الوحدة األولى البناء الرياضي ليندسة إقميدس

Transcript

1 الوحدة األولى البناء الرياضي ليندسة إقميدس نظم المسممات 1 مكونات نظام المسممات يتكون أي نظام مسممات رياضي من : )1 ) )3 )4 )5 )6 مجموعة من العناصر األولية غير المعرفة مجموعة من العالقات األولية الغير معرفة تربط العناصر األولية مع بعضيا البعض مجموعة من التعاريف باستعمال العناصر والعالقات األولية الغير معرفة مجموعة من المسممات ] المسممة ىي عبارة أو جممة خبرية مكتوبة بداللة العناصر والعالقات األولية يسمم بصحتيا دون برىان] مجموعة من القواعد المنطقية تستخدم اإلستنتاج نتائج جديدة في أي نظام قيد الد ارسة مجموعة من النظريات يمكن برىنتيا من العناصر األولية والعالقات األولية والمسممات والقواعد المنطقية 5 نظامين من نظم مسممات اليندسة أوال: نظام ىندسة فانو _ العناصر األولية )1 ) _ مجموعة من العناصر غير المعرفة يسمى كل عنصر فييا نقطة مجموعة من المجموعات الجزئية من المجموعة في البند 1 ( يسمى كل عنصر فييا الخط يتكون من نقاط العالقات األولية يقع عمى أو "تقع عمى" _ التعاريف خط و ذ كبل _ النقطة A تقع عمى الخط L إذا كانت النقطة A إحدى عناصر الخط L وفي ىذه الحالة نقول أيضا أن الخط L يقع عمى النقطة A _ المسممات مسممة )1( : يوجد خط واحد في النظام عمى األقل 1

2 مسممة )( : مسممة )3( : مسممة )4( : مسممة )5( : تقع عمى كل خط ثالث نقاط فقط لكل خط توجد نقطة ال تقع عميو يقع عمى أي نقطتين خط وحيد يقع عمى أي خطين نقطة عمى األقل نظريات متعمقة بيندسة فانو نظرية )13( البرىان: يقع على أي خطين نقطة وحيدة لتكن,L M أي خطين حسب المسممة الخامسة يقع عمييما نقطة عمى األقل نفرض أنو يقع عمييما نقطتان,A B إذن يقع عمى النقطتين,A B خطان ىما L, M وىذا يناقض المسممة ال اربعة في النظام إذن يقع عمى الخطين نقطة واحدة فقط نظرية )14( البرىان: ألي نقطة يوجد خط ال ي قع عمييا لتكن A أي نقطة إذن يوجد خط في النظام مثل L )المسممة األولى( الحالة األولى: الحالة الثانية: L L ال ي قع عمى النقطة A وبذلك ينتيي البرىان يقع عمى النقطة A إذن يوجد نقطة مثل B ال تقع عمى الخط L )المسلمة الثالثة( إذن يوجد نقطة أخرى مثل C تقع عمى الخط L )المسممة الثانية( إذن يقع عمى النقطتين B C خط وحيد M إذن الخط M )المسممة ال اربعة( بما أن B ال تقع عمى L إذن الخط L يختمف عن الخط M ال تقع A ألنو C و A عمى L عميو ألنو لو وقعت عميو و C عميو فإنو حسب المسممة ال اربعة يكون L ىو M إذن يوجد خط ال يقع عمى النقطة A ثانيا: نظام ىندسة ينغ العناصر األولية و العالقات األولية و التعاريف و المسممات 4-1 ىي نفسيا الموجودة في ىندسة فانو ما عدا المسممة الخامسة ف تصبح كما يمي: مسممة )5( : ألي نقطة تقع عمى خط الخط عمى الخط المعطى معطى ي وجد خط واحد فقط يقع عمى ال نقطة وال تقع أي من نقاط

3 3 نظام مسممات اقميدس من وجية نظر حديثة 13 النقاط والخطوط والمستويات العناصر غير معرفة ىي: العناصر غير معرفةىي: بحيث تتحقق المسممات التالية مسممة )1( مسممة )( مسممة )3( مسممة )4( مسممة )5( عمييما سنرمز لو بالرمز مسممة )6( نقطة أ ال تقع عمى خط مسممة )7( مالحظة البرىان نقطة وخط ومستوى يقع عمى تقع عمى أي خط نقطتان عمى األقل يوجد خط واحد في النظام عمى األقل ألي خط توجد نقطة ال تقع عميو ألي مستوى توجد نقطة ال تقع عميو ) يقع عمى أي نقطتين خط وحيد ( إذا كانت أ ب نقطتين فإنيما تحددان خطا وحيدا يقع ألي نقطة ال تقع عمى خط يوجد مستوى وحيد يقع عمى النقطة والخط ( وىذا يعني أن أي L تحدد سويا )أ L ) مستوى وحيدا يقع عمييما( يقع عمى أي مستوى ثالث نقاط عمى األقل إذا كان,L M خطين فإنو يقع عمييما نقطة واحدة عمى األكثر نفرض أن أ ب نقطتين تقعان عمى الخطين,L M اذن الخطين,L M وىذا يناقض المسممة الخامسة اذن يقع عمى,L M يقعان عمى النقطتين أ ب نقطة واحدة عمى االكثر تعريف) 3 ( تعريف) 4 ( تعريف) 5 ( تسمى جميع النقاط في النظام فضاء تسمى أي مجموعة من النقاط التي تقع عمى خط واحد مجموعة خطية تسمى أي مجموعة من النقاط التي تقع عمى مستوى مجموعة مستوية مسممة) 8 ( اذا وقعت نقطتان من نقاط خط عمى مستوى فان جميع نقاط الخط تقع عمى المستوى مسممة )9( اذا وقعت نقطة عمى مستويين فإنو يقع عمى المستويين خط وحيد يسمى خط تقاطع المستويين 3

4 ع) ع ع مثال 91 أثبت انو يقع عمى ثالث نقاط غير خطية مستوى وحيد البرىان لتكن أ ب ج ثالث نقاط غير خطية )5 إذن تحدد النقطتان أ ب خطأ وحيدا ىو )حسب مسممة اذن ج ال تقع عمى الخط )فرضا ( اذن يوجد مستوى وحيد يقع عمى النقطة ج والخط )حسب مسممة 6( وىذا ىو المستوى المطموب و الوحيد الذي يقع عمى النقاط أ ب ج سؤال اثبت أنو يقع عمى أي خطين بينيما نقطة مشتركة مستوى وحيد 3 مسممة المسطرة واألشعة والقطع المستقيمة مسممة )10( )مسممة المسطرة ) اذا كانت أ ب نقطتين عمى خط L فأنو يمكن وضع إحداثيات عمى الخط الحقيقية بحيث تأخذ النقطة أ اإلحداثي صفر و تأخذ النقطة ب أب L وليكن خط األعداد إحداثيا موجبا ونكتب ىذا االحداثي مالحظة العدد الحقيقي الموجب الذي يقابل النقطة ب يسمى المسافة بين النقطة أ والنقطة ب L تعريف) 5 ( اذا كانت أ ب ج ثالث نقاط عمى خط فإننا نقول أن ب تقع بين النقطتين أ ج اذا كان أب + أج ب ج نظرية) 51 ( اذا كانت أ, ب, ج ثالث نقاط عمى خط L واحداثيات النقاط عمى الرتيب ىي س, ص, ع > ص > س( فان النقطة ب تقع بين النقطة أ, ج )معطى( البرىان بما ان ع > ص > س اذن ع- ص ص- س ص - ص )و ىي المسافة بين النقطة ج و النقطة ب( - س - س ع- س اذن أب ص- س ب ج ع- ص أ ج ع- س )حسب مسممة المسطرة( ولكن أ ب + ب ج ص- س + ع- ص ع- س أ ج وبذلك تكون النقطة ب تقع بين النقطتين أ و ج 4

5 نظرية )6( البرىان الي ثالث نقاط تقع عمى خط إحداىا فقط تقع بين النقطتين األخريين لتكن أ ب ج أي ثالث ن قاط مختمفة تقع عمى خط L اذن لكل من النقاط احداثي وليكن س ص من خواص االعداد الحقيقية نرتب س ص اذن ب تقع بين النقطتين أ ج نفرض أن أ تقع بين النقطتين ب ج ع عمى الترتيب )حسب مسممة المسطرة( ع تصاعديا وليكن مثال ع > ص > س )نظرية 5( اذن ب أ + أ ج ب ج )1( ولكن ب تقع بين النقطتين أ ج اذن أ ب + ب ج أج )( اذن بالتعويض من )( في )1( نحصل عمى ب ج ب أ + أ ب + ب ج ومنيا ب أ - أ ب وىذا مستحيل حيث ان ب أ أب > صفر اذن ال يمكن ان تقع ا بين النقطتين ب ج بالمثل اليمكن ان تقع ج بين النقطتين أ ب وبذلك ينتيي برىان النظرية تعريف )71( )القطعة المستقيمة( الي نقطتين أ ب تعرف القطعة المستقيمة نيا جميع نقاط الخط التي تتكون من أ ب وجميع النقاط التي تقع بين النقطتين أ ب وتسمى أ ب نيايتي القطعة المستقيمة تعريف )81( تسمى أب بأنيا طول القطعة المستقيمة مالحظة أي نقطة أ عمى الخط تقسم نقاط الخط إلى مجموعتين لتكن ب نقطة من نقاط إحدى L المجموعتين تسمى جميع نقاط الخط L في ىذه المجموعة باإلضافة لمنقطة أ شعاعا نرمز لو بالرمز تسمى النقطة أ بداية الشعاع بنفس األسموب إذا كانت ج نقطة في المجموعة األخرى فاننا نعرف الشعاع النقطة أ ىي النقطة الوحيدة المشتركة بين الشعاعين يسمى الشعاعان لمخط L شعاعين متعاكسين 5

6 نظرية) 71 ( إذا كان الشعاع بحيت س ع أ شعاعا وكان س عددا حقيقيا موجبا فانو توجد نقطة وحيدة ع من نقاط تعريف) 91 ( نقول ان النقطة ب نقطة منتصف القطعة المستقيمة اذا كانت ب تقع بين أ ج وكان أ ب ج ب نظرية) 81 ( الي قطعة مستقيمة يوجد نقطة منتصف وحيدة تعريف) 101 ( تسمى أي مجموعة من النقاط مجموعة محدبة اذا تحقق الشرط التالي: إذا كانت أ ب نقطتين في المجموعة فإن نقاط ال قطعة المستقيمة تقع جميعيا في المجموعة تعريف )111( واحد تسمى أي مجموعة من الخطوط مجموعة خطوط مستوية إذا وقعت جميعا في مستوى مسممة )11( )مسممة فصل المستوى( اذا كان L خطا يقع في مستوى س فإن نقاط المستوى التي تقع عمى الخط L تنقسم الى مجموعتين بحيث إذا كانت ف نقطة في أحد المجموعتين وكانت ق نقطة في المجموعة األخرى فانو توجد نقطة مشتركة بين الخط L والقطعة المستقيمة مالحظة في المسممة )11( تسمى النقاط في المستوى الواقعة في إحدى المجموعتين نصف المستوى ليذا فان نقاط المستوى تنقسم بالخط L إلى نصفى المستوى ويسمى الخط L حدا لنصفي المستوى يسمى كل نصف مستوى جية من الخط L بنفس الطريقة قان نقاط الفضاء تقسم الى نصفي فضاء بواسطة أي مستوى ويكون المستوى حدا لنصفى الفضاء 6

7 مسممة )1( )مسممة فصل الفضاء( ينقسم نقاط الفضاء التي ال تقع عمى مستوى إلى مجموعتين محدبت ين ليس بينيما نقطة مشتركة بحيث اذا كانت ف نقطة في احدى المجموعتين وكانت ق نقطة قي المجموعة األخرى فانو توجد نقطة مشتركة بين المستوى والقطعة المستقيمة الزوايا 4 تعريف ال ازوية اذا كان شعاعين ليما نفس نقطة البداية وكانت ا ب ج غير خطية فان اتحاد الشعاعين يسمى ازوية أرسيا النقطة أ وضمعاىا الشعاعين وفي ىذه الحالة تسمى ال ازوية < ب ا ج أو < ج ا ب مالحظات ا النقاط أ,ب,ج تحدد مستوى وحيد تقع عميو ال ازوية < ب أ ج اذا كانت س نقطة تقع عمى المستوى الذي تقع فيو ال ازوية < ب أج وكانت ج, س تقعان في نفس نصف المستوى بالنسبة لمخط وكانت ب, س تقعان في نفس نصف المستوى بالنسبة لمخط فان النقطة س تسمى داخل ال ازوية < ب أج وتسمى جميع النقاط الواقعة داخل ال ازوية < ب داخل ال ازوية 3 كل النقاط في المستوى التي ال تقع عمى ال ازوية وليست داخل ال ازوية تسمى خارج ال ازوية أج < ب 4 اذا كان الشعاعان متعاكسين أي أن أ,ب,ج خطية فانو يصطمح بان تقول أج ازوية مستقيمة ق اس الزاو ة مسلمة )13( 180 ألي زاو ة < ب أ ج وجد عدد حق ق ب ن العدد ن صفر الحالة نقول ان ق اس الزاو ة < ب أ ج ساوي ل قابلها مثل ل و ف هذه وعندما قترب الشعاع من الشعاع ( ل نطبق عل ه ) فان ق اس الزاو ة صبح صفرا ب نما عندما صبح الشعاع ن متعاكس ن فان ق اس الزاو ة صبح ( 180 زاو ة مستق مة( 7

8 ) مسلمة )14( ( مسلمة رسم الزوا ا ل كن شعاعا قع على حد نصف مستوى س لكل عدد حق ق ل قع ب ن العدد ن صفر وجد شعاع وح د ح ث النقطة ج تقع ف نصف المستوى س وتكون الزاو ة 180 >ب أ ج ق اسها ل ) ( ) 15 مسلمة ( مسلمة جم ع الزوا ا اذا كانت د نقطة تقع داخل الزاو ة >ب أ ج فان ق اس الزاو ة >دأ ب + ج ساوي ق اس الزاو ة < ب أ ج ق اس الزاو ة < دأ مالحظات : نقول ان ال ازويتين >د أ ب < ج أ د تشكل ثنائيا خطيا أو عمى استقامة واحدة اذا 1 كان الشعاعين متعاكسين وفي ىذه الحالة نقول ان ال ازويتين متكاممتان أو متجاورتان عمى خط مستقيم ) < نرمز لقياس ال ازوية < أب ج بالرمز ق) أ ب ج اذا تقاطع خطان مثل في نقطة فاننا نقول ان ال ازويتين د أ ج >ب < 3 متقابمتين بال ارس كذلك نقول ان ال ازويتين ج > ب >أ د متقابمتان بال أرس أيضا نقول ان ال ازويتين < ب أ ج > س ص ع متطابقتان اذا كان ليما نفس القياس وفي 4 ) ىذه الحالة نكتب ق) ) < ب أ ج ع < س ص ق) اذا كانت ال ازويتان < ب أ د < د أ ج تشكل ثنائيا خطيا وكانتا متساويتان في القياس 5 90 ) ( ) فان ق ( < ب أ د د أ ج ق وفي ىذه الحالة نقول ان كل منيما قائمة وان يعامد الخط الخط ) 90 تسمى ال ازوية ) )> ب أ ج ازوية حادة اذا كان قياسيا اقل من )واكبر من صفر 6 ) 180 ( ونقول انيا منفرجة اذا كان قياسيا اكبر من 90 واقل من 8

9 7 اذا ج أزنا ال ازوية القائمة الى تسعين جزءا متساويا فإن قياس كل ازوية منيا يسمى درجة ) ( ونقول ان ق) ) < ب أ ج ل درجة مثال وتكتب ق < ب أ ج لº º90 تسمى ال ازويتان المجموع قياسيما متتامتان 8 نظر ة ( )91 كل زاو ت ن متقابلت ن ف الرأس متطابقتان المعط ات : لتكن خط ن متقاطع ن ف النقطة ه المطلوب : ق ( < أ ه ج( ق ( ب> ه د ) البرهان : بما ان الزاو ت ن < ج ه أ و < أ ه د ثنائ خط اذن ق ( ج> ه أ( + ق ( < أ ه د ) 180 بالمثل ق ( < أ ه د( + ق ( < د ه ب ) 180 اذن ق ( ج> ه أ( ق ( < د ه ب ) اي ان الزاو ت ن متطابقت ن بالمثل بالنسبة للزاو ت ن المتقابلت ن االخر ن المثلثات : 5 اذا كانت أ ب ج ثالث نقاط غ ر خط ة فان اتحاد القطع المستق مة سمى مثلثا ( كما ف الشكل ) و رمز له بالرمز أ ب ج وتسمى القطع المستق مة الثالث اضالع المثلث والنقاط أ ب ج رؤوس المثلث وللمثلث ثالث زوا ا وه هنا < أب ج < ب أ ج < ب ج أ تسمى زوا ا المثلث واح انا نكتب اختصارا زاو ة < أ بدال من < ب أ ج وهكذا مالحظات : 1 تسمى ال ازوية في أ أب ج مقابمة لمضمع كذلك < ب تقابل الضمع < وال ازوية < ج تقابل الضمع 9

10 ) < ب < تسمى جميع النقاط في مست وى المثلث والتي تقع داخل زوايا المثمث )> ج أ بداخل المثمث بينما كل نقاط ىذا المستوى والتي ال تقع عمى المثمث أو داخمو تسمى خارج المثمث وكانت ج بين النقطتين د ب فان ال ازوية 3 اذا كانت نقطة د تقع عمى الخط د ج أ تسمى ازوية خارجة عن المثمث أ ب ج كذلك الحال بالمثل بالنسبة لم ازويتين < أ ب >ج أ س كميا زويا ا خارجة عن أ ب ج < : يصنف 4 أ ب ج تبعا الضالعو وزواياه كما يمي اذا كان في أ ب ج ضمعين متساويين فاننا نسمي أ ب ج متساوي الساقين اذا كان أ ب ج جميع أ ضالعو متساوية فاننا نسمي أ ب ج متساوي األضالع اذا كانت احدى زوايا أ ب ج قائمة فاننا نسمي أ ب ج قائم ال ازوية اذا كانت احدى زوايا أ ب ج منفرجة فاننا نسمي أ ب ج منفرج ال ازوية اذا كانت جميع زوايا أ ب ج حادة فاننا نسمي أ ب ج حاد الزوايا اذا كانت نقاط في مستوى س فان اتحاد القطع المستقيمة 5 يسمى مضمعا بشرط ان اي ال تتقاطع اثنتين من ىذه القطع تسمى ىذه ال قطع المستقيمة أضالع المضمع وتسمى الزوايا < زوايا المضمع والنقاط رؤوس المضمع < < اذا كانت ن يسمى المضمع مثمث واذا كان ن يسمى سكال رباعيا واذا كانت ن يسمى خماسيا وىكذا 9- اذا كانت جميع اضالع المضمع متساوية فيسمى مضمعا منتظما 10

11 ) تنقسم نقاط المستوى ( مستوى المضمع الى ثالث مجموعات نقاط المضمع أوال: -10 وىي التي تقع عمى اضالع المضمع ثانيا: النقاط داخل المضمع وىي التي تقع داخل جميع زوايا المضمع ثالثا: نقاط خارج المضمع وىي التي تقع في المستوى وال تقع ال داخل المضمع وال عمى اضالع المضمع مسلمة) 16 ()مسلمة باش( اذا كلنت أ نقطة داخل المضلع وكانت ب نقطة خارجة وكانت القطعة المستق مة تقع على اي من رؤوس المضلع فان هذه القطعة ت قطع احد اضالع المضلع ال مسلمة )17( ( مسلمة التوازي ) اذا كانت أ نقطة ال تقع على خط مثل L فانه وجد ف المستوى الوح د الذي تحدده النقطة وال تقع اي من نقاطه على الخط L سمى هذا الخط أ والخط خط وح د قع على النقطة مواز ا للخط L واجب: جم ع اسئلة الوحدة الخامسة من كتاب الر اض ات الجزء الثان للصف السابع 11

12 س> الوحدة الثانية تطابق المثمثات Δ تعريف )1( المثمثان ا ب ج Δ س ص ع متطابقان إذا أمكن تعريف تناظر بين رؤوس المثمثين بحيث تكون األضالع المتناظرة متساوية والزوايا المتناظرة متساوية وفي ىذ ه الحالة نكتب ا ب ج Δ س ص ع Δ مالحظة عالقة التطابق ىي عالقة تكافؤ مسممة التطابق ( بضمعين و ازوية محص ورة بينيما ( ينطبق مثمثان أذا امكن تعريف تناظر بين رؤوس المثمثين بحيث يساوي ضمعين من المثمث األول الضمعين المناظرين في المثمث الثاني وتساوي ال ازوية المحصورة بين الضمعين في المثمث األول ال ازوية المناظرة ليا في المثمث الثاني ب مثال ا ب ج د شكل رباعي الضمع ذ من جية ب إلى النقطة ه بحيث ان ا د ه ه( فاذا كانت النقطة س منتصف الضمع وكانت ق )> )> ب ا د( ق ا ب د ان فبرىن ه س تقع عمى خط المعطيات: ا ب ج د شكل رباعي فيو ا س ب س ب ه( ا ب ق)> ا د ه ق)> ب ا د( المطموب: أثبت ان النقاط د س عمى خط ه العمل: نصل Δ ب س البرىان: نطبق المثمثين Δ ا س د فيوما ه ه ا د ب فرضا ب س ا س فرضا د( ا ق ( ه( ق)> س ب فرضا 1

13 إذن ينطبق المثمثان بضمعين و ازوية محصورة بينيما وينتج أن ق )> ا س د( ق)> ب س ه( ) ( د( ا س ق)> ولكن ه( ق)> ب س النيا متجاورت ين عمى خط واحد اذن 180 ا س د( ق)> ه( ا س ق)> + ه اذن د س تقع عمى خط واحد ىو ) واجب) نظرية )10( ازويتان القاعدة في المثمث المتساوي الساقين متساويان نتيجة منصف ازوية ال ارس في المثمث المتساوي ينصف القاعدة )واجب( )1( نتيجة منصف ازوية ال ارس في المثمث المتساوي الساقين يعامد القاعدة )واجب( )( نتيجة )( ازويا المثمث المتساوي األضالع متساوية المعطيات: المثمث ا ب ج فيو ا ب ا ج ب ج المطموب: اثبات أن ق)> ا ب ج( ا ج ب( ق)> ق)> ب ا ج( البرىان : واجب تظرية )330( العمود القائم من منتصف القاعدة في المثمث المتساوي الساقين يمر ب ارسو المعطيات: المتمت ا ب ج فيو ا ب د منتصف ا ج اقيم العمود في الجية التي تقع فييا ا المطموب: اثبت ان النقطة تفع عمى العمود ا نصل العمل: 13

14 ب> ج> ب> ع> ج> )1( ) البرىان: ق) ج( ق)> إذن ا ج بما ا ب حسب نظرية نطبق المثمثين Δ ا ب د Δ ا ج د ف ييما : ا ج ا ب معطى ج د ب د معطى ) ق) ب> ق) ) بالبرىان اذن ينطبق المثمثان بضمعين و ازوية المحصورة بينيما وينتج ان ق)> ولكن ا د ج( ق)> ا د ب( مجموعيما اذن ق)> ا د ج( ق)> ا د ب( يعامد فان لذا عند النقطة د بما ان يعامد عند النقطة د اذن ينطبق عمى الشعاع وىذا يعني ان العمود المقام من منتصف القاعدة يمر بال أرس ا 3 حاالت تطابق اخرى نظرية )4( ( التطابق ب ازويتين وضمع المحصور( اذا ساوت ازويتان من المثمث األول ازويتين مناطرتين من المثمث الثاني وساو الضمع المناظر ى المحصور ب ين ال ازويتين في المثمث االول الضمع المناظر المحصور فان المثمثين متطابقان بين ال ازويتين في المثمث الثاني المعطيات: المثمثان Δ ا ب ج Δ س ص ع فيوما: ) ) ) ق) ) ب ج ق) ق) ق) ص> ص ع إثبات أن المطموب: المثمث ا ب ج يطابق المثمث س ص ع 14

15 ب> ص> ( العمل: نختار نقطعة عمى الشعاع مثل د بحيث ان ص د ب ا ثم نصل ) الحظ ان د ليس بالضرورة ان تقع عمى القطعة Δ البرىان: نطبق المثمثين Δ د ص ع ا ب ج فيوما: ص د ب ا بالعمل ب ج ص ع معطى ) ق) ) ق) معطى اذن ينطبق المثمث ان تمام اإلنطباق بضمعين و ازوية محصورة بينيما وينتج ان: د ع ص( ق)> ا ج ب( ق)> ولكن ق)> س ص ع( ا ج ب( ق)> اذن ق)> دع ص( ق)> س ع ص( Δ اذن يجب أن تنطبق د عمى س وبذلك ينطبق المثمثان Δ س ص ع ا ب ج تمام االطباق ) واجب) < < ب مثال 3 المثمث ا ب ج فيو ق ق ج اثبت ان أ ج ا ب تدريب ا ب ج د شكل رباعي, وصل إذا كان ق)> د ا ج( ا ج ب(, ق)> )3( ا ج د( ق)> ق)> ب ا ج(, ف برىن ان ا د ب ج, ا ب د ج نظرية )5( التطابق بثالثة أضالع اذا وجد تناظر ب ين رؤوس مثمثين بحث تساوي األضالع في المثمث األول اإلضالع المناظرة في المثمث الثاني فان المثمثين متطابق ان 15

16 ج> ب> المعطيات: المثمثان ا ب ج س ص ع فيوما: س ع ا ج ب ج ا ب ص ع س ص المطموب: اثبات ان المثمثين متطابق ان العمل: نرسم من الن قطة ع شعاعا مثل ا ج ب( ق)> ع ص( ه بحيث ق)> ثم ناخذ نقطة عمى ىذا الشعاع ثم نصل اج ع ل أن بحيث مثل ل Δ البرىان: المثمثان Δ ل ع ص ا ج ب فيوما: ا ج ل ع بالعمل ج ب ع ص معطى ل ع ص( ق)> ا ج ب( ق)> معطى ينطبق المثمثان تمام االنطباق بضمعين و ازوية المحصورة بينيما وينتج ان ل ص ا ب ولكن ا ب س ص اذن ل ص س ص أي ان المثمث س ص ل متساوي الساقين س بما ان ع ل معطى ع ا ج أن و بالعمل ج ا اذن ع ل س ع اذن المثمث س ع ل متساوي الساقين اذن حسب نظرية )3( العمود المقام من منتصف القاعدة في المثمثين يمر بال أرسين ع ص وىذا مستحيل اال اذا انطبقت النقطة وفي ىذه الحالة س عمى النقطة ل قان ا ج ب( ق)> ق)> س ص ع( ) ) ( وليذا ينطبق المثمثان Δ ا ج ب Δ س ص ع بضمعين و ازية محصورة ق) ص> ق) س ص ا ج ب ج ع ص( مثال )4,( ا ب ج د شكل رباعي فيو ب ارىن ان ا د ب ج ب ا ج د ق) ) ق)> ج( ق)> د( ق)> ا( (واجب) 16

17 ص> ب> ب> ص> تدريب )4( ا ب ج د شكل رباعي فيو د ج اثبت ان ا ب, ا د ج ب, يعامد نظرية )6( اذا وجد تناظر ب ين رؤوس مثمثين قائمي ال ازوية بحيث ساوى ضمع ووتر في المثمث االول ضمع وتر في المثمث الثاني فان المثمثين متطابقين المعطيات: المثمثان Δ ا ب ج Δ س ص ع فيوما: 90 ) س ) ق) ق) ع ا ج س ص ا ب المطموب: إثبات أن Δ ا ب ج يطابق Δ س ص ع العمل: ن اخذ نقطة مثل د عمى الشعاع بحيث ان ب ج ص د ىي د اذا كانت البرىان: ع نحصل عمى المطموب نف رض ان د تختمف عن ع نطبق المثمثين Δ ا ب ج Δ س ص د فيوما: ص ج ب ج من العمل س ص ا ب معطى 90 ) ق) ) ق) معطى ينطبق المثمثان تمام االنطباق بضمعين و ازوية محصورة بينيما وينتج ان ا ج س د ولكن ا ج س ع اذن س د س ع اذن حسب نظرية )3,( العمود المقام من منتصف ه يمر بال أرس س وىذا يعني المثمث أن س ه ص فيو ازويتان قائمتان وىذا مستحيل لذلك يجب ان ت كون د هي ع أي ان Δ س ص ع يطابق Δ ا ب ج 17

18 الوحدة الثالثة التوازي المستقيمات المتوازيان ومسممة التوازي 1 المستقيمات في الفضاء تعريف )13( كل مستقيمين مستويين غير متقاطعين يسميان متوازيين فاذا كان المستقيمان متوازيين سيرمز لذلك بالرمز // تعريف )3( كل مستقيمين غير مستويين ( وبالتالي غبر متقاطعين ) يسميان مستقيمين متخالفين قاطع المستقيمين اذا كان L M, مستقيمين مستويين N مستقيم آخر يقطع إتحادىما في نقطتين مختمفتين عندىا L,M يسمى المستقيم N قاطعا لممستقيمين وفي ىذه الحالة ينتج ثمانية زوايا يمكن وصفيا كازواج من الزوايا كما يمي: أو ال ال ازويتان المتبادلتين )زوجين من الزوايا المتبادلة( ) ( ثانيا ال ازويتان المتناظرتان اربع ازواج من الزوايا المتناظرة ( ثالثا ال ازويتان المتحالفتان ( داخمتين في جية واحد من القاطع( زوجين من الزوايا المتحالفة( مثال في الشكل المقابل ثالث مستقيمات متقاطعة مثنى عمى اعتبار ان المستقيم M قاطع لممستقيمين L N, اوجد L,M,N ازواج الزوايا المتبادلة والمتحال ةف والمتناظرة )واجب( 18

19 3 شروط توازي مستقيمين نظرية )13( اذا تساوت ازويتان متبادلتان يصنعىما قاطع لمستقيمين مستويين كان المستقيمان متوازيين مستقيمان مستويان n م مستقي قاطع ليما في النقطتين ا ب بحيث أن ق)> 1 ) المعطيات: L,M < 1< ق)> ) وال ازويتان متبادلت ان اثبات ان المطموب: L // M نفرض ان البرىان: L,M غير متوازيين اذن فيما متقاطعين وليكن ذلك في النقطة ج ومن ) تعريف القاطع فان النقطة ج ال تقع عميو )أي ال تقع عمى n لتكن س نقطة عمى الشعاع بحيث ان ب س ا ج نطبق المثمثين Δ ا ج ب Δ ب س ا فيوما: ا ج ا ب ب س بالعمل ب ا مشترك ) 1 ( 1 < ق ق < بالتبادل معطى ) اذن المثمث ا ج ب يطابق المثمث ب س ا وينتج ان ق)> 4( ق)> 3 ) ( ) 3 ( 180 ) 1 + ) بما ان ق)> 3 ق)> النوما تكونان ثنائيا خطيا من 180 ق)> نجد ان + ق)> 4 ( ) ) 3 ( ) ( ) 1 ( 180 ) + وىذا يناقض كون ( ق)> ق)> 4 ( ق)> 5 س صفر الحالة يشترك L M, اال اذا كانت ق)> 5 ) وفي ىذه في نقطتين ج وبذلك يكون وىذا يناقض الفرض انوما مختمفان لذلك يجب ان يكون المستقيمين L,M متوازيان L M 19

20 نتيجة 1 كل مستقيمين عموديين عمى مستقيم ثالث يكونان متوازيين )واجب( اذا تساوت ازويتان متناظرتان يص نعىما قاطع لمستقيمين مستويين كان المستقيمان نتيجة متوازيين )واجب( اذا تكاممت ازويتان متحالفتان يص نعىما قاطع لمستقيمين مستويين كان المستقيمان نتيجة 3 متوازيين )واجب( مثال )43( < 1 < المعطيات : في الشكل المقابل ال ازويتان متكاممتان المطموب: اثبت ان المستقيمان L M, متوازيان 180 )1 + البرىان: ( بما ان ق)> ق)> بالفرض )3 ) 180 )3 + ق)> وان 1( ق)> النيما تشكالن ثنائيا خطيا ق)> اذن ق)> ولكنيما متناظرتان إذن L // M مثال )53( اذا كانت القطعتان تنصف كل منيا االخرى في النقطة س أاثبت أن )واجب( // نظرية) 3 ( L اذا كان مستقيما وكانت س نقطة ال تقع عميو فانهيوجد مستقيم يمر بالنقطة س موازيا لممستقيم L 0

21 ب> المعطيات: مستقيم س نقطة ال تقع عميو المطموب: اثبات انو يوجد مستقيم يمر بالن قطة س موازيا لممستقيم س ليكن العمل: في مستوى شعاع بحيث أن ج ب في جيتين مختمفتين بالنسبة لممستقيم ويحقق ق)> ج س ا( ق)> ب ا س( < البرىان: بما ان المستقيمان مستويان قاطع ليما وال ازويتان المتبادلتان ( ج س ا < ب ا س متساويان بالعمل( // اذن حسب نظرية )13( مثال 63 ا ب ج د شكل رباعي فيو ق)> ) ب ج ا د ق) ا س منتصف ص منتصف ) ان اثبت عمودي عمى عمودي عمى اثبت ان )واجب( // تدريب )43( المثمث ا ب ج متساوي الساقين فيو ا ب ا ج س نقطة عمى ص نقطة عمى بحيث ان ا س ا ص اثبت ان )واجب( // مسممة التوازي من نقطة خارج مستقيم معموم يمكن رسم مستقيم وحيد يوازي المستقيم المعموم 1

22 نظرية )33( اذا توازى مستقيمان وقطعيما قاطع كانت كل ازويتين متبادلتين متساويتين n المعطيات: L,M مستقيمان متوازيان قاطع ليما في النقطتين ص م واذا كانت نقطة ع L عمى M تختمف عن النقطة م س نقطة عمى بحيث ان س ع نقطتان في جيتين مختمفتين بالنسبة لممستقيم <( المطموب: اثبات ان ق )> ص م ع( ق م ص س( <( نفرض ان البرىان: ق)> ص م ع( ق م ص س( فانو ي وجد شعاع وحيد في نفس جية س بالنسبة لممستقيم بحيث تكون د ص م( ق)> ق)> ص م ع( // من نظرية) 31 ( ينتج أن و ألن ق)> س ص م( م( ف إن د ص ق)> M لذلك فانو من ص استطعنا رسم متوازيان لممستقيم ىما وىذا يناقض مسممة التوازي لذلك يجب ان تكون ق)> ص م ع( ق)> م ص س( نتيجة 1 اذا توازى مستقيمان وقطعيما قاطع كانت كل ازويتين متحالفتين متكاممتين )واجب( تدريب 63 // ا ب ج مثمث فيو س نقطة عمى ص نقطة عمى أن بحيث ج أ ب ب اثبت ان ب س ب ص L//M N//M, N//L ثالثة مستقيمات مستوية بحيث ان N,M,L نظرية 43 اذا كانت فإن اذا كان البرىان: L M غير متوازيين فانيما متقاطعان في نقطة مثل ا اذن ي وجد مستقيمان يم ارن بالنقطة ا وموازيان لممستقيم N وىذا يناقض مسممة التوازي L M اذن L //M

23 مثال 93 L المستقيم N مستقيمان متوازيان والمستقيم N في مستوييما أثبت أنو إذا قطع فانو المستقيم L M يقطع المستقيم M نفرض ان البرىان: M N, لم يتقاطعا N // اذن M )لكونيما مستويين ( M L فاذا كانت ا ىي نقطة تقاطع L N فانو من النقطة ا يمر مستقيمان ىما N يوازيان المستقيم وىذا يناقض مسممة التوازي اذن يجب ان يتقاطع المستقيمان M N تدريب 73 N اليقطع L M اذا كانت المستقيمات L N M مستوية وكان N واذا كان أ في نقطة يقطع اثبت ان المستقيمين N M متقاطعان 3 متوازي االضالع 13 تعريف متوازي االضالع تعريف 33 متوازي االضالع ىو شكل رباعي فيو كل ضمعين متقابمين متوازيين مالحظة يعرف شبو المنحرف بانو شكل رباعي فيو ضمعان متقابالن متوازيان وبذلك يكون كل متوازي اضالع شبو منحرف بينما العكس ليس صحيح بصورة عامة 3 خواص متوازي االضالع نظرية) 53 ( أي قطر في متوازي االضالع يقسمو الى مثمثين متطابقين المعطيات: ا ب ج د متوازي اضالع قط ار لو Δ ج د ب المطموب: اثبات ان Δ ا ب د 3

24 البرىان: نطبق المثمث ين Δ ا ب د Δ ج د ب فيوما: ج د ب( ق)> ا ب د( ق)> بالتبادل د( ج ب ق)> ا د ب( ق)> بال تبادل د ب ب د مشترك اذن ينطبق المثمثان ب ازويتين وضمع محصور تدريب 83 برىن ان 1 االضالع المتقابمة في متوازي االضالع متساوية الزوايا المتقابمة في متوازي االضالع متساوية تعريف 43 البعد بين نقطة ومستقيم ىو طول القطعة المستقيمة المرسومة من النقطة عمودية عمى المستقيم L L,M اذا كان نظرية 63 مستقيمين متوازيين وكانت ا, ب نقطتان عمى المستقيم فان بعد ا عن يساوي بعد ب عن المستقيم M ويعبر عن ىذا بالعبارة " البعد بين المستقيمين المتوازيين المستقيم M ثابت" العمودين نسقط البرىان عمى المستقيم M اذن // ومنو نستنج ان ا ج د ب متوازي أضالع أ ج اذن د ب وبذلك يكون البعد بين المستقيمين المتوازيين ثابت 4

25 نظرية 73 في الشكل الرباعي اذا كان كل ضمعين متقابمين متساويين كان الشكل متوازي اضالع المعطيات ا ب ج د شكل رباعي فيو ا ب دا ب ج ج د المطموب اثبات ان ا ب ج د متوازي اضالع نصل العمل Δ البرىان نطبق المثمثين Δ ا ب ج ج د ا فييما: ا ب ب ج ج د د ا ج ا ا ج اذن المثمث ا ب ج يطابق المثمث ج د ا بثالثة اضالع وينتج ان ق)>ب ا ج( ولكنيما د ج ا( ق)> // اذن متبادلتان // بالمثل ا د اذن الشكل متوازي اضالع نظرية )83( اذا توازي وتساوي ضمعان متقابالن في الشكل الرباعي فان الشكل متوازي االضالع // المعطيات: ا ب ج د شكل رباعي فيو ج د ا ب المطموب: اثبت ان ا ب ج د متوازي اضالع البرىان: نطبق المثمثان ا ب ج ج د ا فييما: ج د ا ب بالفرض ج ا ا ج مشترك ) ( < ) ( ب ا ج ق < د ج ا ق اذن Δ ا ب ج يطابق Δ ج د ا بضلع ن زاو ة محصورة ب نهما و نتج ان: 5

26 ب> ) ( < ) ( ب ا ج ق < د ج ا ق وىما وضع تبادل // اذن // ولكن اذن الشكل ا ب ج د متوازي اضالع نظرية )93( قطر متوازي االضالع ينصف كل منيما االخر )واجب( نظرية )103( اذا نصف كل قطر في الشكل الرباعي القطر االخر كان الشكل متوازي اضالع )واجب( 33 بعض االشكال الرباعية االخرى تعريف )53( تعريف المستطيل ىو متوازي اضالع احدى زواياه قائمة )63( المعين ىو متوازي اضالع فيو ضمعين متجاورين متساويين تعريف )73( المربع ىو متوازي اضالع اضالعو متساوية وزواياه قوائم ) نظرية )113( قط ار المستطيل متساويان )واجب نتيجة اذا تساوى قط ار متوازي االضالع كان مستطيال )واجب( نظرية )13( قط ار المعين متعامدان )واجب( نتيجة اذا تعامد قط ار متوازي االضالع كان معينا )واجب( نتيجة قطر المربع متساويان ومتعامدان )واجب( تعريف )83( نظرية شبو المنحرف المتساوي الساقين ىو شبو منحرف ضمعاه المتوازيين متساويين )133( ازويتا القاعدة في شبو المنحرف المتساوي الساقين متساويتان // المعطيات: ا ب ج د شبو منحرف فيو ب ج ا د ) ق اثبت ان المطموب ( ق)> ا( 6

27 ق ب> ق م< ق المعطيات: نسقط العمودين د ص عمى من النقطتين ج د عمى الترتيب المثمثين نطبق البرىان: Δ ب س ج Δ ا ص د ف هما: س ج د ص البعد ب ن المستق م ن المتواز ن ثابت ا د ب ج بالفرض ق ( < ب س ج ) ق ( < ا ص د ) بالفرض )> ا( ) اذن نطبق المثلثان Δ ب س ج Δ ا ص د بوتر وضلع وزاو ة قائمة و نتج ان ق ( بعض خواص المثمث 14: قياس ال ازوية الخارجة نظرية) 143 ( قياس ال ازوية الخارجة لممثمث أكبر من قياس أي ازوية داخمة غير مجاورة ليا المعط ات: أ ب ج مثلث )<ج ب د ) زاو ة خارجة ح ث ب د ب أ شعاعان متقابالن النقطة م منتصف الضلع المطلوب: أثبت ان ق)< د ب ج( < ق)ج( )< د ب ج( < ق)ب أ ج( أ م نمد العمل: على استقامته من جهة بح ث كون س على م أ م م س نصل ب س البرهان: بما ان النقطة س تقع داخل الزاو ة <د ب ج أي أن ومنه ق )< م ب د( ق> ( ب س( )1( المثلث ان Δ س م ب Δ أ م ج ف هما : ب س قع ب ن الشعاع ن ب د ب ج س م أ م بالعمل ب م ج م بالعمل ق)<س م ب( )<أ م ج( بالتقابل بالرأس إذن المثلث س م ب طابق المثلث أ م ج بضلع ن وزاو ة محصورة و نتج ان: 7

28 ق ق> ق)< س ب م( ق)< أ ج م( )( من )1( )( نتج أن : ق )< ج ب د( ق )< م ب د( < ق )< أ ج م( من )( نستنتج ان س ب \\ أ ج ( الزاو تان المتساو تان ف )( ف وضع تبادل ) د ب س( ق )< إذن ق )<ب أ ج( بالتناظر < د ب ج( ق )< لكن ق )<د ب س( ق )< إذن د ب ج( < ق )< ب أ ج( نتيجة في أي مثمث قائم ال ازوية كل من ال ازويتين األخريتين حادة )واجب( مثال )103(: إذا كان المثلث أ ب ج متساوي الساق ن ف ه أب أ ج فإن كال من زاو ت القاعدة حادة >( البرهان : بما أن أ ب أ ج إذن أ ج ب( ق )< أ ب ج( لكن > أ ج د خارجة عن المثلث أ ب ج إذن ق )< أ ج د ) < أ ب ج ( ق )< إذن ق )< أ ج د ) < ق )< أ ج ب ) ولكنهما متكاملتان ألنهما تمثالن ثنائ ا خط ا إذن الزاو ة الصغرى حادة والكبرى منفرجة إذن > أ ج ب حادة ومنها > أ ب ج حادة أ ضا 180 نظرية )153( مجموع قياس أي ازويتين في المثمث أقل من المعط ات: أ ب ج مثلث المطلوب: < 180 إثبات أن ق)< أ ب ج( + ق)< ب أ ج( < البرهان: بما أن > د ب ج خارجة عن المثلث أ ب ج إذن د ب ج( ق)< ق)< ب أ ج( < ومنه ق)< أ ب ج( + د ب ج ) ق)< ق )< أ ب ج( + ق )< ب أ ج( 180 لكن ق )< أ ب ج ) + ق)< د ب ج( ألنهما تشكالن ثنائ ا خط ا )< أ ب ج ) + إذن 180 ق)< ب أ ج( 8

29 مثال )113(: د نقطة داخل المثلث أ ب ج وصل ب د ج د أ ثبت أن ) ج د ب( ق)< < ج أ ب ق)< )واجب( )4( القطعة الواصمة بين منتصفي ضمعين في المثمث نظرية )163( القطعة المستقيمة الواصمة بين منتصفي ضمعين في المثمث تو ازي الضمع الثالث وتساوي نصفو المعط ات: المثلث أ ب ج ف ه ه د منتصف الضلع ن على الترت ب د ه ) 1\( أ ب المطلوب: أثبت أن د ه \\ العمل : نمد القطعة د ه من النقطة ه إلى النقطة م بح ث أن م ه د ه البرهان : نطبق المثلث ن Δ ب م ه Δ ج د ه ف هما: د ه م ه بالعمل ه ب ه ج بالفرض ق )< م ه ب( ق )< د ه ج( بالتقابل بالرأس إذن نطبق المثلثان Δ ب م ه Δ ج د ه بضلع ن وزاو ة محصورة ب نهما و نتج أن : ق )< م ب ه ) ق )< د ج ه ) وهما ف وضع تبادل إذن م ب \\ ولكن د ج كما نتج من التطابق م ب د ج د أ إذن م ب د أ إذن م ب أ د متوازي أضالع ومنه ه د \\ م د ب أ ولكن ه د )1\( م د إذن ه د )1\( ب أ 9

30 نتيجة إذا رسم من منتصف أحد أضالع مثمث مستقيم يوازي ضمعا آخر فإنو يقطع الضمع الثالث في منتصفو ويساوي نصف الضمع الذي يوازيو ) 17 نظرية )3 إذا ج أزت عدة مستقيمات متوازية قاطعا ليا إلى أج ازء متساوية الطول فإنيا تجزئ أي قاطع آخر إلى أج ازء متساوية في الطول أيضا المعط ات : ج و ب ه ثالثة مستق مات متواز ة أ ب ج قاطع لها بح ث أن أ ب ب ج د ه و قاطع آخر المطلوب : إثبات أن ه و د ه العمل : نرسم مستق ما مر بنقطة د و وازي ف قطع ج و ب ه ف ص س على الترت ب البرهان : الرباع ان أ ب س د ب ج ص س متواز ا أضالع إذن أ ب د س ب ج س ص وبما أن ب ج أ ب إذن د س س ص أي أن س منتصف د ص ) 16 اآلن س ه مر بمنتصف الضلع د ص ف Δ قطع د و ف منتصفه إذن د ه ه و د و ص إذن حسب نت جة نظر ة ( 3 س ه : ) 1 مثال ( 3 أ ب ج د شكل رباع س ص ع ل منتصفات أضالع على الترت ب ( واجب ) أثبت أن س ص ع ل متوازي أضالع المستقيمات المتوسطة في المثمث : تعر ف : المستق م المتوسط ف المثلث هو القطعة المستق مة الت تصل ب ن أي من رؤوس المثلث ومنتصف الضلع المقابل لهذا الرأس إذا لكل مثلث ثالث مستق مات متوسطة 30

31 : ) 183 نظرية ( المستق مات المتوسطة ف المثلث تتقاطع ف نقطة واحدة تقسم كل منها إلى جزأ ن النسبة ب ن طول هما من جهة الرأس إلى واحد من جهة الضلع المقابل لهذا الرأس المعط ات : المثلث أب ج ف ه د منتصف أ ب ه منتصف أج تقاطع المستق مان المتوسطان ج د ب ه ف النقطة م داخل المثلث أم قطع ب ج ف و المطلوب : إثبات أن و منتصف ب ج أم م و م د ج م م ه ب م العمل : نمد أو من جهة و إلى النقطة س بح ث أن أم م س نصل ج س س ب البرهان : بما أن أ ه ه ج أم م س إذن م ه تصل ب ن منتصف الضلع ن أ ج أ س ف مثلث أ ج س إذن ه م // ج س ومنها ب م // ج س بالمثل ف المثلث أ ب س د م تصل ب ن منتصف الضلع ن أ ب أ س إذن ب س// د م ومنها م ج // ب س إذن الشكل الرباع ب س ج م متوازي أضالع وح ث أن أقطار متوازي األضالع نصف كل منهما اآلخر إذن و منتصف ب ج و منتصف م س أي أن م س م و وبما أن أ م م س بالعمل إذن أ م م و بالمثل مكن إثبات أن ج م م د ب م م ه :) 133 مثال ( أ ب ج د متوازي أضالع س ص منتصفات الضلع ن ب ج أ ب على الترت ب أثبت أن أس ج ص ب د تتقاطع ف نقطة واحدة م وأن ب د 3 ب م ) واجب ( نظرية) (: 193 ف المثلث القائم الزاو ة طول القطعة المستق مة الواصلة من رأس القائمة لمنتصف الوتر ساوي نصف الوتر المعط ات : أ ب ج مثلث قائم الزاو ة ف ب د منتصف أج المطلوب : أثبت أن ب د ( /1 (أ د 31

32 ق< ق< العمل : لتكن م منتصف ج ب ل منتصف أ ب نصل ل د م د م ل ب د البرهان : ف مثلث أ ب ج ل د تصل ب ن منتصف ضلع ن ف ه إذن توازي الضلع الثالث أي أن ب ج // ل د ل د ( /1 ) ب ج إذن ب م ل د إذن ب م د ل متوازي أضالع ولكن الزاو ة أ ب ج قائمة إذن ب م د ل مستط ل إذن قطراه متساو ان أي أن ب د م ل ف المثلث أ ب ج ل م واصل ب ن منتصف الضلع ن إذن ل م )/1 (أ ج ومن ثم ب د ) /1 (أ ج 44 اختالف أضالع المثلث وزوا اه : نظر ة )03( إذا كان طول أحد ضلع مثلث أكبر من طول الضلع اآلخر فإن ق اس الزاو ة المقابلة للضلع األكبر كون أكبر من ق اس الزاو ة المقابلة للضلع األصغر المعط ات: Δ أ ب ج ف ه أب< أج )> أ ب ج( المطلوب: إثبات أن ق)> أج ب( البرهان: بما أن أ ب< أج إذن وجد نقطة وح دة ء ب ن أ ب بح ث أن أج أء ومنه نتج أن الشعاع ج ء قع ب ن الشعاع ن ج أ ج ب إذن ق )> أج ب( ق< )> أج ء( لكن ق )> أج ء( ق )>أءج( ألن أج أء )> أ ب ج( ق اس الزاو ة الخارجة أكبر من ق اس الزاو ة غ ر المجاورة ق< )> أ ب ج( كما أن ق )> أ ء ج( ق< لها إذن ق )> أ ج ب( نظر ة )13 ) إذا كان ق اس إحدى زوا ا المثلث أكبر من ق اس زاو ة أخرى كان طول الضلع المقابل للزاو ة الكبرى أكبر من طول الضلع المقابل للزاو ة الصغرى ( أ ب ج ( المعط ات : أ ب ج مثلث ف ه ق ( أ ج ب ) المطلوب: إثبات أن أ ب > أ ج البرهان: إذا كان أ ب أ ج فإن ق) أ ج ب ) ق) أ ب ج ) وهذا ناقض الفرض 3

33 ق> ب< ق< ( أ ب ج ) وهذا أ ضا ناقض وإذا كان أ ج > أ ب فإنه نتج من النظر ة السابقة أن ق) أ ج ب ) الفرض لذلك جب أن كون أ ب > أ ج نت جة ( 1 ) أقصر قطعة مستق مة تصل ب ن نقطة ومستق م ال حتو ها ه القطعة العمود ة على هذا المستق م L المعط ات: ل مستق م أ نقطة ال تقع عل ه أ د أ بأي قطعة تصل أ بنقطة ب على L المطلوب: أثبت أن أ ب > أ د ) حادة ومنه نتج أن ق) بد ا( > البرهان: بما أن Δ أ دب قائم الزاو ة ق ( ب ) وبذلك فإن أ ب >أ د ف <بد أ إذن زاو ة ( وبما أن ب كانت نقطة عشوائ ة على ل فإن أ د هو أقصر بعد من أ إلى L مثال ( 3 ) 14 : Δ ا ب ج ف ه أ ج أ ب أثبت أن د تقع ب ن النقطت ن أ ب أ ب ب ج أ ب د موقع العمودي الساقط من ج على 90 البرهان: إلثبات أن زاو ة ( ب ) حادة نفرض عكس ذلك أي أن ق) ب ) ولكن ق) ب ) + ق) ب ج أ ) < 180 إذن ق) ب ) ( ب ج أ ) وبذلك فإن أ ب < أ ج وهذا ناقض الفرض لذلك جب أن تكون ق) ب ) حادة (1) أ د ب بالمثل ق) أ ) حادة إذن د نفرض أن ب تقع ب ن د أ بما أن ق < ( ج ب د ) + ق < ( ج د ب ) < 180 بما أن ق < ( ج د ب ) 90 إذن < ( ج ب د ) حادة ومن ثم >)ج ب أ ) منفرجة وهذا ناقض (1) إذن ب ال تقع ب ن د أ بالمثل أ ال تقع ب ن ب د إذن د تقع ب ن أ ب 33

34 ق< ق< ق> ج) ب) أ) د : ) 3 نظر ة ( مجموع طول أي ضلع ن ف المثلث أكبر من طول الضلع الث الث المعط ات: المطلوب: أ ب ج مثلث ف ه أ ب < ب ج أ ج < ب ج أثبت أن أ ب + أ ج > ب ج العمل: نمد ج أ على استقامته إلى نقطة د بح ث أن أ د أ ب ثم نصل ب د البرهان: بما أن أ د أ ب إذن ق>) أ د ب ) ق >) أ ب د ) >) أ د ب ) >) أ ب د ) إذن ق >) ج ب د ) لكن ق >) ج ب د ) ومنه نتج أن ج د > ب ج لكن أ د + أ ج ج د إذن أ ب + أ ج ج د إذن أ ب + أ ج > ب ج { واجب } ) مثال )153 أ ب ج مثلث م منتصف أ ج أثبت أن ب م < أ ب + ب ج ) مثال )163 أ ب ج مثلث ف ه أ ب < أ ج أسقط العمود أ د على ب ج فكانت د ب ن ب ج { واجب } أثبت أن ق>) ب أ د ) >) ج أ د ) مجموع ق اسات زوا ا المثلث 180 نظر ة )33( مجموع ق اسات زوا ا أي مثلث ساوي المعط ات: أ ب ج مثلث المطلوب: ) + ق> ) + ق> ) 180 إثبات أن ق> العمل: ننصف أ ج بالنقطة س ونمد ب س على استقامته إلى د بح ث ب س س د نصل ج د ونمد ب ج على استقامته من جهة ج إلى ص البرهان: القطعتان ب د ج أ تنصف كل منهما األخرى بالعمل وتشكالن قطريالشكل إذن أ ب ج د متوازي أضالع ومنه ج د // ب أ أ ب ج إذن ق >) ب أ ج ) ق> ( أ ج د ) بالتبادل ق >) أ ب ج ) ق>) د ج ص ) بالتناظر إذن ق>) أ ب ج ) + ق>) ب أ ج ) ق>) د ج ص ) + ق>) أ ج د ) ق>) أ ج ص ( 34

35 ق ق+ ق ق( ن) ن) ن) ق ن) ن) >) أ ج ص( >) أ ج ب ) ألنهما تشكالن ثنائ ا خط ا 180 >) أ ب ج ) + ق>) ب أ ج ) + ق>) أ ج ب ( إذن 180 نت جة )1 نت جة )( نت جة )3( اس الزاو ة الخارجة ساوي مجموع ق اس الزاو ت ن غ ر المجاورت ن لها ف المثلث وجد على االكثر زاو ة واحدة منفرجة او قائمة ف المثلث القائم الزاو ة الزاو تان الحادتان متتامتان نت جة )4( اذا ساوت زاو تان من مثلث زاو ت ن من مثلث آخر كل ل نظ رتها كانت الزاو ة الثالثة ف المثلث االول مساو ة للزاو ة الثالثة ف المثلث الثان نت جة )5( اذا جد تناظرة ن مثلث ن بح ث ساوت زاو تان ف المثلث االول زاو ت ن ف المثلث الثان كل لنظ راتها وساو طول اضالع المثلث االول نظ ره ف المثلث ا ضب كان المثلثان متطابقان ( بزاو ت ن وضلع ( 30 مثال )173( )> د( ا ب ج د متوازي اضالع ف ه ق ( < ا ج ب ) 45 ( < ب ا ج ) احسب ق ) نظر ة ( )43 مجموع ق اسات زوا ا أي مضلع عدد اضالعه ن ساوي المعط ات مضلع عدد اضالعه ن ) - المطلوب اثبت ان مجموع ق اسات زوا ا المضلع ساوي 180 البرهان نختارأ رأس من رؤوس المضلع ثم نرسم جم ع اقطاره المارة بهذا الراس نالحظ وجود )ن - 3( من االقطار النه ال وجد أي قطر ب ن رأس ن متجاور ن وهذه االقطار تصنع )ن - ( من المثلثات اذن مجموع ق اسات زوا ا هذه المثلثات تس اوي ( ى مجموع ق اسات زوا ا هذه المثلثات تساوي تساوي مجموع ق اسات زوا ا المضلع اذن مجموع ق اسات زوا ا المضلع تساوي ( تعر ف المضلع المنتظم هو الضلع الذي اضالعه متساو ة وزوا اه متساو ة نت جة ق اس زاو ة المضلع المنتظم )180 - (( ن فمثال ق اس زاو ة السداس المنتظم )-6( واجب ( اسئلة التقو م الذات ف نها ة هذه الوحدة ( 35

36 ع> ج> ص> ب> االوحدة الرابعة { التشابه } تشابه املضلعات تعر ف 4 أي اقتران تناظر ب ن رؤوس مضلع ن بح ث تتساوى ق اسات الزوا ا المتناظرة كما تكون أطوال األضالع المتناظرة متناسبة سمى تشابها و نقول بأن المضلع ن متشابهان مالحظات : 1 - إذا تشابه المضلعان م ل فإننا نرمز لذلك بالرمز ن ~ ل - إذا تشابه المثلثان المثلث أ ب ج ~ المثلث س ص ع فهذا عن وجود اقتران تناظر أ س ب ص ج ؤ ع بح ق أن ق <( أ ) ق) س> ) ق ( ) ق) ) ق ( ) ق) ) (أب / س ص) (أ ج / س ع) (ب ج / ص ع) R ح ث أن R ثابت التناسب - 3 كل مضلع شابه نفسه و اقتران التناظر هنا هو اقتران الوحدة وثابت التناسب هنا 1 ( عالقة التشابه عكس ة ) - 4 إذا كان المثلث أ ب ج ~ المثلث س ص ع وثابت التناسب R فإن المثلث س ص ع ~ المثلث أ ب ج وثابت التناسب 1/ R ( عالقة التشابه عالقة تماثل ة ) ( - 5 إذا كان المثلث أ ب ج ~ المثلث س ص ع المثلث س ص ع ~ المثلث ل م ن وثابت التناسب األول R والثان S فإن المثلث أ ب ج ~ المثلث ل م ن و كون ثابت التناسب S R عالقة التشابه عالقة تعدي ) 6 - إذن عالقة التشابه ه عالقة تكافؤ ( انعكاس ة وتماثل ة و تعدي ) ) مثال ( 34 كل المربعات متشابهة ( واجب ) 36

37 ص أ( أ س( ص أ( ) تدر ب ( 4 أثبت أن أي مثلث ن متساو ن األضالع متشابه ن ( واجب ) 3 األجزاء المتناسبة والتقس م التناسب للمستق مات ) نظر ة ( 44 كل مستق م ف مستوى مثلث وازي أحد أضالعه و قطع ضلع ه اآلخر ن ف نقطت ن فإنه قسم هذ ن الضلع ن إلى أجزاء متناسبة المعط ات : أ ب ج مثلث س ص مستق م ف مستوى المثلث وازي ب ج و قطع المستق م ن أ ج أ ب ف النقطت ن ص س على الترت ب المطلوب : أثبت أن ) صأ / ج ص) (أ س / ب س) البرهان : غ ر مطلوب نت جة : إذا قسم مستق م ف مستوى مثلث ضلع ن له إلى أجزاء متناسبة فإن هذا المستق م كون مواز ا للضلع الثالث المعط ات : أ ب ج مثلث س ص مستق م ف مستواه بح ث أن أ( ص / ج ص ( (أ س / ب س) ( هناك حالتان أخر تان للرسم كما ف النظر ة السابقة ( المطلوب : أثبت أن س ص // ب ج البرهان : إذا كان س ص ال وازي ب ج نرسم من س مستق ما وازي ب ج ف قطع أ ج ف ع ( ع ال تساوي ص ) ) من نظر ة ( 44 (أع / ج ع) (أ س / ب س) / ب س) بالفرض / ج ص) + إذن ) صأ / ج ص) (أ ع / ج ع) ومن خواص التناسب نحصل على أن{( أ ص) / ج ص }) {(أ ع )/ عأ( + ج ع}) أي أن ) صأ / أ ج) (أ ع / أ ج) إذن أ ص أ ع وبما أن كل من ص ع تقع ب ن أ ج إذن ع ص وهذا مستح ل ألن ع ال تساوي ص 37

38 إذن ب ج // س ص ) مثال ( 44 كل ثالثة مستق مات مستو ة ومتواز ة تقسم كل قاطع ن لها إلى أجزاء متساو ة ( واجب ( ) نظر ة ( 54 إذا نصفت زاو ة رأس مثلث )أو الزاو ة الخارجة المكملة لها ) بمنصف قطع مستق م القاعدة ف نقطة فإن هذه النقطة تقسم القاعدة من الداخل ( وأ من الخارج ) إلى جزئ ن النسبة ب نهما كالنسبة ب ن الضلع ن اآلخر ن للمثلث المعط ات : أ ب ج مثلث ف ه أ د نصف الزاو ة ( > أ ) ) و قطع ب ج ف نقطة د ) )أو الزاو ة الخارجة المجاورة للزاو ة) > أ المطلوب : أثبت أن ( أب \ أ ج ) ( ب د \ ج د ( العمل : نرسم من ج مستق ما وازي أ د و قطع أ ب ف ه البرهان : بما أن ه ج // أ د ب أ قاطع لهما إذن ق)< 1 ( ق)< ( بالتناظر بما أن ه ج// أ د أ ج قاطع لهما إذن ق) <3( ق)< 4( بالتبادل لكن ق)< ( ق )<4( بالتنص ف إذن ق)< 3 ( ق)< 1 ( ومن ثم أ ج أ ه االن ف كل من المث لث ن ب ج ه ب د أ ء أ // ج ه إذن )ب أ \ أ ه( )ب د \ د ج( وبما أن أ ج أ ه إذن )ب أ \ أ ج( )ب د \ د ج( نت جة إذا قسمت قاعدة مثلث من الداخل) او من الخارج ) الى جزئ ن النسبة ب نهما كمالنسبة ب ن ضلع المثلث اآلخر ن فان القطعة المستق مة الواصلة من نقطة التقس م الى راس المثلث تنصف زاو ة راس المثلث ( تنصف الزاو ة الخارجة المكملة لراس المثلث ( 38

39 ج> ب> \ اض( )ب د \ د ض( ا ؼط ١ اخ : ا ب ض ص س د مطح ػ ب ض تح ١ س ا ( با المطلوب : اثبت ان ا د نصف < ب ا ج ( او الخارجة المكملة لها ( العمل : نرسم من ج مس تق ما وازي أ د و قطع أ ب ف ه البرهان : بما ان ج ه // د ا إذن )ا ب \ ا ه( ( ب د \ د ج( \ ا ه( ومنها ا ج ا ه لكن ( با \ اج( ( ب د \ د ج( إذن )ا ب \ ا ج( )ا ب ) ق ( < )1 اذن ق ( >3 ) ق ( < )3 لكن ج ه // د ا اذن ق ( < ) ق ( < 1 ) بالتناظر ق ( < 4 بالت ابدل ) ق ( < ) إذن ق ( < 4 أي ان ا د نصف < ب ا ج ( او نصف الزاو ة الخارجة المكملة لها ( مثال )74( اثبت باستخدام التناسب ان منصفات زوا ا المثلث تتالقى جم عا ف نقطة واحدة المعط ات: المثلث ا ب ج ف ه ب ه ج ه منصف < ب المثلث >ج على الترت ب تالق ان ف نقطة ه داخل المطلوب اثبت ان ا ه نصف < ا ) البرهان:لتكن د نقطة تقاطع ا ه مع الضلع ب ج ف المثلث ا ب ج ب ه منصف للزاو ة ( اذن )ا ه \ ه د( ( ا ب \ د ب( ) وبالمثل ف المثلث ا ج د ج ه منصف للزاو ة ( اذن )ا ه \ ه د( )ا ج \ ج د( ) اذن ( ا ج \ ج د ) ( ا ب \ ب د ) ( ب د \ د ج ) ) ا ب \ ا ج اذن من نت جة النظر ة السابقة نتج ان ا د نصف الزاو ة )> ب ا ج( أي ان منصفات زوا ا المثلث تتالقى ف نقطة ا ب 8 6 ) ا ب ج مثلث اطوال اضالعه ا ج 4 مثال) 84 ب ج نصف الزاو ة )> ا ) من الداخل والخارج بمنصف ن قطعا ب ج وامتداد ب ج ف نقطت ن د ه اوجد االطوال د ه ج ه ب ه د ج ب د )واجب( 39

40 ج> س> س> نظر ات تشابه المثلثان 3 ) نظر ة ( 64 اذا وجد اقتران تناظر ن ب ن مثلث ن بح ث انطبقت الزوا ا المتناظرة كان المثلثان متشابه ن ا ب ج س ص ع مثلثان و وجد اقتران ا س ب ص ج ع بح ث ق) ا ) ق ( ب> ) ق) ص> ) ق ( ج> ) ق) < ع ) المعط ات: ) ق) س> المطلوب: اثبت ان ا ب ج ~ س ص ع العمل: لتكن ل نقطة على ع س التى تحقق ج ا م نصل م ل ع ل ولتكن م نقطة على ص ع وتحقق ج ب ع ا ب ج البرهان: ل م ع ف هما ل ع ا ج بالعمل م ع ب ج بالعمل ق) ) ق) < ع ) بالفرض اذن المثلث ا ب ج طابق المثلث ل م ع بضلع ن وزاو ة محصورة اذن ق) < ا ) ق) < م ل ع ) لكن ق) < ا ) ق) ) اذن ق) ) ق) < م ل ع ) وكما ف وضع تناظر اذن م ل // ص س ( او تكونان نفس القطعة ف حال انطبقت ل على س ) اذن ( ع ص \ ع م ) ( ع س \ ع ل ) لكن ع م ج ب ع ل ج ا اذن ( ع ص \ ج ب ) ( ع س \ ج ا ()1( بنفس الطر قة ناخذ نقطت ن ه و على الشعاع ن ص ع ص س وتحققان ا ب و ص ب ج ه ص مكن اثبات ان ( س ص \ ا ب ) ( ع ص ()( \ ب ج من )1( )( نستنتج ( ع ص \ ج ب ) ( ع س \ ج ا ) ( ص س \ ا ب ) وبهذا ومع المعط ات نستنتج ان المثلث ا ب ج شابه المثلث س ص ع 40

41 ع> ج> ق ج> س> س> ق ج> مالحظة اذا تطابق زاو ت ن ف المثلث االول كل على نظ رتها ف المثلث الثان فان المثلث ن متشابهان مثال) 94( المثلث ا ب ج المثلث س ص ع مثلثان متساو ا الساق ن ف هما ا ب ا ج س ص س ع فاذا كانت ق )> ا ) ق ( س> ) اثبت ان المثل ث ن متشابهان )واجب( نظر ة )74( اذا وجد اقتران تناظر ن مثلث ن بح ث تتناسب اطوال ضلع ن ف المثلث االول مع نظ رتها ف المثلث الثان وانطبقت الزاو ة المحصورة ب ن الضلع ن االول ن ف المثلث االول على نظ رتها الزاو ة المحصورة ب ن الضلع ن االخر ن ف المثلث الثان كان المثلثان متشابه ن المعط ات: المثلث ا ب ج المثلث س ص ع مثلث ن و وجد اقتران تناظر ع ب ص ا س ج ( )ص ع \ ب ج( )س ع \ ا ج( ) ق ( بح ث كان ق ( المطلوب: اثبات ان ا ب ج ~ س ص ع العمل: لتكن ل النقطة على ع س الت تحقق ج ا ع ع م نصل ل م ل ولتكن م النقطة على ع ص التى تحقق ب ج البرهان: المثلثان ا ب ج ل م ع ف هما ا ج ل ع ب ج م ع بالعمل بالعمل <( ع ) ق) ) بال فرض اذن المثلث ا ب ج طابق المثلث ل م ع بضلع ن وزاو ة محصورة االن )ص ع \ ب ج( )س ع \ ا ج( بالفرض بالتعو ض نحصل على )ص ع \ م ع( )س ع \ ل ع ( اذن م ل // ص س ) ق )> ع ل م( من التناظر اذن ق ( لكن ق )> ا( ق )> ع ل م( من التطابق ) ق <( ا ) اذن ق ( <( ع ) ق) و بما أن ) بال فرض اذن المثلث ا ب ج ~ المث لث س ص ع 41

42 نت جة ف المثلث ا ب ج اذا كان س ص // ب ج و قطع ا ج ا ب ف النقطت ن ص س على الترت ب فان ا ب ج ~ ا س ص )واجب( مثال )104( اذا تقاطعت القطعتان المستق مان د ج ان س ا ج ~ س د ب)واجب( ا ب ف نقطة س بح ث أن )د س()ج س( )ب س()اس( اثبت نظر ة )84( اذا وجد اقتران تناظر ن مثلث ن بح ث تتناسب اطوال أضالع المثلث االول مع اطوال نظ راتها ف المثلث الثان كان المثلثان متشابه ن المعط ات: ا ب ج س ص ع مثلث ن و وجد اقتران تناظر أ س ب ص ج ع بح ث أن ( أ ب\س ص( )ب ج\ص ع( )ج أ \ ع س( المطلوب: اثبات ان ا ب ج ~ س ص ع العمل: لتكن ل النقطة على ب ج ع م نصل م ل التى تحقق ع س ع ل ج ا ولتكن م النقطة على التى تحقق ع ص البرهان: اآلن )ب ج\ص ع( )أ ج\س ع( بالفرض وبالعمل م ع ب ج ع ل ج أ إذن )م ع\ص ع( )ع ل\س من نت جة النظر ة السابقة : ع( إذن س ص// ل م )ل م\س ص( )ل ع\س ع( ولكن أ ج ل ع بالعمل إذن) ل م\س ص( )أ ج \س ع( وبما ان )أ ب \س ص( )أج \ع س( من الفرض إذن )أ ب\س ص( )ل م\س ص( ومنه أ ب ل م إذن نطبق المثلثان ع م ل ج ب أ بثالثة أضالع و نتج أن : 4

43 ع< ج< ب< ب< ق) ) ق) ) إذن بواسطة النظر ة السابقة نحصل على ا ب ج ~ س ص ع مثال )114( أ ب ج د متوازي أضالع ب د قطرا ف ه س نقطة على ب ج أ س قطع القطر ب د ف ص أثبت أن ( صأ ()ص ب()د ص()ص س( )واجب( 4 نظر ة ف ثاغورس نظر ة )94( ف المثلث القائم الزاو ة إذا سقط من رأس القائمة عمودا على الوتر فإنه نتج مثلث ن متشابه ن وكل منهما شابه المثلث األصل المعط ات: أ ب ج مثلث قائم الزاو ة ف ج ج د عمودي على أ ب المطلوب: أثبت أن ا ج د~ أ ب ج ج ب د ~ أ ب ج البرهان: ف المث لث ن أ ج د ~ أ ب ج ق)< أ( ق)< أ( مشتركة ق)< أ د ج( ق)< أ ج ب( 90 ا ج د~ إذن أ ب ج ق) ) ق) ) مشتركة وبالمثل ف المثلث ن ج ب د أ ب ج ق)< ج ب د( ق)< أ ج ب( 90 إذن ج ب د ~ أ ب ج نظر ة) 104 ( / )نظر ة ف تاغورث( ف المثلث القائم الزاو ة مربع طول الوتر ساوي مجموع مربع طول ضلع القائمة المعط ات: أ ب ج قائم الزاو ة ف ج + )ب ج( المطلوب: إثبات أن )أ ب( )أ ج( العمل: نسقط العمود ج د على أ ب 43

44 ج< البرهان: حسب نظر ة )94( إذن )أ ب /أ ج( )أ ج/أد( ومنها )أ ب()أ د( )أ ج( ا ج د~ أ ب ج كما أن ج ب د~ أ ب ج إذن )أ ب \ب ج( )ب ج \ب د( ومنها إذن )أ ب()ب د( )ب ج( )أ ج( +)ب ج( )أ ب()أ د( + )أ ب()ب د( أ ب)أ د+ب د( )أ ب( نت جة إذا كان أ ب ج مثلث قائم الزاو ة ف ج ج د عمودي على أ ب فإن: )د ج( )أ د()د ب( )أ ج()ج ب()أ ب()د ج( 1 البرهان / واجب نظر ة )114( )عكس نظر ة ف تاغورث( إذا كان مربع طول أحد أضالع مثلث ساوي مجموع مربع طول ضلع ه اآلخر ن كان المثلث قائم الزاو ة والزاو ة القائمة تقابل الضلع األطول + )ب ج( أ ب ج ف ه )أ ج( المعط ات: )أ ب( المطلوب: إثبات أن أ ب ج قائم الزاو ة ف ج العمل: نرسم د ه عمودي على د و بح ث د ص ج ب لتكن س نقطة على د و بح ث د س ج أ ص نقطة على د ه البرهان: س د ص قائم الزاو ة ف د )بالعمل( )أ ب( + )ج ب( )أ ج( + )د ص( إذن )س د( )س ص( )ألن س د أ ج د صج ب بالعمل( إذن س ص أ ب إذن س د ص طابق أ ج ب بثالثة أضالع ) ق)< د( 90 إذن أ ب ج قائم الزاو ة ف ج 44 و نتج أن ق)

45 ع< ج< ص< ب< مثال )14( أ ب ج مثلث قائم الزاو ة ف ج ج د عمودي على أ ب إذا كان أ د 4 سم ب د 5 سم اوجدي اطوال باق األضالع واجب 5 تطب قات عمل ة على التشابه مثال )144( رجل طوله 175 سم وطول ظله على األرض 140 سم اللحظة 6 أمتار فما ارتفاع عمود تل فون طول ظله ف نفس ق) الحل: ) ق) ) النهما زاو ت الظل 90 ) ) ق ( ق ( إذن المثلث أ ب ج شابه المثلث س ص ع ومن ذلك نستنتج أن: )أ ب \س ص( )ب ج\ص ع( )175 \س ص( )140\600( أي ان إذن )175()600( \ )140( 750 سم 75 متر مثال )154( رجل طوله 180 سم على بعد 45 ارتفاع المصباح )واجب( مترعن مصباح إنارة وجد أن طول ظله على األرض 3 امتار أوجد مثال )164( ولد قامته 150 سم واقف امام عمود كهرباء بأعاله مصباح كهربائ وجد ان طول ظله على األرض 00 سم ولما ابتعد الولد 300 سم عن موقعه االول )باتجاه ظله( أصبح طول ظله 400 سم أوجد ارتفاع المصباح ه ج ~ د الحل: أ ب ج 45

46 إذن )ب ج\ج ه( )أ ب\د ه( )أ ب\ 150 ( )1( 00 \ أي أن) k+00( كما ان ل م ع ~ س ص ع إذن )ص ع \ م ع( )س ص \ ل م( 400\ )س ص\ 150 ( )( أي أن: ( k+700( من )1( )( وبما أن أ ب س ص نحصل على 400\ ومنها نحصل على k 300 )700+k ( 00\ )00+k ( بالتعو ض ف 1 نحصل على )أ ب\ 150 ( ( 500\00( ومن ثم أ ب 375 سم واجب )تدر ب )84( أسئلة التقو م الذات ( 46

47 ا حذح ا خب غخ ا غبحبد ا زىبفإ ا غبحبد 1 غبحخ ا ع ؼبد غبحخ ا ع غ غبحخ ا طمخ ا ع دح داخ ا ع غ ا غبحخ غشد ػذد حم ١ م غ ١ ش عب ت ٠ شرجػ ثب ع غ ا غبحخ رغ ١ ؼ ١ خ ح ١ ش ٠ ى ئ ٠ غبد غبحخ ا ع غ ثزمغ ١ ئ ض ضبد غبحخ ا ع غ غ ع غبحبد ا ض ضبد ا ز غ ػ ب ٠ ؼط ا ع غ رمبغغ أ اص ١ ب خبي ا لطؼخ غزم ١ خ ا غ ػخ ا مبغ ظ احبد ا غزط ١ ز اص األظالع ا ض ش : غ خ )رغب ا غبحخ( غ خ ) غبحخ ا غزط ١ ) ئرا رطبثك ض ضب وب ذ غبحبر ب زغب ٠ خ غبحخ ا غزط ١ رغب حبص ظشة ثؼذ ٠ ظش ٠ خ )15( غبحخ ز اص األظالع رغب غ ي ا مبػذح ظشة االسرفبع )ا ؼ د ا بصي ئ ا مبػذح ا ع غ ا مبث ز ا مبػذح( ا ؼط ١ بد / أ ة ط د ز اص أظالع لبػذر أ ة اسرفبػ ة ط ا ط ة / أصجذ ا غبحخ ز اص األظالع أ ة ط د رغب )أ ة()ة ط( ا ؼ / غمػ ا ؼ د ٠ ة ط, أ ص ػ ط د ا جش ب / ث ب أ ة أ // ط د ئر ة ط ا ص )ا جؼذ ث ١ ا ظ رم ١ ١ ا ز اص ١٠ صبثذ( ث ب ا ة ط د أ ئر ٠ طجك ا ض ضب ة ط ط, أ د ص ثع غ رش صا ٠ خ لبئ خ ئر غبحخ ة ط ط غبحخ ا د ص, أ ا ( ة ط ط ( ( ا د ص), ئر ) أ ة ط د( ) ة ط ط( + )ط ة أ د( ) أ د ص(+ )ط ة أ د( )ط ة أ ص() 1 ( ى ط ة // أ ص ٠ غب ٠, ق )ة ط ص(, 90 ئر ط ة أ ص غزط ١ ئر )ط ة أ ص( )ة ط( )أ ة( )( )1(, )( غز زظ أ )أ ة ط د( )ة ط( )أ ة( 47

48 ظش ٠ خ )5(: غبحخ ا ض ش رغب ½ غ ي ا مبػذح ظشة ا ؼط ١ بد: Δ أ ة ط ف ١ ط ط ػ د ػ ة أ ا ط ة: أصجذ أ )Δ أ ة ط( ½ )ط ط( )أ ة( ا ؼ د ا بصي ا شأط ا مبث ػ ز ايلبػذح ا ؼ : شع ط غزم ١ ب ٠ اص ة أ أ غزم ١ ب ٠ اص ة ط ١ زمبغؼب ف د ا جش ب : ث ب أ أ د// ة ط, ط د// ة أ ثب ؼ, ئر أ ة ط د ز اص أظالع ئر Δ أ د ط ٠ طبثك Δ ط ة أ أل لطش ز اص األظالع ٠ مغ ئ ض ض ١ زطبثم ١ ئر )Δ أ د ط( )Δ ط ة أ( ى )أ ة ط د( )Δ أ د ط( + )Δ ط ة أ( ئر )Δ ط ة أ( ½ )أ ة ط د( ½ )ط ط( )أ ة( ظش ٠ خ )35(: غبحخ شج ا حشف رغب ½ )ا مبػذح ا ىجش + ا مبػذح ا صغش ( ظشة االسرفبع, ح ١ ش أ االسرفبع ا ؼ د ث ١ ا مبػذر ١ )ا ز اص ٠ ز ١ ( ا ؼط ١ بد: أ ة ط د شج حشف ف ١ ط د // أة ا ط ة: أصجذ أ )أ ة ط د( ½ )ة أ+ ط د( )د ط( ا ؼ : ص ة د ا جش ب : )أ ة ط د( )Δ ة ط د( + )Δ أ ة د( ½)ط د( )ط د( + ½)ة أ( )ط د( ½)ط د + ة أ( )د ط( ظش ٠ خ )45( غبحخ اي ػ ١ رغب صف حبص ظشة لطش ٠ ا ؼط ١ بد: أ ة ط د ؼ ١ ا ط ة: ئصجبد أ )أ ة ط د( ½)أ ط( )ة د( ا جش ب : ث ب أ لطش ا ؼ ١ زؼب ذا ئر ة د ػ د ػ أ ط ب )أ ة ط د( )Δ أ ة د( + )Δ ط ة د( ½)ة د( )أ ط+ط ط( ½)ة د( )أ ط( ½)ة د( )أ ط( + ½)ة د( )ط ط( 48

49 ضبي )45( Δ أ ة ط لبئ ا ضا ٠ خ ف ط أغ اي عبل ١ أط 7, ة ط 4 احغت )Δ أ ة ط( أ عذ غ ي ا ؼ د ا غبلػ ا مطخ ط ػ ا رش أ ة ضبي )65( ئرا رغب ئسرفبػب ض ضب فا ا غجخ ث ١ غبحز ١ ب وب غجخ ث ١ غ لبػذر ١ ب ا ؼط ١ بد: Δ أة ط, Δ ط ص ع ض ضب اسرفبػ ب زغب ط د ع ي ا ط ة: أصجذ أ ) Δأ ة ط( ا جش ب : اعت أ ة )Δ ط ص ع( ص ط ضبي )75( لطشا ز اص األظالع ٠ مغ ب ئ أسثؼخ ض ضب زغب ٠ خ ا غبحخ اعت ظش ٠ خ )55( ا غجخ ث ١ غبحز ا ض ض ١ ا زشبث ١ وب غجخ ث ١ ا شثؼ ١ ا شأ ٠ ػ أ ظ ؼ ١ ز بظش ٠ ف ١ ب ا ؼط ١ بد: Δ أة ط, Δ ط ص ع ض ضب زشبث ب, أة, ط ص ظ ؼ ١ ز بظش ٠ ف ١ ب ا ط ة: أصجذ أ )Δ أ ة ط( )ط ة( )Δ ط ص ع ) )ع ص( ا ؼ : غمػ ا ؼ د ٠ أ, ط ي, ػ ة ط, ص ع ػ ا زشر ١ ت ا جش ب : )Δ أ ة ط( )Δ ط ص ع( ½)أ ( ( ة ط( ) ½)ط ي( )ص ع( ث ب أ Δ أ ة ط ٠ شبث Δ ط ص ع ئر ق) ة> ) ق ( ص> ق )> ص ي ط( 90 ث ب أ ق )> ة أ( أ ة أ ئر Δ أ ة ٠ شبث Δ ط ص ي ص ط ص ط ي أل Δ أ ة ط ٠ شبث Δ ط ص ع ى ة ط أ ة ص ع ط ص ) )( ة ط أ ئر ص ع ط ي )ط ة( )1(, )( غذ أ Δ( أ ة ط( )ع ص( )Δ ط ص ع ) )أ ( )ة ط( )1( ( ط ي( )ص ع( 49

50 ص> ة> ط< ) فا ) ق ( ز ١ غخ ئرا وب Δ أ ة ط, Δ ط ص ع ض ضب ف ١ ب ق ( )ا ة()ط ة( )Δ أ ة ط( أ )ط ص()ع ص( )Δ ط ص ع ) ا جش ب : ث ب أ Δ ع ص ي ٠ شبث Δ أ ة أ ة أ ئر ط ص ط ي ثب زؼ ٠ ط ف )1( ثش ب ا ظش ٠ خ ا غبثمخ غذ ا : )أ ة()ة ط( )Δ أ ة ط( )Δ ط ص ع( )ط ص()ص ع( ضبي )85( ظش ٠ خ ف ١ زبغ سس / ا ؼط ١ بد / ا ض ش ا ة ط لبئ ا ضا ٠ خ ف ط اي ط ة /أصجذ ا )أ ة( )ا ط( + )ة ط( ا ؼ / شع اي شثغ أ ة ط ص ا ز ظ ؼ أ ة, مطخ ص شع اص ٠ ب ع غ ة ط, مطخ ط شع اص ٠ ب ع غ ا ط, زى ه مطخ رمبغغ ا شؼبع ط ا غ ا اص ص, د مطخ رمبغغ ا شؼبع ط ة غ ا اص ط, مطخ رمبغغ ا شؼبع د ط غ ا شؼبع ه ص ا جش ب / ث ب ا ق) ) 90, ط د // ه, ط ه // د و إذن الشكل ه ج د و غزط ١ أر ق )<1 ) ق )<3(, أل و ب رز )< ( ئر ا ض ش أ ط ة ٠ طبثك ا ض ش ص ه ا ثضا ٠ ز ١ ظ غ )أ ة ص أ ) ٠ زظ أ أ ط ص ه, ة ط أ ه ( 1( ثب ض ق )< ) ق )<4(, أل و ب رز )< 3( ئر ا ض ش ص ه ا ٠ طبثك ا ض ش ط ص ثضا ٠ ز ١ ظ غ )ص ط ص أ ) ٠ زظ أ أ ه ص و, ص ه ط ( ( ثب ض ق )<5 ) ق )<7(, أل و ب رز )< 6( ئر ا ض ش ط ص ٠ طبثك ا ض ش ة د ط ثضا ٠ ز ١ ظ غ )ص ط ة ط ) ٠ زظ أ ط ة د, ص د ط ( )3 ( )1, (,) ( )3 ٠ زظ أ أ ط ص ه ط ة د, ة ط أ ه ص د ط ئر )ط د ه ) )أط + ة ط( )4( )ط د ه( )أ ة ط ص( + 4 )ا ض ش ا ط ة( )أ ة( + 4)½ أ ط( )ة ط( )أ ة( + )أ ط( )ة ط( )5( )4( )5( ٠ زظ ا / )أ ة( )ا ط( +)ة ط( 50

51 ضبي )95( : ظش ٠ خ رش ١ فب / ئرا وب ذ د مطخ داخ ا ض ش أ ة ط لطؼذ ا غزم ١ بد أ د, ة د, ط د أظالع ا ض ش ة ط, أ ط, أ ة ف ا مبغ ط, ص, ع ػ ا زشر ١ ت, أصجذ ا )ة ط\ط ط( )ط ص \ ا ص( )أ ع \ة ع( 1 )ة ط( )Δ أ ة ط( )ط ط( )Δ أ ط ط ) ا جش ب / الشزشان ا ض ض ١ ف االسرفبع )ة ط( )Δ د ة ط( ثب ض ( ط ط( )Δ د ط ط ) خ اص ا ز بعت غذ ا / )ة ط( )Δ د ة ط( ( ط ط( )Δ د ط ط ) )Δ أ ة ط( - )Δ أ ط ط( - أ ا / )ة ط( )Δ أ ة د( ( ط ط( )Δ أ د ط ) ثب ض ٠ ى ئصجبد ا / )ط ص(, )Δ ة د ط( ( ا ص( )Δ ة د أ ) )أ ع( )Δ أ د ط( ( ة ع( )Δ ة د ط ) ئر 1 )Δ أ د ط( )Δ ة د ط ) )Δ ة د ط( )Δ ة د أ ) )Δ أ ة د( )Δ أ د ط ) )ة ط\ط ط( )ط ص \ ا ص( )أ ع \ة ع( ثكاف ؤ املثلثاث / ٠ مبي أ شى ١ ) ع ؼ ١ ( زىبفئ ١ ئرا رغب د غبحز ١ ب حعريف )15( / م ي أ ا ع غ )ا ض ش أ ا شى ا شثبػ ( حص سا ث ١ غزم ١ ١ ز اص ١٠ ئرا وب أحذ أظالػ ػ أحذ ا غزم ١ ١ ثبل سؤ ع ػ ا غزم ١ ا ٢ خش نظريت )65( / ا ض ضبد ا ز ب فظ ا مبػذح, سؤع ب ػ غزم ١ ٠ اص ا مبػذح زىبفئخ 51

52 املعطياث / ا ض ش أ ة ط, ا ض ش د ة ط ض ضب ٠ شزشوب ف ا مبػذح ة ط سأعب ب ػ ا غزم ١ أ ط ا ز ٠ اص ا مبػذح املطلوب / ئصجبد أ ا ض صب زىبفئب أ أ : العول / غمػ األػ ذح د ط, أ ص ػ ا غزم ١ ة ط )Δ د ة ط( )Δ أ ة ط( الربهاى / ث ب أ ا د // ة ط, ا جؼذ ث ١ ا غزم ١ ١ ا ز اص ١٠ صبثذ ئر د ط ا ص ص )Δ د ة ط( ) \1 ()د ط()ة ط( ) \1 ()أ ص()ة ط( )Δ أ ة ط( / نججيت ئرا رىبفأ ض ضب ب فظ ا مبػذح شع ب ف فظ ا غ خ ا مبػذح, فا ا غزم ١ ا بس ثشأع ١ ب ٠ اص ا مبػذح ) اعت( نظريت )75( / ز اص ٠ ب األظالع ا حص سا ث ١ غزم ١ ١ ز اص ١٠ ب فظ ا مبػذح ٠ ى ب زىبفئ ١ املعطياث / ص ة ط ط, أ ة ط د ر ا ٠ ب أظالع شزشوب ثب مبػذح ة ط, ٠ مؼب ث ١ ا غزم ١ ١ ا ز اص ١٠ ة ط, ط أ املطلوب / أصجذ أ )ط ط ة ص( )د ط ة أ( الربهاى / ١ ى h ا جؼذ ا ضبثذ ث ١ ا غزم ١ ١ ا ز اص ١٠ ة ط, أ ط ئر )ة ط ط ص( ) h ()ة ط( )د ط ة أ( نخيجت / ئرا اشزشن ض ش ر اص أظالع ف ا مبػذح وب ب حص س ٠ ث ١ ا مبػذح غزم ١ ٠ اص ٠ ب وب ذ غبحخ ا ض ش صف غبحخ ز اص األظالع 5

53 ا ذائشح / ا حذح ا غبدعخ ا ذائشح رؼش ٠ ف )16( ا ذائشح / ا ذائشح غ ػخ و ا مبغ ف غز ؼ ١ ا ز رجؼذ ػ مطخ ؼ ١ خ ف فظ ا غز ثؼذا صبثزب رغ ز ا مطخ شوض ا ذائشح ٠ غ ا جؼذ ا ضبثذ زا غ ي صف ا مطش رؼش ٠ ف )6( / ) رش لطش صف لطش ا ذائشح( ئرا وب ذ ا مطزب أ, ة رمؼب ػ ا ذائشح, فا ا مطؼخ ا غزم ١ خ ا ة رغ رشا ف ا ذائشح, أرا ش زا ا رش ث شوض ا ذائشح فا ا رش ٠ غ لطشا ف ا ذائشح, رغ أ لطؼخ غزم ١ خ أحذ ب ٠ ز ١ ب شوض ا ذائشح ا ب ٠ خ ا ضب ١ خ مطخ ػ ١ ب صف لطش ا ذائشح ظش ٠ خ )16( / ا ؼ د ا بصي شوض أ دائشح ػ رش ف ١ ب ٠ صف ا ؼط ١ بد/ دائشح, أ ة رش ف ١ ب, ط ػ د ػ أ ة ا ط ة / أصجذ أ ة ط أ ط ا جش ب / ص أ, ة طجك ا ض ض ١ ة ط, أ ط ف ١ ب : ة أ أ صبف ألطبس ط شزشن ق )< ط ة( ق )< ط أ( 90 ئر ٠ طجك ا ض ضب ث رش ظ غ صا ٠ خ لبئ خ ٠ زظ أ أ ط ة ط ظش ٠ خ )6( / ا مطؼخ ا غزم ١ خ ا اص خ ث ١ شوض دائشح زصف رش ف ١ ب ٠ ؼب ذ ر ه ا رش ا ؼط ١ بد / أ ة رش ف ا ذائشح, ط زصف أ ة, أ أ أ ط ة ط ا ط ة / أصجذ ا ط ػ د ػ أ ة ا جش ب / ص ة, أ طتق ا ض ض ١ ة ط, أ ط ف ١ ب ة أ أ صبف ألطبس ط شزشن, ة ط أ ط ثب فشض 53