ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 1 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Προθεσµία παράδοσης 10/11/09. ασκούνται οι δυνάµεις των ελατηρίων k

Transcript

1 //9 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 9- ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσµία παράδοσης //9 Άσκηση Α) Θεωρούµε µετατόπιση της µάζας m, από το σηµείο ισορροπίας του ελατηρίου k, κατά και αντίστοιχα µετατόπιση κατά της µάζας m από το σηµείο ισορροπίας του ελατηρίου k και την απόσταση της µάζας m από το σηµείο ισορροπίας του ελατηρίου k, όπως στο σχήµα. Στη µάζα m ασκούνται οι δυνάµεις των ελατηρίων k, k και η οριζόντια συνιστώσα της τάσης της ράβδου T sinθ, ενώ η κάθετη συνιστώσα και το βάρος εξουδετερώνονται από την αντίδραση του τραπεζιού. Στη µάζα m ασκείται η δύναµη του ελατηρίου k ενώ το βάρος της εξουδετερώνεται από την αντίδραση του τραπεζιού. Στη µάζα m ασκείται το βάρος της και η τάση της ράβδου. Για µικρές γωνίες θεωρούµε την κάθετη συνιστώσα της τάσης ίση µε το βάρος T cosθ mg T mg καθώς για θ, cosθ. Εφαρµόζοντας το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για την κάθε µάζα και ειδικά για τις οριζόντιες µετατοπίσεις και χρησιµοποιώντας sinθ έχουµε l d ( m ) : m k k ( ) + T sinθ mg mg ( k + k ) + k + mg k + k + + k + l l l d + k ( m ) : m ( ) d θ ( m ) : m T sin mg l Αντικαθιστώντας τα δεδοµένα του προβλήµατος παίρνουµε τις εξισώσεις κίνησης του συστήµατος d ( ) ω d ( ) ω d ( ) ω Β) Οι εξισώσεις κίνησης του συστήµατος γράφονται σε µορφή πίνακα ως

2 d 4 ω Αντικαθιστώντας τη γενική µορφή ενός κανονικού τρόπου ταλάντωσης cos( ωt + φ), i, παίρνουµε i i 4 ω ω 4ω ω ω ω ω ω ω () ω ω ω Οπότε έχουµε λύσεις για 4ω ω ω ω det ω ω ω ω ω ω 4 4 ω ( ω ω ) + ( ω ω ) ( 4ω ω )( ω ω ) ω 4 4 ( ω ω ) ω ω ω ω ( ω ω )( ω ω )( ω ω ) όπου αναπτύξαµε την ορίζουσα ως προς την τελευταία στήλη και επιλύσαµε τη δευτεροβάθµια ω 7ω ω + 6ω ω ± ω ω 6 ω, ω Συνεπώς οι συχνότητες των κανονικών τρόπων ταλάντωσης είναι ω ω, ω, 6ω Γ) Οι λόγοι των πλατών των κανονικών τρόπων ταλάντωσης υπολογίζονται από την () Εποµένως έχουµε ω ω ω + ω ω + ω ω ω ω ω ω ω ω 6ω ω ω ω ω

3 Άσκηση (Α) Εφαρµόζουµε τον ακόλουθο τύπο για το φαινόµενο Doppler ηχητικών u uo κυµάτων: f f, όπου u η ταχύτητα του ήχου, uo και u s η ταχύτητες του u u s παρατηρητή και της πηγής αντίστοιχα. f και f είναι η συχνότητα εκποµπής της πηγής και η συχνότητα που µετράει ο παρατηρητής αντίστοιχα. Θεωρούµε θετική φορά των ταχυτήτων τη διεύθυνση πηγής παρατηρητή. Όταν το αυτοκίνητο πλησιάζει τον παρατηρητή η συχνότητα που αυτός ακούει είναι (η ταχύτητα της πηγής έχει θετική φορά): f u f u u s, () ενώ όταν το αυτοκίνητο αποµακρύνεται από τον παρατηρητή είναι (η ταχύτητα της πηγής έχει αρνητική φορά): f u f u + u s. () ιαιρούµε τις () και () κατά µέλη και έχουµε: f u + us f f 7 56 us u.45 m / s. m / s f u u f + f s Λύνουµε την () ως προς f : u u s.45 f f 7 Hz 6.8Hz u.45 (Β) Θεωρούµε ότι ο παρατηρητής κινείται µε την θετική φορά και έχουµε: u uo f 8 f f uo u ( u us ).45 m / s (.45 ) m / s 9.74 m / s u us f 6.8 Ο παρατηρητής πρέπει να κινείται µε ταχύτητα 9.74m/s και µε αρνητική φορά, δηλαδή να κινείται προς το αυτοκίνητο ενώ αυτό τον πλησιάζει. Γ) Όταν το αυτοκίνητο τον προσπεράσει η συχνότητα που θα ακούει ο παρατηρητής θα είναι (η φορά της ταχύτητας του παρατηρητή είναι θετική πλέον, ενώ η φορά της ταχύτητας της πηγής είναι αρνητική): u uo f f f 6.8 Hz 48.5Hz u + u.45 + s Άσκηση ) Έστω,, οι οριζόντιες µετατοπίσεις των τριών µαζών από ένα σταθερό σηµείο στον οριζόντιο άξονα και θ και ϕ οι γωνίες που σχηµατίζουν οι δύο µπάρες µε την κατακόρυφο όπως στο Σχήµα. Εφαρµόζοντας το δεύτερο νόµο του Νεύτωνα για κάθε µια από τις τρεις µάζες και για µικρές γωνίες θ και ϕ έχουµε N

4 Από τις (4),(6) βρίσκουµε d T m sin ϑ () T cos θ + mg N () d θ + m T sin T sin ϕ () T cosθ T cos ϕ + mg (4) d T m sin ϕ (5) T cos ϕ mg (6) T mg cosϕ ( + ) m m g T cosθ Αντικαθιστώντας στις (),(),(5) βρίσκουµε d m g ( m + m ) tan θ (7) d m g ( m + m ) tanθ + mg tan ϕ (8) d m mg tan ϕ (9) Για µικρές γωνίες, θ και ϕ tanθ sin θ, tanϕ sinϕ l l και αντικαθιστώντας στις (7),(8),(9) καταλήγουµε στις εξισώσεις κίνησης d g ( m + m ) ( ) l m ( m + m ) m ( ) ( ) d g g + l m l m d g ( ) l Β) Αντικαθιστώντας τα δεδοµένα του προβλήµατος οι εξισώσεις κίνησης παίρνουν τη µορφή d g ( ) ω + ω () 4l 4 4 d g g 7 ( ) + ( ) ω ω + ω () 4l l d g g g ( ) ω ω () l l l 4

5 g όπου ω. Οι παραπάνω εξισώσεις γράφονται σε µορφή πίνακα ως l d / 4 + / 4 ω / 7 / Αντικαθιστώντας τη γενική µορφή ενός κανονικού τρόπου ταλάντωσης i i cos( ωt + ϕ ) καταλήγουµε σε / 4 + / 4 ω ω / 7 / ω / 4 + ω ω / 4 ω / 7 ω / ω ω + ω ω + ω Το παραπάνω οµογενές σύστηµα έχει λύσεις όταν ω / 4 + ω ω / det ω / 7 ω / + ω ω ω ω ω + ω ω 4 4 ω ω ω ω ω ω ω + ω ω, ω ω.9 ω, ω ω.ω Ο κανονικός τρόπος ταλάντωσης µε µηδενική συχνότητα αντιστοιχεί σε µεταφορική κίνηση του συστήµατος. Άσκηση 4 Α) Αν µ η γραµµική πυκνότητα του σχοινιού, τότε µικρή µάζα dm µ d ισορροπεί υπό την επίδραση του βάρους του και των τάσεων T ( + d), προς τα πάνω, και T ( ), προς τα κάτω. T ( + d) T ( ) + dmg T ( + d) T () gµ d T'() gµ T ( ) gµ Β) Έστω ότι η διαταραχή ξ (,) t είναι κατά µήκος του οριζόντιου άξονα. Αν σε ύψος η T ( ) σχηµατίζει µε την κατακόρυφο µικρή γωνία α, τότε d ξ(,) t sinα tanα d και η οριζόντια συνιστώσα της δύναµης (επαναφοράς) 5

6 df T( + d) T( ) ( Tsinα) ( Tsinα) + d ξ ξ d ξ(,) t T T T ( ) d ( T' ξ+ Tξ) d d + d gµ d( ξ + ξ ) (βλ. και Κουρή παράδ. 5 κεφ 4.4). Άρα η προκαλούµενη επιτάχυνση της dm είναι ɺɺ ξɺɺ df/ dm g( ξ + ξ ) η εξίσωση διαδόσεως της διαταραχής: ξ(,) t ξ(,) t ξ(,) t ξɺɺ g( ξ+ ξ), η : g + t Γ) Η ξ ' εκφράζει την απόκλίση από την κατακόρυφο, και η ξ '' την καµπυλότητα. Εξ υποθέσεως και οι δύο είναι µικρές. Αλλά, αυξανοµένου του ύψους,, ο β' όρος ξ αυξάνει, ενώ ο ξ ' παραµένει µικρός. Άρα είναι εύλογο ξ(,) t ξ(,) t. ) Αν στην εξίσωση διαδόσεως της διαταραχής παραλειφθεί ο ξ, τότε ξ gξ tt οπότε η ταχύτητα διαδόσεως, από την µορφή της διαφορικής εξίσωσης του κύµατος, ξtt vξ, είναι v () g. Ε) Αν Τ ο χρόνος διαδόσεως, ολοκληρώνοντας την ταχύτητα για από εώς L, και για t από έως Τ, L T L / / T ( ) d L v g d g gt T / g Κόβοντας το σχοινί σε µήκος L' έτσι ώστε Τ ' T/, πρέπει L L ' 4 Άσκηση 5 Α) Εστω οτι η µεµβράνη είναι πακτωµένη στις πλευρές, L και, και ελεύθερη στην πλευρά L Κατά µήκος του άξονα η διακύµανση άρχεται µε κόµβο και καταλήγει σε κόµβο, ενώ κατά µήκος του άξονα άρχεται µε κόµβο και καταλήγει σε κοιλία. Άρα το στάσιµο κύµα έχει εξίσωση (.5 lonso-finn) ξ( t,, ) ξ sinksinksin( ωt+ φ) 6

7 όπου ( ) ( ) ξ, L, t sin k L k L n π, n,, π ξ ( L, t, ) cos( kl ) kl ( n + ), n,,, όπου n,,,..., n,,... ακέραιοι (αν ήταν n η µεµβράνη θα ηρεµούσε) και η δεύτερη εξίσωση περιγράφει οτι η διακύµανση καταλήγει σε κοιλία, αφού η ξ τάση είναι οριζόντια, οπότε εκεί. Από το κυµατάνυσµα k ( k, k) k k + k, έπεται ( ) n + n υ υ Τ k ( n ) π n π Τ ν λ π π σ 4 σ 4 L L L L. Όπου χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι αν σ η επιφανειακή πυκνότητα µάζας, τότε η Τ ταχύτητα διαδόσεως είναι v και το σχετικό τύπο για τη συχνότητα κάθε σ αρµονικής (βλ , και παραδειγµα 8. lonso-finn) Β) Η ελάχιστη συχνότητα είναι όταν n, n. Το αντίστιχο µήκος κύµατος Τ ν + σ L 4L λ + L 4L Γ) Η ισοφασική γραµµή, έστω a ( a, a) k ( k, k), µε εσωτερικό γινόµενο a k a k ak + ak a k Άρα η διεύθυνση της ισοφασικής γραµµής ορίζεται από a ± /L L ± a ± / L L, είναι κάθετη στην διεύθυνση διαδόσεως όπου σε κάθε πρόσηµο αντιστοιχούν δύο κύµατα, οδεύον και ανακλώµενο k, k, k, k k, k, k, k. ( )( ) και ( )( ) 7

8 Άσκηση 6 (Α) Το κύµα αποµάκρυνσης είναι ξ ξ sin(k ωt) ξ sin π( λ νt) όπου k το κυµατάνυσµα, λ το µήκος κύµατος, ω η κυκλική και ν η συχνότητα του κύµατος. Το κύµα πίεσης δίνεται από την σχέση (8.4) του βιβλίου του lonso οπου κ το µέτρο ελαστικότητας όγκου: p p p κ ξ κkξ cos(k ωt) κkξ sin(k ωt π ) Το κύµα πυκνότητας δίνεται αντίστοιχα από την σχέση (8.), δηλ. ρ ρ ρ ρ kξ cos(k ωt) ρ kξ sin(k ωt π ) Παρατηρούµε ότι η διαφορά φάσης των κυµάτων πίεσης και πυκνότητας από το κύµα µετατόπισης είναι π/. Ισχύει ω υk, όπου υ κ /ρ. Από το Παράδειγµα 8.6 και την σχέση υ.55 T ms - βρίσκουµε για Τ7+598Κ την ταχύτητα ήχου υ 46. ms -. Συνεπώς κ υ ρ.5 5 kgm s B) Τα πλάτη των τριών κυµάτων είναι αντίστοιχα ξ o, κkξ.4 5 Nm και ρ kξ.5 9 Kgm, όπου k πν /υ 8.6m. Στο σχήµα σχεδιάζουµε τις ποσότητες διαιρεµένες µε το αντίστοιχο πλάτος σαν συνάρτηση της αποµάκρυνσης (σε m). Η καµπύλη µε τη διακεκοµµένη γραµµή αντιστοιχεί στο κύµα αποµάκρυνσης ενώ αυτή µε τελείες στα κύµατα πίεσης και πυκνότητας. (Γ) Από το Παράδειγµα 8. έχουµε για την ένταση του κύµατος ( ) I p κkξ π υρ ν ξ υρ υρ Μετά από αντικατάσταση των τιµών βρίσκουµε I συνέπεια I.79 B log log.5 db I -.79 Wm και κατα 8

9 Άσκηση 7 Ισχύει dk υ g dω d ω dω υ υ ω dυ υ dω υ nωn υ υ n υ και άρα υ g υ /( n) Έχουµε οµαλή (αντ. ανώµαλη) όταν dυ /dλ > (dυ /dλ < ). Εκφράζουµε την σχέση 8.58 συναρτήσει του µήκους κύµατος: υ g υ λ dυ dλ Παρατηρούµε ότι για dυ /dλ > ισχύει υ g < υ ενώ για dυ /dλ < έχουµε υ g > υ. Από την σχέση ανάµεσα στις δύο ταχύτητες βρίσκουµε οµαλή (ανώµαλη) διασπορά για n > ή n < ( <n<). Άσκηση 8 (Α) Το χωρικό µέρος του στάσιµου κύµατος στις δύο περιοχές της ράβδου είναι ( ) sin( k ) + B cos( k ) < < L ( ) ( ) C sin[ k( L )] + D cos[ k( L )] L < < L όπου L L + L. Από τις οριακές συνθήκες έχουµε: () B () π ( L ) sin( kl ) sin( L ) λ L / n, n,,,... () λ ( L ) D () π ( L) sin[ k ( L L )] sin( kl ) sin( L ) λ λ L / n, n,,,... G Οι συχνότητες ταλάντωσης είναι f υ / λ και f υ / λ, όπου υ, ρ υ G οι ταχύτητες διάδοσης εγκαρσίων κυµάτων στις δύο ράβδους αντίστοιχα. ρ Αφού έχουµε στάσιµο κύµα, όλα τα σηµεία της ράβδου ταλαντώνονται µε την ίδια συχνότητα, άρα f f f G G n G n G n L G (5) λ ρ λ ρ L ρ L ρ n L G ρ Από τον Πίνακα 8. βρίσκουµε ότι οι διατµητικές τάσεις του αλουµινίου και του σιδήρου είναι G.4 N/m και G.8 N/m αντίστοιχα. Με αντικατάσταση στη σχέση (5) καταλήγουµε στη σχέση n / n.5 που πρέπει να ισχύει προκειµένου να έχουµε στάσιµο κύµα. Η ελάχιστη συχνότητα προκύπτει για µέγιστο µήκος κύµατος, άρα µε βάση τις σχέσεις (), (4), για τους µικρότερους δυνατούς ακέραιους n, n που ικανοποιούν την n / n.5. Εύκολα βρίσκουµε ρ (4) 9

10 n και n, και άρα n G.4 Hz 7.kHz L ρ 6.7 f f (Β) Με βάση τα παραπάνω αποτελέσµατα, το στάσιµο κύµα γίνεται π ( ) sin < < L L ( ) π ( ) C sin ( L ) L < < L L Τα σηµεία µηδενισµού (δεσµοί) έχουν ( ). Για τις δύο περιοχές έχουµε < < L : π π L L L L sin mπ m,,, L L L < < L :. 4 π π L C sin ( L ) ( L ) lπ L l L L L 4 L, 5 L +, 6 L + L Συνεπώς έχουµε έξι δεσµούς στις θέσεις,., 4.67, 6, 8, 5 cm. (Γ) Άσκηση 9 (Α) Συγκρίνοντας µε τη γενική εξίσωση ξ ξ sin( k ωt) ξ sin π ( ft) λ συµπεραίνουµε ότι τα ζητούµενα στοιχεία είναι: Πλάτος: ξ 5cm Συχνότητα: f 6s f Hz Μήκος κύµατος: / λ.4cm λ 5cm Ταχύτητα κύµατος: υ ω / k f λ 5cm/s.5m/s (Β)

11 (Γ) Η ταχύτητα ενός σωµατίου που βρίσκεται στη θέση τη χρονική στιγµή t δίνεται ξ από τη σχέση u 9π cos π (.4 6 t), άρα η µέγιστη ταχύτητα είναι 8 t cm/s. ξ ξ ( ) P F Tξk( ω)cos ( k ωt) ξtkω cos ( k ωt), και άρα η t µέση ισχύς είναι P ξtkω ξ υ µ kω ξ µυω 6mW Άσκηση Σε έναν κανονικό τρόπο ταλάντωσης όλα τα σηµεία της χορδής ταλαντώνονται µε την ίδια συχνότητα. Η γενική έκφραση θα είναι λοιπόν της µορφής. ξ ( t, ) ( )cos( ωt + φ) () Αντικαθιστώντας στην κυµατική εξίσωση ξ T T d d ξ ω µ ω ( ) C cos( k) + D sin( k) () t µ µ d d T µ µε k ω. T Καθώς τα δύο άκρα είναι ελεύθερα σε αυτά πρέπει να µηδενίζεται η δύναµη ξ F T δηλαδή η παράγωγος του πλάτους. Εφαρµόζοντας στο πρόβληµά µας ( L) kc sin( kl) + kd cos( kl) kc sin( kl) + kd cos( kl) () ( L) kc sin( kl) + kd cos( kl) (4) Για να έχει λύση το παραπάνω οµογενές σύστηµα ως προς C, D θα πρέπει να µηδενίζεται η ορίζουσα των συντελεστών sin( kl) cos( kl) det sin( kl) cos( kl) + sin( kl) cos( kl) sin( kl) cos( kl) sin( kl) k L nπ, n, (5) n

12 όπου εισάγαµε το δείκτη n για να περιγράψουµε τις διακριτές τιµές. Συνεπώς µ π T n T ωn L πn ωn n, n, fn, n, T L µ 6L µ Η λύση µε ω δεν αντιστοιχεί σε ταλάντωση καθώς σε αυτήν την περίπτωση η γενική λύση της κυµατικής δεν είναι η (). ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ pma ) Η ένταση ενός ηχητικού κύµατος δίνεται απόi ρbω. Εφόσον οι ρυ ιδιότητες του µέσου διάδοσης (αέρα) δεν µεταβάλλονται τα ρ και υ παραµένουν σταθερά και εποµένως (α) Το πλάτος µετατόπισης αυξάνεται κατά ένα παράγοντα (β) Το πλάτος πίεσης αυξάνεται κατά ένα παράγοντα (γ) Το επίπεδο έντασης δίνεται από β dblog I I εποµένως το νέο επίπεδο είναι I I β db log db log + db log β +.db αυξάνεται I I δηλαδή κατά.db. ) Από το σχήµα η διάµετρος του κύκλου είναι ~ λ/. Άρα στον φλοίσβο το ύψος του νερού που «σκάει» στην παραλία είναι ~ cm, ενώ στο τσουνάµι είναι ~ m. ) Οι συχνότητες των αρµονικών τρόπων ταλάντωσης είναι ανάλογες της ταχύτητας του ήχου στο αέριο του σωλήνα. Η ταχύτητα του ήχου σε ένα (ιδανικό) αέριο δίνεται από υ γrt / M όπου γ.4 για τον αέρα και γ 5/.67 για το Ήλιο και M η γραµµοµοριακή µάζα του αερίου που είναι.9 kg/mol για τον αέρα (µέση τιµή) και.4kg/mol για το Ήλιο. Εποµένως η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στο Ήλιο είναι µεγαλύτερη και µεγαλύτερη θα είναι και η συχνότητα που θα παράγει ο σωλήνας. 4) () Για ω ω έχουµε υ και υ g (B) Για µεγάλες συχνότητες υ υ g (Γ) Εφόσον υ g < υ για µικρές συχνότητες εχουµε οµαλή διασπορά ενώ για µεγάλες συχνότητες δεν έχουµε διασπορά. ( ) εν διαδίδονται κύµατα για συχνότητες ω < ω 5) Από τη σχέση Doppler f ' υ f υ + υ, όπου υ 4m/s η ταχύτητα του ήχου στον s αέρα, υπολογίζουµε την ταχύτητα του αεροπλάνου, υs 85 m/s.5υ (.5 Mach). Έχουµε δηλαδή υπερηχητικό αεροπλάνο και κύµα Mach, εποµένως όταν το αεροπλάνο πλησιάζει τον παρατηρητή αυτός δεν ακούει το ηχητικό σήµα που εκπέµπει.