Nicolae Faur ELEMENTE FINITE. Fundamente

Transcript

1 oa ar EEMETE IITE ndamn

2 Cprn Cân înan Cap oţn nrod 7 Gnraăţ 7 Conp fndamna în formara mod mnor fn 8 Sr or Carar d gnraa a mod mnor fn Anaa rror d rnţă (Bară oaă a arn aa) Tranfr ndmnona d ădră Crgra ndmnonaă a fd 5 5 Apaţ ngnrş a mod mn fn Eap în apara mod mnor fn 9 7 Agorm mod mn fn în probm d anaa ăr d nn ş dformaţ 8 Tpr d mn fn ş fnţ d nrpoar 9 9 Condraţ prnd mara d rgda a n mn Cap Emn fn ndmnona 8 Emn fn d p bară n ngr grad d bra p nod 8 Srr pan d bar ara Apaţa A 5 Apaţa A 59 Apaţa A 5 Apaţa A 7 Srr paţa d bar ara 9 Apaţ a rr paţa 7 Apaţa A 7 5 Emn fn d p bară nodr rgd doă grad d 87 bra p nod 5 Conra mar d rgda Moda dră 87 5 Moda ndră în onra mar d rgda 9 Apaţa A5 9 Emn fn d p bară nodr rgd r grad d 95 bra p nod Ca înoor în pan forţă aaă 95 Apaţa A 98 Apaţa A Ca înoor mp momn d orn 5 7 Emn fn d p bară şa grad d bra p nod Sara gnraă d oar 7

3 Cap Moda mn fn apaă a probm d aa pană Sd probm în oordona arn Sd ăr pan d nn ara în ondraţ ş a nnor rm ormara în oordona rangar a mar d rgda ş a mar forţor noda Sara pană d dformaţ Apaţa A 7 Cap Emn fn rdmnona Emn fn radr Emn fn hadr 9 Cap 5 nţ d nrpoar 5 5 Ponoam d nrpoar dn aa C 5 5 Ponoam d nrpoar dn aa C 59 Cap Sm d oordona nara ş fnţ d apromar în oordona nara nţ d formă Coordona nara ndmnona Coordona nara bdmnona Coordona nara rdmnona 8 Cap 7 nţ d nrpoar în oordona nara 7 7 Prnar gnraă 7 7 Emn ndmnona 7 7 Emn bdmnona 7 7 Emn rdmnona 78 Cap 8 Emn oparamr 8 8 Gnraăţ 8 8 Emn d bară oparamr 8 8 Emn bnar oparamr d ar pană d nn 8 8 Emn fn oparamr bdmnona păra 9 85 Emn fn oparamr rdmnona 95 Cap 9 Emn fn d p aa mr Bbograf 7

4 Cân înan Apara modor ana d a în domn rror d rnţă omp m domn onrţ d maşn poa fa nma pnr n nmăr ma d ar A ar afa în foar mă mără no rn înân în praa ngnraă A mod aproma d a afa parţa prnţ n mn d onpţ nar ş fn Moda mnor fn a apăr dn naa d a mp a go a aăţ ngnrş dn faa d onpţ ş până în faa d omoogar S poa afrma ă aaă noă şnţă, şnţa mnor fn, ar -a doa mpo înpând an a o XX, pn a îndmâna ngnr n nrmn formdab d ngar nmră ar d fap n ar n n f d măr a barr Sngr măr n ga d pra ş a d a d ar dpnm Şnţa mnor fn n n op în n Ea on înr-n nrmn p ar î po foo paş în anaă rraă, ranfr rm, rgr d fd, âmpr romagn în ma omp apaţ ar prn a mod n mpob d nga Daoră fnţ, în momn d faţă mara nmră nd ă înoaă prmn d a ma mp ar până a mara or ma omp înrăr m n d mp po nar Conp fndamna ar opraă şnţa mnor fn n onp d dar, anaă ş aambar D af a onp a a baa orăr aţn d noaşr înrprn d om Emp ma on dn a pn d dr omparaţa mod mnor fn hrrga în mdnă Inţra în domn mod mnor fn poa fa nma daă ă o prgăr odă în domn fndamna a ngnr Pra prgăra ngnraă d baă agră n d noşnţ nar oprăr mărm nno a domn da În domn şnţ mnor fn a apăr foar m răr d a raa dn d rfrnţă ş amn în a n răr Znw O C, Taor R, Bah K I, Won, Rao S S,, până a răr apăr în om nmroaor mpooan ş onfrnţ a înrg n panar rara d faţă înară ă pnă a îndmâna paşor ş dnţor dn do d prgăr n mara nţr în domn mod mnor fn Aşa m n dn onfra afrma ă o nţr nma o nţr, n pm aa prnţa n raa omp Pm pn ă n raa poa f înţ nma daă noţn a: drar, aţ mna, aambar, oordona nara ş fnţ d formă n înţ ş or opraă în mod rn Carar dda a răr d faţă da ş d nmăr mar d apaţ prna daa în oa ap d roar Mţm p aaă a dn og Prof Un Dr Ing Iof Had, ar răbdara n br ş înaă rgoar şnţfă dodă p parr n prgo arr, a a bnăonţa d a parrg aaă ar înan d aparţ Obraţ ş g domn a a on n ra aor în fnaara înrg mara Tmşoara, ma Aor

5 Capo OŢIUI ITRODUCTIVE Gnraăţ Ca modrn d rnţa maraor, har daă apa în a probmor a d ora aăţ a paăţ n po f onp fără ara modor nmr d a Aaă aţ o onnţă dră a progror obţn în domn aaoaror ron, aâ în domn hardwar â ş ofwar Eoţa modor d a nmr a p aaoar ron rb pr în rână onordanţă rmăoar drţ prnpa d rar: - Anaa roror ar dob d mporană în probm d agbră nară, m d mp roara mor agbr nar, a aoror oror propr a maror, roara aţor ponoma - orm mara a în d aa a modor d a nmr - Mod d rapoar foar în ngrara nmră, probm aor a mă ş nţa, în roara aţor dfrnţa ordnar - Mod d nrpoar ar ond a obţnra n fnţ ponoma a ăr ordn drmna d onnaa p nra ondra - Anaa fnţonaă aă a roara nmră a aţor dra parţa ş a roara nmră a aţor dfrnţa ordnar - Moda mn fn a nrmn d r gnraa în domn ngnr rror d rnţă, ranfr rm, rgror d fd ş d âmpror romagn Trb rmara fap ă moda mn fn ar o argă apaba în d aa a agormor d a nmr Prn agorm d a înţg n m d rg ar apa a o anmă aă d probm d aaş p ond a obţnra oţ probm pornnd d a ondţ nţa a a dn ar fa par aor nor opraţ, n drmna Ră ona ă n agorm rb ă abă n arar d gnraa, d fndn ş na Uara aaor în roara n probm prpn parrgra rmăoaror ap: Ennţara probm ş formara daor d nrar Eaborara mod d a ar pornnd d a n anamb orn d po abş o hmă d a ar dr aâ ana â ş aa fnomn Agra ma por mod nmr d a Agra mod d a nmr înp aborara agorm Dnr rr ar a a baa agr mod nmr d a amnm: mpaa, pra, a d a Eaborara hm og pnr drra agorm mod nmr Shma ogă rprnă d fap o prnar grafă a agorm d a, prn

6 8 - Capo pnra în dnţă a n apor prnpa d a prm ş d og nar obţnr oţ 5 Eaborara program d a În aaă apă agorm d a p în dnţă d hma ogă ranr înr-n mba d programar Vrfara ordn raor fa d ob apând moda nmră aboraă pnr probm mp a ăror oţ anaă (ondraă aă) noă 7 Prrara daor ş nrprara raor pnr probma daă Conp fndamna în formara mod mnor fn Moda mnor fn a anaa mn fn baaă p onp onrr obor ompa dn ob ma mp, a dara obor ompa în ob ma mp pnr ar po apa hm d a no În m aţ aparaa mama n n fn pnr găra oţ a (ar nor har a n oţ aproma) pnr maoraa probmor pra Ida d baă în moda mn fn d a gă oţa n probm ompa înond-o prn na ma mpă Un mp mp dar g în a prş roara apromaă a n probm a î rprnă a ar r, fg Emn β R g Ara mn rngh aaă raţa: A R n β Pnr înrg pogon, ara aaă raţa: π A A R n a mă pogon dn n r ar raţa anroară dn: π A m R n πr

7 Apromaţ prnr-n pogon înr r(apromaţa II) Gnraăţ - 9 Apromaţ prnr-n pogon rmr r (apromaţa I) g a aaş ra ang în a în ar apromara fa pornnd d a n pogon angn r, fg Pra oţ dpnd prn rmar în onforma rprnara dn fgra, d raga a mod d a a Condrând pogon aproma înr a rmr poa obţn ma nfroară noaă A () a ma proară A () pnr ara raă A În onnar, rşra nmăr aror a pogon aor aproma ond pr o aoar raă A arar aşa m a da ma âr or f aab în or apaţ gnraă mn fn S rmară fap ă amb mod d a n onrgn, dfrnţa dnr fnd gaă d mod d apromar în p a în mn în rapor oţa aă Apromaţa II Pr d a % % % -% -% Apromaţa I Soţa aă măr d mn g

8 - Capo În roara probmor omp pnr ar oţ ana n df prn aparaa mama n, n no doă drţ d roar apromaă: Uara nor mod aproma d roara aţor dfrnţa pnr n mod d a a A r poa fa dpă m rmaă: a S ngaă rmn d mporanţă ndară ar prm în onnar roara aă b S apă mod nmr în roara m d aţ dfrnţa Amnm în a n moda dfrnţor fn a fnd foar fnă în obţnra rapdă a nor oţ apab Uara nor mod a d roar apa nor mod d a aproma Mod aproma d a po obţn prn apara nor po mpfaoar prnd a ma probabă onfgraţ a dpaăror ar rpă ondţ p onr Dpă grad d gnraa a poor foo dng doă agor d po: a Ipo arar gnra apab înrg orp, dnr ar amnm: poa ţnor pan ş norma (poa Brno apabă în ora baror), poa normaor rn (poa Kroff, apabă în ora păor bţr), poa ndformabăţ onr, b Ipo arar oa, aab pnr porţn ma m a bdomn, omponn a n năţ omp Ipo apa rb ă agr onnaa dnr bdomn Moda mnor fn fooş po arar oa în aborara mod aproma d a Moda mn fn a apăr a o onnţă a năţ d a aa rr d rnţă omp pnr ar mod ana d a n n oprab Ida d baă aa ă în a în ar rra împar în ma m părţ nm mn fn pnr far dnr aa po apa or d a orpnăoar hmaăr adopa (ora d bară, paă a ma) Împărţra înrg în părţ d dmnn ma m, opraţ ar poară dnmra onaraă d drar a aa drp f obţnra d form mp pnr mn fn omponn a rr Mod d a a în anaa mn fn n mod aproma, obţn prn aambara mnor fn omponn, ţnând on d gomra rr Conara mnor fn raaă nma în anm pn nm pn noda a nodr odr rprnă pn d nrţ a nor d onr rn a rb a mnor fn Emn fn po f n, b a rdmnona în fnţ d gomra rr p ar o modaă odr n paa d ob p onrr mn nd mn adan n ona înr Doar araţa raă a arab d âmp (a dpaara, nna, mprara, prna a a) în nror onn n noă, adm ă araţa arab d âmp p domn n mn fn

9 Gnraăţ - poa f apromaă prnr-o fnţ mpă A fnţ d apromar (nm mod d nrpoar) n dfn în fnţ d aor arabor d âmp în nodr Carar aproma a mod mn fn ră a rmar a fap ă gomra raă înodana înoă o rţa d mn fn ar rmărş forma raă, dar n o poa rda aa dâ nma pnr anm gomr parar, daoră nmăr fn d mn, ar mărm nno a probm n aa nma în nodr rr Ră d a ona ă pra d a rş o daă rşra nmăr d mn fn Connaa raor obţn dpnd d arar d onna p ar fnţ d apromar rb ă- agr a n onor nrmn ormara mod mn fn baaă p prmara ondţor d rm p ar n mărm ar nrn în fnomn da rb ă afaă Moda mnor fn o modă n a domn d apaba ar bră d aana n formăr ra mp Carar d gnraa a mod î onfră aana d a adapa modfăr mp or ma omp ş ara probm m n probm nar ş nnar, oăr a ş dnam rr d bar, pă pan a rb ş ma, oăr d ona, probm d mana rpr, grpa în r pr d probm: probm d hbr, probm d aor propr ş probm d propagar Sr or Moda mnor fn a apăr a o na d a da ara d nn ş dformaţ pnr rr d rnţă d mar ompa gomră pnr ar a fa ma şor în a în ar înrg împar în domn ma mp Daoră arar d gnraa a a mod, a -a n rapda aproap în oa domn a ngnr ar a a baă mod fo mama d a Dş nm mod mn fn a fo nrod rn, onp a fo a am âa o în rmă D mp maman dn anha a afa rmfrnţa r apromând- a p n pogon m prna în fgra Apara mod mnor fn b forma aaă îş ar înpr în fndamnara rmăoaror mod ş or apaţ dob în ngnr: rdror pondra (Ga 795, Garn 95, Bno-Koh 9); mod araţona (Ragh 87, R 99); dfrnţ fn (Rhardon 9, bman 98, Sohw 9); dfrnţ fn araţona (Varga 9); ara onnăţ fnţor p bdomn (Coran 97, Pragr - Sngr 97); roţa prn anoog rraă (Hroff 9 MHnr9, Mwar 99);

10 - Capo Drara în mn fn a mdor onn (Argr 959, Trnr Cogh, Marn ş Topp 95); Inrodra noţn d mn fn (Cogh 9) S poa pn ă moda mn fn aşa m noaş a aă a fo prnaă în 95 d ăr Trnr, Cogh, Marn ş Topp, înr-o rar în ar prnă apara mnor fn mp (bar araţ ş paă rnghară arn apa în pan) pnr anaa rr aparaor d bor, fnd ondraă na dn onrbţ h în doara mod mn fn oţna d mn fn a apăr pnr prma daă în rara RWCogh în an 9, naă Emn fn în anaa ăror pan d nn Znw ş Chng a da o nrprara argă mod mn fn ş pra mnaaă apabaa a or probmă ngnraă C aaă nrprar gnraă a mod mn fn, -a ona ă d fap ş aţ mod mn fn po f d amna obţn foond moda rdror pondra m d mp moda Garn a abordara prn moda or ma m păra Toa aa a ond a n nr arg răpând prnr paş în mamaa apaă în apar a mod mn fn pnr roara probmor nar ş nnar D-a ng anor a fo pba dfr răr a onfrnţ ş ărţ rfroar a aaă modă Caaoar nmr a agra moa rapd d far a n om mar d a mpa în anaa mn fn ş a fă pra a moda ă f apabă S poa pn ă moda mnor fn fără ara aaoaror nmr d mar apaa n ar f o modă abă O daă doara aaoaror dga d mar ă, apara mod mn fn a progra o ă mprona d mar Carar d gnraa a mod mnor fn Dş moda a fo aă p ară argă în domn man rra a a fo apaă ş pnr roara aor pr d probm d ngnr a d mp în domn ondbăţ rm, dnam fdor, rgror d nfraţ ş âmpr ro-magn Apabaa gnraă a mod a fă a aaă hnă ă f fooă pnr oţa nor aor d onr ompa ş pnr a pr d probm Apabaa gnraă a mod mn fn poa da obrând mdn prn înr dfr pr d probm hn Pnr ra om prna mdn apăr mod mnor fn în domn ngnr man r domn dn: anaa rror d rnţă, anaa ranfr rm, anaa rgror d fd Anaa rror d rnţă (Bară oaă a arn aa) Condrăm o porţn dnr-o bară drapă, fgra, pnr ar ara ţn ranra araă onn dpă ga A(): Bara raaă dnr-n

11 Gnraăţ - mara proprăţ a no, (mod d aa ongdnaă E ş ofn d onraţ ranraă ν), oaă d arn aa A() O g Înr-o ţn oarar a danţă d orgn poa r raţa fndamnaă: orţa (Ara) (Tnna) () (Ara) (Mod d a ong) (Df Spfă nară)a() E () Admţând ă înărara daă d arna aaă onană, ră ă oţa probm rmă a roara aţ agbr : A E () () Tranfr ndmnona d ădră S a în ondrar hbr rm a n mn ndmnona înă, fgra Pnr n mn d om d ngm nfnmaă ra dn orp a ar ădra nră p ara dn ângă poa f ră b forma: T q A () nd rprnă ondbaa rmă a mara, A prafaţa ţn ranra prn ar ranfră ădra, (măraă prpndar p drţa d T rgr a ădr) ş gradn mprar T în rapor drţa aaă

12 - Capo Va ar ădră părăş ara drapă poa f prmaă (rţnând nma prm rmn dn doara în r Taor) a fnd: q q d d d g q T T q d q d A A d () Ehbr nrg pnr mn d om ondra în mp nfnma d da d o aţ d forma: Adma d ădră în mp d Cădra gnraă Ema d prn r nrn ădră în în mp d mp d Modfara nrg nrn în mp d Dpă înor poa r: q q d q A d d q d T d ρ d (5) nd a d gnrar a ădr p naa d om (prn ră d ădră), T ădra pfă ρ dnaa ş d dt hmbara d mprară în mp d Dpă înor ş împărţr (d d), aţa 5 dn:

13 T T A q A ρ Eaţa poa f pararaă dpă m rmaă: Daă ra d ădră q ro, obţnm aţa orr: Gnraăţ - 5 () T T A ρ (7) Daă m în ar d rpa obţnm aţa Poon: T A q A (8) Daă n am ră d ădră ş m în ar d rpa obţnm aţa apa: T A (9) Daă ondbaa rmă ş prafaţa ţn ranra n onan aţa (9) rd a: T () Crgra ndmnonaă a fd În a rgr ndmnona a n fd, fg, am onnaa rgr ma n pnr far ţn ranraă, adă: ρ A on an () nd ρ dnaa, A prafaţa ţn ranra, a d rgr E () poa f ră b forma: d ( ρ A ) () d Daă fd nâo, ă o fnţ ponţaă Φ ( ) ar afa raţa: dφ () d Ş d a () dn: d dφ ρ A () A() d d g

14 - Capo Anaând, 9 ş, poa rag ona ă poa apa aaş prodră în găra oţor or r pr d probm Moda mnor prm apara nor prodr dn în roara aora, prn mpnra nor ondţ p onr pf făr p d probmă în par 5 Apaţ ngnrş a mod mn fn Apara mod mnor fn -a mp a rmar a fap ă poa roa şrnţă probm a ăror ompa daă d onfgraţ gomr ompa, nomognăţ d mara, anorop maraor, mara ompo, Carar gnra a mod mnor fn o fa apabă n arăţ arg d probm oţ p onr în ngnr O probmă oţ p onr na în ar oţa rfaă p onr orp pnr arab dpndn a draor or a rmar a mpnr ondţor prr p onr Sn no r agor maor d probm oţ p onr, ş anm: a Probm d hbr a aţonar, a probm ndpndn d mp În probm d hbr rb ă găm dpaara în ara d hbr a drbţa nn daă aaa o probmă d mana od, drbţa mprar a f d ădră daă aaa o probmă d ranfr a ădr, ş drbţa prn a daă aaa o probmă d mana fd b Probm d aor propr În probm d aor propr mp n apar în mod p A p d probm po f ondra a n a probmor d hbr În p faţă d onfgraţ orpnăoar a ăr d hbr în probm d aor propr nar ă drmn aor r a anmor paramr ar nrn în formăr aora În a probm rb ă găm frnţ nara daă orba d o probmă d mana od, d rgmror rgr amnar, daă orba d o probmă d mana fd ş arar d ronanţă daă o probmă d r r Probm d propagar a d ranţ Probm d propagar a ranor n probm dpndn d mp A p d probm apar, d mp, or d â or nm nraţ în găra răpn orp ar p b arn arab în mp în mana od dformab, a în a înăr a răr brş în a ranfr d ădră

15 Gnraăţ - 7 Tab Apaţ ngnrş a ME r Probm d hbr Cr Domn d d Ingnr mană Condbaa rmă Domn rror d onrţ ş ndra Probm d anaa nnor ş dformaţor dn ara ranmor man, roţ dnţa, onnraor d nn Anaa nnor dn a b prn, organor d maşn, maraor ompo, manmor pârgh ş angrnaor, Drbţa mprar în ara d hbr în od ş fd Anaa aă a rror d bar ara, a adror a păor onda, a înoaror pnr aoprşr, prţ d forfar, podr, rr d bon prnona Probm d aor propr rnţ nara ş abaa manmor pârgh, angrnaor ş maşnor n Probm d propagar Probm d mana rpr ş frăr b arn dnam - Crgra ădr ranor a aa rahor, mooaror omb nrnă, paor d rbnă, ârm ş rr onrţor rnţ nara ş modr propr a rror Sabaa rror Propagara ndor d nn Răpn rror a arn aprod

16 8 - Capo r Cr Domn d d Gomană 5 Ingnra rror hdra ş a apor Hdrodnamă Ingnra nară Connar Tab Probm d hbr Anaa aaţor, dror d prn, dhdr bran ş roror d ro ş probm d nraţn a rror o Anaa nn în or, bara, pon ş fndaţor onrţor a fndaţ maşnor Anaa rgr ponţa, rgr br a prafţor, rgra p onr a ra, rgra âoaă ş probm d arodnamă ranonă Anaa rror hdra ş a baraor Anaa aor nar b prn ş anaa rror rpnor d granţă Drbţa mprar în ara d hbr dn omponn raor Probm d aor propr rnţ ş modr nara a mor bararror, ş probm d nraţn rră o Proad ş modr nara a banor pţn adân aror ş porror Drara hdor în onanr rgd ş fb rnţ nara ş abaa rror rpnţor d granţă Drbţa f d nron Probm d propagar Probm d nraţn rră o dpndn d mp ş nfraţ ranor în or ş ro Propagara nd d nn în or ş ro Anaa rgr naţonar a fdor ş probm d propagara nd Infraţ ranor în md afr ş poroa Dnama ga rarfa Crgr magnohdro dnam Răpn rror rpn d granţă a raor a arn dnam Drbţa naţonară a mprar în omponn raor Anaa rmă ş âo-aă a rr raor

17 r Cr Domn d d 7 Ingnr bomdaă 8 Srr arona Connar Tab Probm d hbr Anaa nnor a n proor oaor, dnţor, m aar, a n gob ohor Mana aor nm ş apaaa porană a mpan Anaa aă a rror nor na paţa, arpor aoanor, faor, ârm ş abaoar, rah, ş a rror d pro Probm d aor propr Gnraăţ - 9 Probm d propagar - Anaa mpa ran Dnama rror anaom rnţ nara, braţa arpor, (oaţ r) ş abaa na paţa ş rror proor Răpn rror na arn ş paţa a înărăr aaor, răpn dnam a na arn ş paţa ş a arn aprod Eap în apara mod mnor fn Apara mod mnor fn prpn parrgra rmăoaror ap: Sd rr în dra agr n mod d a ş a pror d mn fn ada ar ă rprodă â ma fd ara raă d nn ş dformaţ Agra pror d mn fn rb ă faă în onordanţă pra ş aaa raor p ar dorm ă obţnm Drara rr rb ă faă d aşa manră înâ în on d nr m d mp n on onnraor d nn a în a on în ar dorm n a â ma a, dmnn mnor fn ă f â ma m Trra d a on mn fn d dmnn m a mn fn d dmnn mar rb ă faă prn nrmd mnor fn d rr progr în op mnăr dornor ar prod a rr brş, fg a agra mod d drar a aa în dr a mn fn ă n f dorona S romandă a rapor dnr ngm aror ă f apropa d, ar în p a mnor fn d p parar a hadra a aa în dr a nghr dnr ar ă f apropa d 9 Dorn ar nrn în gomra mnor fn poa ond a dorn r a raor obţn

18 - Capo Mnţonăm ă pnr maoraa programor profona d anaă mn fn ă mod d prproar a daor d nrar aor ărora po fa drăr paramr a aoma Ş în a ar rfara onfgraţ mnor fn foo rprnă o apă mporană în roara ror mnm a ana prop par nodr onă d rr doă nodr g Sd mnor fn în dra onr aţor mnor fn A aţ ar dr omporara md în prn n mn poară dnmra d aţ mna no în a aţ n grad d bra mp pnr p d mn a Conra aţor mna poa fa în ma m modr în fnţ d agora dn ar fa par probma daă Moda dră a ăr apar graă d moda dpaăror E o modă mpă nă ş şor d apa, dar ara poa fa doar a a rror aă dn bar În a rror d rnţă ang a n m d aţ d forma: P K U () nd: { } { } [ ] ( ) [ ] K rprnă mara araror fo-gomr a mn fn, noă b dnmra d mara d rgda a mn Aaă mar bră d proprăţ pa dnr ar

19 Gnraăţ - amnm fap ă mar păraă, mră în rapor dagonaa prnpaă Dagonaa prnpaă onţn nma mn po U o mar ooană ş rprnă or dpaăror noda { } ( ) nno pnr mn fn P o mar ooană ş rprnă or forţor noda { } gnraa a mn fn Mod araţona A mod n ma a în anaa mn fn a probmor man ş rm Dnr aa amnm prnp r man ra ş orma mnm nrg nrn d dformaţ Moda rdror o modă gnraă ar fooş în a în ar mod araţona n po f apa Moda rdror prm o abordar nară a probmor nar ş nnar, d propagar ş d aor propr În adr a mod înoş rr d mnmar a nrg nrn d dformaţ mnmara rd ormara p baa banţ nrg prn ara prm g a rmodnam Aaă formar prm abordara probmor pf man mdor onn în domn nar ş nnar, a âmpror romagn, a âmpror rm, Tranformara maror d rgda a mnor dn m d oordona oa în m d oordona goba a rr 5 Aambara aţor mna în m d aţ aaşa rr a aambara mnor fn În adr a ap mpn ondţa a fnţ nno a probm ă abă aaş aor în nodr omn Aambara aţor mna onă d fap în aambara maror d rgda [ K ] a mnor fn în mara d rgda [ K ] a rr ş a oror forţor noda gnraa { } { P g } pnr înraga rră P în or forţor noda gnraa În rma opraţ d aambar obţn n m d aţ d forma: P K U () { g } [ g ]{ g } nd { U g } rprnă or fnţor nno pnr înraga rră Roara probm fa ând- în ondrar ondţ p onr Cm anm dpaăr n no în onforma mod d rmar a rr ş d amna anm forţ dn nodr n da, nmăr oa d nno a probm or rd orpnăor Ră n m rd d aţ d forma: { } [ K ]{ U } P () r r r g

20 - Capo Trb mnţona ă în a m d aţ mara d rgda rdă [ K r ] obţn prn prmara în mara d rgda K a aor n ş ooan [ ] g orpnăoar grador d bra pnr ar dpaăr n n, în onforma K a rr K ş în p o mar mod d rmar a înrg rr Mara d rgda [ ] r bră d aaş proprăţ a ş mara d rgda [ ] a ăror mn n dp în r dagona prnpa, a mn fnd n Aaă mă propra faaă opraţa d nrar a năţ mnm d mmor Roara m d aţ () fa prn n dn prod nmr no (moda Ga, moda raă Jaob, moda Ga-Sd ş moda raăr) În a mod drmnă nno prnpa a probm ar n d fap aor grador d bra dn nodr 7 Ca nnoor ndar a probm ar în a rror d rnţă n dformaţ pf ε, γ ş omponn σ, τ a nor nn Program profona modrn d anaă mn fn n pră mod d poproar a daor d şr, apă în ar raaă o prrar proară a mărmor ar araraă ara d nn ş dformaţ a orp 7 Agorm mod mn fn în probm d anaa ăr d nn ş dformaţ În probm d anaa ăr d nn ş dformaţ formara mod mn fn poa fa agând drp nno f dpaăr f forr a o par dpaăr ş o par forr ormara probm onform aor opţn poa fa d în dpaăr, forr a mă Ca ma aă dnr aa formara în dpaăr p ar o om a ş în rmaă pnr a mpfa agorm d a a în moda d anaă mn fn n a rror d rnţă Condrăm o bară drapă d ţn arabă înăraă arn aa q() rpara d-a ng a gomr, g 7 Conform mod d rmar adm poa ă ngr dpaăr dfr d ro n dpaăr () d-a ng a a bar Apara mod mn fn prpn împărţra bar în n mn fn ar în a a n mn fn d p bară, a mn fn monoaa A mn fn n n înr prn n nodr O prmă apromaţ p ar o om a aa ă mn fn or ondra d ţn onană d-a ng făra în par, ar ara ţn ranra a făra

21 Gnraăţ - dnr mn fn omponn rprnă o md a mărm ar a doă ap a făr rp ondra Bara împar în n domn obţnând- d n mn fn ş n nodr Drp nno a probm ag dpaăr ş draor a dn nodr,,n, d ab,,, n, (fg 7) Pnr înp om ondra ă no aâ dpaăr dn nodr prm ş aor draor aora Dorm ă arăăm m prodaă în a a pnr a aoraş mărm în orar pn aparţnând domn făr,,, n oar omod ş în aaş, mn fn în par, ( ), ( ) mp foar ada aă nrpoara ponoam Vom mpfa nrpoara ponoam d grad n aţa drp d nrpoar rprnaă d drapa I în onforma fg 7 ( ) I nd ş n paramr ar drmnă dn ondţ : ( ) I I ( ) (7) (7) S obţn m d aţ: (7) Dn roara m d aţ (7), obţn: a a (7) a a nd -a foo noaţa: Înond onan ş da d raţ (7), în aţa (7), obţn: I() (75) a a Crba daă d raţa (75) ar a ap nra pan dfr d rba raă În aaş mp n dfr pan drpor d nrpoar a drapa ş a ânga nodror ondra O apromar ma bnă obţn în a în ar în o ponom d nrpoar d grad n fooş n ponom d nrpoar d grad pror, d mp d forma:

22 - Capo q() q() n n n n n n n g7

23 oţn nrod - 5 III II I a - g 7 II ( ) (7) Drmnara ofnţor,, ş a fa dn ondţ: ( ) II II( ) (77) ş dn ondţ ar prmă onnaa panor a rmăţ nra: d II d d d II ' ' (78) În a în ar mărş grad ponom d nrpoar pro d apromar poa îmbnăăţ a rmar a mpnr ma mor ondţ d onna în nodr Ră ă o daă aaă forma fnţ d nrpoar, dpaara () a n pn a f prmaă prn nrmd aoror fnţ în nodr,, ş a aoror

24 - Capo draor a, ', '' Ră ă aor fnţ d nrpoar ş dra a în nodr po f nrpra a ş grad d bra ar dfn în înrgm fnţa p domn ondra Înrâ nodr ondra n n înr-n onn a ăr dpaăr rb ă poaă rprna, în n gnraa om înţg prn grad d bra a n nod n nma paramr ar dfn poţa pn înr-n m d rfrnţă da, ş paramr ar dfn năăţ dfrnţa Vom ondra în onnar mărm ar a mnfaţa d grad d bra:, ', '',,a fnd dpaăr noda Paramr,, n ar rprnă ombnaţ a dpaăror noda poară dnmra d dpaăr gnraa Înrâ nno probm n dpaăr noda în rmaă om prna mod d a a aora S on în a n n m d aţ agbr o aâa nno, în ar mpn ondţ p onr da d mod d rmar ş mod d înărar a rr da Conra m d aţ agbr fa în a a f prn apara orm d mnm a nrg ponţa oa d dformaţ, a prn apara prnp r man ra Vom a în a mp da prnp r man ra Dpaara ş dformaţa raă înr-n pn rn a n mn fn n da d raţ: δ () δ δ a a δ δε () a δ (79) r man ra a forţor roar q() ar aţonaă apra mn fn a f: δ q() δ() dδ q() d δ a () a () () q() d Varaţa nrg ponţa d dformaţ a mn fn ar mpn dpaăr pf ra δε () a f: (7) în a în δw σ δε dv () () E δ δ dv a a E a ( ) δ δ da d (7) ()

25 oţn nrod - 7 Pnr înraga bară nrga ponţaă d dformaţ ş r man ra obţn înmând pr d forma (7) ş (7), pnr oa n mn a rr ondra Cm onform prnp r man ra, δ δw, pm r: n EA a ( )( δ δ ) n δ q() d δ () a () a δ q() d (7) Cm dpaăr n arbrar, om ondra doă mn fn înna - ş în onforma fgra 7, pnr ar om mpn rmăoar dpaăr ra: -pnr mn - δ δ -pnr mn δ ; δ (7) a - a g 7 Vom apa raţa 7, pnr doă mn fn înna în onforma fg 7, ţnând on d dpaăr ra mp d raţ 7, ş om obţn: E A E A ( ) - ( ) a a q() d q() d a a ( ) () (7)

26 8 - Capo În mod amănăor or r pnr oa prh d mn înna aţ d forma (7), obţnând- în fna n m agbr d aţ în ar nno n dpaăr dn nodr rr a a aţ adagă ondţ d rmar onform ărora mpn anm dpaăr ar n no Roara a m d aţ prm a nnoor prmar rprna d dpaăr dn nodr rr ş apo ţnând on d fnţ d nrpoar d forma (7), po aa dpaăr în orar pn a înr a nodr Roara probm d a a ăr d nn fa în onnar ţnând on d raţ f ar fa găra înr dformaţ pf ş nn Dformaţ pf ş nn rprnă în a a nno ndar a probm S po r rmăoar raţ: I ε ( ) (75) a a a σ ε E E ( a ) (7) Dn aaă ră prnar po dprnd âa on mda prnd pra d a în a mod mn fn: - Pra d a rş în a în ar dmnn mnor fn n ma m, d în a în ar rra d rnţă împar ( opraţa d împărţr în mn fn fnd noă b dnmra d drar) înr-n nmăr ma mar d mn fn Un nmăr pra mar d mn fn poa ond, dn aa hn d a d ar dpn, f a n om pra mar d a ş mp a n mp mar d a a har a mpobaa roăr nor probm d dmnn mar, dn aaş ondrn - S po obţn ra ma apropa d raa daă nmăr d nodr ma mar D a a apăr naa d a nrod nodr pmnar a n mnor fn f p ar f în nror mnor A nodr pmnar poară dnmra d nodr ndar Trb pfa fap ă prnţa nodror ndar mpă d naa a nor mn fn ă poaă moda orpr ar a prafţ rb - Crşra pr d a obţn în a ând aă fnţ d nrpoar d grad pror 8 Tpr d mn fn ş fnţ d nrpoar O probmă dob d mporană în apara mod mnor fn gaă d agra ma por drăr ş a or ma por pr d mn fn ar ă ondă a aborara n mod d a ar ă agr pobaa obţnr nor ra â ma apropa d fnomn ra Tpr d mn fn a în aborara modor d a dob înr prn forma or gomră, nmăr ş p nodror a, p

27 oţn nrod - 9 arabor d nod (dpaăr gnraa) prm ş p fnţor d nrpoar foo nţ d nrpoar n po f a arbrar înrâ rb ă îndpnaă ondţ d onna ş ondţ d onrgnţă a oţ aproma Connaa poa f agraă în anm ondţ prn agra fnţ d nrpoar b forma n ponom agbr Condţ d ompaba înr mn mpn a fnţa ar dr omporamn nnoor probm p domn mn fn ş o par dn dra ă f onn Af în a baror oa nma d arn aa fnă afara onnăţ fnţ d dpaar () În a baror oa a înoor p ângă fnţa d dpaar () rb agraă ş onnaa dra d/d a mn fn dn aaă agor onnaa poa f afăă daă ag a ş grad d bra în nodr dpaăr a ăror onna ră a mn fn doă a r dmnn, a d mp în a ăror pan d nn ş dformaţ, probm d aa rdmnona, a în a păor, agrara onnăţ ar n arar dfr Pnr mpfar ondrăm mn fn rnghar m, g8a), a frn în formara probm pan n g a) m n b) m Donnăţ nrmn (,) m (,) ) g 8

28 - Capo Ca d-a ra dmnn a a, groma g, rprnaă n înrrp, înrâ onană p înrg domn mn fn, n apar în rprnăr obşn a a p d mn fn înrâ aoaă aa a o onană raă D fap în drăr ar fa pnr pa, mn fn n rprna prn prafaţa or mdană În g 8 b), -a rprna pnr doă mn fn înna m ş n araţa fnţ d dpaar (,), în a în ar -a a ponoam d nrpoar nar În a a onnaa nrmn afăă în mod mp prn mpnra onnăţ fnţ în nodr În a în ar aă ponoam d nrpoar d ordn pror, ondţa d onna poa ă n f afăă a n onor nrmn, g 8 ) Emn fn ar ond a o modar în ar a o onnţă a mpnr ondţor d onna p drţ grador d bra dn nodr afăă în mod aoma onnaa a n onor nrmn nm ompab a onform Pror a onnaa fnţor d nrpoar în rara d paa n prna noaţ nfa pnr dfr a n, dpă m rmaă: - În a în ar agră onnaa fnţor poară dnmra d ponoam gnraa agrang ş fa par dn aa C - În a în ar p ângă onnaa fnţor agraă ş onna draor aa, ponoam d nrpoar poară dnmra d ponoam Hrm ş fa par dn aa C,C,, C n În a noaţ a ponn apar ordn mam a dra pnr ar agraă onnaa În a mod mnor fn pra d a dpnd d nmăr d mn a în drara rr În a în ar prnr-o drar ma dnă pra d a rş în rapor o aă drar ma groră, an oţa probm onrgnă, fg Condţa d onrgnţă afăă daă fnţ d nrpoar n af a înâ n îndpn rmăoar ondţ: - ă poaă rprna or dpaăr d orp rgd, adă pnr af d dpaăr nn dd p baa fnţor d nrpoar ă r aor n; - ă onţnă rmn ar ă ondă a pr a nnor apab ă rprn ara d nn omognă p mn; Condţ d onna ş onrgnţă po f afă ngra daă ponoam d nrpoar n ponoam omp d n grad pţn ga ma mar ordn d drar ar apar în raţ dfrnţa dnr dformaţ ş dpaăr D mp pnr probma pană po a ponoam omp d grad înâ, pnr pă în ar raţ rbră dpaar apar dra d ordn do, nară ara n ponom d nrpoar grad pţn do În a în ar ponom af a n ar n nmăr fn d paramr pnr afara

29 oţn nrod - ondţ d gaa nmăr grador d bra p mn an adagă rmn pmnar d n grad ma mar Emn fn împar dn pn d dr a prnpor ar a a baa formăr onnăţ or în mn fn rra dn ar fa par mn fn d p bară ş mn d p înş ş în mn fn onn dn ar fa par mn fn d ar pană ş mn fn p ma Dpă onfgraţa gomră mn fn împar în rmăoar agor: ) Emn fn ndmona, n ma mp ş a o onfgraţ rn a rbn pnr ar a ap n paa nodr rn a prnpa prn nrmd ărora mn fn onaă mn fn înna, fg 8 Emn fn ndmnona po aa n a doă nodr pmnar nm nodr ndar paa hdan faţă d rmăţ mn, fg 8 b) odr prnpa odr prnpa Emn fn rn a) b) g 8 od ndar Emn fn rbn Emn fn ndmnona po aparţn nor rr pan a rdmnona Aor mn fn aoaă a ş onan ra arar gomr ar nrn în fnţ d nmăr grador d bra p nod măr grador d bra poa ara d a a în fnţ d oăr ar nrn a d ar ţn ama ) Emn fn bdmnona, n mn a ar onfgraţa gomră ş paramr aoaţ dfn în fnţ d doă oordona ndpndn Dnr mn fn bdmnona ma mp mn fn rnghar, fg 8, pnr ar n prna rmăoar ar: a) mn fn rnghar r nodr p mn; b) mn fn rnghar n ndar nror; ) mn fn rnghar nodr ndar rn, paa p ar mn fn; d) mn fn rnghar rbn, nodr ndar rn ş n nod ndar nrn Conn aor pr d mn fn mn fn înna raaă prn nrmd nodror rn odr ndar n nar an

30 - Capo ând nmăr oordonaor gnraa dpăşş nmăr grador d bra a mn fn a) b) ) n m d) n o m g 8 ) Emn fn aa mr, fa par dn agora mnor fn n a bdmnona ş prnă n nr pra dob înrâ an ând ara or dn pobă rd ondrab om aor Srr rdmnona aa mr rd a d nor probm ndmnona a bdmnona Smra aaă rb afăă dn oa pn d dr ş anm gomr, a rgdăţ ş a ondţor p onr În fgra 8, prnă âa ar d înărăr aa mr g 8 Pnr a o rră ă f înadraă în aaă agor nar a mara dn ar raaă rra ă f orop Car d anorop gnraă n po f înadra în agora rror aa mr În a în ar rra d rnţă n a d roţ prţ bţr ş afa ş a ondţ d aa mr an d ăr d nn ş dformaţ poa fa ând mn fn ndmnona, g 85

31 oţn nrod - Va d roţ prţ bţr g 85 În a în ar rra d rnţă n a d roţ prţ groş, probma rd a d n ţn pan a rr, fg 8 g 8

32 - Capo ) Emn fn rdmnona rprnă agora mnor fn a pnr d rror d p ma a aor rr prţ groş ar n po f moda mn fn nmra anror Emn fn rdmnona po f radra a hadra, g 87 g 87 În a ăr nor mn fn păra a b p ar mh radr a hadr ma apar â n nod a doă nodr pmnar paa a mo a a o rm p a mh 9 Condraţ prnd mara d rgda a n mn Condrăm ma mp mn m a, b forma n ror oa prn forţa, g 9 a a g 9

33 oţn nrod - 5 Înr forţa ş dpaara poa f ră raţa: (9) nd rprnă onana aă a ofn d rgda Daă ră, d rgdaa ror rprnă forţa ar prod o dpaar gaă naa În rmaă om prna moda dră ş moda ndră d drmnar a mar d rgda Moda dră, ar a baă mpnra nor dpaăr p drţ p ar aa n pob ş a p aaă baă a rţnor ar apar Aaă modă prm drmnara fără dfăţ a maror d rgda pnr mn d p bară Apara a mod înâmpnă mar dfăţ pnr mn bdmnona ş pnr mn rdmnona Pnr a m ar romandă apara mod ndr, ar o modă ma gnraă d drmnar a maror d rgda a n mn Moda ndră prpn parrgra rmăoaror ap: a Dfnra âmp d dpaăr a mn Câmp d dpaăr araraă dpaăr orăr pn aparţnând n mn În a gnra pm r o raţ d forma: (,, ) { U} (,, ) [ f(,, ) ] { a} (9) w (,, ) nd: { U } rprnă mara dpaăror orăr pn aparţnând mn ş ar o mar ooană d ordn [ f ] (,, ) rprnă mara arabor âmp d dpaăr ş o mar drpnghară d ordn n { a} mara oordonaor gnraa ar o mar d ordn n b Ca dpaăror noda { U ( )} în fnţ d oordona gnraa ş d arar gomr A a mn: { a } [ ] } { U( )} [ A] {} a (9) Eaţa maraă (9), obţn rnd âmp d dpaăr pnr far dnr nodr mn, nd: {U ( ) rprnă mara ooană a dpaăror nodror mn fn

34 - Capo [ A ] rprnă mara ar onţn oordona nodror mn ş ar dnmă mara araror gomr a aa {} a rprnă mara oordonaor gnraa a a dpaăror gnraa Ca oordonaor gnraa în fnţ d dpaăr noda raţa: a nd: { } {} a [ A] U( ) (9) În a ondţ dpaăr n pn aparţnând mn dn: { } { U} [ f(,, ) ] [ A] U( ) { } { U} [ ] U( ) (95) (9) [ ] [ f (,,) ] [ A ], (97) ş poară dnmra d mara d nrpoar a dpaăror p domn mn d Ca dformaţor pf a mn în fnţ d dpaăr { U ( )} noda Aând no âmp d dpaăr prm ş raţ dfrnţa dnr dformaţ pf ş dpaăr, ând raţa 95, obţn: { } ' { ε} [ f (,,) ] [ A] U( ) ' ăând noaţa: [ f (,,) ][ A] [ B] ră: Mara [ ' (98) (99) { ε } [ B] { U( )} (9) [ f(,, ) ] f (,, ) ] obţn prn dfrnţra mar în rapor,, în fnţ d dformaţ pf aa d Ca nnor { σ} ]n fnţ d dpaăr noda Apând ga Hoo: nd: { } [ ] {} ε { U ( )} σ D (9) [ ] D rprnă mara d aa a mara Aând în dr aţa (9), obţn:

35 oţn nrod - 7 d nd { } { } [ D ] [ B] U ( ) σ (9) f Sabra raţ dnr forţ noda ş dpaăr nodror mn Apând prnp r man ra, poa r: T T δu { } { δε} { σ} dv (9) { } ( ) V Dn aţa 9 obţn: δε (9) { } { } [ B] δu( ) T { } ( ) { δu } T [ B] T δε (95) Înond raţ (9) ş (95), în aţa (9), obţn: T T T { δu ( ) } { ( ) } { δu( ) } [ B] [ D] [ B] { U( ) } dv (9) Înrâ mar { }, ( ) T { U( ) } ( ) V U T { } U δ n dpnd d oordona,, poa r: T T δ { } { δu( ) } [ B] [ D] [ B] dv{ U( ) } (97) V d nd ră: T { ( ) } [ B] [ D] [ B] dv{ U( )} (98) V Daă foom noaţa: T [ K] [ B] [ D] [ B] dv (99) V an aţa 97, dn: { ( )} [ K ] { U ( ) } (9) nd: { } ( ) or ooană a forţor noda apa mn, {U ( )} rprnă or ooană a dpaăror noda a mn, [ K ] rprnă mara d rgda a mn

36 Capo EEMETE IITE UIDIMESIOAE Emn fn d p bară n ngr grad d bra p nod a Ca mar d rgda pnr mn d p bară araă (Emn d p TRUSS) a Moda dră S ondră mn fn rprna d o bară araă a ap, d rgda onană pnr ar n prm nma dpaăr în ng a O, g g Prpnm ă în nod mn înrgraă o dpaar în mp în nod în onforma mod d rmar orţ aa ar aţonaă a rmăţ mn po f r b forma: E S E S K ; K () nd S rprnă ara ţn ranra a mn ondra Înrâ dn pn d dr a mpn ondţa: () Raţ () po f r b formă maraă b forma: K K {} () K K În mod anaog daă în nod mpn o dpaar, rp pnr nod mpn, g, forţ ar aţonaă în nodr dn:

37 Emn fn d p bară - 9 K E S ; E S K () În a ondţ mara d rgda [ K ] a mn în rapor m d a oa poa r b forma: K K E S [ K ] K K (5) g a Moda ndră Sabra mar d rgda o om fa pând d a modooga pă în prnara agorm mod mnor fn prna în paragraf 7 S apă pnr dpaăr p domn mn fn n ponom d nrpoar d grad n Dpaara n pn arbrar M p drţa a, fg, poa f apromaă prnr-n ponom d nrpoar d forma: U () a a () Eaţa () poa f ră b formă maraă dpă m rmaă: a [ U() ] [ ] (7) a a: U() f a (8) [ ] [ ] { }

38 - Capo nd: ; { } [] [ ] f a a a Dpaăr nodror on în mara, nmă mara dpaăror noda a mn fn, om prma în fnţ d oordona gnraa { } U Aând în dr ă pnr mn fn anaa no oordona nodror, prpnând no dpaăr a aor nodr, po r ondţ d forma U( ), ar n ond a aţ: a a a (9) a b formă maraă: () { } [ ] {} a A a a U nd -a fă noaţa: [ ] A Dn aţa () ră oordona gnraa în fnţ d dpaăr noda: { } [ ] { } U A a () Inrând mara [A] obţn: [ ] A () În a ondţ ră: { } [ ] () U () Sa: { } [ ]{ U () U } () nd: [ ] (5)

39 Emn fn d p bară - poară dnmra d mara d nrpoar a dpaăror p domn mn fn Pnr a dformaţor pf a mn în fnţ d dpaăr noda { U }, paă d a pra dformaţ pf nar U S poa r: { ε } [ ] Ră: a: { ε } [ ] { } [ B] { } U U ε () ε (7) nd: [ B] [ ], (8) poară dnmra d mara d nrpoar a dformaţor pf p mn Epra fnaă pnr dformaţa pfă ε ( ), dnă pra (75) Pnr a nnor { σ }, admţând aabaa g Hoo, ră: Sa: { σ } { ε } [ ] E E (9) { } E { ε } E [ B] { U } σ () E Sb formă dfăşraă: σ ( ) () K a mn foom raţa d Pnr a mar d rgda [ ] dfnţ (99) În onforma raţa (99), poa r: () T [ K ] [ B] [ D] [ B] dv E [ ] dv V

40 - Capo Ţnând on ă bara d ţn onană S, poa r:dv Sd În a ondţ ră: E S [ K ] E [ ] S d () Srr pan d bar ara Pnr pnra în dnţă a mod d apar a mod mn fn în a onr a rror d bar ara, om rmăr ap d roar a probm p n mp d rră raaă dn r bar ara, g propnm a pnr aaă rră ă aăm dpaăr pob a nodror, prm ş nn dn bar omponn I Drara rr în a a foar mpă înrâ far bară araă omponnă, rprnă d fap n mn fn â doă nodr far mroara nodror -a fă d o în ş d a ânga a drapa Pnr dnfara şoară a nodror ş mnor, nodr -a nmroa în părăţ ar mn în rţ Aaş rgă o om păra p parr înrg răr Pnr d rr apă pnr far nod â doă grad d bra, rprna d omponn dpaăror nar dpă doă drţ a m goba d a XOY Dpaăr noda fnd în a a noa b forma, a, rprnă dpaăr nar a nod, (nd,,), dpă drţ a II Pnr far mn în par mpn â n m d a propr în ar aa ornaă d-a ng bar, orgna în nod aând n po pr nod În a ondţ p baa or prna în paragraf anror, pnr far mn în par r mar d rgda în rapor m d a propr Ţnând on d da probm poa r: E S [ K ] * ES ; [ K ] * E S ; [ K ] * ()

41 Emn fn d p bară - P 5 P r grad { U } d bra 5 g S-a noa [ * K ] mara d rgda a mn în rapor m d a propr, (,,) III Dmnara maror d rgda a făr mn în par în rapor m d a gnra Pnr abra aor mar nară ara n raţ d ranformar înr dpaăr * { U } drmna în rapor m d a oa ş dpaăr { U } drmna în rapor m d a gnra S propn în a n o dpndnţă d forma: * U T U } () ] { } [ ] { nd [ T rprnă mara d ranformar dn m goba în m oa În a în ar raţa ( ) o om ranr în dpaăr ra om obţn: * { δ U } [ T] { δu } () Înrâ r man ra n dpnd d m d a, ră:

42 - Capo nd: { } T T * { U } { } { δu } { } * δ () rprnă mara forţor noda raporaă a m d a gnra, { } orpnăor dpaăror U { * } mara forţor noda rapora a m d a oa * Dn aţ (), ş (), ră: T T T * { δ U} { } { δu} [ T] { }, (5) rp: T { } [ T] { * } () Dar: * * * { } [ K ] { U } (7) dn aţ (), () ş (7) poa r: orpnăor dpaăror { U } T * { } [ T] [ K ] [ T] { U } (8) Daă în aţa (8), fa noaţa: T * [ K ] [ T] [ K ] [ T] (9) nd [ K ] rprnă mara d rgda a mn în rapor m d a goba Ră aţa fnaă: { } [ K ] { U } () IV Condraţ prnd mara d ranformar [ T ] În rmaă a arăa mod d onr a mar d ranformar [ T] dn raţa (), pnr n mn d p bară, înnaă ngh α faţă d oronaă, g

43 Emn fn d p bară - 5 * * * * E, S, O α g În onforma g, m d a * O * rprnă m d a oa ar O rprnă m goba d a D amna fa rmăoar noaţ: oα ; n α m () α * α α g Conform fgr, poa r: * oα n α () În mod anaog poa arăa ă: * o α n α () S po r rmăoar raţ:

44 - Capo * m () * m Sm () r b formă maraă dn: (5) * * m m Dn raţ () ş (5) ră ă mara d ranformar a aa rmăoara formă: () [ ] m m T Aând în dr pr mar d ranformar daă d raţa () ş a mar d rgda a mn, raţa (9), poa r: [ ] K E S m m m m (7) d nd ră: m m m m m m [ ] K E S (8) rp:

45 Emn fn d p bară - 7 a: [ ] K E S m m E S K m m m m (9) m m m m m m [ ] o α oα n α o α o α n α o αn α n α o α n α n α o α o α n α o α o α n α o α n α n α () o α n α n α V Conra maror d rgda a mnor omponn în rapor m goga d a Da probm prnaă în fgra, n r b formă abară, Tab Tab r odr, ngma Ara Coordona nodror în rapor m d a goba Mod d α aa [ ] - mn, S E, S E 5 m, S E 9 În a bar nod ond nod ş nod nod În a bar nod ond nod ş nod nod În mod anaog în a bar nod ond nod ş nod nod oond ab ş pra gnraă a mar d rgda [ K ] daă d raţa () om r mar d rgda a făr bar faţă d m d a goba O:

46 - Capo 8 grad d bra grad d bra 5 [ ] S E K () 5 [ ] S E K () [ ] S E K () Pnr r mar, nmroara nor ş ooanor -a fă în onordanţă grad d bra pnr nodr, a făr mn fn în par VI Aambara maror d rgda în mara d rgda [ ] g K a rr Aambara o om fa apând prod prpoţonăr Conform a prod mar d rgdaa a mnor pandaă a dmnn mar d rgda a rr ar mara d rgda a rr obţn prn înmara maror d rgda panda a mnor Dmnn mar d rgda a rr n da d nmăr oa a grador d bra pnr înraga rră măr grador d bra a rr aaă dn prod dnr nmăr d nodr ş nmăr grador d bra p nod Af în a nor om aa: (nodr / rră) (grad d bra / nod) (grad d bra /rră) 5 5 grad d bra

47 Emn fn d p bară - 9 Prod prpoţonăr prpn pandara maror d rgda a mnor a dmnn mar d rgda a rr Epandara fa mpnând aor n pnr ooan ş n dn mar d rgda a mnor ărora n n aoa grad d bra În a ondţ mara d rgda pandaă a mn nmăr, a f: Grad d bra a mn fn nmăr 5 [ ] S E K [ ] S E K () În mod amănăor obţn mar [K ] ş [K ] : [ ] S E K (5) Grad d bra a rr (), - () 5, Epandara mar [K ] -

48 5 - Capo E S () [ K ] În a ondţ mara d rgda obţn prn înmara : [ K g ] [ K] [ K] [ K] (7) Ţnând on ă în ma dn raţa (7) n rmn n n, a o onnţă a onnor mnor fn, pra fnaă a mar d rgda a rr a f d forma: () () () () () () () () K, K, K, K, K, K, K,5 K, () () () () () () K, K, K, K, K,5 K, () () () () () () [ K g ] K, K, K, K, K,5 K, S I M () () K, K, () K,5 () () K 5,5 K 5,5 () K, () () K 5, K 5, () () K, K, (8) Dpă înor obţn mara d rgda pnr m forma dn r bar ara:,5,5,5,5,5,5,5,5 E S K g (9),5,5,5,5,5,5,5,5 [ ] VII Impnra ondţor d hbr ş ondţor p onr Srra rb ă afaă m d aţ d hbr d forma: { g } [ Kg ] { Ug} ()

49 Emn fn d p bară - 5 Ţnând on d da probm aţa în () dn: () [ ] g K Prn mpnra ondţor p onr în onordanţă da probm, -P; P ş, aţa (), dn: S E P P,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 () Uând rg d înmţr a maror, poa raa parţonara aţ mara (), obţnând- doă m d aţ dpă m rmaă:,5,5,5,5 S E ş () 5 5 5,5 S E P P ()

50 5 - Capo Dn ma aţ ră: P ; ş 5,88 ( ) P E S P ; (5) E S E S Înond doă dpaăr în aţa (), obţn raţn dn nodr ş, dpă m rmaă: - P; - P; P; () VIII Înrâ dpaăr a fo aa anror po drmna ş nn dn bar m ş om obţn: Δ P - bara E E σ ε E E (7) S -bara, (în onforma g ), α α g ( oα n α) oα n α P σ E (8) S - bara σ ( ) (9)

51 Emn fn d p bară - 5 Apaţ Apaţa A Pnr rra d bar ara dn g A, r ă a raţn ş dpaăr dn araţ S no: P5 K; A mm ; A mm ; m; E MPa * P * * * α5 g A Emn fn, ş rapora a m d a goba O, ş m d a oa * O *, n rprna în g A a, b, Rmarăm fap ă m d a oa a aa * ornaă d-a ng mn, orgna în nod ş n po pr nod, ar aa * ompaă m d a aran drp

52 5 - Capo Mar d rgda a mnor fn rapora a m d a oa în onforma raţa (), n da d raţ (A), ar în rapor m d a goba, în onforma raţa (9), n da d raţ (A) * * * α * * * O * α5 α9 O b) a) g A Tab A r mn od -r, ngma Ara Coordona nodror în rapor m d a goba Mod d α m aa [ ] o(α) n(α), S E 9, S E, S E 5

53 Emn fn d p bară - 55 [ ] S E K * ; [ ] S E K * ; [ ] S E K * (A) [ ] K ; [ ] K ; [ ], K (A) Mar d rgda panda or f: [ ] K (A) [ ] K (A) 5 Grad d bra 5

54 5 - Capo,5,5,5,5,5,5,5,5 (A5),5,5,5,5,5,5,5,5 [ K ] [ ] Mara d rgda a rr a f:,5,5,5,5,5,5,5,5 K g 8858 ; (/mm) (A),5,5,5,5,5,5,5,5 Condţ p onr n: * * P; (A7 Pnr ondţa *, rb rmara fap ă dpaara * n ornaă dpă drţ grador d bra a rr, a rmar a fap ă ram * * * α α * * * g A

55 Emn fn d p bară - 57 mob dn nod înna ngh α faţă d aa Vom ranforma dpaara * dn m d a oa în m d a goba, g A S poa r: * n α oα m Înrâ α 5, nαoα, ar *, obţnm ondţa: (A8) Aaă ondţ d forma C, poară dnmra d onrângr mpă d pn În mod amănăor pnr raţna * poa r: * m ( ), ) ( a: (A9) Pnr înraga rră or forţor noda roar ş a dpaăror noda dpă mpnra ondţor p onr dn: P { g} ; { Ug} (A) În fna ang a rmăor m d aţ:,5, ,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 (A)

56 - Capo 58 D a obţn m:,5,5,5, P (A) a ar aaşaă aţ (A8) ş (A9) Dpă înor obţn m:, (A),5,5,5, P d nd obţn: 8858 P ş P (A) Înond a oţ în (A), om obţn: (A5) P P P,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 5 5 (A) { } ) (, ,5P,5P P,5P,5P P g

57 Emn fn d p bară - 59 Apaţa A Pnr rra d bar ara dn g A, r ă a raţn ş dpaara p raă a pn d apaţ a forţ S no: P5 K; S mm ;,7 m; E MPa α5 / P g A Roar: În roara probm om a nmroara nodror dn fgra A, ar da d nrar nar onr maror d rgda a mnor n prn în ab A 5 α5 P / 5 g A

58 - Capo Tab A r mn odr, ngma Ara Coordona nodror în rapor m d a goba Mod d aa α [ ] o(α) m n(α), / S / / E 5 / /, S E, / S / / E 5 - / /, S / / / / E 5, / S / / E 5 / /,5 S E 7 5, / S / / E 5 - / Mar d rgda a mnor în rapor m d a goba n:,5,5,5,5 E S [ ] [ ],5,5,5,5 K K5 (A),5,5,5,5,5,5,5,5 E S (A) [ ] [ K ] [ K ] K,5,5,5,5 E S,5,5,5,5 (A),5,5,5,5,5,5,5,5 [ ] [ K ] K 7 /

59 Emn fn d p bară - Mar d rgda panda n: [ ],77,77,77,77,77,77,77,77,77 S E K (A) m r [ ] S E K (A5) m r [ ],77,77,77,77,77,77,77,77,77,77 S E K (A) m r

60 - Capo [ ] S E K (A7) m r [ ],77,77,77,77,77,77,77,77,77,77 S E K 5 (A8) m r [ ] S E K (A9) m r m r

61 Emn fn d p bară - [ ],77,77,77,77,77,77,77,77,77,77 S E K 7 (A) m r Dpă aambar ş mpnra ondţor p onr obţn rmăor m d aţ:,77,77,77,77,77,77,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,77,77,77,77,77,77 S E P 5 5 (A) Dn a m d aţ po r rmăoar m d aţ:,,77,77,77,,77,77,,77,77,77, S E P (A)

62 - Capo,77,77 E S,77,77 (A),77,77 5,77 5,77 Dn m d aţ (A) obţn:,9 (A),79,9 Dn m d aţ (A), oţ (A), obţn:,8,8 5,7 (A5) 5,7 5,8 5,8 Apaţa A Pnr rra dn fgra A, r ă a raţn ş dpaăr dn nodr S no: P5 K; q K/m; S mm ;,7 m; E MPa α5 P ()

63 q (/mm) / Emn fn d p bară - 5 g A Roar: Înrâ arn po apa nma în nodr nar a arna aaă drbă q, ă f înoă prnr-o arnă hană Shma d înărar hană prnaă în fgra A Doar faţă d apaţa A n dfr nma ondţ p onr, om a mara d rgda a rr dn aţa (A) Prn mpnra ondţor p onr obţn rmăor m d aţ: q/ q/ α5 / P () g A,77,77,77,77,77,77,77,77 q/,77,77,,77,77,77,77,,77,77 ES,77,77, P,77,77, q/,77,77,77, Dn m (A) obţn: q/,,77,77,,77,77 E S,77,77, P,77,77, q/,77,77,77,77,77,77,,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,77,77,77,77 (A)

64 - Capo (A) -,77 E S -, ,77 - -,77 - Dn (A) ş (A) ră: -,77,77,77 -,77 (A),5,78,9, (mm); 7,5 () (A),, 5,9 5,5,57 Apaţa A Pnr aaş rră d bar ara prnaă în apaţa A, pnr ar înă ram dn drapa ranformă înr-n ram mob, ga, r ă a dpaăr nodror ş raţn dn ram Roar: Mara d rgda fnd aaş a în a apaţ A, modfă ondţ p onr în onforma mod d rmar prna în g A ş obţn rmăor m d aţ: q (/mm) α5 / P ()

65 Emn fn d p bară - 7 g A,77,77,77,77,77,77,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,77,77,77,77,77,77 S E q/ P q/ 5 5 (A) Dn m (A) obţn: 5,77,77,77,77,,77,77,77,,77,77,77,77,,77,77,77,77,77,77,77,77,,77,77, S E q/ P q/ (A) 5 5 -,77 -,77,77 -,77 -,77 -,77 -,77 S E (A)

66 8 - Capo Dn (A) ş (A) ră:,,,8 7, (mm); () (A), 7,5,,7,5 5, 5, Srr paţa d bar ara În a rror paţa d bar ara foo raţ prna T, daă d raţa în paragraf ş, obraţa ă mara d ranformar [ ] () rb modfaă Modfara mar d ranformar [ T ] fa ţnând on d fap ă în a rror paţa d bar ara far nod în m d a propr * * *, a mn fn ar n grad d bra ar în m d a goba, a rr a aa r grad d bra p nod, g * * (α, β, γ,) * * w w * g

67 Emn fn d p bară - 9 Daă α, β, γ, n nghr p ar fa aa * a m d a oa a, ş a m goba d a, noaţ: oα; m oβ; n oγ; () ră: () * * w w n m n m a: { } [ ] { } * U T U () nd: [ ] n m n m T () Raţa (9), d ranformar a mar d rgda a mn dn m d a oa în m d a goba a f: [ ] n m n m S E n m n m K (5)

68 - Capo 7 [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n m n n n m n n m m m n m m m n m n m n n m n n n m n n m m m n m m m n m n m S E K () În onforma raţa (), forţ noda roar apa mn fn, rapora a m d a goba, g, or f: { } [ ] { } * * * T n m n m T (7) * (α, β, γ,) * * * * * g

69 Emn fn d p bară - 7 Apaţa A Pnr rra d bar ara dn g A, r ă a raţn ş dpaara araţ S no: P K; S mm ; m; E MPa P O,5 C g A Roar: mroara nodror ş mnor fn în onforma mod d drara a rr prnaă în g A Da d nrar proar a gomra rr n prn în ab A Tab A r m odr, Grad d bra o α o β o γ,,,,,5,, 7,8,9,,5,,5,5,,97,5,5,5 -,59,8,7

70 7 - Capo P w O w w g A Mar d rgda a mnor rapora a m d a goba, în onforma raţa (), n: [ K ] E S [ K ] E S

71 Emn fn d p bară - 7 Mar d rgda panda n: [ K ] E S [ K ] E S Mara d rgda a rr, dpă înora aoror nmr, : [ ] K g

72 7 - Capo Dn m d aţ goba, prn mpnra ondţor p onr obţn rmăor m d aţ: [ Kg ], P w dn ar obţn rmăoar m d aţ: 7,8,8 ; P,8 8, w, ,7,87 9,7 7,7,77,89 w 5,,98 7,8,95,98 8,8 Dn ar obţn oţ: 9 w 5 (mm) ()

73 Emn fn d p ar - 75 Emn fn d p ar E d p ar oda ar arar omn E d p bară n ngr grad d bra p nod ş anm poa pra nma arn d înndr a omprn Conana aă a mn a d p ar oda pr rân d forma: Gd, () R n nd: G- mod d aa ranra; d- damr ârm dn ar onfţona ar; R- damr md d înfăşrar a pr, g ; n- nmăr d pr a a ar DR d g Prn anaog E d p bară araţ ş în onforma raţ () a (5) ş g, poa r: Gd () R n a K U () { } [ ] { } nd: Gd [ K ], mara d rgda a R n mn;

74 7 - Capo { } ş { }, n mar forţor noda roar rp mara dpaăror noda a mn Pnr rr raa dn m d arr, rb ă ţnă on d mod d aşara a arror în adr rr Pnr arr aşa în r, g, n propnm ă abm aţ d hbr ş apo ă aăm dpaăr nodror ş ş forţa dn nod în rmăoar ondţ p onr: ş P Arr n d rgdăţ dfr, P P g Pnr far E apă raţa () ş obţn: ş, () nd -a fă noaţ: - raţna dn nod pnr mn fn ; - dpaara a nod : onana aă a ar Dmnn mar d rgda a rr n da d nmăr oa a grador d bra În a nor om aa: (nodr/rră) (grad d bra/nod) (grad d bra/rră) (5) Mara d rgdaa rr d arr aşa în r a f d o mar Condrând hbr făr nod obţn: ; ; () Raţ () on r ţnând on d () ş om obţn:

75 Emn fn d p ar - 77 ( ) ( ) Sb forma maraă m d aţ dn: g (7) Sa: { } [ ] { } g g g U K (8) nd: [ ] g K - mara d rgda a m d arr; { } g ;{ } g U, mar forţor noda ş dpaăror m d arr O aa modă a obţnr mar d rgda a rr o rprnă moda aambăr prn prod prpoţonăr Mar d rgda panda ş înma ond a pra: (9) În onforma nnţ probm, ondţ p onr n: ş P () În a ondţ obţnm rmăor m d aţ: P P () Sm () poa r b forma:

76 78 - Capo - () P () P d nd ră: P P P ; ; -P Apaţa A S r ă a: -mara d rgda a m d arr -dpaăr nodror ş -forţ d raţ dn ş -forţa dn ar P g S no: a) Conan arror, /mm; /mm; /mm; b) Vaoara forţ P5 ; ) Dpaăr Roar:

77 Emn fn d p ar - 79 Prn rmar ră: Apând ondţ p onr, ş ş P, obţnm: P P d nd obţn: P ş Dpă roar, obţn: 5 P mm; 5 P mm;

78 8 - Capo rp - U - - U - orţa dn ar, o om aa, pând d a aţa - ( ar afă în hbr) Apaţa A Să găaă mara d rgda a m d arr dn fgra A ş ă abaă daă aaa a n mar ngară g A Roar mroara nodror ş mnor în onforma g A arbrară Conn mnor ş n prna în ab A

79 Emn fn d p ar - 8 Tab A măr mn odr, Grad d bra,,,,,5,5,, Mar d rgda a mnor rapora a m d a propr n: [ ] K ; [ ] K ; [ ] K ; 5 [ ] K 5 S pandaă mar d rgda a mnor a dmnn 5 5 ş raranând- dpă rr nmroăr grador d bra a m, obţnm: [ ] 5 K ; ; [ ] K 5

80 - Capo 8 [ ] K ; [ ] ; K Dpă aambar mara d rgda a rr : 5 [ ] 5 K g Apaţa A Pnr m d arr dn fgra A, r ă a raţn ş dpaara pn d apaţ a forţ S no: P5 ; /mm; /mm; /mm; 5 /mm; α5 ; β ; γ5

81 Emn fn d p ar - 8 γ5 P β α5 g A Roar mroara nodror, mnor ş grador d bra prnaă în fgra A γ5 O P α5 β g A

82 - Capo 8 Mar dpaăror ş a forţor noda pnr înraga rră n: { } ; U 5 5 g { } 5 5 g Mar d rgda a mnor rapora a m d a goba ş panda n: [ ] m K [ ] m K

83 Emn fn d p bară - 85 [ ] m K [ ] 8,95 9,, m 8,95 9, 8,95 9,, 9,, K Dpă mpnra ondţor p onr ş aambara maror d rgda a mnor în mara d rgda a rr, obţn m: 8,95 9,, m S ,95 9, 75 8,95 9,, 5,8, P 5 5

84 - Capo 8 Dn ar ră rmăoar oţ:,9, (mm);,5 5,9,79 7,9,9,9, 5 5 ()

85 Emn fn d p bară Emn fn d p bară nodr rgd doă grad d bra p nod 5 Conra mar d rgda Moda dră În rmaă prnăm mn fn nodr rgd apab ă mod grn oa a înoor pană În a a n nar grad d bra p nod Grad d bra n rprna d dpaara nară () ş d dpaara nghară d() ϕ ( ) a ţn T d T M ranra a bar, g M 5 E, I,A Sţna ranraă a bar dfnă d ara A ş momn d nrţ aa I ϕ ngma mn fn d bară, ar bara raaă dn aaş mara aând mod d aa ongdna E ϕ Pnr rr pan dn agora dn ar fa par mn fn doă grad d bra p g5 nod, ând n apa forţ ăoar ş momn înoooar, aţa pnr mn fn d forma: { } [ K ] { U } (5) ar pnr mn a rmăoara în omponnţă: T,,,, M ϕ { } { } [ ],,,, ; U ; K (5) T,,,, M ϕ,,,, nd: T, T, n forţ ăoar dn nodr,; M, M, n momn înoooar dn nodr,;, ϕ, rprnă dpaara ş roaţa ţn mn d bară în nod în pan drmna d m d a propr O Aa prpndară p pan O ompaă m d a aran drp;, ϕ, dm pnr nod ;

86 88 Capo,m rprnă omponn mar d rgda [ K ], a mn fn,,, ş m,,, Smnfaţa omponnor mar d rgda a mn fn n ond a mod d a dr a aora Înom în raţa (5), pr (5), pnr ar în mara dpaăror noda a mn mpn rmăoar aor: ϕ ϕ ş S obţn rmăor m d aţ: T M T M,,,,,,,,,,,,,,,, mroara grador d bra p mn (5) D a obţn gaaa: T M T M,,,, (5) Ră ona ă în a în ar mpn o dpaar gaă naa p drţa grad d bra n a mn fn ar a grad d bra n boa, an mn ooan n dn mara d rgda rprnă raţn ar apar în nodr Dpă aaă prodră prn apara mod forror or aa în onnar omponn mar d rgda Pnr înp om mpn rmăoar dpaăr, g 5,: ϕ ϕ ş, (55) E, A, I,,,, g 5