Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Transcript

1 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

2 Παραδείγματα συνεχή/διακριτά : t t Καρδιογράφημα Σήμα φωνής Σεισμικό σήμα

3 Παραδείγματα : Ασπρόμαυρες Εικόνες Χάρτης Θερμοκρασίας Ακτινογραφία 3

4 Παραδείγματα : 1 Χάρτης Ανέμου 4

5 Παραδείγματα : Έγχρωμες Εικόνες 5

6 Παραδείγματα : 3 t t Ασπρόμαυρο Video 6

7 Παραδείγματα : 3 3 t t t t r g b Έγχρωμο Video 7

8 Παραδείγματα : 3 3 z z z z 1 3 Normal Vectors Map Εφαρμογή στη γραφική για την αντανάκλαση του φωτός 8

9 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Σύγκριση Δ και 3Δ χώρο Matlab: ezplot'*+1'

10 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Σύγκριση Δ και 3Δ χώρο 1 1 ευθεία επίπεδο

11 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Σύγκριση Δ και 3Δ χώρο + 1 κύκλος Matlab: ezplot'^+^-1' + 1 κύλινδρος

12 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών + + z 1 Σημεία που απέχουν απότοο 1 1

13 Συναρτήσεις z + Γιαναμελετήσω3Δ γραφήματα προσπαθώ να κάνω αναγωγή σε Δ Αν περιοριστώ στο επίπεδο z c Βρες τα τ.ώ + c Αν περιοριστώ στο z επίπεδο Βρες τα z τ.ώ z Matlab: sms ; ezsurc'^+^'[-5 5][-5 5]; 13

14 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Σύγκριση Δ και 3Δ χώρο : U : U Γράφημα Γ { R U } Γράφημα Γ U 3 { } 14

15 Ισοσταθμικές καμπύλες στο επίπεδο: Προβολή στο επίπεδο της τομής του γραφήματος με τα επίπεδα z c. z + c> c c< 15

16 Ισοσταθμικές καμπύλες στο επίπεδο: Προβολή στο επίπεδο της τομής του γραφήματος με τα επίπεδα z c. Matlab:ezsurc'*'[-5 5][-5 5]; z 16

17 Ισοσταθμικές καμπύλες

18 Ισοσταθμικές καμπύλες z 1> 1/ 18

19 Ισοσταθμικές καμπύλες - Παράδειγμα 19

20 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Όρια

21 Γειτονιά στο IR Βασική γειτονιά του : Συμμετρικό διάστημα ανοικτό ως προς ακτίνας ε >. Δ ε { < ε } -ε +ε 1

22 Γειτονιά στο IR Βασική γειτονιά του : Ανοικτός Δίσκος με κέντρο και ακτίνα ε >. Δ ε { + < ε }

23 Σύνορο Στο IR το ϵu θα λέγεται εσωτερικό σημείο αν υπάρχει βασική γειτονιά Δ ε υποσύνολο του U Δ ε U Δ ε Στο IR το ϵu θα λέγεται συνοριακό του U για οποιαδήποτε γειτονιά Δ ε θα έχουμε c Δ ε U και ε U Δ 3

24 Γειτονιά στο IR Σύνορο του U είναι το σύνολο των συνοριακών σημείων του U Ένασύνοροθατολέμεανοικτόανκάθεσημείοτουείναι ανοικτό το σύνορο δε τέμνει το U τα συνοριακά σημεία του δεν ανήκουν στο U. Ο ορισμός του κλειστού είναι αντίστοιχος IR n {α 1 α n α i ϵir} Βασική γειτονιά του α 1 α n ϵir n α i ϵir n Δ a 1 a n ε { 1 n R 1 a n a n < ε } 4

25 Όρια Συναρτήσεων με μία μεταβλητή : U lim > L L+ε L Για κάθε ε > δοσμένο υπάρχει δ > τ.ώ. για κάθε - < δ και το -L < ε Για κάθε ΔLε υπάρχει δ >τ.ώ. για κάθε ϵ Δ δ\{ } το ϵ ΔLε L-ε 5

26 Όρια Συναρτήσεων δύο μεταβλητών : U lim > L Για κάθε ε > δοσμένο υπάρχει δ > τ.ώ. για κάθε < δ και το -L < ε Για κάθε ΔLε υπάρχει δ > τ.ώ. για κάθε ϵ Δ δ\{ } το ϵ ΔLε L+ε L L-ε 6

27 7 Ιδιότητες Ορίων lim lim lim g g > > > + + Παράδειγμα lim > 1 1 lim lim > > sin lim e > lim lim lim g g > > > lim + + >

28 Παραδείγματα Ορίων 1/ lim? > lim > + + lim > Το lim > δεν υπάρχει τα πλευρικά όρια της συνάρτησης δεν είναι ίσα μεταξύ τους 8

29 Παραδείγματα Ορίων / lim > Περιορίζω τη συνάρτηση στις ευθείες m. Οπότε η γίνεται συνάρτηση μίας μεταβλητής m m m lim ; > L m Δεν ισχύει. Πάρε m L. Τότε σε οποιοδήποτε δίσκο Δδ η συνάρτησηπαίρνειτιμήm. 9

30 Παραδείγματα Ορίων cos 1 lim > Μεθοδολογία: Γιαναδείξωπωςέναόριοδενυπάρχει πλησιάζω με διαφ. τρόπους και βρίσκω διαφ. αποτελέσματα. Για και cos 1 / L' Hospital / L' Hospital sin cos 1 lim lim lim lim 1 > > 4 > 3 > Για και lim lim > > 4 3

31 Παραδείγματα Ορίων Πρόταση: Αν lim > L lim > m L Αντίστροφο ισχύει;; OXI Αντιπαράδειγμα 1 C { C C 1 Το όριο δεν υπάρχει γιατί σε οποιαδήποτε μικρή γειτονιά του η συνάρτησηπαίρνειτιμή και 1. Οπεριορισμόςτης στην m έχει όριο γιατί ο περιορισμός της στη γειτονιά του είναι. 31

32 Συνέχεια : U Ορισμός: H είναι συνεχής στο αν lim > L+ε L L-ε Το γράφημα είναι συνεχές. 3

33 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Μερικές Παράγωγοι

34 Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Γεωμετρικός ορισμός: Η κλίση της εφαπτόμενης στο σημείο. Εξίσωση εφαπτόμενης ': U U ' ' ΌσοτοΒπλησιάζειτοΑ δηλαδήτοh μικραίνει h η ΑΒ τείνει να συμπέσει με την Α. Η οριακή θέση που παίρνει η ΑΒ είναι η εφαπτομένη της F στο καιέχεισυντελεστήδιεύθυνσης: εφω lim + h h ' h : U +h Α Β +h ω Η οποία υποδηλώνει και τον ρυθμό το πόσο αργά η γρήγορα με τον οποίο μεταβάλλονται οι τιμές της όταν το. 34

35 Συναρτήσεις δύο μεταβλητών : U P P : U Στην L υπολογίζω την.αυτό μπορώ να το κάνω για κάθε. Συμβολίζω ή τη μερική παράγωγο της ως προς. L Θεωρώ την ως συνάρτηση του μόνο δηλ. θεωρώ το σταθερά και παραγωγίζω ως προς. 35

36 36 Παραδείγματα e e e '

37 Μερικές Παράγωγοι Γενικά οι θα είναι συναρτήσεις των. Η τιμή είναι η κλίση της εφαπτομένης της συνάρτησης στο σημείο P Τα ίδια ακριβώς αντίστοιχα ισχύουν και για τις συναρτήσεις μεταβλητών e e 11 e 37 L

38 Εφαπτόμενο επίπεδο του γραφήματος της στο P To επίπεδο που ορίζεται από τις εφαπτόμενες ευθείες ε ε στις στο P. Περνάει από το σημείο. Διάνυσμα // στην ε : Διάνυσμα // στην ε : < 1 > < 1 > Διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο: n < 1... < > < 1 1 > > 38

39 39 Εφαπτόμενο επίπεδο του γραφήματος της στο P Εξίσωση επιπέδου z n z + + > < Παράδειγμα: Εφαπτόμενο επίπεδο στο z

40 4 Εφαπτόμενο επίπεδο του γραφήματος της στο P Ορισμός Εφαπτόμενο επίπεδο : > < D D z Παράδειγμα: Εφαπτόμενο επίπεδο στο 311 > < z

41 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Παραγωγισιμότητα Συνάρτησης

42 Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Γεωμετρικός ορισμός: Η κλίση της εφαπτόμενης στο σημείο. lim lim + h h ' h : U ': U U ' lim ' Α ' 4

43 Κανόνες Παραγώγισης 43

44 44 Συναρτήσεις δύο μεταβλητών Έστω ϵu με τις να υπάρχουν. Τότε η συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη αν Γεωμετρικά: το όριο υπάρχει το γράφημα είναι ομαλό στο : U lim lim + +

45 Συναρτήσεις δύο μεταβλητών Ενδέχεται οι να υπάρχουν όμως όχι παρ. στο { ή 1 Παράδειγμα στο lim lim lim lim lim lim lim lim lim Το όριο δεν υπάρχει περιορίσου στην ε 1 μας δίνει + δεν υπάρχει. 45

46 Συναρτήσεις δύο μεταβλητών : U Θεώρημα: Έστω και ϵu. Αν οι υπάρχουν και είναι συνεχείς σε γειτονιά του. Τότε η είναι παραγωγίσιμη στο. Στο προηγούμενο π.χ. παρόλο που υπήρχαν οι μερικές παράγωγοι δεν υπήρχε συνέχεια των μερικών παραγώγων στο. Δεύτερες Παράγωγοι για καλές συναρτήσεις cos sin 5 5 sin + cos 46

47 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών : U n n 1 n Ησυνάρτησηn μεταβλητών γενικεύονται οι μερικές παράγωγοι θεωρώντας ως συνάρτηση του i και τα υπόλοιπα σταθερά sin <... > : Ανάδελτα της 1 n 47

48 Απεικονίσεις πολλών μεταβλητών : U n m n 1 1 n m 1 n n D... m n πίνακας μερικών παραγώγων της m m... 1 n Αν ϵir n τότε D είναι πίνακας αριθμών. : D 1 1 D 1 + D n m H : λέγεται παραγωγίσιμη αν D υπάρχει και lim 48

49 ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Κανόνας Αλυσίδας

50 Κανόνας Αλυσίδας 1 μεταβλητή Έστω και έστω t άρα τελικά t d d d dt d dt g dog d d t g t g t dt d dt Παράδειγμα cos t + t 1 dog dt d d t t t + d dt sin sin 1 5

51 Κανόνας Αλυσίδας μεταβλητές Έστω zz και έστω t άρα τελικά t dz z d z d + dt dt dt Παράδειγμα z cos t t 1 t t t zt t + t + t 3 1 cos dz dt t t + t t + t + t + t 3 3 cos sin dz z d z d +... dt dt dt 51

52 Κανόνας Αλυσίδας μεταβλητές Έστω zz και έστω st άρα τελικά st z z z + s s s Παράδειγμα 3 z cos t t s t s t + + zst t + s s + t 3 cos z t s + t t + s s + t t 3 3 cos 1sin z z z +... t t t 5

53 Κανόνας Αλυσίδας σε απεικονίσεις Έστω zz.. και έστω s..s άρα τελικά zzs..s 1 n i 1 m 1 m z z z s s s s s 1 n 1 n + + Zi< > i 1 i n i i i : z.. 1 n og : zzs..s 1 m og s i g i s og idg 1 m 1 n n m i g m n s.. s g s.. s... g s.. s g s.. s... g s.. s 1 m 1 1 m n 1 m 1 1 m n 1 m Κανόνας Αλυσίδας για απεικονίσεις D og DiDg s m s n n m g m n s 53

54 Κανόνας Αλυσίδας - Παραδείγματα z z e cos + u v guv ecos v+ u e z z e - e D sin + sin + 3 u e Dg sin v+ u sin v+ u v e 3 g 3 Dog D Dg... Dog D 111 Dg

55 Κανόνας Αλυσίδας - Παραδείγματα : + e e c : c c'11 t c t c t 1 Ποιο είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα της εικόνας της c μέσω της για t; c + + e e D e e Doc D Dc

56 Παράγωγος κατά κατεύθυνση ε t + tia + tib Περιορίζω τη στην ε και την θεωρώ ως συνάρτηση μίας μεταβλητής z + tia + tib zt d d d + a+ b i< ab > iv dt dt dt v<ab> 56

57 Παράγωγος κατά κατεύθυνση z Ορισμός P iv παράγωγος κατά κατεύθυνση της στο P ως προς την κατεύθυνση v. Γεωμετρικά P iv> συνάρτηση κατά την κατεύθυνση P iv< συνάρτηση κατά την κατεύθυνση v Παράδειγμα + < > 1 v < 11 > P1 1 P iv< > i < 11> v v<ab> 57

58 Παράγωγος κατά κατεύθυνση Προς ποια κατεύθυνση αυξάνεται πιο γρήγορα η ; P iv P i v icos θ Αν θεωρήσουμε v 1 P To P iv μεγιστοποιείται για θ άρα για v P H κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης είναι του P v<ab> H κατεύθυνση της μεγαλύτερης μείωσης είναι του - P H συνάρτηση παραμένει σταθερή ως προς τη κατεύθυνση που είναι κάθετη στο P P iv Παράδειγμα 1 z P z Ζητάμε τη κατεύθυνση της ταχύτερης αύξησης στο P. 58

59 Παραδείγματα H ορίζεται πεπλεγμένα από τη G. G G d Αν η G είναι παραγ. και τότε ν.δ.ο d G Λύση F G R R R Έστω F οπότε η G GoF 1 G G G d DGoF DGiDF d d G d 59

60 Παραδείγματα Εφαπτόμενο επίπεδο και κάθετο διάνυσμα της + -z 18 στο P35-4. ος Λύση 1 τρόπος Το υπερβολοειδές είναι η γραφική παράσταση των z και z Eπειδή το P έχει z< μας ενδιαφέρει ο z Εφαπτόμενο επίπεδο: z- 35 D35 i 5... z + -z -18 ος Λύση τρόπος 3 Εξίσωση εφ. επιπέδου 35 4 i 5. z Κάθετο διάνυσμα