الدرس األول: متييز مثل ث متساوي الساقني

Transcript

1 الوحدة الرابعة عرشة: مثل ث متساوي الساقني الدرس األول: متييز مثل ث متساوي الساقني أمامكم رسمة املثل ث Δ ر سم فيه متوسط ارتفاع ومنص ف زاوية م ن الرأس. يف أي مثل ث تتحد هذه القطع الثالث نتعل م كيفي ة متييز مثل ثات متساوية الساقني حسب الصفات. صفات مثل ث متساوي الساقني للتذكري برهنا يف املايض النظري ات التالية: زاويتا القاعدة يف املثل ث املتساوي الساقني متساويتان. إذا كانت يف مثل ث زاويتني متساويتني فإن املثل ث متساوي الساقني. يت حد كل م ن منص ف زاوية الرأس املتوس ط للقاعدة واالرتفاع للقاعدة يف مثل ث متساوي الساقني. برهنا يف املايض النظري ة التالية: أ. 1. نظري ة منص ف زاوية الرأس يف املثل ث املتساوي الساقني يقس م املثل ث إىل مثل ثني متطابقني. اكتبوا املعطيات واملطلوب برهانه بكتابة رياضي ة وبرهنوا. ب. عل لوا االستنتاجات التالية: = ت. ارشحوا النظري ة: يت حد يف املثل ث املتساوي الساقني كل م ن منص ف زاوية الرأس االرتفاع للقاعدة واملتوسط للقاعدة. نظري ات.I.II.III نظري ة التطابق ض. ز. ض يق سم من صف زاوية الرا س في المث لث المتساوي الساقين المث لث ا لى مث لثين متطابقين. من صف زاوية الرا س في مث لث متساوي الساقين هو ارتفاع للقاعدة ا ي ضا. من صف زاوية الرا س في مث لث متساوي الساقين هو متو سط ا ي ضا. الارتفاع للقاعدة في مث لث متساوي الساقين هو متو سط للقاعدة ا ي ضا. الوحدة الرابعة عرشة: مثل ث متساوي الساقني 271

2 متييز مث لث متساوي الساقني حسب رشوط كافية ﻧﻔ ﻛﺭ ﺒ... كل نظري ة م ن النظريتني I و III اللتان تظهران يف اإلطار ونحصل عىل رشوط كافية.2 نب دل بني املعطى واالستنتاج يف لتمييز مثل ث متساوي الساقني. منصف الزاوية يف مثل ث ارتفا عا للضلع املقابل فإ ن املثل ث متساوي الساقني. ا دعاء عكيس للنظري ة :I إذا كان متوسط ا لنفس الضلع فإ ن املثل ث متساوي الساقني. ا دعاء عكيس للنظري ة :III إذا كان االرتفاع ألحد األضالع يف مثل ث كل ا دعاء وبرهنوها. اكتبوا املعطيات واملطلوب برهانه يف ﻧﻔ ﻛﺭ ﺒ....3 نب دل بني املعطى واالستنتاج يف نظري ة ( II يف اإلطار) ونحصل عىل رشط كاف إضا يف لتمييز مثل ث متساوي الساقني. متوسط ا للضلع املقابل فإ ن املثل ث متساوي الساقني. ا دعاء عكيس للنظري ة نظري ة :II إذا كان منصف الزاوية يف مثل ث أ. اكتبوا املعطيات واملطلوب برهانه يف هذا اال دعاء. ب. للربهان ارسموا بناء مساعد = : وارسموا ( انظروا الرسمة). Δ برهنوا Δ : برهنوا أ ن املثل ث Δ متساوي الساقني. ارشحوا ملاذا = ﻧﺴﻤﻲ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﺍﻟﺬﻱ ﻓﻴﻪ ﺿﻠﻌﺎﻥ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺎﻥ "ﻣﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ" ﺗﻌﺮﻳﻒ : ﺷﺮﻭﻁ ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ ﺻﻔﺎﺕ ﻣﺜﹼﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ ﺯﺍﻭﻳﺘﻲ ﺍﻟﻘﺎﻋﺪﺓ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﺎﻥ. ﻓﺈ ﹼﻥ ﹺ ﻋﻜﺴﻴﺘﺎﻥ ﻟﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﺯﺍﻭﻳﺘﲔ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺘﲔ ﻥ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ. ﻓﺈ ﹼ ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻭﻫﻮ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ ﻓﺈ ﹼﻥ ﻋﻜﺴﻴﺘﺎﻥ ﻟﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﺃﻳﻀﺎ ﻟﻠﻀﻠﻊ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﻓﺈ ﹼﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﹰ ﺃﻳﻀﺎ. ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺮﺃﺱ ﻫﻮ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﹰ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ. ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻭﻫﻮ ﻋﻜﺴﻴﺘﺎﻥ ﻟﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ ﻓﺈ ﹼﻥ ﺃﻳﻀﺎ ﻟﻠﻀﻠﻊ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﻓﺈ ﹼﻥ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﺍﻟﺮﺃﺱ ﻫﻮ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﹰ ﺍﳌﺜﻠﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ. ﺃﻳﻀﺎ. ﹰ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ ﻓﺈ ﹼﻥ ﺃﻳﻀﺎ. ﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻟﻠﻘﺎﻋﺪﺓ ﻫﻮ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﹰ 272 ﻋﻜﺴﻴﺘﺎﻥ ﻟﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﺍﺭﺗﻔﺎﻉ ﻟﻠﻀﻠﻊ ﻭﻫﻮ ﺃﻳﻀﺎ ﻟﻨﻔﺲ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﻓﺈ ﹼﻥ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﹰ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺴﺎﻗﲔ.

3 ﻣﺟﻣﻭﻋﺔ ﻣﻬﺎ ﻡ ستجدون يف موقع "الرياض يات املدمجة" "מתמטיקה משולבת" يف قسم ف عال يات محوسبة "פעילויות מחשב"مها م بديلة لقسم م ن املها م يف مجموعة املها م. س جل تحت امله مة املشار إليها ﺒ * اسم امله مة البديلة يف املوقع..1 ﻧﻈﺮﻳﹼﺔ إذا كان املثل ث Δ متساوي الساقني والقطعة توازي القاعدة فإ ن املثل ث Δ هو مثل ث متساوي الساقني أيض ا. س جلوا املعطيات واملطلوب برهانه بكتابة رياض ية وبرهنوا النظري ة. (استعينوا بالرمز ) = β.2 ﻧﻈﺮﻳﹼﺔ إذا كان املثل ث Δ متساوي الساقني والقطعة توازي الساق فإ ن املثلث Δ هو مثل ث متساوي الساقني أيض ا. س جلوا املعطيات واملطلوب برهانه بكتابة رياض ية وبرهنوا النظري ة. ينصف الزاوية.3 ﻣﻌﻄﻰ يف الشكل الرباعي N Y :NY و Y جدوا يف الرسمة مثل ث متساوي الساقني وبرهنوا.. Y N.4 أمامكم رسمة مخ مس منتظم وخمسة أقطاره. أ. احسبوا مقدار الزوايا التي تظهر يف الرسمة وم يزوا مثل ثات متساوية الساقني. كل زاوية يف املخ مس املنتظم هو ).108 (للتذكري : مقدار ب. كم مثل ث ا متساوي الساقني مختلف ا (غري متطابق) وجدتم ت. كم مثل ث ا متساوي الساقني يوجد يف الرسمة ث. س جلوا زوجني مختلفني م ن املثل ثات املتشابهة. G H M K L 273

4 5. أ. نظري ة يف املثل ث املتساوي الساقني االرتفاعان للساقني متساويان يف الطول. سج لوا املعطيات واملطلوب برهانه بكتابة رياضي ة وبرهنوا. ب. يف املثل ث املتساوي الساقني منفرج الزاوية مير االرتفاعان للساقني خارج املثل ث. ارسموا وافحصوا هل الربهان الذي سج لتموه يف بند أ مناسب لهذه الحالة أيض ا ت. نبد ل أحد املعطيات باملطلوب برهانه: إذا كان االرتفاعان لضلعني يف مثل ث متساويني يف الطول فإن املثل ث متساوي الساقني. سج لوا املعطيات واملطلوب برهانه وبرهنوا. M V R 6. معطى مثل ث MR هو مثل ث متساوي الساقني MR(.)M = L, V, هي منتصفات أضالع املثل ث. برهنوا أن ΔLV متساوي الساقني. L M 7. معطى مثل ث هو مثل ث متساوي الساقني. =.M = M : هي نقطة داخل املثل ث بحيث أن M برهنوا: M ينص ف الزاوية. الوحدة الرابعة عرشة: مثل ث متساوي الساقني 274

5 .8 مثل ث هو مثل ث متساوي الساقني. = M هي نقطة داخل املثل ث بحيث أ ن.M = M : أ. برهنوا : ب. هي نقطة تقاطع امتداد M و. ارسموا وبرهنوا M : هو ارتفاع يف املثلث.ΔM منصف الزاوية يف املثل ث متوسط وهو عل لوا ملاذا M هو ينصف الزاوية. M *.9 M.ΔM و هام مستقيامن متقاطعان. = N = N = N أ. هل ميكن االستنتاج أ ن ΔN هو مثل ث متساوي الساقني إذا كانت اإلجابة نعم فربهنوا. إذا كانت اإلجابة ال فارسموا مثالا مضا دا. ب. هل ميكن االستنتاج أ ن N N إذا كانت اإلجابة نعم فربهنوا. إذا كانت اإلجابة ال فارسموا مثالا مضا دا. اسم امله مة البديلة يف املوقع " : هل ميكن االستناج 1 " *.10 N "האם אפשר להסיק "?1 و هام مستقيامن متقاطعان. N = = N N = N N أ. هل ميكن االستنتاج أ ن ΔN هو مثل ث متساوي الساقني إذا كانت اإلجابة نعم فربهنوا. إذا كانت اإلجابة ال فارسموا مثالا مضا دا. ب. هل ميكن االستنتاج أن ΔN ΔN إذا كانت اإلجابة نعم فربهنوا. إذا كانت اإلجابة ال فارسموا مثالا مضا دا. اسم امله مة البديلة يف املوقع " : هل ميكن االستناج 2 " "האם אפשר להסיק "?2 متوسط يف املثل ث..11 ﻣﻌﻄﻰ متوسط يف املثل ث. = برهنوا : أ Δ. متساوي الساقني. ب Δ. متساوي الساقني. 275

6 الدرس الثاين: متييز مثل ثات متساوية األضالع ا. هل ميكن بناء عىل املعطيات املشار إليها أن نحدد أن املثل ث Δ متساوي األضالع ب. ت. سنتعل م عن نظري ات بواسطتها ميكن أن مني ز مثل ثات متساوية األضالع. 1. نظري ة إذا كان املثل ث متساوي األضالع فإن جميع زواياه متساوية باملقدار. أ. سج لوا املعطيات واملطلوب برهانه وارشحوا. ب. صوغوا نظري ة عكسي ة للنظري ة املعطاة وبرهنوا. 2. ارشحوا ملاذا كل استنتاج م ن االستنتاجات التالية صحيح أ. إذا كان مقدار زاوية الرأس يف مثل ث متساوي الساقني 60 فإن املثل ث متساوي األضالع. ب. إذا كان مقدار زاوية القاعدة يف مثل ث متساوي الساقني 60 فإن املثل ث متساوي األضالع. ت. إذا كان مقدار إحدى الزاوية يف مثل ث متساوي الساقني 60 فإن املثلث متساوي األضالع. ث. إذا كان مقدار زاويتني يف مثل ث متساوي الساقني 60 فإن املثل ث متساوي األضالع. نفك ر ب... K 3. نظري ة يف املثل ث متساوي األضالع يت حد كل منص ف زاوية مع املتوس ط واالرتفاع للضلع املقابل للزاوية. أكملوا الربهان:. هو متوس ط وارتفاع للضلع لذا منص ف الزاوية. =... لذا منص ف الزاوية. =. = لذا... في ا عقاب صوغوا ادعاء عكسي ا للنظري ة التي وردت يف املهم ة السابقة وارشحوا ملاذا االد عاء صحيح الوحدة الرابعة عرشة: مثل ث متساوي الساقني 276

7 ﻧﺴﻤﻲ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﺍﻟﺬﻱ ﺟﻤﻴﻊ ﺃﺿﻼﻉ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻄﻮﻝ "ﻣﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ" ﺗﻌﺮﻳﻒ : ﺷﺮﻭﻁ ﻛﺎﻓﻴﺔ ﻟﺘﻤﻴﻴﺰ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺻﻔﺎﺕ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻥ ﺟﻤﻴﻊ ﺯﻭﺍﻳﺎﻩ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ. ﻓﺈ ﹼ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻧﺖ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﺟﻤﻴﻊ ﺍﻟﺰﻭﺍﻳﺎ ﻣﺘﺴﺎﻭﻳﺔ ﻓﺈ ﹼﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ. ﻋﻜﺴﻴﺘﺎﻥ ﻟﺒﻌﻀﻬﻤﺎ ﺇﺫﺍ ﻛﺎﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ ﻓﺈ ﹼﻥ ﻛﻞﹼ ﻣﻨﺼﻒ ﺯﺍﻭﻳﺔ ﻳ ﹼﺘﺤﺪ ﻣﻊ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻭﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﻟﻠﻀﻠﻊ ﺍﳌﻘﺎﺑﻞ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ. ﻣﻨﺼﻔﺎ ﺯﺍﻭﻳﺘﲔ ﻓﻲ ﻣﺜﻠﹼﺚ ﺍﲢﺪ ﺇﺫﺍ ﹼ ﻣﻊ ﺍﳌﺘﻮﺳﻂ ﻭﺍﻻﺭﺗﻔﺎﻉ ﺍﳌﻘﺎﺑﻠﺔ ﻟﻠﺰﺍﻭﻳﺔ ﻓﺈ ﹼﻥ ﺍﳌﺜﻠﹼﺚ ﻣﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻷﺿﻼﻉ..5 نعود إىل مه مة االفتتاحي ة. ح ددوا بنا ء عىل املعطيات املشار إليها هل ميكن االستنتاج أ ن املثل ث متساوي األضالع ﺃ. ﺏ. ﺕ. ﻣﺟﻣﻭﻋﺔ ﻣﻬﺎ ﻡ متوسطني للضلعني.1 يف املثل ث متساوي األضالع ارسموا جدوا مقدار زوايا املثلث.ΔM و. M.2 رسم مثل ث متساوي األضالع داخل املستطيل أي ا دعاء من بني اال دعاءات اآلتية صحيح وارشحوا. ح ددوا.. <, >, = 277

8 منصفا زاويتي القاعدة يف املثل ث املتساوي الساقني.3 رسم هل ميكن أن يكون املثل ث ΔM متساوي األضالع ارشحوا.. M.4 منصفا زاويتني مع ارتفاعني لضلعني مقابلني للزاويتني فإ ن املثل ث متساوي األضالع. ﻧﻈﺮﻳﹼﺔ إذا ات حد يف مثل ث برهنوا النظري ة. الرباعي منتظما فإ ن زواياه متساوية باملقدار..5 أ. ﻧﻈﺮﻳﹼﺔ إذا كان الشكل الرباعي... العكيس : إذا كانت الزوايا يف الشكل أكملوا اال دعاء هل اال دعاء الذي صغتموه صحيح إذا كانت اإلجابة نعم فارشحوا وإذا كانت اإلجابة ال فارسموا مثالا مضا دا. ب. ﻧﻈﺮﻳﹼﺔ إذا كان مثل ث منتظما فإ ن زواياه متساوية باملقدار.. صوغوا ا دعا ء عكس يا. هل اال دعاء الذي صغتموه صحيح. إذا كانت اإلجابة نعم فارشحوا وإذا كانت اإلجابة ال فارسموا مثالا مضا دا..6 N = N N برهنوا : Δ متساوي الساقني. N.7 مثلث هو مثل ث متساوي األضالع. = برهنوا Δ : متساوي الساقني. أ. ب. هل ميكن أن يكون املثل ث Δ متساوي األضالع برهنوا. 278

9 K = معطى.8 = Δ أ. برهنوا: ΔK ب. برهنوا: ΔK متساوي الساقني. ت. أشريوا إىل منتصف بالحرف وبرهنوا:. = M 9. املثل ث هو مثل ث متساوي الساقني (.) = ر سمت قطعتان يف املثل ث ونتج مثل ث ا قائم الزاوية متساوي الساقني.ΔM افحصوا هل ميكن أن يتحق ق كل بند إذا كانت اإلجابة نعم فارسموا مثالا وإذا كانت اإلجابة ال فعل لوا.. أ. و ارتفاعان يف.Δ ب. و متوس طان يف.Δ ت. و منص فا زاويتني يف.Δ M P R G K 10. معطى Δ هو مثل ث متساوي األضالع. = G = K برهنوا: ΔMPR متساوي األضالع. إرشاد: الربهان مبراحل. املرحلة أ..ΔG Δ M P R K G املرحلة ب..ΔGR ~ ΔG P K M R G املرحلة ت. 60 = MRP املرحلة ث. يوجد يف املثلث ΔMRP زاوية إضافي ة مقدارها 60. الوحدة الرابعة عرشة: مثل ث متساوي الساقني 279

10 الدرس الثالث: صفات مثل ث قائم الزاوية 3 3 Δ هو مثل ث قائم الزاوية طول القائم هو 3 سم وطول املتوس ط للوتر 3 سم. )أ ع د ت الرسمة للتوضيح وقياسات الطول معطاة بالسم(. هل ميكن أن نحسب أطوال األضالع Δ نربهن نظري ات مثل ث قائم الزاوية بواسطة نظري ات مثل ث متساوي الساقني. املتوس ط للوتر يف مثل ث قائم الزاوية 1. نظري ة يف املثل ث القائم الزاوية طول املتوس ط للوتر يساوي ن صف طول الوتر. ارسموا بناء مساعد لربهان النظرية. ارمزوا: = α ارسموا قطعة بحيث أن : α. = α α α برهنوا: متوس ط وطوله يساوي ن صف طول الوتر. )إرشاد: برهنوا أن املثلثني الناتجني هام متساويا الساقني(. نفك ر ب... α 2. نبد ل قسام م ن املعطيات يف النظري ة التي برهنتموها يف مهم ة 1 باالستنتاج: نظري ة إذا كان طول املتوس ط ألحد األضالع يف املثلث يساوي ن صف طول الضلع الذي ينص فه فإن املثل ث قائم الزاوية. سج لوا املعطيات واملطلوب برهانه. أشريوا إىل املعطيات يف الرسمةوبرهنوا النظري ة. )إرشاد: عرب وا عن مقدار الزوايا( 30 قائم مقابل زاوية مقدارها 30 يف مثل ث قائم الزاوية 3. نظري ة إذا كان مقدار إحدى الزوايا الحاد ة يف مثل ث قائم الزاوية هو 30 فإن طول القائم املقابل لهذه الزاوية يساوي ن صف طول الوتر. برهنوا النظري ة. )بناء مساعد: ارسموا متوس ط ا للوتر(. الوحدة الرابعة عرشة: مثل ث متساوي الساقني 280

11 نظري ة إذا كان مقدار إحدى الزوايا الحاد ة يف املثل ث القائم الزاوية 30 فإن طول القائم املقابل لهذه الزاوية يساوي ن صف طول الوتر.. برهنوا النظري ة بطريقة أخرى. بناء مساعد: نرسم متوسط ا للوتر ونرمز إىل نقطة منتصف الوتر بالحرف. نرسم عمود ا م ن النقطة إىل الضلع ونرمز بالحرف إىل نقطة تقاطع العمود مع الضلع. هنالك تشابه بني املثل ثنيΔ و.Δ ارشحوا. ما نسبة التشابه بني املثل ثني ارشحوا. ما نوع املثل ث ارشحوا. هل برهنا النظري ة ارشحوا. 5. نبد ل أحد املعطيات يف نظري ة املهم ة 3 باملطلوب برهانه: نظري ة إذا كان أحد القامئني يف مثل ث قائم الزاوية يساوي ن صف طول الوتر فإن مقدار الزاوية املقابلة لهذا الوتر هو.30 برهنوا النظري ة. بناء مساعد: ارسموا املتوس ط للوتر. برهنا يف الدرس النظري ات التالية: في المث لث القاي م الزاوية المتو سط للوتر يساوي ن صف طول الوتر. ا ذا كان المتو سط لا حد ا ضلاع المثلث يساوي طول ن صف الضلع الذي ين صفه فا ن المث لث قاي م الزاوية. ا ذا كان ا حد القاي مين في مثلث قاي م الزاوية يساوي ن صف طول الوتر فا ن مقدار الزاوية المقابلة لهذا القاي م هو 30. ا ذا كانت هنالك زاوية مقدارها 30 في مث لث قاي م الزاوية فا ن طول القاي م المقابل لهذه الزاوية يساوي ن صف طول. الوتر. 6. نعود إىل مهم ة االفتتاحي ة. معطى Δ هو مثلث قائم الزاوية ( 90 =.( طول القائم هو 3 سم وطول املتوس ط للوتر هو 3 سم. أ. احسبوا أطوال جميع األضالع يف املثل ث.Δ عل لوا كل مرحلة. )استعينوا بنظري ة فيثاغوروس(. ب. احسبوا مقدار جميع زوايا املثل ث.Δ الوحدة الرابعة عرشة: مثل ث متساوي الساقني 281

12 ﻣﺟﻣﻭﻋﺔ ﻣﻬﺎ ﻡ ستجدون يف موقع "الرياض يات املدمجة" "מתמטיקה משולבת" يف قسم ف عال يات محوسبة "פעילויות מחשב"مها م بديلة لقسم من املها م يف مجموعة املها م. س جل تحت امله مة املشار إليها ﺒ * اسم امله مة البديلة يف املوقع. أ ع دت الرسومات يف مجموعة املها م للتوضيح وقياسات الطول معطاة بالسم..1.2 ﻣﻌﻄﻰ Δ قائم الزاوية (.) = 90 متوسط للوتر. ارتفاع للوتر. = 20 احسبوا مقدار الزاويتني و. احسبوا.3 منتصف = 150 = منتصف و منتصف. أ. برهنوا Δ : متساوي األضالع. ب. احسبوا.Δ املتوسط للوتر يف املثل ث القائم الزاوية كدال ة لطول الوتر. *.4 ارسموا رسما بيان يا يصف طول املتوسط للوتر " " : גרף של התיכון ליתר". اسم امله مة البديلة يف املوقع " : الرسم البيا ين الذي يصف 282

13 .5 Δ قائم الزاوية. = 30 متوسط للوتر ارسموا وبرهنوا Δ : متساوي األضالع..6 Δ قائم الزاوية = 30 ينصف الزاوية 6 سم =. أ. احسبوا مقدار زوايا املثل ث ب. احسبوا طول..7 ) ( = 90 Δ ومقدار زوايا املثل ث.Δ Δ قائم الزاوية. Δ قائم الزاوية = 30 ينصف الزاوية 10 سم = احسبوا أطوال أضالع املثل ث.Δ.8 ).( = 90 = سم =. أ. احسبوا مقدار زوايا املثل ث Δ ومقدار زوايا املثل ث.Δ ب. جدوا يف الرسمة مثل ثات متشابهة وعل لوا. ت. احسبوا أطوال أضالع املثل ث Δ وأطوال أضالع املثل ث.Δ.9 Δ قائم الزاوية ).( = 90 = 30 متوسط للوتر M H ارتفاع للوتر. برهنوا. M = MH = H : H M 283

14 .10.Δ = 60 متوسط للضلع. 1 = 2 برهنوا = 90 :.11 يتطابق املثل ث األخرض مع املثل ث األزرق وكالهام قامئا الزاوية كل واحد منهام زاوية مقدارها (.30 انظروا الرسمة). يف أ. احسبوا مقدار جميع الزوايا يف الرسمة. ب. جدوا يف الرسمة مثل ث ا متساوي األضالع وعل لوا. ت. جدوا يف الرسمة أزوا جا م ن املثل ثات املتشابهة. G H.12 املثل ثان و F هام مثل ثان متساويا الساقني متطابقني. F = = 120 ضعوا املثل ث األخرض عىل املثل ث األزرق. بحيث أن ( = 90 انظروا الرسمة). أ. ارمزوا بحروف إىل نقاط تقاطع إضاف ية واحسبوا مقدار جميع الزوايا يف الرسمة. ب. س جلوا أسامء جميع املثل ثات قامئة الزاوية التي تظهر يف الرسمة. ت. س جلوا أسامء جميع املثل ثات املتساوية الساقني وعل لوا. F.13 أمامكم مرب ع طول ضلعه 10 سم. منتصف و G منتصف اطووا املرب ع بحيث يلتقي و يف نقطة واحدة عىل ( G انظروا الرسمة).. G K H G أ. ما نوع املثل ث األحمر الذي نتج أي نقطة عىل G يجب أن نطوي و. ب. احسبوا عىل 284

15 نحافظ على لياقة رياضي ة هيئة معادالت مبتغري ين 1. معطاة هيئة معادالت: أ. ب. x + 2y = 4 2x + y = 5 ارسموا الخط ني البياني ني للدالتني يف هيئة محاور واحدة وجدوا إحداثي ا نقطة تقاطعهام. 2. جدوا حل هيئات املعادالت التالية )جدوا قيمتي x و y(. ت. ث. x y y = y 10 y x + = 2 2 x + 3y = 5 x + y = 3 x + y = 5 x 2 x + y = 5 + x 3 3. معطى 4 معادالت مبتغري ين: 2x + y = 12 y + 2x = 14 8x + 4y = 48 x + y = 7 استعينوا بهذه املعادالت وابنوا هيئات معادالت حسب التعليامت التالية: أ. اختاروا هيئة معادالت مكو نة م ن معادلتني بحيث ال يكون لها حلا. ب. اختاروا هيئة معادالت مكو نة م ن معادلتني بحيث يكون حل ها عدد ال نهايئ م ن أزواج األعداد املرت بة املناسبة للمستقيم. ب. اختاروا هيئة معادالت مكو نة م ن معادلتني بحيث يكون حل ها زوج ا واحد ا مرت ب ا م ن األعداد. حل وا هيئة املعادالت. 4. أراد عدنان أن يبني هيئة معادالت حل ها (1,2). سج ل املعادلتني + = 7 2x 3y لكنه وجد أن حل هيئة املعادالت ليس (1,2). 3x y = 4 جدوا الخطأ وصح حوه. ارشحوا. 5. معطاة هيئة معادالت: ax + y = 7 x + by = 4 ماذا يجب أن يكون a و b إذا كان الزوج (3,2) هو حل للمعادلة ارشحوا. الوحدة الرابعة عرشة: مثل ث متساوي الساقني 285