Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Transcript

1 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος

2 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα... 4 Μέθοδος (Εύρεση διαστημάτων μονοτονίας συνάρτησης)... 4 Μέθοδος (Εύρεση παραμέτρων)... Μέθοδος (Εύρεση προσήμου της )... Μέθοδος 4 (Εύρεση μονοτονίας της μέσω του προσήμου της ή βοηθητικής συνάρτησης)... 6 Μέθοδος 5 (Απόδειξη ή επίλυση ανισοτήτων)... 8 Μέθοδος 6 (Απόδειξη ανισοτήτων με βοηθητική συνάρτηση)... Μέθοδος 7 (Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης)... 4 Μέθοδος 8 (Εύρεση ύπαρξης ριζών εξίσωσης)... 7 Μέθοδος 9 (Εύρεση μονοτονίας από δοσμένες σχέση)... 4 Ασκήσεις προς λύση... 5

3 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μ ο ν ο τ ο ν ί α σ υ ν ά ρ τ η σ η ς Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία χρησιμοποιούμε τα συμπεράσματα της παρακάτω πρότασης: Πρόταση Έστω συνάρτηση που είναι συνεχής στο διάστημα Δ. Αν για κάθε εσωτερικό σημείο τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν για κάθε εσωτερικό σημείο τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Απόδειξη Για δύο οποιαδήποτε σημεία,, με προϋποθέσεις του θεωρήματος της μέσης τιμής στο, τέτοιο ώστε: Επειδή και, έχουμε, η συνάρτηση ικανοποιεί τις, που σημαίνει ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Ανάλογα διαπιστώνουμε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.. Επομένως υπάρχει Παρατηρήσεις. Δεν ισχύει το αντίστροφο της πρότασης. συγκεκριμένα μια συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ μπορεί να είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) στο Δ και χωρίς να ισχύει ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο. Για παράδειγμα η συνάρτηση που είναι παραγωγίσιμη για στο με είναι γνησίως αύξουσα στο και δεν ισχύει κάθε αφού είναι.. Η πρόταση δεν ισχύει πάντοτε για ένωση διαστημάτων. Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με, ισχύει για κάθε και όμως η δεν είναι γνησίως αύξουσα στο,,.. Αν είναι (αντίστοιχα ) για κάθε,, και η είναι συνεχής στο β τότε η είναι γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα φθίνουσα) στο διάστημα,. 4. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ τότε η είναι «έναένα» στο Δ και επομένως ισχύουν:

4 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 4 Η εξίσωση έχει τα πολύ μια ρίζα στο Δ. Αν, τότε:. Αν, τότε:. 5. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και τότε : Για κάθε με ισχύει και για κάθε με ισχύει. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ και τότε : Για κάθε με ισχύει ισχύει. 6. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, και για κάθε με τότε το σύνολο των τιμών της στο Δ είναι το διάστημα lim, lim. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως, τότε το σύνολο των τιμών της στο Δ είναι φθίνουσα στο διάστημα το διάστημα lim, lim. Λ υ μ έ ν α π α ρ α δ ε ί γ μ α τ α Μέθοδος (Εύρεση διαστημάτων μονοτονίας συνάρτησης) Για να προσδιορίσουμε τα διαστήματα μονοτονίας μιας συνάρτησης κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της Υπολογίζουμε την Βρίσκουμε τις ρίζες και το πρόσημο της και κατασκευάζοντας τον πίνακα προσήμων της (χρησιμοποιώντας την πρότασης ) βρίσκουμε την μονοτονίας της Παράδειγμα Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης όταν: ln (α) (β) 5 (γ)

5 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 5 (α) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A,,. Η είναι ln ln παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει. Με A είναι : ln ln ln ln ln ln δεκτή. ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln,, ln Η είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, και, και γνησίως αύξουσα στο,. 5 (β) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη 4 και για κάθε A ισχύει 5. Με A είναι: 4 5 ή ,, 4 5, 5 Η είναι γνησίως φθίνουσα στο, 5 και γνησίως αύξουσα στο 5, (διότι είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα 5,, και συνεχής στο ). και 5 (γ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει. Με A είναι: ή,, Η είναι γνησίως αύξουσα στο, (διότι είναι γνησίως αύξουσα στα

6 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 6 διαστήματα, και, και συνεχής στο ) και γνησίως φθίνουσα στο,. Παράδειγμα Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης όταν: 9 (α) (β) 4 (α) Η συνάρτηση 9 έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει 6 9 ( ). Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) (διότι είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα, και [, ) και συνεχής στο ). + (β) Η συνάρτηση 4 έχει πεδίο ορισμού το A (,] [, ). Η είναι συνεχής στο A και δεν είναι παραγωγίσιμη στα σημεία και. Η είναι παραγωγίσιμη στο A (,) (, ) και για κάθε A ισχύει. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον 4 πίνακα: Υποσημείωση: Δεν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο άκρο αφού για την μελέτη της μονοτονίας σε διάστημα [ ab, ] μας ενδιαφέρει η συνέχεια της στο [ ab, ] και το πρόσημο της στο ( ab, ). Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, ). Παράδειγμα Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης όταν: (α), (, ) (β) a, ( ) a, [, ]

7 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 7 (γ) ( ), [, ) (, ] (α) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A (, ). Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ). (β) Η συνάρτηση ( ) a έχει πεδίο ορισμού το [, ]. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι a ln a. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: π/ π π/ π + + Η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, ], [, ] και γνησίως αύξουσα στο [, ], [, ]. (γ) Η συνάρτηση ( ) έχει πεδίο ορισμού το A [, ) (, ]. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ( ) είναι π/ π/4 π. Το + + πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως αύξουσα στο [, ), (, ] και γνησίως φθίνουσα στο [, ]. 4 4

8 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 8 Παράδειγμα 4 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης όταν:,,, Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A. Η συνάρτηση, είναι παραγωγίσιμη στο A (,) και για κάθε A ισχύει. Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο A (, ) και για κάθε A ισχύει ( ). Υποσημείωση: Όταν μελετάμε την μονοτονία μιας «κλαδωτής» συνάρτησης δεν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε αν αυτή είναι παραγωγίσιμη στα σημεία εκείνα που εκατέρωθεν της η αλλάζει τύπο. Εξετάζουμε τη συνέχεια στα σημεία αυτά. Θα εξετάσουμε αν η είναι παραγωγίσιμη στο. ( ) () lim lim lim ( ) () lim lim lim ( ) Η δεν είναι παραγωγίσιμη στο, Είναι όμως συνεχής στο αφού είναι, lim ( ) lim ( ) (). Επομένως: ( ), Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [,](διότι είναι γνησίως -/ + + Παράδειγμα 5 Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης όταν: 4 (α)

9 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 9 (β) ( ) ln (γ) ( ) ln( ) (α) Η συνάρτηση 4 έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει 4 ( )( 4). Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [, ). ln (β) Η συνάρτηση ( ) έχει πεδίο ορισμού το A (, ). Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει ln ln. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (,]και γνησίως αύξουσα στο [, ). (γ) Η συνάρτηση ( ) ln( ) έχει πεδίο ορισμού το A (, ). Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει. Το πρόσημο της και η + μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). Παράδειγμα 6 (α) Δίνεται η συνάρτηση : η οποία είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και για κάθε ισχύει. Επιπλέον, δεν υπάρχει διάστημα τέτοιο ώστε να ισχύει είναι γνησίως αύξουσα. (β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης (α) Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση υπάρχουν, τέτοιο ώστε έχουμε: Η είναι συνεχής στο για κάθε. Να δείξετε ότι η συνάρτηση, g. δεν είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Τότε και (). Για κάθε, +

10 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Η είναι παραγωγίσιμη στο, υπάρχει, τέτοιο ώστε (). Επειδή και από τη () έπεται ότι δηλαδή ().. Από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι Ομοίως η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στο διάστημα και επομένως υπάρχει, τέτοιο ώστε, (4). Επειδή και από την () έπεται ότι δηλαδή (5). Από () και () και (5) έπεται ότι, δηλαδή για κάθε,. Δείξαμε ότι για κάθε, ισχύει σταθερή στο,. Επομένως ισχύει δεν υπάρχει διάστημα Επομένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. (β) Η συνάρτηση, δηλαδή που σημαίνει ότι η είναι για κάθε άτοπο αφού τέτοιο ώστε να ισχύει για κάθε. g έχει πεδίο ορισμού το. Η g είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει g. Είναι g για κάθε A και δεν υπάρχει διάστημα τέτοιο ώστε να ισχύει g για κάθε. Επομένως, σύμφωνα με το πρώτο ερώτημα η g είναι γνησίως αύξουσα στο. Υποσημείωση: Δείξαμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ όταν ισχύει για κάθε και η συνάρτηση μηδενίζεται σε άπειρα σημεία του Δ που όμως δεν «συγκροτούν» υποδιαστήματα του Δ, δηλαδή η δεν είναι. σταθερή σε κανένα υποδιάστημα του Δ. Ομοίως όταν Μέθοδος (Εύρεση παραμέτρων) Όταν μας ζητείται ο προσδιορισμός παραμέτρων, ώστε μια συνάρτηση να έχει κάποιο συγκεκριμένο είδος μονοτονίας, κάνουμε τα εξής: Βρίσκουμε την. Βρίσκουμε το πρόσημο της για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. Εξετάζουμε σε ποια περίπτωση ισχύει το ζητούμενο.

11 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Παράδειγμα 7 Να προσδιορίσετε τις τιμές του a ώστε η συνάρτηση με a a να είναι γνησίως αύξουσα στο. Η συνάρτηση a a έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει a a. Αν Αν a, τότε που σημαίνει ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. a, το τριώνυμο έχει διακρίνουσα περιπτώσεις: (α) Δ>, (β) Δ=, (γ) Δ<.,, Με a. Διακρίνουμε τις (α) Αν τότε η εξίσωση Με a έχει δύο άνισες ρίζες τις. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στους παρακάτω πίνακες: Παρατηρούμε ότι με Δ> η δεν είναι γνησίως αύξουσα στο. απορ. ή. Με (β) Αν έχει διπλή ρίζα τον αριθμό. Το 6 πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως αύξουσα στο είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα ). 6 (διότι, 6 και, 6 η εξίσωση + -/6 + και συνεχής στο (γ) Αν, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: a, η είναι γνησίως Παρατηρούμε ότι με +

12 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός αύξουσα στο. Επομένως με a, η είναι γνησίως αύξουσα στο Παράδειγμα 8 Να προσδιορίσετε τις τιμές του a ώστε η συνάρτηση με a a 5 να είναι γνησίως φθίνουσα στο. a a 5 έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι Η συνάρτηση παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει a a. Το τριώνυμο a a έχει διακρίνουσα 4 4 τις περιπτώσεις: (α) Δ>, (β) Δ=, (γ) Δ<. 4,,. Διακρίνουμε (α) Αν τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες άνισες τις. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στους πίνακες: Παρατηρούμε ότι αν,, η δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο. (β) Αν Με 4 ή είναι. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και συνεχής στο ). Με είναι (διότι είναι, και 6. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο (διότι είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και, και συνεχής στο ). (γ) 4, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο. Επομένως όταν, η είναι γνησίως φθίνουσα στο.

13 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μέθοδος (Εύρεση προσήμου της ) Για να βρούμε το πρόσημο μιας συνάρτησης όταν, γνωρίζουμε την μονοτονία της και μία ρίζα της,. Αν στο, τότε Αν στο, και αρκεί να τότε, δηλαδή η συνάρτηση είναι θετική στο, Αν στο, και τότε, δηλαδή η συνάρτηση είναι αρνητική στο,. Όμοια όταν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο,. Παράδειγμα 9 Να βρείτε το πρόσημο των παρακάτω συναρτήσεων. (α) ln (β) (γ) ln (α) Η συνάρτηση ln έχει πεδίο ορισμού το A,. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει ln. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε Για κάθε, ισχύει:, ισχύει: (β) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: +

14 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 4 Για κάθε Για κάθε, ισχύει, ισχύει Παράδειγμα Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο και υπάρχει τέτοιο ώστε. (α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο να δείξετε ότι για κάθε, και για κάθε,. (β) Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο να δείξετε ότι για κάθε, και για κάθε,. (α) Για κάθε, ισχύει. Για κάθε, ισχύει. (β) Για κάθε, ισχύει. Για κάθε, ισχύει. Σχόλιο: Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι αν η είναι γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ και υπάρχει τέτοιο ώστε τότε: το είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης στο Δ και η αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του +. Παράδειγμα Δίνεται ότι η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ισχύουν, και τέτοιο ώστε υπάρχει, ος Τρόπος Η συνάρτηση είναι συνεχής στο. Για την για κάθε. Να δείξετε ότι., και ισχύει θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει, συνάρτηση h η οποία ορίζεται στο Η h είναι συνεχής στο,. Η h είναι παραγωγίσιμη στο h h τέτοιο ώστε. Από το,. Για την h έχουμε:, με h Από το θεώρημα Roll έπεται ότι υπάρχει,, τέτοιο ώστε:. Θεωρούμε την

15 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 5 ος Τρόπος h Θεωρούμε τη συνάρτηση g η οποία ορίζεται στο τη g έχουμε: Η g είναι συνεχής στο, g. g. Επειδή για κάθε ισχύει είναι γνησίως αύξουσα στο. Άρα ισχύει δηλαδή. Επομένως gg. Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει, τέτοιος ώστε: g Παράδειγμα,. Για έπεται ότι η συνάρτηση Δίνεται ότι η συνάρτηση :, είναι και για κάθε,. Να δείξετε ότι Επειδή για κάθε, φθίνουσα στο,. είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ότι έπεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως Για κάθε, ισχύει δηλαδή για κάθε,. Επειδή η είναι συνεχής στο, έπεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο Παράδειγμα,. Είναι. Δίνεται ότι η συνάρτηση :,, και ότι και για κάθε, ότι για κάθε,. Επειδή για κάθε, φθίνουσα στο, Η είναι συνεχής στο,. Η είναι παραγωγίσιμη στο,. Για την ισχύουν: είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο. Να δείξετε έπεται ότι η συνάρτηση είναι γνησίως

16 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 6 Από το θεώρημα του Roll έπεται ότι υπάρχει ένα, τέτοιο ώστε. Το τουλάχιστον πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα., ισχύει Για κάθε ξ. Για κάθε, ισχύει. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο,. Επομένως: + ξ Για κάθε, ισχύει. Για κάθε, ισχύει Άρα είναι για κάθε,. Μέθοδος 4 (Εύρεση μονοτονίας της μέσω του προσήμου της ή βοηθητικής συνάρτησης) Όταν είναι δύσκολη ή αδύνατη η εύρεση του προσήμου της με τους γνωστούς αλγεβρικούς τρόπους μελετούμε τη μονοτονία της και βρίσκουμε το πρόσημο της. Από το πρόσημο της βρίσκω την μονοτονία και ο πρόσημο της και τέλος από το πρόσημο της βρίσκω την μονοτονία της. Όταν είναι δύσκολη η αδύνατη η εύρεση του προσήμου μιας παράστασης με τους γνωστούς αλγεβρικούς τρόπους, θεωρούμε κατάλληλη συνάρτηση και μελετούμε τη μονοτονία της. Στη συνέχεια βρίσκουμε το πρόσημό της. Παράδειγμα 4 Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης Η συνάρτηση. έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη και για. Το πρόσημο της κάθε είναι δεν βρίσκεται με αλγεβρικές μεθόδους. Άρα βρίσκουμε την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης,. Το πρόσημο της δηλαδή και η μονοτονία της φαίνεται στο διπλανό πίνακα. - +

17 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 7 Μία ρίζα της είναι το. Πρόσημο της : Άρα η για κάθε, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο Παράδειγμα 5 ln Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης. ln Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A,,. Η είναι ln παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι. Θα βρούμε το πρόσημο της παράστασης ln με,, h ln με πεδίο ορισμού το,. Η h είναι παραγωγίσιμη και για κάθε, είναι h. Το πρόσημο της h και η μονοτονία της h φαίνονται στον πίνακα: h Για κάθε, ισχύει: h h. Θεωρούμε τη συνάρτηση. Για κάθε, ισχύει: h h. Επομένως για κάθε,, ισχύει h h ln. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: h h h Παράδειγμα 6 Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης ln. Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το ln A,,. Η είναι ln παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι. Για κάθε A είναι ln

18 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 8 ln,,. Θα βρούμε το πρόσημο της παράστασης ln με. Θεωρούμε τη συνάρτηση h ln με, και για κάθε, είναι h ln h φαίνονται στον πίνακα: h Για κάθε, ισχύει: h h. h Για κάθε, ισχύει: h h.. Η h είναι παραγωγίσιμη. Το πρόσημο της h και η μονοτονία της h h Επομένως για κάθε,, ισχύει h h ln. Άρα για κάθε,, είναι. Έτσι έχουμε τον πίνακα: Η είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα, και,. Μέθοδος 5 (Απόδειξη ή επίλυση ανισοτήτων) Απόδειξη ανισώσεων Για να αποδείξουμε ότι για κάθε ισχύει η ανισότητα g εργαζόμαστε ως εξής: Θεωρούμε τη συνάρτηση h g με A όπου και κατόπιν βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της h. Στην συνέχεια βρίσκουμε το πρόσημο της h στο Δ. Επίλυση ανισώσεων Για να λύσουμε μία ανίσωση εργαζόμαστε ως εξής:. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος και θεωρούμε συνάρτηση.. Βρίσκουμε τη μονοτονία της και μία ρίζα της.. Με την βοήθεια της μονοτονίας λύνουμε την ανίσωση Παρατήρηση Στις δύο παραπάνω περιπτώσεις μπορούμε επίσης να θεωρήσουμε ως συνάρτηση την h εάν η g ή την h ln ln g g εάν, g. Παράδειγμα 7 Να δείξετε ότι ισχύει: (α) για κάθε. ln (β) για κάθε,.

19 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 9 (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση πεδίο ορισμού το A με. Η είναι παραγωγίσιμη. Το και για κάθε ισχύει πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε, ισχύει: Για κάθε, ισχύει: Επομένως για κάθε ισχύει κάθε. (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση A,. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε, δηλαδή για ln με πεδίο ορισμού το ισχύει: Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε, Για κάθε ισχύει, ισχύει:, ισχύει Επομένως για κάθε π/ π ln., ln δηλαδή ln. Άρα για κάθε ισχύει Παράδειγμα 8 Να δείξετε ότι για κάθε, (α) ln. (β) ln ln ισχύουν: (α) Θα δείξουμε ότι για κάθε, ισχύει ln. +

20 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός με πεδίο ορισμού A,. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει Θεωρούμε την συνάρτηση ln. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε, ισχύει: ln ln για κάθε,. δηλαδή Θα δείξουμε ότι για κάθε, ισχύει ln g ln με πεδίο ορισμού το A,. Η g είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει g. Το πρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον διπλανό πίνακα. g g g. Θεωρούμε την συνάρτηση Για κάθε, ισχύει: ln ln g g. Επομένως δείξαμε ότι για κάθε, ισχύει ln (β) Θα δείξουμε ότι για κάθε, ln με πεδίο ορισμού το A,. ισχύει ln. Θεωρούμε τη συνάρτηση. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε, ισχύει: Για κάθε, ισχύει: Επομένως για κάθε, ισχύει Θα δείξουμε ότι για κάθε, ln ln ισχύει ln. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το ln g g +

21 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός A,. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A πρόσημο της g και η μονοτονία της g φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε, g ισχύει: g g g Για κάθε, ισχύει: g g Επομένως για κάθε, ισχύει: Άρα για κάθε, ισχύει ln ln Παράδειγμα 9 Να δείξετε ότι για κάθε, (α) ln (β) g g ln ln.. ισχύει: g. Το ισχύει ln (α) Θεωρούμε την συνάρτηση ln με πεδίο ορισμού A,. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει. Επειδή έπεται ότι και το. Επομένως το πρόσημο της εξαρτάται από το πρόσημο της παράστασης h A με πεδίο ορισμού,. Η h είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει h. Το πρόσημο της h και η μονοτονία της h φαίνονται στον πίνακα:. Για αυτό θεωρούμε τη συνάρτηση h h + Για κάθε h, ισχύει h h. Επομένως για κάθε, ισχύει. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε, ισχύει: ln ln +.

22 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A,. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A ισχύει. Η είναι παραγωγίσιμη στο A, και για κάθε, ισχύει. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε, ισχύει:. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα: Για κάθε, ισχύει:. Παράδειγμα Να λυθούν οι ανισώσεις (α) ln (β), (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση ln, για. για κάθε Άρα η είναι γνησίως αύξουσα για κάθε. Προφανής ρίζα της συνάρτησης είναι η. Άρα (β) θεωρούμε τη συνάρτηση με, Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο, και προφανής ρίζα της. Άρα:

23 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μέθοδος 6 (Απόδειξη ανισοτήτων με βοηθητική συνάρτηση) Παράδειγμα Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε ισχύει η σχέση (). Να δείξετε ότι για κάθε Θεωρούμε τη συνάρτηση h παραγωγίσιμη και για κάθε είναι είναι h είναι. με πεδίο ορισμού το A. Η h είναι h και λόγω της () για κάθε. Επομένως η h είναι γνησίως αύξουσα στο. Για κάθε, h ισχύει h h Για κάθε, ισχύει h. h h. Παράδειγμα Δίνεται ότι η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη και ότι για κάθε. Αν να δείξετε ότι για κάθε, και για κάθε, ισχύει. ισχύει ισχύει Θεωρούμε τη συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το A. Η h είναι παραγωγίσιμη και για κάθε είναι h. Παρατηρούμε ότι για κάθε ισχύει h που σημαίνει ότι η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο. Επομένως έχουμε:, ισχύει Για κάθε Για κάθε, ισχύει h h h. h h h.

24 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 4 Μέθοδος 7 (Εύρεση συνόλου τιμών συνάρτησης) Για να βρούμε το σύνολο τιμών της συνάρτησης : βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της. Αν η είναι συνεχής στο διάστημα τότε ισχύουν τα εξής: αν η γνησίως αύξουσα στο αν η γνησίως φθίνουσα στο,,,, lim, lim lim, lim,,, lim,,, lim, lim,, lim, lim, lim, lim, lim Θυμίζουμε ότι αν lim, lim lim,, lim, lim lim, lim lim, lim, lim lim, lim τότε όπου τα βρίσκονται όπως έχουμε αναφέρει στον παραπάνω πίνακα. Παράδειγμα Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης όταν: 4 5 (α) (β) (γ) ln (α) Η συνάρτηση και 4 5 έχει πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε είναι. Το πρόσημο της και η μονοτονία 4 της φαίνονται στον διπλανό πίνακα: Αν, τότε +

25 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 5 Αν, τότε, lim,, lim, Είναι A. A,,, Άρα (β) Η συνάρτηση και για κάθε ισχύει έχει πεδίο ορισμού το. Η είναι παραγωγίσιμη. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον διπλανό πίνακα: + lim,,. lim,, Αν, τότε τότε Αν, Είναι A.,,, Άρα A (γ) Η συνάρτηση ln έχει πεδίο ορισμού το, παραγωγίσιμη και για κάθε, είναι και η μονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αν, τότε lim,, Αν, τότε lim,, Είναι A. A,,, Άρα Παράδειγμα 4 Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης όταν: A. Η είναι. Το πρόσημο της

26 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 6 (α),, (β) (γ),,9 (α) Η συνάρτηση το A, έχει πεδίο ορισμού. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον διπλανό πίνακα: Το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι:,, A (β) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το. Η δεν είναι συνεχής στο αφού lim lim. Επομένως η δεν είναι παραγωγίσιμη στο, και για κάθε. Η είναι παραγωγίσιμη στο, είναι, είναι. Άρα. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον διπλανό πίνακα: π. Η είναι παραγωγίσιμη στο, και για κάθε lim, lim, Αν, τότε lim, lim, τότε Αν, Είναι A. Άρα A,,,,. + (γ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το A,9. Η είναι συνεχής στο Α και δεν είναι παραγωγίσιμη στο. Η είναι παραγωγίσιμη 9

27 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 7 στο,9 και για κάθε,9 ισχύει. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον διπλανό πίνακα. Το σύνολο τιμών της είναι:, 9,5 A Μέθοδος 8 (Εύρεση ύπαρξης ριζών εξίσωσης) Ένας άλλος τρόπος για να διαπιστώσουμε αν η εξίσωση έχει ρίζα σε ένα διάστημα Δ είναι η εύρεση του συνόλου τιμών της. Συγκεκριμένα: Αν ο αριθμός τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο Δ. Αν ο αριθμός τότε υπάρχει τέτοιο ώστε, δηλαδή ο είναι ρίζα της εξίσωσης. Αν επιπλέον η είναι γνησίως μονότονη στο Δ, ο αριθμός είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης στο Δ. Θυμίζουμε ότι και με τα θεωρήματα Bolzano και Roll διαπιστώνουμε αν μια εξίσωση έχει ρίζα σε ένα διάστημα Δ. g Επίλυση εξίσωσης της μορφής Θεωρούμε τη συνάρτηση h g ή την h g ή την h ln ln g εάν g εάν η, g, με A όπου και κατόπιν βρίσκουμε τα διαστήματα μονοτονίας της h. Στην συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο τιμών της σε καθένα από τα υποδιαστήματα και διαπιστώνουμε εάν υπάρχει ρίζα. Παράδειγμα 5 Αν η συνάρτηση : είναι γνησίως μονότονη στο να δείξετε ότι η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα στο. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση έχει στο δύο ρίζες, τις. Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο τότε άτοπο. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο τότε άτοπο. Άρα η εξίσωση έχει το πολύ μία ρίζα στο. Παράδειγμα 6 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις (α) ln ln (β)

28 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 8 (α) Θεωρούμε την εξίσωση ln για για κάθε Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,. Προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι η η οποία είναι μοναδική δίοτι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. (β) Θεωρούμε την εξίσωση ln για για κάθε Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,. Προφανής ρίζα της εξίσωσης είναι η η οποία είναι μοναδική δίοτι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Παράδειγμα 7 Να δείξετε ότι η εξίσωση ln Θεωρούμε τη συνάρτηση ln ορισμού το A,,. έχει μοναδική ρίζα στο με πεδίο. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: + Το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι: A lim, lim,. Επειδή A έπεται ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε και επειδή επιπλέον η είναι γνησίως αύξουσα στο,, ο αριθμός είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης. Παράδειγμα 8 Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο. Θεωρούμε τη συνάρτηση με πεδίο ορισμού A. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι 4. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον διπλανό πίνακα: Αν,,, τότε: και, - -/

29 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 9 lim,,. Επειδή ο είναι αδύνατη στο., έπεται ότι η εξίσωση,, 7. Επειδή ο έπεται ότι η εξίσωση είναι αδύνατη στο,., lim,. Επειδή ο έπεται ότι υπάρχει 7, τέτοιο ώστε και επειδή επιπλέον η είναι γνησίως αύξουσα στο έπεται ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο τον αριθμό. Άρα η εξίσωση έχει στο μοναδική ρίζα τον αριθμό. Παράδειγμα 9 8 Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση 6 έχει: (α) Τρεις ρίζες στο (β) Μοναδική ρίζα στο Θεωρούμε τη συνάρτηση 6 με πεδίο ορισμού το A. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι 6 6. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον διπλανό πίνακα: Αν,,, και, lim,,a, a 8,a, lim a 8, 8 (α) Αν a 8 a, τότε: τότε ο αριθμός ανήκει στα διαστήματα,. Επομένως υπάρχουν,, και,. Επομένως η εξίσωση στο τρεις ρίζες άνισες., τέτοια ώστε που είναι ου βαθμού έχει

30 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 8 (β) Αν a 8 a τότε ο αριθμός ανήκει μόνο στο διάστημα που, τέτοιο ώστε και επειδή επιπλέον η είναι σημαίνει ότι υπάρχει γνησίως αύξουσα στο έπεται ότι ο είναι μοναδική ρίζα της στο. Επειδή ο αριθμός έπεται ότι η εξίσωση είναι αδύνατη στο,. 8 Άρα όταν η εξίσωση έχει στο μοναδική ρίζα. Παράδειγμα Να λύσετε τις εξισώσεις: (α) ln (β) (γ) (α) Η εξίσωση ln ορίζεται όταν. Θεωρούμε τη συνάρτηση, που σημαίνει ότι ο ln με πεδίο ορισμού το A. Είναι αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε, είναι. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον παρακάτω πίνακα:, ισχύει Για κάθε εξίσωση είναι αδύνατη στο. Επομένως η,. Για κάθε, ισχύει είναι αδύνατη στο,. Άρα η εξίσωση. Επομένως η εξίσωση ln έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό. με πεδίο ορισμού το A. Είναι (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση που σημαίνει ότι ο αριθμός είναι προφανής ρίζα της εξίσωσης. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε είναι. Το πρόσημο της και η μονοτονία της πίνακα: φαίνονται στον παρακάτω Για κάθε, ισχύει εξίσωση είναι αδύνατη στο,. Επομένως η. +

31 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Για κάθε, ισχύει είναι αδύνατη στο,.. Επομένως η εξίσωση Άρα η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό. (γ) Για κάθε ισχύει. Επομένως η εξίσωση,. Θα εξετάσουμε αν η εξίσωση ρίζες στο διάστημα έχει,. Θεωρούμε τη συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A, είναι παραγωγίσιμη και για κάθε,. Είναι εξίσωσης διπλανό πίνακα:. Η είναι είναι αδύνατη όταν που σημαίνει ότι ο είναι προφανής ρίζα της. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον Για κάθε, ισχύει είναι αδύνατη στο,.. Επομένως η εξίσωση Για κάθε, ισχύει είναι αδύνατη στο,. Άρα η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα τον αριθμό.. Επομένως η εξίσωση Παράδειγμα Αν, 5 5 να δείξετε ότι. Θεωρούμε την συνάρτηση 5 με πεδίο ορισμού το A. Η είναι 4 παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει 5. Παρατηρούμε ότι είναι για κάθε δηλαδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και επομένως η είναι 5 5. Άρα:. Παράδειγμα (α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει τρεις ρίζες άνισες. (β) Να λύσετε την εξίσωση 5. (α) Είναι

32 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Θεωρούμε τη συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη για κάθε ισχύει με πεδίο ορισμού το A. Η συνάρτηση ln. Είναι και. Επομένως η εξίσωση έχει προφανείς ρίζες τους αριθμούς και 4. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στο διπλανό πίνακα: Η είναι γνησίως αύξουσα στο στο διάστημα, / ln μοναδική ρίζα τον αριθμό. Η είναι γνησίως αύξουσα στο στο διάστημα / ln, μοναδική ρίζα τον αριθμό 4. Αν, (β) τότε, lim, / ln, / ln. Επομένως η εξίσωση έχει / ln,. Επομένως η εξίσωση. Επειδή ο έχει έπεται ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε και επιπλέον η είναι γνησίως φθίνουσα στο, έπεται ότι η εξίσωση έχει στο, μοναδική ρίζα τον αριθμό. Επομένως η εξίσωση έχει στο τρεις ρίζες. Είναι 5. Θεωρούμε τη συνάρτηση έχει προφανή ρίζα τη. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε εξίσωση ισχύει Επειδή είναι με πεδίο ορισμού A. Είναι που σημαίνει ότι η ln ln για κάθε έπεται ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο. Επομένως η εξίσωση έχει στο έχει μοναδική ρίζα την. Παράδειγμα (α) Να δείξετε ότι για κάθε, ισχύει ln (β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ln έχει το πολύ μια ρίζα στο, (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση ln με πεδίο ορισμού το A,. Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε A είναι. Το πρόσημο της και η μονοτονία της φαίνονται στον πίνακα:

33 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Για κάθε, ισχύει: Για κάθε,. ισχύει:. Επομένως για κάθε, ισχύει για κάθε. ln δηλαδή ln (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση ln με πεδίο ορισμού το, Η είναι παραγωγίσιμη και για κάθε, είναι ln σημαίνει ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο A. που,. Υποθέτουμε ότι η εξίσωση έχει στο, δύο ρίζες, τις Επομένως η εξίσωση έχει στο, το πολύ μία ρίζα. άτοπο. Παράδειγμα 4 Δίνεται ότι η συνάρτηση με. (α) Να δείξετε ότι για κάθε. (β) Να βρείτε τη μονοτονία της. (γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο. (α) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει: Θέλουμε να δείξουμε ότι για κάθε ισχύει: () Θεωρούμε τη συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το. Η h είναι παραγωγίσιμη και για κάθε h. Το πρόσημο ισχύει της h και η μονοτονία της h φαίνονται στον πίνακα., ισχύει: Για κάθε h h h h Για κάθε, ισχύει: h h h Επομένως για κάθε ισχύει h h h h δηλαδή η (). + είναι (β) Επειδή είναι γνησίως αύξουσα στο. για κάθε που σημαίνει ότι η

34 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 4 (γ) Είναι και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα στο έπεται ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα τη. Παράδειγμα 5 Δίνεται ότι η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη και η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο. Να δείξετε ότι οποιαδήποτε εφαπτομένη της C έχει με αυτή ένα μόνο κοινό σημείο. Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο έπεται ότι σε κάθε σημείο M, C ορίζεται εφαπτόμενη. Η εφαπτόμενη της M, εξίσωση: Για να έχει η να έχει μόνο μία ρίζα. C στο σημείο y y C με την ένα μόνο κοινό σημείο πρέπει η εξίσωση: Θεωρούμε τη συνάρτηση h της έχει με πεδίο ορισμού το. Είναι h, δηλαδή ο είναι ρίζα της εξίσωσης h εξίσωση. Υποθέτουμε ότι η h έχει στο και άλλη μία ρίζα εκτός της, τη και π.χ. Για την h έχουμε: Η h είναι συνεχής στο, Η h είναι παραγωγίσιμη στο h h, με h Από το θεώρημα Roll έπεται ότι υπάρχει, h τέτοιο ώστε: άτοπο διότι η είναι γνησίως μονότονη δηλαδή είναι και αφού. Επομένως η και η C έχουν μόνο ένα κοινό σημείο. Μέθοδος 9 (Εύρεση μονοτονίας από δοσμένες σχέση) Παράδειγμα 6 Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει: () για κάθε (α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο. (β) Να λύσετε την εξίσωση ln (α) Από την () παραγωγίζοντας έχουμε ότι:

35 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 5 Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα. (β) Αφού η είναι γνησίως φθίνουσα θα είναι και. Οπότε για κάθε ισχύει: ln ln ln () Προφανής ρίζα της εξίσωσης () είναι η Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδική. Θεωρούμε τη συνάρτηση g ln για. Είναι g για κάθε και άρα η είναι μοναδική ρίζα της. Η g είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε Α σ κ ή σ ε ι ς π ρ ο ς λ ύ σ η Μέθοδος... Να μελετήσετε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων: 6 9 (α) (β) ln (γ) 7 4 4ln ln (δ) (ε) ln ln (ζ)... Να μελετήσετε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων:,, (α) (β) ln (γ) (δ) l (ε) ln (ζ)... Να μελετήσετε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων: (α) 5 6 (β),, (γ) (δ),, ln a (ε), a 4 5,, (ζ) 4... Να μελετήσετε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων: (α) (β) (γ) ln (δ) (ε) ln (ζ)

36 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Να μελετήσετε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων: (α),, (β) (γ),, (δ),, 6... Να μελετήσετε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων: (α),,,, (β) (γ),, (δ),, (ε) ln (ζ) 7... Να μελετήσετε την μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων: 6 4 (α) 6 4 (β) ln (γ) (δ) (ε) (ζ) 4 5 Μέθοδος 8... Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση ln να είναι γνησίως φθίνουσα Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση 6 να είναι (α) γνησίως φθίνουσα. (β) γνησίως αύξουσα.... Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση ln, να είναι γνησίως αύξουσα.... Να βρείτε τις τιμές του ώστε η συνάρτηση ln να είναι γνησίως φθίνουσα στο.... Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου, για τις οποίες η συνάρτηση 8 είναι γνησίως αύξουσα στο.... Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα για κάθε. Μέθοδος 4... Δίνεται η συνάρτηση. Να μελετήσετε της ως προς την μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της Δίνεται η συνάρτηση,,. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.

37 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης ln v v,,. * v στο διάστημα 7... Δίνεται η συνάρτηση ln 4. (α) Να εξετάσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες και το προσημό της. (β) Να λύσετε την ανίσωση Έστω μια συνάρτηση :, με, η είναι συνεχής στο, και για κάθε,. Να βρείτε το πρόσημο της. 9. :, με συνεχή πρώτη παράγωγο για την οποία ισχύουν και... (α)έστω μια συνάρτηση για κάθε,. Να δείξετε ότι για κάθε (β) Να δείξετε ότι κάθε. ln για.. Έστω μια συνάρτηση :, για την οποία ισχύει και για κάθε,.. Να αποδείξετε ότι... Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο, με, για κάθε, και. Να αποδείξετε ότι: (α) (β), για κάθε,... Δίνεται συνάρτηση, δύο φορές. παραγωγίσιμη στο,, και με, για κάθε, ότι, για κάθε,.. Έστω μια συνάρτηση :,. Να αποδείξετε. με και για κάθε,. Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχει μοναδικό, τέτοιο, ώστε (β) στο, και, (γ) για κάθε, στο. Μέθοδος Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης 4, Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης ln Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης ln Να μελετηθεί η μονοτονία της ln συνάρτησης.

38 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 8... Να μελετηθεί η μονοτονία της ln συνάρτησης.... Να μελετηθεί η μονοτονία της ln συνάρτησης.... Να μελετηθεί η μονοτονία της συνάρτησης στο,. Μέθοδος 5... Να λύσετε τις ανισώσεις: 5 (α) (β) (γ) 8ln 8 7 ln (δ) 4... Να δείξετε ότι για κάθε A ισχύει: (α), A (β) ln, A, (γ) ln, A, (δ) ln ln, A, 8 (ε), A, (ζ), A, 6 (η) για κάθε, (θ) για κάθε, (ι) για κάθε, Να δείξετε ότι για κάθε A ισχύει: (α), A (β), A, (γ) ln, A, (δ), A (ε), A, ln, A, (ζ).. Να δείξετε ότι για κάθε, 6. ισχύουν: (α) ln (β) 7... Δίνονται οι συναρτήσεις ln και g ln. (α) Να μελετήσετε τις, g ως προς το πρόσημο. (β) Για κάθε να δείξετε ότι: ln Δίνεται η συνάρτηση. (α) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία. (β) Αν να δείξετε ότι

39 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 9 9.,.. Δίνεται η συνάρτηση,. (α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την. (β) Αν,, με να δείξετε ότι: 4... Δίνεται η συνάρτηση ln ln ln,. (α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την. (β) Αν να δείξετε ότι: ln ln ln Δίνεται η συνάρτηση ln,. (α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την. (β) Αν να αποδείξετε ότι: ln Δίνεται η συνάρτηση ln,. ln (α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την. (β) Να δείξετε ότι: ln ln ln, Δίνεται η συνάρτηση ln ln, με. (α) Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία την. (β) Αν να δείξετε ότι: ln Αν να δείξετε ότι: ln ln (α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ln είναι γνησίως ln αύξουσα στο,. (β) Αν, να δείξετε ότι ln ln Αν, να δείξετε ότι: Αν ισχύει, να δείξετε ότι Να δείξετε ότι για κάθε, με ισχύει Έστω : μια παραγωγίσιμη συνάρτηση με συνεχή παράγωγο, η οποία δεν μηδενίζεται στο. (α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο (β) Να αποδείξετε ότι Μέθοδος Η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη και για κάθε

40 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 4. Αν είναι ισχύει, να δείξετε ότι: (α) για κάθε, (β) για κάθε, 5... Δίνεται συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει,. Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο M,, να αποδείξετε ότι: (α) για κάθε (γ) για κάθε 5... Έστω, g δύο συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο για τις οποίες ισχύει ότι g για κάθε. Να δείξετε ότι: g g για κάθε 5... Έστω η συνάρτηση : για την οποία ισχύει για κάθε. Αν να δείξετε ότι για κάθε Δίνεται συνάρτηση g παραγωγίσιμη στο, για την 4 οποία ισχύει g 5, για κάθε. Να υπολογίσετε το όριο lim g Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει, για κάθε. Να αποδείξετε ότι Δίνονται οι παραγωγίσιμες, g:,, για συναρτήσεις τις οποίες ισχύει ότι g για κάθε, και g. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g στο διάστημα, Έστω μια συνάρτηση : για για την οποία ισχύει κάθε και. Να δείξετε ότι για κάθε Δίνεται συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο,,, με, για κάθε, και αποδείξετε ότι,.,. Να, για κάθε Έστω μια συνεχής συνάρτηση :, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο,. Αν, και για κάθε, να δείξετε ότι: για κάθε Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, με συνεχή παράγωγο στο,. Αν και υπάρχει τέτοιο, για κάθε,, ώστε

41 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 4 να αποδείξετε ότι κάθε,. για 6... Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο με για κάθε. και Να αποδείξετε ότι κάθε. για 6... Έστω μια συνεχής συνάρτηση :, για την οποία ισχύει 6. για κάθε. Να για κάθε. δείξετε ότι για κάθε.. Αν g g, να αποδείξετε ότι g g ( ) για κάθε Έστω μια συνάρτηση :, με. Αν για κάθε ισχύει να δείξετε ότι για κάθε Έστω μια συνεχής συνάρτηση :, με ισχύει. Αν για κάθε,, να δείξετε ότι αν, για κάθε, Δίνεται η συνάρτηση : με για κάθε. Να αποδείξετε ότι τότε ισχύει: για κάθε Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση :,, για την οποία ισχύει, για κάθε και. Να αποδείξετε ότι, για κάθε Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις, :, g, g με g και g g για κάθε. Να δείξετε ότι ln g για κάθε Έστω οι συνεχείς συναρτήσεις, g:, για τις οποίες ισχύει g για κάθε και g. Να δείξετε ότι g για κάθε Δίνεται συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο με και, για κάθε. Να αποδείξετε ότι: (α) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. (β) Για κάθε, ισχύει Μέθοδος Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης όταν:

42 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 4 (α) ln (β) (γ) (δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης όταν: (α) (β) ln ln (γ) (δ) στο, Να βρείτε το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων: (α) (β) ln (γ) (δ) Δίνεται συνάρτηση τρεις φορές παραγωγίσιμη στο, με, για την οποία ισχύει ότι,, και, για κάθε. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης g Μέθοδος Να λύσετε τις εξισώσεις: ln (α) (β) ln 5 (γ) (δ) ln (ε) (ζ) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει στο, μοναδική ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει στο διάστημα, μοναδική ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μοναδική ρίζα για κάθε Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει στο μοναδική ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση ln έχει το πολύ μία ρίζα Να δείξετε ότι η εξίσωση, έχει στο μοναδική ρίζα Δίνεται η συνάρτηση ln με,. Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε Να δείξετε ότι για κάθε, υπάρχει μοναδικό, τέτοιο ώστε.

43 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Να δείξετε ότι η εξίσωση, έχει μια μόνο ρίζα στο, Να λύσετε την εξίσωση ln Να λύσετε τις εξισώσης (α) ln (β) (γ) (δ),, Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν μια μόνο ρίζα. ln (α) (β) (γ) ln 5 4 (δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 έχει το πολύ μία ρίζα στο Να δείξετε ότι η εξίσωση 9, είναι με αδύνατη στο Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: (α) 5 4 (β) (γ) 9... Αν για κάθε, ισχύει ln ln να δείξετε ότι Αν για κάθε, ισχύει ln ln να δείξετε ότι Οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο και για κάθε και g είναι Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των, g έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο. 9.. Δίνεται η συνάρτηση (α) Να αποδείξετε ότι η είναι (β) Να λύσετε την εξίσωση 9 (γ) Να λύσετε την ανίσωση 9.. Έστω η συνάρτηση (α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία. (β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα στο, (γ) Αν g : μια συνάρτηση για την οποία ισχύει g g g για κάθε με,, και 4 να αποδείξετε ότι η εξίσωση g έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα στο,... Δίνεται η συνάρτηση. (α) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία (β) Να λύσετε τις εξισώσεις () () (γ) Να λύσετε την ανίσωση

44 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Δίνεται η συνάρτηση 4. (α) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία (β) Να λύσετε την εξίσωση: (α) Να μελετήσετε την μονοτονία της συνάρτησης 6 8 (β) Να λύσετε την εξίσωση Δίνεται η συνάρτηση ln. (α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. (β) Να λύσετε την εξίσωση: ln,,. (γ) Να λύσετε την εξίσωση Να μελετήσετε ως προς την μονοτονία τη συνάρτηση, και να βρείτε τις τιμές του που ικανοποιεί τη σχέση: Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g: με g. Αν g για κάθε να αποδείξετε ότι: (α) Οι C, C έχουν ακριβώς ένα g κοινό σημείο. (β) Οι C, C έχουν κοινή g εφαπτόμενη στο κοινό τους σημείο.... Έστω η συνάρτηση. Να δείξετε ότι ln υπάρχει ένα μόνο σημείο M της C με τετμημένη, ώστε η εφαπτομένη της C σε αυτό να είναι παράλληλη στον άξονα.... Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα, με και για κάθε,, να δείξετε ότι υπάρχει ένας μόνο αριθμός, τέτοιος ώστε 4... Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο, με και για κάθε, μόνο αριθμός, ln., να δείξετε ότι υπάρχει ένας τέτοιος ώστε Μέθοδος Έστω η συνάρτηση : παραγωγίσιμη στο με για κάθε αν ισχύει: ln για κάθε τότε: (α) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. (β) Να λύσετε την εξίσωση ln 6. :, η οποία είναι δύο φορές.. Έστω μια συνάρτηση παραγωγίσιμη και ισχύει για κάθε,. Να δείξετε ότι η

45 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 45 συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο, Δίνεται η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο, με. Αν, για κάθε, να δείξετε ότι η g, είναι γνησίως αύξουσα στο, Δίνεται συνάρτηση, ορισμένη στο, με συνεχή πρώτη παράγωγο, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις και, για κάθε. (α) Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως μονότονη. (β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα. (γ) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g, στο σημείο που τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45 ο Δίνεται συνάρτηση, παραγωγίσιμη στο, που ικανοποιεί τη σχέση και. για κάθε (α) Να εκφράσετε την ως συνάρτηση της. (β) Να αποδείξετε ότι.... Έστω μια συνάρτηση : για την οποία ισχύει για κάθε. Αν η είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο και ισχύει για κάθε, να λύσετε την εξίσωση.... Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει: για κάθε. (α) Να εξετάσετε την ως προς την μονοτονία. (β) Να λύσετε την ανίσωση... Αν δίνεται ότι οι συνεχείς συναρτήσεις, g:, είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα, g και, με g για κάθε,, να αποδείξετε ότι: (α) Αν η συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο, να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο,. (β) Αν η είναι γνησίως g φθίνουσα στο διάστημα, τότε και η είναι g φθίνουσα στο,. γνησίως. :, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει για.. Αν η συνάρτηση

46 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 46 κάθε και. Να αποδείξετε ότι: (α) Η είναι γνησίως αύξουσα. (β) (γ) (δ) ln για κάθε, για Διάφορες εφαρμογές 4... Δίνεται συνάρτηση : δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει για κάθε. Να αποδείξετε ότι: για κάθε Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει για κάθε, και lim 4. 4 (α) Να βρείτε τις τιμές και (β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ln και για κάθε. (α) Να βρείτε τον τύπο της (β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ln ln και 4 για κάθε. (α) Να βρείτε τον τύπο της (β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία και ισχύει για κάθε. (α) Να αποδείξετε ότι ln για κάθε (β) Να λύσετε την εξίσωση ln 9... Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει και για κάθε. (α) Να αποδείξετε ότι για κάθε (β) Να βρείτε το lim... Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία,. ισχύει για κάθε και (α) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία. (β) Να λύσετε τις ανισώσεις () () 5 (γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε 4

47 Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός 47. :, δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει για κάθε.. Δίνεται συνάρτηση και lim 4 4 (α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C στο σημείο της A,. (β) Να αποδείξετε ότι για κάθε (γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 5 έχει μία τουλάχιστον λύση στο,4.... Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση :, για την οποία ισχύει και για κάθε. (α) Να βρείτε τον τύπο της (β) Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία (γ) Να αποδείξετε ότι (δ) Να λύσετε την ανίσωση 5 5