תרגול #6 כוחות (תלות בזמן, תלות במהירות)

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תרגול #6 כוחות (תלות בזמן, תלות במהירות)"

Φοίβη Διαμαντόπουλος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 תרגול #6 כוחות תלות בזמן, תלות במהירות) 27 בנובמבר 213 רקע תיאורטי כח משתנה כתלות בזמן F תלוי בזמן. למשל: ωt) F = F cos כאשר ω היא התדירות. כח המשתנה כתלות במהירות כח גרר force) Drag הינו כח המתנגד לתנועת גוף מוצק בתווך שהוא זורם נוזל או גז), כלומר מנוגד לכיוון מהירותו. שלא כמו כוחות התנגדות אחרים, כגון כח החיכוך, כוח הגרר תלוי בגודל מהירותו של הגוף. כח הגרר תמיד מקטין את גודל מהירותו של הגוף ביחס לתווך כמובן). הכח פרופורציוני למהירות בצורה כלשהי ליניארי, ריבועי): במהירויות נמוכות: F drag = γ v במהירויות גבוהות: F drag = βv 2ˆv למשל, הנוסחה עבור כח גרר הפועל על כנף מטוס: F drag = 1 2 DAρv2 כאשר: D מקדם, A שטח הכנף ו ρ צפיפות הזורם/התווך). ניקח לדוגמא מקרה בו הכח היחיד הפועל על הגוף הוא כח גרר במהירויות נמוכות ונרשום משוואת כוחות. מתוך משוואת הכוחות נקבל משוואת תנועה מיקום/מהירות כפונקציה של הזמן): a = d v dt = γ v אם התנועה היא במימד אחד אחרת יש לפרק לרכיבים): dv = γ dt v dv = γ v dt ) v ln v ln v = ln = γ t t ) v v = v e γ t t) 1

2 מה עושים אם ישנו כח כבידה? מדובר בתוספת של קבוע אל תוך משוואת הכוחות: a = d v dt = γ v + g שוב, נניח לשם פשטות שמדובר בנפילה חופשית ומדובר בתנועה במימד אחד: dv dt = γ v γ ) g dṽ dt = dv dt ואם גוזרים לפי הזמן מקבלים ṽ = v γ ואז ישנו טריק, מגדירים משתנה חדש g. הצבה במשוואה לעיל תיתן: dṽ dt = γ ṽ וזו משוואה שאת הפתרון שלה מצאנו במקרה הקודם: ṽ = ṽ e γ t t) כמובן שכדי לקבל את המהירות בכל רגע t) v ולא את המשתנה החדש שהגדרנו t) ṽ, נצטרך לחזור למשתנה המקורי: v γ g = ṽ e γ t t) v t) = γ g + ṽ e γ t t) ṽ = v γ g v t) = γ g + v ) γ g e γ t t) בעיקרון, כח גרר שתלוי ליניארית במהירות יראה מהצורה של אקספוננט דועך t t) e, γ אולם משוואת התנועה עשויה להיראות טיפה שונה עבור כוחות ) נוספים שפועלים על הגוף וכן.v t) = g γ 1 e γt עבור תנאי התחלה שונים. למשל, בכיתה ראיתם ביטוי מהצורה 2

3 שאלה כח תלוי בזמן.F t) = F 1 t ) על גוף בעל מסה פועל כח F בכיוון ציר x, על פי הנוסחה הבאה: בזמן = t הגוף חוצה את הראשית ) = x במהירות v בכיוון x החיובי. v = ˆ F = a v t = ) = + C = v v t) = F t 1 2 a = F = F א. מצאו את מהירות הגוף בזמן t. = ב. מצאו את מיקום הגוף בזמן t. = פתרון חוק שני של ניוטון יתן לנו ביטוי עבור התאוצה: ) 1 t א. מצאו את מהירות הגוף בזמן t. = a dt = F ˆ 1 t ) dt = F t 1 t 2 ) + C 2 t 2 ) + v v ) = F 12 ) + v = F 2 + v נציב :t = x = ˆ = F 2 ˆ [ F v dt = 1 t 3 t 1 2 ) t 2 + v t + D x t = ) = + + D = x t) = F 1 t ) t 2 + v t 2 3 ב. מצאו את מיקום הגוף בזמן t. = t 2 ) ] + v dt = F 2 t2 F 6 t3 + v t + D קבוע האינטגרציה מתאפס בגלל נתוני ההתחלה =. x נציב :t = x ) = F 1 1 ) 2 + v = F v 3

4 שאלה כוח גרר במהירויות גבוהות, גודל כח הגרר שמפעיל האוויר על כדור הוא מהצורה F. d = bv 2 א. מצאו את המהירות הסופית v של כדור הנופל מגובה רב אין צורך לפתור משוואה דיפרנציאלית). זורקים כדור כלפי למעלה במהירות התחלתית v: = v ב. מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית כאשר הכדור בדרכו למעלה? ג. מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית, כאשר הכדור בדרכו למטה? פתרון א. מצאו את המהירות הסופית של כדור הנופל מגובה רב. נניח והגוף משוחרר ממנוחה, אז כח הכבידה ברגע = t הוא הכח היחיד הפועל עליו כלפי מטה ויש לגוף תאוצה g כלפי מטה אשר מגדילה את מהירותו בכיוון זה. ברגע שלגוף יש מהירות פועל עליו כח גרר שגודלו F d = bv 2 וכיוונו מנוגד למהירות, כלומר כיוונו כלפי מעלה. משוואת הכוחות בכל רגע) היא: F total = g bv 2 = a = dv dt כח הגרר הולך וגדל כיוון שמהירות הגוף הולכת וגדלה עד אשר כח הגרר משתווה לכח הכבידה. שקול הכוחות עליו ברגע זה הוא אפס והגוף ממשיך בתנועתו עם מהירות קבועה מהירות סופית). לכן, אין לנו צורך בלפתור משוואה דיפרנציאלית, כל שעלינו לעשות הוא למצוא את המהירות בה הכוחות מאזנים אחד את השני: g = bv 2 g v = b זורקים כדור ישר למעלה במהירות התחלתית השווה למהירות הסופית מסעיף א. ב. מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית כאשר הכדור בדרך למעלה? כעת, הגוף נע כלפי מעלה. במצב זה כח הכובד וכח הגרר פועלים באותו כיוון כלפי מטה), לכן: F total = g + bv 2 = a a = g + b v2 4

5 התאוצה כאשר המהירות קטנה ל הצבה: v = 1 2 v = g בזמן עלייתו תתקבל פשוט על ידי 4b a = g + b g 4b = g g = 5 4 g ג. מהי תאוצת הכדור כאשר מהירותו שווה לחצי ממהירותו ההתחלתית, כאשר הכדור בדרך למטה? כעת אנו רוצים לחשב בזמן ירידתו. כלפי מטה), לכן: במצב זה כח הכובד וכח הגרר פועלים באותו כיוון F total = g bv 2 = a a = g b v2 התאוצה כאשר המהירות שוב שווה ל ידי הצבה: v = 1 2 v = g בזמן ירידתו, תתקבל פשוט על 4b a = g b g 4b = g 1 4 g = 3 4 g שאלה דלי עם מים מסובבים דלי מים קשור בחבל שאורכו R = 1.2 בצורה אנכית. מהי המהירות המינימלית של הדלי בנקודת הפסגה כך שהמים לא ישפכו? פתרון הכוחות הפועלים על הדלי הוא כח הכבידה כלפי מטה, כח המתיחות לאורך החוט ואל מרכזו, אולם אנו מתעניינים במה שמתרחש עבור המים. על המים פועלים כח כבידה וכח נורמל שמפעילים דפנות הדלי על המים. הדלי מבצע תנועה מעגלית ולכן יהיה לנו נח לכתוב משוואת כוחות עבור הרכיב הרדיאלי והרכיב המשיקי. ביקשו מאיתנו את המהירות המינימלית בנקודת הפסגה עבורה המים לא ישפכו. נסתפק במשוואת הכוחות עבור נקודה זו: F r,i = a r i N + g sin θ = a r = v2 R ) v 2 N = R g 5

6 שימו לב שעבור מהירויות שונות בנקודת הפסגה, כח הנורמל הפועל על המים יהא שונה. למעשה, ככל שהמהירות יותר גבוהה כך כח הנורמל יהיה גדול יותר. כח הנורמל גדול או שווה לאפס N. כאשר המים מתנתקים, למעשה הם אינם עוד במגע עם הדלי ולא פועל כח נורמל. כלומר, התנאי הוא ש = N: ) v 2 = in R g v in = gr = = 3.43 /s 6

Σχετικά έγγραφα

תרגול #5 כוחות (נורמל, חיכוך ומתיחות)

תרגול #5 כוחות (נורמל, חיכוך ומתיחות) תרגול #5 כוחות נורמל, חיכוך ומתיחות) 19 בנובמבר 013 רקע תיאורטי כח הוא מידה של אינטרקציה בין כל שני גופים. היחידות הפיסיקליות של כח הן ניוטון.[F ] = N חוקי ניוטון 1. חוק הפעולה והתגובה כאשר סך הכוחות כח