכת הקואורדינטות כך שציר x יהיה אופקי וציר y יהיה אנכי עם כיוון חיובי כלפי מעלה, (g g, =,0) נקבל W g = mg(y 2 y 1 ) (4.15) דוגמה עבודה של כוח חיכוך קינטי על מישור אופקי אחיד. כוח חיכוך קינטי תלוי במהירות כי כיוונו נגד המהירות. איור 3.4: עבודת כוח חיכוך קינטי לאורך המסלול במישור אופקי.

57 .4.1 אנרגיה קינטית ועבודה 53 על מישור אופקי אחיד גודלו f k = µ k N = µ k mg. ביחד עם הכיוון וקטור הכוח יירשם בצורה הבאה f k = µ k mgˆv (4.16) בגלל התלות במהירות הביטוי המתאים לחישוב העבודה הוא (4 4):. W 12 = t2 = µ k mg t 1 ( µ k mgˆv) vdt (4.17) t2 t 1 v dt = µ k mgs 12 (4.18) כאשר s 12 היא הדרך שעבר הגוף במשך התנועה. הדרך תמיד חיובית והעבודה של חיכוך קינטי תמיד שלילית. אפשר היה לומר את זה מראש כי כיוון כוח החיכוך הפוך לכיוון המהירות בנקודת המגע, לכן המכפלה הסקלרית < 0 k v F בכל נקודות המסלול ובכל רגעי התנועה. במקרה זה העבודה תלויה במסלול ואיננה אפס כאשר הגוף חוזר לנקודת ההתחלה. דוגמה עבודה של כוח תגובה ניצב (נורמל) של משטח נח. אם המשטח נח, מהירות של הגוף בנקודת במגע עם המשטח משיקית למשטח וניצבת לכוח התגובה, לכן N v וכוח זה אינו עושה עבודה. אם המשטח עצמו נע, זה כבר לא נכון: שולחן עולה עושה עבודה על הגוף ששוכב עליו. דוגמה עבודה של כוח גרר.

58 54 פרק 4. אנרגיה ועבודה איור 4.4: כוח גרר. במקרה הזה F = b v (4.19) W = = b t2 t 1 ( b v) vdt (4.20) t2 t 1 v(t )dt (4.21) וכדי לחשב את העבודה צריך לדעת את גודל המהירות כפונקציה של זמן עבודה כאינטגרל לאורך המסלול הביטוי W = 2 1 F d r = 2 1 (F x (x, y, z)dx + F y (x, y, z)dy + F z (x, y, z)dz) (4.22) מציג עבודה כאינטגרל לאורך המסלול. אינטגרל זה שונה מהאינטגרלים הקודמים שנפגשנו אתם. כדי להבין איך מתמודדים עם האינטגרל הזה, נטפל בדוגמה. נניח

59 .4.1 אנרגיה קינטית ועבודה 55 שהכוח ניתן ע י F x = Ax 2 + By 2, F y = Cx 2 + Dxy, F z = 0 (4.23) כאשר,A,B,C D הם קבועים. משמעות הביטויים האלה היא שבכל נקודה (z,x),y אנחנו יודעים את הכוח באופן מיידי. כנקודה התחלתית ניקח את ראשית הקואורדינטות, 0) (0, 0, = 1 r והנקודה הסופית תהיה 0) a,. r 2 = (a, נחשב את העבודה של הכוח הזה בשלושה מסלולים שונים אשר מתחילים בנקודה 1 ומסתיימים בנקודה 2. איור 5.4: עבודה במסלולים שונים. מסלול A (שחור): הגוף נע לאורך ציר x מ- (0,0) ל- (0,a) (קטע 1) ולאחר מכן במקביל לציור y לנקודה הסופית (a,a) (קטע 2). העבודה תהיה סכום העבודות בשני בקטעים: W A = (F x dx + F y dy) + (F x dx + F y dy) (4.24) 1 הרכיב השלישי של הכוח, = 0 z F ולכן לא רושמים אותו כלל. בקטע 1 רק x משתנה מ- 0 עד a ואילו,y = 0 = const לכן a a (F x dx + F y dy) = F x (x, y = 0)dx = Ax 2 dx = Aa 3 /3 (4.25) 2 1 (F x dx + F y dy) = a בקטע 2 רק y משתנה מ- 0 עד a ואילו,x = a = const לכן F y (x = a, y)dy a 0 (Ca 2 + Day)dy = Ca 3 + Da 3 /2 (4.26)

60 56 פרק 4. אנרגיה ועבודה העבודה במסלול A תהיה W A = Aa 3 /3 + Ca 3 + Da 3 /2 (4.27) מסלול B (כחול): הגוף נע לאורך ציר y מ- (0,0) עד (a,0) (קטע 1) ולאחר מכן במקביל לציר x עד (a,a). שוב העבודה היא סכום של עבודות בשני הקטעים. בקטע 1 רק y משתנה מ- 0 עד a ואילו,x = 0 = const לכן 1 (F x dx + F y dy) = a 0 F y (x = 0, y)dy = a 0 0dy = 0 (4.28) (F x dx + F y dy) = בקטע 2 רק x משתנה מ- 0 עד a ואילו,y = a = const לכן a F x (x, y = a)dx = a (Ax 2 + Ba 2 )dx = Aa 3 /3 + Ba 3 (4.29) העבודה במסלול B שווה ל- W B = Aa 3 /3 + Ba 3 (4.30) מסלול C (אדום): הגוף נע לאורך קוו ישר y = x מ- (0,0) ל- (a,a). הפעם יש רק קטע אחד שבו,y = x, dy = dx לכן W C = = a 0 a 0 (F x (x, y = x) + F y (x, y = x))dx (A + B + C + D)x 2 dx = (A + B + C + D)a 3 /3 (4.31) בשלושת המסלולים העבודות שונות. כוח זה הוא כוח לא משמר. הכוח, שעבודתו איננה תלויה במסלול אלא רק בנקודה התחלתית ובנקודה סופית (כמו במקרה של כוח הכבידה) נקרא כוח משמר. כוח החיכוך הוא כוח לא משמר. שאלת הבנה האם הכוח 0) (x), 0, F = (F x הוא כוח משמר או לא? דוגמה עבודה של כוח הקפיץ (כוח אלסטי).

61 .4.1 אנרגיה קינטית ועבודה 57 איור 6.4: עבודת כוח הקפיץ. על הגוף שנע לאורך קוו ישר x פועל כוח אשר תלוי בקואורדינטה בצורה הבאה: F x = kx כאשר k הוא קבוע. עבודה של הכוח הזה היא W = x2 ( kx)dx = kx2 1 x 1 2 kx2 2 2 (4.32) תרגיל מעבירים גוף בעל מסה m על משטח עקום (ראו שרטוט) באטיות רבה (להזניח את המהירות) מנקודה (0,0) לנקודה (H,L). מקדם החיכוך הקינטי עם המשטח הוא µ. k לחשב את העבודה של כוח החיכוך וכוח הכבידה. מה התפקיד של תנאי האטיות? איור 7.4: עבודה של חיכוך במסלול עקום.

62 58 פרק 4. אנרגיה ועבודה נחשב תחילה את העבודות כאשר המסלול הוא מישור משופע עם בסיס L וגובה H (הזווית של השיפוע היא,tan θ = H/L בהתאם). איור 8.4: עבודת כח החיכוך בעלייה במישור משופע. עבודת כוח הכבידה לא תלויה במסלול ושווה W. g = mgh החיכוך הנו חיכוך קינטי, גודל הכוח הוא f, k = µn כאשר N הוא גודל כוח התגובה הניצב ( נורמל ). כיוון כוח החיכוך הוא נגד כיוון התנועה, לכן W k = µn ds (4.33) כאשר ds היא דרך בקטע קטן. במדרון N = mg cos θ לכן W k = µmg cos θs (4.34) כאן S הוא אורך השיפוע אשר קשור לאורך הבסיס בצורה הבאה: S. cos θ = L בסופו של דבר נקבל W k = µmgl (4.35) עכשיו נחזור לשאלה המקורית ונחלק את העליה העקומה לקטעים קטנים, כל אחד בערך משולש עם בסיס L, וגובה H.

63 .4.2 אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 59 איור 9.4: חלוקת מסלול עקום לקטעים קטנים. עבודv של כוח החיכוך בקטע זה תהיה W k = µn s (4.36) אבל כוח התגובה הניצב כבר איננו mg cos θ = mg L/ s אלא חייב לקיים את החוק השני של ניוטון (רכיב ניצב למשיק): mg cos θ N = ma n = ± mv2 (4.37) R בביטוי זה a n היא תאוצה ניצבת, אשר מכוונת למרכז המעגל המותאם (אל תוך המשטח אם הוא קמור בנקודה זו או כלפי חוץ אם הוא קעור, לכן מופיע ± במשוואה), ו R הוא רדיוס המעגל המותאם (רדיוס העקמומיות). מכיוון שנאמר שהמהירות זניחה, אפשר להזניח את התאוצה הניצבת. אז נקבל N = mg cos θ = mg L/ s (4.38) W k = µn s = µmg L (4.39) W k = W k = µmg L = µmgl (4.40) 4.2 אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה מושג אנרגיה פוטנציאלית נתמקד עכשיו בכוחות משמרים. נניח שעל גוף כלשהו פועל רק כוח משמר אחד. לפשטות, נדבר על כוח הכבידה ונסתפק בתנועה אנכית, כאשר ציר y אנכי וכיוונו חיובי

64 60 פרק 4. אנרגיה ועבודה כלפי מעלה. אם משחררים את הגוף מגובה y 1 ונותנים לו ליפול חופשית, בהשפעת כוח הכבידה בלבד, כאשר הוא מגיע לנקודה y, 2 אנרגיה קינטית שהוא מקבל תהיה שווה לעבודה של כוח הכבידה W = 2 1 F g d r = mg(y 2 y 1 ) = mg(y 1 y 2 ) (4.41) נניח עכשיו שאנחנו מרימים את הגוף מ- y 2 ל- y 1 באטיות, כך שאפשר להזניח את המהירות שלו. במהלך תנועה זו פועלים על הגוף שני כוחות: כוח הכבידה F g = m g וכוח שלנו, שהוא כוח חיצוני F ext. העבודה של הכוח השקול F = F g + F ext היא W = 1 2 F g d r F ext d r = K 2 K 1 = 0 (4.42) כי המהירות זניחה. לכן העבודה שאנחנו עשינו כדי להרים את הגוף W ext = = F ext d r = 1 2 F g d r (4.43) F g d r = mg(y 1 y 2 ) (4.44) 2 וזאת בדיוק האנרגיה הקינטית שהגוף יקבל אם נשחרר אותו והוא יחזור לנקודה y. 2 כל פעם שהגוף ישתחרר מהנקודה y 1 ויגיע לנקודה y 2 הוא יקבל אותה אנרגיה קינטית. אפשר לפרש את זה בצורה הבאה: קיים מאגר האנרגיה שמשתחררת כאשר גוף יורד מגובה אחד לאחר. כמות האנרגיה שמשתחררת כאשר הגוף יורד מהנקודה y 1 לנקודה y 2 שווה בדיוק לעבודה שאנחנו עשינו כאשר העברנו את הגוף מ- y 2 ל- y, 1 נגד כוח הכבידה. לאנרגיה הזאת קוראים אנרגיה פוטנציאלית. לפי הדיון שלנו, אנרגיה פוטנציאלית תלויה במיקום. מכאן ברור, למה רק לכוח משמר יש אנרגיה פוטנציאלית: אילו עבודת הכוח הייתה תלויה במסלול לא היינו יכולים לייחס אנרגיה למיקום אלא היינו צריכים לייחס אנרגיות שונות לכל מסלול. דבר זה אינו הגיוני. נסמן אנרגיה פוטנציאלית באמצעות.U( r) (כאן הדגשנו שהיא תלויה במיקום) ואת הכוח ששייך לאנרגיה זאת באמצעות (r ) F. כפי שהראנה: U 2 U 1 = U( r 2 ) U( r 1 ) = F ext d r (4.45) 1 2 = F d r (4.46) 1 להזכירכם: אנחנו מכניסים אנרגיה פוטנציאלית כאשר מעבירים את הגוף מ- 1 ל- 2 ע י הפעלת כוח חיצוני F ext = F במהירות אפסית. מצד שני, העבודה שווה לשינוי אנרגיה קינטית: W 12 = 2 1 F d r = K 2 K 1 (4.47) ביחד שני הביטויים נותנים לנו את חוק שימור האנרגיה בצורה הבאה: E 1 = K 1 + U 1 = K 2 + U 2 = E 2 (4.48)

65 .4.2 אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 61 לסכום E = K + U (4.49) קוראים אנרגיה מכנית. חשוב להדגיש: יש משמעות רק להפרש אנרגיות פוטנציאליות בין שתי נקודות, לכן ניתן לבחור ערך של אנרגיה פוטנציאלית בנקודה כלשהי (נקודת ייחוס) באופן שרירותי. לערך זה אין השפעה על תנועה. אנרגיה פוטנציאלית היא אנרגיית פעולת גומלין ושייכת לכל הגופים אשר נמצאים בפעולת גומלין זו. לדוגמה: אנרגיה פוטנציאלית של כוח הכבידה היא אנרגיית פעולת גומלין בין גוף לכדור הארץ ושייכת לגוף ולכדור הארץ גם יחד (אנרגיה פוטנציאלית אחת לשני הגופים, לא פעמיים). מכיוון שמסת כדור הארץ גדולה מאוד ואפשר להזניח את תנועתו, מקובל לייחס את האנרגיה הפוטנציאלית של הכבידה לגוף ו לשכוח מכדור הארץ אנרגיה פוטנציאלית של כוחות מסוימים אנרגיה פוטנציאלית של כוח הכבידה (לא אנרגיית גובה!): מהביטויים שקיבלנו קודם U g (2) U g (1) = 2 1 (m g) d r (4.50) = m g( r 2 r 1 ) (4.51) אם נבחר קואורדינטות כך ש- y היא קואורדינטה אנכית עם כיוון חיובי כלפי מעלה, נקבל U g (2) U g (1) = mg(y 2 y 1 ) (4.52) ננצל את זכותנו לבחור את נקודת הייחוס לאנרגיה פוטנציאלית ונקבע שכאשר y = y 0 ארנגיה U. g = U 0 כאן U 0 הוא קבוע כלשהו (שרירותי). אז אנרגיה פוטנציאלית של כוח הכבידה כפונקציה של קואורדינטה y תהיה U g (y) = U 0 + mg(y y 0 ) (4.53) את y 0 ו- U 0 ניתן לבחור מטעמי נוחות. אנרגיה פוטנציאלית של כוח אלסטי (כוח הקפיץ): לפי הפיתוח הקודם, U k (2) U k (1) = x2 ( kx)dx = kx2 2 x 1 2 kx2 1 2 (4.54) גם כאן ניתן לבחור נקודת יחוס באופן שריריותי. ישנה בחירה טבעית: כאשר הקפיץ אינו מתוח, = 0 x, הוא אינו יכול לעשות עבודה אם ישוחרר, לכן טבעי לבחור = (0) k U 0 ולקבל U k (x) = kx2 (4.55) 2 אם נשים לב לכך שכאן x מהווה שינוי אורך הקפיץ לעומת אורכו במצב הרפוי, נקבל ביטוי לאנרגיה פוטנציאלית של קפיץ בצורה הבאה: U k = ( l)2, l = l l 0 (4.56) 2 כאשר l 0 הוא אורך הקפיץ הרפוי ו- l הוא אורכו בפועל.

66 62 פרק 4. אנרגיה ועבודה חוק שימור האנרגיה ומשפט אנרגיה-עבודה כפי שמצאנו קודם, עבודה של כוח שקול שווה לשינוי אנרגיה קינטית: K 2 K 1 = W 12, (4.57) K = mv2 2 W 12 = 2 1 (4.58) F d r (4.59) זה הביטוי הכללי ביותר למשפט אנרגיה-עבודה. חשוב להדגיש שבמשפט זה עבודה תמיד שווה לאנרגיה קינטית בסוף (2) פחות אנרגיה קינטית בהתחלה (1). אם הכוח השקול הוא כוח משמר, אפשר לרשום את עבודתו כהפרש אנרגיות פוטנציאלית: W 12 = 2 1 F d r = [U(2) U(1)] (4.60) הצבה למשפטר אנרגיה-עבודה מביאה אותנו לחוק שימור האנרגיה בצורה הבאה: E 1 = K 1 + U 1 = K 2 + U 2 = E 2 (4.61) כאשר הכוח השקול מורכב מכמה כוחות, חלקם משמרים וחלקם לא משמרים, אפשר לפצל: F = F U + F no (4.62) W 12 = 2 1 = W 12 = F d r (4.63) 2 1 F U d r F no d r (4.64) = [U(2) U(1)] + W 12,no (4.65) כאשר האנרגיה הפוטנציאלית היא של הכוח המשמר F U ושאר העבודה W 12,no היא עבודה של כל הכוחות האחרים להוציא את הכוח F U. נחבר את האנרגיה הקינטית K ואת האנרגיה הפוטנציאלית של הכוח המשמר F U ונקבל: E 2 E 1 = W 12,no, E = K + U (4.66) הפיצול של עבודה יכול להעשות בדרכים שונות. דוגמה נניח שעל הגוף פועל כוח הכבידה, F g כוח הקפיץ F k וכוח חיכוך קינטי. F tot = F g + F k + F µ : f µ כל הצורות הבאות של משפט אנרגיה-עבודה נכונות: K 2 K 1 = W 12 = 2 1 F tot d r (4.67) כאן השינוי של אנרגיה קינטית שווה לעבודת הכוח השקול. [K 2 + U 2,g ] [K 1 + U 1,g ] = 2 1 [ F k + F µ ] d r (4.68)

67 .4.2 אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 63 כאן רק עבודת כוח הכבידה מבוטאת באמצעות אנרגיה פוטנציאלית שלו, שינוי סכום האנרגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית של הכבידה שווה לעבודה של שני הכוחות הנוספים, קפיץ וחיכוך. [K 2 + U 2,k ] [K 1 + U 1,k ] = 2 1 [ F g + F µ ] d r (4.69) כאן רק עבודת כוח הקפיץ מבוטאת באמצעות אנרגיה פוטנציאלית שלו, שינוי סכום הארנגיה הקינטית והאנרגיה הפוטנציאלית של הקפיץ שווה לעבודה של שני הכוחות הנוספים, כבידה וחיכוך. [K 2 + U 2,g + U 2,k ] [K 1 + U 1,g + U 1,k ] = 2 1 F µ d r (4.70) כאן כל הכוחות המשמרים מיוצגים באמצעות אנרגיה פוטנציאלית שלהם, שינוי האנרגיה המכנית (סכום של אנרגיה קינטית וכל האנרגיות הפוטנציאוליות) שווה לעבודה של הכוח הלא משמר הנותר. שימו לב: בלתי אפשרי לבטא את העבודה של כח לא משמר באמצעות אנרגיה פוטנציאלית, עבודה של כוח זה איננה אנרגיה ואי אפשר לחבר אותה לאנרגיה בכל צורה שהיא. תרגיל לולאת המוות: גוף קטן מחליק ללא חיכוך מגובה כלשהו כדי לעבור ללא התנתקות במסלול מעגלי שרדיוסו R מלמטה (לאורך המשטח הפנימי של המסלול). מאיזה גובה התחלתי מינימלי מעל לנקודה התחתונה של המעגל הוא צריך להתחיל לנוע? איור 10.4: לולאת המוות. למה נדרש גובה מינימלי? כי נדרשת מהירות מינימלית בנקודה העליונה: N + mg = mv2 R (4.71) N 0 v 2 gr (4.72)

68 64 פרק 4. אנרגיה ועבודה כדי לקשור את המהירות בנקודה העלינה של המעגל לגובה התחלתי ניעזר בחוק שימור האנרגיה (הכוח היחיד שמבצע עבודה הוא כח הכבידה, והוא משמר). נבחר את נקודת הייחוס לאנרגיה פוטנציאלית בנקודה העליונה של המעגל, אז בנקודה זו לגוף תהיה רק אנרגיה קינטית ו- E. = mv2 בנקודת ההתחלה לגוף יש רק אנרגיה 2 פוטנציאלית ולכן (2R E. = mg(h חוק שימור האנרגיה קובע שלגוף אותה אנרגיה בכל נקודות המסלול, לכן mv 2 = mg(h 2R) 2 (4.73) v 2 = 2g(H 2R) gr (4.74) H 5 2 R (4.75) תרגיל גוף קטן בעל מסה m נופל אנכית ממצב מנוחה מגובה h על קפיץ אנכי רפוי בעל קבוע קפיץ k. הקפיץ מספיק ארוך. מהי ההתכווצות המירבית של הקפיץ ומהי המהירות המירבית של הגוף? אין חיכוך ואין איבוד האנרגיה כאשר הגוף פוגע בקפיץ. איור 11.4: נפילה על קפיץ. ישנם שני כוחות: כוח הכבידה וכוח הקפיץ, שניהם משמרים ולשניהם אנרגיה פוטנציאלית. לכן האנרגיה המכנית E = mv2 + mgy + k( l)2 = const נשמרת. כאן 2 2 בחרנו את הציר y אנכית כלפי מעלה ואת נקודות הייחוס לשתי האנרגיות הפוטנציאליות במיקום הקצה העליון של הקפיץ הרפוי. אנרגיה זו שווה לאנרגיה בהתחלה שהיא.v = 0, y = h, l כי בהתחלה = 0,E = mgh כאשר הגוף פוגע בקפיץ והקפיץ מתכווץ, y = l, l > 0 (4.76) mv 2 2 mg l + k( l)2 2 = mgh (4.77) (4.78)

69 .4.2 אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 65 הקפיץ ממשיך להתכווץ עד אשר הגוף נעצר, = 0 v, לכן mg( l) max + k( l)2 max = mgh (4.79) 2 ( l) max = mg mg ( mg ) k + k k + h (4.80) הגוף מגיע למהירות המירבית שלו ברגע כאשר תאוצתו מתאפסת, ז א סכום הכוחות מתאפס: mg k( l) c = 0 (4.81) ( l) c = mg k (4.82) mvmax 2 = mgh + mg( l) c k( l)2 c (4.83) 2 ( 2 vmax 2 = 2g h + mg ) (4.84) 2k קשר בין אנרגיה פוטנציאלית וכוח מצאנו קשר בין כוח משמר לבין אנרגיה פוטנציאלית שלו באמצעות אינטגרל העבודה: 2 U(2) U(1) = F d r (4.85) 1 אם ניתנת אנרגיה פוטנציאלית, אפשר למצוא את הכוח. אנחנו נעשה את זה רק במקרה חד-ממדי, כאשר הביטוי הנ ל מקבל צורה פשוטה יותר: U(x 2 ) U(x 1 ) = 2 1 F x (x )dx (4.86) לצורך זה נרשום את הנוסחה לשתי נקודות סמוכות, x 1 = x ו- :x 2 = x + dx U(x + dx) U(x) = F x dx (4.87) ( ) du U(x + dx) U(x) = dx (4.88) dx F x = du (4.89) dx שאלת הבנה האיור מראה אנרגיה פוטנציאלית כפונקציה של הקואורדינטה x. מהו כיוון הכוח בנקודות המסומנות? תכונות תנועה חד-ממדית באנרגיה פוטנציאלית חוק שימור האנרגיה מאפשר ניתוח איכותני מלא של תנועת החלקיק באנרגיה פוטנציאלית.U(x) נתבונן בדוגמה שבאיור.

70 66 פרק 4. אנרגיה ועבודה איור 12.4: תנועת חלקיק באנרגיה פטנצניאלית. משמעות העקומה של U(x) היא שכאשר חלקיק נמצא בנקודה x אנרגיה פוטנציאלית שלו ידועה מידית ושווה.U(x) אם אין כוחות אחרים, אנרגיה מכנית K + U = mv2 2 + U(x) = m 2 ( ) 2 dx + U(x) = E = const (4.90) dt נשמרת ושווה לאותו ערך E בכל רגע של תנועת החלקיק ובכל נקודה שבה יימצא החלקיק במהלך התנועה. אם האנרגיה המכנית E ידועה, והחלקיק נמצא בנקודה x, אז אנחנו מיד יודעים גם את האנרגיה הקינטית שלו בנקודה זו K. = E U אנרגיה קינטית 0 mv2 K = ושווה לאפס רק אם המהירות שווה לאפס. אם נעביר קוו y = E 2 באיור עם האנרגיה הפוטנציאלית, אז בכול נקודה x ההפרש בין y = E לבין U(x) y = ייתן לנו אנרגיה קינטית. המסקנה המיידית: חלקיק לא יכול להימצא בנקודה x שבה U(x) E, < כי זה היה אומר שלחלקיק יש אנרגיה קינטית שלילית - דבר בלתי אפשרי. בנקודות שבהן U(x) E = מהירות החלקיק מתאפסת. אם בנקודה כזאת שיפוע של קוו U(x) אינו אפס (המשיק אינו מקביל לציר x( אז הכוח על החלקיק לא מתאפס. אם יש כוח, יש תאוצה. מכיוון ש F, = du כיוון הכוח מנוגד לכיוון עליית האנרגיה dx הפוטנציאלית. אם = 0 du, ז א בנקודות מקסימום ומינימום של אנרגיה פוטנציאלית, dx הכוח מתאפס ותאוצה שם אפס. ננתח כמה מסלולים אם אנרגיות מכניות שונות. במסלול הירוק הקוו הישר של אנרגיה מכנית בכל הנקודות x נמצא מעל הקוו של אנרגיה פוטנציאלית. זה אומר שמהירות לא מתאפסת באף נקודה ולכן כיוון המהירות לא יכול להשתנות. הגוף נע כל הזמן באותו כיוון עד אינסוף. במסלול הכחול אנרגיה מכנית שווה לאנרגיה פוטנציאלית בנקודה אחת בלבד. בנקודה זו מהירות הגוף מתאפסת, אבל < 0 du F x = ולכן התאוצה איננה אפס. אם dx הגוף התחיל את תנועתו בכיוון הנקודה הזאת, הוא יגיע עד לנקודה שבה מהירותו אפס ותאוצתו בכיוון הפוך לתנועתו המקורית. לכן הוא חוזר ומתחיל לנוע לכיוון ההפוך לכיוון התחלתי. נקודה זו, שבה המהירות התאפסה, נקראת נקודת החזרה. לאחר שהגוף מוחזר כיוון מהירותו כבר לא משתנה והוא ממשיך עד אינסוף. במסלול האדום ישנן שתי נקודות החזרה, בכל אחת מהן מהירות הגוף מתהפכת. זה אומר, שהוא מבצע תנועה מחזורית (מתנדנד) בין שתי נקודות החזרה. בכל שלושת המקרים הנ ל הקטעים המקווקווים של המסלולים מסמנים אזורים אסורים: הגוף

71 .4.2 אנרגיה פוטנציאלית וחוק שימור האנרגיה 67 אינו יכול להימצא באזורים אלה כי אחרת אנרגיה קינטית שלו הייתה חייבת להיות שלילית. אם נשים גוף אם אנרגיה מכנית, השווה לאנרגיה פוטנציאלית מקסימלית, בנקודת המקסימום עצמה, אז גם המהירות וגם התאוצה שלו תהינה שוות לאפס. זאת נקודת שיווי משקל. אם נוסיף קצת אנרגיה לגוף, הוא יתחיל לנוע. ככל שהוא יתרחק מנקודת שיווי המשקל אנרגיה קינטית שלו תגדל ומהירות שלו תגדל, לכן הוא יברח מהנקודה הזאת. נקודה זו היא נקודת שיווי משקל לא יציב. אם נשים גוף אם אנרגיה מכנית, השווה לאנרגיה פוטנציאלית מינימלית, בנקודת המינימום עצמה, אז גם המהירות וגם התאוצה שלו תהינה שוות לאפס. גם זאת נקודת שיווי משקל. אם נוסיף קצת אנרגיה לגוף, הוא יתחיל לנוע. ככל שהוא יתרחק מנקודת שיווי המשקל הזו, אנרגיה קינטית שלו תקטן ובהתאם גם המהירות, והגוף יישאר מתנדנד בין שתי נקודות החזרה לא רחוק משיווי המשקל. זו נקודת שיווי משקל יציב.

72 68 פרק 4. אנרגיה ועבודה

73 פרק 5 מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) עד כה כל העיסוק שלנו היה בתנועה של חלקיק (גוף נקודתי) בודד. בפועל, הגופים שמסביב אינם נקודתיים (יש להם מבנה פנימי) ולעתים קרובות יש צורך להתייחס למספר גופים ביחד. כאשר ישנו מספר קטן של גופים נקודתיים (שניים) או הקשר בין הגופים פשוט (כמו במקרה של מערכות תלייה עם גלגלות), עוד אפשר לרשום את החוק השני של ניוטון עם כל האילוצים במערכת ולנסות לפתור את המשוואות. המשימה מתחילה להיות בלתי אפשרית מהר מאוד ולכן יש צורך לפתח שיטות מתאימות למערכות גופים. בהמשך אנחנו נדבר, לפחות בהתחלה, אל מערכות גופים נקודתיים (חלקיקים), כי כל גוף לא נקודתי אפשר לתאר כאוסף חלקיקים. נחלק את כל היקום לשני חלקים: נשייך מספר גופים למערכת הגופים שבה אנחנו מתעניינים, ואת שאר הגופים לעולם החיצוני. בדרך זו כל גוף ביקום או שייך למערכת שלנו או הוא גוף חיצוני. איור 1.5: מערכת ועולם חיצוני. כדי שיהיה נוח, נמספר את חלקיקי המערכת: חלקיק i יהיה מתואר ע י מסה שלו m, i וקטור המקום שלו r i ומהירות שלו v. i בהתאם, כל ערך פיזיקלי ששייך לגוף זה, יסומן באותו אינדקס i. לפני שנתחיל לטפל במערכת, נצטרך להכיר מושג נוסף: תנע. 69

74 70 פרק 5. מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) 5.1 תנע וחוק שני של ניוטון ניזכר בניסוי המחשבתי עם פיל ועכבר. הגענו אז למסקנה שלכול גוף בלע מסה m ונע במהירות v אפשר לשייך ערך וקטורי p, = m v אשר נקרא תנע. כדי להבין מה המשמעות של הערך הזה, קודם כל נבדוק את קצב השינוי שלו (נגזרת לפי זמן): d p dt = md v dt = m a = F (5.1) הביטוי האחרון הוא החוק השני של ניוטון בצורה כללית יותר (למה - נראה יותר מאוחר). אנחנו רואים שכוח שווה לקצב שינוי התנע. שינוי התנע במשך זמן כלשהו יתקבל מכאן בצורה הבאה: p = p(t 2 ) p(t 1 ) = t2 t 1 F (t )dt (5.2) האינטגרל באגף ימין נקרא מתקף. מבנהו הגיוני ביותר: כדי לשנות תנע צריך להפעיל כוח במשך זמן. 5.2 ערכים של מערכת נחזור למערכת חלקיקם ממוספרים. הניוסי קובע שקיימים מושגים של מסת המערכת, תנע המערכת ואנרגית המערכת. מסת המערכת היא סכום המסות של כל החלקיקים במערכת: M = i m i (5.3) גם תנע המערכת הוא סכום התנעים של כל החלקיקים במערכת: P = i p i = i m i v i (5.4) אזהרה: אין כלל דומה ל מהירות המערכת. גם אנרגיה קינטית של המערכית היא סכום אנרגיות קינטיות של כל מרכיביה: K = i K i = i mv 2 i 2 (5.5) i j לאנרגיה פוטנציאלית של המערכת יש צורה מורכבת יותר. לכל חלקיק i שבמערכת יכולה להיות פעולת גומלין אם העולם החיצוני. פעולת גומלין זו יכולה להתבטא בצורת אנרגיה פוטנציאלית שתסומן כ- ) i U, i,ext r ) כאשר כאן מודגש שאנרגיה פוטנציאלית זו תלויה במיקום של החלקיק. בנוסף, לכול זוג חלקיקים, i ו- j, יכולה להיות פעולת גומלין בין השניים שמתבטאת באנרגיה פוטנציאלית ) j U. ij r ) i, r כאן מודגש שאנרגיה זו תלויה במיקומם של שני הגופים. חשוב לזכור שהאנרגיה U ij שייכת לזוג הגופים ולא לכל אחד מהם בנפרד. הניסוי קובע שאנרגיה פוטנציאלית של המערכת היא סכום של כל האנרגיות הנ ל: U = U i,ext ( r i ) + 1 U ij ( r i, r j ) (5.6) 2 i

75 .5.3 מרכז המסה 71 בסכום השני המקדם 1/2 דואג לחישוב של האנרגיות רק פעם אחת (לזוג) ולכך שלא תיכנס (בטעות) אנרגית הגוף בגלל הפעולה על עצמו (לא קיים דבר כזה). בסופו של דבר, אנרגיה מכנית של המערכת תהיה E = K + U = i mv 2 i 2 + i U i,ext ( r i ) + 1 U ij ( r i, r j ) (5.7) 2 i j אם נדייק עוד יותר, אנרגיה פוטנציאלית של זוגות תלויה רק במרחק בין הגופים, לכן הביטוי הסופי ייראה כך: E = K + U = i mv 2 i 2 + i U i,ext ( r i ) + 1 U ij ( r i r j ) (5.8) 2 i j 5.3 מרכז המסה במקרים רבים אנחנו מעוניינים בתיאור של המערכת כאילו היא גוף אחד: במטוס עם 200 נוסעים כל אחד מהם יכול לנוע כרצונו (במסגרת האילוצים של המרחב הפנימי של המטוס) ואין לנו שום עניין להתייחס לתנועתם כאשר מדובר על מסלול הטיסה. רץ מרתון אינו גוף נקודתי, ידיו ורגליו נעות בכיוונים שונים, ובכל זאת זה לא הדבר המעניין אותנו. כדי לתאר מערכת כאילו היא גוף נקודתי (אם בכלל זה אפשרי), יש להגדיר את המשימה בצורה טובה יותר. אנחנו נהיה מעוניינים להיות כמה שיותר קרוב לחוק השני של ניוטון, כפי שהוא נראה לחלקיק נקודתי: d p dt = F (5.9) אנחנו מתייחסים לתנע בגלל שידוע מהו תנע המערכת אבל מהירות המערכת לא הוגדרה כראוי. בכל זאת, לחלקיק נקודתי הקשר בין תנע, מסה ומהירות הוא כדלקמן: p = m v (5.10) אם אנחנו רוצים לתאר את המערכת שלנו כגוף נקודתי (במידת האפשר), כדאי שיהיה קשר דומה, לכן אנחנו מגדירים את מהירות המערכת בצורה הבאה: P = MV cm (5.11) P V cm = M = i m i v i (5.12) מהירות זו נקראת מהירות מרכז המסה. האם מהירות זו היא מהירות של נקודה כלשהי (מרכז המסה), ז א האם ניתן להגדיר נקודה עם וקטור המיקום R cm כך ש-? d R cm אכן כן: = V dt cm V cm = = d dt i m i v i M ( i m i r i M = 1 M ) i m i i m i d r i dt (5.13) (5.14)

76 72 פרק 5. מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) d R cm אז dt לכן, אם V cm = R cm = i m i r i M + R 0 (5.15) כאשר R 0 הוא וקטור קבוע שלא קשור לשום פרמטר של המערכת. כאשר המערכת מורכבת מחלקיק אחד בלבד, הגיוני לזהות את מיקום מרכז המסה כמיקום של החלקיק עצמו, לכן = 0 0 R. משמעות הדבר, שהצלחנו לאתר נקודה במרחב שאפשר לשייך לנקודה הזאת את כל המסה ואת כל התנע של המערכת. הקשר בין מהירות הנקודה זאת, המסה והתנע הוא בדיוק כמו הקשר במקרה של חלקיק נקודתי בודד. נבדוק עכשיו מהו קצב השינוי של תנע המערכת (הרי אנחנו מעוניים בחוק השני של ניוטון!): d P dt = i d p i dt (5.16) לכל חלקיק d p i dt = F i (5.17) כאשר הכוח השקול אשר פועל על חלקיק i מורכב מהכוח שמפעיל שאר העולם, F i,ext והכוחות שמפעילים עליו כל החלקיקים האחרים של המערכת: j i F j i : d p i dt = F i,ext + j i F j i (5.18) d P dt = i F i,ext + i,j i F j i (5.19) הסכום השני מתאפס זהותית בגלל החוק השלישי של ניוטון, ואנחנו נשארים עם החוק השני של ניוטון למערכת בצורה הבאה: d P dt = i F i,ext F ext (5.20) זאת תוצאה משמעותית ביותר, היא מראה שרק כוחות חיצוניים יכולים לשנות את תנע המערכת. אם אין כוחות חיצוניים, התנע נשאר קבוע, ואם התנע נשאר קבוע, אז גם מהירות מרכז המסה V cm = P M/ נשארת קבועה. דוגמה נחשב את מיקום מרכז המסה של הריבוע שלצלעותיו אין מסה.

77 .5.3 מרכז המסה 73 איור 2.5: מרכז המסה של מערכת גופים נקודתיים. בקדקוד (0,0) נמצאת מסה נקודתית m, בקדקוד (0,a) נמצאת מסה נקודתית 2m, בקדקוד (a,0) נמצאה מסה נקודתית 3m ובקדקוד (a,a) נמצאת מסה נקודתית 4m. כל החישוב הוא הצבה לביטוי i R cm = m i r i M, M = m i (5.21) i M = m + 2m + 3m + 4m = 10m (5.22) X cm = Y cm = i m ix i M i m iy i M m 0 + 2m a + 3m 0 + 4m a = 10m m 0 + 2m 0 + 3m a + 4m a = 10m = 3a 5 = 7a 10 (5.23) (5.24) דוגמה מערכת מורכבת משתי תת-מערכות שמסות שלהן, M 1 ו- M 2 ידועות. כמו כן, מרכזי המסה שלהן ידועים גם כן: R 1,cm ו-. R 2,cm יש למצוא את מרכז המסה של כל המערכת.

78 74 פרק 5. מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) איור 3.5: מרכז המסה של מערכת מורכבת. לפי הביטוי שהוכחנו, mi r i R cm = (5.25) mi 1 = m i r i + 2 m i r i 1 m i + 2 m (5.26) i מכיוון שכל חלקיק שייך או לתת-מערכת 1 או לתת-מערכת 2. בנוסף, ידוע m i = M 1, 1 m i = M 2 (5.27) 2 1 R 1,cm = m i r i (5.28) M 1 m i r i = M 1R1,cm (5.29) 1 m i r i = M 2R2,cm (5.30) 2 עכשיו הצבה פשוטה נותנת לנו R cm = M 1 R 1,cm + M 2 R2,cm M 1 + M 2 (5.31) תרגיל בדיסקה אחידה בעלת רדיוס R עושים חור מעגלי בעל רדיוס r במרחק d ממרכז הדיסקה. מצאו את מרכז המסה של הגוף הנותר (דיסקה עם חור).

79 .5.3 מרכז המסה 75 איור 4.5: מרכז המסה של דיסקה עם חור. אם נחזירה את החומר שהוצא נקבל דיסקה אחידה שמרכז המסה שלה במרכזה (מטעמי סימטריה). שוב מטעמי סימטריה, מרכז המסה של הדיסקה עם חור נמצא בקוטר שמחבר את מרכז הדיסקה עם מרכז החור, בצד שהחומר נשאר. נבחר ציר x לאורך הקוטר הזה וראשית הקואורדינטות במרכז הדיסקה. נסמן את מיקום מרכז המסה ב X. cm נסמן ב M 0 את מסת הדיסקה לפני שהחומר הוצא ממנה. בגלל אחידות הדיסקה, מסת החומר שהוצא פרופורציונית לשטח שלו, m hole = M 0 πr 2 πr 2 (5.32) לפיכך, מסת הגוף הנוצר היא M rest = M 0 M hole = M 0 R 2 r 2 R 2 (5.33) אם נחזיר את החומר שהוצא, נקבל דיסקה אחידה שמורכבת משתי תת-מערכות: דיסקה קטנה עם המסה M hole ומרכז המסה X, hole = d והגוף המחורר עם המסה M rest ומרכז המסה ב X. cm מרכז המסה של הדיסקה כולה נמצא בראשית הקואורדינטות. לפי הדוגמה הקודמת, נקבל 0 = M hole ( d) + M rest X cm M 0 (5.34) r 2 X cm = d M hole = d (5.35) M rest R 2 r 2 תרגיל בן אדם, שמסתו m, נמצא בקצה אחד של סירה בעלת מסה M ואורך L. קצה זה הוא הרחוק מהגדה. האיש מחליט לעבור לקצה השני ולהתקרב לגדה. באיזה מרחק הוא יהיה קרוב יותר לגדה כאשר יגיע לקצה השני? אין חיכוך בין הסירה למים.

80 76 פרק 5. מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) איור 5.5: בן אדם על סירה. האיש והסירה הם מערכת שלא פועלים אליה כוחות חיצוניים בכיוון אופקי. לכן רכיב אופקי של תנע המערכת נשאר קבוע במשך כל התנועה. תנע זה היה אפס בהתחלה (הכל היה במנוחה), לכן הוא יישאר אפס במשך כל התנועה. מהירות מרכז המסה היא V cm = P M/ ובמקרה זה גם היא אפס. המסקנה: מרכז המסה של המערכת לא זז, מיקומו בהתחלה זהה למיקומו בסוף. כאשר האיש נע לקראת הגדה (ימינה, כדי לקצר), הסירה נעה שמאלה. נניח שמרכז המזה של הסירה נמצא במרחק d מהקצה השמאלי של הסירה. נבחר ראשית הקואורדינטות בנקודה שבה היה האיש בהתחלה. מערכת הקואורדינטות הזאת היא מערכת של הגדה ולא נעה עם הסירה. כאשר האיש בקצה השני, הקואורדינטה שלו תהיה x, וזה בדיוק מה שאנחנו מחפשים: שינוי המיקום שלו ביחס לגדה. בהתחלה מרכז המסה של המערכת סירה+איש נמצא ב X cm = m 0 + Md m + M (5.36) כאשר האיש נמצא בקצה השני של הסירה, בקואורדינטה x, הקצה השמאלי של הסירה נמצא בקואורדינטה x L ואילו מרכז המזה של הסירה (הסירה בלבד) נמצא ב- x. L + d לכן מרכז המסה של המערכת יהיה בנקודה X cm = mx + M(x L + d) m + M (5.37) משווים את שני ביטויים (מרכס המסה של המערכת לא זז!) ומקבלים: x = ML M + m (5.38) בדיקת סבירות התוצאה: אם מסת האיש קטנה בהרבה ממסת הסירה, די ברור שהסירה כמעט ולא תזוז. אכן, נזניח את m ביחס ל- M ונקבל x. = L אם, להפך, הסירה קלה מאוד, אז היא תזוז והאיש יישאר במקום ביחס לגדה. אכן, אם M, m אז 0 LM/m.x =

81 .5.4 אנרגיה של מערכת אנרגיה של מערכת אחרי שהצלחנו לשייך את כל המסה וכל התנע למרכז המסה, נבדוק האם אפשר לעשות אותו דבר עם אנרגיה. אנרגיה קינטית של המערכת היא K = i mv 2 i 2 (5.39) נחלק את המהירות של גוף i למהירות מרכז המסה ומהירות שלו ביחס למרכז המסה: K = i = MV cm i m i v i = i i = i m i Vcm i m i v 2 i 2 m i v i ( i v i = V cm + v (5.40) v = v i V cm (5.41) הצבה לביטוי של אנרגיה קינטית תיתן m i v 2 i + m ivcm v i 2 i (5.42) + V cm m i v i (5.43) i נבדוק בנפרד את הסכום האחרון: m i ( v i V cm ) (5.44) m i ) V cm = P M V cm = 0 (5.45) לכן אנרגיה קינטית של המערכת מקבלת את הצורה הבאה: K = MV cm i m i v 2 i 2 (5.46) האנרגיה מורכבת משני חלקים. החלק הראשון הוא האנרגיה הקינטית של מרכז המסה: אילו המערכת הייתה באמת גוף נקודתי זאת הייתה אנרגיה קינטית שלה. החלק השני הוא אנרגיה קינטית של תנועת חלקי המערכת ביחס למרכז המסה. החלק הזה תמיד חיובי ומתאפס רק כאשר כל חלקי המערכת נעים באותה מהירות, ז א המערכת כולה נעה כגוף נקודתי אחד. לחלק השני קוראים אנרגיה קינטית פנימית. המסקנה: בניגוד לתנע אי אפשר לשייך את כל האנרגיה הקינטית למרכז המסה. נבדוק עכשיו את קצב השינוי של אנרגיה קינטית של המערכת: dk dt = i dk i dt = i F i v i (5.47) = i [ F i,ext + j i F j i ] v i (5.48) באופן כללי, אנרגיה קינטית של המערכת משתנה גם בגלל עבודת כוחות חיצוניים וגם בגלל עבודת כוחות פנימיים.

82 78 פרק 5. מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) נפנה עכשיו לטיפול באנרגיה פוטנציאלית: U = U ext + U int (5.49) U ext = U i,ext ( r i ) (5.50) i U int = 1 U ( r i, r j ) (5.51) 2 i j החלק הראשון הוא בגלל פעולת גומלין עם העולם החיצוני והוא, באופן כללי, תלוי במיקומם של כל חלקי המערכת. לכן אי אפשר לשייך אותו למרכז המסה, בדרך כלל, להוציא מקרה מיוחד של כוח הכבידה: U g,ext = i m i g r i = g ( i m i r i ) = g M R cm (5.52) ז א, אנרגיה פוטנציאלית של כוח כבידה שווה לאנרגית הכבידה שייתה אילו כל המסה הייתה מרוכזת במרכז המסה. האנרגיה הפוטנציאלית הפנימית לא קשורה למרכז המסה כלל. 5.5 שימור האנרגיה ומשפט אנרגיה-עבודה למערכת כדי להבין את שימור האנרגיה למערכת, ננתח קודם מקרה מיוחד של שני חלקיקים וכוח משמר בלבד בין השניים, ללא כוחות נוספים. שינוי האנרגיה הקינטית של השניים הוא dk = dk 1 + dk 2 = F 2 1 d r 1 + F 1 2 d r 2 (5.53) = F 2 1 d( r 1 r 2 ) (5.54) השורה האחרונה התקבלה מהחוק שלישי של ניוטון: F 1 2 = F 2 1 d r 1 (5.55) וזהות d r 1 d r 2 = d( r 1 r 2 ) (5.56) אם הכוח בין השניים כוח משמר, הקשר שלו לאנרגיה פוטנציאלית כדלקמן: F 2 1 d( r 1 r 2 ) = du 12 (5.57) במילים פשוטות: העבודה שנעשית על שני הגופים מגיעה מהאנרגיה הפוטנציאלית של השניים. אפשר לכתוב את זה בצורה הבאה: dk = du 12 K + U 12 = const (5.58) ז א סכום האנרגיות הקינטיות והאנרגיה הפוטנציאלית הפנימית לא משתנה.

83 5.6. התנגשויות 79 נרחיב עכשיו את הניתוח שלנו למערכת חלקיקים שרירותית, כאשר יש גם כוחות חיצוניים, חלקם משמירם (מסומנים ב- U) וחלקם לא משמרים (מסומנים ב-.NO ( שינוי האנרגיה הקינטית יהיה dk = i [ F i,ext,u + F i,ext,no + j i F j i ]d r i (5.59) = i du i,ext + i dw i,no 1 du int,ij (5.60) 2 i,j i = du ext + dw ext,no du int (5.61) בסופו של דבר, נקבל את משפט אנרגיה-עבודה למערכת חלקיקים בצורה הבאה: K + U ext + U int = W ext,no (5.62) במערכת חלקיקים אין כוחות פנימיים לא משמרים. אם אנחנו רוצים להרחיב את המשפט למערכת גופים עם מבנה פנימי, יש להוסיף לאגף ימין גם את העבודה של כוחות לא משמרים בין גופי המערכת. אחת המסקנות החשובות היא שגם אם אין כוחות לא משמרים ואין אנרגיה פוטנציאלית חיצונית, ייתכן מעבר האנרגיה בין אנרגיה קינטית לבין אנרגיה פוטנציאלית פנימית. מסקנה נוספת היא שאם המבנה הפנימי של המערכת לא משתנה (המרחקים בין זוגות הגופים לא משתנים), אנרגיה פוטנציאלית פנימית נשארת קבועה ואז K + U ext = W ext,no (5.63) אנחנו נראה את החשיבות של המסקנה הזו בתנועה סיבובית של גוף קשיח. 5.6 התנגשויות סוג חשוב של פעולת גומלין הוא התנגשויות. בהתנגשות אנחנו מתייחסים לזמן הפעולה של הכוחות בין הגופים כזמן קצר מאוד (זניח, אפסי). כתוצאה מכך, הכוחות שפועלים במהלך ההתנגשות ובגללה גדולים מאוד (שואפים לאין סוף אם זמן ההתנגשות שואף לאפס), והשפעת שאר הכוחות, שנשארים סופיים, זניחה. דוגמה פשוטה היא פגיעת כדור בקיר. כתוצאה של ההתנגשות תנע של הכדור משתנה, לכן F dt (5.64) שונה מאפס. כאן F הוא כוח שמפעיל הקיר על הכדור. אם זמן המגע עם הקיר (זמן ההתנגשות) שואף לאפס אז כוח הקיר שואף לאינסוף. בזמן ההתנגשות פועל על הכדור גם כוח הכבידה, אבל המתקף שלו m gdt (5.65) זניח בגלל הזמן הקצר. לכן, מבחינה פיזיקלית, התנגשות זאת פעולת גומלין שבה השפעת כל הכוחות החיצוניים זניחה ביחס להשפעה של הכוחות בין הגופים המתנגשים. בהתאם לנאמר, הבעיה הפיזיקלית שמעניינת אותנו היא כזאת: נתון מצב של הגופים מיד לפני ההתנגשות, מהו המצב שלהם מיד אחרי ההתנגשות? ה מיד

84 80 פרק 5. מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) הזה אומר שזמן ההתנגשות נחשב כאפסי לצורך החישובים, והמצבים מיד לפני ו מיד אחרי מתייחסים אף הם לזמנים קצרים עד כדי כך שאפשר להזניח את ההשפעה של כל הכוחות האחרים. בצורה פשוטה יותר, ניתנים מסות m i ומהירויות v i של הגופים לפני ההתנגשות. צריך למצוא את המצב אחרי ההתנגשות. במהלך ההתנגשות הגופים יכולים להתפרק או להתאחד, כך שהמסות אחרי ההתנגשות M j יכולות להיות שונות, כמו גם מספר הגופים. בעיקר אנחנו נהיה מעוניינים במציאת מהירויות u j אחרי ההתנגשות. בפרק זה אנחנו נסתפק בהתנגשויות כאשר כל הכוחות הגדולים הם בין הגופים המתנגשים, ז א אין כוחות חיצוניים (הם זניחים). בהיעדר כוחות חיצוניים תנע המערכת חייב להישמר: m i v i = M j u j (5.66) j i לעומת זאת, אנרגיה קינטית של הגופים לא חייבת להישמר כי ייתכן מעבר בין אנרגיה קינטית לבין אנרגיה פנימית, בשני הכיוונים. התנגשויות שבהן אנרגיה קינטית של הגופים לא משתנה (אין מעבר לאנרגיה פנימית או ממנה) נקראות התנגשויות אלסטיות. בהתנגשויות אלה אנרגיה קינטית נשמרת: i m i v 2 i 2 = j M j u 2 j 2 (5.67) התנגשויות, שבהן יש מעבר בין האנרגיות ואנרגיה קינטית משתנה, נקראות אי- אלסטיות ובהן i m i v 2 i 2 j M j u 2 j 2 0 (5.68) אנרגיה קינטית יכולה ללכת לאיבוד (להפוך לאנרגיה פנימית) ויכולה גם להשתחרר מאנרגיה פנימית, לכן ההפרש בביטוי למעלה יכול להיות גם שלילי וגם חיובי. דוגמה גוף בעל מסה m 1 ונע במהירות v 1 פוגע בגוף שמסתו m 2 אשר נמצא במנוחה. לאחר הפגיעה שני הגופים ממשיכים לנוע כגוף אחד בעל מסה m. 1 + m 2 מהי מהירות הגוף ומהו איבוד האנרגיה. הידבקות הגופים מלווה בשינויי הצורה (תחשבו על פלסטלינה), לכן ברור שאנרגיה פנימית מתשנה ואין שימור אנרגיה קינטית של הגופים. זוהי התנגשות אי-אלסטית. אין כוחות חיצוניים, לכן תנע המערכת נשמר. איור 6.5: גוף פוגע בגוף אחר ונדבק אליו.

85 5.6. התנגשויות 81 זה אומר ששני הגופים נעים במהירות u בכיוון התנועה של הגוף הפוגע ו- m 1 v 1 = (m 1 + m 2 )u (5.69) u = m 1v 1 m 1 + m 2 (5.70) איבוד האנרגיה הוא אנרגיה קינטית התחלתית פחות אנרגיה קינטית סופית: E = m 1v = m 1m 2 v 2 1 2(m 1 + m 2 ) (m 1 + m 2 )u 2 2 (5.71) (5.72) זאת כמות האנרגיה אשר הולכת לשינוי הצורה ולחום. דוגמה גוף בעל מסה M, אשר נמצא במנוחה, פתאום מתחלק לשני חלקים. איור 7.5: פיצוץ. מסת אחד החלקים היא m. 1 בפיצוץ משתחררת אנרגיה E. מהן מהירויות החלקים. שימור התנע (אין כוחות חיצוניים) נותן: mv 1 + m 2 v 2 = 0, m 2 = M m 1 (5.73) האנרגיה הפנימית המשוחחרת הופכת לאנרגיה קינטית של שהחלקים: E = m 1v m 2v (5.74) מכאן v 2 = m 1v 1 (5.75) m 2 m 1 Mv1 2 = m 2Mv2 2 = E (5.76) 2m 2 m 1 2Em2 v 1 = (5.77) Mm 1 2Em1 v 2 = (5.78) Mm 2

86 82 פרק 5. מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות) התנגשות אלסטית של שני גופים התנגשות אלסטית של שני גופים זכאית לניתוח נפרד. בהתנגשות זו נשמר גם תנע P = m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 u 1 + m 2 u 2 (5.79) וגם אנרגיה קינטית K = m 1v m 2v = m 1u m 2u (5.80) אנחנו נטפל רק במקרה פרטי, כאשר גוף m 1 פוגע בגוף m 2 נח, ז א = 0 2 v, ואחרי ההתנגשות לשני הגופים מהירויות לאורך קוו התנועה המקורי של הגוף הפוגע. איור 8.5: התנגשות אלסטית של שני גופים. במקרה הזה למהירויות רק רכיב אחד והמשוואות מקבלות את הצורה הבאה: m 1 v 1 = m 1 u 1 + m 2 u 2 (5.81) m 1 v m 1 u m 2 u 2 2 (5.82) אלה שתי משאוות עם שני נעלמים. הפתרון של המשוואות הוא u 1 = (m 1 m 2 )v 1 m 1 + m 2 (5.83) u 2 = 2m 1v 1 m 1 + m 2 (5.84) בדיקת סבירות התוצאה: אם מסת הגוף הפוגע קטנה בהרבה ממסת גוף המטרה, m 1 m 2 (כדור פוגע בקיר), אז אפשר לצפות שגודל מהירות הגוף הפוגע לא ישתנה וכיוונה יתהפך, ואילו מהירות הקיר תהיה אפס. אכן, זה המצב: u 1 = m 2v 1 m 2 v 1, u 2 = m 1v 1 m 2 0 (5.85) שימו לב: תנע הכדור משנה כיוון, לכן הקיר בולע את התנע העודף (פעמיים התנע התחלתי), אבל כל האנרגיה נשארת אצל הכדור. אם מסת הגוף הפוגע גדולה בהרבה ממסת המטרה (קיר פוגע בכדור), למה אפשר לצפות? הצופה שנע עם הקיר, יראה את הכדור פוגע בקיר וחוזר באותו גודל המהירות.

87 5.6. התנגשויות 83 מהירות הכדור ביחס הצופה העומד תהיה מהירות ביחס לקיר בתוספת מהירות הקיר, ז א פעמיים מהירות הקיר. הצבה m 1 m 2 נותנת u 1 = m 1v 1 m 1 = v 1, u 2 = 2m 1v 1 m 1 = 2v 1 (5.86) מהירות הקיר לא משתנה. מכיוון שתנע הכדור ואנרגיה שלו זניחים ביחס לאלה של הקיר, השינויים בתנועה של הקיר זניחים גם הם. אם לשני הגופים אותה מסה, הגוף הפוגע אמור לעצור וגוף המטרה אמור להמשיך במהירות של הגוף הפוגע (נא לבדוק).

88 84 פרק 5. מערכות רב-חקליקיות (רב-גופיות)

89 פרק 6 תנועה סיבובית של גוף קשיח תנע זוויתי, מומנט התמד, מומנט מושגי יסוד: 6.1 פיתול לפני שמתחילים לדבר על גוף קשיח, עלינו להכיר כמה מושגים. מושגים אלה מתאימים גם לתנועת גוף נקודתי וממנה אנחנו נתחיל מכפלה וקטורית משני וקטורים a = (a x, a y, a z ) = a xˆx + a y ŷ + a z ẑ (6.1) b = (bx, b y, b z ) = b xˆx + b y ŷ + b z ẑ (6.2) אפשר לבנות וקטור חדש, c, = a b אשר נקרא מכפלה וקטורית. גודל הווקטור החדש c = a b sin ( a, b) (6.3) וכיוונו נקבע לפי כלל כף ימין: אם נכוון אגודל לאורך a, אצבע לאורך b ואמה בניצב למישור הבנוי על אגודל ואצבע, אז כיוון האמה יהיה כיוון הווקטור c. מההגדרה ברור ששינוי הסדר ישנה את הכיוון להפוך: a b = b a (6.4) 85

90 86 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 1.6: מכפלה וקטורית. אפשר להגדיר מכפלה וקטורית בדרך אחרת: ˆx ŷ = ŷ ˆx = ẑ (6.5) ŷ ẑ = ẑ ŷ = ˆx (6.6) ẑ ˆx = ˆx ẑ = ŷ (6.7) השימוש בהגדרה זו כדלקמן: c = a b = (a xˆx + a y ŷ + a z ẑ) (b xˆx + b y ŷ + b z ẑ) (6.8) = (a y b z a z b y )ˆx + (a z b x a x b z )ŷ + (a x b y a y b x )ẑ (6.9) נראה שההגדרה השנייה תואמת את הראשונה. לצורך זה נבחר קואורדינטות כך ש- a = a ˆx (6.10) b = b cos ( a, b)ˆx + b sin ( a, b)ŷ (6.11) a b = a b sin ( a, b)ẑ (6.12) תכונות מכפלה וקטורית: שינוי הסדר משנה סימן: a b = b a אפשר להכפיל במספר: b) (α a) b = α( a מכפלה וקטורית של וקטורים מקבילים מתאפסת: אם a b אז = 0 b, a בפרט a a = תנע זוויתי ומומנט פיתול לחלקיק נקודתי אם חלקיקי נקודתי בעל מסה m נמצא ברגע כלשהו בנקודה r ונע ברגע זה במהירות v, למבנה J = r p = m r v (6.13)

91 .6.1 מושגי יסוד: תנע זוויתי, מומנט התמד, מומנט פיתול 87 קוראים תנע זוויתי. איור 2.6: תנע זוויתי של חלקיק. כמו תמיד, משמעות של מושג זה מתבררת, כאשר אנחנו בודקים פעולת גומלין עם גופים אחרים. נתחיל בשאלה: מה גורם לשינוי תנע זוויתי זה? כפי שעשינו בעבר, עלינו לנתח את קצב השינוי של תנע זוויתי (נגזרת לפי זמן): dj dt = d (m r v) (6.14) ( dt ) ( ) d r d v = m v + m r (6.15) dt dt = m v v + m r a = r (m a) = r F (6.16) למכפלה וקטורית τ = r F קוראים מומנט פיתול.

92 88 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 3.6: מומנט פיתול. הביטוי שקיבלנו, החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית, d J dt = τ = r F (6.17) מראה שכדי לשנות תנע זוויתי לא מספיק סתם להפעיל כוח, חשוב גם מיקום הפעלתו וכיוונו ביחס לווקטור המקום. אם F r, תנע זוויתי לא משתנה. יש לשים לב, שגם תנע זוויתי וגם מומנט פיתול תלויים בבחירת מערכת הקואורדינטות, כי וקטור המקום מחבר את ראשית הקואורדינטות עם החלקיק. שאלת הבנה הכינוי תנע זוויתי מרמז על תנועה סיבובית. האם חלקיק נקודתי מסתובב סביב ראשית הקואורדינטות? נניח שחלקיק נקודתי נע לאורך קוו ישר שלא עובר דרך ראשית הקואורדינטות. האם יש טעם לומר שהוא מסתובב סביב הראשית? נניח שצופה, אשר נמצא בראשית הקואורדינטות, מחליט כל הזמן להסתכל על הגוף הנע. כדי לעשות זאת, הוא יצטרך לסובב את ראשו (או להסתובב כולו). משמעות הדבר שהגוף אכן מסתובב סביב הראשית מומנט התמד של חלקיק (גוף נקודתי אחד) נניח שחלקיק מחובר לראשית הקואורדינטות באמצעות מוט ללא מסה והמוט מאפשר לחלקיק לנוע רק במישור x y במעגל שרדיוסו R.

93 .6.1 מושגי יסוד: תנע זוויתי, מומנט התמד, מומנט פיתול 89 איור 4.6: תנועה מעגלית של גוף נקודתי. אם מהירות זוויתית של החלקיק היא ω (כולל סימן - חיובי לתנועה נגד כיוון השעון) אז המהירות שלו היא v = ωr (כולל אותו סימן). לפי הגדרת תנע זוויתי, גודלו ω J = m v R = mr 2 וכיוונו בכיוון חיובי של ציר z אם > 0,ω ובכיוון שלילי של ציר.ω כאשר < 0 z כדאי לחשב את זה בצורה מפורטת יותר: r = R cos φˆx + R sin φŷ (6.18) v = ωr sin φˆx + ωr cos φŷ (6.19) ω = dφ dt (6.20) J = m r v = mr 2 ωẑ (6.21) מהירות זוויתית יכולה להשתנות, אבל מסה נשארת קבועה ורדיוס הסיבוב נקבע ע י אורך המוט. רכיב התנע הזוויתי בכיוון ציר הסיבוב הוא J z = Iω, I = mr 2 (6.22) למבנה I קוראים מומנט התמד. נסיר עכשיו את המגבלה שהחלקיק נע במישור x. y נניח שהוא מסתובב במעגל בעל רדיוס R סביב ציר z אבל בקואורדינטה z = h (מישור הסיבוב מקביל למישור x.) y עכשיו וקטור המקום שונה: r = R cos φˆx + R sin φŷ + hẑ (6.23)

94 90 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח המהירות נשארת אותו דבר v = ωr sin φˆx + ωr cos φŷ (6.24) כי h. = const וקטור התנע הזוויתי הפעם יהיה J = (mrh)ω cos φˆx (mrh)ω sin φŷ + (mr 2 )ωẑ (6.25) בנוסף לרכיב J z יש עכשיו שני רכיבים נוספים J x, J y שלהם יש מבנה אחר. יחד עם זאת, הרכיב בכיוון ציר הסיבוב z לא שינה את צורתו: הוא שווה למומנט ההתמד כפול מהירות זוויתית. מומנט ההתמד שווה למסה כפול רדיוס הסיבוב בריבוע. חשוב להדגיש שוב: מומנט התמד קשור לרדיוס הסיבוב ולא למרחק מראשית הקואורדינטות. בהמשך אנחנו נתמקד ברכיב של תנע זוויתי בכיוון ציר הסיבוב תנע זוויתי של מערכת מניסוי ידוע שתנע זוויתי של מערכת הוא סכום וקטורי של תנעים זוויתיים של כל הגופים במערכת: J = i J i = i m i r i v i (6.26) איור 5.6: תנע זוויתי של מערכת. נבטא את וקטור המקום של כל חלקיק כסכום של וקטור המקום של מרכז המסה : r i ווקטור המקום ביחס למרכז המסה R cm r i = R cm + r i (6.27) נבטא את המהירות של החלקיק כסכום של מהירות מרכז המסה ומהירות ביחס למרכז המסה: v i = V cm + v i (6.28)

95 .6.1 מושגי יסוד: תנע זוויתי, מומנט התמד, מומנט פיתול 91 נציב את הביטויים לביטוי של תנע זוויתי ונקבל J = M R cm V cm + i m i r i v i (6.29) + ( i m i r i) V cm + R cm ( i m i v i) (6.30) כפי שראינו קודם, m i r i = i i m i v i = i i m i ( r i R cm ) = i m i ( v i V cm ) = i m i r i M R cm = 0 (6.31) m i v i M V cm = 0 (6.32) לכן תנע זוויתי של המערכת הוא סכום וקטורי של תנע זוויתי של מרכז המסה ותנע זוויתי פנימי - סכום תנעים זוויתיים של חלקי המערכת ביחס למרכז המסה: J = J cm + J int (6.33) J cm = M R cm V cm = R cm P (6.34) J int = i m i r i v i (6.35) נבדוק עכשיו את החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית: d J dt = i = i r i dj i dt = i ( F i,ext + j i r i F i (6.36) F j i ) (6.37) = i r i F i,ext + i,j i r i F j i (6.38) החוק השלישי של ניוטון קובע שסכום מומנטי הפיתול הפנימיים מתאפס. החוק השלישי של ניוטון בצורה נכונה: בכל מערכת סכום הכוחות הפנימיים הוא אפס וסכום מומנטי הפיתול הפנימיים הוא אפס. כתוצאה, נקבל d J dt = i r i F i,ext (6.39) ז א, קצב השינוי של תנע זוויתי של המערכת שווה לסכום וקטורי של כל מומנטי הפיתול החיצוניים שמופעלים על המערכת.

96 92 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 6.6: סכום וקטורי של כל מומנטי הפיתול החיצוניים שמופעלים על המערכת. מעניין לדעת, איזה חלק ממומנט הפיתול הכולל הולך לשינוי של תנע זוויתי של מרכז המסה ואיזה חולך לשינוי של התנע הזוויתי הפנימי ובכלל האם אפשר להבדיל. כדי לברר, נגזור את התנע הזוויתי של מרכז המסה לפי זמן: dj cm = d dt dt ( R cm P ) (6.40) = V cm (MV cm ) + R cm F ext (6.41) = R cm F i,ext (6.42) i אנחנו רואים שמומנט הפיתול, אשר משנה את התנע הזוויתי של מרכז המסה, מחושב כאילו כל הסכום של הכוחות החיצוניים מופעל במרכז המסה. כדי למצוא את מומנט הפיתול אשר משנה את התנע הזוויתי הפנימי, נחסר את הביטוי לתנע זוויתי של מרכז המסה מהביטוי לתנע זהוויתית הכולל: dj int dt = i = d J dt d J cm dt r i F i,ext i R cm F i,ext = i (6.43) r i F i,ext (6.44) ז א, מומנט הפיתול, אשר משנה את התנע הזוויתי הפנימי, מחושב ביחס למרכז המסה.

97 .6.2 גוף קשיח מומנט פיתול של כוח הכבידה כדי לדעת את מומנט הפיתול הכולל אשר מופעל על המערכת, בדרך כלל אין מנוס מלחשב את הסכום τ = i r i F i,ext (6.45) יש אמנם מקרה מיוחד, כאשר החישוב פשוט יותר. הכבידה, F i,ext = m i g אז נקבל אם הכוחות F i,ext הם כוחות τ = i r i m i g = M R cm g = R cm (M g) (6.46) ז א, מומנט הפיתול מחושב כאילו מרכז המסה הוא אכן גוף נקודתי וסכום הכוחות הלחצוניים מופעל במרכז המסה. מכאן אפשר גם להסיק שכוח הכבידה לא גורם למומנט פיתול ביחס למרכז המסה ולא יכול לשנות את התנע הזוויתי הפנימי. 6.2 גוף קשיח גוף קשיח הוא מערכת חלקיקים מיוחדת: המרחק בין כל שתי נקודות של גוף קשיח אינו משתנה במהלך התנועה. המסקנה המיידית היא: אנרגיה פוטנציאלית פנימית של גוף קשיח לא משתנה ולכן אין צורך לקחת אותה בחשבון במשפט אנרגיה-עבודה. אם נקבע נקודה אחת של הגוף, O, אז בכל רגע נקודות אחרות מבצעות תנועה מעגלית סביבה. לכל נקודת רדיוס המעגל משלה, אבל תוך זמן קצר dt כולן מסתובבות סביב אותו ציר ולאותה זווית,dφ לכן לכולן אותה מהירות זוויתית ω = dφ ואותו ציר dt סיבוב.

98 94 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 7.6: גוף קשיח: מרחקים בין נקודות הגוף לא משתנים. איור 8.6: סיבוב של גוף קשיח: אותה זווית הסיבוב לכל הנקודות. לנקודה עם מסה m, i ורדיוס הסיבוב R i יהיה תנע זוויתי בכיוון ציר הסיבוב (אנחנו מדברים על רכיב אחד בלבד ולא מתעניינים ברכיבים אחרים של תנע זוויתי) J i = m i R 2 i ω (6.47)

99 .6.2 גוף קשיח 95 כפי שחישבנו קודם לחלקיק נקודתי. לכל חלקי הגוף ביחד רכיב תנע זוויתי בכיוון ציר הסיבוב יהיה J = i m i R 2 i ω = Iω, I = i m i R 2 i (6.48) כאשר I הוא מומנט ההתמד של הגוף. לגוף קשיח m i ו- R i אינם משתנים במהלך התנועה, לכן I הוא קבוע שמאפיין את הגוף כולו. עכשיו אפשר להשתמש בחוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית למערכת: dj dt = τ (6.49) כאשר τ הוא רכיב של מומנט הפיתול בכיוון ציר הסיבוב ציר סיבוב קבוע בהמשך אנחנו נסתפק בסיבוב גוף קשיח סביב הציר שכיוונו לא משתנה (ציר סיבוב קבוע ). זה קורה בשני מצבים: א) כאשר ציר הסיבוב מקובע וב) כאשר גוף סימטרי נע ומסתובב סביב אותו ציר שעובר דרך מרכז המסה שלו. במצב זה אין צורך בווקטורים אלא מספיק לבחור כיוון חיובי של הסיבוב סביב הציר ולחשב את הכל בהתאם לבחירה. באיור ציר הסיבוב ניצב למישור האיור וכיוון הסיבוב נגד כיוון השעון נבחר ככיוון חיובי. רכיב הכוח לאורך ציר הסיבוב אינו תורם למומנט הפיתול בכיוון ציר הסיבוב, לכן אנחנו נניח שווקטור הכוח שוכב במישור האיור. חישוב מומנט פיתול במקרה זה מצטמצם למכפלה של גודל הכוח בזרוע שלו. זרוע היא המרחק בין ציר הסיבוב לבין קוו פעולת הכוח. איור 9.6: מומנט הפיתול: כוח כפול זרוע עם סימן בהתאם לכיוון חיובי של סיבוב.

100 96 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח סימן של מומנט הפיתול נקבע בהתאם לכיוון הסיבוב שהיה נוצר אילו מומנט הפיתול הזה (ורק הוא) היה מופעל על גוף במנוחה. אם כל הנאמר, במקרה של ציר סיבוב קבוע החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית מקבל את הצורה הבאה: Iα = I dω dt = τ (6.50) כאשר α היא תאוצה זוויתית הערות חשובות בתחילת הדיון על תנועה סיבובית של גוף קשיח הנחנו שנקודה O של הגוף נמצאת במנוחה ( מקובעת ). כל הפיתוחים היו מבוססים על כך ששאר נקודות הגוף הסתובבו סביב הציר העובר דרך נקודה מקובעת זו. במציאות גופים לא תמיד מסתובבים סביב ציר מקובע: כדור רגבי נע ומסתובב, כדור הארץ מסתובב סביב השמש וגם סביב צירו, ציר גלגל הרכב נע והגלגל מסתובב סביב צירו. איך להשתמש בפיתוחים היפים שלנו לתיאור של מצבים אלה? נניח שבנוקדה A של הגוף נמצא צופה. מהי מבחינתו תנועה של הגוף? מבחינתו כל נקודה אחרת נעה במעגל, לכן מבחינתו תנועת הגוף, בכל רגע נתון, היא סיבוב סביב ציר העובר דרך A במהירות זוויתית כלשהי ω. אם בנקודה אחרת, B, של הגוף נמצא צופה אחר, מהי מבחינתו תנועת הגוף באותו רגע? ברור שהיא סיבוב סביב ציר העובר דרך B. אם נשים לב שתוך זמן קצר dt שני הצופים ימדדו אותה זווית הסיבוב ω ימדוד אותה מהירות זוויתית B ואותו כיוון הסיבוב, המסקנה תהיה שהצופה dφ וצירי הסיבוב, לפי A ולפי B, מקבילים. איור 10.6: סיבוב של גוף קשיח מבחינת מבט של שני צופים. נניח, שברגע כלשהו ניתן לאתר נקודה O בגוף שמהירות שלה אפס ותאוצה שלה אפס. אם כך, ברגע זה הגוף כולו מסתובב סביב הציר העובר דרך נקודה זו, וכל

101 .6.2 גוף קשיח 97 הפיתוחים שלנו (מומנט התמד, מומנט פיתול, החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית לציר קבוע ) תקפים לסיבוב סביב ציר זה וכל התנועה מתוארת ע י משוואה אחת: I dω dt = τ (6.51) כאשר מומנט הפיתול ומומנט ההתמד מחושבים ביחס לציר העובר דרך הנקודה O ברגע זה. לא ניתן להשתמש במשוואה זו כאשר מהירות הנקודה או תאוצתה שונות מאפס ברגע זה. מצד שני, ראינו שאפשר לחלק את החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית לחלק של מרכז המסה וחלק של תנע זוויתי פנימי. חלוקה זאת תמיד נכונה, גם כאשר נקודה אחרת (לא מרכז המסה) מקובעת. במקרה זה החוק בצורת ציר קבוע I dω dt = τ (6.52) מתייחס לסיבוב סביר הציר העובר דרך מרכז המסה (תנע זוויתי פנימי) ומומנט הפיתול ומומנט ההתמד מחושבים ביחס לציר זה. לכך יש להוסיף גם את החוק השני למרכז המסה: M a cm = Fext (6.53) לתנועה קווית או M R cm a cm = R cm ( Fext ) (6.54) לתנועה סיבובית. השני נובע מהראשון, לכן מספיק באחד מהם. כמובן שצריך לקחת בחשבון את קשר בין תאוצת מרכז המסה לתאוצה זוויתית, אם השתיים אנין בלתי תלויות ) למשל, במקרה של ציר מקובע). גישה זו תמיד נכונה. במקרים אחרים לא ניתן להשתמש בחוק השני של ניטון לתנועה סיבובית בצורה מופשטת אלא רק בצורה מלאה חישוב מומנט התמד דוגמה נחשב מומנט התמד של שמונה גופים נקודתיים הנמצאים בקדקודי קובייה ומחוברים ביניהם באמצעות מוטות ללא מסה.

102 98 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 11.6: מומנט התמד של מערכת גופים נקודתיים. מסה m נמצאת בנקודה 0),(0, 0, 2m ב- 0),(a, 0, 3m ב- 0) a, 4m,(a, ב- 0) a,,(0,.(0, a, a) ב- 8m,(a, a, a) ב- 7m,(a, 0, a) ב- 6m,(0, 0, a) ב- 5m למומנט התמד יש משמעות רק אם הוגדר ציר הסיבוב. נבחר ציר z כציר הסיבוב (ציר כחול). מומנט ההתמד הוא I = i m i r 2 i (6.55) I z = m 0 + 2m a 2 + 3m (2a 2 ) כאשר r i הוא מרחק בין גוף נקודתי וציר הסיבוב. לכן + 4m a 2 + 5m 0 + 6m a 2 + 7m (2a 2 ) + 8m a 2 = 40ma 2 (6.56) עכשיו נחשב מומנט התמד ביחס לציר המתלכד עם הצלע (a,0),a (a,a),a (ציר אדום): I = m (2a 2 ) + 2m (2a 2 ) + 3m a 2 + 4m a 2 + 5m a 2 + 6m a 2 + 7m 0 + 8m 0 = 24ma 2 (6.57) דוגמה נחשב מומנט התמד של מוט אחיד ביחס לציר העובר דרך קצה המוט וניצב למוט. מסת המוט m, אורך המוט l. זאת התפלגות רציפה של חומר. יש לחלק את הגוף לחלקים קטנים, להתייחס לכל חלק קטן כאילו הוא גוף נקודתי ולסכום (לחשב אינטגרל). נבחר ציר x לאורך המוט כך שהציר עובר דרך = 0 x. נחלק לחלקים קטנים בגודל.dx

103 .6.2 גוף קשיח 99 איור 12.6: מומנט התמד של מוט אחיד. מסת כל חלק כזה היא.dm = (m/l)dx di = dmx 2 למומנט ההתמד. לכן החלק שנמצא בקואורדינטה x תורם I = l 0 x 2 (m/l)dx = ml2 3 (6.58) נחשב עכשיו מומנט התמד של אותו מוט, אבל ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה (אמצע המוט) ומקביל לציר הקודם (ז א ניצב למוט). איור 13.6: צירים מקבילים. שיטת החישוב לא תשתנה, חוץ מגבולות האינטגרציה: I cm = l/2 l/2 x 2 (m/l)dx = ml2 12 (6.59) אם נשים לב שהמרחק בין הצירים הוא 2/l d, = נראה ש- I = I cm + md 2 (6.60) הביטוי האחרון מהווה משפט צירים מקבילים (משפט שטיינר): אם יש שני צירים מקבילים שעוברים דרך שתי נקודות הגוף, אחד דרך מרכז המסה cm והשני דרך נקודה O, אז הקשר בין מומנטי ההתמד ביחס לשני הצירים הוא I O = I cm + md 2 O,cm (6.61) כאשר d O,cm הוא המרחק בין שני הצירים (נמדד בכיוון ניצב בין שני הצירים המקבילים). משפט זה תקף לכל הגופים.

104 100 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 14.6: משפט שטיינר. דוגמה גוף מורכב משני חלקים מחוברים. לכל חלק מומנט ההתמד שלו ביחס לציר O ידוע, I 1,O ו- I. O,2 מהו מומנט ההתמד של כל הגוף ביחס לציר O? איור 15.6: מומנט התמד של גוף מורכב. I O = i m i r 2 i = 1,i m i r 2 i + 2,i m i r 2 i = I 1,O + I 2,O (6.62) במילים אחרות, מומנט התמד של מספר גופים ביחס לציר מסוים הוא סכום מומנטי ההתמד של כול הגופים האלה ביחס לציר זה. דוגמה נחשב את מומנט ההתמד של טבעת מעגלית דקה (חישוק) בעלת רדיוס R ומסה m ביחס לציר העובר דרך מרכז המעגל בניצב למישור המעגל. הטבעת לא חייבת להיות אחידה.

105 .6.2 גוף קשיח 101 איור 16.6: מומנט התמד של טבעת דקה. מומנט התמד הוא I = i m i r 2 i (6.63) לכול נקודות הטבעת r, i = R לכן I = ( i m i )R 2 = mr 2 (6.64) אם הטבעת אחידה, מרכזה הוא מרכז המסה, לכן מומנט ההתמד של טבעת מעגלית אחדיה ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה בניצב למישור הטבעת הוא I cm = mr 2 (6.65) מה יהיה מומנט ההתמד ביחס לציר מקביל אבל עובר דרך אחת הנקודות בחישוק?

106 102 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 17.6: ציר עובר דרך החישוק. לפי משפט שטיינר I = I cm + mr 2 = 2mR 2 (6.66) דוגמה דרך שתי נקודות הגוף, A ו- B עוברים שני צירים מקבילים. מומנט התמד ביחס לציר A ידוע ושווה I. A אם נעביר ציר מקביל דרך מרכז המסה, המרחקים בין הצירים יהיו d A ו- d, B בהתאמה. מהו מומנט ההתמד ביחס לציר B? מסת הגוף היא m. לפי משפט שטיינר: I A = I cm + md 2 A (6.67) I B = I cm + md 2 B (6.68) I B = I A + m(d 2 B d 2 A) (6.69) דוגמה נחשב את מומנט ההתמד של דיסקה שטוחה אחידה, בעלת רדיוס R ומסה m, ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה בניצב למישור הדיסקה. נחלק את הדיסקה לטבעות בעובי.dr

107 .6.2 גוף קשיח 103 איור 18.6: מומנט התמד של דיסקה אחידה. היחס של מסת הטבעת ברדיוס r ועובי dr למסת הדיסקה כולה כיחס השטחים (כי הדיסקה אחידה): dm m = 2πrdr πr 2 (6.70) dm = 2mrdr R 2 (6.71) כל טבעת תורמת למומנט ההתמד את החלק משלה השווה di = dmr 2 = 2mr3 dr R 2 (6.72) לכן מומנט ההתמד של הדיסקה הוא I = di = R 0 2mr 3 dr R 2 = mr2 2 (6.73) שאלת הבנה מהו מומנט ההתמד של גליל אחיד ביחס לציר הגליל? אנרגיה קינטית של גוף קשיח מסתובב נניח שציר O מקובע. אנרגיה קינטית של הגוף ברגע שמהירות זוויתי שלו סביב ציר O היא ω שווה ל- K = i m i v 2 i 2 = i m i (ωr i ) 2 2 = 1 2 ( i m i r 2 i )ω 2 = 1 2 I Oω 2 (6.74) זאת כל האנרגיה הקינטתי של הגוף. האנרגיה הקינטית הפנימית היא אנרגיית התנועה ביחס למרכז המסה. כל נקודה בגוף באותו רגע מסתובבת באותה מהירות

108 104 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח זוויתי סביב ציר מקביל העובר דרך מרכז המסה, רק רדיוס הסיבוב שלה הוא הפעם המרחק לציר חדש, לכן K int = 1 2 I cmω 2 (6.75) אנרגיה קינטית זו היא רק חלק מאנרגיה קינטית של הגוף, כדי לקבל את כול האנרגיה הקינטית יש להוסיף את האנרגיה הקינטית של מרכז המסה K cm = 1 2 MV 2 cm (6.76) שיווי משקל של גוף קשיח בשיווי משקל אין תנועה, לא קווית ולא סיבובית. לכן בשיווי משקל V cm = 0 P = 0 (6.77) ω = 0 J = 0 (6.78) אם המערכת נמצאת בשיווי משקל, היא תישאר בו כל עוד התנאים לא משתנים (זאת הגדרת שיווי משקל). לכן dp dt = 0 Fext = 0 (6.79) dj dt = 0 τ ext = 0 (6.80) בשיווי משקל הכוח השקול מתאפס ומומנט הפיתול הכולל מתאפס. שאלת הבנה מומנט פיתול תמיד מחושב ביחס לנקודת יחוס כלשהי. ביחס לאיזו נקודה מתאפס מומנט הפיתול בשיווי משקל? ביחס לכל נקודה שנבחר כנקודת יחוס. 6.3 יישומים יישומי החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית של גוף קשיח דוגמה גוף אחיד בצורה מלבנית (אורך l, גובה h) נח על מישור אופקי. מקדם החיכוך הסטטי בין הגוף למישור הוא µ. s לפאה העליונה מפעילים כוח אופקי שגדל בהדרגה מאפס. האם הגוף יתחיל להחליק או יתחיל להסתובב סביב אחת הצלעות (להתהפך)?

109 6.3. יישומים 105 איור 19.6: יחליק או יתהפך? כדי לענות לשאלה צריך לחשב כוח אופקי מירבי אשר מאפשר לגוף לא להחליק וכוח אופקי מירבי אשר מאפשר לגוף לא להסתובב. הקטן בין השניים ייתן תשובה לשאלה. במילים אחרות, אנחנו בודקים את המערכת במצב שיווי משקל, כאשר סכום הכוחות מתאפס וסכום מומנטי הפיתול מתאפס. החלקה: החוק השני של ניוטון (רגיל, לא לתנועה סיבובית) קובע: N mg = 0 (6.81) F f s = 0 (6.82) f s µ s N (6.83) F µ s mg (6.84) לכן הכוח המירבי שמאפשר לגוף לא להחליק הוא F. max,sliding = µ s mg סיבוב: נבחר את הכיוון הסיבוב של הכוח החיצוני כחיובי. מומנט הפיתול של הכוח הזה הוא גודל הכוח כפול זרוע. הזרוע היא המרחק בין ציר הסיבוב לקוו פעולת הכוח, ז א ארך האנך מציר הסיבוב על קוו ישר שעליו יושב וקטור. F לכן τ. F = F h גם תגובת המשטח גורמת למומנט הפיתול בכיוון חיובי, נסמן את המומנט הזה באמצעות τ N ולא נשכח ש- 0 N τ. מומנט הפיתול של כוח הכבידה מחושב כאילו כל כוח הכבידה, אשר פועל על הגוף, מופעל במרכז המסה, לכן τ g = mg(l/2) (6.85) כי מומנט הפיתול הזה מסובב בכיוון הפוך לזה של F, ז א בכיוון שלילי. לכן F h + τ N mgl/2 = 0 (6.86) τ N = mgl/2 F h 0 (6.87) F mgl/2h (6.88) הכוח המירבי שמאפשר לגוף לא להתהפך הוא F. max,overturning = mgl/2h אם,F max,overturning < F max,sliding ז א,l/2h < µ s הגוף יתהפך כאשר מגדילים את הכוח F בהדרגה, אחרת הוא יחליק. דוגמה מוט שמסתו m נשען על שני משולשים במצב אופקי. המרחקים בין מרכז המסה של המוט לבין נקודות התמיכה הם l 1 ו- l, 2 בהתאמה. המוט נמצא בשיווי משקל. מצאו את הכוחות שמפעילים המשענות על המוט.

110 106 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 20.6: מוט אחיד על שתי משענות. נסמן את הכוחות ב- N 1 ו- N. 2 בשיווי משקל סכום הכוחות שפועלים על המוט מתאפס: N 1 + N 2 mg = 0 (6.89) גם סכום מומנטי הפיתול, ביחס לכל נקודה שנבחר, חייב להתאפס. אפשר לבחור נקודת יחוס כך שיהיה נוח. אם נבחר נקודה 1 כציר הסיבוב (נקודת יחוס) וכיוון הסיבוב לפי השעון כחיובי, נקבל את סכום המומנטים בצורה הבאה: N mgl 1 N 2 (l 1 + l 2 ) = 0 N 2 = mgl 1 l 1 + l 2 (6.90) באותה מידה אפשר לבחור נקודה 2 כציר הסיבוב וכיוון נגד השעון (שרירותית) כחיובי, אז נקבל N mgl 2 N 1 (l 1 + l 2 ) = 0 N 1 = mgl 2 l 1 + l 2 (6.91) קל לבדוק שסכום הכוחות מתאפס. הבחירה המוצלחת אפשרה למצוא את הכוחות בדרך הקצרה ביותר. אפשר היה לבחור נקודה אחרת, למשל, מרכז המסה, אז היינו מקבלים N 1 l 1 N 2 l 2 = 0 (6.92) ביחד אם המשוואה לכוחות היינו מקבלים אותן תוצאות בדרך קצת יותר ארוכה. דוגמה מוט אחיד נשען על רצפה אופקית וקיר אנכי בפינה. מקדם החיכוך הסטטי בין המוט לבין הרצפה הוא µ. s מהי הזווית המינימלית בין המוט לרצפה בשיווי משקל?

111 6.3. יישומים 107 איור 21.6: מוט נשען על רצפה וקיר. בשיווי משקל N wall f s = 0 (6.93) N floor mg = 0 (6.94) f s µ s N floor (6.95) N wall l sin θ mgl cos θ/2 = 0 (6.96) f s = N wall = mg cot θ/2 (6.97) mg cot θ/2 µ s mg (6.98) cot θ 2µ s (6.99) דוגמה שני גופים מחוברים באמצעות חוט שעובר מעל גלגלת. הגלגלת יכולה להסתובב סביר צירה ללא חיכוך, מומנט ההתמד שלה ביחס לצירה I. החוט אינו מתארך ואינו מחליק על הגלגלת (הדבר האחרון אומר שישנו חיכוך סטטי מספיק גדול בין החוט לבין הגלגלת). מסות הגופים הן m 1 ו- m, 2 ורדיוס הגלגלת הוא R. מצאו את תאוצות הגופים, תאוצה זוויתית של הגלגלת ומתיחויות בחוט.

112 108 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 22.6: גופים מחוברים בחוט וגלגלת. נסמן את התאוצה של גוף 1 כ- a ונניח שהיא כלפי מטה. בגלל שהחוט אינו מתארך תאוצת הגוף 2 היא a כלפי מעלה. בגלל שהחוט אינו מחליק על הגלגלת, היא מסתובבת נגד השעון ומהירות נקודת הגלגלת בנקודה המגע שווה למהירות החוט (מהירות הגוף 1) ωr v. = אם נגזור את הביטוי הזה לפי זמן, נקבל a = αr (6.100)

113 6.3. יישומים 109 כאשר α היא תאוצה זוויתית של הגלגלת. עכשיו נותר רק לרשום את החוק השני של ניוטון לכל שלושת הגופים: 1 : m 1 g T 1 = m 1 a (6.101) 2 : T 2 m 2 g = m 2 a (6.102) R : T 1 R T 2 R = Iα = Ia R (6.103) מכאן a = (m 1 m 2 )g m 1 + m 2 + I R 2 (6.104) מצאו את הנותר לבד. דוגמה מוט אופקי אחיד מחובר בקצה אחד לציר סיבוב אופקי שסביבו הוא יכול להסתובב ללא חיכוך במישור אנכי. מחזיקים את המוט במצב אופקי ומשחררים. מהי תאוצת הקצה החופשי של המוט מיד לאחר השחרור ומה הכוח שהוא מפעיל על הציר ברגע זה? מסת המוט היא m. איור 23.6: נפילת המוט. מרגע השחרור המוט מתחיל להסתובב סביב ציר הסיבוב. הכוח היחיד שתורם למומנט הפיתול ביחס לציר הסיבוב הזה הוא כוח הכבידה. אם אורך המוט l, החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית הוא Iα = mgl/2 (6.105) I = ml2 3 α = 3g 2l (6.106) (6.107) כאשר α היא תאוצה זוויתית של המוט ו- I הוא מומנט ההתמד של המוט ביחס לציר שעובר דרך הקצה בניצב למוט. גודל המהירות של נקודת המוט, הנמצאת במרחק R מהציר, קשורה למהירות הזוויתית של המוט, כמו בכל תנועה מעגלית: v = ωr (6.108) לכן הקשר בין התאוצה הזוויתית לבין התאוצה המשיקית של נקודה זו הוא a t = αr (6.109)

114 110 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח ברגע השחרור מהירות של כל נקודה במוט עדיין אפס, לכן תאוצה ניצבת גם היא אפס. בקצה R, = l לכן a l = αl = 3 2 g (6.110) את הכוח שהמוט מפעיל על המשענת נמצא מחוקי ניוטון לתנועה קווית: mg N = ma cm = mαr cm = mα(l/2) (6.111) N = mg/4 (6.112) דרך אחרת: נרשום את החוק השני של ניוטון לתנועת מרכז המסה: mg N = ma cm (6.113) ואת החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית סביב מרכז המסה: N(l/2) = I cm α (6.114) יש להוסיף את הקשר בין תאוצת מרכז המסה ותאוצה זוויתית: a cm = α(l/2) (6.115) וגם להשתמש במשפר שטיינר I = I cm + ml2 12 (6.116) תראו שפתרון המשוואות האלה נותן אותם α ו- N. האם ניתן להשתמש בחוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית כאשר נבחר, למשל, את הקצה החופשי כציר סיבוב? אם ננסה, נקבל: Nl mg(l/2) = Iα (6.117) mg N = ma cm (6.118) a cm = α(l/2) (6.119) α = 3g 5l (6.120) וזה לא נכון. איפה הטעות? הגוף איננו מסתובב כגוף קשיח סביב הנקודה שברגע השחרור נמצאת בקצה החופשי (אמנם מהירות של נקודה זו אפס ברגע הראשון אבל תאוצתה איננה אפס), לכן בשורה הראשונה של המשוואות מומנט הפיתול חייב להיות שווה לקצב השינוי של תנע זוויתי כולו, (2/l) J. = I cm ω mv cm המשוואה הנכונה תהיה Nl mg(l/2) = I cm α ma cm (l/2) (6.121) גלגול גלגול זה סוג התנועה (בדרך כלל, של גופים סימטריים) כאשר מרכז המסה של הגוף נע, הגוף מסתובב סביב מרכז המסה ונקודה אחת של הגוף בכל רגע נמצאת במגע עם משטח. אנחנו נסתפק בגלגול של גופים עם סימטריה מעגלית בחתך, על משטחים

115 6.3. יישומים 111 מישוריים. אם מהירות מרכז המסה היא v cm (מהירות זו היא בכיוון המשיק למשטח), ומהירות זוויתית של סיבוב הגוף סביב מרכז המסה היא ω, אז מהירות הנקודה שנמצאת במגע עם המשטח היא v O = v cm ωr ביחס למשטח. איור 24.6: גלגול: מהירות בנקודת המגע. כאשר = 0 O v (גלגול ללא החלקה) המהירות היחסית בנקודת המגע היא אפס, לכן החיכוך, אם ישנו, הוא חיכוך סטטי, עם כל התכונות של חיכוך סטטי. אם 0 0 v (גלגול עם החלקה) החיכוך הוא חיכוך קינטי, תכונותיו שונות לגמרי מאלה של חיכוך סטטי. במקרה של גלגול ללא החלקה, בכל רגע נתון אפשר לתאר את תנועת הגוף כסיבוב של גוף קשיח כולו סביב הציר שעובר בנקודת המגע, וזה בגלל הקשר.v O = v cm ωr = 0 a O = a cm αr = 0 במקרה של גלגול עם החלקה תיאור כזה בלתי אפשרי. דוגמה גוף בעל רדיוס R מסה m ומומנט התמד ביחס למרכז המסה I cm מתגלגל במדרון בעל זווית θ ללא החלקה. מה התאוצה של הגוף ומהו מקדם החיכוך הסטטי המינימלי שמאפשר תנועה זו?

116 112 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח איור 25.6: גלגול במדרון. נפתור בשתי דרכים. דרך ראשונה: נרשום את החוק השני של ניוטון לתנועה קווית של מרכז המסה ותנועה סיבובית סביב מרכז המסה (מומנט הפיתול היחיד הוא של כוח החיכוך, כי כוח הכבידה לא יוצר מומנט פיתול סביב מרכז המסה וזרועה של כוח התגובה הניצב היא אפס - קוו פעולתו עובר דרך המרכז): mg sin θ f = ma cm (6.122) N mg cos θ = 0 (6.123) fr = I cm α (6.124) עד כה המשוואות מתאימות גם לגלגול עם החלקה. מוסיפים את הקשר בגלגול ללא החלקה אנחנו a cm = αr (6.125) ואת התנאי על חיכוך סטטי f µ s N = µ s mg cos θ (6.126) הצבות פשוטות מביאות את התוצאה: a cm = g sin θ (6.127) 1 + Icm mr 2 I cm mr 2 f = mg sin θ ma cm = mg sin θ (6.128) 1 + I cm mr 2 I cm mr 2 µ s tan θ (6.129) 1 + Icm mr 2 דרך שנייה: נתייחס לתנועה של הגוף כסיבוב של גוף קשיח סביב נקודת המגע. מומנט הפיתול היחיד הוא של כוח הכבידה, כי זרועות של כוח החיכוך וכוח התגובה הניצב הן אפס כי הם מופעלים בנקודת המגע.

117 6.3. יישומים 113 איור 26.6: גלגול במדרון: דרך שנייה. לכן mg sin θr = Iα (6.130) I = I cm + mr 2 (6.131) g sin θ α = R(1 + I cm ) mr 2 (6.132) a cm = g sin θ 1 + I cm mr 2 (6.133) במקרה הזה, כאשר אין החלקה, שתי הדרכים טובות ומביאות לאותה תוצאה. כאשר יש החלקה הדרך השנייה בלתי אפשרית. הדרך הראשונה תמיד נכונה ובמקרה עם החלקה נותנת: N mg cos θ = 0 (6.134) mg sin θ µ k mg cos θ = ma cm (6.135) a cm = g(sin θ µ k cos θ) (6.136) µ k mg cos θr = I cm α (6.137) α = µ kg cos θ I cm /mr (6.138) דוגמה גליל סימטרי (לא בהכרח אחיד) בעל רדיוס R, מסה m ומומנט התמד I cm ביחס למרכז המסה (מרכז המסה נמצא על ציר הגליל בגלל הסימטריה) נח על

118 114 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח מישור אופקי. באיזה גובה h צריך להפעיל כוח אופקי כדי שהגליל יתחיל להתגלגל ללא החלקה? אין חיכוך. איור 27.6: דחיפת גליל ללא החלקה. אנחנו נשתמש בחוק השני של ניוטון לתנועת מרכז המסה ולתנועה סיבובית סביב נקודת המגע (אין החלקה!): F = ma cm (6.139) F h = Iα (6.140) a cm = αr (6.141) I = I cm + mr 2 (6.142) h = Iα ( = R 1 + I ) cm (6.143) ma cm mr 2 דוגמה נתונים שני גלגלים, בעלי מסות m 1 ו- m, 2 רדיוסים R 1 ו- R, 2 ומומנטי התמד ביחס למרכז המסה I 1 ו- I, 2 בהתאמה. כל גלגל יכול להסתובב סביב צירו ללא חיכוך. בהתחלה גלגל 1 מסתובב במהירות זוויתית ω. 0 הגלגלים מובאים למגע. צירי הגלגלים מקבילים זה לזה. מה תהינה מהירויות זוויתיות של הגלגלים כעבור זמן רב?

119 6.3. יישומים 115 איור 28.6: שני גלגלים במגע. כאשר הגלגלים מובאים במגע, בין השניים פועלים כוחות חיכוך קינטי. כוח חיכוך f גורם למומנט הפיתול fr 1 אשר מאט את הסיבוב של הגלגל הראשון. אותו כוח (הפוך, למעשה) גורם למומנט הפיתול fr 2 אשר מאיץ את הסיבוב של גלגל 2: dω 1 I 1 dt = fr 1 (6.144) ω 1 = ω 0 fr 1t I 1 (6.145) dω 2 I 2 dt = fr 2 (6.146) ω 2 = fr 2t I 2 (6.147) כוח החיכוך קיים כל עוד מהירות יחסית בין הגלגלים, 0 2.v rel = ω 1 R 1 ω 2 R ברגע שהמהירות הזאת מתאפסת, החיכוך נעלם, ומהירויות זוויתיות לא משתנות יותר. נמצא את הרגע הזה t : ω 0 R 1 fr2 1t t = I 1 ω 0 R 1 f(r 2 1/I 1 + R 2 2/I 2 ) = fr2 2t I 2 (6.148) (6.149) ω 1 (t ) = ω 0 R 2 2/I 2 R 2 1/I 1 + R 2 2/I 2 (6.150) ω 2 = ω 0 R 2 1/I 1 R 2 1/I 1 + R 2 2/I 2 (6.151)

120 116 פרק 6. תנועה סיבובית של גוף קשיח

121 פרק 7 תנודות בפרק זה נלמד סוג מיוחד ומאוד חשוב של תנועה: תנודות הרמוניות. 7.1 תנועה הרמונית פשוטה נניח שתנועה של גוף מתוארת ע י קואורדינטה אחת, x, ותלות של הקואורדינטה הזאת בזמן ניתן ע י הביטוי הבא: x = A cos(ωt + ϕ) (7.1) כאשר ω A, ו- ϕ קבועים לא תלויים בזמן. תנועה כזאת נקראת תנועה הרמונית פשוטה. את הקבוע A מקובל להגדיר כך שהוא חיובי, > 0 A. קבוע זה נקרא תנופה (אמפליטודה) ומשמעותו.A = x max איור 1.7: תנועה הרמונית פשוטה: מסלול ותנופה. קוסינוס היא פונקציה מחזורית: ϕ),cos(ωt + ϕ) = cos(ω(t + 2π/ω) + ז א = T 2π/ω הוא זמן המחזור. הקבוע ω נקרא תדירות. אם המופע = 0 ϕ אז ברגע = 0 t הקואורדינטה מקסימלית.x(t = 0) = A 117

122 118 פרק 7. תנודות איור :2.7 ωt.ϕ = 0,x = A cos כאשר 0 ϕ, הרגע הקרוב ל = 0 t שבו הקואורדינטה x מגיעה למקסימום מתקבל מהמשוואה: ωt m + ϕ = 0 t m = ϕ ω (7.2) זאת המשמעות של המופע: הוא מראה בכמה זמן מקסימום של הקואורדינטה מפגר אחרי או מקדים את המקסימום במקרה של = 0 t. איור :3.7 השוואה של = 0 ϕ ו- 0.ϕ v x = dx dt נחשב את המהירות = ωa sin(ωt + ϕ) (7.3)

123 .7.1 תנועה הרמונית פשוטה 119 ברגע = 0 t הקואורדינטה התחלתית והמהירות התחלתית הן x(t = 0) = x 0 = A cos ϕ (7.4) v x (t = 0) = v 0 = ωa sin ϕ (7.5) מכאן A = x v2 0 (7.6) ω 2 cos ϕ = x 0 (7.7) A sin ϕ = v 0 (7.8) ωa קואורדינטה התחלתית ומהירות התחלתית קובעות את התנופה ואת המופע. לדוגמה, אם התנועה מתחילה מקואורדינטה מקסימלית ומהירות אפסית, המופע הוא אפס. אם ברגע הראשון הגוף נמצא בראשית הקואורדינטות ומהירות שלו בכיוון חיובי, המופע π/2.ϕ = כוח בתנועה הרמונית פשוטה נניח שגוף נקודתי, שמסתו m, מבצע תנועה הרמונית פשוטה. מה חייב להיות הכוח הגורם לתנועה זו? החוק השני של ניוטון קובע: ma x = F x (7.9) a x = dv x dt = ω2 A cos(ωt + ϕ) = ω 2 x (7.10) לכן F x = kx, k = mω 2 (7.11) נשים לב לכך שבנקודה = 0 x הכוח מתאפס. אם הגוף יימצא בנקודה זו וברגע זה מהירות שלו תהיה אפס, גם התאוצה שלו תהיה אפס, ז א נקודה זו היא נקודת שיווי משקל שלו, והקואורדינטה x מודדת את תזוזתו משיווי המשקל. הכוח, אשר גורם לתנועה הרמונית פשוטה, חייב להיות פרופורציוני לתזוזה משיווי משקל ומחזיר (בכיוון נקודת שיווי המשקל). נניח עכשיו שידוע לנו שעל גוף נקודתי שמסתו m פועל כוח F, x = kx כאשר k קבוע והתנועה היא לאורך ציר x. החוק השני של ניוטון מקבל את הצורה הבאה: ma x = m d2 x = kx (7.12) dt2 האם תנועת הגוף היא בהכרח תנועה הרמונית פשוטה? התשובה היא כן, אין אפשרויות אחרות, פתרון של המשוואה הדיפרנציאלית הזאת חייב להיות בצורה x = A cos(ωt + ϕ), ω 2 = k/m (7.13) חשוב להדגיש שמקדם בכוח k ומסה m קובעים את התדירות ω, אבל לא קובעים את התנופה A ואת המופע ϕ: כדי לדעת את שני אלה צריך לדעת את תנאיי ההתחלה,

124 120 פרק 7. תנודות קואורדינטה ומהירות ברגע תחילת התנועה. תדירות התנודות אינה תלויה בתנופה: תנודות אלה נקראות תנודות הרמוניות. עקרון מתמטי: משוואות דומות - פתרונות דומים. אם במהלך ניתוח בעיה כלשהי (פיזיקלית, הנדסית, פסיכולוגית וכו ) נגיע למשוואה דיפרנציאלית בצורה הבאה: G d2 Z d 2 T = QZ (7.14) כאשר T הוא משתנה בלתי תלוי ( זמן ), Z הוא משתנה תלוי ( קואורדינטה ), G ו- Q קבועים, פתרון של המשווה הזו יהיה בצורת תנועה הרמונית פשוטה Z = A cos(ωt + ϕ), ω 2 = Q/G (7.15) בלי שום קשר למשמעות של המשתנים והקבועים. למתמטיקה לא אכפת מה עומד מאחורי האותיות. אנחנו מיחסים לאותיות משמעות. T יכול להיות גובה ו- Z יכול להיות טמפרטורה, או T יכול להיות זמן ו- Z יכול להיות כמות הכסף המושקע בבורסה. התלות המתמטית אותה תלות אנרגיה בתנודות הרמוניות אנחנו כבר יודעים שהכוח F x = kx הוא כוח פוטנציאלי (משמר) והאנרגיה הפוטנציאלית.U(x) = kx2 מאחר שאין כוחות אחרים, אנרגיית הגוף חייבת להישמר: 2 שלו היא mvx kx2 2 = 1 ( ) 2 dx 2 m + 1 dt 2 kx2 = E = const (7.16) לפי אותו עקרון מתמטי, אם במהלך ניתוח בעיה כלשהי אנחנו מגיעים למסקנה ש- 1 2 G ( ) 2 dz + 1 dt 2 QZ2 = const (7.17) אז אנחנו מיד יודעים שתלות של Z ב- T היא כמו בתנועה הרמונית פשוטה: Z = A cos(ωt + ϕ), ω 2 = Q/G (7.18) אנרגיית תנודות נשמרת, לכן אפשר לחשב אותה בנקודה מסיומת, למשל, כאשר, dz אז dt = 0 ו- Z = A E = 1 ( ) 2 dz 2 G + 1 dt 2 QZ2 = 1 2 QA2 (7.19) E: = ka2 אנרגיית התנודות פרופרציונית לתנופה בריבוע. 2 במקרה של חלקיק נקבל למה תנודות הרמוניות? למה לומדים תנודות הרמוניות? למה סוג תנועה זה כל כך חשוב? נניח שחלקיק נע לאורך קוו ישר ואנרגיה פוטנציאלית שלו,U(x) ואין כוחות אחרים.

125 .7.1 תנועה הרמונית פשוטה 121 איור 4.7: חלקיק באנרגיה פוטנציאלית. אנרגיית החלקיק נשמרת: ( ) 2 1 dx 2 m + U(x) = E = const (7.20) dt אם יש שתי נקודות החזרה שבהן,U(x 1 ) = U(x 2 ) = E החלקיק מבצע תנודות בין שתי נקודות החזרה אלה. באופן כללי, זמן המחזור של תנודות אלה תלוי באנרגיה E, לכן תנודות אלה אינן תנודות הרמוניות. נסמן ב- x c את נקודת המינימום שבה F x = ( du ולכן זאת נקודת שיווי מקשל. dx ). בנקודה זו הכוח = 0 ( du dx ) x=x c = 0 שאלת הבנה האם זאת נקודת שיווי משקל יציב או לא יציב? יציב: משני צידי הנקודה x c כיוון הכוח כזה שהוא מחזיר לנקודה זו. אם אנרגית הגוף ) c E = U(x אז הגוף נמצא במנוחה בנקודה x. c נוסיף קצת אנרגיה. הגוף יתנדנד בקרבת נקודת שיווי משקל זו. כאשר תנועה מתקיימת קרוב לנקודה זו, הצורה המדויקת של האנרגיה הפוטנציאלית בכל מקום לא חשובה. קרוב לנקודה זו אפשר להשתמש בקירוב (פיתוח טיילור): ( ) du U(x) = U(x c ) + (x x c ) + 1 ( ) d 2 U (x x dx x=x c 2 dx 2 c ) (7.21) x=x c האיבר הראשון קבוע ולא משפיע על התנועה. האיבר השני מתאפס זהותית, כי נקודה זו היא מינימום של U. במקרים רבים האיבר השלישי אינו אפס, ומספיק קרוב לנקודה x c אפשר להסתפק בו ולזרוק את היתר. במקרה זה נוח להזיז את ראשית ( הקואורדינטות לנקודת המינימום, ז א להחליף סימון x. x c x נסמן d. בנקודת מינימום > 0 k. עם כל זה נקבל 2 U = k dx )x=x 2 c ( ) 2 1 dx 2 m + 1 dt 2 kx2 = const (7.22) ( ) d 2 U k = (7.23) dx 2 x=0 הצצה במבנה של אנרגיה מיד אומר לנו שהתנועה היא תנודות הרמוניות. שימו לב: x זו תזוזה משיווי משקל יציב. השורה התחתונה: תנודות הרמוניות הן תנועה טיפוסית של מערכות קרוב לשיווי משקל יציב. זה מסביר את החשיבות של תנודות הרמוניות.

126 122 פרק 7. תנודות יישומים דוגמה גוף נקודתי בעל מסה m נמצא על מישור אופקי ללא חיכוך ומחובר לקפיץ בעל קבוע קפיץ k. הקצה השני של הקפיץ מקובע בקיר. במערכת הזאת הגוף נמצא בשיווי משקל כאשר הקפיץ רפוי. איור 5.7: קפיץ אופקי. אם התזוזה משיווי המשקל היא x אז אנרגיה הגוף תהיה (m/2)(dx/dt) 2 +(k/2)x 2 והתנועה היא תנודות הרמוניות בתדירות ω. = k/m דוגמה גוף נקודתי בעל מסה m תלוי מחובר לקפיץ בעל קבוע קפיץ k. הקצה השני של הקפיץ מקובע בתקרה. איור 6.7: גוף תלוי על קפיץ.

127 .7.1 תנועה הרמונית פשוטה 123 הפעם בשיווי משקל הקפיץ מתוח באורך l כך שסכום הכוחות מתאפס: = kl.mg l = mg/k אם נזיז את הגוף ממצב שיווי המשקל זה ב- x (התזוזה יכולה להיות גם חיובית וגם שלילית), האנרגיה הנשמרת של הגוף תהיה E = 1 ( ) 2 dx 2 m mgx + 1 dt 2 k(l + x)2 1 2 kl2 (7.24) בביטוי הזה בחרנו את נקודת הייחוס של האנרגיה בשיווי המשקל. אם ניקח בחשבון את ערך ה- l שמצאנו קודם מבדיקת שיווי משקל, נקבל ( ) 2 1 dx 2 m + 1 dt 2 kx2 = const (7.25) והמבנה הזה מחייב תנודות הרמוניות בתדירות ω. 2 = k/m דוגמה מטוטלת מתמטית היא גוף נקודתי מחובר לתקרה באמצעות מוט ללא מסה שאורכו l. הקואורדינטה המתאימה ביותר לתיאור התנועה היא הזווית בין המוט לבין האנך θ. איור 7.7: מטוטלת מתמטית. הגוף נמצא בשיווי משקל כאשר = 0 θ. האנרגיה נשמרת (למה?) ושווה ל- 1 2 mv2 + mgl(1 cos θ) = const (7.26) כאשר נקודת הייחוס לאנרגיית הכבידה נבחרה בנקודת שיווי המשקל. הגוף מבצע תנועה מעגלית, לכן v: = (dθ/dt)l ( ) 2 1 dθ 2 (ml2 ) + mgl(1 cos θ) = const (7.27) dt

128 124 פרק 7. תנודות לביטוי הזה אין צורה אופיינית לתנודות הרמוניות, לכן תנועת הגוף איננה תנועה הרמונית בכל הזוויות. קרוב לשיהווי משקל, 1 θ, אפשר להשתמש בקירוב θ cos 1, 1 2 θ2 ואז האנרגיה מקבלת את הצורה הבאה: ( ) 2 1 dθ 2 (ml2 ) + 1 dt 2 mglθ2 = const (7.28) צורה זו מראה שתנודות עם זוויות קטנות הן תנודות הרמוניות בתדירות ω 2 = mgl ml 2 = g l (7.29) מטוטלת פיזיקלית מטוטלת פיזיקלית היא גוף קשיח אשר יכול להסתובב במישור אנכי סביב ציר אופקי. נסמן ב- l cm את המרחק בין מרכז המסה של הגוף לציר הסיבוב, I cm הוא מומנט ההתמד של הגוף ביחס לציר העובר דרך מרכז המסה ומקביל לציר הסיבוב, m זאת מסתו. איור 8.7: מטוטלת פיזיקלית. לשם שינוי, הפעם נשתמש לא בחישוב האנרגיה אלא ברישום החוק השני של ניוטון לתנועה סיבובית. הגוף נמצא בשיווי משקל, כאשר מרכז המסה שלו נמצא בקוו אנכי מתחת לציר הסיבוב. אם הקו מציר הסיבוב למרכז המסה סוטה בזווית θ מהאנך, מומנט הפיתול של כוח הכבידה הוא τ, = mgl cm sin θ כאשר סימן מינוס מראה שמומנט הפיתול פועל להחזיר את הגוף למצב שיווי משקל. החוק השני של ניוטון מקבל את הצורה הבאה: I d2 θ dt = mgl 2 cm sin θ (7.30) I = I cm + mlcm 2 (7.31)

129 .7.1 תנועה הרמונית פשוטה 125 ה כוח עכשיו אינו פרופורציוני לתזוזה θ, לכן התנודות אינן תנודות הרמוניות לכל הזוויות. במקרה של זוויות קטנות, 1 θ, אפשר להשתמש בקירוב sin θ θ ולקבל (I cm + mlcm) 2 d2 θ dt = mgl cmθ (7.32) 2 הצורה הזאת מחייבת תנודות הרמוניות בתדירות ω 2 = mgl cm (7.33) I cm + mlcm 2 אפשר לקבל מכאן את הביטוי למטוטלת מתמטית כאשר = 0 cm I. הערה: את הנוסחה שקיבלנו אפשר לרשום בצורה הבאה: ( ) g ω 2 1 = (7.34) l cm 1 + I cm /mrcm 2 כאשר g/l cm זאת התדירות בריבוע של מטוטלת מתמטית שאורכה l cm (כאילו גוף נקודתי נמצא במרכז המסה) והתיקון תלוי ביחס I, cm /mr 2 cm כאשר R cm הוא רדיוס הסיבוב של מרכז המסה (שמבקרה זה שווה ל-.( l cm שימו לב שהיחס הזה שיחק תפקיד מרכזי גם בדוגמאות של תנועה סיבובית של גוף קשיח, במיוחד גלגול. האם יש קשר? תרגיל מוט אחיד נמצא בשיווי משקל יציב כאשר הוא נשען במצב אופקי על שני גלגלים קטנים המסתובבים בכיוונים הפוכים במהירויות זוויתיות גבוהות. מסת המוט היא m, מקדם החיכוך הקינטי בין המוט לגלגלים הוא µ, המרחק בין הגלגלים הוא l. מזיזים קצת את המוט הצידה (במקביל לאורכו) ומשחררים. מה תהיה התנועה שלו? איור 9.7: מוט על שני גלגלים. נסמן ב- N 1 את הכוח האנכי שמפעיל הגלגל השמאלי על המוט וב- N 2 את הכוח שהגלגל הימני מפעיל. במצב שיווי משקל מרכז המסה חייב להיות באמצע בין הגלגלים: במצב זה N 1 = N 2 וכוחות החיכוך (אופקיים) של שני הגלגלים שווים בגודלם µn 1 = µn 2 ומנוגדים בכיוונם. במצב כאשר המוט זז ב x משיווי המשקל (כדי שיהיה נוח, נניח שימינה), המרחק בין מרכז המסה לגלגל השמאלי יהיה 2/l + x ולגלגל הימני 2/l. x המוט אינו מסתובב אלא רק נע אופקית, לכן סכום מומנטי הפיתול ביחס לנקודה שרירותית חייב להיות אפס. נבחר פעם את נקודת המגע עם הגלגל שמאלי ופעם עם הגלגל הימני: ( N 1 l mg(l x/2) = 0 N 1 = mg 1 x ) (7.35) ( 2l N 2 l mg(l + x/2) = 0 N 2 = mg 1 + x ) (7.36) 2l