Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Transcript

1 Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς

2

3 Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις τρεις φορές την ίδια ένδειξη;. Δίνονται τα σύνολα {x / x 8}, Α = {x / x ά} και Β = { x, / x διαιρέτης του 8}. α) Να γράψετε τα σύνολα Ω, Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn. β) Να προσδιορίσετε τα σύνολα, και τα Α, Β ως προς βασικό σύνολο Ω. γ) Αν επιλέξετε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε την πιθανότητα: i. να ανήκει στο Α ii. να μην ανήκει στο Β iii. να ανήκει στο Α και στο Β iv. να ανήκει στο Α ή στο Β.. Δίνεται ο πίνακας: Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνω πίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων: Α: ο διψήφιος να είναι περιττός. Β: ο διψήφιος να είναι περιττός και πολλαπλάσιο του 9. Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του.. Εξετάσθηκαν 0 κάτοικοι μιας περιοχής ως προς το έτος γέννησης τους. Ο τετραψήφιος αριθμός του έτους γέννησης τους έχει πρώτο ψηφίο το και δεύτερο το 9. Το τρίτο ψηφίο ήταν ή ή 7 και το τέταρτο ψηφίο του ήταν ή. α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών τετραψήφιων αριθμών. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων Α: Το τέταρτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το. Β: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι ή 7. Γ: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε ούτε 7. γ) Να βρείτε τον αριθμό των κατοίκων που έχουν γεννηθεί το 9.. Από το σύνολο {,,, 9 } που περιέχει ως στοιχεία μέτρα γωνιών, επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς. Αν αυτοί εκφράζουν τα μέτρα δύο γωνιών ενός τριγώνου, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο;. Δίνεται η συνάρτηση f x x x, όπου το α καθορίζεται από τη ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού, Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: f x 0 είναι αδύνατη στο. Α: η εξίσωση Β: η εξίσωση f x 0 έχει ρίζα το. 7. Δίνεται η εξίσωση x x 0, όπου τα α, β καθορίζονται από τη ρίψη δύο αμερόληπτων ζαριών. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες.

4 8. Επιλέγουμε τυχαία τρεις από τους αριθμούς,,,. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι ρίζες x x x 0. της εξίσωσης 9. Σε μια συνεστίαση τα των παρευρισκομένων ανδρών και τα των γυναικών είναι παντρεμένοι. Αν είναι γνωστό ότι όλα τα αντρόγυνα παρευρίσκονται στη συνεστίαση, να βρείτε την πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία, να είναι: α) ανύπαντρο β) ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη γυναίκα. 0.Σε ένα ράφι ενός βιβλιοπωλείου βρίσκονται βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής. Αν τα βιβλία Μαθηματικών είναι περισσότερα από τα βιβλία Φυσικής και Ρ(Μ), Ρ(Φ) οι αντίστοιχες πιθανότητες τυχαίας εκλογής βιβλίου Μαθηματικών και Φυσικής αντίστοιχα, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό βιβλίων που πρέπει να υπάρχει στο ράφι, ώστε να ισχύει:. Κανόνες Λογισμού των πιθανοτήτων.η πιθανότητα να κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου η ομάδα Α είναι διπλάσια από τη πιθανότητα να μην το κερδίσει. Να βρείτε τη πιθανότητα η ομάδα Α να κερδίσει το πρωτάθλημα..έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από 0 ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν Α ενδεχόμενο του πειράματος για το οποίο ισχύει: P A P A 0, να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α..Έστω Α,Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες PA 0,7, PB 0, και PA B 0,. Να υπολογίσετε τη πιθανότητα του ενδεχομένου: Κ: πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β. Λ: δεν πραγματοποιείται το Α. Μ: πραγματοποιείται μόνο το Α. Ν: πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. Σ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β..Ένα κουτί περιέχει 0 κορδέλες, από τις οποίες οι 0 είναι πράσινες και οι υπόλοιπες άσπρες ή κόκκινες. Επιλέγουμε μία κορδέλα τυχαία. Η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι, ενώ να είναι άσπρη είναι. α) Να βρεθεί η πιθανότητα η κορδέλα να είναι πράσινη. β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ. γ) Να βρεθεί πόσες άσπρες και πόσες κόκκινες κορδέλες περιέχει το κουτί; δ) Να βρείτε πόσες πράσινες κορδέλες πρέπει να προσθέσουμε στο κουτί ώστε η πιθανότητα να επιλέξουμε άσπρη κορδέλα να γίνει 9..Ο καθηγητής των Μαθηματικών διαπίστωσε ότι στο μάθημα της Γεωμετρίας, από τους μαθητές ενός τμήματος, 8 είχαν κανόνα, είχαν διαβήτη και 0 είχαν κανόνα ή διαβήτη. Αν επιλέξουμε στην τύχη έναν μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να έχει κανόνα και διαβήτη;

5 .Μια τάξη έχει αγόρια και κορίτσια. Τα των αγοριών και τα των κοριτσιών έχουν ποδήλατο. Αν επιλέξουμε τυχαία μέσα από την τάξη ένα άτομο, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο. 7.Από τους μαθητές ενός τμήματος, οι μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 μαθαίνουν Γαλλικά και υπάρχουν 7 μαθητές που μαθαίνουν και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή μέσα από την τάξη. Να βρείτε τη πιθανότητα να μην μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες. 8.Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 0% δεν έχει αερόσακο, το 0% δεν έχει καινούργια λάστιχα και το % δεν έχει ούτε αερόσακο ούτε καινούργια λάστιχα. Επιλέγουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο της έκθεσης. Να βρείτε τη πιθανότητα να έχει αερόσακο και καινούργια λάστιχα. 9. Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(ΑΒ), Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο σύνολο :,,,, 8 0. Να βρείτε τις πιθανότητες α) P(Β), P(ΑB) και P(ΑΒ), β) να μην πραγματοποιηθεί το Α, γ) να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β, δ) να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α,Β, ε) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β. 0.Οι υπάλληλοι μιας εταιρείας είναι άντρες και 8 γυναίκες. Οι από τους άντρες και οι 8 από τις γυναίκες είναι πάνω από 0 ετών. Επιλέγουμε τυχαία ένα υπάλληλο της εταιρείας. α) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : ο υπάλληλος είναι πάνω από 0 ετών, Β : ο υπάλληλος δεν είναι πάνω από 0 ετών και Γ : ο υπάλληλος είναι άντρας. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΓ)..Σε μία βιβλιοθήκη υπάρχουν διάφορα βιβλία.αν επιλέξουμε τυχαία ένα βιβλίο από τη βιβλιοθήκη η πιθανότητα να είναι βιβλίο Αγγλικών είναι 0,7. Η πιθανότητα ένα βιβλίο να είναι Αγγλικών είναι πενταπλάσια από την πιθανότητα να είναι Μαθηματικών. Τέλος, η πιθανότητα ένα βιβλίο Αγγλικών ή Μαθηματικών είναι 0,8. α) Επιλέγουμε ένα βιβλίο στην τύχη. i) Ποια είναι η πιθανότητα το βιβλίο να είναι Αγγλικό Μαθηματικό βιβλίο; ii) Ποια είναι η πιθανότητα το βιβλίο να είναι μόνο Μαθηματικών ή μόνο αγγλικών; β) Αν η βιβλιοθήκη έχει βιβλία Αγγλικών αλλά όχι Μαθηματικών, να βρείτε i) Πόσα είναι τα συνολικά βιβλία της βιβλιοθήκης; ii) Πόσα είναι τα Αγγλικά Μαθηματικά βιβλία;.εξετάσαμε 00 αποφοίτους Λυκείου σχετικά με το αν πέρασαν τη βάση στις Πανελλαδικές εξετάσεις στα Μαθηματικά και στη Φυσική. Στα Μαθηματικά πέρασαν τη βάση 0 απόφοιτοι. Στη Φυσική πέρασαν τη βάση απόφοιτοι, ενώ και στα δύο μαθήματα πέρασαν τη βάση απόφοιτοι. Επιλέγουμε τυχαία ένα απόφοιτο. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων (ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) Να πέρασε τη βάση μόνο στη Φυσική. ii) Να πέρασε τη βάση σε ένα τουλάχιστον μάθημα από τα δύο.

6 iii) Να μην πέρασε τη βάση σε κανένα μάθημα. iv) Να πέρασε τη βάση το πολύ σε ένα μάθημα..σε μια ομάδα που αποτελείται από άνδρες και γυναίκες, 8 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν γκολφ. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε: i) να είναι άνδρας ή να παίζει γκολφ. ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει γκολφ. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει γκολφ..από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το 80% των μαθητών ακούει Ελληνική ή Ξένη Μουσική. Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο μαθητής ακούει Ελληνική Μουσική Β: ο μαθητής ακούει Ξένη Μουσική Αν από το σύνολο των μαθητών το 0% ακούει Ελληνική Μουσική και το % ακούει Ξένη Μουσική τότε: α) Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα: i) ο μαθητής να μην ακούει Ελληνική ούτε Ξένη Μουσική. ii) ο μαθητής να ακούει Ελληνική και Ξένη Μουσική. iii) ο μαθητής να ακούει μόνο Ελληνική Μουσική. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του α) ερωτήματος..σε ένα ενυδρείο, το των ψαριών δεν είναι τροπικά ούτε είναι κόκκινα, ενώ το των ψαριών είναι τροπικό και έχει κόκκινο χρώμα. Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ένα ψάρι: i) να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα ; ii) να είναι τροπικό αλλά να μην έχει κόκκινο χρώμα ή να έχει μόνο κόκκινο χρώμα ; γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι τα μισά από τα ψάρια είναι κόκκινα, να βρείτε την πιθανότητα ένα ψάρι: i) να είναι κόκκινο ii) να είναι τροπικό.έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν PA P A B και PB A, να βρείτε τη πιθανότητα PA B., 7.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με PA 0,7, PB 0, και P A B B A 0,. Να βρείτε τη πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. 8.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι PA B PAPB. Να αποδείξετε ότι: P A B PA PB.

7 9.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με A B. Αν PA και PB, να βρείτε τις πιθανότητες: P A B P B A P B A α) β) γ) 0.Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με PA PB A. Να βρείτε τις πιθανότητες: P A A B P A B A α) β) και και.έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με PA, PB PA B. α) Να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. Ανισοτικές σχέσεις. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες PA 0,7 και PB 0,. Να αποδείξετε ότι: α) Τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα 0, P A B 0, β).έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες PA. Να αποδείξετε ότι: P A B και PB α) β) PA B.Έστω Α,Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με PA P B P A 9P A. Να βρείτε τις πιθανότητες P A,P B. 9 και.έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι P A PB PA B. Να αποδείξετε ότι PA PB.

8 Λύσεις. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις τρεις φορές την ίδια ένδειξη; Έστω Κ το ενδεχόμενο το αποτέλεσμα της ρίψης να είναι Κεφαλή και Γ να είναι γράμματα. Επειδή το πείραμα έχει επαναλήψεις και μόνο δύο δυνατά αποτελέσματα σε κάθε επανάληψη, για να βρούμε το δειγματικό χώρο του πειράματος κάνουμε δενδροδιάγραμμα. Κ Κ Κ Γ Γ Κ Γ Αρχή Γ Ο δειγματικός χώρος είναι: Ω={ ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ}με Ν(Ω) = 8. Έστω Α το ενδεχόμενο να φέρουμε και τις τρείς φορές το ίδιο αποτέλεσμα, τότε: Α={ ΚΚΚ, ΓΓΓ} με Ν(Α) =. NA Επειδή τα ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι: PA. N 8 Κ Γ Κ Γ Κ Γ. Δίνονται τα σύνολα {x / x 8}, Α = {x / x ά} και Β = { x, / x διαιρέτης του 8}. α) Να γράψετε τα σύνολα Ω, Α, Β με αναγραφή των στοιχείων τους και να τα παραστήσετε στο ίδιο διάγραμμα Venn. β) Να προσδιορίσετε τα σύνολα, και τα Α, Β ως προς βασικό σύνολο Ω. γ) Αν επιλέξετε τυχαία ένα στοιχείο του Ω, να βρείτε την πιθανότητα: i. να ανήκει στο Α ii. να μην ανήκει στο Β iii. να ανήκει στο Α και στο Β iv. να ανήκει στο Α ή στο Β. α) Ω = {0,,,,,,, 7, 8}, Α = {0,,,, 8}, Β = {,,, 8} β) A B 0,,,,,8, A B,,8 A,,, 7, B 0,,,,7, γ) i. Είναι Ν(Α) = και Ν(Ω) = 9, οπότε PA N A N 9

9 ii. Είναι Ν(Β ) = άρα iii. PA B iv. PA B N N N A B N B P B N 9 N A B 9 9. Δίνεται ο πίνακας: Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους εννέα διψήφιους αριθμούς του παραπάνω πίνακα. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης των παρακάτω ενδεχομένων: Α: ο διψήφιος να είναι περιττός. Β: ο διψήφιος να είναι περιττός και πολλαπλάσιο του 9. Γ: ο διψήφιος να είναι άρτιος ή πολλαπλάσιο του. Έχουμε, 7,,,9 () () () 9, (), () () 9 7, και,8,, () και () () 9. οπότε. Εξετάσθηκαν 0 κάτοικοι μιας περιοχής ως προς το έτος γέννησης τους. Ο τετραψήφιος αριθμός του έτους γέννησης τους έχει πρώτο ψηφίο το και δεύτερο το 9. Το τρίτο ψηφίο ήταν ή ή 7 και το τέταρτο ψηφίο του ήταν ή. α) Με χρήση δενδροδιαγράμματος, ματος, να προσδιορίσετε το σύνολο των δυνατών τετραψήφιων αριθμών. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων Α: Το τέταρτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι το. Β: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας είναι ή 7. Γ: Το τρίτο ψηφίο του αριθμού της πινακίδας δεν είναι ούτε ούτε 7. γ) Να βρείτε τον αριθμό των κατοίκων που έχουν γεννηθεί το 9. α) Ω={9,9,9,9,97,97} β) Α={9,9,97},Β={9,9,97,97}, Γ={9,9} Ν(Α)=, Ν(Β)=, Ν(Γ) = και Ν(Ω)= () () () (), () και () () () () 7

10 . Από το σύνολο {,,, 9 } που περιέχει ως στοιχεία μέτρα γωνιών, επιλέγουμε τυχαία δύο διαφορετικούς αριθμούς. Αν αυτοί εκφράζουν τα μέτρα δύο γωνιών ενός τριγώνου, ποια είναι η πιθανότητα το τρίγωνο αυτό να είναι ορθογώνιο; Ο δειγματικός χώρος αποτελείται από ζεύγη γωνιών του Ω, οπότε:,,,,,9,,,,9,,9 με Ν(Ω) = Για να είναι το τρίγωνο που έχει δύο από αυτές τις γωνίες ορθογώνιο πρέπει αυτές να έχουν άθροισμα 90. Επειδή 90 P A A N, το ζητούμενο ενδεχόμενο Α είναι:, με Ν(Α) = και. Δίνεται η συνάρτηση f x x x, όπου το α καθορίζεται από τη ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού, Να βρείτε την πιθανότητα των παρακάτω ενδεχομένων: f x 0 είναι αδύνατη στο. Α: η εξίσωση Β: η εξίσωση f x 0 έχει ρίζα το. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι: Ω = {,,,,, } με Ν(Ω) =. Για να είναι η εξίσωση αδύνατη πρέπει: 0 0, άρα Α={,,,,} με Ν(Α) = και PA A. N Για να έχει η εξίσωση ρίζα το πρέπει: και PB B. N f 0 0, άρα Β = {} με Ν(Β) = 7. Δίνεται η εξίσωση x x 0, όπου τα α, β καθορίζονται από τη ρίψη δύο αμερόληπτων ζαριών. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Από το διπλανό πίνακα προκύπτει ότι Ν(Ω) =. Η εξίσωση έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες όταν 0 0 Έστω α η ρίψη του ου ζαριού και β η ρίψη του ου ζαριού. Αν α = τότε αδύνατο. Αν α = τότε αδύνατο. ο Ζάρι ο ζάρι (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) (,) 9 Αν α = τότε άρα β = ή και ευνοϊκές ζαριές είναι οι (,) και (,). 8

11 Αν α = τότε άρα β = ή ή και ευνοϊκές ζαριές είναι οι (,), (,) και (,) Αν α = τότε άρα β = ή ή ή ή ή και ευνοϊκές ζαριές είναι οι (,), (,), (,), (,), (,) και (,). Αν α = τότε 9 άρα β = ή ή ή ή ή και ευνοϊκές ζαριές είναι οι (,), (,), (,), (,), (,) και (,). 7 Αν Α είναι το σύνολο των ευνοϊκών περιπτώσεων, τότε Ν(Α) = = 7, άρα PA 8. Επιλέγουμε τυχαία τρεις από τους αριθμούς,,,. Να βρείτε την πιθανότητα να είναι ρίζες x x x 0. της εξίσωσης x x x 0 x 0 ή x x 0 x x x, Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αποτελείται από όλες τις μη διατεταγμένες τριάδες που δημιουργούν οι αριθμοί,,,, άρα: Ω = {(,, ), (,, ), (,, ), (,, )}. Από τις τριάδες αυτές ευνοϊκές είναι εκείνες που αποτελούνται από λύσεις της εξίσωσης, άρα η (,, ). Αν Α το ζητούμενο ενδεχόμενο, τότε Ν(Α) = και PA. 9. Σε μια συνεστίαση τα των παρευρισκομένων ανδρών και τα των γυναικών είναι παντρεμένοι. Αν είναι γνωστό ότι όλα τα αντρόγυνα παρευρίσκονται στη συνεστίαση, να βρείτε την πιθανότητα ένα άτομο που επιλέγεται τυχαία, να είναι: α) ανύπαντρο β) ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη γυναίκα. Έστω x οι άνδρες και y οι γυναίκες που παρευρίσκονται στη συνεδρίαση. Επειδή όλα τα αντρόγυνα παρευρίσκονται στη συνεστίαση, ισχύει ότι: y 0 0 x y x y y 8 9 α) Έστω Α το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγεται τυχαία να είναι ανύπαντρο. Επειδή ανύπαντροι είναι το των ανδρών και το των γυναικών, είναι: 0 8 NA x y y y y y y y

12 Για το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου, δηλαδή για το πλήθος των N x y y y y y y, οπότε η πιθανότητα του y NA 9 P A. N 9 9 y 9 παρευρισκομένων, ισχύει: ενδεχομένου Α είναι: β) Έστω Β το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγεται τυχαία να είναι ανύπαντρος άντρας ή παντρεμένη γυναίκα, τότε: NB x y y y y y y y y NB 9 0 PB. N 9 9 y 9 0.Σε ένα ράφι ενός βιβλιοπωλείου βρίσκονται βιβλία Μαθηματικών και Φυσικής. Αν τα βιβλία Μαθηματικών είναι περισσότερα από τα βιβλία Φυσικής και Ρ(Μ), Ρ(Φ) οι αντίστοιχες πιθανότητες τυχαίας εκλογής βιβλίου Μαθηματικών και Φυσικής αντίστοιχα, να βρείτε τον ελάχιστο αριθμό βιβλίων που πρέπει να υπάρχει στο ράφι, ώστε να ισχύει:. Έστω x τα βιβλία Φυσικής, τότε τα βιβλία Μαθηματικών είναι x +. N x x x. Για το πλήθος των στοιχείων του δειγματικού χώρου ισχύει ότι: x x x x x άρα x min. x x Τότε x 0, οπότε ο ελάχιστος αριθμός βιβλίων που πρέπει να υπάρχει στο ράφι είναι min βιβλία Φυσικής και 0 βιβλία Μαθηματικών, δηλαδή βιβλία. Κανόνες Λογισμού των πιθανοτήτων.η πιθανότητα να κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου η ομάδα Α είναι διπλάσια από τη πιθανότητα να μην το κερδίσει. Να βρείτε τη πιθανότητα η ομάδα Α να κερδίσει το πρωτάθλημα. Έστω Α το ενδεχόμενο να κερδίσει το πρωτάθλημα ποδοσφαίρου η ομάδα Α, τότε: PA PA PA PA PA PA PA PA.. Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης που αποτελείται από 0 ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν Α ενδεχόμενο του πειράματος για το οποίο ισχύει: P A P A 0, να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α. P A P A 0 P A P A 0 P A P A 0 0

13 . 7 9, PA, P A P A 0 7 P A απορρίπτεται ή 7 A A PA A 0 N 0.Έστω Α,Β ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες PA 0,7, PB 0, και PA B 0,. Να υπολογίσετε τη πιθανότητα του ενδεχομένου: Κ: πραγματοποιείται τουλάχιστον ένα από τα Α και Β. Λ: δεν πραγματοποιείται το Α. Μ: πραγματοποιείται μόνο το Α. Ν: πραγματοποιείται μόνο ένα από τα Α και Β. Σ: δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β. PK PA B PA PB PA B 0, 7 0, 0, 0,8 P P A P A 0, 7 0, PM PA B PA PA B 0, 7 0, 0, Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ασυμβίβαστα, ισχύει ότι: PN P A B B A PA B PB A 0, PB PA B 0, 0, 0, 0, P P A B PA B 0,8 0,.Ένα κουτί περιέχει 0 κορδέλες, από τις οποίες οι 0 είναι πράσινες και οι υπόλοιπες άσπρες ή κόκκινες. Επιλέγουμε μία κορδέλα τυχαία. Η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι, ενώ να είναι άσπρη είναι. α) Να βρεθεί η πιθανότητα η κορδέλα να είναι πράσινη. β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ. γ) Να βρεθεί πόσες άσπρες και πόσες κόκκινες κορδέλες περιέχει το κουτί; δ) Να βρείτε πόσες πράσινες κορδέλες πρέπει να προσθέσουμε στο κουτί ώστε η πιθανότητα να επιλέξουμε άσπρη κορδέλα να γίνει 9. Έστω Π: Το ενδεχόμενο η κορδέλα να είναι πράσινη, Α: Το ενδεχόμενο η κορδέλα να είναι άσπρη Κ: Το ενδεχόμενο η κορδέλα να είναι κόκκινη 0 α). 0 β) Τα ενδεχόμενα Α και Π είναι ασυμβίβαστα οπότε:

14 γ) K, , Άρα το κουτί έχει 0 άσπρες μπάλες και 0 κόκκινες μπάλες δ) Έστω ότι προσθέτουμε x άσπρες μπάλες.τότε: 0 x 00 x 80 9x x 0 x. 9 0 x Άρα πρέπει να προσθέσουμε άσπρες μπάλες.. Ο καθηγητής των Μαθηματικών διαπίστωσε ότι στο μάθημα της Γεωμετρίας, από τους μαθητές ενός τμήματος, 8 είχαν κανόνα, είχαν διαβήτη και 0 είχαν κανόνα ή διαβήτη. Αν επιλέξουμε στην τύχη έναν μαθητή, ποια είναι η πιθανότητα να έχει κανόνα και διαβήτη; Έστω Α το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέγεται να έχει κανόνα και Β να έχει διαβήτη, τότε: N A B 0. Ν(Ω) =, Ν(Α) = 8, Ν(Β) = και Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: P A B P A P B P A B 8 0 PA B PA PB PA B. Μια τάξη έχει αγόρια και κορίτσια. Τα των αγοριών και τα των κοριτσιών έχουν ποδήλατο. Αν επιλέξουμε τυχαία μέσα από την τάξη ένα άτομο, να βρεθεί η πιθανότητα να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο. Έστω Α το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγεται να είναι κορίτσι και Β να έχει ποδήλατο, τότε: N 7, NA, NB και NA B 9 Το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέγεται να είναι κορίτσι ή να έχει ποδήλατο είναι το A B, οπότε: 7 9 PA B PA PB PA B Από τους μαθητές ενός τμήματος, οι μαθαίνουν Αγγλικά, οι 8 μαθαίνουν Γαλλικά και υπάρχουν 7 μαθητές που μαθαίνουν και τις δύο γλώσσες. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή μέσα από την τάξη. Να βρείτε τη πιθανότητα να μην μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες.

15 Έστω Α το ενδεχόμενο ο μαθητής που επιλέγεται να μαθαίνει Αγγλικά και Β Γαλλικά, τότε: N N A N B 8 N A B 7.,, και Το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες είναι το A B. 8 7 Είναι PA B PA PB PA B και P A B PA B. 8. Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 0% δεν έχει αερόσακο, το 0% δεν έχει καινούργια λάστιχα και το % δεν έχει ούτε αερόσακο ούτε καινούργια λάστιχα. Επιλέγουμε τυχαία ένα αυτοκίνητο της έκθεσης. Να βρείτε τη πιθανότητα να έχει αερόσακο και καινούργια λάστιχα. Έστω Α το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο που επιλέγεται να έχει αερόσακο και Β να έχει καινούργια λάστιχα, τότε: 0 0 PA, PB και P A B Το ενδεχόμενο το αυτοκίνητο που επιλέγεται να έχει αερόσακο και καινούργια λάστιχα είναι το A B Είναι PA PA PA, PB PB PB και P A B PA B PA B P A B P A P B P A B Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: PA B PA PB PA B Έστω Α,Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(ΑΒ), Ρ(ΑΒ) είναι διαφορετικές ανά δύο και ανήκουν στο σύνολο :,,,, 8 0. Να βρείτε τις πιθανότητες α) P(Β), P(ΑB) και P(ΑΒ), β) να μην πραγματοποιηθεί το Α, γ) να πραγματοποιηθεί το Α και να μην πραγματοποιηθεί το Β, δ) να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α,Β, ε) να πραγματοποιηθεί το πολύ ένα από τα Α,Β. α) Επειδή 0(),(),() και () A B A A B 0, έχουμε :, PB, αφού β)

16 οπότε γ), ί δ) ε) 0.Οι υπάλληλοι μιας εταιρείας είναι άντρες και 8 γυναίκες. Οι από τους άντρες και οι 8 από τις γυναίκες είναι πάνω από 0 ετών. Επιλέγουμε τυχαία ένα υπάλληλο της εταιρείας. α) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α : ο υπάλληλος είναι πάνω από 0 ετών, Β : ο υπάλληλος δεν είναι πάνω από 0 ετών και Γ : ο υπάλληλος είναι άντρας. β) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(ΑΒ) και Ρ(ΑΓ). α) A β) και P A PA P PA Σε μία βιβλιοθήκη υπάρχουν διάφορα βιβλία.αν επιλέξουμε τυχαία ένα βιβλίο από τη βιβλιοθήκη η πιθανότητα να είναι βιβλίο Αγγλικών είναι 0,7. Η πιθανότητα ένα βιβλίο να είναι Αγγλικών είναι πενταπλάσια από την πιθανότητα να είναι Μαθηματικών. Τέλος, η πιθανότητα ένα βιβλίο Αγγλικών ή Μαθηματικών είναι 0,8. α) Επιλέγουμε ένα βιβλίο στην τύχη. i) Ποια είναι η πιθανότητα το βιβλίο να είναι Αγγλικό Μαθηματικό βιβλίο; ii) Ποια είναι η πιθανότητα το βιβλίο να είναι μόνο Μαθηματικών ή μόνο αγγλικών; β) Αν η βιβλιοθήκη έχει βιβλία Αγγλικών αλλά όχι Μαθηματικών, να βρείτε i) Πόσα είναι τα συνολικά βιβλία της βιβλιοθήκης; ii) Πόσα είναι τα Αγγλικά Μαθηματικά βιβλία; Έστω Α: Το ενδεχόμενο το βιβλίο να είναι Αγγλικών, Β: Το ενδεχόμενο το βιβλίο να είναι Μαθηματικό βιβλίο

17 α) i) 0,7 0,7 0, 0,8. ii), ί 0, 0,0 0,7 0,0 0 0, 0, 0 0, 7 και 0,7 0, 0,, άρα β) i) 0, 00 βιβλία 0, Άρα η βιβλιοθήκη έχει συνολικά 00 βιβλία. 0, 0 0, ii) Άρα η βιβλιοθήκη έχει συνολικά 8 Αγγλικά Μαθηματικά βιβλία. 8 Βιβλία..Εξετάσαμε 00 αποφοίτους Λυκείου σχετικά με το αν πέρασαν τη βάση στις Πανελλαδικές εξετάσεις στα Μαθηματικά και στη Φυσική. Στα Μαθηματικά πέρασαν τη βάση 0 απόφοιτοι. Στη Φυσική πέρασαν τη βάση απόφοιτοι, ενώ και στα δύο μαθήματα πέρασαν τη βάση απόφοιτοι. Επιλέγουμε τυχαία ένα απόφοιτο. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων (ορίζοντας τα κατάλληλα ενδεχόμενα) τα παραπάνω δεδομένα. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ο μαθητής: i) Να πέρασε τη βάση μόνο στη Φυσική. ii) Να πέρασε τη βάση σε ένα τουλάχιστον μάθημα από τα δύο. iii) Να μην πέρασε τη βάση σε κανένα μάθημα. iv) Να πέρασε τη βάση το πολύ σε ένα μάθημα. α) Έστω Α : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να πέρασε τη βάση στα Μαθηματικά Β : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να πέρασε τη βάση στη Φυσική A B : το ενδεχόμενο ένας μαθητής να πέρασε τη βάση και στα δύο μαθήματα () 0 () β) () 0,, () () 00 () 00 () () 0, () 00 0,, i) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να πέρασε τη βάση μόνο στη Φυσική είναι το. Είναι: ()()() 0, 0, 0, ii) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να πέρασε τη βάση σε ένα τουλάχιστον μάθημα από τα δύο είναι το. Είναι: ()()()() 0, 0, 0, 0,

18 iii)το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην πέρασε τη βάση σε κανένα μάθημα είναι το (). Είναι: () () 0, 0, iv) Το ενδεχόμενο να πέρασε τη βάση το πολύ σε ένα μάθημα είναι το ().Είναι: () () 0, 0,9.Σε μια ομάδα που αποτελείται από άνδρες και γυναίκες, 8 από τους άνδρες και από τις γυναίκες παίζουν γκολφ. Επιλέγουμε τυχαία ένα από τα άτομα αυτά. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε: i) να είναι άνδρας ή να παίζει γκολφ. ii) να μην είναι άνδρας και να παίζει γκολφ. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει γκολφ. Έστω Α: το ενδεχόμενο το άτομοο να είναι άντρας και Β: το ενδεχόμενο το άτομο να παίζει γκολφ α) i) A B = το ενδεχόμενο να είναι άντρας ή να παίζει γκολφ ii) Β - Α : να μην είναι άνδρας και να παίζει γκολφ. β) Το ενδεχόμενο το άτομο που επιλέχθηκε να είναι γυναίκα και να παίζει γκολφ είναι το ίδιο με το να μην είναι άντρας και να παίζει γκολφ, δηλαδή το Β - Α. () () 0,. () 0.Από μια έρευνα μεταξύ μαθητών ενός Λυκείου της χώρας, προέκυψε ότι το 80% των μαθητών ακούει Ελληνική ή Ξένη Μουσική. Επιλέγουμε ένα μαθητή στην τύχη και ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: ο μαθητής ακούει Ελληνική Μουσική Β: ο μαθητής ακούει Ξένη Μουσική Αν από το σύνολο των μαθητών το 0% ακούει Ελληνική Μουσική και το % ακούει Ξένη Μουσική τότε: α) Να ορίσετε με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα ενδεχόμενα: i) ο μαθητής να μην ακούει Ελληνική ούτε Ξένη Μουσική. ii) ο μαθητής να ακούει Ελληνική ληνική και Ξένη Μουσική. iii) ο μαθητής να ακούει μόνο Ελληνική Μουσική. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα πραγματοποίησης των ενδεχομένων του α) ερωτήματος. α) i) (A) ii) iii) Α-Β

19 β) Είναι Ρ(Α)=0%=0,, Ρ(Β)= =%=0,, () 80% 0,8 () () 0,8 0, ()()()() ()()()() 0, 0, 0,8 0, ()()() 0, 0, 0,..Σε ένα ενυδρείο, το των ψαριών δεν είναι τροπικά ούτε είναι κόκκινα, ενώ το των ψαριών είναι τροπικό και έχει κόκκινο χρώμα. Επιλέγουμε τυχαία ένα ψάρι Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι τροπικό και Β: το ενδεχόμενο το ψάρι να είναι κόκκινο. α) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn και με χρήση της γλώσσας των συνόλων τα δεδομένα του προβλήματος. β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα ένα ψάρι: i) να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα ; ii) να είναι τροπικό αλλά να μην έχει κόκκινο χρώμα ή να έχει μόνο κόκκινο χρώμα ; γ) Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι τα μισά από τα ψάρια είναι κόκκινα, να βρείτε την πιθανότητα ένα ψάρι: i) να είναι κόκκινο ii) να είναι τροπικό α) () : το ψάρι δεν είναι τροπικό ούτε είναι κόκκινο : είναι τροπικό και έχει κόκκινο χρώμα β) i) Το ενδεχόμενο ο μαθητής να είναι τροπικό ή να έχει κόκκινο χρώμα είναι το. Είναι (), () και () ()() () ii) ()()()() () γ) i) () () () () ii) ()()()() 9 ()() 9 7 7

20 . Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Αν PA P A B και PB A, να βρείτε τη πιθανότητα PA B., PA B PA PA B PA B PA B 7 PB A PB PA B PB PB 7 9 PA B PA PB PA B 7. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με PA 0,7, PB 0, και P A B B A 0,. Να βρείτε τη πιθανότητα να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α και Β. PA 0, 7 PA 0, 7 0, 7 PA PA 0, Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ασυμβίβαστα, ισχύει ότι: P A B B A 0, PA B PB A 0, PA PA B PB PA B 0, 0, 0, P A B 0, 0, PA B PA B 0, Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: PA B PA PB PA B 0, 0, 0, 0,. Το ενδεχόμενο ο μαθητής να μην μαθαίνει καμιά από τις δύο γλώσσες είναι το A B. P A B PA B 0, 0,. 8. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι PA B P A P B. Να αποδείξετε ότι: P A B P A P B. P A B PA B PA PB PA B P A B PA PB PAPB PA PB PA P A B PA PB PAPB 8

21 9. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με A B και PB, να βρείτε τις πιθανότητες: B P B. Αν PA α) PA β) A γ) PB A α) Επειδή A B είναι A B B β) Επειδή B A B A Όμως επειδή A., άρα PA B PB είναι PB A PB A PB PA B B είναι A B A., άρα PB A PB PA P B A P B P A P B A P A γ) 0. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με PA PB A. Να βρείτε τις πιθανότητες: P A A B P A B A α) β) α) Είναι A B B A και από το διπλανό διάγραμμα Venn διαπιστώνουμε ότι τα ενδεχόμενα Α(κόκκινο) και B A (πράσινο) δεν έχουν κοινά στοιχεία (είναι ασυμβίβαστα), άρα A A B P A A B 0. και β) Επειδή τα ενδεχόμενα Α και B A όπως είδαμε είναι ασυμβίβαστα, έχουμε: PA B A PA PB A PA PB A. και και.έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με PA, P B P A B. α) Να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Να βρείτε τη πιθανότητα να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. α) Αν τα ενδεχόμενα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα θα ίσχυε ότι: PA B PA PB 9

22 0 9 που είναι άτοπο. Άρα τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β) Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: PA B PA PB PA B PA B PA PB PA B Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το A B B A. Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B A είναι ασυμβίβαστα, ισχύει ότι: P A B B A PA B PB A PA PA B PB PA B P A B B A Ανισοτικές σχέσεις. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες PA 0,7 και PB 0,. Να αποδείξετε ότι: α) Τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα 0, P A B 0, β) α) Αν τα Α και Β ήταν ασυμβίβαστα, τότε: PA B PA PB 0, 7 0,, άτοπο. Άρα τα Α,Β δεν είναι ασυμβίβαστα. είναι PA B PB PA B 0, Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: PA B PA PB PA B PA B PA PB PA B 0, 7 0, PA B, PA B Είναι 0, PA B 0,, PA B PA B, 0, PA B ισχύει. β) Επειδή A B B. Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες PA. Να αποδείξετε ότι: P A B και PB α) β) PA B α) Επειδή A B B P A B P A P B P A B είναι PA B PB PA B Από τον προσθετικό νόμο έχουμε: 7 P A B P A P B P A B P A B P A B 0

23 7 7 P A B P A B P A B P A B ισχύει. Είναι β) Γνωρίζουμε ότι A B A B, άρα PA B P A B PA B PA B PA PB PA B PA B PB που ισχύει αφού A B B PB PA B. Έστω Α,Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω με PA P B P A 9P A. Να βρείτε τις πιθανότητες P A,P B. 9 και Επειδή τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, ισχύει ότι PA B PA PB.Όμως PA 9 P A PA PB PA 9PA P A PA 9PA 9P A 9P A P A P A 9P A 0 9P A P A 0 P A 0. Όμως PA 0, άρα PA 0 PA 0 PA PA Τότε PB 9. P A B άρα. Έστω Α,Β ενδεχόμενα δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ότι P A P B P A B. Να αποδείξετε ότι PA PB. PB P A Επειδή A B A είναι PA B PA PA P A P B P A P B P A P B P A (). PB P A Επειδή A B B είναι PA B PB PB P A P B P B P A P B P A P B (). Από τις σχέσεις () και () ισχύει ότι PA PB. Στέλιος Μιχαήλογλου - Δημήτρης Πατσιμάς