Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Transcript

1 Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

2 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Ε ν ν ο ι α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η y = αx + β Προτεινω στους φιλους μαθητες να ξεφυλλισουν το βιβλιο αυτο και να εχουν την ευκαιρια να προσπαθησουν πρωτα μονοι τους να λυσουν την ασκηση ( με τη μικρη βοηθεια που τους παρεχεται στην εκφωνηση ). Μονο στην αναγκη να γυρισουν σελιδα για να δουν τη λυση. Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

3 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους καλους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 04 H δικη μου αποψη για την τραπεζα θεματων

4 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α. Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς

5 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 5 Θ ε μ α ο 868 Σε ενα τμημα της Α Λυκειου καποιοι μαθητες παρακολουθουν μαθηματα Αγγλικων και καποιοι Γαλλικων. Η πιθανοτητα ενας μαθητης να μην παρακολουθει Γαλλικα ειναι 0,8. Η πιθανοτητα ενας μαθητης να παρακολουθει Αγγλικα ειναι τετραπλασια απο την πιθανοτητα να παρακολουθει Γαλλικα. Τελος, η πιθανοτητα ενας μαθητης να παρακολουθει μαθηματα τουλαχιστον μιας απο τις δυο γλωσσες ειναι 0,9. α) Επιλεγουμε ενα μαθητη στην τυχη. (Μοναδες 9) i) Ποια ειναι η πιθανοτητα αυτος να παρακολουθει μαθηματα και των δυο γλωσσων; (Μοναδες 9) ii) Ποια ειναι η πιθανοτητα αυτος να παρακολουθει μαθηματα μονο μιας απο τις δυο γλωσσες; β) Αν 4 μαθητες παρακολουθουν μονο Αγγλικα, ποσοι ειναι οι μαθητες του τμηματος; (Μοναδες 7) Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α: πληθος ευνοικων περιπτωσεων του Α ειναι το πηλικο Ρ(Α) = πληθος δυνατων περιπτωσεων Ρ(Α Β ) = P(A) + P(B) P(Α Β ) Ρ(Α ) = - P(A) Ρ(Α - B) = P(A) P(Α Β ) N(A) = N(Ω)... χ ρ η σ ι μ ο

6 6 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η 868 Οριζουμε τα ενδεχομενα: Α: Ο μαθητης παρακολουθει Αγγλικα Γ: Ο μαθητης παρακολουθει Γαλλικα Γ : Ο μαθητης δεν παρακολουθει Γαλλικα οποτε, προκυπτουν τα ενδεχομενα: A Α Γ : Ο μαθητης παρακολουθει μαθηματα τουλαχιστον μιας απο τις δυο γλωσσες. Γ : Ο μαθητης παρακολουθει μαθηματα και των δυο γλωσσων. (Α - Γ) (Γ - Α) και : Ο μαθητης παρακολουθει μαθηματα μονο μιας απο τις δυο γλωσσες. Ρ(Γ') = 0,8 Ρ(Γ) = - Ρ(Γ') = - 0,8 = 0, Ρ(Α) = 4Ρ(Γ) = 4 0, = 0,8 Ρ(A Γ) = 0, 9 Ετσι α) i) Ρ(Α Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Γ) - Ρ(Α Γ) = 0,8 + 0, - 0,9 = 0, ii) Τα ενδεχομενα Α Γ και Γ Α ειναι ασυμβιβαστα, οποτε : Ρ[(Α - Γ) β) Ειναι (Γ - Α)] = Ρ(Γ - Α) + Ρ(Α - Γ) = Ρ(Γ) - Ρ(Α Γ) + Ρ(Α) - Ρ(Α Γ) = = 0, + 0,8-0, = 0,8 Ρ(Α - Γ) = Ρ(Α) - Ρ(Α Γ) = 0,8-0, = 0,7 ετσι Ν(Α - Γ) 4 4 Ρ(Α - Γ) = 0, 7 = Ν(Ω) = Ν(Ω) = 0. Ν(Ω) Ν(Ω) 0, 7 Το τμημα εχει 0 μαθητες.

7 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 7 Θ ε μ α ο 936 Η εξεταση σε εναν διαγωνισμο των Μαθηματικων περιλαμβανε δυο θεματα τα οποια επρεπε να απαντησουν οι εξεταζομενοι. Για να βαθμολογηθουν με αριστα επρεπε να απαντησουν και στα δυο θεματα, ενω για να περασουν την εξεταση επρεπε να απαντησουν σε ενα τουλαχιστον απο τα δυο θεματα. Στο διαγωνισμο εξετασθηκαν 00 μαθητες. Στο πρωτο θεμα απαντησαν σωστα 60 μαθητες. Στο δευτερο θεμα απαντησαν σωστα 50 μαθητες, ενω και στα δυο θεματα απαντησαν σωστα 30 μαθητες. Επιλεγουμε τυχαια ενα μαθητη. α) Να παραστησετε με διαγραμμα Venn και με χρηση της γλωσσας των συνολων (οριζοντας τα καταλληλα ενδεχομενα) τα παραπανω δεδομενα. (Μοναδες 3) β) Να υπολογισετε την πιθανοτητα ο μαθητης: i) Να απαντησε σωστα μονο στο δευτερο θεμα. ii) Να βαθμολογηθει με αριστα. iii) Να μην απαντησε σωστα σε κανενα θεμα. iv) Να περασε την εξεταση. (Μοναδες ) Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α: πληθος ευνοικων περιπτωσεων του Α ειναι το πηλικο Ρ(Α) = πληθος δυνατων περιπτωσεων Ρ(Α Β ) = P(A) + P(B) P(Α Β ) Ρ(Α ) = - P(A) Ρ(Α - B) = P(A) P(Α Β ) ασυμβιβαστα N(A) + Ν(Β) Ρ(Α Β ) = P(A) + P(B) = ενδεχομενα N(Ω) N(A) = N(Ω)... χ ρ η σ ι μ ο

8 8 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η 936 Οριζουμε τα ενδεχομενα: Α: Ο μαθητης απαντησε σωστα στο πρωτο θεμα Γ: Ο μαθητης απαντησε σωστα στο δευτερο θεμα οποτε, προκυπτουν τα ενδεχομενα: Β Α : Ο μαθητης απαντησε σωστα μονο στο δευτερο θεμα Α (A Β Β)' : Ο μαθητης απαντησε σωστα και στα δυο θεματα (αριστα) (Α - Β) (Β - Α) και : Ο μαθητης δεν απαντησε σωστα σε κανενα απ τα δυο θεματα : Ο μαθητης απαντησε σωστα σε ενα απ τα δυο θεματα (περναει) Ρ(Γ') = 0,8 Ρ(Γ) = - Ρ(Γ') = - 0,8 = 0, Ρ(Α) = 4Ρ(Γ) = 4 0, = 0,8 Ρ(A Γ) = 0, 9 Ετσι Ν(Ω) = 00, Ν(Α) = 60, Ν(Β) = 50, Ν(Α Β) = 30 Ν(Α) 60 3 Ν(Β) 50 Ν(Α Β) 30 3 Ρ(Α) = = =, Ρ(Β) = = =, Ρ(Α Β) = = = Ν(Ω) 00 5 Ν(Ω) 00 Ν(Ω) 00 0 α) β) Α Β (Α - Β) (Β - Α) i) iii) Ρ(Β - Α) = Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = = - = = = Ρ(ΑÈΒ)' = P(A -Ρ(Α B) Β) = - (Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β)) = - Ρ(Α) - Ρ(Β) + Ρ(Α Β) = iv) Ω = = = = Tα ενδεχομενα (Α - Β), (Β - Α) ασυμβιβαστα ετσι Α Ρ[(Α - Β) Α - Β Α Β Β Β - Α (Α Β)' ii) 3 Ρ(Α Β) = 0 (Β - Α)] = Ρ(Α - Β) + Ρ(Β - Α) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = + - = = =

9 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 9 Θ ε μ α 3 ο 064 Σε μια ομαδα που αποτελειται απο 7 ανδρες και 3 γυναικες, 4 απο τους ανδρες και απο τις γυναικες παιζουν σκακι. Επιλεγουμε τυχαια ενα απο τα ατομα αυτα. α) Να παραστησετε με διαγραμμα Venn και με χρηση της γλωσσας των συνολων το ενδεχομενο το ατομο που επιλεχθηκε: i) να ειναι ανδρας η να παιζει σκακι. (Μοναδες 6) ii) να μην ειναι ανδρας και να παιζει σκακι. (Μοναδες 6) β) Να υπολογισετε την πιθανοτητα το ατομο που επιλεχθηκε να ειναι γυναικα και να παιζει σκακι. (Μοναδες 3) Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α: πληθος ευνοικων περιπτωσεων του Α ειναι το πηλικο Ρ(Α) = πληθος δυνατων περιπτωσεων Ρ(Α - B) = P(Α Β' ) N(A) = N(Ω)... χ ρ η σ ι μ ο

10 0 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η 064 Οριζουμε τα ενδεχομενα: Α : Tο ατομο να ειναι aντρας Β : Tο ατομο να παιζει σκακι Γ : Tο ατομο να ειναι γυναικα οποτε, προκυπτουν τα ενδεχομενα: A Β : Tο ατομο να ειναι aντρας η να παιζει σκακι Β Α η Α' Β : Tο ατομο να μην ειναι aντρας και να παιζει σκακι Β Α η Α' και Β η Γ Β : Tο ατομο να ειναι γυναικα και να παιζει σκακι Ν(Ω) = 0, Ν(Α) = 7, Ν(Β) = 6, Ν(Γ) = 3, Ν(Α Β) = 4, Ν(Γ Β) =, Ν(Β - Α) = Ν(Α) 7 Ν(Β) 6 Ν(Γ) 3 Ν(Α Β) 4 Ρ(Α) = =, Ρ(Β) = =, Ρ(Γ) = =, Ρ(Α Β) = = Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 α) i. ii. A β) Ω Β : Tο ατομο να ειναι aντρας η Β Α η Α' Β Α να παιζει σκακι 6 4 Ρ(Β - Α) = P(Α' Β ) = Ρ(Β) -Ρ(Α Β) = - = = 0, Α λ λ ι ω ς Ν(Β - Α) P(Β - Α) = = = = 0, Ν(Ω) 0 0 Β Α λ λ ι ω ς Πιθανοτητα ισοδυναμου ενδεχομενου «να ειναι γυναικα και να παιζει σκακι» Ν(Γ Β) P(Γ Β) = = = = 0, Ν(Ω) 0 0 Ω Α : Tο ατομο να μην ειναι aντρας και να παιζει σκακι Β

11 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Θ ε μ α Οι δραστες μιας κλοπης διεφυγαν μ ενα αυτοκινητο και μετα απο την καταθεση διαφορων μαρτυρων εγινε γνωστο οτι ο τετραψηφιος αριθμος της πινακιδας του αυτοκινητου ειχε πρωτο και τεταρτο ψηφιο το. Το δευτερο ψηφιο ηταν 6 η 8 η 9 και το τριτο ψηφιο του ηταν 4 η 7. α) Με χρηση δενδροδιαγραμματος, να προσδιορισετε το συνολο των δυνατων αριθμων της πινακιδας του αυτοκινητου. (Μοναδες 3) β) Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των παρακατω ενδεχομενων Α: Το τριτο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας ειναι το 7. Β: Το δευτερο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας ειναι 6 η 8. Γ: Το δευτερο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας δεν ειναι ουτε 8 ουτε 9. (Μοναδες )... χ ρ η σ ι μ ο Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α: πληθος ευνοικων περιπτωσεων του Α ειναι το πηλικο Ρ(Α) = πληθος δυνατων περιπτωσεων N(A) = N(Ω)

12 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η 073 α) ο ο 3 ο 4 ο δ.χωρος Συνολο δυνατων αριθμων πινακιδας: β) Ω = {64, 67, 84, 87, 94, 97} με Ν(Ω) = 6 Οριζουμε τα ενδεχομενα: Α : Το τριτο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας ειναι το 7 Β : Το δευτερο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας ειναι 6 η 8 Γ : Tο δευτερο ψηφιο του αριθμου της πινακιδας δεν ειναι ουτε 8, ουτε 9 και Α = {67, 87, 97} με Ν(Α) = 3 Β = {64, 67, 84, 87} με Ν(Β) = 4 Γ = {64, 67} με Ν(Γ) = Ετσι Ν(Α) 3 P(Α) = = = Ν(Ω) Ω Ν(Β) 4 P(Β) = = = Ν(Ω) 6 3 Ν(Γ) P(Γ) = = = Ν(Ω) 6 3

13 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 3 Θ ε μ α 5 ο 080 Απo μια ερευνα μεταξυ μαθητων ενος Λυκειου της χωρας, προεκυψε οτι το 80% των μαθητων πινει γαλα η τρωει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και μελι στο σπιτι το πρωι. Επιλεγουμε ενα μαθητη στην τυχη και οριζουμε τα ενδεχομενα: Α: ο μαθητης πινει γαλα Β: ο μαθητης τρωει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και μελι Αν απο το συνολο των μαθητων το 60% πινει γαλα και το 45% τρωει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και μελι, α) Να ορισετε με χρηση της γλωσσας των συνολων τα ενδεχομενα: i) ο μαθητης ουτε να πινει γαλα ουτε να τρωει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και μελι ii) ο μαθητης να πινει γαλα και να τρωει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και μελι iii) ο μαθητης να πινει μονο γαλα. (Μοναδες ) β) Να υπολογισετε την πιθανοτητα πραγματοποιησης των ενδεχομενων του α) ερωτηματος. (Μοναδες 3) Ρ(Α Β ) = P(A) + P(B) P(Α Β ) Ρ(Α ) = - P(A) Ρ(Α - B) = P(A) P(Α Β ) = P(Α Β' ) Ρ(Α' Β' ) = P((Α Β)' )... χ ρ η σ ι μ ο

14 4 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η 080 α) Οριζουμε τα ενδεχομενα: Γ : ο μαθητης ουτε να πινει γαλα ουτε να τρωει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και μελι Δ : ο μαθητης να πινει γαλα και να τρωει δυο φετες ψωμι με βουτυρο και μελι Ε : ο μαθητης να πινει μονο γαλα i) Γ = A' B' = (Α Β)' ii) Δ = Α iii) Β Ε = Α - Β = Α β) Ειναι Β' Ρ(Α) = 0,6 Ρ(Β) = 0,45 P(A B) = 0,8 Ετσι P(Γ) = P((A B)') = - P(A B) = - 0,8 = 0, P(Δ) = P(A B) = P(Α) + P(Β) - P(A B) = 0,6 + 0,45-0,8 = 0,5 P(Ε) = P(A - B) = P(Α) - P(A B) = 0,6-0,5 = 0,35 Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς h t t p : // d r m a t h s 5 8 d e m o. b l o g s p o t. g r

15 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς 5 Θ ε μ α 6 ο 644 Μια ημερα, στο τμημα Α ενος Λυκειου, το των μαθητων δεν εχει διαβασει ουτε Αλγεβρα 4 ουτε Γεωμετρια, ενω το των μαθητων εχει διαβασει και τα δυο αυτα μαθηματα. 3 Η καθηγητρια των μαθηματικων επιλεγει τυχαια ενα μαθητη για να τον εξετασει. Οριζουμε τα ενδεχομενα: Α : ο μαθητης να εχει διαβασει Αλγεβρα Γ : ο μαθητης να εχει διαβασει Γεωμετρια a) Να παραστησετε με διαγραμμα Venn και με χρηση της γλωσσας των συνολων τα δεδομενα του προβληματος. (Μοναδες 9) β) Να υπολογισετε την πιθανοτητα ο μαθητης: i) να εχει διαβασει ενα τουλαχιστον απο τα δυο μαθηματα ii) να εχει διαβασει ενα μονο απο τα δυο μαθηματα. (Μοναδες 8) γ) Αν γνωριζουμε επιπλεον οτι οι μισοι απο τους μαθητες εχουν διαβασει Γεωμετρια, να βρειτε την πιθανοτητα ο μαθητης: i) να εχει διαβασει Γεωμετρια ii) να εχει διαβασει Αλγεβρα. (Μοναδες 8) Π ι θ α ν ο τ η τ α Ρ(Α) του ενδεχομενου Α: πληθος ευνοικων περιπτωσεων του Α ειναι το πηλικο Ρ(Α) = πληθος δυνατων περιπτωσεων Ρ(Α Β ) = P(A) + P(B) P(Α Β ) Ρ(Α - B) = P(A) P(Α Β ) = P(Α Β' )... χ ρ η σ ι μ ο N(A) = N(Ω)

16 6 Π ι θ α ν ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η 644 α) β) Ο μαθητης δεν εχει διαβασει ουτε Αλγεβρα ουτε Γεωμετρια: (Α Γ) (μπλε) Ο μαθητης εχει διαβασει Αλγεβρα και Γεωμετρια : Α Γ (κοκκινο) Ειναι Ν(Ω) Ν(Α Γ)' 4 Ν(Α Γ)' = Ν(Ω) οποτε Ρ(Α Γ)' = = = 4 Ν(Ω) Ν(Ω) 4 Ν(Ω) Ν(Α Γ) 3 Ν(Α Γ) = Ν(Ω) οποτε Ρ(Α Γ) = = = 3 Ν(Ω) Ν(Ω) 3 i) 3 Ρ(Α Γ) = - Ρ(Α Γ)' = - =. 4 4 ii) Α Γ και Γ Α ειναι ασυμβιβαστα ενδεχομενα. Ετσι Ρ[(Α - Γ) (Γ - Α) = Ρ(Α - Γ) + Ρ(Γ - Α) = Ρ(Α) - Ρ(Α Γ) + Ρ(Γ) - Ρ(Α Γ) = γ) Ω A (Α Γ) i) Ν(Γ) = Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Γ) Ρ(Γ) = = = = Ν(Ω) Ν(Ω) Γ Α Γ 3 5 = Ρ(Α Γ) - Ρ(Α Γ) = - = 4 3 ii) Ρ(Α Γ) = Ρ(Α) + Ρ(Γ) - Ρ(Α Γ) Ρ(Α) = Ρ(Α Γ) - Ρ(Γ) + Ρ(Α Γ) Ρ(Α) = - + Ρ(Α) = Ρ(Α) = 4 3

17 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α. A π ο λ υ τ η Τ ι μ η

18 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

19 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η 9 Θ ε μ α 7 ο 87 α) Δινεται ενας πραγματικος αριθμος x που ικανοποιει τη σχεση: d(x, 5) 9. Να αποδωσετε την παραπανω σχεση λεκτικα. (Μοναδες 5) β) Με χρηση του αξονα των πραγματικων αριθμων, να παραστησετε σε μορφη διαστηματος το συνολο των δυνατων τιμων του x. (Μοναδες 5) γ) Να γραψετε τη σχεση με το συμβολο της απολυτης τιμης και να επιβεβαιωσετε με αλγεβρικο τροπο το συμπερασμα του ερωτηματος (β). (Μοναδες 0) δ) Να χρησιμοποιησετε το συμπερασμα του ερωτηματος (γ) για να δειξετε οτι: x x 4 = 8. (Μοναδες 5) d( α, β ) = a β α αν α 0 α = - α αν α < 0 Αν θ > 0 ισχυουν:. x < θ - θ < x < θ. x > θ x < - θ η x > θ 3. x = θ x = - θ η x = θ... χ ρ η σ ι μ ο

20 0 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Α π α ν τ η σ η 87 α) d(x, 5) 9 : εκφραζει την αποσταση του αριθμου x απ τον αριθμο 5 πανω στην ευθεια των πραγματικων αριθμων, αποσταση μικροτερη η ιση το 9. β) x [- 4, 4] x γ) d(x, 5) 9 x x x x 4 η x [- 4, 4] δ) Ειναι - 4 x 4-4 x x x + 4 = x + 4 x 4 x x - 4 = - x + 4 Ετσι x x 4 = x (- x + 4) = x x + 4 = 8 + 5

21 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Θ ε μ α 8 ο 30 Δινονται τα σημεια Α, Β και Μ που παριστανουν στον αξονα των πραγματικων αριθμων τους αριθμους -, 7 και x αντιστοιχα, με - < x < 7. α) Να διατυπωσετε τη γεωμετρικη ερμηνεια των παραστασεων. i) x + (Μοναδες 4) ii) x 7 (Μοναδες 4) β) Με τη βοηθεια του αξονα να δωσετε τη γεωμετρικη ερμηνεια του αθροισματος: x + + x 7 (Μοναδες 5) γ) Να βρειτε την τιμη της παραστασης A = x + + x 7 γεωμετρικα. (Μοναδες 5) δ) Να επιβεβαιωσετε αλγεβρικα το προηγουμενο συμπερασμα. (Μοναδες 7) d( α, β ) = a β α αν α 0 α = - α αν α < 0... χ ρ η σ ι μ ο

22 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Α π α ν τ η σ η 30 α) Για < x < 7 τα σημεια Α, Μ Β φαινονται στον αξονα των πραγματικων αριθμων -4-3 A - M B x + x - 7 i) x + = x (- ) = d(x, - ) : η αποσταση του Μ απ το Α. ii) x - 7 = d(x, 7) : η αποσταση του Μ απ το B. β) x + + x - 7 = (MA) + (MB) : το αθροισμα των αποστασεων του σημειου M απο τα σταθερα σημεια A, B. γ) Α = x + + x - 7 = (MA) + (MB) = (ΑΒ) = 9 (Μ εσωτερικο του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ) δ) Ειναι - < x x + > 0 x + = x + - < x < 7 x < 7 x - 7 < 0 x - 7 = - x + 7 Ετσι Α = x + + x - 7 = x + + (- x + 7) = x + - x + 7 = 9

23 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η 3 Θ ε μ α 9 ο 30 Σε εναν αξονα τα σημεια A, B και M αντιστοιχουν στους αριθμους 5, 9 και x αντιστοιχα. α) Να διατυπωσετε τη γεωμετρικη ερμηνεια των παραστασεων x 5 και x 9 (Μοναδες 0) β) Αν ισχυει x 5 = x 9 i) Ποια γεωμετρικη ιδιοτητα του σημειου M αναγνωριζετε; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 7) ii) Με χρηση του αξονα, να προσδιορισετε τον πραγματικο αριθμο x που παριστανει το σημειο M. Να επιβεβαιωσετε με αλγεβρικο τροπο την απαντηση σας. (Μοναδες 8) d( α, β ) = a β α αν α 0 α = - α αν α < 0 α = β τοτε α = β η α = - β... χ ρ η σ ι μ ο

24 4 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Α π α ν τ η σ η 30 α) x - 5 = d(x, 5) : η αποσταση του Μ απ το Α. ii) x - 5 = = d(x, 9) : η αποσταση του Μ απ το B. β) i) Eιναι x - 5 = x - 9 (ΜΑ) = (ΜΒ) Το σημειο Μ ειναι το μεσο του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ. (Α, Β, Μ συνευθειακα και Μ ισαπεχει απ τα ακρα του ΑΒ) ii) Το μεσο Μ του ευθυγραμμου τμηματος ΑΒ με Α = 5 και Β = 9. Ετσι Α + Β x = = = 7. Ειναι 3 4 A 6 M 8 Β 0 x - 5 = x = - 9 αδυνατο x - 5 = x - 9 x - 5 = - x + 9 x = 4 x = 7

25 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η 5 Θ ε μ α 0 ο 799 Δινονται οι πραγματικοι αριθμοι α και β για τους οποιους ισχυει η ανισωση: ( α )( β ) > 0 α) Να αποδειξετε οτι το ειναι μεταξυ των α, β. β) Αν επιπλεον β α = 4, να υπολογισετε την τιμη της παραστασης: Κ = α + β Να αιτιολογησετε την απαντηση σας ειτε, γεωμετρικα ειτε αλγεβρικα. α αν α 0 α = - α αν α < 0 Αν α β > 0 τοτε α,β ομοσημοι d( α, β ) = a β... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 3) (Μοναδες )

26 6 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Α π α ν τ η σ η 799 α) ( α )( β ) > 0 σημαινει οτι οι ( α ), ( β ) ειναι ομοσημοι. Ετσι α - > 0 α > β < < α - β > 0 β < δηλαδη το ειναι μεταξυ των α, β. α - < 0 α < α < < β - β < 0 β > β) Ειναι α - > 0 α - = α - β < < α - β > 0 - β = - β Κ = α β = α β = α - β Κ = α - < 0 α - = - α α < < β - β < 0 - β = β - Κ = α β = - α + β - = β - α Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ α Α Γ Β α - β, αν β < α β - α, α ν α < β = α - β = 4 Αν Α, Β, Γ ειναι τα σημεια του αξονα που αντιστοιχουν στους αριθμους α, β, αντιστοιχα. α - = d(α, ) = ΑΓ : η αποσταση του Α απ το Γ. - β = d(β, ) = ΒΓ: η αποσταση του Β απ το Γ. β - α = d(β, Α) = ΑΒ = 4 : η αποσταση του Α απ το Β (δοσμενο). Ετσι α β Κ = α β = ΑΓ + ΒΓ = ΑΒ = 4

27 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η 7 Θ ε μ α ο 8453 Για τους πραγματικους αριθμους α, β R ισχυει: α - < β 3 α) Να αποδειχθει οτι < α < 3. β) Να βρεθει μεταξυ ποιων αριθμων βρισκεται ο β. γ) Να βρεθει μεταξυ ποιων αριθμων βρισκεται η παρασταση α 3β. δ) Να βρεθει μεταξυ ποιων αριθμων βρισκεται η παρασταση α β. α αν α 0 α = - α αν α < 0 Αν θ > 0 ισχυουν:. x < θ - θ < x < θ. x > θ x < - θ η x > θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 4) (Μοναδες 5) (Μοναδες 7) (Μοναδες 9)

28 8 Α π ο λ υ τ η Τ ι μ η Α π α ν τ η σ η 8453 α) Ειναι + α - < - < α - < - + < α - + < + < α < 3 β) Ειναι + 3 β β β β 5 γ) Ειναι (+) < α < 3 επι < α < 6 < α < 6 β 5 επι β β - 3 δ) Ειναι - 3 α - 3β 3 < α < 3 < α < 3 πολ / σμος < α < 3 α α 3 β 5 θετικοι 5 β β 5 5 β 5 β 3

29 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α 3. Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ

30 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

31 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 3 Θ ε μ α ο 955 Τεσσερις αθλητες, ο Αργυρης, ο Βασιλης, ο Γιωργος και ο Δημητρης τερματισαν σε εναν αγωνα δρομου με αντιστοιχους χρονους (σε λεπτα) t Α, t Β, t Γ και t Δ, για τους οποιους ισχυουν οι σχεσεις:, t + t Α Β t < t t = και t - t = t - t Α Β Γ Α Δ Β Δ 3 t + t Α Β α ) i) Να δειξετε οτι: t =. Δ ii) Να βρειτε τη σειρα με την οποια τερματισαν οι αθλητες. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. β) Δινεται επιπλεον οτι ισχυει: t + t = 6 και t t = 8 Α Β Α Β i) Να γραψετε μια εξισωση ου βαθμου που εχει ριζες τους αριθμους t Α ii) Να βρειτε τους χρονους τερματισμου των τεσσαρων αθλητων. α = β τοτε α = β η α = - β... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 5) (Μοναδες 0) και t Β. Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ > 0 και ριζες x, x. β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Αν S = x + x και Ρ = x x τοτε οι αριθμοι x, x ειναι ριζες της εξισωσης : x - Sx + P = 0 (Μοναδες 5) (Μοναδες 5)

32 3 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 955 α) i) Eιναι t - t = t - t t = t ατοπο αφου t < t Α Δ Β Δ Α Β Α Β t - t = t - t Α Δ Β Δ η η t - t = - t + t t + t = t Α Δ Β Δ Α Β Δ t t = ii) Δ Α + t Β t Α < tβ t + t t + t 3t Α Β Β Β Β t = t < t < t < t Γ Γ Γ Γ Β t Α < t t < t < t () Α Γ Β Β t + t t + t 3t Α Β Β Α Α t = t > t > t > t Γ Γ Γ Γ Α t Α < tβ t + t t Α Α Α t = t t > t > t > t Δ Δ Δ Δ Δ Α t < t t < t < t () Α Δ Γ Α Β t + t t + t t - t Α Β Α Α Β Α t - t = - = > 0 t > t Γ Δ Γ Δ 3 6 Απ τις (), () : t Α < t Γ < t Δ < t Β β) i) Aπ τους τυπους του Vieta ειναι : S = t + t = 6 Α Β t S t + Ρ = 0 - t - 6t + 8 = 0 Ρ = t t = 8 Α Β ii) α = Δ = β - 4αγ = (- 6) = 36-3 = 4 > t = = 4 Β t = = = t = = αφου t < t Α Β t - 6t + 8 = 0 : β = - 6 τοτε - β ± Δ - (- 6) ± 4 6 ± 6 - Α,Β Α γ = 8 α Ετσι t Γ t + t Α Β = = = Α Β t = = = 3 Δ t + t

33 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 33 Θ ε μ α 3 ο 055 Δινεται η εξισωση: (λ - λ)x - (λ - )x + λ - = 0, () με παραμετρο λ. α) Να βρεθουν οι τιμες του λ, για τις οποιες η () ειναι εξισωση ου βαθμου. (Μοναδες 6) β) Να αποδειξετε οτι για τις τιμες του λ που βρηκατε στο (α) ερωτημα η () παιρνει τη μορφη: λx - (λ + )x + = 0. (Μοναδες 6) γ) Να αποδειξετε οτι για τις τιμες του λ που βρηκατε στο (α) ερωτημα η () εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες. (Μοναδες 7) δ) Να προσδιορισετε τις ριζες της (), αν αυτη ειναι ου βαθμου. (Μοναδες 6) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. α αν α 0 α = - α αν α < 0... χ ρ η σ ι μ ο

34 34 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 055 α) Για να ειναιι η εξισωση (), εξισωση ου βαθμου πρεπει : λ 0 λ - 0 λ 0 λ (λ - λ) 0 λ(λ - ) 0 και και β) Για λ 0 και λ η εξισωση () γινεται: (λ - λ)x - (λ - )x + λ - = 0 λ(λ - )x - (λ - )(λ + )x + (λ - ) = 0 (λ - )[λx - (λ + )x + ] = 0 η γ) Για την εξισωση του ερωτηματος (β) ειναι : λ - = 0 λx - (λ + )x + = 0 λ Δ = [- (λ + )] - 4λ = λ + λ + - 4λ = λ - λ + = (λ - ) 0 λx - (λ + )x + = 0 λ Δ > 0. Δηλαδη η εξισωση του ερωτηματος (β) εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες, οπως και η ισοδυναμη της (). δ) Οι ριζες της () ειναι : λ + + λ -,(λ > ), αν λ > (λ + ) + (λ - ) (λ + ) + λ - x = = = λ = λ λ λ + - λ +, αν λ <,(λ < ) λ λ λ + - λ +,(λ > ) (λ + ) - (λ - ) (λ + ) - λ - λ, αν λ > x = = = = λ. λ λ λ + + λ -,(λ < ), αν λ < λ Ετσι αν λ > : x = και x = λ αν λ < : x = και x = λ

35 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 35 Θ ε μ α 4 ο 084 Για την καλυψη με τετραγωνα πλακιδια, μερους ενος τοιχου, μπορουμε να χρησιμοποιησουμε πλακακια τυπου A με πλευρα d cm η πλακακια τυπου B με πλευρα (d + ) cm. α) Να βρειτε, ως συναρτηση του d,το εμβαδον που καλυπτει καθε πλακακι τυπου A και καθε πλακακι τυπου B. (Μοναδες 6) β) Αν η επιφανεια μπορει να καλυφθει ειτε με 00 πλακακια τυπου A ειτε με 8 πλακακια τυπου B, να βρειτε: i) Τη διασταση που εχει το πλακακι καθε τυπου. (Μοναδες ) ii) Το εμβαδον της επιφανειας που καλυπτουν. (Μοναδες 7) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ, α To μηκος ειναι μη αρνητικος αριθμος.... χ ρ η σ ι μ ο

36 36 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 084 Το εμβαδον Ε τετραγωνου πλευρας α, δινεται απ το τυπο : Ε = α. α) Πλακακι τυπου Α : Εμβαδον, Ε = d cm. Πλακακι τυπου B : Εμβαδον, Ε = (d + ) cm. β) i) Η επιφανεια μπορει να καλυφθει ειτε με 00 πλακακια τυπου A ειτε με 8 πλακακια τυπου B : 00d = 8(d + ) 5d = 6(d + ) 5d = 6d + 3d + 6 9d - 3d - 6 = 0 Δ = (- 3) (- 6) = = 600 > 0 α = τοτε d = = 4 - (- 3) ± ± 40 β = - 3 d = = 8, γ = - 6 d = = Δεκτη ειναι d = 4 > 0 ενω απορριπτεται η d = - < 0 (d μηκος). 9 Ετσι, το πλακακι τυπου Α εχει πλευρα 4 cm, ενω το πλακακι τυπου B εχει πλευρα 4 + = 5 cm. ii) Το εμβαδον της επιφανειας που καλυπτουν : Ε = 00d = 00 4 = 00 6 = 300 cm η Ε = 8(d + ) = 8 5 = 8 5 = 300 cm

37 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 37 Θ ε μ α 5 ο 6 Για την τυπωση επαγγελματικης καρτας επιλεγεται τετραγωνο χαρτονι πλευρας x cm (5 x 0) στο οποιο η περιοχη τυπωσης περιβαλλεται απο περιθωρια cm στο πανω και στο κατω μερος της και cm δεξια και αριστερα (οπως στο σχημα). a) Να αποδειξετε οτι το εμβαδον Ε της περιοχης τυπωσης των επαγγελματικων στοιχειων εκφραζεται απο τη συναρτηση E(x) = (x - )(x - 4). (Μοναδες 8) β) Να βρεθει η τιμη του x ετσι ωστε το εμβαδον της περιοχης τυπωσης των επαγγελματικων στοιχειων να ειναι 35 cm. γ) Να βρεθουν οι τιμες που μπορει να παρει η πλευρα x του τετραγωνου, αν η περιοχη τυπωσης των επαγγελματικων στοιχειων εχει εμβαδον τουλαχιστον 4 cm. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x =, α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x... χ ρ η σ ι μ ο x (Μοναδες 7) (Μοναδες 0)

38 38 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 6 α) Για το εγχρωμο ορθογωνιο : Μηκος : x = x Πλατος : x = x 4 Ετσι, το εμβαδον του συναρτησει του x δινει: Ε(x) = (x )( x 4) β) Eιναι E(x) = 35 (x - )(x - 4) = 35 x - 6x + 8 = 35 x - 6x - 7 = 0 Δ = (- 6) - 4 (- 7) = = 44 > 0 α = 6 + β = - 6 τοτε x = = 9 > 0 δεκτη - (- 6) ± 44 6 ± x = =, γ = x = = - 3 απορρ. ( x > 0 μηκος) γ) Eιναι E(x) 4 (x - )(x - 4) 4 x - 6x x - 6x α = Δ = (- 6) - 4 (- 6) = = 00 > x = = 8 x - 6x - 6 : β = - 6 τοτε - (- 6) ± 00 6 ± 0 x = =, γ = Πινακας προσημου τριωνυμου x x - 6x x - 6x αν : αλλιως Δηλαδη οι λυσεις της x = = - x - η x 8 x (-, - ] [8, + ) Ομως απο υποθεση 5 x 0, οποτε x - 6x ειναι x (-, - ] [8, + ) x x Ετσι τελικα x [8, 0] 63+8

39 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 39 Θ ε μ α 6 ο 9 Για την τυπωση επαγγελματικης καρτας επιλεγεται τετραγωνο χαρτονι πλευρας x cm (5 x 0) στο οποιο η περιοχη τυπωσης περιβαλλεται απο περιθωρια cm στο πανω και στο κατω μερος της και cm δεξια και αριστερα (οπως στο σχημα). a) Να αποδειξετε οτι το εμβαδον Ε της περιοχης τυπωσης των επαγγελματικων στοιχειων εκφραζεται απο τη συναρτηση E(x) = x - 6x + 8. (Μοναδες 8) β) Να βρεθει η τιμη του x ετσι ωστε το εμβαδον της περιοχης τυπωσης των επαγγελματικων στοιχειων να ειναι 4 cm. γ) Να βρεθουν οι τιμες που μπορει να παρει η πλευρα x του τετραγωνου, αν η περιοχη τυπωσης των επαγγελματικων στοιχειων εχει εμβαδον τουλαχιστον 35 cm. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x =, α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x... χ ρ η σ ι μ ο x (Μοναδες 7) (Μοναδες 0)

40 408 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 9 α) Για το εγχρωμο ορθογωνιο : Μηκος : x = x Πλατος : x = x 4 Ετσι, το εμβαδον του συναρτησει του x δινει: Ε(x) = (x )( x 4) = x 4x x + 8 = x 6x + 8 β) Eιναι E(x) = 4 (x - )(x - 4) = 4 x - 6x + 8 = 4 x - 6x - 6 = 0 Δ = (- 6) - 4 (- 6) = = 00 > 0 α = β = - 6 τοτε x = = 8 > 0 δεκτη - (- 6) ± 00 6 ± 0 x = =, γ = x = = - απορρ. ( x > 0 μηκος) γ) Eιναι E(x) 35 (x - )(x - 4) 35 x - 6x x - 6x α = Δ = (- 6) - 4 (- 7) = = 44 > x = = 9 x - 6x - 7 : β = - 6 τοτε - (- 6) ± 44 6 ± x = =, γ = Πινακας προσημου τριωνυμου x x - 6x x - 6x αν : 9 αλλιως Δηλαδη οι λυσεις της - 3 x x [- 3, 9] Ομως απο υποθεση 5 x 0, οποτε x - 6x ειναι x [-3,9] x x x = = - 3 Ετσι τελικα x [5, 9] 63+8

41 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 4 Θ ε μ α 7 ο 33 Δινεται η εξισωση x - 4x + - λ = 0 () με παραμετρο λ. α) Να αποδειξετε οτι, για οποιαδηποτε τιμη του λ, η () εχει δυο ανισες ριζες. (Μοναδες 0) β) Αν x και x ειναι ριζες της εξισωσης () : i) Να βρειτε το S = x + x. ii) Να βρειτε το P = x x ως συναρτηση του πραγματικου αριθμου λ. (Μοναδες 5) γ) Αν η μια ριζα της εξισωσης () ειναι ο αριθμος + 3 τοτε: i) να αποδειξετε οτι η αλλη ριζα της εξισωσης () ειναι ο αριθμος - 3, ii) να βρειτε το λ. (Μοναδες 0) Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Αν S = x + x και Ρ = x x τοτε οι αριθμοι x, x ειναι ριζες της εξισωσης : x - Sx + P = 0... χ ρ η σ ι μ ο

42 4 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 33 α) Ειναι Δ = (- 4) - 4( - λ ) = 4λ + 8 > 0 Δηλαδη, η () εχει δυο ανισες ριζες για οποιαδηποτε τιμη του λ. β) Ειναι i) S = x + x = ii) Ρ = x x = γ) Ειναι i) = 4 - λ = 4 = - λ Εστω x = + 3 η μια ριζα. Απ το ερωτημα (βi) ειναι : x + x = x = 4 x = - 3. ii) Απ το ερωτημα (βii) ειναι : = - λ λ = x x = - λ ( + 3)( - 3) = - λ - 3 = - λ 4-3 = - λ λ = ±

43 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 43 Θ ε μ α 8 ο 455 Δινεται το τριωνυμο: λx - ( λ + ) x + λ, λ - { 0} α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου και να αποδειξετε οτι το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες για καθε λ - {0}. (Μοναδες 8) β) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, να εκφρασετε το αθροισμα S = x + x συναρτησει του λ 0 και να βρειτε την τιμη του γινομενου P = x x των ριζων. γ) Αν λ < 0, τοτε: i) το παραπανω τριωνυμο εχει ριζες θετικες η αρνητικες; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. ii) να αποδειξετε οτι x + x x x, οπου x,x παραπανω τριωνυμου.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 5) (Μοναδες 6) ειναι οι ριζες του Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α (Μοναδες 6)

44 44 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 455 α) Ειναι Δ = [- (λ + )] - 4 λ = (λ + - λ)(λ + + λ) = (λ - ) (λ + ) = (λ - ) 0 Δηλαδη, η () εχει πραγματικες ριζες για οποιαδηποτε τιμη του λ - {0}. β) Ειναι S = x + x = Ρ = x x = γ = λ = α λ γ) i) Ειναι β - (λ + ) λ + - = - = α λ λ Ρ = > 0 που σημαινει οτι οι ριζες x, x ειναι ομοσημες. S = ii) Ειναι λ + λ λ + > 0 < 0 λ < 0 που σημαινει οτι οι ριζες x, x, αφου ειναι ομοσημες, ειναι αρνητικες. λ + λ + Ρ = > 0 λ + > 0 x + x x x λ + λ λ + S = λ λ λ λ - λ + 0 ( λ - ) 0 που αληθευει για καθε πραγματικο λ.

45 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 45 Θ ε μ α 9 ο 4558 Δινεται το τριωνυμο: f(x) = λx - (λ + )x + λ με λ > 0. α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου και να αποδειξετε οτι το τριωνυμο εχει ριζες θετικες για καθε λ > 0. (Μοναδες 0) β) Αν οι ριζες του τριωνυμου ειναι τα μηκη των πλευρων ενος ορθογωνιου παραλληλογραμμου, τοτε: i) να βρειτε το εμβαδον του ορθογωνιου. (Μοναδες 4) ii) να βρειτε την περιμετρο Π του ορθογωνιου ως συναρτηση του λ και να αποδειξετε οτι Π 4 για καθε λ > 0. (Μοναδες 8) iii) για την τιμη του λ που η περιμετρος γινεται ελαχιστη, δηλαδη ιση με 4, τι συμπεραινετε για το ορθογωνιο; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 3) Για ενα ορθογωνιο διαστασεων α, β ειναι : Περιμετρος Π = α + β Εμβαδον Ε = α β Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α,... χ ρ η σ ι μ ο

46 46 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4558 α) Η συναρτηση f ειναι ορισμενη στο με Δ = [- (λ + )] - 4 λ = (λ + - λ)(λ + + λ) = (λ - ) (λ + ) = (λ - ) 0 Δηλαδη, η εξισωση εχει πραγματικες ριζες για οποιαδηποτε τιμη του λ > 0. Οι ριζες της εξισωσης ειναι : λ + + λ -,(λ > ) λ, αν λ > λ + + (λ - ) λ + + λ - λ x = = = = λ λ λ + - λ +, αν λ <,(λ < ) λ λ λ + - λ +,(λ > ) λ + - (λ - ) λ + - λ - x = = = λ, αν λ > = λ λ λ λ + + λ -,(λ < ) λ, αν λ < λ Ετσι αν λ > : x = λ και x = λ αν 0 < λ < : x = και x = λ λ που ειναι θετικες αφου λ > 0. β) i) Το εμβαδο του ορθογωνιου ειναι : E = x x = λ =, για καθε λ > 0. λ ii) Η περιμετρος του ορθογωνιου ειναι: Ετσι Π = x + x = λ +, για καθε λ > 0. λ, λ Π 4 λ + 4 λ + 4λ λ - λ + 0 (λ - ) 0 που αληθευει για καθε λ > 0. iii) x = Π = 4 λ + = 4 λ - λ + = 0 (λ - ) = 0 λ = λ x = δηλαδη το ορθογωνιο εχει ισες διαστασεις, οποτε ειναι τετραγωνο.

47 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 47 Θ ε μ α 0 ο α) Δινεται η διτετραγωνη εξισωση x - 7x + = 0. Να δειξετε οτι η εξισωση αυτη εχει τεσσερις διαφορετικες πραγματικες ριζες, τις οποιες και να προσδιορισετε. (Μοναδες 0) β) Γενικευοντας το παραδειγμα του προηγουμενου ερωτηματος, θεωρουμε τη 4 διτετραγωνη εξισωση: x + βx + γ = 0 () με παραμετρους, β,γ. Να δειξετε οτι: Αν β < 0, γ > 0 και β - 4γ > 0, τοτε η εξισωση () εχει τεσσερις διαφορετικες πραγματικες ριζες.... χ ρ η σ ι μ ο Εστω η εξισωση : αx 4 + βx + γ = 0 με α 0 Για τη λυση της : Θετουμε στην εξισωση x = y και η εξισωση γινεται: αy + βy + γ = 0. Λυνουμε την εξισωση αy + βy + γ = 0 και εστω y, y οι ριζες της. Λυνουμε τις εξισωσεις: x = y και x = y και προσδιοριζουμε τον x. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α (Μοναδες 5) ()

48 48 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4654 α) Ειναι y = x 4 x - 7x + = 0 y - 7y + = 0 Δ = β - 4αγ = (- 7) - 4 = = > 0 α = 7 + y - 7y + = 0 : β = - 7 τοτε y = = 4 - β ± Δ - (- 7) ± 7 ± y = = =, γ = α 7 - y = = 3 Για y = 4 x = - x = 4 x = ± 4 x = Για y = 3 x = x = 3 x = ± 3 x = 3 4 Δηλαδη η διτετραγωνη εξισωση β) Ειναι y = x 4 x + βx + γ = 0 y + βy + γ = 0 () 4 x - 7x + = 0, εχει τεσσερις πραγματικες ριζες. υποθεση Δ = β - 4γ > 0 η εξισωση () εχει δυο πραγματικες ανισες ριζες, τις y, y. Απ'τους τυπους του Vietta : Ετσι υποθεση Ρ = y y = γ > 0, δηλαδη η εξισωση () εχει δυο ομοσημες ριζες. y > 0 x = y x = ± y x υποθεση: β < 0 - β > 0 S = y + y = - β > 0, δηλαδη η εξισωση () εχει δυο θετικες ριζες. = y y > 0 x = ± y x x x x Δηλαδη η διτετραγωνη εξισωση = - y = y = - y 3 = y 4 4 x + βx + γ = 0, εχει τεσσερις πραγματικες ριζες.

49 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 49 Θ ε μ α ο 4659 Δινεται η εξισωση: αx - 5x + α = 0, με παραμετρο α 0. 5 α) Να αποδειξετε οτι αν α τοτε η εξισωση εχει ριζες πραγματικους αριθμους, που ειναι αντιστροφοι μεταξυ τους. (Μοναδες 0) β) Να βρειτε τις λυσεις της εξισωσης, οταν α =. (Μοναδες 5) γ) Να λυσετε την εξισωση: x x + + = 0. x x (Μοναδες 0)... χ ρ η σ ι μ ο Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ > 0 και ριζες x, x. β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Αν τo γινομενο δυο αριθμων ειναι ισο με, τοτε αυτοι ειναι αντιστροφοι.

50 50 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4659 α) Η εξισωση Πραγματι αx - 5x + α = 0 εχει πραγματικες ριζες αν Δ 0. θετικοι Δ 0 (- 5) - 4 α α 0 5-4α 0 (α) 5 α 5 5 α 5 α 5 α που αληθευει απο υποθεση. Το γινομενο των ριζων της, συμφωνα με Vieta, ειναι: β) εχει ριζες αντιστροφους αριθμους. Για α = η εξισωση γινεται : α = α Ρ = = α που σημαινει οτι η εξισωση Δ = β - 4αγ = (- 5) - 4 = 5-6 = 9 > x = = x - 5x + = 0 β = - 5 τοτε - β ± Δ - (- 5) ± 9 5 ± 3 x = = = 4, γ = α γ) Ειναι y =x + x (β) y = x + - 5x + + = 0 y - 5y + = 0 Για y x Για y x x y = x + = x + = x x - x + = 0 (x - ) = 0 x - = 0 = τοτε = τοτε x Ετσι μοναδικη ριζα η x =. Δ = - 4 = -6 = x + = x + = x x - x + = 0 x = = 4-5 < 0 δεν εχει ριζες στο. x =

51 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 5 Θ ε μ α ο 4665 Δινεται η εξισωση: x - λx - (λ + 5 ) = 0 () με παραμετρο λ. α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ της εξισωσης (). β) Να αποδειξετε οτι η εξισωση () εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες για καθε λ. γ) Αν x,x (Μοναδες 5) (Μοναδες 0) ειναι οι δυο ριζες της εξισωσης (), να βρεθουν οι τιμες του λ για τις οποιες ισχυει: (x - )(x - ) = - 4. (Μοναδες 0) Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες και ανισες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ χ ρ η σ ι μ ο Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ > 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ () α () αx βx γ β γ αx + βx + γ = = 0 x - (- )x + = 0 α α α α α () x - Sx + P = 0.

52 5 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4665 α) Ειναι Δ = (- λ) - 4 [- (λ + 5)] = λ + 4 (λ + 5) = λ + 4λ + 0 = 5λ + 0 β) 5λ > 0 Δ = 5λ + 0 > 0 που σημαινει οτι η εξισωση () εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες. 0 > 0 γ) Aν x και x ειναι οι ριζες της εξισωσης (), τοτε απ τους τυπους Vieta: - λ S = x + x = - = λ - (λ + 5) P = x x = = - (λ + 5) Ετσι (β) 4 x x - x - x + 4 = - 4 x x - (x + x ) + 8 = 0 (x - )(x - ) = - λ + λ = - = 0 - λ - λ + 3 = 0 λ + λ - 3 = 0 λ λ = (λ + 5) - λ + 8 λ = η λ = - 3

53 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 53 Θ ε μ α 3 ο 4667 α) Να λυσετε την εξισωση: x - 3x - 4 = 0 (). β) Δινονται οι ομοσημοι αριθμοι α, β για τους οποιους ισχυει: α - 3αβ - 4β = 0 i) Να αποδειξετε οτι ο αριθμος α ειναι λυση της εξισωσης (). β ii) Να αιτιολογησετε γιατι ο α ειναι τετραπλασιος του β. Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. - β ± Δ x = α,... χ ρ η σ ι μ ο Αν Δ > 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α 0 εχει δυο ριζες ανισες στο, τις x, x και: αx² + βx + γ = α ( x x )( x x ). (Μοναδες 0) (Μοναδες 7) (Μοναδες 8)

54 54 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4667 α) α = Δ = β - 4αγ = (- 3) - 4 (- 4) = = 5 > x = = 4 x - 3x - 4 = 0 β = - 3 τοτε - β ± Δ - (- 3) ± 5 3 ± 5 x = = =, γ = - 4 α 3-5 β) i) Για να ειναι ο αριθμος α λυση της εξισωσης (), τοτε την επαληθευει. β Πραγματι α -3αβ - 4β = 0 α α α αβ β α - 3αβ - 4β = = = = 0 υποθεση β β β β β β β ii) Αφου ο αριθμος α ειναι λυση της εξισωσης (), απο το (α) ερωτημα ειναι : β α = 4 β α = 4β η η α = 4β. α α = - β ατοπο αφου α, β ομοσημοι = - β Δηλαδη ο αριθμος α ειναι τετραπλασιος του αριθμου β. x = = -

55 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 55 Θ ε μ α 4 ο 468 Δινεται η εξισωση: x - x + λ - λ = 0 () με παραμετρο λ α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ της εξισωσης και να αποδειξετε οτι η εξισωση εχει ριζες πραγματικες για καθε λ. (Μοναδες 0) β) Για ποια τιμη του λ η εξισωση () εχει δυο ριζες ισες; (Μοναδες 6) γ) Αν λ και x, x ειναι οι ριζες της παραπανω εξισωσης (), τοτε να βρειτε για ποιες τιμες του λ ισχυει d(x x ) =., d(x x ) Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο., Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α d( α, β ) = a β... χ ρ η σ ι μ ο () (Μοναδες 9) θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη

56 56 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 468 α) Ειναι Δ = - 4(λ - λ ) = 4λ - 4λ + = (λ - ) 0 που σημαινει οτι η εξισωση εχει ριζες πραγματικες για καθε λ. β) Για να εχει η εξισωση () δυο ριζες ισες πρεπει : Δ = 0 (λ - ) = 0 γ) λ =. Για την εξισωση ου βαθμου με ριζες x και x, απ τους τυπους του Vieta προκυπτει : S = x + x = P = x x = λ - λ και d(x x ) = x - x = x - x = (x - x ) =, d(x x ) x - x, x + x - x x = (x + x ) - x x - x x = (x + x ) - 4x x = λ = 0 λ = 0 η η - λ = 0 λ = - 4(λ - λ ) = 4(λ - λ ) = 0 λ( - λ) = 0.

57 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 57 Θ ε μ α 5 ο 4833 Μια υπολογιστικη μηχανη εχει προγραμματιστει ετσι ωστε, οταν εισαγεται σε αυτην ενας πραγματικος αριθμος x, να δινει ως εξαγομενο τον αριθμο λ που δινεται απο τη σχεση: λ = (x + 5) - 8x () α) Αν ο εισαγομενος αριθμος ειναι το - 5, ποιος ειναι ο εξαγομενος; β) Αν ο εξαγομενος αριθμος ειναι το 0, ποιος μπορει να ειναι ο εισαγομενος; γ) Να γραψετε τη σχεση () στη μορφη 4x + x + (5 - λ) = 0 και στη συνεχεια: (Μοναδες 6) (Μοναδες 6) i) να αποδειξετε οτι οποιαδηποτε τιμη και να εχει ο εισαγομενος αριθμος x, ο εξαγομενος αριθμος λ δεν μπορει να ειναι ισος με 5. (Μοναδες 6) ii) να προσδιορισετε τις δυνατες τιμες του εξαγομενου αριθμου λ. (Μοναδες 7) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α,... χ ρ η σ ι μ ο Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0.

58 58 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4833 α) Αν ο εισαγομενος αριθμος ειναι x = - 5 τοτε ο εξαγομενος αριθμος ειναι : λ = ((- 5) + 5) - 8(- 5) = (- 5) + 40 = = 65. β) Αν ο εξαγομενος αριθμος ειναι λ = 0 τοτε η () δινει : 0 = (x + 5) - 8x 4x + x + 5 = 0 Δ = β - 4αγ = = = 64 > 0 α = τοτε x = = - - β ± Δ - ± 64 - ± 8 β = x = = = 8, α γ = 5 x = = - 8 γ) Η σχεση () γραφεται ισοδυναμα : λ = (x + 5) - 8x λ = 4x + x + 5 4x + x + (5 - λ) = 0 () i) Για λ = 5 τοτε η () δινει : 4x + x + (5-5) = 0 4x + x + 0 = 0 x + 3x + 5 = 0 Δ = = 9-0 = - < 0 Δηλαδη δεν υπαρχει πραγματικος αριθμος x ωστε ο εξαγομενος αριθμος λ = 5. ii) Για να προσδιορισουμε τις δυνατες τιμες του εξαγομενου αριθμου λ, πρεπει η () να εχει πραγματικες ριζες. Ετσι Δ (5 - λ) λ λ 0 6(λ - 6) 0 λ λ 6

59 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 59 Θ ε μ α 6 ο 4835 Δινεται η εξισωση x - βx + γ = 0 με β, γ πραγματικους αριθμους. Αν η παραπανω εξισωση εχει δυο ριζες ανισες για τις οποιες ισχυει x + x = 4, τοτε: α) Να βρειτε τις δυνατες τιμες του β. β) Να αποδειξετε οτι γ < 4. γ) Δινεται επιπλεον η εξισωση x - β x + 3 = 0 () Να εξετασετε για ποια απο τις τιμες του β που βρηκατε στο (α) ερωτημα, η εξισωση () δεν εχει πραγματικες ριζες. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 6) (Μοναδες 7) (Μοναδες ) () Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.

60 60 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4835 α) Ειναι β = - 4 Vieta - (-β) x + x = 4 = 4 β = 4 η. β = 4 β) Η εξισωση εχει δυο ριζες ανισες, οποτε β = 4 Δ > 0 (- β) - 4γ > 0 β - 4γ > 0 4γ < β 4γ < β 4γ < 6 γ < 4 γ) Ειναι x - β x + 3 = 0 x - β x + 3 = 0 με β = 4 Δ = (-β) - = β - = β - = 6 - = 4 για β = - 4 : x + 4x + 3 = 0 με - 4 ± 4-4 ± x = - - = - 3 αδυνατη x = = = - ± x = - + = - αδυνατη για β = 4 : x - 4x + 3 = 0 με x = - x = - = 4 ± 4 4 ± x = x = = = ± x = x = + = 3 x = 3 4

61 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 6 Θ ε μ α 7 ο 4857 Δινεται η εξισωση αβx - (α + β )x + αβ = 0,οπου α, β δυο θετικοι αριθμοι. α) Να αποδειξετε οτι η διακρινουσα Δ της εξισωσης ειναι: Δ = (α - β ). (Μοναδες 8) β) Να βρειτε τη σχεση μεταξυ των αριθμων α, β, ετσι ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες ανισες, τις οποιες να προσδιορισετε, ως συναρτηση των α, β. (Μοναδες 0) α β γ) Αν οι ριζες της εξισωσης ειναι x = και x =,τοτε να αποδειξετε οτι: β α ( + x )( + x ) 4. Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α () (Μοναδες 7)

62 6 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4857 α) Ειναι Δ = (α + β ) - 4αβαβ = α + α β + β - 4α β = α - α β + β = (α - β ) β) Η δευτεροβαθμια εξισωση εχει δυο ριζες ανισες, αν : Δ > 0 (α - β ) > 0 α - β 0 α β α Β οι οποιες ειναι οι : α + β + α - β α α x = x = x = α + β ± (α - β ) αβ αβ β, x = γ) αβ α + β - α + β β β x = x = x = αβ αβ α α β Με x =, x = οι ριζες της εξισωσης, τοτε απ τους τυπους του Vieta ειναι : β α α β S = x + x = + β α α β Ρ = x x = = β α Ετσι Δια αβ > 0 α + β αβ (α - β) 0 α + β - αβ 0-0 αβ αβ α + β α β α β () αβ αβ αβ β α ( ) α β ( + x )( + x ) = + x + x + x x = = 4 β α

63 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 63 Θ ε μ α 8 ο 4903 Δινεται η εξισωση λx + (λ - )x + λ - = 0, με παραμετρο λ - {0}. α) Να δειξετε οτι η διακρινουσα Δ της εξισωσης ειναι ανεξαρτητη του λ, δηλαδη σταθερη. (Μοναδες 8) β) Να προσδιορισετε τις ριζες της εξισωσης συναρτησει του λ. (Μοναδες 7) γ) Να βρειτε για ποιες τιμες του λ η αποσταση των ριζων της εξισωσης στον αξονα των πραγματικων αριθμων ειναι ιση με μοναδες. (Μοναδες 0) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α d( α, β ) = a β... χ ρ η σ ι μ ο () θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη

64 64 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4903 α) Δ = β - 4αγ = (λ - ) - 4λ(λ - ) = 4λ - 4λ + - 4λ + 4λ = > 0, ανεξαρτητη του λ, δηλαδη σταθερη. β) Η δευτεροβαθμια εξισωση εχει δυο ριζες ανισες, που ειναι οι : - λ λ + x = x = x = - λ + ± λ λ x =, λ λ - λ λ x = x = x = - γ) λ Η αποσταση δυο αριθμων x, x ειναι : d( x, x ) = x - x = λ - λ - λ - λ λ + = + = λ λ λ λ = - - λ + λ = = = λ = η λ λ λ λ =

65 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 65 Θ ε μ α 9 ο 4957 Δινεται το τριωνυμο λx - (λ + )x + λ, λ - {0}. α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου και να αποδειξετε οτι το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες για καθε λ - {0}. (Μοναδες 8) β) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, να εκφρασετε το αθροισμα S = x + x συναρτησει του λ 0 και να βρειτε την τιμη του γινομενου P = x x των ριζων. (Μοναδες 5) γ) Αν λ > 0, το παραπανω τριωνυμο εχει ριζες θετικες η αρνητικες; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 6) δ) Για καθε λ > 0, αν x, x ειναι οι ριζες του παραπανω τριωνυμου, x + x να αποδειξετε οτι x x. Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α,... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α () (Μοναδες 6) To τριωνυμο εχει θετικες ριζες αν P > 0 και S > 0 To τριωνυμο εχει θετικες ριζες αν P > 0 και S < 0

66 66 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4957 α) Ειναι 4 Δ = β - 4αγ = [- (λ + )] - 4 λ λ = (λ + ) - 4λ = λ + λ + - 4λ = 4 = λ - λ + = (λ - ) 0 οποτε το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες, για καθε λ - {0}. β) Απ τους τυπους του Vieta ειναι : β - (λ + ) λ + S = x + x = - = - = α λ λ γ λ Ρ = x x = = = α λ. γ) Για λ > 0 ειναι P = > 0 και, οποτε το τριωνυμο εχει ριζες θετικες. λ + S = > 0 λ δ) Για λ > 0 ειναι : S = x + x > 0 και Ρ = x x > 0 Ετσι x x x x x x + x 4x x (x + x ) x + x x + x 4x x x + x x + x - 4x x 0 x + x - x x 0 (x - x ) 0 + x που αληθευει για καθε λ > 0.

67 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 67 Θ ε μ α 3 0 ο 496 Δινεται το τριωνυμο λx - (λ + )x + λ, λ - {0}. α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου και να αποδειξετε οτι το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες για καθε λ - {0}. (Μοναδες 8) β) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, να εκφρασετε το αθροισμα S = x + x συναρτησει του λ 0 και να βρειτε την τιμη του γινομενου P = x x των ριζων. (Μοναδες 5) γ) Αν λ > 0, το παραπανω τριωνυμο εχει ριζες θετικες η αρνητικες; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 6) δ) Αν 0 < λ και x, x ειναι οι ριζες του παραπανω τριωνυμου, τοτε να x + x συγκρινεται τους αριθμους και. Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α,... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α () (Μοναδες 6) To τριωνυμο εχει θετικες ριζες αν P > 0 και S > 0 To τριωνυμο εχει θετικες ριζες αν P > 0 και S < 0

68 68 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 496 α) Ειναι 4 Δ = β - 4αγ = [- (λ + )] - 4 λ λ = (λ + ) - 4λ = λ + λ + - 4λ = 4 = λ - λ + = (λ - ) 0 οποτε το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες, για καθε λ - {0}. β) Απ τους τυπους του Vieta ειναι : β - (λ + ) λ + S = x + x = - = - = α λ λ γ λ Ρ = x x = = = α λ. γ) Για λ > 0 ειναι P = > 0 και, οποτε το τριωνυμο εχει ριζες θετικες. λ + S = > 0 λ δ) Ειναι λ + x + x λ 0 λ + λ + - λ (λ - ) - = λ - = - = = > 0 λ λ λ λ > 0 Ετσι x + x >

69 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 69 Θ ε μ α 3 ο 4970 Δινεται η εξισωση: x + λx - 36 = 0 () με παραμετρο λ. α) Να δειξετε οτι, για καθε τιμη του λ, η εξισωση () εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες. β) Υποθετουμε τωρα οτι μια απο τις ριζες της εξισωσης () ειναι ο αριθμος ρ. (Μοναδες 8) i) Να δειξετε οτι ο αριθμος ρ ειναι ριζα της εξισωσης x - λx - 36 = 0 (Μοναδες 7) ii) Να δειξετε οτι: ρ 0 και ο αριθμος ρ ειναι ριζα της εξισωσης - 36x + λx + = χ ρ η σ ι μ ο Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ () α () αx βx γ β γ αx + βx + γ = = 0 x - (- )x + = 0 α α α α α () x - Sx + P = 0. (Μοναδες = 0)

70 70 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4970 α) Ειναι Δ = λ - 4 (- 36) = + λ 88 > 0 οποτε το τριωνυμο εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες, για καθε λ β) i) O αριθμος ρ ειναι ριζα της εξισωσης () αν την επαληθευει. Πραγματι (- ρ) - λ(- ρ) - 36 = 0 ρ + λρ - 36 = 0 που αληθευει αφου ο αριθμος ρ ειναι ριζα της εξισωσης (). ii) Aν ρ = 0, σαν ριζα της εξισωσης () τοτε 0 + λ 0-36 = 0-36 = 0 ατοπο Οποτε ρ 0. Για ρ 0 : Δια ρ 0 ρ λρ 36 ρ + λρ - 36 = = λ + = 0 ρ ρ ρ ρ που σημαινει οτι ο αριθμος ρ ειναι ριζα της εξισωσης - 36x + λx + = 0. ρ

71 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 7 Θ ε μ α 3 ο a) Δινεται η διτετραγωνη εξισωση: x - 8x - 9 = 0. Να δειξετε οτι η εξισωση αυτη εχει δυο μονο πραγματικες ριζες, τις οποιες και να προσδιορισετε. (Μοναδες 0) β) Γενικευοντας το παραδειγμα του προηγουμενου ερωτηματος, θεωρουμε τη δι- 4 τετραγωνη εξισωση: x + βx + γ = 0 () με παραμετρους β, γ. Να δειξετε οτι: Αν γ < 0 τοτε: i) β - 4γ > 0. ii) η εξισωση () εχει δυο μονο διαφορετικες πραγματικες ριζες.... χ ρ η σ ι μ ο Εστω η εξισωση : αx 4 + βx + γ = 0 με α 0 Για τη λυση της : Θετουμε στην εξισωση x = y και η εξισωση γινεται: αy + βy + γ = 0. Λυνουμε την εξισωση αy + βy + γ = 0 και εστω y, y οι ριζες της. Λυνουμε τις εξισωσεις: x = y και x = y και προσδιοριζουμε τον x. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α (Μοναδες 3) (Μοναδες ) To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α ()

72 7 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4975 α) Ειναι y = x 4 x - 8x - 9 = 0 y - 8y - 9 = 0 α = Δ = β - 4αγ = (- 8) - 4 (- 9) = = 00 > y = = 9 y - 8y - 9 = 0 β = - 8 : - β ± Δ - (- 8) ± 00 8 ± 0 y = = =, γ = - 9 α 8-0 x = - 3 Για y = 9 x = 9 x = ± 9 x = 3 Για y = - x = - αδυνατη Δηλαδη η διτετραγωνη εξισωση β) y = x 4 x + βx + γ = 0 y + βy + γ = 0 () i) Ειναι υποθεση : γ < 0-4γ > 0 Δ = β - 4γ > 0 ii) υποθεση 4 x - 8x - 9 = 0, εχει δυο πραγματικες ριζες. Αφου Δ > 0, η εξισωση () εχει δυο πραγματικες ανισες ριζες, τις y, y. Απ'τους τυπους του Vietta : Ετσι y > 0 x = y x = ± y y < 0 x = y αδυνατη y = = - Ρ = y y = γ < 0, δηλαδη η εξισωση () εχει δυο ετεροσημες ριζες. Εστω οι ριζες ειναι y > 0 και y < 0 (το ιδιο αν y < 0 και y > 0). x x Δηλαδη η διτετραγωνη εξισωση = - y = y 4 x + βx + γ = 0, εχει δυο πραγματικες ριζες.

73 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 73 Θ ε μ α 3 3 ο 499 α) Δινεται ορθογωνιο παραλληλογραμμο με περιμετρο Π = 34cm και διαγωνιο δ = 3cm. i) Να δειξετε οτι το εμβαδον του ορθογωνιου ειναι E = 60cm. (Μοναδες 5) ii) Να κατασκευασετε μια εξισωση ου βαθμου που να εχει ριζες τα μηκη των πλευρων του ορθογωνιου. (Μοναδες 5) iii) Να βρειτε τα μηκη των πλευρων του ορθογωνιου. (Μοναδες 5) β) Να εξετασετε αν υπαρχει ορθογωνιο παραλληλογραμμο με εμβαδον 40cm και διαγωνιο 8cm. (Μοναδες 0) Για ενα ορθογωνιο διαστασεων α, β ειναι : Περιμετρος Π = α + β Εμβαδον Ε = α β Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α,... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α () () αx βx γ β γ αx + βx + γ = = 0 x - (- )x + = 0 α α α α α () x - Sx + P = 0.

74 74 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 499 α) Αν x,x ειναι οι διαστασεις του ορθογωνιου, τοτε : i) Π = 34 x + x = 34 x + x = 7. ii) Απ'το Πυθαγορειο θεωρημα : δ = x + x 69 = (x + x x x 69 = 7 - x x 69 = 89 - x x x x Eιναι ) - = 0 x x = 60 Ε = 60 cm S = x + x το αθροισμα και Ρ = x x το γινομενο των ριζων. Η ζητουμενη εξισωση ου βαθμου με ριζες τις διαστασεις του ορθογωνιου ειναι η : x - Sx + Ρ = 0 x - 7x + 60 = 0 iii) Ειναι Δ = β - 4αγ = (- 7) = = 49 > : - β ± Δ - (- 7) ± 49 7 ± 7 α =, β = - 7, γ = 60 x = = =, α 7-7 x = = 5 x - 7x + 60 = 0 x = = Δηλαδη, τα μηκη των πλευρων του ορθογωνιου ειναι 5cm και 4cm. β) Ε = 40 = x x Απ'το Πυθαγορειο θεωρημα : ) - ) - δ = x + x 64 = (x + x x x 64 = (x + x 40 x, x μηκη πλευρων 64 = (x + x ) - 80 ( x + x ) = 44 x + x = Η ζητουμενη εξισωση ου βαθμου με ριζες τις διαστασεις του ορθογωνιου ειναι η : x - Sx + Ρ = 0 Ομως Δ = (- ) = = - 6 < 0 x - x + 40 = 0 Δηλαδη η εξισωση δεν εχει πραγματικες ριζες, που σημαινει οτι δεν υπαρχει ορθογωνιο παραλληλογραμμο με εμβαδον 40cm και διαγωνιο 8cm. x δ x

75 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 75 Θ ε μ α 3 4 ο α) Δινεται η διτετραγωνη εξισωση x - 9x + 0 = 0. Να αποδειξετε οτι η εξισωση αυτη εχει τεσσερις διαφορετικες πραγματικες ριζες, τις οποιες και να προσδιορισετε. 4 β) Να κατασκευασετε μια διτετραγωνη εξισωση της μορφης x + βx + γ = 0, η οποια να εχει δυο μονο διαφορετικες πραγματικες ριζες. Να αποδειξετε τον ισχυρισμο σας λυνοντας την εξισωση που κατασκευασατε.... χ ρ η σ ι μ ο Εστω η εξισωση : αx 4 + βx + γ = 0 με α 0 Για τη λυση της : Θετουμε στην εξισωση x = y και η εξισωση γινεται: αy + βy + γ = 0. Λυνουμε την εξισωση αy + βy + γ = 0 και εστω y, y οι ριζες της. Λυνουμε τις εξισωσεις: x = y και x = y και προσδιοριζουμε τον x. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α (Μοναδες 0). (Μοναδες 5) To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α ()

76 76 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 537 α) Ειναι y = x 4 x - 9x + 0 = 0 y - 9y + 0 = 0 α = Δ = β - 4αγ = (- 9) = 8-80 = > y = = 4 y - 9y + 0 = 0 β = - 9 : - β ± Δ - (- 9) ± 9 ± y = = =, γ = 0 α 9 + x = - Για y = 4 x = 4 x = ± 4 x = x = Για y = 5 x = 5 x = ± 5 x = 5 4 Δηλαδη η διτετραγωνη εξισωση β) Εστω y = x 4 x + βx + γ = 0 y + βy + γ = 0 () y = = 5 4 x - 9x + 0 = 0, εχει τεσσερις πραγματικες ριζες. Για να εχει η διτετραγωνη δυο μονο πραγματικες ριζες πρεπει η εξισωση () να εχει δυο ετεροσημες ριζες. Δηλαδη Δ > 0, η εξισωση () εχει δυο πραγματικες ανισες ριζες, τις y, y. Ρ = y y < 0, δηλαδη η εξισωση () εχει δυο ετεροσημες ριζες. Εστω οι ριζες ειναι y Ετσι > 0 και y < 0 (το ιδιο αν y < 0 και y > 0). y > 0 y < 0 x = - y x = y x = ± y x = y αδυνατη x = y Παραδειγμα Για y = -, y = 3 τοτε (x + )(x - 3) = 0 y = x 4 x - x - 3 = 0 y - y - 3 = 0 () Η εξισωση () εχει ριζες : y = -, y = 3 Ετσι x = y x = ± y x = ± x = y x = - αδυνατη Δηλαδη η διτετραγωνη εξισωση x = x = 3 4 x - x - 3 = 0 4 x - x - 3 = 0, εχει δυο πραγματικες ριζες.

77 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 77 Θ ε μ α 3 5 ο 63 Δινεται η εξισωση: x 5λx - = 0, με παραμετρο λ. α) Να αποδειξετε οτι, για καθε λ, η εξισωση εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες. β) Αν x, x ειναι οι ριζες της παραπανω εξισωσης, τοτε: i) Να προσδιορισετε τις τιμες του λ, για τις οποιες ισχυει: 4 ( x + x ) - 8-7(x x ) = 0. ii) Για λ =, να βρειτε την τιμη της παραστασης: A = x x - 3x + 4-3x + x x Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α () (Μοναδες 7) (Μοναδες 9) (Μοναδες 9)

78 78 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 63 α) Ειναι Δ = (5λ) - 4 (- ) = 5λ + 4 > 0 οποτε η εξισωση εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες, για καθε λ β) i) Eιναι S = x Ρ = x Eτσι + x x β = - = 5λ το αθροισμα των ριζων. α γ = = - το γινομενο των ριζων. α ( x + x ) - 8-7(x x ) = 0 (5λ) - 8-7(- ) = 0 5λ = λ = 5 ii) Για λ = : S = x Ρ = x Eτσι + x λ = λ = η λ = - = 5λ = 5 το αθροισμα των ριζων. x = - το γινομενο των ριζ ων. A = x x - 3x + 4-3x + x x = x x (x + x ) - 3(x + x ) + 4 = = (- ) = = - 6

79 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 79 Θ ε μ α 3 6 ο 64 Οι πλευρες x, x ενος ορθογωνιου παραλληλογραμμου ειναι οι ριζες της εξισωσης: x 4(λ + )x + 6 = 0, με λ (0, 4) λ α) Να βρειτε: i) την περιμετρο Π του ορθογωνιου συναρτησει του λ. (Μοναδες 6) ii) το εμβαδον Ε του ορθογωνιου. (Μοναδες 6) β) Να αποδειξετε οτι Π 6, για καθε λ (0, 4). (Μοναδες 7) γ) Για ποια τιμη του λ η περιμετρος Π του ορθογωνιου γινεται ελαχιστη, δηλαδη ιση με 6; Τι μπορειτε να πειτε τοτε για το ορθογωνιο; (Μοναδες 6) Για ενα ορθογωνιο διαστασεων α, β ειναι : Περιμετρος Π = α + β Εμβαδον Ε = α β Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α ()

80 80 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 64 α) Αν x, x ειναι οι διαστασεις του ορθογωνιου, τοτε : β S = x + x = - = 4(λ + ) το αθροισμα των ριζων. α λ γ Ρ = x x = = 6 το γινομενο των ριζων. α i) Π = (x + x ) = 4(λ + ) = 8(λ + ), λ (0, 4). λ λ ii) Ε = x x = 6. β) Ειναι λ λ που αληθευει για καθε λ (0, 4). Π 6 8 λ + 6 λ + λ + - λ 0 (λ - ) 0 γ) Ειναι λ = λ λ Π = 6 8 λ + = 6 λ + = λ + - λ = 0 (λ - ) = 0 Δεκτο αφου λ = (0, 4). Για λ = η περιμετρος γινεται ελαχιστη και η εξισωση γινεται : x 8x + 6 = 0 (x - 4) = 0 x = 4 Δηλαδη η εξισωση εχει διπλη ριζα, οποτε x = x = 4, που σημαινει οτι οι πλευρες του ορθο- γωνιου ειναι ισες. Αρα το ορθογωνιο ειναι τετραγωνο πλευρας 4.

81 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 8 Θ ε μ α 3 7 ο 66 Οι πλευρες x, x ενος ορθογωνιου παραλληλογραμμου ειναι οι ριζες της εξισωσης: x x + λ( λ) = 0, με λ (0, ) α) Να βρειτε: i) την περιμετρο Π του ορθογωνιου. (Μοναδες 6) ii) το εμβαδον Ε του ορθογωνιου συναρτησει του λ. (Μοναδες 6) β) Να αποδειξετε οτι Ε, για καθε λ (0, ). (Μοναδες 7) γ) Για ποια τιμη του λ το εμβαδον Ε του ορθογωνιου γινεται μεγιστο, δηλαδη ισο με ; Τι μπορειτε να πειτε τοτε για το ορθογωνιο; (Μοναδες 6) Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α γ To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = () α Για ενα ορθογωνιο διαστασεων α, β ειναι : Περιμετρος Π = α + β Εμβαδον Ε = α β

82 8 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 66 α) Δ = β - 4αγ = 4-4λ( - λ) = 4-8λ + 4λ = 4λ - 8λ + 4 = (λ - ) 0 Αν x, x ειναι οι διαστασεις του ορθογωνιου, τοτε : β - S = x + x = - = - = > 0 α x, x θετικες γ λ( - λ) Ρ = x x = = = λ( - λ) > 0 αφου λ (0, ) α i) Π = x + x = (x + x ) = = 4. ii) Ε = x x = λ( - λ) β) Ειναι Ε λ( - λ) λ + 0 (λ - ) που αληθευει γ) Ειναι λ - λ λ - 0 Ε = λ( - λ) = λ - λ = λ - λ + = 0 (λ - ) = 0 λ - = 0 λ = Δεκτο αφου λ = (0, ). Για λ = το εμβαδον γινεται μεγιστο και η εξισωση γινεται : x x + = 0 (x - ) = 0 x = Δηλαδη η εξισωση εχει διπλη ριζα, οποτε x = x =, που σημαινει οτι οι πλευρες του ορθο- γωνιου ειναι ισες. Αρα το ορθογωνιο ειναι τετραγωνο πλευρας.

83 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 83 Θ ε μ α 3 8 ο 750 Τα σπιτια τεσσαρων μαθητων, της Αννας, του Βαγγελη, του Γιωργου και της Δημητρας βρισκονται πανω σε ενα ευθυγραμμο δρομο, ο οποιος ξεκιναει απο το σχολειο τους. Οι αποστασεις των τεσσαρων σπιτιων απο το σχολειο, s, s, s και s αντιστοιχα, ικανοποιουν τις A B Γ Δ σχεσεις:, s + 3s A B s < s s = και s - s = s - s A Β Γ Δ Α Δ Β 4 Στον παρακατω αξονα, το σχολειο βρισκεται στο σημειο Ο και τα σημεια Α, Β παριστανουν τις θεσεις των σπιτιων της Αννας και του Βαγγελη αντιστοιχα. Ο Α Β α) Να τοποθετησετε πανω στον αξονα τα σημεια Γ και Δ, που παριστανουν τις θεσεις των σπιτιων του Γιωργου και της Δημητρας. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες ) β) Αν επιπλεον, οι τιμες των αποστασεων s, s σε km ικανοποιουν τις σχεσεις A B s + s =,4 και s s = 0,45 τοτε: Α Β A B i) Να κατασκευασετε μια εξισωση ου βαθμου που να εχει ριζες τους αριθμους s, s. A B (Μοναδες 6) ii) Να υπολογισετε τις αποστασεις s, s, s A B Γ και s. Δ Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ d( α, β ) = a β... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 7)

84 84 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 750 α) Ειναι s - s = s - s d(s,s ) = d(s,s ) (ΔΑ) = (ΔΒ) Δ Α Δ Β Δ Α Δ Β s + s A Β Ετσι, το Δ ειναι το μεσο του ΑΒ (Α, Δ, Β συνευθειακα) και s = Δ s < s s + s + s < s + s + s (s + s ) < s + 3s A Β A A Β Β A Β A Β A Β s A +3sΒ s Γ = s + 3s s + s s + 3s 4 A Β A Β A Β A Β s Δ Γ 4 A + sβ s Δ = s + s < < s < s s A +3sΒ s = Γ s + 3s 4 A Β + 3s + 3 s < s s < s A Β A Β Β Β A Β Β Β Γ Β s < s s < s s + 3s < 4s s A + sβ s Δ = s + s A Β + s + s s < s < s A Β A Α Β Α A A Β A Α Δ s < s s < s s < s + s Τελικα s < s < s < s και το Δ ειναι το μεσο του ΑΒ. A Δ Γ Β Ο Α Δ Γ Β β) i) Aν s A και s ειναι οι ριζες της ζητουμενης εξισωσης, τοτε : Β S = s + s =, 4 A Β Ρ = s + s = 0,45 A Β και η εξισωση ειναι : ii) s -, 4s + 0, 45 = 0 Δ = (-, 4) - 4 (0, 45) =, = 0,6 > 0, 4 + 0, 4 s = = 0,9km Β s = = s < s Α,Β Α Β, 4-0, 4 s = = 0,5km Α s -, 4x + 0, 45 = 0 : - (-, 4) ± 0,6, 4 ± 0, 4 s + 3s 0, ,9 0,5 +,7 3, s = = = = = 0,8km A Β Γ Δ 0,5 + 0,9, 4 s = = = 0, 7km 4.

85 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 85 Θ ε μ α 3 9 ο 755 Δινεται η εξισωση: x - x + λ = 0, με παραμετρο λ <. α) Να αποδειξετε οτι η εξισωση εχει δυο ριζες x, x διαφορετικες μεταξυ τους. (Μοναδες 6) β) Να δειξετε οτι: x + x =. (Μοναδες 4) γ) Αν για τις ριζες x, x ισχυει επιπλεον: x - = x +, τοτε: i) Να δειξετε οτι: x - x = 4. ii) Να προσδιορισετε τις ριζες x, x και την τιμη του λ. θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη... χ ρ η σ ι μ ο Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α () (Μοναδες 7) (Μοναδες 8) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.

86 86 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 755 α) Ειναι > λ - λ > 0 Δ = (- ) - 4 λ = 4-4λ = 4( - λ) > 0 οποτε η εξισωση εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες, για καθε λ <. β) Αν x, x ειναι οι ριζες της δοσμενης εξισωσης (Vieta) : β - S = x + x = - = - = α γ) i) Eιναι x - = x + x - x = 4 x - = x + η η x - = - x - x + x = 0 ii) Eιναι x + x = (+) x - x = 4 x = 6 x = 3 x = 3 x + x = x + x = 3 + x = x = - Αν x, x ειναι οι ριζες της δοσμενης εξισωσης (Vieta) : x x + x =0 αδυνατη γ λ x = = = λ x x = λ 3 (- ) = λ λ = - 3 < α Α λ λ ι ω ς Η x = - ειναι ριζα της δοσμενης εξισωσης, οποτε επαληθευει την εξισωση. Ετσι (- ) - (- ) + λ = λ = λ = 0 λ = - 3 (το ιδιο αν χρησιμοποιησουμε την αλλη ριζα x = 3). x - x = 4

87 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 87 Θ ε μ α 4 0 ο 756 Δινεται η εξισωση: αx - (α - )x - α = 0, με παραμετρο a 0. a) Να αποδειξετε οτι η διακρινουσα της εξισωσης ειναι: Δ = (α + ) β) Να αποδειξετε οτι οι ριζες της εξισωσης ειναι: ρ = α και ρ = -. α γ) Να βρεθουν οι τιμες του α ωστε: ρ - ρ =. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 5) (Μοναδες 0) (Μοναδες 0) ()

88 88 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 756 α) Ειναι 4 4 Δ = (- (α - )) - 4 α (- α) = α - α + + 4α = α + α + = (α + ) β) Δ = (α + ) > 0, οποτε η εξισωση εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες, για καθε α. ( α 0 α + > 0 α + > 0 ) Eιναι γ) ρ ρ α + > 0 - (- (α - )) + (α + ) α - + α + α = = = = α α α α α + > 0 - (- (α - )) - (α + ) α - - α - - = = = = - α α α Ειναι (Vieta) - (α - ) α - - α S = x + x = - = Ρ = x x = = - α α α Eτσι ρ - ρ = ρ - ρ = 4 (ρ - ρ ) = 4 ρ + ρ - ρ ρ = 4 ρ = α α - ρ = - α α (ρ + ρ ) - ρ ρ (α - ) (α - ) - ρ ρ = 4 (ρ + ρ ) - 4ρ ρ = 4-4(- ) = 4 α = 4 = 0 (α - α α = η α = - A λ λ ι ω ς α ) = 0 α - = 0 α = α α + = α α + ρ - ρ = α - (- ) = = η α α α + = - α α + = α α - α + = 0 (α - ) = 0 α - = 0 α = η η η η η α + = - α α + α + = 0 (α + ) = 0 α + = 0 α = -

89 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 89 Θ ε μ α 4 ο 7940 α) Να λυσετε τις εξισωσεις 3x - 4x + 8 = 0 () και 8x - 4x + 3 = 0 (). (Μοναδες 0) β) Ενας μαθητης παρατηρησε οτι οι ριζες της εξισωσης () ειναι οι αντιστροφοι των ριζων της εξισωσης () και ισχυριστηκε οτι το ιδιο θα ισχυει για οποιοδηποτε ζευγαρι εξισωσεων της μορφης αx + βx + γ = 0 (3) και γx + βx + α = 0 (4), με α γ 0. Αποδειξτε τον ισχυρισμο του μαθητη, δειχνοντας οτι: Αν ο αριθμος ρ ειναι ριζα της εξισωσης (3) και α γ 0, τοτε i) ρ 0 και ii) ο ρ επαληθευει την εξισωση (4). Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. Δ = β 4αγ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 5) (Μοναδες 0)

90 90 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 7940 α) 3x - 4x + 8 = 0 Δ = β - 4αγ = (- 4) = = 00 > 0 α = τοτε x = = 4 - β ± Δ - (- 4) ± 00 4 ± 0 β = - 4 x = = = 6, α γ = 8 x = = 6 3 8x - 4x + 3 = 0 Δ = β - 4αγ = (- 4) = = 00 > 0 α = τοτε x = = - β ± Δ - (- 4) ± 00 4 ± 0 β = - 4 x = = = 6, α γ = 3 x = = 6 4 β) i) Αν ρ = 0 τοτε αφου ειναι ριζα της εξισωσης (3) : α 0 + β 0 + γ = 0 γ = 0 ατοπο αφου αγ 0. Ετσι, γ 0. ii) Για να επαληθευει ο ρ την εξισωση (4) πρεπει : επι ρ γ β γ + β + α = α = 0 αρ + βρ + γ = 0 ρ ρ που αληθευει γιατι ρ ειναι ριζα τηε εξισωσης (3). ρ ρ

91 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 9 Θ ε μ α 4 ο 3078 Δινεται η εξισωση (8 - λ)x - (λ - )x + = 0 με παραμετρο λ. α) Να βρειτε τη τιμη του λ ωστε η εξισωση να ειναι ου βαθμου. (Μοναδες 5) β) Αν η εξισωση ειναι ου βαθμου, να βρειτε τις τιμες του λ ωστε αυτη να εχει μια διπλη ριζα. Για τις τιμες του λ που βρηκατε, να προσδιορισετε τη διπλη ριζα της εξισωσης. (Μοναδες 0) γ) Για τις τιμες του λ που βρηκατε στο ερωτημα (β), να δειξετε οτι το τριωνυμο (8 - λ)x - (λ - )x + ειναι μη αρνητικο, για καθε πραγματικοαριθμο x. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. Δ = β 4αγ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 0)

92 9 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 3078 α) Για να ειναι η δοσμενη εξισωση ου βαθμου πρεπει : 8 λ = 0 λ = 8 Για λ = 8 η εξισωση γινεται : (8-8)x - (8 - )x + = 0-6x + = 0 - x + = 0 β) Για λ 8, η δοσμενη εξισωση ειναι ου βαθμου. Για να εχει διπλη ριζα πρεπει: Δ = 0 Δ = 0 [- ((λ - )] - 4 (8 - λ) = 0 4(λ - 4λ + 4) λ = 0 4λ - 6λ λ = 0 4λ - λ - 6 = 0 Δ = β - 4αγ = (- 3) - 4 (- 4) = = 5 > 0 α = λ = = 4 γ = - 4 α 3-5 λ = = - λ - 3λ - 4 = 0 : β = - 3 : - β ± Δ - (- 3) ± 5 3 ± 5 λ = = =, Για λ = 4 η διπλη ριζα ειναι : β - (λ - ) (4 - ) 4 x = - = - = = = α (8 - λ) (8-4) 8 Για λ = - η διπλη ριζα ειναι : γ) β - (λ - ) (- - ) - 3 x = - = - = = = - α (8 - λ) (8 + ) 9 3 Για λ = 4 το τριωνυμο γινεται : (8-4)x - (4 - )x + = 4x - 4x + = (x - ) 0 (μη αρνητικο) Για λ = - το τριωνυμο γινεται : (8 + )x - (- - )x + = 9x + 6x + = (3x + ) 0 (μη αρνητικο)

93 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 93 Θ ε μ α 4 3 ο 9364 Δινεται το τριωνυμο η εξισωση x - (α + )x α, α α) Να αποδειξετε οτι η διακρινουσα του τριωνυμου ειναι : Δ = (α - ) - 6. (Μοναδες 5) β) Να βρειτε για ποιες τιμες του α το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες και ανισες. (Μοναδες 0) γ) Αν το τριωνυμο εχει ριζες x, x, τοτε : i) Να εκφρασετε το αθροισμα S = x + x και το γινομενο Ρ = x x των ριζων του συναρτησει του α. (Μοναδες ) ii) Να αποδειξετε οτι : d(x, ) d(x, ) = 4. (Μοναδες 8) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α γ To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = () α θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη d( α, β ) = a β

94 94 Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 9364 α) Ειναι Δ = β - 4αγ = [- (α + )] - 4 (4 + α) = α + α α = α - α = β) = (α - ) - 6 Το τριωνυμο εχει πραγματικες ριζες ανισες, αν Δ > 0 (α - ) - 0 α - α > 0 α - α - 5 > 0 6 > Ριζες τριωνυμου α - α - 5 Δ = (- ) - 4 (- 5) = = 64 > 0 α = + 8 α - α - 5 : β = - τοτε α = = 5 - (- ) ± 64 ± 8 α = =, γ = α = = - 3 Προσημο τριωνυμου α - α - 5 α α α α - α - 5 > 0 για α (-, - 3) (5, + ) Δηλαδη το τριωνυμο α (-, - 3) (5, + ) γ) i) x Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, τοτε : - (α + ) S = x + x = - = α α Ρ = x x = = 4 + α ii) - (α + )x α εχει πραγματικες ριζες ανισες, αν d(x, ) d(x, ) = x - x - = (x - )(x - ) = x x - x - x + = x + x = α + = x x - (x + x ) + = 4 + α - (α + ) + = = 4 + α - α - + = 4 x x = 4 + α

95 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α 4. Α ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ

96 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

97 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 97 Θ ε μ α 4 4 ο 874 Δινεται η εξισωση: x - (λ - )x + λ + 5 = 0 (), με παραμετρο λ. α) Να δειξετε οτι η διακρινουσα της εξισωσης () ειναι: Δ = 4λ - λ - 6. (Μοναδες 7) β) Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες. (Μοναδες 0) γ) Αν η εξισωση εχει ριζες τους αριθμους x, x και d(x, x ) ειναι η αποσταση των x, x στον αξονα των πραγματικων αριθμων, να βρειτε για ποιες τιμες του λ ισχυει: d(x,x ) = 4. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. Δ = β 4αγ d( α, β ) = a β... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8)

98 98 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 874 α) Ειναι Δ β) = (- (λ - )) - 4(λ + 5) = 4(λ - ) - 4(λ + 5) = 4λ - 8λ + 4-4λ - 0 = = 4λ - λ - 6 Η εξισωση εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες αν : Δ > 0 4λ - λ - 6 > 0 4(λ - 3λ - 4) > 0 λ - 3λ - 4 > 0. Ριζες τριωνυμου λ - 3λ - 4 : Δ' = 9-4(- 4) = = 5 > λ = = 4 3 ± 5 3 ± 5 λ = = =, η 3-5 λ = = - Το τριωνυμο λ - 3λ - 4 ειναι ομοσημο του α =, οποτε : λ < - η λ < 4 γ) Αν x, x ειναι οι ριζες της εξισωσης () με λ < - η λ > 4 απο (Vieta) : S = x Ρ = x Ετσι β - (λ - ) + x = - = - = (λ - ) α γ λ + 5 x = = = λ + 5 α d(x,x ) = 4 x - x = 4 (x - x ) = 4 x - x x + x = 4 (x + x ) - x x - x x = 4 (x + x ) - 4x x = 4 ( (λ - )) - 4(λ + 5) = 4 4λ - 8λ + 4-4λ - 0 = 4 4λ - λ - 40 = 0 α = λ - 3λ - 0 = 0 : β = - 3 τοτε γ = - 0 που ειναι δεκτες αφου 5 > 4 και < -. Δ = (- 3) - 4 (- 0) = = 49 > λ = = 5 - (- 3) ± 49 3 ± 7 λ = =, 3-7 λ = = -

99 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 99 Θ ε μ α 4 5 ο 890 Δινεται η εξισωση (λ + )x + (λ + 3)x + λ - = 0 (), με παραμετρο λ -. α) Να δειξετε οτι η διακρινουσα της εξισωσης () ειναι: Δ = λ + 5. (Μοναδες 6) β) Να βρειτε τις τιμες του λ -, ωστε η εξισωση () να εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες. (Μοναδες 7) γ) Να εκφρασετε ως συναρτηση του λ το αθροισμα των ριζων S = x + x και το γινομενο των ριζων Ρ = x x. (Μοναδες 4) δ) Να εξετασετε αν υπαρχει τιμη του λ ωστε για τις ριζες x, x της εξισωσης () να ισχυει η σχεση: (x + x - ) + (x x + 3) = 0 (). Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Δ = β 4αγ β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α () (Μοναδες 8)

100 00 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 890 α) Ειναι Δ = (λ + 3) - 4(λ + )(λ - ) = 4λ + λ + 9-4λ + 6 = λ + 5 β) Η εξισωση εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες αν : γ) 5 Δ > 0 λ + 5 > 0 λ > - 5 και και και λ -, - (-, + ). λ - λ - λ - Αν x, x δ) S = x Ρ = x Ειναι ειναι οι ριζες της εξισωσης () με 5 λ -, - (-, + ) απο (Vieta) : β - λ x = - = α λ + γ λ - x = = α λ + - λ - 3 x + x - = 0 x + x = = λ + (x + x - ) + (x x + 3) = 0 και και και x x + 3 = 0 x x = - 3 λ - = - 3 λ + 5 λ = - - λ - 3 = λ + 3 και και αδυνατο να εχει ταυτοχρονα δυο τιμες το λ. λ - = - 3λ - 6 λ = - Οποτε δεν υπαρχει λ ωστε να ισχυει η εξισωση ().

101 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 0 Θ ε μ α 4 6 ο 08 Δινεται η εξισωση λx + (λ - )x + λ - = 0 () με παραμετρο λ. α) Να λυσετε την εξισωση οταν λ = 0. β) Εστω λ 0. i) Να αποδειξετε οτι η εξισωση () εχει ριζες πραγματικες και ανισες, τις οποιες στη συνεχεια να βρειτε. ii) Αν x = - και x = - + ειναι οι δυο ριζες της εξισωσης (), να λ προσδιορισετε τις τιμες του λ, για τις οποιες ισχυει x - x >. x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 5) (Μοναδες 0) (Μοναδες 0) - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α,

102 0 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 08 α) Για λ = 0 η εξισωση () γινεται: 0 x + (0 - )x = 0 - x - = 0 - x = x = -. β) i) Ειναι Δ = ((λ - )) - 4λ(λ - ) = 4λ - 8λ + 4-4λ + 8λ = 4 > 0 που σημαινει οτι η εξισωση εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες και x ii), - λ (λ - ) - λ x = = = - (λ - ) ± - λ + ± = = λ λ λ λ λ - λ λ x = = = - λ λ - λ - λ - λ λ x - x > - (-) > + > + > λ λ λ λ - λ + λ > > > λ < - < λ < λ λ λ Ομως λ 0, οποτε τελικα λ (-, 0) (0, ) για να ισχυει x - x >.

103 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 03 Θ ε μ α 4 7 ο 38 Δινεται η εξισωση x - λx + λ - = 0 () με παραμετρο λ. α) Να δειξετε οτι για καθε λ η εξισωση εχει δυο ανισες ριζες. (Μοναδες 6) β) Να βρειτε τις ριζες της εξισωσης, για καθε λ. (Μοναδες 6) γ) Να βρειτε για ποιες τιμες του πραγματικου αριθμου λ, οι δυο ανισες ριζες της εξισωσης ανηκουν στο διαστημα (-, 4). (Μοναδες 3) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α,... χ ρ η σ ι μ ο

104 04 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 38 α) Ειναι Δ = (- λ) - 4 (λ - ) = 4λ - 4λ + 4 = 4 > 0 που σημαινει οτι η εξισωση εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες. β) Οι ριζες της εξισωσης ειναι : x, λ + (λ + ) x = = = λ + - (- λ) ± λ ± = = λ - (λ - ) x = = = λ - γ) x (-, 4) - < λ + < < λ + - < < λ < 3 x (-, 4) - < λ - < < λ - + < < λ < Αρα οι ανισωσεις συναληθευουν για < λ < 3 η λ (-, 3).

105 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 05 Θ ε μ α 4 8 ο 4946 α) Να λυσετε την ανισωση x (Μοναδες 7) β) Να απεικονισετε το συνολο των λυσεων της ανισωσης αυτης πανω στον αξονα των πραγματικων αριθμων και να ερμηνευσετε το αποτελεσμα, με βαση τη γεωμετρικη σημασια της παραστασης x - 3. γ) Να βρειτε ολους τους ακεραιους αριθμους x που ικανοποιουν την ανισωση x (Μοναδες 5) (Μοναδες 5) δ) Να βρειτε το πληθος των ακεραιων αριθμων x που ικανοποιουν την ανισωση x Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ d(x, a) < β x - α < β... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8)

106 06 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4946 α) x x x x 8 β) d(x, 3) 5 d(x, 3) 5 Η γεωμετρικη ερμηνεια της παραστασης x - 3 = d(x, 3) ειναι η αποσταση του πραγματικου αριθμου x απο τον αριθμο 3. Η γεωμετρικη ερμηνεια της παραστασης x η d(x, 3) 5 ειναι : γ) Οι πραγματικοι αριθμοι x που απεχουν απο τον αριθμο 3 αποσταση μικροτερη η ιση απο 5. Οι ακεραιοι αριθμοι x που ικανοποιουν την ανισωση x η - x 8 ειναι οι : -, -, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8. δ) x x x x 8 Ετσι x αληθευει για καθε x και και - 8 x 8 x 8-8 x 8 - x 8 που την επαληθευουν 7 ακεραιοι (- 8, -7, -6, -5, -4, -3, -,-, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8).

107 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 07 Θ ε μ α 4 9 ο 495 α) Θεωρουμε την εξισωση x + x + 3 = α, με παραμετρο α. i) Να βρειτε για ποιες τιμες του α η εξισωση x + x + 3 = α εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες. (Μοναδες 6) ii) Να βρειτε την τιμη του α ωστε η εξισωση να εχει διπλη ριζα, την οποια και να προσδιορισετε. (Μοναδες 6) β) Δινεται το τριωνυμο f(x) = x + x + 3, x. i) Να αποδειξετε οτι f(x), για καθε x. ii) Να λυσετε την ανισωση f(x) -. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α, x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 7) (Μοναδες 6)

108 08 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 495 α) Ειναι x + x + 3 = α x + x α = 0 () με διακρινουσα : Δ = β - 4αγ = - 4 (3 - α) = α = 4α - 8 = 4(α - ) i) Για να εχει η εξισωση () εχει δυο ριζες πραγματικες και ανισες πρεπει : Δ > 0 4(α - ) > 0 α - > 0 α > ii) Για να εχει η εξισωση () εχει διπλη ριζα πρεπει : Δ = 0 4(α - ) = 0 α - = 0 α = Για α = η () δινει : x + x = 0 x + x + = 0 (x + ) = 0 x + = 0 x = - β) i) Ειναι f(x) = x + x + 3 f(x) = x + x + + f(x) = (x + ) + Ετσι για καθε x ειναι (+) (x + ) 0 (x + ) + f(x) ii) Για καθε x ειναι: f(x) f(x) - 0 δηλαδη οριζεται η f(x) - Ετσι f(x) - x + x x + x + (x + ) x + - x x x.

109 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 09 Θ ε μ α 5 0 ο 8443 α) Να βρειτε τους πραγματικους αριθμους για τους οποιους ισχυει x 4 <. (Μοναδες 0) β) Θεωρουμε πραγματικο αριθμο x που η αποσταση του απο το 4 στον αξονα των πραγματικων αριθμων ειναι μικροτερη του. i) Να αποδειξετε οτι η αποσταση του τριπλασιου του αριθμου αυτου απο το 4 ειναι μεγαλυτερη του και μικροτερη του 4. (Μοναδες 5) ii) Να βρειτε μεταξυ ποιων τιμων περιεχεται η τιμη της αποστασης του 3x απο το 9. (Μοναδες 0) d(x, a) < β x - α < β x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο

110 0 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 8443 α) Ειναι + 4 x - 4 < - < x - 4 < < x < + 4 < x < 6 β) H αποσταση του πραγματικο αριθμο x που απο το 4 στον αξονα των πραγματικων αριθμων ειναι μικροτερη του, δινεται απ τη σχεση : Ετσι i) d(x, 4) < x - 4 < < x < 6 επι 3-4 d(x, 4) < < x < 6 3 < 3x < < 3x < < 3x - 4 < 8-4 < 3x - 4 < 4 < 3x - 4 < 4 < d(3x,4) < 4 ii) επι 3 x > 3x - 4 > 0 d(x, 4) < < x < 6 3 < 3x < < 3x < < 3x - 9 < < 3x - 9 < - < 9-3x < 3 < 9-3x < 3 < 3x - 9 < 3 < d(3x,9) < 3 (α) - 9 x < 6 9-3x > 0

111 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α 5. Α ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ

112 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

113 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 3 Θ ε μ α 5 ο 44 Δινονται οι ανισωσεις: x - < 3 () και x - x () a) Να βρειτε τις λυσεις τους. (Μοναδες 0) β) Να δειξετε οτι οι ανισωσεις συναληθευουν για x (-, 4]. (Μοναδες 5) γ) Αν οι αριθμοι ρ και ρ ανηκουν στο συνολο των κοινων λυσεων των δυο ανισω- ρ + ρ σεων, να δειξετε οτι και ο αριθμος ειναι κοινη τους λυση. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α, το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 0)

114 4 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 44 α) Ειναι β) + x - < 3-3 < x - < < x - + < < x < 5 Ριζες τριωνυμου x - x - 8 : Δ = β - 4αγ = (- ) - 4 (- 8) = = 36 > 0 α = + 6 β = - τοτε x = = 4 - β ± Δ - (- ) ± 36 ± 6 x = = =, γ = - 8 α - 6 x = = - x x - x Οι λυσεις της x - x ειναι : αλλιως - x 4 x [-, 4] Οι κοινες λυσεις των ανισωσεων του ερωτηματος (α) ειναι : x (-, 4]. γ) Ειναι (+) Δια > 0 - < ρ 4 - ρ + ρ 8 ρ,ρ (-, 4] - < ρ + ρ 8 < - < ρ 4 ρ + ρ ρ + ρ - < 4 (-, 4] ρ + ρ που σημαινει οτι ο αριθμος ειναι κοινη λυση των ανισωσεων, συμφωνα με το (β).

115 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 5 Θ ε μ α 5 ο 55 Δινονται οι ανισωσεις: x 3 () και x - 4x < 0 () a) Να βρειτε τις λυσεις τους. (Μοναδες 0) β) Να δειξετε οτι οι ανισωσεις συναληθευουν για x [, 3]. (Μοναδες 5) γ) Αν οι αριθμοι ρ και ρ ανηκουν στο συνολο των κοινων λυσεων των δυο ανισω- ρ + ρ σεων, να δειξετε οτι και ο αριθμος ειναι κοινη τους λυση. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α, το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 0)

116 6 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 55 α) Ειναι x x η x 3 x 3 x x β) γ) Η λυση της ανισωσης x 3 ειναι : x [- 3, - ] [, 3]. Ριζες εξισωσης x - 4x = 0 : x = 0 x - 4 = 0 x - 4x = 0 x(x - 4) = 0 η η x = 0 x = 4 x x - 4x Οι λυσεις της x - 4x < 0 ειναι : 0 < x < 4 αλλιως x (0, 4) Ειναι Οι κοινες λυσεις των ανισωσεων του ερωτηματος (α) ειναι : x [, 3]. (+) Δια > 0 ρ 3 4 ρ + ρ 6 ρ,ρ [,3] 4 ρ + ρ 6 ρ 3 ρ + ρ ρ + ρ [,3] ρ + ρ που σημαινει οτι ο αριθμος ειναι κοινη λυση των ανισωσεων, συμφωνα με το (β).

117 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 7 Θ ε μ α 5 3 ο 73 Δινονται οι ανισωσεις x + () και x - x - > 0 (). α) Να λυσετε τις ανισωσεις. (Μοναδες 0) β) Να δειξετε οτι οι ανισωσεις συναληθευουν για x [- 3, - ]. (Μοναδες 5) γ) Αν οι αριθμοι ρ και ρ ανηκουν στο συνολο των κοινων λυσεων των δυο ανισω- σεων, να δειξετε οτι ρ - ρ (-, ). Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α, το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 0)

118 8 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 73 α) - x + - x x x β) Ριζες τριωνυμου x - x - : Δ = β - 4αγ = (- ) - 4 (- ) = + 8 = 9 > 0 α = + 3 β = - τοτε x = = - β ± Δ - (- ) ± 9 ± 3 x = = =, γ = - α - 3 x = = - x x x Οι λυσεις της x - x - > 0 ειναι : x < - η x > η x (-, - ) (, + ) Οι κοινες λυσεις των ανισωσεων του ερωτηματος (α) ειναι : x [- 3, - ). γ) Ειναι (+) ρ,ρ [- 3,- ) - < ρ - ρ < ρ < ρ < ρ < ρ < ρ > < - ρ 3 ρ - ρ (-,)

119 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 9 Θ ε μ α 5 4 ο 336 a) Να βρειτε το προσημο του τριωνυμου του x. x - 5x + 6 για τις διαφορες τιμες (Μοναδες 0) β) Δινεται η εξισωση x + ( - λ)x + λ - = 0 () με παραμετρο λ. 4 i) Να αποδειξετε οτι, για καθε λ (-,) (3,+ ), η εξισωση () εχει δυο ριζες ανισες. (Μοναδες 0) ii) Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες οι ριζες της () ειναι ομοσημοι αριθμοι. (Μοναδες 5) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Aν επιπλεον : Ρ = x x = γ > 0 οι ριζες ομοσημες. α Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α, το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x... χ ρ η σ ι μ ο

120 0 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 336 α) α = Δ = β - 4αγ = (- 5) = 5-4 = > x = = 3 x - 5x + 6 : β = - 5 τοτε - β ± Δ - (- 5) ± 5 ± x = = =, γ = 6 α 5 - Πινακας προσημου του τριωνυμου : β) i) x x - 5x x - 5x + 6 > 0 αν : x (-, ) (3, + ) x - 5x + 6 < 0 αν : x (, 3) Για να εχει η εξισωση δυο ανισες ριζες πρεπει : x = = Δ > 0 ( - λ) - 4 (λ - ) > 0 4-4λ + λ - λ + > 0 λ - 5λ + 6 > 0 4 Συμφωνα με το ερωτημα (α) (τριωνυμο ως προς λ) ειναι: λ (-, ) (3, + ). ii) Οι ριζες της εξισωσης () ειναι ομοσημες, οποτε λ - > 0 γ P = > 0 α 4 λ - > 0 και και και λ (-, ) (3, + ) λ (-, ) (3, + ) λ (-, ) (3, + ) λ > και λ (-, ) (3, + ) λ (3, + )

121 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Θ ε μ α 5 5 ο 454 α) Να λυσετε την ανισωση: x < x στο συνολο των πραγματικων αριθμων. β) Δινεται ενας πραγματικος αριθμος α με 0 < α <. i) Να βαλετε στη σειρα, απο τον μικροτερο στον μεγαλυτερο και να τοποθετησετε πανω στον αξονα των πραγματικων αριθμων, τους αριθμους: 0,, α, α, α. (Μοναδες 8) Να αιτιολογησετε την απαντηση σας με τη βοηθεια και του ερωτηματος α). (Mοναδες 0) ii) Να αποδειξετε οτι ισχυει η ανισοτητα: + α < + α. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x... χ ρ η σ ι μ ο (Mοναδες 7)

122 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 454 α) Ειναι ισοδυναμα : β) i) Ριζες τριωνυμου x - x : x < x x - x < 0 () x = 0 x - = 0 x - x = 0 x(x - ) = 0 η η Πινακας προσημου του τριωνυμου : x = 0 x = x x - x Οι λυσεις της x - x < 0 ειναι : 0 < x < αλλιως x (0, ) Ειναι 0 < α < α < α 0 < α 0 < α < α α < α α < α 0 < α < α < α < 0 < α < α < α < ii) Ειναι α > 0 + α > 0 και + α > 0 + α < + α ( + α) < ( + α) + α < + α + ( α) 0 < α που αληθευει.

123 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 3 Θ ε μ α 5 6 ο 4548 Δινεται η εξισωση x - x + (λ - λ ) = 0 (), με παραμετρο λ. α) Να βρειτε την διακρινουσα Δ της εξισωσης και να αποδειξετε οτι η εξισωση εχει ριζες πραγματικες για καθε λ. (Μοναδες 0) β) Για ποια τιμη του λ η εξισωση () εχει δυο ριζες ισες; (Μοναδες 6) γ) Να αποδειξετε οτι η παρασταση A =, οπου S, P το αθροισμα και το S - P γινομενο των ριζων της εξισωσης () αντιστοιχα, εχει νοημα πραγματικου αριθμου για καθε πραγματικο αριθμο λ. (Μοναδες 9) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α

124 4 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4548 α) Ειναι Δ = (- ) - 4(λ - λ ) = - 4λ + 4λ = ( - λ) 0 για καθε λ οποτε η εξισωση εχει ριζες πραγματικες, για καθε λ. β) Η εξισωση () εχει διπλη ριζα αν (α ) Δ = 0 ( - λ) = 0 - λ = 0 γ) Ειναι β - S = x + x = - = - = α γ λ - λ Ρ = x x = = = λ - λ α Για να οριζεται η παρασταση Α πρεπει : S - P 0 S - P 0 Ομως λ = και S - P > 0 - (λ - λ ) > 0 λ - λ + > 0 Δ = (- ) - 4 = - 3 < 0 που σημαινει οτι λ - λ + > 0 (ομοσημο του α = > 0) για καθε λ. Αρα η παρασταση Α οριζεται (εχει νοημα), για καθε λ.

125 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 5 Θ ε μ α 5 7 ο 4607 α) Να λυσετε την ανισωση: x > x στο συνολο των πραγματικων αριθμων. (Μοναδες 8) β) Δινεται ενας πραγματικος αριθμος α με α >. i) Να βαλετε στη σειρα, απο τον μικροτερο στον μεγαλυτερο και να τοποθετησετε πανω στον αξονα των πραγματικων αριθμων, τους αριθμους: 0,, α, α, α. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας με τη βοηθεια και του ερωτηματος α). α + α ii) Να κανετε το ιδιο για τους αριθμους: α, α, Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x... χ ρ η σ ι μ ο. Mοναδες 0) (Mοναδες 7)

126 6 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4607 α) Ειναι ισοδυναμα : β) i) Ριζες τριωνυμου x - x : x > x x - x > 0 () x = 0 x - = 0 x - x = 0 x(x - ) = 0 η η Πινακας προσημου του τριωνυμου : x = 0 x = x x - x Οι λυσεις της x - x < 0 ειναι : x < 0 η x > αλλιως x (-, 0) (, + ) Ειναι α > > 0 α > α 0 < α α > α > 0 α > α α > α 0 < < α < α < α α > > 0 α > α > ii) Ειναι (απο (βi)) (+ α > 0) α + α α > α α + α > α + α α + α > α > α (+ α > 0) α + α α > α α + α > α + α α > α + α α > α < α + α < α

127 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 7 Θ ε μ α 5 8 ο 4663 Δινεται η εξισωση ( x - ) = λ(4x - 3) με παραμετρο λ. a) Να γραψετε την εξισωση στη μορφη αx + βx + γ = 0, α 0. (Μοναδες 5) β) Να βρειτε για ποιες τιμες του λ η εξισωση εχει ριζες πραγματικες και ανισες. (Μοναδες 0) γ) Αν x, x ειναι οι ριζες της εξισωσης, στην περιπτωση που εχει ριζες πραγματικες και ανισες, i) να υπολογισετε τα S = x + x και P = x x. ii) να αποδειξετε οτι η παρασταση Α = ( 4x - 3) ( 4x - 3) ειναι ανεξαρτητη του λ, δηλαδη σταθερη. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α (Mοναδες 0) To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x

128 8 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4663 α) Ειναι: (x - ) = λ(4x - 3) x - 4x + 4 = 4λx - 3λ x - 4x + 4-4λx + 3λ = 0 x - 4( + λ)x + (4 + 3λ) = 0 β) Η εξισωση εχεις πραγματικες ριζες και ανισες αν Δ > 0 [- 4(λ + )] - 4 (4 + 3λ) > 0 6(λ + ) - 4(4 + 3λ) > 0 6λ + 3λ λ > 0 6λ + 0λ > 0 4λ + 5λ > 0 λ = 0 λ = - 4 4λ + 5λ = 0 λ(4λ + 5) = 0 5 Πινακας προσημου του τριωνυμου : Αρα για λ λ + 5λ ανισες ριζες. γ) i) Αν x, x ii) S Ρ Για 5 λ (-, - ) (0, + ) ειναι 4 = x + x = x ειναι οι ριζες της εξισωσης με x β - 4( + λ) = - = - = α γ = = α 4 + 3λ = 4 + 3λ 5 λ (-, - ) (0, + ) ειναι 4 4λ + 5λ > 0 δηλαδη η εξισωση εχει πραγματικες και 5 λ (-, - ) (0, + ) απο (Vieta) : 4 4( + λ) Α = (4x - 3)(4x - 3) = 6x x - x - x + 9 = 6x x - (x + x ) + 9 = = 6P - S + 9 = 6(4 + 3λ) - 4( + λ) + 9 = λ λ + 9 = 5 Αρα η παρασταση Α ειναι σταθερη (ανεξαρτηση του λ).

129 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 9 Θ ε μ α 5 9 ο 4680 Δινεται η εξισωση: x - x + λ - λ = 0 () με παραμετρο λ. α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ της εξισωσης και να αποδειξετε οτι η εξισωση εχει ριζες πραγματικες για καθε λ. (Μοναδες 0) β) Για ποια τιμη του λ η εξισωση () εχει δυο ριζες ισες; (Μοναδες 6) γ) Αν x x ειναι οι ριζες της παραπανω εξισωσης (), τοτε να βρειτε για ποιες, τιμες τουυ λ ισχυει 0 < d(x, x ) <. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 9) d(x, a) < β x - α < β

130 30 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4680 α) Ειναι Δ = (- ) - 4(λ - λ ) = - 4λ + 4λ = ( - λ) 0 για καθε λ οποτε η εξισωση εχει ριζες πραγματικες, για καθε λ. β) Η εξισωση () εχει δυο ισες ριζες αν Δ = 0 ( - λ) = 0 - λ = 0 γ) Οι ριζες της εξισωσης () ειναι λ = Δ = ( - λ) > 0 α = + - λ x = x = β = - τοτε - (- ) ± ( - λ) ± - λ x = =, γ = λ - λ - - λ Ετσι + - λ - - λ d(x,x ) = x - x = - = - λ = - λ Ομως 0 < d(x x ) < 0 < - λ < - λ < - < - λ <, επι (- ) < - λ - < < - λ < > λ > - η Ακομη Οποτε, τελικα. 3 - < λ < λ αφου η εξισωση εχει πραγματικες ριζες και Δ > 0 ( - λ) > 0 λ 3 λ -,,. -

131 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 3 Θ ε μ α 6 0 ο 489 Δινεται το τριωνυμο f(x) = x - x + λ - λ με λ. α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου και να αποδειξετε οτι το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες για καθε λ. (Μοναδες 0) β) Για ποια τιμη του λ το τριωνυμο εχει δυο ριζες ισες; (Μοναδες 6) γ) Αν λ και x, x ειναι οι ριζες του παραπανω τριωνυμου με x < x, τοτε: x + x i) Nα δειξετε οτι x < < x. (Μοναδες 4) ii) Να διαταξετε απο τον μικροτερο προς τον μεγαλυτερο τους αριθμους x + x f(x ), f( ), f(x + ). (Μοναδες 5) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x

132 3 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 489 α) Ειναι Δ = (- ) - 4(λ - λ ) = - 4λ + 4λ = ( - λ) 0 για καθε λ οποτε η εξισωση εχει ριζες πραγματικες, για καθε λ. β) Η εξισωση () εχει διπλη ριζα αν (α ) Δ = 0 ( - λ) = 0 - λ = 0 γ) i) Ειναι λ = + x x + x x < x x + x < x + x x < x + x x < x + x + x x < < x x + x x < x x + x < x + x x + x < x < x ii) Αν x, x ειναι δυο ανισες ριζες του τριωνυμου με α = > 0, τοτε: f(x) < 0 αν x < x < x f(x) > 0 αν x < x η x > x f(x ) = f(x ) = 0. Ετσι x + x x + x Απ το (γi) ειναι : x < < x f < 0 x + > x (x + ) (x,+ ) f(x + ) > 0 f(x ) = 0 Οποτε τελικα x + x f < f(x ) < f(x + ).

133 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 33 Θ ε μ α 6 ο 4836 Δινεται η εξισωση x λx + = 0 () με παραμετρο λ α) Να βρειτε για ποιες τιμες του λ η εξισωση () εχει ριζες πραγματικες και ανισες. (Μοναδες 8) β) Να αποδειξετε οτι αν ο αριθμος ρ ειναι ριζα της εξισωσης (), τοτε και ο αριθμος ρ ειναι επισης ριζα της εξισωσης. γ) Για λ >, να αποδειξετε οτι: i) Οι ριζες x, x της εξισωσης () ειναι αριθμοι θετικοι. ii) x + 4x 4. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α (Μοναδες 5) (Μοναδες ) To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α

134 34 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4836 α) Η εξισωση () εχει ριζες πραγματικες και ανισες, αν Δ > 0 λ - 4 > 0 λ > 4 λ > 4 λ > η β) λ < - λ > Ο αριθμος ρ ειναι ριζα της εξισωσης () και την επαληθευει : Επι 0 ρ ρ λρ + = 0 ρ λ ρ + = 0 λ + = 0. ρ ρ ρ ρ ρ ρ 0 γιατι αν ρ = 0 η () 0 λ0+=0 =0 ατοπο που σημαινει οτι ο αριθμος ρ γ) i) Ειναι ειναι ριζα της (). β - λ S = x + x = - = - = λ > 0 α x, x θετικες γ Ρ = x x = = = > 0 αρα x, x ομοσημες α ii) Eιναι x > 0 x x = x > 0 x + 4x 4 (x + 4x ) 6 x + 8x x + 6x 6 x + 8x x + 6x 6x x x - 8x x + 6x 0 (x - 4x ) 0 που αληθευει για καθε πραγματικο αριθμο x, x. Α λ λ ι ω ς Απ το ερωτημα (β) ειναι : x = ρ και x = ρ Ετσι ρ ρ > 0 x + 4x 4 ρ ρ + 4 4ρ ρ - 4ρ (ρ - ) 0 που αληθευει για καθε πραγματικο αριθμο ρ (αρα και x, x ).

135 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 35 Θ ε μ α 6 ο 4853 Δινεται το τριωνυμο αx + βx + γ, α 0,με ριζες τους αριθμους και. α) Χρησιμοποιωντας τους τυπους για το αθροισμα S και το γινομενο Ρ των ριζων του τριωνυμου, να αποδειξετε οτι: γ = α και β = - 3α. β) Αν επιπλεον γνωριζουμε οτι το τριωνυμο παιρνει θετικες τιμες για καθε x (, ),τοτε: i) Να αποδειξετε οτι α < 0. ii) Να λυσετε την ανισωση γx + βx + α < 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α (Μοναδες 9) (Μοναδες 9) (Μοναδες 7) To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α

136 36 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4853 α) Ειναι β β β x + x = - + = - 3 = - α α α β = - 3α γ γ γ x x = = = γ = α α α α β) Το τριωνυμο i) αx + βx + γ > 0 αν < x < Αφου το τριωνυμο παιρνει θετικες τιμες αν το x εντος των ριζων, τοτε πρεπει να ειναι ετεροσημο του α, δηλαδη α < 0. ii) Eιναι β = - 3α α < 0 γx + βx + α < 0 αx - 3αx + α < 0 α(x - 3x + ) < 0 x - 3x + > 0 γ = α Ριζες εξισωσης x - 3x + : Δ = (- 3) - 4 = 9-8 = > 0 α = 3 + β = - 3 τοτε x = = - (- 3) ± 3 ± x = = 4, γ = x = = 4 x - + x - 3x Οι λυσεις της x - 3x + > 0 (ισοδυναμα, γx + βx + ειναι : x < η x > αλλιως x (-, ) (, + ) α < 0)

137 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 37 Θ ε μ α 6 3 ο 4859 Θεωρουμε το τριωνυμο f(x) = 3x + κx - 4 με παραμετρο κ. α) Να αποδειξετε οτι για οποιαδηποτε τιμη του κ, το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες και ανισες. (Μοναδες 0) β) Οι ριζες του τριωνυμου ειναι ομοσημες η ετεροσημες; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 5) γ) Αν x, x οι ριζες του τριωνυμου και α, β δυο πραγματικοι ωστε να ισχυει: α < x < x < β, να προσδιορισετε το προσημο του γινομενου α f(α) β f(β). Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 0) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α,... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Επιπλεον αν Ρ < 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι ετεροσημες.

138 38 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 4859 α) Ειναι Δ = κ (- 4) = κ κ > 0 48 > 0 Το τριωνυμο εχει πραγματικες και ανισες ριζες για καθε κ. β) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου (Vieta) : γ - 4 Ρ = x x = = < 0 α 3 που σημαινει οτι οι ριζες x, x ειναι ετεροσημες. γ) Ειναι x, x ειναι ετεροσημες οποτε η δοσμενη σχεση γινεται : α < x < 0 < x < β Πινακας προσημου τριωνυμου Eτσι x - α x 0 x β + f(x) f(a) < 0, f(β) > 0, α < 0 και β > 0 Οποτε α f(a) β f(β) < 0

139 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 39 Θ ε μ α 6 4 ο Δινονται οι εξισωσεις x - 3x + = 0 () και x - 3x + = 0 (). α) Να βρειτε τις ριζες της εξισωσης (). β) Να βρειτε τις ριζες της εξισωσης (). γ) Να βρειτε τριωνυμο της μορφης x (Μοναδες 5) (Μοναδες 0) + βx + γ που οι ριζες του να ειναι καποιες απο τις ριζες της εξισωσης () και επιπλεον, για καθε αρνητικο αριθμο x, να εχει θετικη τιμη. (Μοναδες 0) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α, το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x... χ ρ η σ ι μ ο Εστω η εξισωση : αx 4 + βx + γ = 0 με α 0. Για τη λυση της : Θετουμε στην εξισωση x = y και η εξισωση γινεται: αy + βy + γ = 0. Λυνουμε την εξισωση αy + βy + γ = 0 και εστω y, y οι ριζες της. Λυνουμε τις εξισωσεις: x = y και x = y και προσδιοριζουμε τον x. To αθροισμα - γινομενο των ριζων των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : β S = x + x = - Ρ = x x = γ α α

140 40 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 585 α) β) Δ = (- 3) - 4 = 9-8 = > 0 α = 3 + x = = γ = 3 - x = = x - 3x + = 0 : β = - 3 τοτε - (- 3) ± 3 ± x = =, x = - y = x = x = y (α) 4 x = x - 3x + = 0 y - 3y + = 0 x = - 3 y = x = x = 4 γ) Το τριωνυμο εχει δυο ανισες ριζες : x - x x + x + βx + γ Αν x = - η x = - υπαρχει x ( -, - ) η x ( -, 0 ) με x + βx + γ < 0, ατοπο. Ετσι x = και x = Απο τυπους Vieta : S = x + x = + Ρ = x x = = Oποτε το ζητουμενο τριωνυμο ειναι : x - Sx + Ρ = x - ( + )x + Το τριωνυμο εχει διπλη ριζα x, ειναι παντα ομοσημο του α = > 0. 0 Αν x = - τοτε x + βx + γ = (x + ), x - (x + βx + γ = 0) 0 Αν x = - τοτε x + βx + γ = (x + ), x - (x + βx + γ = 0) 0 Αν x = τοτε x + βx + γ = (x - ), x (x + βx + γ = 0) 0 Αν x = τοτε x + βx + γ = 0 (x - ), x (x + βx + γ = 0)

141 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 4 Θ ε μ α 6 5 ο 536 Δινεται το τριωνυμο: x + βx + β, οπου β. α) Να υπολογισετε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου. β) i) Αν β 0 τι μπορειτε να πειτε για το προσημο του τριωνυμου; ii) Πως αλλαζει η απαντηση σας στο ερωτημα (i), οτα β = 0 ; γ) Με τη βοηθεια της απαντησης στο ερωτημα (β), να αποδειξετε οτι ισχυει η ανισοτητα α + α β + β > 0 για οποιουσδηποτε πραγματικους αριθμους α, β που δεν ειναι και οι δυο ταυτοχρονα 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 4) (Μοναδες 7) (Μοναδες 6) (Μοναδες 8)

142 46 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 536 α) Ειναι Δ = β β = - 3β για καθε β) i) Αν β 0, τοτε Δ = - 3β ii) Αν β = 0, τοτε Δ = - 3β γ) β < 0 και το τριωνυμο = 0 και το τριωνυμο Αν α 0 και β 0 συμφωνα με (βi) : Αν α 0 και β = 0 συμφωνα με (βi) : Αν α = 0 και β 0 συμφωνα με (βi) : x + βx + β > 0 (ειναι παντα ομοσημο του a = > 0) x + βx + β > 0 (ειναι παντα ομοσημο του a = > 0) x = α x + βx + β > 0 α + α β + β > 0 x = α x + βx + β > 0 α + α β + β > 0 x = α x + βx + β > 0 α = 0 α + α β + β > 0 Αφου α + α β + β > β + β > 0 β > 0 αληθευει β 0.

143 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 43 Θ ε μ α 6 6 ο 53 Δινεται το τριωνυμο: x - x - 8 α) Να βρειτε το προσημο του τριωνυμου για τις διαφορες τιμες του πραγματικου αριθμου x. (Μοναδες 0) 8889 β) Αν κ = -, ειναι η τιμη της παραστασης: κ - κ - 8 μηδεν, θετικος 4444 η αρνητικος αριθμος; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. γ) Αν ισχυει - 4 < μ < 4, τι μπορειτε να πειτε για το προσημο της τιμης της παραστασης: μ - μ - 8 ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8) (Μοναδες 7) x = x

144 44 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 53 α) Ειναι α = Δ = β - 4αγ = (- ) - 4 (- 8) = = 36 > x = = 4 x - x - 8 : β = - τοτε - β ± Δ - (- ) ± 36 ± 6 x = = =, γ = - 8 α - 6 β) x x - x x - x - 8 > 0 αν : αλλιως x - x - 8 < 0 αν : αλλιως Ειναι κ = - κ < - κ < x < - η x > 4 x (-, - ) (4, + ) - < x < 4 x (-, 4) Eτσι, συμφωνα με το ερωτημα (α), προκυπτει γ) Ειναι κ - κ - 8 > < μ < 4 μ < 4 0 < μ < 4 μ (0, 4) (-, 4) μ - μ - 8 = μ - μ - 8 < 0 (συμφωνα με ερωτημα (α)). Ετσι μ - μ - 8 < 0 για καθε - 4 < μ < 4. x = = -

145 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 45 Θ ε μ α 6 7 ο 5884 Δινεται το τριωνυμο f(x) = x - 6x + λ - 3, με λ. α) Να υπολογισετε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου. (Μοναδες 5) β) Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες το τριωνυμο εχει δυο ανισες πραγματικες ριζες. (Μοναδες 7) γ) Αν 3 < λ <, τοτε: i) Να δειξετε οτι το τριωνυμο εχει δυο ανισες θετικες ριζες. (Μοναδες 6) ii) Αν x, x με x < x ειναι οι δυο ριζες του τριωνυμου και κ, μ ειναι δυο αριθμοι με κ < 0 και x < μ < x, να προσδιορισετε το προσημο του γινομενου κ f(κ) μ f(μ). Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α,... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Αν Ρ > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι ομοσημες. Αν S > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι θετικες. Αν S < 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι αρνητικες. (Μοναδες 7)

146 46 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 5884 α) Ειναι Δ = (- 6) - 4(λ - 3) = 36-4λ + = 48-4λ = 4( - λ), με λ. β) Το τριωνυμο εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες για καθε λ αν Δ > 0 4( - λ) > 0 - λ > 0 λ < γ) i) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, αφου 3 < λ <, απο (Vieta) : β - 6 S = x + x = - = - = 6 > 0 α γ λ - 3 Ρ = x x = = = λ - 3 > 0 (αφου λ > 3) αρα x, x ομοσημες α ii) Ειναι x, x ειναι θετικες, οποτε οι δοσμενες σχεσεις δινουν : Πινακας προσημου τριωνυμου Eτσι x - κ 0 x x μ + f(x) f(κ) < 0, f(μ) > 0, κ < 0 και μ > 0 Οποτε κ f(κ) μ f(μ) < 0 κ < 0 < x < μ < x x, x θετικες

147 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 47 Θ ε μ α 6 8 ο 5885 α) i) Να βρειτε τις ριζες του τριωνυμου: x + 9x + 8. ii) Να λυσετε την εξισωση: x x + 9x + 8 = 0. (Μοναδες 7) + 9x + 8, για τις διαφορες τι- β) i) Να βρειτε το προσημο του τριωνυμου μες του πραγματικου αριθμου x. x ii) Να βρειτε τις τιμες του x για τις οποιες ισχυει: x + 9x + 8 = - x - 9x - 8. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x (Μοναδες 4)... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 7) (Μοναδες 7) το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x Aν α + β = 0 τοτε α = 0 ΚΑΙ β = 0. θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη

148 48 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 5885 α) i) Ειναι α = Δ = β - 4αγ = = 8-7 = 9 > x = = - 3 x + 9x + 8 = 0 : β = 9 : - β ± Δ - 9 ± 9-9 ± 3 x = = =, γ = 8 α ii) Eιναι x x + 9x + 8 = 0 και β) i) Πινακας προσημου του τριωνυμου : x x + 9x ii) x + 9x + 8 > 0 αν : αλλιως x + 9x + 8 < 0 αν : αλλιως x = = - 6 x = - 3 x + 3 = 0 και x = - 3 x = - 3 x + 9x + 8 = 0 η x = - 6 x < - 6 η x > - 3 x (-, - 6) (- 3, + ) - 6 < x < - 3 x (- 6, - 3) x + 9x + 8 = - x - 9x - 8 x + 9x + 8 = - (x + 9x + 8) Πρεπει x (- 6, - 3) - (x + 9x + 8) 0 x + 9x που αληθευει αν.

149 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 49 Θ ε μ α 6 9 ο 67 α) Να λυσετε την ανισωση: x - 5x - 6 < 0. (Μοναδες 0) β) Να βρειτε το προσημο του αριθμου K = (- ) και να αιτιολογησετε το συλλογισμο σας (Μοναδες 7) γ) Αν α ( - 6, 6 ), να βρειτε το προσημο της παραστασης Λ = α - 5 α - 6. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8) x = x

150 50 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 67 α) Ειναι α = Δ = β - 4αγ = (- 5) - 4 (- 6) = = 49 > x = = 6 x - 5x - 6 : β = - 5 τοτε - β ± Δ - (- 5) ± 49 5 ± 7 x = = =, γ = - 6 α 5-7 Προσημο τριωνυμου β) x - 5x - 6 x x - 5x x - 5x - 6 < 0 αν : - < x < 6 αλλιως x (-, 6) Ειναι (α) (-,6) 47 K = (- ) = (- ) - 5 (- ) - 6 γ) Ειναι Κ < 0 x = = - - < κ < 6-6 < κ < 6 κ < 6 0 < κ < 6 μ (0, 6) (-, 6) Λ = α - 5 α - 6 = α - 5 α - 6 < 0 (συμφωνα με ερωτημα (α)). Ετσι Λ = α - 5 α - 6 < 0 για καθε - < α < 6.

151 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 5 Θ ε μ α 7 0 ο 763 α) Δινεται το τριωνυμο: x - 6x + λ - 7, οπου λ. Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες το τριωνυμο εχει πραγματικες ριζες. (Μοναδες 7) β) i) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, να βρειτε την τιμη του αθροισματος S = x + x των ριζων και να εκφρασετε συναρτησει του λ το γινομενο P = x x των ριζων. ii) Να δειξετε οτι, για καθε λ με 7 < λ < 6, το τριωνυμο εχει δυο ανισες ομοσημες ριζες. Ποιο ειναι τοτε το προσημο των ριζων; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. γ) i) Να βρειτε τις τιμες του λ για τις οποιες η εξισωση x - 6 x + λ = 7 () εχει τεσσερις διαφορετικες πραγματικες ριζες. (Μοναδες ) (Μοναδες 4) (Μοναδες 8) ii) Εχει η εξισωση () για λ = 3 0 τεσσερις διαφορετικες πραγματικες ριζες; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 4) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α,... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Αν Ρ > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι ομοσημες. Αν S > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι θετικες. Αν S < 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι αρνητικες. x = x

152 5 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 763 α) Το τριωνυμο x - 6x + λ - 7, λ, εχει πραγματικες ριζες αν Δ 0 β - 4αγ (λ - 7) λ λ 64 λ 6 β) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου και 7 < λ < 6, απο (Vieta) : i) β - 6 S = x + x = - = - = 6 α γ λ - 7 Ρ = x x = = = λ - 7 α ii) β - 6 S = x + x = - = - = 6 > 0 α x, x θετικες γ λ - 7 Ρ = x x = = = λ - 7 > 0 (αφου λ > 7) αρα x, x ομοσημες α γ) i) x = y (α) x - 6 x + λ = 7 x - 6 x + λ - 7 = 0 y - 6y + λ - 7 = 0 y > 0 x = y y > 0 x = y x x x x Αρα για 7 < λ < 6 η εξισωση ii) Για να εχει η εξισωση x = - y = y = - y 3 = y 4 7 < λ < 6 x - 6 x + λ = 7 εχει τεσσερις ανισες πραγματικες ριζες. - 6 x + λ = 7 εχει τεσσερις ανισες πραγματικες ριζες για λ = 3 0 αρκει αυτη η τιμη του λ να επαληθευει την 7 < λ < 6. Πραγματι θετικοι 7 < λ < 6 7 < 3 0 < 6 7 < (3 0) < 6 49 < 90 < 56 που αληθευει.

153 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 53 Θ ε μ α 7 ο 7506 Μια μικρη μεταλλικη σφαιρα εκτοξευεται κατακορυφα απο το εδαφος. Το υψος y (σε m) στο θα βρεθει η σφαιρα τη χρονικη στιγμη t (σε sec ) μετα την εκτοξευση, δινεται απο τη σχεση: y = 60t - 5t a) Μετα απο ποσο χρονο η σφαιρα θα επανελθει στο εδαφος; β) Ποιες χρονικες στιγμες η σφαιρα θα βρεθει στο υψος y = 75m ; γ) Να βρεθει το χρονικο διαστημα στη διαρκεια του οποιου η σφαιρα βρισκεται σε υψος μεγαλυτερο απο 00 m. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ - β ± Δ x = α, Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x

154 54 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 7506 α) Η σφαιρα επανελθει στο εδαφος (y = 0) μετα χρονο t > 0 (t = 0 αρχη κινησης), αν t = 0, απορριπτεται. t = sec y = 0 60t - 5t = 0 5t( - t) = 0 t( - t) = 0 η β) Για τη χρονικη στιγμη t, που η σφαιρα θα βρεθει σε υψος y = 75 m, ειναι: y = 75 60t - 5t = 75-5t + 60t - 75 = 0 t - t + 35 = 0 Δ = (- ) = = 4 > 0 α = + t = = 7 γ = 35 - t = = 5 t - t + 35 = 0 : β = - τοτε - (- ) ± 4 ± t = =, Eτσι, η σφαιρα θα βρεθει σε υψος y = 75 m τις χρονικες στιγμες t = 5sec και t = 7sec. γ) Η σφαιρα βρισκεται σε υψος y > 75 m αν y > 00 60t - 5t > 00 t - t + 0 < 0 Ριζες τριωνυμου t - t + 0 Δ = (- ) = = 64 > 0 α = + 8 t = = 0 γ = 0-8 t = = t - t + 0 : β = - τοτε - (- ) ± 64 ± 8 t = =, Προσημο του τριωνυμου t - t + 0 : t t - t H σφαιρα βρισκεται σε υψος μεγαλυτερο απο 00 m αν, sec < t < 0 sec.

155 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 55 Θ ε μ α 7 ο 7677 Δινεται η ανισωση: x + < 4 () α) Να λυσετε την ανισωση και να παραστησετε το συνολο των λυσεων της πανω στον αξονα των πραγματικων αριθμων. β) Να βρειτε ολες τις ακεραιες λυσεις της ανισωσης (). γ) Να κατασκευασετε ενα τριωνυμο της μορφης x + βx + γ το οποιο να εχει ριζες δυο απο τις ακεραιες λυσεις της ανισωσης () και να εχει θετικη τιμη, για καθε x 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α (Μοναδες 7) (Μοναδες 3) (Μοναδες 5) To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Για θ > 0 : x θ - θ x θ x - θ x θ η x θ

156 56 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 7677 α) Ειναι - x + < 4-4 < x + < < x + - < < x < 3 β) Οι ακεραιες λυσεις της ανισωσης () ειναι : - 4, - 3, -, -, 0, και. γ) Το τριωνυμο εχει δυο ανισες ριζες : x - x x + x + βx + γ Αν x < 0, x < 0 υπαρχει x ( x, x ) η x ( x, 0 ) με x + βx + γ < 0, ατοπο. Οποτε οι x, x ειναι καποια απ'τις,. Ετσι αν x = και x = τοτε απο τυπους Vieta : S = x + x =, Ρ = x x = και το ζητουμενο τριωνυμο ειναι : x - Sx + Ρ = x - x + x = και x = η τοτε απο τυπους Vieta : S = x + x = 3, Ρ = x x = και x = και x = το ζητουμενο τριωνυμο ειναι : x - Sx + Ρ = το ζητουμενο τριωνυμο ειναι : x - Sx + Ρ = x - 3x + x = και x = τοτε απο τυπους Vieta : S = x + x = 4, Ρ = x x = 4 και x - 4x + 4

157 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 57 Θ ε μ α 7 3 ο 7684 Δινεται η ανισωση: x - 3 () α) Να λυσετε την ανισωση και να παραστησετε το συνολο των λυσεων της πανω στον αξονα των πραγματικων αριθμων. β) Να βρειτε ολες τις ακεραιες λυσεις της ανισωσης (). γ) Να κατασκευασετε ενα τριωνυμο της μορφης x + βx + γ το οποιο να εχει ριζες δυο απο τις ακεραιες λυσεις της ανισωσης () και να εχει θετικη τιμη, για καθε x 0. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α (Μοναδες 7) (Μοναδες 3) (Μοναδες 5) To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Για θ > 0 : x θ - θ x θ x - θ x θ η x θ

158 58 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 7684 α) Ειναι + x x x x 4 β) Οι ακεραιες λυσεις της ανισωσης () ειναι : -, -, 0,,, 3 και 4. γ) Το τριωνυμο εχει δυο ανισες ριζες : x - x x + x + βx + γ Αν x > 0, x > 0 υπαρχει x ( x, x ) η x ( x, 0 ) με x + βx + γ < 0, ατοπο. Οποτε οι x, x ειναι καποια απ'τις -, -. Ετσι αν x = - και x = - τοτε απο τυπους Vieta : S = x + x = -, Ρ = x x = και το ζητουμενο τριωνυμο ειναι : x - Sx + Ρ = x + x + x = - και x = - η τοτε απο τυπους Vieta : S = x + x = - 3, Ρ = x x = και x = - και x = - το ζητουμενο τριωνυμο ειναι : x - Sx + Ρ = το ζητουμενο τριωνυμο ειναι : x - Sx + Ρ = x + 3x + x = - και x = - τοτε απο τυπους Vieta : S = x + x = - 4, Ρ = x x = 4 και x + 4x + 4

159 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 59 Θ ε μ α 7 4 ο 7745 Δινεται το τριωνυμο f(x) = - x + x + 3 a) Να βρειτε το προσημο του τριωνυμου f(x) για τις διαφορες τιμες του x. (Μοναδες 0) β) Να προσδιορισετε, αιτιολογωντας την απαντηση σας, το προσημο του γινομενου: f(,999) f(-,00) (Μοναδες 7) γ) Αν - 3 < a < 3, να βρειτε το προσημο του αριθμου: - α + α + 3. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8) x = x

160 60 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 7745 α) Ειναι α = - Δ = β - 4αγ = - 4 (- ) 3 = 4 + = 6 > x = = - - x + x + 3 : β = τοτε - β ± Δ - ± 6 - ± 4 x = = = -, γ = 3 α β) x x + x x + x x + x + 3 Ειναι < 0 αν : x < - η x > 3 αλλιως x (-, - ) (3, + ) > 0 αν : - < x < 3 αλλιως x (-, 3),999 (-, 3) f(, 999) > 0 f(,999) f(-,00) < 0 -,00 (-, - ) f(-,00) < 0 γ) Ειναι - 3 < α < 3 α < 3 0 < α < 3 α (0, 3) (-, 3) - α + α + 3 = - α + α + 3 > 0 (συμφωνα με ερωτημα (α)). Ετσι - α + α + 3 > 0 για καθε - 3 < α < 3. x = = 3 -

161 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 6 Θ ε μ α 7 5 ο a) Να λυσετε την ανισωση: x + x (). (Μοναδες 0) β) Δινονται δυο αριθμοι κ, λ οι οποιοι ειναι λυσεις της ανισωσης () και ικανοποιουν επιπλεον τη σχεση: (λ - )(κ - ) < 0. i) Να δειξετε οτι το ειναι μεταξυ των κ, λ. ii) Να δειξετε οτι: κ - λ 3. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α, το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8) (Μοναδες 7)

162 6 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 7958 α) Ισοδυναμα ειναι 5 x + x x + 5x x - 5x + 0 Δ = (- 5) - 4 = 5-6 = 9 > 0 α = x = = γ = x = = 4 x - 5x + : β = -5 τοτε - (- 5) ± 9 5 ± 3 x = = 4, x - + x - 5x Οι λυσεις της ανισωσης ειναι : x (-, ] [, + ) β) i) λ - > 0 και κ - < 0 λ > και κ < κ < < λ (λ - )(κ - ) < 0 η η η λ - < 0 και κ - > 0 λ < και κ > λ < < κ ii) Οι δυο αριθμοι κ, λ ειναι και λυσεις της ανισωσης () και ανηκουν στo μεγαλυτερο να ανηκει στο [, + ) (-, ] [,+ ) με τον και το μικροτερο στο(-, ], αφου κ < < λ η λ < < κ. κ κ 3 κ < < λ λ - λ - κ - λ - η η η η κ - λ λ < < κ κ κ 3 κ - λ λ - λ - 3.

163 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 63 Θ ε μ α 7 6 ο 7974 Δινεται πραγματικος αριθμος α, που ικανοποιει τη σχεση: α - <. α) Να γραψετε σε μορφη διαστηματος το συνολο των δυνατων τιμων του α. (Μοναδες 8) β) Θεωρουμε στη συνεχεια το τριωνυμο: x - (α - )x + 4 i) Να βρειτε τη διακρινουσα του τριωνυμου και να προσδιορισετε το προσημο της. (Μοναδες 0) ii) Να δειξετε οτι, για καθε τιμη του x, ισχυει x - (α - )x + > 0. 4 (Μοναδες 7) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x Για θ > 0 : x < θ - θ < x < θ... χ ρ η σ ι μ ο

164 64 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 7974 α) Ειναι + α - < - < α - < - + < α - + < + < α < 3 α (,3) β) i) Δ = (α - ) - 4 = (α - ) - 4 α - < Δ = (α - ) - = α - - < - = - = 0 Α λ λ ι ω ς Δ = (α - ) - = α - 4α = α - 4α + 3 Δ = (- 4) = 6 - = 4 > 0 α = 4 + α = = 3 γ = α = = α - 4α + 3 : β = - 4 τοτε - (- 4) ± 4 4 ± α = =, α α 4α Για α (, 3) το τριωνυμο ii) Για α (, 3) ειναι Δ < 0, οποτε το τριωνυμο α - 4α + 3 < 0, οποτε Δ < 0. x - (α - )x + > 0 4 (ειναι παντα ομοσημο του a = > 0)

165 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 65 Θ ε μ α 7 7 ο 87 α) Να λυσετε την ανισωση x + x - 6 < 0. β) Να λυσετε την ανισωση x - >. γ) Δινεται το παρακατω παραλληλογραμμο με πλευρες a και a + οπου ο αριθμος a ικανοποιει τη σχεση α - >. a Αν για το εμβαδον E του ορθογωνιου ισχυει E < 6, τοτε: a + i) Να δειξετε οτι: 3 < α <. ii) Να βρειτε μεταξυ ποιων αριθμων κυμαινεται η περιμετρος του ορθογωνιου. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x Για θ > 0 : x - θ x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8) (Μοναδες 5) (Μοναδες 7) (Μοναδες 5) Αν α, β οι διαστασεις ορθογωνιου, τοτε : Εμβαδον : Ε = α β Περιμετρος : Π = α + β

166 66 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 87 α) Ειναι Δ = - 4 (- 6) = + 4 = 5 > 0 α = x = = γ = x = = - 3 x + x - 6 : β = τοτε - ± 5 - ± 5 x = =, x x + x Oι λυσεις της ανισωσης β) x + x - 6 < 0 ειναι: x (- 3, ) x - < - x < - + x < - x - > η η η x - > x > + 3 x > γ) α < -, απορριπτεται, α μηκος (β) α - > η 3 α > i) (α) 3 α > Ε < 6 α(α + ) < 6 α + α - 6 < 0-3 < α < Τελικα, αφου ii) 3 α >, το Ε < 6 αν 3 < α < Η περιμετρος του παραλληλογραμμου ειναι: Π = α + (α + ) = α + α + = 4α + Ετσι επι < α < 4 < 4α < 4 6 < 4α < < 4α - < < 4α - < 6 4 < Π < 6

167 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 67 Θ ε μ α 7 8 ο 8445 α) Δινεται το τριωνυμο x - 3x +, x. Να βρειτε το προσημο του τριωνυμου. β) Αν για πραγματικους αριθμους α, β διαφορετικους του μηδενος με α < β για τους οποιους ισχυει ( α - 3α + )( β - 3β + ) < 0, να αποδειξετε οτι (α - )(β - ) = (α - )(β - ). Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α,... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Αν Ρ > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι ομοσημες. Αν S > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι θετικες. Αν S < 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι αρνητικες. (Μοναδες 0) (Μοναδες 5) θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη

168 68 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 8445 α) Δ = (- 3) - 4 = 9-8 = > 0 α = 3 + x = = γ = 3 - x = = x - 3x + : β = - 3 τοτε - (- 3) ± 3 ± x = =, Πινακας προσημου τριωνυμου x - + x - 3x x - 3x + > 0 αν : αλλιως x - 3x + > 0 αν : αλλιως Ακομη, x - 3x + = (x - )(x - ) () β) x < η x > x (-, ) (, + ) < x < x (, ) ( α - 3α + )( β - 3β + ) < 0 τοτε ( α - 3α + ), ( β - 3β + ) ετεροσημοι. α < β α - 3α + < 0 α (,) α > α - > 0 (α - )(β - ) > 0 β - 3β + > 0 β (,+ ) β > β - > 0 (α - )(β - ) = (α - )(β - ) β - 3β + < 0 β (,) β < 0 β - < 0 α < β α - 3α + > 0 α (-, ) α < α - < (α - )(β - ) = (α - )(β - ) Σε καθε περιπτωση ειναι : (α - )(β - ) = (α - )(β - ) (α - )(β - ) > 0

169 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 69 Θ ε μ α 7 9 ο 3086 Δινεται το τριωνυμο λx - (λ + )x + λ, λ - {0}. α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου και να αποδειξετε οτι το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες για καθε λ - {0}. β) Για ποιες τιμες του λ το παραπανω τριωνυμο εχει δυο ριζες ισες ; γ) Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε λx - (λ + )x + λ 0, για καθε x. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Αν Δ 0, εχει πραγματικες ριζες στο. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο.... χ ρ η σ ι μ ο Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x (Μοναδες 9) (Μοναδες 6) (Μοναδες 0) το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x

170 70 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 3086 α) Ειναι β) 4 4 Δ = (- (λ + )) - 4 λ λ = λ + λ + - 4λ = λ - λ + = (λ - ) 0 Δ = (λ - ) 0, δηλαδη το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες για καθε λ - {0}. Το τριωνυμο εχει ριζες ισες για καθε λ - {0}, αν Δ = 0 (λ - ) = 0 λ - = 0 λ = η γ) Το τριωνυμο λ = λ = - λx - (λ + )x + λ 0 για καθε x αν Δ 0 και λ < 0. (αν Δ > 0 η (Δ 0 και λ > 0) υπαρχουν διαστηματα που το τριωνυμο εχει διαφορετικο προσημο και δεν ισχυει το Ετσι λx - (λ + )x + λ 0 για καθε x ) λ = - Δ 0 Δ = 0 η Δ 0 Δ = 0 και και λ = λ = - η λ = λ = - λ < 0 λ < 0 και λ < 0

171 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 7 Θ ε μ α 8 0 ο 30 Δινεται η εξισωση : x - λx + 4λ + 5 = 0, με παραμετρο λ. α) Να αποδειξετε οτι αν λ = 5 η εξισωση εχει διπλη ριζα. (Μοναδες 5) β) Να εξετασετε αν υπαρχει και αλλη τιμη του λ, ωστε η εξισωση να εχει διπλη ριζα. (Μοναδες 5) γ) Να βρειτε τις τιμες του λ, ωστε η εξισωση να εχει δυο ριζες ανισες. (Μοναδες 0) δ) Αν λ - 4λ - 5 = 4λ - λ + 5, λ - {-, 5} να δειξετε οτι η εξισωση δεν εχει ριζες. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x (x < x ). το τριωνυμο ειναι ομοσημο του α αν : x < x και x > x το τριωνυμο ειναι ετεροσημο του α αν : x < x < x θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 5)

172 7 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 30 Ειναι x - λx + 4λ + 5 = 0 με διακρινουσα Δ = (- λ) - 4 (4λ + 5) = 4λ - 6λ - 0 = 4(λ - 4λ - 5) α = Δ = β(- 4) - 4 (- 5) = = 36 > λ = = 5 λ - 4λ - 5 β = - 4 τοτε - (- 4) ± 36 4 ± 6 λ = =, γ = Οποτε Δ = 4(λ + )(λ - 5) α) Για λ = 5 ειναι λ = = - Δ = 4(λ + )(λ - 5) = 4(5 + )(5-5) = 0 που σημαινει οτι η εξισωση εχει διπλη ριζα. β) Για να εχει η εξισωση διπλη ριζα πρεπει λ + = 0 λ = - Δ = 0 4(λ + )(λ - 5) = 0 η η λ - 5 = 0 λ = 5 Αρα εκτος του λ = 5 και για λ = - η εξισωση εχει διπλη ριζα. γ) Η εξισωση εχει δυο ανισες ριζες αν Δ > 0 η αν Προσημο τριωνυμου λ - 4λ - 5 λ - 4x - 5 > 0 λ λ - 4x λ - 4x - 5 > 0 αν : αλλιως δ) Για λ - {-, 5} x < - η x > 5 x (-, - ) (5, + ) λ - λ - 4λ - 5 = 4λ - λ + 5 λ - 4λ - 5 < 0 4(λ - 4λ - 5) < 0 Δ < 0 λ 5 που σημαινει οτι η εξισωση δεν εχει ριζες για λ - {-, 5}.

173 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ 73 Θ ε μ α 8 ο 307 Δινεται το τριωνυμο: f(x) = λx - (λ + )x + λ, λ - {0}. α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ του τριωνυμου και να αποδειξετε οτιτο τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες για καθε λ - {0}. (Μοναδες 8) β) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, να εκφρασετε το αθροισμα S = x + x συναρτησει του λ 0 και να βρειτε την τιμ του γινομενου P = x x των ριζων. (Μοναδες 5) γ) Αν λ > 0 το παραπανω τριωνυμο εχει ριζες θετικες η αρνητικες ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 6) δ) Αν 0 < λ και x, x με x < x, ειναι οι ριζες του παραπανω τριωνυμου, τοτε να βρειτε το προσημο του γινομενου f(0) f(κ) f(μ), οπου κ, μ ειναι αριθμοι τετοιοι ωστε x < κ < x < μ. (Μοναδες 6) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ α,... χ ρ η σ ι μ ο β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Αν Ρ > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι ομοσημες. Αν S > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι θετικες. Αν S < 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι αρνητικες.

174 74 A ν ι σ ω σ ε ι ς ο υ Β α θ μ ο υ Α π α ν τ η σ η 307 α) Ειναι β) 4 4 Δ = (- (λ + )) - 4 λ λ = λ + λ + - 4λ = λ - λ + = (λ - ) 0 Δ = (λ - ) 0, δηλαδη το τριωνυμο εχει ριζες πραγματικες για καθε λ - {0}. Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, με λ 0, απο (Vieta) : β - (λ + ) λ + S = x + x = - = - = α λ λ γ λ Ρ = x x = = = α λ γ) Αν x, x ειναι οι ριζες του τριωνυμου, αφου λ > 0, απο (Vieta) : λ + S = x + x = > 0 (αφου λ > 0) λ Ρ = x x = > 0 αρα x, x ομοσημες δ) Ειναι x, x θετικες x, x ειναι θετικες, οποτε οι δοσμενες σχεσεις δινουν : 0 < x < κ < x < μ Πινακας προσημου τριωνυμου Eτσι x - 0 x κ x μ + f(x) f(0) > 0, f(κ) < 0 και f(μ) > 0 Οποτε f(0) f(κ) f(μ) < 0

175 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α 6. Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς

176 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

177 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 77 Θ ε μ α 8 ο 047 Ενας μελισσοκομος εχει τοποθετησει 0 κυψελες σε μια ευθεια η οποια διερχεται απο την α- ποθηκη του Α. Η πρωτη κυψελη απεχει μετρο απο την αποθηκη Α, η δευτερη 4 μετρα απο το Α, η τριτη 7 μετρα απο το Α και γενικα καθε επομενη κυψελη απεχει απο την αποθηκη Α, 3 επιπλεον μετρα, σε σχεση με την προηγουμενη κυψελη. α) Να δειξετε οτι οι αποστασεις των κυψελων απο την αποθηκη Α αποτελουν διαδοχικους ορους αριθμητικης προοδου και να βρειτε το ορο αυτης της προοδου. Τι εκφραζει ο πρωτος ορος της αριθμητικης προοδου και τι η διαφορα της; (Μοναδες 6) β) Σε ποση αποσταση απο την αποθηκη Α ειναι η 0η κυψελη; (Μοναδες 6) γ) Ο μελισσοκομος ξεκινωντας απο την αποθηκη Α συλλεγει το μελι, απο μια κυψελη καθε φορα, και το μεταφερει παλι πισω στην αποθηκη Α. i) Ποια ειναι αποσταση που θα διανυσει ο μελισσοκομος για να συλλεξει το μελι απο την 3η κυψελη; (Μοναδες 6) ii) Ποια ειναι η συνολικη αποσταση που θα διανυσει ο μελισσοκομος για να συλλεξει το μελι και απο τις 0 κυψελες; (Μοναδες 7) Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν ) με διαφορα ω, ισχυει: α ν+ - α ν = ω Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο

178 78 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 047 α) Οι αποστασεις των κυψελων απ την αποθηκη Α αποτελουν διαδοχικους ορους αριθμητικης προοδου (α ν ) με πρωτο ορο α = και διαφορα ω = 3, αφου η πρωτη κυψελη απεχει απ την αποθηκη Α αποσταση μετρο και καθε επομενη κυψελη απεχει απ την αποθηκη Α 3 μετρα επιπλεον α : εκφραζει την αποσταση της πρωτης κυψελης απ την αποθηκη Α. ω : εκφραζει την αποσταση που απεχει καθε επομενη κυψελη απο την προηγουμενη. β) α 0 = α + (0 ) ω = = + 57 = 58 Η 0η κυψελη απεχει απ την αποθηκη Α 58 μετρα. γ) i) Ειναι α + (ν - ) ω + (3 - ) S = ν = 3 = 3 = 3 = 4 3 Δηλαδη, η αποσταση που θα διανυσει ο μελισσοκομος ειναι 4 μετρα. (πηραμε S γιατι ο μελισσοκομος πηγε και ηλθε σε καθε κυψελη και εκανε τη διαδρομη φορες). ii) Ειναι α + (ν - ) ω + (0 - ) S = ν = 0 = 0 = 0 = 80 0 Δηλαδη, η αποσταση που θα διανυσει ο μελισσοκομος ειναι 80 μετρα.

179 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 79 Θ ε μ α 8 3 ο 083 Ενα κλειστο σταδιο εχει 5 σειρες καθισματων. Στην πρωτη σειρα εχει καθισματα και καθεμια απο τις επομενες σειρες εχει δυο καθισματα παραπανω απο την προηγουμενη. α) Να βρειτε ποσα καθισματα εχει η μεσαια και ποσα η τελευταια σειρα. (Μοναδες 0) β) Να υπολογισετε τη χωρητικοτητα του σταδιου. (Μοναδες 5) γ) Οι μαθητες ενος Λυκειου προκειμενου να παρακολουθησουν μια εκδηλωση, κατελαβαν ολα τα καθισματα απο την 7η μεχρι και την 4η σειρα. Να βρειτε το πληθος των μαθητων του Λυκειου. (Μοναδες 0) Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν ) με διαφορα ω, ισχυει: α ν+ - α ν = ω Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο

180 80 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 083 α) Οι σειρες των καθισματων αποτελουν ορους αριθμητικης προοδου με α = και ω =, αφου καθεμια απ αυτες εχει τοσα καθισματα, οσα η προηγουμενη της συν δυο. Ολες οι σειρες ειναι 5, οποτε μεσαια ειναι η 3η και τελυταια η 5η. Ετσι, απ τον τυπο : α = α + (ν - ) ω ν α = + (3 - ) = + = 36 καθισματα εχει η 3η σειρα. 3 α = + (5 - ) = + 4 = 60 καθισματα εχει η 5η σειρα. 5 β) Η χωρητικοτητα του σταδιου ειναι το αθροισμα των καθισματων των 5 σειρων Ετσι α + (ν - ) ω + (5 - ) S = ν = 5 = 5 = 36 5 = Η χωρητικοτητα του σταδιου ειναι 900 θεσεις. γ) Το πληθος των καθισματων απο την 7η μεχρι την 4η σειρα ειναι το αθροισμα: α + α + α + α + α + α + α + α = S - S α + (ν - ) ω Ετσι απ τον τυπο S = ν προκυπτει : ν S - S = (4 - ) Δηλαδη οι μαθητες ηταν (6 - ) 6 = = = 48

181 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 8 Θ ε μ α 8 4 ο 33 Ο Διονυσης γραφει στο τετραδιο του τους αριθμους 3, 7,, 5,... και συνεχιζει προσθετοντας καθε φορα τον 4. Σταματαει οταν εχει γραψει τους 40 πρωτους απο τους αριθμους αυτους. α) Ειναι οι παραπανω αριθμοι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 4) β) Να βρειτε το αθροισμα των 40 αυτων αριθμων. (Μοναδες 7) γ) Ειναι ο αριθμος 0 ενας απο τους 40 αριθμους; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 7) δ) Ο Γιωργος πηρε το τετραδιο του Διονυση και συνεχισε να γραφει διαδοχικους ορους της ιδιας αριθμητικης προοδου, απο εκει που ειχε σταματησει ο Διονυσης μεχρι τον αριθμο 35. Να βρειτε το αθροισμα των αριθμων που εγραψε ο Γιωργος. (Μοναδες 7) Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν ) με διαφορα ω, ισχυει: α ν+ - α ν = ω Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο

182 8 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 33 α) Προκειται για αριθμητικη προοδο με πρωτο ορο α προκυπτει απο τον προηγουμενο αν προσθεσουμε τον αριθμο 4. β) α + (ν - ) ω Απ τον τυπο S = ν προκυπτει : ν 3 + (40 -) S = 40 = 40 = 8 40 = γ) Ο 0 ειναι ενας απο τους 40 αυτους αριθμους, αν υπαρχει Ετσι v * = 3 και διαφορα ω = 4 αφου καθε ορος της * v, τετοιος ωστε: α = 0. v α = 0 α + (v - )ω = (v - ) 4 = v - 4 = v = 8 v = v = 4 Αρα ο 0, δεν ειναι ενας απο τους αριθμους αυτους. δ) Απ τον τυπο α = α + (ν - ) ω προκυπτει ποιος ορος ειναι ο αριθμος 35 που εγραψε ο ν Γιωργος : α = (ν - ) 4 = ν - 4 = 35 4ν = 36 ν = 59 ν Οποτε το αθροισμα των αριθμων που εγραψε ο Γιωργος ειναι : S - S = (59 - ) = = = 378

183 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 83 Θ ε μ α 8 5 ο 467 Δινεται η αριθμητικη προοδος (α ) με διαφορα ω. ν α) Να αποδειξετε οτι α - α = 0ω. 0 0 β) Αν α - α = 30 και α 0 0 =, να αποδειξετε οτι α = 3ν -. ν γ) Ποιος ειναι ο πρωτος ορος της προοδου που ξεπερναει το 30; δ) Ποσοι οροι της παραπανω προοδου ειναι μικροτεροι του 60; Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν ) με διαφορα ω, ισχυει: α ν+ - α ν = ω Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 6) (Μοναδες 6) (Μοναδες 7) (Μοναδες 6)

184 84 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 467 α) Αφου η Ετσι: * (α ), με ν ειναι αριθμητικη προοδος με διαφορα ω, τοτε: ν ν α - α = (α + 9ω) - (α + 9ω) = α + 9ω - α - 9ω = 0ω. 0 0 β) Ειναι γ) α = α - α = 30 0ω = 30 ω = ω = 3 ν ν α ν ν = α = α + (ν - )ω. α = α = α + (ν - )ω α = + (ν - )3 α = + 3ν - 3 α ν = 3ν - Ειναι α ν = 3ν - 3 α > 30 3ν - > 30 3ν > 3 ν > ν > 0 + ν 3 3 Οποτε ο πρωτος ορος που ξεπερνα το 30, ειναι ο α. δ) Ειναι α ν = 3ν - 6 α < 60 3ν - < 60 3ν < 6 ν < ν < 0 + ν 3 3 Οποτε οι πρωτοι 0 οροι ειναι μικροτεροι απ' το 60. Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς h t t p : // d r m a t h s 5 8 d e m o. b l o g s p o t. g r

185 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 85 Θ ε μ α 8 6 ο 4858 Μια περιβαλλοντολογικη οργανωση ξεκινα να καταγραφει τον πληθυσμο των ελαφιων σε μια δασικη περιοχη απο το 000 οπως φαινεται στον παρακατω πινακα. Ετος Αριθμος ελαφιων Αν ο πληθυσμος των ελαφιων συνεχιζει να αυξανεται με τον ιδιο σταθερο ρυθμο και μετα το 004: α) Να βρειτε μια σχεση που να επιτρεπει τον υπολογισμο του πληθυσμου των ελαφιων στο τελος καθε ετους απο το 000 και μετα. (Μοναδες 6) β) Με τη βοηθεια της σχεσης αυτης: i) Να προσδιορισετε τον πληθυσμο των ελαφιων στο τελος του 0. (Μοναδες 6) ii) Να προβλεψετε το ετος στο τελος του οποιου ο αρχικος πληθυσμος των 300 ελαφιων θα αυξηθει κατα 60%. (Μοναδες 6) iii) Να προβλεψετε το ετος που ο πληθυσμος των ελαφιων δεν θα υπερβει τα 600 ελαφια. (Μοναδες 7) Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν+ - α ν = ω Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α ν α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο

186 86 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 4858 α) Η διαφορα του πληθυσμου των ελαφιων καποιου ετους απ το προηγουμενο, ειναι = = = = 60 σταθερη (και μετα το 004). Ετσι Ο πληθυσμος των ελαφιων απο ετος σε ετος (και μετα το 004) αποτελει αριθμητικη προοδο (α ν ) με πρωτο ορο α = 300 και διαφορα ω = 60. Ο ν-οστος ορος της προοδου ειναι: α ν = α + (ν ) ω = (ν ) 60 = ν 60 = 60ν + 40 Ο παραπανω τυπος υπολογιζει το ν-οστο ορο με αρχη το 000 (ν = ). β) i) Το 0, ν = 3 και ο πληθυσμος των ελαφιων στο τελος του 0 ειναι α 3 = = = 00 ii) Αν αρχικος πληθυσμος των 300 ελαφιων θα αυξηθει κατα 60% θα γινει : ,6 300 = = 080 Ετσι α ν = ν + 40 = ν = ν = 840 ν = 4 (ν = 000, ν = 4 03) Ο πληθυσμος θα γινει 080 ελαφια στο τελος του 03. iii) Ειναι α ν ν ν ν 360 ν,66 Ετσι ν = (αφου ν ειναι φυσικος αριθμος) και ο πληθυσμος των ελαφιων δεν θα υπερβει τα 600 ελαφια το ετος 0.

187 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 87 Θ ε μ α 8 7 ο 495 Σε μια αριθμητικη προοδο ειναι α = κ και α = (κ + ), κ ακεραιος με κ >. α) Να αποδειξετε οτι η διαφορα ω της προοδου ειναι αριθμος περιττος. β) Αν επιπλεον ο πρωτος ορος της ειναι α =, τοτε: i) Να βρειτε τον αριθμο κ και να αποδειξετε οτι ω = 7. ii) Να εξετασετε αν ο αριθμος 07 ειναι ορος της προοδου. Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν+ - α ν = ω Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α ν α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν 3... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8) (Μοναδες 8) (Μοναδες 9)

188 88 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 495 α) Απ τη σχεση ω = α - α που δινει τη διαφορα ειναι : v + v ω = α - α ω = (κ + ) - κ ω = κ + κ + - κ 3 ω = κ + που σημαινει οτι η διαφορα ω ειναι περιττος αριθμος. β) i) ω = κ + (-) α = κ α - α = κ - ω = κ - α = κ - = κ + κ - κ - 3 = 0 α = Δ = (- ) - 4 (- 3) = 4 + = 6 > 0 κ = 3 κ - κ - 3 : β = - τοτε - β ± Δ - (- ) ± 6 ± 4 κ = = = = ±, γ = - 3 α κ = - Δεκτη τιμη ειναι η κ = 3 κ = 3 αφου κ >. Για κ = 3 ειναι ω = κ + ω = 3 + ω = 7 ii) Aπ τον τυπο : α = α + (ν - ) ω ειναι ν α = (v - ) = 07 7(v - ) = 05 v - = 45 v = 46 v Οποτε οι ορος α ειναι ο ζητουμενος αφου 46 N *. 46

189 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 89 Θ ε μ α 8 8 ο 643 Στην Α ταξη ενος Λυκειου της Καρδιτσας η συμβουλος των μαθηματικων προκειται να πραγματοποιησει μια δραστηριοτητα. Επειδη ομως δεν γνωριζει το πληθος των μαθητων της ταξης,συμβουλευεται το Γυμναστη του σχολειου, που στοιχιζει τους μαθητες για τις παρελασεις και εκεινος της απαντα με ενα προβλημα: «Μπορω να τοποθετησω ολους τους μαθητες σε x σειρες με x - μαθητες σε καθε σειρα. Αν ομως θελησω να τους τοποθετησω σε x + 3 σειρες με x - 3 μαθητες σε καθε σειρα, θα μου λειπει ενας μαθητης». a) Να βρειτε την τιμη του x. (Μοναδες 6) β) Να αποδειξετε η Α ταξη εχει 90 μαθητες. (Μοναδες 6) γ) Η συμβουλος σκοπευει να μοιρασει τους παραπανω 90 μαθητες σε v ομαδες εργασιας, ωστε στην πρωτη ομαδα να πανε μαθητες και σε καθε επομενη ομαδα να πηγαινουν παραπανω καθε φορα. Να βρειτε την τιμη του v, δηλαδη ποσες ομαδες εργασιας θα δημιουργηθουν. (Μοναδες 3) Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο

190 90 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 643 α) Το πληθος των μαθητων ειναι: x(x - ) η (x + 3)(x - 3) - Ετσι x(x - ) = (x + 3)(x - 3) - β) Για x = 0 το πληθος των μαθητων ειναι: x(x - ) = 0(0 ) = 90 x - x = x x = 0 (το ιδιο δινει: (x + 3)(x - 3) - = (0 + 3)(0 3) = 3 7 = 9 = 90) γ) Το πληθος των μαθητων στις ομαδες εργασιας αποτελουν ορους αριθμητικης προοδου με α =, ω = και S = 90. ν Ετσι ν ν S = 90 [α + (ν - )ω] = 90 [ + (ν - ) ] = 90 ν ν( + ν - ) = 90 ν( + ν) = 90 ν + ν - 90 = 0 Δ = - 4 (- 90) = = 36 > 0 a = ν = = 9 γ = ν = = - 0 ν + ν - 90 : β = τοτε - ± 36 - ± 9 ν = =, * Δεκτη ειναι η ν = 9 ενω η Οποτε θα δημιουργηθουν 9 ομαδες εργασιας. * ν = - 0 απορριπτεται.

191 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 9 Θ ε μ α 8 9 ο 7503 Οι αριθμοι: x + 5, x + x, x + 4, με τη σειρα που δινονται, ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου. α) Να βρειτε τις δυνατες τιμες του αριθμου x. β) Αν x = 3 και ο αριθμος x + 5 ειναι ο 4ος ορος της προοδου, να βρειτε: i) Τη διαφορα ω της αριθμητικης προοδου. ii) Τον πρωτο ορο της προοδου. iii) Το αθροισμα S = α + α + α α Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 6) (Μοναδες 5) (Μοναδες 6) (Μοναδες 8) Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι αριθμητικης προοδου αν και μονο αν: α + γ β = α + γ η β = α ν+ - α ν = ω

192 9 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 7503 α) Οι αριθμοι x + 5, x + x, x + 4 ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου, οποτε: (x + x) = (x + 5) + (x + 4) x + x = x + x + 9 x = 9 η β) i) Οι διαδοχικοι οροι, για x = 3, γινονται ii) Ειναι x + 5 = = 4 α = 4 x + 5 = α x = 3 x = - 3 x + x = = α = ω = - 4 x + 4 = = 0 α = 0 6 ω = - ω = - α = 4 α + 3ω = 4 α + 3 (- ) = 4 α - 6 = 4 α = 0 4 iii) Ειναι S = α + α + α α S = (α + + α ) - (α + + α ) = S - S = (α + 3ω) 4(α + 3ω) 4(40-46) 4(40-6) = 4(- 6) = = - 70 = - = - =

193 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 93 Θ ε μ α 9 0 ο 7504 Σε μια αριθμητικη προοδο (α ), ο 3ος ορος ειναι α = 8 και ο 8ος ορος ειναι α = 3. ν 3 8 α) Να αποδειξετε οτι ο ος ορος της αριθμητικης προοδου ειναι α διαφορα της ω = 3. β) Να υπολογισετε τον 3ο ορο της. γ) Να υπολογισετε το αθροισμα: S = (α + ) + (α + ) + (α + 3) (α + 3) 3 3 Σε μια αριθμητικη προοδο ( Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α ν+ - α ν = ω α ν α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο = και η (Μοναδες 9) (Μοναδες 6) (Μοναδες 0)

194 94 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 7504 α) Ειναι (-) α = 8 α + ω = 8 α + ω = 8 α + 3 = 8 3 α = α = 3 α + 7ω = 3 5ω = 5 ω = 3 ω = 3 8 β) Για α =, ω = 3 και ν = 3, ο τυπος του ν-οστου ορου α = α + (v - )ω, δινει v α = α + (3 - )ω = = + 90 = 9 γ) 3 Ειναι S = (α + ) + (α + ) (α + 3) = 3 3 α = α + α = = α 3 = 9 α + αν S ν = ν = (α + α α ) + ( ) = = = = = = (47 + 6) 3 = = 63 = =

195 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 95 Θ ε μ α 9 ο 754 Δινεται αριθμητικη προοδος (α ) με α = 0 και α = 6. ν 3 0 α) Να βρεθει ο πρωτος ορος και η διαφορα της προοδου. (Μοναδες 8) β) Να εξετασετε αν ο αριθμος 333 ειναι ορος της προοδου. (Μοναδες 8) γ) Να εξετασετε αν υπαρχουν διαδοχικοι οροι x και y της παραπανω προοδου x y (α ), τετοιοι ωστε να ισχυει: ν = 3. (Μοναδες 9) Σε μια αριθμητικη προοδο ( Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι αριθμητικης προοδου αν και μονο αν: α + γ β = α + γ η β = α ν+ - α ν = ω α ν... χ ρ η σ ι μ ο

196 96 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 754 α) Ειναι (-) α = 0 α + ω = 0 α + ω = 0 α + 3 = 0 3 α = 4 α = 6 α + 9ω = 6 7ω = 5 ω = 3 0 ω = 3 β) Για α = 4, ω = 3, ο τυπος του ν-οστου ορου α = α + (v - )ω, δινει v α = 333 α + (ν - )ω = (ν - )3 = ν - 3 = 333 ν 33 3ν = 33 ν = ν = 0,66 3 Οποτε δεν υπαρχει ορος της προοδου ισος με 333. γ) Ειναι ω = 3 αν x < y τοτε x = y 3 αν x > y τοτε x = y + 3 Ετσι x y y - 3 y = = 3 3 3y - 9 = y y = 9 α = 9 ν η η η η η x y y + 3 y 3y + 9 = y y = - 9 α = - 9 = = μ 3 3 α + (ν - )ω = (ν - )3 = ν - 3 = 9 α = 4 η η η ω = 3 α + (μ - )ω = (μ - )3 = μ - 3 = - 9 3ν = 8 η 3μ = * ν = 3 x y η που σημαινει οτι δεν υπαρχουν διαδοχικοι οροι x, y με =. 3 0 * μ = - 3

197 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 97 Θ ε μ α 9 ο 0775 Σε μια αιθουσα θεατρου με 0 σειρες καθισματων, το πληθος των καθισματων καθε σειρας αυξανει καθως ανεβαινουμε απο σειρα σε σειρα, κατα τον ιδιο παντα αριθμο καθισματων. Η η σειρα εχει 6 καθισματα και η 7η σειρα εχει 8 καθισματα. α) Να δειξετε οτι οι αριθμοι που εκφραζουν το πληθος των καθισματων καθε σειρας ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου. Να βρειτε τον πρωτο ορο και τη διαφορα αυτης της προοδου. (Μοναδες 5) β) Να βρειτε το γενικο ορο της προοδου. (Μοναδες 4) γ) Ποσα καθισματα εχει ολο το θεατρο; (Μοναδες 5) δ) Αν στην η σειρα της αιθουσας αυτης υπαρχουν 6 κενα καθισματα, στη η υπαρχουν 9 κενα καθισματα, στην 3η υπαρχουν κενα καθισματα και γενικα, τα κενα καθισματα καθε σειρας, απο τη η και μετα, ειναι κατα 3 περισσοτερα απο αυτα της προηγουμενης, τοτε: i) Να βρειτε απο ποια σειρα και περα θα υπαρχουν μονο κενα καθισματα. (Μοναδες 5) ii) Να βρειτε ποσοι ειναι οι θεατες. (Μοναδες 6) Σε μια αριθμητικη προοδο ( Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α ν+ - α ν = ω α ν α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο

198 98 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 0775 α) το πληθος των καθισματων καθε σειρας αυξανει καθως ανεβαινουμε απο σειρα σε σειρα, κατα τον ιδιο παντα αριθμο καθισματων: σημαινει οτι το πληθος των καθισματων καθε σειρας ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου Η η σειρα εχει 6 καθισματα : α = 6 H 7η σειρα εχει 8 καθισματα: α = 8 α + 6ω = ω = 8 ω = 7 β) Για α = 6, ω =, ο τυπος του ν-οστου ορου α = α + (v - )ω, δινει v α = 6 α = α + (v - )ω α = 6 + ν - α ν = ν + 4 γ) v ω = ν Ειναι 0 0 α + (ν -)ω S ν = ν S = α + α α = Το θεατρο εχει συνολικα 700 καθισματα. δ) i) 6 + (0 - ) Η πρωτη σειρα θα εχει 6-6 = 0 κατειλημμενα καθισματα. 0 = 35 0 = 700 Kαθε επομενη σειρα εχει δυο παραπανω καθισματα απ την προηγουμενη, αλλα ταυτοχρονα και 3 περισσοτερα κενα, δηλαδη εχει κατειλημμενο καθισμα λιγοτερο. Ετσι, ο αριθμος των κατειλημμενων καθισματων καθε σειρας ακολουθει αριθμητικη προοδο με πρωτο ορο β = 0 και διαφορα ω = -. (οταν μηδενιστουν τα κατειλημμενα καθισματα, καθε σειρα απο αυτην και περα εχει κενα καθισματα) β > 0 β + (ν - )ω > (ν - )(- ) > ν + > 0 ν < ν Κατειλημμενα καθισματα εχουν οι πρωτες 0 σειρες (απ την ενδεκατη και μετα ειναι κενες). ii) Το πληθος των θεατων ισουται με το πληθος των κατειλημμενων καθισματων. Eτσι 0 0 α + (ν -)ω S ν = ν S = α + α α = Ειναι 55 οι θεατες. 0 + (0 - ) (- ) 0 5 = 5 = 55 (β ) ν

199 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 99 Θ ε μ α 9 3 ο 3093 Ο ιδιοκτητης ενος ταξιδιωτικου γραφειου εκτιμα οτι, οταν για μια συγκεκριμενη διαδρομη διαθετει τα εισητηρια στην κανονικη τιμη των ανα εισητηριο, τοτε πουλα κατα μεσο ορο 30 μονο εισητηρια, ενω το λεωφορειο εχρι 5 θεσεις. Θελοντας να αυξησει τη πελατεια του, κανει την ακολουθη προσφορα: Ο πρωτος επιβατης που θα αγορασει εισητηριο θα πληρωσει 3 και καθε επομενος επιβατης θα πληρωνει 0,5 περισσοτερο απ τον προηγουμενο. α) Να βρειτε το ποσο που θα πληρωσει ο δευτερος, ο τριτος και ο τεταρτος επιβατης. (Μοναδες 4) β) Αν για καθε ν 5 ο αριθμος αν εκφραζει το ποσο που θα πληρωσει ο ν οστος επιβατης, να δειξετε οτι οι αριθμοι α, α,..., α ειναι διαδοχικοι οροι αριθμη- 5 τικης προοδου και να βρειτε τη διαφορα ω αυτης της προοδου. (Μοναδες 6) γ) Αν το λεωφορειο γεμισει, να βρειτε το ποσο που θα πληρωσει ο 5ος επιβατης. (Μοναδες 7) δ) Να βρειτε ποσα τουλαχιστον εισητηρια θα πρεπει να πουληθουν ωστε η εισπραξη του γραφειου με αυτη τη προσφορα να ξεπερνα την εισπραξη που θα εκανε αν πουλουσε 30 εισητηρια στη τιμη των ανα εισητηριο. (Δινεται : 00 = 0 ) Σε μια αριθμητικη προοδο ( Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α ν+ - α ν = ω α ν α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8)

200 00 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 3093 α) Ο δευτερος επιβατης πληρωνει : 3 + 0,5 = 3,5. Ο τριτος επιβατης πληρωνει : 3,5 + 0,5 = 4. Ο τεταρτος επιβατης πληρωνει : 4 + 0,5 = 4,5. β) Ο πρωτος επιβατης που θα αγορασει εισητηριο θα πληρωσει 3 και καθε επομενος επιβατης θα πληρωνει 0,5 περισσοτερο απ τον προηγουμενο. σημαινει οτι τα ποσα που πληρωνουν οι επιβατες, ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου με α = 3 και διαφορα ω = 0,5 γ) Για α = 3, ω = 0,5 και ν = 5, ο τυπος του ν-οστου ορου α = α + (v - )ω, δινει v α = α + (5 - )ω = ,5 = = 8 5 Ο 5ος επιβατης θα πληρωσει 8. δ) Η εισπραξη που θα εκανε αν πουλουσε 30 εισητηρια στη τιμη των ανα εισητηριο ειναι : 30 = 630 Ετσι ν ν S 630 [α + (ν - ) ] 630 [ 3 + (ν - ) ] 630 ν ν( + ν - ) 50 ν( + ν) 50 ν + ν α = Δ = - 4 (- 50) = 00 > 0 ν + ν - 50 : β = τοτε - ± 00 - ± 0 ν = 45 ν = =, γ = - 50 ν = - 56 Δεκτη ειναι η ν = 45 ενω η ν = - 56 απορριπτεται. Οποτε * * ν + ν αν ν 45 (ν εκτος των ριζων αφου α = > 0). Δηλαδη πρεπει να εχει τουλαχιστον 45 επιβατες.

201 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 0 Θ ε μ α 9 4 ο 356 * Δινεται αριθμητικη προοδος (α ), οπου ν. Αν οι τρεις πρωτοι οροι της προοδου ειναι: ν α = x, α = x - 3x - 4, α = x -, οπου x, τοτε : 3 α) να αποδειχθει οτι x = 3. (Μοναδες 0) β) να βρεθει ο ν-οστος ορος της προοδου και να αποδειχθει οτι δεν υπαρχει ορος της προοδου να ισουται με 04. (Μοναδες 8) γ) να υπολογιστει το αθροισμα S = α + α + α α (Μοναδες 7) Σε μια αριθμητικη προοδο ( Ν ι ο σ τ ο ς Ο ρ ο ς : α = α + (ν - ) ω ν ) με διαφορα ω, ισχυει: Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν : α ν α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν... χ ρ η σ ι μ ο Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι αριθμητικης προοδου αν και μονο αν: α + γ β = α + γ η β = α ν+ - α ν = ω

202 0 Α ρ ι θ μ η τ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 356 α) Οι αριθμοι προοδου, οποτε: α = x, α = x - 3x - 4, α = x - ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης 3 (x - 3x - 4) = x + x - 4x - 6x - 8 = x + x - 3x - 7x - 6 = 0 Οι ριζες ειναι Δ = (- 7) (- 6) = = > 0 α = x = = 3 γ = x = = x - 7x - 6 = 0 : β = - 7 τοτε - (- 7) ± 7 ± x = = 6, Δεκτη ειναι η x = 3 ενω η x = - απορριπτεται. 3 β) Για x = 3 τοτε α = 3, (α = 5, α = 7) και ω = και απ το τυπος του ν-οστου ορου α = α + (v - )ω: 3 v α = α + (v - )ω α = 3 + (v - ) α = 3 + v - α = v + v v v v 03 α = 04 v + = 04 v = 03 v = v γ) Δεν υπαρχει ορος της προοδου να ισουται με 04. Ειναι α = 3, α = 7, α = 5 + = Εστω η αριθμητικη προοδος (β ) με : β = α = 3, β = α = 7, ω' = β - β = 4 ν 3 β = 3 β + (ν - ) ω' = (ν - ) 4 = ν - 4 = 3 v Ετσι 4ν = 3 ν = 8 α + αν S ν = ν S = α + α + α α = β + β + β β = 8 = 7 8 = *

203 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α 7. Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς

204 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

205 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 05 Θ ε μ α 9 5 ο 03 Ενα μυρμηγκι περπαταει πανω σε ενα ευθυγραμμο κλαδι μηκους m, με τον ακολουθο τροπο: Ξεκιναει απο το ενα ακρο του κλαδιου και το ο λεπτο προχωραει cm, το ο λεπτο προχωραει 3 cm και γενικα, καθε λεπτο διανυει αποσταση κατα cm μεγαλυτερη απο αυτην που διηνυσε το προηγουμενο λεπτο. α) Να δειξετε οτι οι αποστασεις που διανυει το μυρμηγκι καθε λεπτο της κινησης του, ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου και να βρειτε τον ν-οστο ορο α αυτης της προοδου. ν (Μοναδες 5) β) Να βρειτε τη συνολικη αποσταση που καλυψε το μυρμηγκι τα πρωτα 5 λεπτα της κινησης του. (Μοναδες 4) γ) Να βρειτε σε ποσα λεπτα το μυρμηγκι θα φτασει στο αλλο ακρο του κλαδιου. (Μοναδες 4) δ) Υποθετουμε τωρα οτι, την ιδια στιγμη που το μυρμηγκι ξεκιναει την πορεια του, απο το αλλο ακρο του κλαδιου μια αραχνη ξεκιναει και αυτη προς την αντιθετη κατευθυνση και με τον ακολουθο τροπο: Το ο λεπτο προχωραει cm, το ο λεπτο προχωραει cm, το 3ο λεπτο προχωραει 4 cm και, γενικα, καθε λεπτο διανυει αποσταση διπλασια απο αυτην που διηνυσε το προηγουμενο λεπτο. i) Να δειξετε οτι οι αποστασεις που διανυει η αραχνη καθε λεπτο της κινησης της, ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου και να βρειτε τον v-οστο ορο β ν αυτης της προοδου. (Μοναδες 7) ii) Να βρειτε σε ποσα λεπτα το μυρμηγκι και η αραχνη θα βρεθουν αντιμετωπα σε αποσταση cm. (Μοναδες 5) * Για καθε ν να ισχυει: Σε μια γεωμετρικη προοδο ( α ν+ α ν+ = λ α ν η = λ α α ν = α λ ν - Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν = α + (ν - ) ω α ν α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν ν α ν ) με λογο λ, ισχυει:... χ ρ η σ ι μ ο ) με διαφορα ω, ισχυει:

206 06 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 03 α) Oι αποστασεις που διανυει καθε λεπτο το μυρμηγκι ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου * (α ), με ν με διαφορα ω = και πρωτο ορο ν α =. (το μυρμηγκι καθε λεπτο διανυει αποσταση κατα cm μεγαλυτερη). α = α + (ν - )ω = + (ν - ) = + ν - = ν -, για καθε ν ν β) Η συνολικη αποσταση που διενυσε η αραχνη ειναι α + (ν - )ω S = ν = ν ν *. + (ν - ) * = ν, για καθε ν. S = 5 = 5, δηλαδη η αραχνη καλυψε 5 cm στα πεντε πρωτα λεπτα της κινησης της. 5 γ) Ειναι m = 00 cm και S = 00 ν ν * ν = 0 δεκτο + (ν - ) * ν = - 0 απορριπτεται Σε 0 λεπτα θα φτασει στο αλλο ακρο του κλαδιου. δ) i) = 00 ν ( + ν - ) = 00 ν = 00 Oι αποστασεις που διανυει καθε λεπτο η αραχνη ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου * (β ), ν με λογο λ = και πρωτο ορο ν β =. (Καθε λεπτο η αραχνη διανυει διπλασια αποσταση απ αυτην του προηγουμενυ λεπτου) ν- ν- * β = β λ =, για καθε ν. ii) Αν ν S',ν ν * ειναι η συνολικη αποσταση που διενυσε η αραχνη, τοτε ν λ - ν *. ν S' = β = -,ν λ - To μυρμηγκι και η αραχνη θα βρεθουν σε αποσταση cm, οταν το αθροισμα των αποστασεων που θα εχει διανυσει το καθενα ειναι 99 cm. v = : v = : v = 3 : v = 4 : S + S' = + - = 99 S + S' = + - = S + S' = = S + S' = = 3 99 v = 5 : v = 6 : v = 7 : 5 S + S' = = S + S' = = 99 = 99 7 S + S' = = To μυρμηγκι και η αραχνη θα βρεθουν σε αποσταση cm, σε 6 λεπτα.

207 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 07 Θ ε μ α 9 5 ο 340 Μια οικογενεια, προκειμενου να χρηματοδοτησει τις σπουδες του παιδιου της, εχει να επιλεξει μεταξυ δυο προγραμματων που της προτεινονται: Για το προγραμμα Α πρεπει να καταθεσει τον ο μηνα ευρω, το ο μηνα ευρω, τον 3ο μηνα 4 ευρω και γενικα, καθε μηνα που περναει, πρεπει να καταθετει ποσο διπλασιο απο αυτο που κατεθεσε τον προηγουμενο μηνα. Για το προγραμμα Β πρεπει να καταθεσει τον ο μηνα 00 ευρω, τον ο μηνα 0 ευρω, τον τριτο μηνα 0 ευρω και γενικα, καθε μηνα που περναει να καταθετει ποσο κατα 0 ευρω μεγαλυτερο απο εκεινο που κατεθεσε τον προηγουμενο μηνα. o α) i) Να βρειτε το ποσο α που πρεπει να κατατεθει στο λογαριασμο το v μηνα συμφωνα v με το προγραμμα A. (Μοναδες 4) o ii) Να βρειτε το ποσο β που πρεπει να κατατεθει στο λογαριασμο το v v μηνα συμφωνα με το προγραμμα B. (Μοναδες 4) iii) Να βρειτε το ποσο A που θα υπαρχει στο λογαριασμο μετα απο ν μηνες συμφωνα με v το προγραμμα A. (Μοναδες 5) iv) Να βρειτε το ποσο Bv που θα υπαρχει στο λογαριασμο μετα απο ν μηνες συμφωνα με το προγραμμα B. (Μοναδες 5) β) i) Τι ποσο θα υπαρχει στο λογαριασμο μετα τους πρωτους 6 μηνες, συμφωνα με καθε προγραμμα; (Μοναδες 3) ii) Αν καθε προγραμμα ολοκληρωνεται σε μηνες, με ποιο απο τα δυο προγραμματα το συνολικο ποσο που θα συγκεντρωθει θα ειναι μεγαλυτερο; (Μοναδες 4) * Για καθε ν να ισχυει: Σε μια γεωμετρικη προοδο ( α ν ) με λογο λ, ισχυει: α ν+ α ν+ = λ α ν η = λ α α ν = α λ ν - Σε μια αριθμητικη προοδο ( α ν = α + (ν - ) ω α + α ν α + (ν - ) ω S ν = ν = ν ν α ν... χ ρ η σ ι μ ο ) με διαφορα ω, ισχυει:

208 08 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 340 α) i) Τα ποσα καταθεσης του καθε μηνα του προγραμματος A ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου (α ) με πρωτο ορο α = και λογο λ =. v Το ποσο που πρεπει να καταθεσει τον o v α = α λ α = α =. ii) v - v - v - v v v μηνα ειναι Τα ποσα καταθεσης του καθε μηνα του προγραμματος B ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου (β ) με πρωτο ορο β = 00 και διαφορα ω = 0. v Το ποσο που πρεπει να καταθεσει τον o v μηνα ειναι β = β + (v - )ω β = v - ) β = 0v v v v iii) Το συνολικο ποσο (προγραμμα Α) που θα υπαρχει στο λογαριασμο μετα ν μηνες ειναι v v λ - - v Α = α Α = Α = - ν ν ν iv). λ - - Το συνολικο ποσο (προγραμμα Β) που θα υπαρχει στο λογαριασμο μετα ν μηνες ειναι β + (v - )ω 00 + (v - )0 Β = v Β = v Β = v(00 + 5v - 5) ν ν ν Β = v(5v + 95) Β = 5v + 95v ν ν β) i) Προγραμμα Α με ν = 6 : v 6 Α = - = - = 63 ν Προγραμμα Β με ν = 6 : ii) Β = = = = 750 ν Προγραμμα Α με ν = : v Α = - = - = = 4095 ν Προγραμμα Β με ν = : Β = = = = 860 ν Με το προγραμμα Α το συνολικο ποσο που θα συγκεντρωθει θα ειναι μεγαλυτερο.

209 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 09 Θ ε μ α 9 7 ο 6678 Δινεται ορθογωνιο παραλληλογραμμο με μηκη πλευρων α, β και εμβαδον Ε, τετοια ωστε οι α- ριθμοι α, Ε, β, με τη σειρα που δινονται να ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου. α) Να αποδειξετε οτι Ε =. β) Αν α + β = 0 τοτε: i) Να κατασκευασετε μια εξισωση ου βαθμου με ριζες τα μηκη α, β. ii) Να βρειτε τα μηκη α, β. To εμβαδον Ε ορθογωνιου με πλευρες α και β ειναι Ε = α β... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 0) (Μοναδες 5) (Μοναδες 0) Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι γεωμετρικης προοδου αν και μονο αν: β = α γ η β = α γ Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β - β ± Δ 4αγ x =, α β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - () α γ To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = () α () αx βx γ β γ αx + βx + γ = = 0 x - (- )x + = 0 α α α α α () x - Sx + P = 0.

210 0 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 6678 α) Οι αριθμοι α, Ε, β, με τη σειρα που δινονται, ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, οποτε E = αβ E 0 E = α β E = Ε Ε - E = 0 E(E - ) = 0 E - = 0 E = β) i) S = α + β = 0 P = α β = E = H δευτεροβαθμια εξισωση με ριζες α και β (Vieta) : x - S x + P = 0 x - 0x + = 0 ii) x, = = Δ = (- 0) - 4 = 00-4 = 96 > 0 5 x - 0x + = 0 : τοτε - (- 0) ± 96 0 Eτσι (α, β) = (5 + 6, 5-6) η (5-6, 5 + 6) ± 4 6 x = 5 ± 6 = x = 5-6

211 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Θ ε μ α 9 8 ο 6859 Δινονται οι αριθμοι, x, 8 με x > 0. α) Να βρειτε την τιμη του x ωστε οι αριθμοι, x, 8, με τη σειρα που δινονται, να αποτελουν διαδοχικους ορους αριθμητικης προοδου. Ποια ειναι η διαφορα ω αυτης της προοδου; (Μοναδες 5) β) Να βρειτε τωρα την τιμη του x ωστε οι αριθμοι, x, 8, με τη σειρα που δινονται, να αποτελουν διαδοχικους ορους γεωμετρικης προοδου. Ποιος ειναι ο λογος λ αυτης της προοδου; (Μοναδες 5) γ) Αν (α ) ειναι η αριθμητικη προοδος, 5, 8,,... και (β ) ειναι η γεωμετρικη ν ν προοδος, 4, 8, 6... τοτε: i) Να βρειτε το αθροισμα S των v πρωτων ορων της (α ). ν ν ii) Να βρειτε την τιμη του v ωστε, για το αθροισμα Sν (α ) να ισχυει: (S + 4) = β. ν ν 7 * Για καθε ν να ισχυει: Σε μια γεωμετρικη προοδο ( α ν+ α ν+ = λ α ν η = λ α Σε μια αριθμητικη προοδο ( ν α ν α ν ) με λογο λ, ισχυει: α ν = α... χ ρ η σ ι μ ο ) με διαφορα ω, ισχυει: των v πρωτων ορων της α + α ν α + (ν - ) ω α ν = α + (ν - ) ω S ν = ν = ν (Μοναδες 7) (Μοναδες 8) Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι γεωμετρικης προοδου αν και μονο αν: β = α γ η β = α γ λ ν - Τρεις αριθμοι α, β, γ ειναι δ ι α δ ο χ ι κ ο ι ο ρ ο ι αριθμητικης προοδου αν και μονο αν: α + γ β = α + γ η β =

212 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 6859 α) Οι αριθμοι, x, 8, με τη σειρα που δινονται, ειναι διαδοχικοι οροι aριθμητικης προοδου, οποτε β) + 8 x = = 5 ω = x - = 5 - = 3 Οι αριθμοι, x, 8, με τη σειρα που δινονται, ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου, οποτε γ) i) x > 0 x = 8 = 6 x = 4 x 4 λ = = = Για α = και ω = 3, ο τυπος του αθρισματος των ν πρωτων ορων της (α ), δινει ν α + (ν - )ω + (ν - ) ν - 3 3ν + ν S = ν = ν = ν = ν ii) Για β ν - =, λ = και ν = 7, ο τυπος του ν-οστου ορου β = β λ της (β ), δινει ν 7-7 β = = = 8 7 Ετσι ν (S + 4) = β ( + 4) = 8 3ν + ν + 48 = 8 ν 7 3ν + ν - 80 = 0 β = τοτε - ± 96 - ± 3 x = = 6, Δεκτη ειναι η ν = 5 3ν + ν Δ = (- 80) = = 96 > 0 α = x = = 5 γ = ± 3 6 x = = ενω η ν = - απορριπτεται. 3 * *

213 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 3 Θ ε μ α 9 9 ο 870 Δινεται γεωμετρικη προοδος (α ) με λογο λ για την οποια ισχυουν τα ακολουθα: ν α = 4, α = 6 και λ > α) Να βρεθουν ο πρωτος ορος α και ο λογος λ της προοδου. (Μοναδες 8) β) Να αποδειξετε οτι η ακολουθια (β ) με β ν ν = α ν αποτελει επισης γεωμετρικη προοδο με λογο τον αντιστροφο του λογου της (α ). ν (Μοναδες 9) γ) Αν S, S' ειναι τα αθροισματα των δεκα πρωτων ορων των ακολουθιων (α ) 0 0 ν και (β ) αντιστοιχα, να αποδειχθει οτι S' = S ν 0 9 * Για καθε ν να ισχυει: Σε μια γεωμετρικη προοδο ( α ν+ α ν+ = λ α ν η = λ α Σε μια αριθμητικη προοδο ( ν α ν α ν ) με λογο λ, ισχυει: α ν = α 0... χ ρ η σ ι μ ο ) με διαφορα ω, ισχυει: α + α ν α + (ν - ) ω α ν = α + (ν - ) ω S ν = ν = ν λ ν -. (Μοναδες 8)

214 4 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 870 α) Για ν = 3 και ν = 5, ο τυπος του ν-οστου ορου ν - α = α λ της ν ν (α ), δινει για λ > 0 α λ = 4 3- (δια) 3 4 α 5-4 λ 6 5 α λ 4 α = 4 α λ = 4 α λ = 4 α = 6 α λ = 6 α λ = 6 β) Αν λ ειναι ο λογος της β α α ν + ν + ν λ' = = = = β α ν ν + β = = = α Η ακολουθια γ) Για α ν α (β ), τοτε ν α ν λ α ν = λ (β ) ειναι γεωμετρικη προοδος με πρωτο ορο β ν = και λ =, ο τυπος του αθρισματος ν ν λ S0 03 S = α = - = 03 = () Για β = και λ' =, ο τυπος του αθρισματος 0 α 4 = 4 α = = λ = 4 λ = = και λογο λ' =. S = α των ν πρωτων ορων της (α ) : λ - ν ν ν λ - S = α των ν πρωτων ορων της (β ) : λ - ν S' = β = = = = = () Απο () και () προκυπτει : S S' = 0 0 9

215 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 5 Θ ε μ α 0 0 ο 3088 Εξαιτιας ενος ατυχηματος σε διυλιστηριο πετρελαιου, διαρρεει στη θαλασσα πετρελαιο που στο τελος της ης ημερας καλυπτει 3 τετραγωνικα μιλια (τ.μ), στο τελος της ης ημερας καλυπτει 6 τ.μ., στο τελος της 3ης ημερας καλυπτει τ.μ. και γενικα εξαπλωνεται ετσι, ωστε στο τελος καθε ημερας να καλυπτει διπλασια επιφανεια απο αυτην που καλυπτε την προηγουμενη. α) Να βρειτε την επιφανεια της θαλασσας που θα καλυπτει το πετρελαιο στο τελος της 5ης ημερας μετα το ατυχημα. (Μοναδες 7) β) Ποσες ημερες μετα απο τη στιγμη του ατυχηματος το πετρελαιο θα καλυπτει 768 τ.μ ; (Μοναδες 9) γ) Στο τελος της 9ης ημερας επεμβαινει ο κρατικος μηχανισμος και αυτοματως σταματαει η εξαπλωση του πετρελαιου. Στο τελος της επομενης ημερας η επιφανεια που καλυπτει το πετρελαιο εχει μειωθει κατα 6 τ.μ και συνεχιζει να μειωνεται κατα 6 τ.μ την ημερα. Να βρειτε ποσες ημερες μετα απο τη στιγμη του ατυχηματος η θαλασσια επφανεια που καλυπτει το πετρελαιο θα εχει περιοριστει στα τ.μ ; (Μοναδες 9) * Για καθε ν να ισχυει: Σε μια γεωμετρικη προοδο ( α ν+ α ν+ = λ α ν η = λ α Σε μια αριθμητικη προοδο ( ν α ν α ν ) με λογο λ, ισχυει: α ν = α... χ ρ η σ ι μ ο ) με διαφορα ω, ισχυει: α + α ν α + (ν - ) ω α ν = α + (ν - ) ω S ν = ν = ν λ ν -

216 6 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 3088 α) Τα τετραγωνικα που καλυπτει το πετρελαιο ειναι διαδοχικοι οροι γεωμετρικης προοδου * ν με λογο λ = και πρωτο ορο α = 3. (η επιφανεια που καλυπτει το πετρελαιο καθε ημερα γινεται διπλασια). Η επιφανεια της θαλασσας που θα καλυπτει το πετρελαιο στο τελος της 5ης ημερας ειναι α = α λ α = 3 α = 48 τ.μ. β) v Ειναι α = 768 α λ = = 768 = 56 = ν- ν- ν- ν- 8 ν ν - = 8 ν = 9 Δηλαδη το πετρελαιο θα καλυπτει 768 τ.μ, στο τελος της 9ης ημερας. γ) Τα τετραγωνικα που καλυπτει το πετρελαιο ειναι διαδοχικοι οροι αριθμητικης προοδου * ν με διαφορα ω = - 6 και πρωτο ορο β = 768. (η επιφανεια που καλυπτει το πετρελαιο καθε ημερα μειωνεται κατα 6 τ.μ). (α ), ν (β ), ν Το πετρελαιο θα εχει περιοριστει στα τ.μ, οταν α = α + (ν - )ω = (ν - ) (- 6) = 768-6ν + 6 = ν. 6ν = 76 ν = 7 Ετσι, σε 7 ημερες μετα απο τη στιγμη του ατυχηματος η θαλασσια επφανεια που καλυπτει το πετρελαιο θα εχει περιοριστει στα τ.μ.

217 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς 7 Θ ε μ α 0 ο 309 Σε ενα οργανισμο, αρχικα υπαρχουν βακτηρια. Μετα απο ωρα υπαρχουν 0400 βακτηρια, μετα απο ωρες 500 βακτηρια, και γενικα ο αριθμος των βακτηριων υποδιπλασιαζεται καθε μια ωρα. α) Ποσα βακτηρια θα υπαρχουν μετα απο 6 ωρες; (Μοναδες 6) β) Τη χρονικη στιγμη ομως που τα βακτηρια ηταν 300, ο οργανισμος παρουσιασε ξαφνικη επιδεινωση. Ο αριθμος των βακτηριων αρχισε παλι να αυξανεται ωστε καθε ωρα να τριπλασιαζεται. Το φαινομενο αυτο διηρκεσε για 5 ωρες. Συμβολιζουμε με β το πληθος των ν βακτηριων ν ωρες μετα απο την στιγμη της επιδεινωσης (ν 5). i) Nα δειξετε οτι η ακολουθια (β ν ) ειναι γεωμετρικη προοδος, και να βρειτε τον πρωτο ορο και τον λογο της. (Μοναδες 6) ii) Nα εκφρασετε οτο πληθος β ν των βακτηριων συναρτησει του ν. (Μοναδες 6) iii) Ποσα βακτηρια θα υπαρχουν στον οργανισμο 3 ωρες μετα απο την στιγμη της επιδεινωσης ; (Μοναδες 7) * α ν+ Για καθε ν να ισχυει: α ν+ = λ α ν η = λ α Σε μια γεωμετρικη προοδο ( α ν ) με λογο λ, ισχυει: Α θ ρ ο ι σ μ α ν Π ρ ω τ ω ν Ο ρ ω ν Σε μια γεωμετρικη προοδο ( α ) με λογο λ, ισχυει: ν α (λ - ) S ν = λ- ν... χ ρ η σ ι μ ο ν α ν = α λ ν -

218 8 Γ ε ω μ ε τ ρ ι κ η Π ρ ο ο δ ο ς Α π α ν τ η σ η 309 Ο αριθμος των βακτηριων αποτελει γεωμετρικη προοδο (α ), ν ν * με λογο λ = και πρωτο ορο α = (ο αριθμος των βακτηριων υποδιπλασιαζεται καθε ωρα ) α) Μετα 6 ωρες α = α λ α = 0400 α = = ο αριθμος των βακτηριων στον οργανισμο ειναι 300. β) i) Ο αριθμος των βακτηριων αποτελει γεωμετρικη προοδο ορο β = = (ο αριθμος των βακτηριων τριπλασιαζεται καθε ωρα ) Ετσι, ii) ν ωρες μετα απο την στιγμη της επιδεινωσης β = β λ β = ν - ν - ν ν iii) 3 ωρες μετα απο την στιγμη της επιδεινωσης 3- β = = = = ο αριθμος των βακτηριων στον οργανισμο ειναι (β ), ν ν * με λογο λ = 3 και πρωτο

219 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α 8. E ν ν ο ι α Σ υ ν α ρ τ η σ η ς

220 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

221 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Θ ε μ α 0 ο 4545 Δινεται η συναρτηση f(x ) = x - 5 x + 6 x - 3 α) Να βρειτε το πεδιο ορισμου Α της συναρτησης f. β) Να αποδειξετε οτι για καθε x A ισχυει: f(x) = x -. γ) Για x A, να λυσετε την εξισωση: (f(x) + ) - 4f(x) - 5 = 0. (Μοναδες 6) (Μοναδες 9) (Μοναδες 0) Για να οριζεται ρητη συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη x = x... χ ρ η σ ι μ ο

222 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 4545 α) Για να οριζεται η συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Ετσι x x 3 x ± 3. Οποτε Α = - {- 3, 3} = (-, - 3) (- 3, 3) (3, + ) β) Eιναι x - 5 x + 6 x - 5 x + 6 f(x ) = = () x - 3 x - 3 Δ = (- 5) = 5-4 = > 0 x = 3 x = = = η α x = x - 5 x + 6 : - β ± Δ - (- 5) ± 5 ± Ετσι η () x - 5 x + 6 f(x ) = = γ) Eιναι x - 3 ( ) ( x - 3) x - 3 (β) = x - (f(x) + ) - 4f(x) - 5 = 0 ( x - + ) - 4( x - ) - 5 = 0 Δ = (- 4) = 6 - = 4 > 0 x = 3 απορρ. αφου x 3 x = x = = x = η x = - x - 4 x + 3 = 0 - (- 4) ± 4 4 ±

223 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 3 Θ ε μ α 0 3 ο 4575 Δινονται οι συναρτησεις : f(x) = x - 4x + α και g(x) = αx - 5 με α. α) Αν ισχυει f() = g(), να βρειτε την τιμη του α. (Μοναδες 7) β) για α = i) να λυσετε την εξισωση: f(x) = g(x). (Μοναδες 8) ii) να λυσετε την ανισωση: f(x) g(x) και, με τη βοηθεια αυτης, να λυσετε την εξισωση f(x) - g(x) = f(x) - g(x). (Μοναδες = 0) Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f,g λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ, α... χ ρ η σ ι μ ο f g

224 4 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 4575 Οι συναρτησεις f, g ειναι οριζονται στο A = A =. f g α) Ειναι f() = g() α = α α = α - 5 α = β) Για α = ειναι i) f(x) = x - 4x + g(x) = x - 5 Ειναι f(x) = g(x) x - 4x + = x - 5 x - 5x + 6 = 0 Δ = (- 5) = 5-4 = > x = = 3 x - 5x + 6 : - β ± Δ - (- 5) ± 5 ± x = = =, ii) Ειναι α 5 - x = = f(x) g(x) x - 4x + x - 5 x - 5x Πινακας προσημου τριωνυμου x x - 5x x - 5x αν : αλλιως Δηλαδη οι λυσεις της x η x 3 x (-, ] [3, + ) x - 5x ειναι x (-, ] [3, + ) Για να ισχυει η f(x) - g(x) = f(x) - g(x) πρεπει f(x) - g(x) 0 f(x) g(x) x - 5x με λυσεις x (-, ] [3, + ).

225 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 5 Θ ε μ α 0 4 ο 486 (0) Μια μπαλα που εκτοξευεται κατακορυφα προς τα πανω, αφου διαγραψει μια τροχια, μετα απο καποιο χρονο θα πεσει στο εδαφος. Το υψος h (σε m) απο το εδαφος, στο οποιο βρισκεται η μπαλα καθε χρονικη στιγμη t (σε sec) κατα την κινηση της προσδιοριζεται απο τη συναρτηση h(t) = -5t + 0t +,05. α) Να βρειτε τις τιμες h(0), h() και h() και να εξηγησετε τι παριστανουν στο πλαισιο του προβληματος. (Μοναδες 6) β) Να βρειτε μετα απο ποσο χρονο η μπαλα θα πεσει στο εδαφος. (Μοναδες 8) γ) Να αποδειξετε οτι το υψος στο οποιο βρισκεται η μπαλα καθε χρονικη στιγμη t μπορει να προσδιοριστει και απο τον τυπο: h(t) = 5[, - (t - ) ]. δ) Να εξετασετε αν υπαρχει χρονικη στιγμη t απο το εδαφος θα ειναι πανω απο 6,65 m. (Μοναδες 5) (σε sec) που το υψος h της μπαλας... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 6) Για να οριζεται ρητη συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Εστω το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 και ριζες x, x. τοτε αx + βx + γ = α (x - x ) (x - x )

226 6 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 486 (0) α) β) h(0) = ,05 =,05 Τη χρονικη στιγμη t = 0 sec η μπαλα βρισκεται σε υψος,05 m απ το εδαφος (σημειο εκτοξευσης). h() = ,05 = 6, 05 Τη χρονικη στιγμη t = sec η μπαλα βρισκεται σε υψος 6,05 m απ το εδαφος. h() = ,05 =,05 Τη χρονικη στιγμη t = sec η μπαλα βρισκεται σε υψος,05 m απ το εδαφος (σημειο εκτοξευσης). Το υψος της μπαλας οταν φτασει στο εδαφος θα ειναι h(t) = 0. Εσι h(t) = 0-5t + 0t +,05 = 0 Δ = 0-4 (- 5),05 = 00 + = > 0-5t + 0t +,05 = 0 : β = 0 : - 0 ± 0 ± t = = - 0 0, γ =,05 (- 5) Δεκτη η t γ) Ειναι h(t) δ) α = t = = - t = =, - 0 =, sec > 0 ενω απορριπτεται η t = - sec < 0. 0 = - 5t + 0t +,05 = 5(- t + t + 0,) = 5[0, - (t - t)] = = 5[0, (t - t - + ) + ] = 5[, - (t - ) ] Aν υπαρχει χρονικη στιγμη t, που το υψος h της μπαλας απ το εδαφος ειναι πανω απο 6,65 m, τοτε: h(t) > 6,65 5[, - (t - ) ] > 6,65, - (t - ) >,33 (t - ) <, -,33 (t - ) < - 0, ατοπο Δεν υπαρχει χρονικη στιγμη t, που το υψος h της μπαλας απ το εδαφος ειναι πανω απο 6,65 m.

227 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 7 Θ ε μ α 0 5 ο 468 Δινεται η εξισωση: x - x + λ - λ = 0 με παραμετρο λ () α) Να βρειτε τη διακρινουσα Δ της εξισωσης και να αποδειξετε οτι η εξισωση εχει ριζες πραγματικες για καθε λ β) Για ποια τιμη του λ η εξισωση () εχει δυο ριζες ισες; γ) Να βρειτε το λ, ωστε το πεδιο ορισμου της συναρτησης f(x) = x - x + λ - λ να ειναι το συνολο. Προκειμενου να εχει πραγματικες ριζες η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. Προκειμενου να αληθευει για καθε x... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 0) (Μοναδες 6) (Μοναδες 9) η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0.

228 8 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 468 α) Ειναι Δ = - 4(λ - λ ) = 4λ - 4λ + = (λ - ) 0. που σημαινει οτι η εξισωση () εχει ριζες πραγματικες για καθε λ. β) Για να εχει η εξισωση () δυο ριζες ισες πρεπει Δ = 0 (λ - ) = 0 λ - = 0 γ) λ = Για να ειναι το πεδιο ορισμου της συναρτησης το πρεπει x - x + λ - λ 0 για καθε x, που αληθευει αν Δ 0 (). Ομως (λ - ) = Δ 0 () Απ τις () και () προκυπτει απ το (β) : Δ = 0 λ =

229 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 9 Θ ε μ α 0 6 ο 68 Θεωρουμε ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 τετοια, ωστε: x + y = 0. ο ) με καθετες πλευρες που εχουν μηκη x, y α) Να αποδειξετε οτι το εμβαδον του τριγωνου ΑΒΓ συναρτησει του x δινεται απο τον τυπο: E(x) = (- x + 0x), x (0, 0). (Μοναδες 9) 5 β) Να αποδειξετε οτι E(x) για καθε x (0, 0). (Μοναδες 8) γ) Για ποια τιμη του x (0, 0) το εμβαδον E(x) γινεται μεγιστο, δηλαδη ισο με 5 ; Τι παρατηρειτε τοτε για το τριγωνο ΑΒΓ; (Μοναδες 8) Ε = (βαση ) (υψος ) τριγ.... χ ρ η σ ι μ ο

230 30 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 68 α) Ειναι x + y = 0 y = 0 - x x > 0 x > 0 x > 0 x, y > 0 και και και 0 < x < 0 x (0,0) y > x > 0 x < 0 Το εμβαδον τριγωνου συναρτησει του x ειναι. E(x) = x y = x (0 - x) = (0x - x ), με x (0,0) β) Ειναι 5 5 E(x) (0x - x ) - 0 (0x - x - 5) 0 0x - x x - 0x (x - 5) 0 που αληθευει για καθε x (0,0). γ) Ειναι E(x) = (0x - x ) = 0x - x = 5 x - 0x + 5 = 0 (x - 5) = x = 5 Το εμβαδον E(x) γινεται μεγιστο για x = 5 οποτε και y = 0 5 = 5 που σημαινει οτι το ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΓ ειναι και ισοσκελες.

231 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 3 Θ ε μ α 0 7 ο 63 3 Στο διπλανο σχημα το ΑΒΓΔ ειναι τετραγωνο πλευρας Δ ΑΒ = 3 και το Μ ειναι ενα τυχαιο εσωτερικο σημειο της Η Γ διαγωνιου ΑΓ. Εστω Ε το συνολικο εμβαδον των σκιασμενων τετραγωνων του σχηματος. α) Να αποδειξετε οτι Ε = x - 6x + 9 με x (0, 3). Κ (Μοναδες 9) x Μ Ζ β) Να αποδειξετε οτι E 9 για καθε x (0, 3). Α x Θ Β (Μοναδες 8) γ) Για ποια θεση του Μ πανω στην ΑΓ το συνολικο εμβαδον των σκιασμενων τετραγωνων του σχηματος γινεται ελαχιστο, δηλαδη ισο με 9 ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. Το μηκος ειναι μη αρνητικος αριθμος. (Mοναδες 8) Τα ευθυγραμμα τμηματα με ακρα τα μεσα των απεναντι πλευρων τετραγωνου, χωριζουν το τετραγωνο σε τεσσερα ισα τετραγωνα.... χ ρ η σ ι μ ο

232 3 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 63 α) Πρεπει 0 x < 3, αφου x ειναι μηκος και μικροτερο του ΑΒ = 3. Ετσι Ε = Ε ΑΒΓΔ Ε ΚΜΗΔ Ε ΜΖΒΘ = 9 x(3 x) - x(3 x) = 9 3x + x 3x + x = x 6x + 9, με x (0, 3). β) Ειναι 9 9 E x - 6x + 9 4x - x x - x (x - 3) 0 που αληθευει. γ) 9 3 x = E = (x - 3) = 0 x - 3 = 0 Για 3 x = τα τετραγωνα ΚΜΘΑ και ΜΗΓΖ γινονται ισα (πλευρας εχουν ισες διαγωνιες. Ετσι 3 x = μισο της ΑΒ), οποτε ΑΜ = ΜΓ που σημαινει οτι το σημειο Μ ειναι το μεσο της διαγωνιου του τετραγωνου ΑΒΓΔ.

233 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 33 Θ ε μ α 0 8 ο 750 Οι ανθρωπολογοι για να προσεγγισουν το υψος ενος ενηλικα, χρησιμοποιουν τις παρακατω εξισωσεις που παριστανουν τη σχεση μεταξυ του μηκους y (σε cm) οστου του μηρου και του υψους x (σε cm) του ενηλικα αναλογα με το φυλο του: α) Ενας ανθρωπολογος ανακαλυπτει ενα μηριαιο οστο μηκους 38,5 cm που ανηκει σε γυναικα. Να υπολογισετε το υψος της γυναικας. (Μοναδες 8) x cm β) Ο ανθρωπολογος βρισκει μεμονωμενα οστα χεριου, y cm τα οποια εκτιμα οτι ανηκουν σε αντραα υψους περιανακαλυπτει ενα που 64 cm. Λιγα μετρα πιο κατω, μηρος μηριαιο οστο μηκους 4,8 cm που ανηκει σε αντρα. Ειναι πιθανον το μηριαιο οστο και τα οστα χεριου να Γυναικα: y = 0,43x - 6 προερχονται απο το ιδιο ατομο; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. Ανδρας: y = 0,45x - 3 (Μοναδες 8) γ) Να εξετασετε αν μπορει ενας ανδρας και μια γυναικα ιδιου υψους να εχουν μηριαιο οστο ιδιου μηκους. (Μοναδες 9)... χ ρ η σ ι μ ο Προκειμενου να βρουμε την τιμη της συναρτησης για καποια τιμη του x, θετουμε την τιμη αυτη στη θεση του x στο τυπο της συναρτησης. Το υψος του ανθρωπου ειναι θετικος αριθμος.

234 34 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 750 Το υψος πρεπει να ειναι θετικο. Ετσι, το μηκος του οστου του μηρου πρεπει να ειναι για Γυναικα: Ανδρα : α) 6 y > 0 0, 43x - 6 > 0 x > x > 60, 47 cm 0, 43 3 y > 0 0, 45x - 3 > 0 x > x > 68,89 cm 0, 45 Για x = 38,5 cm (γυναικα) 64,5 38,5 = 0, 43 x - 6 0, 43x = 64,5 x = x = 50 cm > 60, 47 cm 0, 43 Δηλαδη το υψος της γυναικας ειναι 50 cm. β) Για x = 4,8 cm (ανδρας) 73,8 4,8 = 0, 45x - 3 0, 45x = 73,8 x = x = 64 cm > 68,89 cm 0, 45 Ειναι πιθανον το μηριαιο οστο και τα οστα χεριου να προερχονται απο το ιδιο ατομο. γ) Ειναι y = 0, 43x - 6 0, 43x - 6 = 0, 45x - 3 0,0x = 5 x = 50 cm y = 0, 45x - 3 Ενας ανδρας και μια γυναικα ιδιου υψους ειναι απιθανο να εχουν μηριαιο οστο ιδιου μηκους, αφου το υψος τους θα επρεπε να ηταν 50 cm.

235 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 35 Θ ε μ α 0 9 ο 75 Ενα δημοτικο κολυμβητηριο εχει σχημα ορθογωνιο παραλληλογραμμο ΑΒΓΔ, με διαστασεις 5 m και 5m. Ο δημος, για λογους ασφαλειας, θελει να κατασκευασει γυρω απο το κολυμβητηριο μια πλακοστρωμενη ζωνη με σταθερο πλατος x m (x > 0), οπως φαινεται στο παρακατω σχημα. Β A γ) Ποιο μπορει να ειναι το πλατος της ζωνης, αν αυτη εχει εμβαδον μικροτερο απο 500 m ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. Δ = β 4αγ x - β ± Δ x =, α (Μοναδες 9) Το τριωνυμο : αx + βx + γ με α 0 με Δ > 0 ειναι ετεροσημο του α αν το x βρισκεται αναμεσα στις ριζες του. Δ Γ x α) Να αποδειξετε οτι το εμβαδον της ζωνης δινεται απο τη σχεση: E(x) = 4x + 80x, x > 0 (Μοναδες 9) β) Να βρεθει το πλατος x της ζωνης, αν αυτη εχει εμβαδο E = 500 m. (Μοναδες 7)... χ ρ η σ ι μ ο

236 36 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 75 α) Το εξωτερικο ορθογωνιο εχει διαστασεις : (5 + x) m, (5 + x) m εμβαδοv : β) E(x) = (5 + x) (5 + x) - (ΑΒΓΔ) = (5 + x) (5 + x) = Ειναι = 5 5 = 4x + 80x, x > x + x 5 + 4x -5 5 = 30x + 50x + 4x = E = 500 4x + 80x = 500 4x + 80x = 0 x + 0x - 5 = 0 Δ = 0-4 (- 5) = = 900 > 0 α = β = 0 τοτε x = = 5-0 ± ± 30 x = =, γ = x = = - 5 < 0 απορ / ται Η ζωνη εμβαδον γ) x > m αν το πλατος της ειναι 5 m. (β) (β) x > 0 x + 5 > 0 E < 500m x + 0x - 5 < 0 (x - 5)(x + 5) < 0 x - 5 < 0 x < 5 0 < x < 5 Το πλατος της ζωνης, αν εχει εμβαδον μικροτερο των 500 m, ειναι μεγαλυτερο του 0 και μικροτερο του 5.

237 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 37 Θ ε μ α 0 ο 75 Ενα ορθογωνιο παραλληλογραμμο εχει περιμετρο Π = 40 cm. Αν x cm ειναι το μηκος του παραλληλογραμμου, τοτε: α) Nα αποδειξετε οτι 0 < x < 0. (Μοναδες 4) β) Nα αποδειξετε οτι το εμβαδον E(x) του ορθογωνιου δινεται απο τη σχεση: E(x) = 0x - x. γ) Nα αποδειξετε οτι ισχυει E(x) 00, για καθε x (0,0). (Μοναδες 8) (Μοναδες 6) δ) Nα αποδειξετε οτι απο ολα τα ορθογωνια με σταθερη περιμετρο 40 cm, εκεινο που εχει το μεγαλυτερο εμβαδον ειναι το τετραγωνο πλευρας 0 cm. (Μοναδες 7) Σε ορθογωνιο παραλληλογραμμο διαστασεων α, β Εμβαδον : Ε = α β Περιμετρος : Π = α + β... χ ρ η σ ι μ ο

238 38 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 75 α) Aν x, y το μηκος και το πλατος του ορθογωνιου αντιστοιχα, τοτε Π = 40 (x + y) = 40 x + y = 0 y = 0 - x 0 - x > 0 x > 0 x > 0 x > 0 x > 0 x > 0 y > 0 y > 0 y > 0 y > 0 y > 0 x < 0 x > 0 y > 0 β) Ειναι 0 < x < 0 E(x) = x y E(x) = x (0 - x) γ) Ειναι E(x) = 0x - x E(x) 00 0x - x 00 - x + 0x x - 0x (x - 0) 0 που αληθευει. Δηλαδη E(x) 00 ισχυει για καθε x (0, 0).. δ) Ειναι E(x) = 00 0x - x = 00 - x + 0x - 00 = 0 x - 0x + 00 = 0 μεγιστο (x - 0) = 0 x - 0 = 0 x = 0 (0, 0) Ομως aν (α) x = x = 0-0 y = 0 Το μεγαλυτερο εμβαδον εχει το τετραγωνο πλευρας x = 0 (περιμετρου 40).

239 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 39 Θ ε μ α ο 757 Δυο φιλοι αποφασιζουν να συνεταιριστουν και ανοιγουν μια επιχειρηση που γεμιζει τονερ (toner) για φωτοτυπικα μηχανηματα. Τα παγια μηνιαια εξοδα της εταιρειας ανερχονται στο ποσο των 6500 ευρω (για ενοικιο, παροχες, μισθους, φορους κ.α). Το κοστος γεμισματος ενος τονερ ειναι 5 ευρω, η δε τιμη πωλησης ενος τονερ καθοριζεται σε 5 ευρω. α) Να γραψετε μια σχεση που να περιγραφει το μηνιαιο κοστος Κ(ν) της επιχειρησης, αν γεμιζει ν τονερ το μηνα. (Μοναδες 5) β) Να γραψετε μια σχεση που να εκφραζει τα μηνιαια εσοδα Ε(ν) της επιχειρησης απο την πωληση ν αριθμου τονερ το μηνα. (Μοναδες 5) i) Να βρειτε ποσα τονερ πρεπει να πωλουνται καθε μηνα ωστε η επιχειρηση να μην εχει ζημια. (Μοναδες 7) ii) να εχει μηνιαιο κερδος τουλαχιστον 500 ευρω. (Μοναδες 8) Προκειμενου να βρουμε την τιμη της συναρτησης για καποια τιμη του x, θετουμε την τιμη αυτη στη θεση του x στο τυπο της συναρτησης.... χ ρ η σ ι μ ο

240 40 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 757 α) Το μηνιαιο κοστος K(ν) της επιχειρησης, αν γεμιζει ν τονερ το μηνα ειναι : Κ(ν) = β) ν. Τα μηνιαια εσοδα Ε(ν) της επιχειρησης απο την πωληση ν αριθμου τονερ το μηνα ειναι: Ε(ν) = 5 γ) ν. Αν Ρ(ν) το κερδος της επιχειρησης, τοτε Ρ(ν) = Ε(ν) - Κ(ν) Ρ(ν) = 5ν - (6500-5ν) Ρ(ν) = 5ν ν. Ρ(ν) = 0ν i) Η επιχειρηση δεν εχει ζημια αν Ρ(ν) 0 0ν ν 6500 ν 650 που σημαινει να πουλησει τουλαχιστον 650 τονερ. ii) Η επιχειρηση εχει μηνιαιο κερδος τουλαχιστον 500 ευρω αν Ρ(ν) 500 0ν ν 7000 ν 700 που σημαινει να πουλησει τουλαχιστον 700 τονερ.

241 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 4 Θ ε μ α ο 8455 Για τους πραγματικους αριθμους α,β ισχυει: - 3α < Η αποσταση του αριθμου β απο τον αριθμο ειναι μικροτερη του. α) Να αποδειχθει οτι - < α < 3 β) Να αποδειχθει οτι β - 3α - < 3 γ) Να αποδειχθει οτι η συναρτηση f ( x ) = 4x - 4(β - )x + β εχει πεδιο ορισμου το. d(x, a) < β x - α < β x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ x + y x + y Προκειμενου να αληθευει για καθε x... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 5) (Μοναδες 0) (Μοναδες 0) η εξισωση δευτερου βαθμου πρεπει Δ 0.

242 4 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 8455 Ειναι - - 3α < - < - 3α < - - < - 3α - < < - 3α < επι 3 3 > 3α > - - < 3α < 3 - < α < () - < α < α < () 3 Η αποσταση του αριθμου β απο τον αριθμο ειναι μικροτερη του : α) d(β, ) < η β < (3) η - < β - < - + < β - + < + < β < 3 - β < 0 (4) Η () β) β - 3α - = β - 3α - + = (β - ) + ( - 3α) β α () β - 3α - < γ) (3) + = 3 Για να ειναι το πεδιο ορισμου της συναρτησης f το πρεπει 4x - 4(β - )x + β 0 για καθε x, που αληθευει αν Δ 0 Πραγματι (4) Δ = 6(β - ) - 6β = 6β - 64β β = - 64β + 64 = 64( - β) < 0 Tο πεδιο ορισμου της συναρτησης f ειναι το.

243 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 43 Θ ε μ α 3 ο 3084 Δινεται η συναρτηση g(x) = x α) Να βρειτε τις τιμες των κ, λ. (x - )(x - 4) + κx + λ β) Για κ = και λ = -, i) να απολοποιησετε τον τυπο της g. ii) να δειξετε οτι : g(α + 3) > g(α) οταν α (-, ) (, + )., η οποια εχει πεδιο ορισμου το - {-, }. (Μοναδες 9) (Μοναδες 9) (Μοναδες 7) Για να οριζεται ρητη συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. f(x ) = f(x ) = 0... χ ρ η σ ι μ ο Αν Δ > 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α 0 εχει δυο ριζες ανισες στο, τις x, x και: αx² + βx + γ = α ( x x )( x x ).

244 44 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 3084 α) Αφου η ρητη συναρτηση g εχει πεδιο ορισμου το - {-, } τοτε οι αριθμοι, ειναι οι ριζες του παρονομαστη. Ετσι x = - (+) (- ) + κ(- ) + λ = κ + λ = 0 κ - λ = 4 x = + κ + λ = 0 + κ + λ = 0 κ + λ = - 3κ = 3 κ = κ = κ + λ = - + λ = - λ = - x + κx + λ = 0 Α λ λ ι ω ς β κ S = - (- ) + = - - κ = - α γ λ Ρ = (- ) = - λ = - α β) i) κ = Για κ = και λ = - ο τυπος της συναρτησης γινεται : (x - )(x - 4) g(x) = = x + κx + λ ii) Πρεπει Οποτε (x + ) (x - )(x + ) (x - ) (x - )(x + ) α + 3 α - α και και και α α - 5 α - g(α + 3) = (α )(α ) = (α + 4)(α + ) g(α) = (α + )(α - ) Ετσι, για α - 5, -, = (x + )(x - ) g(α + 3) > g(α) g(α + 3) - g(α) > 0 (α + 4)(α + ) - (α + )(α - ) > 0 (α + )[(α + 4) - (α - )] > 0 (α + )(α α + ) > 0 (α + )6 > 0 α + > 0 α α > - α (-, ) (, + )

245 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 45 Θ ε μ α 4 ο 3085 Δινεται η συναρτηση g(x) = x α) Να βρειτε τις τιμες των κ, λ. (x - )(x - 4) + κx + λ β) Για κ = και λ = -, i) να απολοποιησετε τον τυπο της g. ii) να δειξετε οτι : g(α) g(β) > 0 οταν α, β (-, ) (, )., η οποια εχει πεδιο ορισμου το - {-, }. (Μοναδες 9) (Μοναδες 9) (Μοναδες 7) Για να οριζεται ρητη συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0 και ριζες x, x. f(x ) = f(x ) = 0... χ ρ η σ ι μ ο Αν Δ > 0 τοτε το τριωνυμο αx² + βx + γ με α 0 εχει δυο ριζες ανισες στο, τις x, x και: αx² + βx + γ = α ( x x )( x x ).

246 46 Η Ε ν ν ο ι α τ η ς Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 3085 α) Αφου η ρητη συναρτηση g εχει πεδιο ορισμου το - {-, } τοτε οι αριθμοι, ειναι οι ριζες του παρονομαστη. Ετσι x = - (+) (- ) + κ(- ) + λ = κ + λ = 0 κ - λ = 4 x = + κ + λ = 0 + κ + λ = 0 κ + λ = - 3κ = 3 κ = κ = κ + λ = - + λ = - λ = - x + κx + λ = 0 Α λ λ ι ω ς β κ S = - (- ) + = - - κ = - α γ λ Ρ = (- ) = - λ = - α β) i) κ = Για κ = και λ = - ο τυπος της συναρτησης γινεται : (x - )(x - 4) g(x) = = x + κx + λ ii) g(α) = (α + )(α - ) με α -, g(β) = (β + )(β - ) με α -, Ετσι (x + ) (x - )(x + ) (x - ) (x - )(x + ) = (x + )(x - ) α > - α + > 0 α < α - < 0 α,β (-, ) (, ) (α + )(α - )(β + )(β - ) > 0 β > - β + > 0 β < β - < 0 g(α)g(β) > 0

247 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α 9. Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς

248 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

249 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 49 Θ ε μ α 5 ο 963 Δινονται οι συναρτησεις: f(x) = x και g(x) = λx + ( - λ), x και λ παραμετρος με λ 0. α) Να δειξετε οτι οι γραφικες παραστασεις C και C f g παραμετρου λ ενα τουλαχιστον κοινο σημειο. β) Για ποια τιμη της παραμετρου λ οι C και C f g εχουν για καθε τιμη της εχουν ενα κοινο σημειο; (Μοναδες 8) Ποιο ειναι το σημειο αυτο; (Μοναδες 8) γ) Αν λ και x, x ειναι οι τετμημενες των κοινων σημειων των C και C, f g να βρεθει η παραμετρος λ ωστε να ισχυει: (x + x ) = x + x +. (Μοναδες 9) Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = γ α Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f,g λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη... χ ρ η σ ι μ ο f g x = x

250 50 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 963 Οι συναρτησεις f, g ειναι οριζονται στο A = A =. f g α) Πρεπει f(x) = g(x) x = λx + ( - λ) x - λx - ( - λ) = 0 () που εχει τουλαχιστον μια ριζα αν Δ 0 (- λ) - 4 [- ( - λ)] 0 λ + 4( - λ) 0 λ - 4λ (λ - ) 0 που αληθευει. Δηλαδη οι β) Οι Cf Δηλαδη Cf και Cg και C εχουν τουλαχιστον ενα κοινο σημειο για καθε λ - {0}. g εχουν ενα κοινο σημειο αν η Δ = 0 (λ - ) = 0 λ - = 0 λ = Για λ = και η εξισωση () γινεται : x - x + = 0 που εχει διπλη ριζα την x = Για Δηλαδη οι γ) x = τοτε f() = = Cf f(x) = g(x) x - λx - ( - λ) = 0 εχει Δ = 0. και C εχουν κοινο σημειο μονο το A(, ). g x - λx - ( - λ) = 0 (x - ) = 0 x = ) Για λ, Δ > 0 και η εξιωση () εχει δυο ριζες, τις x, x και (Vieta) : β - λ S = x + x = - = - = λ α Ετσι (x + x ) = x + x + λ = λ + λ - λ - = 0 λ = απορρ. λ λ = η - (- ) ± - 4 (- ) ± 3 λ = = λ = - η λ = - απορρ.

251 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 5 Θ ε μ α 6 ο 338 Δινονται οι συναρτησεις f(x) = αx - α + και g(x) = x - α + 3 με α. α) Να αποδειξετε οτι η γραφικη παρασταση της f διερχεται απο το σημειο (, ) για καθε τιμη του πραγματικου αριθμου α. (Μοναδες 7) β) Αν οι γραφικες παραστασεις των f και g τεμνονται σε σημειο με τετμημενη, τοτε: i) Να βρειτε την τιμη του α. (Μοναδες 4) ii) Για την τιμη του α που βρηκατε υπαρχει αλλο σημειο τομης των γραφικων παραστασεων των f και g; Αιτιολογηστε την απαντηση σας. (Μοναδες 4) γ) Να βρειτε για ποιες τιμες του α οι γραφικες παραστασεις των f και g εχουν δυο σημεια τομης. (Μοναδες 0) Aν το σημειο Α(κ, λ) να ανηκει στη γραφικη παρασταση της συναρτησης f τοτε f(κ) = λ. x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ... χ ρ η σ ι μ ο Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f,g λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. f g

252 5 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 338 Οι συναρτησεις f, g ειναι οριζονται στο A = A =. f g α) Η γραφικη παρασταση της f διερχεται απο το σημειο (, ) σημαινει f() =. Ετσι Για x = τοτε f() = α α + = Η γραφικη παρασταση της f διερχεται απο το σημειο (, ) για καθε τιμη του πραγματικου a. β) i) Oι γραφικες παραστασεις των f και g τεμνονται σε σημειο με τετμημενη σημαινει οτι : (α) g() = f() = τοτε g() = - α + 3 = - α = - α = ii) Για α = ειναι: f(x) = x - + f(x) = x g(x) = x g(x) = x + Αν οι συναρτησεις τεμνονται σε αλλο σημειο, πρεπει να υπαρχει x με f(x) = g(x) x = x + x - x + = 0 (x - ) = 0 x = Δηλαδη δεν υπαρχει αλλο σημειο τομης τους εκτος απ αυτο με τετμημενη. γ) Οι γραφικες παραστασεις των f και g εχουν δυο σημεια τομης εχει δυο ριζες ανισες η εξισωση : f(x) = g(x) αx - α + = x - α + 3 x - αx + = 0 () Η εξισωση () εχει δυο ριζες ανισες αν Δ > 0 α - 4 > 0 α > 4 α > 4 α > η α < - α >

253 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 53 Θ ε μ α 7 ο 4679 Δινεται η συναρτηση: f(x) = x - x + 4 α) Να βρειτε τις τιμες του πραγματικου αριθμου α, ωστε το πεδιο ορισμου της συναρτησης f να ειναι το συνολο. (Μοναδες 0) β) Αν ειναι γνωστο οτι η γραφικη παρασταση της συναρτησης f διερχεται απο το σημειο A(0, ), τοτε: i) Να αποδειξετε οτι α = και να γραψετε τον τυπο της χωρις το συμβολο της τετραγωνικης ριζας. (Μοναδες 7) ii) Να λυσετε την εξισωση f(x) =. α (Μοναδες 8) Aν το σημειο Α(κ, λ) να ανηκει στη γραφικη παρασταση της συναρτησης f τοτε f(κ) = λ. x = x... χ ρ η σ ι μ ο

254 54 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 4679 α) H συναρτηση f οριζεται για καθε x αν x - x + 0 που αληθευει (αφου α = > 0) για καθε x αν 4 α Δ 0 (- ) α 0 α. 4 β) i) Αν a, το σημειο α A0, C f, τοτε: α α α ( δεκτο) f(0) = = = = α = Ετσι, για α = ειναι f(x) = x - x + = x - = x -. 4 ii) Ειναι x - = x = f(x) = x - = η η x - = - x = 0

255 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 55 Θ ε μ α 8 ο 49 Θεωρουμε τις συναρτησεις f(x) = x + και g(x) = x + α, με x και α. α) Για α =, να προσδιορισετε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f και g. (Μοναδες 5) β) Να βρειτε για ποιες τιμες του α οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f και g τεμνονται σε δυο σημεια. (Μοναδες 0) γ) συναρτησεων f και g ειναι ομοσημες η ετεροσημες. (Μοναδες 0) Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f,g λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. Εστω η εξισωση : αx + βx + γ = 0 με α 0, Δ 0 και ριζες x, x. Αν Δ > 0, εχει δυο ριζες ανισες στο. Αν Δ = 0, εχει δυο ριζες ισες στο. - β ± Δ x = Δ = β 4αγ, α... χ ρ η σ ι μ ο f g β To αθροισμα των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : S = x + x = - α To γινομενο των ριζων x, x της εξισωσης δινεται απο : Ρ = x x = Αν Ρ > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι ομοσημες. Αν S > 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι θετικες. Αν S < 0 οι ριζες x, x της εξισωσης ειναι αρνητικες. γ α

256 56 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 49 Οι συναρτησεις f, g ειναι οριζονται στο A = A =. f g α) Για α = ειναι g(x) = x +. Για να εχουν κοινα σημεια οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f και g πρεπει f(x) = g(x) x + = x + x - x = 0 x(x - ) = 0 x = 0 f(0) = g(0) = Α(0, ) η τα κοινα σημεια. Β(, ) x = f() = g() = β) Για να εχουν δυο κοινα σημεια οι γραφικες παραστασεις των συναρτησειων f και g πρεπει η εξισωση f(x) = g(x) να εχει δυο λυσεις. Ετσι f(x) = g(x) x + = x + α x - x + - α = 0 που εχει δυο λυσεις αν Δ > 0 (- ) - 4 ( - α) > α > 0 4α > 3 γ) 3 α > 4 - α < 0 α > 3 α > > που σημαινει οτι η f(x) = g(x) εχει συο ριζες, εστω x, x 4 Απο Vieta γ P = x x = = - α < 0, α Δηλαδη, οι τετμημενες των σημειων τομης των C, C ειναι ετεροσημες. f g

257 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 57 Θ ε μ α 9 ο 588 Δινονται οι συναρτησεις f(x) = (x - ) - 4 και g(x) = x - + με x. α) Να βρειτε τις τιμες του x για τις οποιες η γραφικη παρασταση της συναρτησης f βρισκεται πανω απο τον αξονα x x. (Μοναδες 9) β) Να δειξετε οτι για καθε τιμη του x η γραφικη παρασταση της συναρτησης g βρισκεται πανω απο τον αξονα x x. (Μοναδες 4) γ) Να βρειτε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f, g. (Μοναδες ) Η C f τεμνει τον x x στα σημεια της μορφης A(ρ, 0), A₂(x₂,0), oπου ρ, ειναι οι ριζες (α) της C f f εξισωσης f(x) = 0. Η τεμνει τον y y στο σημειο Β(0,f(0)), με την προυποθεση οτι το 0 ανηκει στο A (θετουμε στο τυπο της συναρτησης x = 0). Η ειναι πανω (κατω) απ τον x x αν f(x) > 0 (f(x) < 0). C f Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f,g λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη... χ ρ η σ ι μ ο f g

258 58 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 588 α) Η γραφικη παρασταση της f βρισκεται πανω απο τον αξονα x x αν f(x) > > 0 (x - ) - 4 > 0 x - x x - x - 3 > 0 Δ = (- ) - 4 (- 3) = 4 + = 6 > 0 α = + 4 x = = 3 γ = x = = - x - x - 3 = 0 : β = - τοτε - (- ) ± 6 ± 4 x = =, Πινακας προσημου τριωνυμου x x - x x - x - 3 > 0 αν : x < - η x > 3 αλλιως x (-, - ) (3, + ) Δηλαδη οι λυσεις της β) x - x - 3 > 0 ειναι x (-, - ) (3, + ) Η γραφικη παρασταση της συναρτησης g βρισκεται πανω απο τον αξονα x x αν x - 0 g(x) > 0 x - + > 0 αληθευει για καθε x. Δηλαδη η γ) C ειναι παντα πανω απο τον αξονα x x. g Για να εχουν κοινα σημεια οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεωνς f και g πρεπει f(x) = g(x) (x - ) - 4 = x - + x - - x = 0 - (- ) ± (- ) - 4 (- 6) ± + 4 ± 5 ± 5 x - = = = = = η - x - = 3 x = 4 f(4) = g(4) = 5 x - = 3 x - = - 3 x = - f(- ) = g(- ) = 5 Α(4, 5) τα κοινα η Β(-, 5) σημεια x - = - αδυνατη 3

259 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 59 Θ ε μ α 0 ο 646 Στο διπλανο σχημα δινεται η γραφικη παρασταση μιας συναρτησης f : και της συναρτησης g(x) = - x +. Με τη βοηθεια του σχηματος, να βρειτε: α) Τις τιμες του x για τις οποιες ισχυει f(x) = - x +. (Μοναδες 6) β) Τις τιμες f(- ), f(0), f(). (Μοναδες 6) γ) Τις τιμες του x, για τις οποιες η γραφικη παρασταση της f βρισκεται πανω απο τη γραφικη παρασταση της g. (Μοναδες 6) δ) Τις τιμες του x, για τις οποιες η παρασταση A = f(x) + x - εχει νοημα πραγματικου αριθμου. (Μοναδες 7)... χ ρ η σ ι μ ο Η C f ειναι πανω (κατω) απ την C αν f(x) > g(x) ((f(x) < g(x)). g C g 4 C f

260 60 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 646 Οι συναρτησεις f, g ειναι οριζονται στο A = A =. f g α) Οι τιμες του x για τις οποιες ισχυει f(x) = - x + ειναι οι τετμημενες των σημειων που τεμνονται οι C, C. f g Απ το σχημα προκυπτει x = -, x = 0 και x = β) Απ το σχημα προκυπτει f(- ) = 4, f(0) = και f() = 0 γ) Απ το σχημα προκυπτει, οτι η x (-,0) (,+ ) δ) C ειναι πανω απ τη C f g Η παρασταση Α οριζεται για καθε x αν οταν f(x) + x - 0 f(x) - x + f(x) g(x) Δηλαδη η C ειναι πανω απ τη C f g x (-,0) (,+ ) και

261 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 6 Θ ε μ α ο 7784 Στο παρακατω σχημα, δινονται οι γραφικες παραστασεις C και C f g αντιστοιχα, με f(x) = x και g(x) =, x. των συναρτησεων f και g γ) Να βρειτε για ποιες τιμες του x εχει νοημα πραγματικου αριθμου η παρασταση: A = C f - f(x) f(x) 4 C f 3 C g Η ειναι πανω (κατω) απ την C αν f(x) > g(x) ((f(x) < g(x)). g x θ - θ x θ x - θ Για θ > 0 : x θ η x θ a) i) Να εκτιμησετε τα σημεια τομης των C και C. f g ii) Να εκτιμησετε τις τιμες του x, για τις οποιες η C ειναι κατω απο τη C. f g (Μοναδες 0) β) Να επιβεβαιωσετε αλγεβρικα τις απαντησεις σας στο προηγουμενο ερωτημα. (Μοναδες 0)... χ ρ η σ ι μ ο Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f,g λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. f g (Μοναδες 5)

262 6 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 7784 α) Απο το σχημα προκυπτει i) Οι ii) Η β) i) Οι Cf Cf Cf Ειναι και C οτι τεμνονται στα σημεια A(, ) και B(3, ). g ειναι κατω απο την C οταν < x < 3. g και C οτι τεμνονται στα σημεια A(, ) και B(3, ). g x - = - x = f() = g() = Α(, ) f(x) = g(x) x - = x - = x = 3 f(3) = g(3) = Β(3, ) ii) Η Cf ειναι κατω απο την Cg αν + f(x) < g(x) x - < - < x - < - + < x - + < + < x < 3 γ) Εχει νοημα η παρασταση Α αν - f(x) 0 f(x) x - - x - και και και και f(x) 0 f(x) 0 x - 0 x - + x x 3 και και x [, ) (, 3] x x

263 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 63 Θ ε μ α ο 8448 x - 5x + 6 Δινεται η συναρτηση f(x) =. - x α) Να βρεθει το πεδιο ορισμου της f. (Μοναδες 5) x - 3, x > β) Να αποδειχθει οτι f(x) = - x + 3, x < (Μοναδες 7) γ) Να γινει η γραφικη παρασταση της f και να βρεθουν τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της f με τους αξονες x x και y y. (Μοναδες 8) δ) Να λυσετε την ανισωση f(x) 0. (Μοναδες 5) Για να οριζεται ρητη συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. θ = 0 τοτε x = θ x = 0 Για θ > 0 τοτε x = θ x = ± θ θ < 0 τοτε x = θ αδυνατη Η Cf τεμνει τον x x στα σημεια της μορφης A(ρ, 0), A₂(x₂,0), oπου ρ, ειναι οι ριζες (α) της εξισωσης f(x) = 0. Η C τεμνει τον y y στο σημειο Β(0,f(0)), με την προυποθεση οτι το 0 ανηκει στο A (θε- f f τουμε στο τυπο της συναρτησης x = 0).... χ ρ η σ ι μ ο

264 64 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 8448 α) Για να οριζεται η συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Ετσι - x 0 x. Οποτε Α = - {} = (-, ) (, + ) β) Ειναι Δ = (- 5) = 5-4 = > 0 x - 5x + 6 : - (- 5) ± 5 ± x = = x - 5x + 6 = (x - )(x - 3), f(x ) = γ) δ) 5 + x = = 3 Οποτε 5 - x = = x - 5x + 6 (x - )(x - 3) Για x > : = = x - 3 x - x - x - 3, αν x > f(x ) = x - 5x + 6 (x - )(x - 3) 3 - x, αν x < Για x < : = = 3 - x - (x - ) - (x - ) Η ανισωση οριζεται στο A = - {} Aν x > x = 0, f(0) = -3 τεμνει τον y y στο (0, - 3) f(x) = 0, x = 3 τεμνει τον x x στο (3, 0) Aν x < x = 0, f(0) = 3 τεμνει τον y y στο (0, 3) f(x) = 0, x = 3 τεμνει τον x x στο (3, 0) Συμφωνα με το πεδιο ορισμου η γραφικη παρασταση της f φαινεται στο σχημα αριστερα. - x > 0 x x - 5x + 6 f(x) 0 0 x - 5x (x - )(x - 3) 0 - x. x (, 3]

265 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 65 Θ ε μ α 3 ο 845 4x - (α + 3)x + 3α Δινεται η συναρτηση f(x) =, οπου α. x - 3 α) Να βρεθει το πεδιο ορισμου της f. (Μοναδες 5) β) Να αποδειχθει οτι f(x) = x - a για καθε x που ανηκει στο πεδιο ορισμου της f. (Μοναδες 8) γ) Να βρεθει η τιμη του α αν η γραφικη παρασταση της f διερχεται απο το σημειο (-, ). (Μοναδες 7) δ) Να βρεθουν (αν υπαρχουν) τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της f με τους αξονες x x και y y. (Μοναδες 5) Για να οριζεται ρητη συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Η Cf τεμνει τον x x στα σημεια της μορφης A(ρ, 0), A₂(x₂,0), oπου ρ, ειναι οι ριζες (α) της εξισωσης f(x) = 0. Η C τεμνει τον y y στο σημειο Β(0,f(0)), με την προυποθεση οτι το 0 ανηκει στο A (θε- f f τουμε στο τυπο της συναρτησης x = 0).... χ ρ η σ ι μ ο Aν το σημειο Α(κ, λ) να ανηκει στη γραφικη παρασταση της συναρτησης f τοτε f(κ) = λ.

266 66 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 845 α) Για να οριζεται η συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Ετσι x x 3 Οποτε Α = - { 3 } = (-, 3 ) ( 3, + ) β) Ειναι 4x - (α + 3)x + 3α = 4x - 6x - αx + 3α = x(x - 3) - α(x - 3) = (x - 3)(x - α) Ετσι, για x = (-, 3 ) ( 3, + ) 4x - (α + 3)x + 3α (x - 3) (x - α) f( x ) = = x - 3 x - 3 γ) Aφου (-, ) C f τοτε = x - α f( x ) = x - α = (- ) - α = - - α α = - 3 δ) Η C f τεμνει τον αξονα x x αν f(x) = 0: α f( x ) = 0 x - α = 0 x = α x = 3 α 3 x α 3 Η C f τεμνει τον αξονα x x στο σημειο Αν α = 3 η C f δεν τεμνει τον αξονα x x. Η C f τεμνει τον αξονα y y αν x = 0 : α,0 με α 3. f( x ) = x - α f( x ) = 0 - α f(x) = - α Η C f τεμνει τον αξονα y y στο σημειο (0, - a).

267 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς 67 Θ ε μ α 4 ο 3090 Δινονται οι συναρτησεις : f(x) = x + 3x + και g(x) = x +, x. α) Να δειξετε οτι οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f, g εχουν ενα μονο κοινο σημειο, το οποιο στη συνεχεια να προσδιοριδετε. (Μοναδες 0) β) Δινεται η συναρτηση h(x) = x + a. Να δειξετε οτι : i) Αν α >, τοτε οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f, h εχουν δυο κοινα σημεια. ii) Αν α >, τοτε οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f, h δεν εχουν κοινα σημεια (Μοναδες 5)... χ ρ η σ ι μ ο Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια των γραφικων παραστασεων των f,g λυνουμε την εξισωση f(x) = g(x) και δεχομαστε οσες ριζες ανηκουν στο συνολο A A. f g

268 68 Γ ρ α φ ι κ η Π α ρ α σ τ α σ η Σ υ ν α ρ τ η σ η ς Α π α ν τ η σ η 3090 α) Για να εχουν κοινα σημεια οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f και g πρεπει f(x) = g(x) x + 3x + = x + x + x + = 0 (x + ) = 0 x + = 0 x = - f(- ) = g(- ) = 0 Κοινο σημειο των C, C ειναι το (-, 0). f g β) Για να εχουν κοινα σημεια οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f και h πρεπει i) f(x) = h(x) x + 3x + = x + α x + x + - α = 0 (ου βαθμου) Δ = - 4 ( - α) = α = α = 4(α - ) Αν α > α - > 0 τοτε Δ = 4(α - ) > 0 που σημαινει οτι η εξισωση x + x + - α = 0 εχει δυο ανισες ριζες. Δηλαδη, οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f και h εχουν δυο κοινα σημεια. ii) Αν α < Δ = 4(α - ) < 0 α - < 0 τοτε που σημαινει οτι η εξισωση x + x + - α = 0 δεν εχει πραγματικες ριζες. Δηλαδη, οι γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f και h δεν εχουν κοινα σημεια.

269 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α : Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν 4 ο Θ ε μ α ο Θ ε μ α 0. Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β

270 Α λ γ ε β ρ α Α Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

271 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β 7 Θ ε μ α 5 ο 880 Δινεται η συναρτηση f, με f(x) = x x α) Να βρειτε το πεδιο ορισμου της συναρτησης f. (Μοναδες 0) β) Να βρειτε τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της συναρτησης f με τους αξονες. (Μοναδες 7) γ) Αν A, B ειναι τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της συναρτησης f με τους αξονες x x, y y αντιστοιχα, να βρειτε την εξισωση της ευθειας που οριζεται απο τα A, B. (Μοναδες 8) Για να οριζεται ρητη συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Aν το σημειο Α(κ, λ) να ανηκει στη γραφικη παρασταση της συναρτησης f τοτε f(κ) = λ. Η Cf τεμνει τον x x στα σημεια της μορφης A(ρ, 0), A₂(x₂,0), oπου ρ, ειναι οι ριζες (α) της εξισωσης f(x) = 0. Η C τεμνει τον y y στο σημειο Β(0,f(0)), με την προυποθεση οτι το 0 ανηκει στο A (θε- f f τουμε στο τυπο της συναρτησης x = 0).... χ ρ η σ ι μ ο

272 7 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β Α π α ν τ η σ η 880 α) Για να οριζεται η συναρτηση πρεπει ο παρονομαστης στο τυπο της να ειναι διαφορετικος του μηδενος. Ετσι 9 - x > 0 x < 9 x < 9 x < 3-3 < x < 3 Οποτε Α = (- 3, 3) β) Η C f τεμνει τον αξονα x x αν f(x) = 0 : f( x ) = 0 x + = 0 x + = 0 x = x Η C f τεμνει τον αξονα x x στο σημειο Α(-, 0) Η C f τεμνει τον αξονα y y αν x = 0 : γ) f( ) x + f( ) 0 + f( ) 9 - x 9-0 x = x = x = 3 Η C f τεμνει τον αξονα y y στο σημειο Β(0, 3 ). Η ευθεια εχει εξισωση της μορφης : (ε) : y = αx +β Ετσι Α(-,0) (ε) 0 = α (- ) + β α = α = 3 3 (ε) : y = x + Β(0, ) (ε) = α 0 + β 3 3 β = 3 3 β = 3 3

273 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β 73 Θ ε μ α 6 ο 046 Ενας αθλητης κολυμπαει υπτιο και καιει 9 θερμιδες το λεπτο, ενω οταν κολυμπαει πεταλουδα καιει θερμιδες το λεπτο. Ο αθλητης θελει, κολυμπωντας, να καψει 360 θερμιδες. α) Αν ο αθλητης θελει να κολυμπησει υπτιο 3 λεπτα, ποσα λεπτα πρεπει να κολυμπησει πεταλουδα για να καψει συνολικα 360 θερμιδες. (Μοναδες 5) β) Ο αθλητης αποφασιζει ποσο χρονο θα κολυμπησει υπτιο και στη συνεχεια υπολογιζει ποσο χρονο πρεπει να κολυμπησει πεταλουδα για να καψει 360 θερμιδες. i) Αν x ειναι ο χρονος (σε λεπτα) που ο αθλητης κολυμπαει υπτιο, να αποδειξετε οτι ο τυπος της συναρτησης που εκφραζει το χρονο που πρεπει να κολυμπησει πεταλουδα για να καψει 360 θερμιδες ειναι: f(x) = 30 - x. 3 4 (Μοναδες 7) ii) Να βρειτε το πεδιο ορισμου της συναρτησης του ερωτηματος (βi), στο πλαισιο του συγκεκριμενου προβληματος. (Μοναδες 4) γ) Να χαραξετε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης του ερωτηματος (β), να βρειτε τα σημεια τομης της με τους αξονες και να ερμηνευσετε τη σημασια τους στο πλαισιο του προβληματος. (Μοναδες 9) Εξισωση της ευθειας : (ε) : y = α x + γ. y = f(x) f(x) = αx + β... χ ρ η σ ι μ ο

274 74 Η Σ υ ν α ρ τ η σ η y = α x + β Α π α ν τ η σ η 046 α) Yπτιο : Ο αθλητης θα καψει 9 3 = 88 θερμιδες (καιει 9 θερμιδες το λεπτο) Πεταλουδα: Ο αθλητης θα καψει x (καιει θερμιδες το λεπτο για x λεπτα ) Eτσι 7 x + 88 = 360 x = x = = 6 Ο αθλητης θα κολυμπησει πεταλουδα για 6 λεπτα. β) i) Aν x : ο χρονος (σε λεπτα) που ο αθλητης κολυμπαει υπτιο. y : ο χρονος (σε λεπτα) που ο αθλητης κολυμπαει πεταλουδα. υπτιο καιει 9 θερμιδες το λεπτο, ενω πεταλουδα καιει θερμιδες το λεπτο. Προκυπτει η εξισωση : Δηλαδη (ορισμος συναρτησης) :. ii) To πεδιο ορισμου ειναι Α = [0, 40] γιατι: x 0 αφου x εκφραζει χρονο x 3 9x + y = 360 y = y = 30 - x. 4 x 40 γιατι αν x > 40 τοτε f(x) < 0 (θερμιδες αρνητικες). γ) x 0 40 Η C f τεμνει τον x x στο A(40, 0) f(x) 30 0 Η C f τεμνει τον y y στο B(0, 30) y B 3 f(x) = 30 - x 4 0 A t