ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

Transcript

1 ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος της Τεχνικής Μηχανικής Ι. Μια δύναμη F ανήκει στα λεγόμενα διανυσματικά μεγέθη και για να οριστεί πλήρως στο επίπεδο πρέπει να καθοριστούν δύο μεγέθη : α) Το μέτρο της και β) Η γωνία κατεύθυνσής της (διεύθυνση και φορά). Αν θεωρήσουμε ότι στο παράδειγμα του επόμενου σχήματος η δύναμη F αναλύεται σε δύο συνιστώσες, τις Fx και Fy.

2 Το μέτρο της δύναμης F υπολογίζεται από τον τύπο 2 2 F F x F y, ενώ η FY κατεύθυνσή της προκύπτει arctan( ) (και είναι προφανώς 0 2 ). F X Ένας εναλλακτικός τρόπος παρουσίασης της δύναμης F στο επίπεδο, είναι η θεώρηση, για κάθε άξονα, ενός μοναδιαίου διανύσματος το οποίο έχει τη διεύθυνση του άξονα και μέτρο ίσο με τη μονάδα. Για παράδειγμα, το μοναδιαίο διάνυσμα î βρίσκεται πάνω στο άξονα x, με αρχή του την αρχή των αξόνων και ισχύει μέτρο iˆ 1. Αντίστοιχα ισχύουν για το μοναδιαίο διάνυσμα ĵ που βρίσκεται πάνω στον άξονα y, με αρχή του την αρχή των αξόνων και ισχύει μέτρο ˆj 1.

3 Σε αυτή την περίπτωση η δύναμη F μπορεί να παρουσιαστεί ως F xiˆ yj ˆ, όπου x,y η τετμημένη και τεταγμένη αντίστοιχα, του πέρατος του διανύσματος. Το μέτρο του διανύσματος μπορεί να υπολογιστεί σύμφωνα με τη σχέση 2 2 F x y. Εάν βέβαια η αρχή του διανύσματος F δεν βρίσκεται στην αρχή των αξόνων αλλά σε κάποιο σημείο Α( x, y ) και το πέρας σε κάποιο σημείο Β ( x, y ), τότε η τετμημένη A A του διανύσματος F θα είναι x xb xa και αντίστοιχα η τεταγμένη θα είναι y y y. B A B B Η αντίστροφη διαδικασία μπορεί να ακολουθηθεί εάν θελήσουμε να αναλύσουμε μια δύναμη σε δύο επιμέρους συνιστώσες. Η ανάλυση έχει νόημα να γίνεται σε δύο άξονες, μη παράλληλους μεταξύ τους. Εφόσον γνωρίζουμε το μέτρο της δύναμης και την διεύθυνσή της (γωνία φ ως προς οριζόντιο επίπεδο), μπορούμε να υπολογίσουμε τις συνιστώσες. Χαρακτηριστικό παράδειγμα δίνεται στο επόμενο σχήμα.

4 Προκύπτει F Fcos και αντίστοιχα F Fsin. Επίσης με τη θεώρηση των X μοναδιαίων διανυσμάτων μπορεί να γραφεί για τη δύναμη F : F F iˆ F ˆj F Fcos iˆ Fsin ˆj. X Y Ακριβώς αντίστοιχη θεώρηση μπορεί να γίνει για τον ορισμό μιας δύναμης F στο χώρο. Σε εκείνη την περίπτωση, η δύναμη θα πρέπει να αναλυθεί σε τρεις συνιστώσες Fx, Fy και Fz και να υπολογιστούν οι γωνίες α, β, γ που σχηματίζει η δύναμη F αντίστοιχα με τους άξονες Ox, Oy και Oz. Με την ίδια λογική μπορούμε να ορίσουμε και το μοναδιαίο διάνυσμα ˆk για τον άξονα Oz. Κατά συνέπεια ένα οποιοδήποτε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να δίνεται υπό τη μορφή F xiˆ yj ˆ zkˆ. Τα συνημίτονα των γωνιών α, β, γ ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης της δύναμης F και μάλιστα ισχύει : cos cos cos 1. Ένα διάνυσμα το οποίο είναι παράλληλο με έναν από τους άξονες Ox, Oy και Oz μπορεί να υπολογιστεί ως a iˆ ή a ˆj ή a kˆ, ανάλογα προφανώς με ποιόν άξονα

5 από τους Ox, Oy και Oz είναι παράλληλο. Είναι προφανές πως η φορά του (προς τα θετικά ή προς τα αρνητικά του άξονα) θα επηρεάσει το πρόσημο του α. Εναλλακτικός τρόπος παρουσίασης ενός διανύσματος το οποίο δεν βρίσκεται πάνω σε κάποιον από τους άξονες Ox, Oy και Oz είναι να δοθεί ως γινόμενο του μέτρου του διανύσματος επί το μοναδιαίο διάνυσμα στην αντίστοιχη διεύθυνση, δηλαδή F F Fˆ. Από τη σχέση αυτή προκύπτει αντίστοιχα ο ορισμός του μοναδιαίου διανύσματος επί τυχαίου άξονα, ˆ F F. Αν το διάνυσμα F γράφεται υπό τη μορφή F F xiˆ yj ˆ zkˆ, τότε το μέτρο του υπολογίζεται σύμφωνα με τη σχέση F x y z ˆ F F x y z και κατ επέκταση το μοναδιαίο διάνυσμα θα είναι Εκτός από τα διανυσματικά μεγέθη, υπάρχουν και τα μονόμετρα μεγέθη (επιφάνεια, μάζα, χρόνος), για να ορίσουμε τα οποία χρειαζόμαστε μόνο το μέτρο τους. Τα παραπάνω στοιχεία (μέτρο και κατεύθυνση) όσον αφορά σε μια δύναμη είναι τα απαραίτητα για την ερμηνεία της επίδρασής της σε ένα απολύτως στερεό σώμα. Με τέτοια σώματα ενασχολείται η Τεχνική Μηχανική Ι. Για να μπορέσουμε να ερμηνεύσουμε την επίδραση μιας δύναμης σε ένα παραμορφώσιμο στερεό σώμα, είναι ιδιαιτέρως σημαντικό να γνωρίζουμε το σημείο εφαρμογής της δύναμης. Για παράδειγμα ας θεωρηθούν οι ράβδοι του επόμενου σχήματος, οι οποίες έχουν ακριβώς τα ίδια χαρακτηριστικά (μήκος, εμβαδό διατομής, υλικό) και είναι υποκείμενες σε δυνάμεις F με ίσο μέτρο, ίδια διεύθυνση και φορά αλλά διαφορετικό σημείο εφαρμογής.

6 Αντιλαμβάνεται κανείς ότι εφόσον στην πρώτη περίπτωση το σημείο Β δεν μπορεί να κινηθεί τότε η ράβδος ΑΒ θα υποστεί θλίψη λόγω της δύναμης και κατά συνέπεια μείωση του μήκους της. Αντιθέτως, στη δεύτερη περίπτωση και εφόσον το σημείο Α δεν μπορεί να κινηθεί τότε η ράβδος Α Β θα υποστεί εφελκυσμό λόγω της δύναμης και κατά συνέπεια αύξηση του μήκους της. Η Τεχνική Μηχανική ΙΙ (Μηχανική του Παραμορφώσιμου Σώματος) για την ερμηνεία της επίδρασης μιας δύναμης σε ένα στερεό σώμα, απαιτεί τη γνώση τόσο του μέτρου και της κατεύθυνσης όσο και του σημείο εφαρμογής μιας δύναμης στο υπό εξέταση σώμα. ΡΟΠΗ ΥΝΑΜΗΣ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ Στην Τεχνική Μηχανική Ι θα χρειαστεί πολύ συχνά να υπολογιστεί η ροπή μιας δύναμης ως προς ένα συγκεκριμένο σημείο, για την επίλυση ενός προβλήματος είτε στις δύο διαστάσεις (επίπεδο) είτε στις τρεις διαστάσεις (χώρος). Για τον υπολογισμό της ροπής της δύναμης F ως προς τη σημείο Ο του επόμενου σχήματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί η σχέση M RxF, δηλαδή ίση με το εξωτερικό γινόμενο του διανύσματος θέσης R (με αρχή το ζητούμενο σημείο και πέρας ένα οποιοδήποτε σημείο Α του άξονα της δύναμης F), επί το διάνυσμα της δύναμης F.

7 Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι και αυτό διάνυσμα και μάλιστα κάθετο στο επίπεδο που περιέχει το διάνυσμα της δύναμης. Η κατεύθυνσή του ορίζεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού (τα δάκτυλα του χεριού δείχνουν την ωρολογιακή ή αντιωρολογιακή φορά της ροπής και ο αντίχειρας δείχνει τη διεύθυνση του διανύσματος). Στο παραπάνω παράδειγμα το διάνυσμα της ροπής είναι προφανώς κάθετο στο επίπεδο που περιέχει την F και έχει φορά προς τα πάνω. Όσον αφορά στο μέτρο της ροπής της δύναμης ισχύει ότι M FRsin.

8 Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα η θέση του σημείου Α δεν επηρεάζει το τελικό αποτέλεσμα διότι καθώς το Α κινείται πάνω στο φορέα της δύναμης αντίστοιχα μεταβάλλεται η γωνία φ, με αποτέλεσμα η ποσότητα σταθερή! Πρακτικά ισχύει ότι M Rsin l να παραμένει Fl, όπου l η κάθετη απόσταση του σημείου Ο ως προς τον φορέα της δύναμης F. Αυτή η απόσταση l, ονομάζεται μοχλοβραχίονας της δύναμης ως προς το σημείο. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι αν θεωρηθεί ροπή δύναμης ως προς σημείο από το οποίο διέρχεται η διεύθυνσή της τότε η ροπή θα προκύψει μηδενική καθώς ο μοχλοβραχίονας της δύναμης θα είναι μηδενικός. Για την περίπτωση που εξετάζεται αντίστοιχο πρόβλημα στις τρεις διαστάσεις τότε για να υπολογιστεί η ροπή δύναμης ως προς σημείο είναι χρήσιμο να είναι γνωστές οι εκφράσεις τόσο του διανύσματος θέσης όσο και της δύναμης, ως προς την αρχή των αξόνων, με βάση τα μοναδιαία διανύσματα. Αφού υπάρχουν οι εκφράσεις R ai a j ak και F xiˆ yj ˆ zkˆ τότε το ζητούμενο εξωτερικό γινόμενο ˆ ˆ 1 2 3ˆ (διάνυσμα) M RxF θα προκύψει από την επίλυση της ορίζουσας του επόμενου σχήματος ως προς την πρώτη γραμμή. Μετά την επίλυση θα προκύψει μια ποσότητα της μορφής : Aiˆ Bj ˆ Ckˆ που είναι η ζητούμενη ροπή.

9 ΑΘΡΟΙΣΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Η άθροιση δύο ή περισσοτέρων διανυσμάτων δεν μπορεί να γίνει απευθείας αλγεβρικά. Για τέτοιου είδους προβλήματα στο επίπεδο και ανάλογα με το πλήθος των διανυσμάτων συνιστάται να γίνεται χρήση του κανόνα του παραλληλογράμμου (για δύο διανύσματα) ή του κανόνα του δυναμοπολυγώνου (για πάνω από δύο διανύσματα). Και οι δύο μέθοδοι είναι γραφικές και απαιτείται καλή ακρίβεια. Ενδεικτικά σχήματα που παρουσιάζονται οι δύο μέθοδοι παρατίθενται στην επόμενη σελίδα. Αλγεβρικοί υπολογισμοί μπορούν να γίνουν στα επιμέρους τρίγωνα που δημιουργούνται και απαιτούν καλή γνώση τριγωνομετρίας και εφαρμογές του νόμου των ημιτόνων και των συνημιτόνων. Εφόσον υπάρχουν οι εκφράσεις των διανυσμάτων με μοναδιαία διανύσματα μπορεί να γίνει εύκολα η πρόσθεση των διανυσμάτων, τόσο για προβλήματα δύο διαστάσεων όσο και τριών, με βάση την ακόλουθη λογική :

10 Εφόσον το διάνυσμα «Α» είναι το Ai ˆ 1 A ˆ 2j Ak 3ˆ και το διάνυσμα «Β» είναι το ˆ ˆ 1 2 3ˆ B i B j B k τότε το διάνυσμα C=Α+B θα είναι το ( A B ) iˆ ( A B ) ˆj ( A B ) kˆ Προφανώς το παραπάνω μπορεί να επεκταθεί για την περίπτωση πολλών διανυσμάτων αθροίζοντας κάθε φορά τις επιμέρους συνιστώσες τους. Επειδή πολλές φορές είναι δύσκολο να βρεθεί άμεσα ένα συγκεκριμένο διάνυσμα (μέτρο αλλά και τιμές συνιστωσών κατά τους τρεις άξονες) συνιστάται να επιλέγονται επιμέρους διανύσματα έτσι ώστε αρχίζοντας από το πέρας του διανύσματος και τελειώνοντας στην αρχή του να προκύψει «σύνθεση» του ζητούμενου διανύσματος από τα επιμέρους.

11 ΑΝΑΓΩΓΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ-ΡΟΠΩΝ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ Στο επόμενο παράδειγμα, σε κύκλο με ακμή 2m, ζητείται η εύρεση της ροπής της δύναμης F = 50 2 kn, ως προς το σημείο Ο. Η δύναμη F, έχει το φορέα της πάνω στη διαγώνιο ΕΘ της άνω ακμής του κύβου. Κατά συνέπεια η γωνία μεταξύ της ΕΘ και ΕΗ είναι 45 o. Η δύναμη F μπορεί να 2 αναλυθεί σε δύο συνιστώσες, μια κατά την ΕΗ Fcos kN (και φορά 2 προς το σημείο Η, με τελική έκφραση 50 ˆj ) και μια κατά την Ε 2 Fsin kN (και φορά προς το σημείο, με τελική έκφραση 50iˆ ). 2 Πρακτικά λοιπόν η δύναμη F μπορεί να γραφτεί ως F 50iˆ 50 ˆj. Το διάνυσμα θέσης R=OE, υπολογίζεται R 2iˆ 2kˆ.

12 Η ροπή της δύναμης ως προς το σημείο Ο προκύπτει από τη σχέση M εξωτερικό γινόμενο υπολογίζεται από την επόμενη ορίζουσα. RxF. Το Η ροπή της δύναμης F ως προς το σημείο Ο είναι : Για την περίπτωση που στον τρισδιάστατο χώρο δρουν διάφορες δυνάμεις σε συγκεκριμένα σημεία καθώς και διάφορες ροπές, μπορεί να γίνει αναγωγή του συστήματος των δυνάμεων και των ροπών σε ένα άλλο σημείο του χώρου.

13 Η αναγωγή θα γίνει σύμφωνα με το θεώρημα του Varignon, κατά το οποίο η συνισταμένη των δυνάμεων FA, FB, F C ως προς το σημείο Ο, μπορεί να ληφθεί από το διανυσματικό άθροισμα των τριών δυνάμεων, ενώ η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων ως προς το σημείο Ο αλλά και των ροπών M1, M 2, μπορεί επίσης να ληφθεί από το διανυσματικό άθροισμα των παραπάνω ροπών. Ακολουθεί αριθμητικό παράδειγμα για την καλύτερη κατανόηση του θέματος. ίνονται οι δυνάμεις : F 2iˆ 5ˆj kˆ με σημείο εφαρμογής το Α(-5,-1,2), A F 2iˆ 2ˆj 5kˆ με σημείο εφαρμογής το Β(2,-2,-1), και F 6iˆ με σημείο B εφαρμογής το C(-1,5,0) καθώς και οι ροπές M ˆ ˆ 1 4i 2j και M ˆ ˆ ˆ 2 i 2j 3k, και ζητείται να γίνει η αναγωγή του συστήματος δυνάμεων και ροπών στην αρχή των συντεταγμένων Ο. Καταρχήν υπολογίζεται η συνισταμένη των δυνάμεων F σύμφωνα με τη σχέση: F F F F ( 2 2 6) iˆ (5 2) ˆj (1 5) kˆ F 2iˆ 3ˆj 6kˆ. A B C C Εν συνεχεία υπολογίζονται οι ροπές των δυνάμεων ως προς την αρχή των συντεταγμένων σύμφωνα με τις σχέσεις M A RxF A A, M B RxF B B και M RxF. Πιο συγκεκριμένα θα έχουμε : C C C M RxF= M 11iˆ ˆj 27kˆ A A A A

14 M RxF M 12iˆ 8 ˆj 8kˆ B B B B M RxF C C C M C 30kˆ Η συνισταμένη των ροπών ως προς το σημείο Ο θα υπολογιστεί από τη σχέση: M M M M M M 28iˆ 7 ˆj 62kˆ. A B C 1 2 Με την ίδια φιλοσοφία θα δουλεύαμε αν αντί για πλήθος συγκεντρωμένων δυνάμεων και ροπών είχαμε ομοιόμορφα κατανεμημένη φόρτιση σε μια συγκεκριμένη επιφάνεια. Η φόρτιση θα μας έχει δοθεί με τη μορφή q aiˆ bj ˆ ckˆ. Αυτή η φόρτιση είναι ισοδύναμη με μια συγκεντρωμένη δύναμη F = q x Εμβαδό επιφάνειας, που βέβαια ασκείται στο κέντρο βάρους της επιφάνειας. Αφού υπολογιστεί το εμβαδό και το κέντρο βάρους της επιφάνειας, είναι γνωστή η συγκεντρωμένη δύναμη και το σημείο εφαρμογής της. Στη συνέχεια υπολογίζεται το διάνυσμα θέσης της δύναμης F ( R ), από το σημείο στο οποίο ζητείται να γίνει η αναγωγή της φόρτισης, το οποίο υπολογίζεται εύκολα αφού οι συντεταγμένες του κέντρου βάρους είναι γνωστές. Η συγκεντρωμένη δύναμη ανάγεται στο ζητούμενο σημείο ως έχει, ενώ προκύπτει και ροπή M O RxF F, η οποία υπολογίζεται με τη διαδικασία που αναπτύχθηκε στο προηγούμενο παράδειγμα. F