Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθα
|
|
|
- Λέανδρος Αλεβίζος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (2η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 54
2 Περιεχόμενα 2ης Διάλεξης 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 2 / 54
3 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 3 / 54
4 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Δειγματοχώρος Ω: σύνολο όλων των αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Είδη δειγματοχώρων: διακριτοί πεπερασμένοι αριθμήσιμα άπειροι συνεχείς Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 4 / 54
5 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Γεγονός: υποσύνολο του δειγματοχώρου, σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Πραγματοποίηση γεγονότος: όταν το πείραμα οδηγεί σε αποτέλεσμα (απλό γεγονός) που περιέχεται στο γεγονός. ΓΕΓΟΝΟΤΑ ΣΥΝΟΛΑ Γνωστές πράξεις συνόλων: Συμπλήρωμα A : δε συμβαίνει το γεγονός Α Τομή : και τα δύο γεγονότα συμβαίνουν Ενωση : τουλάχιστον ένα γεγονός συμβαίνει Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 5 / 54
6 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Ορισμός Πιθανότητα = συνολοσυνάρτηση: υποσύνολα του Ω πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή γεγονότα πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 54
7 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Ορισμός Πιθανότητα = συνολοσυνάρτηση: υποσύνολα του Ω πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή γεγονότα πιθανότητες Αξιώματα 1 o Αξίωμα : P(A) 0 2 o Αξίωμα : P(Ω)= 1 3 o Αξίωμα : A B = Ø P(A B) = P(A) + P(B) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 54
8 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος Ορισμός Πιθανότητα = συνολοσυνάρτηση: υποσύνολα του Ω πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή γεγονότα πιθανότητες Αξιώματα 1 o Αξίωμα : P(A) 0 2 o Αξίωμα : P(Ω)= 1 3 o Αξίωμα : A B = Ø P(A B) = P(A) + P(B) Σημαντικό Θεώρημα P( i A i ) i P {A i } (ανισότητα Boole) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 6 / 54
9 2ο Μάθημα Πιθανότητες Πιθανότητα και Απαρίθμηση (σημείωση: οι μέθοδοι απαρίθμησης διδάσκονται αναλυτικά στο μάθημα Διακριτά Μαθηματικά Ι, εδώ γίνεται συνοπτική υπενθύμιση βασικών εννοιών και χρήση κατά τον υπολογισμό πιθανοτήτων) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 7 / 54
10 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 8 / 54
11 2. Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση Εστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπίθανα A = k : Ρ{ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 54
12 2. Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση Εστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπίθανα A = k : Ρ{ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Ρ{w i } = 1 n, i Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 54
13 2. Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση Εστω Ω = {ω 1, ω 2,..., ω n } ω i ισοπίθανα A = k : Ρ{ω 1}+ +Ρ{ω n } = Ρ{Ω}=1 Ρ{w i } = 1 n, i P {A} = i k i=i 1 Ρ{ω i } = k 1 n = k n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 9 / 54
14 2. Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση σε ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ αρκούν τα n (όλες οι περιπτώσεις), k (ευνοϊκές περιπτώσεις) ολόκληρος κλάδος διακριτών μαθηματικών: ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ στο μάθημα: 3 βασικές αρχές απαρίθμησης: multiplication principle (κανόνας γινομένου) addition principle (κανόνας αθροίσματος) inclusion-exclusion principle (αρχή εγκλεισμού-αποκλεισμού) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 10 / 54
15 2. α. Κανόνας Γινομένου Γεγονός Α: με m τρόπους Γεγονός Β: με n τρόπους } και τα δύο (τομή Α Β): με m n τρόπους Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 11 / 54
16 2. β. Κανόνας Αθροίσματος Γεγονός Α: με m τρόπους Γεγονός Β: με n τρόπους } κάποιο (ένωση Α Β): με m+n τρόπους Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 12 / 54
17 Σύνθετο Παράδειγμα Vandermonde s convolution: ( )( ) m l k n k k Απόδειξη (sketch): ( ) m + l = n m άνδρες m + l άνθρωποι l γυναίκες Διαλέγω n ανθρώπους Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 13 / 54
18 2. γ. Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού #(A 1... A n ) = #(A 1 ) + #(A 2 ) #(A n ) #(A 1 A 2 )... #(A n 1 A n ) ( 1) n 1 #(A 1 A 2 A n ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 14 / 54
19 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 15 / 54
20 3. Διατάξεις - Συνδυασμοί Με βάση τις αρχές απαρίθμησης μπορούμε να υπολογίζουμε διατάξεις - συνδυασμούς. Από n αντικείμενα παίρνω k. Διάφορα κριτήρια: Με ενδιαφέρει η σειρά διάταξη (arrangement) Δεν με ενδιαφέρει η σειρά συνδυασμός (combination) διακεκριμένα αντικείμενα όχι διακεκριμένα Χωρίς επαναλήψεις Με επαναλήψεις Χρήσιμος συμβολισμός: n k = n(n 1)...(n k + 1) = όπου n k είναι η κ-οστή παραγοντική ροπή. n! (n k)! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 16 / 54
21 3. α. Διατάξεις Χωρίς επανάληψη n k Με επανάληψη n k Ολων (μεταθέσεις, permutations) n! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 17 / 54
22 3. α. Διατάξεις x 1 όμοια, x k όμοια x x k = n n! x 1!...x k! διατάξεις όλων Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 18 / 54
23 3. β. Διαταράξεις Διαταράξεις: κανένα στην αρχική θέση της διάταξης. # = #όλες - #(1ο στην ίδια θέση... n-οστό στην ίδια θέση) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 54
24 3. β. Διαταράξεις Διαταράξεις: κανένα στην αρχική θέση της διάταξης. # = #όλες - #(1ο στην ( ) ίδια θέση... n-οστό στην ( ) ίδια θέση) n n = n! n (n 1)! + (n 2)! ( 1) n (n n)! 2 n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 54
25 3. β. Διαταράξεις Διαταράξεις: κανένα στην αρχική θέση της διάταξης. # = #όλες - #(1ο στην ( ) ίδια θέση... n-οστό στην ( ) ίδια θέση) n n = n! n (n 1)! + (n 2)! ( 1) n (n n)! [ 2 n = n! 1 1 1! + 1 2!... + ( 1)n 1 ] n! e 1 n! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 19 / 54
26 3. γ. Συνδυασμοί Συνδυασμοί (χωρίς επανάληψη) ( ) n = nk k k! = n! k!(n k)! ( ) n + k 1 με επανάληψη k Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 20 / 54
27 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 21 / 54
28 4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54
29 4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. Λύση: #όλοι οι τρόποι επιλογής 5 αριθμών = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54
30 4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. ( ) 20 Λύση: #όλοι οι τρόποι επιλογής 5 αριθμών = 5 α) ευνοϊκοί Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54
31 4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. ( ) 20 Λύση: #όλοι οι τρόποι επιλογής 5 αριθμών = 5 α) ευνοϊκοί # ευνοϊκοί: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54
32 4. Παράδειγμα 1 Τυχαία χωρίς επανάθεση διαλέγουμε 5 αριθμούς από το {1, 2,..., 20}. Ποιά η πιθανότητα α) ο μικρότερος να είναι ο 6 και ο μεγαλύτερος το 13, β) ο τρίτος κατά σειρά μεγέθους να είναι ο 9. ( ) 20 Λύση: #όλοι οι τρόποι επιλογής 5 αριθμών = 5 α) ευνοϊκοί ( ) 6 # ευνοϊκοί: ( 6 3) P = ( 20 ) 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 22 / 54
33 4. Παράδειγμα 1 - Συνέχεια β) ευνοϊκοί α 1..α α 4..α 5. Με α 3 = 9, ο τρίτος αριθμός κατά σειρά μεγέθους είναι ο 9 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 54
34 4. Παράδειγμα 1 - Συνέχεια β) ευνοϊκοί α 1..α α 4..α 5. Με α 3 = 9, ο τρίτος αριθμός κατά σειρά μεγέθους είναι ο 9 ( ) ( ) P = ( 8 ) ( 2 11 ) 2 ( 20 ) 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 23 / 54
35 4. Παράδειγμα 2 Ποιά η πιθανότητα από 9 άτομα, 2 να γεννήθηκαν Δευτέρα και 3 Τετάρτη; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 54
36 4. Παράδειγμα 2 Ποιά η πιθανότητα από 9 άτομα, 2 να γεννήθηκαν Δευτέρα και 3 Τετάρτη; Λυσή: # όλοι οι πιθανοί τρόποι = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 54
37 4. Παράδειγμα 2 Ποιά η πιθανότητα από 9 άτομα, 2 να γεννήθηκαν Δευτέρα και 3 Τετάρτη; Λυσή: # όλοι οι πιθανοί τρόποι = 7 9 ευνοϊκοί: (ποιά 2 γενν. Δ.) (ποιά 3 γενν. Τ.) (υπόλοιπα) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 54
38 4. Παράδειγμα 2 Ποιά η πιθανότητα από 9 άτομα, 2 να γεννήθηκαν Δευτέρα και 3 Τετάρτη; Λυσή: # όλοι οι πιθανοί τρόποι = 7 9 ευνοϊκοί: (ποιά 2 γενν. Δ.) (ποιά 3 γενν. Τ.) (υπόλοιπα) P (A) = ( 9 ) ( 2 7 ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 24 / 54
39 4. Παράδειγμα 3 Αφηρημένη γραμματέας (Τοποθετεί n γράμματα σε n φακέλους. Κανένα γράμμα στο σωστό φάκελο) Ρ{κανένα σωστό} = D n n! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 54
40 4. Παράδειγμα 3 Αφηρημένη γραμματέας (Τοποθετεί n γράμματα σε n φακέλους. Κανένα γράμμα στο σωστό φάκελο) Ρ{κανένα σωστό} = D n n! n! e 1 n! = 1 e Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 25 / 54
41 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 26 / 54
42 5. Διωνυμικοί Συντελεστές (x + y) n = k ( ) n x k y n k k Βασικές ταυτότητες: ( ) ( ) ( ) n n n α) n = 2 n k ( ) n = 2 n k Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 27 / 54
43 5. Διωνυμικοί Συντελεστές β) Ο αριθμός των υποσυνόλων ενός συνόλου με άρτιο πληθικό αριθμό ισούται με τον αριθμό των υποσυνόλων με περιττό. ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n Δηλαδή = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 28 / 54
44 5. Διωνυμικοί Συντελεστές γ) Προσέγγιση Stirling: Οταν το n n! ( n ) n n! 2πn δηλαδή lim ( e n 2πn n ) n = 1 e Το απόλυτο σφάλμα Το σχετικό σφάλμα 0 Καλή προσέγγιση ακόμα και για μικρά n π.χ. n = 5 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 29 / 54
45 5. Διωνυμικοί Συντελεστές δ) Χρήσιμη ιδιότητα: ( ) n ( ) n ( ) n 2 = n ( ) 2n n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 30 / 54
46 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 31 / 54
47 6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων α) Ορισμένοι συμβολισμοί Εστω n γεγονότα: A 1,..., A n Θεωρούμε ότι ξέρουμε τις τομές των γεγονότων ανά k δηλαδή η πιθανότητα P (A i1 A i2...a ik ) θεωρείται γνωστή ή εύκολα υπολογίσιμη, για 1 i 1 <... < i k n Εστω το άθροισμα των πιθανοτήτων των τομών ανά k : S k = P (A i1 A i2...a ik ) 1 i 1 <...<i k n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 32 / 54
48 6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων β) Θεώρημα ( n ) P A i = P (A 1 A 2 A n ) i=1 P (τουλάχιστον 1 από n γεγονότα) = P (A 1 ) + + P (A n ) S 1 P (A 1 A 2 ) P (A n 1 A n ) S 2 + +( 1) n 1 P (A 1 A n ) S n n = ( 1) k 1 S k = S 1 S ( 1) n 1 S n k=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 33 / 54
49 6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων Απόδειξη: 1η περίπτωση: Αν τα στοιχειώδη γεγονότα του πεπερασμένου δειγματοχώρου είναι ισοπίθανα τότε χρησιμοποιούμε: P(A) = A N αρχή εγκλεισμού - αποκλεισμού 2η περίπτωση (γενική περίπτωση): P (A 1 A 2 ) = P (A 1 ) + P (A 2 ) P (A 1 A 2 ) επαγωγή Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 34 / 54
50 6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων Παράδειγμα: Αφηρημένη γραμματέας : n γράμματα σε n φακέλους. Pr{κανένα γράμμα στον σωστό φάκελο } = ; Απόδειξη 1ος τρόπος: Πιο πρίν δείξαμε ότι ο αριθμός των διαταράξεων n αντικειμένων είναι n! e 1 P = αριθμός ευνοϊκών τρόπων αριθμός όλων n! e 1 n! = e 1 = 1 e Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 35 / 54
51 6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων Απόδειξη 2ος τρόπος: Pr{κανένα γράμμα σε σωστό φάκελο } = 1 - P r{τουλάχιστον 1 σωστό} Pr{τουλάχιστον 1 σωστό} = P r{a 1 A n } όπου A i : το i γράμμα στο σωστό φάκελο Υπολογίζω τις τομές ανά k: (n k)! P (A i1 A i2 A ik ) = i 1, i 2, i k, λόγω συμμετρίας n! ( ) n (n k)! n! (n k)! S k = = = 1 k n! k!(n k)! n! k! { } n P r A i = ( 1) k 1 1 k! = 1 1! 1 2! ( 1)n 1 3! n! i k=1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 36 / 54
52 6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων = ! 1 2! + 1 3!... + ( 1)n 1 1 n! = ( = ! + 1 2! 1 3! ( 1)n 1 ) = 1 e 1 n! αφού e x = k 1 k! xk e 1 = ( 1) k k! P r{κανένα σωστό} = 1 ( 1 e 1) = e 1 = 1 e. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 37 / 54
53 6. Πιθανότητα ένωσης γεγονότων Θεώρημα (Πραγματοποίση ακριβώς k από n γεγονότα) ( ) ( ) ( ) k + 1 k + 2 n P [k] = S k S k+1 + S k+2 +( 1) n k S n k k k Απόδειξη: Εστω ένα σημείο του Ω που ανήκει ακριβώς σε m γεγονότα. Το 1ο μέλος το μετράει μόνο όταν k = m. Θα δείξουμε ότι το 2ο μέλος το μετράει μόνο όταν k = m, και μάλιστα μόνο μία φορά. Παρατήρηση: συνεισφέρει μόνο στα S 1, S 2,, S m και όχι στα S m+1, S m+2,, S n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 38 / 54
54 Απόδειξη (Συνέχεια) α) m < k καμμιά συνεισφορά στο 2ο μέλος β) m = k συνεισφέρει μόνο στο S m και μάλιστα μόνο 1 φορά, στο συγκεκριμένο P (A i1...a im ) γ) m > k συνεισφέρει στα S k, S k+1,...s m : ( ) m k ( k + 1 k ) ( ) m + k + 1 ( k + 2 k ) στο S k στο S k+1 στο S k+2 ( ) m +... = k + 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 39 / 54
55 Απόδειξη (Συνέχεια) = ( ) m (k + 1)! k k!1! m! (k + 2)!(m k 2)! = ( m k ( ) m k ) [( m k m! (k + 2)! + (k + 1)!(m k 1)! k!2! m! (m k) + k!(m k)! 1 0 ) = ( m k 1 ) + m! k!(m k)! ( m k ( ) m 0 = 0. k 2 ) ] (m k)2... = 1 = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 40 / 54
56 Παράδειγμα Γραμματέας: Pr{ακριβώς k στη σωστή θέση } = ; Λύση: S k = 1 i 1 <...<i k n P (A i1 A i2...a ik ) Αλλά P (A i1 A i2...a ik ) εξαρτάται μόνο από το k και μάλιστα όλοι οι τρόποι: n! ευνοϊκοί: (n k) 1 = (n k)! (n k)! P (A i1 A i2...a ik ) = n! ( ) n (n k)! S k = = 1 k n! k! S k = 1 k! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 41 / 54
57 Παράδειγμα (Συνέχεια) Οπότε Pr{ακριβώς k στη σωστή θέση } = ( ) ( 1 k + 1 k! 1 k + 2 k (k + 1)! + k ) 1 (k + 2)!... = 1 k! 1 k!1! + 1 k!2! = 1 (1 11! k! + 12! ) = 1k! e 1 = e 1 k!. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 42 / 54
58 1 Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος 2 Αξιωματικός ορισμός και απαρίθμηση 3 Διατάξεις - Συνδυασμοί 4 Παραδείγματα υπολογισμού πιθανοτήτων 5 Διωνυμικοί Συντελεστές 6 Πιθανότητα ένωσης γεγονότων 7 Επιπλέον Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 43 / 54
59 7. Παράδειγμα 1 Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 44 / 54
60 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: Βάζω τις ελαττωματικές: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 45 / 54
61 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: Βάζω τις ελαττωματικές: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμίζω τις θέσεις ανάμεσά τους με μία λειτουργική: Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 45 / 54
62 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: Βάζω τις ελαττωματικές: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμίζω τις θέσεις ανάμεσά τους με μία λειτουργική: Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Μένουν n - m - ( m - 1) = n - 2m + 1 Λ Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 45 / 54
63 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: Βάζω τις ελαττωματικές: Ε Ε Ε Ε Ε ( m Ε ) Γεμίζω τις θέσεις ανάμεσά τους με μία λειτουργική: Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε Λ Ε ( m-1 Λ ) Μένουν n - m - ( m - 1) = n - 2m + 1 Λ Αυτές μπαίνουν σε m + 1 θέσεις, με επανάληψη Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 45 / 54
64 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = n - 2m - 1 αντικειμένων με επανάληψη Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54
65 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = ( n - 2m - 1) αντικειμένων με επανάληψη x + y 1 = y Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54
66 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = ( n - 2m - 1) αντικειμένων ( με επανάληψη ) x + y 1 m n 2m = = y n 2m + 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54
67 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = ( n - 2m - 1) αντικειμένων ( με επανάληψη ) x + y 1 m n 2m = = ( y ) ( n 2m ) + 1 n m + 1 n m + 1 = = n 2m + 1 m Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54
68 7. Παράδειγμα 1 - Α Τρόπος (Συνέχεια) Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Α τρόπος: (Συνέχεια) Αυτό ισοδυναμεί με επιλογή από x = m + 1 διακριτά αντικείμενα y = ( n - 2m - 1) αντικειμένων ( με επανάληψη ) x + y 1 m n 2m = = ( y ) ( n 2m ) + 1 n m + 1 n m + 1 = = n 2m + 1 m ) Pr {όχι 2 Ε συνεχόμενα} = ( n m+1 m n! m!(n m)! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 46 / 54
69 7. Παράδειγμα 1 - Β Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Β τρόπος: Βάζω τις Λειτουργικές: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 47 / 54
70 7. Παράδειγμα 1 - Β Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Β τρόπος: Βάζω τις Λειτουργικές: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρέπει σε κάθε μία από τις n - m + 1 θέσεις που ορίζουν να μπει 1 το πολύ ελαττωματική. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 47 / 54
71 7. Παράδειγμα 1 - Β Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Β τρόπος: Βάζω τις Λειτουργικές: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρέπει σε κάθε μία από τις n - m + 1 θέσεις που ορίζουν να μπει 1 το πολύ ελαττωματική. Επιλογή m από n - m + 1 διακεκριμένων αντικειμένων. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 47 / 54
72 7. Παράδειγμα 1 - Β Τρόπος Βάζω με τυχαίο τρόπο σε σειρά n κεραίες κινητής τηλεφωνίας εκ των οποίων m είναι ελαττωματικές και n - m λειτουργούν. Θεωρώ ότι όλες οι ελαττωματικές και όλες οι λειτουργικές είναι μή διακεκριμένες. Ποιά η πιθανότητα να μην υπάρχουν 2 διαδοχικές ελαττωματικές ; Β τρόπος: Βάζω τις Λειτουργικές: Λ Λ Λ Λ Λ ( n-m Λ ) Πρέπει σε κάθε μία από τις n - m + 1 θέσεις που ορίζουν να μπει 1 το πολύ ελαττωματική. Επιλογή m από n - m + 1 διακεκριμένων αντικειμένων. ( ) n m + 1 m Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 47 / 54
73 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
74 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
75 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
76 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
77 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
78 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
79 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
80 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρόπος: Pr {14ο φύλλο = 1 14ο φύλλο = 2... } = 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
81 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρόπος: Pr {14ο φύλλο = 1 14ο φύλλο = 2... } = 1 Λόγω συμμετρίας Pr {14ο φύλλο = 1 } = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
82 7. Παράδειγμα 2 Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: α) Το 14ο φύλλο 4 τρόποι Τα υπόλοιπα 51 51! τρόποι Pr = 4 51! 52! = 4 52 = 1 13 Άλλος τρόπος: Pr {14ο φύλλο = 1 14ο φύλλο = 2... } = 1 Λόγω συμμετρίας Pr {14ο φύλλο = 1 } = 1 13 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 48 / 54
83 7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54
84 7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: β) (Θέσεις) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54
85 7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: β) (Θέσεις) (Τρόποι) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54
86 7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: β) (Θέσεις) (Τρόποι) Pr = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54
87 7. Παράδειγμα 2 - Συνέχεια Μοιράζουμε μία καλά ανακατεμένη τράπουλα 52 φύλλων (13 σειρές των 4 φύλλων). α) Ποιά η πιθανότητα το 14ο φύλλο να είναι άσος; β) Ποια η πιθανότητα ο πρώτος άσος να είναι στο 14ο φύλλο; Λύση: β) (Θέσεις) (Τρόποι) Pr = ! Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 49 / 54
88 7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων και μαύρων. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54
89 7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων και μαύρων. Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54
90 7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων και μαύρων. Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = ( 2n 2 ) + ( 2n 4 ) ( ) 2n = 2n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54
91 7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων( και) μαύρων. ( ) ( ) 2n 2n 2n Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n = # άρτιων υποσυνόλων - 1 = 0 2 2n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54
92 7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων( και) μαύρων. ( ) ( ) 2n 2n 2n Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n = # άρτιων υποσυνόλων - 1 = 0 2 2n = πλήθος υποσυνόλων 2-1 = 22n 2-1 = 2 2n 1-1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54
93 7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων( και) μαύρων. ( ) ( ) 2n 2n 2n Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n = # άρτιων υποσυνόλων - 1 = 0 2 2n = πλήθος υποσυνόλων 2-1 = 22n ευνοϊκές: ( n 1 ) ( n 1 ) = 2 2n 1-1 ) ( ) n ( n 2 ( n n ) ( ) n = n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54
94 7. Παράδειγμα 3 Μία κάλπη περιέχει n άσπρα και n μαύρα σφαιρίδια. Τραβάμε τυχαία, άρτιο πλήθος σφαιριδίων. Γεγονός Α = ίσος αριθμός άσπρων( και) μαύρων. ( ) ( ) 2n 2n 2n Απόδειξη: Ολες οι περιπτώσεις = = 2 4 2n ( ) ( ) ( ) 2n 2n 2n = # άρτιων υποσυνόλων - 1 = 0 2 2n πλήθος υποσυνόλων = 2-1 = 22n 2-1 = 2 2n 1-1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n n n n ευνοϊκές: = k ( n k 1 ) ( n n k 1 ) 2 ( n 0 ) 2 ) = ( n 0 ( 2n n ) ( ) n = n n ) 1 (Vandermonde) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 50 / 54
95 7. Παράδειγμα 3 - Συνέχεια Αλλά ( ) 2n n P (A) = ( 2n n ) 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 51 / 54
96 7. Παράδειγμα 3 - Συνέχεια Αλλά P (A) = ( 2n n ( ) 2n = (2n)! n (n)! (n)! ) 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 ( 2π2n 2n ) 2n e ( ( 2πn n ) n ) 2 = 22n πn e P (A) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 51 / 54
97 7. Παράδειγμα 3 - Συνέχεια Αλλά P (A) = ( 2n n ( ) 2n = (2n)! n (n)! (n)! ) 1 2 2n 1 1 ( 2n n ) 2 2n 1 ( 2π2n 2n ) 2n e ( ( 2πn n ) n ) 2 = 22n πn e P (A) 2 2n πn 2 2n 1 = 2 πn Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 51 / 54
98 7. Παράδειγμα 4 n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 52 / 54
99 7. Παράδειγμα 4 n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Απόδειξη: Ολοι οι τρόποι είναι n n Ευνοϊκοί τρόποι: α) ποιό κελί άδειο: n τρόποι n μπάλες σε n - 1 κελιά ώστε κανένα κελί άδειο β1) 1 κελί με 2 μπάλες β2) όλα τα άλλα κελιά έχουν μία μπάλα β1) Ποιό κελί έχει 2 μπάλες : n - 1 τρόποι Ποιές 2 συγκεκριμένες μπάλες : ( ) n τρόποι 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 52 / 54
100 7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια β2) Ολα τα άλλα κελιά έχουν από μία μπάλα n - 2 μπάλες σε n - 2 κελιά 1η μπάλα: n - 2 τρόποι 2η μπάλα: n - 3 τρόποι... n - 2 μπάλα: 1 τρόπος (n - 2)! τρόποι Από α), β1) και β2) Pr {ακριβώς ένα κελί άδειο} = P = ( n ) 2 n! = n n n (n 1) (n 2) (n 2)! n n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 53 / 54
101 7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54
102 7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: ( ) n τρόποι 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54
103 7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54
104 7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Βάζω 1 μπάλα σε κάθε ένα από τα n-2 υπόλοιπα κελιά. Διατάσσω αυτά τα n κελιά. Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54
105 7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Βάζω 1 μπάλα σε κάθε ένα από τα n-2 υπόλοιπα κελιά. Διατάσσω αυτά τα n κελιά. n! τρόποι Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54
106 7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Βάζω 1 μπάλα σε κάθε ένα από τα n-2 υπόλοιπα κελιά. Διατάσσω αυτά τα n κελιά. n! τρόποι Άρα Pr {ακριβώς ένα κελί άδειο} = Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54
107 7. Παράδειγμα 4 - Συνέχεια n διακριτές μπάλες τοποθετούνται τυχαία σε n διακριτά κελιά. Ποιά η πιθανότητα ακριβώς ένα κελί να είναι άδειο; Άλλος τρόπος: Βάζω 2 μπάλες σε ένα κελί: Αφήνω ένα κελί άδειο. ( ) n τρόποι 2 Βάζω 1 μπάλα σε κάθε ένα από τα n-2 υπόλοιπα κελιά. Διατάσσω αυτά τα n κελιά. n! τρόποι ( n ) 2 n! Άρα Pr {ακριβώς ένα κελί άδειο} = n n Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 54 / 54
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα
Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ
3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες
P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
Περιεχόμενα 5ης Διάλεξης 1 Ανισότητα Markov 2 Διασπορά 3 Συνδιασπορά 4 Ανισότητα Chebyshev 5 Παραδείγματα Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5
5ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 5ο Μάθημα Πιθανότητες
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (5η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.
Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil
1. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων
. Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων Tα διάφορα επιστημονικά μοντέλα ή πειράματα ή γενικότερα τα φυσικά φαινόμενα μπορεί να θεωρηθεί ότι εντάσσονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα προσδιοριστικά
m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G
Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Παραδείγματα Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο n θρανία στη σειρά
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Βιομαθηματικά BIO-156
ιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολουποθέσεωνκαιτουοποίουτο αποτέλεσμα
P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων
Gutenberg
Διακριτά Μαθηματικά * Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Φροντιστήριο: Α. Κόλλια (akollia@ceid.upatras.gr) * Οι διαφάνειες (πλην αυτών για τις σχέσεις αναδρομής) έχουν παραχθεί από τη Δρ. Ε. Παπαϊωάννου,
Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2016
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 06 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
![pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q](/thumbs/62/47321496.jpg "pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q")
7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες
pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q
![pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q](/thumbs/99/140112502.jpg "pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q")
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα
1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
P (A 1 A 2... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 ) P (A n A 1 A 2 A n 1 ).
Υπενθυμίσεις Παραδείγματα Ασκήσεις Μελέτη 31 Οκτωβρίου 2014 Πιθανότητες και Στατιστική Διάλεξη 7 Ασκήσεις ΙΙ Δεσμευμένη πιθανότητα, Συνδυαστικά επιχειρήματα Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση
1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι
α n z n = 1 + 2z 2 + 5z 3 n=0
Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Η ύλη συνοπτικά... Γεννήτριες συναρτήσεις Τι είναι η γεννήτρια Στην
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων
n ίδια n διαφορετικά n n 0 n n n 1 n n n n 0 4
Διακριτά Μαθηματικά Ι Επαναληπτικό Μάθημα 1 Συνδυαστική 2 Μεταξύ 2n αντικειμένων, τα n είναι ίδια. Βρείτε τον αριθμό των επιλογών n αντικειμένων από αυτά τα 2n αντικείμενα. Μεταξύ 3n + 1 αντικειμένων τα
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων
Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Θεωρία πιθανοτήτων. Θεωρία Πιθανοτήτων. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 1 η : Βασικές Έννοιες Πιθανότητας Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Άδειες
Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός (µε συνδυαστικά επιχειρήµατα) του πλήθους των διαφορετικών αποτελεσµάτων ενός «πειράµατος». «Πείραµα»: διαδικασία µ
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση Υπολογισµός
Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά
Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Ορισµός Πιθανότητας Στοιχεία Συνδυαστικής Κλασικός Ορισµός της Πιθανότητας Εστω Ω ο δειγµατοχώρος ενός πειράµατος
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Εισαγωγή Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 7: Θεωρία Πιθανοτήτων (Πείραμα Τύχης) Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 12 Οκτωβρίου 2009 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΑ ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ Ενωση ενδεχοµένων Η ένωση δύο ενδεχοµένων A και B (ως προς ένα δειγµατικό χώρο Ω), συµβολιζόµενη
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος
Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος
Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα
#(A B) = (#A)(#B). = 2 6 = 1/3,
Κεφάλαιο 4 Πιθανότητες και συνδυαστική Οπως είδαμε σε κάποια παραδείγματα των προηγουμένων κεφαλαίων, συχνά συναντάμε καταστάσεις όπου όλες οι δυνατές εκφάνσεις ενός τυχαίου πειράματος έχουν την ίδια πιθανότητα.
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις
ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 018 Τελική Εξέταση Ιουνίου Λύσεις Προσοχή: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές, μπορεί να υπάρχουν και άλλες που επίσης να είναι σωστές. Θέμα 1: [16 μονάδες]
Λύσεις 1ης Ομάδας Ασκήσεων
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ Λύσεις ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ. Ισότητα συνόλων Έστω C = A i= B i και D = i= A B i. Θα αποδείξουμε ότι τα C, D ταυτίζονται,
Στοχαστικές Στρατηγικές
Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη
ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.
1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει
3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 2 η : Δεσμευμένη Πιθανότητα. Ολική Πιθανότητα-Θεώρημα Bayes, Ανεξαρτησία και Συναφείς Έννοιες. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 2ο Κανόνες Απαρίθμησης (συνέχεια) 2 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΑ ΜΕ ΔΙΑΦΑΝΕΙΕΣ, ΒΙΒΛΙΟ & ΔΕΙΓΜΑ ΘΕΜΑΤΩΝ www.unipi.gr/faculty/mkoutras/index.htm
Συνδυαστική Απαρίθµηση
Συνδυαστική Απαρίθµηση ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου, Θ. Λιανέας Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθµηση
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 2: Θεωρία Πιθανοτήτων Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες Χρήσης
E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]
![E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]](/thumbs/99/141874444.jpg "E [X ν ] = E [X (X 1) (X ν + 1)]")
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (6η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 30 Περιεχόμενα
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Πιθανότητες Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Εισαγωγικά Βασικοί Ορισµοί Πράξεις Γεγονότων Σχεδιάγραµµα της Υλης Βασικές Εννοιες της Θεωρίας Πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων; Στην αρχή
Στοιχειώδης συνδυαστική Συνδυασμοί και διατάξεις με επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: Με πόσους τρόπους μπορώ να διατάξω r από n αντικείμενα όταν επιτρέπονται επαναληπτικές εμφανίσεις των αντικειμένων;
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ
Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
3/10/2016. Στατιστική Ι. 1 η Διάλεξη
Στατιστική Ι 1 η Διάλεξη 1 2 Φαινόμενα Πειράματα Αιτιοκρατικά Προσδιοριστικά Τυχαία Στοχαστικά Ένα αιτιοκρατικό πείραμα, κάθε φορά που εκτελείται, έχει το ίδιο αποτέλεσμα το οποίο μπορεί να προβλεφθεί
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 1: Στοιχεία Πιθανοθεωρίας Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές
Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Διωνυμικοί συντελεστές Συνδυασμοί Το πλήθος των συνδυασμών r από n στοιχεία, C(n,r) συμβολίζεται και ως Ο αριθμός αυτός λέγεται και διωνυμικός συντελεστής Οι αριθμοί αυτοί
Περιεχόμενα 1ης Διάλεξης 1 Χρησιμότητα και σκοπός του μαθήματος 2 Τρόπος διδασκαλίας και εξέτασης 3 Βασικές έννοιες 4 Είδη δειγματοχώρων 5 Πράξεις με
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (1η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 55 Περιεχόμενα
Βιομαθηματικά BIO-156. Θεωρία Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017
Βιομαθηματικά IO-56 Θεωρία Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 07 lika@biology.uo.gr Ορισμοί Τυχαίο Πείραμα: κάθε πείραμα που είναι δυνατόν να επαναληφθεί με το ίδιο σύνολο υποθέσεων και του οποίου
2ο Μάθημα Πιθανότητες
2ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαι κο Έτος 2014-2015 Σωτη ρης Νικολετσε ας, αναπληρωτη ς καθηγητη ς 2ο Μάθημα
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων)
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ (Δείγμα θεμάτων) Μέρος Ι (μέγιστος αριθμός μονάδων=40) Δώστε την κατάλληλη απάντηση (ΣΩΣΤΗ ή ΛΑΘΟΣ ) στις παρακάτω προτάσεις. Κάθε σωστή επιλογή παίρνει 5 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη επιλογή
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι
Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη
ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε
ΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών εσµευµένες Πιθανότητες Εστω (Ω, A, P) ένας πιθανοθεωρητικός χώρος. Αξιωµατικός Ορισµός της Πιθανότητας (Kolmogorov) Θεωρούµε (Ω, A) έναν µετρήσιµο χώρο. Ενα πιθανοθεωρητικό µέτρο
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την
Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ Σηµειώσεις για το µάθηµα ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ Θεοδόσης ηµητράκος e-mail: dimitheo@aegean.gr
HY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 19/4/2018 Το υλικό των Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 1 Συνδυαστική 2 Πείραμα/ Συνδυαστική Πείραμα: Οποιαδήποτε διαδικασία που μπορεί να οδηγήσει σε ένα
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 26 Οκτωβρίου 2009 Η διερεύνηση, σε γενικές γραµµές, της δεσµευµένης πιθανότητας και η σύγκρισή της µε την απόλυτη πιθανότητα αποκαλύπτει
Συνδυαστική Απαρίθμηση
Συνδυαστική Απαρίθμηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 19 Οκτωβρίου 2009 ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΘΕΜΕΛΙΩΣΗ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Εστω Ω δειγµατικός χώρος στοχαστικού (τυχαίου) πειράµατος (ή ϕαινοµένου).
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ
50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΑΡΧΗ ΕΓΚΛΕΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ Εισαγωγή. Η αρχή του εγκλεισμού αποκλεισμού είναι ένα ισχυρό μέσο απαρίθμησης με το οποίο υπολογίζεται ο αριθμός των στοιχείων της ένωσης και της τομής των συμπληρωμάτων
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 2: Γεννήτριες Συναρτήσεις Μέρος 2 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
(1) 98! 25! = 4 100! 23! = 4
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 5 Συνδυαστική Ανάλυση ΙΙ και Εισαγωγή στις ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Διατάξεις Μεταθέσεις Συνδυασμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται
Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών
Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Συνδυαστική Ανάλυση. Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα:
Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. 1. Συνδυαστική ανάλυση. 1.1. Μεταθέσεις
1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ 1 Συνδυαστική ανάλυση Η συνδυαστική ανάλυση είναι οι διάφοροι μέθοδοι και τύποι που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων εκτίμησης του πλήθους των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου
Προχωρημένη απαρίθμηση
Κεφάλαιο 4 Προχωρημένη απαρίθμηση Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C L Liu ad C Liu 1985, Graham, Kuth, ad Patashi 1994, Camero 1994 και Staley 1986 41 Διαμερίσεις και συνδυασμοί
ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά
Πιθανότητες. Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους
Πιθανότητες Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους «Πείραμα» Tύχης Οτιδήποτε συμβαίνει και δεν γνωρίζουμε από πριν το ακριβές αποτέλεσμά του. Απασχόλησαν
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
> ln 1 + ln ln n = ln(1 2 3 n) = ln(n!).
η Διάλεξη: Άρρητοι αριθμοί Το σύνολο Q των ρητών αριθμών είναι το Q = { m n : m Z, n N}. αριθμός που δεν είναι ρητός λέγεται άρρητος. Ενας πραγματικός Ασκηση: Αποδείξτε ότι το άθροισμα και το γινόμενο
Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας
Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα
ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 0 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο - Συνδυαστική Ανάλυση Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Θεωρία. Η ϐασική αρχή της απαρίθµησης
Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί
Γενικευμένες Μεταθέσεις και Συνδυασμοί Διατάξεις και Συνδυασμοί όταν υπάρχουν πολλαπλά αντίγραφα των αντικειμένων Μέχρι τώρα Μετράγαμε τρόπους να διαλέξουμε (συνδυασμούς) ή να διαλέξουμε και να βάλουμε