מדריך. Detector. &Control Data Processing
|
|
- Αδελφά Κρεστενίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 300 mv Minutes 4 1. Fucose 2. Galactosamine 3. Glucosamine 4. Galactose 5. Glucose 6. Mannose Downloaded from Shula Levin's WebSite of HPLC and LC-MS מדריך ל- HPLC אין כיום מעבדת מחקר פרמצבטית, ביולוגית או כימית המכבדת את עצמה ללא גישה חופשית למכשיר (High Performance Liquid chromatography) HPLC לשם אנליזה של חומרים שונים. ציור 1 &Control Data Processing Detector Waste a b c d Pump )flows µl/min Auto Sampler HPLC Column in ven Fraction Collector כיום בשלה עד מאוד הטכנולוגיה של,HPLC ולכן כמעט לכל חומר שנמצא בשימוש כלשהו קיימות שיטות אנליזה ספרותיות שניתן ליישמן, אם זה במאמרים בעיתונות המקצועית או בספרי פרוצדורות כמו הפרמקופאיות למיניהן, ולכן בדרך כלל ניתן בקלות להגיע למערכת הכימית הדרושה להפרדה. עם זאת, לעתים קרובות קשה לחזור בדיוק על התוצאות המתוארות בשיטות ספרותיות בשל מגבלות מיכשוריות. יש לזכור כי לא כל מכשיר HPLC מצויד בהכרח בצורה משביעת רצון לכל האפליקציות הקיימות, ולעתים מקור הבעיות הוא בפונקציות חשובות שהיו קיימות במכשיר בשיטה הספרותית ואינן קיימות במכשיר שנבחר ליישום הספציפי. המאמר הנוכחי מנסה לצייד את המשתמשים שאינם מומחים ב- HPLC במספר עקרונות בסיסיים שיעזרו להם בהתמודדות עם מכשיר ה- HPLC המתאים ליישומיהם, כדי להקל על ההתמודדות עם שיטות ספרותיות שקשה לחזור עליהן בהצלחה. המפתח לעבודה נבונה של מכשיר ה- HPLC הוא הכרת העיקרון של התהליך הכרומטוגרפי שבבסיסו של היישום, והבנת הסיבות שעמדו מאחורי בחירת סוג הקולונה, הרכב הפאזה הנעה והגלאים המתאימים. כמובן שההיקף של המאמר הנוכחי אינו מאפשר דיון מעמיק בנושאים אלה, ולשם כך כדאי לעיין בספרים ובמאמרים [11-1]. האיור הבא מתאר בצורה סכמתית מאוד את הסוגים השוניםשל הכרומטוגרפיה, מתוכם נדון רק בנפוצים ביותר. 1
2 ציור 2 Gel Permeation / Size Exclusion Gel / Filtration - GPC / SEC/ GFC IN EXCHANGE Cation Exchange Anion Exchange היפוך פאזות Reversed phase הרוב המוחלט של הפרדות ואנליזות בעזרת HPLC כיום נעשה באופן הכרומטוגרפי mode) (chromatographic שנקרא,Reversed Phase על כן הדיון יתרכז בעיקר בעבודה נכונה של מכשיר HPLC עבור יישומים של אופן זה. לשם כך יש להרחיב את הדיבור מעט על עקרונות האופן הזהשל הכרומטוגרפיה הנוזלית. בשיטת ה- Reversed Phase הפאזות הנחות הארוזות בקולונות (columns) הן מצע הידרופובי, שמורכב בעיקר מגרגרים נקבוביים של סיליקה ג'ל בצורות שונות irregular),(spheric, בקטרים שונים μm) (3, 5, 7, 10 ובקוטר נקבוביות משתנה ) 300,,(60, 100, 150, שעל שטח פניו קשורים כימית פחמימנים שונים (C18,C3).,C4,C8 יש גם מצעים הידרופוביים פולימריים המשמשים כפאזות נחות כאשר יש מגבלות. ph ברובהשיטות הקיימותכיום להפרדת חומרי רפואה משתמשים בקולונות 18-C שנקראות לעתים בשמות מסחריים כמו (octadecylsilane) DS או RP-18. ככל שיש למרכיבי הדוגמאות מאפיינים הידרופוביים רבים יותר הם מתעכבים יותר וכך מתקבלת ההפרדה ביניהם. הפאזות הנעות הן תערובות של מים וממסים אורגניים פולאריים, ברובם המכריע מתנול ואצטוניטריל. התערובות הללו מכילות לרוב תוספים שונים כמו בופרים (אצטאט, פוספאט, ציטראט), ו/או חומרים פעילי שטח (אלקיל-אמינים או אלקיל-סולפונאטים) ו/או תוספים מיוחדים.(EDTA) המטרה בשימוש בתוספים כאלו או אחרים היא הגברת היעילות ו/או הסלקטיביות, ובעיקר השליטה בהשהיית המומסים. 2
3 י" Downloaded from Shula Levin's WebSite of HPLC and LC-MS הגלאים בהם משתמשים ברוב המכריע של העבודה בהיפוך-פאזות הם גלאי,UV-VIS בשנים האחרונות נפוצים יותר ויותר גלאיי מערך דיודות Array),(Diode אך ניתן גם למצוא פה ושם גלאים פלואורסצנטיים, בייחוד באנליזות של דוגמאותביולוגיות וסביבתיות. בתקופה האחרונה עולה בצורה דרמטית השימוש בגלאי ספקטרומטרית מסות כך שהמערכת נקראת: (Liquid LC-MS.chromatography- Mass spectrometry) הגורמים המשפיעים על מידת ההשהיה של מומסים במערכות ה- Reversed Phase הם כדלקמן: א. האופי הכימי של שטח הפנים של הפאזה הנחה שארוזה בקולונה, ב. סוג הממסים הממסים המרכיבים את הפאזה הנעה ויחסי נפחיהם, ג. ph של הפאזה הנעה; ד. החוזק היוני של הפאזה הנעה. כאשר מבינים את אופי השפעתם של גורמים אלה על השהיית המומסים ניתן לשחק בהם כדי להתגבר עלאי ההתאמהשל הפרוצדורה הספרותית לאנליזה הדרושה. א. האופי הכימי של שטח הפנים של הפאזה הנחה פני השטח של האריזה מתוארים באיור הבא. האופי הכימי נקבע על ידי גודל הפחמימן הקשור על פני הסיליקה ג'ל, על ידי מידת הכיסוי שלו Density) (Bonding ביחידות של,μmole/m 2 על ידי איכות וטוהר הסיליקה ג'ל ועל ידי מרכיבים שונים של הפאזה הנעה הספוחים באופן קבוע על פניו. ככלל, ככל שמספר הפחמנים בפחמימן הקשור אל הסיליקה גדול יותר, כן גדלה יכולתו להשהות מומסים אורגניים בתנאי שמדובר באחוז הכיסוי זהה. כלל נוסף הקשור באופי שטח הפנים של הפאזה הנחה הוא, שככל שגדול יותר מידת הכיסוי שלו על ידי הפחמימן, כך גדלה מידת ההשהיה של כל המומסים האורגניים. קולונות נחשבות להידרופוביות יחסית אם מידת הכיסוי עולה על 3. μmole/m 2 ציור 3 Reversed Phase - Stationary Phase Surface Si Si Si Si Si Si R R H Si Si Si Si Al - Si Si H R H Si R H H + H R :NRMAL PHASE R=H :REVERSED PHASE. R= C18; C8; C4; CN; C1 Etc R גורם חשוב באופי של שטח הפנים של העמודות הוא התוספים פעילי השטח, או במינוח המקצועי וצרי זוג-יונים" Reagents).(Ion Pairing אלה הם תוספים כמו אלקיל-אמינים (triethylamine,,(dodecylsulfonate, heptyl, hexyl or octyl sulfonates) או אלקיל-סולפונאטים tetrabutylamine 3
4 הנספחים על פני הפאזה הנחה ההידרופובית ומצפים אותה במטען חיובי (האמינים) או שלילי (הסולפונאטים). בצורה כזאת הם יכולים להשפיע מאוד עלמידת ההשהיהשל מומסים טעונים חשמלית. ב. הרכב הממסים של הפאזה הנעה חוזק ממס (Solvent Strength) ככלל, הממס החלש ביותר בשיטת ה- Reversed Phase הוא גם הממס הפולארי ביותר, המים. הממסים האורגניים הפולאריים האחרים בהם משתמשים נחשבים חזקים ביותר, כאשר סדר חוזק הממס פחות או יותר עוקב אחרי סדר המקדם הדיאלקטרי שלהם, כלומר על פי דרגת הפולאריות שלהם. ככל שהממס שמוסיפים לפאזה הנעה פולארי פחות, הוא נחשב חזק יותר אם משווים יחסים זהים בין נפחי הממסים, ולכן גם יזרז יותר את זמן היציאהשל המומסים. ג. ph של הפאזה הנעה כאשר מדובר בדוגמאות המכילות מומסים בעלי קבוצות פונקציונליות מיוננות, כמו אמינים, קרבוקסילים, פוספאטים, פוספונאטים, סולפאטים וסולפונאטים, ניתן לשלוט בדרגן היינון של הקבוצות הללו בעזרת שימוש בבופרים בפאזה הנעה. קבוצות קרבוקסיליות במומסים מקבלות מטען יותר ויותר שלילי ככל שה- ph של הפאזה הנעה עולה מעל ל- pka שלהן, ואז הן הופכות את כל המולקולה לפולארית יותר. כלומר, העלאת ה- ph של הפאזה הנעה מעל = 5-4 ph (שהוא תחום ה- pka המקובל לקבוצות קרבוקסיליות) מורידה אתמידת ההשהיהשל חומרים המכילים קבוצות קרבוקסיליות, והפוך, שימוש בפאזה ענה ב- ph נמוך מ- 4 יגביר את ההשהיה שלהם. לעומת זאת, חומרים המכילים קבוצות פונקציונליות בסיסיות כמו אמינים, שתחומי ה- pka שלהם מעל 8, יתעכבו יותר ויותר ככל שיעלה ה- Reversed Phase של הפאזה הנעה, ויתקרב ל- 8. מאחר ובדרך כלל אסור להשתמש בעמודות ph בפאזות נעות בעלות ph גבוה מ- 8 והשליטה על מידת ההשהיה של אמינים בתחום זה היא מוגבלת. ד. חוזק יוני של הפאזה הנעה החוזק היוני של הפאזה הנעה נקבע על ידי ריכוזי התוספים (כמו בופרים ומלחים) וגם הוא יכול להשפיע על חוזקה של פאזה זו כממס לפי השפעתה על מסיסות המרכיבים של הדוגמא. כאשר מערבבים ממסים שונים עם מלחים המרכיבים את הבופרים, יש להיזהר משימוש בחוזק יוני גבוה מ- 0.1 M במלחים אורגניים (כמו אצטאט וציטראט) או 0.01 M במלחים אי-אורגניים (כמו פוספאט) בשל שקיעת מלחים במשאבה, בצנרת ובעמודה ולהרבות בתקלות במכשיר אם אינו מצוייד בשטיפת אטמים wash) (Seal מיוחדת למקרים כאלה. יישומים 1.1 Reversed phase Pharmaceutical Assay המכשירים המתאימים לבדיקות של ריכוז החומר הפעיל בחומרי גלם רוקחיים או בתכשירים רוקחיים הם בדרך כלל פשוטים יחסית, מאחר ושיטות הבדיקה אינן דורשות עבודה בגרדיינטים של 4
5 ממסים או סף גילוי נמוך במיוחד. לעומת זאת, המכשיר חייב בהחלט לעמוד בעומס עבודה רב ביותר ולהיות מדוייק מאוד מבחינת נפחי ההזרקה כדי לקבל תשובות מהימנות של ריכוזים, משום שהמבחניםשלדיוק התשובה הכמותית הםמחמירים מאוד בתעשייההרוקחית. כאשר נדרשות בדיקות לעקבותשל זיהומים profile) (Impurity או חומרי פירוק (Degradation HPLC בחומרי הגלם או בתכשירים הרוקחיים אזי הדרישות לרמת הביצוע של מערכת ה- products) עולות באופן משמעותי. קודם כל בבדיקות מעין אלו יש לעתים קרובות צורך בשימוש בגרדיינט ממסים, כדי להפריד את החומר הפעיל מהזיהומים ומחומרי הפירוק. השימוש בגרדיינט כרוך בערבוב באחוזים משתנים של ממסים בעלי צפיפות, צמיגות ודחיסות שונים, ולכן נדרשת משאבה ברמה גבוהה של דיוק, לשם השגת חזרה טובה של זמני השהייה (1% <,(RSD דבר שנועד לזהות בבטחה את החומרים בריכוזים הנמוכים. האיור הבא מראה שני מצבים, קבוצת הכרומטוגרמות בציור 3a מראה את החזרה הטובה כאשר הגרדיינט מתבצע בדיוק גבוה, ואילו ציור 3b מראה את חוסר החזרה על זמני ההשהיה כאשר יש אין דיוק רב בגרדיינו. בנוסף לכושר הביצוע של המכשיר בגרדיינטים, נדרש סף גילוי נמוך ככל האפשר, כדי שניתן יהיה לבצע אנליזה כמותית לחומרים בריכוזים נמוכים מאוד. לשם כך נדרשת פעולה חלקה מאוד של המשאבה וגלאים יציבים מאוד לקבלת מינימום רעש רקע. גלאי ה- UV-VIS חייב להיות רגיש מאוד ובעל יציבות גבוהה של הסיגנל שלו, משום שהעבודה דורשת רמת רגישות גבוהה מאוד של המערכת. ציור 4 verlay of Chromatograms AU a AU min 4. b Minutes אנליזה של חומרי פירוק פרמצבטיים מחייבת עבודה עם גלאיי מערך דיודות, בשל הצורך לוודא שבמהלך התפרקות החומרים הפעילים לא מתקבל חומר זר שזמן ההשהיה שלו בכרומטוגרמה חופף לזה של החומר הפעיל לו עושים אנליזה. כאשר קורה מקרה כזה האנליזה של החומר הפעיל אינה מהימנה, ובתעשייה הרוקחית בעיות מהימנות של ריכוזי חומרים פעילים הן חמורות ביותר. כדי לוודא שאין חומר זר חופף לפיק הראשי של החומר הנבדק יש צורך באנליזה ספקטרלית של הפיקים בכרומטוגרמה, שכוללת התאמת ספקטראות לספרית סטנדרטיםבעלי ניקיון גבוה, וביצוע מדידות של 5
6 ניקיון הפיק Purity).(Peak כאשר נדרשת אנליזה ספקטרלית חשוב לוודא שהגלאי רגיש מספיק כדי שיוכל לגלות ריכוזים נמוכים של אי-נקיונות שעלולים להיות נוכחים בתוך הפיק הראשי. כמו כן יש לוודא שעובדים ברזולוציה ספקטרלית הגבוהה ביותר band-pass) נמוך) שבה שהרעש לא יפריע מדי להשוואה בין חומרים בעלי ספקטרום UV-VIS דומה מאוד. דבר חשוב ביותר לשים לב הוא הצורה בה התוכנה מבצעת מדידת ניקיון הפיק כראוי. חשוב שהתוכנה תהיה מסוגלת לבדוק נקודות רבות ככל האפשר על פני הפיק כך שתצליח לגלות עד כמה שניתן נוכחות חומרים זריםבפיקים הנבדקים. ברוב המכריע של המכשירים עמם עובדים בתעשייה הרוקחית כדאי לוודא שקיימת בתוכנה אופציה מובנית של חישובי "תאימות המערכת",System Suitability בהם נבדקים הקריטריונים המספריים לרמת הביצוע של מערכת ה- HPLC שכוללים פקטור הרזולוציה, פקטור האסימטריה, מספר פלטות תיאורטיות וכו' (ראה ספרות 11-1). ללא בדיקות מקדימות של קריטריונים אלה לא נערכת אנליזה פרמצבטית ראויה לשמה. 1.2 Reversed phase Amino Acids אנליזה של חומצות אמיניות נעשית ברוב המכריע של השיטות בעזרת גרדיינט ממסים בפאזה הנעה. החומצות האמיניות מזוהות על פי זמני ההשהיה שלהן בדרך כלל, לכן חשוב לוודא שרמת הביצוע של המכשיר בעבודה בגרדיינטים היא גבוהה במיוחד, ושוב, הציור הקודם מדגים את הבעיתיות בגרדיינט בביצוע נמוך. מאחר והחומצות האמיניות הן חסרות כרומופורים (קבוצות פונקציונליות בולעות קרינת,(UV-VIS נהוג להרכיב עליהן נגזרות בולעות קרינת UV-VIS או פולטות קרינה פלואורסצנטית בייחוד בדוגמאות ממקורות ביולוגיים. מסיבה זו כדאי לוודא שמערכת שנועדה לאנליזה של חומצות אמיניות תכלול גם גלאי פלואורסצנטי וגם גלאי בליעת אור. בדרך כלל העבודה על חומצות אמיניות הינה כמותית, לכן כדאי שהתוכנה תתמודד בקלות עם הגדרת המומסים אחד אחר השני לפי זמני ההשהיה שלהם, ותבצע בקלות ובמהירות כיול כמותי של החומצות האמיניות, ובעזרת גרפי הכיול תבצע חישובים כמותיים על כל אחת ואחת מהחומצות האמיניות תוך דיווח ברור על התוצאות. יש לזכור שיש בסביבות 20 גרפי כיול על כל הרצת סטנדרט, דבר שעלול להכביד מאוד על תחנת עיבוד נתוניםשאינהבעלתכוח מיחשובמספיק Reversed phase Peptides and Proteins אנליזה של פפטידים וחלבונים כרוכה בשימוש כמעט מוחלט בשיטות הכוללות גרדיינט ממסים בפאזה הנעה. בדרך כלל הממסים הם מים:אצטוניטריל המכילים 0.1% TFA כאשר % האצטוניטריל עולה בהדרגה. מסיבה זו גם ביישומים אלה של Reversed phase יש לשים לב לרמת ביצוע גבוהה של דיוק בערבוב הממסים שמתבטאתבדיוקבזמני השהייה, שוב, החשיבות נובעתמהזיהוישל המומסים על פי זמני ההשהיה שלהם (שוב, איור 3 מדגים את החשיבות הזאת). כמו כן יש לעתים חשיבות לשמירת הטמפרטורה של הקולונות בשל השינויים בקונפורמציות של הממומסים כתוצאה משינויי טמפרטורות, לכן חשוב שהמכשיר יכלול תנור לקולונות. כאשר מדובר בדוגמאות ביולוגיות, לעתים יש מגבלות על נפח הדוגמא או שהמומסים נמצאים בריכוזים נמוכים ביותר, לכן יש חשיבות לרגישות 6
7 של המערכת לריכוזים נמוכים, כלומר חשוב לוודא שניתן להשיג סף גילוי נמוך מתאים לריכוזים הביולוגיים. כאשר יש מגבלות על נפח הדוגמא יש לוודא שהדוגם מסוגל להזריק נפחים קטנים מאוד בדיוק גבוה ללא צורך בהיערכות מיוחדת (כמו למשל החלפת לולאות הזרקה באופן תדיר). לעומת זאת, לעתים קרובות יש צורך דווקא להזריק נפחי דוגמא גדולים מאוד בתנאי גרדיינט התחלתיים כדי להעשיר את הכמות של הפפטיד או החלבון הספציפי בדוגמא, ואז יש צורך דווקא בנפחי לולאה גדולים בעמדת ההזרקה, כך שייתכן מצב בו קיימות שתי דרישות סותרות במכשיר HPLC אחד, מצד אחד נפחי הזרקה שלמיקרוליטרים בודדים, ומצד שני נפחי הזרקה של מעל ל מ 1 "ל Reversed phase Food אנליזה של מזון כוללת בדיקות פחמימות, ויטאמינים, שומנים וכו'. מערכת HPLC העומדת לרשות מעבדה העוסקת בבדיקות מזון זקוקה בדרך כלל לגמישות בהרכבה. לאנליזה של פחמימות נדרש גלאי מקדם שבירה (ראה להלן עבודה ב-,(GPC לאנליזה של ויטאמינים מסיסי מים או מסיסי שומן וכן גם לאנליזה של שומנים (שדורשים נגזרות בולעות קרינת אור או פולטות קרינה פלואורסצנטית) דרושים גלאים UV-VIS או פלואורסצנטיים. לעתים קרובות נדרש לעבוד בגרדיינט ממסים בפאזה הנעה, על כן גם במקרה זה רצוי לוודא שהמערכת מתפקדת היטב בעבודה בגרדיינט Reversed phase - Environmental יישומים סביבתיים של Reversed phase כוללים בדיקות של רעלים כמו פחמימנים ארומטיים רב- טבעתיים hydrocarbons),(polycyclic aromatic חומרי הדברה herbicides),(pesticides and ושאריות חומרי נפץ. בדרך כלל מדובר במערכות בהן יש צורך בסף גילוי נמוך מאוד, לכן רצוי שהמשאבות יתנו זרימה חלקה מאוד, והגלאים יהיו בעלי אופטיקה חסרת רעש. לעתים קרובות נדרש במערכות אלה גלאי פלואורסצנטי לפחמימנים הארומטיים הרב-טבעתיים ולחומרים עליהם מרכיבים נגזרות פלואורסצנטיות להגברת רגישות הגילוי. לעתים נדרשת פעולת העשרה של החומרים המועמדים לאנליזה בשל הריכוזים הנמוכים של הדוגמאות, לכן נדרשות לולאות הזרקה בנפח גדול במיוחד המזרימות דרך הקולונה נפחים גדולים בתנאי הפרדה התחלתיים כאלה שהדוגמא מועמסת על הקולונה ורק אחר כך משנים את הפאזה הנעה לשם ההפרדה, הגילוי והכימות..2 כרומטוגרפיה יונית - Chromatography Ion בסוג הזה של כרומטוגרפיה נוזלית מפרידים חומרים יוניים בתמיסות מימיות ממקורות סביבתיים, תעשייתיים וביולוגיים, כיום היישום הוא בעיקר לאניונים אי-אורגניים. הקולונות בהן משתמשים ארוזות בצינורות בקוטר של 4- מ 9 "מ ובאורך של 30-5 ס"מ. קוטר חלקיקי האריזה בדרך כלל נע בין 10-5 מיקרון. האריזה בנויה ממצע של סיליקה ג'ל או פולימרים, לכן היא מסוגלת לעמוד בלחצים גבוהים יחסית. על פני שטח האריזה של הקולונה קשורות קבוצות פונקציונליות מיוננות חיובית (אמינים) או שלילית (סולפונאטים או קרבוקסילים), כמתואר באיור 2, אליהן קשורים יונים נגדיים 7
8 לאיזון חשמלי, למשל - H הוא יון נגדי לאמינים ו- Downloaded from Shula Levin's WebSite of HPLC and LC-MS H + הוא יון נגדי לקרבוקסילים והסולפונאטים. כאשר נכנסים מומסים טעונים שלילית אל הקולונה שעל פניה קשורות קבוצות אמיניות הם יוצרים ככל שצפיפות מטענם גדולה עמן קשר יוני תוך כדי החלפת היונים הנגדיים במהלך נדידתם בקולונה. יותר הם מתעכבים יותר וכך מושגת ההפרדה ביניהם. ph קיצוניים, אך יש להן נטייה לתפוח או הקולונות הפולימריות מסוגלות לעמוד בתנאי לעומתן קולונות מחליפי יונים להצטמק לפי הרכב הפאזה הנעה, והן רגישות יותר ללחצים גבוהים. ph קיצוניים, בהם יש צורך המבוססות על סיליקה עמידות בלחצים גבוהים, אך הן רגישות לתנאי לגלאים שימוש יש גם אך מוליכות, גלאיי הנם ביותר הנפוצים הגלאים קרובות. לעתים גלאי המוליכות מודד כל הזמן את מוליכות אלקטרוכימיים וספקטרוסקופיים בחלק מהשיטות. הפאזה הנעה, וכאשרמופיעיםמומסיםבעלימוליכות שונהמהפאזההנעה מתקבלסיגנל. הסיגנל הוא חיובי, אם מוליכותם גבוהה מזו של הפאזה הנעה, או שלילי אם היא נמוכה ממנה. מאחר והפאזות ph קיצוניים, לעתים ולערכי הנעות מורכבות בדרך כלל מבופרים, שיכולים להגיע לריכוזים גבוהים יש צורך להשתמש באביזרי Suppression ליונים, משום שאז מוליכות הפאזה הנעה גבוהה מאוד, וקשה לקבל סיגנלים ניתנים לכימות מהמומסים ללא ה-.Suppressors מערכת ה- HPLC המתאימה לסוג זה של כרומטוגרפיה היא לעתים קרובות אל-מתכתית בכל חלקיה, או בנוייה ממתכת אל-חלד אינרטית או טיטניום באיכות טובה, כדי שתוכל לעמוד בתנאים קיצוניים המערכת חייבת להיות מסוגלת לבצע גרדיינטים, משום שמקובל של חומצה ובסיס בפאזה הנעה. להשתמש ביישומים רבים בשינוי הדרגתי של ה- ph או בהעלאה הדרגתית של החוזק היוני של הפאזה שנקרא יונית לכרומטוגרפיה מיוחד אביזר כלל בדרך לכלול עשויה המערכת כן כמו הנעה. Suppressor שנדרש לעיתים קרובות כאשר משתמשים בגלאי מוליכות בשילוב עם פאזות נעות ממוקם בין הקולונה לגלאי והוא משפיע על הסיגנלים המתקבלים ה- Suppressor מוליכות מאוד. פעולתו נועדה לדכא את המוליכות של הפאזה הנעה (מכאן המונח מהמומסים לאחר ההפרדה. (suppression כך שלא תרווה את תגובת הגלאי, ו/או לשנות את המומסים היוניים כך שמוליכותם תעלה לפני שהם מגיעים אל גלאי המוליכות. גלאי המוליכות מכיל בתוכו מערכת תאי מדידה למוליכות, התלויה מאוד בחוזק היוני של התמיסות העוברות דרכה ובטמפרטורה, לכן חשוב לוודא שתכנונו של הגלאי הוא ברמה טובה שתמנע רגישות גבוהה מדי לטמפרטורת הסביבה, וכן חשוב שמערכת העברת הממסים של מכשיר ה- HPLC תהיה יציבה מאוד. בדרך כלל נהוג לייחד מערכות HPLC לאנליזה של יונים, כלומר הן,dedicated בשל הכימיה המיוחדת שלהן, אך ניתן בהחלט לבנות מערכת עבור אנליזה של יונים מחיבור בין HPLC "רגיל" עם אולם במקרה זה יש לזכור שגלאי המוליכות רגיש ביותר לנוכחות גלאי מוליכות ועם.Suppressor עקבות של ממסים אורגניים וחייבים לקיים פרוצדורות שטיפה זהירות ביותר במעבר בין היישומים השונים של ה-.HPLC 8
9 Gel Permeation Chromatography (GPC) ניפוי לפי - גודל סוג זה של כרומטוגרפיה נועד להפריד חומרים גבוהי משקל מולקולרי בעזרת קולונות עשויות מג'ל מיוחד שמסנן אותם לפי גודלם, כמתואר באיור 2. קולונה טיפוסית היא בעלת אורך של ס"מ וקוטר של 10-4 מ"מ עם אריזות בקוטר של 10-5 מיקרון וארוזה בג'ל מיוחד בעל נקבוביות גדולות מאוד. אריזת הקולונות משמשת כמעין נפה להבחנה בין מולקולות על פי גודלן. קוטר נקבוביות האריזה קובע איזה תחום משקלים מולקולריים תפריד הקולונה. כדי להרחיב את תחום המשקלים המולקולריים הניתנים לאנליזה מנמוכים מאוד עד לגבוהים מאד נהוג לעתים קרובות להשתמש במערך של קולונות בעלות אריזה בנקבוביות בגדלים שונים. כאשר מדובר בפולימרים בעלי פעילות ביולוגית, בדרך כלל הפאזות הנעות הן מימיות, ואילו כאשר מדובר בפולימרים מסונתזים וחומרים פלסטיים הפאזות הנעות בדרך כלל הינן אל-מימיות. בדרך כלל מטרת ההפרדה היא לקבוע משקל מולקולרי, או יותר נכון פיזור המשקל המולקולרישל המומסים distribution).(molecular size הגלאים בהם משתמשים הם בעיקר גלאיי מקדם שבירה: (RI),Refractive Index בשל העובדה שפולימרים ביולוגיים כמו פוליסאכרידים, או פולימרים אורגניים תעשייתיים הם חסרי כרומופורים ב-,UV אך נותנים תגובה טובה ורגישה מספיק בגלאי מקדם שבירה. כדי לקבוע פיזור משקל מולקולרי של מומסים חייבים קודם לכן לכייל את המערכת בעזרת חומרים סטנדרטיים שמשקלם המולקולרי ידוע, כמתואר באיור הבא. הכיול נעשה כך שבונים גרף כיול שמקשר את זמני ההשהיה של קבוצת הסטנדרטים למשקלם המולקולרי. לאחר שקשר זה ידוע, ניתן להזריק למערכת חומרים שאינם ידועים ולקבוע את משקלם המולקולרי לפי זמני ההשהיה שלהם. Creation of a Calibration Curve K 500 K 250 K 100 M1 Polymer distribution K 25 Narrow standards Log Mw M1 K500 K250 K100 K25 Calibration curve Elution Time or Volume 9
10 התשובה הסופית ניתנת בדרך כלל ב"פיזור המשקל המולקולרי" שהוא בעצם פונקציה המתארת את הכמות היחסית של כל משקל מולקולרי, והיא ניתנת כמערך של המומנטים של הפיק המתאר את הפיזור הזה: 1st Moment = Mn (Number Average) 2nd Moment = Mw (Weight Average) 3rd Moment = Mz (Z Average) 4th Moment = Mz+1 (Z+1 Average) Mw/Mn = Polydispersity מומנטיםאלה הם בעצם מספרים המאפיינים את הפולימרים מבחינה פיזיקלית. מאחר וזמני ההשהיה במכשיר כזה חייבים להימדד במדויק, ומחשבים מהם משקל מולקולרי, יש חשיבות רבה מאוד לרמת הביצועים של מכשיר ה- HPLC בשמירה על קצב זרימה קבוע ומדוייק. זמני ההשהיה מתייחסים ל-,log MW כלומר, בתנאים מסוימים שינוי ב- %1 של קצב הזרימה יעלה או יוריד עד כ- %10 מהמשקל המולקולרי של המומס. אחת הדרכים המקובלות להתמודד עם אי- דיוקים של משאבות ה- HPLC בעבודה עם GPC היא שימוש בחומרי ייחוס שנותנים פיק ייחוס Peak).(Reference בוחרים חומר שמופיע בסופה של הכרומטוגרמה ונותן אפשרות לנרמול של זמן ההשהיה. אולם יש לזכור שאין זה בהכרח פתרון מוצלח, משום שחוסר דיוק בקצב זרימה יכול לבוא לידי ביטוי לאורך זמן ההרצה של הכרומטוגרמה, והנרמול הזה רק משפר את המצב, לא בהכרח פותר את הבעיה לגמרי. בנוסף לכך, יכול לקרות מצב בו תהיה חפיפה בין פיק הייחוס לבין פיקים של חומרים בעלי עניין מהדוגמא שעברו Total penetration בשל העובדה שמשקלם המולקולרי נמוך. העבודה עם גלאי מקדם השבירה (RI) אינה דומה כלל וכלל לעבודה עם גלאי UV-VIS הנפוצים יותר. גלאי זה מצויד בשני תאי זרימה, אחד לפאזה הנעה שמשמשת כייחוס ואחד לדוגמאות. איפוס הגלאי נעשה על מקדם השבירה של הפאזה הנעה כאשר היא ממלאת את שני התאים, של הייחוס ושל הדוגמא. כאשר מגיע מומס אל תא הזרימה של הדוגמא הוא משנה את מקדם השבירה וגורם להופעת סיגנל חיובי או שלילי, תלוי אם הוא מעלה או מוריד את מקדם השבירה. מאחר ומקדם השבירה רגיש ביותר לטמפרטורה חשוב מאוד להקפיד שהגלאי מצויד באמצעים שונים לשמירהטובה של טמפרטורת תאי הזרימה. בדרךכללאחת הסיבות הנפוצותביותר לחוסר היציבות של גלאים אלה (שמתבטא ב- Noiseשלקו and drift הבסיס - (baseline היא המבנה הלוקה בחסר של אמצעי השמירה על הטמפרטורה. כמו כן יש לוודא שהקולונות נמצאות בתנור השומר על הטמפרטורה, ומצויד באלמנטמחליף חוםכדי שהתהליךכולו יתרחש בטמפרטורה אחידה. שיקול חשוב מאוד בשימוש במערכת HPLC המיועדת לעבודה ב- GPC הוא היכולת של התוכנה להתמודד עם הצרכים המיוחדים של המדידות. קודם כל היכולת לנרמל את זמני ההשהיה לפי פיק הייחוס, דבר שני, היכולת להגדיר סטנדרטים כסטנדרד צר או רחב: Narrow standards או Broad,standards כאשר מסטנדרדים צרים נלקח רק ערך יחיד של משקל מולקולרי ומסטנדרד רחב ניתן לקחת פיזור שלם של משקלים מולקולריים ליצירת גרף הכיול. כמו כן התוכנה צריכה להיות מסוגלת לתת תשובות של משקל מולקולרי יחיד לנעלם בעל משקל מולקולרי יחיד Unknown) (Narrow או 10
11 לתת תשובות של פיזור משקל מולקולרי לנעלמים בעלי אוסף של משקלים מולקולריים (Broad.unknown) בדרך כלל אין צורך לייחד מערכת לעבודה ב-,GPC אך יש לזכור שהשימוש לסירוגין בשני יישומים שונים כמו למשל GPC ו- Reversed phase אינו כל כך פשוט וכדאי לבחור מערכת שעוברת בקלות מממסים מימיים לאל-מימיים, רצוי לוודא למשל שבוכנות המשאבה נשטפות מבחוץ על ידי Reversed phase כך שלא יישארו במשאבה שאריות של מלחים מעבודה בבופרים ב-,Seal wash במעבר לממסים האל-מימייםשל,GPC אחרת הבוכנות ניזוקות בקלות יחסית. יש לזכור שמערכת GPC דורשת סבלנות עוד גדולה יותר מאשר Reversed phase משום שזמני ההתייצבות של גלאי מקדם השבירה ושלהקולונות ארוכים יותר, וכן זמני האנליזהבשימוש בקולונות בטור עלולים להיות ארוכים הרבה יותר מהמקובל ב-.Reversed phase בעבודה עם GPC אין אפשרות לקצר בשום צורה שהיא את זמני האנליזה בשל עקרון ההפרדה של ניפוי על סמך גודל. החישוב הוא כ- 15 דקות לכל קולונה בקצב זרימה של 1 מ"ל לדקה, כלומר, אם משתמשים בשלוש קולונות זמן ההרצה הוא בערך 45 דקות ללא קשר עם הרכב הפאזה הנעה. כרומטוגרפיה כיראלית Chiral Separations בסוג זה של כרומטוגרפיה מפרידים איזומרים אופטיים זה מזה ישירות, ללא צורך בהרכבת נגזרות כיראליות עליהם כדי להפוך אותם לדיאסטראומרים שניתן להפרידם בכרומטוגרפית היפוך פאזות. הקולונות בהן משתמשים הן כיראליות בעצמן, כלומר על פני השטח שלהן נמצא חומר שהוא איזומר אופטי בעצמו, שנותן סביבה כיראלית לאיזומרים האופטיים. כאשר מגיע זוג איזומרים אופטיים לקולונה כזאת, אחד מהם נקשר טוב יותר (באופן זמני תוך כדי החלוקה) אל פני השטח בשל "הכרה כיראלית" מאשר השני, ולכן הם יוצאים מהקולונה בזמנים שונים. יש לזכור כי שני האיזומרים האופטיים הנם בעלי תכונות פיזיקליות זהות לגמרי כל עוד אינם נמצאים בסביבה כיראלית, ולכן ספקטרום UVאוספקטרום המאסותשלהם, בהגיעםאל הגלאי, הוא זהה לחלוטין. יש מבחר גדול מאוד של סוגי קולונות כיראליות,(ref) וקשה מאוד לחזות מראש איזו קולונה ואילו פאזות נעות יתאימו למומסים להם דרוש אנליזה. חלק גדול מההפרדות הכיראליות נעשה בממסים אל מימיים שאינם מתערבבים במים, ולכן בדרך כלל רצוי לייחד מכשיר להפרדה זו, בשל הסרבול של המעבר בין ממסים מימיים ובופרים לבין ממסים אל מימיים הלוך וחזור. אם בלתי ניתן לייחד באופן מוחלט מכשיר ליישום כיראלי, חשוב לבחור מכשיר HPLC בו המעבר הזה אינו מסורבל (ראה האמור לעיל במערכות (GPC ובנוסף על כך המכשיר צריך להתמודד בקלות עם עבודה בממסים אל מימיים מבחינת ערבובם במשאבה והזרקת נפחים באופן מדויק. יש לזכור שכשם שקשה למלא פיפטה רגילה בממסים אורגניים בצורה מדויקת מאוד, כך גם קשה לדוגמים האוטומטיים או הידניים לדייק בנפחים כאשר עובדים עם ממסיםבעלי צמיגות נמוכה מאוד. מאחר והספקטראות של שני האיזומרים האופטיים הם זהים לחלוטין, רצוי מאוד להשתמש בגלאי UV-VIS מסוג של מערך דיודות. בגלאי זה ניתן לזהות מייד מי הם האיזומרים האופטיים 11
12 מתוך כל הפיקים המתקבלים בכרומטוגרמה. מאחר והאיזומרים האופטיים נותנים תגובה שונה (הפוכה זה מזה) בפולרימטרים, קיימים גלאים כיראליים מסחריים שמנצלים תכונה זו, והם בעצם מעין פולארימטרים מקוונים. הגלאים הללו הוכיחו הצלחה מוגבלת ביותר והנם יקרים במיוחד, לכן לא זכו לשימוש נרחב. Narrow Bore Columns בשנים האחרונות גברה הנטייה לעבור לשימוש בקולונות בעלות קוטר חלקיקים קטן של האריזה וקוטר הצינור ממנו בנוייה הקולונה קטן יותר ויותר. מקוטר צינורות של 4.6 מ"מ ירדו הצינורות ל- 1 מ"מ קוטר. הורדת קוטר הקולונה גורם לעלייה של הלחץ, ולכן גם אורכן של הקולונות ירד מ- 25 ס"מ אורך טיפוסי ל- 10 ס"מ ופחות. השימוש בקולונות ממוזערות גורם לכך שניתן לעבוד בזמנים קצרים יותר ולחסוך בכמויות משמעותיות של ממסים כאשר כושר הביצוע של ההפרדה נשמר ואפילו משתפר. אלא שקיימות מספר בעיות במעבר לעבודה עם קולונות בקוטר צר. קודם כל הנפח הפנימי של קולונה כזאת יורד מאוד יחסית לנפחי הצנרת המחברת אותה אל המזרק ואל המשאבה, דבר שמעלה את הרחבת הפיקים שנובעת מ-.Extra-column band broadening מהסיבה הזאת יש לוודא שהנפח מחוץ לקולונה בצינורות הדוגם ובצנרת המחברת אל הגלאי לא יתרום להרחבה מיותרת של הפיקים ויוריד את רמת ביצועי הקולונה. דבר שני, יש להשתמש בנפחי הזרקה נמוכים מאוד כדי למנוע עומס היתר על הקולונה. מסיבה זו יש לוודא שהמכשיר מסוגל להתמודד עם הזרקת נפחים קטנים בדיוק גבוה. לבסוף, גם תא הגלאי האנליטי חייב להיות "מיקרוסקופי", נפחו חייב להיות קטן ככל האפשר ללא הרעה ברגישות הסיגנל, אחרת גם הוא ירחיב מאוד את השיאים וישחית את הישגיה של הקולונהבהפרדה. Scaling up preparative chromatography גימלון - כרומטוגרפיה פרפרטיבית: הצורך להשתמש ב- HPLC לשם ניקוי חומרים, או בידוד חומרים מתוך תערובות מורכבות, מצריך שימוש במערכות פרפרטיביות או סמי-פרפרטיביות. במערכות אלה משתמשים בקולונות בקוטר של החל מ- 10 מ"מ ועד מעל ל- 54 מ"מ באורך של 25 עד 50 או יותר ס"מ, הארוזות עם חלקיקים בקוטר שנע בין מיקרון. השיקולים לעבודה של מערכת HPLC מתאימה לעבודה פרפרטיביתאו סמי-פרפרטיבית הם שונים לגמרי מאלה של מערכת אנליטית. המטרה החשובה ביותר במערכת פרפרטיבית היא קבלת חומר נקי ככל האפשר בזמן קצר ככל האפשר תוך הוצאות מעטות ככל האפשר. נושאים כמו צורת פיקים נכונה למען כימות, דיוק גבוה מאוד בזמני השהייה לשם זיהוי נכון, רגישות גבוהה למען גילוי עקבות כמעט ואינם קיימים. ממילא החומר הנאסף נבדק בהמשך בעזרת מערכת אנליטית. המשאבות במערכת פרפרטיבית חייבות לעבוד בקצבי זרימה גבוהים מאוד (עד ליטרים לדקה) וכדאי לוודא מראש שהמערכת תעמוד בלחצים שיתקבלו בעבודה בקצבי זרימה גדולים בקולונות שנבחרו לעבודה הפרפרטיבית. במקרים רבים החשיבות של החזרה על זמני ההשהיה אינה כה גורלית כמו במערכת אנליטית, ובוודאי לא הרגישות של הגילוי. לעומת זאת חשוב שהגלאי יהיה בעל תחום 12
13 דינאמי רחב מאוד שניתן יהיה לגלות בכרומטוגרמה אחת ריכוזים גבוהים עם נמוכים בעת ובעונה אחת. חשובה גם הגמישות והקלות של הזרקת נפחים גדולים של דוגמאות, ובהפרדות קשות במיוחד חשוב שתהיה האפשרות לבצע מיחזור (recycling) בתנאים איזוקרטיים, כדי להעביר את הדוגמא המופרדת שוב ושוב דרך הקולונה ולהאריך אתמסלול ההפרדה, במטרה לשפר את ההפרדה. Specifications - התייחסות נכונה לספציפיקציות ספציפיקציות (Specifications) של מערכת HPLC הן מערך של תוצאות מדידות של היצרן שלה, שנותן את רמת הדיוק והמהימנות של מרכיבים שונים שלה. מספרים אלה מחייבים את היצרן ומשמשים בדרך כלל להבדלה של מכשירים זה מזה בכושר הביצוע שלהם. כאשר נגשים לבחור מערכת HPLC מתאימה ליישום ספציפי, ויודעים כבר אילו פונקציות הן חשובות מאוד לביצוע העבודה, כדאי לבדוק את רשימת הספציפיקציות של מרכיבי המכשיר הרלוונטיים, כדי לוודא שהפונקציות המסוימות הללו ניתנות אכן לביצוע בצורה משביעת רצון. לדוגמא, לפני עבודה על עקבות של חומרים להם דרושה רגישות גבוהה מאוד של גילוי, כדאי לוודא את הספציפיקציה לרעש בגלאי שנותן היצרן של המכשיר. היצרן חייב כמובן לספק את תנאי הבדיקה שנעשתה, משום שכדאי לדעת אם הבחינה שנעשתה על ידי היצרן היא מחמירה או מקילה יחסית לשיטת העבודה הצפויה למשתמש. דוגמא נוספת, אם הכוונה לעבוד בגרדיינטים מורכבים, יש לוודא שקיימת ספציפיקציה לדיוק ולמהימנות הרכב הממסים, ושהיא נמוכה ככל האפשר. כאשר נגשים לבחון ספציפיקציות של מכשיר יש לזכור שהצגת הספציפיקציות על ידי יצרנים היא לעתים אמנות בפני עצמה, וכדאי לבדוק את התנאים בהם נלקחו תוצאות המדידות ככל שניתן. יש יצרנים שמרנים יחסית שמציגים תוצאות "בטוחות" יותר, כך שבפועל בשטח ניתן יהיה לקבל תוצאות טובות גם לאחר זמן שימוש ארוך. לעומת זאת יש יצרנים שמציגים את התוצאות הטובות ביותר שהשיגו במכשירים חדשים, ואם המכשיר שנבחר לאנליזה כבר אינו חדש לגמרי, ייתכן שלא ייתן תוצאות טובות כמו אלה שמוצגות בספציפיקציות. לעתים קרובות שימוש במכשיר בעל ספציפיקציות ירודות יותר, או כזה שאינו חדש ואינו בעל כושר ביצוע טוב כמו זה שהשתמשו בו בשיטה הספרותית, גורם לכך שקשה לחזור על התוצאות הספרותיות ולקבל תוצאות משביעות רצון. References 1. U.D. Neue, HPLC Columns, Theory, Technology, and Practice, Wiley-VCH, New York, V. R. Meyer, Practical High-performance Liquid Chromatography, (2nd Edition) Wiley, New York, M.C. McMaster, HPLC: A Practical User's Guide, VCH Publishers, Inc., D. Parriott, A Practical Guide to HPLC Detection, Academic Press, New York,
14 5. S. Lindsay, High Performance Liquid Chromatography (Series: Analytical Chemistry by pen Learning), Wiley, Chichester, B.A. Bidlingmeyer, Practical HPLC Methodology and Applications, Wiley, R. P. W. Scott, Liquid Chromatography Column Theory, Wiley, New York, J.W. Dolan, L.R. Snyder, Troubleshooting LC Systems, Humana Press, L.R. Snyder, J.L. Glajch, J.J. Kirkland, Practical HPLC Method Development, Wiley, M. T. Gilbert, High Performance Liquid Chromatography, Wright, Bristol, E. Katz, Quantitatie Analysis Using Chromatographic Techniques, Wiley, Chichester,
פתרון תרגיל מרחבים וקטורים. x = s t ולכן. ur uur נסמן, ur uur לכן U הוא. ur uur. ur uur
פתרון תרגיל --- 5 מרחבים וקטורים דוגמאות למרחבים וקטורים שונים מושגים בסיסיים: תת מרחב צירוף לינארי x+ y+ z = : R ) בכל סעיף בדקו האם הוא תת מרחב של א } = z = {( x y z) R x+ y+ הוא אוסף הפתרונות של המערכת
חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א'
מד''ח 4 - חורף תש''ע פתרון בחינה סופית מועד א' ( u) u u u < < שאלה : נתונה המד''ח הבאה: א) ב) ג) לכל אחד מן התנאים המצורפים בדקו האם קיים פתרון יחיד אינסוף פתרונות או אף פתרון אם קיים פתרון אחד או יותר
תרגול 1 חזרה טורי פורייה והתמרות אינטגרליות חורף תשע"ב זהויות טריגונומטריות
תרגול חזרה זהויות טריגונומטריות si π α) si α π α) α si π π ), Z si α π α) t α cot π α) t α si α cot α α α si α si α + α siα ± β) si α β ± α si β α ± β) α β si α si β si α si α α α α si α si α α α + α si
ל הזכויות שמורות לדפנה וסטרייך
מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות זו לזו נקרא h באיור שלעיל, הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים, וכן הצלעות ו- הן צלעות נגדיות ומתקיים. תכונות ה כל שתי זוויות נגדיות שוות זו לזו. 1. כל שתי צלעות נגדיות
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד ... ( ) ( ) ( ) = L. uuruuruur. { v,v,v ( ) ( ) ( ) ( )
פתרון תרגיל 8. מרחבים וקטורים פרישה, תלות \ אי-תלות לינארית, בסיס ומימד a d U c M ( יהי b (R) a b e ל (R M ( (אין צורך להוכיח). מצאו קבוצה פורשת ל. U בדקו ש - U מהווה תת מרחב ש a d U M (R) Sp,,, c a e
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד
פתרון תרגיל 5 מבוא ללוגיקה ותורת הקבוצות, סתיו תשע"ד 1. לכל אחת מן הפונקציות הבאות, קבעו אם היא חח"ע ואם היא על (הקבוצה המתאימה) (א) 3} {1, 2, 3} {1, 2, : f כאשר 1 } 1, 3, 3, 3, { 2, = f לא חח"ע: לדוגמה
[ ] Observability, Controllability תרגול 6. ( t) t t קונטרולבילית H למימדים!!) והאובז' דוגמא: x. נשתמש בעובדה ש ) SS rank( S) = rank( עבור מטריצה m
Observabiliy, Conrollabiliy תרגול 6 אובזרווביליות אם בכל רגע ניתן לשחזר את ( (ומכאן גם את המצב לאורך זמן, מתוך ידיעת הכניסה והיציאה עד לרגע, וזה עבור כל צמד כניסה יציאה, אז המערכת אובזרוובילית. קונטרולביליות
ניהול תמיכה מערכות שלבים: DFfactor=a-1 DFt=an-1 DFeror=a(n-1) (סכום _ הנתונים ( (מספר _ חזרות ( (מספר _ רמות ( (סכום _ ריבועי _ כל _ הנתונים (
תכנון ניסויים כאשר קיימת אישביעות רצון מהמצב הקיים (למשל כשלים חוזרים בבקרת תהליכים סטטיסטית) נחפש דרכים לשיפור/ייעול המערכת. ניתן לבצע ניסויים על גורם בודד, שני גורמים או יותר. ניסויים עם גורם בודד: נבצע
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806
סיכום- בעיות מינימוםמקסימום - שאלון 806 בבעיותמינימום מקסימוםישלחפשאתנקודותהמינימוםהמוחלטוהמקסימוםהמוחלט. בשאלות מינימוםמקסימוםחובהלהראותבעזרתטבלה אובעזרתנגזרתשנייהשאכן מדובר עלמינימוםאומקסימום. לצורךקיצורהתהליך,
לדוגמה: במפורט: x C. ,a,7 ו- 13. כלומר בקיצור
הרצאה מס' 1. תורת הקבוצות. מושגי יסוד בתורת הקבוצות.. 1.1 הקבוצה ואיברי הקבוצות. המושג קבוצה הוא מושג בסיסי במתמטיקה. אין מושגים בסיסים יותר, אשר באמצעותם הגדרתו מתאפשרת. הניסיון והאינטואיציה עוזרים להבין
= 2. + sin(240 ) = = 3 ( tan(α) = 5 2 = sin(α) = sin(α) = 5. os(α) = + c ot(α) = π)) sin( 60 ) sin( 60 ) sin(
א. s in(0 c os(0 s in(60 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 c os(0 s in(0 0 s in(70 מתאים לזהות של cos(θsin(φ : s in(θ φ s in(θcos(φ sin ( π cot ( π cos ( 4πtan ( 4π sin ( π cos ( π sin ( π cos ( 4π sin ( 4π
TECHNION Israel Institute of Technology, Faculty of Mechanical Engineering מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 ציור 1: דיאגרמת הבלוקים
TECHNION Iael Intitute of Technology, Faculty of Mechanical Engineeing מבוא לבקרה (034040) גליון תרגילי בית מס 5 d e C() y P() - ציור : דיאגרמת הבלוקים? d(t) ו 0 (t) (t),c() 3 +,P() + ( )(+3) שאלה מס נתונה
תרגול פעולות מומצאות 3
תרגול פעולות מומצאות. ^ = ^ הפעולה החשבונית סמן את הביטוי הגדול ביותר:. ^ ^ ^ π ^ הפעולה החשבונית c) #(,, מחשבת את ממוצע המספרים בסוגריים.. מהי תוצאת הפעולה (.7,.0,.)#....0 הפעולה החשבונית משמשת חנות גדולה
דיאגמת פאזת ברזל פחמן
דיאגמת פאזת ברזל פחמן הריכוז האוטקטי הריכוז האוטקטוידי גבול המסיסות של פריט היווצרות פרליט מיקרו-מבנה של החומר בפלדה היפר-אוטקטואידית והיפו-אוטקטוידית. ככל שמתקרבים יותר לריכוז האוטקטואידי, מקבלים מבנה
שאלה 1 V AB פתרון AB 30 R3 20 R
תרגילים בתורת החשמל כתה יג שאלה א. חשב את המתח AB לפי משפט מילמן. חשב את הזרם בכל נגד לפי המתח שקיבלת בסעיף א. A 60 0 8 0 0.A B 8 60 0 0. AB 5. v 60 AB 0 0 ( 5.) 0.55A 60 א. פתרון 0 AB 0 ( 5.) 0 0.776A
התפלגות χ: Analyze. Non parametric test
מבחני חי בריבוע לבדיקת טיב התאמה דוגמא: זורקים קוביה 300 פעמים. להלן התוצאות שהתקבלו: 6 5 4 3 2 1 תוצאה 41 66 45 56 49 43 שכיחות 2 התפלגות χ: 0.15 התפלגות חי בריבוע עבור דרגות חופש שונות 0.12 0.09 0.06
I. גבולות. x 0. מתקיים L < ε. lim אם ורק אם. ( x) = 1. lim = 1. lim. x x ( ) הפונקציה נגזרות Δ 0. x Δx
דפי נוסחאות I גבולות נאמר כי כך שלכל δ קיים > ε לכל > lim ( ) L המקיים ( ) מתקיים L < ε הגדרת הגבול : < < δ lim ( ) lim ורק ( ) משפט הכריך (סנדוויץ') : תהיינה ( ( ( )g ( )h פונקציות המוגדרות בסביבה נקובה
דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 7 נושא: תחשיב הפסוקים: צורה דיסיונקטיבית נורמלית, מערכת קשרים שלמה, עקביות 1. מצאו צורה דיסיונקטיבית נורמלית קנונית לפסוקים הבאים: (ג)
שדות תזכורת: פולינום ממעלה 2 או 3 מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה. שקיימים 5 מספרים שלמים שונים , ראשוני. שעבורם
תזכורת: פולינום ממעלה או מעל שדה הוא פריק אם ורק אם יש לו שורש בשדה p f ( m i ) = p m1 m5 תרגיל: נתון עבור x] f ( x) Z[ ראשוני שקיימים 5 מספרים שלמים שונים שעבורם p x f ( x ) f ( ) = נניח בשלילה ש הוא
תרגיל 13 משפטי רול ולגראנז הערות
Mthemtics, Summer 20 / Exercise 3 Notes תרגיל 3 משפטי רול ולגראנז הערות. האם קיים פתרון למשוואה + x e x = בקרן )?(0, (רמז: ביחרו x,f (x) = e x הניחו שיש פתרון בקרן, השתמשו במשפט רול והגיעו לסתירה!) פתרון
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012)
יסודות לוגיקה ותורת הקבוצות למערכות מידע (סמסטר ב 2012) דף פתרונות 6 נושא: תחשיב הפסוקים: הפונקציה,val גרירה לוגית, שקילות לוגית 1. כיתבו טבלאות אמת לפסוקים הבאים: (ג) r)).((p q) r) ((p r) (q p q r (p
3-9 - a < x < a, a < x < a
1 עמוד 59, שאלהמס', 4 סעיףג' תיקוני הקלדה שאלון 806 צריך להיות : ג. מצאאתמקומושלאיברבסדרהזו, שקטןב- 5 מסכוםכלהאיבריםשלפניו. עמוד 147, שאלהמס' 45 ישלמחוקאתהשאלה (מופיעהפעמיים) עמוד 184, שאלהמס', 9 סעיףב',תשובה.
gcd 24,15 = 3 3 =
מחלק משותף מקסימאלי משפט אם gcd a, b = g Z אז קיימים x, y שלמים כך ש.g = xa + yb במלים אחרות, אם ה כך ש.gcd a, b = xa + yb gcd,a b של שני משתנים הוא מספר שלם, אז קיימים שני מקדמים שלמים כאלה gcd 4,15 =
תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית
אנליזה נומרית 0211 סתיו - תרגול מס' 6 פתרון מערכת משוואות ליניארית נרצה לפתור את מערכת המשוואות יהי פתרון מקורב של נגדיר את השארית: ואת השגיאה: שאלה 1: נתונה מערכת המשוואות הבאה: הערך את השגיאה היחסית
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( ) ... חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה נפריד למקרים:
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 8 חורף תשע"ו ( 2016 2015 )............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה.1
גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות
08 005 שאלה גבול ורציפות של פונקציה סקלרית שאלות נוספות f ( ) f ( ) g( ) f ( ) ו- lim f ( ) ו- ( ) (00) lim ( ) (00) f ( בסביבת הנקודה (00) ) נתון: מצאו ) lim g( ( ) (00) ננסה להיעזר בכלל הסנדביץ לשם כך
יווקיינ לש תוביציה ןוירטירק
יציבות מגבר שרת הוא מגבר משוב. בכל מערכת משוב קיימת בעיית יציבות מהבחינה הדינמית (ולא מבחינה נקודת העבודה). חשוב לוודא שהמגבר יציב על-מנת שלא יהיו נדנודים. קריטריון היציבות של נייקוויסט: נתונה נערכת המשוב
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות
סיכום בנושא של דיפרנציאביליות ונגזרות כיווניות 25 בדצמבר 2016 תזכורת: תהי ) n f ( 1, 2,..., פונקציה המוגדרת בסביבה של f. 0 גזירה חלקית לפי משתנה ) ( = 0, אם קיים הגבול : 1 0, 2 0,..., בנקודה n 0 i f(,..,n,).lim
צעד ראשון להצטיינות מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים
מבוא: קבוצות מיוחדות של מספרים ממשיים קבוצות של מספרים ממשיים צעד ראשון להצטיינות קבוצה היא אוסף של עצמים הנקראים האיברים של הקבוצה אנו נתמקד בקבוצות של מספרים ממשיים בדרך כלל מסמנים את הקבוצה באות גדולה
קורס: מבוא למיקרו כלכלה שיעור מס. 17 נושא: גמישויות מיוחדות ושיווי משקל בשוק למוצר יחיד
גמישות המחיר ביחס לכמות= X/ Px * Px /X גמישות קשתית= X(1)+X(2) X/ Px * Px(1)+Px(2)/ מקרים מיוחדים של גמישות אם X שווה ל- 0 הגמישות גם כן שווה ל- 0. זהו מצב של ביקוש בלתי גמיש לחלוטין או ביקוש קשיח לחלוטין.
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות
תרגיל 7 פונקציות טריגונומטריות הערות. פתרו את המשוואות הבאות. לא מספיק למצוא פתרון אחד יש למצוא את כולם! sin ( π (א) = x sin (ב) = x cos (ג) = x tan (ד) = x) (ה) = tan x (ו) = 0 x sin (x) + sin (ז) 3 =
Logic and Set Theory for Comp. Sci.
234293 - Logic and Set Theory for Comp. Sci. Spring 2008 Moed A Final [partial] solution Slava Koyfman, 2009. 1 שאלה 1 לא נכון. דוגמא נגדית מפורשת: יהיו } 2,(p 1 p 2 ) (p 2 p 1 ).Σ 2 = {p 2 p 1 },Σ 1 =
משוואות רקורסיביות רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים. למשל: יונתן יניב, דוד וייץ
משוואות רקורסיביות הגדרה: רקורסיה זו משוואה או אי שוויון אשר מתארת פונקציה בעזרת ערכי הפונקציה על ארגומנטים קטנים למשל: T = Θ 1 if = 1 T + Θ if > 1 יונתן יניב, דוד וייץ 1 דוגמא נסתכל על האלגוריתם הבא למציאת
מצולעים מצולעהוא צורה דו ממדית,עשויה קו"שבור"סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם EC אלכסוןבמצולע.
גיאומטריה מצולעים מצולעים מצולעהוא צורה דו ממדית,עשויה קו"שבור"סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שappleי קדקודים שאיappleם סמוכים זה לזה. לדוגמה:בסרטוט שלפappleיכם
אלגברה ליניארית 1 א' פתרון 2
אלגברה ליניארית א' פתרון 3 4 3 3 7 9 3. נשתמש בכתיבה בעזרת מטריצה בכל הסעיפים. א. פתרון: 3 3 3 3 3 3 9 אז ישנו פתרון יחיד והוא = 3.x =, x =, x 3 3 הערה: אפשר גם לפתור בדרך קצת יותר ארוכה, אבל מבלי להתעסק
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 5 נושאי התרגול: פונקציות 1 פונקציות הגדרה 1.1 פונקציה f מ A (התחום) ל B (הטווח) היא קבוצה חלקית של A B המקיימת שלכל a A קיים b B יחיד כך ש. a, b f a A.f (a) = ιb B. a, b f או, בסימון
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 005 שנכתב על-ידי מאיר בכור
סיכום חקירת משוואות מהמעלה הראשונה ומהמעלה השנייה פרק זה הינו חלק מסיכום כולל לשאלון 5 שנכתב על-ידי מאיר בכור. חקירת משוואה מהמעלה הראשונה עם נעלם אחד = הצורה הנורמלית של המשוואה, אליה יש להגיע, היא: b
אלגברה לינארית (1) - פתרון תרגיל 11
אלגברה לינארית ( - פתרון תרגיל דרגו את המטריצות הבאות לפי אלגוריתם הדירוג של גאוס (א R R4 R R4 R=R+R R 3=R 3+R R=R+R R 3=R 3+R 9 4 3 7 (ב 9 4 3 7 7 4 3 9 4 3 4 R 3 R R3=R3 R R 4=R 4 R 7 4 3 9 7 4 3 8 6
"קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי
הטכניון - מכון טכנולוגי לישראל המחלקה להוראת הטכנולוגיה והמדעים "קשר-חם" : לקידום שיפור וריענון החינוך המתמטי נושא: חקירת משוואות פרמטריות בעזרת גרפים הוכן ע"י: אביבה ברש. תקציר: בחומר מוצגת דרך לחקירת
רשימת משפטים והגדרות
רשימת משפטים והגדרות חשבון אינפיניטיסימאלי ב' מרצה : למברג דן 1 פונקציה קדומה ואינטגרל לא מסויים הגדרה 1.1. (פונקציה קדומה) יהי f :,] [b R פונקציה. פונקציה F נקראת פונקציה קדומה של f אם.[, b] גזירה ב F
brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק
יום א 14 : 00 15 : 00 בניין 605 חדר 103 http://u.cs.biu.ac.il/ brookal/logic.html לוגיקה מתמטית תרגיל אלון ברוק 29/11/2017 1 הגדרת קבוצת הנוסחאות הבנויות היטב באינדוקציה הגדרה : קבוצת הנוסחאות הבנויות
קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים.
א{ www.sikumuna.co.il מהי קבוצה? קבוצה היא שם כללי לתיאור אוסף כלשהו של איברים. קבוצה היא מושג יסודי במתמטיקה.התיאור האינטואיטיבי של קבוצה הוא אוסף של עצמים כלשהם. העצמים הנמצאים בקבוצה הם איברי הקבוצה.
קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים.
קבל קבל מורכב משני מוליכים, אשר אינם במגע אחד עם השני, בכל צורה שהיא. כאשר קבל טעון, על כל "לוח" יש את אותה כמות מטען, אך הסימנים הם הפוכים. על לוח אחד מטען Q ועל לוח שני מטען Q. הפוטנציאל על כל לוח הוא
חידה לחימום. כתבו תכappleית מחשב, המקבלת כקלט את M ו- N, מחליטה האם ברצוappleה להיות השחקן הפותח או השחקן השappleי, ותשחק כך שהיא תappleצח תמיד.
חידה לחימום ( M ש- N > (כך מספרים טבעיים Mו- N שappleי appleתוappleים בעלי אותה הזוגיות (שappleיהם זוגיים או שappleיהם אי - זוגיים). המספרים הטבעיים מ- Mעד Nמסודרים בשורה, ושappleי שחקappleים משחקים במשחק.
Charles Augustin COULOMB ( ) קולון חוק = K F E המרחק סטט-קולון.
Charles Augustin COULOMB (1736-1806) קולון חוק חוקקולון, אשרנקראעלשםהפיזיקאיהצרפתישארל-אוגוסטיןדהקולוןשהיהאחדהראשוניםשחקרבאופןכמותיאתהכוחותהפועלים ביןשניגופיםטעונים. מדידותיוהתבססועלמיתקןהנקראמאזניפיתול.
תשובות לשאלות בפרק ד
תשובות לשאלות בפרק ד עמוד 91: ( היבט מיקרוסקופי ) בהתחלה היו בכלי מולקולות של מגיבים בלבד, אשר התנגשו וכך נוצרו מולקולות מסוג חדש, מולקולות תוצר. קיום של מולקולות תוצר מאפשר התרחשות של תגובה הפוכה, בה
הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי BJT
הרצאה 7 טרנזיסטור ביפולרי JT תוכן עניינים: 1. טרנזיסטור ביפולרי :JT מבנה, זרם, תחומי הפעולה..2 מודל: S MOLL (אברסמול). 3. תחומי הפעולה של הטרנזיסטור..1 טרנזיסטור ביפולרי.JT מבנה: PNP NPN P N N P P N PNP
PDF created with pdffactory trial version
הקשר בין שדה חשמלי לפוטנציאל חשמלי E נחקור את הקשר, עבור מקרה פרטי, בו יש לנו שדה חשמלי קבוע. נתון שדה חשמלי הקבוע במרחב שגודלו שווה ל. E נסמן שתי נקודות לאורך קו שדה ו המרחק בין הנקודות שווה ל x. המתח
( )( ) ( ) f : B C היא פונקציה חח"ע ועל מכיוון שהיא מוגדרת ע"י. מכיוון ש f היא פונקציהאז )) 2 ( ( = ) ( ( )) היא פונקציה חח"ע אז ועל פי הגדרת
הרצאה 7 יהיו :, : C פונקציות, אז : C חח"ע ו חח"ע,אז א אם על ו על,אז ב אם ( על פי הגדרת ההרכבה )( x ) = ( )( x x, כךש ) x א יהיו = ( x ) x חח"ע נקבל ש מכיוון ש חח"ע נקבל ש מכיוון ש ( b) = c כך ש b ( ) (
מהי המשמעות של IEEE 1588 עבור תכנון מערכת ה- T&M הבאה שלך?
מהי המשמעות של IEEE 1588 עבור תכנון מערכת ה- T&M הבאה שלך? תזמון וסנכרון הם קריטיים בבניית מערכות בדיקה ומדידה (& Test,(Measurement T&M דבר ההופך את קלות השימוש והביצועים הגבוהים של IEEE 1588 Precision
החשמלי השדה הקדמה: (אדום) הוא גוף הטעון במטען q, כאשר גוף B, נכנס אל תוך התחום בו השדה משפיע, השדה מפעיל עליו כוח.
החשמלי השדה הקדמה: מושג השדה חשמלי נוצר, כאשר הפיזיקאי מיכאל פרדיי, ניסה לתת הסבר אינטואיטיבי לעובדה שמטענים מפעילים זה על זה כוחות ללא מגע ביניהם. לטענתו, כל עצם בעל מטען חשמלי יוצר מסביבו שדה המשתרע
הסתברות שבתחנה יש 0 מוניות ו- 0 נוסעים. הסתברות שבתחנה יש k-t נוסעים ו- 0 מוניות. λ λ λ λ λ λ λ λ P...
שאלה תורת התורים קצב הגעת נוסעים לתחנת מוניות מפולג פואסונית עם פרמטר λ. קצב הגעת המוניות מפולג פואסונית עם פרמטר µ. אם נוסע מגיע לתחנה כשיש בה מוניות, הוא מייד נוסע במונית. אם מונית מגיעה לתחנה כשיש בתחנה
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6
אלגברה ליניארית (1) - תרגיל 6 התרגיל להגשה עד יום חמישי (12.12.14) בשעה 16:00 בתא המתאים בבניין מתמטיקה. נא לא לשכוח פתקית סימון. 1. עבור כל אחד מתת המרחבים הבאים, מצאו בסיס ואת המימד: (א) 3)} (0, 6, 3,,
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)
לוגיקה ותורת הקבוצות פתרון תרגיל בית 4 אביב תשע"ו (2016)............................................................................................................. חלק ראשון: שאלות שאינן להגשה 1. עבור
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: כמתים והצרנות. משתנים קשורים וחופשיים. 1 כמתים והצרנות בתרגול הקודם עסקנו בתחשיב הפסוקים, שבו הנוסחאות שלנו היו מורכבות מפסוקים יסודיים (אשר קיבלו ערך T או F) וקשרים.
מתכנס בהחלט אם n n=1 a. k=m. k=m a k n n שקטן מאפסילון. אם קח, ניקח את ה- N שאנחנו. sin 2n מתכנס משום ש- n=1 n. ( 1) n 1
1 טורים כלליים 1. 1 התכנסות בהחלט מתכנס. מתכנס בהחלט אם n a הגדרה.1 אומרים שהטור a n משפט 1. טור מתכנס בהחלט הוא מתכנס. הוכחה. נוכיח עם קריטריון קושי. יהי אפסילון גדול מ- 0, אז אנחנו יודעים ש- n N n>m>n
תרגילים באמצעות Q. תרגיל 2 CD,BF,AE הם גבהים במשולש .ABC הקטעים. ABC D נמצאת על המעגל בין A ל- C כך ש-. AD BF ABC FME
הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות תרגילים הנדסת המישור - תרגילים הכנה לבגרות באמצעות Q תרגיל 1 מעגל העובר דרך הקודקודים ו- של המקבילית ו- חותך את האלכסונים שלה בנקודות (ראה ציור) מונחות על,,, הוכח כי
f ( x, y) 1 5y axy x xy ye dxdy לדוגמה: axy + + = a ay e 3 2 a e a y ( ) במישור. xy ואז dxdy למישור.xy שבסיסם dxdy וגבהם y) f( x, איור 25.
( + 5 ) 5. אנטגרלים כפולים., f ( המוגדרת במלבן הבא במישור (,) (ראה באיור ). נתונה פונקציה ( β α f(, ) נגדיר את הסמל הבא dd e dd 5 + e ( ) β β איור α 5. α 5 + + = e d d = 5 ( ) e + = e e β α β α f (, )
Domain Relational Calculus דוגמאות. {<bn> dn(<dn, bn> likes dn = Yossi )}
כללים ליצירת נוסחאות DRC תחשיב רלציוני על תחומים Domain Relational Calculus DRC הואהצהרתי, כמוSQL : מבטאיםבורקמהרוציםשתהיההתוצאה, ולא איךלחשבאותה. כלשאילתהב- DRC היאמהצורה )} i,{ F(x 1,x
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6
אלגברה מודרנית פתרון שיעורי בית 6 15 בינואר 016 1. יהי F שדה ויהיו q(x) p(x), שני פולינומים מעל F. מצאו פולינומים R(x) S(x), כך שמתקיים R(x),p(x) = S(x)q(x) + כאשר deg(q),deg(r) < עבור המקרים הבאים: (תזכורת:
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 13 נושאי התרגול: תורת הגרפים. 1 מושגים בסיסיים נדון בגרפים מכוונים. הגדרה 1.1 גרף מכוון הוא זוג סדור E G =,V כך ש V ו E. V הגרף נקרא פשוט אם E יחס אי רפלקסיבי. כלומר, גם ללא לולאות.
רשימת בעיות בסיבוכיות
ב) ב) רשימת בעיות בסיבוכיות כל בעיה מופיעה במחלקה הגדולה ביותר שידוע בוודאות שהיא נמצאת בה, אלא אם כן מצוין אחרת. כמובן שבעיות ב- L נמצאות גם ב- וב- SACE למשל, אבל אם תכתבו את זה כתשובה במבחן לא תקבלו
- הסקה סטטיסטית - מושגים
- הסקה סטטיסטית - מושגים פרק נעסוק באכלוסיה שהתפלגותה המדויקת אינה ידועה. פרמטרים לא ידועים של ההתפלגות. מתקבלים מ"מ ב"ת ושווי התפלגות לשם כך,,..., סימון: התפלגות האכלוסיה תסומן בפרק זה המטרה לענות על
The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן
.. The No Arbitrage Theorem for Factor Models ג'רמי שיף - המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן 03.01.16 . Factor Models.i = 1,..., n,r i נכסים, תשואות (משתנים מקריים) n.e[f j ] נניח = 0.j = 1,..., d,f j
{ : Halts on every input}
אוטומטים - תרגול 13: רדוקציות, משפט רייס וחזרה למבחן E תכונה תכונה הינה אוסף השפות מעל.(property המקיימות תנאים מסוימים (תכונה במובן של Σ תכונה לא טריביאלית: תכונה היא תכונה לא טריוויאלית אם היא מקיימת:.
s ק"מ קמ"ש מ - A A מ - מ - 5 p vp v=
את זמני הליכת הולכי הרגל עד הפגישות שלהם עם רוכב האופניים (שעות). בגרות ע מאי 0 מועד קיץ מבוטל שאלון 5006 מהירות - v קמ"ש t, א. () נסמן ב- p נכניס את הנתונים לטבלה מתאימה: רוכב אופניים עד הפגישה זמן -
הגדרה: מצבים k -בני-הפרדה
פרק 12: שקילות מצבים וצמצום מכונות לעי תים קרובות, תכנון המכונה מתוך סיפור המעשה מביא להגדרת מצבים יתי רים states) :(redundant הפונקציה שהם ממלאים ניתנת להשגה באמצעו ת מצבים א חרים. כיוון שמספר רכיבי הזיכרון
אוסף שאלות מס. 3 פתרונות
אוסף שאלות מס. 3 פתרונות שאלה מצאו את תחום ההגדרה D R של כל אחת מהפונקציות הבאות, ושרטטו אותו במישור. f (x, y) = x + y x y, f 3 (x, y) = f (x, y) = xy x x + y, f 4(x, y) = xy x y f 5 (x, y) = 4x + 9y 36,
השאלות..h(k) = k mod m
מבני נתונים פתרונות לסט שאלות דומה לשאלות מתרגיל 5 השאלות 2. נתונה טבלת ערבול שבה התנגשויות נפתרות בשיטת.Open Addressing הכניסו לטבלה את המפתחות הבאים: 59 88, 17, 28, 15, 4, 31, 22, 10, (מימין לשמאל),
Vcc. Bead uF 0.1uF 0.1uF
ריבוי קבלים תוצאות בדיקה מאת: קרלוס גררו. מחלקת בדיקות EMC 1. ריבוי קבלים תוצאות בדיקה: לקחנו מעגל HLXC ובדקנו את סינון המתח על רכיב. HLX מעגל הסינון בנוי משלוש קבלים של, 0.1uF כל קבל מחובר לארבע פיני
מודלים חישוביים תרגולמס 5
מודלים חישוביים תרגולמס 5 30 במרץ 2016 נושאי התרגול: דקדוקים חסרי הקשר. למת הניפוח לשפות חסרות הקשר. פעולות סגור לשפות חסרות הקשר. 1 דקדוקים חסרי הקשר נזכיר כי דקדוק חסר הקשר הוא רביעיה =(V,Σ,R,S) G, כך
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות
קיום ויחידות פתרונות למשוואות דיפרנציאליות 1 מוטיבציה למשפט הקיום והיחידות אנו יודעים לפתור משוואות דיפרנציאליות ממחלקות מסוימות, כמו משוואות פרידות או משוואות לינאריות. עם זאת, קל לכתוב משוואה דיפרנציאלית
. {e M: x e} מתקיים = 1 x X Y
שימושי זרימה פרק 7.5-13 ב- Kleinberg/Tardos שידוך בגרף דו-צדדי עיבוד תמונות 1 בעיית השידוך באתר שידוכים רשומים m נשים ו- n גברים. תוכנת האתר מאתרת זוגות מתאימים. בהינתן האוסף של ההתאמות האפשריות, יש לשדך
c ארזים 26 בינואר משפט ברנסייד פתירה. Cl (z) = G / Cent (z) = q b r 2 הצגות ממשיות V = V 0 R C אזי מקבלים הצגה מרוכבת G GL R (V 0 ) GL C (V )
הצגות של חבורות סופיות c ארזים 6 בינואר 017 1 משפט ברנסייד משפט 1.1 ברנסייד) יהיו p, q ראשוניים. תהי G חבורה מסדר.a, b 0,p a q b אזי G פתירה. הוכחה: באינדוקציה על G. אפשר להניח כי > 1 G. נבחר תת חבורה
הרצאה 7: CTMC הסתברויות גבוליות, הפיכות בזמן, תהליכי לידה ומוות
הרצאה 7: CTMC הסתברויות גבוליות, הפיכות בזמן, תהליכי לידה ומוות משואות קולמוגורוב pi, j ( t + ) = pi, j ( t)( rj ) + pi, k ( t) rk, j k j pi, j ( + t) = ( ri ) pi, j ( t) + ri, k pk, j ( t) k j P ( t)
תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.
בB בB תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד חורף תשע"א, מיום 31/1/2011 שאלון: 035804 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1 מכונית נסעה מעיר A לעיר B על כביש ראשי
1. שאלות הכנה. 2. רקע תיאורטי המקובלות.
1 נספח ב' : בדיקות קושי 1. שאלות הכנה. 1. הגדר מה זה קושי.. האם קושי הוא תכונה אלסטית או פלסטית, הסבר. 3. הסבר את הנוסחאות לבדיקת קשיות בשיטות ברינל, ויקרס ורוקוול. באילו יחידות נמדדת הקשיות? 4. הסבר את
מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים
מ( מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים M / M / תאור המערכת: תור שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. קצב
סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9
סימני התחלקות ב 3, ב 6 וב 9 תוכן העניינים מבוא לפרק "סימני התחלקות" ב 3, ב 6 וב 9............ 38 א. סימני ההתחלקות ב 2, ב 5 וב 10 (חזרה)............ 44 ב. סימן ההתחלקות ב 3..............................
x a x n D f (iii) x n a ,Cauchy
גבולות ורציפות גבול של פונקציה בנקודה הגדרה: קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a תקרא סביבה של a. קבוצה אשר מכילה קטע פתוח שמכיל את a אך לא מכילה את a עצמו תקרא סביבה מנוקבת של a. יהו a R ו f פונקציה מוגדרת
גיאומטריה גיאומטריה מצולעים ניב רווח פסיכומטרי
מצולע הוא צורה דו ממדית, עשויה קו "שבור" סגור. לדוגמה: משולש, מרובע, מחומש, משושה וכו'. אלכסון במצולע הוא הקו המחבר בין שני קדקודים שאינם סמוכים זה לזה. לדוגמה: בסרטוט שלפניכם EC אלכסון במצולע. ABCDE (
(ספר לימוד שאלון )
- 40700 - פתרון מבחן מס' 7 (ספר לימוד שאלון 035804) 09-05-2017 _ ' i d _ i ' d 20 _ i _ i /: ' רדיוס המעגל הגדול: רדיוס המעגל הקטן:, לכן שטח העיגול הגדול: / d, לכן שטח העיגול הקטן: ' d 20 4 D 80 Dd 4 /:
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד
בחינה בסיבוכיות עמר ברקמן, ישי חביב מדבקית ברקוד סמסטר: א' מועד: א' תאריך: יום ה' 0100004 שעה: 04:00 משך הבחינה: שלוש שעות חומר עזר: אין בבחינה שני פרקים בפרק הראשון 8 שאלות אמריקאיות ולכל אחת מהן מוצעות
ריאקציות כימיות
ריאקציות כימיות 1.5.15 1 הקדמה ריאקציה כימית היא תהליך שבו מולקולות (הנקראות מגיבים עוברות שינוי ויוצרות מולקולות אחרות (הנקראות תוצרים. הריאקציה יכולה להתרחש בשני הכיוונים. לפני ההגעה לשיווי משקל יהיה
פרק - 8 יחידות זיכרון ) Flop Flip דלגלג (
פרק - 8 יחידות זיכרון ) Flop Flip דלגלג ( עד כה עסקנו במערכות צירופיות בהן ערכי המוצא נקבעים לפי ערכי המבוא הנוכחיים בלבד. במערכות אלו אסורים מסלולים מעגליים. כעת נרחיב את הדיון למערכות עם מעגלים. למשל
ניתן לקבל אוטומט עבור השפה המבוקשת ע "י שימוששאלה 6 בטכניקתשפה המכפלה שנייה כדי לבנות אוטומט לשפת החיתוך של שתי השפות:
שאלה 1 בנה אוטומט המקבל את שפת כל המילים מעל הא"ב {,,} המכילות לפחות פעם אחת את הרצף ומיד אחרי כל אות מופיע הרצף. ניתן לפרק את השפה לשתי שפות בסיס מעל הא"ב :{,,} שפת כל המילים המכילות לפחות פעם אחת את
אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה
Analytical Electromagnetism Fall Semester 202-3 אלקטרומגנטיות אנליטית תירגול #2 סטטיקה צפיפויות מטען וזרם צפיפות מטען נפחית ρ מוגדרת כך שאינטגרל נפחי עליה נותן את המטען הכולל Q dv ρ היחידות של ρ הן מטען
אינפי - 1 תרגול בינואר 2012
אינפי - תרגול 4 3 בינואר 0 רציפות במידה שווה הגדרה. נאמר שפונקציה f : D R היא רציפה במידה שווה אם לכל > 0 ε קיים. f(x) f(y) < ε אז x y < δ אם,x, y D כך שלכל δ > 0 נביט במקרה בו D הוא קטע (חסום או לא חסום,
שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך:
חוק גאוס שטף חשמלי שטף בהקשר של שדה וקטורי הוא "כמות" השדה הוקטורי העובר דרך משטח מסויים. שטף חשמלי מוגדר כך: Φ E = E d כאשר הסימון מסמל אינטגרל משטחי כלשהו (אינטגרל כפול) והביטוי בתוך האינטגרל הוא מכפלה
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול #11
מבני נתונים ואלגוריתמים תרגול # התאמת מחרוזות סימונים והגדרות: P[,,m] כך Σ * טקסט T )מערך של תווים( באורך T[,,n] n ותבנית P באורך m ש.m n התווים של P ו T נלקחים מאלפבית סופי Σ. לדוגמא: {a,b,,z},{,}=σ.
סדרות - תרגילים הכנה לבגרות 5 יח"ל
סדרות - הכנה לבגרות 5 יח"ל 5 יח"ל סדרות - הכנה לבגרות איברים ראשונים בסדרה) ) S מסמן סכום תרגיל S0 S 5, S6 בסדרה הנדסית נתון: 89 מצא את האיבר הראשון של הסדרה תרגיל גוף ראשון, בשנייה הראשונה לתנועתו עבר
הרצאה. α α פלוני, וכדומה. הזוויות α ל- β שווה ל-
מ'' ל'' Deprmen of Applied Mhemics Holon Acdemic Insiue of Technology PROBABILITY AND STATISTICS Eugene Knzieper All righs reserved 4/5 חומר לימוד בקורס "הסתברות וסטטיסטיקה" מאת יוג'ין קנציפר כל הזכויות
69163) C [M] nm 50, 268 M cm
א ב ג סמסטר אביב, תשע"א 11) פיתרון מס' 4: תרגיל 69163 69163) פיסיקלית א' כימיה בליעה והעברה של אור חוק בר-למבר) כללי.1 נתון כי הסטודנט מדד את ההעברה דרך דוגמת החלבון בתוך תא של 1 ס"מ. גרף של העברה T) כתלות
2NH 3 (g) 2NO 2 (g) N 2 (g) + 3H 2 (g) N 2 (g) + 2O 2 (g) 2 ΔH>0 ΔH>0 ΔH < 0 ΔH <0
- מרים כרמי שאלה 1 נתונות שתי תגובות כימיות )1( ו-) 2 ) 1. N2(g) + 2O2(g) 2NO2(g) 2. N2(g) + 3H2(g) 2NH3(g) הערך את השינוי באנטרופיה של המערכת בכל אחת מהתגובות הנתונות. הסבר את תשובתך ברמה מיקרוסקופית.
שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר. Page 1 of 18
שם התלמיד/ה הכיתה שם בית הספר ה Page of 8 0x = 3x + שאלה פ תרו את המשוואה שלפניכם. x = תשובה: שאלה בבחירות למועצת תלמידים קיבל רן 300 קולות ונעמה קיבלה 500 קולות. מה היחס בין מספר הקולות שקיבל רן למספר
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 12
מתמטיקה בדידה תרגול מס' 2 נושאי התרגול: נוסחאות נסיגה נוסחאות נסיגה באמצעות פונקציות יוצרות נוסחאות נסיגה באמצעות פולינום אופייני נוסחאות נסיגה לעתים מפורש לבעיה קומבינטורית אינו ידוע, אך יחסית קל להגיע
מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים
מבוא לרשתות - תרגול מס 5 תורת התורים תאור המערכת: תור / M M / ( ) שרת שירות פואסוני הגעה פואסונית הערות: במערכת M/M/ יש חוצץ אינסופי ולכן יכולים להיות בה אינסוף לקוחות, כאשר מקבל שירות והשאר ממתינים. זמן
www.reshefmd.com רשף משולם לימודי ביולוגיה ורפואה reshefm87@gmail.com 054-3318431 בחינת הידע קבלה לתוכנית ה- 4 שנתית ללימודי רפואה כימייה כללית קשרים כימיים הקשר הכימי התוך מולקולרי העיקרי הוא הקשר הקוולנטי
( k) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) A Ω P( B) P A B P A P B תכונות: A ו- B ב"ת, אזי: A, B ב "ת. בינומי: (ההסתברות לk הצלחות מתוך n ניסויים) n.
Ω קבוצת התוצאות האפשריות של הניסוי A קבוצת התוצאות המבוקשות של הניסוי A A מספר האיברים של P( A A Ω מבוא להסתברות ח' 434 ( P A B הסתברות מותנית: P( A B P( B > ( P A B P A B P A B P( B PB נוסחאת ההסתברות