15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ"

Τελεσφόρος Βυζάντιος
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου 5 ΣΚΗΣΙΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ )ίνεται τρίγωνο µε = 45 και B = 75. ν µέσο της φέρουµε από το κάθετη στη διχοτόµο της γωνίας που τέµνει την στο. Στην παίρνουµε σηµείο τέτοιο ώστε B A Z = 5. ν, Δ τέµνονται στο Ο να δειχθεί ότι Ο τριγ: --> =80 ο -(75 ο +5 ο )=90 ο K 2 3 Συνεπώς ύψος τριγώνου Λ 5 τριγ: --> =80 ο (45 ο +75 ο )=60 ο Ο Δ ισοσκελές διότι Λ διχοτόμος και ύψος καί επειδή Δ=60 ο συμπεραίνουμε ότι τριγδ είναι ισόπλευρο με συνέπεια Δ==/2 δηλαδή η διάμεσος Δ που άγεται προς την είναι το μισό της με αποτέλεσμα το τρίγωνο Δ να είναι ορθογώνιο στο Δ που σημαίνει ότι Δ ύψος του τριγ πομένως το Ο είναι το ορθόκεντρο και το τμήμα Κ το τρίτο ύψος που εξ ορισμού είναι κάθετο στην. οεδ 2) ίνεται ισοσκελές τρίγωνο (=) και σηµείο Ρ πάνω στο ύψος από το. ν ισχύει Ρ= Ρ να δειχθεί ότι Ρ ιαννόπουλος Παναγιώτης Mathematica club Page

ν, Δ τέµνονται στο Ο να δειχθεί ότι Ο τριγ: --> =80 ο -(75 ο +5 ο )=90 ο K 2 3 Συνεπώς ύψος τριγώνου Λ 5 τριγ: --> =80 ο (45 ο +75 ο )=60 ο Ο Δ ισοσκελές διότι Λ διχοτόμος και ύψος καί επειδή Δ=60 ο

2 εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου Έστω ΡΤ η προέκταση της Ρ μέχρι την. Ρ = Ρ 2 ως κατακορυφήν. τριγρδ: -- > + Ρ =90 ο άρα + Ρ 2 = 90 ο (αφού =, Ρ = Ρ 2 ) επομένως ΡΤ=90 ο Δηλαδή Τ είναι ύψος του τριγώνου άρα Ρ ορθόκεντρο και επομένως το τρίτο ύψος δηλαδή κάθετος στην A Παρατήρηση: Η άσκηση λύνεται και με τη βοήθεια εγγραψίμων ΤΔ, ΤΔ κτλ Παρατήρηση: Δεν χρειάζεται το τρίγωνο να είναι ισοσκελές B 2 Ρ Τ *3) ίνεται τρίγωνο και διχοτόµος, από το φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο και είναι το συµµετρικό του ως προς το, έστω Κ σηµείο της έτσι ώστε Κ. ν η Κ τέµνει την στο και ισχύει ότι Δ=/2 να δειχθεί ότι α) Κ µέσο της β) γ) // A ιναι = 2 και = Δ (εντός εναλλάξ) άρα Δ ισοσκελές και επομένως Δ==Δ () Στο είναι Δ διάμεσος και w φ w 2 επειδή /Δ =2/ B Κ συμπεραίνουμε ότι βαρύκεντρο στο τρίγωνο επομένως η είναι η ευθεία διαμέσου από την κορυφή που τέμνει την απέναντι πλευρά στο μέσον της Κ. Δηλαδή Κ=Κ w φ 2 ιαννόπουλος Παναγιώτης Mathematica club Page 2

λύνεται και με τη βοήθεια εγγραψίμων ΤΔ, ΤΔ κτλ Παρατήρηση: Δεν χρειάζεται το τρίγωνο να είναι ισοσκελές B 2 Ρ Τ *3) ίνεται τρίγωνο και διχοτόµος, από το φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο

3 εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου ) Στο τρίγωνο η η ΚΔ ενώνει μέσα πλευρών τριγώνου άρα είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά. Ήτοι ΔΚ// και επειδή Δ ΔΚ έπεται το ζητούμενο. ) ρκεί Δ/=/ ίναι Δ/=/2 (4) επειδή βαρύκεντρο του πίσης / = /2Κ= /2Δ=/2 (5) (λόγω 3) πό 4 και 5 έπεται το ζητούμενο. τριγδκ : Κ=90 ο - 2 =90 Ο -ω Δ2=90 Ο - Δ =90 Ο -ω άρα Κ= Δ 2 =ω δηλαδή Κ=Δ (2) πό και 2 έπεται ότι Δ==Δ=Κ (3) 4) ίνεται τρίγωνο και η διάµεσος που τέµνει το ύψος στο. ν ισχύει =BE/2 τότε να δειχθεί ότι ισοσκελές ίναι =BE/2 άρα βαρύκεντρο και συνεπώς Δ (που διέρχεται απο το ) διάμεσος. πειδή Δ ταυτόχρονα ύψος και διάμεσος έπεται ότι έιναι ισοσκελές 5) ίνεται ισοσκελές τρίγωνο (=) και το ύψος και Ρ το ορθόκεντρο του και το συµµετρικό του Ρ ως προς το και µέσο του Ρ.ν η τέµνει την στο να δειχθεί ότι =2/3 AE Φέρω την Δ και στο σχηματιζόμενο τρίγωνο ΡΔ οι Δ και είναι διάμεσοι του και συνακόλουθα το είναι το βαρύκεντρό του. Άρα =2/3 AE Παρατήρηση : Δεν χρειάζεται το τρίγωνο να είναι ισοσκελές Ρ ιαννόπουλος Παναγιώτης Mathematica club Page 3

τριγδκ : Κ=90 ο - 2 =90 Ο -ω Δ2=90 Ο - Δ =90 Ο -ω άρα Κ= Δ 2 =ω δηλαδή Κ=Δ (2) πό και 2 έπεται ότι Δ==Δ=Κ (3) 4) ίνεται τρίγωνο και η διάµεσος που τέµνει το ύψος στο.

4 εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου *6)ίνεται ισοσκελές τρίγωνο (=) και µέσο του και Ρ σηµείο της το Ρ τέµνει την στο και ισχύει Ρ=2 ΡΔ. πό το υψώνω κάθετη στην που τέµνει την στο. Να δειχθεί ότι =/3AE ίναι Ρ=2ΡΔ άρα Ρ κέντρο βάρους του τριγώνου (αφού Δ διάμεσος) άρα που διέρχεται από το Ρ επίσης διάμεσος επομένως =. εταφέρω τον λόγο / στην αφού φέρω το ύψος που είναι και διάμεσος του ισοσκελούς με συνέπεια ==/2=/2. ίναι τότε /=/=/(3 )=/3. οεδ Z Ρ 7) ίνεται τρίγωνο και τυχαίο σηµείο της. πό το φέρνουµε κάθετη στην που τέµνει την στο. ν H,, Ι τα ορθόκεντρα των τριγώνων,, να δειχθεί ότι το τρίγωνο H Ι είναι ισόπλευρο αν και µόνο αν ισόπλευρο Τα ορθόκεντρα Η και βρίσκονται πάνω στην ευθεία που είναι φορέας των υψών και Δ. Το ιδιο συμβαίνει και με τα ορθοκεντρα Η, Ι και Ι, τα οποία σχηματίζουν το τριγ ΗΙ το οποίο για να είναι ισόπλευρο θα πρέπει ζ=υ=60 ο ω χ H η υ ζ Ι Ρ ζ=60 ο < = > χ=30 ο ( τριγiρ ορθογώνιο) και υ=η=60 ο οταν ω=30 ο δηλ αν ζ=υ=60 ο τότε ω+χ=60 ο δηλαδή γων =60 ο. E ιαννόπουλος Παναγιώτης Mathematica club Page 4

εταφέρω τον λόγο / στην αφού φέρω το ύψος που είναι και διάμεσος του ισοσκελούς με συνέπεια ==/2=/2. ίναι τότε /=/=/(3 )=/3. οεδ Z Ρ 7) ίνεται τρίγωνο και τυχαίο σηµείο της.

5 εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου Όμοια κυκλικά αποδεικνύεται ότι θα είναι και ==60 ο επομένως τριγ ισόπλευρο. ντιστρόφως ν ισόπλευρο η ευθεία Η που είναι φορέας του ύψους είναι και της διχοτόμου οπότε χ=ω=60 ο :2=30 ο... και εργαζόμενοι αντίστροφα σε σχέση με προηγουμένως καταλήγουμε ότι ζ=υ=60 ο επομένως τριγηι ισόπλευρο. 8) ίνεται τρίγωνο και τυχαίο σηµείο εκτός του τριγώνου, το µέσο του και το συµµετρικό του ως προς το µέσο της. ν τέµνει την στο Κ να δειχθεί ότι Κ=/3 Στο τρίγωνο Δ οι και είναι διάμεσοι του τριγώνου εκ κατασκευής, άρα το Κ είναι το κέντρο βάρους του και επομένως Κ=2/3=2/3. ½ = /3 Κ 9) ίνεται τρίγωνο και Ι το έγκεντρο του και Κ,Λ, τα συµµετρικά του Ι ως προς τις πλευρές του τριγώνου. Να δειχθεί ότι ο εγγεγραµµένος κύκλος του και ο περιγεγραµµένος του ΚΛ είναι οµόκεντροι κύκλοι και η ακτίνα του εγγεγραµµένου είναι η µισή της ακτίνας του περιγεγραµµένου Στο σχήμα είναι,, Δ διχοτόμοι. Κ ίναι Ι=ΙΤ (γιατί τα σημεία της γωνίας ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας) άρα 2Ι=2ΙΤ ή ΙΛ=ΙΚ δηλαδή το Ι είναι σημείο της μεσοκαθέτου της ΚΛ. Ομοίως το Ι είναι σημείο της μεσοκαθέτου της Κ. Το Ι (έγκεντρο του ) βρίσκεται ταυτόχρονα στις δύο μεσοκαθέτους των πλευρών του τριγώνου ΚΛ δηλαδή συμπίπτει με το περίκεντρο και Ι Λ Τ ιαννόπουλος Παναγιώτης Mathematica club Page 5

.. και εργαζόμενοι αντίστροφα σε σχέση με προηγουμένως καταλήγουμε ότι ζ=υ=60 ο επομένως τριγηι ισόπλευρο.

6 εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου επειδή ΙΛ=2Ι έχουμε R=2ρ. όεδ *0) ίνεται τρίγωνο και το ύψος. Στις πλευρές, παίρνουµε,ν τέτοια ώστε Ν//. ν η κάθετη από το στην Ν τέµνει το στο Η τότε να δειχθεί ότι Η E ίναι Ν// και επειδή Ν - - > Ν Η δηλαδή στο τρίγωνο ύψος (όπως και το Δ άρα το κοινό τους σημείο Η είναι ορθόκεντρο. Συνεπώς Η τμήμα του ύψους που αναγνκαστικά είναι κάθετο επί της *) ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (A =90 ) και διχοτόµος. Πάνω στην παίρνουµε έτσι ώστε =. πό το φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο. Να δειχθεί ότι α) β) = α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές εκ κατασκευής. Συνεπώς Η διχοτόμος της γωνίας του είναι ταυτόχρονα και ύψος άρα Δ αρα Π αφού // A Ρ (ΔΠ προέκταση της Δ) δηλαδή Π ύψος στο. είναι επίσης ύψος στο τριγ άρα Δ ορθόκεντρο και επομένως το τμήμα που διέρχεται από το ορθόκεντρο Δ είναι το τρίτο ύψος του τριγώνου που σημαίνει ότι Π β) Τριγ ισοσκελές διότι Π διχοτόμος και ύψος. ίναι επομένως = και από υπόθεση είναι =. ε αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει = 2)ίνεται τετράγωνο και µέσο της. ν η τέµνει την στο να δειχθεί ότι =2/3. ν η τέµνει την στο Κ να δειχθεί ότι Κ τέµνει την στο µέσο της ιαννόπουλος Παναγιώτης Mathematica club Page 6

Συνεπώς Η τμήμα του ύψους που αναγνκαστικά είναι κάθετο επί της *) ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο (A =90 ) και διχοτόµος. Πάνω στην παίρνουµε έτσι ώστε =. πό το φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο.

7 εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου Ο ) Φέρω την. Τότε Ο=Ο διότι οι διαγώνιοι του τετραγώνου διχοτομούνται και είναι επίσης Δ= εκ κατασκευής. πομένως και ΔΟ είναι διάμεσοι του τριγώνου Δ και το κέντρο βάρους αυτού συνεπώς =2/3. ) Τριγ =τριγ ΚΔ (=Δ=90 ο, Δ=, ΔΚ= B, γ- K π-γ) συνεπώς ΔΚ=Δ και =Κ ή ισοδύναμα Δ, μέσα αντιστοίχως των Κ και Κ που είναι πλευρές του τριγώνου Κ επομένως και Δ διάμεσοι του τριγώνου άρα βαρύκεντρο του Κ οπότε η ευθεία Κ είναι φορέας της διαμέσου και τέμνει την στο μέσον της. *3) ίνεται τετράγωνο και στην προέκταση της παίρνουµε σηµείο. Φέρνουµε την διχοτόµο της A B E που τέµνει την στο να δειχθεί ότι E διχοτόµος της A E B ίναι = 2 επειδή η διαγώνιος του τετραγώνου είναι και διχοτόμος των γωνιών του. πομένως στο τρίγωνο το είναι έγκεντρο ως σημείο τομής δύο διχοτόμων του άρα είναι η τρίτη διχοτόμος 2 Τ ω 2 ω 4) ίνεται τρίγωνο έστω,, οι τρείς διάµεσοι του και το βαρύκεντρο. ν το µέσο του και η τέµνει την στο Κ να δειχθεί ότι α) Κ=2/9 β) το είναι παραλληλόγραµµο ιαννόπουλος Παναγιώτης Mathematica club Page 7

) Τριγ =τριγ ΚΔ (=Δ=90 ο, Δ=, ΔΚ= B, γ- K π-γ) συνεπώς ΔΚ=Δ και =Κ ή ισοδύναμα Δ, μέσα αντιστοίχως των Κ και Κ που είναι πλευρές του τριγώνου Κ επομένως και Δ διάμεσοι του τριγώνου άρα βαρύκεντρο του

8 εωμετρία α λυκείου ξιοσημείωτα σημεία τριγώνου A ίναι Δ διάμεσος και βαρύκεντρο του τριγώνου. ρα Δ=/3Δ ) ίναι Δ και διάμεσοι στο τρίγωνο συνεπώς το Κ είναι κέντρο βάρους του τριγ και επομένως Κ=2/3Δ=2/3 (/3 Δ) =2/9 Δ ) ίναι //= /2 ή //= ½ 2/3Δ ή //= /3Δ ή //= Δ. πομένως Δ είναι παραλληλόγραμμο. B Κ 5)ίνεται κυρτό τετράπλευρο µε βαρύκεντρο του ν,, Η µέσα των,, αντίστοιχα να δειχθεί ότι =Η ρκεί να δείξουμε ότι Η είναι παραλληλόγραμμο. ίναι όμως =/2 () φού διάμεσος και βαρύκεντρο στο τρίγωνο. Στο τρίγωνο Δ η Η συνδέει τα μέσα των δύο πλευρών του άρα Η //=/2 //= λόγω της () άρα Η είναι παραλληλόγραμμο και επομένως =Η Η ((((((((((((((((((ΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟΟ))))))))))))))))) ερικών ασκήσεων οι εκφωνήσεις έχουν τροποποιηθεί (αυτές με το αστεράκι) και μερικά γράμματα έχουν αντικατασταθεί από άλλα.οι εκφωνήσεις των ασκήσεων προέρχονται από τον Sidchris μέλους του Mathematica club και είναι αρχειοθετημένες στη τράπεζα θεμάτων στο φάκελο εωμετρία α λυκείου υπο τον τίτλο ΛΥΤΣ ΣΤ ΞΙΟΣΗΙΩΤ ΣΗΙ ΤΡΙΩΝΟΥ. ια παρατηρήσεις, λάθη, διορθώσεις στείλετε ένα μήνυμα στο Math_finder «το γνωστό σύμβολο»pathfinder.gr ιαννόπουλος Παναγιώτης. ιαννόπουλος Παναγιώτης Mathematica club Page 8

πομένως Δ είναι παραλληλόγραμμο. B Κ 5)ίνεται κυρτό τετράπλευρο µε βαρύκεντρο του ν,, Η µέσα των,, αντίστοιχα να δειχθεί ότι =Η ρκεί να δείξουμε ότι Η είναι παραλληλόγραμμο.

Σχετικά έγγραφα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε