ד"ר ניר שוולב/ מבוא לרובוטיקה

Transcript

1

2 ד"ר ניר שוולב ד"ר ניר שוולב/

3 ד"ר ניר שוולב אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי מכני או אחר כל חלק שהוא מן החומר שבספר זה. שימוש מסחרי מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר אסור בהחלט אלא ברשות מפורשת מהמו"ל. הדפסה: דפוס אלפא Prited i Irael נדפס בישראל: אפריל 96: כל הזכויות שמורות למרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון

4 ד"ר ניר שוולב להורי היקרים דוד ושושנה שוולב באהבה גדולה.

5 ד"ר ניר שוולב שלמי תודה תודה לסטודנטים שהייתה לי הזכות ללמד אותם - מר אלון ורדימון ומשה נצר שברשימותיהם נעזרתי בכתיבת הספר. תודה לחברי יונתן וישניצר על רשימותיו. תודה לאלון סימון על האיורים המשעשעים. תודה לפרופסור משה שוהם )הטכניון( ולד"ר אמיר שפירא )אוניברסיטת בן גוריון שבנגב( על עצותיהם והערותיהם הפוריות. תודה לנעמה אהובתי היקרה שעזרה לי רבות לנסח ותמכה בי לאורך כתיבתו ולתמר הקטנה ש)עדיין( לא עושה כלום וכבר עשתה המון. על הכריכה יד מינאטורית שפותחה ונבנתה במעבדה לקינמאטיקה וגיאומטריה חישובית שבמרכז האוניברסיטאי אריאל אשר מטרתה לסייע לרופא המבצע פעולות עדינות כדוגמת אלו המתבצעות בניתוחי מיקרו. אורך הרובוט מקצה האצבע לבסיס כף היד כ ס"מ וחצי ואורך כל אצבע כשבעה מ"מ. היד כולה בעלת 65 דרגות חופש והבקרה עליה באמצעות כפפת היגוי. בכריכה הקדמית )והאחורית( אחיזה רובוטית )ואנושית( בבורג שקוטרו 9 מ"מ.

6 ד"ר ניר שוולב 5 תוכן העניינים הקדמה... 6 דרגות חופש... מערכות צירים...5 שרשור טרנספורמציות...66 הקינמטיקה הישירה... הקינמטיקה הפוכה...66 אנליזה ליניארית...78 סינגולאריות קינמטית... סטאטיקה... אנליזת קשיחות מדדים רובוטים מקבילים... מרחב הקונפיגורציה... 6 נספח א' פתרון מערכת משוואות לא ליניארית נספח ב' תכנון תנועה )על קצה המזלג( נספח ג' דינאמיקה )על קצה המזלג(... 6 רשימת מקורות... 6 רשימת כתבי עת ברובוטיקה... אינדקס... 5

7 ד"ר ניר שוולב 6 הקדמה רובוט הוא סוכן מכאני. בדרך כלל המדובר במערכת אלקטרו-מכאנית, אשר התבוננות באופן התנועה שלה יוצרת תחושה של כוונה או רצון עצמאיים. במילים אחרות, על רובוט להפגין מידה מסוימת של תבונה. באופן מפתיע, אין הגדרה מוסכמת על החוקרים למושג רובוט, עם זאת מוסכם על כולם שנוסף על יכולת תבונית על רובוט להיות מסוגל לאחת מהמשימות הבאות : תנועה עצמאית, הפעלת זרוע מכאנית, חישה, במחקר ברובוטיקה נכללים תחומי המכאניקה, והחישה. הבקרה, ופעולה על סביבתו. או יותר האינטראקציה עם בני אדם קצרה היריעה מלעסוק בכולם ובספר זה נתמקד באספקטים המכאניים בלבד. התייחסות בספרות רעיון של יצור דמוי אנוש מעשה ידי אדם קיים עוד מימי המיתולוגיה היוונית. מן הסיפורים הידועים יותר הוא סיפורו של הפ סל פיגמליון אשר התאהב בפסל שיצר, ובעזרת אלת האהבה וונוס החיה אותו. סיפור אחר המתאר יצירת יצור דמוי אדם הוא סיפור הגולם מפראג מהמאה ה- 69. על פי האגדה, הגולם מפראג נבנה בידי רבי יהודה ליווא בן בצלאל )המהר"ל מפראג(, אשר יצר את הגולם כשנתגלתה מזימה של עלילת דם. הגולם שימש את יוצרו כשליח נאמן והטיל אימה על מפיצי העלילה הנוראה. מדי ערב שבת הרב הוציא את רוח החיים מתוך הגולם מחשש פן תחולל השבת, והגולם היה מוטל כגוש חומר עד צאת השבת. באחד מימי השישי, שכח הרבי להוציא מן הגולם את רוח החיים והגולם חילל את השבת וסיכן את הגויים שחיו בעיר. הרב רדף אחריו והשיגו מחוץ לפתח בית הכנסת בפראג. פורמאלית ב- 666 נוסחה ההגדרה ) (: ISO R רובוט תעשייתי הוא מכונה )נייחת או ניידת( הניתנת לתכנות חוזר. על המכונה לשמש למספר אפליקציות תעשייתיות. המונח תכנות מתייחס לעריכת תוכנה ללא שינויים מכאניים.

8 ד"ר ניר שוולב 7 שם הוציא ממנו את רוח החיים והגולם התנפץ לרסיסים. על פי האגדה, על מצחו של הגולם היו חקוקות האותיות "אמת", והמתתו בוצעה על ידי מחיקת האות א' כך שהכיתוב הפך להיות "מת." אלמנט "הגולם הקם על יוצרו" בסיפור הגולם מפראג חוזר גם בסיפורה של מרי שלי, פרנקנשטיין, שפורסם לראשונה בשנת 88. בשני הסיפורים הללו מודגש העיקרון לפיו יצירת חיים שמורה לאל ולא לאדם, וניסיון של האדם ליצור חיים בעצמו הוא חילול הקודש. סופר המדע הבדיוני אייזיק אסימוב,Iaa Aimov ששאף לשבור עיקרון זה, היה אחד הראשונים שטיפל בשאלת היחס בין האדם לרובוט בסדרת ספרי הרובוטים שלו )6699(, שהמפורסם בהם הוא Robot" I". בספרים אלו הוא טובע את המושג "תסביך פרנקנשטיין" המתאר את הרתיעה והפחד של האדם מפני המכונה שתקום על יוצרה. אייזיק אסימוב גם השכיל לנסח שלשה "חוקים" שעומדים עד היום בבסיס הפילוסופיה שמאחורי הרובוטיקה: )6( רובוט לא יזיק לאדם )9( רובוט תמיד יציית לאדם, אלא אם אלא אם כן יתנגש עם )6( )( תמיד יגן על עצמו בהנחת )6( ו-) 9 (. המילה רובוט נזכרה לראשונה בשנת 6696 עת פורסם המחזה R.U.R של הסופר הצ'כי קארל צ'אפק Karl Čapek )בתרגום לעברית, "הרובוטים האוניברסלים של רוסום"(. המילה עצמה לקוחה מן המילה Robota בשפה הצ'כית שמשמעותה 'עבד ות'. היסטוריה קדומה הניסיונות התיאורטיים להבנת הניסוח המתמטי של בעיות מכאניות והניסיון הפרקטי הדרוש לבנייתן של מכונות, ידועים אף הם משחר ההיסטוריה: הגיאומטריקאי המצרי ה רון,Hero בן המאה הראשונה לפנה"ס, תכנן ובנה מספר רב של מכונות אוטומטיות לנשיאת משקלים ושינועם. בנוסף עסק בפן התיאורטי של הבעיות ותיאר שימוש בלחץ אוויר כאמצעי אקטואציה. בן אותה תקופה בערך הוא מנגנון אנטיקיתרה Atikythera - mehaim מחשב אנלוגי קדום אשר תוכנן ככל הנראה על מנת למעשה, קארל צ'אפק לא המציא את המילה בעצמו. במכתב אזכור קצר לאטימולוגיה של מילון אוקספורד באנגלית הוא מציין כי העדיף את המילה,laboři אשר בלטינית פרושה "לעבוד", ורק לאחר התייעצות עם אחיו החליף את השם.

9 ב. ד"ר ניר שוולב 8 לחשב מיקומים אסטרונומיים של גרמי שמיים. המנגנון התגלה סמוך לאי היווני אנטיקיתרה בין קיתרה לכרתים והוא מתוארך לתקופה שבין לפנה"ס לבין 5 לפנה"ס. המנגנון כלל ככל הנראה גלגלי שיניים, חלקם פלנטאריים עם רוחב שן קטן ממילימטר, וגודלו של המכשיר כולו כ- x7x9 ס"מ. הממציא המוסלמי-טורקי אל ג'זארי שחי במאה ה- 69, תכנן ובנה מספר רב של מכונות אוטומטיות כולל מכשירים אוטומטיים למטבח, מכונה מוסיקלית אוטומטית המופעלת הידראולית וארבעה רובוטים דמויי אדם הניתנים לתכנות באמצעות החלפת פיקות, שבתורם הפעילו מערך קורות לתיפוף נעימות שונות. היסטוריה מאוחרת בשנות השבעים של המאה ה- 6 נוצרו מספר רב של רובוטים דמויי אדם שיכלו להגיש תה, לירות חיצים, לכתוב ולנגן בידי מספר ממציאים משווייץ, גרמניה ויפן. כאמור ב 669 הוצג לראשונה המחזה R.U.R ENIAC היה המחשב האלקטרוני הראשון ועמו שהיה ההתייחסות הראשונה למושג רובוט. בעל היכולת להיות מתוכנת מחדש באמצעות חיווט בלבד. המחשב פותח לצורך פתרון מגוון רחב של בעיות חישוביות והוכרז מוכן לשימוש באוניברסיטת פנסילבניה ב פותח הטרנזיסטור הראשון במעבדות ב ל בניו ג'רסי וסלל את הדרך לפיתוח הרובוט הראשון המופעל באופן דיגיטאלי. הרובוט הראשון, ששמו הרובוטיקה המודרנית, i Uimate נבנה ב- אנגלברגר ודבול (George Devol & Joeph F. Egelberger ונכנס לשימוש בחברת ג'נרל מוטורס חמש שנים מאוחר יותר. דרגות חופש טורי, זהו רובוט שמטרתו הייתה שינוע של פיסות מתכת לוהטות במשקלים של עד כ 5 ק"ג וריתוכם במקומות המיועדים. סדר הפעולות הרצוי נשמר על גבי תוף מגנטי )על ידי )ששקל כ- 6 ק"ג(. מי שנחשבים כיום כאבות ה-,Uimate ש אפשר לראשונה ביצוע עבודות בזול וביתר דיוק ואמינות מאשר בני אדם, סלל את הדרך לרובוטים התעשייתיים הנמצאים כיום בשימוש נרחב ומחליפים בני אדם במגוון משימות. בשנת 6696 ויקטור שיינמן Vitor Sheima מאוניברסיטת סטנפורד המציא רובוט 9 דרגות חופש טורי בשם זרוע סטנפורד Staford Arm שלאחר מספר גלגולים התפתח לרובוט מסוג פומה - Puma מן השכיחים בתעשייה כיום.

10 ד"ר ניר שוולב 9 רובוט מדגם PUMA רובוט מדגם SCARA בשנת 66 חברה גרמנית בשם Kuka Roboti יצאה גם היא לשוק עם רובוט 9 דרגות חופש טורי חדש בשם Famulu ובאמצע שנות ה- נפתחה תחרות על השליטה בעולם הרובוטיקה כאשר מספר תאגידים כמו ג'נרל אלקטריק, ג'נרל מוטורס ואוטומטיקס נכנסו אף הם לשוק. לבסוף, הראייה העסקית האמריקאית התבררה כקצרת טווח, וכיום שולטים בשוק הרובוטיקה התאגידים היפניים Fujitu,oyota, Soy, Hoda ועוד. ב הכריזה הונדה על הרובוט דמוי האדם P, ולאחר ההכרזה הזו יצאו מספר חברות יפניות עם רובוטים דומים. מאז ועד היום חלה התפתחות מואצת בתחום ומניין סוגי הרובוטים רק הולך וגדל. נזכיר רק מספר אירועים מכוננים: 66 יוצר רובוט טורי בשם 9 Sara הוצג לראשונה רובוט מקבילי מדגם דה וינצ'י לאופרציות לפרוסקופיה רפואיות. 96 חברת סוני מכריזה על,Aimo רובוט דמוי אדם. 99 הרובוט Spirit מסייר באופן אוטונומי על פני מאדים.

11 ד"ר ניר שוולב רובוט מדגם ASIMO רובוט מדגם de Vii מכאניקה נסקור כעת בקצרה את מבנהו המכאני של הרובוט הקרוי גם שרשרת קינמטית ( Kiemati )Chai שרשרת קינמאטית הבא וממפעילים קינמטית קבועה קובעת את סוג הרובוט.,)Atuator( יחידת הקצה בנויה מחוליות (ik), ומפרקים,(Joit) עליהם נעמוד בפרק אשר מאפשרים ריבוי )Ed Effetor( שלה דרגות חופש. בקצה כל שרשרת גיאומטריית השרשרת הקינמטית רוב הרובוטים המודרניים הם טוריים באופיים, ונקראים רובוטים טוריים Robot) (Serial כלומר בנויים כשרשור סדרת חוליות ומפרקים )כדוגמת הזרוע האנושית הבנויה בסיס, מפרק הכתף, חוליית הזרוע, מפרק המרפק, חולית האמה, מפרק שורש כף היד, המשמשת אותנו כיחידת קצה(. סוג נוסף של רובוטים הם הרובוטים המקביליים חולית כף היד (Parallel robot) טלסקופיות, הבנויים שרשראות קינמטיות סגורות )כדוגמת כל רגל קושרת בין מיקום יחידת הקצה וכיוונה לאדמה(. המחקים את המבנה המכאני של בני אדם, חיות וחרקים, חצובה בת שלוש רגליים מבנים אחרים הם בעלי גיאומטריית שרשור מורכבת יותר, והם נדירים יחסית בתעשייה ומקומם בדרך כלל במעבדות מחקר. המפעילים )Atuator) הם "השרירים" של הרובוט - החלקים אשר ממירים את האנרגיה הזמינה... לתנועה. קיים מגוון של מפעילים: מנועי DC חשמליים motor( )bruhed ad bruhle DC הם השכיחים ביותר. מנועי AC חשמליים שפעולתם נסמכת על מקור מתח מרובה פאזות. מנועי סרבו motor) (Servo - מנועים עם בקרה מובנית בחוג סגור, כלומר, מעגל משוב המשנה את כוח הדחק שמגיע למנוע בהתאם למידע מחיישן ומנתונים של המשתמש. להגדרה פורמאלית של רובוטים מקביליים ודיון בהם ראו פרק 66. ברוב המקרים תהא זו אנרגיה חשמלית, אך שכיח גם השימוש בלחץ אוויר.

12 ה) ד"ר ניר שוולב האות המוזן למנוע בדרך כלל מבוקר בשיטה הנקראת PWM ועיקרה הזנת המנוע באות ריבועי שרוחבו )באחוזים מהאורך הכולל של האות( קובע את זווית המנוע. מנועי צעד motor) (Stepper - מסתובבים בצעדים דיסקרטיים תחת שליטת בקר.. מנועי פיאזו motor) )Piezo אשר בסיס עקרון פעולתם האחד הוא רטט מהיר של גביש 5. פיאזואלקטרי, רטט אשר גורם לתנועה סיבובית או ליניארית )לדוגמא, באמצעות סיבוב בורג הנעה, עקרון אחר הוא זחילה של מכאניזם עשוי גביש פיאזו על גבי מסילה בסגנון תנועת זחל.)IhWorm שרירי אוויר mule(,)air הם מפעילים ליניאריים שעיקרון פעולתם דומה לזה של 6. בלון, בהבדל היחיד שההתארכות מוגבלת לממד האורך )כ- 9% (. פולימרים אלקטרו-פעילים polymer( )Eletroative - קבוצת פולימרים המשנים את 7. צורתם בהשפעת גירוי חשמלי. ננו-צינוריות tube( )Elati ao - זהו אלמנט הנפעל לגירוי חשמלי. הננו-צינוריות הן 8. בעלות מבנה מולקולרי המאפשר להן מעוות אלסטי גדול במיוחד. Alloy( )Shape Memory העשויה תיל.Nitiol כאשר מחממים סגסוגת זוכרת צורה 9. את התיל הוא מתקצר ב- 6% )בשונה ממתכות אחרות(. אציין כי במהלך ההתקצרות מתפתחים מאמצים ניכרים, בשיעור של כ- 6.5 טון לסנטימטר מרובע. תיל דק כשערה, בקוטר ארבע אלפיות המילימטר, יכול לשאת משקל של 69 גרם. סו. לנואיד )Soleoid( אלמנט הנעה ליניארי העשוי סליל סביב ליבת ברזל בעל שני קטבים. כאשר זרם זורם דרך הסליל, נוצר כוח אלקטרומגנטי המושך את ליבת הברזל. נפסק גם הכוח האלקטרומגנטי ופיסת הברזל חוזרת למקומה כאשר נפסק הזרם, ההתחלתי על ידי קפיץ.. אקטואטור הידראולי Hydrauli עושה שימוש בשמן(, ואקטואטור פנאומטי Peumati )העושה שימוש בגז( מייצרים תנועת בוכנה ליניארית. מערכות הידראוליות מנוצלות כאשר קיימת סכנת התלקחות. מערכות הנעה פנאומטיות נפוצות בזרועות אוחזות. ע"י דחיסת הגז המנגנון נהיה נוח יותר לתפעול, והסיכוי שהחפץ בו אוחז הרובוט יישבר קטן. רובוטים זקוקים, אם כן, לאלמנט אחיזה בכדי לבצע מניפולציות על סביבתם. כאמור, בקצה כל שרשרת קינמאטית קבועה יחידת הקצה Effetor),(Ed המכ ונה בספרות גם כתפסנית.(Gripper) זוהי היחידה המכאנית שיעודה הוא אחיזה, חישה, ראייה, כלי עיבוד וכדומה. רוב הרובוטים התעשייתיים הנדרשים למגוון פעולות מאפשרים החלפה מודולארית של יחידת הקצה שלהם. אחרים, בעלי מבנה תפסנית מורכב מספיק )לעיתים

13 ד"ר ניר שוולב בצורת יד אנושית( המאפשר אחיזה במגוון רב של צורות מבין יחידות הקצה:. יחידת קצה - לופתת... האחיזה מתבצעת באמצעות לחיצת אצבעות 6,5 מרחביות. נסקור את הבולטות על גבי משטחי האחיזה ובהסתמך על קונוסי החיכוך, כדוגמת היד האנושית הלופתת ידית ספל. נפוץ מאוד בתעשייה ובמחקר. יחידת קצה כלי כלי עבודה משמש כיחידת הקצה. כדוגמאות נציין כלי ריתוך, נעיצה ופטישים. יחידת קצה דוחפת הרובוט מבצע פעולות על הגיאומטריה ללא לפיתה ובהסתמך על חיתוך קונוסי כוח )ראה ][ ברשימת המקורות(, השימוש ביחידת קצה כזו נפוץ עבור רובוטים צועדים ומטפסים ורובוטים המשמשים בתעשייה כמכונות ממיינות. יחידת קצה מגנטית - אחיזה והתנתקות ע"י הפעלה וכיבוי של אלקטרו-מגנט, קירוב.5.6 והרחקה של מגנט קבוע לפני המשטח או חציצה בחומר דיאמגנטי )ראה ]6[ ברשימת המקורות(. משמש בתעשייה בעיקר לצרכי מיון ואלמנט אחיזה לרובוטים מטפסים. יחידת קצה וואקום אקטיבי - ההדבקה וההתנתקות נעשים באמצעות הפעלת מדחס. אינו נפוץ ומשמש בעיקר לרובוטים מטפסים, ולרובוטים המשמשים כמנופים בתעשייה. יחידת קצה פומית וואקום. מטפסים. וואקום פסיבי.7.8 יחידת קצה אוחזת באמצעות מחקר עבור רובוטים מטפסים. יחידת קצה האוחזת אחיזה והתנתקות נעשית ע"י משיכה לא סימטרית של אינו קיים בתעשייה ומשמש בעיקר במעבדות מחקר עבור רובוטים דבק. אחיזת קידוח.9 אינו קיים בתעשייה ומשמש בעיקר במעבדות יצירה פעילה בתעשייה ומשמש במעבדות מחקר עבור רובוטים מטפסים. יחידת קצה האוחזת אחיזת קוצים בעיקר במעבדות מחקר עבור רובוטים מטפסים. כדוגמת חרקים. של נקודות אחיזה. אינו קיים אינו קיים בתעשייה ומשמש. יחידת קצה שממית (Geko( - אחיזה הנסמכת על אפקטים פיזיקאליים. כתיבת הספר משמש במעבדות מחקר בלבד. רובוטים ניידים נכון ליום רובוטים המסוגלים לתנועה עצמאית )באופן חלקי או מלא( תוך התייחסות לסביבתם מכונים רובוטים ניידים Robot(.)Mobile הספר אינו עוסק ברובוטים ניידים, למרות חלקם הלא 5 ראו לדוגמא התמונה שעל גבי כריכת הספר. 6 על התיאוריה של אחיזה לא נעמוד בספר, עם זאת לשם העניין נזכיר את המושג הנקרא קונוס חיכוך: גוף המתחכך בתפסנית בנקודה מסוימת פורש קונוס דמיוני. הגוף יישאר סטאטי כל עוד הכוחות הנפעלים עליו נשארים "בתוך" הקונוס. בכדי לאחוז בחפץ באופן יציב יש,אם כן, לפרוש מספיק קונוסים כך שכל כוח הנפעל על החפץ ישאיר את החפץ במקומו. הקורא המתעמק ימצא עניין ב- ]6[ במקורות.

14 ד"ר ניר שוולב מבוטל במחקר התיאורטי והמעשי כיום. עם זאת נציין את מנגנוני התנועה הנפוצים: )6( תנועה ע"ג גלגלים. מספר הגלגלים משתנה מגלגל יחיד )ראה ]6[ ברשימת המקורות( וכלה בריבוי גלגלים )9( תנועה ע"ג זחל )( התקדמות נחש )9( החלקה )5( שחייה )9( צעידה. הטכניקות העומדות בבסיס הבקרה על הרובוטים הניידים נחלקות לשלוש קבוצות עיקריות: טכניקת נקודת מומנט אפס Poitio( )Zero Momet שעיקרה חישוב מהיר של הכוחות האינרציאליים ופיצוי עליהם באמצעות תאוצה. נדגיש שהתנועה בשיטה זו דורשת חישובים דינמיים בצד חישובי כוחות. נעיר כי בני אדם אינם נוקטים בשיטה זו לצעידה. קפיצה, פיצוי דינמי ייצוב דינמי שננקט במספר רובוטים ניסויים אשר בבסיסה עומד הרעיון שקפיצה )או צעידה( לכיוון מסוים מפצה על נפילה לאותו כיוון. דינמיות פסיבית שימוש במומנט האינרציה של הגפיים לשם שמירה על איזון וצעידה. לדוגמא: בעת צעידה על מדרון יוכל הרובוט לצעוד, אגב הספק מינימאלי למנועים.... מבנה הספר הספר אינו מתיימר לכסות את כל התיאוריה העומדת בבסיס העיסוק ברובוטיקה, אלא להוות ספר לימוד ותרגול עבור קורס המבוא ברובוטיקה בלבד. בכתיבתו הנחתי כי החומר הבסיסי באלגברה, חשבון אינפיניטסימאלי, פיזיקה בסיסית ודינמיקה מוכר לקורא. בשלושת הפרקים הראשונים נדון בבסיס הקינמטי של העיסוק ברובוטיקה. בעיית הקינמטיקה הישירה, שבה נדון בפרק 9, עוסקת בחישוב מיקום ואוריינטציה של חוליות הרובוט. בעיית הקינמטיקה ההפוכה, שבה נדון בפרק 5, עוסקת בחישוב ערך פרמטרי של מפעילים בהינתן מצב יחידת הקצה. באנליזת מהירות התפסנית, שבסיסה קירוב ליניארי של הקינמטיקה הישירה, נעסוק בפרק 9. בפרק נעסוק באנליזה סינגולארית בה הקירוב הלינארי מאבד ממד. בפרק נעסוק באנליזת כוחות, שעיקרה חישוב הכוחות הנחוצים במפעילים לקבלת כוח שעל יחידת הקצה להפעיל. פרק 6 מעמיק את הדיון באנליזת כוחות ודן באנליזת קשיחות, כלומר במצב בו המפרקים מדגימים גמישות משמעותית. בפרק 66 נדון ברובוטים מקביליים שאט אט תופסים נפח בתעשייה. נחתום את הספר בפרק 69 הדן בפן תיאורטי בחקר רובוטיקה - מרחבי הקונפיגורציה שלהם. כלומר המרחבים המייצגים את כל הקונפיגורציות האפשריות. אלו האחרונים חיוניים לבעיות תכנון תנועה ועומדים בבסיס כל התיאוריות שנלמד בספר. מאחר שהעיסוק ברובוטיקה מזמן לעיתים קרובות את הצורך בפתרון מערכת משוואות לא לינארית מצאתי לנכון לסקור את הנושא בקצרה בנספח א. אחד מהעיסוקים החשובים בחקר רובוטיקה הנובע הוא נושא תכנון התנועה; הספר דן בנושא בקצרה בלבד בפרק 69 ובנספח ב'. הדינמיקה בהקשר הרובוטי עוסקת בקשרים בין הכוחות המסופקים לתאוצות יחידת הקצה ניגע בנושא רק בקצרה בנספח ג'. בכתיבת הספר נעזרתי בספרים העדכניים ביותר אשר בנמצא ראו ]6[ עד ][ ברשימת המקורות, ובספרות עדכנית המתפרסמת בעיתונות המקצועית ראו ][ ועד ]9[. כולי תקווה כי הקורא ימצא את הספר בהיר ומקיף. בהצלחה.

15 ד"ר ניר שוולב 6. דרגות חופש רובוט (Robot, Mehaial Maipulator) )lik( מפרקים מורכב ממספר חוליות המחוברים ביניהם באמצעות.)Joit( מספר דרגות החופש Freedom( )Degree Of של מכאניזם כזה תלוי במספר החוליות והמפרקים באופן חיבורם יחדיו ובאופיים של המפרקים. בפרק זה נגדיר מהם חוליות, אילו מפרקים קיימים, נגדיר מהן שרשראות קינמטיות. לאחר מכן נעמוד על המושג דרגות חופש ונלמד כיצד לחשב אותן. הגדרת המושג רובוט: רובוט הוא מכונה )נייחת או ניידת( הניתנת לתכנות חוזר. על המכונה 7 לשמש למגוון שימושים. כאשר המונח תכנות מתייחס לעריכת תוכנה ללא שינויים מכאניים. ההגדרה היפנית שונה במעט וכוללת גם מכאניזמים פשוטים יותר. חוליות (ik) הם אלמנטים 8 קשיחים אשר יוצרים את הרובוט. המתכנן על זאת, עם לזכור שהחוליות מציגות גם תכונות אלסטיות בנוכחות מאמצים גדולים. ברור ששתי חלקים אשר אינם )לדוגמא: חישובים(. מציגים כל תנועה יחסית ביניהם יוכלו להיחשב ואכן גלגלי שיניים צמודים לציר ומקובעים האחד לשני, שתי חוליות ניתנות לחיבור באמצעות החוליות נקרא בספרות זוג קינמטי pair).(kiemati שתי החוליות אותן הוא מחבר. סוג האילוץ קובע גם את סוג הזוג הקינמטי: מפרקים יחשבו,(Joit) יחשבו כחוליה אחת כחוליה אחת לשם במקרה כזה זוג המפרק מאפשר תנועה מוגבלת בין התנועה מוגדרת על פי האילוצים המגבילים אותה, כאשר זוג קינמטי המקיים מגע בנקודה אחת או לאורך קו ייקרא זוג קינמטי גבוה pair),(high ואילו זוג חוליות המקיימות מגע על פני משטח דו ממדי ייקרא זוג קינמטי נמוך Pair) (ow. בתעשיית הרובוטיקה ביותר: רווח השימוש במספר מצומצם של מפרקים. נציין את השכיחים 7 פורמאלית ב- 666 נוסחה ההגדרה ) (: ISO R רובוט תעשייתי הוא מכונה )נייחת או ניידת( הניתנת לתכנות חוזר. על המכונה לשמש למספר אפליקציות תעשייתיות. המונח תכנות מתייחס לעריכת תוכנה ללא שינויים מכאניים. 8 בספרות המקצועית לעיתים מדברים על חוליות גמישות, בספר נתחשב אך ורק בחוליות שאינן קשיחות.

16 ד"ר ניר שוולב 5 סימן איור שם זוג קינמטי i דרגות חופש f i יסומנו ב מפרק סיבובי, מפרק המגע מתקיים על בעל דג"ח אחת ) f ( רוטציוני )סיבוב על ציר( גבי מעטפת הפין המחבר ולכן זהו זוג נמוך. היחסית החוליות. היא הזווית בין Revolute/Rotatioal R מפרק פריזמטי, קרוי גם המגע מתקיים על בעל דג"ח אחת,) f ( מפרק לאורך ציר( ליניארי Primati / lider )הזזה גבי מעטפת המפרק המחליק ולכן זהו זוג נמוך. בין החוליות. היא המרחק P מפרק כדורי, מכונה גם מפרק ספרי )סיבוב חופשי סביב נקודה( Spherial המגע מתקיים על גבי מעטפת כדור ההחלקה ולכן זהו זוג נמוך. בעל הן דג"ח,) f ( שלושת הזוויות המגדירות את הכיוון של חוליה אחת ביחס S לחברתה. מפרק ק ר ד ן קרוי גם מפרק אוניברסלי, ומפרק הוק )סיבוב בשני צירים( המגע מתקיים על גבי מעטפת שני הפינים המחברים ולכן זהו זוג נמוך. דג"ח 9 בעל,) f ( הן שתי הזוויות המגדירות את הכיוון של חוליה U אחת לחברתה. ביחס Uiveral / Carda / Hooke' )הזזה מפרק צילינדרי וסיבוב ציר לאורך סביבו( Cylidrial המגע מתקיים על גבי מעטפת המפרק המחליק ולכן זהו זוג נמוך. בעל הוא 9 החוליות, ביניהן. דג"ח המרחק,) f ( בין והזווית C מפרק מישורי )תנועה צמודה על מישור( Plae pair המגע מתקיים על המישור על כן זהו זוג נמוך. בעל הן ומיקום זווית דג"ח,) f ( הסיבוב החוליה האחת על גבי E השנייה.

17 ד"ר ניר שוולב 6 מפגש גלגלי שיניים המגע מתקיים דרגת בעל חופש אחת (.) f לאורך קו על כן זהו Gear trai זוג גבוה. G זוג פיקה ועוקב המגע מתקיים שלוש בעל דרגות.) f חופש ( לאורך קו על כן זהו Cam ad follower זוג גבוה. pair CP הבהרה: זוג גלגלי השיניים ניתן למידול כמנגנון ארבעה מוטות מישורי ABCD (ראה איור CD AB AD בתרגיל 66.6(: אם נחשוב על כעל חוליית האדמה, חוליה וחוליות ייצגו את הווקטור הנמתח מציר גלגלי השיניים לנקודות המגע בהתאמה. החוליה הנותרת BC שנחשוב עליה כקצרה מאוד מייצגת את המגע בין גלגלי השיניים. תחת התיאור הזה ובהתחשב בעובדה שקביעת זווית אחת במנגנון ארבע חוליות קובע את מצב המכניזם כולו, נקל להיווכח שאמנם לזוג גלגלי שיניים דרגת חופש אחת. הערה: לבד מהמפרקים שצוינו בטבלה נזכיר עוד סוג שהשימוש בו נדיר בעולם הרובוטיקה )ראה לדוגמא ][ ברשימת המקורות(: ספירה מתגלגלת עם החלקה על מישור - במקרה הזה מדובר בחמש דרגות חופש. ) דרגות חופש עבור האוריינטציה, 9 דרגות חופש למיקום(. שרשרת קינמטית Chai) ( Kiemati היא תצרף של חוליות המחוברות ביניהן באמצעות מפרקים. כאשר כל חוליה מחוברת לחוליה אחרת דרך שני מסלולים )כלומר שני רצפים של מפרק חוליה מפרק מפרק( שונים השרשרת נקראת שרשרת קינמטית סגורה.(Cloed) כאשר כל חוליה מחוברת לחוליה אחרת במסלול יחיד השרשרת נקראת שרשרת קינמטית פתוחה.(Ope) שרשרת קינמטית יכולה להיות שילוב של השניים, ובמקרה כזה תקרא השרשרת שרשרת קינמטית היברידית.(Hybrid) שרשרת קינמטית נקראת מכאניזם (Mehaim) או מנגנון (ikage) כאשר אחת או יותר מן החוליות מקובעות לאדמה. חוליה זו קרויה בסיס המכאניזם. מהות המכאניזם היא העברת תנועה/סיבוב או כוח/מומנט מחוליה אחת או יותר )חולית הכניסה( לחוליה אחרת )חולית היציאה(. דוגמת המכאניזם שבאיור ממירה תנועה סיבובית לתנועה ליניארית וההפך.

18 ד"ר ניר שוולב 7 מכונה (Mahie) היא שילוב של מכאניזמים בתוספת מקור כוח חיצוני )לא ידני( לחוליות הכניסה. מכונת כביסה, לדוגמא, משתמשת במנוע חשמלי להנעת מנגנון הפחתת מהירות, וזה בתורו מסובב את תוף הכביסה. סימון: בכדי להבהיר את המבנה של שרשרת קינמאטית פתוחה נתונה וסוג המפרקים בהם היא עושה שימוש, נהוג לסמנה ברצף האותיות )הנקראות משמאל לימין( המסמנות את סוגי המפרקים מהמפרק הראשון הקרוב ביותר לבסיס ועד לרחוק ביותר )לדוגמא RUS יסמן שרשרת פתוחה המורכבת ממפרק סיבובי, קרדן וספירי(. בהינתן גיאומטריה של רובוט, נשאלת השאלה כמה מנועים נדרשים להפעלתו; השאלה כפי שנוסחה כאן, יכולה להתפרש לשני פנים והתשובות לשאלות אלו אינן תמיד זהות: מהו מספר המנועים שידרשו לקבוע מיקום ואוריינטציה של כל חוליה וחוליה ברובוט? התשובה לשאלה זו מכונה בספרות המוביליות (Mobility) של הרובוט.. מהו מספר דרגות החופש בהן נעה יחידת הקצה? התשובה לשאלה זו מכונה מספר דרגות החופש Freedom( )Degree Of של לרובוט. בספרות. לבד ממספר מצומצם של מכאניזמים, מספר המפרקים וסוגם, ואופן החיבור של החוליות והמפרקים. ניתן לחשב את המוביליות כתלות במספר החוליות, האיור שמשמאל ממחיש את מושג המוביליות )מסומן ב- F (. חוליות המכאניזם המשולשי אינן יכולות לנוע אחת ביחס לשנייה ולכן המוביליות מתאפסת. לעומת זאת, החוליות במכאניזם ארבעת החוליות mehaim) bar יכולות לנוע אחת ביחס לשנייה. יתר על כן, אם נקבע את הזווית יקבעו המיקום והאוריינטציה של החוליות כולן )ולדוגמא הזווית הזווית (Four תקבע כפונקציה של (. בדומה, החוליות במכאניזם חמשת המוטות תקבענה כולן בהתאם לשתי הזוויות ולכן המוביליות של המנגנון תהא 9., נבנה את הנוסחה למוביליות באמצעות "חיבור" חוליה אחרי חוליה. נתחיל מהמקרה המישורי )כל החוליות נעות במישור(: חוליה חופשית המוגבלת לתנועה במישור יכולה להעתיק את מקומה בכוון X או Y ולהסתובב בזווית לעומת ציר, X ולכן המוביליות שלה תהא. אם נוסיף חוליה נוספת יעלה ערך המוביליות ל- 9 וכן הלאה. וכך עבור המקרה

19 ד"ר ניר שוולב 8 המישורי, m חוליות חופשיות, תהנה בעלות מוביליות m. הוספת מפרקים תגביל, כמובן, את אפשרויות התנועה של החוליות. נדמיין כעת שתי חוליות המחוברות ביניהן במפרק סיבובי ומוגבלות לתנועה במישור. במקרה כזה נוכל למקם את החוליה הראשונה ולסובבה כרצוננו ) דג"ח(, ובעשותנו זאת קבענו את מיקום החוליה השנייה )כלומר נגזלו ממנה שתי דרגות חופש( ונשאר עבורה החופש לסיבוב בלבד )6 דג"ח(. סה"כ עבור תוספת המפרק הסיבובי "שילמנו" בשתי דרגות חופש. ובהכללה נוכל לרשום F m f כאשר f מציין את מספר המפרקים הסיבוביים, F את המוביליות ו m את מספר החוליות. בסימונים המקובלים בספרות ובהכללה לכל סוגי המפרקים הנוסחה תראה כך: F -- g f i i (.) זהו קריטריון גרובלר-קוצבאך riterio( )Grüebler-Kutzbah עבור המקרה המישורי. מציין את מספר החוליות כולל חולית האדמה )תמיד נוסיף חולית אדמה אחת אם ברצוננו לחשב את המוביליות יחסית לאדמה(, g את מספר המפרקים, ו- בעלי i דרגות חופש )דג"ח( )ראה עמודה שמאלית בטבלת המפרקים(. נשים לב כי אם "האדמה" נספרת )גם אם אינה חלק מהמכניזם( התוצאה מלמדת על המוביליות ביחס לאדמה )כלומר כולל תזוזות וסיבובים לעומתה( בעוד שאם האדמה אינה נספרת התוצאה מלמדת על המוביליות ה"פנימית" של המכאניזם. f i את מספר המפרקים דוגמא: עבור המכאניזם המקבילי המישורי 5R שבאיור, 5= )החוליות מוספרו באיור(, 5=g ו- 5= f )המפרקים הסיבוביים בעלי דג"ח אחת( לכן: -- g f i F i כלומר, דרושים שני מנועים להנעת המכאניזם. בחירת המפרקים שיפעילו את המכאניזם היא שרירותית מבחינה קינמטית, בשלב זה, ונתונה לשיקולי המתכנן. דוגמא: עבור המכאניזם המקבילי המישורי RRRP שבאיור, =, =g ו- = f )המפרקים הסיבוביים והמפרק הפריזמטי כולם בעלי דג"ח אחת(. לכן: -- g f i -- F i לעיתים יש צורך בחיבור של שלוש חוליות ויותר למפרק יחיד. במקרה כזה נספור -k מפרקים עבור התפצלות של k חוליות. התפצלות של חוליות תחושב כ- 6 מפרקים

20 ד"ר ניר שוולב 9 מצא את המוביליות של המכאניזם המישורי.: תרגיל כחוליה העליונה הפלטפורמה את אם נביא בחשבון שבאיור. תשובה: אחת, נקבל: התפצלות של חוליות תחושב כ- 6 מפרקים --55 ;,f g 5 F גם אם נחשוב על הפלטפומה כעל שלוש חוליות התשובה תהיה זהה: --88 ; g f 8, F תרגיל.5: כמה מנועים על המתכנן להכניס לרובוט המקבילי המישורי RRR שבאיור )כאן, הספרה בתחילת הסימון מציינת את מספר הרגליים(. תשובה: F ; 8, g f 5 מכאן שדרושים שלושה מנועים להנעת המכניזם. במילים אחרות אם נקבע שלושה מפרקים יתקבל =F, בדקו זאת הערה: במקרים בהם =F ה, מכאניזם למעשה אינו יכול לזוז. במקרים בהם >F עלולים להתפתח כוחות במפרקים )כלומר צריך להפעיל כוחות, כדי להרכיב את המכאניזם או לחילופין יש לדאוג שהמכניזם יהיה מדויק או עם חופשים בצירים( ושוב המכאניזם אינו יכול לזוז. זהו למעשה מסבך "לא מסוים סטאטית". הערה: חישוב המוביליות נכון עבור רוב המכאניזמים אבל לא עבור כולם נתמקד במכאניזם הפרדוקסאלי (Paradoxial) שבאיור. חישוב מראה כי : כדי להבין זאת F ; 5, g f 6 אולם בפועל ברור כי =F ה. בעיה טמונה בבחירת יחסי האורכים. אם אורך הזרוע המרכזית, לדוגמא, הייתה אחרת מהשתיים האחרות, המכאניזם היה אכן "תקוע", אולם בבחירה הנתונה המכאניזם הוא בעל מוביליות 6. מכאן נסיק כי נוסחת המוביליות נכונה בהנחת גנריות המכאניזם, כלומר בהנחה שאין יחסים מיוחדים בין אורכי החוליות. עמל רב הושקע במחקר לניסוח קריטריון ברור יותר לחוסר ההתאמה של הנוסחה אך קצרה היריעה מלהכיל את המסקנות )הקורא המתעניין יעיין ברשימת המקורות ב ]69[(.

21 א) א) ד"ר ניר שוולב תרגיל.6: המכאניזם שבאיור. ) חשב את המוביליות של תשובה: )אדמה, ) המכאניזם כולל 5 חוליות שני גלגלי שיניים, הפלטה המשולשת וגלגל שיניים נוסף המקובע לידית(. המפרק הסיבובי המחבר בין האדמה, גלגל השיניים הגדול והפלטה יילקח בחשבון כ 9 מפרקים כיוון שהן הפלטה והן גלגל השיניים חופשיים להסתובב באופן בלתי תלוי ביחס לאדמה. המפרק הסיבובי השני מחבר בין הפלטה לגלגל השיניים האמצעי. המפרק הסיבובי השלישי מחבר בין גלגל השיניים המחובר לידית והפלטה. קיימים 9 מפרקים נוספים, כל אחד בתורו מורכב מזוג גלגלי שיניים, כלומר: 9 מפרקים נוספים בעלי 9 דרגות חופש כ"א. ולסיכום: ; 5, g 6, f, f F המכאניזם כולו יכול להסתובב סביב ציר החיבור לאדמה. בנוסף, ובאופן בלתי תלוי, ניתן לסובב את ידית המכאניזם. חישוב המוביליות למקרה התלת מימדי יעשה בדרך דומה, כאשר השוני הוא במספר דרגות החופש הנתונות לחוליה החופשית לנוע במרחב שלושה ממדי. במקרה זה החוליה יכולה להעתיק את מקומה בשלשה ממדים, ולהסתובב סביב כל אחת משלשת הקואורדינאטות. סה"כ מספר דרגות החופש "העומדות לרשות" חוליה חופשית במרחב הוא 9. אם כך, ננסח את קריטריון גרובלר-קוצבאך עבור המקרה התלת ממדי באופן הבא: F 6 -- g f i (.) i הערה: השוני בנוסחאות במקרים התלת והדו ממדי, הוא באופן ההתייחסות לצירי הסיבוב במקרה הדו ממדי. במקרה המישורי אנו מניחים במובלע כי כל הצירים מקבילים בעוד שאין כל הנחה על כיוונם במקרה התלת ממדי. תרגיל.: חשב את המוביליות עבור הרובוט המקבילי PRPS )מדגם )Alizade המרחבי המודגם באיור. תשובה: ישנם 9 מפרקים פריזמטיים, מפרקים רוטציוניים, ו- מפרקים כדוריים. ומכאן. f, f 9, g מספר

22 ד"ר ניר שוולב החוליות כולל האדמה.= ולכן. F 6 תרגיל.: חשב את המוביליות עבור רובוט 6UPS המקבילי המרחבי המודגם באיור )זוהי פלטפורמת סטיוארט, ראה גם תמונה בתחתית העמוד(. תשובה: ישנם 9 מפרקים פריזמטיים, 9 מפרקי קרדן, ו- 9 מפרקים כדוריים. ומכאן מספר החוליות כולל האדמה =. ולכן:. f 6,f 6,f 6, g 8 F P U S במילים אחרות, כאשר המפרקים חופשיים, המכניזם כולו חופשי לנוע ב 9 דרגות חופש )עבור המכניזם הזה ששת דרגות החופש מתרגמות למיקום ואוריינטציה של הפלטה( נבדוק כעת את המכאניזם שבאיור. ישנם 9 מפרקים רוטציוניים, ו- 9 חוליות, ומכאן. g f )בחרנו =, מכיוון F 6 -- שאיננו מעוניינים בטרנסלציה ורוטציה יחסית לאדמה( ולכן הווה אומר, המכאניזם תקוע עם מאמצים שיוריים )שימו לב שחישבנו מוביליות "פנימית" של המכאניזם. מכאניזם כזה נקרא,Beet Mehaim ע"ש ממציאו. בנט הראה כי המוביליות של מכאניזם כזה תהיה 6 אם, ורק אם, מתקיים השוויון i i. שוב נתקלנו, אם כן, במכאניזם פרדוקסאלי, הפעם a b במכאניזם מרחבי. מערכת רובוטית בנויה ממכאניזם, תפסנית )"יד הרובוט"(, בקר, מחשב ולעיתים מערכת חישה ומערכת היגוי ידנית. מכאניזם הרובוט בנוי חוליות ומפרקים, כאשר לפחות אחת החוליות מוגדרת כיחידת הקצה )או התפסנית(. על חלק מהמפרקים להיות ממונעים בעוד שהאחרים יכולים להישאר פסיביים. בד"כ מספר המפרקים הממונעים יהא שווה לערך מוביליות המכאניזם בכדי לאפשר שליטה מלאה ככל הניתן על כל חלקי המכאניזם )כפי שניווכח בפרק על סינגולאריות לעיתים אין הקביעה הזו מספקת, ויש צורך בתוספת מנועים בכדי לאפשר שליטה מוחלטת ברובוט עבור כל רובוט מקבילי מדגם Stewart

23 ד"ר ניר שוולב קונפיגורציה אפשרית(. התפסנית, או יחידת הקצה Gripper) (Ed-effetor, זהו אלמנט הרובוט הנפעל על אובייקטים. תפסניות יכולות לאחוז במגוון טכניקות )ראה פרק המבוא( אך לרוב המדובר באחיזה מכאנית באמצעות 9 ל ח י י ם. אלא אם יצוין אחרת, דרגות החופש של התפסנית לא יילקחו בחשבון בחישובי המוביליות של רובוטים בספר. להמשך דיון ברובוטיקה, נזדקק למס' הגדרות: מרחב העבודה pae) (Work הוא המקום הגיאומטרי אליו יחידת הקצה יכולה להגיע במהלך תנועת הרובוט. באיור שלמטה מודגמים מרחבי העבודה של מספר רובוטים. מרחב העבודה מציין אם כן את המקום הגיאומטרי אליו יכולה יחידת הקצה להגיע. עבור הרובוט התעשייתי, שמשימותיו כוללות בדרך כלל אחיזה ושינוע אובייקטים במרחב העבודה, חשובות הנקודות בהן יכולה התפסנית להסתובב בכל אוריינטציה שהיא. אוסף הנקודות הללו נקרא מרחב המיומנות Spae).(Dexterity כלומר, זהו אוסף הנקודות אליהן יכולה

24 ד"ר ניר שוולב 6 התפסנית להגיע ולהתכוונן ב- במישור. דג"ח של אוריינטציה או במרחב, דג"ח של אוריינטציה לדוגמא: מרחב העבודה של הרובוט המישורי RR הוא דיסקה, מרחב המיומנות שלו הוא ריק. אלא במקרה שבו אולם, או אז תוכל החוליה השנייה להתקפל ולהתיישר עם הראשונה, ובמצב כזה יכיל מרחב המיומנות את הנקודה המרכזית. תרגילים נוספים.6 הראה שהמוביליות עבור -מצולע היא -..7 מצא את המוביליות עבור כל אחד מה מכאניזמים הבאים: F= F= 6=F ביחס לאדמה 9=F ביחס לאדמה F= F=.8 הוכח שלמכאניזם מישורי עם מספר אי-זוגי של חוליות יש מוביליות זוגית וההפך..9 מהו מרחב העבודה של רובוט מישורי טורי 5R עם חוליות באורכים?,,.., 5

25 ב) א) ב) ד"ר ניר שוולב ) מהו מרחב העבודה של רובוט מישורי מקבילי הבנוי k זרועות בעלות שלוש. מפרקים סיבוביים כל אחת? בסיס כל זרוע קבוע באדמה וקצה כל הזרועות מתחבר לנקודה אחת, המשמשת כיחידת הקצה? ) מצא את כל טיפוסי מרחבי העבודה עבור רובוטים כנ"ל כאשר =k.. הראה שהמוביליות של הרובוט באיור היא 9.. סווג את הרובוטים ונמק:. מצא את המוביליות של הרובוטים באיורים )א(, (. מסקנתך לגבי רובוטים טוריים?. מהו מרחב המיומנות של רובוט טורי מישורי R. מהם התנאים על אורכי החוליות לקבלת מרחב מיומנות לא ריק?

26 ד"ר ניר שוולב 5 9. מערכות צירים מעתה נעסוק ברובוטים טוריים ונחזור לאלו המקביליים רק בסוף הספר. אנו מעוניינים במיקום ואוריינטציה של התפסנית ביחס למערכת בסיס הרובוט. אם נתמקד באיור ונביט במערכת הצירים הצמודה לתפסנית, נקל להבין כי כאשר זוויות המפרקים ישתנו המערכת תעבור טרנספורמציה הכוללת תזוזה )העתקה( וסיבוב. ולכן, לשם נוחות נצמיד מערכת צירים לכל חוליה: תאור חוליות רובוט באמצעות מערכות צירים ובכדי לקבל את מיקום התפסנית והאוריינטציה שלה יש למצוא את הטרנספורמציה )סיבוב והזזה( של מערכת ביחס ל- 9, את הטרנספורמציה של מערכת 9 ביחס ל 6 ואת הטרנספורמציה של זו האחרונה ביחס למערכת הבסיס )מערכת (. בפרק זה נעסוק בטרנספורמציות הליניאריות שיעזרו לנו בהמשך בתיאור מיקום התפסנית ביחס למערכת בסיס קבועה. להמשך דיון נזכר במעט אנליזה ווקטורית ומספר סימונים: הגדרה: בהינתן מרחב וקטורי הוא קבוצה מינימאלית של וקטורי יחידה מתוך של (Orthoormal Bai) הבסיס האורתונורמאלי,, הפורשים את בנוסף,. פנימית של כל שניים מהם מתאפסת )במילים אחרות: כל הוקטורים ניצבים בזוגות(. הגדרה: בהינתן שני ווקטורים u ו- v x ה, x, y,z y xx yy zz היא הזווית בין מכפלה מכפלה הפנימית produt) (Ier שלהם מוגדרת:, u ומתקיים, v u v u o כאשר v u ו- הסקאלרית תהיה אורך היטל z v. v נשים לב כי במידה ש-. v על u v הוא וקטור יחידה, תוצאת המכפלה

27 ד"ר ניר שוולב 6 u, v הגדרה: בהינתן שני ווקטורים המכפלה הוקטורית Produt) (Vetor שלהם מוגדרת x x î ĵ kˆ, u ומתקיים u v u v i כאשר v y y x y כ z z z x y z v ניצבת לשני הוקטורים u w נשים לב כי תוצאת המכפלה. v ו- u הזווית בין w v וכיוונה נקבע ע"פ כלל יד ימין. המוכפלים u A P P P P x y z סימון:מעתה נסמן את מיקום נקודה P במערכת צירים X,Y,Z של מערכת A ב- הערה: וקטור הינו ישות מתמטית שאינה תלויה במערכת הקואורדינאטות. התלות במערכת זו או אחרת הוא בייצוגו המספרי בלבד. האקלידי היא חץ, הצגה גראפית מקובלת לוקטור במרחב כמודגם באיור, מראשית מערכת הצירים כמודגם. ונהיר שניתן להזיזו אוריינטציה (Orietatio) היא תיאור הטיית הגוף ביחס לעולם. התיאור נעשה באחת משתי השיטות השקולות: האחת, באמצעות ציון זוויות ההטיה סביב כל קואורדינאטה )ראה איור(; והשנייה, בעזרת תיאור של כל ווקטור בסיס במערכת הגוף הכתוב במערכת קואורדינאטות של העולם. נחזור כעת לבעיה המקורית שלנו: תיאור מערכת קואורדינאטות אחת באמצעות אחרת. תיארנו את הסיטואציה הבאה: נתונה מערכת העולם X A, Y A, Z A ונתונה מערכת נוספת, B X B P המסובבת ביחס לראשונה. בנוסף נתונה נקודה )כלומר מתוארת במערכת Y B, Z B

28 ד"ר ניר שוולב 7 הקואורדינאטות B). מטרותינו תהיינה )א( לתאר את נקודה P בקואורדינאטות של מערכת A. ביחס למערכת B למצוא אופרטור, שיתאר את סיבוב מערכת )ב( A. טרנספורמציית גוף קשיח היא אופרטור ליניארי, הקולט מיקום ניידת, ופולט מיקום ואוריינטציה במערכת העולם. ואוריינטציה במערכת במערכת במערכת ווקטור הניידת ווקטור העולם בהקשר הרובוטי אנו נתייחס כמובן לחוליה הנעה בהשפעת שינוי מצב המפרקים )בפרט חולית התפסנית( כאל זו הנושאת את המערכת הניידת, בעוד שאל חוליית האדמה נתייחס כאל מערכת העולם. הגוף הקשיח: המשפט הבא והתרגיל שבעקבותיו מחדדים את מושג טרנספורמציית הגדרה: נתונים שני מרחבים וקטורים תלת ממדיים: קשיח, אם ורק אם לכל בסיס אורתונורמאלי ימני :., ( )X,X,X של היא טרנס' גוף -)( הווקטורים, )X ו-) ) -) )X (-)(,)X ( הם בסיס אורתונורמאלי ימני ל-. 5.: תרגיל מהווים גם היעזר באיור והוכח את המשפט. כלומר הראה ש: )6( מרחקים נשמרים, )9( אין שיקופים. רמז: כי הדרישה לימניות הכרחית על מנת להימנע מטרנספורמציית שיקוף )כלומר שהאובייקט העובר טרנספורמציה ישתקף כבמראה( שתי המערכות, אם כן, צריכות להיות ימניות )או שמאליות( ביחד. כאמור, טרנספורמציה כללית מורכבת מטרנספורמציית הזזה וטרנספורמציית סיבוב. נתחיל, אם כן, בתיאור מערכת B שהסתובבה ביחס למערכת A ונתמקד במקרה הדו ממדי )ההרחבה למקרה הכללי טריוויאלית(. תיאור מערכת הקואורדינטות המסובבת )כלומר תאור וקטורי הבסיס של מערכת זו( הקואורדינאטות הנייחת, נתון ע"י: באמצעות מערכת A X B X A X YA X B B, A Y B X A YB YA Y B X B כאשר הסימון ברכיבי A X B מערכת קואורדינאטות מייצג את הווקטור מבוטא שימו A. לב שהטלנו סיבוב מערכת צירים במישור

29 ד"ר ניר שוולב 8 )באמצעות הכפלה סקאלרית( את שני ווקטורי הבסיס של מערכת B על ווקטורי הבסיס של מערכת A. בכדי לתאר את האוריינטציה של המערכת המסובבת נקבץ את הווקטורים A A A R כאשר הסימון מתייחס שקיבלנו לכדי מטריצה באופן הבא: X Y A B R B B למטריצת הטרנספורמציה המתארת את מערכת B במערכת קואורדינאטות A. הסימון חיוני, B ונחיצותו תובהר בהמשך הפרק. ובמקרה התלת ממדי: A B R A X B A Y B A Z B X Y Z A A A X X X B B B X Y Y Z A A A Y B Y B B X Y Z Z A A A Z Z B B B (.) תרגיל 5.5: מצא את הטרנספורמציה המתארת את סיבוב מערכת B לעומת A. )ראה איור קודם(. תשובה: כאמור, אנו מעוניינים לתאר את קבוצת וקטורי הבסיס של B במערכת A. נשתמש X ונקבל: A X B X A X B o A B בנוסחה ל- R שהתקבלה, ובידיעה ש A B R oθ iθ - iθ oθ. Z A Z B o שימש כציר סיבוב Z ציר בשתי המערכות ולכן זהה, מפני ש- Z A בשונה מהגישה הקודמת, בה תיארנו מערכת מסובבת בקואורדינאטות של מערכת נייחת, אנו מעוניינים כעת לוודא כי תיאור סיבוב אקטיבי של הגוף )מערכת( יהא זהה לתיאורנו הקודם. כלומר, אנו תרים אחרי אופרטור סיבוב )הכתוב כמטריצה( R המסובב את מערכת הצירים e, e. כאן o ê i ;Rê R i o בזווית סביב ציר Z ובכך מקיים: מתארים את ווקטורי הבסיס של הגוף. כלומר, אם נדמיין גוף צמוד למערכת A עם מערכת קואורדינאטות צמודה לו, אנו מעוניינים לסובב את הגוף, או במילים אחרות, אנו מעוניינים

30 ד"ר ניר שוולב 9 * * * * * * * * * x בסיבוב וקטורי הבסיס של המערכת בה הוא מתואר. בקיצור, נחפש מטריצה. X B, Y B X A, Y A שתסובב את ווקטורי הבסיס הבסיס: ציר הוא ציר הסיבוב, על לווקטורי הבסיס כן אינו משתנה ולכן המקרה הוא: נתמקד בשלשת וקטורי Rê Z o R i X. R * * * * * * ומכאן ציר מקיים ע"פ האיור ולכן - iθ R oθ לקיים ולכן Y oθ R iθ באותו אופן על סיבוב וקטור * * * מטריצת הסיבוב בזווית θ סביב ציר Z היא: oθ R iθ - iθ oθ כצפוי סיבוב מערכת באופן אקטיבי בזווית θ, זהה לייצוג מערכת הקואורדינאטות המסובבת במערכת הנייחת.. - תרגיל 5.6: הוכח כי עבור מטריצת סיבוב כלשהי מתקיים R R תשובה: כפי שניתן היה להסיק זה מכבר, מטריצת סיבוב מעתיקה מערכת קואורדינאטות אורתונורמאלית ימנית למערכת קואורדינאטות אורתונורמאלית ימנית אחרת. ולכן. det R נוכיח זאת: e, e, ממפה בסיס אורתונורמאלי e R לבסיס אורתונורמאלי מסובב,Re, Re, Re לכן: כלומר האיבר בשורה ה- i -ית ועמודה j -ית הוא: Rei Re j e i R Rei ei R Re i Re Re i j i j i j, ואכן, מבט בביטוי שלמטה מאשש את טענתנו זו. R כלומר R I

31 ד"ר ניר שוולב det R טענה: הוכחה: - - det R det R det R det R det R det R det R detr R deti det R. det ומכאן האפשרויות הן R אם מאפשרים אנחנו, למעשה, 9 מאפשרים שיקוף. )מדוע? ) נשים לב כעת כי סיבוב אקטיבי של מערכת ניידת )אדומה( בזווית φ כמוה כסיבוב המערכת הנייחת )שחורה( בזווית הפוכה ( φ -(. לכן שרשור שתי מטריצות כדוגמת הביטוי שלמטה, יתפרש כסיבוב אקטיבי של מערכת )שחורה לזו האדומה( בזווית נתונה וסיבוב המערכת )שחורה או אדומה( חזרה למנח המקורי. oφ iφ oφ - iφ R R I iφ oφ iφ oφ I לחילופין, כאמור, ניתן לחשוב על סיבוב המערכת הנייחת )שחורה( בזווית הפוכה ( φ -( כביטוי קואורדינאטות המערכת הנייחת )שחורה( בקואורדינאטות של זו הניידת )האדומה(. ולכן ניתן לחשוב על אותו ביטוי משורשר כביטוי המערכת הנייחת בקואורדינאטות של זו הניידת ומייד לאחר מכן סיבוב אקטיבי של המערכת הנייחת. עד כה התמקדנו בחישוב מטריצת הסיבוב כאשר ציר הסיבוב נקבע להיות ציר Z. המטריצות הבאות מתארות טרנספורמציות סיבוב סביב צירי X,Y,Z בהתאמה כאשר האותיות C,S W: סביב ציר יסמן סיבוב בזווית R W מהוות קיצור לפונקציות, Co,Si לבסוף ) ( R x φ φ - φ φ φ φ φ - φ ; R φ ; R φ φ y z φ φ - φ φ נבהיר כעת את הסימון שליווה את מטריצות הסיבוב. דיון במערכות רובוטיות מחייב דיון במספר רב של מערכות צירים. הסימון נועד לצמצם ככל שניתן את הצורך במעקב אחר המערכות האלו. הרעיון הוא "לצמצם מערכות צירים" באופן המודגם בביטוי הבא: A P A B R B P (.) 9 רמז: חשבו על השטח ששלושת ווקטורי הבסיס חוסמים. מה קורה לשטח תחת שיקוף, תחת סיבוב?

32 ד"ר ניר שוולב A P במערכת A B R B ווקטור P שנתון במערכת צירים B, עבר טרנספורמציה ומבוטא כעת קואורדינאטות A "צמצמנו" את ה "B" במשוואה ונשארנו עם "A" לאמור שהווקטור שהתקבל נתון במערכת קואורדינאטות A. טענה: מטריצת רוטציה משמרת מכפלה סקאלרית. Rˆ x Rˆy - x R R y X R Ry X R Ry הוכחה: x y x y טרנספורמציות ווקטורים: מספר שרירותי של ניתן לשרשר )9.9( בדומה לנוסחה כאן "הצטמצמו" ה" B " וה-" C " ונותרנו שוב עם "A". A P A B R B C R C P B CR C D R A B R B C R C D R הערה: הביטוי המשורשר מתאר טרנספורמציה ולאחריה ולבסוף. A D R A B R B C R C D ולכן R A הטרנספורמציה BR חסרה לנו, כעת, טרנסלאציה )העתקה(, בכדי לתאר טרנספורמציית גוף קשיח במלואה.. כלומר, זוהי d x x d הגדרה: העתקה הזזה של וקטור תרגיל 5.: הוכח כי ההעתקה d היא טרנספורמציה ליניארית, המקיימת d x ב-. היא טרנספורמציית גוף קשיח. )ראה משפט בתחילת עמ' x - i ix d.)99 תשובה: כפי שהוכחנו בתרגיל 9.6, עבור טרנספורמציית גוף קשיח, בסיס אורתונורמאלי. ע"פ הגדרה ידוע כי d וכן x x x הינו d d x - x i i i d i i i i ומכאן בסיס כאמור. וברור כי זהו תאור מלא של טרנספורמציה יהא אם כן כלומר אנו מסובבים את מערכת הצירים ורק לאחר מכן מבצעים A P A B R B P A P Borgial A P B orgial העתקה )הוספת הווקטור המייצג את מיקום ראשית הצירים של המערכת, A B הניידת, ראה איור(. הרעיון הוא לבנות טרנספורמציה יחידה שתתאר רוטציה

33 ד"ר ניר שוולב וטרנסלאציה יחדיו ולא כשילוב של הכפלה במטריצה וחיבור ווקטורי. באופן זה נרצה לשרשר טרנספורמציות כאלו עם רעיון "צמצום מערכות צירים" זהה לזה שדנו בו עבור רוטציות: (Homogeou) הגדרה: מטריצה הומוגנית כזו היא המייצגת טרנספורמציה )סיבוב d R מטריצת סיבוב, R, d והעתקה( במרחב באופן הבא: כאשר R. d וקטור הטרנסלאציה. עבור המצב המישורי הטרנספורמציה תהא: שימו לב כי הטרנספורמציה במרחב האוקלידי התלת ממדי הינה מטריצה x, בעוד שזו עבור המרחב האוקלידי ה- 9 ממדי הינה מטריצה x. כלומר "עלינו" ממד בכדי לייצג גם את הטרנסלאציה. מטריצות מעין אלה נקראות הומוגניות, על שם שיטת ייצוג הקואורדינאטות x x הומוגני הינו מהצורה: בהן נעשה שימוש. ווקטור מיקום x x כלומר בכדי לייצג ווקטור שרירותי )בממד 9 או ( נוסיף ממד נוסף לייצוגו, ושיעורי הממד הזה יהיו יחידה. הטרנספורמציה מתבצעת, אם כן, באופן הבא: R d x Rˆ x d נדגים כיצד מתקבל שרשור שרשור של טרנספורמציות הוא: טרנספורמציות באמצעות הכפלה של מטריצות הומוגניות. x Rx d R Rx d d RRx R d d זהה לזו שמצאנו זה מכבר: R d R, d נוודא שהרכבת הטרספורמאציות Rˆ x Rˆ x Rˆ d x d R, d R d x R d Rˆ x d

34 א) ב) ד"ר ניר שוולב תרגיל 5.: בהינתן מטריצת סיבוב שרירותית R כיצד ניתן למצוא את ציר הסיבוב אותה היא מייצגת? תשובה: כזכור, ווקטור עצמי v של מטריצה כלשהי ומטריצת סיבוב R בפרט, מקיים Rv v כאשר הוא הערך העצמי המתאים ל. v מנגד, על ווקטור v המייצג את כיוון Rv v ציר סיבוב המטריצה R לקיים )מדוע?(. ולכן נהיר הוא כי ווקטור עצמי של R עם ערך עצמי שגודלו 6 יהא הווקטור המבוקש. תרגיל 5.6: מצא מהו ציר הסיבוב של מטריצת הסיבוב:.6 R v הווקטור העצמי של R הוא הווקטור במטריצת הסיבוב אינה משנה את הווקטור. לקורא המעמיק מומלץ לעיין במקורות ]6[ ו ]69[. וזהו ציר הסיבוב המבוקש. נשים לב שהכפלת תרגילים נוספים R R 9. הוכח שהדטרמיננטה של מטריצת סיבוב שווה ל X רמז: השתמשו בעובדה ש Y Z ) הראו שטרנספורמציות סיבוב בזווית סופית אינן חילופיות כלומר אינו שווה ) הוכיחו שטרנספורמציות סיבוב בזווית אינפיניטסימאלית כן. R בהכרח ל- R חילופיות. 9. A. חשב את v B v,, נתון ווקטור המהירות בהינתן הטרנספורמציה. נמק את 9.6 תשובתך. A B

35 ד"ר ניר שוולב A v,.,. 598 תשובה: k k מצא ביטוי כללי לטרנספורמציית הסיבוב בזווית סביב ישר העובר דרך 9.6 נקודה b )ואינו עובר בהכרח בראשית הצירים(.. k R k b I R k x תשובה:.,, 9.66 באיור מתוארות שתי אוריינטציות של בלוק עץ. מצא טרנספורמציה אחת המתארת את המעבר ביניהן ע"י ציון זווית הסיבוב הרצויה ווקטור סביבו תתבצע הרוטציה. תשובה: הווקטור המציין את ציר הסיבוב הוא וזווית הסיבוב היא a a a מצא את האיברים החסרים בטרנספורמציה ההומוגנית: a a, a תשובה: 9.6 חשב את הטרנספורמציה ההומוגנית המייצגת סיבוב +95 Y סביב ציר Z,סיבוב סביב ציר ב- וסיבוב ב- 6.,, 9- ולאחר מכן הזזה בשיעורים ב- סביב X מהם שיעוריה החדשים של נקודה שבמקור נכתבה כ-?,, תשובה: 9.69 נתונה יחידת הקצה של רובוט Motoma שבתמונה, אליה מוצמדת מערכת צירים המתלכדת עם מערכת העולם. חשב את הטרנספורמציה המעבירה את x A, y A, z A

36 ד"ר ניר שוולב 5 z A a,b, ראשית מערכת צירים זו לנקודה כך שציר )=כיוון התפסנית( יצביע לכיוון הראשית )כבאיור(. a b תשובה:

37 ל) ד"ר ניר שוולב 6. שרשור טרנספורמציות די בהצצה באיור שבעמוד 99 על מנת להבין כי בכדי לתאר את המיקום והאוריינטציה של תפסנית הרובוט יש לשרשר טרנספורמציות Coateate) (o הכפיל מטריצות המייצגות את הטרנספורמציות(. בפרק זה נעמוד על עניין השרשור לעומקו. o אינה כפל מטריצות סיבוב אינו חילופי )דרך אחרת לומר זאת היא לציין שהחבורה )המייצגות שרשור מטריצות כלומר, ]6[(. לקורא המעמיק מומלץ לעיין ב- חילופית, נדגים את אי סיבוב. טרנספורמציית יניב אותה בסדר הפוך לא טרנספורמציות סיבוב( החלופיות של R:

38 ד"ר ניר שוולב 7. R y9r x9 R X9R שים לב שעל פי האיור שלעיל y9. A C B, A C B תרגיל 6.: מצא את ואת תשובה: נתייחס למערכת A כמערכת ייחוס. את טרנספורמציית הסיבוב שמערכת B "עברה",A B, ביחס למערכת A הווקטור הוא נכתוב באמצעות ווקטורי הבסיס של במושגי מערכת וזהו ווקטור העמודה הראשון במטריצה לדוגמא. באופן A B R. A Y B, A Z A X B B A XB דומה נבנה גם את הווקטורים ווקטור העמודה הרביעי מציין, את כאמור, A PB ORG B של ראשית מערכת A PB ORG התזוזה ביחס למערכת הייחוס A: הווקטור מבוטא ברכיבי מערכת קואורדינאטות A( ומכאן: )שימו לב, B C באופן דומה נקבל: A B ומשני הטרנספורמציות שקיבלנו: A B B C ומהאיור שלעיל ניתן לאמת את התוצאה.

39 א) א) ב) ג) ד"ר ניר שוולב 8 נעמוד כעת על שתי דרכים לשרשר טרנספורמציות סיבוב של גוף )פורמאלית אנו מעוניינים בסיבוב מערכת צירים צמודת גוף(. ) סיבוב סביב X,Y,Z קבועים במערכת העולם., סביב סיבוב X',Y',Z' כלומר, סביב הצמודים לגוף צירים המסתובב )במערכת ) ניידת(. ) סיבוב משולב סביב צירים ניידים ונייחים. ) נתונה מערכת העולם X,Y,Z וגוף הנתון במערכת זו. נסובב את הגוף סביב X בזווית γ סביב Y עם זווית β וסביב Z בזווית α כמודגם באיור הבא: R x γ β - β β β γ γ - γ ; R β ; R α γ y z α α - α α )Roll( סביב ציר X נייח, עלרוד )Pith( סביב ציר Y נייח ולבסוף ס בסוב,)Yaw) סביב Z נייח שרשור טרנספורמציות: גלגול A '''B עם המבנה: פורמאלית, מה שעשינו כאן הוא סיבוב R R z αr βr γ y x α β α β - β α β γ α γ α β γ α γ β γ α β γ α γ α β γ α γ β γ

40 ב) ד"ר ניר שוולב 9 כלל: שרשור טרנספורמציה עם סיבוב R סביב ציר קבוע במערכת העולם יתואר באמצעות R הכפלת המטריצה המייצגת את הטרנספורמציה הקודמת במטריצת הסיבוב משמאל. R ) נסובב כעת מערכת צמודת גוף סביב מערכת צירים ניידת. ייצוג כזה נקרא מערכת זווית אוילר.)Euler( נסובב סביב ציר Z בזווית α, לאחר-מכן נסובב סביב ציר 'Y )המסובב( בזווית γ. פעמיים( בזווית )המסובב "X ולבסוף, סביב ציר β R z α R z' α R Y' ' β R x'' כאמור, במצב זה הסיבוב נעשה סביב צירי המערכת הניידת ולא לפי צירי מערכת העולם. ניתן לרשום את מטריצת הסיבוב R בצורה הבאה: )הצורה הרגילה(: A B'" R A B' R B' B" R B" B'" R R Z' αr β R γ Y'' X' ' R כלל: שרשור טרנספורמציה עם סיבוב הכפלת המטריצה המייצגת את הטרנספורמציה סביב ציר של מערכת ניידת יתואר באמצעות R הקודמת במטריצת הסיבוב מימין. R עבור האיור שלעיל מטריצת הסיבוב היא אם כן: α β α β - β α β γ α γ α β γ α γ β γ α β γ α γ α β γ α γ β γ R z R R y נשים לב, כי קיבלנו אותה מטריצה כמו x המייצגת את שרשור טרנספורמציות סיבוב סביב צירי מערכת נייחת! כלומר אותה מטריצה נניח כעת, שנתונה

41 ד"ר ניר שוולב r r r R r ואנו מעוניינים ב α,β,γ זוויות הסיבוב r מטריצת הסיבוב r r r r הצירים הנייחים Z,Y,X בהתאמה. או לחילופין נתעניין ב γ,β,α זוויות הסיבוב הצירים הניידים X''',Y'',Z' בהתאמה. סביב סביב נגדיר להלן פונקציה שתסייע לנו בפתרון הבעיה בפרט ובקורס ככלל: הפונקציה,ata(y,x) היא פונקציה דו-פרמטרית המחשבת את הפונקציה (y/x) ta - אשר תמונתה היא ]-,[ כלומר הפונקציה מביאה בחשבון את סימני )x,y( ובאופן זה קובעת באיזה רביע נמצאת הזווית. שים לב שפונקצית ta ההופכית אינה עושה זאת., Mathematia הינה פונקציה סטנדרטית במנועים מתמטיים כמו ata(y,x) Matlab, Maple וכיו"ב. דוגמא: ata(-,)=5 ata(,)=5, בעוד ש (-/-)= 5 - ta ta - (/)= R Z' Y" X"' α,β, γ R γ,β,α כיוון ש XYZ לשני מקרים: הנוסחאות הבאות עבור γ,β,α יהיו נכונות β ata - r α ata γ ata, r r r r, β β r r, β β

42 ב) ד"ר ניר שוולב α β 9 γ ata r, r α β 9 γ ata r עבור +9, -9 = β מתקיים o(β)= ולכן נוסיף ונגדיר:, r תרגיל 6.5: תהי OXYZ מערכת עולם ו- OUVW מערכת צמודת גוף )מערכת ניידת(. )א( מהי מטריצת הרוטציה עבור סיבוב בזווית Ø סביב OX ולאחריה, סיבוב בזווית Ψ סביב ) מצא רצף סיבובים אחר, שנותן את אותה מטריצת R W (Ψ), R X (Ø) נסמן:.R X'ZY.OY סביב θ ולאחריה, סיבוב OW רוטציה. פתרון: שימו לב כי למעשה אנו מעוניינים במטריצת הסיבוב (θ) R. Y נזכור כי הכללים שדנו בהם לעיל מחייבים: )6( מטריצת רוטציה סביב ציר במערכת העולם, מכפילים משמאל. )9( מטריצת רוטציה סביב ציר במערכת נעה, מכפילים מימין. נשתמש במטריצת הרוטציה סביב ציר מסוים שאנו יודעים ונבצע את ההכפלה. R X φ φ φ - φ φ φ φ φ - φ, R φ, R ψ Y W ψ ψ - ψ φ ומכאן נקבל:

43 א) ד"ר ניר שוולב φ φ ψ R Y φr X φr W ψ φ - φ ψ - φ φ φ φ φ φφ φφ ψ - ψ φ - φ ψ φ - φ φφ φφ φφ φφφ - θ ψ θ φ ψ φφ φ φ ψ φ - θθ θ φ ψ θ ψ θ φ ψ θ φ - ψ φ ב. יש למצוא R שקול, שיתקבל מסיבוב המערכת סביב צירים אחרים. נביט בביטוי שקיבלנו R Y φr φr ψ X W בסעיף הקודם: נסובב את המערכת סביב ציר Z )שהוא בסעיף הקודם W( בזווית ונייחס את כל הסיבובים למערכת העולם. כלומר, ψ לאחר מכן סביב ציר.φ בזווית ולבסוף סביב Y בזווית ע"פ הכללים שהזכרנו זה מכבר הסיבוב יהא R כדרוש. Y X φr φr ψ X Z תרגיל 6.6: נוסחת רודריגז )Rodriguez) תהי A מערכת צירים קבועה; ותהי B מערכת צירים מסובבת בזווית a סביב ציר המקביל לווקטור היחידה =(t, t, t ) הקבוע ב- A. הינה מטריצה אנטי סימטרית θ R א( הוכח ש- R עבור כל מטריצת סיבוב. R Λ הוכח כי ב( I כאשר: t - t - t t t - t ג( והוכח כי: חשב את e Λθ I Λiθ (- o )Λ (.) תשובה: ) ידוע ש-. RR I נגזור את הביטוי לפי θ ונקבל:

44 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד R θ R - θ R R - R θ R θ R R R θ R,ןאכ.הצירטמב רביא לכ לש תדרפנ הריזג תועצמאב תעצבתמ הצירטמ תריזג ןכאו יאנת תוירטמיסה יטנא.םייקתמ S=-S (ב ) יכ ןותנ t t t. בשחנ t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t - t t t t t t t t - t t t t t t t t - t t t - t t t - t t - t - t t t - םייקתמ כ"הסבו I.שקובמכ (ג ),םדוקה ףיעסה י"פע בשחנ תא R פ"ע Λ Λ Λ Λ Λ. :ש בל םישנ -ו תירטמיס יטנא,תירטמיס ןכלו ןאכמו - -. ןכלו -, 5, 6.האלה ןכו תא בשחנ e :לבקנו רולייט רוט י"פע - o i I 6!!! 5!! I e 6 5 ליגרתמ 66 ש םנמא עודי - oθ iθ I e. תעכ.האצותה רשפ לע דומענ הדוקנ תמגדומ הטמלש רויאב P תרבועש רוטקוו ביבס בוביס תייצמרופסנרט תיווזב.,R הצירטמה יכ איה ונתנעט,בוביסה תייצמרופסנרט תא תראתמה תחסונ תועצמאב הנותנ זגירדור - oθ iθ I e R רשאכ.66 ליגרתב תרדגומה הצירטמה איה

45 ד"ר ניר שוולב ווקטור P, המתאר את מיקום הנקודה, מורכב משני רכיבים: הרכיב המקביל ל )כלומר זה P שאינו משתנה תחת הסיבוב( ; טרנספורמציה(. הרכיב המאונך והרכיב המאונך ל נסמן את שני הרכיבים כ- P P, P סביב, הסיבוב יבוטא כ בהתאמה. )כלומר החלק של העובר אם נרצה כעת לסובב את ראה איור. בכדי לקבל P ונקבל P P iθ P oθ את הווקטור המסובב בכללותו נסכם, אפוא, את החלק המקביל P ו- P P P נשים לב ש. RP P P iθ P נציב כעת חזרה לנוסחה לקבל: וכן ש- v RP P Piθ P P v v. P (P oθ oθ P ) P בכדי להשלים את ההוכחה יש להוכיח ראשית כי לכל ווקטור ולכן נוכל. עתה נוכל לבודד את מטריצת R I Λ ; ושנית, ע"פ תרגיל 69 ידוע כי I לסמן Λ הסיבוב סביב ווקטור בזווית : Λθ iθ oθ e (.) לשם נוחות מובא להלן הביטוי המפורש למטריצת הסיבוב סביב ווקטור בזווית : R θ θ tt tt t θ tt θ tθ tt θ t θ tθ θ t θ t t θ t θ t θ t t θ t θ θ t θ θ θ (.) מפורשות. θ R תרגיל 6.: חשב את- R R θ e θ Λθ θ I Λiθ Λ - oθ Λoθ Λ iθ תשובה: לכן:

46 ד"ר ניר שוולב 5 R θ R Λoθ Λ iθ I Λiθ Λ - oθ Λ.=(t, t, t ) נתונה זווית וקטור וו סיבוב נמצא כעת את מטריצת הסיבוב המתאימה באופן אינטואיטיבי: Z. יתלכד עם ציר נסובב את מערכת הצירים באופן שהווקטור. θ בזווית Z נסובב את מערכת הצירים סביב נחזיר את המצב לקדמותו, כלומר נסובב את הווקטור ע"י טרנספורמציה הפוכה לזו הראשונה. הסיבובים כולם יעשו במערכת XYZ קבועה: R X נסובב את מערכת הצירים באמצעות α סביב ציר X בזווית α באופן ש- יגיע למישור.ZX R Y β נסובב את מערכת הצירים באמצעות סביב ציר Y בזווית ש- βבאופן יגיע לציר Z.. θ בזווית Z סביב ציר R Z θ נסובב את מערכת הצירים באמצעות R Y β R X α נסובב את מערכת הצירים חזרה למקומה באמצעות נסובב את מערכת הצירים חזרה למקומה באמצעות

47 ד"ר ניר שוולב 6 סה"כ R θ R - αr βr θr -βr α X Y Z Y X ובמפורש: R θ θ tt tt α - α β α α - β β φ φ β - φ φ β β t θ tt θ t θ tt θ t θ θ t θ θ t θ t t θ tθ θ t θ t t θ t θ θ t θ - β β α α α α הוא ציר הסיבוב של הטרנספורמציה כצפוי, התקבלה תוצאה זהה לזו שקיבלנו לעיל. בפרק הקודם מצאנו כי בהינתן מטריצת סיבוב, הווקטור העצמי המתאים לערך העצמי "6". משיש בידנו את המבנה המדויק של מטריצת הסיבוב נוכל לחלץ גם את ערך זווית הסיבוב:. R r i, j i,j תרגיל 6.: נתונה מטריצת סיבוב כללית ציר הסיבוב מצא את וזווית trae R θ t θ θ t θ t t t θ θ θ t θ - oθ θ θ הסיבוב θ. תשובה: נשים לב ש: )כיצד?( trae R ולכן. θ בכדי למצוא את הזווית המדויקת יש למצוא את ולהשתמש בפונקציה.ata נביט כעת בביטוי הבא: r r r - r - r - r t t θ t θ- t t θ t t θ θ t θ t θ כלומר

48 ד"ר ניר שוולב 7 r r r r r r θ נשים לב שאם נחשב את הזווית ע"י b z 5 x 5 z y x d θ o נימנע מטעות בקביעת trae R ( θ 8 ) רביע הזווית גם ללא חישוב מפורש של ושימוש בata, כיוון y 5 z e שכיוון הציר אף הוא נקבע ע"פ i הזווית. ולכן כל a x y z שנותר הוא: x z y x z y x y θ r r r r r r ו-. A A תרגילים נוספים.9 מצאו את הטרנספורמציות תשובה: A e a d, A b a d. C A. על פי האיור בתרגיל.6 מצא את C A תשובה: ומסובבת באופן גרפי קובייה.8 כתוב תוכנית מחשב אשר מקבלת ווקטור מהמשתמש סביבו.

49 ב{ ד"ר ניר שוולב 8.9 כתוב תוכנית מחשב אשר מקבלת שתי אוריינטציות ומסובבת קובייה כך שבתחילת התנועה תהיה זו מכוונת לכיוון האוריינטציה הראשונה ובסוף התנועה תהיה הקובייה מכוונת בכיוון השנייה. תוכנית עזר: בכדי להקל על כתיבת התוכנית היעזרו בתוכנית ה- Matab המסובבת קובייה ומציגה את הסיבוב באופן גרפי. הבאה j=; for theta=:.:(*pi) j=j+; מט ' סיבוב % ]]; ];[ o(theta) R=[[o(theta) -i(theta) ];[i(theta) for i=:8 הווקטור שיש לסובב % z(i)]'; V=[x(i) y(i) סיבוב הווקטור % U(i,:)=(R*V)'; ed הצגה גרפית של הקובייה % plot([u(:,) ;U(,)],[U(:,) ;U(,)],[U(:,); U(,)]); hold o plot([u(5:8,) ;U(5,)],[U(5:8,); U(5,)],[U(5:8,) ;U(5,)]); plot([u(,); U(5,)],[U(,) ;U(5,)],[U(,) ;U(5,)]); plot([u(,); U(6,)],[U(,); U(6,)],[U(,); U(6,)]); plot([u(,) ;U(7,)],[U(,) ;U(7,)],[U(,) ;U(7,)]); plot([u(,); U(8,)],[U(,) ;U(8,)],[U(,) ;U(8,)]); hold off שומר על התמונה % getframe; F(j) = ed מציג את הסרט % movie(f,) ZYZ בשיטת. מצא את מטריצת הרוטציה עבור פעולת סיבוב מערכת צירים } זוויות אוילר. מהי משמעות העמודה השלישית במטריצה? R תשובה: