Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην ουράνια σφαίρα με επίκεντρο τη Θεσσαλονίκη. β) Σχεδιάστε το τρίγωνο θέσης κατά τη στιγμή που ο Βέγας ανατέλλει πάνω από τον ορίζοντα και κατά τη στιγμή που ο Βέγας δύει κάτω από τον ορίζοντα. γ) Χρησιμοποιώντας τη σχέση του συνημίτονου, υπολογίστε το αζιμούθιο του Βέγα κατά τις παραπάνω δύο χρονικές στιγμές. α) Φαινόμενη Τροχιά Αστέρα Βέγα με επίκεντρο την Θεσσαλονίκη
- 2 - β) Το τρίγωνο θέσης κατά την δύση του Βέγα Το τρίγωνο θέσης κατά την ανατολή του Βέγα είναι:
- 3 - γ) Για τη δύση του Βέγα η σχέση συνημίτονου είναι: cos(90-δ) = cos(90-υ)cos(90-φ) + sin(90-υ)sin(90-φ)cos(180-α) cos(51,13) = cos(90-0)cos(49,23) + sin(90-0)sin(49,23)cos(180-α) 0,628 = 0-0,757 cosa cosa = -0.830 οπότε A=146.06 ο το οποίο είναι το αζιμούθιο. Για την ανατολή του Βέγα η σχέση συνημίτονου είναι: cos(90-δ) = cos(90-υ)cos(90-φ) + sin(90-υ)sin(90-φ)cos(α-180) cos(51,13) = cos(90-0)cos(49,23) + sin(90-0)sin(49,23)cos(α-180) 0,628 = 0 + 0,757 cos(a-180) cos(a-180) = 0.830 A-180 ο = 33,9 ο οπότε Α=213,9 ο το οποίο είναι το αζιμούθιο.
- 4-2. Από ποιο αζιμούθιο ανατέλλει ένας αστέρας απόκλισης δ σε έναν τόπο πλάτους φ, αν (α) δ = 0º και φ = 30º, (β) δ = 30º και φ = 60º, (γ) δ = 45º και φ = 45º. Εφόσον ο Αστέρας ανατέλλει, προκύπτει ότι το ύψος του Αστέρα είναι μηδέν. Οπότε υ=0 ο. Εν συνεχεία κατασκευάζουμε το τρίγωνο θέσης του Αστέρα (ΠΖνΣ) για το οποίο χρησιμοποιούμε την σχέση των πέντε στοιχείων, έτσι: sinγcosa = cosαsinβ - sinαcosβcosγ όπου γ=90-φ, Α=180-Α, α=90-δ, β=90-υ και Γ=s άρα: sin(90-φ)cos(180-α) = cos(90-δ)sin(90-υ) sin(90-δ)cos(90-υ)cos(s) -cosφcosa = sinδsin(90-0) cosδcos(90-0)cos(s) -cosφcosa = sinδ Συνεπώς: cosa = - sinδ/cosφ i) Για δ=0 ο και φ=30 ο έχουμε cosa = 0, οπότε Α=270 ο. ii) Για δ=30 ο και φ=60 ο έχουμε cosa = -1, οπότε Α=180 ο. iii) Για δ=45 ο και φ=45 ο έχουμε cosa = -1, οπότε Α=180 ο.
- 5-3. Να δειχθεί ότι αν ένας αστέρας απόκλισης δ = δo ανατέλλει από αζιμούθιο Α, τότε ένας αστέρας απόκλισης δ = δo ανατέλλει από αζιμούθιο 180 ο Α Εφόσον ο Αστέρας ανατέλλει τότε το ύψος του ισούται με μηδέν. Χρησιμοποιώντας τη σχέση του συνημίτονου, στο τρίγωνο θέσης του Αστέρα, για απόκλιση δ ο έχουμε: cos(90-δ ο ) = cos(90-υ)cos(90-φ) + sin(90-υ)sin(90-φ)cos(180-α) cos(90-δ ο ) = sin(90)sin(90-φ)cos(180-α) cos(90-δ ο ) = sin(90-φ)cos(180-α) (i) Όμοια χρησιμοποιούμε τη σχέση του συνημίτονου και για απόκλιση - δ ο οπότε: cos[90-(-δ ο )] = cos(90-υ)cos(90-φ) + sin(90-υ)sin(90-φ)cos(180-α ) cos(90+δ ο ) = sin(90)sin(90-φ)cos(180-α ) cos(90+δ ο ) = sin(90-φ)cos(180-α ) (ii) Διαιρούμε τις (i) & (ii) κατά μέλη και προκύπτει ότι: cos(90-δ ο ) / cos(90+δ ο ) = cos(180-α) / cos(180-α ) όμως cos(90-δ ο ) = - cos(90+δ ο ) άρα: cos(180-α) = - cos(180-α ) cos(180-α ) = cos(α) 180-Α = Α συνεπώς: Α = 180 Α ο.ε.δ. 4. Ο Ερατοσθένης παρατήρησε ότι το μεσημέρι της 22ας Ιουνίου ο Ήλιος καθρεφτιζόταν στην επιφάνεια του νερού ενός πηγαδιού της πόλης Ασουάν της Αιγύπτου (φ = 23º 27'), και άρα βρισκόταν στο Ζενίθ εκείνου του τόπου. Την ίδια μέρα και ώρα η σκιά του μεγάλου οβελίσκου της Αλεξάνδρειας (φ = 31º 11'), ύψους 73.69 μέτρων, ήταν ακριβώς 10 μέτρα. Γνωρίζοντας ότι οι δύο πόλεις βρίσκονται στον ίδιο μεσημβρινό και ότι η απόσταση Ασουάν - Αλεξάνδρειας είναι 860 χιλιόμετρα, πόσο υπολόγισε ότι είναι η ακτίνα της Γης;
- 6 - Στην Αλεξάνδρεια έχουμε την εφαπτομένη της γωνίας θ να ισούται με το λόγο της σκιάς προς το ύψος του οβελίσκου δηλαδή: tanθ = 10 / 73,69. Συνεπώς θ = 7,728 ο Αυτή είναι ουσιαστικά και η γωνία που αντιστοιχεί και στο τόξο Ασσουάν- Αλεξάνδρειας, ως εντός εναλλάξ γωνίες. Εφόσον στις 7,728 ο αντιστοιχεί τόξο μήκους 860χλμ, στις 360 ο αντιστοιχεί περιφέρεια μήκους 40062,11χλμ. Διαιρώντας την περιφέρεια της Γης με 2π καταλήγουμε στην ακτίνα η οποία προκύπτει ίση με 6376,1 χλμ.
- 7-5. Να υπολογισθεί ο αστρικός χρόνος της ανατολής του Ήλιου στη Θεσσαλονίκη (φ = 40º 37') κατά την 21η Μαρτίου. Στις 21 Μαρτίου η απόκλιση του Ήλιου είναι μηδέν, οπότε και η τροχιά του συμπίπτει με τον Ουράνιο Ισημερινό. Κατά την ανατολή της 21 ης Μαρτίου ο Ήλιος βρίσκεται πάνω στο εαρινό σημείο γ. Επομένως η ορθή αναφορά του δηλαδή η απόσταση του από το σημείο γ θα είναι μηδέν, δηλαδή α=0 ο. Όσον αφορά την ωριαία γωνία αυτή μετράται επί του Ουράνιου Ισημερινού, με αρχή το Νότο και κατά την ανάδρομη φορά. Έτσι αφού ο Ήλιος είναι στην ανατολή η ωριαία γωνία Η είναι 270 ο. Και ο Αστρικός χρόνος προκύπτει ST = α+η, συνεπώς: ST = 0 + 270 = 270 ο και αφού οι 360 ο αντιστοιχούν σε 24 h έχουμε ST = 18 h. 6. Ο μεταβλητός αστέρας Algol (β Persei) κατά την άνω μεσουράνησή του διέρχεται ακριβώς από το Ζενίθ της Καβάλας (φ = 40º 57 ). Να βρεθεί το ύψος του αστέρα τη στιγμή της κάτω μεσουράνησης του στην Καβάλα καθώς και η απόκλισή του. Κατά την άνω μεσουράνηση του ο Αστέρας διέρχεται από το Ζενίθ της Καβάλας, άρα η τροχιά του Αστέρα είναι παράλληλη στον Ουράνιο Ισημερινό και η απόκλιση της συμπίπτει με το γεωγραφικό πλάτος. Δηλαδή: δ = φ = 40 ο 57. Όμοια κατά την κάτω μεσουράνηση ο Αστέρας είναι σε Ωριαία Γωνία 12 h που αντιστοιχεί στις 180 ο. Παίρνουμε τη σχέση του συνημίτονου το τρίγωνο θέσης του Αστέρα, δηλαδή: cosα = cosβcosγ + sinβsinγcosα όπου α=90-υ, β=90-δ, γ=90-φ και Α=180 ο, έτσι: cos(90-υ) = cos(90-δ)cos(90-φ) + sin(90-δ)sin(90-φ)cos(180) sinυ = cos(49.03)cos(49.03) - sin(49.03)sin(49.03) sinυ = cos(2*49.03) sinυ = cos(98.06) sinυ = -0.1402 υ = - 8.06 ο το οποίο είναι το ύψος του Αστέρα.