Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Transcript

1 Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 25 Μαΐου 211

2 2

3 Περιεχόμενα 1 Ο χώρος R n Ο Ευκλείδιος n-χώρος Περιοχές σημείων του R n Κατηγορίες σημείων και συνόλων στον R n Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Όρια και συνέχεια Όρια Συνέχεια Α Επιφάνειες στον R Α.1 Επίπεδα Α.2 Επιφάνειες β βαθμού Α.3 Κυλινδρικές επιφάνειες Α.4 Κωνικές επιφάνειες Παραγώγιση Μερικές παράγωγοι Αλυσιδωτή παραγώγιση Διαφορίσιμες συναρτήσεις και διαφορικά Παράγωγος κατά κατεύθυνση και κλίση Εφαπτόμενα επίπεδα Ιακωβιανή ορίζουσα Ακρότατα Ελεύθερα ακρότατα Δεσμευμένα ακρότατα Τύπος alor Διπλά ολοκληρώματα Ορισμός και ιδιότητες Γεωμετρική ερμηνεία Επαναληπτικά ολοκληρώματα Αλλαγή μεταβλητών Εφαρμογές

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5 Τριπλά ολοκληρώματα Ορισμός και ιδιότητες Επαναληπτικά ολοκληρώματα Αλλαγή μεταβλητών Εφαρμογές i

5 Κεφάλαιο 1 Ο χώρος R n 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος Όπως είναι γνωστό, το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με R και παριστάνεται γεωμετρικά από μία ευθεία γραμμή, σε κάθε σημείο της οποίας αντιστοιχίζεται ένας συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός, βάσει της απόστασης από την αρχή του άξονα. Με τη βοήθεια του συνόλου R ορίζεται ο χώρος R n ως το σύνολο όλων των διατεταγμένων n-άδων πραγματικών αριθμών: R n = R R... R = {( 1, 2,..., n ) : i R, i = 1,..., n} Μας ενδιαφέρουν οι συγκεκριμένοι χώροι, διότι οι συναρτήσεις που θα μελετηθούν στα επόμενα κεφάλαια ορίζονται εκεί, δηλαδή δεν είναι συναρτήσεις μίας μόνο μεταβλητής. Συνήθως τα στοιχεία του R 2 που αντιστοιχεί στο Καρτεσιανό επίπεδο παριστάνονται με (, ), παρά με ( 1, 2 ), ενώ τα στοιχεία του R 3 με (,, z), παρά με ( 1, 2, 3 ) (σχήμα 1.1). Τα στοιχεία (ή σημεία) του R n αναφέρονται συχνά και ως διανύσματα¹, δεδομένου ότι ο R n αποτελεί διανυσματικό χώρο πάνω στους πραγματικούς αριθμούς, όταν εφοδιαστεί με τις πράξεις της πρόσθεσης (συνάρτηση R n R n R n ) και του πολλαπλασιασμού με πραγματικούς αριθμούς (συνάρτηση R R n R n ). Πιο συγκεκριμένα, αν = ( 1, 2,..., n ) και = ( 1, 2,..., n ) είναι δύο στοιχεία του R n, τότε ορίζεται το άθροισμά τους ως το διάνυσμα + = ( 1 + 1, 2 + 2,..., n + n ) ¹Υπενθυμίζεται σε αυτό το σημείο η κλασική γεωμετρική αναπαράσταση π.χ ενός διανύσματος = (,, z ) του R 3, μέσω ενός προσανατολισμένου ευθύγραμμου τμήματος, με αρχή την αρχή των αξόνων και πέρας το σημείο με συντεταγμένες (,, z ) b P( a, b) P( a, b, c) O a b O a Σχήμα 1.1: Σημεία στον R 2 και τον R 3. z c 1

6 1. Ο χώρος R n + 2 O - O (α) (β) Σχήμα 1.2: Αναπαράσταση στο επίπεδο (α) της πρόσθεσης δύο διανυσμάτων και (β) του πολλαπλασιασμού διανύσματος με πραγματικό αριθμό. Επιπλέον, αν c R, ορίζεται το γινόμενο του με τον πραγματικό αριθμό c ως ακολούθως: c = (c 1, c 2,..., c n ) Και οι δύο αυτές πράξεις έχουν απλή γεωμετρική ερμηνεία όταν n = 2, 3, όπως φαίνεται στο σχήμα 1.2. Γίνεται φανερό πως από τους ορισμούς εξασφαλίζεται ότι τόσο το +, όσο και το c είναι και αυτά στοιχεία του R n. Παράδειγμα 1.1: και 3 είναι Αν = (3, 2,, 1) και = ( 1, 1, 3, 1), τότε τα διανύσματα +, 2 + = (3 1, 2 + 1, + 3, 1 + 1) = (2, 3, 3, ) 2 = ( 2 3, 2 2, 2, 2 ( 1)) = ( 6, 4,, 2) 3 = (3 ( 1), 3 1, 3 3, 3 1) = ( 3, 3, 9, 3) Οι πράξεις που προαναφέρθηκαν έχουν τις παρακάτω γνωστές ιδιότητες, οι οποίες αποδεικνύονται εύκολα με βάση τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών: ( + ) + z = + ( + z) + = + λ( + ) = λ + λ, λ R κ(λ) = (κλ), κ, λ R (κ + λ) = κ + λ, κ, λ R 1 = Επιπλέον, το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι το διάνυσμα = (,,..., ), με την ιδιότητα + =. Τέλος, για κάθε R n υπάρχει το αντίθετο διάνυσμα = ( 1), με την ιδιότητα + ( ) =. 2

7 1.1 Ο Ευκλείδιος n-χώρος Για την ισότητα των διανυσμάτων = ( 1, 2,..., n ) και = ( 1, 2,..., n ) έχουμε την ακόλουθη συνθήκη: = i = i, i = 1,..., n Στη συνέχεια, εισάγεται η Ευκλείδια απόσταση d μεταξύ των και που είναι η ακόλουθη μη αρνητική ποσότητα: d(, ) = ( 1 1 ) 2 + ( 2 2 ) ( n n ) 2 Πέρα από την προφανή ιδιότητα d(, ), η απόσταση έχει και τις ακόλουθες: d(, ) = = d(, ) = d(, ) d(, ) d(, z) + d(, z) Το μέτρο του διανύσματος = ( 1, 2,..., n ) ορίζεται ως ο μη αρνητικός αριθ- Ορισμός 1.1 μός = n Συχνά για το μέτρο διανυσμάτων χρησιμοποιείται και ο συμβολισμός (βέβαια, έχει νόημα η χρήση του ίδιου συμβόλου με την απόλυτη τιμή των πραγματικών αριθμών, αφού η τελευταία αποτελεί το μέτρο των διανυσμάτων του R, δηλαδή των διανυσμάτων με μία μόνο συνιστώσα). Το μέτρο ενός διανύσματος είναι, όπως ειπώθηκε, μη αρνητική ποσότητα και για κάθε αριθμό c R ισχύει c = c Ένα διάνυσμα ονομάζεται μοναδιαίο, όταν έχει μέτρο ίσο με 1. Επιπλέον, διαπιστώνεται εύκολα ότι η απόσταση των και δεν είναι τίποτε άλλο, παρά το μέτρο της διαφοράς τους: d(, ) = Δύο διανύσματα ικανοποιούν και την τριγωνική ανισότητα: + + H ισότητα ισχύει μόνο όταν τα και βρίσκονται συνδέονται μέσω μίας σχέσης της μορφής = λ με λ >. Παράδειγμα 1.2: Αν = (2, 2, ) και = (1, 2, 1), τότε = = = 2 2 = ( 2) = = 6 ενώ η απόσταση των αντίστοιχων σημείων είναι d(, ) = (2 1) 2 + (2 + 2) 2 + ( 1) 2 = = 18 = 3 2 3

8 1. Ο χώρος R n Ορισμός 1.2 Το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων και ορίζεται ως ο αριθμός = n n = n i=1 i i Όπως γίνεται φανερό, ισχύει = o εσωτερικό γινόμενο έχει τις παρακάτω ιδιότητες:, με την ισότητα να ισχύει όταν = = (λ ) = λ ( ) = (λ), λ R ( + z) = + z Ορισμός 1.3 Η γωνία που σχηματίζουν δύο μη μηδενικά διανύσματα και είναι η θ [, π] με cos θ = Από την ανισότητα Cauch-Schwarz διαπιστώνεται ότι για δύο μη μηδενικά διανύσματα ισχύει 1 οπότε όντως η συγκεκριμένη ποσότητα παίρνει μόνο εκείνες τις τιμές που προκύπτουν από το cos θ. Ορισμός 1.4 Δύο διανύσματα και λέγονται κάθετα ή ορθογώνια, όταν ισχύει = δηλαδή όταν θ = π/2. Παράδειγμα 1.3: διότι Τα διανύσματα = (2,, 1, 2) και = ( 2, 5, 4, ) είναι ορθογώνια, = 2 ( 2) ( 4) + 2 = = Η προβολή ενός διανύσματος στο μη μηδενικό διάνυσμα είναι το διάνυσμα p = 2 Ορισμός 1.5 Δύο διανύσματα και λέγονται παράλληλα, αν υπάρχει λ R με λ, τέτοιος ώστε να ισχύει = λ. Μια πολύ σημαντική παρατήρηση είναι ότι ένα οποιοδήποτε διάνυσμα του R n μπορεί να γραφεί με τον ακόλουθο τρόπο: = ( 1, 2,..., n ) = ( 1,,..., ) + (, 2,..., ) (,,..., n ) 4

9 1.2 Περιοχές σημείων του R n z j O i k O i j Σχήμα 1.3: Διανύσματα βάσης στον R 2 και τον R 3. = 1 (1,,..., ) + 2 (, 1,..., ) n (,,..., 1) = 1 e e n e n n = i e i i=1 Με άλλα λόγια, κάθε διάνυσμα R n γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων e 1, e 2,..., e n, τα οποία είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους. Τα διανύσματα e i, i = 1,..., n είναι γραμμικά ανεξάρτητα, δηλαδή ισχύει 1 e e n e n = μόνο όταν 1 = 2 =... = n =. H γραμμική ανεξαρτησία σημαίνει πως δεν υπάρχει η δυνατότητα να εκφραστεί κάποιο διάνυσμα e j ως γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων e i, i j. Τα συγκεκριμένα διανύσματα λέμε ότι αποτελούν μια βάση του R n. Συνήθως, στον R 2 χρησιμοποιούνται οι συμβολισμοί i, j αντί των e 1, e 2, ενώ στον R 3 τα σύμβολα i, j, k αντί των e 1, e 2, e 3 (σχήμα 1.3). Είναι φανερό ότι για τις συνιστώσες i ισχύει i = e i για i = 1,..., n. Αν και είμαστε εξοικειωμένοι με τη γεωμετρική αναπαράσταση των χώρων R n για τις τιμές n = 1, 2, 3 (η ευθεία των πραγματικών αριθμών για n = 1, το επίπεδο για n = 3, ο τρισδιάστατος χώρος για n = 3), ωστόσο είναι φανερό πως δεν υπάρχει αντίστοιχη συμβατική αναπαράσταση των αντίστοιχων χώρων για μεγαλύτερες τιμές του n. 1.2 Περιοχές σημείων του R n Αρχικά γενικεύουμε τις έννοιες των διαστημάτων του πραγματικού άξονα. Ας θεωρήσουμε ένα σημείο P( 1, 2,..., n ) που ανήκει στον R n. Ορισμός 1.6 Ανοιχτή ορθογωνιακή περιοχή του σημείου P ονομάζεται κάθε σύνολο της μορφής {( 1, 2,..., n ) : i i < δ i, i = 1,..., n}, όπου δ i >, i = 1,..., n. Ο χαρακτηρισμός της περιοχής ως ανοιχτή θα γίνει πιο ξεκάθαρος στη συνέχεια, ωστόσο μπορούμε να πούμε πως μια αντίστοιχη κλειστή περιοχή προκύπτει αν στον παραπάνω ορισμό απαιτηθεί να είναι i i δ i. Είναι φανερό πως ανοιχτές ορθογωνιακές περιοχές μπορούν να σχηματιστούν και από το Καρτεσιανό γινόμενο ανοιχτών διαστημάτων του R. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε τα διαστήματα A = (a, b) και B = (c, d) με a, b, c, d R, τότε ορίζεται μια ανοιχτή ορθογωνιακή περιοχή του R 2 από το Καρτεσιανό γινόμενο A B: A B = {(, ) R 2 : a < < b και c < < d} Στο σχήμα 1.4(α) απεικονίζεται μια ορθογωνιακή περιοχή ενός σημείου (, ) του R 2. 5

10 1. Ο χώρος R n 2 (, ) (, ) 2 O 1 1 O (α) (β) Σχήμα 1.4: Περιοχές ενός σημείου (, ) του R 2 : (α) ορθογωνιακή, (β) σφαιρική. Ορισμός 1.7 Ανοιχτή σφαιρική περιοχή με κέντρο το σημείο P και ακτίνα δ > ονομάζεται το σύνολο {( 1, 2,..., n ) : ( 1 1 ) 2 + ( 2 2 ) ( n n ) 2 < δ 2 } και συμβολίζεται με B(P, δ). Όταν για τον R n είναι n = 2 η σφαιρική περιοχή είναι ένας κυκλικός δίσκος (σχήμα 1.4(β)), ενώ στην περίπτωση που είναι n = 3 η σφαιρική περιοχή αποτελείται από τα σημεία ενός σφαιρικού στερεού. Αν, τέλος, είναι n = 1, τόσο οι ανοιχτές ορθογωνιακές όσο και οι ανοιχτές σφαιρικές περιοχές αντιστοιχούν απλώς σε ανοιχτά διαστήματα του R. 1.3 Κατηγορίες σημείων και συνόλων στον R n Ας θεωρήσουμε ένα σύνολο A που είναι υποσύνολο του R n. Τότε οποιοδήποτε σημείο του R n μπορεί να ανήκει μόνο σε μία από τις τρεις κατηγορίες που ορίζονται ακολούθως. Ορισμός 1.8 Ένα σημείο P ονομάζεται εσωτερικό του συνόλου A αν υπάρχει σφαιρική περιοχή του P, όλα τα σημεία της οποίας είναι και σημεία του A, δηλαδή αν υπάρχει δ >, τέτοιος ώστε να ισχύει B(P, δ) A. Ορισμός 1.9 Ένα σημείο P ονομάζεται εξωτερικό του συνόλου A αν υπάρχει σφαιρική περιοχή του P, τα σημεία της οποίας δεν ανήκουν στο A, δηλαδή αν υπάρχει δ >, τέτοιος ώστε να ισχύει B(P, δ) A =. Ορισμός 1.1 Ένα σημείο P ονομάζεται συνοριακό του συνόλου A, αν δεν είναι ούτε εσωτερικό ούτε εξωτερικό του A, δηλαδή αν σε κάθε σφαιρική περιοχή του P υπάρχουν σημεία που ανήκουν στο A και σημεία που ανήκουν στο συμπλήρωμα A c = R n A του A (με άλλα λόγια, για κάθε δ > θα πρέπει να ισχύει (B(P, δ) A) και (B(P, δ) A c ) ). Στο σχήμα 1.5 δίνεται μια γραφική απεικόνιση των παραπάνω περιπτώσεων όταν A R 2. Τα εσωτερικά σημεία ενός συνόλου A αποτελούν το εσωτερικό inta του A, τα εξωτερικά σημεία συνθέτουν το εξωτερικό eta του A και τα συνοριακά σημεία συνθέτουν το σύνορο A του A. Τα εσωτερικά σημεία ενός συνόλου ανήκουν πάντα στο σύνολο, δηλαδή inta A, ενώ τα εξωτερικά σημεία ανήκουν στο συμπλήρωμά του, δηλαδή eta A c. Το σύνορο ενός συνόλου μπορεί 6

11 1.3 Κατηγορίες σημείων και συνόλων στον R n A A A P P P O O O (α) (β) (γ) Σχήμα 1.5: Απεικόνιση ενός σημείου P που είναι (α) εσωτερικό, (β) εξωτερικό, (γ) συνοριακό σημείο ενός συνόλου A R 2. να ανήκει ή να μην ανήκει στο σύνολο. Τέλος, είναι φανερό πως τα τρία σύνολα inta, eta και A δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο: (inta) (eta) = (inta) ( A) = ( A) (eta) = ενώ η ένωσή τους ισούται με το σύνολο R n. Ορισμός 1.11 Ένα σημείο P αποτελεί σημείο συσσώρευσης του συνόλου A, αν σε κάθε σφαιρική περιοχή του P υπάρχουν και άλλα σημεία του A πέρα από το P, δηλαδή αν για κάθε δ > ισχύει (B(P, δ) {P}) A. Ένα σημείο συσσώρευσης κάποιου συνόλου δεν είναι απαραίτητο να ανήκει στο ίδιο το σύνολο. Ορισμός 1.12 Ένα σημείο P A αποτελεί μεμονωμένο σημείο του συνόλου A, αν υπάρχει σφαιρική περιοχή του P που δεν περιέχει άλλα σημεία του A πέρα από το P, δηλαδή αν υπάρχει δ >, τέτοιος ώστε να είναι B(P, δ) A = {P}. Στη συνέχεια δίνονται οι ορισμοί των ανοιχτών και των κλειστών συνόλων. Ορισμός 1.13 Ένα σύνολο A λέγεται ανοιχτό, αν όλα του τα σημεία είναι εσωτερικά, δηλαδή αν ισχύει A = inta. Είναι φανερό πως αν ένα σύνολο είναι ανοιχτό, τότε το σύνορό του δεν ανήκει σε αυτό. Επιπλέον, από τους ορισμούς που δόθηκαν προηγουμένως διαπιστώνεται πως οι ανοιχτές ορθογωνιακές και σφαιρικές περιοχές που ορίστηκαν προηγουμένως είναι ανοιχτά σύνολα. Ορισμός 1.14 Ένα σύνολο A λέγεται κλειστό, όταν περιέχει το σύνορό του. Ισοδύναμα, ένα σύνολο είναι κλειστό όταν το συμπλήρωμά του είναι ανοιχτό. Ένα σύνολο που αποτελείται από ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων είναι πάντα κλειστό. Ένα σύνολο μπορεί να μην είναι ούτε ανοιχτό, ούτε κλειστό. Επιπλέον, τόσο το εσωτερικό inta όσο και το εξωτερικό eta ενός συνόλου είναι ανοιχτά σύνολα. Ορισμός 1.15 Ένα σύνολο A ονομάζεται φραγμένο, όταν η απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων του είναι φραγμένη, δηλαδή αν υπάρχει R < +, τέτοιος ώστε d(p, Q) R, όπου P και Q δύο οποιαδήποτε σημεία του A. 7

12 1. Ο χώρος R n Ισοδύναμα, ένα σύνολο είναι φραγμένο αν υπάρχει σφαιρική περιοχή πεπερασμένης ακτίνας ή ορθογωνιακή περιοχή της μορφής [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ]... [a n, b n ] που να περιέχει το σύνολο αυτό. Ορισμός 1.16 Ένα σύνολο A ονομάζεται συνεκτικό, όταν δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν δύο μη κενά ανοιχτά σύνολα A 1, A 2 με τις ιδιότητες A 1 A 2 = A και A 1 A 2 =. Πρακτικά, ένα συνεκτικό σύνολο δεν μπορεί να αποτελείται από δύο ξεχωριστά τμήματα. Ένας ισοδύναμος ορισμός του συνεκτικού συνόλου χρησιμοποιεί την ιδιότητα δύο οποιωνδήποτε σημείων του συνόλου να μπορούν να ενωθούν με συνεχή καμπύλη, όλα τα σημεία της οποία ανήκουν στο σύνολο. Ορισμός 1.17 Ένα σύνολο που είναι κλειστό και φραγμένο λέγεται συμπαγές. 8

13 Κεφάλαιο 2 Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Μια συνάρτηση f από ένα σύνολο A R n στο χώρο R m αντιστοιχίζει ένα μόνο στοιχείο του R m σε κάθε στοιχείο του A. Όταν n = m = 1, η f καλείται πραγματική συνάρτηση μίας πραγματικής μεταβλητής (αυτή η κατηγορία συναρτήσεων έχει ήδη μελετηθεί). Στην περίπτωση που είναι n > 1 και m = 1, τότε γίνεται λόγος για πραγματική συνάρτηση n πραγματικών μεταβλητών. Για παράδειγμα, η χωρική κατανομή της (χρονικά αμετάβλητης) θερμοκρασίας σε μια επίπεδη (με αμελητέο πάχος) πλάκα μπορεί να περιγραφεί με μια συνάρτηση (, ), αντιστοιχίζοντας έναν αριθμό (την τιμή της θερμοκρασίας) σε κάθε σημείο (, ) της πλάκας. Αυτού του είδους οι συναρτήσεις θα μας απασχολήσουν από εδώ και πέρα. Τέλος, όταν είναι m > 1, η f λέγεται διανυσματική συνάρτηση (μίας, αν n = 1, ή περισσότερων, αν n > 1, μεταβλητών) και εξετάζεται συνήθως ξεχωριστά, στα πλαίσια της διανυσματικής ανάλυσης. Για παράδειγμα, η χρονικά μεταβαλλόμενη ταχύτητα ενός φορτισμένου σωματιδίου σε σημεία ενός χώρου όπου υπάρχει κάποιο μαγνητικό πεδίο μπορεί να περιγραφεί από μια διανυσματική συνάρτηση v(,, z, t) από τον R 4 στον R 3. Οι ιδιότητες των πραγματικών συναρτήσεων με περισσότερες από μία μεταβλητές γίνονται ευκολότερα κατανοητές μελετώντας συναρτήσεις που ορίζονται στους χώρους R 2 ή R 3 (μιας και η γεωμετρική απεικόνιση τότε είναι πιο εύκολη) και για το λόγο αυτό θα αναφερθούμε κυρίως σε αυτές τις περιπτώσεις στη συνέχεια. 2.1 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Μια πραγματική συνάρτηση f δύο μεταβλητών αντιστοιχίζει έναν πραγματικό αριθμό σε κάθε σημείο (, ) ενός συνόλου A R 2, το οποίο αποτελεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (σχήμα 2.1). Τότε γράφουμε συμβολικά f : A R 2 R, ενώ το πεδίο τιμών f(a) της f αποτελεί υποσύνολο του R. Δηλώνοντας z = f(, ), οι και αποτελούν τις ανεξάρτητες μεταβλητές της συνάρτησης και z είναι η εξαρτημένη μεταβλητή. Στην πιο γενική περίπτωση, αν g είναι μια πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών, τότε αυτή αντιστοιχίζει έναν πραγματικό αριθμό σε κάθε σημείο ( 1, 2,..., n ) του πεδίου ορισμού της B και γράφουμε g : B R n R. Το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών προσδιορίζεται με τρόπο αντίστοιχο με τις περιπτώσεις συναρτήσεων μίας μεταβλητής, όπως διαπιστώνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. 9

14 2. Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών D f (, ) f O O z f(, ) z Σχήμα 2.1: Πραγματική συνάρτηση (f) δύο μεταβλητών ( και ). Το πεδίο ορισμού αποτελεί υποσύνολο του επιπέδου και οι τιμές της είναι πραγματικοί αριθμοί Σχήμα 2.2: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(, ) = του παραδείγματος 2.1 (είναι η σκιασμένη περιοχή μαζί με την περιφέρεια του κύκλου). Παράδειγμα 2.1: Η συνάρτηση δύο μεταβλητών f(, ) = ορίζεται σε εκείνα τα σημεία (, ) του R 2, για τα οποία ισχύει , ή ( 2) 2 + ( 1) 2 1 Άρα η f ορίζεται στα σημεία του επιπέδου που βρίσκονται έξω από ή πάνω στην περιφέρεια κύκλου με ακτίνα 1 και κέντρο το σημείο (2, 1) (σχήμα 2.2). Έστω μία συνάρτηση δύο μεταβλητών f : A R, όπου A R 2. Το γράφημα της f αποτελείται από τα σημεία του συνόλου {(,, f(, )) : (, ) A}. Αντίστοιχα, αν η f είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών, δηλαδή A R 3, τότε το γράφημά της είναι το σύνολο {(,, z, f(,, z)) : (,, z) A}. Από τα παραπάνω γίνεται φανερό πως το γράφημα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών έχει ξεκάθαρη γεωμετρική αναπαράσταση, διότι τα σημεία του γραφήματός της ανήκουν στον R 3 και σχηματίζουν συνήθως μια επιφάνεια. Για παράδειγμα, στο σχήμα 2.4 δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(, ) = sin(π) cos(2π). Αντίθετα, κάτι ανάλογο δε συμβαίνει στην περίπτωση συναρτήσεων τριών μεταβλητών, δεδομένου ότι τότε τα σημεία του γραφήματος ανήκουν στον R 4. 1

15 2.1 Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών z f(, ) (,, f(, )) O (,,) D f Σχήμα 2.3: Γράφημα πραγματικής συνάρτησης δύο μεταβλητών (z = f(, )). Η προβολή του γραφήματος στο επίπεδο z = σχηματίζει το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Σχήμα 2.4: Γραφική παράσταση της συνάρτησης f(, ) = sin(π) cos(2π). Μια εναλλακτική γεωμετρική αναπαράσταση των συναρτήσεων δύο μεταβλητών αποτελεί η περιγραφή τους μέσω ισοσταθμικών καμπυλών, ενώ ανάλογη περιγραφή μπορεί να δοθεί και στην περίπτωση συναρτήσεων τριών μεταβλητών, με τη βοήθεια ισοσταθμικών επιφανειών. Ας αναφερθούμε αρχικά σε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών. Ορισμός 2.1 Ισοσταθμική καμπύλη στάθμης c R της f : A R 2 R ονομάζεται κάθε επίπεδη καμπύλη με εξίσωση f(, ) = c, όπου η τιμή c ανήκει στο σύνολο τιμών της f. Όπως γίνεται αντιληπτό, η καμπύλη f(, ) = c αποτελεί την τομή της επιφάνειας z = f(, ) του R 3 και του επιπέδου z = c. Συνεπώς, για την περιγραφή της f με ισοσταθμικές καμπύλες προσδιορίζονται τα ίχνη της επιφάνειας z = f(, ) πάνω σε διάφορα επίπεδα z = c i, i = 1,..., n, τα οποία στη συνέχεια προβάλλονται στο επίπεδο O. Από τον τρόπο κατασκευής τους διαπιστώνεται πως δύο ισοσταθμικές μιας συνάρτησης με διαφορετικές στάθμες δε μπορούν να τέμνονται ποτέ, διότι σε αντίθετη περίπτωση η συνάρτηση θα παίρνει δύο διαφορετικές τιμές στο σημείο τομής. Από την άλλη πλευρά, ένα είδος περιγράμματος του γραφήματος της συνάρτησης μπορεί να προκύψει, αν κάθε καμπύλη στάθμης c ανυψωθεί κατά z = c από το επίπεδο O, χωρίς να 11

16 2. Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (α) (β) Σχήμα 2.5: (α) Γράφημα της f(, ) = (β) Ισοσταθμικές καμπύλες της συνάρτησης f(, ) = Με κόκκινο χρώμα αποδίδεται η τιμή της αντίστοιχης στάθμης κάθε καμπύλης. υποστεί κάποια άλλη μετατόπιση (ως προς ή ). Στην περίπτωση συναρτήσεων τριών μεταβλητών w = f(,, z), χρησιμοποιούνται οι ισοσταθμικές επιφάνειες με εξισώσεις f(,, z) = c i, i = 1,..., n, του R 3. Συμπερασματικά, οι ισοσταθμικές καμπύλες/επιφάνειες απαρτίζονται από σημεία του πεδίου ορισμού της συνάρτησης, στα οποία η συνάρτηση λαμβάνει μια συγκεκριμένη τιμή, ίση με την αντίστοιχη στάθμη. Παράδειγμα 2.2: Για τη συνάρτηση f : R 2 R με f(, ) = (σχήμα 2.5(α)) παρατηρούμε πως οι ισοσταθμικές καμπύλες f(, ) = c έχουν τη μορφή = 1 c όπου c είναι η στάθμη της εκάστοτε ισοσταθμικής. Επομένως, οι ισοσταθμικές της f (σχήμα 2.5(β)) είναι κύκλοι με κέντρο το σημείο (, ) και ακτίνα ίση με 1 c (c 1). Παράδειγμα 2.3: Για τη συνάρτηση f : A R 3 R με f(,, z) = z 2 όπου A = {(,, z) : }, οι ισοσταθμικές επιφάνειες περιγράφονται από τις εξισώσεις z 2 = c με c > και έχουν ημισφαιρικό σχήμα, αφού είναι (σχήμα 2.6). 12

17 2.2 Όρια και συνέχεια z Σχήμα 2.6: Ισοσταθμικές επιφάνειες της συνάρτησης f(,, z) = z 2 του παραδείγματος 2.3 ( ), με στάθμες 1, 2 κα 3. A (, ) (, ) f O ( L L ) L Σχήμα 2.7: Ο ορισμός του ορίου lim (,) (, ) f(, ) = L. 2.2 Όρια και συνέχεια Όρια Δίνεται ο ακόλουθος ορισμός του ορίου μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε ένα σημείο συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της. Ορισμός 2.2 Έστω συνάρτηση f : A R 2 R. Η f έχει όριο L R όταν το σημείο (, ) τείνει στο (, ), αν για κάθε ϵ > υπάρχει δ >, τέτοιος ώστε για κάθε (, ) A να ισχύει f(, ) L < ϵ όταν < ( ) 2 + ( ) 2 < δ 2 Τότε γράφουμε ή f(, ) L όταν (, ) (, ). lim f(, ) = L (,) (, ) H έννοια του ορίου συνάρτησης δύο μεταβλητών περιγράφεται γραφικά στο σχήμα 2.7. Στον παραπάνω ορισμό θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί χωρίς ουσιαστική διαφοροποίηση η έννοια 13

18 2. Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών της ορθογωνιακής περιοχής, αν η τελευταία συνθήκη είχε αντικατασταθεί από τις συνθήκες < < δ 1 και < < δ 2 όπου δ 1, δ 2 >. Αν για τις συναρτήσεις δύο μεταβλητών f και g είναι τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: lim f(, ) = L 1 και lim g(, ) = L 2 (,) (, ) (,) (, ) lim (,) (, ) [f(, ) + g(, )] = L 1 + L 2 lim (,) (, ) [f(, ) g(, )] = L 1 L 2 lim (,) (, ) [f(, ) g(, )] = L 1 L 2 lim (,) (, ) [c f(, )] = c L 1, (c R) f(, ) lim (,) (, ) g(, ) = L 1, (L 2 ) L 2 Από τον ορισμό του ορίου διαπιστώνεται πως δε θα πρέπει να γίνεται καμία υπόθεση ως προς τη σχέση των μεταβλητών και, καθώς το σημείο (, ) τείνει στο (, ). Εάν το όριο μιας συνάρτησης σε ένα σημείο P υπάρχει στο R, τότε η τιμή που υπολογίζεται θα πρέπει να είναι η ίδια, ανεξάρτητα από τη διαδρομή που διαγράφει το (, ), καθώς προσεγγίζεται το P. Επομένως, αν είναι επιθυμητό να δειχτεί ότι το όριο μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο σημείο δεν υπάρχει, αρκεί να βρεθούν δύο διαφορετικές διαδρομές (προδιαγράφοντας, ουσιαστικά, μια σχέση μεταξύ των, ) που οδηγούν σε διαφορετικές τιμές του ορίου. Παράδειγμα 2.4: Θα εξεταστεί η περίπτωση του ορίου lim (,) (,) Αν το πλησιάζει στο καθώς το διατηρείται σταθερό και ίσο με, έχουμε f(, ) = 2 + = οπότε η τιμή του ορίου είναι και αυτή ίση με. Ισοδύναμα, γράφουμε lim (,) (,) = = lim 2 + = Στο ίδιο αποτέλεσμα καταλήγουμε θεωρώντας ότι = και. Από την άλλη πλευρά, αν το (, ) πλησιάζει στο (, ) βρισκόμενο πάνω στην ευθεία = (σχήμα 2.8(α)), τότε διαπιστώνεται πως f(, ) = = f(, ) = =

19 2.2 Όρια και συνέχεια (α) (β) Σχήμα 2.8: (α) Οι διαδρομές =, = και = του παραδείγματος 2.4. (β) Το γράφημα της συνάρτησης f(, ) = 2 + και οι τιμές που παίρνει όταν = (πράσινη γραμμή), = (μαύρη γραμμή) και = 2 (κόκκινη γραμμή). με αποτέλεσμα η τιμή του ορίου στη συγκεκριμένη περίπτωση να είναι 1 2, διαφορετική από αυτήν που βρέθηκε προηγουμένως: lim (,) (,) = = lim = 1 2 Εφόσον η τιμή του ορίου εξαρτάται από τη σχέση των και, συμπεραίνεται πως το συγκεκριμένο όριο δεν υπάρχει. Η γεωμετρική απεικόνιση της παραπάνω διαδικασίας δίνεται στο σχήμα 2.8(β). Δεν θα πρέπει να συγχέεται το όριο με τα όρια lim f(, ) (,) (, ) [ ] lim lim f(, ) = lim lim f(, ) [ ] lim lim f(, ) = lim lim f(, ) τα οποία ονομάζονται διαδοχικά ή επάλληλα και σχετίζονται με τον υπολογισμό του ορίου της f(, ) στο (, ), όταν το (, ) ακολουθεί συγκεκριμένες διαδρομές. Τα διαδοχικά όρια δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσα μεταξύ τους, ούτε η μεταξύ τους ισότητα εξασφαλίζει την τιμή του ορίου lim (,) (, ) f(, ), ωστόσο αν υπάρχουν και τα τρία όρια μιας συνάρτησης f, τότε είναι ίσα μεταξύ τους. 15

20 2. Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Συνέχεια Ακολούθως γίνεται σύντομη αναφορά στην έννοια της συνέχειας στην περίπτωση συνάρτησης δύο μεταβλητών. Γι αυτό θεωρούμε μια συνάρτηση f : A R 2 R. Ορισμός 2.3 Η συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο (, ) A, αν για κάθε ϵ > υπάρχει δ >, τέτοιος ώστε να ισχύει f(, ) f(, ) < ϵ όταν είναι ( ) 2 + ( ) 2 < δ 2 Στην περίπτωση που υπάρχει το όριο της f στο (, ) (κάτι που προϋποθέτει πως το (, ) είναι σημείο συσσώρευσης του A), τότε ο προηγούμενος ορισμός μπορεί να πάρει την ακόλουθη μορφή: Ορισμός 2.4 Η συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο (, ) A, αν υπάρχει το όριο της f στο (, ) και ισχύει lim f(, ) = f(, ) (,) (, ) Όταν το σημείο (, ) βρίσκεται στο σύνορο του A, τότε στον υπολογισμό του ορίου λαμβάνεται υπόψη το γεγονός ότι το σημείο (, ) ανήκει στο A. Αν μια συνάρτηση f : A R 2 R είναι συνεχής σε κάθε σημείο του συνόλου A, τότε ονομάζεται συνεχής στο A. Παραδείγματα συνεχών συναρτήσεων αποτελούν οι πολυωνυμικές συναρτήσεις, όπως και οι ρητές, σε σημεία όπου δε μηδενίζεται ο παρανομαστής τους. Επιπλέον, αν οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών f και g είναι συνεχείς σε κάποιο σημείο, τότε και οι συναρτήσεις f + g, f g, f g και f g (με g(, ) ) είναι συνεχείς στο σημείο αυτό. Σημειώνεται πως μια συνάρτηση z = f(, ) ενδέχεται να είναι συνεχής ως προς κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή ξεχωριστά (δηλαδή συνεχής ως προς, θεωρώντας την σταθερή και αντίστροφα), χωρίς να είναι απαραίτητα συνεχής συνάρτηση των,. Μια τέτοια περίπτωση δίνεται στο παράδειγμα που ακολουθεί. Παράδειγμα 2.5: Έστω η συνάρτηση f(, ) = 2, + 2 (, ) (, ), (, ) = (, ) Παρατηρούμε πως η συνάρτηση g() = f(, ) = είναι συνεχής συνάρτηση του, διότι είναι ρητή συνάρτηση όταν, ενώ αν επιλεγεί =, τότε είναι g() =, δηλαδή η g είναι και πάλι συνεχής, ως σταθερή. Ομοίως, η συνάρτηση h() = f(, ) = είναι συνεχής συνάρτηση του. Ωστόσο, η f δεν είναι συνεχής συνάρτηση των και, διότι στο προηγούμενο παράδειγμα αποδείχτηκε πως δεν υπάρχει το όριο της f στο σημείο (, ), οπότε δε μπορεί να είναι συνεχής εκεί. 16

21 2.Α Επιφάνειες στον R 3 2.Α Επιφάνειες στον R 3 2.Α.1 Επίπεδα Οι επιφάνειες του R 3 που περιγράφονται από τη γενική εξίσωση A + B + Cz + D = όπου τουλάχιστον ένας από τους A, B, C είναι διάφορος του παριστάνουν επίπεδα. Ειδικότερα, το επίπεδο O αντιστοιχεί στην εξίσωση z =, το Oz περιγράφεται από την εξίσωση = και το Oz από την =. Τα επίπεδα με D = περιλαμβάνουν την αρχή των αξόνων, ενώ όταν είναι ABC, το αντίστοιχο επίπεδο τέμνει τους άξονες, και z z στα σημεία ( D A,, ), (, D B, ) και (,, D C ), αντίστοιχα. Στο σχήμα 2.9 δίνεται η γραφική παράσταση τμήματος του επιπέδου z = 4. z Σχήμα 2.9: Το τμήμα του επιπέδου z = 4 που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο. 2.Α.2 Επιφάνειες β βαθμού Οι επιφάνειες β βαθμού στον R 3 αποτελούνται από σημεία (,, z) τα οποία ικανοποιούν τη γενική εξίσωση A 2 + B 2 + Cz 2 + D + Ez + F z + G + H + Iz + J = όπου τουλάχιστον ένας από τους συντελεστές A, B, C, D, E, F είναι μη μηδενικός. Στη συνέχεια γίνεται αναφορά σε συγκεκριμένες περιπτώσεις τέτοιων επιφανειών. Πέρα από την περιγραφή των εξισώσεων, αναφέρονται και τα ίχνη των επιφανειών πάνω σε συγκεκριμένα επίπεδα, δηλαδή οι καμπύλες τομής των επιφανειών με τα επίπεδα αυτά. Οι πληροφορίες αυτές μπορούν να φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες και να διευκολύνουν τη σχεδίαση των επιφανειών. Ελλειψοειδές Οι επιφάνειες που περιγράφονται από την εξίσωση 2 a b 2 + z2 c 2 = 1 17

22 2. Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών z Σχήμα 2.1: Το ελλειψοειδές 2 a b + z2 2 c = 1. 2 χαρακτηρίζονται ως ελλειψοειδή (σχήμα 2.1). Τα ίχνη των συγκεκριμένων επιφανειών στα επίπεδα = ( a, a), = ( b, b) και z = z ( c, c) είναι, αντίστοιχα, οι ελλείψεις 2 ( ) b a ( ) a b z 2 ( ) = c a 2 2 z 2 ( ) = c b ( ) + ( ) = 1 1 z2 c 2 a 2 1 z2 c 2 b 2 Αν δύο εκ των a, b, c είναι ίσοι μεταξύ τους, τότε το ελλειψοειδές ονομάζεται εκ περιστροφής, ενώ αν ισχύει a = b = c, τότε το ελλειψοειδές είναι απλά μια σφαίρα. Ελλειπτικό παραβολοειδές Τα ελλειπτικά παραβολοειδή περιγράφονται με μία από τις εξισώσεις 2 b 2 + z2 c 2 =, 2 a 2 + z2 c 2 =, 2 a b 2 = z Στην περίπτωση της τρίτης εξίσωσης (σχήμα 2.11(α)), τα ίχνη της συγκεκριμένης επιφάνειας στα επίπεδα = και = είναι, αντίστοιχα, οι παραβολές b 2 = z 2 a 2, 2 a 2 = z 2 b 2 ενώ στα επίπεδα z = z > είναι ελλείψεις με εξισώσεις Υπερβολικό παραβολοειδές 2 2 z a z b 2 = 1 Οι επιφάνειες αυτής της κατηγορίας περιγράφονται από εξισώσεις της μορφής 2 b 2 z2 c 2 =, 2 a 2 z2 c 2 =, 2 a 2 2 b 2 = z 18

23 2.Α Επιφάνειες στον R 3 z z (α) (β) Σχήμα 2.11: (α) Το ελλειπτικό παραβολοειδές z = 2 a b, (β) το υπερβολικό παραβολοειδές z = 2 2 a 2 2 b. 2 2 b 2 + z2 c 2 =, 2 a 2 + z2 c 2 =, 2 a b 2 = z Τα ίχνη της επιφάνειας που αντιστοιχεί στην τρίτη εξίσωση (σχήμα 2.11(β)) στα επίπεδα = και = είναι οι παραβολές 2 b 2 = z 2 a 2, 2 a 2 = z + 2 b 2 ενώ τα ίχνη στα επίπεδα z = z είναι οι υπερβολές 2 z a 2 2 z b 2 = 1 Μονόχωνο υπερβολοειδές Καθεμιά από τις εξισώσεις 2 a b 2 + z2 c 2 = 1, 2 a 2 2 b 2 + z2 c 2 = 1, 2 a b 2 z2 c 2 = 1 περιγράφει ένα μονόχωνο υπερβολοειδές. Στην περίπτωση της επιφάνειας που αντιστοιχεί στην τρίτη εξίσωση (σχήμα 2.12(α)), τα ίχνη της στα επίπεδα = και = είναι, αντίστοιχα, οι υπερβολές 2 ( ) 1 2 b a 2 2 z 2 ( ) = 1, 1 2 c a ( ) 1 2 a b 2 2 z 2 ( ) = c b 2 2 ενώ στα επίπεδα z = z είναι οι ελλείψεις 2 2 ( ) + ( ) = z2 c 2 a z2 c 2 b 2 19

24 2. Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών z z (α) (β) Σχήμα 2.12: (α) Το μονόχωνο υπερβολοειδές 2 a b z2 2 c 2 1. = 1, (β) το δίχωνο υπερβολοειδές 2 a 2 2 b 2 + z2 c 2 = Δίχωνο υπερβολοειδές Οι επιφάνειες αυτού του είδους περιγράφονται από τις ακόλουθες εξισώσεις: 2 a 2 2 b 2 z2 c 2 = 1, 2 a b 2 z2 c 2 = 1, 2 a 2 2 b 2 + z2 c 2 = 1 Σχετικά με την επιφάνεια που αντιστοιχεί στην τρίτη εξίσωση (σχήμα 2.12(β), τα ίχνη της στα επίπεδα = και = είναι υπερβολές: 2 ( ) b a 2 2 z 2 ( ) = 1, c a ( ) a b 2 2 z 2 ( ) = c b 2 2 ενώ τα ίχνη στα επίπεδα z = z (z 2 > c2 ) είναι οι ελλείψεις 2 ( ) z a c ( z 2 c 2 1 ) b 2 = 1 2.Α.3 Κυλινδρικές επιφάνειες Οι κυλινδρικές επιφάνειες σχηματίζονται θεωρώντας ευθείες γραμμές που είναι παράλληλες προς μια συγκεκριμένη ευθεία (τη γενέτειρα) και οι οποίες διέρχονται από τα σημεία δεδομένης επίπεδης καμπύλης. Η τελευταία αποτελεί τον οδηγό ή τη γεννήτρια της κυλινδρικής επιφάνειας. Για παράδειγμα: κυλινδρικές επιφάνειες με γενέτειρες παράλληλες προς τον άξονα των z έχουν εξισώσεις της μορφής f(, ) = c, κυλινδρικές επιφάνειες με γενέτειρες παράλληλες προς τον άξονα των έχουν εξισώσεις της μορφής f(, z) = c, κυλινδρικές επιφάνειες με γενέτειρες παράλληλες προς τον άξονα των έχουν εξισώσεις της μορφής f(, z) = c. 2

25 2.Α Επιφάνειες στον R 3 z z (α) (β) z (γ) Σχήμα 2.13: (α) Ο ελλειπτικός κύλινδρος 2 a b 2 υπερβολικός κύλινδρος 2 a b = 1. 2 = 1, (β) ο παραβολικός κύλινδρος 2 = 2p (p > ), (γ) ο Με άλλα λόγια, εξισώσεις με δύο μεταβλητές από τις,, z που αποτελούν εξισώσεις καμπυλών στο επίπεδο, παριστάνουν κυλινδρικές επιφάνειες στον τρισδιάστατο χώρο. Ειδικότερα, ελλειπτικοί κύλινδροι (σχήμα 2.13(α)) περιγράφονται από εξισώσεις της μορφής 2 a b 2 = 1, 2 b 2 + z2 c 2 = 1, 2 a 2 + z2 c 2 = 1 παραβολικοί κύλινδροι (σχήμα 2.13(β)) αντιστοιχούν στις εξισώσεις 2 = 2p, 2 = 2pz, z 2 = 2p 2 = 2pz, 2 = 2p, z 2 = 2p ενώ υπερβολικοί κύλινδροι (σχήμα 2.13(γ)) προκύπτουν από εξισώσεις όπως οι ακόλουθες: 2 a 2 2 b 2 = 1, 2 b 2 z2 c 2 = 1, 2 a 2 z2 c 2 = 1 2 a b 2 = 1, 2 b 2 + z2 c 2 = 1, 2 a 2 + z2 c 2 = 1 2.Α.4 Κωνικές επιφάνειες Οι κωνικές επιφάνειες σχηματίζονται από ευθείες γραμμές που τέμνουν συγκεκριμένη επίπεδη καμπύλη και διέρχονται από ένα σταθερό σημείο, το οποίο αποτελεί την κορυφή της κωνικής επι- 21

26 2. Πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών z Σχήμα 2.14: Ο ελλειπτικός κώνος 2 a b = z2 2 c. 2 φάνειας. Για παράδειγμα, ελλειπτικοί κώνοι περιγράφονται από τις εξισώσεις 2 a b 2 = z2 c 2, 2 b 2 + z2 c 2 = 2 a 2, z 2 c a 2 = 2 b 2 Τα ίχνη του πρώτου κώνου (σχήμα 2.14) στα επίπεδα = και = είναι, αντίστοιχα, οι υπερβολές = 1, 2 c a b a 2 2 ενώ στα επίπεδα z = z τα ίχνη είναι ελλείψεις: z z 2 c 2 a 2 2 z 2 2 c b 2 2 = 1 z 2 c 2 b 2 2 = 1 2 a b

27 Κεφάλαιο 3 Παραγώγιση Αντικείμενο του παρόντος κεφαλαίου θα αποτελέσει η παραγώγιση πραγματικών συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Αρχικά εισάγεται η έννοια των μερικών παραγώγων και, ακολούθως, παρουσιάζεται η γενίκευση του κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης. Στη συνέχεια, γίνεται λόγος για διαφορίσιμες συναρτήσεις και ορίζονται το διαφορικό και το εφαπτόμενο επίπεδο. Ο υπολογισμός του ρυθμού μεταβολής συναρτήσεων προς οποιαδήποτε κατεύθυνση γίνεται μέσω της παραγώγου κατά κατεύθυνση, στα πλαίσια της οποίας παρουσιάζεται ένα νέο διανυσματικό μέγεθος, η κλίση μιας πραγματικής συνάρτησης. Επιπλέον, γίνεται αναφορά σε συγκεκριμένες εφαρμογές των παραγώγων, όπως είναι ο εντοπισμός ακρότατων τιμών και το ανάπτυγμα alor μιας συνάρτησης. 3.1 Μερικές παράγωγοι Έχοντας εισάγει και μελετήσει παλαιότερα την έννοια της παραγώγου για τις πραγματικές συναρτήσεις μίας πραγματικής μεταβλητής, αποσκοπώντας στην περιγραφή του ρυθμού μεταβολής τους, ορίζονται ακολούθως οι μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης f : A R 2 R. Ορισμός 3.1 Αν υπάρχει το όριο f( +, ) f(, ) lim η τιμή του αποτελεί τη μερική παράγωγο της f ως προς στο σημείο (, ) A και συμβολίζεται με f ή f Ορισμός 3.2 Αν υπάρχει το όριο f(, + ) f(, ) lim η τιμή του αποτελεί τη μερική παράγωγο της f ως προς στο σημείο (, ) A και συμβολίζεται με f ή f 23

28 3. Παραγώγιση Γενικότερα, για μια συνάρτηση n μεταβλητών = f( 1, 2,..., n ), η μερική παράγωγος ως προς τη μεταβλητή i, i = 1,..., n είναι το όριο f( 1,..., i + i,..., n ) f( 1,..., i,..., n ) lim i i Όταν η μερική παράγωγός μιας συνάρτησης z = f(, ) ως προς (ή ) υπάρχει σε κάθε σημείο ενός συνόλου A, τότε η f λέγεται παραγωγίσιμη ως προς (ή ) στο A. Πρακτικά, ο υπολογισμός της παραγώγου f (ή f ) πραγματοποιείται αντιμετωπίζοντας τη μεταβλητή (ή ) ως σταθερά και εφαρμόζοντας τους συνήθεις κανόνες παραγώγισης που είναι γνωστοί από τις συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Αν, δηλαδή, g() = f(, ) και h() = f(, ), τότε f (, ) = g ( ) και f (, ) = h ( ). Επομένως, οι μερικές παράγωγοι μιας συνάρτησης περιγράφουν το ρυθμό μεταβολής της μόνο ως προς την αντίστοιχη ανεξάρτητη μεταβλητή, θεωρώντας τις υπόλοιπες σταθερές. Αν οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών f και g είναι παραγωγίσιμες ως προς και, τότε για τις μερικές παραγώγους τους ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες (η μεταβλητή w συμβολίζει μία από τις, ): (f + g) w (f g) w (cf) w = f w + g w = f w g w = c f w, c R, (f g) w = g f w + f g w ( ) f = g f w f g w w g g 2 Αναζητούμε στη συνέχεια τη γεωμετρική ερμηνεία των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε ένα σημείο του πεδιου ορισμού της. Έστω μια συνάρτηση f : A R 2 R, παραγωγίσιμη ως προς και στο σημείο (, ) A. Το ίχνος του γραφήματος της f στο επίπεδο = είναι μια καμπύλη C 1, η οποία αποτελεί το γράφημα της συνάρτησης g() = f(, ) (σχήμα 3.1(α)). Η εφαπτόμενη ευθεία της συγκεκριμένης καμπύλης στο σημείο με = έχει κλίση ίση με την παράγωγο της g σε εκείνο το σημείο (δηλαδή g ( )), η οποία, σύμφωνα με τα παραπάνω, είναι η τιμή της f στο (, ). Αντίστοιχα, το ίχνος της γραφικής παράστασης της f στο επίπεδο = είναι μια καμπύλη C 2 που παριστάνει γραφικά τη συνάρτηση h() = f(, ) (σχήμα 3.1(β)). Η κλίση της εφαπτομένης της C 2 στο σημείο με = είναι ίση με h ( ) και ταυτίζεται με την τιμή της f στο (, ). Οι μερικές παράγωγοι f και f μιας συνάρτησης f : A R 2 R αποτελούν τις παραγώγους α τάξης. Οι παράγωγοι β τάξης της συνάρτησης z = f(, ) ορίζονται ως ακολούθως: f = (f ) = ( ) f f = (f ) = ( ) f f = (f ) = ( ) f = 2 f 2 = 2 f 2 = 2 f 24

29 3.1 Μερικές παράγωγοι z z z z (,,z ) C 1 (,,z ) C 2 O (,,) O (,,) (α) (β) Σχήμα 3.1: Γεωμετρική ερμηνεία των μερικών παραγώγων (α) f και (β) f μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. f = (f ) = ( ) f = 2 f με τις δύο τελευταίες να ονομάζονται μεικτές παράγωγοι. Με ανάλογο τρόπο μπορούν να οριστούν οι παράγωγοι ανώτερων τάξεων. Για παράδειγμα, οι παράγωγοι γ τάξης της συνάρτησης f είναι οι: f, f, f, f, f, f, f, f. Παράδειγμα 3.1: Θα υπολογιστούν οι μερικές παράγωγοι α και β τάξης της συνάρτησης f(, ) = e. Είναι: και f = ( e ) = e () = e f = ( e ) = 6 + e () = 6 + e 2 f 2 = f (e ) = 2 e 2 f 2 = (6 + e ) = e 2 f = (6 + e ) = e + e = (1 + ) e 2 f = (e ) = e + e = (1 + ) e Στο παραπάνω παράδειγμα παρατηρείται πως οι παράγωγοι f και f είναι ίσες μεταξύ τους. Αυτό δεν είναι τυχαίο και ισχύει γενικώς για μεικτές παραγώγους ανώτερης τάξης, όταν ικανοποιούνται συγκεκριμένες συνθήκες. 25

30 3. Παραγώγιση Θεώρημα 3.1 Οι μεικτές παράγωγοι τάξης n (n 2) μιας συνάρτησης f είναι ίσες μεταξύ τους, αν όλες οι παράγωγοι μέχρι τάξης n είναι συνεχείς και αν στις συγκρινόμενες παραγώγους ο αριθμός παραγωγίσεων ως προς κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο ίδιος. Η δεύτερη από τις συνθήκες του παραπάνω θεωρήματος αναφέρεται, για παράδειγμα, στη δυνατότητα σύγκρισης των παραγώγων f, f και f στην περίπτωση παραγώγων γ τάξης, αλλά όχι των f και f. Παράδειγμα 3.2: Έστω η συνάρτηση ( 2 2 ) f(, ) = 2 + 2, (, ) (, ), (, ) = (, ) Οι παράγωγοι α τάξης της f είναι f (, ) = ( ) 2, (, ) = (, ), (, ) = (, ) και f (, ) = ( ) 2, (, ) (, ), (, ) = (, ) Εφαρμόζοντας τον ορισμό στο σημείο (, ) έχουμε: f (, ) f (, ) ( ) 5 f (, ) = lim = lim ( ) 5 = 1 f (, ) f (, ) ( ) 5 f (, ) = lim = lim ( ) 5 = 1 δηλαδή f (, ) f (, ), γεγονός που οφείλεται στην μη ικανοποίηση όλων των συνθηκών του τελευταίου θεωρήματος. 3.2 Αλυσιδωτή παραγώγιση Θεωρώντας μια συνάρτηση δύο μεταβλητών z = f(, ) και τις συναρτήσεις μίας μεταβλητής = (t), = (t), τότε η σύνθεση των παραπάνω είναι μια συνάρτηση g(t) = f((t), (t)). Για τον υπολογισμό της παραγώγου της g (όταν, βέβαια, αυτή είναι παραγωγίσιμη), εφαρμόζεται ο παρακάτω κανόνας της αλυσιδωτής παραγώγισης. Θεώρημα 3.2 Έστω μια συνάρτηση f : A R 2 R με συνεχείς παραγώγους α τάξης και οι συναρτήσεις (t), (t) που είναι παραγωγίσιμες στο διάστημα (t 1, t 2 ). Τότε η συνάρτηση 26

31 3.2 Αλυσιδωτή παραγώγιση f f f f f f f z z d dt d dt d dt d dt dz dt t (α) t (β) Σχήμα 3.2: Μνημονικός κανόνας για τον υπολογισμό της παραγώγου ως προς t της συνάρτησης (α) f((t), (t)), (β) f((t), (t), z(t)). g(t) = f((t), (t)) είναι παραγωγίσιμη στο (t 1, t 2 ) και ισχύει dg dt = f d dt + f d dt ή, ισοδύναμα dz dt = z + z Στην περίπτωση που η f είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών (w = f(,, z)) και οι (t), (t), z(t) είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, θα ισχύει dw dt = w + w + w z z Ένας μνημονικός κανόνας για την εφαρμογή του παραπάνω θεωρήματος σε συναρτήσεις δύο και τριών μεταβλητών παρουσιάζεται στο σχήμα 3.2. Στην πιο γενική περίπτωση συνάρτησης n μεταβλητών r = f( 1, 2,..., n ) με 1 = 1 (t), 2 = 2 (t),..., n = n (t), έχουμε dr dt = r r r n n Παράδειγμα 3.3: Έστω z = f(, ) = 4 8 και (t) = 1/t, (t) = 1 + t 2. Τότε: f (, ) = 4 3 8, f (, ) = (t) = 1 t 2, (t) = 2t με αποτέλεσμα dz dt = z + z = ( 1 t 2 ) t 27

32 3. Παραγώγιση ( = ) t 2 + 4t = 4 1 ( 1 + t 2 ) 7 ( 1 + t2 t 3 t 2 = 4( 1 + t 2) 7 ( 3t 2 1 ) t ) t t Σχετικά με τον υπολογισμό της παραγώγου β τάξης μιας συνάρτησης g(t) = f((t), (t)) ως προς t, έχουμε: d 2 g dt 2 = d ( ) dg = d ( f d dt dt dt dt + f ) d dt ( 2 ) f d = 2 dt + 2 f d d dt dt + f d 2 dt 2 ( 2 ) f d + dt + 2 f d d 2 dt dt + f d 2 dt 2 ( ) = 2 f d 2 ( ) f d d dt dt dt + 2 f d f d 2 dt dt 2 + f d 2 dt 2 ή, συμβολικά d 2 ( g d dt 2 = dt + d dt Αντίστοιχα, αν g(t) = f((t), (t), z(t)), προκύπτει ότι d 2 ( g d dt 2 = dt + d dt + dz dt ) (2) f + f d 2 dt 2 + f d 2 dt 2 ) (2) f + f d 2 z dt 2 + f d 2 dt 2 + f d 2 z z dt 2 Στη συνέχεια αναφερόμαστε στην παραγώγιση συνάρτησης δύο μεταβλητών z = f(, ), όπου οι, είναι συναρτήσεις δύο άλλων μεταβλητών u και v, δηλαδή = (u, v), = (u, v). Θεώρημα 3.3 Έστω οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών z = f(, ), = (u, v) και = (u, v), με συνεχείς παραγώγους α τάξης. Για τη συνάρτηση g(u, v) = f((u, v), (u, v)) είναι: ή, ισοδύναμα g u = f u + f u g v = f v + f v z u = z u + z u z v = z v + z v Στο σχήμα 3.3 παρουσιάζεται ένας μνημονικός κανόνας για τον υπολογισμό των παραπάνω παραγώγων. 28

33 3.2 Αλυσιδωτή παραγώγιση f f f f f f u u v v u v (α) (β) Σχήμα 3.3: Μνημονικός κανόνας για τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων (α) f u και (β) f v της συνάρτησης f(, ), όταν = (u, v) και = (u, v). Παράδειγμα 3.4: Έστω z = f(, ) = + 1 και (ρ, θ) = ρ cos θ, (ρ, θ) = ρ sin θ. Τότε: z (, ) = 1, z (, ) = 1 2 ρ (ρ, θ) = cos θ, θ (ρ, θ) = ρ sin θ, ρ (ρ, θ) = sin θ θ (ρ, θ) = ρ cos θ οπότε z ρ = z ρ + z ρ = cos θ + ( 1 ) 2 z θ = z θ + z θ = ρ sin θ + 1 ρ 2 sin θ sin θ = cos θ ( 1 ) 2 ρ cos θ = ρ sin θ cos θ ρsin 2 θ Αν οι συναρτήσεις f(, ), (u, v), (u, v) είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμες, τότε οι παράγωγοι β τάξης της συνάρτησης g(u, v) = f((u, v), (u, v)) είναι: ( g uu = u + ) (2) f + f u ( g vv = v + v 2 u 2 + f 2 u 2 ) (2) f + f 2 v 2 + f 2 v 2 g uv = f uv + f uv + f ( u v + v u ) + f uv + f uv Εξετάζονται στη συνέχεια συγκεκριμένες περιπτώσεις παραγώγισης σύνθετων συναρτήσεων. Αν w = f(z) και z = z(, ), τότε w = df z dz, w = df z dz Αν z = f(, ) και = (), τότε dz d = f + f d d 29

34 3. Παραγώγιση Στην προηγούμενη σχέση, η παράγωγος dz/d αναφέρεται στη συνάρτηση f(, ()) που εξαρτάται μόνο από το, ενώ η μερική παράγωγος f/ στη συνάρτηση f(, ). Βάσει της παραπάνω παρατήρησης μπορεί να υπολογιστεί η παράγωγος συνάρτησης μίας μεταβλητής, όταν αυτή δίνεται σε πεπλεγμένη μορφή. Αν, για παράδειγμα, είναι = () και ισχύει F (, ) = c, c R, τότε έχουμε F + F = d d (c) = οπότε, αν F, θα είναι = F F Αντίστοιχα, αν F (,, z) = και z = z(, ), τότε με αποτέλεσμα F + F z z =, F + F z z = z = F F z, z = F F z όταν F z. Παράδειγμα 3.5: μορφή Έστω ότι μια συνάρτηση z = f(, ) ορίζεται με βάση την πεπλεγμένη z + e z = 1 Οι παράγωγοι z και z μπορούν να βρεθούν, αν παραγωγίσουμε την παραπάνω σχέση ως προς και, αντίστοιχα. Συγκεκριμένα: και ( z + e z) = z + e z z = z = e z ( z + e z) = 2 + 2z + 2 z + e z z = 2 + 2z z = 2 + e z 3.3 Διαφορίσιμες συναρτήσεις και διαφορικά Η ύπαρξη των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης σε ένα σημείο δεν συνεπάγεται απαραίτητα και την ομαλή συμπεριφορά (π.χ. συνέχεια) της συνάρτησης στη συγκεκριμένη θέση. Για το λόγο αυτό εισάγεται η έννοια της διαφορισιμότητας. 3

35 3.3 Διαφορίσιμες συναρτήσεις και διαφορικά Ορισμός 3.3 Έστω συνάρτηση f : D R 2 R. Η f λέγεται διαφορίσιμη στο σημείο (, ) D, αν η μεταβολή f = f( +, + ) f(, ) της τιμής της f μεταξύ των σημείων (, ) και ( +, + ) μπορεί να εκφραστεί ως f = A + B + ϵ 1 + ϵ 2 όπου οι A και B δεν εξαρτώνται από τα,, ενώ ισχύει ϵ 1, ϵ 2 όταν,. Παίρνοντας το όριο στα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης όταν (, ) (, ), προκύπτει ότι lim [f( +, + ) f(, )] = (, ) (,) Συνεπώς, η σχέση μεταξύ συνέχειας και διαφορισιμότητας περιγράφεται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα 3.4 Αν μια συνάρτηση f : D R 2 R είναι διαφορίσιμη σε ένα σημείο του D, τότε είναι συνεχής σε αυτό. Μπορεί να αποδειχθεί εύκολα πως μια διαφορίσιμη συνάρτηση z = f(, ) είναι παραγωγίσιμη ως προς και. Θέτοντας =, έχουμε f( +, ) f(, ) = A + ϵ 1 οπότε παίρνοντας το όριο στα δύο μέλη όταν, προκύπτει ότι A = f (, ) Ομοίως, αποδεικνύεται ότι B = f (, ) Άρα, όταν η συνάρτηση f είναι διαφορίσιμη, ισχύει f = f f + + ϵ 1 + ϵ 2 Η συνέχεια μιας συνάρτησης δεν επαρκεί για να εξασφαλίσει τη διαφορισιμότητά της σε ένα σημείο, καθώς απαιτούνται επιπρόσθετες συνθήκες που σχετίζονται με τις μερικές παραγώγους της. Θεώρημα 3.5 Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο και έχει συνεχείς μερικές παραγώγους α τάξης εκεί, τότε είναι διαφορίσιμη στο σημείο αυτό. Οι δύο πρώτοι όροι στο δεύτερο μέλος της έκφρασης της μεταβολής f συνθέτουν το ολικό διαφορικό της συνάρτησης f: 31

36 3. Παραγώγιση Ορισμός 3.4 Διαφορικό μιας διαφορίσιμης συνάρτησης f : D R 2 R στο σημείο (, ) D ονομάζεται η συνάρτηση των,, και df(, ) = f f + Θέτοντας f(, ) = διαπιστώνεται πως d =, ενώ αν f(, ) = προκύπτει ότι d =. Επομένως: df(, ) = f f d + d Στην περίπτωση συνάρτησης n μεταβλητών f( 1, 2,..., n ), το ολικό διαφορικό έχει τη μορφή df = f 1 d 1 + f 2 d f n d n Παρακάτω αναφέρονται οι βασικές ιδιότητες των διαφορικών. Αν οι συναρτήσεις f και g είναι διαφορίσιμες, τότε: d (f + g) = df + dg, d (cf) = c df, c R, d (fg) = f dg + g df, ( ) f g df f dg d = g g 2, g. Το θεώρημα που ακολουθεί αναφέρεται στο πότε μια παράσταση της μορφής P d + Q d αποτελεί ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης z = f(, ). Θεώρημα 3.6 Μια παράσταση της μορφής P (, ) d + Q(, ) d αποτελεί ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης f : D R 2 R, αν ισχύει P (, ) = Q (, ). Παράδειγμα 3.6: Θα εξεταστεί αν η παράσταση (e + ( ) d + e + ) 2 d αποτελεί ολικό διαφορικό συνάρτησης δύο μεταβλητών. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, θέτουμε P (, ) = e + και Q(, ) = e +, οπότε διαπιστώνεται ότι: P (, ) = e + e Q (, ) = e + e P (, ) = Q (, ) Επομένως, η δοθείσα παράσταση αποτελεί ολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης f. Επειδή είναι df = f d + f d, θα πρέπει να είναι f (, ) = P (, ), ή f(, ) = e + + ϕ() Επιπλέον, πρέπει να ισχύει f (, ) = Q(, ), γεγονός που συνεπάγεται ότι ϕ () =, ή ϕ() = c R. Επομένως, η f έχει τη μορφή f(, ) = e + + c 32

37 3.3 Διαφορίσιμες συναρτήσεις και διαφορικά Σχήμα 3.4: Γεωμετρική ερμηνεία του ολικού διαφορικού dz μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών και σύγκριση με τη μεταβολή στις τιμές της συνάρτησης z. Για συναρτήσεις τριών μεταβλητών w = f(,, z), ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αποτελεί μια παράσταση P d + Q d + R dz ολικό διαφορικό μιας συνάρτησης f είναι η ακόλουθη: P = Q Q z = R R = P z Αναφερόμενοι πάλι σε συναρτήσεις δύο μεταβλητών, διαπιστώνεται πως όταν τα d, d παίρνουν επαρκώς μικρές τιμές, τότε η μεταβολή της τιμής της f είναι περίπου ίση με την τιμή του διαφορικού της, δηλαδή f df (αφού η διαφορά τους είναι ϵ 1 d + ϵ 2 d). Θέτοντας = + d και = + d, προκύπτει ότι η συνάρτηση f μπορεί να προσεγγιστεί στο σημείο (, ) από μια γραμμική έκφραση: f(, ) f(, ) + f (, )( ) + f (, )( ) = f(, ) + df(, ) Η συνάρτηση z = f(, ) + f (, )( ) + f (, )( ) παριστάνει γεωμετρικά, όπως θα δειχτεί στη συνέχεια, το εφαπτόμενο επίπεδο της f στο σημείο (, ). Επομένως, γίνεται φανερό πως η παραπάνω γραμμική προσέγγιση ή γραμμικοποίηση της f ισοδυναμεί γεωμετρικά με την αντικατάσταση της επιφάνειας S που είναι το γράφημα της f από το εφαπτόμενο επίπεδο της S στο συγκεκριμένο σημείο (σχήμα 3.4). Με άλλα λόγια, το f παριστάνει τη μεταβολή του z πάνω στην επιφάνεια S, ενώ το διαφορικό df τη μεταβολή του z πάνω στο εφαπτόμενο επίπεδο, κατά την μετατόπιση από το (, ) στο (, ). Επιπλέον, όπως γίνεται άμεσα αντιληπτό, μια συνάρτηση f και η γραμμικοποίησή της έχουν την ίδια τιμή, αλλά και τις ίδιες πρώτες μερικές παραγώγους, στο σημείο (, ). Παράδειγμα 3.7: Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση z = 3 ln 33

38 3. Παραγώγιση Δεδομένου ότι z = 3 2 ln και z = 3 /, το διαφορικό της έχει τη μορφή dz = 3 2 ln d + 3 d Με βάση τη συγκεκριμένη έκφραση, μπορεί να υπολογιστεί προσεγγιστικά η μεταβολή της τιμής του z, π.χ. κατά τη μετατόπιση από το σημείο (1, 2) στο σημείο (1.1, 2.1). Δεδομένου ότι τότε είναι d = d =.1, προκύπτει ότι dz = ln =.3 ln Επομένως, z dz (η πραγματική μεταβολή z είναι περίπου ). Τέλος, αν θεωρήσουμε τη διαφορά των τιμών της συνάρτησης f μεταξύ των σημείων (, ) και ( +, + ), αυτή μπορεί να εκφραστεί με δύο τρόπους: Ορισμός 3.5 Η τιμή f = f( +, + ) f(, ) ονομάζεται απόλυτη μεταβολή (ή απόλυτο σφάλμα), ενώ η τιμή ονομάζεται σχετική μεταβολή (ή σχετικό σφάλμα). f f(, ) Επομένως, η απόλυτη μεταβολή προσεγγίζεται από το διαφορικό df(, ), ενώ η σχετική μεταβολή από την παράσταση df(, )/f(, ). 3.4 Παράγωγος κατά κατεύθυνση και κλίση Στην παρούσα ενότητα θα μελετηθεί ο υπολογισμός του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης σε ένα σημείο, σε οποιαδήποτε όμως κατεύθυνση και όχι μόνο σε αυτές που αντιστοιχούν οι μερικές παράγωγοι α τάξης. Θα αναφερθούμε κυρίως σε συναρτήσεις δύο μεταβλητών f : A R 2 R, ωστόσο η γενίκευση σε περισσότερες μεταβλητές είναι άμεση. Έστω ένα σημείο (, ) του A. Για τον υπολογισμό του ρυθμού μεταβολής της f στο (, ) (σχήμα 3.5) κατά την κατεύθυνση που περιγράφεται από το μοναδιαίο διάνυσμα u = u i + u j (δηλαδή με u 2 + u 2 = 1), δίνεται ο ακόλουθος ορισμός: Ορισμός 3.6 Η παράγωγος της f στο σημείο (, ) κατά την κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος u = u i + u j είναι το όριο f ( + tu, + tu ) f (, ) lim t t εάν αυτό υπάρχει και συμβολίζεται με f ή D u f (, ). u (, ) Κατά τα γνωστά, αν θ η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα u με το θετικό ημιάξονα των, τότε u = cos θ και u = sin θ. Παράδειγμα 3.8: Θα υπολογιστεί με τη βοήθεια του ορισμού η παράγωγος της συνάρτησης f(, ) = 2 34

39 3.4 Παράγωγος κατά κατεύθυνση και κλίση t (, ) u (, ) tu tu O Σχήμα 3.5: Υπολογισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης κατά την κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος u στο σημείο (, ). κατά την κατεύθυνση θ = π/4 στο σημείο (1, 1). Είναι: f(1 + tu, 1 + tu ) f(1, 1) (1 + tu ) (1 + tu ) 2 1 lim = lim t t t t = lim t 1 + t 2 u 2 + 2tu + tu + t 3 u u 2 + 2t 2 u u 1 t = lim t ( tu 2 + 2u + u + t 2 u u 2 + 2tu u ) = 2u + u Όμως, u = cos π 4 = 2 2 και u = sin π 4 = 2 2, με αποτέλεσμα f 2 2 u = 2 (1,1) = Η γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου κατά κατεύθυνση φαίνεται στο σχήμα 3.6. Συγκεκριμένα, αντιστοιχεί στην κλίση της εφαπτόμενης ευθείας σε μια καμπύλη c της επιφάνειας z = f(, ), με τη c να προκύπτει γεωμετρικά θεωρώντας το επίπεδο¹ u ( ) u ( ) = (το ίχνος του τελευταίου στο επίπεδο z = είναι η ευθεία που διέρχεται από το (, ) και είναι παράλληλη με το διάνυσμα u). Επιπλέον, από τον ορισμό της παραγώγου κατά κατεύθυνση διαπιστώνεται πως οι μερικές παράγωγοι f και f αποτελούν απλώς ειδικές περιπτώσεις του. Έτσι, η παράγωγος της f κατά την κατεύθυνση του διανύσματος i ταυτίζεται με τη μερική παράγωγο της f ως προς, αφού τότε είναι u = (1, ). Ομοίως, η παράγωγος της f κατά την κατεύθυνση του διανύσματος j είναι η μερική παράγωγος f/. Ακόμη, συμπεραίνεται πως αν οι παράγωγοι μιας συνάρτησης υπάρχουν κατά οποιαδήποτε κατεύθυνση, θα υπάρχουν σίγουρα και οι f, f, χωρίς ωστόσο να ισχύει απαραίτητα και το αντίστροφο. Αν οι παράγωγοι δύο συναρτήσεων f και g κατά την κατεύθυνση του διανύσματος u υπάρχουν, τότε ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες: D u (f + g) = D u f + D u g, D u (f g) = D u f D u g, ¹Η εξίσωση του επιπέδου μπορεί να προκύψει με απαλοιφή της παραμέτρου t από τις εξισώσεις = + tu και = + tu. 35

40 3. Παραγώγιση Σχήμα 3.6: Γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου κατά κατεύθυνση. D u (cf) = c D u f, c R, D u (fg) = g D u f + f D u g, D u ( f g ) = g D uf f D u g g 2, g. Επιπλέον, προκύπτει εύκολα πως αν v = u, τότε D v f = D u f. Για τον υπολογισμό της παραγώγου κατά κατεύθυνση χωρίς τη χρήση του ορισμού μπορούμε να ακολουθήσουμε το παρακάτω σκεπτικό: θέτοντας g(t) = f( + tu, + tu ) = f((t), (t)) όπου (t) = + tu, (t) = + tu (είναι οι παραμετρικές εξισώσεις που περιγράφουν την ευθεία από το (, ) στο (, ), προς την κατεύθυνση του u), διαπιστώνεται ότι: g () = lim t g ( + t) g () t f( + tu, + tu ) f(, ) = lim t t = f u (, ) Ωστόσο, από τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης έχουμε: με αποτέλεσμα g (t) = f (, ) d dt + f (, ) d dt g (t) = f (, )u + f (, )u Για t = είναι () = και () =, οπότε ουσιαστικά έχει αποδειχθεί το ακόλουθο θεώρημα: 36

41 3.4 Παράγωγος κατά κατεύθυνση και κλίση Θεώρημα 3.7 Αν μια συνάρτηση z = f(, ) είναι διαφορίσιμη στο σημείο (, ), τότε η παράγωγός της στο σημείο αυτό κατά την κατεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος u = u i + u j είναι ίση με f u = f (, ) u + f (, )u (, ) Δεδομένου ότι u = cos θ και u = sin θ, όπου θ η γωνία² μεταξύ του διανύσματος u και του άξονα των, ισχύει f u = f (, ) cos θ + f (, ) sin θ (, ) Συμπεραίνεται, λοιπόν, πως ο ρυθμός μεταβολής μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών σε οποιαδήποτε κατεύθυνση μπορεί να βρεθεί γνωρίζοντας απλώς τους ρυθμούς μεταβολής σε δύο κατευθύνσεις, κατά + και κατά +. Όταν η f είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών, τότε η παράγωγος κατά κατεύθυνση σε ένα σημείο (,, z ) υπολογίζεται από μια σχέση της μορφής f u = f (,, z ) cos α + f (,, z ) cos β + f z (,, z ) cos γ (,,z ) όπου α, β, γ είναι είναι οι γωνίες μεταξύ του διανύσματος u και των i, j, k, αντίστοιχα (τα cos α, cos β, cos γ ονομάζονται συνημίτονα κατεύθυνσης). Στη συνέχεια ορίζεται η κλίση μιας συνάρτησης, με τη βοήθεια της οποίας μπορεί να εκφραστεί η παράγωγος κατά κατεύθυνση. Ορισμός 3.7 το διάνυσμα Κλίση (grad) της συνάρτησης f : A R 2 R στο σημείο (, ) του A ονομάζεται ( f(, ) f(, ) =, ) f(, ) = f(, ) i + f(, ) j Στην περίπτωση που η f είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών, η κλίση της f στο τυχαίο σημείο (,, z) είναι το διάνυσμα ( ) f(,, z) f(,, z) f(,, z) f(,, z) =,, z Εφόσον από το προηγούμενο θεώρημα προκύπτει ότι για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι f u = f (, ) u + f (, ) u (, ) = [f (, )i + f (, )j] (u i + u j) τελικά η κατευθυνόμενη παράγωγος μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο f u = f(, ) u (, ) ²Στον R 2 μια οποιαδήποτε κατεύθυνση μπορεί να προσδιοριστεί πλήρως δίνοντας μόνο τη γωνία θ, αφού το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τη συγκεκριμένη κατεύθυνση είναι το cos θ i + sin θ j. 37

42 3. Παραγώγιση f (, ) f u O Σχήμα 3.7: Διάνυσμα κλίσης και τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα u σε ένα σημείο (, ). Αν ϕ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων f(, ) και u (σχήμα 3.7), τότε ισχύει f u = f (, ) u cos ϕ = f (, ) cos ϕ (, ) Η παραπάνω σχέση δηλώνει πως η μεγίστη τιμή που μπορεί να πάρει η κατευθυνόμενη παράγωγος της f σε ένα σημείο (, ) είναι f(, ), ενώ η ελάχιστη είναι ίση με f(, ). Εφόσον η μέγιστη τιμή λαμβάνεται όταν ϕ =, δηλαδή όταν τα διανύσματα f(, ) και u είναι παράλληλα με την ίδια φορά, συμπεραίνεται ότι το διάνυσμα της κλίσης μιας συνάρτησης υποδεικνύει την κατεύθυνση όπου μεγιστοποιείται ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης. Αντίθετα, η μικρότερη τιμή του ρυθμού μεταβολής υπολογίζεται κατά την κατεύθυνση του f(, ). Τέλος, μηδενική τιμή λαμβάνει η κατευθυνόμενη παράγωγος όταν ϕ = π/2. Με άλλα λόγια, μια συνάρτηση δε μεταβάλλεται σε διευθύνσεις που είναι κάθετες στο διάνυσμα κλίσης της συνάρτησης. Παράδειγμα 3.9: Έστω η συνάρτηση f(, ) = Αναζητούμε την παράγωγό της κατά την κατεύθυνση θ = π/4 στο σημείο (1, 2). Η κλίση της f σε ένα οποιοδήποτε σημείο είναι f (,) = (f (, ), f (, )) = (2, 2) οπότε f (1,2) = (2, 4). Επιπλέον, το μοναδιαίο διάνυσμα κατά την κατεύθυνση θ = π/4 είναι το ( u = cos π 4, sin π ) 2 = (1, 1) 4 2 με αποτέλεσμα η ζητούμενη παράγωγος να είναι f 2 u = f (1,2) u = (2, 4) (1,2) 2 (1, 1) = 3 2 Επιπλέον, η μέγιστη δυνατή τιμή που μπορεί να λάβει η κατευθυνόμενη παράγωγος της f στο συγκεκριμένο σημείο είναι ίση με f (1,2) = = 2 5 και υπολογίζεται κατά την κατεύθυνση του f (1,2). 38

43 3.5 Εφαπτόμενα επίπεδα (α) (β) Σχήμα 3.8: (α) Γράφημα συνάρτησης και (β) απεικόνιση της κλίσης και των ισοσταθμικών καμπυλών της. Από το σχήμα 3.8, όπου απεικονίζονται οι ισοσταθμικές καμπύλες μιας συνάρτησης z = f(, ) μαζί με το διάνυσμα κλίσης f, διαπιστώνεται μια χαρακτηριστική ιδιότητα του διανύσματος κλίσης μιας συνάρτησης, το ότι είναι πάντα κάθετο στις ισοσταθμικές καμπύλες της συνάρτησης. Δεδομένου ότι οι ισοσταθμικές μιας συνάρτησης z = f(, ) έχουν εξισώσεις f(, ) = c, η κλίση τους (δηλαδή η κλίση των εφαπτόμενων ευθειών τους) σε οποιοδήποτε σημείο τους είναι = f /f (όταν, βέβαια, f ). Επιπλέον, το διάνυσμα f = f i + f j σχηματίζει γωνία θ με τον άξονα των, τέτοια ώστε tan θ = f /f. Εφόσον ισχύει tan θ = 1, το διάνυσμα κλίσης της f είναι κάθετο στις ισοσταθμικές. Η συγκεκριμένη ιδιότητα επεκτείνεται και σε συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών, π.χ. το διάνυσμα κλίσης μιας συνάρτησης w = f(,, z) είναι πάντα κάθετο στις ισοσταθμικές επιφάνειες της f, οι οποίες έχουν τη μορφή f(,, z) = c. 3.5 Εφαπτόμενα επίπεδα Έστω μια επιφάνεια S στον R 3 με εξίσωση F (,, z) = και μια καμπύλη C πάνω στην S, η οποία περιγράφεται διανυσματικά³ ως r(t) = ((t), (t), z(t)) όπου t R μια παράμετρος. Εφόσον τα σημεία της C είναι και σημεία της επιφάνειας S, θα ισχύει F ((t), (t), z(t)) = οπότε και dg/dt =, όπου G(t) = F ((t), (t), z(t)). Εφαρμόζοντας αλυσιδωτή παραγώγιση για τον υπολογισμό της συγκεκριμένης παραγώγου, έχουμε: F (t) + F (t) + F z z (t) = ή (F, F, F z ) ( (t), (t), z (t) ) = ³Η διανυσματική περιγραφή σημαίνει πως το πέρας κάθε διανύσματος r(t) αντιστοιχεί σε σημείο της καμπύλης C. 39

44 3. Παραγώγιση Σχήμα 3.9: Διάνυσμα κλίσης και εφαπτόμενο επίπεδο σε επιφάνεια. Το πρώτο από τα παραπάνω διανύσματα είναι η κλίση της F (θεωρούμε πως τουλάχιστον μία από τις παραγώγους F, F, F z είναι μη μηδενική), ενώ το δεύτερο συμβολίζεται με r (t) = dr(t)/dt και αποδεικνύεται πως είναι εφαπτόμενο στην καμπύλη C, στο σημείο που αντιστοιχεί στη συγκεκριμένη τιμή της παραμέτρου t. Επομένως, για κάθε καμπύλη C της επιφάνειας S που διέρχεται από κάποιο σημείο P, το εφαπτόμενο διάνυσμά της C στο P είναι κάθετο σε συγκεκριμένο διάνυσμα, το F P. Άρα, όλες οι εφαπτόμενες ευθείες της επιφάνειας S στο σημείο P βρίσκονται πάνω σε ένα και μόνο επίπεδο, το οποίο ονομάζουμε εφαπτόμενο επίπεδο της S στο P. Θα προσδιοριστεί παρακάτω στο σημείο P(,, z ) της επιφάνειας S η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου εκεί. Η S με εξίσωση F (,, z) = αποτελεί ισοσταθμική της συνάρτησης τριών μεταβλητών w = F (,, z). Το διάνυσμα κλίσης F P = (F P, F P, F z P ) είναι κάθετο στη συγκεκριμένη ισοσταθμική, άρα κάθετο και σε κάθε διάνυσμα t = (,, z z ) του εφαπτόμενου επιπέδου (σχήμα 3.9). Με άλλα λόγια ισχύει F P t =, σχέση που οδηγεί στην εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου: F P ( ) + F P ( ) + F z P (z z ) = Όταν η επιφάνεια S αποτελεί γραφική παράσταση της συνάρτησης z = f(, ), τότε ισοδύναμα έχουμε F (,, z) =, όπου F (,, z) = z f(, ). Επομένως, F = f, F = f και F z = 1, οπότε η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου παίρνει τη μορφή z z = f P ( ) + f P ( ) δηλαδή το εφαπτόμενο είναι, όπως έχουμε ήδη δει, το γράφημα της γραμμικοποίησης της f στο σημείο (, ). 3.6 Ιακωβιανή ορίζουσα Ας θεωρήσουμε τις ακόλουθες συναρτήσεις n μεταβλητών 1 = f 1 ( 1, 2,..., n ) 4

45 3.6 Ιακωβιανή ορίζουσα 2 = f 2 ( 1, 2,..., n ) n = f n ( 1, 2,..., n ) ορισμένες στο σύνολο A R n. Ορισμός 3.8 Ιακωβιανή ορίζουσα ονομάζεται η ορίζουσα του συναρτησιακού πίνακα n n.... n n n n και συμβολίζεται με ( 1, 2,..., n ) ( 1, 2,..., n ) Στην περίπτωση δύο συναρτήσεων f(, ) και g(, ), η Ιακωβιανή ορίζουσά τους είναι: (f, g) (, ) = f f = f g f g Έστω τώρα οι διαφορίσιμες στο σύνολο B R n συναρτήσεις Αποδεικνύεται ότι g g 1 = g 1 (t 1, t 2,..., t n ) 2 = g 2 (t 1, t 2,..., t n ) n = g n (t 1, t 2,..., t n ) ( 1,..., n ) (t 1,..., t n ) = ( 1,..., n ) ( 1,..., n ) ( 1,..., n ) (t 1,..., t n ) Οι Ιακωβιανές ορίζουσες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ελεγχθεί η συναρτησιακή εξάρτηση συναρτήσεων. Ορισμός 3.9 Οι συναρτήσεις i = f i ( 1, 2,..., n ), i = 1,..., m που ορίζονται στο A R n ονομάζονται συναρτησιακά εξαρτημένες (ή αποτελούν ένα σύνολο εξαρτημένων συναρτήσεων), αν υπάρχει συνάρτηση F, τέτοια ώστε να ισχύει F ( 1, 2,..., m ) = σε κάθε σημείο του A. Στην περίπτωση που m = n, ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι συναρτησιακά εξαρτημένες οι συναρτήσεις i = f i ( 1, 2,..., n ), i = 1,..., n με συνεχείς πρώτες παραγώγους, είναι η Ιακωβιανή ορίζουσα των 1,..., n ως προς τις μεταβλητές 1,..., n να έχει μηδενική τιμή: ( 1,..., n ) ( 1,..., n ) = 41

46 3. Παραγώγιση Παράδειγμα 3.1: Έστω οι συναρτήσεις f(, ) = ( ) και Είναι: g(, ) = e f (, ) = 1 f(, ), f (, ) = 1 f(, ) g (, ) = e, g (, ) = e Η Ιακωβιανή των f, g ως προς, είναι: (f, g) (, ) = f g f g = 1 ( e ) f(, ) Άρα οι f, g είναι συναρτησιακά εξαρτημένες. ( 1 ) e = f(, ) 3.7 Ακρότατα Ελεύθερα ακρότατα Στην παρούσα ενότητα θα μας απασχολήσει το ζήτημα των ακροτάτων μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών και ο εντοπισμός τους με τη βοήθεια των μερικών παραγώγων. Ορισμός 3.1 Έστω συνάρτηση f : A R 2 R και (, ) ένα σημείο του A. Η τιμή f(, ) ονομάζεται ολικό ή απόλυτο μέγιστο της f, αν ισχύει f(, ) f(, ) για κάθε (, ) A, ολικό ή απόλυτο ελάχιστο της f, αν ισχύει f(, ) f(, ) για κάθε (, ) A. Σε κάθε μία από τις παραπάνω περιπτώσεις το σημείο (, ) αποτελεί θέση ή σημείο ολικού ακροτάτου. Οι ορισμοί των τοπικών ακροτάτων προκύπτουν εντελώς ανάλογα, εάν οι παραπάνω συνθήκες ικανοποιούνται μόνο σε σημεία (, ) που ανήκουν σε μια σφαιρική περιοχή του (, ) και όχι σε κάθε σημείο του A (σχήμα 3.1). Το παρακάτω θεώρημα αναφέρεται στις αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη τοπικών ακροτάτων. Θεώρημα 3.8 Αν μια συνάρτηση δύο μεταβλητών z = f(, ) είναι παραγωγίσιμη ως προς και στο σημείο (, ) και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο εκεί, τότε ισχύει f (, ) = f (, ) = ή, ισοδύναμα f (, ) = 42

47 3.7 Ακρότατα ïëéêü ìýãéóôï ôïðéêü ìýãéóôï Σχήμα 3.1: Παράδειγμα συνάρτησης με τοπικό και ολικό μέγιστο. Ορισμός 3.11 Κρίσιμα σημεία μιας συνάρτησης f δύο μεταβλητών ονομάζονται τα σημεία στα οποία είτε μηδενίζονται οι f και f, είτε δεν υπάρχει τουλάχιστον μία από τις f, f. Σημεία με τα παραπάνω χαρακτηριστικά ονομάζονται και στάσιμα. Δεδομένου ότι η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου μιας συνάρτησης f στο σημείο (, ) είναι z z = f (, ) ( ) + f (, ) ( ) γίνεται αντιληπτό πως όταν το (, ) είναι κρίσιμο σημείο, η παραπάνω εξίσωση παίρνει την απλούστερη μορφή z = z. Δηλαδή τότε το εφαπτόμενο επίπεδο είναι παράλληλο προς το επίπεδο O. Σημειώνεται, ωστόσο, πως η ύπαρξη εφαπτόμενου επιπέδου της μορφής z = z δεν εξασφαλίζει πάντα την ύπαρξη τοπικού ακροτάτου στο συγκεκριμένο σημείο. Ενδέχεται σε ένα σημείο να ισχύει f (, ) = f (, ) =, ωστόσο σε κάθε σφαιρική περιοχή του (, ) να υπάρχουν σημεία (, ) για τα οποία ισχύει f(, ) f(, ), ενώ για άλλα να είναι f(, ) f(, ). Για τέτοιες περιπτώσεις υπάρχει ο παρακάτω ορισμός: Ορισμός 3.12 Αν μια συνάρτηση f δεν παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο κρίσιμο σημείο της (, ), τότε το σημείο (,, f(, )) ονομάζεται σαγματικό. Στο σχήμα 3.11 δίνεται το γράφημα της συνάρτησης f(, ) = , η οποία έχει σαγματικό σημείο στο (, ). Αυτό αποδεικνύεται ως εξής: αν θεωρήσουμε το σημείο ( +, + ), τότε η μεταβολή στην τιμή της f είναι f = f(, ) f(, ) = ( ) 2 + ( ) Αν το δεύτερο σημείο βρίσκεται πάνω στην ευθεία =, τότε = και f = 6( ) 2 >. Αν, όμως, βρίσκεται στην ευθεία =, τότε =, οπότε f = 2( ) 2 <. Με άλλα λόγια, γύρω από το (, ) προς κάποιες κατευθύνσεις αυξάνονται οι τιμές της συνάρτησης, ενώ προς άλλες μειώνονται. Ακολούθως αναφέρεται το κριτήριο δεύτερων παραγώγων για τον εντοπισμό τοπικών ακροτάτων. 43

48 3. Παραγώγιση z Σχήμα 3.11: Σαγματικό σημείο της συνάρτησης f(, ) = Θεώρημα 3.9 Έστω συνάρτηση f : A R 2 R, με συνεχείς παραγώγους μέχρι και β τάξης σε ένα σημείο (, ) με f (, ) = f (, ) =. Θέτοντας = f (, )f (, ) f 2 (, ), υπάρχουν οι παρακάτω περιπτώσεις: αν > και f (, ) >, τότε η f έχει τοπικό ελάχιστο στο (, ), αν > και f (, ) <, τότε η f έχει τοπικό μέγιστο στο (, ), αν <, υπάρχει σαγματικό σημείο στο (, ), αν =, δεν μπορεί να εξαχθεί ασφαλές συμπέρασμα. Η ορίζουσα = f f f f ονομάζεται ορίζουσα του Hess. Γενικότερα, για μια συνάρτηση n μεταβλητών = f( 1, 2,..., n ) που έχει παραγώγους β τάξης, η ορίζουσα του Hess είναι η 2 f f f 1 n 2 f f f... 2 n 2 f n 1 2 f n 2. 2 f 2 n 44

49 3.7 Ακρότατα 2 z Σχήμα 3.12: Το γράφημα της συνάρτησης f(, ) = Παράδειγμα 3.11: Έστω η συνάρτηση f(, ) = (σχήμα 3.12). Είναι f (, ) = και f (, ) = Η εξίσωση f (, ) = συνεπάγεται ότι = 3, οπότε η εξίσωση f (, ) = οδηγεί στην =, δηλαδή =, 1 ή 1. Άρα υπάρχουν τρία κρίσιμα σημεία: το (, ), το (1, 1) και το ( 1, 1). Επιπλέον, είναι f (, ) = 12 2, f (, ) = 12 2 και f (, ) = f (, ) = 4, οπότε η ορίζουσα του Hess είναι ίση με = = Ειδικότερα: (,) = 16 <, (1,1) = ( 1, 1) = 128 >, με f (1, 1) = f ( 1, 1) = 12 <. Επομένως, η f έχει σαγματικό σημείο στο (, ) και τοπικά μέγιστα στα σημεία (1, 1) και ( 1, 1), με τις μέγιστες τιμές να είναι ίσες με 3 και στις δύο περιπτώσεις. Όταν μια συνεχής συνάρτηση ορίζεται σε κλειστό και φραγμένο σύνολο, τότε είναι σίγουρο πως υπάρχουν σημεία του συνόλου (είτε εσωτερικά είτε συνοριακά) στα οποία η συνάρτηση λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. Στην περίπτωση που αναζητούνται τα ολικά ακρότατα μιας τέτοιας συνάρτησης, ακολουθούνται τα παρακάτω βήματα: 1. εντοπίζονται τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στο εσωτερικό του συνόλου, 2. υπολογίζονται οι τιμές της συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία, 3. εντοπίζονται τα κρίσιμα σημεία στο σύνορο του πεδίου ορισμού και υπολογίζονται οι αντίστοιχες τιμές, 4. συγκρίνονται όλες οι υπολογισμένες τιμές. 45

50 3. Παραγώγιση Δεσμευμένα ακρότατα Στην παρούσα ενότητα θα αναζητηθούν τα ακρότατα μιας συνάρτησης, όταν οι ανεξάρτητες μεταβλητές της ικανοποιούν συγκεκριμένες συνθήκες, Τα ακρότατα σε αυτήν την περίπτωση χαρακτηρίζονται ως δεσμευμένα. Συγκεκριμένα, θα αναφερθούμε στην εύρεση των ακροτάτων μιας συνάρτησης z = f(, ), σε εκείνα τα σημεία του πεδίου ορισμού της που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής g(, ) =. Μια επιλογή αποτελεί η επίλυση της εξίσωσης g(, ) = ως προς μία από τις μεταβλητές (δηλαδή εύρεση της = ()) και αντικατάστασή της στη z = f(, ), με αποτέλεσμα τον ορισμό μιας νέας συνάρτησης h() = f(, ()). Έτσι, το πρόβλημα μετατρέπεται στην εύρεση των ακροτάτων συνάρτησης της h, δηλαδή μιας συνάρτησης μίας μεταβλητής. Εμπόδιο στην υλοποίηση της συγκεκριμένης αντιμετώπισης αποτελεί η ενδεχόμενη αδυναμία επίλυσης της εξίσωσης g(, ) = ως προς ή. Τα προβλήματα της συγκεκριμένης κατηγορίας μπορούν να αντιμετωπισθούν με τη μέθοδο των πολλαπλασιαστών Lagrange. Ας θεωρήσουμε πως η επίπεδη καμπύλη C : g(, ) = περιγράφεται διανυσματικά ως r(t) = (t)i + (t)j, όπου t R μία παράμετρος. Αν στο σημείο (, ) της C η συνάρτηση z = f(, ) παρουσιάζει ακρότατο και είναι = (t ), = (t ), τότε θα ισχύει Όμως γενικά είναι: dz dt = t=t dz dt = f (t) + f (t) = (f, f ) ( (t), (t) ) = f(, ) dr(t) dt γεγονός που συνεπάγεται πως το διάνυσμα f(, ) είναι κάθετο στη C στο (, ) (αυτό συμβαίνει διότι το διάνυσμα dr/dt είναι εφαπτομενικό στην καμπύλη που περιγράφεται διανυσματικά από το r(t)). Είναι γνωστό, επιπλέον, πως και το διάνυσμα g(, ) έχει αντίστοιχα χαρακτηριστικά, αφού είναι κάθετο στην ισοσταθμική g(, ) =, δηλαδή στη C. Άρα, το g(, ) είναι παράλληλο με το f(, ), δηλαδή ισχύει f(, ) = λ g(, ) όπου λ. Η συνθήκη αυτή περιγράφει το τι θα πρέπει να περιμένει κάποιος στη θέση ύπαρξης ενός δεσμευμένου ακροτάτου. Γεωμετρικά, στη θέση δεσμευμένου ακροτάτου η καμπύλη g(, ) = εφάπτεται στην ισοσταθμική της συνάρτησης f που διέρχεται από τη θέση εκείνη. Θεώρημα 3.1 Έστω η διαφορίσιμη συνάρτηση f : A R 2 R και g(, ) = μια καμπύλη που περιέχεται στο A. Αν η f παρουσιάζει δεσμευμένο ακρότατο στο σημείο (, ) με τον περιορισμό g(, ) =, τότε υπάρχει λ R (ονομάζεται πολλαπλασιαστής Lagrange), τέτοιος ώστε f(, ) = λ g(, ) Αν θέσουμε Φ(,, λ) = f(, ) λg(, ) 46

51 3.7 Ακρότατα τότε η συνθήκη f(, ) = λ g(, ) γράφεται ως Φ (,, λ) = Φ (,, λ) =, ενώ η g(, ) = ισοδυναμεί με Φ λ (,, λ) =. Επομένως, αν η f έχει δεσμευμένο ακρότατο στο (, ), θα ισχύει Φ(,, λ) = Για τις ικανές συνθήκες ύπαρξης δεσμευμένου ακροτάτου σε ένα σημείο αναφέρουμε το ακόλουθο θεώρημα: Θεώρημα 3.11 Έστω οι συναρτήσεις f, g που είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμες και Φ(,, λ) = f(, ) λg(, ). Αν οι τιμές =, = και λ = λ ικανοποιούν την εξίσωση Φ(,, λ) = και είναι D(,, λ ) <, όπου Φ Φ g D(,, λ ) = Φ Φ g < g g (,,λ ) τότε η f παρουσιάζει δεσμευμένο τοπικό ελάχιστο στο (, ). Αν είναι D(,, λ ) >, τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο. Παράδειγμα 3.12: Θα αναζητηθούν τα δεσμευμένα ακρότατα της συνάρτησης f(, ) = e όταν = 16. Έστω g(, ) = και Φ(,, λ) = e λ( ). Τότε: Φ = e 3λ 2 =, Φ = e 3λ 2 =, Φ λ = = 16. Από τις δύο πρώτες εξισώσεις έχουμε: Φ Φ = 3λ ( 3 3) = =, οπότε η τρίτη εξίσωση δίνει = = 2. Επομένως, το μοναδικό κρίσιμο σημείο της Φ είναι το P με (,, λ) = (2, 2, e 4 /6), όπως φαίνεται και στο σχήμα 3.13(α) (η τιμή του πολλαπλασιαστή Lagrange προκύπτει με αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση.) Επιπλέον: Φ = 2 e 6λ Φ P = 2e 4, Φ = 2 e 6λ Φ P = 2e 4, Φ = e Φ P = 4e 4, g = 3 2 g P = 12, g = 3 2 g P = 12, με αποτέλεσμα Φ Φ g Φ Φ g g g = P 2e 4 4e e 4 2e = 576e 4 > P Άρα στο σημείο (2, 2) η f παρουσιάζει μέγιστη τιμή υπό τη συνθήκη = 16 (σχήμα 3.13(β)). 47

52 3. Παραγώγιση 3. g(, ) f(, ) e (α) (β) Σχήμα 3.13: (α) Ισοσταθμικές της συνάρτησης f του παραδείγματος και η επίπεδη καμπύλη g(, ) =. (β) Γράφημα της f και απεικόνιση των σημείων της επιφάνειας που ικανοποιούν τη συνθήκη g(, ) =. 3.8 Τύπος alor Σε προηγούμενη ενότητα έχει συζητηθεί η προσέγγιση μιας διαφορίσιμης συνάρτησης με τη βοήθεια μιας γραμμικής έκφρασης, δηλαδή ενός πολυωνύμου α βαθμού. Στην παρούσα ενότητα γίνεται αναφορά στον τύπο alor για συναρτήσεις δύο μεταβλητών, μέσω του οποίου είναι δυνατή η αντικατάσταση μιας συνάρτησης από το άθροισμα μιας πολυωνυμικής και ενός όρου υπολοίπου. Για διευκόλυνση, εισάγουμε τον παρακάτω συμβολισμό, ο οποίος έχει χρησιμοποιηθεί και στην αλυσιδωτή παραγώγιση: ( + ) (1) f(, ) = f + f ( + (, ) ) (2) f(, ) = ( ) 2 2 f... ( + ) (n) f(, ) = (, ) f ( n l= n l ) (, ) (, ) + ( ) 2 2 f ( ) l ( ) n l (, ) n f l n l (, ) Θεώρημα 3.12 Έστω συνάρτηση f : A R 2 R με συνεχείς παραγώγους μέχρι n + 1 τάξης σε ανοιχτή περιοχή του σημείου (, ) που περιέχει το (, ). Τότε, σύμφωνα με τον τύπο του alor ισχύει: f(, ) = f(, ) + 1 ( 1! + ) (1) f(, ) + 1 ( 2! + ) (2) f(, ) ( n! + ) (n) f(, ) + R n+1 48

53 3.8 Τύπος alor (, ) (, ) (, ) O Σχήμα 3.14: Θέση υπολογισμού του υπολοίπου στον τύπο alor. όπου =, = και R n+1 = είναι το υπόλοιπο με < θ < 1. ( 1 (n + 1)! + ) (n+1) f( + θ, + θ ) Το σημείο (, ) με = + θ και = + θ, στο οποίο υπολογίζονται οι μερικές παράγωγοι στην έκφραση του υπολοίπου, βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τα σημεία (, ) και (, ) (σχήμα 3.14). Ειδικότερα, η συνάρτηση n (, ) = f(, ) R n+1 αποτελεί το πολυώνυμο alor βαθμού n της συνάρτησης f στο σημείο (, ). Το πολυώνυμο n έχει τις ίδιες τιμές παραγώγων με τη συνάρτηση f μέχρι βαθμό n στο σημείο (, ). Έτσι, η προσέγγιση α βαθμού της f είναι f(, ) f(, ) + ( )f (, ) + ( )f (, ) όπου παραλείπεται ο όρος R 2, ενώ η προσέγγιση β βαθμού έχει τη μορφή f(, ) f(, ) + ( ) f (, ) + ( ) f (, ) + 2 f (, ) + f (, ) + ( ) ( ) f (, ) 2 όπου έχει παραληφθεί ο όρος R 3. Διατηρώντας μόνο τον πρώτο σταθερό όρο στον τύπο του alor, διαπιστώνεται ότι ή f(, ) f(, ) = f ( + θ, + θ ) + f ( + θ, + θ ) f (, ) = f( +, + ) f(, ) = df (, ) Δηλαδή η μεταβολή στην τιμή της f, όταν οι τιμές των ανεξάρτητων μεταβλητών αλλάζουν κατά και, ισούται με το διαφορικό της f σε ένα σημείο (, ) στο ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν τα σημεία (, ) και ( +, + ). 49

54 3. Παραγώγιση Θέτοντας (, ) = (, ) προκύπτει ο τύπος MacLaurin: f(, ) = f(, ) + 1 1! ( + 1 2! + + ( 1 (n + 1)! + ( + ) (1) f(, ) ) (2) f(, ) όπου ο τελευταίος όρος είναι και πάλι το υπόλοιπο. n! ) (n+1) f(θ, θ) ( + ) (n) f(, ) Παράδειγμα 3.13: Θα αναλυθεί η συνάρτηση f(, ) = 2 cos με βάση τον τύπο alor γύρω από το σημείο (1, ), υπολογίζοντας όρους μέχρι και β βαθμού. Έχουμε: με αποτέλεσμα: f (, ) = 2 cos, f (, ) = 2 sin, f (, ) = 2 cos, f (, ) = 2 cos, f (, ) = 2 sin f(1, ) = 1, f (1, ) = 2, f (1, ) =, f (1, ) = 2, f (1, ) = 1, f (1, ) = Τελικά: f(, ) = f(1, ) + 1 f (1, ) + 1! 1! f (1, ) ( 1)2 + f (1, ) + 2 2! 2! f ( 1) (1, ) + 2 f (1, ) ! = 1 + 2( 1) + ( 1)

55 Κεφάλαιο 4 Διπλά ολοκληρώματα Αντικείμενο του παρόντος κεφαλαίου αποτελεί η ολοκλήρωση πραγματικών συναρτήσεων δύο μεταβλητών. Συγκεκριμένα, ορίζουμε το διπλό ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης z = f(, ), γίνεται αναφορά στις κύριες ιδιότητές του και περιγράφεται η βασική γεωμετρική ερμηνεία του διπλού ολοκληρώματος ως όγκος συγκεκριμένου στερεού. Επιπλέον, αναλύεται ο υπολογισμός των διπλών ολοκληρωμάτων με τη βοήθεια απλών και αναφέρονται ορισμένες βασικές εφαρμογές τους. Τέλος, συζητείται η διαδικασία αλλαγής των μεταβλητών ολοκλήρωσης. 4.1 Ορισμός και ιδιότητες Ας θεωρήσουμε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών z = f(, ), η οποία ορίζεται σε ένα κλειστό και φραγμένο υποσύνολο του R 2. Ένα τέτοιο σύνολο χαρακτηρίζεται ως τόπος. Δεχόμαστε πως το σύνορο του αποτελείται από λείες καμπύλες, δηλαδή καμπύλες των οποίων οι εφαπτόμενες ευθείες στρέφονται με ομαλό τρόπο, καθώς μετατοπίζεται η θέση του σημείου επαφής τους με τις καμπύλες. Όπως θα φανεί στη συνέχεια, ο τόπος όπου ολοκληρώνεται μια συνάρτηση δύο μεταβλητών μπορεί να καθοριστεί πλήρως περιγράφοντας απλώς τις καμπύλες που απαρτίζουν το σύνορό του. Επιλέγοντας μια διαμέριση D του τόπου, δημιουργείται ένα σύνολο από n επιμέρους τόπους 1, 2,..., n, οι οποίοι δεν έχουν κανένα κοινό εσωτερικό σημείο μεταξύ τους (δηλαδή (int i ) (int j ) = όταν i j), ενώ η ένωσή τους ισούται με τον ( = n ). Πρακτικά, οποιαδήποτε διαμέριση του μπορεί να προκύψει επιλέγοντας ένα κατάλληλο σύνολο από καμπύλες, όπως απεικονίζεται στο σχήμα 4.1. Για τον ορισμό του διπλού ολοκληρώματος επιλέγεται, επιπλέον, ένα σημείο P i ( i, i ) σε κάθε τόπο i. Ορισμός 4.1 Άθροισμα Riemann μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών z = f(, ) ως προς τη διαμέριση D και το σύνολο σημείων {P i } καλείται κάθε άθροισμα της μορφής n f( i, i ) A i i=1 όπου ως A i δηλώνεται το εμβαδόν του τόπου i. Γίνεται αντιληπτό πως οι τιμές των αθροισμάτων Riemann μιας συνάρτησης z = f(, ) εξαρτώνται τόσο από τη διαμέριση, όπως και από την επιλογή των σημείων P i. Η έννοια του διπλού ολοκληρώματος εισάγεται θεωρώντας την επιλογή όλο και πυκνότερων διαμερίσεων, για την αυστηρότερη περιγραφή των οποίων εισάγονται οι ακόλουθες έννοιες: 51

56 4. Διπλά ολοκληρώματα i i O i Σχήμα 4.1: Διαμέριση του τόπου. Ορισμός 4.2 Διάμετρος diam (A) ενός συνόλου A καλείται η μέγιστη από τις αποστάσεις d δύο οποιωνδήποτε σημείων του συνόλου: diam (A) = ma{d(p, Q) : P, Q A} Ορισμός 4.3 Λεπτότητα D της διαμέρισης D ενός τόπου ονομάζεται η μέγιστη τιμή των διαμέτρων diam( i ), i = 1, 2,..., n: D = ma {diam ( i )} i=1,...,n όπου (int i ) (int j ) = όταν i j και = n. Όταν οι τιμές των αθροισμάτων Riemann της συνάρτησης f συγκλίνουν σε συγκεκριμένη τιμή καθώς η λεπτότητα των διαμερίσεων γίνεται όλο και μικρότερη, τότε η τιμή αυτή αποτελεί το διπλό ολοκλήρωμα της f στον τόπο : Ορισμός 4.4 Αν το άθροισμα Riemann της συνάρτησης z = f(, ) έχει όριο τον I R καθώς D, δηλαδή αν είναι n I = f( i, i ) A i lim D i=1 τότε η f λέγεται ολοκληρώσιμη στον τόπο και η τιμή I αποτελεί το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f στον τόπο που παριστάνεται με I = f(, ) da = f(, ) d d Ακολουθώντας πιο αυστηρή διατύπωση, η f είναι ολοκληρώσιμη στον τόπο, αν υπάρχει I R με την εξής ιδιότητα: για κάθε ϵ > υπάρχει δ >, τέτοιος ώστε για οποιαδήποτε διαμέριση D του με D < δ και οποιαδήποτε επιλογή σημείων {P i } με P i ( i, i ) i να ισχύει n f( i, i ) A i I < ϵ i=1 Μια ικανή συνθήκη για την ολοκληρωσιμότητα μιας συνάρτησης δίνεται από το παρακάτω θεώρημα. 52

57 4.2 Γεωμετρική ερμηνεία Θεώρημα 4.1 Αν μια συνάρτηση z = f(, ) είναι συνεχής στον τόπο, τότε είναι ολοκληρώσιμη σ αυτόν. Έστω οι συναρτήσεις δύο μεταβλητών f και g που είναι ολοκληρώσιμες στον τόπο. Τότε ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: [f(, ) + g(, )] da = f(, ) da + g(, ) da, cf(, ) da = c f(, ) da, c R, αν οι τόποι 1,..., n προέρχονται από μια διαμέριση του, τότε f(, ) da = f(, ) da f(, ) da n αν f(, ), τότε αν f(, ) g(, ), τότε f(, ) da f(, ) da αν m f(, ) M στον, τότε ma όπου A το εμβαδόν του τόπου. f(, ) da f(, ) da g(, ) da f(, ) da MA 4.2 Γεωμετρική ερμηνεία Αναφερόμαστε αρχικά στην περίπτωση μιας συνεχούς συνάρτησης f, η οποία ορίζεται στον τόπο και για την οποία ισχύει f(, ) σε κάθε σημείο (, ). Τότε κάθε άθροισμα Riemann της f, n f( i, i ) A i i=1 αποτελεί μια προσεγγιστική τιμή του όγκου V του στερεού που περικλείεται από το επίπεδο O και το γράφημα της f και αποτελείται από τα σημεία {(,, z) : (, ), z f(, )}. Αυτό διαπιστώνεται εύκολα από το σχήμα 4.2, όπου γίνεται φανερό πως καθένας από τους όρους f( i, i ) A i ισούται με τον όγκο του στερεού {(,, z) : (, ) i, z f( i, i )}, το οποίο έχει βάση εμβαδού A i και ύψος ίσο με f( i, i ). Το τμήμα του στερεού με όγκο V που αντιστοιχεί στον τόπο i θεωρούμε πως έχει όγκο V i. Εφόσον η f είναι συνεχής, θα υπάρχουν m i, M i (η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της f στον i ), τέτοιοι ώστε m i f( i, i ) M i, 53

58 4. Διπλά ολοκληρώματα z f (, ) i i S : z = f (, ) O (,, ) i i Σχήμα 4.2: Γεωμετρική ερμηνεία της παράστασης f( i, i ) A i, όταν f(, ). ή m i A i f( i, i ) A i M i A i. Η πρώτη ποσότητα είναι προφανώς μικρότερη από τον όγκο V i, ενώ η τρίτη είναι μεγαλύτερη. Άρα η διαφορά μεταξύ της τιμής f( i, i ) A i και του V i δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από (M i m i ) A i, η οποία μπορεί να γίνει οσοδήποτε μικρή, αν μειωθεί κατάλληλα η λεπτότητα της διαμέρισης. Η f είναι ολοκληρώσιμη ως συνεχής, οπότε τα τρία αθροίσματα n f( i, i ) A i, i=1 n m i A i V, i=1 n M i A i V i=1 έχουν κοινό όριο (την τιμή του διπλού ολοκληρώματος της f στον ), το οποίο είναι αναγκαστικά η τιμή του όγκου V : V = f(, ) da, f(, ) Όταν είναι f(, ) για κάθε (, ), τότε ο όγκος του στερεού μεταξύ του επιπέδου O και της επιφάνειας που παριστάνει την f είναι V = f(, ) da, f(, ) Αν η f παίρνει θετικές και αρνητικές τιμές στον, τότε f(, ) da = V + V όπου V + ο όγκος του τμήματος του στερεού που βρίσκεται πάνω από το επίπεδο O και V ο όγκος του τμηματος κάτω από το ίδιο επίπεδο. Στην περίπτωση που για τις συναρτήσεις f και g που ορίζονται στον τόπο ισχύει f(, ) g(, ) για κάθε (, ), ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τα γραφήματα των δύο 54

59 4.3 Επαναληπτικά ολοκληρώματα D = ( ) 2 A B O a G = ( ) 1 b Σχήμα 4.3: Τόπος κανονικός ως προς. συναρτήσεων είναι V = [f(, ) g(, )] da Τέλος, στην ειδική περίπτωση που η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι η f(, ) = 1, τότε n 1 da = lim 1 A i = lim A = A D D i=1 όπου A το εμβαδόν του. Επομένως, το εμβαδόν ενός επίπεδου τόπου μπορεί να υπολογιστεί από το διπλό ολοκλήρωμα A = da = d d 4.3 Επαναληπτικά ολοκληρώματα Στην παρούσα ενότητα παρουσιάζεται ο τρόπος υπολογισμού διπλών ολοκληρωμάτων με τη βοήθεια δύο απλών. Ένας τόπος χαρακτηρίζεται κανονικός ως προς, αν κάθε ευθεία που διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο του τόπου και είναι παράλληλη προς τον άξονα των τέμνει το σύνορο του τόπου σε δύο το πολύ σημεία. Ένα τέτοιος τόπος απεικονίζεται στο σχήμα 4.3 και περιγράφεται πάντα ως εξής: = {(, ) : a b, 1 () 2 ()} όπου = 1 () η εξίσωση του τμήματος του συνόρου που ορίζεται από τα σημεία A, Γ, B και = 2 () η εξίσωση του τμήματος του συνόρου που προσδιορίζεται από τα σημεία A,, B. Έστω S το γράφημα της συνάρτησης f που ορίζεται στον. Θεωρούμε μια διαμέριση του διαστήματος [a, b], δηλαδή το σύνολο P = { = a, 1,..., n 1, n = b} με < 1 <... < n. Αν φέρουμε το επίπεδο = i, i P, το οποίο είναι παράλληλο προς το επίπεδο Oz, τότε το τμήμα του που βρίσκεται μεταξύ του O και της επιφάνειας S είναι το σύνολο {( i,, z) : 1 ( i ) 2 ( i ), z f( i, )} (σχήμα 4.4). Κατά τα γνωστά, το εμβαδόν A( i ) της συγκεκριμένης επίπεδης επιφάνειας υπολογίζεται από το απλό ολοκλήρωμα A( i ) = 2 ( i ) 1 ( i ) 55 f( i, ) d

60 4. Διπλά ολοκληρώματα z S : z = f (, ) a O ( ) A i i b ( ) 1 2 ( ) Σχήμα 4.4: Διαδικασία υπολογισμού διπλού ολοκληρώματος. Ο όγκος του στερεού που βρίσκεται μεταξύ του επιπέδου O και της επιφάνειας S προσεγγίζεται από το άθροισμα n V A( i ) i i=1 όπου i = i i 1, i = 1,..., n. Ουσιαστικά, θεωρούμε πως το στερεό αποτελείται από επίπεδες φέτες πάχους i, παράλληλες προς το επίπεδο Oz. Το όριο του παραπάνω αθροίσματος, όταν η λεπτότητα της διαμέρισης P τείνει στο, είναι το απλό ολοκλήρωμα V = b a A() d Συνεπώς, από τα παραπάνω προκύπτει πως ( b ) 2 () V = f(, ) d d = δηλαδή a f(, ) da = 1 () b 2 () a 1 () b 2 () a f(, ) d d = 1 () b a d f(, ) d d 2 () 1 () f(, ) d Τα ολοκληρώματα με την παραπάνω μορφή ονομάζονται επαναληπτικά. Διαπιστώνεται, με άλλα λόγια, πως ο υπολογισμός ενός διπλού ολοκληρώματος ανάγεται στον υπολογισμό δύο απλών, από τα οποία το ένα έχει μεταβλητά όρια. Στην περίπτωση που η περιοχή ολοκλήρωσης είναι ένας τόπος κανονικός ως προς (σχήμα 4.5), όταν δηλαδή ο περιγράφεται ως με ανάλογη διαδικασία προκύπτει ότι f(, ) da = = {(, ) : c d, 1 () 2 ()} d 2 () c 1 () f(, ) d d = 56 d c d 2 () 1 () f(, ) d

61 4.3 Επαναληπτικά ολοκληρώματα d G B D c O = ( ) 1 = ( ) A 2 Σχήμα 4.5: Τόπος κανονικός ως προς. d D G c A B O a b Σχήμα 4.6: Απλή περίπτωση τόπου με σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Η περίπτωση ενός τόπου ολοκλήρωσης με σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου (σχήμα 4.6) και πλευρές παράλληλες προς τους άξονες, = {(, ) : a b, c d} = [a, b] [c, d] είναι η πιο απλή, διότι είναι η μόνη περίπτωση όπου τα όρια και των δύο ολοκληρωμάτων έχουν σταθερές τιμές: b d d b f(, ) d d = f(, ) d d = f(, ) d d a c Τέλος, αν όλα τα όρια ολοκλήρωσης είναι σταθερά και η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι της μορφής f(, ) = g()h(), τότε το διπλό ολοκλήρωμα ισούται με το γινόμενο των δύο απλών ολοκληρωμάτων: b d a c f(, ) d d = = b d a b a g()h() d d c d ( b g() d h() d = c a c a ) ( d ) g() d h() d c Αυτό συμβαίνει διότι το εσωτερικό ολοκλήρωμα d c h() d έχει συγκεκριμένη τιμή που δεν εξαρτάται από το, οπότε δεν επηρεάζει τον υπολογισμό του εξωτερικού ολοκληρώματος. 57

62 4. Διπλά ολοκληρώματα Σχήμα 4.7: Ο τόπος ολοκλήρωσης του παραδείγματος 4.1. Παράδειγμα 4.1: Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ( I = 2 + 2) d d στον τόπο που περικλείεται από τις ευθείες =, = 2, = 3/2 και = + 1 (σχήμα 4.7). O τόπος ολοκλήρωσης περιγράφεται ως = {(, ) : 2, 32 } + 1 Επομένως: I = = = = = d +1 3/2 ( 2 + 2) 2 d = [ ] +1 3 [ 2 (1 12 ) ( ( d 3/2 ( )] d ) d [ ] 2 = 17 6 ) d Παράδειγμα 4.2: Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα da 58

63 4.4 Αλλαγή μεταβλητών Σχήμα 4.8: Ο τόπος ολοκλήρωσης του παραδείγματος 4.2. όπου ο τόπος που απεικονίζεται στο σχήμα 4.8. Οι δύο μη παράλληλες πλευρές του τραπεζίου έχουν εξισώσεις = 5 2 και = Επομένως, ο τόπος περιγράφεται ως εξής: { = (, ) : 1 3, } 2 2 Τελικά, για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, έχουμε: da = = = d 5 2 d = 3 ( ) d = [ ] d [ ] Αλλαγή μεταβλητών Έστω ο τόπος R 2, στα σημεία (u, v) του οποίου ορίζονται οι συνεχείς συναρτήσεις = (u, v), = (u, v) με συνεχείς μερικές παραγώγους α τάξης. Οι συναρτήσεις αυτές ορίζουν μια απεικόνιση ή έναν μετασχηματισμό από τον τόπο (του επιπέδου Ouv) σε έναν άλλο τόπο (του επιπέδου O). Θεωρούμε πως η απεικόνιση αυτή είναι ένα-προς-ένα, δηλαδή δεν υπάρχουν δύο σημεία στον των οποίων οι εικόνες στον να ταυτίζονται. Υπό αυτές τις προϋποθέσεις, οι παραπάνω συναρτήσεις μπορούν να επιλυθούν ως προς u, v και ορίζουν μια αλλαγή μεταβλητών. Στην παρούσα παράγραφο θα εξεταστεί ο τρόπος με τον οποίο ένα ολοκλήρωμα της μορφής f(, ) da μπορεί να εκφραστεί ως ένα διπλό ολοκλήρωμα στον τόπο. Όπως θα διαπιστωθεί, δεν αρκεί μια απλή αντικατάσταση της f(, ) από τη συνάρτηση f((u, v), (u, v)). 59

64 4. Διπλά ολοκληρώματα Ας θεωρήσουμε στο επίπεδο Ouv τον τόπο, με σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου και κορυφές τα σημεία A(u, v), B(u + u, v), D(u, v + v), C(u + u, v + v) (σχήμα 4.9). Ο προέρχεται από μια διαμέριση του, χρησιμοποιώντας ευθείες γραμμές παράλληλες προς τους άξονες. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό = (u, v), = (u, v), ο μετασχηματίζεται στον τόπο του επιπέδου O, με τα σημεία A, B, C, D να απεικονίζονται, αντίστοιχα, στα A, B, C, D. Γενικότερα, κάθε ευθεία γραμμή στο Ouv της μορφής v = σταθ. απεικονίζεται σε μια καμπύλη στο O που ονομάζεται u-καμπύλη. Ομοίως, οι ευθείες u = σταθ. του επιπέδου Ouv απεικονίζονται στις v-καμπύλες του O. Ο τόπος έχει εμβαδόν ίσο με A = u v. Για τον υπολογισμό του εμβαδού A του μπορεί να χρησιμοποιηθεί προσεγγιστικά το μέτρο του εξωτερικού γινομένου A B A D, το οποίο δίνει το εμβαδόν του παραλληλογράμμου με πλευρές τις A B και A D. Λαμβάνοντας, όμως, υπόψη τις προσεγγίσεις (u + u, v) (u, v) + u u (u + u, v) (u, v) + u u (u, v + v) (u, v) + v v (u, v + v) (u, v) + v v οι οποίες προκύπτουν από τα αντίστοιχα αναπτύγματα alor, το διάνυσμα A B μπορεί να αντικατασταθεί από το u u i + u u j, ενώ το A D από το v v i + v v j. Με βάση αυτήν την παρατήρηση, το εμβαδόν A προσεγγίζεται ως ακολούθως: A A B A D όπου A B A D i j k u u u u v v v v = u u v v u u v v k = (, ) (u, v) u v k Άρα A (, ) (u, v) u v = (, ) (u, v) A Επομένως, μετά το μετασχηματισμό το εμβαδόν του τόπου δεν παραμένει το ίδιο, αλλά μεταβάλλεται κατά ένα συντελεστή ίσο με την απόλυτη τιμή της Ιακωβιανής του μετασχηματισμού. Με βάση την παρατήρηση αυτή, τελικά έχουμε: f(, ) da = lim D = lim D n f( i, i ) A i i=1 n f((u i, v i ), (u i, v i )) (, ) (u, v) A i i=1 άρα f(, ) da = f((u, v), (u, v)) (, ) (u, v) da 6

65 4.4 Αλλαγή μεταβλητών v v + Dv v D A * D C B AΆ DΆ v -καμπύλη D BΆ CΆ u -καμπύλη O u u + Du u O Σχήμα 4.9: Απεικόνιση του τόπου στο. Παράδειγμα 4.3: Έστω το ολοκλήρωμα I = d d όπου το παραλληλόγραμμο με κορυφές τα σημεία ( 1, 3), (1, 3), (3, 1) και (1, 5) (σχήμα 4.1(α)). Αν θεωρήσουμε το γραμμικό μετασχηματισμό { = 1 4 (u + v) = 1 4 ( 3u + v) διαπιστώνεται πως ο τόπος αποτελεί την εικόνα του (σχήμα 4.1(β)) μέσω του συγκεκριμένου μετασχηματισμού. Επιπλέον, βρίσκουμε εύκολα ότι { u = v = 3 + με αποτέλεσμα να έχουμε τις ακόλουθες απεικονίσεις των κορυφών: ( 1, 3) ( 4, ), (1, 3) (4, ), (3, 1) (4, 8) και (1, 5) ( 4, 8). Για την Ιακωβιανή του μετασχηματισμού έχουμε: Επομένως: (, ) (u, v) = d d = = 1 16 = 1 16 = = = 4 16 = 1 4 (, ) (u + v) du dv (u, v) dv 4 4 [ 1 2 u2 + uv 8v dv = 1 2 (u + v) du ] 4 4 [ 1 2 v2 dv ] 8 = 64 4 = 16 61

66 4. Διπλά ολοκληρώματα (α) (β) Σχήμα 4.1: Οι τόποι και του παραδείγματος 4.3. Από τους πιο βασικούς μετασχηματισμούς είναι αυτός σε πολικές συντεταγμένες: = ρ cos θ, = ρ sin θ Η Ιακωβιανή του συγκεκριμένου μετασχηματισμού είναι (, ) (ρ, θ) = cos θ sin θ ρ sin θ ρ cos θ = ρ cos2 θ + ρ sin 2 θ = ρ οπότε Παράδειγμα 4.4: f(, ) d d = f(ρ cos θ, ρ sin θ)ρ dρ dθ Θα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα ( 2 + 2) d d όπου ο τόπος του σχήματος 4.11, με την καμπύλη να έχει εξίσωση ρ = θ. Η περιοχή ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες είναι: Επιπλέον, = ρ 2, οπότε: = {(ρ, θ) : θ π, ρ θ} ( 2 + 2) d d = ρ 2 ρ dρ dθ 62 = = π θ π [ 1 4 ρ4 ρ 3 dρ dθ ] θ dθ

67 4.5 Εφαρμογές Σχήμα 4.11: Ο τόπος ολοκλήρωσης του παραδείγματος 4.4. = 1 4 = 1 4 = π5 2 π [ 1 5 θ5 θ 4 dθ ] π 4.5 Εφαρμογές Έχουμε ήδη αναφέρει παραπάνω δύο εφαρμογές του διπλού ολοκληρώματος, στον υπολογισμό του όγκου ενός στερεού και στην εύρεση του εμβαδού ενός επίπεδου τόπου. Επιπλέον, η μέση τιμή μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης f(, ) στον τόπο είναι η τιμή 1 A f(, ) d d f(, ) d d = d d όπου A το εμβαδόν του. Από τις ιδιότητες των διπλών ολοκληρωμάτων προκύπτει το ακόλουθο θεώρημα μέσης τιμής: Θεώρημα 4.2 Αν μια συνάρτηση z = f(, ) είναι συνεχής στον τόπο, τότε υπάρχει σημείο (, ), στο οποίο η f γίνεται ίση με τη μέση τιμή της, δηλαδή f(, ) = 1 f(, ) d d A Ας θεωρήσουμε τώρα ένα επίπεδο φύλλο (δηλαδή υλικό σώμα αμελητέου πάχους), το οποίο περιγράφεται γεωμετρικά από τον τόπο και έχει πυκνότητα μάζας (μάζα ανά μονάδα επιφανείας) 63

68 4. Διπλά ολοκληρώματα που προσδιορίζεται από τη συνάρτηση δ(, ). Η συνολική μάζα M του σώματος υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα M = δ(, ) d d Η πρώτη ροπή του φύλλου ως προς τον άξονα των είναι M = δ(, ) d d ενώ αντίστοιχα η πρώτη ροπή ως προς τον άξονα των υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα M = δ(, ) d d Το κέντρο μάζας του υλικού τόπου είναι το σημείο με συντεταγμένες = M M, = M M Η ροπή αδρανείας του σώματος ως προς τον άξονα των είναι I = 2 δ(, ) d d η ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα των είναι I = 2 δ(, ) d d και το άθροισμά τους δίνει τη ροπή αδρανείας I ως προς την αρχή των αξόνων: ( I = I + I = 2 + 2) δ(, ) d d Παράδειγμα 4.5: Ένα έλασμα έχει σχήμα ορθογωνίου τριγώνου, το μήκος των δύο κάθετων πλευρών του είναι ίσο με α και η πυκνότητα μάζας του είναι ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης του σημείου από την κορυφή απέναντι από την υποτείνουσα. Αν το έλασμα αντιστοιχεί σε αυτό του σχήματος 4.12, τότε η πυκνότητα μάζας περιγράφεται από τη συνάρτηση δ(, ) = k( ), όπου k >. Για τον υπολογισμό της συνολικής μάζας, ολοκληρώνουμε την πυκνότητα στον τριγωνικό τόπο = {(, ) : α, α } οπότε: M = = = k = k = k δ(, ) d d α α α α α = kα4 6 k( ) d d [ ] α 3 d [α ] (α )3 d ( 1 3 α3 α 2 + 2α 2 4 ) 3 3 d 64

69 4.5 Εφαρμογές a O a Σχήμα 4.12: Ο τόπος ολοκλήρωσης του παραδείγματος Σχήμα 4.13: Ο τόπος ολοκλήρωσης του παραδείγματος 4.6. Παράδειγμα 4.6: με Η πυκνότητα του υλικού τόπου που απεικονίζεται στο σχήμα 4.13 είναι ίση δ(, ) = Ο τόπος περικλείεται από τις ευθείες = 1, = 4, = 1 και την καμπύλη =. Για να προσδιοριστεί η ροπή αδρανείας του συγκεκριμένου τόπου ως προς τον άξονα των, υπολογίζεται το ολοκλήρωμα I = 2 δ(, ) d d Ο τόπος ολοκλήρωσης είναι ο οπότε: I = = {(, ) : 1 4, 1 } = d 2 4 [ ] 1 1 d = d 1 ( 2 ) [ 1 d = ] = =

70 4. Διπλά ολοκληρώματα 66

71 Κεφάλαιο 5 Τριπλά ολοκληρώματα Η ολοκλήρωση πραγματικών συναρτήσεων τριών μεταβλητών οδηγεί στον ορισμό και τη χρησιμοποίηση των τριπλών ολοκληρωμάτων, η αντιμετώπιση των οποίων είναι παρόμοια με αυτήν των διπλών. Όπως θα δούμε, ο υπολογισμός τους βασίζεται στην εύρεση ενός απλού και ενός διπλού ολοκληρώματος, άρα ουσιαστικά ανάγεται στον προσδιορισμό τριών απλών ολοκληρωμάτων. Επιπλέον, στη συνέχεια του κεφαλαίου θα παρουσιαστεί ο τρόπος υπολογισμού τριπλών ολοκληρωμάτων με τη βοήθεια των συστημάτων κυλινδρικών και σφαιρικών συντεταγμένων, τα οποία παρέχουν σημαντική διευκόλυνση, όταν ο τόπος ολοκλήρωσης έχει συγκεκριμένα γεωμετρικά χαρακτηριστικά. 5.1 Ορισμός και ιδιότητες Έστω μια συνάρτηση f : Ω R 3 R, η οποία ορίζεται στο κλειστό και φραγμένο σύνολο Ω (τόπος). Θεωρούμε πως το σύνορο του Ω απαρτίζεται από λείες επιφάνειες. Επιλέγοντας μια διαμέριση D του τόπου Ω, προκύπτει ένα σύνολο από n επιμέρους τόπους Ω 1, Ω 2,..., Ω n, οι οποίοι συνθέτουν τον Ω χωρίς να έχουν μεταξύ τους κοινά σημεία, εκτός ίσως από κάποια συνοριακά. Με άλλα λόγια, ισχύει Ω = Ω 1 Ω 2... Ω n με int Ω i int Ω j = όταν i j. Για τον ορισμό του αθροίσματος Riemann της f χρειάζεται, επιπλέον, ένα σύνολο σημείων {P 1, P 2,..., P n }, με καθένα P i ( i, i, z i ) να ανήκει στον τόπο Ω i. Ορισμός 5.1 Άθροισμα Riemann της συνάρτησης f : Ω R 3 R ως προς τη διαμέριση D και την επιλογή σημείων {P i }, i = 1,..., n με συντεταγμένες ( i, i, z i ) ονομάζεται το άθροισμα n f( i, i, z i ) V i όπου V i είναι ο όγκος του τόπου Ω i. i=1 Το τριπλό ολοκλήρωμα της f στον τόπο Ω υπάρχει, αν οι τιμές των αθροισμάτων Riemann της f συγκλίνουν σε συγκεκριμένη τιμή, καθώς η λεπτότητα των διαμερίσεων του Ω τείνει στο μηδέν, ανεξάρτητα από τις επιλογές της διαμέρισης και των σημείων {P i }. Ορισμός 5.2 Η συνάρτηση f : Ω R 3 R λέγεται ολοκληρώσιμη στον τόπο Ω, αν υπάρχει I R με την ακόλουθη ιδιότητα: για κάθε ϵ > υπάρχει δ >, τέτοιος ώστε για κάθε διαμέριση D του Ω με λεπτότητα D < δ να ισχύει n f( i, i, z i ) V i I < ϵ i=1 67

72 5. Τριπλά ολοκληρώματα για οποιαδήποτε επιλογή σημείων P i ( i, i, z i ) Ω i. Τότε η τιμή I αποτελεί το τριπλό ολοκλήρωμα της f στον τόπο Ω και συμβολίζεται με I = f(,, z) dv = f(,, z) d d dz Ω Ο τελευταίος συμβολισμός δικαιολογείται από το γεγονός ότι η διαμέριση του Ω μπορεί να προέλθει από τη χρήση επιπέδων παράλληλων προς τα O, Oz, Oz, με αποτέλεσμα καθένας από τους επιμέρους τόπους να έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με όγκο i j z k. Με βάση τα παραπάνω, για τον ορισμό του τριπλού ολοκληρώματος μπορούμε να γράψουμε: Ω f(,, z) dv = lim D Ω n f( i, i, z i ) V i Όπως και στα διπλά ολοκληρώματα, ικανή συνθήκη για να είναι μια συνάρτηση τριών μεταβλητών ολοκληρώσιμη σε έναν τόπο είναι η συνέχειά της στον τόπο αυτό. Αν οι συναρτήσεις f, g : Ω R 3 R είναι ολοκληρώσιμες στον τόπο Ω, ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες: Ω Ω (f + g)(,, z) dv = Ω i=1 f(,, z) dv + g(,, z) dv, Ω [cf(,, z)] dv = c f(,, z) dv, c R, Ω αν μια διαμέριση του Ω αποτελείται από τους τόπους Ω 1,..., Ω n, οι οποίοι μπορούν να έχουν κοινά μεταξύ τους μόνο συνοριακά σημεία, τότε Ω f(,, z) dv = αν f(,, z) στον Ω, τότε και Ω n i=1 f(,, z) dv αν f(,, z) g(,, z) στον Ω, τότε και f(,, z) dv Ω Ω Ω i f(,, z) dv g(,, z) dv αν ισχύει m f(,, z) M στον Ω, τότε mv Ω f(,, z) dv MV Ω όπου V Ω ο όγκος του Ω. Ω Το τριπλό ολοκλήρωμα Ω f(,, z) dv από μόνο του δεν έχει κάποια ιδιαίτερη γεωμετρική ερμηνεία. Στην περίπτωση, όμως, που f(,, z) = 1, τότε διαπιστώνεται ότι: Ω 1 dv = lim D n V i = lim V Ω = V Ω D i=1 68

73 5.2 Επαναληπτικά ολοκληρώματα δηλαδή ο όγκος του τόπου Ω μπορεί να υπολογιστεί μέσω ενός τριπλού ολοκληρώματος: V Ω = Ω dv = Ω d d dz Τέλος, το θεώρημα μέσης τιμής για τριπλά ολοκληρώματα διατυπώνεται ως ακολούθως: Θεώρημα 5.1 Αν μια συνάρτηση τριών μεταβλητών f(,, z) είναι συνεχής στον τόπο Ω R 3, τότε υπάρχει σημείο (,, z ) Ω, τέτοιο ώστε f(,, z ) = 1 f(,, z) d d dz V Ω όπου V Ω ο όγκος του Ω. Ω 5.2 Επαναληπτικά ολοκληρώματα Όπως αναφέρθηκε στην αρχή του κεφαλαίου, ο υπολογισμός τριπλών ολοκληρωμάτων ανάγεται στον υπολογισμό τριών απλών. Ας θεωρήσουμε πως ο τόπος Ω R 3 στον οποίο ολοκληρώνεται η συνάρτηση f αποτελείται από σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο επιφανειών με εξισώσεις z = z 1 (, ) και z = z 2 (, ). Οι επιφάνειες αυτές μπορεί να ακουμπούν η μία την άλλη, χωρίς όμως να τέμνονται. Ο τόπος Ω λέγεται κανονικός κατά z, αν κάθε ευθεία που διέρχεται από ένα εσωτερικό σημείο του τόπου και είναι παράλληλη προς τον άξονα των z τέμνει το σύνορο του τόπου σε δύο το πολύ σημεία. Ένας τέτοιος τόπος απεικονίζεται στο σχήμα 5.1. Έστω τώρα ότι η προβολή του Ω στο επίπεδο O είναι ο τόπος. Τότε μπορούμε να γράψουμε: Ω = {(,, z) : (, ), z 1 (, ) z z 2 (, )} Σε αυτήν την περίπτωση, το τριπλό ολοκλήρωμα της f στον τόπο Ω υπολογίζεται με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος: Θεώρημα 5.2 Αν η συνάρτηση f : Ω R 3 R είναι ολοκληρώσιμη στον κανονικό κατά z τόπο Ω και υπάρχει το ολοκλήρωμα g(, ) d d, όπου η προβολή του Ω στο επίπεδο O και g(, ) = z 2 (,) z 1 (,) f(,, z) dz, τότε το τριπλό ολοκλήρωμα της f στον Ω είναι ίσο με ( ) z2 (,) f(,, z) d d dz = f(,, z) dz d d Ω = d d z 1 (,) z2 (,) z 1 (,) f(,, z) dz Για τον υπολογισμό του διπλού ολοκληρώματος υπάρχουν δύο ενδεχόμενα. Στην περίπτωση που ο τόπος είναι κανονικός κατά, θα περιγράφεται ως ακολούθως: = {(, ) : a b, 1 () 2 ()} 69

74 5. Τριπλά ολοκληρώματα z z z (, ) 2 a O z z (, ) 1 b ( ) 1 (,,) ( ) 2 Σχήμα 5.1: Τόπος Ω κανονικός ως προς z. οπότε θα είναι Τελικά έχουμε: Ω Ω f(,, z) d d dz = f(,, z) d d dz = = b b a d 2 () d 2 () 1 () d a 1 () z 1 (,) b 2 () z2 (,) a 1 () z 1 (,) g(, ) d z2 (,) f(,, z) dz f(,, z) dz d d Βέβαια, ο ενδέχεται να είναι κανονικός κατά, οπότε θα περιγράφεται ως με αποτέλεσμα Ω = {(, ) : c d, 1 () 2 ()} f(,, z) d d dz = = d 2 () d d z2 (,) c 1 () z 1 (,) d 2 () z2 (,) c 1 () z 1 (,) f(,, z) dz f(,, z) dz d d Γίνεται φανερό πως ο τόπος ολοκλήρωσης μπορεί να περιγράφεται με συνολικά έξι διαφορετικούς τρόπους, από τους οποίους οι δύο έχουν ήδη αναφερθεί. Έτσι, αν ο Ω είναι κανονικός κατά (σχήμα 5.2), τότε θα έχει τη μορφή Ω = {(,, z) : k z l, 1 (z) 2 (z), 1 (, z) 2 (, z)} με αποτέλεσμα Ω f(,, z) d d dz = l k 2 (z) dz d 1 (z) 2 (,z) 1 (,z) f(,, z) d 7

75 5.2 Επαναληπτικά ολοκληρώματα z () z (,, z) 2 k (, z) 2 () z 1 O (, z) 1 Σχήμα 5.2: Τόπος Ω κανονικός ως προς. = l k Μια άλλη πιθανή περιγραφή είναι η ακόλουθη: 2 (z) 1 (z) 2 (,z) 1 (,z) f(,, z) d d dz Ω = {(,, z) : a b, z 1 () z z 2 (), 1 (, z) 2 (, z)} η οποία οδηγεί στη σχέση f(,, z) d d dz = Ω = b z2 () d dz 2 (,z) a z 1 () 1 (,z) b z2 () 2 (,z) a z 1 () 1 (,z) f(,, z) d f(,, z) d dz d Η τελευταία περίπτωση είναι αυτή όπου ο Ω αντιμετωπίζεται σαν κανονικός κατά (σχήμα 5.3). Τότε, μία δυνατή περιγραφή του είναι Ω = {(,, z) : c d, z 1 () z z 2 (), 1 (, z) 2 (, z)} οπότε το τριπλό ολοκλήρωμα υπολογίζεται ως f(,, z) d d dz = Ω = d c d c z2 () d dz 1 (,z) z 1 () 1 (,z) z2 () 1 (,z) z 1 () 1 (,z) f(,, z) d f(,, z) d dz d ενώ όταν Ω = {(,, z) : k z l, 1 (z) 2 (z), 1 (, z) 2 (, z)} τελικά ισχύει Ω f(,, z) d d dz = l k 2 (z) dz d 1 (z) 71 2 (,z) 1 (,z) f(,, z) d

76 5. Τριπλά ολοκληρώματα z z z () 2 z z () 1 O c d (, z) 1 (, z) 2 Σχήμα 5.3: Τόπος Ω κανονικός ως προς. = l 2 (z) 2 (,z) k 1 (z) 1 (,z) f(,, z) d d dz Η πιο απλή περίπτωση τριπλής ολοκλήρωσης είναι αυτή που λαμβάνει χώρα σε ένα τόπο με σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, με έδρες παράλληλες προς τα επίπεδα O, Oz, Oz: Ω = {(,, z) : a b, c d, k z l} = [a, b] [c, d] [k, l] Τότε, τα επαναληπτικά ολοκληρώματα έχουν τη μορφή l d f(,, z) dv = Ω = = = = = b k c a d b l c a k b l d a k c d l b c k a b d l a c k l b d k a c f(,, z) d d dz f(,, z) dz d d f(,, z) d dz d f(,, z) d dz d f(,, z) dz d d f(,, z) d d dz Παράδειγμα 5.1: Υπολογίζουμε ακολούθως το ολοκλήρωμα I = 2 z d d dz Ω στον τόπο Ω = {(,, z) : 2, 1, 1 z 2}. Είναι: I = z d d dz = [ ] z d d dz

77 5.2 Επαναληπτικά ολοκληρώματα 1. z Σχήμα 5.4: Ο τόπος ολοκλήρωσης για το παράδειγμα 5.2. = 8 3 = z dz = [ ] z dz [ ] z2 = 2 (4 1) = z d dz = 8 3 Σημειώνεται πως σε αυτήν την περίπτωση, το αποτέλεσμα είναι ίσο με το γινόμενο των τριών επιμέρους απλών ολοκληρωμάτων. Παράδειγμα 5.2: Θα υπολογιστεί στη συνέχεια το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(,, z) = στον τόπο Ω = { (,, z) : 1, 1, z 2 + 2} ο οποίος απεικονίζεται στο σχήμα 5.4. Είναι: I = = = = 1 4 = = dz d d = ( 2 + 2) d d = [ ] 1 d = [z] d d ( 3 + 3) d d [ 2 3 (1 ) 2 + (1 ) 4] d [ 2 3 ( ) + ( )] d ( ) d = 1 4 [ ]

78 5. Τριπλά ολοκληρώματα Σχήμα 5.5: Απεικόνιση των επίπεδων επιφανειών u = σταθ., v = σταθ., w = σταθ. στο χώρο z, μετά την εφαρμογή του μετασχηματισμού. 5.3 Αλλαγή μεταβλητών Έστω μια απεικόνιση από το χώρο uvw στο χώρο z, ο οποίος περιγράφεται από τις εξισώσεις = (u, v, w) = (u, v, w) z = z(u, v, w) Οι παραπάνω συναρτήσεις θεωρούμε πως έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους α τάξης. Επιπλέον, αναφερόμαστε σε απεικονίσεις οι οποίες είναι ένα-προς-ένα. Επιδίωξή μας είναι να διαπιστώσουμε πώς μπορεί να υπολογιστεί ένα τριπλό ολοκλήρωμα σε έναν τόπο του z, μετασχηματίζοντάς το σε ολοκλήρωμα στο uvw. Εφαρμόζοντας το μετασχηματισμό στα σημεία ενός τόπου Ω με όγκο V = u v w και σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, αυτός απεικονίζεται σε ένα καμπυλόγραμμο παραλληλεπίπεδο Ω στο χώρο z (σχήμα 5.5), με όγκο V. Αποδεικνύεται πως για επαρκώς μικρές τιμές των u, v και w οι δυο όγκοι σχετίζονται με μια σχέση της μορφής V (,, z) (u, v, w) V = (,, z) (u, v, w) u v w όπου (,, z) (u, v, w) = u v w u v w z u z v z w η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού. Σε αναλογία με την αλλαγή μεταβλητών σε διπλά ολοκληρώματα, ο μετασχηματισμός των τριπλών ολοκληρωμάτων περιγράφεται ως Ω f(,, z) d d dz = f (u, v, w) (,, z) Ω (u, v, w) du dv dw όπου f (u, v, w) = f((u, v, w), (u, v, w), z(u, v, w)). Δύο από τους πιο συνήθεις μετασχηματισμούς είναι αυτοί που αναφέρονται σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων (σχήμα 5.6), το οποίο είναι ουσιαστικά η επέκταση των πολικών συντεταγμένων σε τρεις διαστάσεις, η θέση ενός σημείου στο χώρο προσδιορίζεται από: α) την απόσταση ρ από τον άξονα των z, β) τη γωνία θ που σχηματίζει 74

79 5.3 Αλλαγή μεταβλητών z P(,, z) z Σχήμα 5.6: Το σύστημα των κυλινδρικών συντεταγμένων. με τον άξονα των η προβολή του ακτινικού ευθύγραμμου τμήματος μήκους ρ στο επίπεδο O και γ) την απόσταση z του σημείου από το επίπεδο O. Η αλλαγή από κυλινδρικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες γίνεται με βάση τις σχέσεις = ρ cos θ = ρ sin θ z = z ενώ για την αντίστροφη μετατροπή χρησιμοποιούνται οι σχέσεις ρ 2 = tan θ = z = z Ένας τόπος Ω σαν αυτόν που απεικονίζεται στο σχήμα 5.7, δηλαδή κυλινδρικού σχήματος με άξονα που συμπίπτει με τον άξονα των z, περιγράφεται με πολύ απλό τρόπο στο κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων: Ω = {(ρ, θ, z) : ρ ρ, θ 2π, z 1 z z 2 } Όπως διαπιστώνεται σχεδόν άμεσα, η εξίσωση ρ = c αντιστοιχεί σε κυλινδρικές επιφάνειες με κυκλική διατομή, η θ = c περιγράφει επίπεδα που περιέχουν τον άξονα των z, ενώ οι εξισώσεις z = c αντιστοιχούν και αυτές σε επίπεδες επιφάνειες, παράλληλες προς το επίπεδο O. Στο σχήμα 5.8 απεικονίζεται η επίδραση του μετασχηματισμού πάνω σε ένα στοιχείο όγκου. Η Ιακωβιανή του συγκεκριμένου μετασχηματισμού είναι: (,, z) (ρ, θ, z) = ρ θ z ρ θ z z ρ z θ z z = cos θ ρ sin θ sin θ ρ cos θ 1 = ρ Επομένως, για τον υπολογισμό ενός τριπλού ολοκληρώματος σε κυλινδρικές συντεταγμένες έχουμε: f(,, z) d d dz = f(ρ cos θ, ρ sin θ, z)ρ dρ dθ dz Ω Ω 75

80 5. Τριπλά ολοκληρώματα z z z z 2 z Σχήμα 5.7: Περιγραφή κυλίνδρου σε κυλινδρικές συντεταγμένες. z z z Σχήμα 5.8: Μετασχηματισμός στοιχείου όγκου σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Παράδειγμα 5.3: Θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ( I = 2 + 2) d d dz Ω όπου ο τόπος ολοκλήρωσης περικλείεται από το παραβολοειδές z = και το επίπεδο z = 1 (σχήμα 5.9). Σε κυλινδρικές συντεταγμένες, για τη συνάρτηση που ολοκληρώνεται είναι = ρ 2, ενώ ο Ω έχει την περιγραφή Ω = {(ρ, θ, z) : ρ 1, θ 2π, ρ 2 z 1} δεδομένου ότι το παραβολειδές παίρνει τη μορφή z = = ρ 2. Επομένως: I = = 1 = 2π = π 6 Ω ρ 3 dρ 1 2π 1 ρ 2 ρ dρ dθ dz = ρ 3 dρ dθ dz ρ 2 2π ( 1 ρ 2 ) 1 ( dθ = 2π ρ 3 ρ 5) dρ [ 1 4 ρ4 1 6 ρ6 ] 1 ( 1 = 2π 4 1 ) 6 76

81 5.3 Αλλαγή μεταβλητών z Σχήμα 5.9: Ο τόπος ολοκλήρωσης για το παράδειγμα 5.3. z P( r,, ) r z Σχήμα 5.1: Το σύστημα των σφαιρικών συντεταγμένων. Από την άλλη πλευρά, στο σύστημα των σφαιρικών συντεταγμένων η θέση ενός σημείου προσδιορίζεται από: α) την απόστασή του r από την αρχή των αξόνων, β) τη γωνία ϕ που σχηματίζει με τον άξονα των z η ακτίνα μήκους r και γ) τη γωνία θ, όπως και στις κυλινδρικές συντεταγμένες (σχήμα 5.1). Η μετατροπή από σφαιρικές σε καρτεσιανές συντεταγμένες γίνεται μέσω των σχέσεων = r sin ϕ cos θ = r sin ϕ sin θ z = r cos ϕ ενώ ο αντίστροφος μετασχηματισμός βασίζεται στις r 2 = z 2 tan θ = z cos ϕ = z 2 Για παράδειγμα, ένας σφαιρικός τόπος Ω με κέντρο την αρχή των αξόνων περιγράφεται με απλό τρόπο στο συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων, Ω = {(r, θ, ϕ) : r r, ϕ π, θ 2π} όπως διαπιστώνεται από το σχήμα Γενικότερα, οι απλές εξισώσεις r = c, ϕ = c και θ = c περιγράφουν, αντίστοιχα, σφαιρικές, κωνικές και επίπεδες επιφάνειες. 77

82 5. Τριπλά ολοκληρώματα Σχήμα 5.11: Περιγραφή σφαίρας με κέντρο το O(,, ) σε σφαιρικές συντεταγμένες. Σχήμα 5.12: Μετασχηματισμός στοιχείου όγκου σε σφαιρικές συντεταγμένες. Ο μετασχηματισμός ενός στοιχείου όγκου σε σφαιρικές συντεταγμένες απεικονίζεται στο σχήμα Η Ιακωβιανή του μετασχηματισμού είναι (,, z) (r, θ, ϕ) = r ϕ θ r ϕ θ z r z ϕ z θ = r 2 sin ϕ = sin ϕ cos θ r cos ϕ cos θ r sin ϕ sin θ sin ϕ sin θ r cos ϕ sin θ r sin ϕ cos θ cos ϕ r sin ϕ οπότε (,, z) (r, θ, ϕ) = r2 sin ϕ δεδομένου ότι ϕ π. Έτσι, για τον υπολογισμό ενός τριπλού ολοκληρώματος σε σφαιρικές συντεταγμένες έχουμε: Ω f(,, z) d d dz = f (r, θ, ϕ) r 2 sin ϕ dr dϕ dθ Ω όπου f (r, θ, ϕ) = f(r sin ϕ cos θ, r sin ϕ sin θ, r cos ϕ) 78