{ } . (* 25 a (* (* . a b (a ... b a. . b a 1... r 1. q 2. q 1 ...

Transcript

1 مبادئ في الحسابيات ( c c ( ( α r α α α α {,,,,4,5,,7,8,9 } αrαr α α α ( : α α α α {,,4,,8} / α + α + α + + αr 4 /αα { } r r 4 α,5 5 9 / α + α + α + + αr 9 / (α + α + α + ( α + α + α + αα {, 5,5,75} (4 PGD (, (5 * N : PGD (, PGD (, : N {,,,, 4,5 } * N {,,, 4,5 } ( ( k N k ( k N k k + ( ( ( + (c + + (d (e ( ( k N k ( c ( PPM (, (4 PPM (, PPM (, ( r q r r q r r q r (V ( / k N k

2 الحساب المتجهي : KوJ ( ( α J + β K J α K KوJ و K J K J J D K M M M ( ( : M M M M M + M M M M ( M ( vوu ( u v ( + v v u + v 4 u + v 5 u v u u ( D D : D ( D ( + D (c [ D] [ ] (d [ ] 7 + [ ] [ ] [ ] : ( ( + ( + ( 8 J [ ] ( 9 J [ ] J vوu ( vوu ( u αv v α u و وو (c α α Dو ( D ( (d

3 (V ( 47,4 ( ( p p (,4,7,,9,,9,7,,,7,5,, 97,89,8,79,7,7,7,,59,5 p (c (d ( : α α α αr p p p p r p r α r α α α 54 : (4 ( ( p p p 7 و 7 : (c α α α αr p p p p r ( + α( + α ( + α r

4 D ( L ( L ( L ( ( D ( ( N ( M ( M N MN : M N M N MN M N MN M N ( D (4 ( : D D D D D D : (5 ( L ( L ( L ( ( D ' ( D ' ' ' ' ' ' ( L //( L //( L N ( M ( L //( L ' ' ' ' ( ( M N ( MN //( : 4--- ( (5 D ( kd kd ( O ( L ( D ( P M ( D M ( L M ' ( D M M ' ( L M M ' ( D ( L ( L M ( O ( D M ( ( D ( L (c ( P ( P p p( M M ' M M ' p ( D ( L (d ( L p( G G ' ( : ( (, α,(, β G { } {( ', α,( ', β } p( ' G' p( ' : ( [ ' '] ' [ ] p( ' p( ' : ( ' ' k ' D ' kd D D ' ' ' ' ( ( L4 ( L ( L ( L ( ( D ' ( D : D ' ' ' ' D ' ' ' ' ' ' D ' D ' D ' D ' ' D D ' ( L ( L ( L ( ( D ' ( D ' ( L ( L ' ' ' ' ( L ' : ' ' ' ' ' ' ' '

5 الحساب -الترتيب في R الذي الحساب في R قواعد الحساب في R ليكن و و c و d من R + c + c یكافي ( ( c c c یكافي ( + c + d c إذا آان و فا ن و c d c d أو یكافي (d و یكافي (e و d c c یكافي d (g c c c d + c + و d d d d (h d و و c c c c (i d ( * ( N { } ( R ois القوى في ( تعریف خاصيات Z من و m * R و و من ليكن m m ( ( m m m ( m فا ن إذا آان ( c إذا آان و و لهما نفس الا شارة فا ن یكافي أو لكي نبين أن : یكفي مثلا أن نبي أن و و لهما نفس الا شارة (d ملاحظة متطابقات هامة ( ( 4 الجذور المربعة تعریف ليكن + R یحقق : ونكتب خاصيات R + من و ليكن ( الجذر المربع للعدد هو العدد الموجب k و ( ( R > فا ن : ليكن c إذا آان و أو یكافي R + ليكن (d (5 التناسبية d و c متناسبان مع مع و نقول إن العددین c d فا ن : إذا آان : k + k + + k k + k + + k إذا وفقط إذا آان : الجزئ الصحيح تعریف : آل عدد حقيقي k < k + : یعني k + العدد النسبي k یسمى الجزئ الصحيح للعدد محصور بين عددین نسبيين متتابعين E ( ونكتب k أو [ ] k ملاحظة : الجزئ الصحيح للعدد هو العدد النسبي الذي یوجد مباشرة قبل R من لكل E ( < E ( + R الترتيب في ( یكافي یكافي > یكافي < یكافي أو < فا ن + c + c یكافي + c > + c یكافي والعكس غير صحيح c خاصيات ( > ( < یعني (c إذا آان < (d > إذا آان و فا ن c (e ( + + ( ( ( ( + ( ( ( + ( + ( (c (d (e ( (g

6 المجالات [, ] { R / } ( [, [ { R / < } ( ], ] { R / < } ( ], [ { R / < < } ( [, + [ { R / } ( ], + [ { R / > } ( ], ] { R / } ( ], [ { R / < } ( < و < < و 4 التا طير تعریف : آل متفاوتة من المتفاوتات : سعته تسمى تا طيرا للعدد و < 5 القيمة المقربة r نقوم قيمة مقربة بتفریط للعدد بالدقة إذا أردنا أن نبين أن i نقوم r نقوم r < c + c + d إذا آان و فا ن < c إذا آان و فا ن c d إذا آان و فا ن c < d g إذا آان و فا ن c والعكس غير صحيح + c < + d c c إذا آان و فا ن c c c إذا آان و فا ن c d والعكس غير صحيح c d إذا آان و فا ن c < d < c < d یكافي > و > (i ليكن یكافي < و < (j ليكن یكافي و ليكن (k یكافي یكافي R (l ليكن و ليكن و من یكافي و فا ن + نفس الا شارة و و إذا آان ل ( ملاحظة إذا آان العددین و یحتویان على الجذور المربعة لكي نقارن ثم ونتحقق من إشارة و و و یكفي مثلا أن نقارن نستعمل الخاصيتين k و l (m القيمة المطلقة تعریف :ليكن من R ; القيمة المطلقة للعدد هي العدد الذي نرمز له والمعرف بما یلي : ; ب هي نفسه یعني : إذا آان فا ن القيمة المطلقة للعدد هي مقابله إذا آان فا ن القيمة المطلقة للعدد خاصيات ( y y r y r r یكافي یكافي أو أو y r r r یكافي یكافي أو بتا طير و سنجد إذا أردنا أن نبين أن قيمة مقربة با فراط للعدد بالدقة r r (ii بتا طير و سنجد إذا أردنا أن نبين أن قيمة مقربة للعدد بالدقة r r r نقوم بتا طير العدد و سنجد : r بالدقة r بالدقة r (iii بتا طير و سنجد یعني إذا أردنا أن نحدد قيمة مقربة للعدد : ومن هنا نستنتج أن ما یلي i هي القيمة المقربة بتفریط للعدد (ii هي القيمة المقربة با فراط للعدد + هي القيمة المقربة للعدد (iii c ملاحظة یمكن تحدید قيمة مقربة للعدد r (i وستكون بالدقة مباشرة إذا آانت لدینا إحدى التا طيرات التالية : قيمة مقربة بتفریط للعدد بالدقة r r بالدقة قيمة مقربة با فراط للعدد وستكون r r أو r (ii r r (iii وستكون قيمة مقربة للعدد التقریب العشري R من بالدقة (d ليكن i العدد العشري E ( یسمى القيمة العشریة المقربة بتفریط للعدد بالدقة E ( i العدد العشري یسمى القيمة العشریة المقربة با فراط للعدد + بالدقة y y r y r r ( (c

7 - u : u u ( D M i ( D D (, u u M : M u M D(, u ( ( ( D ( u (, ( D : + t y y + t ( t R ( D ( D ( (c i ( D : (, y ( D ( D t R ( + t, 4t R t ( D M ( 4, ( D y 4 t (, y ( D ( : ( D u (, det M, u M (, y ( D ( y y ( ( y y + y + ( D (, (, ( D : + y + ( D : + y + c ( u (, ( D ( D (c i (, j c ( D y c O i ( D j (, j ( D c O c i o(, y i (, - ( i, j j i u ( i, j (, y u i + y j u y u (, y u u : j i u ( i, j u (, y (, y u u i + y j i, j ( j (, i (, ( v(, y u (, y ( αu ( α, α y u v(, y y u + v( +, y + y v(, y u (, y (c v u : det u, v ( v det ( u, v y y y y u det, ( u v : ( α β αi + β j β β α α αi + β j α i + β j ( j i j - ( o o,, R ( o, i, j OM M (, y OM i + y j ( o, i, j M y M (, y i R M : OM i + y j j i OM M (, y R ( o, i, j (, y (, y (, y y : [ ] y + y, + y M : (,,

8 ( v ( ( ( ( // ( ( (c u det u, v ( ( det u, v det, ( u v (i (ii ( // ( (d ( ( y m + p ( u (, ( ( m ( : y m + p ( ( ( ( ( : y m + p // ( y ο y (c ( // ( m m o(, j (, 4 : ( : + y ( t y t : ( ( t + t y t : t y t ( + t ( ( : y + t ( ( t ( ( ( ( t y ( : ( : + y + 5 y : 5 ( ( ( : ( ( t ( ( + t + t : ( : y y + t y y + t + t + t ( S y + t y + t ( (i t t ( S ( ( S ( : y + + t : y + t ( (ii + t ( ( S y + t ( y + ( ( y ( ( ( ( t ( ( ( ( ( : y + ( : + y (iii ( ( ( y + S (i : + y + c : + y + c ( ( // ( ( ( ( ( // ( c c c c + y ( (i c c c c (ii

9 الحدوديات - النظمات المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية الحدوديات تعريف ليكن من R نعتبر التعبير P ( ,,, أعداد حقيقية و حيث deg P ونكتب تسمى حدودیة من الدرجة P أو P( الا عداد,,, تسمى معاملات الحدودیة P تكون حدودیة منعدمة إذا وفقط إذا آانت جميع معاملاتها منعدمة c الحدودیة المنعدمة ليست لها درجة d تكون حدودیتان متساویتان إذا وفقط إذا آانت معاملات الحدود من نفس الدرجة متساویة e آل حدودیة من الدرجة : ( P تسمى حدانية + ( آل حدودیة من الدرجة : c P ( + + تسمى ثلاثية الحدود deg ( P + Q sup(deg P, deg Q ( deg ( P Q sup(deg P, deg Q ( deg ( P Q deg P + degq (c القسمة على α لتكن ( P ( حدودیة نقول إن العدد α جذر للحدودیة P أو صفر للحدودیة P إذا وفقط إذا آان α P( ( لتكن P( حدودیة P ( α إذا وفقط إذا آان α تقبل القسمة على P ( α تقبل القسمة على P ( ملاحظة: إذا أردنا أن نتحقق هل نقوم نقوم تقبل القسمة على α لا تقبل القسمة على α + α تقبل القسمة على P( بحساب α P( إذا آان α P( فا ن إذا آان α P ( فا ن إذا أردنا أن نتحقق هل P ( α بحساب P( P ( المعادلات والمتراجحات من الدرجة ( حل المعادلة c + + نعتبر المعادلة c ( E : + + حيث من أجل حل المعادلة (E ( نقوم بحساب العدد 4c العدد یسمى مميزا لمعادلة E ( * إذا آان فا ن المعادلة (E ( تقبل حلين مختلفين هما + إذا آان فا ن المعادلة E ( تقبل حلا وحيدا * إذا آان فا ن المعادلة (E ( لا تقبل أي حل ملاحظة: ( یعني ( E : + + c نعتبر المعادلة ( نستعمل المميز المختصر عوض المميز ولدینا c فا ن المعادلة (E ( تقبل حلين مختلفين هما * إذا آان + إذا آان فا ن المعادلة E ( فا ن المعادلة تقبل حلا وحيدا (E ( لا تقبل أي حل * إذا آان إذا آان α فا ن المعادلة تقبل حلين + α α تعميل ثلاثية الحدود نعتبر ثلاثية الحدود P ( + + c مع ( E من أجل تعميل P( نقوم بحل المعادلة c + + ویكون تعميل و * إذا آان فا ن المعادلة E تقبل حلين P( ( ( P( هو * إذا آان فا ن المعادلة (E ( تقبل حلا وحيدا ویكون ليس لها حل والحدودیة ( P ( P( ( فا ن المعادلة (E ( تعميل P ( هو * إذا آان ليس لها تعميل ملاحظة: إذا آان فا ن الحدودیة ( P ( عبارة عن متطابقة هامة إشارة ثلاثية الحدود نعتبر الحدودة ( P ( + + c من أجل دراسة إشارة ( P ( نقوم المعادلة * إذا آان وتكون إشارة تقبل حلين مختلفين بحل و c ( E ( E ( فا ن المعادلة هي E : + + c فا ن المعادلة فا ن المعادلة تقبل حلا وحيدا وتكون + + ليس لها حل وتكون إشارة ( P ( ( E P ( إذا آان إشارة P ( هي: + + c c * إذا آان هي:

10 و 4 مجموع وجداء جدري معادلة من الدرجة ( E : + + c نعتبر المعادلة ( * إذا أردنا أن نبين أن المعادلة (E ( تقبل حلين نقوم بحساب ونجد * یمكن حساب مجموع وجداء هاذین الحلين بدون حل المعادلة + باستعمال الصيغ التالية c إذا أردنا تحدید معادلة من الدرجة یكون α و β حلين لها نقوم بحساب α + β و αβ نجد α + β S و α β P وتكون هذه المعادلة هي P S + + y S c إذا أردنا حل النظمة نقوم بحل y P المعادلة P t St + هما الحلين فا ن أو و إذا آان y y S {(,,(, } ملاحظة: ( ليكن α و β حلي المعادلة c + + α + β نعلم أن c αβ إذا أردنا حساب حد یحتوي على α و β نحاول إظهار α + β و αβ α + β ( α + β αβ أمثلة: * ( ( α β α β α β αβ ( ( α + β α + β αβ + αβ ( ( α + β α + β αβ α + β ( α + β αβ + α β α β ( αβ حلي معادلة من الدرجة الثانية من أجل دراسة و ليكن و + نقوم بحساب و إشارة موجب والا خر سالب و فا ن أحد العدد * إذا آان لهما نفس الا شارة وهي و فا ن * إذا آان إشارة + غير أو ( النظمات الخطية المعادلات من الدرجة بمجهولين: ( ( حيث أحد العددین أو نعتبر المعادلة c + y + منعدم من أجل حل المعادلة ( ( نحسب بدلالة y إذا آان نحسب y بدلالة إذا آان مثلا إذا آان y c S, y / y R y c نجد إذن نظمة معادلتين من الدرجة الا ولى بمجهولين + y c نعتبر النظمة S ( حيث الا عداد و و + y c ليست آلها منعدمة من أجل حل النظمة S ( نقوم بحساب المحددات التالية c c c c c y c c c إذا آان : فا ن النظمة تقبل حلا وحيدا y S {(, y } y ( إذا آان : فا ن النظمة S ( ليس لها حل s y أو إذا آان فا ن النظمة S ( تكافي إحدى y و إذا آان المعادلتين إشارة + y + c من أجل دراسة إشارة + y + c نقوم با نشاء المستقيم c ( D : + y + المستقيم D ( یقسم المستوى P ( إلى نصفي مستوى ( Pو P ( إذا عوضنا و y با حداثيات أي نقطة من ( P فا ننا نحصل على إشارة ثابتة وإذا عوضنا و y با حداثيات أي نقطة من ( P فا ننا نحصل على إشارة عكس الا شارة السابقة ولمعرفة هذه الا شارة نعوض و y ( P أو نا خذ عادة إحداثيات θ با حداثيات نقطة من ( P هي و y

11 الحساب المثلثي O α ( R o (, O α S S α R l αr l - : ( M M U - l R si t cos cos si M OM M rd cos : ( ( cos + si + t cos si t cos si cos si cos cos t (d cos + si + + t + + ( (c - M -( M ( ( o, i, j U o (,, (,, (, α U M ( ( α α rd OM α : ( O O R O O O O : 5 S, R, Q, P, N, M OQ 4 u OP rd (c ON 4 5 OS OM OR 4 ( gr,8, rd y z 8 : y z : ο 4

12 Sius ( ( R R Si Si Si ( ( ( ( cos cos ( si si ( t t ( c (4 cos si ( si cos ( t ( c t (5 cos si t Â ( ( T ( os Si

13 si ملخص لحل معادلات مثلثیة: من أجل كل عددین حقیقین و y ملخص درس الحساب المثلثي الجزء الثاني( التمثیل المبیاني للدالتین cos دراسة وتمثیل الدالة :si رسم منحنى الجیب : و [ على المجال:[ ;p y cos ì y + kp k Î í تكافي أو cos î - y + kp ìï y + kp k Î í - y + kp ïî ( p k Î y + kp si تكافي أو t تكافي cos y si y t y بنفس الطریقة نرسم التمثیل المبیاني على المجال : si cos p p 4 p p نلاحظ أن التمثیل المبیاني یكرر نفسھ على كل مجال سعتھ p لذلك نقول ان الدالة دوریة ودورھا T p [ ;p ] : cos المتراجحات المثلثیة:نحل المتراجحات المثلثیة اعتمادا على الداي رة المثلثیة si ³ [ المتراجحة:,p[ مثال : حل في المجال : الجواب : ³ si p ép 5p ù S, si ومنھ یعني ³ si ê ë ú û مثال : حل في المجال دراسة وتمثیل الدالة رسم التمثیل المبیاني على المجال : cos ³ المتراجحة: é p pù S ê -, ë 4 4 ú û ]-p, p] الجواب : ù p pé S ú -, ê û ë مثال : حل في المجال : المتراجحة: t ³ ép الجواب : é p S ê, 4 ê ë ë بنفس الطریقة نرسم التمثیل المبیاني على: نلاحظ أن التمثیل المبیاني یكرر نفسھ على كل مجال سعتھ p لذلك نقول ان الدالة دوریة ودورھا T p k Î ( k Î kp تكافي cos p تكافي cos + kp ( k + p p + kp kp p - + kp تكافي تكافي تكافي تكافي الا ستاذ : عثماني نجیب cos - si si si - yzmthe-mositecom خاصیة: مثلث بحیث: c و اذا كان و si ˆ c si ˆ si ˆ فان :

14 ملخص درس الاحصاء e الانحراف المتوسط: تنظیم المعلومات ومصطلحات احصاي یة e مثال :میزة إحصاي یة متقطعة: الكشف التالي یعطینا نقط تلامیذ الجذع مشترك علمي في فرض من e الفروض: المغایرة: V الاصطلاح الا حصاي ي: v الساكنة الا حصاي یة: ھي المجموعة " أو العینة " التي تخضع 5 V للدراسة في ھذا المثال :ھي مجموعة تلامیذ الجذع مشترك علمي v الوحدة الا حصاي یة: كل عنصر من ھذه المجموعة یسمى وحدة 5 V إحصاي یة في ھذا المثال :ھو كل تلمیذ من مجموعة تلامیذ الجذع الانحراف الطرازي: V s مشترك علمي v المیزة الا حصاي یة: ھي الظاھرة المراد دراستھا و ھي نوعان: V میزة إحصاي یة متصلة : مثال :الكشف التالي یعطینا نقط تلامیذ الجذع مشترك علمي في كمیة أو كیفیة ھذا المثال :ھي النقطة وھي میزة كمیة o المیزة الا حصاي یة الكمیة ھي المیزة المعبر عنھا بعدد (الطول فرض من الفروض: العرض - الوزن لخص النتاي ج في جدول للحصیصات والحصیصات المتراكمة oالمیزة الا حصاي یة الكیفیة ھي التي لا یمكن التعبیر عنھا بعدد أحسب المعدل الحسابي للمتسلسلة الا حصاي یة اللغة فصیلة الدم یمكن تنظیم نتاي ج الا حصاء في جدول یسمى جدول الحصیصات أحسب وسیطات التشتت أجوبة : ( المجالات:,, و الحصیصات المتراكمة: [ 5, [ [ 5;[ 7,5 [,5[ [ 5,[ [,5[ قیمة المیزة الحصیص الحصیص المتراكم N العدد یسمى الحصیص الا جمالي ھو العدد الحقیقي المرموز تردد القیمة التردد و النسب الماي ویة p i i i i N : i إلیھ ب و المعرف ب النسبة المي ویة للقیمة i ھو العدد المرموز لھ ب و المعرف ب 4 5 p % 5 كل قیمة للمیزة لھا أكبر حصیص ( p i مثال : التردد الموافق للمیزة : النسبة المي ویة الموافقة للمیزة ھي : لھا نفس السعة و تسمى أصناف المیزة [ ;5[ [ 5;[ ]5; [ (النقطة الصنف نحسب منتصفات,5 7,5,5 الا صناف 7 9 الحصیص 7 الحصیص المتراكم الصنف المنوالي ھو الصنف الذي لھ أكبر حصیص ;5 في المثال: الصنف المنوالي ھو [ [ المعدل الحسابي :,5 9 7,5 7,5 7,5 m + + +,5 4 حساب وسیطات التشتت: الانحراف المتوسط: e,5-, ,5-,5 + 7,5 -,5 + 7,5-,5 e e,5,5,5 9 7,5,5 7,5,5 7,5,5 المغایرة V V s V الانحراف الطرازي: 4 التمثیلات المبیانیة: ھناك أنواع من المبیانات یمكن تعطینا فكرة واضحة وسریعة عن الظاھرة ونذكر من أنواع المبیانات : مبیانات بالعصي ومدرجات احصاي یة و مخططات داي ریة أو نصف داي ریة وسیطات الوضع : المنوال : تسمى منوالا في المثال : القیمة القیمة الوسطیة :القیمة الوسطیة لمتسلسلة إحصاي یة ھي أصغر قیم المیزة التي حصیصھا المتراكم أكبرمن أو یساوي نصف الحصیص الا جمالي في المثال :نصف الحصیص الاجمالي ھو و اذن القیمة الوسطیة ھي المعدل الحسابي : m اذن : 5 m وسیطات التشتت:نعتبر المتسلسلة الا حصاي یة التالیة : المیزة 7 الحصیص نحسب المعدل الحسابي: m i الا ستاذ : عثماني نجیب yzmthe-mositecom

15 الدوال العددية T (, y T (, y > T (, y T (, y < T (, y [ 5,9] [,] ( ( ( (c ( + [,5] (4 R > ( R > ( R (c (d (5 ( (,, (c [ ] D مجموعة التعريف D p( ( Q( Q( { D R ( P( P( ( P( ( : ( } ( Q( : ( ( P( ( دالة زوجية دالة فردية ( D ( ( ( ( ( D ( زوج ي ( ف ردي D ( ( ( ( تغيرات دالة أو رتابة دالة y ( (V مطارف دالة [ ] ( ( ( ( ( y ( < y ( ( y ( < ( y ( ( y ( > ( y ( ( y y ( T (, y ( ( y y y

16 γ X α γ Y y β X Y y β α ( Ω, i Ω( α, β, j (, ( (5 ( ( ( (, (, ( g g g g ( g ( g( (, ( (, ( ( g( (7 ( ( g( ( g( ( g( ( g( ( E : ( m g ( (8 ( : y m ( E g( ( (9 g( ( ( : g ( g g( ( g [, + [ g g( ( ( g( ( ( g( [, + [ g g( ( g ( ( α ( α D R ( ( ( ( α ( ( α α ( ( α (4 α β (5 V الدوال المرجعية * ( ( α β > ( ( < ( ( ( ( > ( < ( ( ( + + c ( ( y ( ( ( α + β X α y β ( α Y y β Ω( α, β ( Ω, i, j ( y ( Y X + ( c + d ( y ( α + β (4 γ β + α

17 التحويلات الا عتيادية F و E ليكن ( ( h( E F h( E h( F M E F التحا آي M ' عدد حقيقي غير منعدم k تعريف لتكن Ω نقطة و k هو التطبيق التحاآي الذي مرآزه Ω ونسبته الذي نرمز له ب k h,ω والذي یربط آل نقطة M من P ( بالنقطة ' M بحيث M Ω Ω M ' k ΩM " الخاصية المميزة N على التوالي M و تكون النقطتان ' M و ' N صورتي النقطتين بتحاآي h إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي k بحيث M ' N ' k MN خاصيات ليكن h تحاآي مرآزه Ω ونسبته k Ω M ' k ΩM تكافي h( M M ' ( ( إذا آان ' M h( M و ' N h( N فا ن M ' N ' k MN ( h صامدة بالتحاآي Ω نقول إن h( Ω Ω ( ( M Ω تكافي h( M M ( هذا یعني أن Ω هي النقطة الوحيدة الصامدة بالتحاآي ( h M و ' M مستقيمية (4 إذا آان ' M h( M فا ن Ω و 5 التحاآي یحافظ على المرجح یعني : فا ن G' مرجح β (, α,(, إذا آان G مرجح ' مستقيمية { } {( ', α,( ', β } ' ' k [ ' '] التحاآي یحافظ على المنتصف یعني : إذا آان منتصف فا ن ' مرجح [ ] c التحاآي یحافظ على معامل استقامية متجهتين یعني : إذا آان αd فا ن ' D ' ' α ' d التحاآي یحافظ على استقامية نقط یعني : إذا آانت النقط و و مستقيمية فا ن صورها ' و ' و التحاآي لا یحافظ على المسافة لكن لدینا h( ' h( ' ( إذا آان و فا ن التحاآي یحافظ عل قياس الزوایا الهندسية یعني ' ' ' ' ' هي القطعة h بالتحاآي القطعة صورة (8 [ ] ( ' ' ( D h [ ] ( المستقيم صورة c صورة مستقيم بالتحاآي هو مستقيم هي المستقيم ' D ( یوازي ( D (7 (d ( D من و وسيكون D h( واحدة h( ' ( D ( D إذا آان (e نقول إن D ( من أجل تحدید صورة مستقيم D ( ب h یكفي تحدید صورة نقطتين وسيكون ' h( D ( ' أو تحدید صورة نقطة هو المستقيم المار من ' والموازي للمستقيم h( D ( D '( O ', k r Ω فا ن ( مستقيما مارا من ( 9 صورة الداي رة صامد إجماليا h هي الداي رة جزي ين من المستوى h( M h( E h( F فا ن إذا آانت التحاآي یحافظ على التعامد والتوازي یعني : صورة مستقيمين متعامدین هما مستقيمان متعامدان و صورة مستقيمين متوازیين هما مستقيمان متوازیان الصيغة التحليلية لتحاآي نفترض أن المستوى منسوب إلى معلم متعامد j ( O, i, k ونسبته Ω(, تحاآي مرآزه h مثال : ليكن ( من أجل تحدید الصيغة التحليلية للتحكي h نتبع مایلي : ' M h( M ونقوم ليكن y M (, و ' y M ( ', بحيث بحساب ' و ' y بدلالة و y لدینا ' M h( M یعني Ω M ' ΩM ΩM (, y ولدینا ' y ΩM '( ', و 4 ' ' یعني إذن y ' y y ' y 4 ' h : إذن الصيغة التحليلية ل h هي : y ' y y و ب h نعوض ملاحظة : إذا أردنا تحدید صورة نقطة h( ونحصل على إحداثيات ( مثال ' + : نعتبر التطبيق الذي صيغته التحليلية هي : y ' y 4 ' من أجل تحدید طبعة نبحث عن النقط الصامدة بحل النظمة y ' y + یعني إذن یعني y y 4 y هي, Ω( ' M h( M y M (, و ' y M ( ', بحيث ثم نا خذ ' + ولدینا ' y Ω M '( +, لدینا إذن y ' y 4 Ω M '( +,y 4 y Ω M '( + +, یعني Ω M ' ΩM إذن Ω M ( +,y ولدینا, Ω( ونسبته k تحاآي مرآزه وبالتالي بعض التقنيات و نبحث عن نقطتين Ω نسميه h لكي نحدد مرآز تحاآي و' وصورتاهما ' و ' لدینا ' h( إذن Ω و و ' ومنه ' Ω ( ولدینا ' h( إذن Ω و مستقيمية ونه (' Ω وبالتالي Ω هي نقطة تقاطع (' ( و ( ' با حداثيات تقبل نقطة صامدة وحيدة یعني مستقيمية r ( O, بالتحاآي مع O O ' h(

18 ( الا زاحة من أجل تحدید نسة تحاآي h نسميه k و هناك إمكانيتان : نبحث عن المرآز Ω ونقطة وصورتها ' Ω لدینا ' h( إذن Ω ' k Ω ونقوم بحساب ' بدلالة Ω نجد مثلا Ω ' αω ونستنتج أن k α أو نمر إلى القياس Ω ' الجبري Ω ' k ΩM یعني k Ω M نبحث عن نقطتين و وصورتاهما ' و ' لدینا ' ' k ونتبع نفس الطریقة السابقة إذا أردنا أن نبين أن ' منتصف ' ' نبحث عن و و [ ] بحيث ' h( و ' h( و ' h( ونستعمل الخاصية M ( إذن ' منتصف '] [ ' J مستقيمية یكفي أن نبين أن [ ] و منتصف Ω و (c (5 لدینا d لكي نبين أن h( Ω, k ( J (e * إذا آان M لكي نحدد صورة نقطة M هناك عدة طرق من بينها : نستعمل التعریف Ω M ' k ΩM [ ] منتصف قطعة نستعمل (5 إذا آانت M α نستعمل (5c * إذا آانت M تقاطع جزي ين نستعمل ( h( M h( E h( F إذن M E لدینا F * إذا آانت لدینا الصيغة التحليلية نستعملها Ω ( التماثل المرآزي ( تعريف لتكن Ω نقطة التماثل المرآزي الذي مرآزه M ' Ω S Ω والذي یربط هو التطبيق الذي نرمز له ب آل نقطة M من P ( بالنقطة ' M بحيث Ω M ' ΩM یعني Ω منتصف " [ MM '] الخاصية المميزة تكون النقطتان ' M و ' N صورتي النقطتين M و N على التوالي M ' N ' MN إذا وفقط إذا آان S Ω بتماثل مرآزي خاصيات جميع الخاصيات المتعلقة بالتحاآي تبقى صحيحة بالنسبة للتماثل المرآزي مع k ب - ماعدا ( و (9 حيث تصبح تعوبض التماثل المرآزي یحافظ على المسافة یعني ' ' إذا آان ' h( و ' h( فا ن S Ω هي الداي رة (9 صورة الداي رة r ( O, بالتماثل المرآزي O ' S Ω( O مع '( O ', r Ω منتصف S تكافي M ( ملاحظة M ' ( [ MM '] S Ω ( N N ' Ω ( S و Ω إذا آان ' M ( M M ' N ' MN فا ن ( تعريف u لتكن u متجهة الا زاحة التي متجهتها u هي M ' والذي یربط t u التطبيق الذي نرمز له ب آل نقطة M من P ( بالنقطة ' M M بحيث " u MM ' الخاصية المميزة تكون النقطتان ' M و ' N صورتي النقطتين M و N على التوالي M ' N ' MN إذا وفقط إذا آان t u بالا زاحة خاصيات جميع الخاصيات المتعلقة بالتحاآي تبقى صحيحة بالنسبة للا زاحة ماعدا ( و ( و ( و( 4 و ( و (8cde و (9 و ( و (d ولدینا : M ' ( فا ن ( D موجهة ل u '( O ', r هي الداي رة t u ( u یعني ( ( D إذا آان (8e t ( D ( D الا زاحة تحافظ على المسافة یوازي حامل r ( O, بالا زاحة u 9 صورة الداي رة O ' t u مع O ( ملاحظة MM ' u تكافي t u ( M M ' ( t فا ن t u و ' N ( N u ( M M ' إذا آان ( M ' N ' MN ( M ( التماثل المحوري ( تعريف لتكن ( ( مستقيما التماثل المحوري الذي محوره S والذي یربط ( هو التطبيق الذي نرمز له ب آل نقطة M من P ( بالنقطة ' M بحيث یكون ( واسط القطعة '] MM [ خاصيات جميع الخاصيات المتعلقة بالتحاآي تبقى صحيحة بالنسبة للتماثل المحوري ماعدا ( و ( و ( و( 4 و 5 ( و (8e و (9 و (d ولدینا : التماثل المحوري یحافظ على المسافة t ( ( D ( D فا ن ( D ( إذا آان (8e t إذا آان //( D ( فا ن D ( D //( ( (9 صورة الداي رة r ( O, بالتماثل المحوري هي الداي رة [ MM '] S ( ( ( واسط القطعة M ( مع O O ' S ( ( '( O ', r ملاحظة S تكافي ( ( M M ' ( S تكافي ( ( M M إذا آان ( المستقيم ( ( صامد نقطة بنقطة

19 الجداء السلمي H H : v u (e u v u v u v u v ( u v v u ( (g u ( v + w u v + u w ( u ( v w u v u w ( ( αu v u( αv α( u v ( ( u + v u + v + u v ( ( u v u + v u v ( ( u + v ( u v u v ( [ ] ( ( : ( + cos ˆ + cos ˆ ˆ + cos ( [ ] ( + + : ( + ( ' : ( : ( ( ( + ( H H ( H H ( H H H H H ( ' ( ( ( ˆ cos ˆ cos t ˆ : ( (c si ˆ si ˆ si ˆ K H ( ( ( H ( K : H D K cos( ( ( D ( ( ' ( D D ' D ' D ' D : ( ( ( D : ( ( D D D : ( D D D ( (4 D ( D ( D D ( D D D D v u ( ( v u v u v : v : v u ( u u v u v cos( u, v u u (c u v u v : v u u (d (5

20 ( ( ( ( ( P ( P ( P ( ( ( P ( ( Q ( Q ( P ( P ( : ( ( M [ ] ( l ( M l ( ( M ( M ( (c [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( (d ( ( ( ( ( ( ( ( P (e ( ( P : ( P 4 [ ] [ [ ] ( Q ( ( Q ( P ( ( ( P ( ( P ( P // ( Q ( ( // ( P ( ( P ( ( 5

21 ( ( ( ( P ( P ( ( ( ( [ ] ( ( [ ] J ( J ( : (c ( P ( Q ( ( ( P : ( ( Q ( ( ( // ( ( P ( Q ( ( ' ( P ( ' //( Q ( P ( Q ( ( ' //( P ( ' //( Q ( // ( : : ( //( ' ( ' //( '' ( P // ( Q ( H ( P ( ( H ( Q ( (d (e ( D 4 : ( P ( D ( D // ( P D J ( D 5 ( P ( P ( D ( P ( D ( D ( P ( D ( Q ( P ( P ( Q ( Q ( P ( Q ( P : ( ( Q ( P ( ( ( // ( ( Q ( ( P ( ( Q ( P ( ( K J 7 ( Q ( P P P P q p (D ( ( D ( D ( D ( D (D O ( P ( Q (D (D' ( ( D ( D ( D ( D ( D ( D ( ( P ( D (D ( P ( D (D (D (D' (D' (D θ ( P ( P ( P ( D ( D ( D ( ( Q ( P ( Q ( P ( D ( P Q q p ( Q ( P ( P ( P ( D ( D ( Q ( P (V ( D ( Q ( P : ( (