HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

Transcript

1 HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

2 Εισαγωγή Μέχρι στιγμής έχουμε δει το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT): Ο DTFT είναι δύσκολο να υλοποιηθεί σε Η/Υ Συνεχής μεταβλητή συχνότητας Απειρο άθροισμα Για πεπερασμένες ακολουθίες, υπάρχει μια εναλλακτική αναπαράσταση, στην οποία η συχνότητα είναι διακριτή μεταβλητή και αντιστοιχεί σε δείγματα του DTFT: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (ΔΜΦ) Discrete Fourier Transform (DFT) Υπάρχουν αλγόριθμοι πολύ αποδοτικού υπολογισμού του ΔΜΦ σε Η/Υ (Fast Fourier Transform) Θα καταλήξουμε στον ΔΜΦ ξεκινώντας από τις διακριτές σειρές Fourier (Discrete Fourier Series DFS) για περιοδικά σήματα διακριτού χρόνου. Ο ΔΜΦ προκύπτει από παρόμοια ανάλυση για απεριοδικά σήματα διακριτού χρόνου με πεπερασμένη διάρκεια 2

3 Διακριτές Σειρές Fourier Εστω το περιοδικό σήμα διακριτού χρόνου: Οπως και στο συνεχή χρόνο, το σήμα αυτό μπορεί να εκφραστεί ως μια σειρά Fourier, δηλ. ως άθροισμα μιγαδικών εκθετικών σημάτων τα οποία σχετίζονται αρμονικά, δηλ. με συχνότητες οι οποίες είναι ακέραια πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας 2π/ Ν του σήματος: Σημαντική διαφορά με το συνεχή χρόνο: Χρειαζόμαστε μόνο Ν μιγαδικά εκθετικά σήματα καθώς τα σήματα αυτά είναι πανομοιότυπα για τιμές του k που διαφέρουν κατά Ν (δηλ e 0 [n]=e N [n], e 1 [n]=e N+1 [n]) καθώς: άρα το άθροισμα περιέχει Ν όρους: Πως υπολογίζουμε τους συντελεστές της σειράς? Οπως και στις σειρές Fourier συνεχούς χρόνου εκμεταλλευόμαστε την ορθογωνιότητα των μιγαδικών εκθετικών σημάτων και προκύπτει: 3

4 Διακριτές Σειρές Fourier Οι συντελεστές είναι επίσης περιοδικοί με περίοδο Ν: Για διευκόλυνση του συμβολισμού θέτουμε: οπότε: εξίσωση σύνθεσης εξίσωση ανάλυσης Αρα και το σήμα και οι συντελεστές είναι περιοδικές ακολουθίες με περίοδο Ν! Παράδειγμα: Τραίνο κρουστικών Αναπαράσταση με DFS: 4

5 5 Ιδιότητες Διακριτών Σειρών Fourier

6 Μετασχηματισμός Fourier περιοδικών σημάτων Τα περιοδικά σήματα δεν είναι ούτε τετραγωνικά ούτε απόλυτα αθροίσιμα (συνθήκες για ύπαρξη του DTFT). Είδαμε όμως ότι: Αρα εφόσον ένα περιοδικό σήμα μπορεί να γραφτεί ως: παίρνοντας DTFT έχουμε: Αρα ο DTFT ενός περιοδικού σήματος είναι τραίνο κρουστικών με πλάτη και είναι περιοδικός με περίοδο 2π (όπως πρέπει). Παράδειγμα: Περιοδικό τραίνο κρουστικών Συντελεστές DFS: DTFT: 6

7 Μετασχηματισμός Fourier περιοδικών σημάτων Εστω ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας, δηλ x[n]=0 εκτός από 0 n N- 1. Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα σήμα που ισούται με την περιοδική επανάληψη αυτού του σήματος συνελίσσοντας με το περιοδικό τραίνο κρουστικών του προηγούμενου παραδείγματος, δηλ: Αρα (ιδιότητα συνέλιξης): Ομως o DTFT του περιοδικού σήματος είναι : Αρα: Οι συντελεστές Fourier (DFS) του περιοδικού σήματος είναι δείγματα του DTFT του σήματος x[n], δηλ. μιας περιόδου του Τα δείγματα είναι ομοιόμορφα για ω μεταξύ 0 και 2π και απέχουν 2π/Ν μεταξύ τους 7

8 Παράδειγμα Εστω ο περιοδικός παλμός του σχήματος με περίοδο Ν=10. Συντελεστές DFS? Αρα: DTFT μιας περιόδου, δηλ x[n]=1, 0 n 9: Αρα: 8

9 Παράδειγμα Εστω ο περιοδικός παλμός του σχήματος με περίοδο Ν=10. Συντελεστές DFS? Αρα: DTFT μιας περιόδου, δηλ x[n]=1, 0 n 9: Αρα: 9

10 Δειγματοληψία του DTFT Εστω η ακολουθία όπου: Ο DTFT είναι περιοδικός ως προς ω με περίοδο 2π, άρα οι συντελεστές είναι περιοδικοί ως προς k με περίοδο Ν. Ισοδύναμα, παίρνουμε δείγματα του μετασχηματισμού Ζ πάνω στο μοναδιαίο κύκλο Η ακολουθία αυτή θα μπορούσε να είναι η ακολουθία των συντελεστών DFS του περιοδικού σήματος δηλ: Ποιο όμως είναι το σήμα? Μπορεί να αποδειχθεί ότι: 10 Αρα είναι η περιοδική επανάληψη του x[n] με περίοδο Ν. Με άλλα λόγια αν πάρουμε δείγματα από τον DTFT ενός (απεριοδικού) σήματος ΔΧ Χ(e jω ) που απέχουν 2π/Ν τότε η ακολουθία αυτών των τιμών αντιστοιχεί στους συντελεστές DFS του σήματος το οποίο είναι η περιοδική επανάληψη του σήματος x[n] με περίοδο Ν

11 Δειγματοληψία του DTFT Παράδειγμα Ν=12 Ν=7 έχουμε επικάλυψη! Κατ αναλογία με την περίπτωση της αναδίπλωσης στη δειγματοληψία στο πεδίο του χρόνου δεν μπορούμε να ανακτήσουμε το αρχικό μας σήμα! Για να ανακτήσουμε λοιπόν, πρέπει να δειγματοληπτήσουμε τον DTFT αρκετά «πυκνά». Αν το αρχικό μας σήμα έχει διάρκεια Ν πρέπει να πάρουμε τουλάχιστον 2π/Ν δείγματα του DTFT 11

12 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Ισοδύναμα, αν έχουμε ένα σήμα με πεπερασμένη διάρκεια, δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε τον DTFT του Χ(e jω ) για όλες τις τιμές του ω! Παίρνοντας δείγματα του DTFT μπορούμε να πάρουμε το περιοδικό σήμα, το οποίο προκύπτει από τη διακριτή σειρά Fourier (DFS) και να ανακτήσουμε το αρχικό μας σήμα x[n] κρατώντας μια περίοδο του Επομένως ο διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (DFT) ορίζεται από το ζεύγος εξισώσεων: Μετασχηματισμός Fourier Διακριτού Χρόνου (DTFT): 12

13 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα: Τετραγωνικός παλμός Ν=5 13

14 Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier Παράδειγμα: Τετραγωνικός παλμός Ν=10 14