HY-280 «ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ» θεμελιακές έννοιες της επιστήμης του υπολογισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γεώργιος Φρ. Γεωργακόπουλος Ερωτήματα διευκρίνισης & κατανόησης (Α μέρος)
Α.1 ο Ερωτήματα. 1. Μας ενδιαφέρει να επιλέξουμε ένα αλφάβητο Σ. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους φυσικούς αριθμούς ως το αλφάβητό μας Σ; 2. Δεν είναι προτιμότερο να χρησιμοποιούμε ένα αλφάβητο με λ.χ. 15 σύμβολα, αντί για ένα με 3 σύμβολα; 3. Το δυαδικό αλφάβητο δεν είναι το απλούστερο δυνατόν; Θα μπορούσε ένα αλφάβητο να έχει έναν μόνον σύμβολο; 4. Ο αριθμός π (λόγος περιφέρειας προς διάμετρο, = 3.141592654... ) επί ποίου αλφαβήτου είναι λέξη; Λ.χ. τα δεκαδικά ψηφία μαζί με την «υποδιαστολή»., μας αρκούν; 5. Γιατί να χρησιμοποιούμε την «κενή» λέξη ; 6. Μπορεί «πρακτικά» μια γλώσσα να είναι κενή; 7. Η κενή γλώσσα δεν είναι το «ίδιο» πράγμα με την κενή λέξη; 8. Η κενή γλώσσα δεν περιέχει την κενή λέξη; 9. Γιατί δεν χρησιμοποιούμε ένα σύμβολο «τέλος» για να σημειώσουμε ότι μια λεξη έχει τελειώσει, δηλ. ότι δεν υπάρχουν στη «συνέχεια» άλλα σύμβολα που να της ανήκουν; (Όπως λ.χ. έχουμε το «eol» = end-of-line, ή το «eof» = end-of-file;) 10. Όταν «γράφουμε» μια λέξη ίσως να μην έχει νόημα να γυρίσουμε πίσω, να σβήσουμε κάποια σύμβολα, και να γράψουμε άλλα διότι θεωρητικά θα ήταν επιτρεπτό να γράψουμε εξ αρχής τα σωστά. Όταν όμως «διαβάζουμε» μια λέξη για να την αναγνωρίσουμε, γιατί να μην μπορούμε να γυρίσουμε «πίσω» για να την ξαναδιαβάσουμε, προκειμένου να διευκολυνθούμε; 11. Γιατί μας ενδιαφέρει απλά το εάν μια λέξη ανήκει σε μια γλώσσα ή όχι; Στις γλώσσες που χρησιμοποιούμε (φυσικές ή προγραμματισμού) ένα κείμενο αποτελείται από πολλές λέξεις. Πώς θα εξετάζαμε λ.χ. αν μια ολόκληρη πρόταση ανήκει σε μια γλώσσα ή όχι; 12. Έστω ότι σε μια γραμματική (λ.χ. ομαλή) χρησιμοποιούμε τα παραγωγικά σύμβολα Κ, Λ και Μ. Τι σημασία έχει το να είναι «ακριβώς» αυτά; Δεν θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε καποια άλλα Κ, Λ και Μ στη θέση τους (αντίστοιχα); 13. Αφού τα διαγράμματα μεταβάσεων τα «λένε όλα» και με φυσικό τρόπο, γιατί να μην χρησιμοποιούμε αυτά και μόνον αυτά; 14. Θα μπορούσαμε σε ένα διάγραμμα μεταβάσεων να έχουμε πολλές αρχικές καταστάσεις; 15. Δεν είναι παράξενο μια αφετηριακή κατάσταση σε ένα διάγραμμα μεταβάσεων/αυτόματο, να είναι ταυτόχρονα και αποδεκτική; Μπορούμε να «τελειώσουμε» μια δουλειά πριν καν την «αρχίσουμε»; 16. Γράφουμε με κάποιους κανόνες δεκαδικούς αριθμούς και έχουμε στη διάθεσή μας ένα αυτόματο που αποδέχεται τους δεκαδικούς που γράφουμε (όπως τους γράφουμε), αλλά όχι μόνον αυτούς. Δεν μας είναι χρήσιμο; Αφού πρόκειται να το τροφοδοτούμε μόνον με σωστά γραμμένους αριθμούς τι μας πειράζει αν μπορούσε να αποδεχθεί και άλλες «λέξεις»;
17. Έστω ότι έχουμε στη διάθεσή μας ένα μη-αιτιοκρατικό αυτόματο Α, το οποίο «διαβάζοντας» κάποια λέξη λ είναι δυνατόν να οδηγηθεί και σε μια αποδεκτική κατάσταση Κ μέσω μιας διαδρομής, αλλά και σε μια απορριπτική κατάσταση Κ μέσω μια άλλης διαδρομής (ακριβώς λόγω μη-αιτιοκρατίας). Γιατί θεωρούμε ότι το αυτόματο Α αποδέχεται την λέξη λ; (Και όχι λ.χ. ότι απλά δεν είναι σε θέση να αποφανθεί για αυτήν;) 18. Αν μετατρέψουμε ένα μη-αιτιοκρατικό αυτόματο με ν καταστάσεις σε αιτιοκρατικό ίσως να καταλήξουμε σε ένα με 2 ν καταστάσεις. Δεν είναι αυτό «πολύ» λ.χ. από 20 καταστάσεις πάμε σε 2 20 ; Δεν ακυρώνει αυτό την αξία του σχετικού θεωρήματος; 19. Εξαιρώντας την απλή περιέργεια, γιατί να επιτρέψουμε την μετάβαση μέσω ενός σύμβόλου από μία κατάσταση Κ σε 2 ή περισσότερες καταστάσεις, Κ1, Κ2,..., δημιουργώντας έτσι το (δυσκολότερο) πρόβλημα αντιαιτιοκρατικής συμπεριφοράς σε ένα αυτόματο; 20. Το αυτόματο που αποδέχεται την τομή δύο ομαλών γλωσσών, (βλ. σημειώσεις 7 ο κεφ.), είναι «δύο» αυτόματα που εργάζονται «εκ παραλλήλου». Δεν θα μπορούσαμε να συνδέαμε δύο αυτόματα «εν σειρά», έτσι ώστε αν το πρώτο αποδεχόταν την δεδομένη λέξη, να εξετάζαμε στη συνέχεια αν και το δεύτερο επίσης αποδέχεται την ίδια λέξη; 21. (Μετά την ερώτηση/απάντηση στο προηγούμενο:) ΟΚ, αλλά η κατασκευή που αναγνωρίζει την παράθεση δύο γλωσσών δεν είναι μια «εν σειρά» σύνδεση; 22. Για να εξετάσουμε την τομή ή ένωση δύο γλωσσών που έρχονται από δύο αυτόματα, δεν αρκεί να «τρέξουμε» εμείς το 1 ο και στη συνέχεια το 2 ο ; Δεν θα διαπιστώναμε έτσι ορθά το εάν μια λέξη ανήκει και στις δύο γλώσσες ή σε μία από τις δύο. 23. Γιατί για την αναγνώριση της L(A)* πρέπει να εισάγουμε μια νέα αφετηριακή κατάσταση; Δεν αρκεί από κάθε αποδεκτική κατάσταση να προσθέσουμε μια κενή μετάβαση προς την αφετηριακή που διαθέτει το αυτόματο; 24. Γιατί στα «θεωρήματα κλειστότητας» δεν έχουμε και την πράξη του «υποσυνόλου»; Αν μια γλώσσα Β είναι ομαλή και Α Β, δεν θα έπρεπε και η Α να είναι ομαλή; Είναι δυνατόν μια ομαλή γλώσσα να περιέχει μια «ανώμαλη» γλώσσα; 25. Έστω ότι ορίζουμε μια γλώσσα Λ σαν όλες ακριβώς τις λέξεις του Σ* που έχουν την ιδιότητα Χ και την ιδιότητα Υ. Πώς θα μπορούσαμε να αξιοποιήσετε τις ιδιότητες της κλειστότητας για να αποδείξουμε ότι η Λ είναι ομαλή; 26. Έστω οι γλώσσα των δεκαδικών γραμμένων στην «επιστημονική μορφή», (όπου π.χ. «+314.159Ε 2», εννοεί 314159 10 2 = 3.14159). Ποιό θεώρημα κλειστότητας φαίνεται ως πιο χρήσιμο για να δείξουμε ότι είναι ομαλή; 27. Έστω ότι ορίζουμε μια γλώσσα Λ σαν όλες ακριβώς τις λέξεις του Σ* αρκεί να μην έχουν την ιδιότητα Χ. Πώς θα μπορούσατε να αξιοποιήσουμε τις ιδιότητες της κλειστότητας για να αποδείξουμε ότι η Λ είναι ομαλή; 28. Δηλαδή το λήμμα άντλησης μας λέει ότι σε κάθε ομαλή γλώσσα όλες οι λέξεις (της) έχουν την μορφή αμ (κ) τ, για κάποιες «φίξ» λέξεις α, μ, τ και οποιοδήποτε φυσικό αριθμό κ; 29. Έστω Λ μια ομαλή γλώσσα, και λ μια λέξη αυτής της γλώσσας. Κατά το λήμμα της άντλησης υπάρχει πάντα ένα κομμάτι της λέξης λ το οποίο φορές και εάν το επαναλάβουμε η λέξη που προκύπτει θα ανήκει επίσης στην Λ. Παράξενο δεν είναι αυτό;
30. Έστω ότι μια γλώσσα δεν είναι (ή υποψιαζόμαστε ότι δεν είναι) ομαλή. Κατά το λήμμα της άντλησης αυτό που «φταίει» είναι ότι περιέχει λέξεις της μορφής α x (κ) μ y (κ) τ, για άπειρα κ. Σωστά; 31. Αν εξαιρέσω από μια ομαλή γλώσσα Λ μια μη-ομαλή γλώσσα Χ, τότε σύμφωνα με τα θ. κλειστότητας αυτό που θα μείνει, η Λ Χ, θα πρέπει να είναι μη-ομαλή γλώσσα. Σωστά; 32. Έστω η γλώσσα Λ επί του { α, β } που αποτελείται από όλες τις λέξεις πλην όλες όσες περιέχουν πάνω από 5 β στη σειρά. Ποιά είναι η κατά Myhill-Nerode κλάση ισοδυναμίας της λέξης μ = ββαββββββ; 33. Είναι πάντοτε το συμπλήρωμα μιας γλώσσας Λ μια κλάση ισοδυναμίας ως προς την Λ; 34. Το εξής είναι «τεχνικό θέμα» αλλά οι καλές συνεννοήσεις... : Ποιά είναι η γλώσσα της ομαλής έκφρασης Χ = (εδώ: = η κενή λέξη); Και ποιά είναι η γλώσσα της ομαλής έκφρασης Υ = { }; 35. Έστω Λ { α, β, γ }* η γλώσσα { όλες οι λέξεις που αρχίζουν από α, τελειώνουν σε β και δεν περιέχουν την (υπο)λέξη «γαβγαβ» }. Είναι η Λ ομαλή γλώσσα; 36. Ποιά γλώσσα επί του Σ = { x, y } ορίζει η γλωσσική έκφραση { x, y }* { xxyy, yyxx } { x, y }*. 37. Κάποιος «γράφει» μια ομαλή γλωσσική έκφραση και μας την δίδει. Πώς θα την «αναγνώσουμε» ώστε καταλάβουμε εάν είναι σωστά γραμμένη και το τι εκφράζει; Μπορούμε να το κάνουμε αυτό με ένα αυτόματο; 38. Έχουμε κατά νού μια γλώσσα και σκεπτόμαστε ότι είναι μάλλον ομαλή, διότι αποτελείται από λέξεις που έχουν την Χ ιδιότητα, αλλά όχι την Υ. Προκειμένου να την ορίσουμε με ακρίβεια θα μας εξυπηρετούσε να χρησιμοποιήσουμε μια ομαλή γλωσσική έκφραση; 39. Εάν κατασκευάσουμε ένα αυτόματο, τότε αυτό δεν θα είναι ήδη ένα «καθολικό» αυτόματο αφού θα μπορούμε να του «φορτώσουμε» ένα οποιοδήποτε σύνολο οδηγιών; 40. Δεν είναι προφανές το ότι δεν υπάρχει καθολικό αυτόματο, αφού υπάρχουν απείρων ειδών αυτόματα, ενώ ένα «καθολικό» τέτοιο θα είχε στη διάθεσή του πεπερασμένο και μόνον πλήθος καταστάσεων;
2 ο Απαντήσεις. 1. ΟΧΙ: Οι φυσικοί αριθμοί είναι άπειροι και κάθε αλφάβητο πρέπει να είναι πεπερασμένο. 2. ΝΑΙ αρκεί να είναι «εύκολο» να αναγνωρίζουμε ένα τυχόν σύμβολο ποιό από τα 15 είναι... Και ας μην λησμονούμε ότι η εκάστοτε τεχνολογία καθορίζει το πόσα σύμβολα θα είναι πρακτικώς χρήσιμο να έχουμε. Στην υπάρχουσα τεχνολογία η ευκολία του να έχουμε δύο στάθμες δυναμικού (λ.χ. 5V), έχει καθιερώσει τεχνολογικά το εξαιρετικά απλό δυαδικό αλφάβητο όπου Σ = { 0, 1 }. 3. ΟΧΙ θα μπορούσαμε να έχουμε Σ = { α }, δηλαδή ένα μονοσυμβολικό αλφάβητο. (Αυτό ίσως και να ήταν από τα πρώτα στην ιστορία, όταν οι άνθρωποι παλαιά οι λεγόμενοι «των σπηλαίων» χαράσσαν στα βράχια ή στα ξύλα από μια χαρακιά για να μετρήσουν μια μονάδα από ότι είχαν να μετρήσουν. (Η ακραία περίπτωση είναι και το κενό αλφάβητο, αλλά με αυτό μπορούμε να γράψουμε μόνον μία λέξη την κενή...) 4. ΟΧΙ: Το π είναι άρρητος αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα, και άρα στην δεκαδική του γραφή έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία, ενώ κάθε λέξη πρέπει να είναι πεπερασμένη. 5. Γιατί αν περιμένουμε κάποια δεδομένα, και δεν έχουν να μας δώσουν κανένα (εάν λ.χ. ζητάμε έναν 2 ο τηλ. αριθμό και ο χρήστης δεν διαθέτει) τότε ποιά λέξη παριστάνει τα δεδομένα που (υποτίθεται ότι) πήραμε; Αν επιτρέπαμε την απάντηση «καμμία», τότε θα επιτρέπαμε να έχουμε δεδομένα που θα ήμασταν ανίκανοι να γράψουμε, δηλαδή να (ανα)παραστήσουμε με τούτον ή εκείνον τον τρόπο. 6. ΝΑΙ: Έστω ότι η γλώσσα Λ περιέχει τα ονόματα των φοιτητών/φοιτητριών μας. Ποιά είναι η υπογλώσσα Λ που περιέχει όλα και μόνον τα ονόματα που αρχίζουν από «Ω»; Αν δεν έχουμε κανέναν... Ωριγένη στο τμήμα μας, τότε αυτή είναι κενή. 7. ΚΑΙ ΟΧΙ, ΚΑΙ ΝΑΙ. ΟΧΙ: Το ένα είναι ένα κενό σύνολο, το άλλο είναι μια κενή ακολουθία (συμβόλων). ΝΑΙ: Εάν δούμε και τα δύο σαν σύνολα, τότε δύο κενά σύνολα είναι πάντοτε ίσα, ακόμα και εάν μας φαίνεται ότι άλλο πράγμα είναι ένα κενό σύνολο από καρέκλες και άλλο ένα κενό σύνολο από τσιπούρες... 8. ΟΧΙ - η κενή γλώσσα είναι κενή, δηλαδή δεν περιέχει τίποτε, (ούτε την κενή λέξη). Σκεφθείτε την γλώσσα D των λέξεων/αρχείων που (έστω ότι) επιτρέπεται να μας δώσει ως δεδομένα ένας χρήστης. Αν (παραξένως) D = τότε δεν ασχολούμαστε με κανέναν χρήστη, αφού D = σημαίνει ότι δεν περιμένουμε κανενός είδους δεδομένα... Αντιθέτως, η κενή λέξη ίσως να ανήκει στην D, (δηλαδή: D), όταν λ.χ. επιτρέπουμε σε έναν χρήστη να εισάγει ένα κενό αρχείο δεδομένων. 9. Κάτι που υπάρχει αναγκαστικά σε κάθε λέξη είτε το έχουμε είτε όχι, το ίδιο κάνει. Μη συγχέουμε τι χρειάζονται τα μαθηματικά για να «δουλέψουν» σωστά, και τι χρειάζεται ένα μηχάνημα για να δουλέψει σωστά. Προσέξτε επίσης ότι τα περισσότερα αλφάβητα που χρησιμοποιούμε στη πράξη, διαθέτουν ένα πλήθος από «σημεία στίξης» που παίζουν τον υπό συζήτηση οριοθετικό ρόλο: κόμματα, παρενθετικά σημεία, τελείες, κττ. 10. 1) όταν στην «γραφή» επιτρέπεται μόνον μία κατεύθυνση, πρέπει να εξετάσουμε τί συμβαίνει και όταν στην «ανάγνωση» επιτρέπεται μόνον μία κατεύθυνση: αλλιώς ίσως να χρειαστούμε για την «ανάγνωση» ένα ισχυρότερο μηχάνημα από εκείνο της «γραφής». 2) πρέπει πρώτα να αναλύουμε τα απλούστερα και ύστερα τα πιο σύνθετα, όχι μόνον στην θεωρία υπολογισμού, αλλά σε όλα τα μαθηματικά, (και σε όλες τις επιστήμες ως προς τούτο).
11. Ας αποφύγουμε αυτή τη σύγχιση: «γλώσσα» και «λέξη» είναι τεχνικοί όροι της θεωρίας μας. Σε μια φυσική γλώσσα ακόμα και ένα ολόκληρο βιβλίο είναι, από αυτή την όψη, μία «λέξη». Απλώς χωρίζεται σε μικρότερες υπο-«λέξεις» (κεφάλαια, παράγραφοι, προτάσεις, δευτερεύουσες προτάσεις, και απλές λέξεις), με την ένθεση συμβόλων που παίζουν (για μας) το ρόλο σημείων στίξης (κόμματα, τελείες, παρενθετικά σημεία, διαστήματα, παύλες, κττ). Αλλά η «στίξη» και η σημασία της αφορά στον χρήστη, και όχι στην υπολογιστική συσκευή που γράφει/διαβάζει σύμβολα «εν γένει». 12. ΝΑΙ φυσικά... Η μόνη αξία των συμβόλων είναι ότι είτε τα διακρίνουμε μεταξύ τους, είτε τα ταυτίζουμε (ότι δηλαδή αντιλαμβανόμαστε την επανάληψη κάποιου από αυτά). Προσέξτε ότι μια «μετωνομασία» των συμβόλων (τέτοια ώστε να κρατάμε την ταυτότητά τους και την διακριτότητά τους), είναι η ευρύτερη γραμματο-συντακτική αλλαγή που μπορούμε να κάνουμε, και που μας αφήνει βέβαιους ότι η γραμματική μας μένει «απαράλλακτη». Σημειώστε επίσης ότι, γι αυτό τον λόγο, στα διαγράμματα μεταβάσεων οι επιγραφές των κόμβων-καταστάσεων είναι δυνατόν να παραλειφθούν (αφού αυτές διακρίνονται μεταξύ τους από την θέση στη οποία έχουν σχεδιαστεί). 13. Αυτό κάνουμε στις «μεταξύ μας» συζητήσεις. Αλλά (ακόμα) δεν έχουμε συσκευές που να αντιλαμβάνονται αυτά τα διαγράμματα. Επομένως χρειαζόμαστε και μια συμβολική γραφή κατάλληλη ώστε να γίνεται αντιληπτή/αναγνωστή από τα «μηχανήματα». 14. ΝΑΙ αλλά αυτό δεν παράγει καμμιά ουσιώδη διαφορά: θα μπορούσαμε να ορίσουμε μία (νέα) κατάσταση ως αρχική και από εκεί να επιτρέψουμε κενές μεταβάσεις προς όλες τις «αρχικές» που μας ενδιαφέρουν. 15. Ίσως αλλά αυτή η δυνατότητα είναι αναγκαία: μόνον έτσι ένα αυτόματο είναι σε θέση να αποδεχθεί την κενή λέξη. Και τα κενά δεδομένα είναι περιστασιακά αναπόφευκτα: λ.χ. τα αποτελέσματα από ένα πρόγραμμα συχνά γίνονται δεδομένα για ένα επόμενο, ακόμα και όταν αυτά περιγράφονται από την κενή λέξη. Επίσης συχνά ένας χρήστης μας δίνει κενά δεδομένα, όταν λ.χ. σε ένα προαιρετικής συμπλήρωσης πεδίο πατάει απλά «enter». Προσέξτε εδώ την διαφορά ανάμεσα στη ανυπαρξία αποτελεσμάτων, (όταν λ.χ. ένα πρόγραμμα δεν τερματίζει), και στα κενά αποτελέσματα, (όταν λ.χ. ένα πρόγραμμα τερματίζει χωρίς να παραδώσει κάτι, ή ακριβέστερα όταν παραδίδει ως αποτέλεσμα ένα κενό αρχείο). Το να μην παραλάβεις ποτέ τον φάκελλο μιας επιστολής, και το να παραλάβεις έναν κενό φάκελλο επιστολής, δεν είναι του ιδίου τύπου συμβάντα. 16. ΟΧΙ δεν μας είναι χρήσιμο: αν γνωρίζουμε ότι ένας «γραφέας» παραδίδει πάντοτε σωστά γραμμένους δεκαδικούς τότε δεν χρειαζόμαστε κανέναν αναγνώστη ικανό να κρίνει απλώς και μόνον την ορθότητα της γραφής... (Αν θέλετε ένα καθημερινό παράδειγμα, τι είδους Ιατρική θα είχαμε εάν στα ιατρεία προσήγοντο μόνον υγιή πρόσωπα;.) Ο ρόλος της «ανάγνωσης» δεν είναι απλώς η «απαγγελία» της λέξης, αλλά η ανακάλυψη του με ποιούς κανόνες φτιάχτηκε διότι μόνον τότε θα ανακτήσουμε την σημασία της. Λ.χ. αν ένας δεκαδικός έχει στην αρχή τότε αυτό σημαίνει ότι είναι αρνητικός αριθμός. Προσέξτε εξ άλλου ότι ένα αυτόματο με μια κατάσταση, αφετηριακή και αποδεκτική ταυτόχρονα, στην οποία επανέρχεται μέσω οποιουδήποτε συμβόλου σ Σ, αποδέχεται όλες τις λέξεις και αν αυτό μας αρκούσε δεν θα είχαμε τίποτε άλλο να πούμε στην θεωρία υπολογισμού... Η συχνά επανερχόμενη φράση «αποδέχεται όλες και μόνον» (τις λέξεις της ζητουμένης γλώσσας) είναι καίριας σημασίας. 17. Κατ αρχάς θα θέλαμε οι υπολογιστικές συσκευές αν δυνατόν να μας δίνουν πάντοτε μια οριστική απάντηση. Αλλά έχουμε και έναν άλλο, σοβαρό, λόγο: όταν καποιο αυτόματο διαβάζει μια λέξη, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να διαπιστώσει εάν υπήρχε τρόπος να γραφεί αυτή η λέξη (σύμφωνα με την αντίστοιχη παραγωγική γραμματική ή με το αντίστοιχο διάγραμμα μεταβάσεων). Και για να μπορεί να γραφεί μια λέξη αρκεί να υπάρχει έστω ένας τρόπος προς
τούτο (π.χ. αυτός που μαρτυρεί η αποδεκτική κατάσταση Κ), ασχέτως του αν υπήρχαν είτε ένας είτε πολλοί άλλοι τρόποι να αποτύχει αυτή η γραφή, (όπως π.χ. μαρτυρεί η κατάσταση Κ ). (Για να φθάσουμε σε έναν προορισμό, αρκεί να υπάρχει κάποια, έστω μία, διαδρομή προς τα εκεί, ασχέτως του πόσες άλλες αδιέξοδες διαδρομές ίσως να υπάρχουν...) 18. ΟΧΙ. Σημειώνουμε τα εξής: Μπορούμε να κατασκευάσουμε αυτό το αιτιοκρατικό αυτόματο «οικονομικά» ώστε να συμπεριλάβουμε σε αυτό μόνες όσες καταστάσεις παίζουν ρόλο, που συχνά (θα) είναι πολύ λιγότερες από όλες. Επίσης, ίσως να μην έχουμε ανάγκη «πρακτικά» να κατασκευάσουμε αυτό το αυτόματο, παρά απλώς να το εξομοιώσουμε και αυτό γίνεται πολύ πιο εύκολα βλ. 1 ο μέρος, 10 η ενότητα. Και τέλος, αν μια ομαλή γλώσσα χρειάζεται τόσες ή τόσες καταστάσεις για το αυτόματό της, σε αυτό «φταίει» η ίδια λόγω της δομής που έχει δεν φταίει τούτο ή εκείνο το θεώρημα... 19. Διότι σε πολλές περιπτώσεις το «νόημα» ενός συμβόλου ή ενός τμήματος μιας λέξης δεν φαίνεται στο συγκεκριμμένο σημείο που «διαβάζουμε» αλλά «πιο κάτω», δηλ. στη συνέχεια της λέξης. Στην καθημερινή μας γλώσσα αυτό γίνεται διαρκώς: το εάν λ.χ. μια πρόταση είναι κοινή, θαυμαστική ή ερωτηματική φαίνεται μόνον από το σημείο στίξης στο τέλος της πρότασης. Εάν λοιπόν διαβάζουμε «σ» και αυτό μπορεί να αποκτήσει στη συνέχεια δύο σημασίες, τότε ήδη από «τώρα» θα πρέπει να ακολουθήσουμε δύο διαφορετικές διαδρομές. (Φυσικά, θα μπορούσαμε να καταστήσουμε τον τρόπο γραφής μας πιο «λεπτομερειακό» ή πιο «διευκρινιστικό», αλλά αυτό δεν φαίνεται να είναι εφικτό, ούτε καν προτιμήσιμο, στη πράξη: οι άνθρωποι προτιμούν να είναι πιο εύκολη η γραφή (και η ομιλία αντιστοίχως!) παρά η ανάγνωση. Προσέξτε εδώ ότι αυτή ακριβώς την πολιτική (της αυστηρής γραφής) ακολουθούμε στον προγραμματισμό, (διότι οι Η/Υ δεν είναι πολύ καλοί ούτε στη ανάγνωση...), με αποτέλεσμα να είναι ιδιαίτερα δύσκολο να γράψεις «με τη μία» ένα πρόγραμμα απολύτως γραμματο-συντακτικά σωστό. Και αν δεν το γράψεις καθόλου, τότε δεν χρειάζεται να ανησυχείς και τόσο πολύ για το ποιός και πώς θα το διαβάσει... 20. ΟΧΙ διότι μετά την λειτουργία του 1 ου θα έπρεπε, για να εργαστεί το 2 ο, να ξαναδιαβάσουμε την όποια λέξη/δεδομένο. (Και για πιο περίπλοκους συνδυασμούς γλωσσών, (με πολλές τομές ή ενώσεις κττ), αυτή η επανάγνωση θα έπρεπε να γίνει ένα (απεριόριστο) πλήθος φορών...). Τα αυτόματα όμως που εξετάζουμε διαβάζουν την λέξη/δεδομένο μία μόνον φορά. Αφού εξετάσουμε αυτό το απλούστερο είδος, μετά μπορούμε να ρωτήσουμε: «αυξάνεται η υπολογιστική ισχύς ενός αυτομάτου εάν επιτρέψουμε πολλαπλές αναγνώσεις των δεδομένων;» (Και εδώ, ειρωνικά, η απάντηση είναι ΟΧΙ, αν και η σχετική ανάλυση δεν περιλαμβάνεται στις σημειώσεις.) 21. (Μετά την ερώτηση/απάντηση στο προηγούμενο:) ΕΙΝΑΙ, αλλά, εδώ το 1 ο μέρος διαβάζει ένα αρχικό τμήμα της λέξης και το 2 ο μέρος διαβάζει το υπόλοιπο τελικό τμήμα της λέξης/δεδομένο. Δεν έχουμε πολλαπλή ανάγνωση. 22. ΝΑΙ αλλά αυτό θα το επιτυγχάναμε εμείς, όχι η συγκεκριμμένη συσκευή που αναλύουμε. Και το πλαίσιο ερωτημάτων που μας απασχολεί εδώ δεν είναι (μόνον) τι μπορούμε να υπολογίσουμε εμείς, αλλά τι μπορούν να υπολογίσουν οι συσκευές μας (για εμάς). Προσέξτε επίσης ότι έχουμε και ένα μαθηματικό πρόβλημα εδώ: ποιός είναι ο (μαθηματικός) ορισμός του «εμείς»; 23. ΟΧΙ διότι αυτή μπορεί να είναι αποδεκτική, οπότε το αυτόματο δεν θα αναγνώριζε την κενή λέξη, που προκύπτει από μηδέν επαναλήψεις λέξεων της L(A). Και φυσικά δεν μπορούμε να αλλοιώσουμε το αυτόματο μετατρέποντας αυτήν αυθαίρετα σε αποδεκτική, διότι τότε αλλοιώνουμε την γλώσσα που το A αποδέχεται (και άρα και την L(A)*). 24. ΝΑΙ - μια ομαλή γλώσσα μπορεί να περιέχει μια μη-ομαλή (υπο)γλώσσα. Εξ άλλου η πλήρης γλώσσα Σ*, που αποτελείται από όλες τις δυνατές λέξεις, περιέχει οποιαδήποτε μη-ομαλή γλώσσα
επί του Σ... Μια γλώσσα ορίζεται από το «όριο» της, το «περίγραμμά» της (μιλώντας διαισθητικά) διότι από αυτό διακρίνουμε τί κείται εντός αυτής και τί εκτός αυτής. Το αυτόματο που αποδέχεται τις λέξεις της Β, αποδέχεται και όλες τις λέξεις της Α, αλλά όχι «όλες και μόνον» αυτές... (Για να δώσουμε μια γεωμετρική αναλογία, ένα τετράγωνο είναι δυνατόν να περιέχει μια οποιασδήποτε μορφής πολυγωνική γραμμή ή ακόμα και καμπύλη, όχι μόνον τετράγωνα.) 25. Δείχνοντας ότι η ΛΧ = { οι λέξεις με την ιδιότητα Χ } και οι ΛΥ = { οι λέξεις με την ιδιότητα Υ } είναι ομαλές (όταν και εφόσον είναι), και επικαλούμενοι την κλειστότητα ως προς την τομή. 26. Η κλειστότητα ως προς την παράθεση φυσικά, αφού αυτή η γραφή αποτελείται από το πολύ 7 πολύ απλούστερα τμήματα στη σειρά: πρόσημο φυσικός. φυσικός Ε πρόσημο φυσικός. 27. Δείχνοντας ότι η ΛΧ = { οι λέξεις με την ιδιότητα Χ } είναι ομαλή (όταν και εφόσον είναι), και επικαλούμενοι την κλειστότητα ως προς το συμπλήρωμα. 28. ΟΧΙ: Πού το λέει αυτό; Λέει ότι για κάποιες πάγιες («φιξ») λέξεις α, μ, τ, οι λέξεις αμ (κ) τ, περιέχονται όλες στην εν λόγω γλώσσα (για όλα τα κ) αλλά ίσως όχι μόνον αυτές. Ίσως να μην την εξαντλούν, αλλά να αποτελούν απλώς ένα γνήσιο τμήμα της. Π.χ. όλοι οι αριθμοί 1 0 (κ) 11 είναι δυαδικοί αριθμοί, αλλά δεν είναι μόνον αυτοί οι δυαδικοί υπάρχουν και άλλοι με άλλη μορφή... 29. Όχι μόνον παράξενο, αλλά και εσφαλμένο! Διαβάζοντας προσεκτικά το λήμμα βλέπουμε ότι αυτό συμβαίνει μόνον εάν η λέξη λ έχει επαρκώς μεγάλο μήκος, (γνήσια μεγαλύτερο από όσο το πλήθος των καταστάσεων του αυτομάτου που την αναγνωρίζει). 30. ΟΧΙ. Το λήμμα της άντλησης μιας δίνει μια συνθήκη που είναι ικανή να καταστήσει μια γλώσσα μη-ομαλή, αλλά δεν είναι και αναγκαία δεν είναι το μόνον είδος «αιτίας» που μπορεί να καταστήσει μια γλώσσα μη-ομαλή. Η ακριβής συνθήκη, ικανή και αναγκαία, δίδεται από το θ. Myhill- Nerode. 31. ΟΧΙ εν γένει, αλλά ΝΑΙ εάν X Λ, διότι τότε Χ = Λ (Λ Χ). (Προσοχή στον ορισμό της συνολοδιαφοράς Α B). Σημειώνουμε εδώ ότι ή ένωση δύο μη-ομαλών γλωσσών ίσως να είναι ομαλή! Π.χ. η Λ = { α (κ) β (κ) : κ 0 } είναι μη-ομαλή γλώσσα, και άρα το συμπλήρωμά της Λ επίσης (αλλιώς το συμπλήρωμα του συμπληρώματος που είναι η ίδια η Λ, θα ήταν ομαλή...). Αλλά Λ Λ = Σ*, μια γλώσσα που είναι ομαλή (για κάθε Σ). 32. Είναι όλες όσες λέξεις απορρίπτονται: αν μια λέξη λ απορρίπτεται, τότε για οποιαδήποτε συνέχιση τ τόσο η λ τ όσο και μ τ παραμένουν απορριπτέες (αφού συνεχίζουν να περιέχουν 5+ β ). Δηλαδή αν λ Λ τότε λ ββαββββββ. Και αυτές είναι οι μόνες ισοδύναμες με την μ, διότι αν μια λέξη λ γίνεται δεκτή τότε με την συνέχιση τ = η μεν λτ = λ γίνεται δεκτή η δε μτ = μ απορρίπτεται, άρα κάθε λ Λ δεν είναι ισοδύναμη με την μ. 33. ΟΧΙ: Όταν δύο λέξεις απορρίπτονται (αφού ανήκουν στο συμπλήρωμα μιας γλώσσας Λ), υπάρχει περίπτωση να μπορούμε να τις συνεχίσουμε με κάποια κατάλληλα συνέχεια τ ώστε η μία να «διορθωθεί» ενώ η άλλη όχι. Σκεφθείτε αυτό με την γλώσσα Λ = { οι λέξεις με 5..10 διαδοχικά α }, και τις λέξεις αα και αααα. 34. Η γλώσσα της Χ είναι η γλώσσα με μία λέξη, την, (την κενή λέξη): L(X) = { }. Η γλώσσα της Υ είναι η κενή γλώσσα (= η ένωση μηδενικού πλήθος γλωσσών): L(Y) =. (Δυστυχώς δεν είναι ασυνήθιστο στα μαθηματικά να χρησιμοποιούμε ένα σύμβολο για δύο χρήσεις. Λ.χ. ακόμα και το «συν» + σημαίνει και πρόσθεση αλλά και το θετικό πρόσημο...) 35. ΝΑΙ: Η γλώσσα Χ των λέξεων που αρχίζουν με α και τελειώνουν με β επιδέχεται την ομαλή γλωσσική περιγραφή α {α, β, γ }* β = ( στη αρχή α, ενδιαμέσως οτιδήποτε, και στο τέλος β ).
Η γλώσσα Υ των λέξεων που περιέχουν την γαβγαβ επιδέχεται την ομαλή περιγραφή {α, β, γ }* γαβγαβ {α, β, γ }* = (στη αρχή οτιδήποτε, μετά γαβγαβ, και τέλος οτιδήποτε). Η γλώσσα που δεν περιέχει πουθενά το γαβγαβ είναι, φυσικά, το συμπλήρωμα Υ = (Σ* Υ) της Υ. Η γλώσσα Λ που ζητείται είναι η Χ Υ = Χ Υ, και από τα θεωρήματα κλειστότητας είναι ομαλή! 36. Αφού εδώ οι λέξεις αρχίζουν με οτιδήποτε, συνεχίζουν με xxyy ή yyxx, και τελειώνουν με οτιδήποτε, η γλώσσα περιέχει όλες και μόνον τις λέξεις στις οποίες εμφανίζεται είτε η (υπο)λέξη xxyy είτε η yyxx. 37. ΟΧΙ. Προσέξτε ότι όλες οι ομαλές γλωσσικές εκφράσεις (επί ενός φιξ αλφαβήτου Σ), είναι και αυτές μιας «γλώσσα» (επί του Σ συν ορισμένα βοηθητικά σύμβολα). Αυτή η γλώσσα δεν είναι ομαλή: προσέξτε ότι σε αυτή χρησιμοποιούνται αγκύλες και παρενθέσεις που πρέπει να ταιριάζουν σωστά, και έτσι πέφτουμε στα προβλήματα ομαλότητας που έχει η γλώσσα των ισορροπημένων παρενθέσεων. 38. ΟΧΙ, διότι οι ομαλές εκφράζεις δηλώνουν εύκολα τί μπορούμε να «γράψουμε», όχι τί δεν μπορούμε. Οι γλωσσικές κατασκευαστικές πράξεις που εκφράζουν άμεσα είναι ένωση, παράθεση και επαναλήψη ούτε τομή, ούτε διαφορά ή συμπλήρωμα. Είναι δυνατόν να εκφράσουν και αυτά, αλλά έμμεσα, και αυτή η περιπλοκή πιθανότατα να μην μας είναι επιθυμητή. 39. ΟΧΙ. Κατ αρχάς έχουμε μια αντίφαση «εν τοις όροις»: ένα αυτόματο τρέχει το ένα και μοναδικό πρόγραμμα που έχουμε ορίσει να του αντιστοιχεί, και όχι «οποιοδήποτε»: εάν υλοποιήσουμε κάποιο αυτόματο τότε οι οδηγίες του θα έχουν αποτυπωθεί κάπου κατά ένα πάγιο φυσικό/τεχνολογικό τρόπο, στην «καλωδίωση», (τρόπος του λέγειν), της αντίστοιχης συσκευής. Εδώ όμως υπάρχει και ένα ζήτημα εννοιών, όχι μόνον λέξεων: ένα «αυτόματο» στο οποίο μπορούμε να φορτώσουμε ένα σύνολο οδηγιών, πού δέχεται αυτή τη φόρτωση; Πού αλλού εκτός από την μόνη περιοχή που μπορεί να διαβάσει, δηλαδή την ταινία των δεδομένων; Αν την δέχεται εκεί τότε δεν μπορεί να δουλέψει «καθολικά» αυτό αποδεικνύει το σχετικό θεώρημά μας. Αν την δέχεται σε κάποια «άλλη ταινία», τότε διαθέτει εκτός άλλων δυνατοτήτων και δύο ταινίες, κάτι που φυσικά μπορούμε να κατασκευάσουμε (ιστορικά, το έχουμε κάνει ήδη!), αλλά δεν είναι «αυτόματο» πια είναι άλλου είδους συσκευή. Αυτό ακριβώς ερχόμαστε να μελετήσουμε στη θεωρία υπολογισμού: ποιά είδη συσκευών έχουν ποιές υπολογιστικές ικανότητες. 40. Εάν είστε σε θέση να «νοιώσετε» αυτή την ερώτηση τότε ΝΑΙ, σε σας είναι ή πάει προς το προφανές αλλά αυτό ακριβώς λέει, για όλους, η απόδειξη των σημειώσεων, η οποία είναι 12 γραμμές και όχι περίπου 12 λέξεις απλώς και μόνον επειδή περιέχει όλες τις σχετικές «τεχνικότητες»: ότι υπάρχουν όντως απείρων ειδών διαφορετικά αυτόματα, και ότι κάθε αυτόματο θα πρέπει να «εκπροσωπηθεί» στο καθολικό αυτόματο από κάποια κατάσταση (ως η αφετηριακή του). Το σπουδαίο σε αυτή την απόδειξη δεν είναι η ίδια η απόδειξη, αλλά οι έννοιες που χρησιμοποιεί και το είδος του ερωτήματος που απαντά: αυτά είναι εφαρμόσιμα και σε άλλες μορφές υπολογισμού-προγραμματισμού, και η εκεί πια η σωστή απάντηση δεν είναι κατ ανάγκην (και συχνά δεν είναι) η ίδια ούτε αυτή ούτε η απόδειξή της...