דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics"

Αιθήρ Καψής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics r = r (t + t) r (t) v t 0 = r t a t 0 = v t v B = v B v A A העתק )Displacement( שינוי של ווקטור R בזמן t ווקטור מהירות קווית של חלקיק )Velocity(

a tangent = v t = αr a normal = v2 r = ω2 r ω = dθ dt α = dω dt במסלול מעוקם ווקטור המהירות אינו מקביל לווקטור התאוצה, ולכן נהוג לפרק את ווקטור התאוצה לרכיבים רכיב תאוצה משיקי acceleration(

Acceleration( )Angular ווקטור תאוצה זוויתית מקביל לווקטור מהירות זוויתית, ומאונך למישור התנועה. כיוונו ע"פ כלל יד ימין.

1 דף נוסחאות - דינמיקה של גוף קשיח Rigid Body Dynamics r = r (t + t) r (t) v t 0 = r t a t 0 = v t v B = v B v A A העתק )Displacement( שינוי של ווקטור R בזמן t ווקטור מהירות קווית של חלקיק )Velocity( ווקטור המקביל להעתק והמשיק למסלול ווקטור תאוצה קווית )Acceleration( מהירות יחסית velocity( )Relative A ביחס ל B תנועת חלקיק במסלול מעוקם מחייבת תאוצה. a tangent = v t = αr a normal = v2 r = ω2 r ω = dθ dt α = dω dt במסלול מעוקם ווקטור המהירות אינו מקביל לווקטור התאוצה, ולכן נהוג לפרק את ווקטור התאוצה לרכיבים רכיב תאוצה משיקי acceleration( )Tangential component of מקביל לווקטור המהירות רכיב תאוצה נורמלי acceleration( )Normal component of מאונך לווקטור המהירות, מכוון למרכז המעקם מהירות זוויתית Velocity( )Angular תאוצה זוויתית Acceleration( )Angular ווקטור תאוצה זוויתית מקביל לווקטור מהירות זוויתית, ומאונך למישור התנועה. כיוונו ע"פ כלל יד ימין. גוף קשיח Body( )Rigid גוף שהמרחק בין שתי נקודות הנמצאות עליו נשאר קבוע תנועת העתקה של גוף קשיח )Translation( כאשר קו שנמצא על הגוף נשאר מקביל לאוריינטציה ההתחלתית שלו במהלך כל התנועה. תנועה סיבובית של גוף קשיח axis( )Rotation about fixed כאשר גוך קשיח מסתובב סביב ציר סיבוב קבוע. כל החלקיקים שעל הגוף מלבד אלו שנמצאים על ציר הסיבוב, נעים במסלול מעגלי

2 v = ωr a t = αr a n = ω 2 R = V2 R מהירות משיקית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע תאוצה משיקית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע Tangential acceleration measures the rate of change in the magnitude of the velocity תאוצה נורמלית של נקודה המסתובבת סביב מרכז קבוע Normal acceleration measures the rate of change in the direction of the velocity נוסחאות קינמטיות עבור תנועה מעגלית ω(t) = ω 0 + αt ω 2 = ω α(θ θ 0 ) θ(t) = θ 0 + ω 0 t αt2 n = θ 2π מהירות זוויתית ברגע t עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה ω(t) מהירות זוויתית ברגע t כלשהוא מהירות זוויתית התחלתית תאוצה זוויתית קבועה ω 0[ rad α [ rad sec 2] [sec] t הרגע עבורו מחשבים את המהירות הזוויתית מהירות זוויתית כתלות בזווית סיבוב עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה מהירות זוויתית תאוצה זוויתית קבועה זווית הסיבוב הרגע מסויים שעבורו מחשבים את המהירות הזוויתית זווית התחלתית ω rad [ α rad [ sec 2] θ [rad] θ 0 [rad] זווית סיבוב ברגע t כלשהוא עבור מקרה בו התאוצה הזוויתית קבועה זווית סיבוב שגוף מבצע כעבור t שניות זווית התחלתית מהירות זוויתית התחלתית θ(t) [rad] θ 0 [rad] ω 0[ rad [sec] t הרגע עבורו מחשבים את זווית הסיבוב [ α תאוצה זוויתית קבועה rad sec 2] מספר סיבובים שגוף מבצע [rev] n מספר סיבובים [rad] θ זווית שהגוף עבר כעבור n סיבובים v B = v A + ω AB AB a B = a A + α AB ω 2 AB נוסחא פולרית למהירות גוף קשיח AB נוסחא פולרית לתאוצת גוף קשיח AB

תנאי גלגול ללא החלקה קיים משיק משותף לגופים נסמן נקודות מגע בין הגופים )נק' A על גוף 1, ונק' B על גוף /( מתקיים תנאי מהירויות עבור נקודות מגע V A = V B מתקיים תנאי תאוצות עבור נקודות מגע a Ax = a Bx

3 תנאי גלגול ללא החלקה קיים משיק משותף לגופים נסמן נקודות מגע בין הגופים )נק' A על גוף 1, ונק' B על גוף /( מתקיים תנאי מהירויות עבור נקודות מגע V A = V B מתקיים תנאי תאוצות עבור נקודות מגע a Ax = a Bx מקרה פרטי גלגול ללא החלקה - גלגל על משטח ישר נייח V B = (0,0,0) a B = (0,0,0) נק B היא חלק מהקרקע, ולכן היא נייחת ולכן אין לה מהירות ולא תאוצה בכלל V A = V B = (0,0,0) a Ax = a Bx = 0 נק' A,B נוגעות אחת בשניה באופן רגעי, ומכיוון שמדובר בגלגול ללא החלקה חייב שבאותו הרגע המהירויות שלהם יהיו שוות בדיוק. אבל V A = (0,0,0) a A = (a At, a An, 0) = (αr, v A 2 נק' A נעה במסלול מעגלי, ולכן יש לה רכיב תאוצה נורמלי, ורכיב תאוצה משיקי. בגלל תנאי מהירויות נקודות מגע, הרכיב המשיקי של התאוצה מתאפס. R, 0) = (a A x = a Bx = 0, ω 2 R, 0) = (0, ω 2 R, 0) v O = (ωr, 0, 0) a O = (αr, 0, 0) נק O נעה במסלול ישר, היא נקודת מרכז סיבוב הגלגל, והיא חלק מהגלגל, ולכן היא נעה יחד עם הגלגל. המהירות והתאוצה שלה בציר x מושפעים מהמהירות הזוויתית של הגלגל תאוצה זוויתית, וגודל הגלגל.

4 מקרה פרטי שני גלגלים בעלי משיק משותף, מסתובבים ללא החלקה ω 1 = (0,0, ω 1 ) v O1 = (0,0,0) v A = (v Ax,0,0) = (ω 1 r 1, 0,0) a A = (a At, a An, 0) = (α 1 r 1, ω 2 1 r 1,0) ω 2 = (0,0, ω 2 ) v O2 = (0,0,0) v B = (v Bx,0,0) = ( ω 2 r 2, 0,0) a B = (a Bt, a Bn, 0) = (α 2 r 2, ω 2 2 r 2,0) ע"פ תנאי גלגול ללא החלקה, מתקיים: V A = V B (ω 1 r 1, 0,0) = ( ω 2 r 2, 0,0) ω 1 r 1 = ω 2 r 2 a Ax = a Bx a At = a Bt α 1 r 1 = α 2 r 2

5 ΣF = ma G ΣF y = ma G y חוק שני עבור גוף קשיח משוואת סכום כוחות עבור גוף קשיח ΣF x = ma G x ΣM o = H = OG ma G + I G α משוואת סכום מומנטים עבור תנועה במישור ΣM o סכום מומנטים סביב נק' כלשהיא O שהיא לא נק' מרכז מסה H נגזרת של תנע זוויתי O זרוע המרחק מנק' מרכז מסה לנקודה כלשהיא OG m מסת הגוף a ווקטור תאוצת מרכז כובד G I G מומנט אינרציה מרכזי של הגוף ביחס לציר המאונך למישור התנועה α ווקטור תאוצה זוויתית ΣM G = I G α משוואות סכום מומנטים עבור תנועה במישור סביב נקודת מרכז מסה G I = I G + md 2 מומנט אנרציה של מסה משפט צירים מקבילים )שטיינר( ] 2 I [kg m מומנט אנרציה של מסה 2 גוף סביב נקודה כלשהיא G[kg m2] I מומנט אנרציה מרכזי סביב ציר מרכז כובד [kg] m מסת הגוף [m] d מרחק אנכי בין נקודה כלשהיא לנקודת מרכז הכובד של הגוף k = I m רדיוס גירציה נתון שמופיע בטבלה, עבור גופים לא סטנדרטיים שקשה לחשב עבורם את מומנט האנרציה, ולכן מומנט אנרציה שלהם נמדד בניסוי ומבוטא באמצעות רדיוס גרציה. [m] k רדיוס גירציה מומנט אנרציה m I [kg m 2 ] [kg] מסת הגוף I = mk 2 מומנט אנרציה של גוף כאשר ידוע רדיוס גירציה של הגוף מומנט אנרציה m I [kg m 2 ] [kg] k [m] מסת הגוף רדיוס גירציה מערכת צירים מרכזית מערכת צירים שראשיתם נמצא בנקודת מרכז מסה 2 G מרכז שטח מערכת צירים ראשית שוות אפס. מערכת צירים שנמצאת על צירי הסימטריה של הגוף, ומכפלות האינרציה שלה מערכת צירים מרכזית וראשית מערכת צירים שראשיתה נמצאת בנקודת מרכז שטח 2 מסה וגם נמצאת על צירי הסימטריה של הגוף, ולכן מכפלות האינרציה שלה שוות אפס.

6 E 1 + ΣW 1 2 = E 2 משפט עבודה ואנרגיה [J] E 1 אנרגיה )פוטנציאלית כובדתית,קינטית קווית,קינטית סיבובית,אלסטית( במצב ΣW סכום כל העבודות שנעשות על המערכת במעבר ממצב 1 למצב / [J] E 2 אנרגיה )פוטנציאלית כובדתית, קינטית קווית,קינטית סיבובית,אלסטית( במצב / E k = 1 2 I Gω 2 E k = 1 2 I Oω 2 = 1 2 (I G + md 2 )ω 2 אנרגיה קינטית עבור תנועה סיבובית סביב ציר קבוע שעובר בנק' מרכז מסה של הגוף אנרגיה קינטית עבור תנועה סיבובית סביב ציר קבוע שעובר בנק' מרכז סיבוב רגעי O נקודת מרכז סיבוב רגעי IC = Instantaneous Center 1.מפגש האנכים לווקטור המהירות של / נקודות על הגוף מהווה מרכז סיבוב רגעי /.ציר סיבוב קבוע מהווה מרכז סיבוב רגעי 3.נקודת מגע עם קרקע נייחת בגלגל ללא החלקה מהווה מרכז סיבוב רגעי W F = F cos(θ) s W F = F cos(90) s = 0 עבודת כח קבוע [N] F עבודת כח קבוע cos(θ) קוסינוס הזווית בין ווקטור הכח למסלול שמבצעת הנקודה שעליה פועל הכח [m] s מסלול שמבצעת הנקודה בהשפעת הכח כוח שפועל על הגוף בכיוון מאונך לכיוון המסלול שמבצע הגוף אינו מבצע עבודה W fk = f s = μ k N s עבודת כח חיכוך קינטי [N] f כח חיכוך קינטי תמיד מבצע עבודה שלילית μ k מקדם חיכוך קינטי [N] N כח נורמלי [m] s מסלול שמבצעת הנקודה בהשפעת הכח כוח חיכוך סטטי אינו מבצע עבודה )מכיוון שהוא פועל על נק' נייחת( W M = MΔθ [rad] עבודת מומנט טהור קבוע עבודת המומנט תהיה חיובית כאשר סיבוב הגוף מתבצע בכיוון המומנט θ 0 +θ 1 W torsion spring = (k θ)dθ θ 0 עבודת קפיץ פיתול [ N m k קבוע קפיץ פיתול rad ] θ [rad] זווית פיתול E P = mgh G E elastic = 1 2 k l2 אנרגיה פונטציאלית כובדית של מרכז מסה אנרגיה פונטציאלית אלסטית

7 H A = md 2 ω A ווקטור תנע זוויתי עבור חלקיק שמסתובב סביב נק' A כלשהיא H G = I G ω G ווקטור תנע זוויתי של גוף שמסתובב סביב נק' מרכז כובד G G תנע זוויתי של גוף סביב נקודת מרכז כובד H G[kg m 2 s ] ] 2 I G [kg m מומנט אנרציה מרכזי של הגוף G מהירות זוויתית של הגוף סביב נק' מרכז כובד ω [ rad H A = I A ω A = I G ω A + mv g d = I G ω A + md 2 ω A תנע זוויתי של גוף מסתובב סביב נק' כלשהיא H A[kg m 2 תנע זוויתי של גוף שמסתובב סביב נקודה כלשהיא s ] ] 2 I G [kg m מומנט אנרציה מרכזי של הגוף [ ω מהירות זוויתית של הגוף סביב נק' כלשהיא rad [kg] m מסת הגוף v ]G m מהירות קווית של נקודת מרכז כובד s 2] d [m] זרוע המרחק מציר הסיבוב )נק' A( לנקודת מרכז כובד של הגוף H IC = I IC ω IC תנע זוויתי של גוף מסתובב סביב נק' מרכז סיבוב רגעי [kg H IC תנע זוויתי של גוף סביב נקודה כלשהיא m 2 s ] ] 2 I IC [kg m מומנט אנרציה של הגוף סביב ציר סיבוב רגעי )משתמשים במשפט שטיינר( [ ω מהירות זוויתית של הגוף rad (H G ) 1 = (H G ) 2 שימור תנע זוויתי Momentum( )Conservation of Angular תנע זוויתי של מערכת גופים קשיחים נשמר ביחס לנקודת G מרכז כובד )או נקודת ציר סיבוב O(, כאשר סכום כל המתקפים הזוויתיים סביב נקודה זו הם אפס או שהם קטנים עד כדי הזנחה. ייתכן בהחלט מצב שבו תנע קווי אינו נשמר אבל תנע זוויתי כן נשמר. מצב כזה מתרחש כאשר הכוחות החיצוניים שפועלים על הגוף, פועלים על נקודת מרכז הכובד )או על על נקודת ציר הסיבוב של הגוף( ולכן משנים את התנע הקווי אך לא את התנע הזוויתי. m(v G ) 1 + Σ F dt = m(v G ) 2 משוואת מתקף ותנע קווי (H G ) 1 + Σ M G dt = (H G ) 2 משוואת מתקף ותנע זוויתי

8 1920/2/01/ תנועת גוף קשיח במרחב ω = ω spin + ω precession ווקטור מהירות זוויתית עבור גוף שמבצע תנועת ספין ותנועה סיבובית I G 0 0 x ω x I G x ω x H G = [I G ]ω = [ 0 I G 0 y ] ( ω y ) = ( I Gy ω y ) 0 0 I G ω z I z Gz ω z α = ω = α s + α p + ω p ω s H G = [I G ]α + ω H G ווקטור תנע זוויתי מרכזי טנזור מומנטי אינרציה אלכסוני נכון עבור מערכת צירים מרכזית וראשית בלבד ווקטור תאוצה זוויתית אחראי על שינוי גודל ושינוי כיוון נגזרת תנע זוויתי מרכזי ΣM G = H G סכום מומנטים דינמיים סביב נקודת מרכז כובד )ע"פ חוק II של ניטון(

מומנט אנרציה מסי של גופים inertia( )Mass Moment of I G = 1 12

מוט דק I = 1 3 ml2 מומנט אנרציה של מוט דק I G = 1 2 mr2 מומנט

גליל מלא I = 1 2 mr2 מומנט אנרציה של חישוק דק I = mr 2 מומנט

9 מומנט אנרציה מסי של גופים inertia( )Mass Moment of I G = 1 12 ml2 מומנט אנרציה מרכזי של מוט דק I = 1 3 ml2 מומנט אנרציה של מוט דק I = 1 3 ml2 מומנט אנרציה של מוט דק I G = 1 2 mr2 מומנט אנרציה מרכזי של גליל מלא I = 1 4 mr ml2 מומנט אנרציה של גליל מלא I = 1 2 mr2 מומנט אנרציה של חישוק דק I = mr 2 מומנט אנרציה של צינור דק )טבעת( I = 1 2 m(r R 2 2 ) מומנט אנרציה של צינור

10 I G = 1 12 m(a2 + b 2 ) מומנט אנרציה מרכזי של פלטה מלבנית דקה I = 1 3 ma2 מומנט אנרציה של דלת דקה I = 2 5 mr2 מומנט אנרציה של ספירה )כדור מלא( I = 2 3 mr2 מומנט אנרציה של קליפה כדורית )כדור דק חלול(

Σχετικά έγγραφα

תרגול 6 חיכוך ותנועה מעגלית

נכתב ע"י עומר גולדברג תרגול 6 חיכוך ותנועה מעגלית Physics1B_2017A חיכוך כוח הנובע ממגע בין שני משטחים. אם יש כוח חיצוני הפועל על גוף בניסיון לייצר תנועה, ייווצר כוח בכיוון ההפוך כתוצאה מחיכוך. אם אין תנועה