6. Kerenidis I., de Wolf R., Exponential lower bound for 2-query locally decodable codes via a quantum argument, 2004.
|
|
- Φῆστος Παπαδόπουλος
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 35 Κβαντική Πολυπλοκότητα Η προβολή της [κλασσικής] Θεωρίας Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας, στον χώρο της Κβαντικής Μηχανικής, ορίζει την Θεωρία Κβαντικής Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας: μίας νέας θεωρίας με τα δικά της βασικά αποτελέσματα και ανοικτά προβλήματα. Η Κβαντική Θεωρία Πολυπλοκότητας μελετά κλάσεις πολυπλοκότητας που ορίζονται με την χρήση των υπολογιστικών μοντέλων της κβαντικής πληροφορίας και κβαντικών υπολογιστών. Εξετάζει την δυσκολία προβλημάτων σε σχέση με αυτές τις κλάσεις πολυπλοκότητας καθώς και τις σχέσεις μεταξύ κβαντικών και κλασσικών κλάσεων Σύντομη Ιστορική Αναδρομή Η κβαντική πολυπλοκότητα, όπως και η Κβαντική Υπολογιστική, γενικότερα, αναπτύχθηκε κατά τις δεκαετίες του 1980 και του 1990: με τις εργασίες των Richard Feynman, David Deutsch, Umesh Vazirani, Ethan Bernstein, Peter Shor, Emanuel Knill, κ.ά., οι οποίες βασίστηκαν στις εργασίες προγενέστερων, όπως οι Albert Einstein, Boris Podolsky, Nathan Rosen, και John Bell. Παρακάτω αναφέρονται κάποιες από τις πλέον επιδραστικές, στην διαμόρφωση του χώρου, εργασίες: 1. Einstein, A., Podolsky, B., and Rosen, N., Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Bell, J., On the Einstein-Podolsky-Rosen Paradox, Feynman, R., Simulating Physics with Computers, Deutsch, D., Quantum Theory, the Church-Turing Principle and the Universal Quantum Computer, Shor, P., Algorithms for Quantum Computation: Discrete Logarithms and Factoring, Kerenidis I., de Wolf R., Exponential lower bound for 2-query locally decodable codes via a quantum argument, Knill, E., Quantum Randomness and Nondeterminism,
2 8. Benett, C., Bernstein, E., Brassard, G., and Vazirani, U., Strengths and Weaknesses of Quantum Computing, Bernstein, E., and Vazirani, U., Quantum Complexity Theory, Beals, R., Buhrman, H., Cleve, R., and Mosca, M., Quantum Lower Bounds by Polynomials, Vazirani, U., On the Power of Quantum Computation, Κβαντική Πληροφορία Τα κλασσικά συστήματα χρησιμοποιούν τα συμβατικά bits για να αναπαραστήσουν πληροφορία και τα χρησιμοποιούν για την επικοινωνία μεταξύ τους, καθώς και για τους υπολογισμούς τους. Τα κβαντικά συστήματα όμως, χρησιμοποιούν μια διαφορετική αναπαράσταση, τα quantum bits - qubits. Ενα qubit αποτελεί ένα κβαντομηχανικό σύστημα δύο καταστάσεων, όπως η πόλωση ενός φωτονίου. Σε ένα τέτοιο σύστημα για παράδειγμα, οι δύο καταστάσεις είναι η οριζόντια και η κάθετη πόλωση. Αντίθετα με τα κλασσικά συστήματα, όπου ένα bit βρίσκεται σε μία από τις δύο καταστάσεις, η κβαντομηχανική επιτρέπει στο qubit να βρίσκεται σε υπέρθεση (superposition) και των δύο καταστάσεων ταυτόχρονα, μια ιδιότητα που αποτελεί θεμέλιο των κβαντικών υπολογισμών. Οταν μετρήσουμε (παρατηρήσουμε) το qubit, η υπέρθεση στην οποία βρίσκεται θα καταρρεύσει 1, και θα καταλήξει σε δύο δυνατές καταστάσεις, συνήθως 0 και 1 όπως ένα κλασσικό bit. Οι δύο καταστάσεις στις οποίες μπορεί να μετρηθεί ένα qubit, χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Dirac (ή bra-ket notation) είναι οι ακόλουθες: ( ) = 0 ( ) = 1 Μια κβαντική κατάσταση, είναι μια γραμική υπέρθεση των καταστάσεων βάσης, δηλαδή το qubit μπορεί να αναπαρασταθεί σαν γραμμικός συνδιασμός των 0 και 1 : ψ = α 0 + β 1, όπου τα α, β είναι πλάτη πιθανότητας και μπορούν να είναι μιγαδικοί αριθμοί στην γενική περίπτωση. Οταν μετρήσουμε το qubit αυτό την κανονική βάση, η πιθανότητα το αποτέλεσμα να είναι 0 είναι α 2, ενώ αντίστοιχα το αποτέλεσμα είναι 1 με πιθανότητα β 2. Ακόμη, επειδή τα πλάτη αυτά εξισώνονται με πιθανότητες, έχουμε τον ακόλουθο περιορισμό: α 2 + β 2 = Υπολογιστικά Μοντέλα Το πιο ευρέως χρησιμοποιούμενο μοντέλο για την μαθηματική περιγραφή κβαντικών υπολογιστών, και κβαντικών αλγορίθμων, κατά συνέπεια, είναι το κβαντικό 1 Με αποτέλεσμα απώλεια πληροφορίας! 285
3 κύκλωμα και, πιο συγκεκριμένα, οι οικογένειες ομοιόμορφων 2 κβαντικών κυκλωμάτων. Αυτά τα κυκλώματα ομοιάζουν αρκετά με τα λογικά κυκλώματα, τα οποία υλοποιούν Boolean συναρτήσεις, 3 που συναντά κάποιος σε μαθήματα μαθηματικής λογικής, ή διακριτών μαθηματικών. Οι πύλες που συνθέτουν ένα οποιοδήποτε κβαντικό κύκλωμα δύνανται όλες να κατασκευαστούν ως συνδυασμοί κβαντικών πυλών από το σύνολο {cnot, H, T }. Οι πύλες αυτές είναι γραμμικοί unitary 4 μετασχηματισμοί: cnot = , H = 1 ( ) 1 1, 2 T = ( e i π ), με i 2 = 1. Η μορφή αυτών των μετασχηματισμών συνεπάγεται ότι οι είσοδοι και έξοδοι των κβαντικών αλγορίθμων μοντελοποιούνται ως διανύσματα. Σχήμα 35.1: Ενα κβαντικό κύκλωμα Σημείωση Κάθε [κλασσικό] λογικό κύκλωμα δύναται να μετατραπεί σε ισοδύναμο κβαντικό κύκλωμα: τα κβαντικά κυκλώματα αποτελούν γενίκευση των κλασσικών κυκλωμάτων. [Παραλείπουμε τις λεπτομέρειες της μετατροπής!] Εκτός από το κβαντικό κύκλωμα έχουν προταθεί και άλλα μοντέλα όπως, π.χ., οι κβαντικές μηχανές Turing. 2 Με την έννοια ότι υπάρχει κλασσικός αλγόριθμος, πολυωνυμικού χρόνου, που εμφανίζει την [κλασσική] περιγραφή τους. 3 Θυμίζουμε ότι κάθε Boolean συνάρτηση δύναται να υπολογισθεί από κάποιο λογικό κύκλωμα που 4 Ενας χρησιμοποιεί μόνο τις λογικές πυλές not και and. γραμμικός μετασχηματισμός T, επί ενός μιγαδικού διανυσματικού χώρου, είναι unitary αν T 1 = T : δηλαδή, αν ο αντίστροφός του ισούται με τον αναστροφοσυζυγή του. Οι unitary μετασχηματισμοί διατηρούν την Ευκλείδεια νόρμα: αυτό είναι χρήσιμο, για λόγους, όμως, που δεν θα καλύψουμε εδώ. 286
4 Σημείωση Οπως θα γίνει φανερό, λίγο αργότερα, τα κβαντικά κυκλώματα χρησιμοποιούνται κυρίως στον ορισμό των κβαντικών κλάσεων χρονικής πολυπλοκότητας, ενώ οι κβαντικές μηχανές Turing χρησιμοποιούνται κυρίως στον ορισμό των κβαντικών κλάσεων χωρικής πολυπλοκότητας. Σημείωση Από την σκοπιά της Θεωρίας Υπολογισιμότητας, οι συμβατικοί, κλασσικοί, υπολογιστές είναι ισοδύναμοι με τους κβαντικούς: κάθε κβαντικός υπολογιστής δύναται να προσομοιωθεί πλήρως από έναν κλασσικό με δυσανάλογα μεγάλο υπολογιστικό κόστος, όμως, στην γενική περίπτωση. Απλά, έχουμε σημαντικές ενδείξεις ότι, γενικά, οι κβαντικοί υπολογιστές είναι πολύ πιο αποδοτικοί από τους κλασσικούς Κβαντικές Κλάσεις Πολυπλοκοτητας Ποιές είναι οι σημαντικότερες κβαντικές κλάσεις πολυπλοκότητας; Καταρχάς, αυτές που αναγνωρίζονται ως κβαντικά ανάλογα σημαντικών κλασσικών κλάσεων: η BQP μπορεί να ιδωθεί ως γενίκευση της BPP P, και η QMA ως γενίκευση της MA NP. Ακολουθούν οι ορισμοί κάποιων κβαντικών κλάσεων. Σημείωση Στα επόμενα, ως κβαντική κατάσταση καλούμε την κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος. Χωρίς να θέλουμε να εισέλθουμε σε λεπτομέρειες, η κύρια διαφορά από μία κλασσική κατάσταση, που περιγράφει, δηλαδή, την κατάσταση ενός κλασσικού συστήματος, είναι η εξής: για να περιγράψουμε μία κβαντική κατάσταση χρειαζόμαστε εκθετικά-μεγάλη, ως προς το μέγεθος του κβαντικού συστήματος που περιγράφει, κλασσική πληροφορία, ενώ για να περιγράψουμε μία κλασσική κατάσταση απαιτείται γραμμικά-μεγάλη, ως προς το μέγεθος της κλασσικής κατάστασης που περιγράφει, κλασσική πληροφορία. Γενικά: μία κβαντική κατάσταση μπορεί να ιδωθεί ως μία υπέρθεση ενός συνόλου κλασσικών καταστάσεων. Για παράδειγμα, μία κβαντική κατάσταση μεγέθους n απαιτεί 2 n μιγαδικούς αριθμούς για να περιγραφεί ενώ μία αντιστοίχου μεγέθους κλασσική απαιτεί μόλις n bits. Σημείωση Εστω Σ = {0, 1}. Με L Σ = i=1 Σi συμβολίζουμε γλώσσες, [δηλαδή, σύνολα πεπερασμένων συμβολοσειρών,] και με x το μήκος κάθε [πεπερασμένης] συμβολοσειράς x Σ. Τέλος, με Pr [E] συμβολίζουμε την πιθανότητα να συμβεί το ενδεχόμενο E. Ορισμός (Η κλάση BQP). Αν L BQP, τότε υπάρχει μία οικογένεια κβαντικών κυκλωμάτων {Q i } i πολυωνυμικού χρόνου ως προς i, για κάθε i, [υπάρχει, δηλαδή, ένα κύκλωμα Q i για κάθε μήκος εισόδου i,] τέτοια ώστε για κάθε x Σ έχουμε ότι: x L Pr [ το Q x αποδέχεται το x ] 2 3. x / L Pr [ το Q x αποδέχεται το x ] 1 3. Η κλάση BQP είναι η πιο μελετημένη κβαντική κλάση πολυπλοκότητας, γιατί αντιπροσωπεύει το σύνολο των προβλημάτων που επιλύονται αποδοτικά με την χρήση κβαντικών υπολογιστών. 287
5 Ορισμός (Η κλάση QMA). Αν L QMA, τότε υπάρχει μία οικογένεια κβαντικών κυκλωμάτων {Q i } i πολυωνυμικού χρόνου ως προς i, για κάθε i, [υπάρχει, δηλαδή, ένα κύκλωμα Q i για κάθε μήκος εισόδου i,] τέτοια ώστε για κάθε x Σ έχουμε ότι: x L υπάρχει μία κβαντική κατάσταση K, πολυωνυμικού [ως προς το x ] μήκους, τέτοια ώστε Pr [ το Q x αποδέχεται το ζεύγος (x, K) ] 2 3. x / L, κάθε κβαντική κατάσταση K, πολυωνυμικού [ως προς το x ] μήκους, είναι τέτοια ώστε Pr [ το Q x αποδέχεται το ζεύγος (x, K) ] 1 3. Η κλάση QMA είναι αντιπροσωπεύει το σύνολο των προβλημάτων των οποίων οι λύσεις επαληθεύονται αποδοτικά με την χρήση κβαντικών υπολογιστών. Ισχύει ότι BQP QMA. Ορισμός (Η κλάση QCMA). Αν L QCMA, τότε υπάρχει μία οικογένεια κβαντικών κυκλωμάτων {Q i } i πολυωνυμικού χρόνου ως προς i, για κάθε i, [υπάρχει, δηλαδή, ένα κύκλωμα Q i για κάθε μήκος εισόδου i,] τέτοια ώστε για κάθε x Σ έχουμε ότι: x L υπάρχει μία κλασσική κατάσταση K, πολυωνυμικού [ως προς το x ] μήκους, τέτοια ώστε Pr [ το Q x αποδέχεται το ζεύγος (x, K ) ] 2 3. x / L, κάθε κλασσική κατάσταση K, πολυωνυμικού [ως προς το x ] μήκους, είναι τέτοια ώστε Pr [ το Q x αποδέχεται το ζεύγος (x, K ) ] 1 3. Ισχύει ότι QCMA QMA: κάθε κλασσικός μάρτυρας-κατάσταση μπορεί να ιδωθεί ως ειδική περίπτωση κβαντικού μάρτυρα-κατάστασης. Επίσης, BQP QCMA. Η κλάση QCMA απαντάται και ως CMQA, ή MQA. Σημείωση Παρατηρούμε ότι: P BPP BQP QCMA QMA, 288
6 και P NP MA QCMA. Ορισμός (Η κλάση QCMA 1 ). Αν L QCMA 1, τότε υπάρχει μία οικογένεια κβαντικών κυκλωμάτων {Q i } i πολυωνυμικού χρόνου ως προς i, για κάθε i, [υπάρχει, δηλαδή, ένα κύκλωμα Q i για κάθε μήκος εισόδου i,] τέτοια ώστε για κάθε x Σ έχουμε ότι: x L υπάρχει μία κλασσική κατάσταση K, πολυωνυμικού [ως προς το x ] μήκους, τέτοια ώστε Pr [ το Q x αποδέχεται το ζεύγος (x, K ) ] = 1. x / L, κάθε κλασσική κατάσταση K, πολυωνυμικού [ως προς το x ] μήκους, είναι τέτοια ώστε Pr [ το Q x αποδέχεται το ζεύγος (x, K ) ] 1 3. Αποδεικνύεται ότι QCMA 1 = QCMA. Ορισμός (Η κλάση PQP). Αν L PQP, τότε υπάρχει μία οικογένεια κβαντικών κυκλωμάτων {Q i } i πολυωνυμικού χρόνου ως προς i, για κάθε i, [υπάρχει, δηλαδή, ένα κύκλωμα Q i για κάθε μήκος εισόδου i,] τέτοια ώστε για κάθε x Σ έχουμε ότι: x L Pr [ το Q x αποδέχεται το x ] > 1 2. x / L Pr [ το Q x αποδέχεται το x ] 1 2. Ισχύει ότι PP PQP. Ορισμός (Η κλάση QIP). Αν L QIP, τότε υπάρχει μία οικογένεια κβαντικών κυκλωμάτων-επαληθευτών {V i } i πολυωνυμικού χρόνου ως προς i, για κάθε i, [υπάρχει, δηλαδή, ένα κύκλωμα-επαληθευτής V i για κάθε μήκος εισόδου i,] τέτοια ώστε για κάθε x Σ έχουμε ότι: 5 x L ( P P rover) [ Pr [ ο P πείθει τον V x να αποδεχτεί το x ] 2 3]. x / L ( P P rovers) [ Pr [ ο P πείθει τον V x να αποδεχτεί το x ] 1 3]. Ισχύει ότι IP QIP. Ακόμη, υπάρχει η κλάση QIP (m) η οποία περιορίζει σε m τα μηνύματα που ανταλλάσσονται συνολικά μεταξύ του prover και του verifier. Ορισμός (Η κλάση BQPSPACE). Αν L BQPSPACE, τότε υπάρχει μία κβαντική μηχανή Turing M, πολυωνυμικού [ως προς το μέγεθος της εισόδου της] χώρου, τέτοια ώστε για κάθε x Σ έχουμε ότι: x L Pr [η M αποδέχεται το x] 2 3. x / L Pr [η M αποδέχεται το x] 1 3. Ορισμός (Η κλάση PQPSPACE). Αν L PQPSPACE, τότε υπάρχει μία κβαντική μηχανή Turing M, πολυωνυμικού [ως προς το μέγεθος της εισόδου της] χώρου, τέτοια ώστε για κάθε x Σ έχουμε ότι: x L Pr [η M αποδέχεται το x] > 1 2. x / L Pr [η M αποδέχεται το x] 1 2. Ισχύει ότι PSPACE = BBPSPACE BQPSPACE PQPSPACE. 5 Οπου με Αποδεικτες συμβολίζουμε το σύνολο των δυνατών αποδεικτών. 289
7 35.5 Θεμελιώδη Αποτελέσματα Εδώ παρουσιάζονται κάποια βασικά αποτελέσματα της κβαντικής πολυπλοκότητας. Θεώρημα BQP BQP = BQP: η κλάση BQP δεν γίνεται ισχυρότερη αν επιτρέψουμε την χρήση υπο-ρουτινών που επιλύουν προβλήματα που ανήκουν στην BQP. Θεώρημα Υπάρχει μαντείο A, τέτοιο ώστε BQP A BPP A. Θεώρημα Υπάρχει μαντείο A, τέτοιο ώστε NP A BQP A. Θεώρημα QMA PP. Θεώρημα PQP = PP. Θεώρημα QIP = PSPACE = IP. Θεώρημα BQPSPACE = PQPSPACE = PSPACE. Θεώρημα (Grover). Υπάρχει κβαντικός αλγόριθμος που υπολογίζει την θέση ενός ( [έστω μοναδικού] αντικειμένου s, που ανήκει σε μία λίστα μεγέθους N N ) N, σε O βήματα. Η απόδοση του κβαντικού αυτού αλγορίθμου αποδεικνύεται ότι είναι βέλτιστη. Παρατηρούμε ότι κάθε κλασσικός αλγόριθμος απαιτεί Ω (N) βήματα για την εκτέλεση της παραπάνω λειτουργίας αναζήτησης. Ορισμός (FACTORING). Είσοδος: ένας φυσικός αριθμός n. Εξοδος: η παραγοντοποίηση του n σε γινόμενο δυνάμεων πρώτων αριθμών. Θεώρημα FACTORING BQP. Δεν γνωρίζουμε αν FACTORING P, ενώ ισχύει ότι FACTORING TFNP. Ορισμός (DISCRETE LOGARITHM). Είσοδος: δύο στοιχεία a και b μίας ομάδας G: a, b G. Η πράξη της ομάδας G δηλώνεται με, και έχουμε ότι a 0 = e, το ουδέτερο στοιχείο της πράξης στην G, a m = a m 1 a, m N 1. και 290
8 Εξοδος: ένας φυσικός αριθμός c τέτοιος ώστε a c = b, αν αυτός υπάρχει, αλλιώς, κάποια ένδειξη ότι ο c δεν υπάρχει. Θεώρημα DISCRETE LOGARITHM BQP. Δεν γνωρίζουμε αν DISCRETE LOGARITHM P, ενώ ισχύει ότι DISCRETE LOGARITHM TFNP. Ορισμός (GROUP NON-MEMBERSHIP). Είσοδος: μία υποομάδα H, κάποιας ομάδας G, και ένα στοιχείο g G. [Η υποομάδα H είναι γνωστή μέσω των γεννητόρων της.] Ερώτηση: ισχύει ότι g / H; Θεώρημα GROUP NON-MEMBERSHIP QMA. Δεν γνωρίζουμε αν GROUP NON-MEMBERSHIP NP. Ορισμός (k-local HAMILTONIAN). [Αναζητήστε το!] Θεώρημα Το πρόβλημα 2-LOCAL HAMILTONIAN είναι QMA-complete. Υπάρχουν αρκετά άλλα προβλήματα που έχουν επίσης χαρακτηριστεί ως QMAcomplete Ανοικτά Προβλήματα Ο χώρος της κβαντικής πολυπλοκότητας χαρακτηρίζεται από ενδιαφέροντα ανοικτά προβλήματα. Παρακάτω αναφέρονται κάποια από αυτά: 1. NP? BQP. Το συγκεκριμένο ερώτημα είναι πολύ σημαντικό: αν η απάντηση σε αυτό είναι Ναι, τότε ένας κβαντικός υπολογιστής μπορεί να λύσει σε πολυωνυμικό χρόνο κάθε ένα από τα ενδιαφέροντα, και καθημερινώς α- νακύπτοντα, προβλήματα της κλάσης NP. 2. BQP? NP. Αλλιώς: είναι ο πολυωνυμικός μη-ντετερμινισμός ισχυρότερος από τους πολυωνυμικούς κβαντικούς υπολογιστές; 3. QMA? QCMA: αν Ναι, τότε δεν είναι απαραίτητο ο μάρτυρας στον ορισμό της QMA να είναι κάποια κβαντική κατάσταση, αλλά μπορεί να είναι κλασσικός, π.χ., μία πεπερασμένη ακολουθία από bits. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε ότι QMA = QCMA. 4. Υπάρχει [κλασσικό] μαντείο A, τέτοιο ώστε QMA A QCMA A ; 5. BQP? BPP. Αν Ναι, τότε οι κβαντικοί υπολογιστές δεν προσφέρουν τίποτε περισσότερο από τους κλασσικούς πιθανοκρατικούς υπολογιστές. Θεωρείται απίθανο. 6. BQP? P. Αν Ναι, τότε οι κβαντικοί υπολογιστές δεν προσφέρουν τίποτε περισσότερο από τους κλασσικούς ντετερμινιστικούς υπολογιστές. Θεωρείται απίθανο. 291
9 7. BQP? PH. Θυμίζουμε ότι BPP PH. 8. Υπάρχει μαντείο A, τέτοιο ώστε BQP A PH A ; 9. Υπάρχουν κλειστές χρονο-ομοιάζουσες καμπύλες, CTCs, 6 στην φύση; Αν Ναι, τότε αν θέσουμε ως και P CTC = το σύνολο των γλωσσών που δύνανται να αποφασιστούν από ένα κλασσικό υπολογιστή, εφοδιασμένο με CTCs, σε πολυωνυμικό χρόνο, και με μηδενικό σφάλμα, BQP CTC = το σύνολο των γλωσσών που δύνανται να αποφασιστούν από ένα κβαντικό υπολογιστή, εφοδιασμένο με CTCs, σε πολυωνυμικό χρόνο, και με φραγμένο σφάλμα, έχουμε ότι P CTC = PSPACE = BQP CTC. Πιο απλά: ένας ντετερμινιστικός υπολογιστής πολυωνυμικού χρόνου, εφοδιασμένος με τέτοιου είδους καμπύλες, μπορεί να αποφασίζει όλη την κλάση PSPACE, και, ακόμα, είναι ισοδύναμος με έναν αντίστοιχα-εφοδιασμένο κβαντικό υπολογιστή πολυωνυμικού χρόνου! 10. Υπάρχουν #P-complete προβλήματα κβαντικής φύσης; Ορισμός (GRAPH ISOMORPHISM). Είσοδος: δύο γραφήματα G 1 και G 2. Ερώτηση: είναι τα G 1 και G 2 ισομορφικά; 11. GRAPH ISOMORPHISM? BQP. Θυμίζουμε ότι GRAPH ISOMORPHISM NP, ενώ δεν γνωρίζουμε αν GRAPH ISOMORPHISM P. Επίσης, δεν γνωρίζουμε αν το GRAPH ISOMORPHISM είναι NP-complete. Ορισμός (GRAPH NON-ISOMORPHISM). Είσοδος: δύο γραφήματα G 1 και G 2. Ερώτηση: είναι τα G 1 και G 2 μη-ισομορφικά; 12. GRAPH NON-ISOMORPHISM? QMA. Γνωρίζουμε ότι GRAPH NON-ISOMORPHISM conp AM. 6 Closed timelike curves. 292
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - ΕΜΠ Ιούνιος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ
Διαβάστε περισσότεραCoveX: Quantum Circuit Simulator
Κβαντική Πληροφορία Μοντέλο Κβαντικών Κυκλωμάτων Κβαντικοί Αλγόριθμοι CoveX Μάρτιος 2015 Κβαντική Πληροφορία Μοντέλο Κβαντικών Κυκλωμάτων Κβαντικοί Αλγόριθμοι CoveX Περιεχόμενα 1 Κβαντική Πληροφορία 2
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία PROJECT Συνοπτική Παρουσίαση του Κβαντικού Αλγόριθμου Παραγοντοποίησης
Διαβάστε περισσότερα8. Κβαντική τηλεμεταφορά
8. Κβαντική τηλεμεταφορά Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η κβαντική τηλεμεταφορά και θα δοθεί το αντίστοιχο κβαντικό κύκλωμα. Θα εξηγηθεί γιατί η κβαντική τηλεμεταφορά δεν παραβιάζει το θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραΔιαλογικά Συσ τήματα Αποδείξεων Διαλογικά Συστήματα Αποδείξεων Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012
Αντώνης Αντωνόπουλος Κρυπτογραφία & Πολυπλοκότητα 17/2/2012 Εισαγωγή Ορισμός Επέκταση του NP συστήματος αποδείξεων εισάγωντας αλληλεπίδραση! Ενα άτομο προσπαθεί να πείσει ένα άλλο για το ότι μία συμβολοσειρά
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή Δύο λόγια για το Διδάσκοντα Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15
Περιεχόμενα Πρόλογος... 9 Δύο λόγια για το νέο ερευνητή... 11 Δύο λόγια για το Διδάσκοντα... 1 Ένα κβαντικό παιχνίδι... 15 Κεφάλαιο 1: Κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων...17 1.1 Το κβαντικό κέρμα... 17
Διαβάστε περισσότεραΚλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Διαβάστε περισσότερα7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor
7. O κβαντικός αλγόριθμος του Shor Σύνοψη Ο κβαντικός αλγόριθμος του Shor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση της περιόδου περιοδικών συναρτήσεων και για την ανάλυση ενός αριθμού σε γινόμενο πρώτων
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory
CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2
Διαβάστε περισσότερα4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch
4. Η αρχή της κβαντικής υπολογιστικής - Κβαντικός αλγόριθμος του Deutsch Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφεται το κυκλωματικό μοντέλο των κβαντικών υπολογισμών και δίνεται ένα αναλυτικό παράδειγμα κβαντικού
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικές Καταστάσεις
Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραπεριγράφει πως ο άνθρωπος θα χειριστεί την ύλη στο µικροσκοπικό επίπεδο, εγκαταλείποντας το µικροσκοπικό επίπεδο.
ΚΒΑΝΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Κωνσταντίνος Χ. Χατζησάββας (e mail: kchatz@auth.gr) Υποψήφιος ιδάκτορας Θεωρητικής Φυσικής Τµήµα Φυσικής Aριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Φεβρουάριος 2002 There is plenty of
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΚωνσταντίνος Πουλαντζάς Γεώργιος Στεφαδούρος Εμμανουήλ Στυλιανάκης Άγγελος Τασσόπουλος Βασίλειος Φιλιππακόπουλος
Κωνσταντίνος Πουλαντζάς Γεώργιος Στεφαδούρος Εμμανουήλ Στυλιανάκης Άγγελος Τασσόπουλος Βασίλειος Φιλιππακόπουλος Η ΕΝ ΑΘΗΝΑΙΣ ΦΙΛΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ «Από έναν στοχασμό του 1960 στο βραβείο Νobel Φυσικής
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013
stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος
Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr
Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος Κβαντικών Καταστάσεων στους Κβαντικούς Υπολογιστές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ Έλεγχος Κβαντικών Καταστάσεων στους Κβαντικούς Υπολογιστές
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Κβαντικοί Υπολογισμοί και Κβαντικός Προγραμματισμός
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής και Υπολογιστών Κβαντικοί Υπολογισμοί και Κβαντικός Προγραμματισμός ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτοσύστημα RSA (Rivest, Shamir, Adlemann, 1977) Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών και Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κρυπτοσύστημα
Διαβάστε περισσότερα1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής
. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται τα κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων, οι βασικές τους καταστάσεις και η έννοια της υπέρθεσης καταστάσεων. Δίνονται ορισμοί και παραδείγματα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - ΕΜΠ Μάιος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ &
Διαβάστε περισσότεραΑΛΕΞΑΝΔΡΙΑ ΥΙΛΙΠΠΟΤ /05/12
ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΑ ΥΙΛΙΠΠΟΤ 6386 02/05/12 Οριςμόσ κβαντικού υπολογιςτή Μονάδα κβαντικήσ πληροφορίασ qubit Λόγοι ύπαρξησ κβαντικών υπολογιςτών ύγκριςη με τουσ ςυμβατικούσ υπολογιςτέσ Λειτουργία κβαντικού υπολογιςτή
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων
Τεχνικές Αποδείξεις Κάτω Φραγμάτων Θέλουμε να δείξουμε κυκλωματικά κάτω φράγματα για ομοιόμορφες κλάσεις επειδή: Δίνουν μεγάλη πληροφορία για τις κλάσεις αυτές: π.χ. αν EXP P /poly σημαίνει Ότι παρότι
Διαβάστε περισσότεραΚβαντικοί Υπολογιστές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Κβαντικοί Υπολογιστές Εισαγωγή και προσομοίωση του Κβαντικού Μετασχηματισμού Fourier Αλέξανδρος Ρίσης ΑΕΜ: 872 Επιβλέπων
Διαβάστε περισσότεραL A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)
Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο
Διαβάστε περισσότερα5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover
5. Κβαντική Διερεύνηση - Κβαντικός αλγόριθμος του Grover Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο αλγόριθμος του Grover για τη διερεύνηση μη δομημένων βάσεων δεδομένων. Περιγράφονται οι τελεστές και το
Διαβάστε περισσότερα2. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας
. Αποθήκευση της κβαντικής πληροφορίας Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφεί η μονάδα της κβαντικής πληροφορίας που είναι το κβαντικό t (utum t). Θα περιγραφούν φυσικά συστήματα τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 13: Παραλλαγές Μηχανών Turing και Περιγραφή Αλγορίθμων Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή Πολυταινιακές Μηχανές Turing (3.2.1) Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού
Κεφάλαιο 3 Στοιχεία Θεωρίας Υπολογισμού Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται μια εισαγωγή σε βασικές έννοιες της θεωρίας υπολογισμού, με έμφαση στην υπολογιστική πολυπλοκότητα. Η εξοικείωση με τις έννοιες αυτές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος στη δεύτερη έκδοση
Πρόλογος του επιµελητή xiii Πρόλογος στην πρώτη έκδοση xv Προς τους ϕοιτητές.......................... xv Προς τους διδάσκοντες........................ xvii Ηπρώτηέκδοση........................... xviii
Διαβάστε περισσότεραΆδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 24: Μη Ντεντερμινιστικές Μηχανές Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραILP-Feasibility conp
Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον
Διαβάστε περισσότεραΕλληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική. Μια σύντοµη διαδροµή στα µονοπάτια της σύγχρονης κρυπτογραφίας
Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο Σπουδές στην Πληροφορική Μια σύντοµη διαδροµή στα µονοπάτια της σύγχρονης κρυπτογραφίας Γιάννης Κ. Σταµατίου ΣΕΠ ΠΛΗ 10 Πάτρα, Ιουνιος 2003 Τι θα εξετάσουµε Πώς η κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα και βασικές Ιδιότητες
Κυκλώματα και βασικές Ιδιότητες Κύκλωμα C Κατευθυνόμενος ακυκλικός γράφος με n πηγές (κάθε μία αντιστοιχεί σε ένα bit εισόδου) και μία καταβόθρα (το bit εξόδου). Οι ενδιάμεσοι κόμβοι αντιστοιχούν σε κάποια
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Υπολογιστικά Προβλήματα στην Κρυπτογραφία
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Θεμελιώδη Υπολογιστικά Προβλήματα στην Κρυπτογραφία Κωνσταντινίδης Ορέστης Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. Επιβλέπων καθηγητής: Άρης Παγουρτζής
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραR ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος
73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b
Διαβάστε περισσότερα«Μελέτη αρχών κβαντικών πυλών»
Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Διπλωματική Εργασία «Μελέτη αρχών κβαντικών πυλών» Μεταξάς Ηλίας Βόλος, Ιούλιος 2015 Αρχές κβαντικών πυλών Σελίδα - 1 - Αρχές κβαντικών
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισµού Theory of Computation
1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Διανυσματικοί Χώροι (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ
HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Διαβάστε περισσότεραΣχολή : Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας
Σχολή : Θετικών Επιστημών και Τεχνολογίας Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών : Προχωρημένες Σπουδές στη Φυσική MSc Διπλωματική Εργασία Κβαντικοί Υπολογιστές Θεωρητική Ζαρμπούτης Δημήτριος Επιβλέπων καθηγητής:
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού
Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών και Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Κρυπτογραφία Δημοσίου Κλειδιού Άρης Παγουρτζής Στάθης Ζάχος Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικού Mετσόβιου Πολυτεχνείου
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΒασικά Στοιχεία Πολυπλοκότητας
10 Βασικά Στοιχεία Πολυπλοκότητας Περιεχόμενα Κεφαλαίου 10.1 Εισαγωγή........................... 312 10.2 Μετασχηματισμοί και Αναγωγές.............. 313 10.3 Kλάσεις Πολυπλοκότητας.................. 316
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits. Δρ.
Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Μάθημα 4 ο Πράξεις με bits Δρ. Γκόγκος Χρήστος Κατηγορίες πράξεων με bits Πράξεις με δυαδικά ψηφία Αριθμητικές πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιότητα (Randomness) I
I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ
ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης
1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραa b b < a > < b > < a >.
Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε
Διαβάστε περισσότεραHMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT) Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά μοντέλα συστημάτων
Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν
Διαβάστε περισσότεραt M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 )
Κεφάλαιο 9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Σύνοψη Πέρα από το ερώτημα του αν για ένα πρόβλημα υπάρχει Μηχανή Turing, που το επιλύει, μας απασχολεί επίσης και το ερώτημα του αν ένα πρόβλημα είναι «πρακτικά»
Διαβάστε περισσότεραΥπολογίσιμες Συναρτήσεις
Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν Υπολογίσιμες Συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Οργανωτικά ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,.
Διαβάστε περισσότεραn xt ( ) ( x( t),..., x( t)) U n, , i 1,..., n. Έτσι, η εξέλιξη του συστήματος των χημικών ουσιών διέπεται από το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων:
ΜΑΘΗΜΑ 1: ΑΠΟ ΤΟ ΠΕΙΡΑΜΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΝΤΕΤΕΡΜΙΝΙΣΤΙΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ Ας θεωρήσουμε ως παράδειγμα ένα σύστημα χημικών ουσιών που υπεισέρχονται σε μια χημική αντίδραση. Η στιγμιαία κατάσταση κάθε ουσίας χαρακτηρίζεται
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόμενα. Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23. Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ
Περιεχόμενα Εισαγωγή του επιμελητή, Γιάννης Σταματίου 15 Πρόλογος 17 Εισαγωγή 23 Μέρος I. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 1. Επαναληπτικοί αλγόριθμοι: Μέτρα προόδου και αναλλοίωτες συνθήκες.....................................................29
Διαβάστε περισσότεραSˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)
Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη
Διαβάστε περισσότερα6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι
36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής
Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Οργανωτικά ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,.
Διαβάστε περισσότεραΑς ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα
33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Οργανωτικά ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγικά. 1 η Εβδομάδα. Κάθε Τρίτη (17:00-20:00) και Τετάρτη (13:00 15:00) στην αίθουσα Ι5. 4 ώρες Θεωρία (ΤΡ : 1η-2η ώρα, ΤΕ : 1η-2η ώρα)
ΜΥΥ204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άι Εισαγωγικά 1 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων Μερικά Οργανωτικά Θέματα ιδάσκων: ιαλέξεις: Κάθε Τρίτη (17:00-20:00) και Τετάρτη (13:00
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΟ Μετασχηματισμός Ζ. Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ
Ο Μετασχηματισμός Ζ Ανάλυση συστημάτων με το μετασχηματισμό Ζ Ο μετασχηματισμός Z (Ζ-Τransform: ZT) χρήσιμο μαθηματικό εργαλείο για την ανάλυση των διακριτών σημάτων και συστημάτων αποτελεί ό,τι ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραKΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο
Διαβάστε περισσότερα