ד"ר ניר שוולב/ מבוא לרובוטיקה

Transcript

1

2 ד"ר ניר שוולב ד"ר ניר שוולב/

3 ד"ר ניר שוולב אין לשכפל, להעתיק, לצלם, להקליט, לאחסן במאגר מידע, לשדר או לקלוט בכל דרך או בכל אמצעי אלקטרוני, אופטי מכני או אחר כל חלק שהוא מן החומר שבספר זה. שימוש מסחרי מכל סוג שהוא בחומר הכלול בספר אסור בהחלט אלא ברשות מפורשת מהמו"ל. הדפסה: דפוס אלפא Prited i Irael נדפס בישראל: אפריל 96: כל הזכויות שמורות למרכז האוניברסיטאי אריאל בשומרון

4 ד"ר ניר שוולב להורי היקרים דוד ושושנה שוולב באהבה גדולה.

5 ד"ר ניר שוולב שלמי תודה תודה לסטודנטים שהייתה לי הזכות ללמד אותם - מר אלון ורדימון ומשה נצר שברשימותיהם נעזרתי בכתיבת הספר. תודה לחברי יונתן וישניצר על רשימותיו. תודה לאלון סימון על האיורים המשעשעים. תודה לפרופסור משה שוהם )הטכניון( ולד"ר אמיר שפירא )אוניברסיטת בן גוריון שבנגב( על עצותיהם והערותיהם הפוריות. תודה לנעמה אהובתי היקרה שעזרה לי רבות לנסח ותמכה בי לאורך כתיבתו ולתמר הקטנה ש)עדיין( לא עושה כלום וכבר עשתה המון. על הכריכה יד מינאטורית שפותחה ונבנתה במעבדה לקינמאטיקה וגיאומטריה חישובית שבמרכז האוניברסיטאי אריאל אשר מטרתה לסייע לרופא המבצע פעולות עדינות כדוגמת אלו המתבצעות בניתוחי מיקרו. אורך הרובוט מקצה האצבע לבסיס כף היד כ ס"מ וחצי ואורך כל אצבע כשבעה מ"מ. היד כולה בעלת 65 דרגות חופש והבקרה עליה באמצעות כפפת היגוי. בכריכה הקדמית )והאחורית( אחיזה רובוטית )ואנושית( בבורג שקוטרו 9 מ"מ.

6 ד"ר ניר שוולב 5 תוכן העניינים הקדמה... 6 דרגות חופש... מערכות צירים...5 שרשור טרנספורמציות...66 הקינמטיקה הישירה... הקינמטיקה הפוכה...66 אנליזה ליניארית...78 סינגולאריות קינמטית... סטאטיקה... אנליזת קשיחות מדדים רובוטים מקבילים... מרחב הקונפיגורציה... 6 נספח א' פתרון מערכת משוואות לא ליניארית נספח ב' תכנון תנועה )על קצה המזלג( נספח ג' דינאמיקה )על קצה המזלג(... 6 רשימת מקורות... 6 רשימת כתבי עת ברובוטיקה... אינדקס... 5

7 ד"ר ניר שוולב 6 הקדמה רובוט הוא סוכן מכאני. בדרך כלל המדובר במערכת אלקטרו-מכאנית, אשר התבוננות באופן התנועה שלה יוצרת תחושה של כוונה או רצון עצמאיים. במילים אחרות, על רובוט להפגין מידה מסוימת של תבונה. באופן מפתיע, אין הגדרה מוסכמת על החוקרים למושג רובוט, עם זאת מוסכם על כולם שנוסף על יכולת תבונית על רובוט להיות מסוגל לאחת מהמשימות הבאות : תנועה עצמאית, הפעלת זרוע מכאנית, חישה, במחקר ברובוטיקה נכללים תחומי המכאניקה, והחישה. הבקרה, ופעולה על סביבתו. או יותר האינטראקציה עם בני אדם קצרה היריעה מלעסוק בכולם ובספר זה נתמקד באספקטים המכאניים בלבד. התייחסות בספרות רעיון של יצור דמוי אנוש מעשה ידי אדם קיים עוד מימי המיתולוגיה היוונית. מן הסיפורים הידועים יותר הוא סיפורו של הפ סל פיגמליון אשר התאהב בפסל שיצר, ובעזרת אלת האהבה וונוס החיה אותו. סיפור אחר המתאר יצירת יצור דמוי אדם הוא סיפור הגולם מפראג מהמאה ה- 69. על פי האגדה, הגולם מפראג נבנה בידי רבי יהודה ליווא בן בצלאל )המהר"ל מפראג(, אשר יצר את הגולם כשנתגלתה מזימה של עלילת דם. הגולם שימש את יוצרו כשליח נאמן והטיל אימה על מפיצי העלילה הנוראה. מדי ערב שבת הרב הוציא את רוח החיים מתוך הגולם מחשש פן תחולל השבת, והגולם היה מוטל כגוש חומר עד צאת השבת. באחד מימי השישי, שכח הרבי להוציא מן הגולם את רוח החיים והגולם חילל את השבת וסיכן את הגויים שחיו בעיר. הרב רדף אחריו והשיגו מחוץ לפתח בית הכנסת בפראג. פורמאלית ב- 666 נוסחה ההגדרה ) (: ISO R רובוט תעשייתי הוא מכונה )נייחת או ניידת( הניתנת לתכנות חוזר. על המכונה לשמש למספר אפליקציות תעשייתיות. המונח תכנות מתייחס לעריכת תוכנה ללא שינויים מכאניים.

8 ד"ר ניר שוולב 7 שם הוציא ממנו את רוח החיים והגולם התנפץ לרסיסים. על פי האגדה, על מצחו של הגולם היו חקוקות האותיות "אמת", והמתתו בוצעה על ידי מחיקת האות א' כך שהכיתוב הפך להיות "מת." אלמנט "הגולם הקם על יוצרו" בסיפור הגולם מפראג חוזר גם בסיפורה של מרי שלי, פרנקנשטיין, שפורסם לראשונה בשנת 88. בשני הסיפורים הללו מודגש העיקרון לפיו יצירת חיים שמורה לאל ולא לאדם, וניסיון של האדם ליצור חיים בעצמו הוא חילול הקודש. סופר המדע הבדיוני אייזיק אסימוב,Iaa Aimov ששאף לשבור עיקרון זה, היה אחד הראשונים שטיפל בשאלת היחס בין האדם לרובוט בסדרת ספרי הרובוטים שלו )6699(, שהמפורסם בהם הוא Robot" I". בספרים אלו הוא טובע את המושג "תסביך פרנקנשטיין" המתאר את הרתיעה והפחד של האדם מפני המכונה שתקום על יוצרה. אייזיק אסימוב גם השכיל לנסח שלשה "חוקים" שעומדים עד היום בבסיס הפילוסופיה שמאחורי הרובוטיקה: )6( רובוט לא יזיק לאדם )9( רובוט תמיד יציית לאדם, אלא אם אלא אם כן יתנגש עם )6( )( תמיד יגן על עצמו בהנחת )6( ו-) 9 (. המילה רובוט נזכרה לראשונה בשנת 6696 עת פורסם המחזה R.U.R של הסופר הצ'כי קארל צ'אפק Karl Čapek )בתרגום לעברית, "הרובוטים האוניברסלים של רוסום"(. המילה עצמה לקוחה מן המילה Robota בשפה הצ'כית שמשמעותה 'עבד ות'. היסטוריה קדומה הניסיונות התיאורטיים להבנת הניסוח המתמטי של בעיות מכאניות והניסיון הפרקטי הדרוש לבנייתן של מכונות, ידועים אף הם משחר ההיסטוריה: הגיאומטריקאי המצרי ה רון,Hero בן המאה הראשונה לפנה"ס, תכנן ובנה מספר רב של מכונות אוטומטיות לנשיאת משקלים ושינועם. בנוסף עסק בפן התיאורטי של הבעיות ותיאר שימוש בלחץ אוויר כאמצעי אקטואציה. בן אותה תקופה בערך הוא מנגנון אנטיקיתרה Atikythera - mehaim מחשב אנלוגי קדום אשר תוכנן ככל הנראה על מנת למעשה, קארל צ'אפק לא המציא את המילה בעצמו. במכתב אזכור קצר לאטימולוגיה של מילון אוקספורד באנגלית הוא מציין כי העדיף את המילה,laboři אשר בלטינית פרושה "לעבוד", ורק לאחר התייעצות עם אחיו החליף את השם.

9 ב. ד"ר ניר שוולב 8 לחשב מיקומים אסטרונומיים של גרמי שמיים. המנגנון התגלה סמוך לאי היווני אנטיקיתרה בין קיתרה לכרתים והוא מתוארך לתקופה שבין לפנה"ס לבין 5 לפנה"ס. המנגנון כלל ככל הנראה גלגלי שיניים, חלקם פלנטאריים עם רוחב שן קטן ממילימטר, וגודלו של המכשיר כולו כ- x7x9 ס"מ. הממציא המוסלמי-טורקי אל ג'זארי שחי במאה ה- 69, תכנן ובנה מספר רב של מכונות אוטומטיות כולל מכשירים אוטומטיים למטבח, מכונה מוסיקלית אוטומטית המופעלת הידראולית וארבעה רובוטים דמויי אדם הניתנים לתכנות באמצעות החלפת פיקות, שבתורם הפעילו מערך קורות לתיפוף נעימות שונות. היסטוריה מאוחרת בשנות השבעים של המאה ה- 6 נוצרו מספר רב של רובוטים דמויי אדם שיכלו להגיש תה, לירות חיצים, לכתוב ולנגן בידי מספר ממציאים משווייץ, גרמניה ויפן. כאמור ב 669 הוצג לראשונה המחזה R.U.R ENIAC היה המחשב האלקטרוני הראשון ועמו שהיה ההתייחסות הראשונה למושג רובוט. בעל היכולת להיות מתוכנת מחדש באמצעות חיווט בלבד. המחשב פותח לצורך פתרון מגוון רחב של בעיות חישוביות והוכרז מוכן לשימוש באוניברסיטת פנסילבניה ב פותח הטרנזיסטור הראשון במעבדות ב ל בניו ג'רסי וסלל את הדרך לפיתוח הרובוט הראשון המופעל באופן דיגיטאלי. הרובוט הראשון, ששמו הרובוטיקה המודרנית, i Uimate נבנה ב- אנגלברגר ודבול (George Devol & Joeph F. Egelberger ונכנס לשימוש בחברת ג'נרל מוטורס חמש שנים מאוחר יותר. דרגות חופש טורי, זהו רובוט שמטרתו הייתה שינוע של פיסות מתכת לוהטות במשקלים של עד כ 5 ק"ג וריתוכם במקומות המיועדים. סדר הפעולות הרצוי נשמר על גבי תוף מגנטי )על ידי )ששקל כ- 6 ק"ג(. מי שנחשבים כיום כאבות ה-,Uimate ש אפשר לראשונה ביצוע עבודות בזול וביתר דיוק ואמינות מאשר בני אדם, סלל את הדרך לרובוטים התעשייתיים הנמצאים כיום בשימוש נרחב ומחליפים בני אדם במגוון משימות. בשנת 6696 ויקטור שיינמן Vitor Sheima מאוניברסיטת סטנפורד המציא רובוט 9 דרגות חופש טורי בשם זרוע סטנפורד Staford Arm שלאחר מספר גלגולים התפתח לרובוט מסוג פומה - Puma מן השכיחים בתעשייה כיום.

10 ד"ר ניר שוולב 9 רובוט מדגם PUMA רובוט מדגם SCARA בשנת 66 חברה גרמנית בשם Kuka Roboti יצאה גם היא לשוק עם רובוט 9 דרגות חופש טורי חדש בשם Famulu ובאמצע שנות ה- נפתחה תחרות על השליטה בעולם הרובוטיקה כאשר מספר תאגידים כמו ג'נרל אלקטריק, ג'נרל מוטורס ואוטומטיקס נכנסו אף הם לשוק. לבסוף, הראייה העסקית האמריקאית התבררה כקצרת טווח, וכיום שולטים בשוק הרובוטיקה התאגידים היפניים Fujitu,oyota, Soy, Hoda ועוד. ב הכריזה הונדה על הרובוט דמוי האדם P, ולאחר ההכרזה הזו יצאו מספר חברות יפניות עם רובוטים דומים. מאז ועד היום חלה התפתחות מואצת בתחום ומניין סוגי הרובוטים רק הולך וגדל. נזכיר רק מספר אירועים מכוננים: 66 יוצר רובוט טורי בשם 9 Sara הוצג לראשונה רובוט מקבילי מדגם דה וינצ'י לאופרציות לפרוסקופיה רפואיות. 96 חברת סוני מכריזה על,Aimo רובוט דמוי אדם. 99 הרובוט Spirit מסייר באופן אוטונומי על פני מאדים.

11 ד"ר ניר שוולב רובוט מדגם ASIMO רובוט מדגם de Vii מכאניקה נסקור כעת בקצרה את מבנהו המכאני של הרובוט הקרוי גם שרשרת קינמטית ( Kiemati )Chai שרשרת קינמאטית הבא וממפעילים קינמטית קבועה קובעת את סוג הרובוט.,)Atuator( יחידת הקצה בנויה מחוליות (ik), ומפרקים,(Joit) עליהם נעמוד בפרק אשר מאפשרים ריבוי )Ed Effetor( שלה דרגות חופש. בקצה כל שרשרת גיאומטריית השרשרת הקינמטית רוב הרובוטים המודרניים הם טוריים באופיים, ונקראים רובוטים טוריים Robot) (Serial כלומר בנויים כשרשור סדרת חוליות ומפרקים )כדוגמת הזרוע האנושית הבנויה בסיס, מפרק הכתף, חוליית הזרוע, מפרק המרפק, חולית האמה, מפרק שורש כף היד, המשמשת אותנו כיחידת קצה(. סוג נוסף של רובוטים הם הרובוטים המקביליים חולית כף היד (Parallel robot) טלסקופיות, הבנויים שרשראות קינמטיות סגורות )כדוגמת כל רגל קושרת בין מיקום יחידת הקצה וכיוונה לאדמה(. המחקים את המבנה המכאני של בני אדם, חיות וחרקים, חצובה בת שלוש רגליים מבנים אחרים הם בעלי גיאומטריית שרשור מורכבת יותר, והם נדירים יחסית בתעשייה ומקומם בדרך כלל במעבדות מחקר. המפעילים )Atuator) הם "השרירים" של הרובוט - החלקים אשר ממירים את האנרגיה הזמינה... לתנועה. קיים מגוון של מפעילים: מנועי DC חשמליים motor( )bruhed ad bruhle DC הם השכיחים ביותר. מנועי AC חשמליים שפעולתם נסמכת על מקור מתח מרובה פאזות. מנועי סרבו motor) (Servo - מנועים עם בקרה מובנית בחוג סגור, כלומר, מעגל משוב המשנה את כוח הדחק שמגיע למנוע בהתאם למידע מחיישן ומנתונים של המשתמש. להגדרה פורמאלית של רובוטים מקביליים ודיון בהם ראו פרק 66. ברוב המקרים תהא זו אנרגיה חשמלית, אך שכיח גם השימוש בלחץ אוויר.

12 ה) ד"ר ניר שוולב האות המוזן למנוע בדרך כלל מבוקר בשיטה הנקראת PWM ועיקרה הזנת המנוע באות ריבועי שרוחבו )באחוזים מהאורך הכולל של האות( קובע את זווית המנוע. מנועי צעד motor) (Stepper - מסתובבים בצעדים דיסקרטיים תחת שליטת בקר.. מנועי פיאזו motor) )Piezo אשר בסיס עקרון פעולתם האחד הוא רטט מהיר של גביש 5. פיאזואלקטרי, רטט אשר גורם לתנועה סיבובית או ליניארית )לדוגמא, באמצעות סיבוב בורג הנעה, עקרון אחר הוא זחילה של מכאניזם עשוי גביש פיאזו על גבי מסילה בסגנון תנועת זחל.)IhWorm שרירי אוויר mule(,)air הם מפעילים ליניאריים שעיקרון פעולתם דומה לזה של 6. בלון, בהבדל היחיד שההתארכות מוגבלת לממד האורך )כ- 9% (. פולימרים אלקטרו-פעילים polymer( )Eletroative - קבוצת פולימרים המשנים את 7. צורתם בהשפעת גירוי חשמלי. ננו-צינוריות tube( )Elati ao - זהו אלמנט הנפעל לגירוי חשמלי. הננו-צינוריות הן 8. בעלות מבנה מולקולרי המאפשר להן מעוות אלסטי גדול במיוחד. Alloy( )Shape Memory העשויה תיל.Nitiol כאשר מחממים סגסוגת זוכרת צורה 9. את התיל הוא מתקצר ב- 6% )בשונה ממתכות אחרות(. אציין כי במהלך ההתקצרות מתפתחים מאמצים ניכרים, בשיעור של כ- 6.5 טון לסנטימטר מרובע. תיל דק כשערה, בקוטר ארבע אלפיות המילימטר, יכול לשאת משקל של 69 גרם. סו. לנואיד )Soleoid( אלמנט הנעה ליניארי העשוי סליל סביב ליבת ברזל בעל שני קטבים. כאשר זרם זורם דרך הסליל, נוצר כוח אלקטרומגנטי המושך את ליבת הברזל. נפסק גם הכוח האלקטרומגנטי ופיסת הברזל חוזרת למקומה כאשר נפסק הזרם, ההתחלתי על ידי קפיץ.. אקטואטור הידראולי Hydrauli עושה שימוש בשמן(, ואקטואטור פנאומטי Peumati )העושה שימוש בגז( מייצרים תנועת בוכנה ליניארית. מערכות הידראוליות מנוצלות כאשר קיימת סכנת התלקחות. מערכות הנעה פנאומטיות נפוצות בזרועות אוחזות. ע"י דחיסת הגז המנגנון נהיה נוח יותר לתפעול, והסיכוי שהחפץ בו אוחז הרובוט יישבר קטן. רובוטים זקוקים, אם כן, לאלמנט אחיזה בכדי לבצע מניפולציות על סביבתם. כאמור, בקצה כל שרשרת קינמאטית קבועה יחידת הקצה Effetor),(Ed המכ ונה בספרות גם כתפסנית.(Gripper) זוהי היחידה המכאנית שיעודה הוא אחיזה, חישה, ראייה, כלי עיבוד וכדומה. רוב הרובוטים התעשייתיים הנדרשים למגוון פעולות מאפשרים החלפה מודולארית של יחידת הקצה שלהם. אחרים, בעלי מבנה תפסנית מורכב מספיק )לעיתים

13 ד"ר ניר שוולב בצורת יד אנושית( המאפשר אחיזה במגוון רב של צורות מבין יחידות הקצה:. יחידת קצה - לופתת... האחיזה מתבצעת באמצעות לחיצת אצבעות 6,5 מרחביות. נסקור את הבולטות על גבי משטחי האחיזה ובהסתמך על קונוסי החיכוך, כדוגמת היד האנושית הלופתת ידית ספל. נפוץ מאוד בתעשייה ובמחקר. יחידת קצה כלי כלי עבודה משמש כיחידת הקצה. כדוגמאות נציין כלי ריתוך, נעיצה ופטישים. יחידת קצה דוחפת הרובוט מבצע פעולות על הגיאומטריה ללא לפיתה ובהסתמך על חיתוך קונוסי כוח )ראה ][ ברשימת המקורות(, השימוש ביחידת קצה כזו נפוץ עבור רובוטים צועדים ומטפסים ורובוטים המשמשים בתעשייה כמכונות ממיינות. יחידת קצה מגנטית - אחיזה והתנתקות ע"י הפעלה וכיבוי של אלקטרו-מגנט, קירוב.5.6 והרחקה של מגנט קבוע לפני המשטח או חציצה בחומר דיאמגנטי )ראה ]6[ ברשימת המקורות(. משמש בתעשייה בעיקר לצרכי מיון ואלמנט אחיזה לרובוטים מטפסים. יחידת קצה וואקום אקטיבי - ההדבקה וההתנתקות נעשים באמצעות הפעלת מדחס. אינו נפוץ ומשמש בעיקר לרובוטים מטפסים, ולרובוטים המשמשים כמנופים בתעשייה. יחידת קצה פומית וואקום. מטפסים. וואקום פסיבי.7.8 יחידת קצה אוחזת באמצעות מחקר עבור רובוטים מטפסים. יחידת קצה האוחזת אחיזה והתנתקות נעשית ע"י משיכה לא סימטרית של אינו קיים בתעשייה ומשמש בעיקר במעבדות מחקר עבור רובוטים דבק. אחיזת קידוח.9 אינו קיים בתעשייה ומשמש בעיקר במעבדות יצירה פעילה בתעשייה ומשמש במעבדות מחקר עבור רובוטים מטפסים. יחידת קצה האוחזת אחיזת קוצים בעיקר במעבדות מחקר עבור רובוטים מטפסים. כדוגמת חרקים. של נקודות אחיזה. אינו קיים אינו קיים בתעשייה ומשמש. יחידת קצה שממית (Geko( - אחיזה הנסמכת על אפקטים פיזיקאליים. כתיבת הספר משמש במעבדות מחקר בלבד. רובוטים ניידים נכון ליום רובוטים המסוגלים לתנועה עצמאית )באופן חלקי או מלא( תוך התייחסות לסביבתם מכונים רובוטים ניידים Robot(.)Mobile הספר אינו עוסק ברובוטים ניידים, למרות חלקם הלא 5 ראו לדוגמא התמונה שעל גבי כריכת הספר. 6 על התיאוריה של אחיזה לא נעמוד בספר, עם זאת לשם העניין נזכיר את המושג הנקרא קונוס חיכוך: גוף המתחכך בתפסנית בנקודה מסוימת פורש קונוס דמיוני. הגוף יישאר סטאטי כל עוד הכוחות הנפעלים עליו נשארים "בתוך" הקונוס. בכדי לאחוז בחפץ באופן יציב יש,אם כן, לפרוש מספיק קונוסים כך שכל כוח הנפעל על החפץ ישאיר את החפץ במקומו. הקורא המתעמק ימצא עניין ב- ]6[ במקורות.

14 ד"ר ניר שוולב מבוטל במחקר התיאורטי והמעשי כיום. עם זאת נציין את מנגנוני התנועה הנפוצים: )6( תנועה ע"ג גלגלים. מספר הגלגלים משתנה מגלגל יחיד )ראה ]6[ ברשימת המקורות( וכלה בריבוי גלגלים )9( תנועה ע"ג זחל )( התקדמות נחש )9( החלקה )5( שחייה )9( צעידה. הטכניקות העומדות בבסיס הבקרה על הרובוטים הניידים נחלקות לשלוש קבוצות עיקריות: טכניקת נקודת מומנט אפס Poitio( )Zero Momet שעיקרה חישוב מהיר של הכוחות האינרציאליים ופיצוי עליהם באמצעות תאוצה. נדגיש שהתנועה בשיטה זו דורשת חישובים דינמיים בצד חישובי כוחות. נעיר כי בני אדם אינם נוקטים בשיטה זו לצעידה. קפיצה, פיצוי דינמי ייצוב דינמי שננקט במספר רובוטים ניסויים אשר בבסיסה עומד הרעיון שקפיצה )או צעידה( לכיוון מסוים מפצה על נפילה לאותו כיוון. דינמיות פסיבית שימוש במומנט האינרציה של הגפיים לשם שמירה על איזון וצעידה. לדוגמא: בעת צעידה על מדרון יוכל הרובוט לצעוד, אגב הספק מינימאלי למנועים.... מבנה הספר הספר אינו מתיימר לכסות את כל התיאוריה העומדת בבסיס העיסוק ברובוטיקה, אלא להוות ספר לימוד ותרגול עבור קורס המבוא ברובוטיקה בלבד. בכתיבתו הנחתי כי החומר הבסיסי באלגברה, חשבון אינפיניטסימאלי, פיזיקה בסיסית ודינמיקה מוכר לקורא. בשלושת הפרקים הראשונים נדון בבסיס הקינמטי של העיסוק ברובוטיקה. בעיית הקינמטיקה הישירה, שבה נדון בפרק 9, עוסקת בחישוב מיקום ואוריינטציה של חוליות הרובוט. בעיית הקינמטיקה ההפוכה, שבה נדון בפרק 5, עוסקת בחישוב ערך פרמטרי של מפעילים בהינתן מצב יחידת הקצה. באנליזת מהירות התפסנית, שבסיסה קירוב ליניארי של הקינמטיקה הישירה, נעסוק בפרק 9. בפרק נעסוק באנליזה סינגולארית בה הקירוב הלינארי מאבד ממד. בפרק נעסוק באנליזת כוחות, שעיקרה חישוב הכוחות הנחוצים במפעילים לקבלת כוח שעל יחידת הקצה להפעיל. פרק 6 מעמיק את הדיון באנליזת כוחות ודן באנליזת קשיחות, כלומר במצב בו המפרקים מדגימים גמישות משמעותית. בפרק 66 נדון ברובוטים מקביליים שאט אט תופסים נפח בתעשייה. נחתום את הספר בפרק 69 הדן בפן תיאורטי בחקר רובוטיקה - מרחבי הקונפיגורציה שלהם. כלומר המרחבים המייצגים את כל הקונפיגורציות האפשריות. אלו האחרונים חיוניים לבעיות תכנון תנועה ועומדים בבסיס כל התיאוריות שנלמד בספר. מאחר שהעיסוק ברובוטיקה מזמן לעיתים קרובות את הצורך בפתרון מערכת משוואות לא לינארית מצאתי לנכון לסקור את הנושא בקצרה בנספח א. אחד מהעיסוקים החשובים בחקר רובוטיקה הנובע הוא נושא תכנון התנועה; הספר דן בנושא בקצרה בלבד בפרק 69 ובנספח ב'. הדינמיקה בהקשר הרובוטי עוסקת בקשרים בין הכוחות המסופקים לתאוצות יחידת הקצה ניגע בנושא רק בקצרה בנספח ג'. בכתיבת הספר נעזרתי בספרים העדכניים ביותר אשר בנמצא ראו ]6[ עד ][ ברשימת המקורות, ובספרות עדכנית המתפרסמת בעיתונות המקצועית ראו ][ ועד ]9[. כולי תקווה כי הקורא ימצא את הספר בהיר ומקיף. בהצלחה.

15 ד"ר ניר שוולב 6. דרגות חופש רובוט (Robot, Mehaial Maipulator) )lik( מפרקים מורכב ממספר חוליות המחוברים ביניהם באמצעות.)Joit( מספר דרגות החופש Freedom( )Degree Of של מכאניזם כזה תלוי במספר החוליות והמפרקים באופן חיבורם יחדיו ובאופיים של המפרקים. בפרק זה נגדיר מהם חוליות, אילו מפרקים קיימים, נגדיר מהן שרשראות קינמטיות. לאחר מכן נעמוד על המושג דרגות חופש ונלמד כיצד לחשב אותן. הגדרת המושג רובוט: רובוט הוא מכונה )נייחת או ניידת( הניתנת לתכנות חוזר. על המכונה 7 לשמש למגוון שימושים. כאשר המונח תכנות מתייחס לעריכת תוכנה ללא שינויים מכאניים. ההגדרה היפנית שונה במעט וכוללת גם מכאניזמים פשוטים יותר. חוליות (ik) הם אלמנטים 8 קשיחים אשר יוצרים את הרובוט. המתכנן על זאת, עם לזכור שהחוליות מציגות גם תכונות אלסטיות בנוכחות מאמצים גדולים. ברור ששתי חלקים אשר אינם )לדוגמא: חישובים(. מציגים כל תנועה יחסית ביניהם יוכלו להיחשב ואכן גלגלי שיניים צמודים לציר ומקובעים האחד לשני, שתי חוליות ניתנות לחיבור באמצעות החוליות נקרא בספרות זוג קינמטי pair).(kiemati שתי החוליות אותן הוא מחבר. סוג האילוץ קובע גם את סוג הזוג הקינמטי: מפרקים יחשבו,(Joit) יחשבו כחוליה אחת כחוליה אחת לשם במקרה כזה זוג המפרק מאפשר תנועה מוגבלת בין התנועה מוגדרת על פי האילוצים המגבילים אותה, כאשר זוג קינמטי המקיים מגע בנקודה אחת או לאורך קו ייקרא זוג קינמטי גבוה pair),(high ואילו זוג חוליות המקיימות מגע על פני משטח דו ממדי ייקרא זוג קינמטי נמוך Pair) (ow. בתעשיית הרובוטיקה ביותר: רווח השימוש במספר מצומצם של מפרקים. נציין את השכיחים 7 פורמאלית ב- 666 נוסחה ההגדרה ) (: ISO R רובוט תעשייתי הוא מכונה )נייחת או ניידת( הניתנת לתכנות חוזר. על המכונה לשמש למספר אפליקציות תעשייתיות. המונח תכנות מתייחס לעריכת תוכנה ללא שינויים מכאניים. 8 בספרות המקצועית לעיתים מדברים על חוליות גמישות, בספר נתחשב אך ורק בחוליות שאינן קשיחות.

16 ד"ר ניר שוולב 5 סימן איור שם זוג קינמטי i דרגות חופש f i יסומנו ב מפרק סיבובי, מפרק המגע מתקיים על בעל דג"ח אחת ) f ( רוטציוני )סיבוב על ציר( גבי מעטפת הפין המחבר ולכן זהו זוג נמוך. היחסית החוליות. היא הזווית בין Revolute/Rotatioal R מפרק פריזמטי, קרוי גם המגע מתקיים על בעל דג"ח אחת,) f ( מפרק לאורך ציר( ליניארי Primati / lider )הזזה גבי מעטפת המפרק המחליק ולכן זהו זוג נמוך. בין החוליות. היא המרחק P מפרק כדורי, מכונה גם מפרק ספרי )סיבוב חופשי סביב נקודה( Spherial המגע מתקיים על גבי מעטפת כדור ההחלקה ולכן זהו זוג נמוך. בעל הן דג"ח,) f ( שלושת הזוויות המגדירות את הכיוון של חוליה אחת ביחס S לחברתה. מפרק ק ר ד ן קרוי גם מפרק אוניברסלי, ומפרק הוק )סיבוב בשני צירים( המגע מתקיים על גבי מעטפת שני הפינים המחברים ולכן זהו זוג נמוך. דג"ח 9 בעל,) f ( הן שתי הזוויות המגדירות את הכיוון של חוליה U אחת לחברתה. ביחס Uiveral / Carda / Hooke' )הזזה מפרק צילינדרי וסיבוב ציר לאורך סביבו( Cylidrial המגע מתקיים על גבי מעטפת המפרק המחליק ולכן זהו זוג נמוך. בעל הוא 9 החוליות, ביניהן. דג"ח המרחק,) f ( בין והזווית C מפרק מישורי )תנועה צמודה על מישור( Plae pair המגע מתקיים על המישור על כן זהו זוג נמוך. בעל הן ומיקום זווית דג"ח,) f ( הסיבוב החוליה האחת על גבי E השנייה.

17 ד"ר ניר שוולב 6 מפגש גלגלי שיניים המגע מתקיים דרגת בעל חופש אחת (.) f לאורך קו על כן זהו Gear trai זוג גבוה. G זוג פיקה ועוקב המגע מתקיים שלוש בעל דרגות.) f חופש ( לאורך קו על כן זהו Cam ad follower זוג גבוה. pair CP הבהרה: זוג גלגלי השיניים ניתן למידול כמנגנון ארבעה מוטות מישורי ABCD (ראה איור CD AB AD בתרגיל 66.6(: אם נחשוב על כעל חוליית האדמה, חוליה וחוליות ייצגו את הווקטור הנמתח מציר גלגלי השיניים לנקודות המגע בהתאמה. החוליה הנותרת BC שנחשוב עליה כקצרה מאוד מייצגת את המגע בין גלגלי השיניים. תחת התיאור הזה ובהתחשב בעובדה שקביעת זווית אחת במנגנון ארבע חוליות קובע את מצב המכניזם כולו, נקל להיווכח שאמנם לזוג גלגלי שיניים דרגת חופש אחת. הערה: לבד מהמפרקים שצוינו בטבלה נזכיר עוד סוג שהשימוש בו נדיר בעולם הרובוטיקה )ראה לדוגמא ][ ברשימת המקורות(: ספירה מתגלגלת עם החלקה על מישור - במקרה הזה מדובר בחמש דרגות חופש. ) דרגות חופש עבור האוריינטציה, 9 דרגות חופש למיקום(. שרשרת קינמטית Chai) ( Kiemati היא תצרף של חוליות המחוברות ביניהן באמצעות מפרקים. כאשר כל חוליה מחוברת לחוליה אחרת דרך שני מסלולים )כלומר שני רצפים של מפרק חוליה מפרק מפרק( שונים השרשרת נקראת שרשרת קינמטית סגורה.(Cloed) כאשר כל חוליה מחוברת לחוליה אחרת במסלול יחיד השרשרת נקראת שרשרת קינמטית פתוחה.(Ope) שרשרת קינמטית יכולה להיות שילוב של השניים, ובמקרה כזה תקרא השרשרת שרשרת קינמטית היברידית.(Hybrid) שרשרת קינמטית נקראת מכאניזם (Mehaim) או מנגנון (ikage) כאשר אחת או יותר מן החוליות מקובעות לאדמה. חוליה זו קרויה בסיס המכאניזם. מהות המכאניזם היא העברת תנועה/סיבוב או כוח/מומנט מחוליה אחת או יותר )חולית הכניסה( לחוליה אחרת )חולית היציאה(. דוגמת המכאניזם שבאיור ממירה תנועה סיבובית לתנועה ליניארית וההפך.

18 ד"ר ניר שוולב 7 מכונה (Mahie) היא שילוב של מכאניזמים בתוספת מקור כוח חיצוני )לא ידני( לחוליות הכניסה. מכונת כביסה, לדוגמא, משתמשת במנוע חשמלי להנעת מנגנון הפחתת מהירות, וזה בתורו מסובב את תוף הכביסה. סימון: בכדי להבהיר את המבנה של שרשרת קינמאטית פתוחה נתונה וסוג המפרקים בהם היא עושה שימוש, נהוג לסמנה ברצף האותיות )הנקראות משמאל לימין( המסמנות את סוגי המפרקים מהמפרק הראשון הקרוב ביותר לבסיס ועד לרחוק ביותר )לדוגמא RUS יסמן שרשרת פתוחה המורכבת ממפרק סיבובי, קרדן וספירי(. בהינתן גיאומטריה של רובוט, נשאלת השאלה כמה מנועים נדרשים להפעלתו; השאלה כפי שנוסחה כאן, יכולה להתפרש לשני פנים והתשובות לשאלות אלו אינן תמיד זהות: מהו מספר המנועים שידרשו לקבוע מיקום ואוריינטציה של כל חוליה וחוליה ברובוט? התשובה לשאלה זו מכונה בספרות המוביליות (Mobility) של הרובוט.. מהו מספר דרגות החופש בהן נעה יחידת הקצה? התשובה לשאלה זו מכונה מספר דרגות החופש Freedom( )Degree Of של לרובוט. בספרות. לבד ממספר מצומצם של מכאניזמים, מספר המפרקים וסוגם, ואופן החיבור של החוליות והמפרקים. ניתן לחשב את המוביליות כתלות במספר החוליות, האיור שמשמאל ממחיש את מושג המוביליות )מסומן ב- F (. חוליות המכאניזם המשולשי אינן יכולות לנוע אחת ביחס לשנייה ולכן המוביליות מתאפסת. לעומת זאת, החוליות במכאניזם ארבעת החוליות mehaim) bar יכולות לנוע אחת ביחס לשנייה. יתר על כן, אם נקבע את הזווית יקבעו המיקום והאוריינטציה של החוליות כולן )ולדוגמא הזווית הזווית (Four תקבע כפונקציה של (. בדומה, החוליות במכאניזם חמשת המוטות תקבענה כולן בהתאם לשתי הזוויות ולכן המוביליות של המנגנון תהא 9., נבנה את הנוסחה למוביליות באמצעות "חיבור" חוליה אחרי חוליה. נתחיל מהמקרה המישורי )כל החוליות נעות במישור(: חוליה חופשית המוגבלת לתנועה במישור יכולה להעתיק את מקומה בכוון X או Y ולהסתובב בזווית לעומת ציר, X ולכן המוביליות שלה תהא. אם נוסיף חוליה נוספת יעלה ערך המוביליות ל- 9 וכן הלאה. וכך עבור המקרה

19 ד"ר ניר שוולב 8 המישורי, m חוליות חופשיות, תהנה בעלות מוביליות m. הוספת מפרקים תגביל, כמובן, את אפשרויות התנועה של החוליות. נדמיין כעת שתי חוליות המחוברות ביניהן במפרק סיבובי ומוגבלות לתנועה במישור. במקרה כזה נוכל למקם את החוליה הראשונה ולסובבה כרצוננו ) דג"ח(, ובעשותנו זאת קבענו את מיקום החוליה השנייה )כלומר נגזלו ממנה שתי דרגות חופש( ונשאר עבורה החופש לסיבוב בלבד )6 דג"ח(. סה"כ עבור תוספת המפרק הסיבובי "שילמנו" בשתי דרגות חופש. ובהכללה נוכל לרשום F m f כאשר f מציין את מספר המפרקים הסיבוביים, F את המוביליות ו m את מספר החוליות. בסימונים המקובלים בספרות ובהכללה לכל סוגי המפרקים הנוסחה תראה כך: F -- g f i i (.) זהו קריטריון גרובלר-קוצבאך riterio( )Grüebler-Kutzbah עבור המקרה המישורי. מציין את מספר החוליות כולל חולית האדמה )תמיד נוסיף חולית אדמה אחת אם ברצוננו לחשב את המוביליות יחסית לאדמה(, g את מספר המפרקים, ו- בעלי i דרגות חופש )דג"ח( )ראה עמודה שמאלית בטבלת המפרקים(. נשים לב כי אם "האדמה" נספרת )גם אם אינה חלק מהמכניזם( התוצאה מלמדת על המוביליות ביחס לאדמה )כלומר כולל תזוזות וסיבובים לעומתה( בעוד שאם האדמה אינה נספרת התוצאה מלמדת על המוביליות ה"פנימית" של המכאניזם. f i את מספר המפרקים דוגמא: עבור המכאניזם המקבילי המישורי 5R שבאיור, 5= )החוליות מוספרו באיור(, 5=g ו- 5= f )המפרקים הסיבוביים בעלי דג"ח אחת( לכן: -- g f i F i כלומר, דרושים שני מנועים להנעת המכאניזם. בחירת המפרקים שיפעילו את המכאניזם היא שרירותית מבחינה קינמטית, בשלב זה, ונתונה לשיקולי המתכנן. דוגמא: עבור המכאניזם המקבילי המישורי RRRP שבאיור, =, =g ו- = f )המפרקים הסיבוביים והמפרק הפריזמטי כולם בעלי דג"ח אחת(. לכן: -- g f i -- F i לעיתים יש צורך בחיבור של שלוש חוליות ויותר למפרק יחיד. במקרה כזה נספור -k מפרקים עבור התפצלות של k חוליות. התפצלות של חוליות תחושב כ- 6 מפרקים

20 ד"ר ניר שוולב 9 מצא את המוביליות של המכאניזם המישורי.: תרגיל כחוליה העליונה הפלטפורמה את אם נביא בחשבון שבאיור. תשובה: אחת, נקבל: התפצלות של חוליות תחושב כ- 6 מפרקים --55 ;,f g 5 F גם אם נחשוב על הפלטפומה כעל שלוש חוליות התשובה תהיה זהה: --88 ; g f 8, F תרגיל.5: כמה מנועים על המתכנן להכניס לרובוט המקבילי המישורי RRR שבאיור )כאן, הספרה בתחילת הסימון מציינת את מספר הרגליים(. תשובה: F ; 8, g f 5 מכאן שדרושים שלושה מנועים להנעת המכניזם. במילים אחרות אם נקבע שלושה מפרקים יתקבל =F, בדקו זאת הערה: במקרים בהם =F ה, מכאניזם למעשה אינו יכול לזוז. במקרים בהם >F עלולים להתפתח כוחות במפרקים )כלומר צריך להפעיל כוחות, כדי להרכיב את המכאניזם או לחילופין יש לדאוג שהמכניזם יהיה מדויק או עם חופשים בצירים( ושוב המכאניזם אינו יכול לזוז. זהו למעשה מסבך "לא מסוים סטאטית". הערה: חישוב המוביליות נכון עבור רוב המכאניזמים אבל לא עבור כולם נתמקד במכאניזם הפרדוקסאלי (Paradoxial) שבאיור. חישוב מראה כי : כדי להבין זאת F ; 5, g f 6 אולם בפועל ברור כי =F ה. בעיה טמונה בבחירת יחסי האורכים. אם אורך הזרוע המרכזית, לדוגמא, הייתה אחרת מהשתיים האחרות, המכאניזם היה אכן "תקוע", אולם בבחירה הנתונה המכאניזם הוא בעל מוביליות 6. מכאן נסיק כי נוסחת המוביליות נכונה בהנחת גנריות המכאניזם, כלומר בהנחה שאין יחסים מיוחדים בין אורכי החוליות. עמל רב הושקע במחקר לניסוח קריטריון ברור יותר לחוסר ההתאמה של הנוסחה אך קצרה היריעה מלהכיל את המסקנות )הקורא המתעניין יעיין ברשימת המקורות ב ]69[(.

21 א) א) ד"ר ניר שוולב תרגיל.6: המכאניזם שבאיור. ) חשב את המוביליות של תשובה: )אדמה, ) המכאניזם כולל 5 חוליות שני גלגלי שיניים, הפלטה המשולשת וגלגל שיניים נוסף המקובע לידית(. המפרק הסיבובי המחבר בין האדמה, גלגל השיניים הגדול והפלטה יילקח בחשבון כ 9 מפרקים כיוון שהן הפלטה והן גלגל השיניים חופשיים להסתובב באופן בלתי תלוי ביחס לאדמה. המפרק הסיבובי השני מחבר בין הפלטה לגלגל השיניים האמצעי. המפרק הסיבובי השלישי מחבר בין גלגל השיניים המחובר לידית והפלטה. קיימים 9 מפרקים נוספים, כל אחד בתורו מורכב מזוג גלגלי שיניים, כלומר: 9 מפרקים נוספים בעלי 9 דרגות חופש כ"א. ולסיכום: ; 5, g 6, f, f F המכאניזם כולו יכול להסתובב סביב ציר החיבור לאדמה. בנוסף, ובאופן בלתי תלוי, ניתן לסובב את ידית המכאניזם. חישוב המוביליות למקרה התלת מימדי יעשה בדרך דומה, כאשר השוני הוא במספר דרגות החופש הנתונות לחוליה החופשית לנוע במרחב שלושה ממדי. במקרה זה החוליה יכולה להעתיק את מקומה בשלשה ממדים, ולהסתובב סביב כל אחת משלשת הקואורדינאטות. סה"כ מספר דרגות החופש "העומדות לרשות" חוליה חופשית במרחב הוא 9. אם כך, ננסח את קריטריון גרובלר-קוצבאך עבור המקרה התלת ממדי באופן הבא: F 6 -- g f i (.) i הערה: השוני בנוסחאות במקרים התלת והדו ממדי, הוא באופן ההתייחסות לצירי הסיבוב במקרה הדו ממדי. במקרה המישורי אנו מניחים במובלע כי כל הצירים מקבילים בעוד שאין כל הנחה על כיוונם במקרה התלת ממדי. תרגיל.: חשב את המוביליות עבור הרובוט המקבילי PRPS )מדגם )Alizade המרחבי המודגם באיור. תשובה: ישנם 9 מפרקים פריזמטיים, מפרקים רוטציוניים, ו- מפרקים כדוריים. ומכאן. f, f 9, g מספר

22 ד"ר ניר שוולב החוליות כולל האדמה.= ולכן. F 6 תרגיל.: חשב את המוביליות עבור רובוט 6UPS המקבילי המרחבי המודגם באיור )זוהי פלטפורמת סטיוארט, ראה גם תמונה בתחתית העמוד(. תשובה: ישנם 9 מפרקים פריזמטיים, 9 מפרקי קרדן, ו- 9 מפרקים כדוריים. ומכאן מספר החוליות כולל האדמה =. ולכן:. f 6,f 6,f 6, g 8 F P U S במילים אחרות, כאשר המפרקים חופשיים, המכניזם כולו חופשי לנוע ב 9 דרגות חופש )עבור המכניזם הזה ששת דרגות החופש מתרגמות למיקום ואוריינטציה של הפלטה( נבדוק כעת את המכאניזם שבאיור. ישנם 9 מפרקים רוטציוניים, ו- 9 חוליות, ומכאן. g f )בחרנו =, מכיוון F 6 -- שאיננו מעוניינים בטרנסלציה ורוטציה יחסית לאדמה( ולכן הווה אומר, המכאניזם תקוע עם מאמצים שיוריים )שימו לב שחישבנו מוביליות "פנימית" של המכאניזם. מכאניזם כזה נקרא,Beet Mehaim ע"ש ממציאו. בנט הראה כי המוביליות של מכאניזם כזה תהיה 6 אם, ורק אם, מתקיים השוויון i i. שוב נתקלנו, אם כן, במכאניזם פרדוקסאלי, הפעם a b במכאניזם מרחבי. מערכת רובוטית בנויה ממכאניזם, תפסנית )"יד הרובוט"(, בקר, מחשב ולעיתים מערכת חישה ומערכת היגוי ידנית. מכאניזם הרובוט בנוי חוליות ומפרקים, כאשר לפחות אחת החוליות מוגדרת כיחידת הקצה )או התפסנית(. על חלק מהמפרקים להיות ממונעים בעוד שהאחרים יכולים להישאר פסיביים. בד"כ מספר המפרקים הממונעים יהא שווה לערך מוביליות המכאניזם בכדי לאפשר שליטה מלאה ככל הניתן על כל חלקי המכאניזם )כפי שניווכח בפרק על סינגולאריות לעיתים אין הקביעה הזו מספקת, ויש צורך בתוספת מנועים בכדי לאפשר שליטה מוחלטת ברובוט עבור כל רובוט מקבילי מדגם Stewart

23 ד"ר ניר שוולב קונפיגורציה אפשרית(. התפסנית, או יחידת הקצה Gripper) (Ed-effetor, זהו אלמנט הרובוט הנפעל על אובייקטים. תפסניות יכולות לאחוז במגוון טכניקות )ראה פרק המבוא( אך לרוב המדובר באחיזה מכאנית באמצעות 9 ל ח י י ם. אלא אם יצוין אחרת, דרגות החופש של התפסנית לא יילקחו בחשבון בחישובי המוביליות של רובוטים בספר. להמשך דיון ברובוטיקה, נזדקק למס' הגדרות: מרחב העבודה pae) (Work הוא המקום הגיאומטרי אליו יחידת הקצה יכולה להגיע במהלך תנועת הרובוט. באיור שלמטה מודגמים מרחבי העבודה של מספר רובוטים. מרחב העבודה מציין אם כן את המקום הגיאומטרי אליו יכולה יחידת הקצה להגיע. עבור הרובוט התעשייתי, שמשימותיו כוללות בדרך כלל אחיזה ושינוע אובייקטים במרחב העבודה, חשובות הנקודות בהן יכולה התפסנית להסתובב בכל אוריינטציה שהיא. אוסף הנקודות הללו נקרא מרחב המיומנות Spae).(Dexterity כלומר, זהו אוסף הנקודות אליהן יכולה

24 ד"ר ניר שוולב 6 התפסנית להגיע ולהתכוונן ב- במישור. דג"ח של אוריינטציה או במרחב, דג"ח של אוריינטציה לדוגמא: מרחב העבודה של הרובוט המישורי RR הוא דיסקה, מרחב המיומנות שלו הוא ריק. אלא במקרה שבו אולם, או אז תוכל החוליה השנייה להתקפל ולהתיישר עם הראשונה, ובמצב כזה יכיל מרחב המיומנות את הנקודה המרכזית. תרגילים נוספים.6 הראה שהמוביליות עבור -מצולע היא -..7 מצא את המוביליות עבור כל אחד מה מכאניזמים הבאים: F= F= 6=F ביחס לאדמה 9=F ביחס לאדמה F= F=.8 הוכח שלמכאניזם מישורי עם מספר אי-זוגי של חוליות יש מוביליות זוגית וההפך..9 מהו מרחב העבודה של רובוט מישורי טורי 5R עם חוליות באורכים?,,.., 5

25 ב) א) ב) ד"ר ניר שוולב ) מהו מרחב העבודה של רובוט מישורי מקבילי הבנוי k זרועות בעלות שלוש. מפרקים סיבוביים כל אחת? בסיס כל זרוע קבוע באדמה וקצה כל הזרועות מתחבר לנקודה אחת, המשמשת כיחידת הקצה? ) מצא את כל טיפוסי מרחבי העבודה עבור רובוטים כנ"ל כאשר =k.. הראה שהמוביליות של הרובוט באיור היא 9.. סווג את הרובוטים ונמק:. מצא את המוביליות של הרובוטים באיורים )א(, (. מסקנתך לגבי רובוטים טוריים?. מהו מרחב המיומנות של רובוט טורי מישורי R. מהם התנאים על אורכי החוליות לקבלת מרחב מיומנות לא ריק?

26 ד"ר ניר שוולב 5 9. מערכות צירים מעתה נעסוק ברובוטים טוריים ונחזור לאלו המקביליים רק בסוף הספר. אנו מעוניינים במיקום ואוריינטציה של התפסנית ביחס למערכת בסיס הרובוט. אם נתמקד באיור ונביט במערכת הצירים הצמודה לתפסנית, נקל להבין כי כאשר זוויות המפרקים ישתנו המערכת תעבור טרנספורמציה הכוללת תזוזה )העתקה( וסיבוב. ולכן, לשם נוחות נצמיד מערכת צירים לכל חוליה: תאור חוליות רובוט באמצעות מערכות צירים ובכדי לקבל את מיקום התפסנית והאוריינטציה שלה יש למצוא את הטרנספורמציה )סיבוב והזזה( של מערכת ביחס ל- 9, את הטרנספורמציה של מערכת 9 ביחס ל 6 ואת הטרנספורמציה של זו האחרונה ביחס למערכת הבסיס )מערכת (. בפרק זה נעסוק בטרנספורמציות הליניאריות שיעזרו לנו בהמשך בתיאור מיקום התפסנית ביחס למערכת בסיס קבועה. להמשך דיון נזכר במעט אנליזה ווקטורית ומספר סימונים: הגדרה: בהינתן מרחב וקטורי הוא קבוצה מינימאלית של וקטורי יחידה מתוך של (Orthoormal Bai) הבסיס האורתונורמאלי,, הפורשים את בנוסף,. פנימית של כל שניים מהם מתאפסת )במילים אחרות: כל הוקטורים ניצבים בזוגות(. הגדרה: בהינתן שני ווקטורים u ו- v x ה, x, y,z y xx yy zz היא הזווית בין מכפלה מכפלה הפנימית produt) (Ier שלהם מוגדרת:, u ומתקיים, v u v u o כאשר v u ו- הסקאלרית תהיה אורך היטל z v. v נשים לב כי במידה ש-. v על u v הוא וקטור יחידה, תוצאת המכפלה

27 ד"ר ניר שוולב 6 u, v הגדרה: בהינתן שני ווקטורים המכפלה הוקטורית Produt) (Vetor שלהם מוגדרת x x î ĵ kˆ, u ומתקיים u v u v i כאשר v y y x y כ z z z x y z v ניצבת לשני הוקטורים u w נשים לב כי תוצאת המכפלה. v ו- u הזווית בין w v וכיוונה נקבע ע"פ כלל יד ימין. המוכפלים u A P P P P x y z סימון:מעתה נסמן את מיקום נקודה P במערכת צירים X,Y,Z של מערכת A ב- הערה: וקטור הינו ישות מתמטית שאינה תלויה במערכת הקואורדינאטות. התלות במערכת זו או אחרת הוא בייצוגו המספרי בלבד. האקלידי היא חץ, הצגה גראפית מקובלת לוקטור במרחב כמודגם באיור, מראשית מערכת הצירים כמודגם. ונהיר שניתן להזיזו אוריינטציה (Orietatio) היא תיאור הטיית הגוף ביחס לעולם. התיאור נעשה באחת משתי השיטות השקולות: האחת, באמצעות ציון זוויות ההטיה סביב כל קואורדינאטה )ראה איור(; והשנייה, בעזרת תיאור של כל ווקטור בסיס במערכת הגוף הכתוב במערכת קואורדינאטות של העולם. נחזור כעת לבעיה המקורית שלנו: תיאור מערכת קואורדינאטות אחת באמצעות אחרת. תיארנו את הסיטואציה הבאה: נתונה מערכת העולם X A, Y A, Z A ונתונה מערכת נוספת, B X B P המסובבת ביחס לראשונה. בנוסף נתונה נקודה )כלומר מתוארת במערכת Y B, Z B

28 ד"ר ניר שוולב 7 הקואורדינאטות B). מטרותינו תהיינה )א( לתאר את נקודה P בקואורדינאטות של מערכת A. ביחס למערכת B למצוא אופרטור, שיתאר את סיבוב מערכת )ב( A. טרנספורמציית גוף קשיח היא אופרטור ליניארי, הקולט מיקום ניידת, ופולט מיקום ואוריינטציה במערכת העולם. ואוריינטציה במערכת במערכת במערכת ווקטור הניידת ווקטור העולם בהקשר הרובוטי אנו נתייחס כמובן לחוליה הנעה בהשפעת שינוי מצב המפרקים )בפרט חולית התפסנית( כאל זו הנושאת את המערכת הניידת, בעוד שאל חוליית האדמה נתייחס כאל מערכת העולם. הגוף הקשיח: המשפט הבא והתרגיל שבעקבותיו מחדדים את מושג טרנספורמציית הגדרה: נתונים שני מרחבים וקטורים תלת ממדיים: קשיח, אם ורק אם לכל בסיס אורתונורמאלי ימני :., ( )X,X,X של היא טרנס' גוף -)( הווקטורים, )X ו-) ) -) )X (-)(,)X ( הם בסיס אורתונורמאלי ימני ל-. 5.: תרגיל מהווים גם היעזר באיור והוכח את המשפט. כלומר הראה ש: )6( מרחקים נשמרים, )9( אין שיקופים. רמז: כי הדרישה לימניות הכרחית על מנת להימנע מטרנספורמציית שיקוף )כלומר שהאובייקט העובר טרנספורמציה ישתקף כבמראה( שתי המערכות, אם כן, צריכות להיות ימניות )או שמאליות( ביחד. כאמור, טרנספורמציה כללית מורכבת מטרנספורמציית הזזה וטרנספורמציית סיבוב. נתחיל, אם כן, בתיאור מערכת B שהסתובבה ביחס למערכת A ונתמקד במקרה הדו ממדי )ההרחבה למקרה הכללי טריוויאלית(. תיאור מערכת הקואורדינטות המסובבת )כלומר תאור וקטורי הבסיס של מערכת זו( הקואורדינאטות הנייחת, נתון ע"י: באמצעות מערכת A X B X A X YA X B B, A Y B X A YB YA Y B X B כאשר הסימון ברכיבי A X B מערכת קואורדינאטות מייצג את הווקטור מבוטא שימו A. לב שהטלנו סיבוב מערכת צירים במישור

29 ד"ר ניר שוולב 8 )באמצעות הכפלה סקאלרית( את שני ווקטורי הבסיס של מערכת B על ווקטורי הבסיס של מערכת A. בכדי לתאר את האוריינטציה של המערכת המסובבת נקבץ את הווקטורים A A A R כאשר הסימון מתייחס שקיבלנו לכדי מטריצה באופן הבא: X Y A B R B B למטריצת הטרנספורמציה המתארת את מערכת B במערכת קואורדינאטות A. הסימון חיוני, B ונחיצותו תובהר בהמשך הפרק. ובמקרה התלת ממדי: A B R A X B A Y B A Z B X Y Z A A A X X X B B B X Y Y Z A A A Y B Y B B X Y Z Z A A A Z Z B B B (.) תרגיל 5.5: מצא את הטרנספורמציה המתארת את סיבוב מערכת B לעומת A. )ראה איור קודם(. תשובה: כאמור, אנו מעוניינים לתאר את קבוצת וקטורי הבסיס של B במערכת A. נשתמש X ונקבל: A X B X A X B o A B בנוסחה ל- R שהתקבלה, ובידיעה ש A B R oθ iθ - iθ oθ. Z A Z B o שימש כציר סיבוב Z ציר בשתי המערכות ולכן זהה, מפני ש- Z A בשונה מהגישה הקודמת, בה תיארנו מערכת מסובבת בקואורדינאטות של מערכת נייחת, אנו מעוניינים כעת לוודא כי תיאור סיבוב אקטיבי של הגוף )מערכת( יהא זהה לתיאורנו הקודם. כלומר, אנו תרים אחרי אופרטור סיבוב )הכתוב כמטריצה( R המסובב את מערכת הצירים e, e. כאן o ê i ;Rê R i o בזווית סביב ציר Z ובכך מקיים: מתארים את ווקטורי הבסיס של הגוף. כלומר, אם נדמיין גוף צמוד למערכת A עם מערכת קואורדינאטות צמודה לו, אנו מעוניינים לסובב את הגוף, או במילים אחרות, אנו מעוניינים

30 ד"ר ניר שוולב 9 * * * * * * * * * x בסיבוב וקטורי הבסיס של המערכת בה הוא מתואר. בקיצור, נחפש מטריצה. X B, Y B X A, Y A שתסובב את ווקטורי הבסיס הבסיס: ציר הוא ציר הסיבוב, על לווקטורי הבסיס כן אינו משתנה ולכן המקרה הוא: נתמקד בשלשת וקטורי Rê Z o R i X. R * * * * * * ומכאן ציר מקיים ע"פ האיור ולכן - iθ R oθ לקיים ולכן Y oθ R iθ באותו אופן על סיבוב וקטור * * * מטריצת הסיבוב בזווית θ סביב ציר Z היא: oθ R iθ - iθ oθ כצפוי סיבוב מערכת באופן אקטיבי בזווית θ, זהה לייצוג מערכת הקואורדינאטות המסובבת במערכת הנייחת.. - תרגיל 5.6: הוכח כי עבור מטריצת סיבוב כלשהי מתקיים R R תשובה: כפי שניתן היה להסיק זה מכבר, מטריצת סיבוב מעתיקה מערכת קואורדינאטות אורתונורמאלית ימנית למערכת קואורדינאטות אורתונורמאלית ימנית אחרת. ולכן. det R נוכיח זאת: e, e, ממפה בסיס אורתונורמאלי e R לבסיס אורתונורמאלי מסובב,Re, Re, Re לכן: כלומר האיבר בשורה ה- i -ית ועמודה j -ית הוא: Rei Re j e i R Rei ei R Re i Re Re i j i j i j, ואכן, מבט בביטוי שלמטה מאשש את טענתנו זו. R כלומר R I

31 ד"ר ניר שוולב det R טענה: הוכחה: - - det R det R det R det R det R det R det R detr R deti det R. det ומכאן האפשרויות הן R אם מאפשרים אנחנו, למעשה, 9 מאפשרים שיקוף. )מדוע? ) נשים לב כעת כי סיבוב אקטיבי של מערכת ניידת )אדומה( בזווית φ כמוה כסיבוב המערכת הנייחת )שחורה( בזווית הפוכה ( φ -(. לכן שרשור שתי מטריצות כדוגמת הביטוי שלמטה, יתפרש כסיבוב אקטיבי של מערכת )שחורה לזו האדומה( בזווית נתונה וסיבוב המערכת )שחורה או אדומה( חזרה למנח המקורי. oφ iφ oφ - iφ R R I iφ oφ iφ oφ I לחילופין, כאמור, ניתן לחשוב על סיבוב המערכת הנייחת )שחורה( בזווית הפוכה ( φ -( כביטוי קואורדינאטות המערכת הנייחת )שחורה( בקואורדינאטות של זו הניידת )האדומה(. ולכן ניתן לחשוב על אותו ביטוי משורשר כביטוי המערכת הנייחת בקואורדינאטות של זו הניידת ומייד לאחר מכן סיבוב אקטיבי של המערכת הנייחת. עד כה התמקדנו בחישוב מטריצת הסיבוב כאשר ציר הסיבוב נקבע להיות ציר Z. המטריצות הבאות מתארות טרנספורמציות סיבוב סביב צירי X,Y,Z בהתאמה כאשר האותיות C,S W: סביב ציר יסמן סיבוב בזווית R W מהוות קיצור לפונקציות, Co,Si לבסוף ) ( R x φ φ - φ φ φ φ φ - φ ; R φ ; R φ φ y z φ φ - φ φ נבהיר כעת את הסימון שליווה את מטריצות הסיבוב. דיון במערכות רובוטיות מחייב דיון במספר רב של מערכות צירים. הסימון נועד לצמצם ככל שניתן את הצורך במעקב אחר המערכות האלו. הרעיון הוא "לצמצם מערכות צירים" באופן המודגם בביטוי הבא: A P A B R B P (.) 9 רמז: חשבו על השטח ששלושת ווקטורי הבסיס חוסמים. מה קורה לשטח תחת שיקוף, תחת סיבוב?

32 ד"ר ניר שוולב A P במערכת A B R B ווקטור P שנתון במערכת צירים B, עבר טרנספורמציה ומבוטא כעת קואורדינאטות A "צמצמנו" את ה "B" במשוואה ונשארנו עם "A" לאמור שהווקטור שהתקבל נתון במערכת קואורדינאטות A. טענה: מטריצת רוטציה משמרת מכפלה סקאלרית. Rˆ x Rˆy - x R R y X R Ry X R Ry הוכחה: x y x y טרנספורמציות ווקטורים: מספר שרירותי של ניתן לשרשר )9.9( בדומה לנוסחה כאן "הצטמצמו" ה" B " וה-" C " ונותרנו שוב עם "A". A P A B R B C R C P B CR C D R A B R B C R C D R הערה: הביטוי המשורשר מתאר טרנספורמציה ולאחריה ולבסוף. A D R A B R B C R C D ולכן R A הטרנספורמציה BR חסרה לנו, כעת, טרנסלאציה )העתקה(, בכדי לתאר טרנספורמציית גוף קשיח במלואה.. כלומר, זוהי d x x d הגדרה: העתקה הזזה של וקטור תרגיל 5.: הוכח כי ההעתקה d היא טרנספורמציה ליניארית, המקיימת d x ב-. היא טרנספורמציית גוף קשיח. )ראה משפט בתחילת עמ' x - i ix d.)99 תשובה: כפי שהוכחנו בתרגיל 9.6, עבור טרנספורמציית גוף קשיח, בסיס אורתונורמאלי. ע"פ הגדרה ידוע כי d וכן x x x הינו d d x - x i i i d i i i i ומכאן בסיס כאמור. וברור כי זהו תאור מלא של טרנספורמציה יהא אם כן כלומר אנו מסובבים את מערכת הצירים ורק לאחר מכן מבצעים A P A B R B P A P Borgial A P B orgial העתקה )הוספת הווקטור המייצג את מיקום ראשית הצירים של המערכת, A B הניידת, ראה איור(. הרעיון הוא לבנות טרנספורמציה יחידה שתתאר רוטציה

33 ד"ר ניר שוולב וטרנסלאציה יחדיו ולא כשילוב של הכפלה במטריצה וחיבור ווקטורי. באופן זה נרצה לשרשר טרנספורמציות כאלו עם רעיון "צמצום מערכות צירים" זהה לזה שדנו בו עבור רוטציות: (Homogeou) הגדרה: מטריצה הומוגנית כזו היא המייצגת טרנספורמציה )סיבוב d R מטריצת סיבוב, R, d והעתקה( במרחב באופן הבא: כאשר R. d וקטור הטרנסלאציה. עבור המצב המישורי הטרנספורמציה תהא: שימו לב כי הטרנספורמציה במרחב האוקלידי התלת ממדי הינה מטריצה x, בעוד שזו עבור המרחב האוקלידי ה- 9 ממדי הינה מטריצה x. כלומר "עלינו" ממד בכדי לייצג גם את הטרנסלאציה. מטריצות מעין אלה נקראות הומוגניות, על שם שיטת ייצוג הקואורדינאטות x x הומוגני הינו מהצורה: בהן נעשה שימוש. ווקטור מיקום x x כלומר בכדי לייצג ווקטור שרירותי )בממד 9 או ( נוסיף ממד נוסף לייצוגו, ושיעורי הממד הזה יהיו יחידה. הטרנספורמציה מתבצעת, אם כן, באופן הבא: R d x Rˆ x d נדגים כיצד מתקבל שרשור שרשור של טרנספורמציות הוא: טרנספורמציות באמצעות הכפלה של מטריצות הומוגניות. x Rx d R Rx d d RRx R d d זהה לזו שמצאנו זה מכבר: R d R, d נוודא שהרכבת הטרספורמאציות Rˆ x Rˆ x Rˆ d x d R, d R d x R d Rˆ x d

34 א) ב) ד"ר ניר שוולב תרגיל 5.: בהינתן מטריצת סיבוב שרירותית R כיצד ניתן למצוא את ציר הסיבוב אותה היא מייצגת? תשובה: כזכור, ווקטור עצמי v של מטריצה כלשהי ומטריצת סיבוב R בפרט, מקיים Rv v כאשר הוא הערך העצמי המתאים ל. v מנגד, על ווקטור v המייצג את כיוון Rv v ציר סיבוב המטריצה R לקיים )מדוע?(. ולכן נהיר הוא כי ווקטור עצמי של R עם ערך עצמי שגודלו 6 יהא הווקטור המבוקש. תרגיל 5.6: מצא מהו ציר הסיבוב של מטריצת הסיבוב:.6 R v הווקטור העצמי של R הוא הווקטור במטריצת הסיבוב אינה משנה את הווקטור. לקורא המעמיק מומלץ לעיין במקורות ]6[ ו ]69[. וזהו ציר הסיבוב המבוקש. נשים לב שהכפלת תרגילים נוספים R R 9. הוכח שהדטרמיננטה של מטריצת סיבוב שווה ל X רמז: השתמשו בעובדה ש Y Z ) הראו שטרנספורמציות סיבוב בזווית סופית אינן חילופיות כלומר אינו שווה ) הוכיחו שטרנספורמציות סיבוב בזווית אינפיניטסימאלית כן. R בהכרח ל- R חילופיות. 9. A. חשב את v B v,, נתון ווקטור המהירות בהינתן הטרנספורמציה. נמק את 9.6 תשובתך. A B

35 ד"ר ניר שוולב A v,.,. 598 תשובה: k k מצא ביטוי כללי לטרנספורמציית הסיבוב בזווית סביב ישר העובר דרך 9.6 נקודה b )ואינו עובר בהכרח בראשית הצירים(.. k R k b I R k x תשובה:.,, 9.66 באיור מתוארות שתי אוריינטציות של בלוק עץ. מצא טרנספורמציה אחת המתארת את המעבר ביניהן ע"י ציון זווית הסיבוב הרצויה ווקטור סביבו תתבצע הרוטציה. תשובה: הווקטור המציין את ציר הסיבוב הוא וזווית הסיבוב היא a a a מצא את האיברים החסרים בטרנספורמציה ההומוגנית: a a, a תשובה: 9.6 חשב את הטרנספורמציה ההומוגנית המייצגת סיבוב +95 Y סביב ציר Z,סיבוב סביב ציר ב- וסיבוב ב- 6.,, 9- ולאחר מכן הזזה בשיעורים ב- סביב X מהם שיעוריה החדשים של נקודה שבמקור נכתבה כ-?,, תשובה: 9.69 נתונה יחידת הקצה של רובוט Motoma שבתמונה, אליה מוצמדת מערכת צירים המתלכדת עם מערכת העולם. חשב את הטרנספורמציה המעבירה את x A, y A, z A

36 ד"ר ניר שוולב 5 z A a,b, ראשית מערכת צירים זו לנקודה כך שציר )=כיוון התפסנית( יצביע לכיוון הראשית )כבאיור(. a b תשובה:

37 ל) ד"ר ניר שוולב 6. שרשור טרנספורמציות די בהצצה באיור שבעמוד 99 על מנת להבין כי בכדי לתאר את המיקום והאוריינטציה של תפסנית הרובוט יש לשרשר טרנספורמציות Coateate) (o הכפיל מטריצות המייצגות את הטרנספורמציות(. בפרק זה נעמוד על עניין השרשור לעומקו. o אינה כפל מטריצות סיבוב אינו חילופי )דרך אחרת לומר זאת היא לציין שהחבורה )המייצגות שרשור מטריצות כלומר, ]6[(. לקורא המעמיק מומלץ לעיין ב- חילופית, נדגים את אי סיבוב. טרנספורמציית יניב אותה בסדר הפוך לא טרנספורמציות סיבוב( החלופיות של R:

38 ד"ר ניר שוולב 7. R y9r x9 R X9R שים לב שעל פי האיור שלעיל y9. A C B, A C B תרגיל 6.: מצא את ואת תשובה: נתייחס למערכת A כמערכת ייחוס. את טרנספורמציית הסיבוב שמערכת B "עברה",A B, ביחס למערכת A הווקטור הוא נכתוב באמצעות ווקטורי הבסיס של במושגי מערכת וזהו ווקטור העמודה הראשון במטריצה לדוגמא. באופן A B R. A Y B, A Z A X B B A XB דומה נבנה גם את הווקטורים ווקטור העמודה הרביעי מציין, את כאמור, A PB ORG B של ראשית מערכת A PB ORG התזוזה ביחס למערכת הייחוס A: הווקטור מבוטא ברכיבי מערכת קואורדינאטות A( ומכאן: )שימו לב, B C באופן דומה נקבל: A B ומשני הטרנספורמציות שקיבלנו: A B B C ומהאיור שלעיל ניתן לאמת את התוצאה.

39 א) א) ב) ג) ד"ר ניר שוולב 8 נעמוד כעת על שתי דרכים לשרשר טרנספורמציות סיבוב של גוף )פורמאלית אנו מעוניינים בסיבוב מערכת צירים צמודת גוף(. ) סיבוב סביב X,Y,Z קבועים במערכת העולם., סביב סיבוב X',Y',Z' כלומר, סביב הצמודים לגוף צירים המסתובב )במערכת ) ניידת(. ) סיבוב משולב סביב צירים ניידים ונייחים. ) נתונה מערכת העולם X,Y,Z וגוף הנתון במערכת זו. נסובב את הגוף סביב X בזווית γ סביב Y עם זווית β וסביב Z בזווית α כמודגם באיור הבא: R x γ β - β β β γ γ - γ ; R β ; R α γ y z α α - α α )Roll( סביב ציר X נייח, עלרוד )Pith( סביב ציר Y נייח ולבסוף ס בסוב,)Yaw) סביב Z נייח שרשור טרנספורמציות: גלגול A '''B עם המבנה: פורמאלית, מה שעשינו כאן הוא סיבוב R R z αr βr γ y x α β α β - β α β γ α γ α β γ α γ β γ α β γ α γ α β γ α γ β γ

40 ב) ד"ר ניר שוולב 9 כלל: שרשור טרנספורמציה עם סיבוב R סביב ציר קבוע במערכת העולם יתואר באמצעות R הכפלת המטריצה המייצגת את הטרנספורמציה הקודמת במטריצת הסיבוב משמאל. R ) נסובב כעת מערכת צמודת גוף סביב מערכת צירים ניידת. ייצוג כזה נקרא מערכת זווית אוילר.)Euler( נסובב סביב ציר Z בזווית α, לאחר-מכן נסובב סביב ציר 'Y )המסובב( בזווית γ. פעמיים( בזווית )המסובב "X ולבסוף, סביב ציר β R z α R z' α R Y' ' β R x'' כאמור, במצב זה הסיבוב נעשה סביב צירי המערכת הניידת ולא לפי צירי מערכת העולם. ניתן לרשום את מטריצת הסיבוב R בצורה הבאה: )הצורה הרגילה(: A B'" R A B' R B' B" R B" B'" R R Z' αr β R γ Y'' X' ' R כלל: שרשור טרנספורמציה עם סיבוב הכפלת המטריצה המייצגת את הטרנספורמציה סביב ציר של מערכת ניידת יתואר באמצעות R הקודמת במטריצת הסיבוב מימין. R עבור האיור שלעיל מטריצת הסיבוב היא אם כן: α β α β - β α β γ α γ α β γ α γ β γ α β γ α γ α β γ α γ β γ R z R R y נשים לב, כי קיבלנו אותה מטריצה כמו x המייצגת את שרשור טרנספורמציות סיבוב סביב צירי מערכת נייחת! כלומר אותה מטריצה נניח כעת, שנתונה

41 ד"ר ניר שוולב r r r R r ואנו מעוניינים ב α,β,γ זוויות הסיבוב r מטריצת הסיבוב r r r r הצירים הנייחים Z,Y,X בהתאמה. או לחילופין נתעניין ב γ,β,α זוויות הסיבוב הצירים הניידים X''',Y'',Z' בהתאמה. סביב סביב נגדיר להלן פונקציה שתסייע לנו בפתרון הבעיה בפרט ובקורס ככלל: הפונקציה,ata(y,x) היא פונקציה דו-פרמטרית המחשבת את הפונקציה (y/x) ta - אשר תמונתה היא ]-,[ כלומר הפונקציה מביאה בחשבון את סימני )x,y( ובאופן זה קובעת באיזה רביע נמצאת הזווית. שים לב שפונקצית ta ההופכית אינה עושה זאת., Mathematia הינה פונקציה סטנדרטית במנועים מתמטיים כמו ata(y,x) Matlab, Maple וכיו"ב. דוגמא: ata(-,)=5 ata(,)=5, בעוד ש (-/-)= 5 - ta ta - (/)= R Z' Y" X"' α,β, γ R γ,β,α כיוון ש XYZ לשני מקרים: הנוסחאות הבאות עבור γ,β,α יהיו נכונות β ata - r α ata γ ata, r r r r, β β r r, β β

42 ב) ד"ר ניר שוולב α β 9 γ ata r, r α β 9 γ ata r עבור +9, -9 = β מתקיים o(β)= ולכן נוסיף ונגדיר:, r תרגיל 6.5: תהי OXYZ מערכת עולם ו- OUVW מערכת צמודת גוף )מערכת ניידת(. )א( מהי מטריצת הרוטציה עבור סיבוב בזווית Ø סביב OX ולאחריה, סיבוב בזווית Ψ סביב ) מצא רצף סיבובים אחר, שנותן את אותה מטריצת R W (Ψ), R X (Ø) נסמן:.R X'ZY.OY סביב θ ולאחריה, סיבוב OW רוטציה. פתרון: שימו לב כי למעשה אנו מעוניינים במטריצת הסיבוב (θ) R. Y נזכור כי הכללים שדנו בהם לעיל מחייבים: )6( מטריצת רוטציה סביב ציר במערכת העולם, מכפילים משמאל. )9( מטריצת רוטציה סביב ציר במערכת נעה, מכפילים מימין. נשתמש במטריצת הרוטציה סביב ציר מסוים שאנו יודעים ונבצע את ההכפלה. R X φ φ φ - φ φ φ φ φ - φ, R φ, R ψ Y W ψ ψ - ψ φ ומכאן נקבל:

43 א) ד"ר ניר שוולב φ φ ψ R Y φr X φr W ψ φ - φ ψ - φ φ φ φ φ φφ φφ ψ - ψ φ - φ ψ φ - φ φφ φφ φφ φφφ - θ ψ θ φ ψ φφ φ φ ψ φ - θθ θ φ ψ θ ψ θ φ ψ θ φ - ψ φ ב. יש למצוא R שקול, שיתקבל מסיבוב המערכת סביב צירים אחרים. נביט בביטוי שקיבלנו R Y φr φr ψ X W בסעיף הקודם: נסובב את המערכת סביב ציר Z )שהוא בסעיף הקודם W( בזווית ונייחס את כל הסיבובים למערכת העולם. כלומר, ψ לאחר מכן סביב ציר.φ בזווית ולבסוף סביב Y בזווית ע"פ הכללים שהזכרנו זה מכבר הסיבוב יהא R כדרוש. Y X φr φr ψ X Z תרגיל 6.6: נוסחת רודריגז )Rodriguez) תהי A מערכת צירים קבועה; ותהי B מערכת צירים מסובבת בזווית a סביב ציר המקביל לווקטור היחידה =(t, t, t ) הקבוע ב- A. הינה מטריצה אנטי סימטרית θ R א( הוכח ש- R עבור כל מטריצת סיבוב. R Λ הוכח כי ב( I כאשר: t - t - t t t - t ג( והוכח כי: חשב את e Λθ I Λiθ (- o )Λ (.) תשובה: ) ידוע ש-. RR I נגזור את הביטוי לפי θ ונקבל:

44 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד R θ R - θ R R - R θ R θ R R R θ R,ןאכ.הצירטמב רביא לכ לש תדרפנ הריזג תועצמאב תעצבתמ הצירטמ תריזג ןכאו יאנת תוירטמיסה יטנא.םייקתמ S=-S (ב ) יכ ןותנ t t t. בשחנ t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t - t t t t t t t t - t t t t t t t t - t t t - t t t - t t - t - t t t - םייקתמ כ"הסבו I.שקובמכ (ג ),םדוקה ףיעסה י"פע בשחנ תא R פ"ע Λ Λ Λ Λ Λ. :ש בל םישנ -ו תירטמיס יטנא,תירטמיס ןכלו ןאכמו - -. ןכלו -, 5, 6.האלה ןכו תא בשחנ e :לבקנו רולייט רוט י"פע - o i I 6!!! 5!! I e 6 5 ליגרתמ 66 ש םנמא עודי - oθ iθ I e. תעכ.האצותה רשפ לע דומענ הדוקנ תמגדומ הטמלש רויאב P תרבועש רוטקוו ביבס בוביס תייצמרופסנרט תיווזב.,R הצירטמה יכ איה ונתנעט,בוביסה תייצמרופסנרט תא תראתמה תחסונ תועצמאב הנותנ זגירדור - oθ iθ I e R רשאכ.66 ליגרתב תרדגומה הצירטמה איה

45 ד"ר ניר שוולב ווקטור P, המתאר את מיקום הנקודה, מורכב משני רכיבים: הרכיב המקביל ל )כלומר זה P שאינו משתנה תחת הסיבוב( ; טרנספורמציה(. הרכיב המאונך והרכיב המאונך ל נסמן את שני הרכיבים כ- P P, P סביב, הסיבוב יבוטא כ בהתאמה. )כלומר החלק של העובר אם נרצה כעת לסובב את ראה איור. בכדי לקבל P ונקבל P P iθ P oθ את הווקטור המסובב בכללותו נסכם, אפוא, את החלק המקביל P ו- P P P נשים לב ש. RP P P iθ P נציב כעת חזרה לנוסחה לקבל: וכן ש- v RP P Piθ P P v v. P (P oθ oθ P ) P בכדי להשלים את ההוכחה יש להוכיח ראשית כי לכל ווקטור ולכן נוכל. עתה נוכל לבודד את מטריצת R I Λ ; ושנית, ע"פ תרגיל 69 ידוע כי I לסמן Λ הסיבוב סביב ווקטור בזווית : Λθ iθ oθ e (.) לשם נוחות מובא להלן הביטוי המפורש למטריצת הסיבוב סביב ווקטור בזווית : R θ θ tt tt t θ tt θ tθ tt θ t θ tθ θ t θ t t θ t θ t θ t t θ t θ θ t θ θ θ (.) מפורשות. θ R תרגיל 6.: חשב את- R R θ e θ Λθ θ I Λiθ Λ - oθ Λoθ Λ iθ תשובה: לכן:

46 ד"ר ניר שוולב 5 R θ R Λoθ Λ iθ I Λiθ Λ - oθ Λ.=(t, t, t ) נתונה זווית וקטור וו סיבוב נמצא כעת את מטריצת הסיבוב המתאימה באופן אינטואיטיבי: Z. יתלכד עם ציר נסובב את מערכת הצירים באופן שהווקטור. θ בזווית Z נסובב את מערכת הצירים סביב נחזיר את המצב לקדמותו, כלומר נסובב את הווקטור ע"י טרנספורמציה הפוכה לזו הראשונה. הסיבובים כולם יעשו במערכת XYZ קבועה: R X נסובב את מערכת הצירים באמצעות α סביב ציר X בזווית α באופן ש- יגיע למישור.ZX R Y β נסובב את מערכת הצירים באמצעות סביב ציר Y בזווית ש- βבאופן יגיע לציר Z.. θ בזווית Z סביב ציר R Z θ נסובב את מערכת הצירים באמצעות R Y β R X α נסובב את מערכת הצירים חזרה למקומה באמצעות נסובב את מערכת הצירים חזרה למקומה באמצעות

47 ד"ר ניר שוולב 6 סה"כ R θ R - αr βr θr -βr α X Y Z Y X ובמפורש: R θ θ tt tt α - α β α α - β β φ φ β - φ φ β β t θ tt θ t θ tt θ t θ θ t θ θ t θ t t θ tθ θ t θ t t θ t θ θ t θ - β β α α α α הוא ציר הסיבוב של הטרנספורמציה כצפוי, התקבלה תוצאה זהה לזו שקיבלנו לעיל. בפרק הקודם מצאנו כי בהינתן מטריצת סיבוב, הווקטור העצמי המתאים לערך העצמי "6". משיש בידנו את המבנה המדויק של מטריצת הסיבוב נוכל לחלץ גם את ערך זווית הסיבוב:. R r i, j i,j תרגיל 6.: נתונה מטריצת סיבוב כללית ציר הסיבוב מצא את וזווית trae R θ t θ θ t θ t t t θ θ θ t θ - oθ θ θ הסיבוב θ. תשובה: נשים לב ש: )כיצד?( trae R ולכן. θ בכדי למצוא את הזווית המדויקת יש למצוא את ולהשתמש בפונקציה.ata נביט כעת בביטוי הבא: r r r - r - r - r t t θ t θ- t t θ t t θ θ t θ t θ כלומר

48 ד"ר ניר שוולב 7 r r r r r r θ נשים לב שאם נחשב את הזווית ע"י b z 5 x 5 z y x d θ o נימנע מטעות בקביעת trae R ( θ 8 ) רביע הזווית גם ללא חישוב מפורש של ושימוש בata, כיוון y 5 z e שכיוון הציר אף הוא נקבע ע"פ i הזווית. ולכן כל a x y z שנותר הוא: x z y x z y x y θ r r r r r r ו-. A A תרגילים נוספים.9 מצאו את הטרנספורמציות תשובה: A e a d, A b a d. C A. על פי האיור בתרגיל.6 מצא את C A תשובה: ומסובבת באופן גרפי קובייה.8 כתוב תוכנית מחשב אשר מקבלת ווקטור מהמשתמש סביבו.

49 ב{ ד"ר ניר שוולב 8.9 כתוב תוכנית מחשב אשר מקבלת שתי אוריינטציות ומסובבת קובייה כך שבתחילת התנועה תהיה זו מכוונת לכיוון האוריינטציה הראשונה ובסוף התנועה תהיה הקובייה מכוונת בכיוון השנייה. תוכנית עזר: בכדי להקל על כתיבת התוכנית היעזרו בתוכנית ה- Matab המסובבת קובייה ומציגה את הסיבוב באופן גרפי. הבאה j=; for theta=:.:(*pi) j=j+; מט ' סיבוב % ]]; ];[ o(theta) R=[[o(theta) -i(theta) ];[i(theta) for i=:8 הווקטור שיש לסובב % z(i)]'; V=[x(i) y(i) סיבוב הווקטור % U(i,:)=(R*V)'; ed הצגה גרפית של הקובייה % plot([u(:,) ;U(,)],[U(:,) ;U(,)],[U(:,); U(,)]); hold o plot([u(5:8,) ;U(5,)],[U(5:8,); U(5,)],[U(5:8,) ;U(5,)]); plot([u(,); U(5,)],[U(,) ;U(5,)],[U(,) ;U(5,)]); plot([u(,); U(6,)],[U(,); U(6,)],[U(,); U(6,)]); plot([u(,) ;U(7,)],[U(,) ;U(7,)],[U(,) ;U(7,)]); plot([u(,); U(8,)],[U(,) ;U(8,)],[U(,) ;U(8,)]); hold off שומר על התמונה % getframe; F(j) = ed מציג את הסרט % movie(f,) ZYZ בשיטת. מצא את מטריצת הרוטציה עבור פעולת סיבוב מערכת צירים } זוויות אוילר. מהי משמעות העמודה השלישית במטריצה? R תשובה:

50 ה. ד"ר ניר שוולב 9 קינמטיקה הישירה 9 עבור רובוטים מישוריים כל כיווני כל המפרקים נשארים קבועים באופן יחסי האחד לשני קרובות בוחר המתכנן )בכיוון ניצב למישור(. גיאומטריות חיבור אולם, לעיתים מורכבות יותר בהן הכיוון היחסי של המפרקים משתנה. מצב כזה דורש מעקב קפדני אחר מערכות הצירים. סוגי בפרק זה נלמד להצמיד מערכות צירים לרובוט, את תנועת ולתאר התפסנית כפונקציה של מצב החוליות. אגב, רוב הרובוטים הקיימים עושים שימוש במספר מפרקים, הפרקים הבאים, בקורס נתמקד בעיקר בשניים נעסוק בקינמטיקה בלבד. השכיחים: הפריזמטי והסיבובי. בשלשת נעיר כי האחרונה עוסקת רק בתנועות הגוף )מיקום מהירות תאוצה וכיו"ב(, ללא התחשבות במשוואות של הכוחות היוצרים את התנועה. בעיית הקינמטיקה הישירה Kiemati) :(Forward מוגדרת כחישוב מיקום ואוריינטציה של התפסנית ביחס לבסיס, בהינתן ערכי המפרקים כפונקציה של ערכי המפרקים של הרובוט. במילים אחרות:, q q... נשאל: איפה ממוקמת התפסנית ולאיזה כיוון היא מצביעה? הערה: משתנה המפרק לא יהא תמיד זווית. במידה והמפרק הוא מפרק פריזמטי לדוגמא, ערך יהיה q i נתון כמשתנה כקואורדינאטות מוכללות זהה עבור כל סוגי המפרקים. לכן d. i אורך בספרות מכנים לעיתים את הפרמטרים q i Coordiate) (Geeralized להדגיש שההתייחסות המתמטית כאמור, נ ד ר ש לתיאור מערכות הצירים באופן אחיד ועקבי.לשם כך נרצה ראשית לתאר באופן יחיד )ויעיל( מיקום יחסי בין שתי קרניים )שנחשוב על מקור הקרן כמיקום המפרק, וכיוונה ככיוון המפרק(. בהינתן שני ישרים כלליים Q Q במרחב, המיקום היחסי שלהם ייקבע חד-חד ערכית באמצעות: המרחק ביניהם: אורך הקטע a המחבר בין שניהם וניצב לשניהם, )כיוונו Q(. xq הזווית ביניהם, הנמדדת על המישור המאונך ל - a... באיור הבא מודגמים שלושת המצבים בהם שני ישרים יכולים להתייחס אחד לשני: מקבילים: המרחק ביניהם שרירותי והזווית מתאפסת חיתוך: המרחק ביניהם מתאפס והזווית שרירותית הצטלבות: המרחק ביניהם אינו אפס, והזווית )הביטו ב צל(

51 ג) ב) א) ד"ר ניר שוולב 5 לאור זאת, בכדי לאפיין את המיקום והאוריינטציה היחסית בין שני צירים נצטרך לציין ארבעה גדלים, נבהיר זאת עתה. בהינתן שני קוים ובהינתן מיקום ואוריינטציה של קו אחד )המייצג ציר ללא התחלה או סוף(, אם נציין את המרחק ביניהם והזווית על המישור המאונך למרחק, נשאר עם שתי דרגות חופש שהן קביעת מיקום ההתחלה של כל ציר. דנביט-והרטנברג הזדקקו כמובן ל- 9 פרמטרים לתיאור. אך, במגמה לפשט את הביטויים המתמטיים המתקבלים, הם בחרו פרמטרים אחרים ובזאת טמונה תרומתם. נעמוד על אופן התיאור שהציעו צמד החוקרים בהמשך הפרק. טרם נתחיל בפתרון הבעיה נעמוד על ניסוחה הפורמאלי. נסכם, כעת, את הידוע לנו: דנים ברובוט טורי, כלומר בשרשרת קינמטית פתוחה. ) אנו ) הרובוט בעל + חוליות: חוליית.i בסיס בעלת אינדקס }{,...,חוליה אחרונה )החוליה האחרונה היא חוליית התפסנית ומסומנת ב {}(. לכל חוליה מודבקת מערכת צירים )קרטזית(, כך שמערכת i דבוקה לחוליה ) הרובוט בעל מפרקים המסומנים באות q. המפרק q מחבר בין הבסיס לחוליה 6. המפרק q i מחבר בין חוליה -i לחוליה ה - i. כל מפרק הוא בעל דרגת חופש יחידה )סיבובי או ליניארי(. מספור מערכות צירים ברובוט טורי )= RRR כולל התפסנית( מהאיור שלעיל נקל להבין כי הרעיון בשיטת המספור הזו הוא שהקואורדינאטות של נקודות תשארנה i בחולייה ה- קבועות, ביחס למערכת הצירים i ה- בעת שהרובוט נע. במילים אחרות מערכת הצירים תוצב בצמוד לחולייה )ובקצה שלה(, בכדי לתאר את ההשפעה של המפרק, המסובב את אותה חולייה. שים לב!, מערכת צירים קבועה באדמה )חוליה ( ואיננה מסתובבת בהשפעת סיבוב המפרק הראשון. מערכת צירים היא זו שמסתובבת עם סיבוב המפרק הראשון. פורמאלית, בעיית הקינמטיקה הישירה, אם כן, היא למצוא את מטריצת הטרנספורמציה ההומוגנית ממערכת התפסנית למערכת הבסיס כפונקציה של ערכי המפרקים : q,,q

52 ד"ר ניר שוולב 5 R q...q (.) d בפרקים הקודמים עסקנו בחישוב מטריצות הטרנספורמציה i i i R i i q (.) i i d נשים לב כי מטריצה זו תלויה אך ורק ב- q. i פתרון בעיית הקינמטיקה הישירה באמצעות שרשור הטרנספורמציות בין החוליות, החל מ- A וכלה ב- - : A מתקבל q q q q q (.) לשם בהירות, המטריצה )9.6( תאפשר לנו לבטא את המיקום והאוריינטציה של התפסנית {} בקואורדינאטות העולם }{ באמצעות הכפלתה בווקטור המבוטא במערכת התפסנית. באופן זה עבור כל מצב מפרקים הווקטור יעבור טרנספורמציה אחרת וימוקם בהתאם במערכת העולם. הקושי בפתרון הבעיה הישירה טמון בבחירה נכונה של כיווני מערכות הצירים והפרמטרים, ולכן נתעניין בתיאור פשוט ככל האפשר של סדרת הטרנספורמציות הזו. החופש שלנו הוא בהצבת ראשיתות הצירים. התיאור המתמטי הפשוט ביותר יתקבל אם נציב את ראשית מערכת הצירים ה- }6+i{ קרוב ככל האפשר לראשית של מערכת הצירים ה }i{. הצמדה כזו נוסחה ע"י דנביט והרטנברג Harteberg) ). Deavit & באיורים שלמטה נתמקד בחוליה אחת מתוך הרובוט, כאשר שני ה"חורים" ממוקמים בצירי המפרקים המחברים את החוליה לרובוט. הצמדת מערכות צירים השם דנביט והרטנברג מיוחס בספרות לשתי בניו ת שונות: הבניה הדיסטאלית והבניה הפרוקסימאלית )ההבדלים בעיקר באופן האינדוקס( אנו נשתמש בגישה הדיסטאלית )לעיון בזו הפרוקסימאלית ראה ][(.

53 א) ה) ב) ג) ד) ו) ז) ח) ט) ד"ר ניר שוולב 5 כפי שמודגם באיור שלעיל )ראה גם איור קודם(, כל מערכת קואורדינאטות מוצמדת לחוליה על פי הכללים הבאים:.q i+ Z i את ציר ) נצמיד לאורך מפרק. Z i ל- Z i- הצבת ציר X i תהיה לאורך הניצב המשותף ל- Z i ו- Z i- וכיוונו מ- ) Y i את ציר נבחר כמשלים את - X i, Z i ימנית )כלומר כזו שמקיימת, Ẑ ˆX Ŷ ראה איור משמאל(,שנקבעו זה מכבר, למערכת אורתונורמאלית ) q i+ q i ראשית }i{ מערכת ממוקמת בחיתוך בין הניצב המשותף למפרק ובין ו- ) i+.q מפרק מערכת צירים }{ )מערכת הבסיס( ת ק ב ע שרירותית כש- Z יוצב לאורך ציר q )ראה איור(. אנו נקבע שהמערכת תמצא בבסיס הרובוט. על המערכת הזו אין דרישה לכיוון X, ואנו נעדיף כמובן את הכיוון שיקל עלינו את החישובים. בד"כ יהיה זה בכיוון ציר X של מערכת הקוראורדינטות }6{. מערכת צירים {} )מערכת התפסנית( ת ק ב ע שרירותית בחולייה האחרונה כש - X יוצב בניצב ל- - Z. ) ) נעמוד על המקרים בהם הכלת כללים אלו אין בה כדי לקבוע את מערכות הצירים: שני מפרקים סמוכים נחתכים כלומר, אין ביניהם ניצב משותף )= i a(, ולכן על פי כלל )ב( ניתן לבחור את ציר X i לכיוון החיובי או השלילי )סימן הכיוון חסר חשיבות, כי סימן הווקטור מובא בחשבון בקביעת הפרמטרים המאפיינים את המיקום היחסי בין צירי המפרקים(. הצבת ציר X i במקרה זה תהיה בכיוון הנוח ביותר מבחינת ) קביעת הפרמטרים, וראשית מערכת הצירים }i{ תמוקם בנקודת המפגש. X i - )Z i =Z i- ( שני מפרקים סמוכים זהים הציר י ב ח ר להיות בניצב לשניהם ) והראשית ת בחר שרירותית. - )Z i Z i- ( שני מפרקים סמוכים מקבילים נבחר את הראשית כך שהמרחק בין ) הראשית O i לראשית הקודמת לה 6-i O מינימאלי. עתה, משהקצנו מערכות צירים, נמצא את הגדלים המאפיינים את מיקומיהם היחסיים של המפרקים:

54 ד"ר ניר שוולב 5 הפרמטרים של דנביט והרטנברג )DH( הגודל הסבר הזווית בין i- X ל- X i נמדדת סביב i- Z )נזכור שגם -i X וגם X i מאונכים ל- כך בנינו אותם(. הערות/מקרים אם q i מפרק/סיבובי, אז הוא θ i פרמטר שמשתנה. אם q i פריזמטי, קבועה. θ i אז,Z i- i המרחק הנמדד לאורך i- Z בין i- O ל- O i )כלומר מטילים את O i על -i Z ומודדים את המרחק בינו לבין אם q i מפרק סיבובי, אז d i קבוע. אם q i מפרק פריזמטי, אז d i הפרמטר d i שמשתנה. יכול להיות שלילי..)O i- d i המרחק בין Z i ל- -i Z לאורך ציר בנינו את X(. i )כך X i זהו המרחק הקצר ביותר בין שני המפרקים. במקרה של חיתוך a i ביניהם = i.a תמיד חיובי! a i עבור רוב הרובוטים שכיחים α ונקבע כך o o o o i,9,8,7 לשם פשטות החישוב. הזווית מ- -i Z ל- Z i נמדדת סביב ציר X i )שניהם ניצבים ל- X(. i i הערה חשובה: שימו לב כי מדידת הזוויות נעשית ע"פ כלל יד ימין לאורך הציר שציינו. ואם לא נציין אחרת, זווית תימדד מהמשך חוליה אחת ועד לחוליה הבאה אחריה )ראה לדוגמא איור בפרק 5, שאלה 5.9(. משמצאנו את הפרמטרים, סמוכות באופן הבא: ננסח את טרנספורמציית הסיבוב והתזוזה בין מערכות צירים

55 ד"ר ניר שוולב 5 j- R j R x α R θ i z i θ θ i i -θ α θ α i i α i i θ iα i -θ iα i α i ; j- d i a iθi a iθi d i ומכאן, הטרנספורמציה ההומוגנית בין מערכות צירים סמוכות תהיה: i- i θi θi -θ α θ α i i α i i i θ α i -θ α i α i i i a iθi a iθi d i (.) הפתרון המלא לקינמטיקה הישירה יתקבל משרשור הטרנספורמציות כפי שדנו נוסחה 9. בפרק זה(. )ראה לעיל הערה: ניתן למצוא ברשת סרטי אנימציה רבים שלבטח יסייעו בהבנת מידול.DH המחבר ממליץ לחפש סרט של Etha ira-hompo מאוניברסיטת.CaregieMello RRR DH דוגמא: נדגים כיצד גוזרים את הפרמטרים של עבור הרובוט הטורי המודגם באיור. כאשר q, q,q, ראשית נסמן את המפרקים החל מהבסיס ב q לקצה החופשי. ע"פ כלל )ה( נצמיד את מערכת צירים לבסיס הרובוט, כש- מציין את המפרק הקרוב Z יוצב לאורך ציר q )נשים לב שקבענו גם את מיקום הראשית וגם את כיוון ציר Z של מערכת (. כלל )א( Z, Z מורה להצמיד למפרקים הסיבוביים q, q את הצירים בהתאמה )נשים לב שעדיין לא נקבעו ראשיתות הצירים של המערכות }6{,}9{(. ע"פ כלל )ב( הצבת ציר X i תהיה לאורך -i Z ל-, Z i ומכאן יקבעו גם ראשיתות הצירים של Z i הניצב המשותף ל- -i Z ו- מערכות }{,}9{ כמוצג באיור: וכיוונו מ-

56 ד"ר ניר שוולב 55 Z נשים לב ש Z הקודמת. המרחק בין ו ולכן נקבע את ראשית מערכת צירים }6{ קרוב ככל האפשר לראשית עובר בב ר ך וקובע את X. מערכת הצירים השלישית )מערכת Z X Z Z התפסנית( נבחרת באופן שרירותי כאשר ניצב ל- בהתאם לסעיף )ו(. את צירי ה Y נשלים באופן שכל מערכות הצירים תהיינה ימניות. הפרמטרים של DH יקבעו באופן הבא: i α i a i d i Θ i מפרק - a Θ 6-9 a 6 Θ a Θ נציב בנוסחה לקבל את הטרנספורמציות : θ θ - θ θ a θ a θ ; θ θ - - θ θ a θ a θ ;. פתרון הקינמטיקה הישירה יתקבל מהכפלה:

57 א) ב) א) ה) ד"ר ניר שוולב 56 RR תרגיל.: עבור הרובוט הטורי המודגם באיור:.DH )ב( את קבע מערכות הצירים על-פי מצא ) פרמטרים של DH ורכז אותם בטבלה. )ג( מצא את מטריצת הטרנספורמציה הקינמטיקה הישירה. - במילים אחרות פתור את פתרון: ) נציב את מערכת העולם בבסיס הרובוט. נבחר Z.q את ציר Z של מערכת העולם בכיוון ציר יוצב בכיוונו החיובי של q כיוון שהוחלט כחיובי(. נציב את מערכת התפסנית )ראה כלל ו' בתחילת הפרק(. X - שרירותית נזכור שהדרישה היחידה היא ש יוצב בניצב ל- Z. נשלים את מערכת התפסנית למערכת ימנית כבאיור. עתה )ראה כלל ב'( X 6 ציר יהא לאורך הניצב המשותף ל- Z ו- Z ל- Z וכיוונו מ- Z כמוצג באיור. נשים לב ששני המפרקים Z Z מקבילים, ולכן )ראה כלל ט'( נבחר את הראשיתות כך שהמרחק ביניהן יהא מינימאלי. ) בכדי למלא את הפרמטרים יש לבחון ראשית את - q - כיווני הצירים: עבור הציר בבסיס הרובוט ציר זווית הסיבוב מודדת את הזווית בין הצירים X ל- X ונמדדת סביב Z. זווית הסיבוב,Z X מודדת את הזווית בין הצירים X,נמדדת סביב ל- ומתאפסת במצב המאויר )במצב בו שני הצירים מתלכדים(. אגב, כשאנו אומרים "נמדדת סביב Z" הכוונה היא תוך שימוש בכלל יד ימין. i Θ i α i a i d i Θ 6 9 Θ ל- זוויות בין הזוויות בין ל- מרחק בין מטילים את X i X i- Z i- Z i O i i- Z סביב X i סביב Z i ל- X i לאורך Z i- )תמיד חיובי( i- Z על ומודדים את המרחק בינו i- O לבין

58 ג) ד"ר ניר שוולב 57 ) נציב בנוסחה )9.9( לקבל את הקינמטיקה הישירה: תרגיל.5: על-פי עבור הרובוט RPR הטורי המודגם באיור הבא: )א( קבע את מערכות הצירים מצא פרמטרים של DH ורכז אותם בטבלה. )ג( מצא את מטריצות.,,.DH )ב( הטרנספורמציות. )ד( כתוב את הביטוי עבור הטרנספורמציה פתרון: )א( נציב את מערכת העולם בבסיס הרובוט כמודגם באיור הבא )נבחר את ציר Z של q מערכת העולם בכיוון q(. ציר Z ובמקרה זה - כיוון ההתארכות של המפרק הפריזמטי(. ציר יוצב בכיוונו החיובי יוצב בכיוונו החיובי של )הכיוון שהוחלט כחיובי, Z של q. את מערכת התפסנית נציב בהמשך.כיוון ש Z Z= )ראה כלל ח' בתחילת הפרק( נציב את הציר X בניצב לשניהם, והראשית תבחר שרירותית להיות בדיוק מעל ראשית מערכת הבסיס. נזכור היחידה שהדרישה X על מערכת התפסנית היא ש יוצב

59 ג) ב) ד) א) ג) ב) ד"ר ניר שוולב 58 בניצב ל- Z, ונשלים את מערכת התפסנית למערכת קואורדינאטות ימנית. נרכז את הפרמטרים של DH בטבלה הבאה: ) i Θ i α i a i d i Θ 9 Θ נשים לב ש הינו הפרמטר המשתנה של המפרק הפריזמטי. ) נציב ב )9.9( ונקבל θ θ θ - θ θ θ - θ θ ) תרגיל.6: עבור הרובוט RPR הטורי המודגם באיור הבא: )א( קבע מערכות הצירים על-פי.DH )ב( מצא פרמטרים של DH ורכז אותם בטבלה. ) מצא את מטריצות הטרנספורמציות. )ד( פתור את הביטוי עבור,,. הטרנספורמציה.Z פתרון: ) בבחירת מערכות הצירים נשים לב כי: Z Z ולכן ע"פ כלל ט' )ראה תחילת הפרק( ראשית הצירים O תיבחר במיקום הקרוב ביותר לראשית ולכן ראשית הצירים תהיה Z X Z Z.O בנקודת החיתוך. ציר ציר ייבחר מאונך ל ייבחר מאונך ל ול- ציר ול-.Z יהיה מאונך ל- ) יש להסתכל על X הקונפיגורציה של הרובוט, בה הכי קל להבין את מנח הצירים הכללי. לשם כך נבחר את ציר. Z Z X X בכיוון ציר X כמודגם באיור.

60 59 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד הלבטב םזכרנו םירטמרפה תא אוצמל לכונ תעכ :האבה קרפמ Θ i α i a i d i Θ o a 9 o + Θ o 6 5 ש חכוויהל ידכב אבה רויאב טיבנ ראתמה :לע טבמב טובורה תא -ל ונאצמש תואוושמב תעכ ביצנ i i+ :לבקנו :ןכלו α α 6 α 5 α 6 α α α α 5 α 6 α α α - ; α - α α α ; a a

61 א) ב) א) ד"ר ניר שוולב 6 α o(θ α); α i(θ כאשר α) ) תרגיל.: נתון הרובוט המישורי RPR המודגם באיור, מהו מרחב העבודה של הרובוט )ב( פתור את בעיית הקינמטיקה הישירה. פתרון: ) הרובוט בעל דרגות חופש. מפרק q הוא מפרק סיבובי מישורי סביב Z. מפרק q, מפרק פריזמטי, נע ע"ג ציר Z. מפרק q הוא מפרק סיבובי מישורי סביב Z. בכדי להתחקות אחר מרחב העבודה נדמיין את הקטע המחבר בין ראשית הצירים למפרק הסיבובי השני. אורך הקטע תלוי במידת פתיחת המפרק. הפריזמטי וערכו כיוון שאורך המפרק הפריזמטי נע בין אפס )לשם פשטות( מקסימאלי לגודל מקסימאלי נתון, לערך נע בין. max עבור כל ערך של, זרוע התפסנית יכולה להסתובב סיבוב מלא סביב המפרק הסיבובי העבודה יהא, ורדיוסה הפנימי הצירים, שבעמוד הבא: אם כן, טבעת מישורית.}9{ ) mi נמצא את הפרמטרים של שרדיוסה מרחב החיצוני לאחר בחירת מערכות DH ונקבצם בטבלה Θ i α i a i d i מפרק Θ Θ נציב בנוסחה )9.9(:

62 ג) א) ד) א) ב) ד"ר ניר שוולב 6 ) מהו מרחב תרגיל.: נתון רובוט בעל דרגות חופש. העבודה של הרובוט )ב( פתור את בעיית הקינמטיקה הישירה. ) כתוב את הטרנספורמציה המתארת את מיקום המפרק הסיבובי השני ביחס לבסיס הרובוט. האוריינטציה והמיקום של יחידת הקצה. פתרון: ) הסבר מהי ) המקום הגיאומטרי של המפרק הסיבובי השני יחסית לבסיס הרובוט הוא מעגל בגובה וברדיוס. עבור כל מיקום כזה התפסנית חופשית לנוע סביב בטבעת עם רדיוס חיצוני ופנימי נתונים. מכאן, שמרחב העבודה יהא טורוס מלא כמודגם. נעיר כי במידה והמפרק הפריזמטי מאפשר זאת הטורוס יכול "להתנפח" במידה כזו שחור הטורוס ייסגר. ) לאחר קביעת מערכות הצירים }{ ו- }6{ ציר Z נקבע בכיוון המפרק הפריזמטי. שתי ראשיתות מערכות הצירים }6{ ו- }9} מתלכדות, אם כן. נרכז את הפרמטרים של DH בטבלה הבאה: Θ i α i a i d i מפרק Θ +9º +Θ +9º 9 נעיר כי בקביעת הפרמטרים הנחנו כי Θ מתאפס בעת שהמפרק הפריזמטי מכוון כלפי מטה. לאחר הצבה בנוסחה )9.9( נקבל:

63 6 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד ; ; :תוצירטמה תלפכהמ לבקתי הרישיה הקיטמניקל ןורתפה (ג ) היצמרופסנרטה איה השורדה (ד ) תצירטמ רוטקוו היצטניירואה :כ םינותנ םוקימה v R ליגרת :.6 ירושימה טובורה ןותנ,רויאב םגדומה אצמ תא תויצמרופסנרטה תא םושרו גרבנטרהו טיבנד ירטמרפ,. :ןורתפה תועמשמ לכ ךרבה תיווזל ןיא יכ בל םישנ,תיטמניק תיווזה השעמלו הווהת.הרישיה הקיטמניקה ןורתפב רטמרפ,הששוא ונלש הנחבהה םיריצה תוכרעמ תבצה רחאל םיריצ תכרעמ }6{.ךרבה תיווזב היולת הניא ללכש הדוקנב המקומ םירטמרפה תא םכסנ :הלבטב םירזגנה

64 ד"ר ניר שוולב 6 תרגילים נוספים 9. פתור את בעיית הקינמטיקה הישירה עבור הרובוט RPP המרחבי המודגם באיור: תשובה: 9. פתור את בעיית הקינמטיקה הישירה עבור מפרק ספרי. )כפי שהוזכר בפרק הראשון המודל עבור מפרק כזה יהא רובוט RRR מרחבי כמודגם באיור. אורכי החוליות עבור רובוט כזה יתאפסו כולם.( תשובה: 9.6 באיור 6, )ראה עמ' 9( מתואר רובוט מרחבי RRPR מדגם.SCARA פתור את בעיית הקינמטיקה הישירה עבור רובוט זה.

65 6 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד :הבושת d d a a a a a 9.6 רויאב יבחרמ טובור םגדומ.RRP לכ תא םושר תויצמרופסנרטה,,.הז טובור רובע :הבושת - - ; ; RRPRR תיטובור עורז הנומתב תוטשפ םשל( "ונקחמ" )דחא יבוביס קרפמ םשב עורז דרופנטס.)המדקה האר(.DH ירטמרפ תא אצמו תוטאנידרואוק תוכרעמ עבק :הבושת

66 ד"ר ניר שוולב 65 Θ i α i a i d i מפרק Θ +9º Θ +9º 9º 9º Θ 9º 5 Θ חשב את הקינמטיקה הישירה עבור הרובוט הצילינדרי RPP - r r z תשובה:

67 הק. ד"ר ניר שוולב 66 ינמטיקה ההפוכה 5 לאחר שלמדנו כיצד לפתור את בעיית הקינמטיקה הישירה, נפנה לדון במצב שכיח: נניח כי זרוע הרובוט נתונה בקונפיגורציה ידועה וברצוננו למקם את התפסנית בנקודה נתונה במרחב העבודה. השאלה הראשונה העולה היא: )מיקום, האם מסוגלת תפסנית הרובוט להגיע ליעד הרצוי אוריינטציה ואו שניהם(? בהנחה שהתשובה לשאלה הראשונה חיובית נרצה כמובן לדעת מהם ערכי המפרקים שיביאו את התפסנית ליעודה הקינמטיקה ההפוכה Kiemati).(Ivere הערה: כפי שניווכח במהלך הפרק, בעיית זוהי בעיית הקינמטיקה ההפוכה קשה ולעיתים אף בלתי פתירה. על אף שלא נעמוד על המקרים הללו נציין שבמקרים כאלו ניתן למקם את תפסנית הרובוט באמצעות אנליזה ליניארית בה נדון בפרק הבא או באמצעות דגימה מקדימה של כל הקונפיגורציות האפשריות )ראו פרק 69( ורישומן בטבלת חיפוש able).(ook Up דוגמא: נתון הרובוט המישורי RR המודגם באיור, ונתון מיקום עבור התפסנית. המפרקים הבעיה הקינמטית ההפוכה מסתכמת במציאת x, y θ, θ המתאימים. כל רצוי ערכי מהתבוננות באיור שמשמאל נקל להבין שקיימים שני פתרונות לבעיה במילים אחרות, עבור הרובוט המישורי RR קיימות שתי אפשרויות להגיע לנקודה הנתונה מרפק עליון ומרפק תחתון dow(.)elbow up, elbow לבד מריבוי הפתרונות, הקינמטיקה ההפוכה מערבת התמודדות עם משוואות טרנסנדטליות )בהם המקדמים עצמם אינם פתרונות של פולינום( משואות כאלו נוטות להיות קשות ולעיתים אף בלתי פתירות. בהקשר די להזכיר את משפט גלואה הטוען כי החל מפולינומים בסדר 5 והלאה, אין נוסחה למציאת כל השורשים. הגדרה: בהינתן הקינמטיקה הישירה של רובוט ובהינתן מיקום R q q d q q d ואוריינטציה R מבקשת למצוא את פרמטרי המפרקים המתאימים הכניסה.6( זוויות,θ i.9 אורכם )α i של הרובוט ב-.q i רצויים של התפסנית, בעיית הקינמטיקה ההפוכה. qq כאשר סימ נו את פרמטרי

68 ב) ג) א) א) א) ב) ד"ר ניר שוולב 67 רובוט ייקרא פתיר (Solvable( אם ניתן למצוא את כל הפתרונות של הקינמטיקה ההפוכה באמצעות אלגוריתם או באמצעות פתרון אנליטי. )ברור שתמיד תהיה עדיפות לפתרון אנליטי מטעמי זמן החישוב והבנת הקינמטיקה של הרובוט(. משפט: רובוטים טוריים בעלי 9 דרגות חופש עם מפרקי R,P בלבד הם פתירים נומרי(. נעיר, שלא כל מטריצה R ווקטור d מהווים סיבוב והזזה פיזיקאליים. נבדוק: )פתרון ) האם R היא מטריצת סיבוב. נזכור שמטריצת סיבוב R מקיימת: R R I; detr ) האם d אפשרית. כלומר האם המיקום הרצוי של התפסנית נמצא במרחב העבודה. ) האם התבנית של R ו- d תואמת את התבנית של הקינמטיקה הישירה. אם נתמקד, לדוגמא, ברובוט RPP מהפרק הקודם )דוגמא 9.( שטרנספורמציית הקינמטיקה הישירה שלו נתונה במטריצה: כיוון שווקטור המיקום של התפסנית נתון כ-,, d על כל מיקום רצוי,. x y של התפסנית לקיים את התבנית הזו וכך לדוגמא x, y, z בהינתן d R, פיזיקאליים, מערכת המשוואות המתקבלת מהשוואתם לקינמטיקה הישירה נקבל: משוואות בלתי תלויות עבור המקרה המרחבי )9 משוואות עבור ºd =d ) המקרה המישורי( עם ºR =R qq נעלמים. ) 6 משוואות עם qq נעלמים עבור המקרה המרחבי )משוואה אחת עבור המקרה המישורי(. אולם, מכיוון שידוע שסיבוב ˆ ניתן לכתוב באמצעות ווקטור יחידה θ, וזווית הסיבוב ˆ תלויות במקרה המרחבי )משוואה אחת עבור המקרה המישורי(. נוספו רק משוואות בלתי בסה"כ קיבלנו 9 משוואות במקרה המרחבי ) משוואות עבור המקרה המישורי( ו- נעלמים. נסמן את ממד מרחב התנועה של התפסנית בו אנו דנים )6=d לרובוט מרחבי, =d לרובוט מישורי( ונמנה את המקרים האפשריים: ) אם =d קיים מספר סופי של פתרונות.

69 ב) ג) ד"ר ניר שוולב 68 ) אם <d לא בטוח שניתן להגיע לנקודה הרצויה באוריינטציה הרצויה. אם >d יש אינסוף פתרונות, שמהווים יריעה -d ממדית. )במצבים מיוחדים אוסף הפתרונות אינו מהווה יריעה, לקורא המתעניין מומלץ לקרוא ]65[( ) לשם המחשה נדגים זאת עבור מרחב הפתרונות הדרישה היא בו על מיקום התפסנית ללא דרישה על האוריינטציה שלה )במקרה כזה =d(: מרחב הפרמטרים האבסטרקטי המפרקים לרובוט שני מפרקים )=(. במצב זה קיימות שתי קונפיגורציות לכל מיקום גנרי של התפסנית. מפרקים לרובוט שלשה במצב זה קיים )=(. מרחב רציף בן ממד יחיד של גנרי מיקום לכל קו כזה יהא התפסנית. מסלולים של איחוד סגורים. מרחב הפרמטרים עבור RRRR מישורי רובוט הוא 9 -ממדי )=(, ולכן בטבלה נאלצנו להציג חלק מהקואורדינאטות. אף על פי כן, האיור מציג יריעה דו ממדית כנטען. על רובוט במרחב תלת ממדי לקיים 9 משוואות אילוצים, ולכן בכדי לאפשר מיקום תפסנית במרחב השש ממדי נצטרך לפחות 9 מפרקים. עם זאת, קיימת עדיפות לרובוטים יתירים Robot) (Redudat )כלומר כאלו בעלי יותר מ- 9 מפרקים(, בכדי לאפשר יתר תנועתיות לדוגמא ראו ]69[ ברשימת המקורות.

70 ד"ר ניר שוולב 69 התשובה לשאלה בדבר קיום פתרון לבעיית הקינמטיקה ההפוכה תלויה כמובן באופן התכנון של הרובוט, לבד מהשיקולים המתמטיים הננקטים. לדוגמא, תנועת מפרקים סיבוביים יכולה להיות מוגבלת - ובאופן זה, לא כל פתרון מתמטי יהיה קביל. לאור האמור, ברור שלאחר מציאת פתרון מתמטי חובה עלינו לבדוק האם הוא קביל. בחירת הפתרון: בכדי לבחור מתוך קבוצת הפתרונות עבור בעיית הקינמטיקה ההפוכה, עלינו לכלול שיקולים נוספים על אלו הגיאומטריים. בדרך כלל אחד או יותר מהטיעונים הבאים נשקלים: )א( במקרה שקיימים מכשולים במרחב העבודה נעדיף למקם את זרוע הרובוט רחוק מהם ככל האפשר. )ב( נרצה להקטין ככל הניתן את שינוי הפרמטרים של המפרקים מערכם הנוכחי. )ג( נרצה לשנות באופן מינימאלי את תזוזת החוליות. )ד( נרצה לשנות באופן מינימאלי את החוליות הכבדות. כלל אצבע: הפתרונות לקינמטיקה ככל שיותר פרמטרים ההפוכה. a מסוג לדוגמא: של דנביט והרטנברג עבור רובוט פומה קיימים לכל היותר פתרונות לבעיית הקינמטיקה ההפוכה. מתאפסים, )ראה איור( כך קט ן מספר ולכן i לכל = i a.: תרגיל 9. בתרגיל הישירה נתונה בטרנספורמציה ראינו כי עבור הרובוט RPR הטורי. פתור את בעיית הקינמטיקה ההפוכה. המודגם באיור הקינמטיקה α α α α α α 6 6 α α α α α α

71 7 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד ןורתפ איה הכופהה הקיטמניקה :ןורתפ :תיצירטמה האוושמה P P P R z y x,לע טבמב טיבנ ןורתפה תא טשפל ידכב.םיירטמואיג םירשקב שמתשנו תוארל ןתינ רויאהמ ל יוטיבהש,P x +P Y םירביאה םיעובירה םוכס רמולכ( הצירטמב )9,9( )6,9( ) -ב קר יולת.θ 9 Y X α 5 6 α P P a תיווזה רובע האלמה תונורתפה תצובק תא אוצמל ידכב θ 9 תא דדובנ תאו. 6 α 5 Y X α P P - a :ןאכמו 6 α 5 Y X α 6 P P - a - C

72 ד"ר ניר שוולב 7 ata - a α PX PY 5 בכדי למצוא את הזווית נתמקד בזווית ובנוסף, קיבלנו את הביטוי ל :θ 6 θ 6,-a P P α α X Y 5 α נשים לב שקיימים ארבעה פתרונות לזווית θ. 9 P P α - α P P φ 5 6 X Y X φ BAP תוך שימוש במשפט הקוסינוסים. Y : ושוב נמצא ביטוי עבור ומשני הביטויים נקבל את הביטוי עבור ata α P P α P P, α P P X Y X Y 5 6 X Y 5 6 כאמור ל- שני ערכים ומכאן לקיימים שני ערכים גם ל. וכמובן:. ניתן לחלץ את פרמטר המפרק הפריזמטי מהשוויון המטריצי או Pz 6 θ φ atg PY, PX מהתמונה הגיאומטרית ולקבל: עבור הבעיה הקינמטית ההפוכה.. לסיכום: קיימים ארבעה פתרונות :.5 תרגיל מהו מרחב העבודה ומרחב ה- Dexterity של הרובוט R המישורי שבאיור? מצא את הקינמטיקה ההפוכה, כלומר התפסנית צמודה למפרק עבור הרובוט כאשר השני ויכולה להסתובב סביבו. פתרון: מרחב העבודה של הרובוט הוא הטבעת המישורית, ε i i i אשר הרדיוס המינימאלי והמקסימאלי שלה נתונים כערכי הקיצון של הסכום כאשר אם והאינדקס i i מונה את החוליות. למעשה, מרחב העבודה עבור כל רובוט, מישורי בעל מספר שרירותי של מפרקים סיבוביים יהא טבעת מישורית שהרדיוס המינימאלי והמקסימאלי שלה נתונים בביטוי זה. במקרה שלנו נקודה (x,y) תמ צא בתוך מרחב העבודה. מרחב ה- Dexterity במקרה זה זהה למרחב העבודה x y כיוון שבכל נקודת עבודה יכולה התפסנית לבצע סיבוב מלא. בכדי למצוא את הקינמטיקה

73 7 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד הטושפ םיריצה תוכרעמ תבצה.הרישיה הקיטמניקה תא תישאר רותפל ךרטצנ הכופהה האר(, רויא.)6 קרפ - A ; - ; - הרישיה הקיטמניקה תא תגציימה היצמרופסנרטה :הצירטמב,ןכ םא,הנותנ - רשאכ θ θ θ o C. רוכזנ,ירושימה הרקמבש תינספתה לש היצטניירואה :היהת ונלש טובורה רובע הכופהה הקיטמניקה תייעב.תחא תיווז תועצמאב תעבקנ θ θ θ θ y x האוושמה תא תיצירטמה תאוושהמ ונלביק ליעלש היצטניירואהו םוקימ רוטקוול םייוצרה θ y x. פ"ע,םיסוניסוקה טפשמ עודי oφ - y x רובע ןיב תיווזה.תוילוחה תיווזל םיקרפמה ירטמרפ ןיב רשקה התע הז ונאצמש :םירויאב ןותנ φ π θ הלעמל קפרמ φ π θ הטמל קפרמ

74 ד"ר ניר שוולב 7 ניתן לנסח את בעיית הקינמטיקה הישירה מטריציונית באופן הבא: x y k k - k k נכפיל במטריצה ההופכית ונשתמש בשיטת קרמר לפתור את המשוואה: k k k - k k k x y את הזווית נחשב מתוך הקשר:. ata, הזווית. תתקבל מהקשר נשים לב שכאשר x=y= הפתרון אינו מוגדר. במצב זה הזווית שרירותית. קיבלנו שני פתרונות )מרפק עליון ומרפק תחתון( לבעיית הקינמטיקה ההפוכה. לבסוף נשים לב שבמצב בו הזרוע מתוחה שני הפתרונות מתלכדים. בעיית הקינמטיקה ההפוכה אינה פשוטה, עם זאת, מתברר כי עבור רובוטים בעלי 9 דג"ח בהם לפחות שלשה צירי מפרקים נחתכים )כמו ברובוט סטנפורד, וברובוט פומה( ניתן לחלק את הבעיה לשתי תת בעיות קלות יותר: בעיית המיקום )בה נחפש את קבוצת ערכי המפרקים בכדי להגיע למיקום תפסנית רצוי(, ובעיית האוריינטציה )בה נחפש את קבוצת ערכי המפרקים בכדי להגיע לאוריינטציית התפסנית הרצוי(. במילים אחרות בכדי לפתור את הבעיה קינמטית ההפוכה ראשית נמצא את הפרמטרים שממקמים את פרק הזרוע במיקום הנכון ולאחר מכן נבחר את הפרמטרים המתאימים לקבלת האוריינטציה המבוקשת. משפט :)Pieper( לרובוטים טוריים בעלי 9 דרגות חופש עם צירים עוקבים, שנחתכים בנקודה 6. יש פתרון אנליטי מלא. בכלל זה גם רובוטים עם צירים מקבילים עוקבים שכן הם "נחתכים באינסוף". )המשפט חל על מרבית הרובוטים התעשייתיים( דוגמא: נתמקד ברובוט שש דרגות חופש 6R מרחבי בשם פומה (Puma) שהודגם באיור 9 לעיל )למעשה, מיקומי המפרקים עבור דגמים שונים של רובוט פומה ממוקמים באופן שונה זה מזה כאן נדון במבנה "הערום" של הרובוט(. רובוט זה נמצא בשימוש רב בתעשייה ומשמש לאפליקציות ריתוך ולמשימות הרכבה. שכיחותו של

75 ד"ר ניר שוולב 7 רובוט פומה נובעת מפשטות הפתרון הקינמטיקה ההפוכה שלו כפי שנדגים כעת. נשים לב, ששלושת הצירים הרחוקים מהבסיס )אלו קרויים מפרקים "דיסטאליים" בספרות, להבדיל מהמפרקים "הפרוקסימאליים" כלומר אלו הקרובים לבסיס הרובוט( נחתכים כולם בנקודה Θ לא ישפיעו על מיקום נקודה.P במצב הזה,Θ 5 כמודגם באיור, כלומר, סיבוב,Θ 6 P נחלק את בעיית הקינמטיקה ההפוכה לשתי תת-בעיות. בהינתן מיקום התפסנית d ומטריצת הסיבוב R, מצא את P שמתאימה להם. מכאן מצא את.Θ,Θ,Θ מצא Θ בהינתן d, R ו-,Θ,Θ את.Θ,Θ 5,Θ 6 בכדי לפתור את הבעיה ההפוכה מפורשות, נפתור, ראשית, את הקינמטיקה הישירה: נבחר כהרגלנו את כווני המפרקים להיות כווני צירי Z. נשים לב כי שלושת הצירים Z Z, 5 Z, 6 נחתכים בנקודה אחת. צירי X נבחרים כהמשכי המרחקים בין צירי Z הקודמים להם לבין צירי Z של המערכת הנוכחית. לסיום, לשם נוחיות, את כוון X במערכת }{ נבחר בכיוון X DH בטבלה. הצבה בנוסחאות המתאימות )ראה :) במערכת }6{. ריכזנו את הפרמטרים של פרק קודם( תניב את הטרנספורמציות )שימו לב כיצד בחרנו למדוד את הזווית מפרק Θ i α i a i d i Θ 9 Θ Θ Θ -9 5 Θ Θ 6

76 75 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד הקיטמניקה תייעבל ןורתפה הרישיה 6 הלפכההמ לבקתי לש.תויצמרופסנרטה p p p 6 רשאכ p p p :םיינשל הכופהה הקיטמניקה תייעב תא ןכ םא קלחנ תישאר םיקרפמה תויווז תא ץלחנ םיילאמיסקורפה,Θ,Θ Θ : ןתניהב R, d תינספתה םוקימ,המאתהב בוביסה תצירטמו םוקימ θ, θ, θ P יוצרה לש היצקנופכ םיקרפמה תויווז רשקה תועצמאב ןותנ ê d - R,, P. תא םיקרפמה תויווז,Θ,Θ Θ :אבה ןפואב בשחל לכונ

77 ד"ר ניר שוולב 76 ולכן P, θ,θ XY,θ P C x y z גיאומטרית, אם נביט בהיטל של הנקודה על מישור r ולכן שיעורי הנקודה על המישור יהיו מרחקה מראשיתו יהא. מנקודת מבט זו נקל r, r לנחש את מערכת המשוואות המפושטות: θ ata z x y x y y, x x y הסימנים במשוואה הראשונה והשלישית מציינים את שתי האפשרויות למיקום אפשרי של הזרוע: סימן חיובי מציע את האפשרות בו מפרק }{ מצוי ברביע הראשון של מישור,XY בעוד שסימן שלילי מציע את האפשרות בו המפרק מצוי ברביע השלישי. פתרון זוג המשוואות הראשון זהה לתרגיל 5.9 שפתרנו. Θ מצאנו אם כן שני פתרונות לערכי המפרקים Θ, Θ, המתאימים לכיוון הזרוע )"ימין ושמאל"(. בנוסף לכל פתרון כזה קיימים שתי פתרונות אפשריים המתאימים למצב מרפק. Θ עליון ומרפק תחתון. סה"כ התקבלו פתרונות לערכי המפרקים Θ, Θ, הערה: אם x=y= הפתרון סינגולארי, בפרק הבא נעמוד בהרחבה על הסיטואציה הזו. בכל מקרה שימו לב שבמקרה זה P C אין חשיבות ל- - Θ כל ערך שלה אפשרי. נמצא בדיוק מעל נקודת הבסיס, וברור שבקונפיגורציה כזו כעת נפנה לחלק השני של בעיית הקינמטיקה ההפוכה, הדיסטאליים :Θ,Θ 5,Θ 6 ידוע כי כלומר נמצא את ערכי המפרקים

78 ד"ר ניר שוולב 77 R 6 R R 5 5 R נסמן R 6 R R R R R 6 נכפיל משמאל את הקשר R ב- לקבלת R R r R r r r r r r r r וקיבלנו את המשוואה: r r r r r r r r r נתמקד בשני זוגות האיברים )6,(,)9,( ו-),9(,),6 ( ונקבל: r r r r θ ata,, θ6 ata,, θ5 ata r, r r נשים לב שקיימים שני מקרים המסומנים בסימנים חיובי ושלילי באיבר האחרון, בהתאמה. מצאנו אם כן שני פתרונות לערכי המפרקים Θ, 5 עבור לכל כיוון 5 5 ועבור זרוע )"ימין ושמאל"( ולכל מצב מרפק. בסה"כ התקבלו 7 פתרונות לערכי המפרקים, 6 Θ,. Θ,Θ,Θ, Θ,Θ 5 5 הערה: המקרה האחרון בו הינו מקרה סינגולארי בו חוליות }9{ ו }5{ מתלכדות. נקבל: R 5 ב- 6 אם נציב.θ 5, במקרה זה π o(θ θ6 ) i(θ θ 6 ) i(θ θ 6 6 o(θ θ ) ) r r r r r r r r r, θ כלומר במקרה הסינגולארי התקבלו אינסוף פתרונות עבור θ6 ata r, r ונקבל.θ, θ 6

79 ד"ר ניר שוולב 78 תרגיל.6: פתור את בעיית הקינמטיקה ההפוכה עבור הרובוט באיור. פתרון: כזכור, את הבעיה הישירה פתרנו בפרק הקודם. אעפ"כ נפתור את הקינמטיקה ההפוכה באופן גיאומטרי ללא שימוש בתוצאות שקיבלנו. נסמן ב- ) Y (P X,P את נקודת התפסנית. עתה נתמקד במשולש המודגש ונקבל את הקשר PX PY d כאשר סימנו ב- d את הניצב הקצר. נחשב את ערך הזווית ממול לניצב d על פי: ata d, הזווית β שבין P X P d Y ציר X של מערכת }{ לתפסנית ) Y (P X,P יחושב כ β ata ולבסוף נקבל: θ P β- ata Y,P X PY,PX - ata d, PX PY d שימו לב שהתקבלו שתי פתרונות מהם? תרגיל יש :. מהו מרחב העבודה של הרובוט RPR המרחבי הנתון באיור?, מהו ה pae- dexterity שלו? להביא את התפסנית למיקום לאוריינטציה שלה. x y ללא חשיבות z מהם ערכי הפרמטרים במפרקים בכדי לאפשר זאת? כמה פתרונות לבעיה? פתרון: מרחב העבודה של הרובוט הוא אוסף הנקודות אליהן יכולה התפסנית להגיע. עבור הרובוט הנוכחי, המפרק הראשון יסובב את המשך הזרוע ו והתפסנית סביב ציר Z, שימו לב שהתנועה תישמר תמיד בגובה. אורך הקטע המחבר בין התפסנית לבסיס הרובוט הוא כאשר פרמטר המפרק הפריזמטי משתנה כמובן בין שני ערכי קיצון. לכן מרחב העבודה יהא טבעת מישורית בגובה. ה- pae dexterity של הרובוט מוגדר להיות אוסף הנקודות במרחב העבודה בהן חופשית התפסנית להסתובב. במקרה שלנו זהו מרחב

80 ד"ר ניר שוולב 79 ריק, לבד מהמקרה בו מתאפס, או אז בקונפיגורציה בה גם יתאפס יהא ה dexterity pae- נקודת המרכז במרחב העבודה.. z כעת, אם נתמקד במשולש ישר הזווית ברור שתנאי מקדים לקיום פתרון הוא ש. x חישוב הזווית y הנחסם על ידי ו )ממבט על( נשכיל להבין כי במפרק הסיבובי שבבסיס הרובוט יהא אם כן: α ata β ata y, x θ π β- α, זווית המפרק הסיבובי האחרון אינה רלוונטית כמובן לבעיה. ולכן התקבלו שתי קבוצות הפתרון האינסופיות:.,,, θ,-, θ תרגיל.: בשרטוט נתון הרובוט המרחבי,RRP בעל דרגות- חופש. פתור את בעיית הקינמטיקה ההפוכה שלו. פתרון: מתוך הקינמטיקה הישירה שקיבלנו בתרגיל 6: העמודה האחרונה מייצגת את וקטור המיקום של התפסנית: x y z

81 ד"ר ניר שוולב 8 x ; y ומכאן נשים לב שהביטוי והמפרק הסיבובי הראשון יקיים יכול להיות שלילי או חיובי כתלות ב-. θ,.θ ata ata y, x ולכן, θכאשר ata המפרק סיבובי השני יקיים x ; z בהנחה ש יכול להיות חיובי או שלילי, הפתרון יהא:. θ נשווה את רכיבי ה- Z עבור המפרק הפריזמטי ונקבל: θ ;θ x - ata, z -. לסיכום, קיבלנו שני פתרונות ל עבור כל ערך של התקבלו שני θ θו- ולכל זוג ערכים של θ, z פתרונות ל התקבלו, אם כן, ארבעה פתרונות לבעיית הקינמטיקה ההפוכה. מצאנו ערך יחיד למפרק הפריזמטי. בסה"כ :.6 תרגיל נתון הרובוט הקצה למיקום ( Y )P X,P מצא מהם פרמטרי שבאיור הבא. נתון, יש להביא את יחידת כך ש יי טה בזווית α יחסית לציר המפרקים הדרושים לקיים דרישה זו..X כמה פתרונות לבעיה? פתרון: מתרגיל. ידוע כי הטרנספורמציה הקינמטיקה הישירה היא המייצגת את : - הדרישה היא:

82 א) ב) ד) ו) ג) ה) ד"ר ניר שוולב 8 - α α α α p x p y α ; α ומהשוואת האיברים )6,6( ו-) 6,9 (, נקבל כלומר ומכאן נקבל, θ θ ata α, α. θ θ כעת ניתן לפתור את זוג α המשוואות.. ) מצא,, תרגיל.8: נתון הרובוט המרחבי RRP שבאיור. ) צייר את מרחב העבודה של הרובוט והסבר. ) מצא ) מצא מטריצות טרנספורמציה ) חשב את הקינמטיקה ההפוכה. באם הדרישה היא על מיקום ) קבע מערכות צירים על הרובוט. פרמטרי DH ורשום בטבלה. את מיקום יחידת הקצה. התפסנית, כמה פתרונות לבעיה? פתרון: א) ) המפרק הסיבובי q מסתובב סביב z,, z המפרק הסיבובי q מסתובב סביב והמפרק הפריזמטי נע לאורכו של z. מרחב העבודה הינו ספרה מעובת )מלשון ע ב ה( שמרכזה q והיא קטומה בתחתיתה. הקטימה נובעת מקיום רצפה. מפרק q משתנה לאורכו של z ויוצר חלל במרחב העבודה כמודגם באיור. רדיוס מרחב r מקבל את ערכי העבודה הקיצון שלו כאשר ערך המפרק הפריזמטי מקבל ערך מקסימאלי ומינימאלי.

83 8 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד Joit Θ i α i a i d i Θ +9º Θ +9º תיווזה הרחבנ דציכ בל ומיש. Θ (ד ) החסונב הבצה )9.9( תא ןתית תויצמרופסנרט :הרישיה הקיטמניקה ; ; ; - ב הנותנ הצקה תדיחי לש היצטניירואה, רונימה תצירטמכ תינמיה הנוילעה ב םוקימהו לש תיעיברה הדומעב ןותנ : d ; - R (ה ) ונל עודי םוקימה רוטקו d :יוצרה z y x p p p

84 ד"ר ניר שוולב 8. p p x y, ומכאן עבור המפרק הסיבובי הראשון נקבל מכיוון. ata p y p, x d שהביטוי כתלות ב- נוכל לרשום יכול להיות שלילי או חיובי. θ ata p y, px כדי למצוא את ערך המפרק הפריזמטי במשולש ישר הזוית BCP שיוצרות הצלעות נתמקד ו. נתמקד כעת במשולש ישר הזווית,ABP הזווית p p x p y z ואז AP p x p y p z נקבעת על פי אורך היתר שלו ושיעורי הבסיס APB. כיוון שנמנע מאיתנו השימוש בפונקציה ata )שתי המשוואות הראשונות אינן p x p y יכולות לספק את שיעורי ה i וה o של הזווית( יש לתת יתר תשומת לב לעניין ריבוי פתרונות, ובמקרה זה ברור שקיימים שני פתרונות קבילים ל.) θ ו- הזווית θ. PBC APB APB )עבור ao נקבעת באופן יחיד, מכאן p x p p x y p y p PBC ata z, לסיכום, התקבלו 9 פתרונות אפשריים לבעיית הקינמטיקה הישירה:

85 8 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד ליגרת :.7 טובור לש הרישיה הקיטמניקה הנותנ לעב 9 :שפוח תוגרד רוטקווש ךכ םיקרפמה תויווז תא אצמ יתורירש V היעבל תונורתפ המכ.הלעמ עיבצי תינספתה תכרעמב? :ןורתפ ןויוושה תא םייקל שורד V רוטקווב ןורחאה רביאה תא ןאכ ונרחב( לש היצטניירואב םיניינעתמ ונאש ןוויכ ספא תויהל ינגומוהה V )דבלב רשאכ z y x v, v, v V.הדיחי רוטקו אוה רשקה תא לבקנו טשפנ x y v v :ןכלו x y x y v, v ata v, v ata θ לבקל לכונ השירדל ףסונב םג v v v v v v z x y y x z. תא רותפנ :לבקנו רמרק תטישב תואוושמה תכרעמ ; v v x y z v רשאכ : z x y y x z v v v v v v det כ"הסו z x y v, v v ta a תיווז לכל תיווז המיאתמ.הדיחי םנשי ןכלו 9 תונורתפ היה ןתינ אלש בל ומיש.היעבל תיווזה תא ץלחל.תורישי רשאכ z v,, V עובקל ןתינ אל השעמל יהוזו.תיראלוגניס היצרוגיפנוק םיפסונ םיליגרת

86 ד"ר ניר שוולב 85 עבור הרובוט RR המישורי שבאיור, נתון כי זוויות המפרקים מוגבלות לתנועה: / כתוב תוכנית Matab שמחשבת את מרחב העבודה. וכן 5.6 תשובה: 5.6 פתור את הקינמטיקה ההפוכה עבור הרובוט שהוצג בשאלה 9.69 כאשר הדרישה היא על מיקום יחידת הקצה והאוריינטציה שלו. כמה פתרונות לבעיה? R. y x a ta, z z, r x y תשובה: 5.66 עבור הרובוט המישורי RRR שבאיור פתור את הקינמטיקה ההפוכה. כמה פיתרונות לבעיה?,, x y o y r x r תשובה: a ta, a ta, r כאשר ו- כאשר a ta r, r. לבעיה 9 פתרונות. R R r r r r r r r r r שבאיור 5.69 פתור את בעיית הקינמטיקה ההפוכה של הרובוט המרחבי RPR )שעסקנו בו. כמה פתרונות לבעיה? R בשאלה 9.9( עבור מיקום ואוריינטציה

87 ד"ר ניר שוולב 86, y x at a,, x y תשובה: לבעיה שני פתרונות. R R r r r r r r r r r כאשר a ta r, r 5.6 פתור את בעיית הקינמטיקה ההפוכה לרובוט R המרחבי הבא. כמה פתרונות לבעיה ההפוכה, אם ידוע שהקינמטיקה הישירה היא: ta t, o x y z תשובה:. z t z t כאשר r כאשר y r x r a ta, a ta, רמז: השתמשו בקשר הטריגונומטרי ל- ta חצי זווית. פתור את הקינמטיקה ההפוכה עבור 5.69 הרובוט שהוצג בשאלה כמה פתרונות לבעיה? תשובה: לבעיה 9 פתרונות הקינמטיקה הישירה לרובוט המרחבי שבאיור נתונה להלן. פתור את PPRRR בעיית הקינמטיקה ההפוכה. כמה פתרונות לבעיה?. t ta, o כאשר t t, i ו- t במקום t כלומר הצבת במקום

88 87 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד * * * :הבושת y x, x, y at a, 5 r o, 5 5 r, r a ta היעבל,.תונורתפ 9

89 א. ד"ר ניר שוולב 88 נליזה 9 ליניארית מן הסתם, ישנן פעולות שעדיפה עבורן תנועה איטית של התפסנית )לדוגמא, הגעה לקרבת אובייקט במרחב העבודה( וכאלו שעדיפה בהן דווקא תנועה מהירה )לדוגמא, שינוע חלק לנקודה אחרת(. אנו מעוניינים לבצע, אם כן, מסלול תלוי זמן של התפסנית. וכך אחת ממטרותינו בפרק זה תהיה לקבוע את מהירות התפסנית בכל לשלוט במהירות נקודה במסלול. המפרקים, לאמור, נרצה בכדי לקבל מהירויות רצויות בתפסנית. המעבר הזה, בין המהירויות יתאפשר בסינגולאריות במפרקים למהירות התפסנית באמצעות מטריצת היעקוביאן קינמטית של רובוט טורי. תהיה סינגולארית, אך בזאת נעסוק רק בפרק הבא(. (Jaobia Matrix) )מטרתנו השנייה לדון היא זו האחרונה תתרחש בעת שמטריצת היעקוביאן עד כה עסקנו בקביעת טרנספורמציות הקינמטיקה הישירה וההפוכה. כאשר ההפוכה,כאמור, מאפשרת לנו לעקוב בעזרת התפסנית אחרי התקדמות התפסנית לאורך המסלול. יחידת הקצה והמהירות, Rt t,d t הזוויתית המהירות הזוויתית מסלול רצוי. כעת נרצה לקבוע גם את קצב בהינתן מיקום ואוריינטציה תלויי זמן רצויים של נוכל לגזור את השניים לפי הזמן ולקבל את המהירות הקווית Ω t, v של התפסנית. מהמטריצה Ωt ω,ω, ω x y z מטריצת היעקוביאן J המקיימת: ולבטאה כווקטור. נסיק בהמשך מהי מטרתנו נכון לעכשיו היא לבנות את כאשר 6=d למקרה המרחבי, ו- =d למקרה המישורי. הערה: למעשה מטרתנו היא ביצוע ליניאריזציה על הקינמטיקה הישירה. פעולה כזו נעשית באמצעות גזירת משוואות האילוץ של הרובוט לפי הזמן. נזכור שמשוואת האילוץ היא, Q F OU Q i כאשר Q OU q,q,..., q מסמן את קואורדינאטות התפסנית Q ו-, IN,..., m המוכללות )סיבוביות או פריזמטיות) "ביציאה" את וקטור

90 ד"ר ניר שוולב 89 הקואורדינאטות המוכללת )סיבוביות או פריזמטיות) "בכניסה". כלומר זוהי מערכת. qi Fi גזירה לפי הזמן תניב את השוויון:,,..., משוואות מהצורה m J כאשר Q היא מטריצת היעקוביאן. הביטוי המפורש שנקבל dq F dq dt dt F F dq dt F OU F m t t F m t m F Q IN Q t IN JQ IN יהיה אם כן: (6.) ערכי האלמנטים במטריצה אינם קבועים ומשתנים מקונפיגורציה לקונפיגורציה. R דוגמא: נתונה ע"י צמד עבור המכאניזם המשוואות המישורי שבאיור, הקינמטיקה הישירה ;. x נגזור אותן ונקבל y θ θ. v כאשר θ היא המהירות הזוויתית במפרק x θ; θ v y θ כמו גם המהירות הזוויתית של יחידת הקצה. אם נרשום את שלשת v x θ v כאשר y θ ω z θ θ המשוואות בצורה מטריצית נקבל: וקטור "הכניסה" הוא וקטור המהירויות הליניאריות והסיבוביות במפרקים, ווקטור "היציאה" יהא וקטור המהירויות הליניאריות והסיבוביות של התפסנית. התבוננו וכך תמיד יהיה, ערכי q q v v v ω ω θ θ!θ שבדוגמא, היא תלויה בזווית J במטריצת היעקוביאן θ x y z האיברים במטריצת היעקוביאן תלויים בקונפיגורציה! דוגמא נוספת: כאמור, הקינמטיקה הישירה של הרובוט המישורי RR נתונה ב:

91 ד"ר ניר שוולב 9 x θ θ y θ לשם פשטות נתעניין במיקום יחידת הקצה בלבד ונגזור את מערכת המשוואות בכדי לקבל את הביטוי ליעקוביאן: dx dt dy dt x t y t x y t t - - v אם ננסח את מערכת המשוואות באופן מטריצי נקבל באופן זה נוכל לחשב את היעקוביאן, אך כיוון שבד"כ הגזירה מייגעת ואיננה יעילה נתמקד בהמשך הפרק במציאת דרך יותר מובנית למציאת היעקוביאן. y t באופן יותר x נתון מיקום קבוע במערכת התפסנית )כלומר זהו וקטור הרשום במערכת התפסנית וצמוד אליה(. במערכת העולם y t R t x למיקום אותה הנקודה. נוכל לכתוב d t R(t) היא מטריצת הסיבוב התלויה בזמן ו-( d(t מיקום התפסנית שגם הוא תלוי בזמן. אם נגזור את yt שוויון המהירויות את נקבל את R(t) ניתן. t R tx d t y לגזור, איבר איבר. עם זאת, בהמשך לנסח ביטוי יותר פשוט ל- נוכיח כעת משפט שיעזור לנו, ובסופו של דבר, יאפשר לבטא את R t אלגנטי. x מטריצת סיבוב, ו- R(t) )כאשר yt Rtx טענה: עבור כל טרנספורמציה dt הוא וקטור הרשום במערכת התפסנית, צמוד אליה וקבוע בה( קיים וקטור ω המייצג את R, R t ומתקיים השוויון: tx ω yt- dt מהירות הסיבוב של (6.) כיוון שלרובוט שטיפלנו בו יש רק מפרקים סיבוביים גזרנו לפי זוויות המפרקים. עבור רובוט כללי, יופיעו ביעקוביאן גזירות גם לפי הפרמטרים של המפרקים הפריזמטיים שלו.

92 ד"ר ניר שוולב 9. S u u S הוכחה: ראשית נשים לב שכל מטריצה אנטי סימטרית מקיימת בכדי להיווכח בזה נשים לב שכל מטריצה אנטי סימטרית נראית בהכרח כך, ונסמן. R R נגזור את המשוואה ונחשב את שני צדי השוויון. לשם נוחות נסמן את - - I AB B A - R R -. S S נזכור שעבור כל מטריצת סיבוב R ידוע ש- לפי הזמן ונקבל ולכן כיוון ש- ונוכל להסיק נוכל לרשום היא מטריצה R ש- R R R R. RR - RR R R - R R - R R ω. R ונרשום: S R R אנטי סימטרית עבור כל מטריצה לאור האמור נוכל להסיק ש- tx R ti x R tr t R t x SωR tx ω yt- dt. I t Rtx לקבלת השוויון האחרון השתמשנו בקשרdt y y t Rtx t דוגמא: נתמקד בטרנספורמציית סיבוב ומפורשות סביב ציר Z כלומר. R נחשב ω היא אמנם o x i φ φt - iφt φt oφt נוכל להיווכח כי x xo y xi z S ω R R ע"פ φt yiφ t φt yoφ t R z - trt φ

93 ד"ר ניר שוולב 9 R t - iφ x φ oφ - oφ - iφ x - xiφ yoφ y φ xoφ yiφ z z סיבוב סביב ציר Z. כעת ω y t î xoφ yiφ ĵ xiφ yoφ kˆ φ z - xiφ yoφ φ ומצד שני xoφ yiφ כצפוי, התקבל שוויון. כעת, משברשותנו האפשרות לבטא את השפעת המהירות הזוויתית על מהירות יחידת הקצה, נפנה לכתיבה מפורשת של היעקוביאן. כל מפרק ברובוט תורם תנועה סיבובית או ליניארית )9.6( ליחידת הקצה. מתמטית נוכל להיווכח בכך אם נרשום את משוואה כאשר מייצגים כ- J את היעקוביאן המתאימים, J i A i v J ω J A J J A J J A q q למהירות הסיבובית ולמהירות הליניארית בהתאמה. נוכל גם לרשום v J J J q ונקל להבין שכל פרמטר מפרק q i תורם q q ω J A J A J A למהירות הליניארית והסיבובית של התפסנית. ברור שתרומת מפרק סיבובי תהא שונה באופייה מזו של מפרק פריזמטי. נפרוט, אם כן, את התרומה למהירות יחידת הקצה כפי שנתרם ממפרק פריזמטי או מפרק ליניארי. i-. bˆ וקטור סימון: וקטור יחידה בכיוון הציר של המפרק ה- i כמתואר באיור הבא יסומן ב )i-6( כזה נתאר במערכת עולם. הוקטור, מראשית מערכת ה- לראשית התפסנית כמודגם באיור הבא, יסומן ב -i. r וקטור כזה נתאר במערכת עולם. הווקטורים הרלוונטים לחישוב היעקוביאן עבור מפרק סיבובי וליניארי

94 ד"ר ניר שוולב 9 יקל עלינו להבין כיצד יראה הביטוי לתרומת המהירות הקווית, אם נרשום רק את השוויון v J q למהירות הקווית של התפסנית. J q J q נניח ללא הגבלת הכלליות שהמפרק {i} פריזמטי. במקרה זה התוספת למהירות הקווית של התפסנית v תהיה פשוט מהירות המפרק d )אם נקבע את כל שאר המפרקים, תהיה i. J J נניח i q i bˆ i- d i bˆ i-. ומכאן i מהירות התפסנית בדיוק מהירות המפרק(, כלומר כעת שהמפרק {j} סיבובי. במקרה זה התוספת למהירות הקווית של התפסנית v תתקבל q אזי מהנוסחה )9.(, כלומר: אם מהירות הסיבוב של המפרק נתונה כ- ω φ j j q J A q. J j bˆ j- r j- כלומר J j j j q ω r j- φ bˆ j- r באותו אופן נרשום רק את הביטוי לתרומת המהירות הזוויתית ω J של התפסנית. נניח שוב שהמפרק {i} פריזמטי. במקרה זה אין תוספת למהירות הזוויתית של התפסנית ω ולכן )להמחשה, דמיין קובייה המונחת על שולחן, האם הזזת השולחן תגרום לסיבוב הקובייה?(. ושוב נניח שהמפרק {j} סיבובי. במקרה זה התוספת למהירות הקווית של JA j q w j j φ bˆ j- JA i j- התפסנית תהא )להמחשה, מהי מהירות הסיבוב של קרוסלה אשר. לסיכום, עמודה במטריצת היעקוביאן תהיה: J J j A j bˆ rj bˆ j- j- JA j bˆ j- בעצמה מקובעת לקרוסלה?( כלומר J bˆ Ji i- A i עבור המקרה הפריזמטי עבור המקרה הסיבובי (6.) לדוגמא: עבור רובוט מישורי, בעל מפרקים סיבוביים, כל b i םי- הם בכיוון Z, ולכן המהירות ω היא סכום המהירויות הזוויתיות θ של כל,, θ הזוויתית של התפסנית. ω J q J q θ θ המפרקים. θ. bˆ j-, r j לאור )9.9( ברור שהאתגר העיקרי בכתיבת היעקוביאן הוא בחישוב הווקטורים בכדי להקל על הבחירה שלהם נוכל להיעזר במבנה המטריצה המייצגת את הקינמטיקה הישירה. A

95 ד"ר ניר שוולב 9 i ) P i הביטו במשוואות )9.6( ו-) 9.6 (. כזכור, העמודה הרביעית מסמנת את המיקום של המערכת i, יחסית לעולם. )תסומן כ- במטריצה ולכן.r i = P - o P עוד נזכור שהעמודה השלישית מסמנת את כיוון ציר Z i במערכת העולם, כלומר זהו הוקטור b. i i a a x y a z p x p y p z (6.5) וכאמור: (6.6) כאשר: r i p - p i (6.7) וניקח תמיד: P ; b (6.8) צירוף נוסחאות )9.9(,)9.5(,)9.9(,)9.( )9.( מאפשר חישוב מלא של מטריצת היעקוביאן מתוך ידיעת הקינמטיקה הישירה. תרגיל 6.: מצא את היעקוביאן של הרובוט RR המישורי המודגם באיור שלעיל. רשום את המשוואה הקושרת בין מהירות המפרקים למהירויות התפסנית. תשובה: הביטו באיור, להצבת מערכות הקואורדינאטות, טרנספורמציות הקינמטיקה הישירה הן: - ; -

96 95 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד - -מ ןכלו לבקנ p -ו b -מו )9.( -ש םיעדוי b ; P. החסונמ )9.9( :ש םיעדוי P P r ; P P r.ןאיבוקעיה תיינבל ונל םיצוחנה םירוטקוה לכ תא ונבשיח הכ דע החסונל התע הנפנ ;)9.( יונב ונינפלש טובורהש ןוויכ 9 :יכ םיעדוי ונא םייבוביס םיקרפמ j- j j- A bˆ r bˆ J J j j רובע j=,. :ךכ םא בשחנ kˆ ĵ î r b - kˆ ĵ î r b ונלביקש ןאיבוקעיה הנבמב תודומע יתשמ יונב אהי j- j j- bˆ r bˆ :)קרפמ לכל הדומע( 6 - J

97 96 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד.םיקרפמה תוריהמל תינספתה תוריהמ ןיב רשקמ ןאיבוקעיה,רומאכ - ω v םיניינעתמ ונאש ןוויכ קר תינספתה רושימב תויוריהמב,)ירושימ טובורה( קפתסהל לכונ :תונושארה תורושה יתשב - ω v. וזל ההז האצותה.קרפה תליחתבש אמגודב ונבשיחש ליגרת :6.5 טוטרשב אבה יבחרמה טובורה ןותנ,RRP ןודנש םיליגרתב, טובורה לש ןאיבוקעיה תא אצמ תא םושר.תינספתה תויוריהמל םיקרפמה תוריהמ ןיב תרשוקה האוושמה 5.9 ליגרתב ונלביקש הרישיה הקיטמניקה ךותמ :ןורתפ :םושרנ ; תואחסונמ,ןכל )9.(,)9.9(,)9.5(,)9.9( :לבקנ

98 97 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד P, P P, P - b, - b, b :ןכו p p r r ; p p r החסונל התע הנפנ.)9.( יונב ונינפלש טובורהש ןוויכ 9 קרפמ םהירחאלו םייבוביס םיקרפמ,יטמזירפ j- j j- A bˆ r bˆ J J j j רובע תונושארה תודומעה יתש אהת תישילשה הדומעהו bˆ J J i- A i i :בשחנ ןכל. ; - r b r b :ונלביק כ"הסב J :האוושמב ןכ םא ןותנ תינספתה תויוריהמל םיקרפמב תויוריהמה ןיב רשקה

99 98 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד θ θ ω v ליגרת :6.6 תא אצמ.RRP יבחרמה טובורה ןותנ אבה טוטרשב.טובורה לש ןאיבוקעיה םיקרפמב תויוריהמה ןיב רשקה והמ?תינספתה לש תיווקה התוריהמל :הבושת קרפב םיפסונה םיליגרתה תמישרמ ליגרתב 9 ונמשר תויצמרופסנרטה תא,, : - - ; - - ; - תואחסונמ )9.(,)9.9(,)9.5(,)9.9( :ןפואה ותואב לבקנ b ; b ; - b ; b p p r r ; p p r רוטקווה תא ונ ל מרנש בל ומיש b.הדיחי לדוגב אהיש ךכ,תמדוקה הלאשב ומכ ונינפל לעב טובור 9.יטמזירפ קרפמ ןהירחאלו םייבוביס םיקרפמ ןכל רובע יבוביסה קרפמה

100 99 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד,ןושארה הנושארה הדומעה הנייהת ןאיבוקעיב היינשהו bˆ r bˆ, bˆ r bˆ,המאתהב תישילשהו bˆ. :לבקנו בשחנ - r b ןכו r b. יוטיבה :היהי ןאיבוקעיל - - J תונותחתה תורושה תשלש תוריהמל םיקרפמב תויוריהמה ןיב רשקה תא תוראתמ ןאיבוקעיב,תינספתה לש תיתיווזה J-ב תונושארה תורושה תשלשש דועב ןיב רשקה תא תוראתמ :תינספתה לש תיווקה התוריהמל םיקרפמב תויוריהמה θ θ - - v ליגרת :6. אבה טוטרשב טובורה ןותנ יבחרמה (א.RPP ) הדובעה בחרמ והמ לש,טובורה dexterity pae-ה והמ? (ב ) ומ קמ.םיריצ תוכרעמ (ג ) ואלמ תלבט ירטמרפ.DH (ד ) םייוטיב ואצמ הקיטמניקל.הרישיה (ה ) תא ואצמ הקיטמניקה הכופהה השירדה רובע ריצל תיסחי הלש היצטניירואהו תינספתה םוקימל Z.דבלב (ו ) תצירטמ תא ובשח.ןאיבוקעיה

101 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד :הבושת (א ) תירושימ תעבט וניה הדובעה בחרמ הבוגב סוידר םע, רשאכ,.םיילאמינימהו םיילאמיסקמה םהיכרע ןיב םיענ dexterity pae-ה אלא קיר היהי םייטמזירפה םיקרפמה יכרע ןכ םא, ה היהי זא וא,ספאתהל םילוכי dexterity-pae- סיסבה לעמ תיזכרמה הדוקנה. (ב :כ הנותנ הרישיה הקיטמניקה )ג, Θ i α i a i d i Θ -9º -9º 9º (ד ) החסונב הבצהמ )9.9( :לבקנ ; - - ; - :ןאכמו ; (ה ) םוקימה ןתניהב,p,p p z y x היצטניירואהו φ ריצל סחיב Z םייוצרה לכונ :תואוושמה תכרעמ תא םושרל z y x θ φ p p p

102 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד :לבקנ רבחנו עובירב תונושארה תואוושמה יתש תא הלענ םא y x p p םא,םיילילש םיכרע לבקל םילוכי םייטמזירפה םירטמרפה ןנשי רמולכ תויורשפא ףוסניא.ןורתפל (ו תואחסונמ ) )9.( )9.(,)9.9(,)9.5(,)9.9( :ןפואה ותואב לבקנ p p r ; b ; b ; b רובע,ןושארה יבוביסה קרפמה היהת ןאיבוקעיב הנושארה הדומעה bˆ r bˆ, היינשה הנייהת תישילשהו bˆ bˆ. :לבקנו בשחנ - - r.b יוטיבה :היהי ןאיבוקעיל - - J השעמל תירושימ העונתהש ןוויכ J-ב תישילשה הרושהש בל ומיש(,)תספאתמ םושרל לכונ :רוציקב θ - - ω v

103 א) ד"ר ניר שוולב הערה: נשים לב שבמספר לא מבוטל של מקרים היעקוביאן J אינה מטריצה ריבועית ולכן אינה הפיכה. לכן, הקשר J - X OU X IN לדוגמא לרובוט מרחבי מספר מפרקים אינו מתקיים בהרבה מקרים. במילים אחרות, אם מ- 9, הקטן במקרים רבים מהירויות במפרקים שייתנו בדיוק את המהירות הרצויה ביחידת הקצה. קיים לא אוסף של אם נתעניין רק בחלק מהפרמטרים המייצגים את המהירות, נוכל לאלץ את המטריצה להיות ריבועית, כפי שאמנם נהגנו במספר מקרים בפרק. אולם, אם אנו מעוניינים בכל הפרמטרים המייצגים את המהירות המפרקים כולם(, J )מהירות נאלץ לעשות משהו אחר. ליניארית וסיבובית לכל הכיוונים, למעשה נרצה לבחור ובמהירויות כל את הפתרון המתאים ביותר. לשם כך משתמשים במטריצת הפסאודו אינברס ivere( )Moore-Peroe peudo J הריבועית, OU X IN המחשבת את הפתרון המיטבי עבור מערכת משוואות ליניאריות. X כלומר זוהי הכללה של המטריצה ההופכית למקרה שזו אינה קיימת. המטריצה מוגדרת ויחידה לכל J: J lim J - J I J (6.9) אם ידוע שהעמודות של J בלתי תלויות ליניארית, מתקבל הביטוי: J - J J J (6.) אם ידוע שהשורות של J בלתי תלויות ליניארית, מתקבל הביטוי )זהו המקרה השכיח ביותר ברובוטיקה(: J J - JJ (6.) במקרה שגם השורות וגם העמודות בלתי תלויות ליניארית, מתקיים כמובן השוויון: J J - (6.) תרגילים נוספים 6.6 חשב את היעקוביאן עבור RRR הרובוט המרחבי שבאיור. ) חשב את היעקוביאן עבור הרובוט RPR 6.7 המרחבי שבאיור. )ב( רשום את הקשר בין

104 א) ב) ד"ר ניר שוולב מהירויות התפסנית למהירות המפרק הפריזמטי. תשובה: - J ) x. y φ ) 9.. מצא את מטריצת היעקוביאן עבור הרובוט: תשובה: 6.9 מצא את מטריצת היעקוביאן עבור הרובוט מהשאלה הקודמת באמצעות פעולת גזירה. 6. כתוב תוכנית מחשב עבור הרובוט המישורי RR שבתמונה )החוליות שוות באורכן(, המחשבת את, מהירויות המפרקים )ראה תרשים( עבור תנועה בקצב קבוע של יחידת הקצה במסלול ABCD כמוצג באיור. בנקודות D,A חוליות הרובוט מתוחות לחלוטין. 6. קונפיגורציה איזוטרופית (Iotropi) )ראה ]6[,]6[( היא קונפיגורציה )מצב של הרובוט( בה וקטורי העמודות כולם אורתוגונאליים אחד לשני וגודלם שווה. מצב זה הוא היעיל ביותר מבחינת העברת הכוח מהמנועים ליחידת הקצה. במצב זה אין עדיפות לשום כיוון תזוזה של יחידת הקצה מבחינת "קלות יצירת התנועה". )אם קיימות( עבור הרובוט שנבחן בשאלה 9.6. מצא את הנקודות האיזוטרופיות

105 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד :הבושת רשקה םייקתמ םא תויפורטוזיא תויצרוגיפנוק הנייהת /. הז בצמב רשא ולא הנייהת תויפורטוזיאה תויצרוגיפנוקה 5. תועצמאב 9. ליגרתמ ןאיבוקעיה תא בשח 9.66.הריזג תועצמאב 9.9 ליגרתמ ןאיבוקעיה תא בשח 9.69.הריזג :םיטובורה רובע 6x דממב ןאיבוקעיה תוצירטמ תא אצמ 9.6 :הבושת J, J

106 ד"ר ניר שוולב 5. סינגולאריות קינמטית נתמקד, לרגע, במקרה המנוון בו מטריצת היעקוביאן J סקלארית, כלומר במצב בו הפרמטרים של מהירות התפסנית מתקבלים מהכפלת הפרמטרים של מהירויות המפרקים בסקלר. Q הניחו כעת כי עבור קונפיגורציה מסוימת ערכו של היעקוביאן קרוב OU JQ IN לאפס. במצב כזה כל בחירה של מהירויות הפרמטרים של הכניסה תתבטא במהירות זניחה בתפסנית. במילים אחרות, אם באותה קונפיגורציה קרובה לסינגולאריות נרצה להזיז את התפסנית בכיוון מסוים, נאלץ להזין מהירויות גדולות מאוד במפרקים, Q J OU Q IN אולי אף מעל לטווח האפשרויות הפיזי של המפעילים. במצב המנוון שתיארנו ככל שערך היעקוביאן יתקרב לאפס כך נ מ צ א ב"בעיה" גדולה יותר, כלומר, הבעיה היא באי-ההפיכות של היעקוביאן. במצב יותר כללי בו המטריצה J היא ריבועית ובגודל שרירותי, הקונפיגורציה נקראת "סינגולארית" Cofiguratio) (Sigular אם הדטרמיננטה שלה מתאפסת. במקרה כזה, קיימת תלות ליניארית j, j,.., j j, j,.., j i i i k k k בין העמודות )גם השורות( ביעקוביאן. נבחן מה קורה אז: עבור קונפיגורציה רגולרית )שאינה סינגולארית( כל מפעיל )סיבוב, תנועה ליניארית, וכו'( גורר מימד חדש בתנועת התפסנית )תנועה ליניארית בכוון,x,y,z תנועה סיבובית בכיוון x,y,z או שילובים ליניאריים של הנ"ל(. בקונפיגורציה סינגולארית, מאידך, התלות הליניארית גוררת מצב בו שני מפרקים מאפשרים מהירות תנועה של התפסנית באותו מימד. במילים אחרות שני מפרקים תורמים תנועה זהה לתנועת התפסנית.

107 ד"ר ניר שוולב 6 באופן זה איבדנו מימד בתנועה איבדנו דרגת חופש של תנועה. דוגמא: נביט ברובוט PRR המאויר משמאל. מרחב העבודה של הרובוט הוא טבעת גלילית עם רדיוס פנימי וחיצוני. עבור נקודה שרירותית בתוך מרחב העבודה נוכל להזיז את התפסנית לכל כיוון כרצוננו - תוך שילובים מתאימים של מהירויות בשני המפרקים הסיבוביים לקבלת מהירות כלשהי במישור, והזנת מהירות רצויה בכיוון Z למפרק הליניארי. עבור נקודה במעטפת העבודה, כלומר בנקודות בהן שתי החוליות האחרונות מתוחות, לא נוכל לקבל תנועה רגעית בכיוון רדיאלי. במילים אחרות, לא נוכל "ליצור" מהירות של יחידת הקצה פנימה ובוודאי שלא החוצה. נקל להבין את הטיעון אם נביט על האפשרויות לתנועה העומדות לרשות כל אחת מן החוליות בנפרד: עבור קונפיגורציה נתונה קצה החוליה הסיבובית הראשונה מסוגל לתנועה אינפיטיסימאלית במאונך לחוליה )ראה חץ באיור(. קצה החוליה השנייה מסוגל לתנועה )מהירות( במאונך לכיוונו )ראה חץ באיור(. גם באופן זה ברור שהתנועה הרגעית עבור קונפיגורציה רגולרית פורשת את מישור התנועה, בעוד שעבור קונפיגורציה סינגולארית של הרובוט - בה שתי החוליות מיושרות - מהירות התפסנית היא הכיוון המאונך לכיוון היישור בלבד. וכך הפסדנו מימד לתנועת התפסנית. IN למרחב פורמאלית, הקינמטיקה הישירה היא העתקה ממרחב הפרמטרים של הכניסה. F : IN OU הפרמטרים OU יחידת הקצה של היעקוביאן התקבל כאמור מגזירת IN ההעתקה F, ולכן )המרחבים איקלידיים( קיבלנו העתקה מהמרחב המשיק למרחב. OU המשיק J : IN OU ש הכוונה היא למרחב המהירויות של המפרקים ולמרחב המהירויות של יחידת הקצה בהתאמה. פן מעניין בתופעת הסינגולאריות הוא, שכאשר מטריצת היעקוביאן אינה מדרגה מלאה )סינגולארית(, כלומר איננה העתקה על אז קיים תת מרחב q שאיננו ריק כך IN, J: q כלומר במהירות יחידת הקצה. "מאבדים" דרגת חופש. הערה: הנאיבי קיים תת מרחב של מהירויות במפרקים שאינן באות לידי ביטוי הטענה הזו שקולה לטענה שבקונפיגורציה סינגולארית אנו נשים לב שהתייחסות שלנו היא למהירויות ולתנועה בטעות אינה יכולה להתקדם! שאם המהירות ביחידת הקצה מתאפסת, היחידה רגעית תהיה בלבד. יטען הקורא "תקועה" כי הרי טעותו נעוצה בעובדה שאמנם הנגזרת הראשונה של המיקום מתאפסת )המהירות(, אבל אין ערובה לכך שהנגזרת השנייה והבאות אחריה מתאפסות. אלו בתורן יגרמו לתזוזה המיוחלת, שכן פיתוח טיילור למיקום נתון כ-

108 ד"ר ניר שוולב 7 x() x(t) x() x()t t דוגמא: עבור מפרק אוניברסלי כדוגמת מפרק הצוואר )בהנחה שהטיית הצוואר ימינה ושמאלה אינה אפשרית(, נוכל להדגים קונפיגורציה סינגולארית אם נביט בסדרת התמונות שלמטה. נניח ונרצה להביט במעוף ציפור הנעה במהירות קבועה מצפון דרומה, ומסלולה עובר בדיוק בנקודת הזנית )מעלינו(. בכדי לעקוב אחרי הציפור נשמור על כיוון מבטנו צפונה )קטע א-ב בתמונה(, בעוד שאת ראשנו נצודד ביחס לאופק עוד ועוד עד לאותו הרגע בו הציפור נמצאת בדיוק מעלינו. או אז נאלץ לסובב מהר את ראשנו מצפון לכיוון דרום )קטע ב-ג בתמונה(, ולהמשיך לעקוב אחרי מעופה דרומה )קטע ג-ד בתמונה(. כדי לעקוב באופן רציף אחרי הציפור נאלצנו לסובב את ראשנו במהירות אינסופית בנקודת הזנית זוהי הנקודה הסינגולארית. נשים לב שבנקודה הזו "הפעלנו מנוע" ולא קרה כלום מבחינת מהירות יחידת הקצה )העיניים(, כמצופה. בכדי להקל על החישובים, אם לא נציין אחרת, נתייחס בקורס אך ורק למהירות של התפסנית )נתעלם מהמהירות הזוויתית( כשנדבר על סינגולאריות, וכך מתוך J x6 נתייחס רק לתת-המטריצה העליונה J. x בכדי לאתר את הקונפיגורציות הסינגולאריות נבדוק מתי מתאפסת הדטרמיננטה של היעקוביאן )זכרו, לכל קונפיגורציה של הרובוט ערכי האלמנטים ביעקוביאן שונים(. כיוון שהדטרמיננטה מוגדרת עבור מטריצות ריבועיות J בלבד, במקרה שהיעקוביאן אינו ריבועי "נרבע" אותו ע"י חישוב הדטרמיננטה של JJ בסיבה הפורמאלית לחישוב זה יפנה לפרק 6 הדן במדדים(. )הקורא המתעניין J m עבור רובוטים יתירים כרובוטים נחשיים )ראה לדוגמא תרגיל בנספח ג'( מטריצת היעקוביאן איננה ריבועית.)m<( במצב זה הדטרמיננטה כמובן אינה קיימת. התנאי לסינגולארית במצב זה יהא ששורות J היעקוביאן J תהיינה תלויות לינארית. בדומה למצב בו ריבועית, כך גם במצב הלא ריבועי שוב מאבדת התפסנית דרגת חופש אחת לפחות.

109 ד"ר ניר שוולב 8 תרגיל 8.: עבור הרובוט RRP המרחבי שבתרגיל 96 מצא את הקונפיגורציות הסינגולאריות עבור המיקום והאוריינטציה. דון בהן. תשובה: כפי שעשינו בתרגיל 9, שלשת השורות התחתונות ביעקוביאן מתארות את הקשר בין המהירויות במפרקים למהירות הזוויתית של התפסנית. לעומת זאת, שלשת השורות הראשונות ב- J מתארות את הקשר בין המהירויות במפרקים למהירותה הקווית של. J - - התפסנית, לכן קיבלנו: כיוון שהדטרמיננטה של היעקוביאן קבועה ושווה ל- 6 לכל קונפיגורציה, אין לרובוט נקודות סינגולאריות. 9 RRP תרגיל 8.5: עבור הרובוט המרחבי שבתרגיל את מצא הקונפיגורציות הסינגולאריות ודון בהן. תשובה: קיבלנו זה מכבר - v - θ θ. det(j) לאחר חישוב הדטרמיננטה ומעט טריגונומטריה נקבל: ונקבל אחת מהאפשרויות: נשווה לאפס, כלומר התפסנית נמצאת בדיוק מעל הבסיס בנקודת המפרק השני. הפעלת. Z גם במצב זה המנועים הסיבוביים הראשונים לא משנה את מיקום התפסנית. θ והחוליה השלישית נמצאת בכיוון ציר, π כלומר, הפעלת המנועים הסיבוביים הראשונים לא משנה את מיקום התפסנית.,5. תרגיל 8.6: נתון הרובוט הסינגולאריות שלו. שנדון בתרגיל מצא את היעקוביאן ודון בקונפיגורציות

110 9 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד :הבושת 5. ליגרתב ולבקתהש תואצותה יפ לע :יכ עודי ; - ; -. תואחסונמ )9.(,)9.9(,)9.5(,)9.9( :לבקנ p p r r ; p p r b ; b ; b טובורה לעב אוה 9.יטמזירפ קרפמ םהירחאו םייבוביס םיקרפמ רובע ןכל יבוביסה קרפמה,ןושארה הנייהת ןאיבוקעיב היינשהו הנושארה הדומעה bˆ r bˆ, bˆ r bˆ,המאתהב וליאו תישילשהו bˆ. :תואבה תואצותה תא ביני בושיח r b ןכו r b. ןאיבוקעיל יוטיבה :ןכ םא,היהי

111 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד J :רמולכ,תינספתה לש תויראינילה תויוריהמל םיסחייתמה םיקלחל ונתוסחייתה תא םצמצנ J לבקנו הטננימרטדה תא בשחנ J det. םיבצמהמ דחאב ספאתמ יוטיבה :םיאבה םייראלוגניסה.ספאתמ יטמזירפה קרפמה וב בצמ ראתמ taθ לע קוידב תבצינ הצקה תדיחי הב היצרוגיפנוק ראתמ ריצ Z :רויא האר(.)הטמ וא הלעמ הנופ תיתיווז תוריהמ הז בצמב.הצקה תדיחיב תוריהמ רורגי אל סיסבבש יבוביסה קרפמב ביצנ ןושארה הרקמב השעמל הרוק המ ןיבהל ידכב ןאיבוקעיל :לבקנו J,תעכ,ןאיבוקעיה ןיערג תא אצמנ וא בחרמה תת תא y,z x,, וב ןאיבוקעיה תלפכהש y,z x, J תא בינת :ספאה רוטקו

112 ד"ר ניר שוולב כלומר, אם נפעיל את המפרק הסיבובי הראשון במהירות זוויתית בת יחידה )נניח רדיאן לשנייה( ואת המנוע הפריזמטי במהירות קווית בגודל הקווית של יחידת הקצה תהא אפס. )נניח מטר לשנייה(, אז המהירות.RR תרגיל 8.: נתון הרובוט המישורי דון בקונפיגורציות הסינגולאריות שלו. - v ω תשובה: היעקוביאן שהתקבל זה מכבר הוא: הרובוט מישורי, ולכן המהירות הליניארית של התפסנית קשורה לשתי השורות הראשונות. det J - J בלבד: והדטרמיננטה שהקונפיגורציות הסינגולאריות הן אותן קונפיגורציות בהן הווה אומר θ, כלומר הקונפיגורציות, π בהן החוליות מיושרות אחת ביחס לשנייה )מתוחות לגמרי או מקופלות לגמרי(. אין חשיבות לערך. θ ולכן ישנן אינסוף קונפיגורציות סינגולאריות. נשים לב שהקונפיגורציות הסינגולאריות הן בדיוק המקום הגיאומטרי שמהווה את שטח מעטפת מרחב העבודה של הרובוט )מעטפת חיצונית ופנימית(. בקונפיגורציות הסינגולאריות אין אפשרות למהירות בכיוון הרדיאלי )פנימה והחוצה( יש לפתוח "קודם" את שתי החוליות ורק "לאחר מכן" אפשר להניע את יחידת הקצה במהירות קווית שאיננה אפס בכיוון הרדיאלי., θ הוא נראה זאת: הביטוי ליעקוביאן בקונפיגורציה הסינגולארית, כלומר עבור v J θ θ θ - θ θ. לכן נוכל x, y,, x, y בקונפיגורציה הזו, הביטוי למיקום יחידת הקצה הוא לחלץ את סקלארית: וקטור המהירות בכיוון הרדיאלי, כלומר בכיוון באמצעות מכפלה. x, y v, - θ θ

113 ד"ר ניר שוולב משפט: מעטפת מרחב העבודה מורכבת מנקודות סינגולאריות. )לרוב מתרחש כאשר מספר חוליות מתיישרות(. תרגיל 8.: נתון רובוט RRR המרחבי של חברת Ehed Robot הישראלית )ראה איור סכמטי(. ידוע שהקונפיגורציה בה יחידת הקצה נמצאת על ציר Z, הינה סינגולארית. הסבר את הסיבה הקינמטית לכך. תשובה: נניח ללא הגבלת הכלליות שהמפרק בבסיס מסובב באופן שהחוליה השנייה והשלישית מצויות במישור.ZY בקונפיגורציה הסינגולארית נקודת הקצה מצויה על ציר Z. נשים לב שבקונפיגורציה כזו יחידת הקצה מוגבלת לתנועה )באופן רגעי( למישור ZY בלבד. כלומר, אם נרצה להזיז את התפסנית בכיוון ציר X לדוגמא, נאלץ להזיז מעט את יחידת הקצה מציר Z, לסובב מעט את המפרק בבסיס כך שהחוליות השנייה והשלישית תהיינה במישור כלשהו שאינו מישור,ZY ורק לאחר מכן נפעיל את המפרקים השני והשלישי לקבלת התנועה הרצויה. באופן שקול בקונפיגורציה הסינגולארית המפרק הסיבובי בבסיס אינו תורם לתנועת יחידת הקצה )כיוון שהיא על ציר הסיבוב שלו(. טענה טבעית היא שאם נוסיף מספיק מנועים לרובוט טורי נוכל להימנע מקיום סינגולאריות במרחב העבודה. מסתבר שהטענה אינה נכונה כלל ועיקר, כפי שהוכיח Gottlieb ב ]66[. RR R משפט: לכל רובוט טורי עם מפרקים סיבוביים יש סינגולאריות ולא ניתן להימנע ממנה בריבוי כלשהו של מפרקים סיבוביים. תרגילים נוספים: 7.6 מצא באופן פורמאלי את כל הקונפיגורציות של הרובוט מתרגיל.5. הסינגולאריות 7.7 המפרק הפריזמטי של הרובוט RPR המרחבי שבאיור, התקלקל. מצא את הקונפיגורציות הסינגולאריות עבור המיקום, דון בהן.

114 ג) ד) ב) א) ד"ר ניר שוולב taθ taθ תשובה: 7.8 האם לרובוט RP המישורי שבאיור יש נקודות סינגולאריות? הסבר. רמז: קיימת קונפיגורציה סינגולארית. המהירויות האפשרי של יחידת הקצה. חשבו על מרחב 7.9 בתמונה נתון הרובוט המרחבי RRP מדגם Uimate )מפרק סיבובי בכיוון Z, אחריו מפרק סיבובי מאונך לראשון ולבסוף מפרק פריזמטי(. מהן הנקודות הסינגולאריות שלו )ביחס למיקום יחידת הקצה בלבד(? הסבר מה קורה מבחינה קינמטית. כיצד יכלו המתכננים למנוע הגעה לקונפיגורציות הללו?, θ תשובה:, π 7. נתון הרובוט RRP המרחבי שבאיור. ) מצא את הפרמטרים של דנביט והרטנברג ופתור את בעיית הקינמטיקה הישירה. ) נסח דרך ומשוואות מתאימות לבדיקת ת ק ינ ות הקריאות באנקורים שבמפרקים. ) נסח דרך ומשוואות מתאימות למציאת מהירות התפסנית המקסימאלית, ע"פ המהירויות המקסימאליות שהמנועים יכולים לספק. ) מהן הנקודות הסינגולאריות של הרובוט? כיצד הן מגבילות את תנועת הרובוט? תשובה:

115 א) א) ג) ב) ד) ד"ר ניר שוולב ) ) - z o, ; x y z J ) a ta ; ) x, y ;, 7. נתוני התכן של הרובוט מדגם SCARA שנבחן בשאלה 9.6 הם: )המידות במילימטרים(. כמו כן,5,d a 5,a,a 5,d נתון תחום פעולת המפרקים: ],,6 [ ],,55 [ ],,9 [ ) חשב את היעקוביאן. )ב( כתוב תוכנית אשר מחשבת את מקדם האיזוטרופיות עבור נקודה במרחב העבודה. מקדם האיזוטרופיות מוגדר כמנת הערך העצמי המקסימאלי של מטריצת היעקוביאן עם זה המינימאלי )השווה עם שאלה 9.6(..69 עבור הרובוטים משאלה 9.6 מצא מהן הקונפיגורציות הסינגולאריות. תשובה: התפסנית לאורך ציר Z, אין קונפיגורציות סינגולאריות.

116 ד"ר ניר שוולב 5. אנליזת כוחות סטטית מכאני עם במגע מן הסתם רובוטים באים סביבתם, בין השאר בהליכי הרכבה, במשימות במשימות אחיזה שונות ובתאחיזת העמסה, דורשות משימות כאלה רכב בתוואי שטח. בקרה על הכוחות והמומנטים שיחידת הקצה מפעילה על האובייקט. בפרק זה נדון בהרחבה בחישוב המומנטים והכוחות ביחידת הקצה בעת שהרובוט סטאטי. הפעלת אחד או יותר ממנועי הרובוט תחולל, הפעלת כוחות/מומנטים ביחידת מן הסתם, ומכאן ברי הוא שכדי ליצור כוחות הקצה. בפרק הקודם ראינו ומומנטים רצויים ביחידת הרצה יש לתאם את הפעלת המנועים ברובוט. שמטריצת היעקוביאן מקשרת בין מהירות התפסנית למהירויות המפרקים, ובפרק זה נראה כי היעקוביאן מקשר בין הכוחות המופעלים במפרקים לאלו המתחוללים ביחידת הקצה. כידוע, עבודה היא )כוח( x )דרך(, אולם כיוון שאנו עוסקים בסטאטיקה, כלומר, לא קיימת כלל תנועה, אין ברירה אלא לעסוק בעבודה וירטואלית work).(virtual עבודה וירטואלית מוגדרת כ: δw F δx x δf (8.) הוא הגודל P הווירטואלי האינפיניטסימאלי, בשונה מהגודל האינפיניטסימאלי כאשר δp האמיתי dp הרגיל ( שימו לב, אנו חושבים על עבודה שלמעשה לא מתבצעת(. משוואה ).6( לעקוב אחר הכוחות המתפתחים במפרקים ובתפסנית באמצעות אם כן, תאפשר לנו, משוואות אנרגיה, אפילו שאנו דנים במצב סטאטי. אנו עוסקים במצב סטאטי ולכן העבודה הוירטואלית שחושבה במשוואה.6 מתאפסת. מצד על ידי התפסנית והמפרקים בנפרד תלויה בדרכים העבודה הוירטואלית המבוצעת שני, הוירטואליות שאלו עושים, ומתקיים השוויון: F δx τ δθ (8.) כאשר F מסמן את וקטור הכוחות על התפסנית; δx את הדרך הוירטואלית האינפיניטסימאלית שעוברת התפסנית; ווקטור τ את המומנטים והכוחות שהמפרקים

117 ד"ר ניר שוולב 6 מרגישים; ו- δθ מסמן את הדרך הוירטואלית שעושים המפרקים הפריזמטיים, ואת הסיבובים הוירטואליים שעושים המפרקים הסיבוביים. הערה: מעתה, כשנדבר על כוחות, נתכוון למעשה לכוחות או מומנטים. בספרות ההתייחסות הזו נקראת כוחות מוכללים Fore).(Geeralized כשנדון בכוחות במפרקים הכוונה היא שהמדובר בכוח הנפעל על )או המופעל על ידי( מפרק ליניארי, ובמומנט הנפעל על )או המופעל על ידי( מפרק סיבובי. כשנדון בכוחות על יחידת הקצה נתכוון לווקטור )9 ממדי עבור רובוט מרחבי, ממדי למישורי( של כוח ומומנט על התפסנית.. Jδθ נציב δx את הקשר הקינמטי Jθ x בשוויון ).9( שלנו ונקבל )משוואה 9.6( כבר הכרנו, ומכאן ברור שגם:. F J τ F ומכאן J δθ τ δθ מתוך הזהות (AB) B= A נקבל את הקשר בין הכוחות במפרקים τ : F חשה (8.) לכוחות שהתפסנית τ J F τ,f דוגמא: כפי שהערנו הוקטורים הם למעשה וקטורי כוחות מוכללים. כלומר, אם נסמן ב,m f כוח ומומנט בהתאמה, נוסחה ).( עבור רובוט RRPP תהא: m m J f f f e m e (8.). J כאמור, -,θ,π דוגמא: עבור הרובוט המישורי RR ידוע כי קונפיגורציה סינגולארית היא כזו בה החוליות מיושרות יחדיו, כלומר ומכאן. כפי שכבר יכולנו לנחש בעבר, J - שבנקודה הסינגולארית:, כוח בכיוון הרדיאלי הנפעל על יחידת הקצה לא ישפיע על המנועים, ואמנם: RR נקל להשתכנע שאכן כך הוא אם נביט באיור שלמטה המדגים מכאניזם. J דומה )אם נחשוב על יחידת הקצה כמחליקה ללא חיכוך על המשטח, ההקבלה לרובוט RR

118 ד"ר ניר שוולב 7 תהיה מלאה(. בתמונה מתואר כוח H המופעל על יחידת הקצה פנימה בכיוון הרדיאלי, כאשר הזווית קטנה. בקונפיגורציה המתוארת נוכל בקלות להתנגד לכוח H באמצעות הפעלת כוח קטן על המפרק השני למטה. לחילופין, נוכל להתנגד לכוח H באמצעות הפעלת מומנטים קטנים במפרקים. למעשה המומנטים הדרושים במפרקים ילכו ויקטנו ככל שהזווית לא נזדקק למומנטים בכדי להתנגד לכוח. תתקרב לאפס, ובנקודה בה משפט: כוח שכיוונו אורתוגונאלי אפסיים על מפרקי הרובוט. למרחב העמודות של היעקוביאן, יחולל כוחות/מומנטים הוכחה: טריוויאלית. כלומר, אם ברצוננו להתנגד לכוח H )גדול ככל שיהיה( שכיוונו אורתוגונאלי לכיוון העמודות של היעקוביאן נוכל לעשות זאת בקלות תוך הפעלת כוח/מומנט מינימאלי. קונפיגורציה מעין זו יכולה, כמובן, לשרת אותנו כמהנדסים: הגדרה: המוכללים בהינתן כוח מוכלל חיצוני τ במפרקים שאותם נחוש כתגובה על F הפועל על יחידת הקצה, ובהינתן קבוצת הכוחות F, נגדיר את היתרון המכאני כמנה היתרון המכאני משקף, אפוא, את המאמץ שנידרש לו בכדי לאזן כוח חיצוני. מסקנה:. F τ במצב בו יחידת הקצה נפעלת לכוח שכיוונו אורתוגונאלי למרחב העמודות של היעקוביאן, נקבל יתרון מכאני השואף לאינסוף.. J - מטריצת היעקוביאן עבור מקרה הרובוט RR המישורי היא לכן, מרחב העמודות של היעקוביאן נפרש באמצעות הוקטורים. β, β, ומכיוון שאלו תלויים ליניארית נקבל,

119 א) ד) ג) ב) א) ד"ר ניר שוולב 8. כלומר מרחב העמודות של היעקוביאן נפרש על ידי הוקטור היחיד המרחב. האורתוגונאלי למרחב זה הוא המרחב הנפרש ע"י הערה: המרחב האורתוגונאלי למרחב העמודות של היעקוביאן נקרא בספרות מרחב האפס., Spae) (Null של היעקוביאן. בדוגמא שלנו מרחב האפס יהיה ) מצא את ) אילו תנועות לא ניתן לקיים על פי המשפט נסיק כי עבור רובוט מישורי RR המצוי בקונפיגורציה סינגולארית, ואשר יחידת הקצה שלו נפעלת לכוח שכיוונו הכיוון הרדיאלי, יתורגם למומנטים בגודל אפס F במפרקי הרובוט. לשון אחר, היתרון המכאני המקסימאלי של τ הרובוט מתקבל בקונפיגורציה סינגולארית, כאשר יחידת הקצה שלו נפעלת לכוח שכיוונו הכיוון הרדיאלי. תרגיל 7.: בשרטוט נתון הרובוט המרחבי,RRP שנדון בתרגיל 9.9. ) דון בקשר שבין הכוחות/מומנטים על יחידת הקצה הקונפיגורציות הסינגולאריות, והדגם אותן בדרך אלגברית. בקונפיגורציות הסינגולאריות הנ"ל? והכוחות/מומנטים במפרקים. ) דון בקשר זה כאשר הרובוט נמצא במצב הסינגולארי שלו. פתרון: ) היעקוביאן שקיבלנו בתרגיל 9.9: - J - למציאת הנקודות הסינגולאריות נחשב את הדטרמיננטה של היעקוביאן ונשווה לאפס: J det. iθ הדטרמיננטה מתאפסת כאשר: או

120 ב) ג) ד) ד"ר ניר שוולב 9 iθ ) כאשר הרובוט מצוי באחת מנקודותיו הסינגולאריות המקיימת כמודגם באיור, באופן רגעי לא ניתן לגרום לתפסנית לנוע בכיוון הניצב לדף )וכפי שניווכח בפרק הבא, לא ניתן לקיים מהירות בכיוון הניצב בכיוון זה לרובוט קשיחות אין-סופית(. כאשר לחוליה. iθ הטענה האחרונה דורשת הבהרה: בקונפיגורציה רגולארית כלשהי בה ו-, מרחב המהירויות )התנועה הרגעית( הוא תלת ממדי: התנועה לכיוון הנורמל לדף, והתנועה, θ התנועה בכיוון מתקבלת מסיבוב בכיוון הניצב ל- מתקבלת מסיבוב מתקבלת מפעולת המפרק הפריזמטי בקונפיגורציה סינגולארית בה שתי.θ התנועות הראשונות עדיין אפשריות, מסיבוב θ( מתנוונת ואינה אפשרית עוד. בעוד שהתנועה בכיוון הניצב ל- )המתקבלת בד"כ ) על פי משוואה ).( נקבל: M M F - F F F x y z M מציינים את הכוחות והמומנטים שיש להפעיל על המפרקים בכדי להתנגד,M, כאשר F לכוח F על התפסנית. כלומר, M, M מייצגים את הכוח הפועל בניגוד לכיוון המפרק F הפריזמטי, והמומנטים על המפרקים הסיבוביים הם 9 ו- 6 בהתאמה. : ) נסתכל על מרחב העמודות של היעקוביאן כאשר paמר olj, pa x, y, z, pa, t האפס חב הוא אוסף הוקטורים וכן שמקיים:. משלושת השוויונות. x, y, z,, t x, y, z z x y, y - x t - x y, z, נקבל הכוח הבעייתי הוא בכיוון החוליה ונקבל, כמתואר באיור )או בכיוון המנוגד(. כלומר, עבור המקרה

121 ד"ר ניר שוולב, iθ הסינגולארי השני מרחב העמודות של היעקוביאן pa olj pa t, t יהיה: והמרחב למרחב זה המאונך נפרש ע"י הווקטור -, כלומר הכוח הבעייתי הוא בכיוון הניצב לדף )פנימה או החוצה(. RR :7.5 תרגיל בשרטוט נתון הרובוט המישורי באורך מטר אחד. עבור הקונפיגורציה בה אשר כל חוליותיו θ מהו θ θ 5 הקשר בין המומנטים במפרקים למומנט בתפסנית? המוכללים במפרקים אם התפסנית נפעלת לכוח מהם הכוחות, N? Nm ולמומנט של - -. J פתרון: הנתונה נקבל: הביטוי ליעקוביאן: עבור הקונפיגורציה - - Jθ i 5. ומנוסחה ).( ידוע: כלומר המומנטים.,m,m (,,)[Nm] m במפרקים יהיו תרגיל 7.6: בשרטוט הבא נתונה שמשמשת לריתוך אלקטרודות. זרוע פומה פעם מדי

122 ד"ר ניר שוולב האלקטרודה "נדבקת" ועל הרובוט לעקור אותה ממקומה כדי להמשיך לעבוד. מצא את ~ הקשר בין הכוח והמומנט f,m שמופעל על האלקטרודה, לבין הכוחות והמומנטים ~ f,m על הנקודה המסומנת )זו הנקודה P C שדנו בה בפרק 5(. על פי האיור, הווקטור השרירותי P מתאר את מיקום הנקודה P C ביחס לנקודת ההדבקה.. τ J כיוון שאנו מעוניינים בכוחות על מערכת P, C נדמיין לעצמנו רובוט ב-.P C פתרון: ידוע כי F שבסיסו באלקטרודה וקצהו זרוע הרובוט במצב זה יכולה לנוע בכיוון מרחבי שרירותי, ולהסתובב אינפיניטסימאלית בכיוון מרחבי שרירותי. תזוזה תתבטא b ביעקוביאן כעמודה בעוד שסיבוב יתבטא ביעקוביאן אינפיניטסימאלית b r. b כעמודה ולכן חלק היעקוביאן המבטא את התזוזות יהא: bˆ. J bˆ bˆ bˆ p bˆ bˆ p bˆ bˆ p bˆ p p y z p z p x p p x y והקשר שהתקבל הוא: ~ f x ~ fy ~ f m ~ z m ~ m ~ x y z p z p y p z p y p x f x f y f z m m m x y z תרגיל 7.: נתון היעקוביאן של רובוט SCARA מהדגם בתמונה. מצא את הכוחות או המומנטים שלהם לא יוכל הרובוט להתנגד.

123 ד"ר ניר שוולב J פתרון: מרחב האפס )Null pae) של J נפרש ע"י הוקטורים:,,,,,,,,,, ו- כלומר הרובוט לא יוכל להתנגד למומנטים סביב הצירים X ו- Y ולמעשה לא יוכל להתנגד לכל מומנט שצירו במישור.XY משוואה ).( היא למעשה העתקה בין מרחב הכוחות בתפסנית למרחב הכוחות שבמפרקים. ההעתקה הזו תלויה בקונפיגורציה. לשם המחשה דמיינו את מרחב הכוחות F כמעגל דו ממדי. המעגל מייצג את אוסף כל וקטורי הכוחות באורך יחידה הפועלים על התפסנית. משוואה ).(, כאמור, מעתיקה את מעגל הכוחות שבתפסנית הכוחות כמובן שונה. - במפרקים כפי שנוכיח, למרחב שצורתו הדו ממדית במקרה הדו- ממדי יועתק המעגל לאליפסה בנקודות רגולאריות, וככל שנתקרב לנקודה סינגולארית תמתח האליפסה עד שבנקודה עצמה יוותר קטע חד ממדי. התפסנית בכיוון שרירותי במישור, המשמעות היא שכוחות הפועלים על אינם באים לידי ביטוי במפרקים, היתרון המכאני המושג בקונפיגורציות מעין אלה יהיה גדול אינסופית. ובמילים אחרות: לעומתן הנקודות האיזוטרופיות שדובר בהן בתרגילים 9.6 ו-.66, תעתקנה את מעגל הכוחות בתפסנית למעגל כוחות במפרקים. התפסנית. כלומר, יש ביטוי מלא ואופטימלי במפרקים לכוחות המופעלים על. τ נפעיל על המפרקים כוח באורך יחידה. τ השוויון למשוואה ).( במילים אחרות, מתקיים את נציב τ J F (8.) ונקבל:

124 א) ד"ר ניר שוולב F J J F 8. זוהי משוואת אליפסואיד -ממדי במרחב הכוחות ). Fx הוקטורים העצמיים של המטריצה,Fy,..,Mz ) בתפסנית יהוו J J / i את הצירים הראשיים של האליפסה בעוד ש את האורכים שלהם, ואילו i את הערכים העצמיים של. J J נשוב לניתוח הזה בפרק 6, שם ניווכח שתיאור זה קשור למדד הנקרא מדד המניפולטיביות.., RR תרגיל 7.: נתון רובוט מישורי כדוגמת האיור עם אורכי חוליות ( בהתאמה. עבור, ) (F x,fy הכוחות המופעלים על התפסנית והמפרקים נתונים כ ) ו- ) מצא את אליפסת הכוחות בתפסנית. )ב( מה כיוון., / קונפיגורציה בה התפסנית המועדף לעבודה מבחינת כוחות בקונפיגורציה זו? f f x y תשובה: ידוע הקשר: החוליות בקונפיגורציה הרצויה ונקבל: נציב את אורכי ולכן, f f, x y 5. J J נציב בנוסחה ).9( ונקבל את משוואת האליפסה המבוקשת. f כל נקודה על x f x f y f y האליפסה מציינת את אוסף הכוחות שיכול להתקבל בתפסנית כתוצאה מהפעלת )באורך יחידה( כוחות וקטור במפרקים. J J, הערכים העצמיים של המטריצה הם לערך העצמי המקסימאלי מסומן בחץ האיור שמשמאל. ביותר בתפסנית מבחינת היתרון המכאני. והווקטור העצמי המתאים כיוון זה מציין את כיוון הכוח היעיל F poitive emidefiite ע"פ הבנייה שלנו, המטריצה J J היא כלומר עבור כל ווקטור. בנוסף המטריצה סימטרית, ולכן הווקטורים העצמיים שלה מאונכים אחד לשני. מתקיים F J J F

125 ב) ב) א) ד"ר ניר שוולב תרגילים נוספים: 8.5 עבור רובוט הנמצא בקונפיגורציה סינגולארית שלו, הראו שקיימים כוחות מוכללים שאם יופעלו על התפסנית ניתן יהיה לאזן אותם ע"י כוחות אפסיים במפרקים. 8.6 כתוב תוכנית מחשב אשר מחשבת את ההעתקה בין מרחב הכוחות בתפסנית לאלו ) הדגם מה קורה בסמוך לקונפיגורציות שבמפרקים עבור הרובוט RR )ראו תרגיל.9(. הסינגולאריות. ) מה קורה בסמוך לנקודות האיזוטרופיות? רמז: שטח האליפסות מתאפס בסמוך לקונפיגורציות לכיוון הזרוע הרובוטית. הסינגולאריות, וצירן הגדול מאונך נתון הרובוט המרחבי RRR )דגם מוקדם(. נתון מדגם ונתון. = 8.7 Mirobot היעקוביאן שלו כאשר )למטה( המקיים את משוואה כמה. F )א(,, x y z x y z f,f,f,m,m, M וקטורים F נתון? מדוע? מתאימים לווקטור עבור קונפיגורציה בה, כתוב את הקשר בין שני הוקטורים., ) / ( ) ( ) J ( ) ( ) ( ) Mz f x, Mx f z f y, Mx f z תשובה:, בהינתן שתי מערכות קואורדינאטות מוזזות ומסובבות יחסית נוכל כמובן לאפיין את התזוזה היחסית ביניהן באמצעות טרנספורמציה הומוגנית כפי שעשינו בפרק : 9, A B A B R d, A B R A X B A Y B A Z B הטרנספורמציה, אם כן, מתארת את הקשר בין מיקומים בשני מערכות הקואורדינאטות. נוכל לתאר גם את הקשר בין תיאור מהירות חלקיק בשתי המערכות. בכדי לקבל

126 ב) ג) ד"ר ניר שוולב 5 טרנספורמציה מתאימה נחבר בדמיוננו שלשה מפרקים סיבוביים ושלשה מפרקים פריזמטיים למערכת הראשונה כך שנוכל לקבל כל מיקום ואוריינטציה של המערכת השנייה לעומת הראשונה. באופן זה כמובן נוכל לקבל את הטרנספורמציה באמצעות כתיבת היעקוביאן לפי נוסחה : 9.9 A B J A X B A Y B A Z B A d X A X B B A d Y A Y B B A d Z A Z B B 66 ולכן, נוכל על פי משוואה. לקבל את הקשר בין תיאור כוחות במערכת אחת ולבין התיאור A. τ B של אותם הכוחות במערכת שנייה J F השתמש בקשר זה לפתור את שתי הבעיות: F,M הפועל על מערכת אחת. A. נתון הכוח המוכלל 5,6,7,,, הטרנספורמציה בין מערכת זו למערכת אחרת נתונה להלן, רשום את הביטוי לכוחות. A B ; במערכת השנייה. F,MB 6,7,5,6,6, תשובה: נתונות שתי הטרנספורמציות עבור רובוט RR מסויים: F,M,7,8,,, ; 8.9 מפעילים על יחידת הקצה כוח מוכלל שמרגיש המפרק בבסיס הרובוט? תשובה: מהם הכוחות F,M 8,,7, 7,5,6 Uimate עבור הרובוט RRP מדגם הנתון בתמונה,.6 ידוע כי משקלה של החוליה שבין שני המפרקים הסיבוביים m, משקלה של החוליה שבין המפרק הסיבובי השני למפרק הפריזמטי m, משקלה של החוליה לאחר המפרק הפריזמטי הוא m, ומשקלה של התפסנית m. )א( מצא את העומסים על המפרקים כתוצאה מהמסה הראשונה. על המפרקים כתוצאה מהמסה השנייה. ) מצא את העומסים ) מצא את העומסים

127 א) ד) ג) ד"ר ניר שוולב 6 על המפרקים כתוצאה ממסת התפסנית. ) מהמסות כולן. מצא את העומסים על המפרקים כתוצאה תשובה: הראשונים יהיה ) הכוח המוכלל במפרק הראשון יהיה אפס )ב( הכוח המוכלל בשני המנועים המוכלל בשלשת המנועים יהיה F, כאשר mg חצי אורך החוליה ששוקלת ) הכוח m F, mg,m

128 ד"ר ניר שוולב 7 6. אנליזת קשיחות לא לכל ערכי מכאניזם יש חיישנים למדידת המיקום המדויק של הקצה/התפסנית של המנגנון באופן ישיר. במקרים אלה המיקום מחושב באמצעות הקינמטיקה הישירה, שמבקרת את המפרקים הממונעים. לאמור, יש חשיבות לקשיחות של המבנה, שתמנע תזוזה לא רצויה במפרקים כתוצאה מכוחות סטאטיים, כמו למשל המשקל העצמי של הרובוט. אף על פי כן, תמיד קיימת מידת "קפיציות" למכאניזם ויש להתחשב בה, ומכאן החשיבות שבהבנת מושג הקשיחות וחישובו. נתון מכאניזם עם מפרקים ויחידת קצה. נניח שהמפרקים כולם נעולים ואינם נעים כלל. יחד F עם זאת ברור שיחידת הקצה תזוז ותסתובב קמעא בתגובה להפעלת כוח מוכלל עליה. אם C, Δx הקשיחות )Stiffe( תהיה המטריצה נסמן את וקטור ההזזה המוכללת הזו ב. FC )בספרות לעיתים מתייחסים למושג זה כאל קשיחות המקשרת בין השניים: Δx יחידת הקצה Stiffe )Ed poit במקרה החד ממדי מטריצת הקשיחות מתנוונת לכדי סקלאר. במקרה זה הדמיון למשוואת הקפיץ אינו מקרי, המכאניזם. ואכן, נוכל לחשוב על הקשיחות הסקלארית כעל במקרה הלא מנוון מטריצת הקשיחות מתארת את קבועי הקפיץ לכל כיוון העמסה אפשרי של יחידת הקצה. לאורך כל הדיון בקשיחות נשתמש במושג הזזות מוכללות, אשר בדומה למושג כוח מוכלל מאגד תחתיו את התנהגות המפרקים הליניאריים "קבוע הקפיץ" של

129 ד"ר ניר שוולב 8 והסיבוביים יחד. בהתייחס למפרק פריזמטי תהיה הזזה מוכללת פשוט הזזה ליניארית, בעוד שכשנתייחס למפרק סיבובי הזזה מוכללת תתאר סיבוב, כמתואר באיור. עבור כל מפרק בנפרד, בין אם מדובר במפרק סיבובי ובין אם במפרק ליניארי, נוכל לנחש שקיים קשר בין מידת הזזתו לבין הכוח הדרוש להזזה זו. אופיו המתמטי של הקשר קשה לחזוי בדרך כלל, ולמרות זאת ברור יהיה שככל שנזיז יותר כך נדרש לכוח גדול יותר. יהא הקשר המתמטי אשר יהא לעולם נוכל לבצע מהאופי: f k i i Δx i k עבור מפרק ליניארי ו- Δ j j j ליניאריזציה ולקבל קשר m עבור מפרק סיבובי. ליניארי מקורב הנחה: בכדי להקל על החישובים ומטעמים פרקטיים, אנו מניחים שהחוליות עצמן קשיחות לחלוטין )במילים אחרות, נניח שהן אינן אלסטיות כלל(. והאלסטיות של המבנה כולו נובעת מהאלסטיות במפרקים בלבד. עבור רובוט נתון נוכל לרכז את הקשרים הללו למשוואה המטריצית: τ KΔ Q ; k K k k (9.). Δ x i כאשר Q מסמן וקטור הזזות המפרקים הסיבוביים Δ j הוא וקטור המומנטים והכוחות שהמפרקים מרגישים. והליניאריים וקטור, KΔQ J כלומר: F נציב במשוואה )6.6( ונקבל. τ J על פי משוואה ).( ידוע כי F. K J F ΔQ (9.) נזכור כי ע"פ משוואה )9.6( ידוע האינפיניטסימאלית dx dq J ונוכל לרשום את המשוואה dt dt. Δx JΔQ נציב ל-) 6.9 ( ונקבל: Δx C F C JK J (9.) כאשר x מסמן את התזוזה המוכללת )תזוזות וסיבובים( של יחידת הקצה, ו- F את הכוחות המוכללים )כוחות ומומנטים( של יחידת

130 א) ב) א) ד"ר ניר שוולב 9 נקראת מטריצת הגמישות Matrix( )Compliae או ההיענות ומסומנת JK J הקצה. באות C. מטריצת הקשיחות מוגדרת כ- S JK J (9.). F S ומתקיים הקשר Δx ) רשום את הביטוי למטריצת הקשיחות שלו. ) דון במצב הקשיחות בקונפיגורציות הסינגולאריות של הרובוט תרגיל.: נתון הרובוט שנדון בתרגיל.. רשום את קשר הקשיחות. בהן התפסנית על קו הבסיס )הקונפיגורציה שבאיור(. תשובה: ) על פי התוצאות שהתקבלו בתרגיל. ידוע כי: J נחשב את המטריצה K ההופכית: K k k k S מטריצת הקשיחות זו מטריצה.6x6, C JK J ונקבל את מטריצת הגמישות מהמכפלה. F S בכדי להבין את הקשר נכתוב: תהיה המטריצה ההופכית לה ומתקיים הקשר Δx f S m S S S x f,m מייצגים את התזוזה הליניארית של יחידת הקצה והסיבוב שלה בהתאמה.,x מייצגים את הכוח ביחידת הקצה, והמומנט בה בהתאמה. ולכן אם נתעניין בכוחות בלבד S S נוכל להסתפק בחישוב תת המטריצה וכיו"ב.

131 ב) ב) א) א) ג) ד"ר ניר שוולב. taθ במצב זה יחידת ) ראינו שקונפיגורציות סינגולאריות מתקבלות כאשר הקצה ניצבת בדיוק על ציר Z )ראה איור: פונה מעלה או מטה(. במצב זה הפעלת כוח בניצב,,, F תתנגד לקשיחות החוליות למישור המסומן באיור, כלומר כוח שכיוונו, C כלומר יחידת הקצה לא תזוז. )החישוב המפורש מייגע ומומלץ בלבד ולכן F להשתמש במנוע מתמטי כמו Maple לביצועו(. ) חשב את תרגיל.5: היעקוביאן )ב( מצא את מטריצת הגמישות עבור המכאניזם שבאיור. ) מהן הקונפיגורציות הסינגולאריות של המכאניזם ומה יקרה הקשיחות מבחינת בקונפיגורציות הללו? תשובה: ) המכאניזם נקרא פר ללוגרם (Parallelogram) והוא בנוי משתי מקביליות. שימו לב שהמפרק השני ויחידת הקצה תמיד תהינה מקבילות לאדמה ולמעשה זו מטרתו של המכאניזם. תכונה זו מאפשרת לנו לבחור את הזוויות כבתמונה ולכתוב את משוואות הקינמטיקה הישירה ; y ישירות: x ולגזור אותן לקבלת היעקוביאן: x J y x y ) נחשב את מטריצת הגמישות: C J K - J /k /k

132 הקיטובורל אובמ בלווש רינ ר"ד k k k k k k k k C (ג ) ל תומילשמ וא תוותשמ תויווזה יתש תיראלוגניס היצרוגיפנוקה רשאכ 6. םזינאכמה.רשייתמ ולוכ הז בצמב ןוויכב חוכ, העונת לכ םורגי אל, C חוכה(.)ןהלש יכרואה ןוויכב לעפיו תוילוחה תוחישקל דגנתי ליגרת :.6 ןותנ טוטרשב יבחרמה טובורה.RPP יבוביסה קרפמב תוחישקה ךרע םינותנ ) i( k?תילאמיסקמ תושימגה היצרוגיפנוק וזיאב. :ןורתפ ןאיבוקעיה תצירטמ ליגרתמ הנותנ.6 : - - J דבלב תונושארה תורושה יתשב קפתסהל לכונ רושימב תעצבתמ העונתה לכש ינפמ השעמלו. תושימגה תצירטמ תא בשחנ - J J K C : - - k k - - C.תושימגה תצירטמ לש הטננימרטדה תא בשחנ תילאמיסקמ תושימגה יתמ ןוחבל ידכב עודיש ןוויכמ det(a)det(b) AB) det( ןכו det(a) ) det(a בשחנ k k K det det(j) C) det( רשאכ לבקתמ ילאמיסקמ ךרע רמולכ,,.

133 א) ב) ד) ד"ר ניר שוולב תרגילים נוספים: 6.9 הרובוט שבאיור שדנו בו בפרקים הקודמים מצוי בקונפיגורציה, בה 5, ואורך המפרק הפריזמטי הוא חצי מטר. מפעילים מומנט בשיעור של 6 ניוטון מטר על התפסנית וכתוצאה מכך התפסנית משנה את מיקומה אך אינה משנה את האוריינטציה ) בכמה ס"מ זז המפרק הסיבובי שלה. ) מהי מטריצת הגמישות? האחרון בהשקעת אותו כוח על התפסנית אם ידוע כי =? k C, / k / k רמז: C 6.5 נתון רובוט RR מישורי וכן נתון. = =,K >>K רצוי., מצא את הקונפיגורציה למקם את התפסנית בנקודה העדיפה מבחינת הגמישות בה כדאי להציב את הרובוט. הסבר באמצעות תרשים כוחות פשוט. 6.9 נתון הרובוט RPR שבאיור. חשב את מטריצת הגמישות שלו. הסבר את עמודת האפסים. - k - k k k k k k - k - k k k k k k תשובה: k k - 6. כתוב תוכנית Maple עבור רובוט RRR שבאיור בו אורכי כל החוליות 6 מ', אשר מחשבת את )א( הקינמטיקה הישירה )ב( היעקוביאן )ג( מטריצת הקשיחות בנקודות הסינגולאריות. ) מהן הקונפיגורציות בעלות הקשיחות המינימאלית/מקסימאלית ביחס לתזוזה בכיוון X, ובכיוון Y.

134 ב) ד"ר ניר שוולב התחביר ב Maple הדרוש לפתרון )א(, (: אתחול retart: with(lialg): קיצורים alia(eq([i]=o(t[i]),i=..), eq([i]=i(t[i]),i=..)): הגדרת מטריצת הטרנספורמציה כפונקציה של פרמטרי דנביט והרטנברג M:=(a,alpha,d,theta) -> matrix(,,[o(theta), -i(theta)*o(alpha), i(theta)*i(alpha), a*o(theta), i(theta), o(theta)*i(alpha), - o(theta)*i(alpha), a*i(theta),, i(alpha), o(alpha), d,,,,]): M(a,alpha,d,theta); הפרמטרים של דנביט והרטנברג alpha:=vetor([,-pi/,]): a:=vetor([a,a,]): d:=vetor([,a,a]): theta:=vetor([t,t,t]): הצבת הפרמטרים לתוך המטריצה for i from to do [i]:=m(a[i],alpha[i],d[i],theta[i]); ed do :=evalm([]); :=evalm([]&*[]); :=evalm([]&*[]&*[]); סימון להצגה יפה יותר alia([]=o(t+t+t), []=i(t+t+t)): :=evalm(); חישוב היעקוביאן P:=ubvetor(,..,); J:=takmatrix(augmet(jaobia(P,t,t,t),vetor([,,,])), matrix(,, [,,,,,,,,,,, ])); K, K נתון רובוט RR מישורי עם קשיחויות הנתונות במפרקים. החוליות בנויות E 6. פרופילים ריבועיים מלאים שמידותיהם נתונות, ובעלות מודול יאנג נתון. )א( חשב את מקדמי הקפיץ עבור כל אחת מן החוליות )ב( חשב את מטריצת הקשיחות עבור הרובוט תוך התחשבות בקשיחות החוליות והמפרקים.

135 ד"ר ניר שוולב 6. מדדים בפרקים הקודמים נגענו בקצרה במדד האיזוטרופיות ליעילות העברת הכוחות ברובוט עבור קונפיגורציה נתונה, ובהעתקת הכוחות. בספרות המקצועית נהוגים מספר מדדים קונפיגורציה להערכת "טיב" או רובוט. או "יעילות" בפרק זה נדון בארבעה: מדד המניפולטיביות הקשור קשר עבות עם תרגיל מדד הרזולוציה.9 )כושר שדנו בו בפרקים ההפרדה( את רזולוציית התנועה של התפסנית, ההדירות,, )Repeatability( המתאר המתאר מדד את המידה בה ניתן לחזור ולמקם את התפסנית באותה נקודה, והדיוק הכללי. כזכור, היעקוביאן מהווה העתקה ליניארית בין מרחבי המהירויות של המפרקים והמהירויות של יחידת הקצה. ככל העתקה ליניארית כך גם היעקוביאן מעתיק ווקטורי יחידה ממרחב המקור לווקטור במרחב המטרה. מידותיו יכולתה של יחידת הקצה לנוע לאותו כיוון.. J q של הווקטור במקרה של היעקוביאן מעיד על הגדרה: נתון רובוט בקונפיגורציה q נתונה. המניפולטיביות (Maipulability) שלו בנקודה זו מסומנת ב- M(q) ומוגדרת כנפח האליפסואיד, המתקבל ממיפוי מעגל יחידה של מהירות q במפרקים ע"י היעקוביאן כפי שראינו בפרק המפרקים הוא במקרה הכללי בו 9,, J x q כאשר המפרקים להיות באורך יחידה J = x איננה חייבת להיות ריבועית הביטוי למהירויות מהירויות יחידת הקצה. אם נבחר את מהירויות )אוסף הווקטורים המרכיבים את כדור היחידה(, כלומר ובמפורש: J x J x, נוכל לרשום q q q J JJ x J JJ x x JJ JJ JJ x x J J x כך קיבלנו ביטוי לאליפסואיד )השווה עם שאלה.5(. בכדי לחשב את מדד המניפולטיביות נרצה לחשב, אם כן, את נפחו. בכדי לחשב זאת נתמקד ראשית בקוביית יחידה איניפיטיסמאלית המועתקת למקבילון תחת הטרנספורמציה הליניארית כמודגם באיור. נפח האליפסואיד יהיה נפח המקבילון האיניפיטיסימאלי בנפח כדור היחידה המקורי שהועתק.

136 ד"ר ניר שוולב 5 'q המהווה את בסיס q ' 'q יהיה שטח המקבילית,q',q' נפח המקבילון שצלעותיו. q ' q' q' המקבילון כפול גובה המקבילון, ובסה"כ: נפח האליפסואיד הוא אם כן a a a J b הביטוי b b לבסוף, אם נזכור כי עבור מטריצה. 'q q' q'. det J a b נקבל כי הביטוי לנפח האליפסואיד )עד כדי הכפלה לדטרמיננטה הוא בקבוע שתלוי במימד האליפסואיד בלבד( הוא: det J J (.) M q עבור רובוט לא יתיר, בו היעקוביאן ריבועי, הביטוי מתנוון ל: M q det(j) (.) משוויון 6.9 אפשר להבין שמדד המניפולטיביות מודד כמה קרובים אנו לסינגולאריות. ככל ש- M(q) הקונפיגורציה קרובה יותר לסינגולאריות. נרצה, כמובן, להתרחק ככל הניתן ממצב סינגולארי ובעזרת שיוויון 6.6 נוכל לעשות כן, ולתכנן את הרובוט כך שהמניפולטיביות של הרובוט תהא מקסימאלית. RR דוגמא: נתון הרובוט המישורי, מצא מהן הנקודות בהן המניפולטיביות של הרובוט אופטימאלית. פתרון: נתון היעקוביאן: שהרובוט אינו יתיר מפרקים, מימדי תנועה(. J נחשב את המניפולטיביות: כיוון,6.9 ניתן, נוכל להשתמש בנוסחה כלומר. כמובן, לבצע פעולות אלמנטריות על 9 9( det(j) det

137 א) ב) ד"ר ניר שוולב 6 המטריצה, מבלי לשנות את det(j). 5 לדוגמא, על ידי חיבור העמודה השנייה לראשונה נקבל. d ejt de t ביטוי פשוט יותר למניפולטיביות: קיבלנו, det כלומר המניפולטיביות אינה תלויה בזווית ומקבלת את המקסימום /. אגב, J שלה כאשר היד האנושית תואמת לחישוב שלנו - פרק היד שלנו נע סביב 6º )בין º ל- 6º(. יתר על כן, נוכל להשתמש בחישוב זה בכדי לייצר אזור מקסימאלי של J מניפולטיביות אם נמקסם את הביטוי הכולל של הזרוע הוא בגודל יחידה, כלומר. M תחת ההגבלה )נניח( כי האורך יהיה M q מקסימאלי אם,, ושוב - כך נהג הטבע בתכנון הזרוע האנושית. תרגיל.: )ראה תרגיל.(: נתון הרובוט RRR המרחבי שבאיור ) חשב את המניפולטיביות של הרובוט ביחס למיקום התפסנית בלבד. ) הקונפי' האופטימאלית למניפולטיביות שאורכי כל החוליות שוות יחידה? מהי אם ידוע פתרון: היעקוביאן נתון בביטוי: ( ) J ( ) ( ( ) ) אנו נדרשים לחשב את המניפולטיביות ביחס למיקום התפסנית בלבד ) דג"ח(. היות והרובוט הוא בעל מוביליות, המניפולטיביות של הרובוט היא הדטרמיננטה של היעקוביאן: M(q) det )לקבלת הביטוי J.) - השתמשנו בזהות וב- נשים לב שהביטוי, ולכן כדי למצוא את האופטימום נגזור את הביטוי לפי למניפולטיביות אינו תלוי בזווית ולפי : M. ומכאן. tg השוויון האחרון מעיד שהתנאי הראשון לקבלת המניפולטיביות המקסימאלית הוא שעל התפסנית det det det det וכן A B det A det B 5 כי

138 א) ב) א) ד"ר ניר שוולב 7 בגובה המפרק להיות אופטימאלית נציב, A )ראה איור לעיל(. בכדי למצוא קונפיגורציה בעלת מניפולטיביות ראשית, את הביטוי שקיבלנו חזרה ל M(q) לקבלת ולקבל :. M כעת נוכל לגזור על פי q M i. 8 בהצבת נקבל שימו לב: ראינו שעבור הרובוט RR המישורי המניפולטיביות המקסימאלית מתקבלת כאשר הזווית בין החוליות שווה ל 6, לעומתו הרובוט RRR המרחבי בשאלה 6.6 מתאפיין במניפולטיביות מקסימאלית ב בין שתי החוליות הדיסטאליות! כלומר הזווית משנה את המניפולטיביות! ) השתמש בתוכנה )בהתייחס למיקום ) חשב את המניפולטיביות של הרובוט שאלה.5: עבור הרובוט המרחבי RRRR מתמטית כלשהי לחישוב המניפולטיביות שלו ואוריינטציה של התפסנית(. R המורכב משלושת המפרקים הסיבוביים האחרונים. )ג( מצא את הקשר בין המדדים שחישבת. מה משמעותו? פתרון: ) למעשה זהו הרובוט מתרגיל 6.6 בתוספת מפרק סיבובי נוסף: ( J ( ). M ) ( ( q det J J ) ) ( ( ) ) על פי שוויון 6.6, המניפולטיביות תהא במקרה זה נסמן a a a b b b לחישוב המניפולטיביות השתמשנו במנוע המתמטי Maple באופן הבא:

139 ב) א) ד"ר ניר שוולב 8 retart: with(lialg):with(iearalgebra): קיצורים alia(eq([i]=o(t[i]),i=..), eq([i]=i(t[i]),i=..)): הגדרת מטריצת היעקוביאן J:= Matrix((,),[[-i(t)*a, o(t)*a, o(t)*a, o(t)*a, o(t)*a, i(t)*b, i(t)*b, o(t)*b,,-a,-a,-a]]); חישוב המניפולטיביות J:=rapoe(J); M:=qrt(implify(Determiat(J.J))); M q a a a b b (a a b a a b b ) b a b a b a b a והביטוי למניפולטיביות הוא: b a a b b ) היעקוביאן המתאים הוא: J' J M q det J ומחישוב J נקבל: M q a a a b b b a b a b a b a b a b a a b b a a b b כדרוש. נשים לב שהביטוי למניפולטיביות הרובוט כולו היא מנת המניפולטיביות של שלשת המפרקים הדיסטאליים בהיטל החוליות הדיסטאליות על מישור Z. כלומר, המניפולטיביות מתאפסת כאשר ההיטל מתאפס, או אז מאבד הרובוט את יכולתו לנוע לכיוון מסוים )לאן?( שאלה.6: עבור הרובוט, מהן הקונפיגורציות בהן המניפולטיביות )ביחס למיקום התפסנית בלבד( שלו מקסימאלית? ) בתרגיל 9.9 חישבנו את היעקוביאן בהתאם לדרישה. פתרון: ניקח את שלשת השורות הראשונות בלבד ונחשב את בסעיף א' המניפולטיביות כדטרמיננטה של היעקוביאן.

140 ד"ר ניר שוולב 9 - J -, q M מדד המניפולטיביות יהיה: ע"מ למצוא את האופטימום נגזור את הביטוי לפי מ. כיוון שלא קיימת תלות בזווית M. ונקבל:, / כלומר: הערה: 6 עבור רובוטים רבים המניפולטיביות המקסימאלית מתקבלת דווקא על שפת מרחב העבודה, וכיוון שכך מדד המניפולטיביות אינו מספק ויש לקבל את תוצאותיו בעין בוחנת. :.9 RRRP 9 SCARA שאלה.: עבור רובוט מדגם בעל דג"ח שנידון בשאלה מהן הנקודות מהן יש להיזהר? מהו המיקום הגיאומטרי של התפסנית, ביחס למערכת הבסיס, כך שמשימה בנקודה זו תבוצע באופן הטוב ביותר משיקולים המיקום הגיאומטרי באמצעות שאר הפרמטרים של הרובוט. פתרון: כפי שכבר ציינו היעקוביאן של הרובוט הוא: קינמטיים? בטא את משוואת J הרובוט מסוגל לתנועה במרחב בתוספת סיבוב סביב ציר Z, ולכן החלק ביעקוביאן שמעניין אותנו הוא: J 6 עבור רובוטים צילידריים, אורתוגונאליים, וכאלו בעלי מפרק פריזמטי בכיוון הרדיאלי.

141 ד"ר ניר שוולב נקבל. det J מכאן, שמצב סינגולארי יתקבל אם:, הן ואלו קונפיגורציות אליהן לא נרצה להגיע. הקונפיגורציות הרצויות לעומת זאת, הן אלו בעלות מדד המניפולטיביות המקסימאלי. נשתמש ב 6.9 לקבלת התנאי. /, / אחת המשימות העיקריות בתכנון מערכת רובוטית היא נושא ב בנושא(, אופן פעולה כלומר קרתו שיבטיח הגעת התפסנית למקומה הרצוי. )הספר אינו עוסק הקורא וודאי מבין שבכדי לעמוד במשימה, על בקר הרובוט להבטיח הגעת כל מפרק למקומו הרצוי. בכדי לעשות כן ברור כי על הבקר להיות מעודכן בכל רגע במצבו של כל מנוע ומנוע ברובוט. בכדי לאפשר זרימת נתונים כזו נהוג להציב על גבי המנועים מקודדים )Eoder( אלו 7 מסוגלים לקרוא את מצב המנועים )באופן אבסולוטי - כלומר קריאת זווית המנוע, או באופן יחסי למצבו הקודם כלומר קריאת כיוון התנועה בלבד(. כפי שניתן להתרשם מדיאגראמת הבלוקים, הנתונים על מצב המנועים זורמים לבקר, זה מעדכן את מצב הרובוט, ובהתאם לאלגוריתם תנועה רצוי בוחר הבקר את מיקום התפסנית הרצוי. באמצעות חישוב הקינמטיקה ההפוכה מחשב הבקר את מצב המנועים הרצוי. בקרת 8 כל אחד מן המנועים נעשית בחוג נפרד. דרישה מרכזית מרובוט, אם כן, היא יכולתו להגיע למיקום רצוי באופן מדויק. בכדי לכ יכולת זו נגדיר מספר מדדים: מת )9( 7 סוג מסוים של מנועים הקרויים מנועי סרוו Motor( )Servo מכילים מקודד ובקר עצמאיים. בחלקם אף ניתן לקרוא את מצב המנוע באמצעות פוטנציומטר המאפשר קריאה מדויקת יותר. 8 האלגוריתמים המקובלים לבקרת מנועים חשמליים מבוססים על הרעיון שבמידה ונוצר פער בין המיקום הרצוי של המנוע ומיקומו האמיתי, הבקר שולח פקודות תיקון למנועים במטרה למזער את. הבקרה על המנועים מתבצעת במגוון שיטות מן הנפוצות שבהן נמנה ארבעה )6( בקרת Bag Bag שמשמעותה שברגע שהמנוע מגיע למקומו נשלחת פקודה להפסקת פעולתו )9( בקר פורפורציונאלי )P( שהוראותיו למנועים פרופורציוניות לשגיאה )( בקר אינטגראלי )I( שהוראותיו למנועים פרופורציוניות לאינטגרל השגיאות בזמן dt. / בקר דיפרנציאלי )D( שהוראותיו למנועים פרו פורציוניות נגזרת השגיאות בזמן t מקובל מאוד לשלב בין השיטות, לדוגמא: בקר PID מתבסס על סכימה של )9(,)( ו )9(.

142 ד"ר ניר שוולב הגדרה: רזולוציית מנוע (Motor Reolutio) מוגדרת כתנועה המבוקרת הקטנה ביותר שאותה יכול המנוע לבצע. רזולוציית המנוע נקבעת ע"י אלגוריתם הבקרה )מכונה לעיתים רזולוציית התוכנה( המכאניים, ועל פי החומרה בה משתמשים לבקרתו זו מכונה לעיתים רזולוציית החומרה(. )בעיקר המקודד והרכיבים רזולוציות אופייניות עבור מפעילים ליניאריים נעות בין עשיריות המילימטר למאיות המילימטר, ואילו עבור מפעילים סיבוביים עשיריות המעלה. לדוגמא, עבור מקודד אופטי למנוע סיבובי, הפולט כ- 6 פולסים בכל סיבוב, תהא רזולוציית החומרה של המנוע )בהנחה שאלגוריתם הבקרה אינו מגביל את הרזולוציה( כ-..9 הגדרה: רזולוציית הרובוט Reolutio) (Robot שאותה יכולה התפסנית לבצע, ומסומנת ב BRU מוגדרת כתנועה המבוקרת הקטנה ביותר.)Bai Reolutio Uit( שתרומת מפעיל ליניארי לרזולוציית הרובוט אינה כתרומת מפעיל סיבובי. אופייניות נעות בין עשיריות מילימטר למאיות מילימטר. שימו לב רזולוציות לבד מהאלגוריתמים של הבקרה עבור כל מנוע והחומרה בה משתמשים לבקרתם, מושפעת רזולוציית הרובוט גם מתופעת החזרה המכאנית.(Baklah) תופעה זו מוגדרת כתזוזה לא רצויה הנובעת מהחופשים המכאניים במפרקים ובמפעילים שונים( ומגמישות החוליות. )וכן בבממסרות, בברגים מובילים שאלה.: נתון הרובוט משאלה 6.. לכל המנועים מחוברים מקודדים בעלי 699 פולסים לסיבוב. בצירים הסיבוביים 6 ו- 9 מחוברת תמסורת הורדה 6:6 בין המפרקים למנועים. הציר הליניארי בנוי כבורג הנעה המחובר למנוע, באופן בו כל 69 סיבובי מנוע מניעים את המפרק הליניארי -6 בכ השלישי אף הוא.5mm מ"מ. 5mm, והאורך המקסימאלי של המפרק מהי רזולוציית הרובוט? כיצד תוכל לשפר אותה? תשובה: בצירים 6,9 המקודדים מחוברים כאמור למנועים ואלו מחוברים באמצעות תמסורת פולסים. למפרקים. ולכן, עבור כל סיבוב של המפרק יפלוט המקודד, המרחק המקסימאלי שעוברת התפסנית בסיבוב אחד של המפרק הראשון הוא. R באופן,.8mm ולכן רזולוציית המפרק הראשון היא דומה התרומה לרזולוציה הנובעת מהמפרק השני היא. R כאמור,,.9mm יחידת הקצה נעה לכל היותר מילימטר אחד בכל עשרה סיבובי מנוע ולכן רזולוציית המפרק הליניארי היא R ולמעשה, R R. R שימו לב ש 8 5 mm

143 ד"ר ניר שוולב זו האחרונה אינה תורמת לרזולוציה, כפי שציינו בהגדרת כושר ההפרדה. הרזולוציה הכוללת. הדרישה האופיינית מרזולוציית הרובוט R R R תהיה אם כן mm היא מילימטר יחיד, ובכדי לשפר את כושר ההפרדה נוכל: )6( להקטין את אורך החוליות )9( להגדיל את רזולוציית המקודדים )( להשתמש בתמסורות 6:9 עבור המפרקים 6,9. מהשאלה האחרונה מתבהר כי מדד כושר ההפרדה )=הרזולוציה( מתייחס למידת התנועה המינימאלית במצב בו התנאים לכך הם הגרועים ביותר. לעיתים נתעניין בביטוי מדויק למידת התנועה המינימאלית עבור קונפיגורציה מסוימת כלומר כושר ההפרדה כתלות בקונפיגורציה זו מכונה בספרות מפת הרזולוציה Map) :(Reolutio שאלה.6: כתבו ביטוי למפת הרזולוציה עבור הרובוט המישורי.RR תשובה: הקינמטיקה הישירה עבור הרובוט נתונה כ: x y,, כושר ההפרדה של כל מנוע כדי נבצע את ההחלפה ונקבל ברובוט מרמז כי כל קונפיגורציה ידועה עד x o( y i( ) o( ) i(, ) ). i( )!..,o( )! נזכור ש-.. מסדר גבוה נקבל אם כן, וכן אם נשמיט את האיברים x y i( ) o( ) i( o( ) ) נשים לב שהתקבל למעשה הביטוי: x - y J, והביטוי לרזולוציה עבור קונפיגורציה מסוימת יהיה:

144 ד"ר ניר שוולב x y o( ) הדיוק הכולל של הרובוט, 9 מוגדר רצויה. הביטוי המתמטי נתון בנוסחה: כיכולתו של רובוט למקם את יחידת הקצה שלו בנקודה A i x x i (.) x i כאשר, x מציינים בהתאמה את מיקום הרצוי אליו כיוונו את יחידת הקצה, והמיקומים האמיתיים אליהם הגיעה התפסנית בסדרת הניסויים. מציין את מספר הניסויים שנעשו למדידת ההדירות. תחת אותם תנאים. סדרת הניסויים מתבצעת כולה הקורא הנאיבי יטען כי ערך מדד הדיוק הוא כמחצית מדד הרזולוציה לכל היותר, ולא יטעה בהרבה )ראה איור(. בכדי לשכלל את הגדרתו ואחרים שמיד ההדירות. יש לכלול אי דיוקים מכאניים נגדיר ונכנה אותם בשם מדד הדיוק המלא מודגם מדד אף הוא באיור וכולל את החלק המדיד )מדד הרזולוציה( ואת סטטיסטי החלק הסטטיסטי. )מדד ההדירות( אנו זקוקים למדד המודד את טעויות ההגעה של יחידת הקצה. במילים אחרות, מדד ההדירות מודד את יכולתו של הרובוט להגיע לנקודה נתונה במרחב העבודה מספר רב פעמים. של הגדרה: מדד ההדיר ות (Repeatability) מוגדר כממוצע סטיות יחידת הקצה ממיקומה הרצוי. הביטוי להדירות ניתן בנוסחה: 9 על פי הגדרת תקן.ANSI/RIA R5.5- קיימת הגדרה חילופית לדיוק הכולל על פי תקן ISO 98

145 ד"ר ניר שוולב R i x i x (.) כאשר x i, x, מציינים בהתאמה את מספר הניסויים שנעשו למדידת ההדירות, את ממוצע המיקומים אליהם הגיעה התפסנית במהלך הניסוי ואת אוסף המיקומים האמיתיים אליהם הגיעה התפסנית בסדרת הניסויים. סדרת הניסויים מתבצעת כולה תחת אותם תנאים. הקשר בין המושגים נתון בנוסחה: A BRU R (.5) הערה: מדד הדיוק תלוי בתנאי העמסה )לדוגמא, ככל שזרוע הרובוט מתוחה יותר כך גדלים המומנטים שחשים המפרקים, ואיתם קטן מדד הדיוק(. מנגד, מדד ההדירות כמעט ואינו תלוי בהעמסה ולכן רוב יצרני הרובוטים מעדיפים לציין את ההדירות. תרגילים נוספים:... נתון חלק גלילי בקוטר מהו הדיוק הדרוש מרובוט בכדי להציב את החלק.7 בדיוק בתוך חור גלילי בקוטר?.. תשובה: על דיוק הרובוט להיות לפחות. מ"מ. הוכח כי עבור רובוט לא יתיר הביטוי למניפולטיביות נתון כדטרמיננטה של מטריצת היעקוביאן. התאם את הבאים, נמק..8.9 א. חוליות הרובוט גמישות. מדד הדיוק גבוה ב. המקודדים מחוברים למפרק ללא ממסר. מדד דיוק נמוך ג. הרובוט מצויד במערכת המזהה ישירות את. מיקום התפסנית ד. רובוט מקבילי הדירות ודיוק גבוהים. הדירות גבוהה

146 ד"ר ניר שוולב רובוטים מקביליים רובוט מקבילי הוא כזה שאחת מהשרשראות הקינמטיות שלו מחברת את יחידת הקצה חזרה לבסיס )ראה תמונה(. רובוטים מקביליים עדיפים על רובוטים טוריים שבהם עסקנו עד כה, מבחינת הקשיחות, מיקום המפעילים, ודיוק. לדוגמא, האקטואציה ברובוט שבתמונה )שמשמש לפעולות אריזה מהירות במיוחד( נעשית כולה מבסיסו, כלומר המפעילים שולטים במפרק הראשון בלבד בכל זרוע. יתרה מזאת, כיוון שהעומס עליהם מתחלק בין מספר רגליים ובדרך כלל העומס על הרגליים הוא צירי בלבד, הרובוטים רובוט מקבילי מסוג Delta המקביליים מתוכננים לעמידה בעומסים גבוהים יותר. רובוטים מקביליים הפכו לחלק בלתי נפרד )אם כי קטן יותר( ממערך הרובוטים במחקר ובתעשייה. בין השאר ניתן למצוא רובוטים מקביליים לסימולטורים לטיסה, מכאניזמים תעשייתיים, אפליקציות הדורשות דיוק רב )ראה לדוגמה רובוט רפואי של חברת Mazor ראה ]9[ ברשימת המקורות( ורובוטים בטכנולוגית.MEMS מצד שני הרובוטים המקביליים קשים לבקרה ובעלי מרחב עבודה מצומצם יותר מאשר אלו הטוריים. בפרק הנוכחי נעמוד על הקינמטיקה הישירה וההפוכה של רובוטים מקביליים, ונעסוק במטריצת היעקוביאן שלהם. בגלל מורכבות החישוב רוב הדוגמאות בפרק תעסוקנה ברובוטים מקביליים מישוריים. נסכם את היתרונות והחסרונות של רובוטים מקביליים בטבלה הבאה: חסרונות יתרונות העומס מתחלק על פני מספר רגליים. יש להימנע מהתנגשות עצמית של חלקי הרובוט,תופעה שכמעט אינה קיימת עבור הרובוטים הטוריים לא יתירים. דיוק וקשיחות גבוהים בהרבה מזרוע טורית. בעיית הקינמטיקה ההפוכה פשוטה. מרחב העבודה הוא "בערך" החיתוך של מרחבי העבודה של כל הזרועות. ולכן קטן יותר בדרך כלל מזה של הרובוט הטורי. בעיית הקינמטיקה הישירה קשה ורבת פתרונות. אפשרות לשש דרגות חופש, אע"פ שהזרועות קצרות ולכן ממדי הרובוט קטנים יותר. אפשרות למקם את המפעילים בבסיס בלבד ובאופן זה מומנט האינרציה, כנגדו המפעילים עובדים, קט ן.

147 ד"ר ניר שוולב 6 הגדרה: רובוט, שהשרשרת הקינמטית שלו מכילה לולאות סגורות נקרא רובוט מקבילי.(Parallel robot) הערה: פרקטית, רובוט מקבילי יהיה מורכב מפלטה נייחת ופלטה ניידת, המחוברות ביניהן ב- K זרועות. לשם פישוט הביטויים המתמטיים בדרך כלל בוחר המתכנן את שתי הפלטות, כמישוריות. בכדי למנוע כפיפת הזרועות ככל שניתן המתכננים מעדיפים בד"כ מפרקי U ו- S בתכנון רובוט מקבילי. הערה: משפחה נוספת של רובוטים מקביליים היא רובוטי חוטים או מריונטות.(Marioette) רובוטים אלו אוחזים בפלטפורמה הניידת באמצעות חוטים. יתרונם של רובוטים כאלו היא במהירות תגובתם )מומנטי האינרציה של החוטים אפסי(. השוני העיקרי מרובוטים מקביליים רגילים היא הצורך להבטיח מתיחות חיובית בחוטים. רובוט מקבילי, אם כן, מכיל שרשראות סגורות כדוגמת מכאניזם מוטות. מכאניזם כזה הוא בעל - דרגות חופש. כלומר להנעתו דרושים - מנועים בעוד ששלשת הנותרים נשארים פסיביים. יוצא מזה, אפוא, שכל רובוט מקבילי יכיל מספר מפרקים לא ממונעים. ברובוט HEXA לדוגמא קיימים 6 מפרקים, אולם בכדי להפעיל את הרובוט דרושים רק 9 מנועים. נסמן את המפרקים האקטיביים בעזרת קו תחתון. פלטפורמת סטיוארט לדוגמא תסומן כ.6UPS דוגמא: הרובוט המקבילי 6UPS מסוג Stewart' platform )ראה תמונה בפרק ראשון ואיור משמאל( בנוי מפלטה ניידת ופלטה נייחת המחוברות ביניהן באמצעות שש זרועות. כ"א מהזרועות בנויה ממפרק קרדן פסיבי B, מפרק פריזמטי ממונע C ומפרק ספרי פסיבי A. השרשרת )פלטה נייחת - זרוע א' - פלטה ניידת - זרוע ב'( מהווה שרשרת קינמטית סגורה. נחשב את מספר המנועים הדרושים להפעלת רובוט מקבילי: מספר המנועים שווה כמובן למוביליות )ראה פרק ראשון( של המכאניזם. כזכור: M 6 --g f i (.) i לכן עבור פלטפורמת סטיוארט נקבל אמנם: u p u p כאשר 69 מציין את מספר החוליות במכאניזם )כל זרוע מכילה 9 זרועות שמופרדות במפרק פריזמטי(. מהתוצאה מתברר שאפשר להפעיל את ששת המנועים באופן בלתי תלוי, ובעזרתם

148 ד"ר ניר שוולב 7 אפשר לחולל מהירות זוויתית ומהירות קווית בששה )פרט לנקודות הסינגולאריות(. מימדים בכל נקודה במרחב העבודה דוגמא נוספת: הרובוט המקבילי 6RUS HEXA מסוג )איור משמאל( מפלטה ניידת בנוי ומפלטה נייחת המחוברות ביניהן באמצעות שש זרועות. כ"א מהזרועות בנויה ממפרק סיבובי ממונע C, מפרק קרדן פסיבי B ומפרק ספרי פסיבי A. סה"כ: r u u r אם מספר דרגות החופש קטן מ- 9, בדומה למה שקרה עבור רובוטים טוריים, ונרצה להזיז את הפלטפורמה באופן מסוים, נאלץ להסתדר עם תלות בלתי רצויה בתנועה. כפי שציינו קודם, בעיית הקינמטיקה ההפוכה עבור רובוטים מקביליים פשוטה לפתרון: בהינתן מיקום ואוריינטציה של הפלטפורמה הניידת נוכל לחשב בקלות את שיעורי נקודת העגינה של כל הזרועות, הן בפלטפורמת הבסיס והן בפלטפורמה הניידת, ובעזרתן נוכל לקבוע את הקינמטיקה ההפוכה לכל זרוע בנפרד. למרות האמור, לרוב קיימות מספר דרכים לניסוח הבעיות ההפוכה והישירה עבור רובוטים מקבילים, ובכדי להקל על הפתרון יש לבחור כמובן את הניסוח הנוח מביניהם. הקינמטיקה הישירה וההפוכה: נדגים את פתרון בעיית תרגיל. נתון מכאניזם 9 מוטות שבאיור עם המפרק האקטיבי.)6( חשב את המוביליות שלו )9( רשום את θ 9 משוואות הקינמטיקה באמצעות קטיעה דמיונית של המכאניזם למכאניזמים הבלתי תלויים הבאים: )9.6( ללא קטיעה. )9.9( הקטיעה תתבצע במפרק שלוש. )( פתור את בעיית הקינמטיקה הישירה. )9( פתור את בעיית הקינמטיקה ההפוכה. --g f i --. F i תשובה: )6( המוביליות של המכאניזם היא כלומר, המכאניזם דורש מפעיל יחיד בעוד ששאר המפרקים פאסיביים. )9.6( בכדי לקבל את ) משוואות האילוץ הקינמטיות נעקוב אחר מיקום המפרקים לאורך השרשרת הקינמטית. באופן זה תתקבל מערכת המשוואות: x : y : o( ) o( i( ) i( ) o( ) i( ) התקבלו שתי משוואות בנות שני נעלמים, ופרמטר ידוע יחיד. )9.9( אם "נפרק" את המכאניזם במפרק שלוש לשני מכאניזמים נפרדים האחד מנגנון RR הכולל את חוליות 6 ו- לשם דוגמא אם נרצה להזיז את הפלטפורמה בזווית ΔØ סביב ציר X ניאלץ להזיז את הפלטפורמה גם סביב ציר אחר.

149 ד"ר ניר שוולב 8 9, והשני מנגנון R המורכב מחוליה שלוש בלבד - משוואות האילוץ הקינמטיות תבטחנה את חיבורן של יחידות הקצה )של שני המנגנונים( בנקודה משותפת: x : y : o( ) o( i( ) i( ) o( ) ) i( ) כיוון ש- שתי מערכות המשוואות שהתקבלו זהות. )( במערכת השנייה. מהעלאה בריבוע וחיבור שתי המשוואות יתקבל: נשתמש o( ) o( ) המשוואה שקיבלנו מתארת את השוויון במרחק מהראשית למפרק שלוש, מחושב בשני מסלולים: האחד דרך חוליות 6 ו- 9, והשני דרך חוליות ו- 9. נסדר את המשוואה ונקבל, o( ) ולכן אם נניח שהתפסנית ממוקמת o( o( למשוואות במפרק השלישי, פתרון הקינמטיקה הישירה יתקבל מהצבת הביטוי ל- ( A o( ) B i( ) C, A o( ) B i( ) C ) האילוץ: כאשר: A B C A B C o( ) i( ) i( o( ) ) o( ) o( ). ולבסוף, הביטוי למיקום ta y i( ) A C A C B C BC AB AB x o( ) o( i( ) ) ומכאן נקבל: התפסנית נתון בביטוי:

150 ב) ג) א) ב) ג) ד"ר ניר שוולב 9 בהנחה שיחידת הקצה ממוקמת במפרק השלישי ונתון מיקומהy, x, שיעורי הזווית. o( ) x y )i( )5( יקבעו בפשטות על ידי משפט הקוסינוסים תרגיל.5: נתון הרובוט המישורי RRR עם זוויות בθ מפרקים האקטיביים. א) ) חשב את ) פתור את בעיית הקינמטיקה ההפוכה. ) נסח את בעיית הקינמטיקה ) המוביליות של הרובוט נתונה באמצעות 8 99 המוביליות שלו. הישירה. תשובה: נוסחות :Gruebler ) נתונים מיקום )נניח של מרכז הפלטפורמה( x,. דרושים ערכי ואוריינטציה של הפלטפורמה y, )i( המפרקים האקטיביים θ. נסמן ב- () b b (), b (), את מיקומי נקודות העגינה של הזרועות על הפלטפורמה הניידת. כאשר (i) b במערכת העולם )מערכת O( יהיה הווקטור נתונים במערכת הפלטפורמה הניידת 'O, ולכן, כאשר R מטריצת הסיבוב b (i) =R z (θ) b (i) z (θ) של הפלטפורמה. כעת, אם נסמן ב- () B, B () B, () של שלושת הרגליים, וב- P את מיקום מערכת צירים 'O, נקבל כי את ווקטורי המיקום של מפרקי הבסיס R Z i i b P B הוא המרחק בין מפרק הבסיס למפרק העגינה ברגל ה- i -ית. וכמובן, ידוע הקשר: R Z i i θ b P B - o θ (i),, ו- כאשר (i) θ הזוויות בין שתי חוליות ברגל ה- i והדיסטאליות. מכאן ניתן למצוא בקלות את תי- אורכי החוליות הפרוקסימאליות θ.θ (),θ (),θ () )i(.}θ { נתונים ערכי המפרקים האקטיביים דרושה האוריינטציה והמיקום של ) הפלטפורמה. לשם פשטות, במקום לחפש את P והאוריינטציה מפורשות, נסתפק במיקום במערכת העולם O. נרשום את שלשת המשוואות: נקודות העגינה () b b (), b (), b i B i - o θ (i) i,,

151 א) ב) ג) ב) ד"ר ניר שוולב 5 ובנוסף, אם יציין את אורך צלע הפלטפורמה הניידת נקבל את שלשת המשוואות: b i b j i j,, התקבלו 9 משוואות ריבועיות בלתי תלויות )עם ששת הנעלמים שהם שיעורי X. b i ו- Y של מכיוון שכל בחירה של ערכי המפרקים יכולה להתבטא במרפק עליון או מרפק תחתון, ולרובוט שלש רגליים, לכל היותר יהיו לרובוט פתרונות לקינמטיקה הישירה. בעיית הקינמטיקה הישירה עבור רובוטים מקביליים מערבת, לרוב, מערכת משוואות ריבועיות קשה לפתרון, ובדרך כלל נאלץ להסתפק בפתרונות נומריים איטראטיביים, שניווכח בשאלה הבאה: כפי תרגיל.6: הרובוט RPS המרחבי שבאיור הוא בעל שלוש רגליים. כל רגל חופשית להסתובב על גבי מפרק סיבובי פסיבי שקבוע בבסיסה. צירם של שלשת המפרקים הסיבוביים שבבסיס הרובוט מאונכים לקו המרחק שלהם מראשית הצירים )הקווים המקווקווים שבאיור(. זווית כל רגל ביחס למישור הבסיס מסומנת ב-. i המפרק המרכזי בכל רגל הוא מפרק פריזמטי אקטיבי ואורכו פסיבי.. כל רגל מחוברת בקצה לפלטה ניידת באמצעות מפרק סיבובי ) רשום את משוואות האילוצים הקינטיים. ) פתור,, ) כמה דרגות חופש לרובוט? את בעיית הקינמטיקה הישירה. ) --g f i F 6 i תשובה )א( המוביליות של הרובוט לשם מעקב קל אחר הפתרון זכרו כי הסימון A B R מתייחס למטריצת הסיבוב המתארת את מערכת B במערכת קואורדינאטות A. כמו כן נסמן את מיקום נקודה P במערכת צירים A A ב- P )ראה פרק 9(. נצמיד שתי מערכות צירים: האחת Bx, y,z P u,v,w למרכזה של הפלטפורמה הניידת. B,B, B החיבור ב- Bx, הוא y,z למרכז בסיס הרובוט התחתון, והשנייה עבור הפלטה התחתונה נסמן את נקודות Bx, ) כבאיור, ונניח שמרחקן מהראשית )כתובות במערכת y,z b כבאיור. הביטוי לנקודות אלו נתון ב:

152 ג) ד"ר ניר שוולב 5 B B B b,, b,, b,, ) P u,v,w P,P, נסמן את מיקום נקודות החיבור לפלטה הניידת ב- P כבאיור. הביטוי לנקודות אלו ביחס למערכת נתון ב: )כתובות במערכת B B B P P Bx, y,z b,, b P, b, b, b, אם נניח שמרחקן אחת מהשנייה הוא p נוכל לרשום את מערכת המשוואות: B B B B P P P P p B B B B P P P P p B B B B P P P P p,, זו מערכת משוואות הכתובה בשישה משתנים: אקטיביים שלשה פאסיביים ושלשה. נפתח את שלושת המשוואות ונקבל:,, () () () b b b ) הקינמטיקה הישירה מוגדרת כמציאת מיקום ואוריינטציית הפלטה P כתלות בערכי. נפתור את מערכת המשוואות )6-( בשיטת האלימינציה,, המפרקים האקטיביים של סילבסטר )ראה נספח א'(. מטרתנו הראשונית תהיה לפתור את מערכת המשוואות.,, באופן שיאפשר למצוא את כתלות ב בכדי לבצע אלימינציה למשתנה נשכתב את המשוואות )6( ו-) 9 ( באופן הבא:

153 ד"ר ניר שוולב 5 A B C A B C, C b, B, A כאשר. C b ו- B, A : o, i ta נציב כעת ולכן ו- ונקבל עבור,=i מטריצת סילבסטר תהיה: A C B A C i i i i i A C S A C A A B C B C A A C B C B A C A C התנאי של סילבסטר לקיום פתרון. det S משוואה יהא A C - A C - B C - B C + A B - A B הדטרמיננטה מערבת כמובן את המשתנים., כעת, נבצע שוב הצבת ta חצי זווית עבור הזווית. מקדמי פולינום זה יהיו פונקציות של ו. נשכתב את המשוואה ונקבל פולינום ב- בכדי לחלץ את. -. -,, ta / נזדקק לפולינום נוסף ב הפולינום עם מקדמים שהם פונקציות של נשכתב את משוואה )( עם המשתנה ו בכדי לקבל את, מקדמי פולינום זה יהיו. נכתוב, ta /. - פונקציות של, ו התקבלו, אם כן, שתי משוואות ב- עם מקדמים שהם פונקציות של ו את מטריצת סילבסטר. נשווה את הדטרמיננטה שלה לאפס לקבלת משוואה פולינומיאלית. על פי משפט גלואה אין אפשרות לפתור את המשוואה באופן ta מדרגה ב- /., אנליטי. עם זאת, נוכל בודאי לפתור באופן נומרי את הדרוש. נוכל לעשות כן גם עבור הביטויים למקדמי הפולינום ארוכים מדי להצגה. בפתרון בעיות מסוג זה מומלץ להשתמש בתוכנה מתמטית סימובלית כ- Maple. ווריסט גלואה Évarite Galoi מתמטיקאי צרפתי בן המאה ה- 66 ממייסדי תורת החבורות ומייסדה של תורת גלואה. מצא את מותו בדו קרב בעודו בן 9 לאחר שורה של תגליות )שקנו לו שם רק לאחר מותו(. הרקע לסכסוך היה ככל הנראה רומנטי. תרומתו העיקרית של גלואה הייתה הוכחה כי במקרה הכללי משוואות

154 ד"ר ניר שוולב 5,,,, כעת, בהינתן ערכי הזווית והאוריינטציה של P ע"י הצבה בנוסחאות ל- כתלות ב- נוכל למצוא את המיקום. מיקום מרכז הפלטה הוא כמובן P, P, P B B B B B B B B u כווקטור P את האוריינטציה נקבל ע"י בחירה בווקטור P. P P P / u B B. v ולבסוף, הווקטור המאונך u בסיס, ווקטור בסיס נוסף )מאונך ל - ) יהיה P P ל- u ול- v יהיה. w u v סה"כ מטריצת האוריינטציה שהתקבלה תהיה: P BR v v u u w w נעבור כעת לעסוק משוואת האילוץ בליניאריזציה לרובוטים היא מקביליים. אם נזכור שעבור רובוטים טוריים Q OU q,q,..., q כאשר מסמן את, Q F OU Q i Q ו-, IN,..., קואורדינאטות התפסנית המוכללות )סיבוביות או לינאריות) m את ווקטור הקואורדינאטות המוכללות )סיבוביות או לינאריות) בכניסה. כלומר, זוהי מערכת. גזירה לפי הזמן תניב את השוויון: i עבור qi Fi,,..., משוואות מהצורה m Q dq dq dt dt dq dt OU F Q IN F F F Q t IN JQ IN J היא כידוע מטריצת היעקוביאן ומפורשות: F F m F m t t t m (6.) כידוע עבור רובוטים מקביליים הכתיבה המפורשת של קואורדינאטות התפסנית כתלות בקואורדינאטות המפרקים קשה ובדרך כלל גם בלתי אפשרית. יחד עם זאת נוכל לכתוב את Q OU q,q,..., q הקשר בין הווקטורים הקואורדינאטות באופן סתום. במפרקים נסמן הפסיביים ב- כעת )סיבוביות או לינאריות) את אלו אוסף כל, למעשה פולינומיאליות ממעלה חמישית ומעלה אינן ניתנות לפתרון בנוסחה שמערבת שורשים, ואפיון התנאים למקרים בהם הדבר כן ייתכן.

155 ד"ר ניר שוולב 5 Q ב-, IN,..., m. הקואורדינאטות של יחידת הקצה נסמן את ווקטור הקואורדינאטות המוכללות האקטיביות )סיבוביות או לינאריות). משוואת האילוץ הסתומה תהיה למעשה מערכת של משוואות סתומות. i עבור F i F Q,Q i OU,,...,,q,q,...,q כעת, באופן דומה למה שעשינו עבור הרובוטים הטוריים, נבצע גזירה: J i F ובכתיב מטריצי נקבל: Q Q i J out Q out i Q t i m F Q out Q t out (.) כלומר, קיבלנו שתי מטריצות יעקוביאן: J IN F F F F F m F m m, J OU F q F q F q F q F q F q (.) J OU נעיר: היעקוביאן יהיה תמיד מטריצה ריבועית. בדומה למקרה הרובוטים הטוריים, JOU, J IN היעקוביאנים יהיו תלויים בכל המשתנים המגדירים את הקונפיגורציה (Sigularity type).,,..., m,q,q,..., q )66.9( הגדרה: לאור משוואה עבור רובוט מקבילי: אינה בדרגה מלאה. נוכל להגדיר מספר סוגי סינגולאריות J IN.I J OU אינה בדרגה מלאה. כיוון שזו מטריצה ריבועית היא סינגולארית..II J, J OU IN שתיהן אינן בדרגתן המלאה..III. JIN v v Q IN עבור סינגולאריות מסוג I, קיימים ווקטורים המקיימים כלומר, קיים צירוף של מהירויות במפרקים הפסיביים אשר רגעית לא יגרום למהירות ביחידת הקצה. המקרה הכללי, בו אנו מכריזים רק על מספר מצומצם של קואורדינאטות פסיביות כעל קואורדינאטות יחידת הקצה, מטופל באופן מעט שונה ב-] 96 [ וב ]99[. במקרה בו אנו מכריזים רק על מספר מצומצם של קואורדינאטות פסיביות כעל קואורדינאטות יחידת הקצה, המטריצה הזו לא תהיה ריבועית.

156 ד"ר ניר שוולב 55, כלומר קיים JOU u u Q OU בסינגולאריות מסוג,II קיימים ווקטורים המקיימים צירוף של מהירויות ביחידת הקצה, אשר רגעית לא יגרור מהירות במפרקים האקטיביים. סינגולאריות מסוג III תיווצר כאשר שני סוגי הסינגולאריות יקרו יחדיו. הערה: באופן זהה למושג הסינגולאריות ברובוטים טוריים, נשים לב שההתייחסות שלנו היא למהירויות ולתנועה רגעית בלבד. יטען הקורא הנאיבי בטעות שאם )לשם הדוגמא( המהירות ביחידת הקצה מתאפסת )סינגולאריות מסוג I( היחידה תהיה "תקועה" כי הרי אינה יכולה להתקדם! טעותו נעוצה בעובדה שאמנם הנגזרת הראשונה של המיקום מתאפסת )המהירות( אבל לא קיימת ערובה לכך שהנגזרת השנייה והבאות אחריה מתאפסות. אלו בתורן יגרמו. x לתזוזה המיוחלת, שכן פיתוח טיילור למיקום נתון כידוע כ- t x x x t t.. תרגיל.6: עבור רובוט ארבעה מוטות שדנו בו בתרגיל 66.6, מצא את מטריצות היעקוביאן, J הם המפרקים הפסיביים., F (, F (, OU J, IN, F q F q ) o( ) o( ) i( ) i( אם מגדירים את כמפרק האקטיבי, בעוד ש- תשובה: בתרגיל 66.9 מצאנו את הקשר: ) o( ) ) i( ) נגזור את המשוואות האלו על פי שוויון )66.9( : F F i( ) i( ) F F o( ) o( ) F F q F F q F i( ) F o( ) i( ) i( ) i( ) o( ) o( ) o( ) i( ) o( ) ומשוואה )66.6( תהא: i( ) o( ) שימו לב שמהירותה של חוליה )ראה איור( הקבועה לאדמה באמצעות מפרק סיבובי ומיקום קצה ב- v v מסמן ווקטור v - נתון כ, v כאשר

157 א) א) ב) ד"ר ניר שוולב 56 v )תרגיל 66.66(. מחד, עבור המרחב התלת ממדי אינו מוגדר כראוי, v מאונך ל- v ולמעשה פורש תת מרחב ווקטורי בן מימד אחד. מאידך, עבור המרחב הדו ממדי מוגדר היטב. הבחנה זו מקלה במקרים רבים על האנליזה של רובוטים מקביליים מישוריים כפי שנראה בתרגיל הבא:? תרגיל.8: נביט ברובוט המישורי הבא, הפלטפורמה התנוונה לכדי נקודה בספרות את נסמן שבו )הרובוט מכונה הווקטורים.(Arahoid כווקטורים מהראשית לבסיס הרגל ה- i i i,,, מבסיס הרגל ה- i של הרגל ה- i למפרק השני ומן המפרק השני ליחידת הקצה המרכזית, בהתאמה. ) מצא את הקשר הליניארי בין מהירויות הכניסה,, במפרקים האקטיביים לבין מהירות i יחידת הקצה. ) מהן הקונפיגורציות הסינגולאריות של הרובוט תשובה: ) נחבר את הווקטורים עבור כל רגל מהראשית הנייחת O למפרק השני וליחידת הקצה. נקבל את מערכת המשוואות הווקטורית: לבסיס הרגל, ומשם P P P מיקום יחידת הקצה. נשים לב שכיוון שאנו מעוניינים זהו ייצוג ווקטורי למשוואת האילוץ במיקום הנקודה בלבד )אין לה P. F x, y כאשר Q,Q i OU אוריינטציה( לא נקבל J OU ריבועית. i t i i, t i אם נגזור את משוואת האילוץ על פי הזמן נקבל: ו- ובסה"כ: p p p θ θ θ () () () () () () () () () (θ (θ (θ () () () θ θ θ () () () ) ) )

158 ב) ד"ר ניר שוולב 57 אנו מעוניינים בקשר הליניארי שבין מהירויות הכניסה במפרקים האקטיביים לכל וקטור v ולכן בכדי v v לבין מהירות יחידת הקצה. נזכור ש i וקטורית ונקבל: i נכפיל את המשוואה ב-,, "להפטר" מ- P P P ובכתיבה מטריציונית קיבלנו: x y ) התקבל הקשר 66.6 מסוג כדרוש. יתקבלו כאשר המטריצה הקונפיגורציות הסינגולאריות בעלת דרגה לא מלאה,, i J IN i i עבור לפחות אחד מה-. i i I כלומר כאשר כלומר כאשר לפחות אחת מהרגליים מיושרת הקונפיגורציות הסינגולאריות מסוג II יתקבלו כאשר מטריצה i j בעלת דרגה לא מלאה, כלומר כאשר עבור שתי J OU מצויות על קו ישר יחיד. רגליים i j לפחות, וכיוון שהחוליות הדיסטאליות האלו מחוברות בנקודת הקצה המשמעות של התנאי היא ששתי הרגליים הקונפיגורציות הסינגולאריות מסוג III יתקבלו כאשר שני התנאים מתקיימים יחדיו, כלומר כאשר שתי רגליים מיושרות מצויות על קו ישר יחיד. תרגיל.7: עבור הרובוט המקבילי המישורי RRR הליניארי. שבאיור, רשום את קשר המהירויות

159 ד"ר ניר שוולב 58 תשובה: המיקום של מרכז הפלטפורמה והאוריינטציה x,. ידוע שהמפרקים של הפלטפורמה יסומנו ב- y,, () () (),, האקטיביים הם נסמן ב- ושהמפרקים פסיביים. () b b (), b (), את () () (),, מיקומי נקודות העגינה הניידת, כאשר של הזרועות על הפלטפורמה נתונים במערכת הפלטפורמה b (i) A את הווקטורים מבסיס הרגליים למפרק השני. ולבסוף (),A (),A () הניידת 'O. נסמן ב- B את (),B (),B () נסמן ב- הווקטורים מהמפרק השני למפרק השלישי. הכלליות נמקם את ראשית הצירים בבסיס הרגל הראשונה, 5 מהצורה : משוואות אם ללא הגבלת האילוץ תהיה () () () x, y b A B לאחר גזירה לפי הזמן נקבל: x, y b () () A () () B () () () () בכדי "להפטר" מהאיברים המכילים את ערכי המפרקים הפסיביים,, () המשוואה ב B ונקבל: נכפיל את B () x, y B () b () () B () A () הצורה 66.6 שהתקבלה היא: B B B () () () B B B () () () b b b () () () x y B () A () B () A () B () A () שתי המשוואות המתארות את השרשראות הקינמטיות של הרגל השנייה והשלישית תהינה זהות, לבד מווקטור מיקום הבסיס שיתווסף לצד שמאל של המשוואה. אך מכיוון שפעולת הגזירה תאפס את האיבר הנוסף, נוותר על כתיבה מפורשת של שלשת המשוואות. 5

160 א) ב) ב) מוב" א) ד"ר ניר שוולב 59 הקונפיגורציות הסינגולאריות מסוג I של הרובוט תהיינה )בדומה לתרגיל 66.( קונפיגורציות בהן אחת הרגליים מיושרות. הקונפיגורציות הסינגולאריות מסוג II של הרובוט תהיינה הקונפיגורציות בהן המשך החוליות הדיסטליות של שלשת הרגליים נפגשות בנקודה. קונפיגורציה אחרת שהיא הסינגולאריות מסוג II תהיה מפגש של החוליות הדיסטליות באינסוף או במילים אחרות שלשת החוליות הדיסטליות מקבילות )ההוכחה המתמטית לזה מתישה למדי על כן לא אציג אותה כאן(. סינגולאריות מסוג III תתקיים כאשר התנאים לשני סוגי הסינגולאריות מתקיימים. עם זאת, יש לשים לב שקיומן של קונפיגורציות סינגולאריות מסוג I או II טחת" כמעט עבור כל רובוט, ואילו הסינגולאריות מהסוג השלישי תופיע עבור בחירה "מיוחדת" של הרובוט. תרגילים נוספים 66.6 עבור רובוט הבנוי כמכאניזם ארבעה מוטות )ראה תרגיל 66.6( אשר יחידת הקצה שלו ממוקמת במרכז החוליה השנייה, ) כתוב תוכנית אשר מחשבת את מרחב העבודה. )מרחב כזה נקרא.)Coupler Curve הקצרה ביותר תוכל להסתובב סיבוב מלא? ) מהו התנאי לכך שהחוליה דוגמא: עבור רובוט, עם תפסנית ) הוכח כי ממוקמת בהמשך חוליה שנייה, במרחק 5 יחידות ממפרק 9 ה Coupler Curve ייראה כבאיור: 66.6 עבור רובוט הבנוי כמכאניזם ארבעה מוטות )ראה תרגיל 66.9(: הקונפיגורציות הסינגולאריות שלו נתונות באיורים. הסבר איכותית מדוע אלו קונפיגורציות סינגולאריות. ) מהן הקונפיגורציות בהן יש סינגולאריות מסוג? III

161 ד"ר ניר שוולב הוכח שמהירותה של חוליה הקבועה לאדמה באמצעות מפרק סיבובי ומיקום קצה מסמן ווקטור מאונך ל- v. v כאשר v v נתון כ- v ב- רמז: רשום את הווקטור מפורשות וגזור על פי הזמן הוכח שקשר הכוחות הסטאטי עבור רובוט מקבילי הוא, F J כאשר τ. J J J IN רמז: עקוב אחר פרק ועבוד לאור משוואה.66.6 OU העוסק בשיטות אקטואציה שונות ברובוט RRR שדנו בו ]9[ 66.6 סכם את המאמר בפרק זה סכם את המאמר ]99[ שעוסק ברובוט מקבילי פופולארי בתעשייה בשם.HEXA

162 ד"ר ניר שוולב מרחב הקונפיגורציה עד כה כשעסקנו בהקשר הקינמטי התמקדנו בשיטות לבצע טרנספורמציות בין מערכות צירים, לבצע ליניאריזציה על משוואות התנועה ולזהות מתוך האנליזה נקודות סינגולאריות. עבור מטרת תכנון תנועה קיימת חשיבות מרובה להגדרת מרחב הקונפיגורציה והמרחב המשיק למרחב הקונפיגורציה בנקודה מסוימת - הוא מרחב המהירויות האפשריות לתנועה עבור קונפיגורציה נתונה )ראה פרק 9(. כפי שהזכרתי בעבר, קונפיגורציה הינה למעשה תמונת המצב של הרובוט, הפלטפורמות שלו. לאמור אוסף פרמטרים שקובעים את מיקום כל מרחב הקונפיגורציה הקונפיגורציות האפשריות של הרובוט. בנוי, וכך, חוליותיו, כפי שיוברר בהמשך הפרק, בסיס הרעיון של תכנון תנועה ובכלל זה מאוסף כל במרחב הקונפיגורציה הוא שכל קונפיגורציה במרחב זה מיוצגת כנקודה במרחב הקונפיגורציה, ומסלול במרחב הרובוט מיוצג כעקום במרחב הקונפיגורציה )ראה נספח ב'(. מרחב הקונפיגורציה יהיה בדרך כלל מרחב "יפה" אך לא תמיד יהיה כך, לעיתים יחוש הרובוט סינגולאריות אחרת, כזו הנובעת מסינגולאריות מרחב הקונפיגורציה עצמו. סינגולאריות כזו תהיה תלויה רק במבנה הגיאומטרי של הרובוט ולא בבחירת המפרקים הממונעים שקורה בסינגולאריות קינמאטית(. מושגי יסוד בטופולוגיה: מרחבים )כפי 6 נתחיל אפוא בהקניית כלים מתמטיים בסיסיים בטופולוגיה opology) (Geeral )נתמקד באלו שיסייעו לנו בהבנת המושגים שנציג כאן בלבד. באופן כללי, נושא הטופולוגיה מורכב ויריעתו עצומה, לקורא המעמיק מומלץ לעיין ב-[ 7],[6],[5 ] להקניית מושג עמוק בתחום הטופולוגיה. בפרט, רוחב היריעה במחקר ברובוטיקה הנעזר בכלים המתמטיים הטופולוגיים 6 טו פו לו ג י ה :opology ענף במתמטיקה העוסק במחקר של אותן תכונות של המרחב הנשמרות תחת דפורמציות רציפות - אלו הנשמרות לאחר כיפוף, מתיחה או עיוות אחר של המרחב, אבל לא קריעה, שבירה או ניקוב חור.

163 ד"ר ניר שוולב 6 רחב אף הוא לסקירה מלאה במסגרת הספר, וגם כאן מופנה הקורא המתעניין לעיון בספרות המחקרית, במיוחד מומלץ לגשת ל-] 9 [(. בבסיסה הטופולוגיה היא הכללה של החשבון האינפיניטסימאלי העוסק בחקר ההעתקות מהמרחב הישר )ציר המספרים, המישור, המרחב וכו'( למרחב ישר אחר. כלומר, הטופולוגיה 7 עוסקת בחקר ההעתקות ממרחב כלשהו )נניח הספירה הדו ממדית - כ פני כדור הארץ( למרחב כללי אחר )נניח לציר המספרים הממשיים המציין טמפרטורה על פני כדור הארץ(. לשם דיון מסודר בטופולוגיה עלינו ראשית להגדיר מהי פונקצית מרחק, שכן על גבי הספירה יש להגדיר מרחק באופן שונה מאשר האופן בו הוא מוגדר על המישור המרחק בין ישראל לסין?( )כיצד תגדירו את. עבור כל זוג מספרים x,y הבה נתמקד בקבוצת המספרים הממשיים נוכל לחשו ב. x y d כעל המרחק ביניהם. נשים לב שפונקצית המרחק הזו מקיימת: d תמיד אי-שלילית, ומקבלת את הערך רק כאשר. d x,y x,y dy,x x,y x y )6( הפונקציה )9( )( על מתקיים אי-שוויון המשולש כלומר d עבור כל שלשה x,y dx,z dz,y. x,y,z כדוגמא נוספת לפונקצית המרחק נציין את המרחק הא יק ל יד י (Eulidia ditae) d( x,x, y,y ) x y x y במישור בין שתי הנקודות x,x, y, y ונוכל לבדוק בנקל שמתקיימים )6(,)9(,)(. בכדי להפוך את הדיון בטופולוגיה לרחב ככל הניתן, נכליל את מושג המרחק/מ טרי קה ditae) :(Metri מטריקה היא פונקציה המתאימה לכל זוג נקודות במרחב נתון מספר חיובי, ומקיימת מספר תנאים פשוטים. בזכות תנאים אלה, אפשר לראות במטריקה הכללה של מושג המרחק מהמרחב האיקלידי למרחב כלשהו: הגדרה: תהא C קבוצה כלשהי. פונקציה d : CC : x,y,z היא מקיימת את שלושת התכונות הבאות לכל C תיקרא מטריקה (Metri) אם. x y תמיד אי-שלילית, ומקבלת את הערך רק כאשר d. d x,y x,y dy,x )6( הפונקציה )9( )( מתקיים אי-שוויון המשולש, כלומר. d x,y dx,z dz,y 7 מימד מרחב מוגדר כמספר הממדים עליו ניתן לנוע. לשם הדגמה אם נתייחס לפני כדור הארץ, אזי מאחר וכיווני התנועה האפשרית הם צפון-דרום ומזרח-מערב, מדובר בספירה דו ממדית.

164 ד"ר ניר שוולב 6. מרחב הגדרה: מרחב מטרי Spae) (Metri הוא קבוצה C עם מטריקה d : CC. C,d כזה יסומן כזוג הסדור RR R דוגמא: מרחב המפרקים של רובוט טורי הוא חלק מן המרחב הקרטזי עליו נוכל להגדיר מטריקות שונות כמו: d ( x, x, x, y, y, y ) x i yi i 6. המטריקה האיקלידית d ( x, x, x, y, y, y ) if if x y x y 9. המטריקה הטריוויאלית d p ( x,x, x, y, y, y ) xi y i p i / p 8. מטריקות מינקובסקי כל אחת מן המטריקות מגדירות מרחב מטרי. שימו לב שהמטריקה הטריוויאלית מציגה מצב מוזר בו המרחק בין כל שתי נקודות זרות במרחב שווה ליחידה, ויחד עם זאת המטריקה הטריוויאלית קבילה )ראה תרגיל 69.9(. על בסיס מושג המרחק נוכל להכליל את המושג רציפות של העתקה otiuity) :(Mappig x הגדרה: ההגדרה הקלאסית: פונקציה f : נקראת רציפה ב אם ורק אם לכל x f x x x קיים, כך שלכל x שמקיים מתקיים. f נוכל כמובן להשתמש במושג הרחב של המטריקה במקום במרחק האיקלידי, בין שני המרחבים המטריים נקראת רציפה ב לאמור: העתקה x אם ורק C d x, C x C,d, E, x C d E, f : C E אם לכל קיים כך שלכל שמקיים שימו לב שהגדרה זו אינה נסמכת מתקיים על התכונות האלגבריות של. d f x,f E x המטריקה אלא רק על שלושת תכונותיה כמטריקה. Mikowki metri d( x,x, x, y,y, y ) x,x, x, y,y, y ) max xi yi המטריקה הינה המטריקה האיקלידית. d ( i 8 הרגילה, ו-

165 ד"ר ניר שוולב 6 סימון: אוסף המספרים שבין a ל- b ואשר אינו כולל את a ואת b, נקרא הקטע הפתוח שבין a ל- b ומסומן ב. a,b אוסף המספרים שבין a ל- b אשר כולל את a ואת b, נקרא הקטע הסגור שבין a ל- b ומסומן ב. a,b עד כה הגדרנו מטריקות על מרחבים איקלידיים מטריקות על מרחבים כלליים יותר: יהי )שמעצם הגדרתן תהיינה גם חסומות(. המטריקה המוגדרת עליה כעל: C, כעת,, אבל הגדרת המרחב המטרי מאפשרת אוסף הפונקציות הרציפות אם נחשוב על f :[,] C, f,g upf x gx : x [,] כעל הקבוצה, d f,gc[,], קיבלנו מרחב מטרי חדש )שאיבריו הם פונקציות(. הערה: יהי (C,d) מרחב מטרי כלשהו ויהי נקראת המטריקה המושרית ועל כאשר A תת מרחב שלו. אזי המטריקה על A C )Idued metri( a,a A שווה למרחקן על פי המטריקה d של ומשמעותה כי המרחק בין שתי נקודות. C ניתן להכליל )וכך נעשה( את מושג הקטע הפתוח למושג קבוצה פתוחה. קבוצה פתוחה היא )בניסוח מרושל( כזו אשר אינה מכילה את איברי הקצה שלה. במילים אחרות, קבוצה נחשבת פתוחה אם מכל נקודה בה ניתן "לנוע מעט לכל כיוון" ולהישאר בתחום הקבוצה בלי לצאת כך הקבוצה ממנה. מתחומי הקבוצה. [a,b) הקבוצה אינה קבוצה פתוחה, שני, היא קבוצה פתוחה )כדור היחידה ה- 9 מניה ( של כדורים פתוחים. הגדרה: קבוצה פתוחה מי שכן כל תזוזה שמאלה מ- a תוציא אותנו ( x,x,,x ) x x x, d, x i מצד מדי הפתוח( וכך גם איחוד כלשהו )סופי או בר בכדי לקבל את ההגדרה הכללית נעזר במושג המטריקה: (Ope Set) C x C d(x,x ), C,d i היא איחוד )סופי או כלומר של כדורים פתוחים בר מניה( )מוכללים( של קבוצות ברדיוס. x i שמרכזם נשים לב שחיתוך אינסופי של קבוצות פתוחות אינו בהכרח קבוצה פתוחה, לדוגמא: החיתוך האינסופי {} אינו קבוצה פתוחה., 9 קבוצה בת מניה היא קבוצה )סופית או אינסופית( שניתן למנות את איבריה. במילים אחרות, קבוצה היא בת מניה אם ניתן "להצמיד" לכל איבר מאבריה מספר טבעי יחיד )באופן שכל מספר טבעי מוצמד לאובייקט אחד(. לדוגמא, קבוצת המספרים הטבעיים וקבוצת המספרים הרציונאליים הן קבוצות בנות מניה, בעוד שקבוצת המספרים הממשיים ),6( אינה בת מניה.

166 ב) א) ד"ר ניר שוולב 65, C,d }x{ תרגיל 5.: הוכח ש הוא קבוצה פתוחה עבור המרחב המטרי כלומר עבור קבוצה כלשהי עם המטריקה הטריוויאלית. פתרון: ברור שעבור המטריקה האיקלידית {x} אינו קבוצה פתוחה. נראה שעבור המטריקה הטריוויאלית אין זה המצב. קבוצה פתוחה מוגדרת כ: A x C d(x,xi ), ובהצבת המטריקה הטריוויאלית נקבל: x C d(x,x ) {x} A i התוצאה הזו אינה אינטואיטיבית, ולכן בעיסוק בטופולוגיה מומלץ להיצמד להגדרות ולהיזהר מהנחות סמויות. כפי שציינתי, עיקר עיסוקה של הטופולוגיה הוא בחקר ההעתקות ממרחב אחד למשנהו. סוג חשוב של העתקות הוא בוודאי ההעתקות הרציפות שאותן הגדרנו. זכרו שהגדרתנו לרציפות נסמכה על מושג המטריקה. אם יכולנו להימנע מהשימוש במטריקה להגדרת הרציפות היה הדבר מהווה פתח להרחבת המושג )וכך נעשה(: C,d, E, C d E f : C הגדרה: העתקה E בין שני המרחבים המטריים נקראת רציפה ב f U אם ורק אם לכל קבוצה פתוחה U E הקבוצה C גם היא פתוחה. x C משפט: שתי ההגדרות לרציפות ההעתקות שקולות. הוכחה: בכדי להוכיח את הטענה נרא ה שכל אחת מן ההגדרות גוררת את רעותה, כלומר: אם E ) f : C היא העתקה רציפה בין מרחבים מטריים, ונתונה U E קבוצה פתוחה, אז f : C גם היא קבוצה פתוחה. ) בהינתן העתקה E בין מרחבים מטריים f U C אשר עבור כל קבוצה פתוחה f U C הקבוצה U E פתוחה, נוכיח ש- f רציפה, כלומר. d f x,f E אז x d x, C שלכל קיים כך שאם x. x f (U) C U E הוכחת חלק תהי )א(: קבוצה פתוחה ונבחר איבר כלשהו. f x ידוע שלכל קיים, כך שלכל x שמקיים במילים אחרות U x יש איבר לכן, אם נבחר. d f x,f מתקיים E x dc x, x הנמצא בסמוך

167 ד"ר ניר שוולב 66 x ל )עד כדי f x. כלומר, קרוב ככל שנרצה ל U d f x,f E x ( כך ש- איברים שמקורם הוא קרוב ל-. במילים אחרות, לכל איבר ב x יש U יש מקור, וסביב המקור f (U) אם כן,. f הזה קיימת קבוצה פתוחה )"סביבה פתוחה"( ש, גם היא כלולה ב (U) בנוי כאיחוד של קבוצות פתוחות ולכן גם הוא פתוח. f : C הוכחת חלק )ב(: תהי E f U C הקבוצה U E העתקה בין מרחבים מטריים, כך שלכל קבוצה פתוחה פתוחה. ותהי x נבחר איבר : f x U נביט ב. f U ~ ידוע ש. d f x,f את E x פתוחה לכל כך ש- ~ U פתוחה, נבחר U ~ U פתוחה שמכילה U ~ ולכן. f x ואת f x x,x f נבחר. max d x,x xf U ~ הנה כי כן, אין צורך במטריקה בכדי להגדיר פונקציות רציפות ממרחב אחד למשנהו. כשקובעים מטריקה על קבוצה לעומת זאת,, X נקבע מייד אילו הן התת-קבוצות A X הפתוחות. מתוך הקביעה מיהן הקבוצות הפתוחות אין להסיק מהי המטריקה. בידיעת אוסף הקבוצות הפתוחות גלום, אפוא, פחות מידע מאשר במטריקה, ומכאן המוטיבציה להגדיר מרחב טופולוגי על קבוצה פשוט ע"י הכרזה מיהן הקבוצות הפתוחות במרחב תחת הגבלות מסוימות: הגדרה: קבוצה C נקראת מרחב טופולוגי pae) (topologial אם קיים בה אוסף של תת קבוצות פתוחות של משפט: מטריקה(. C אשר עבורן מתקיים: 6. איחוד של מספר בן מניה של קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה. 9. החיתוך של מספר סופי של קבוצות פתוחות גם הוא קבוצה פתוחה.. הקבוצה הריקה והקבוצה C כולה נחשבות קבוצות פתוחות. כל מרחב מטרי הוא מרחב טופולוגי. )לא לכל מרחב טופולוגי אפשר להצמיד דוגמא: אם נגדיר את קבוצת המספרים {,,} C כ"עולם" שלנו ונכריז על תת הקבוצות {,,},{,},{,},{},{} כעל הקבוצות הפתוחות, אזי קיבלנו מרחב טופולוגי כשר למהדרין. אבל לא נוכל למצוא למרחב הזה מטריקה שתגדיר את אותן הקבוצות הפתוחות. לדוגמא: המרחבים המטריים, d ו, d כוללים את אותן קבוצות פתוחות.

168 א) ג) ד"ר ניר שוולב 67 מושגי יסוד בטופולוגיה: יחסי שקילות בין מרחבים מטרתה המוצהרת של הטופולוגיה היא מיון מרחבים, טופולוגיים נרצה לקבוע מתי יהיו שקולים, ומתי יהיו שונים. יחס השקילות אותו נרצה לחקור. כלומר: בהינתן שני מרחבים בטרם נמשיך עלינו להגדיר מהו אנו מכירים מספר לא מבוטל של יחסי שקילות בין קבוצות מספרים, משולשים, מטריצות וכדומה, לדוגמא: הוא יחס שקילות בין משולשים. ) יחס השוויון "=" בין מספרים הוא יחס שקילות. )ב( יחס דמיון משולשי ) יחס הדמיון בין מטריצות הוא יחס שקילות. למעשה ניתן להגדיר מספר רב של יחסי שקילות על אובייקטים מתמטיים שונים ובלבד שיהיו דומים ליחס השוויון, במובן שיקיימו את שלושת התנאים הבאים: )6( רפלקסיביות, כלומר כל A יהיה שקול לעצמו. )9( סימטריות, כלומר אם A שקול ל- B אזי גם B שקול ל- A. )( טרנסיטיביות, כלומר אם A שקול ל- B ו- B שקול ל- C אזי A שקול ל- C. נשים לב שהיחסים הבאים שאינם מקיימים את התנאים שלעיל אינם יחסי שקילות, וכך: )א( יחס גדול מ ">" בין מספרים אינו יחס שקילות )ב( "להיות אח של" אינו יחס שקילות בין אנשים. נדמיין מרחב טופולוגי כמרחב גמיש באופן אינסופי, כלומר ניתן למתיחה )אך לא קריעה או הדבקה(, עד כדי יצירת שתי צורות שונות בתכלית. נרצה להגדיר את יחס השקילות באופן שיזהה את שתי הצורות האלו. יחס שקילות כזה ייקרא הומאומורפיזם,(Homeomorphim) ונאמר שהמרחבים הומאומורפיים. ספל הקפה המוצג באיור ניתן למתיחה באופן שיהפך לטו ר וס )גלגל אופניים(. הספל והטורוס הומאומורפיים זה לזה )וכך גם כל צורות הביניים(. המושג באופן פורמאלי: ההגדרה הזו אינה מדויקת דיה ועלולה לגרום לבלבול נגדיר את f : C הגדרה: העתקה E נקראת הומאומורפיזם אם ורק אם היא: מעתיקה קבוצות פתוחות לקבוצות פתוחות. רציפה. חד חד ערכית ועל. )( )( )( ביוונית הומאו = דומה, מורפ = צורה.

169 ד"ר ניר שוולב 68 דוגמא: הקטעים החלקיים של ציר המספרים הממשיים ניתנים למיון לשלש קטגוריות; שני קטעים בקטגוריה נתונה הם הומאומורפיים, וכל שני קטעים בקטגוריות שונות אינם הומאומורפיים: קטעים פתוחים, קטעים סגורים, קטעים עם נקודת קצה אחת. (a,b) f : (a, b) (,) הוכחה: בדקו שההעתקה הקטע של הפתוח לקטע הפתוח x a (,) המוגדרת כ- f (x) היא הומאומורפיזם. ומטרנזיטיביות של יחס b a ההומואומפריזם נובע שכל שני קטעים בקטגורית הקטעים הפתוחים הם הומאומורפיים. A [,) אותה הוכחה תקפה גם עבור שתי הקטגוריות האחרות. שימו לב שאם (, ) A הומאומורפי ל (,) B אז אם תת הקבוצה הפתוחה מתאימה לתת קבוצה [, ) A, a,b ) B ( פתוחה i i מאחר ותת הקבוצה מתאימה גם היא ל. לכן ההתאמה הזו אינה הומאומורפיזם. באותו אופן ניתן להוכיח a,b ) B ( i i שהקטגוריות הן מיון של הקטעים על הישר תחת יחס הההומאומורפיזם. הביטו בסדרת האיורים הבאה: בשורה הראשונה צידה הימני של פיסת הנייר קופלה והודבקה לאורך צידה השמאלי, לקבלת גליל. בשנייה הודבק צידה העליון לצידה התחתון לקבלת טורוס. סדר פעולות ההדבקה אינו חשוב. ניתן להוכיח שהאופי הטופולוגי )הקטגוריה תחת יחס ההומאומורפיזם( של פיסת הנייר שונה מזו של הטורוס, כלומר באמצעות הדבקה )Gluig( התקבל מרחב חדש )הוכיחו זאת(. האופי האינטואיטיבי של פעולת ההדבקה לקבלת מרחבים מורכבים ממרחבים פשוטים יותר מובן, ולכן השימוש בו רב בטופולוגיה. המרחב שהתקבל מפעולת ההרכבה נקרא מרחב המנה Spae) (Quotiet של פיסת הדף תחת פעולת זיהוי צלעותיו הנגדיות. דרך אחרת לתאר מרחבים מורכבים באמצעות מרחבים פשוטים יותר היא ע"י הכפלה: המישור האיקלידי מסומן באופן זה מכיוון שהוא הכפלה של ישר המספרים האנכי (x, y). עם ישר המספרים האופקי כלומר נקודה ב מוגדרת כזוג של נקודות

170 ד"ר ניר שוולב 69 X,Y במרחבים האנכי ו האופקי. ניתן להכפיל באופן דומה כל זוג מרחבים לקבלת.(Produt Spae) שיקרא מרחב המכפלה הקביעה מיהן הקבוצות מרחב חדש X Y הפתוחות במרחבי מכפלה כאן. של מרחבים איקלידים ברורה, בעוד שהקביעה מי קבוצה פתוחה במרחב שהוא מכפלה של מרחבים כלליים איננה טריוויאלית כלל ועיקר ולא תוצג דוגמא: המרחב Sהוא גליל אינסופי. דוגמא: המרחב S S הוא הטורוס. בכדי להיווכח בכך, הביטו באיור שלמעלה כל נקודה בטורוס מתאימה לנקודה בפיסת הדף המקורית. כל נקודה על פיסת הדף היא זוג ערכי (y,x) על צירי הדף, אבל בגלל ההדבקה כל ציר הוא למעשה מעגל S ולכן. ( x, y) S S S S שהוא מכפלה של מעגלים. ניתן להגדיר באותו אופן טורוס -ממדי S יחס ההומאומורפיזם אינו יחס השקילות היחיד בטופולוגיה. יחס שקילות יותר חלש הוא ההומוטופיה.(Homotopy) שני מרחבים יהיו הומוטופיים זה לזה אם ורק אם אפשר לשנות אחד באופן רציף לשני. להדביק(. נכון תמיד: דוגמא לזה היא הכוס שהופכת אט אט לטורוס )בלי לקרוע או שני מרחבים הומאומורפיים הם גם הומוטופיים זה לזה, אבל הכיוון ההפוך אינו דוגמא: עיגול היחידה המלא הומוטופי לנקודה ניתן לכווץ אותו אט אט עד שיהפוך לנקודה. אבל הם אינם הומאומרפיים )התנאי לחד חד ערכיות אינו מתקיים(. דוגמא: הקשר שבאיור הומאומורפי לטורוס מחד. הומוטופי לטורוס, אבל מאידך אינו מכיוון שאין אפשרות לשנות את הקשר לטורוס באופן רציף בלי לקרוע אותו, להתירו ולחברו מחדש. דוגמא: הצורה " " והצורה "O" הומוטופיות אבל לא הומאומורפיות. מושגי יסוד בטופולוגיה: יריעות מרחבים מיוחדים הנושאים מטריקות "משונות" כמו המטריקה הטריוויאלית, קשים להבנה ולרוב פחות שימושיים. לעומתם, המרחבים האיקלידיים אינטואיטיביים יותר. נרצה אם כן להעמיק את הידע שלנו אודות מרחבים שדומים יותר למרחבים איקלידיים. המטריקה על כדור הארץ, כפי שהזכרנו, אינה מובנת מאליה. למרות זאת, אם נתבקש למדוד את המרחק בין בתים סמוכים נציין את המרחק האווירי ביניהם כתשובה הדרושה. כלומר, בסביבת נקודה נקל לדעת את המטריקה. שטח פני כדור הארץ נראה שטוח לתושביו, במילים

171 ד"ר ניר שוולב 7 אחרות, בסביבת כל נקודה עליו נראה כדור הארץ דומה מאוד למרחב האיקלידי, אך במבט כולל הוא בעל תכונות מורכבות יותר )מבט כולל על שטח פני כדור הארץ מגלה את צורתו הכדורית(. יריעות מתאפיינות בעיקר בעובדה שניתן לפרק אותן למספר אזורים שכל אחד מהם הוא בעצם קבוצה במרחב האיקלידי שנמתחה או כווצה. למרות שבאופן מקומי היריעה דומה למרחב איקלידי, התכונות הכלליות שלה יכולות להיות מאוד מפתיעות. לדוגמה, בעוד שבמישור האיקלידי סכום הזוויות במשולש הוא 6, על פני כדור )שדומה למישור באופן מקומי( ניתן למצוא משולשים עם שלוש זוויות ישרות. הגדרה: מרחב יקרא יריעה (Maifold) אם: )6( לכל נקודה קיימת סביבה פתוחה בה הוא מוכל. )9( סביבת כל נקודה בו הומאומורפית ל קבוע לכל הנקודות במרחב. )(.S [,] דוגמא: מרחב המנה של המזהה את נקודות הקצה הוא היריעה החד ממדית S הומאומורפית למעגל היחידה. דוגמא: המרחב הבנוי שני ישרים אינסופיים שנחתכים בנקודה אחת איננו יריעה, שסביבתה הפתוחה של כל נקודה מלבד מנקודת החיתוך הומאומורפית ל 69.9(, בעוד שסביבת נקודת החיתוך איננה הומאומורפית ל. דוגמא: קחו פיסת נייר ריבועית והדביקו את קצה העליון על קצה העליון באופן שהקודקוד הימני בקצה העליון יודבק עם הקודקוד השמאלי בקצה התחתון, והקודקוד השמאלי בקצה העליון יודבק עם הקודקוד הימני בקצה התחתון. קיבלתם טבעת משום )ראה תרגיל מיביוס המעגל. bad) (Möbiu כמוראה באיור. כעת מתחו קו אחד לאורך הרצועה עד לסגירת שימו לב שצבעתם את "שני צידי" הטבעת! במילים אחרות, טבעת מיביוס היא (No חסרת כיוון: אין אפשרות להבדיל בין צדדיה. יריעה כזו נקראת בלתי כ ווי נה,Orietable) לעומת יריעות כווינות עליהן ניתן לציין צד פנימי וצד חיצוני כדוגמת הספירה. משפט: "החורים". יריעות דו ממדיות כווינות ניתנות לקיטלוג על פי הגנ ס ו במילים אחרות, כל המשטחים הדו ממדים בעלי גנוס (Geu) שלהם - מספר )ספירות( הם הומאומואפיים, כל המשטחים הדו ממדים בעלי גנוס 6 )טורוסים( הם הומאומואפיים, כל המשטחים הדו ממדים בעלי גנוס 9 )טורוסים בעלי שני חורים( הומאומואפיים וכו'. משטחים מקטגוריות שונות אינם הומאומורפיים. אין בנמצא משפט מיון עבור יריעות בממדים גבוהים מ 9.

172 ד"ר ניר שוולב 7 משפט: בהינתן פא ון (Polyhedro) )גוף תלת ממדי המורכב מפאות, היוצרות יחד גוף קשיר,חסום וסגור( בעל V קודקודים, E צלעות ו- F פאות, הגנוס של הפאון מחושב באמצעות:. g V E F/ מרחבי קונפיגורציה נתמקד ברובוט R המישורי. כל קונפיגורציה של הרובוט ניתנת לייצוג בעזרת הזוית במפרק. אוסף האפשרויות לזווית הומאומורפי למעגל היחידה )התאימו לכל נקודה על המעגל את הזווית המתאימה לו(. הקונפיגורציות האפשריות של הרובוט כלומר, S S,R.(Cofiguratio Spae) עבור הרובוט הטורי המישורי RR כל קונפיגורציה ולכן נקרא לו מייצג את כל מרחב הקונפיגורציה מיוצגת על ידי זוג זוויות המפרקים ). כאמור, מרחב הקונפיגורציה עבור רובוט R )המפרק הראשון( הוא מעגל היחידה, ) S S. עבור כל נקודה על S נצטרך, אם כן, לצייר מעגל יחידה גם עבור )שכן עבור כל זווית נוכל לסובב את בחופשיות(. זוהי דרך לתאר את הטורוס S. S מעגל היחידה הראשון מתאר את הסיבוב במעגל הגדול על הטורוס, ומעגל היחידה השני - את הסיבוב סביב המעגל הקטן )ראה חצים באיור שלמטה(. בטענה הבאה מובאת הרחבה לדיוננו. טענה: מרחב הקונפיגורציה של כל רובוט טורי RR R )מרחבי או מישורי במבנה כלשהו(. S S S עם מפרקים סיבוביים הוא הטורוס ה -ממדי

173 ד"ר ניר שוולב 7 דוגמא: מרחב הקונפיגורציה של רובוט טורי הוא הטורוס התלת ממדי. ראינו, בנוסף, שהטורוס הדו ממדי S S הומאומורפי לפיסת נייר עם זיהוי צלעותיה הנגדיות. באותה שיטה ניתן לייצג גם את הטורוס התלת ממדי, כלומר זה האחרון הומאומורפי לקובייה שאת פאותיה הנגדיות נזהה )נדביק את הפאה העליונה לזו התחתונה, את השמאלית לזו הימנית ואת הקדמית לאחורית( כמודגם באיור. טענה: מרחב הקונפיגורציה של כל רובוט טורי PP P )מרחבי או מישורי במבנה כלשהו(. עם מפרקים פריזמטיים הוא המרחב האיקלידי ה -ממדי מרחב הקונפיגורציה של רובוט טורי יהיה יריעה כווינה שמימדה הוא מספר האקטואטורים )המוביליות של הרובוט(, והיא מהווה מרחב מכפלה כמתואר לעיל. מרחבי הקונפיגורציה של רובוטים טוריים בעלי סדרת מפרקים זהה אך בעלי מבנה שונה יהיו, אם כן, הומאומורפיים. עבור רובוטים מקביליים עניין קביעת מרחב הקונפיגורציה יותר סבוך, זאת נבין מייד. אך ראשית, נשאלת השאלה האם מרחבי הקונפיגורציה של כל הרובוטים יהיו תמיד מרחבים "נעימים למתבונן" כלומר יריעות. המשפט הבא טוען שהתשובה לכך חיובית כמעט עבור כל רובוט )טורי או מקבילי(: משפט: מרחב הקונפיגורציה של רובוט גנרי המוביליות של הרובוט. הוא יריעה חלקה וכווינה. מימד היריעה הוא הוכחה של המשפט נתונה ב- ]96[ ובבסיסה שימוש במשפט הערך הרגולרי. הביטוי "רובוטים גנריים" דורש הבהרה: היזכרו במכאניזם הפרדוקסאלי )לדוגמא המכאניזם שבאיור או מכאניזם בנט( שדנו בו בפרק הראשון. חישוב של מוביליות המכאניזם שבאיור מראה כי. F אולם בפועל ברור כי =F. הבעיה טמונה, כאמור, בבחירת יחסי האורכים. אם אורך הזרוע המרכזית, לדוגמא, הייתה אחרת מהשתיים האחרות המכאניזם היה אכן "תקוע", אולם בבחירה הנתונה המכאניזם בעל מוביליות 6. ומכאן נסיק כי נוסחת המוביליות נכונה בהנחת גנריות המכאניזם, כלומר בהנחה שאין יחסים מיוחדים בין אורכי החוליות. ולכן בהינתן מבנה של רובוט עם חוליות באורכים גנריים מרחב הקונפיגורציה שלו יהיה )6( יריעה )9( יריעה חלקה במובן שניתן להגדיר נגזרת בכל נקודה על היריעה )( כווינה במובן שיש ליריעה שני צדדים. ניתן לנסח גם את השאלה ההפוכה: בהינתן יריעה, האם קיים רובוט שמרחב הקונפיגורציה שלו הומאומורפי ליריעה? המשפט הבא טוען שהתשובה לכך חיובית.

174 ד"ר ניר שוולב 7 משפט: עבור כל יריעה שנבחר קיים הקונפיגורציה שלה הומאומורפי ליריעה. רובוט הוכחה של המשפט נתונה ב- ][. הביטוי "מרכיב קשירות" דורש הבהרה. מכאניזם הבנוי כמשולש שבסיסו קבוע לאדמה אינו מסוגל לתנועה, ולכן מרחב הקונפיגורציה שלו יהיה מורכב מקונפיגורציה יחידה. אם נתיר למשולש להתהפך נקבל קונפיגורציה נוספת, ובסך הכול יהיה מרחב הקונפיגורציה מורכב משתי נקודות זרות. שאחד ממרכיבי הקשירות של אם נוסיף למכאניזם צלע קטנה שתחבר את שתי שוקיו כמתואר באיור, יתקבל מרחב קונפיגורציה חד מימדי המורכב אף הוא משני מרכיבים אלה )מרחב הקונפיגורציה יהיה הומאומורפי לשני עותקים זרים של.)S מרחב האפשרות היחידה לעבור ממרכיב אחד לשני תהיה לפרק את המכאניזם ולהרכיבו מחדש בצד השני. הם מרכיבי הקשירות של מרחב הקונפיגורציה. המשפט טוען אם כן שמרחבי קונפיגורציה של רובוטים הם כה עשירים עד כי ניתן להתאים רובוט לכל יריעה. פרסם 65 ב הערה: Alfred Kempe הוכחה לטענה יותר מישורית ניתן להתאים רובוט שיעקוב אחריה במדויק. )ההוכחה המלאה נתונה ב ]6[( הבאים: )6( כל עקום מישורי ניתן לניסוח מרוכב. f (z) "חלשה" מבנה ההוכחה נשען על כי לכל עקומה השלבים )9( כל פעולה חשבונית )כפל, חיבור, חיסור, מציאת הצמוד המרוכב( בין מספרים מרוכבים ניתנת לביצוע באמצעים מכאניים. )( ניסוח העקום f (z) באמצעים מכאניים. ליצירת השוויון. f (z) באופן זה המשתנה קביעה מכאנית של יחידת הקצה בראשית z מאולץ לנוע על העקום בלבד. משהבנו כי מרחבי הקונפיגורציה הם יריעות, בחישוב מרחבי הקונפיגורציה של רובוטים מנגנון חמישה מוטות הבנוי כשרשרת סגורה ומשנוכחנו במגוונם העצום, נחזור לעסוק הבנויים כשרשרת קינמטית מישורית סגורה. הוא בעל מוביליות,9 וכך גם מימד מרחב הקונפיגורציה שלו. מצד שני שימו לב שיספיקו שלש זוויות לתיאור מלא של הקונפיגורציה של המכאניזם. נוכל לחשב, אם כן, את מרחב הקונפיגורציה של מנגנון חמישה מוטות ע"י חישוב אילו שלשות (,, ) הן אפשריות. הקונפיגורציה עבור רובוט עם חוליות באורכים Maple ה- קוד. (,,.5,.,) הבא מחשב את מרחב with(plot): := : := : := : := : 5 :=.: impliitplotd({ (+*o(x)+*o(y)+*o(z))^+( *i(x)+*i(y)+*i(z))^-5^ = }, x =..*Pi, y =..*Pi, z =..*Pi, axe Kempe הוכיח את משפט ארבעת הצבעים )משפט חשוב בטופולוגיה( לקול תרועות. למרבה הצער שנה מאוחר יותר התגלתה ההוכחה כמוטעית. עם זאת ההוכחה המתמטית הנכונה למשפט עושה שימוש רב בכלים המתמטיים שהציג.

175 ד"ר ניר שוולב 7 = BOXED, alig = CONSRAINED, orietatio = [5,8], grid = [,,], tyle = PACHNOGRID, lightmodel = light); ומתקבל טורוס דו ממדי בעל גנוס 9: נוכל לחשב את מרחב הקונפיגורציה של שרשרת קינמטית סגורה ארבעה מוטות גם באופן גיאומטרי. באיור שלמטה מודגם מנגנון ארבעה מוטות שנותק באחד ממפרקיו, באופן שנוצרו שני מכאניזמים זרים האחד רובוט RR והשני רובוט R. מרחב העבודה של רובוט RR הוא הטבעת המושחרת שבאיור, ומרחב העבודה של הרובוט R הנותר הוא העיגול המקווקו. אם נגדיר את נקודת הניתוק כמרחב העבודה של מנגנון ארבעת המוטות, אזי מרחב העבודה של המנגנון יהיה החיתוך בין שני מרחבי העבודה, כלומר הקשת.BCD ננסה לשחזר כעת את מרחב הקונפיגורציה מתוך הקשת הזו: קיימת קונפיגורציה אחת אשר מתאימה לנקודת העבודה B זוהי הקונפיגורציה בה חוליות הרובוט RR מתוחות לגמרי. ובדומה, קיימת קונפיגורציה אחת המתאימה לנקודת העבודה D. מנגד, קיימות שתי קונפיגורציות עבור כל נקודת עבודה שבין B ל D על הקשת אחת בה רובוט RR מצוי במרפק למעלה ואחת בה המרפק למטה. בסה"כ אם נסדר את הקונפיגורציות המתאימות לקשת BCD מימין לשמאל נקבל D B ל S. כלומר מרחב הקונפיגורציה הומאומורפי באותו אופן ניתן לחלץ את מרחב הקונפיגורציה גם עבור כל מנגנון 5 מוטות )עד כדי הומאומורפיזם(. רובוטים מקביליים מתאפיינים כאמור בריבוי רגליים אשר אוחזות יחדיו ביחידת הקצה. מרחב העבודה של רובוט העכביש המישורי באיור הימני )ראה ]65[( הוא חיתוך של שלוש הטבעות כמוצג באיור )עבור טיפוס הרובוט הזה קיימים הרבה טיפוסים של מרחב עבודה(.

176 ד"ר ניר שוולב 75 הביטו באיור השמאלי. מרחב העבודה עבור רובוט בעל אורכים מסוימים נראה כירח תח ום בשתי קשתות. כל נקודה פנימית בתוך מרחב העבודה מתאימה ל- 8 קונפיגורציות )מרפק למעלה-מרפק למטה עבור כל אחת מהרגליים(. נדמיין, אם כן, עותקים זרים של מרחב העבודה בצורת ירח ונסמנן ב: (u,u,u),(u,u,d),(u,d,u),(u,d,d),(d,u,u),(d,u,d),(d,d,u),(d,d,d) כאשר המיקום הראשון מתייחס לרגל הראשונה, השני לשנייה והשלישי לרגל השלישית, הסימון u מתייחס לקונפיגורציה עם המרפק למעלה, ו- d לקונפיגורציה בה המרפק תחתון. העותקים הללו אינם זרים, שכן באמצעות יישור של רגל נוכל "לעבור" לעותק אחר: כאשר רגל 6 מתיישרת תהיה יחידת הקצה על הקשת, וכאשר רגל 9 מתיישרת תהיה יחידת הקצה על הקשת. על נקודות המפגש בין הקשתות תהיינה שתי הרגליים 9,6 מתוחות ביחד. במילים אחרות, הקשת והקשת מהוות גשר בין העותקים. מכיוון שרגל אינה יכולה להתיישר, מרחב הקונפיגורציה יהיה מורכב משני מרכיבי קשירות זרים, ונוכל להתייחס רק לארבעה עותקים של מרחב העבודה אשר בכולם האיבר השלישי הוא u. שימו לב שהעותקים udu, uuu מייצגים את אותן הקונפיגורציות מלבד מצב הרגל השנייה )u בעותק uuu ו- d בעותק,)udu אבל לאורך הקשת הימנית שלהם הרגל השנייה מתיישרת ולכן שם הקונפיגורציות זהות! ובסיכומו של דבר, לאחר שנדביק את ארבעת העותקים על פי הסימונים באיור תתקבל צורה הומאומורפית לספירה. כיוון שיש ברשותנו שני עותקים זרים )המתייחסים למצב הרגל השלישית( מרחב הקונפיגורציה יהיה 9 ספירות דו ממדיות. במקום לעקוב אחר ההדבקות יכולנו לספור את מספר הקודקודים, הצלעות והפאות ולחשב את הגנוס: במקרה שלנו, g כלומר התקבלה ספירה כצפוי. / דוגמא: נדמיין כעת רכב רובוטי )מכונה בספרות Automated Guided Vehile או בקיצור )AGV המאולץ לנוע על גבי מישור. נניח כי על גבי המישור נע רכב נוסף. במצב זה מרחב הקונפיגורציה של המערכת כולה יהיה מרחב המכפלה. אם כעת נאסור על הרכבים להימצא באותה נקודה )מטעמי בטיחות(, יהיה עלינו להסיר ממרחב הקונפיגורציה את כל אותם המצבים שבהם שני הרכבים מצויים באותו המיקום. בכל נקודה ב-, בעוד שהשני יכול להיות בכל נקודה הרובוט הראשון יכול להימצא פרט לנקודה בה הראשון נמצא, או במילים אחרות, מרחב האפשרויות העומדות לפני הרובוט הומאומרפי ל-{ {. כיוון שאת "החור" שנוצר מותר להרכיב ככל שנרצה )כדוגמת הכוס והטורוס( המרחב {} הומאומורפי לטבעת S ובסה"כ מרחב הקונפיגורציה יהיה הומאומורפי ל-. S

177 ד"ר ניר שוולב 76 סינגולאריות טופולוגית במרחבי הקונפיגורציה נמקד את תשומת ליבנו במנגנון ארבעה מוטות, שאורכי החוליות שלו.(,,,5) RR היחסים בין מרחבי העבודה של מנגנוני ה- R וה- )המתאימים לשני חלקי המנגנון הנוצרים אם נפרק את המכאניזם במפרק השלישי כפי שעשינו בדוגמא הקודמת( דומים לאלו שניתחנו לעיל, מלבד לעובדה שכעת הקשת המקווקוות נושקת בנקודה C לשפת הטבעת המודגשת. בנקודת ההשקה מתקפלת זרוע 9 על גבי זרוע 6. נשים לב שדרך הקונפיגורציה הזו מנגנון ה RR יכול לעבור ממצב של מרפק עליון למצב מרפק תחתון. וכך, אם נעקוב אחר ההדבקות כפי שעשינו בדוגמא הקודמת, עיגולים מחוברים )פרט לנקודת הומאומורפית ל בנקודה אחת כדוגמת החיבור בין העיגולים( נקבל כי מרחב הקונפיגורציה הומאומורפי לשני."" סביבת כל הנקודות במרחב הקונפיגורציה הומאומורפית ל-, ואילו סביבת נקודת החיבור "", שאינו הומאומורפי ל-. במילים אחרות, מרחב הקונפיגורציה איננו יריעה עבור אוסף אורכי החוליות הנתון התקבלה סינגולאריות מסוג חדש. הגדרה: קונפיגורציה תקרא סינגולאריות טופולוגית Sigularity) (opologial אם סביבת הנקודה במרחב הקונפיגורציה אינו הומאומורפי ל- כאשר הוא המוביליות של, הרובוט. בנקודה שסביבתה הומאומורפית ל- )בדוגמא שלעיל,)= כלומר קונפיגורציה בה התנועה לכל כיוון אפשרית, ניתן להפעיל את כל המנועים באופן בלתי תלוי. מנגד, נקודה בה כל סביבה שלה אינה הומאומורפית למרחב האיקלידי קורה משהו אחר: עבור הדוגמא שלעיל המרחב האיקלידי התחלף במרחב שבו שני מרחבים איקלידיים - זרים, נפגשים. בנקודה מעין זו הפעלת המנועים לא תספק בכדי להחליט באיזה מן המרחבים תתרחש התנועה אנו זקוקים לפתע למנוע דיסקרטי נוסף שעד כה היה מיותר בכדי לקבוע את הקונפיגורציה הבאה של הרובוט באופן מוחלט. הערה: שימו לב שאין כל חשיבות להחלטה אילו מפרקים יהיו אקטיביים ואלו פסיביים )שלא כמו בסינגולאריות הקינמטית(. החשיבות היחידה נתונה למבנה החוליות והמפרקים. למעשה סינגולאריות טופולוגית יכולה להתקבל בכל מכאניזם המכיל לולאות סגורות. מימד מרחב הקונפיגורציה של מכאניזם שווה, כאמור, לערך המוביליות שלו, ומכיוון שזה אינו מוגבל ל-, לרוב אין באפשרותנו לצייר או לדמיין כיצד הלה נראה, לא כל שכן מה אופייה של

178 ד"ר ניר שוולב 77 הסינגולאריות במקרה וזו בנמצא. מכאניזמים המצב פשוט יותר: המשפט הבא טוען כי עבור מרחבי קונפיגורציה של משפט: הסביבה של נקודה סינגולארית טופולוגית של מכאניזם כלשהו )אם קיימת כזו( הומאומורפית לסביבה של נקודה במרחב שהוא מרחב מכפלה. מרחב זה הוא מכפלה של יריעה עם מרחב שנוצר מהדבקת שתי יריעות בנקודה אחת. הוכחת המשפט המלאה נתונה ב ]96[, במאמר מודגם כיצד ניתן לזהות מכאניזמים בעלי מרחבי קונפיגורציה "בעייתיים", ומה אופייה המדויק של הסינגולאריות. תכנון תנועה במרחב הקונפיגורציה קונפיגורצית רובוט מיוצגת כנקודה במרחב הקונפיגורציה מסלול במרחב הקונפיגורציה המחבר בין שתי נקודות מייצג, אם כך, תנועת רובוט מקונפיגורציה אחת לשנייה. בדוגמא האחרונה שבנספח ב' מודגם מסלול במרחב הקונפיגורציה המתורגם לתנועת רובוט. התרחיש בו יש להשחיל חפץ גדול )נאמר פסנתר( דרך פתח )נאמר דלת( המכונה בספרות מתאפיין לרוב בסדרת המהלכים הבאה:» כיוון הפסנתר 5 Piao mover' problem באוריינטציה מסוימת ותחילת השחלה» התקלות בשולי הדלת» נסיגה» קבלת החלטה לגבי אוריינטציה והמשך השחלה עד למצב התקלות נוסף וחוזר חלילה. לעיתים אסטרטגית הפעולה תצלח, לעיתים תכשל מטעמים אובייקטיביים )כלומר לא קיימת כל אפשרות לבצע את המשימה(, ולעיתים תכשל בשל חסרונות האסטרטגיה )טווח הפעולה הקצר אותו יכול לחזות המוביל(. יתרה מכך, בראייה זו אין אפשרות לקבוע מראש אם המשימה אפשרית אם לאו. זכרו שכל נקודה במרחב הקונפיגורציה מכילה את כל המידע שיש לדעת על הרובוט )החפץ(, ולכן הסתכלות על בעיית תכנון התנועה במרחב הקונפיגורציה מאפשרת לתכנן את התנועה "עד לפרט האחרון", כמו גם לקבוע מראש האם התנועה אפשרית. במקרה של השחלת הפסנתר דרך הדלת, מרחב הקונפיגורציה יהיה אוסף כל הטרנספורמציות ההומוגניות האפשריות )ראו פרקים 9 ו- (, ואילו הקונפיגורציות בהן יתקל הפסנתר בדלת יהיו קונפיגורציות "לא חוקיות" מהן ננסה להימנע. הגדרה: מרחב המכשולים Regio) (Obtale הוא החלק במרחב הקונפיגורציה המורכב מאוסף הקונפיגורציות שייגרמו להיתקלות במכשולים בסביבת העבודה של הרובוט. מרחב (Free Spae), המכשולים מסומן. ob C כ מנגד המרחב החופשי מורכב מאוסף 5 אפילו עבור המקרה הדו ממדי קיימים מספר אינסופי של סוגי סינגולאריות ומיונם לא תמיד בר השגה. הניסוח הפורמאלי מעט שונה.

179 ב) ד"ר ניר שוולב 78 6 הקונפיגורציות שאינן במרחב המכשולים, כלומר בהן מותר לרובוט להיות. המרחב החופשי מסומן ב. free C דוגמא: הביטו ברובוט 6R שבדוגמא האחרונה בנספח ב'. מרחב המכשולים שלו יהיה מורכב מ: )א( כל הקונפיגורציות בהן אחת החוליות מתנגשת בחוליה אחרת ) כל הקונפיגורציות בהן המנועים נדרשים לזווית שמעבר לטווח האפשרי שלהם "נכנס" לתוך הקיר. כדי להמחיש את )ג( הקונפיגורציה דו מימדי, כל הקונפיגורציות בהן הרובוט חישוב מרחב המכשולים נניח וש- C ob הוא מרובע. שמרחב נבהיר שוב, הקונפיגורציות הבעייתיות )מטעמים כלשהם( עבר הרובוט. כעת, הרובוט )הקודקוד המודגש במשולש( המרכיבות את המשולש( שנרצה להבטיח המרובע קיים אוסף קונפיגורציות קרובות לעצמנו באיור בין המשולש למרובע נקראת סכום מינקובסקי הגבול המשושה, הוא שפת C free שתהיינה מותרות. עבור קודקוד המשולש המודגש מורכב מאוסף עבור כל קונפיגורציה של )אוסף הנקודות הפעולה המתוארת.(Mikowki) תוצאת הפעולה קו 7 בעיגול. סכום מינקובסקי ישים בכל מימד ולכל גיאומטריה פוליגונלית )לעיתים יהא עלינו גם לסובב את מרחב הפעולה של הרובוט בכדי לקבל את גבול (. free C דוגמא: לשם המחשה נניח שוב הקונפיגורציה הוא דו ממדי. באיור שמרחב מודגמים C ob )בהיר( C free ו- )מודגש( במרחב הקונפיגורציה. מרחב המכשולים התקבל באמצעות סכום מינקובסקי. בעיית תכנון התנועה, אם כן, היא בעיית מציאת מסלול מנקודה לנקודה g. קיימות שיטות רבות לפתרון הבעיה. נזכיר שלוש )רוחב היריעה בהקשר הזה גדול מאוד. הקורא המתעניין יוכל להיווכח במשמעויות השונות הטמונות בניסוח הפורמאלי ה"קר" של בעיית תכנון התנועה, אם יעיין במאמרים ]9[,][,][(: C free הינה קבוצה פתוחה בתוך מרחב הקונפיגורציה, כלומר הרובוט מורשה להתקרב ככל שירצה למכשול, 6 אך לא לגעת בו. לעיתים נרצה להימנע גם מהתקרבות יתר, או אז נגדיר את C ob באופן מחמיר יותר. 7 לעיתים יש גם לסובב את מרחב הפעולה של הרובוט לעומת המכשול, מלבד הטרנסלציה, לקבלת גבול. C free

180 ב) ג) ד) א) ו) ב) ג) ד) ה) ב) א) ג) א) ז) ח) ד"ר ניר שוולב 79 Probabiliti Road Map )איור(: פיזור אקראי של נקודות במרחב הקונפיגורציה. ) הוספת נקודות ההתחלה והמטרה. ) ) סינון הנקודות הנופלות בתוך מרחב המכשולים. חיבור כל נקודה עם k הנקודות הקרובות לה ביותר באמצעות קווים ישרים. ) סינון הקווים החותכים את מרחב המכשולים. ) ) בחירת המסלול הקצר ביותר מתוך הרשת שנוצרה. :Potetial field Algorithm הגדרת הרובוט כבעל מטען חשמלי חיובי. ) הגדרת מרחב המכשולים כבעל מטען חשמלי חיובי. ) ) הגדרת נקודת המטרה כבעלת מטען חשמלי שלילי. ) חישוב שדה הפוטנציאל הנובע מהמטענים, בצורה המאפשרת לרובוט לנוע בהשפעת הכוחות הוירטואליים הנובעים מהמטענים. :Viibility Graph סימון כל הקודקודים המגדירים את גבולות המרחב החופשי. ) הוספת נקודות ההתחלה והמטרה. ) ) סימון הישרים המחברים בין כל זוגות הנקודות. ) סינון הקווים החותכים את מרחב המכשולים. ) בחירת המסלול הקצר ביותר מתוך הרשת שנוצרה. C יהי מרחב קונפיגורציה של רובוט כלשהו )מרחב מטרי(. שמסלולים ב C מתאימים לתנועות של הרובוט, ונסמן ב PC את האפשריים בין שתי נקודות אלטרנטיבי: הגדרה:. :, C,g לכל נקודה ב-,g לשם הסדר הטוב, נזכיר 8 מרחב כל המסלולים כפי שנוכחנו בעבר בעיית תכנון התנועה מוגדרת כמציאת מסלול ב-. C לאור ההגדרות הללו, ניתן לנסח את בעיית תכנון התנועה באופן ב- CC יש להתאים נקודה כך ש PC ב ( ) ו- ( ) g לקבלת תכנון תנועה על מרחב קונפיגורציה. C. :CC PC נסמן את תכנון התנועה ב 8 נסתפק בלציין שניתן להגדיר את הטופולוגיה על PC באופן זה PC הוא מרחב טופולוגי., כלומר להגדיר מהו אוסף הקבוצות הפתוחות במרחב.

181 ב) א) ד"ר ניר שוולב 8. ' מנקודת מבט זו, מתבהרת השאלה: בהינתן מרחב הקונפיגורציה, האם ניתן לנסח מערכת חוקים רציפה במובן ש:. אם ניתנה נקודת התחלה ונקודת סיום g והתקבל מסלול מתאים... הזזנו מעט את נקודת התחלה +d ונקודת הסיום g+dg התקבל מסלול שני שני המסלולים 9 ' ו- אינם שונים בהרבה זה מזה. הבה נבחן זאת: נניח שמרחב הקונפיגורציה הומאומורפי ל- רציפה לתכנון התנועה עליו: S, וננסה לנסח מערכת חוקים עבור כל זוג נקודות נבחר את המסלול בכיוון החיובי ביניהן. תכנון תנועה כזה אינו תכנון תנועה רציף. נדגים זאת: נבחר נקודה כקצה הצפוני של המעגל ו- g מעט משמאלו. המסלול המחבר בין שתי הנקודות מוגדר היטב על פי תכנון התנועה שבחרנו. כעת, אם נתחיל להזיז את g לאורך היקף המעגל ונבחן את השינוי שחל במסלול נראה כי המסלול הולך וגדל ברציפות, בעוד אנו משנים את מיקומו עד למצב בו g כמעט הגיעה ל- ונמצאת מעט מימינו. במצב זה המסלול שנבחר עבורן הוא זה המקיף את המעגל כמעט בשלמותו. כעת, g, אם תחלוף על פני באופן לא רציף ויתקצר לכדי הקטע הקצר המחבר בין ותתמקם מעט מימינו,.g ו- ננסה תכנון תנועה אחר: הקצר ביותר ביניהן. לפתע ישתנה המסלול ) לכל שתי נקודות לא קוטביות על המעגל נבחר את המסלול ) לכל זוג נקודות קוטביות נבחר את המסלול לאורך הכיוון החיובי - על המעגל. גם זה אינו תכנון תנועה רציף. נדגים זאת: עבור כל תזוזה אינפיניטסימאלית של הנקודות, כך שהן לא "עוברות" את המיקומים הקוטביים, תכנון התנועה יהיה רציף שינוי קטן במיקום הנקודות יניב שינוי קטן בבחירת המסלולים. שנחלוף על פני המיקומים הקוטביים ישתנה תכנון התנועה באופן לא רציף. לעומת זאת, ברגע נוכחנו, אם כן, לדעת, כי התשובה לשאלה ששאלנו שלילית כאשר מדובר במרחב קונפיגורציה הומאומורפי למעגל. המשפט הבא מתאר את המצב הכללי: משפט: לנקודה. קיים תכנון תנועה רציף :CC PC C על אם ורק אם C הומאומורפי ההוכחה למשפט נתונה ב-] 9 [. לאור המשפט ברור שאין בנמצא תכנון תנועה רציף עבור רובוט שמרחב הקונפיגורציה שלו הומאומורפי למעגל. באופן דומה, מכיוון שמרחב הקונפיגורציה של זוג הרכבים הנעים על המישור הומאומורפי ל, גם עבור המערכת S 9 התיאור המדויק של הדרישה נתון ב- ]9[.

182 ד"ר ניר שוולב 8 הזו אין בנמצא תכנון תנועה רציף. אם נחזור לניתוח הניסיון השני ליצור תכנון תנועה רציף על גבי המעגל, נראה כי ניתן היה לחלק את מרחב המכפלה CC לשני אזורים: (,g) CC g - ו (,g) CC g אשר בתוך כל אחד מהם יהיה תכנון התנועה רציף. מספר תת הקבוצות המינימאלי של מרחב. המכפלה C(C) אשר בכל אחת מהן תכנון התנועה רציף, מסומן ב, CC משפט: לשני מרחבי קונפיגורציה הומוטופיים אותו C(C). ההוכחה למשפט נתונה ב-] 9 [. תרגילים נוספים הוכח היא אכן מטריקה. שהפונקציה d ( x, x, x, y, y, y ) x i yi i. הוכח שהפונקציה. d היא אכן מטריקה. ( x, x, x, y, y, y ) if if x y x y הוכח שהפונקציה. d p ( x,x, x, y, y, y / p p ) xi yi i היא אכן מטריקה הוכח שהקבוצה (a,b) הומאומורפית ל הוכח שהמרחבים שבאיור הומאומורפיים: UU 69.9 מהו מרחב הקונפיגורציה של רובוט טורי U )מרחבי( עם מפרקי קרדן? היעזרו בתוכנת Matlab לחשב את מרחב הקונפיגורציה עבור.(,,,.8) 69. מכאניזם ארבעה מוטות שחוליותיו באורכים מרחב הקונפיגורציה גם באמצעים גיאומטריים. תשובה: חלצו את 69. הראו שמרחב הקונפיגורציה עבור מנגנון חמישה מוטות עם אורכים

183 ד"ר ניר שוולב 8 (,,.5,.,) הוא הטורוס הדו ממדי בעל גנוס 9. נקטו בשיטה גיאומטרית מצאו אוסף אורכים עבורו מתקבלת סינגולאריות טופולוגית במרחב הקונפיגורציה של רובוט העכביש המישורי למנגנון ארבעה מוטות שמרחב הקונפיגורציה שלו S הוכיחו שמרחב הקונפיגורציה של המנגנון החדש הוא טורוס דו ממדי רכב רובוטי (AGV) מאולץ לנוע על גבי מסלול קבוע שצורתו מחוברים בנקודה אחת(, מוסיפים חוליה קטנה מאוד. ונניח כי על גבי אותו מסלול נע רכב נוסף. הקונפיגורציה של המערכת כולה יהיה מרחב המכפלה )שלושה קטעים במצב זה מרחב, פחות הקונפיגורציות בהן שני הרכבים מצויים על אותה נקודה. מצאו את מרחב הקונפיגורציה של שני הרובוטים )ביחד(. תשובה: היעזרו ב-] 9 [ לקבלת:

184 ד"ר ניר שוולב 8 נספח א': ליניארית פתרון מערכת משוואות לא נציג כעת את שיטת האלימינציה של סילבסטר Elimiatio) )Sylveter' Dialyti לפתרון מערכת משוואות פולינומיאליות המופיעות תדיר בפתרון בעיות קינמטיקה עבור רובוטים טוריים ומקביליים. )לעיתים מתקבלות משוואות במשתני o ו- i אשר על ידי הצבת ta חצי הזווית, )ראו הערה בפרק 5( ניתנות אף הן לביטוי פולינומיאלי, ולכן נוכל להתרכז רק במערכת משוואות פולינומיאליות(.. m ונניח ללא הגבלת הכלליות ש, P a S b m a b m a m b a b m m i ו- x a x i Px- היא המטריצה: a a b b m a a b b i a b a b i b x Q x x i i תהיינה מטריצת סילבסטר של וQ (m) (m) על פי הקריטריון של סילבסטר, ל- x Px- וQ פתרון( שונה מ- 6 אם ורק אם. det S קיים מ ח ל ק משותף )במילים אחרות - קיים g x bx bx לדוגמא: בהינתן הפולינומים b ו- f מטריצת סילבסטר תהא: x ax a x ax a a S b a a b b a a b b b a a b b a b

185 ד"ר ניר שוולב 8 g x b x, b a ובמקרה Px- x. det S ואמנם עבור det S b כלומר קיים פתרון רק במקרה בו Reultat ו- ולכן קיים פיתרון למערכת המשוואות אם ורק אם 6 a 6 f נקבל. x / a x a x זה הפתרון יהא בספרות, הדטרמיננטה של מטריצת סילבסטר קרויה ה וQ של ומסומנת ב- rep,q. הקריטריון של סילבסטר יסייע לנו כעת בפתרון מערכת המשוואות הפולינומיאליות g המשוואות בדרגות m ו- בהתאמה, נדגים כיצד: x, y ו- f x, y i bx Qx i i g x, y f x, y נציג את המשוואות ו- בצורה- ו-., a i a i (y) ו- b i b (y) כאשר המקדמים i תהיינה למעשה P m i x a x i פונקציות של המשתנה y. נבנה את המטריצה של סילבסטר S באופן זהה לזה שתואר לעיל. det S הוא פולינום ב. y נפתור אותו אנליטית אם הדבר מהבניה נובע, אם כן, ש- אפשרי או נומרית, אם לאו. הפתרון יהיה, על פי קריטריון סילבסטר, התנאי לקיום,x,x,x,,x,,x m i פתרון ל- x. מעתה נתייחס לחזקות כאל רשימת נעלמים. ולמערכת... כאל מערכת משוואות ליניארית. נציב את m,x,x,x,,x,,x P ונפתור את המערכת כמערכת m i ול- x a x i i i b x Q x i i הפתרון ל-.) x,x,x,,x,,x m משוואות ליניארית )נמצא את x x נבדוק אילו מהפתרונות אמיתיים. כלומר אילו מן הפתרונות מקיימים אמנם.5 וכו'. a b y x דוגמא: נתונות שתי המשוואות הפולינמיאליות: a xy a x a y a b xy b x b y b נשכתב את המשוואות ונקבל על פי )6( ונקבל: על פי משפט Bézout במצב זה קיימים לכל היותר m פתרונות למערכת זו. x, y

186 ד"ר ניר שוולב 85 C b y b, B' b y b Bx C A' x, A' S A' B' x C' b.i y a, C a y ay a כאשר מטריצת סילבסטר תהיה: B a ו- B B' A' C B C' B' C C' a i b i לשם דוגמא נניח ש יהא y ופתרונותיה לכל התנאי של סילבסטר לקיום פתרון y / i הצבת הפתרון /. y / i / x i / ו- x / i/ x i x i x,x dets y למערכת המשוואות המקורית תניב: שפתרונה פתרון קביל. כמערכת משוואות לינארית ב יהיה הצבת הפתרון / i y / למערכת המשוואות תניב פתרון קביל נוסף. וזהו הערה: שימו לב שמטרת סעיפים 6- להוריד ב- 6 את מספר הנעלמים. את אלגוריתם לפתרון ניתן ליישם איטרטיווית על מערכת מרובת משתנים להוריד את מספר המשתנים: דוגמא: נתונות שתי המשוואות הפולינומיאליות x y 5 m x y 5 m נשכתב את מערכת המשוואות כאשר m יהיה המשתנה ו- x,y פרמטרים באופן הבא: S m m m m x x 6x y 6x y x 6x y 6 x 6x y x x 6x y 6x y 6 6 ולכן:

187 ד"ר ניר שוולב 86. dets x 6x y 6 נחשב את הדטרמיננטה ונקבל: התנאי לקיום פתרון. x באופן זה הורדנו את מספר המשתנים ב 6x y למערכת המשוואות יהא אם כן 6 6. באם היו ברשותנו משוואות נוספות יכולנו להמשיך בתהליך. הערה: סעיף 9 באלגוריתם הפתרון הוא דרך פשוטה לקבלת מספר רב של משוואות מהמשוואות הנתונות באמצעות הכפלתן בנעלמים; ולמעשה קיימות שיטות שונות לפתרון באמצעות אלימינציה ואלו תקבענה קבוצות משוואות אחרות.

188 ד"ר ניר שוולב 87 נספח ב': תכנון תנועה )על קצה המזלג( הכותרת של הנספח מטעה מעט, מסלול רצוי. נציג בקצרה את הדרכים ליצירת למעשה עיקר דיוננו בנספח ייסוב על הדרכים "להחליק".)Motio Plaig) התכנון מוגדרת בספרות במגוון דרכים. תכנון תנועה בעיית לשם שלמות הדיון נציג ראשית דוגמא לבעיית תכנון תנועה במרחב התפסנית heme).(ed effetor motio plaig דוגמא: עבור רובוט RR מישורי יש לתכנן את תנועת התפסנית כך שתסתובב במעגל ברדיוס. v x, y ובמהירות קבועה שמרכזו ב R תשובה: אנו מעוניינים במיקום התפסנית בלבד פשוטות יחסית, ופתרונן נסמך על פתרון בעיית הקינמאטיקה ההפוכה: מסלול התפסנית הרצוי נתון!.בעיית תכנון תנועה במרחב התפסנית x x R o t y y R i t x Ri t, (.B) y Ro באמצעות גזירה נקבל t מצד שני כלומר הקינמטיקה הישירה נתונה בצמד. x ata x. v / R, v x ולכן y R y המשוואות )ראו פרק 9( פתרון בעיית הקינמטיקה ההפוכה נתון ב: y, x ata, y (B.) (B.) (.B) נציב את משוואה ב בכדי לקבל את ערכי הזוויות הדרושות. נקבל את ערכי המפרקים שבגרף. אם נציב, 8,(x, y ) (5,),R ההגדרות השונות גוררות שיטות טיפול שונות. בין השאר נמנה את בעיות תכנון התנועה במרחב המפרקים, במרחב העבודה, בעיות של הימנעות ממכשולים בגיאומטריות קבועות, בעיית הימנעות ממכשולים בתנועה, בעיית הימנעות מהתנגשות עצמית )עבור רובוטים יתירים(.

189 ג) ד"ר ניר שוולב 88 q Sheme( )Joit )מרחב תכנון התנועה במרחב המפרקים בבעיית כעת, נתמקד, לשם בהירות נגדיר שוב את המושג הקונפיגורציה )שדנו בו בהרחבה בפרק הקונפיגורציה(. מפרקים קיימים, מוביליות טורי או מקבילי כללי בעל בהינתן רובוט.)69 הגדרה:,q,..., q המפרקים q אשר אם נקבע אותם י קב ע הרובוט מבלי אפשרות לזוז. ווקטור הערכים של C נקרא הקונפיגורציה של הרובוט.,q,..., q בעיות תכנון התנועה הן בעיקרן בעיות ה מ נ ע ות. ובדרך כלל יודע המתכנן לבחור סדרת נקודות בהן מותר לרובוט להימצא )לעיתים קרובות עיקר הבעיה היא בבחירתן(. לרוב ירצה המתכנן לקבל תנועת מפרקים חלקה העוברת דרך כל הנקודות הללו )הן מסיבות טכניות שיפורטו בהמשך, מסיבות אסתטיות ומטעמי ממשק אדם מכונה(. הגדרת הבעיה: יהי C,C,, C t,t,, t א. ב. ג. רצף קונפיגורציות נוכל אם כן לנסח את הבעיה: שנרצה מוגדרות. יש לבנות עקום תנועה רציף במרחב הקונפיגורציה העקום עובר דרך כל הנקודות C t C t להגיע אליהן בנקודות זמן Ct כך ש:. C t C, Ct C,, Ct C הפונקציות C תהיינה רציפות. t, C t. בעיית תכנון התנועה במרחב המפרקים, אם כן, יכולה להתפרש בשני אופנים: במרחב הקונפיגורציה )איורים ימני ואמצעי( זוהי בעיית בחירה של עקום פרמטרי העובר דרך Ct ההגבלות )ב( ו- נקודות נתונות. C t C, Ct C,, Ct C.). עם שתי במרחב הרובוט )איור שמאלי( פתרונה יהא קביעת ערכי המפרקים לאורך פרק זמן, כך שבכל אחת מנקודת הזמן הנתונות, t,t,, t t C, Ct C,, Ct C מאיצים ממנוחה וחוזרים למנוחה בסופו. ותאוצתם נובעת משתי סיבות: מפרקי הרובוט נתונים כ-. C עם הגבלה שבראשית המסלול המפרקים )ג( הדרישה לרציפות מהירות המפרקים

190 ד"ר ניר שוולב 89 א. כיוון שאת מצב המפרקים קובעים מנועים בעלי כוח )מומנט( מקסימאלי נתון, כלומר עלינו )שמתקבל מהאינטגרל של C לדרוש מתכנון התנועה ש- t תהיה חסומה. ולכן ברור ש- t C ) C רציפה. t ב. התאוצה C t נקבעת מהזרם המסופק למנוע, ועדיף שזה האחרון יהיה רציף בזמן. ומכאן שעל התאוצה להיות רציפה. התוכנות המתמטיות Matab ו- Maple לפתרון בעיית ההחלקה נעמוד על שניים: מציעות מגוון כלים הראשון היא קירוב פולינומיאלי (Polyomial Iterpolatio) אינטרפולציה עבור כלומר זוהי גישת פולינומיאלית על סדרת הנקודות בקטע סגור. בעיית תכנון התנועה ברובוטיקה השיטה מציגה חיסרון ברור. חסרונה נעוץ בעובדה שלפולינום מסדר גבוה אופי תנודתי )התופעה נקראת ע"ש Carl Ruge ובבסיסה העובדה שלפולינום ממעלה + יש "תנודות"( ללא קשר לפונקציה אותה הוא מקרב. האיור שמשמאל מדגים )מלמעלה למטה( קירוב פונקצית מ ד ר ג ה באמצעות פולינומים מדרגה,5, ניתן לראות בבירור שבעטיה של תופעת Ruge מסדר גבוה חורג בהרבה מהרצוי. הקירוב לפולינום אינטרפולציה היא לקירוב אלטרנטיבית גישה הנמנעת משימוש בפולינומים ממעלה פולינומיאלית חלוקת מתקבלת על ידי אינטרפולציה כזו גבוהה. הקטע לאוסף של תתי קטעים ובניית פולינום נקרא קירוב באופן זה לפי קטעים. אינטרפולציה קירוב פולינומיאלי בחלקים. יתרונה של השיטה שהיא מאפשרת שימוש בפולינומים ממעלה נמוכה בכל תת הסוג הפשוט קטע ובאופן זה מקטינה את התנודתיות. נקרא בחלקים פולינומיאלי קירוב של ביותר אינטרפולציה לינארית בחלקים והוא מתייחס לסדרת סדרה של קוים אשר מחוברות ביניהן ע"י נקודות ישרים. א ינ ט ר פו ל צ י ה, ב י ון, ש ר ב וב, אומדן של ערכי ביניים על פי ערכי הקצה.

191 ד"ר ניר שוולב 9 ההנחה שבין כל זוג צמתים )נקודת אינטרפולציה( הפונקציה ניתנת לקירוב ליניארי היא סבירה בתנאי שהפונקציה רציפה והנקודות סמוכות דיין זו לזו, אך הקירוב אינו מתאים אם הדרישה ל"חלק ות" חשובה. במקרה זה נקבל בכל צומת משותפת לשני תתי קטעים פינה משוננת שמקורה באי רציפות הנגזרת הראשונה בצומת זו. סוג נפוץ יותר של קירוב פולינומיאלי בחלקים, המבטיח רציפות של הנגזרת הראשונה והשנייה בצמתים )ובכך מבטיח קירוב "חלק"( מתקבל ע"י אינטרפולציה המבוססת על פולינומים ממעלה אינטרפולציית בכל תת קטע בין שתי נקודות אינטרפולציה עוקבות )מנאיור התחתון ניתן Splie להיווכח ביתרון שבאינטרפולצית Splie מ דרגה שלוש על פני אלו בדרגה אחד )אינטרפולציה ליניארית איור עליון( וזו בדרגה שניים )ראה איור אמצעי הנגזרת הראשונה אמנם חלקה אבל עדיין קיימות אי רציפויות בנגזרת השנייה ואלו מתורגמות ל"שבירות" לא עדינות בתוצאה הסופית( - לפולינום ממעלה שלוש ישנם ארבעה פרמטרים וזה מתיר מרחב גמישות המבטיח לא רק שהאינטרפולטור גזיר ברציפות בקטע, אלא גם שהנגזרת השנייה שלו רציפה בקטע. הרעיון הכללי: יהי a x x נקודות בתוכו, x b קטע ותהיינה I a,b אשר להן מתאימים הערכים y y k k. I k k x k k, x k C x D k נדרוש: נחלק את הקטע ל-. y תת חלקים בכל תת קטע נבנה פולינום מדרגה שלוש, y (x) A x B x כך שהפולינומים ייפגשו באופן "ידידותי" כלומר. k שהפולינומים יעברו בנקודות כלומר ש- y לכל k (x k ) y k. k לכל yk (x k) yk (x k) - שהפולינומים ייפגשו באופן רציף אחד את השני. k yk '(x k) yk '(x k) שהנגזרות הראשונות תהיינה רציפות - לכל. k yk ''(x k) yk ''(x k) שהנגזרות השניות תהיינה רציפות - לכל y '(x ) y'(x) דרישתנו האחרונה )ראה הגדרת הבעיה( היא ש- לבחור דרישה אחרת אם נדרש לכזו ובלבד שתקבע שתי דרגות חופש( )נוכל הערה: נשים לב שהבניה של ספליין מדרגה שלוש איננה מניחה כי הנגזרות של האינטרפולטור מתלכדות עם אלו של הפונקציה, אפילו בנקודות האינטרפולציה. מקור המושג Splie לקוח מהדרך בה נהגו בעבר ליצור עקומות בתעשייה. המתכנן היה מניח מספר ש ג מ ים (Splie) ע"ג לוח, ומותח מוט אלסטי באופן שזה האחרון יעבור דרך סדרת השגמים וייצו ר עקום חלק ויפה.

192 ד"ר ניר שוולב 9 כאמור התוכנות המתמטיות Maple ו- Matlab אינטרפולציית,Splie נדגים כעת את השימוש בהן ב :Matlab דוגמא: נתון רובוט הזחל, 6R המודגם בתמונה )ראה גם ]6[(. מטרתו לטפס על קירות אנכיים בתנועות המחקות תנועות זחל. הקונפיגורציה של הרובוט ח ושב מציעות פונקציה מוכנה לחישוב מרחב והמתכנן מעוניין בתנועת היפוך )כלומר קצה תחתון יתהפך ויהפוך להיות קצה עליון, כמודגם באיור( שתהא מינימאלית בצריכת ההספק מן המנועים. לשם כך ידועה סדרת נקודות הביניים המתוארת באיור. התזמון של התנועה נתון בווקטור. t (,,,5,8,,,6,9)[e] לבצע אינטרפולציית.Splie בכדי להחליק את התנועה, יש פתרון: נבצע אינטרפולציית Splie לכל אחד מן המנועים בנפרד לשם כך נשתמש ב :Matlab ראשית על פי האיור נוכל לקבל את ווקטור הזוויות הרצויות בכל מפרק. נגדיר ווקטור זמנים צפוף לחישוב ערכי האינטרפולציה: heta(,:)=[ ]; heta(,:)=[ ]; heta(,:)=[ ]; heta(,:)=[ 95 ]; heta(5,:)=[ ]; heta(6,:)=[ ]; =[ ]; t=:.:9; האינטרפולציה מתבצעת באמצעות פקודת Splie שמקבלת את ווקטור הזמנים המקורי, וקטור הערכים המקורי ו וקטור הזמנים הרצוי. נבצע זאת על כל מפרק בנפרד: for i=:6 mooth_heta(i,:)=plie(,heta(i,:),t); ubplot(,,i); plot(,heta(i,:),'o');hold o; plot(t,mooth_heta(i,:),'r');hold off הרובוט תוכנן ונבנה במעבדה לקינמאטיקה וגיאומטריה חישובית במרכז האוניברסיטאי באריאל. מעניין לציין כי בגלל אופי התנועה המיוחד הנדרש נדרשת אנליזה של רובוטים טוריים בצעידה, ואנליזה לרובוטים מקביליים בעת אחיזה.