Η έννοια του συνόλου. Εισαγωγικό κεφάλαιο 27

Transcript

1 Εισαγωγικό κεφάλαιο 27 Η έννοια του συνόλου Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Αυτός είναι ο ορισμός που έδωσε ο Cantor για τα σύνολα. Τα αντικείμενα από τα οποία αποτελείται ένα σύνολο τα ονομάζουμε στοιχεία του συνόλου. Ας δούμε όμως τι ορίζει σαν σύνολο ο Cantor. Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων : Οποιαδήποτε συλλογή αντικειμένων που ικανοποιεί τους περιορισμούς που θέτει παρακάτω ο ορισμός, μπορεί να θεωρηθεί σύνολο. Δεν χρειάζεται τα αντικείμενα να είναι ομοειδή. Για παράδειγμα: Ο αριθμός 7, το γράμμα θ και η πόλη Θεσσαλονίκη μπορούν να αποτελέσουν ένα σύνολο. Οι λέξεις σύνολο, συλλογή, αντικείμενο, διανόηση μπορούν να αποτελέσουν ένα σύνολο. Τα χρώματα του ουράνιου τόξου ή οι μαθητές ενός σχολείου μπορούν επίσης να αποτελέσουν ένα σύνολο. Που προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη διανόησή μας: Υπάρχουν αντικείμενα που μπορούμε να αντιληφθούμε με τις αισθήσεις μας, όπως ήχοι, εικόνες, οσμές, υλικά σώματα και άλλα που προέρχονται από τη διανόησή μας, όπως αριθμοί, σύμβολα, άτομα ενός χημικού στοιχείου, έννοιες. Όλα αυτά μπορούν να αποτελέσουν στοιχεία ενός συνόλου, αρκεί κάποιος από εμάς να τα θεωρήσει μέλη μιας ομάδας. Είναι καλά ορισμένα: Δεν επιτρέπεται ασάφεια στην περιγραφή των στοιχείων ενός συνόλου. Για παράδειγμα δεν μπορούμε να μιλάμε για το σύνολο των σημαντικότερων Ελλήνων ποιητών, αφού δεν είναι ορισμένο ποιοι είναι οι σημαντικότεροι Έλληνες ποιητές. Ομοίως δεν μπορούμε να αναφερόμαστε στο σύνολο των μικρών πραγματικών αριθμών ή στο σύνολο των οξέων ήχων.

2 Εισαγωγικό κεφάλαιο 28 Διακρίνονται το ένα από το άλλο: Δεν μπορεί σε ένα σύνολο να υπάρχει δύο ή περισσότερες φορές το ίδιο στοιχείο. Εμείς θα ασχοληθούμε κυρίως με σύνολα αριθμών ή γενικότερα μαθηματικών αντικειμένων λόγω της σχέσης τους με το γνωστικό μας αντικείμενο. Για να συμβολίσουμε (ονομάσουμε) ένα σύνολο στα Μαθηματικά, χρησιμοποιούμε συνήθως κάποιο κεφαλαίο γράμμα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου. Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει κάποια σύνολα αριθμών. Αυτά είναι: Το σύνολο των φυσικών αριθμών ( 0,1,2,3,4,... ) το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα Ν. Το σύνολο των ακεραίων αριθμών ( όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους) το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα Ζ. Το σύνολο των ρητών αριθμών ( κάθε αριθμός που μπορεί να γραφεί σαν κλάσμα με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς) το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα Q Το σύνολο των πραγματικών αριθμών (κάθε αριθμός που έχετε μάθει μέχρι τώρα είναι στοιχείο αυτού του συνόλου) το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα R. Τα σύμβολα και Χρησιμοποιούμε το σύμβολο για να δηλώσουμε ότι κάποιο στοιχείο ανήκει σε κάποιο σύνολο και το σύμβολο για να δηλώσουμε ότι κάποιο στοιχείο δεν ανήκει σε κάποιο σύνολο. Για παράδειγμα, η μαθηματική πρόταση «x Α» διαβάζεται «το (στοιχείο) χ ανήκει στο ( σύνολο) Α» και σημαίνει ότι το χ είναι στοιχείο του συνόλου Α, ενώ η πρόταση «α Α» διαβάζεται «το α δεν ανήκει στο Α» και σημαίνει ότι το α δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α. Αν για παράδειγμα είχαμε ονομάσει Δ το σύνολο των άρτιων αριθμών, που είναι μεγαλύτεροι του 3 και μικρότεροι του 11, τότε οι παρακάτω ισχυρισμοί θα ήταν αληθείς. 4 Δ 3+ 7 Δ 3 Δ 12 Δ α Δ

3 Εισαγωγικό κεφάλαιο 29 Παράσταση συνόλου Έχουμε δύο τρόπους με τους οποίους συνήθως παριστάνουμε ένα σύνολο. Μπορούμε είτε να αναγράψουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου, είτε να τα περιγράψουμε. Α) Αναγραφή των στοιχείων: Γράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου μεταξύ δύο αγκίστρων, χωρίζοντας τα με κόμματα. Παράδειγμα: Το σύνολο των άρτιων αριθμών, που είναι μεγαλύτεροι του 3 και Δ= 4, 6,8,10 μικρότεροι του 11 θα το γράφαμε { } Όταν το σύνολο έχει άπειρα ή παρά πολλά στοιχεία, τότε γράφουμε μερικά απ αυτά και αποσιωπούμε τα υπόλοιπα, αν από τα στοιχεία που έχουμε γράψει, είναι δυνατόν να συμπεράνουμε αυτά που αποσιωπήθηκαν. Α=, είναι φανερό ότι αναφερόμαστε στο σύνολο των γραμμάτων της Ελληνικής αλφαβήτου. Παράδειγμα: Όταν γράψουμε { α, βγδ,,,..., ω} Με το συμβολισμό Β= { 0,1, 2,3,...,50} μπορούμε να παραστήσουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών που είναι μικρότεροι ή ίσοι του 50, ενώ με τον συμβολισμό B = { 0,1, 2,3,4,... } παριστάνουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών. Β) Περιγραφή των στοιχείων : Αν τα στοιχεία του συνόλου που θέλουμε να παραστήσουμε έχουν κάποια κοινή ιδιότητα, τότε μπορούμε να παραστήσουμε το σύνολο, αναφερόμενοι στην κοινή ιδιότητα των στοιχείων του. Παράδειγμα: Το σύνολο Β= { 0,1, 2,3,...,50}, με περιγραφή των στοιχείων του θα γράφονταν Β= { x R/ x 50} και θα διαβάζονταν «το σύνολο των φυσικών αριθμών χ, όπου χ μικρότερος ή ίσος του 50» Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών, αν θέλαμε να το γράψουμε με περιγραφή, θα μπορούσαμε, χρησιμοποιώντας το σύνολο Ζ των ακεραίων, να γράψουμε x Ζ/ x 0 { } Ίσα σύνολα

4 Εισαγωγικό κεφάλαιο 30 Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα (Α=Β), όταν έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Αν κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α, τότε τα σύνολα Α και Β είναι ίσα. Παραδείγματα ίσων συνόλων: Α= { 1, 2 } και Β={ 2,1 } 1, 2 και Β={ x R/0< x 2} Α= { } 1, 2 και Β={ x R/ x λυση της εξισωσης x 2 3x+ 2= 0} Α= { } Α= { α,ο,η} και Β = { χ γράμμα της Ελληνικής αλφαβήτου/ χ φωνήεν της λέξης άποψη} Υποσύνολα συνόλου Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Όταν θέλουμε να γράψουμε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του συνόλου Β, γράφουμε Α Β Παραδείγματα: Το σύνολο Α= { 1, 2 } είναι υποσύνολο του συνόλου Β={ 1, 2, 3 }. Α Β

5 Εισαγωγικό κεφάλαιο 31 Το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών είναι υποσύνολο του συνόλου Ζ των ακεραίων αριθμών. ( Α Β ) Συνέπειες του ορισμού του υποσυνόλου κάποιου συνόλου είναι οι παρακάτω: Α Α, για κάθε σύνολο Α. Κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α, είναι στοιχείο του συνόλου Α, οπότε σύμφωνα με τον ορισμό του υποσυνόλου ισχύει Α Α Αν Α Β και Β Γ, τότε Α Γ Κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β γιατί το Α είναι υποσύνολο του Β. Κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Γ γιατί το Β είναι υποσύνολο του Γ. Επομένως κάθε στοιχείο του Α, ως στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Γ. Είναι δηλαδή το Α υποσύνολο του Γ, ή αλλιώς Α Γ Αν Α Β και Β Α, τότε Α=Β. Από τη σχέση Α Β συμπεραίνουμε ότι κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Αν υπήρχε έστω και ένα στοιχείο του Β που να μην είναι και στοιχείο του Α, τότε το Β δεν θα ήταν υποσύνολο του Α. Όμως γνωρίζουμε ότι Β Α, οπότε τα Α και Β έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. Άρα Α=Β Το κενό σύνολο Κενό σύνολο είναι το σύνολο που δεν έχει στοιχεία. Το κενό σύνολο το συμβολίζουμε με δύο άγκιστρα χωρίς κανένα στοιχείο ανάμεσα σ αυτά { } ή με το σύμβολο. Κενό είναι για παράδειγμα το σύνολο των λύσεων της εξίσωσης 0x = 5, αφού όπως έχουμε μάθει από την προηγούμενη τάξη, η εξίσωση αυτή είναι αδύνατη. Έχουμε κάνει την παραδοχή ότι το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

6 Εισαγωγικό κεφάλαιο 32 Διαγράμματα Venn Για να απεικονίσουμε σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις χρησιμοποιούμε διαγράμματα που ονομάζονται διαγράμματα Venn. Όταν εργαζόμαστε με σύνολα, θεωρούμε ένα σύνολο που ονομάζουμε βασικό σύνολο, τέτοιο ώστε, κάθε σύνολο που πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε να είναι υποσύνολο του βασικού συνόλου. Το βασικό σύνολο το συμβολίζουμε με Ω και το απεικονίζουμε χρησιμοποιώντας ένα ορθογώνιο. Κάθε στοιχείο του Ω βρίσκεται στο εσωτερικό του ορθογωνίου αυτού. Ω Κάθε υποσύνολο του Ω παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό του Ω. Ω Α Αν ένα σύνολο Α είναι υποσύνολο ενός συνόλου Β ( Α Β ), τότε το Α παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που βρίσκεται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλης η οποία παριστάνει το Β.

7 Εισαγωγικό κεφάλαιο 33 Ω Β Α Α Α Β Ω Πράξεις με σύνολα Ένωση συνόλων Έστω Ω ένα βασικό σύνολο και Α, Β δύο υποσύνολά του. Το σύνολο που σαν στοιχεία του έχει κάθε στοιχείο που ανήκει σε ένα τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β, ονομάζεται ένωση των Α και Β και συμβολίζεται με Α Β Αν για παράδειγμα είναι Ω= { 1, 2,3, 4,5,6,7}, Α= { 1,3,5, 7} και { 3, 4, 7} Α Β= { 1, 3, 4, 5, 7} Β= τότε Το 1 είναι στοιχείο του Α Β, επειδή είναι στοιχείο του συνόλου Α. Το 3 είναι στοιχείο του Α Β, επειδή είναι στοιχείο του συνόλου Α (θα μπορούσαμε βέβαια να ισχυριστούμε ότι είναι στοιχείο του Α Β επειδή είναι στοιχείο του Β) Το 4 είναι στοιχείο του Α Β, επειδή είναι στοιχείο του συνόλου Β. Το 5 είναι στοιχείο του Α Β, επειδή είναι στοιχείο του συνόλου Α. Το 7 είναι στοιχείο του Α Βείτε ως στοιχείο του Α είτε ως στοιχείο του Β. Το 2 και το 6 αν και στοιχεία του Ω δεν είναι στοιχεία του Α Β, αφού δεν ανήκουν ούτε στο Α ούτε στο Β. Αν θέλαμε να περιγράψουμε την ένωση δύο συνόλων Α και Β θα γράφαμε: Α Β= { x Ω/ x Α η x Β } Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε μια απεικόνιση της ένωσης δύο συνόλων Α, Β.

8 Εισαγωγικό κεφάλαιο 34 Τομή συνόλων Έστω Ω ένα βασικό σύνολο και Α, Β δύο υποσύνολά του. Το σύνολο που σαν στοιχεία του έχει κάθε στοιχείο που ανήκει και στο σύνολο Α και στο σύνολο Β, ονομάζεται τομή των Α και Β και συμβολίζεται με Α Β Ας είναι όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα Ω= { 1, 2,3, 4,5,6,7}, Α= { 1,3,5, 7} και Β= { 3, 4, 7}. Στοιχεία του συνόλου Α Β είναι το 3 και το 7, αφού μόνο αυτά είναι στοιχεία τόσο του Α όσο και του Β. Α Β= 3, 7 Είναι δηλαδή { } Αν θέλαμε να περιγράψουμε την τομή δύο συνόλων Α και Β θα γράφαμε: Α Β= x Ω/ x Α και x Β { } Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε μια απεικόνιση της τομής δύο συνόλων Α, Β.

9 Εισαγωγικό κεφάλαιο 35 Όπως παρατηρούμε με τη βοήθεια των δύο διαγραμμάτων του Venn που αφορούν την ένωση και την τομή των συνόλων Α και Β ισχύει: Α Β Α Α Β Ω και Α Β Β Α Β Ω Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς που μόλις μάθατε, εξηγήστε γιατί ισχύουν οι παραπάνω σχέσεις για οποιαδήποτε σύνολα Α και Β, όπου Α και Β είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω. Συμπλήρωμα συνόλου Αν Α είναι υποσύνολο ενός βασικού συνόλου Ω, τότε συμπλήρωμα του Α ονομάζεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με Α Αν είναι Ω= { 1, 2,3, 4,5,6,7}, Α= { 1,3,5, 7} και { 3, 4, 7} τότε Α= { 2, 4,6} και Β= { 1, 2, 5, 6} Β=, Αν θέλαμε να περιγράψουμε το συμπλήρωμα ενός συνόλου Α θα γράφαμε: Α= x Ω/ x Α { } Στο παρακάτω διάγραμμα απεικονίζεται το συμπλήρωμα ενός συνόλου Α.

10 Εισαγωγικό κεφάλαιο 36 Αν είναι Ω= { 1, 2,3, 4,5,6,7}, Α= { 1,3,5, 7} και { 3, 4, 7} Α Β, Α Β, Α Β, Α Β ( ) ( ) Β= να βρείτε τα σύνολα: Τι παρατηρείτε; Χρησιμοποιώντας τους ορισμούς που μάθατε μπορείτε να εξηγήσετε τις παρατηρήσεις σας;

11 Εισαγωγικό κεφάλαιο 37

12 Εισαγωγικό κεφάλαιο 38 Απαντήσεις στις ερωτήσεις κατανόησης I , π 2, Ν Ζ Q R Ν ονομάζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών. Ν= 0,1, 2,3, 4,... { } Ζ ονομάζουμε το σύνολο των ακεραίων αριθμών. Ζ= 0, 1,1, 2, 2, 3,3, 4, 4,... { } Q ονομάζουμε το σύνολο των ρητών αριθμών. Ρητοί ονομάζονται εκείνοι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν στη μορφή α, όπου οι α και β β είναι ακέραιοι αριθμοί με β 0 Όλοι οι αριθμοί της πρώτης γραμμής του πίνακα είναι πραγματικοί αριθμοί, οπότε σημειώνουμε όλα τα τετραγωνάκια της τελευταίας γραμμής του πίνακα.

13 Εισαγωγικό κεφάλαιο 39 Στη μορφή α, όπου οι α και β είναι ακέραιοι αριθμοί με β 0 μπορούν να β γραφούν οι αριθμοί: 3,5 =, 0 =, =, , 3 =, 3 5, = 10 = και 5 = 1 1 Ακέραιοι είναι οι αριθμοί 0, 20 = 4, 100 = 10 και Φυσικοί είναι το 0, το = 4 και το = 2. Οι αριθμοί που είναι πραγματικοί αριθμοί αλλά δεν είναι ρητοί ονομάζονται άρρητοι αριθμοί. 3.

14 Εισαγωγικό κεφάλαιο 40 II. 1. Α= { x Ν / x διαιρέτης του 16 }. Τα στοιχεία του συνόλου Α είναι οι φυσικοί αριθμοί ( x Ν ) οι οποίοι είναι διαιρέτες του 16. Αυτοί είναι οι αριθμοί 1, 2, 4, 8 και 16. Α= 1, 2, 4,8,16 Άρα, { } Β= { x Ν / x διαιρέτης του 24 }. Τα στοιχεία του συνόλου Β είναι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι είναι διαιρέτες του 24. Αυτοί είναι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 6, 8,12 και 24. Β= 1, 2,3, 4,6,8,12, 24 Άρα, { } Η ένωση των συνόλων Α και Β ( Α Β ) είναι το σύνολο των στοιχείων του Ν (στην άσκηση αυτή το βασικό σύνολο είναι το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών) τα οποία είναι στοιχεία ενός τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. Επομένως, Α Β= { 1, 2,3, 4,6,8,12,16, 24} Η τομή των συνόλων Α και Β ( Α Β ) είναι το σύνολο των στοιχείων του Ν τα οποία είναι στοιχεία και του συνόλου Α και του συνόλου Β. Επομένως, Α Β= { 1, 2, 4,8} 2. α) Η ένωση των συνόλων Α και Β ( Α Β ) είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω, τα οποία είναι στοιχεία ενός τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. Επομένως, στοιχεία του Α Β είναι εκείνα τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου που είναι στοιχεία του Α (όλα τα φωνήεντα) ή του Β (τα σύμφωνα). Άρα Α Β=Ω β) Η τομή των συνόλων Α και Β ( Α Β ) είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω τα οποία είναι στοιχεία και του συνόλου Α και του συνόλου Β. Επομένως στοιχεία του Α Β είναι εκείνα τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου που είναι και φωνήεντα ( για να είναι στοιχεία του Α) αλλά και σύμφωνα ( για να είναι στοιχεία του Β). Δεν υπάρχουν βέβαια γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου που να είναι ταυτόχρονα και φωνήεντα και σύμφωνα. Άρα, Α Β= γ) Το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν είναι στοιχεία του Α, που δεν είναι δηλαδή φωνήεντα. Επομένως το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των συμφώνων του ελληνικού αλφαβήτου, είναι δηλαδή το Β. Άρα, Α=Β

15 Εισαγωγικό κεφάλαιο 41 δ) Β=Α Αιτιολόγησε, όπως κάναμε στα προηγούμενα ερωτήματα, γιατί το συμπλήρωμα του Β είναι το Α. III. 1. Η τομή δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που είναι στοιχεία και του Α και του Β. α) Α Α Β Για να είναι το Α υποσύνολο του Α Β, πρέπει κάθε στοιχείο του Α να είναι και στοιχείο του Α Β, δηλαδή κάθε στοιχείο του Α να είναι στοιχείο και του Α και του Β. Αυτό θα συνέβαινε μόνο στην περίπτωση που κάθε στοιχείο του Α, θα ήταν και στοιχείο του Β, δηλαδή μόνο στην περίπτωση που το Α ήταν υποσύνολο του Β. Ο ισχυρισμός Α Α Β δεν είναι σωστός επειδή δεν ισχύει για οποιαδήποτε Α, Β. β) Β Α Β Κι αυτή η πρόταση είναι λάθος για τους ίδιους λόγους που αναφέραμε στο προηγούμενο ερώτημα. Σε ποια ειδική περίπτωση θα ήταν σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός; γ) Α Β Α Κάθε στοιχείο του Α Β είναι στοιχείο του Α, άρα το Α Β είναι υποσύνολο του Α. Ο ισχυρισμός είναι σωστός. δ) Α Β Β Κάθε στοιχείο του Α Β είναι στοιχείο του Β, άρα το Α Β είναι υποσύνολο του Β. Η πρόταση είναι σωστή. Ας επαληθεύσουμε τις απαντήσεις που δώσαμε με τη βοήθεια των παρακάτω διαγραμμάτων του Venn. Πρώτη περίπτωση: Τα Α και Β έχουν κάποια κοινά στοιχεία, αλλά δεν είναι το Α υποσύνολο του Β, ούτε το Β υποσύνολο του Α.

16 Εισαγωγικό κεφάλαιο 42 Παρατηρούμε ότι το Α Β είναι υποσύνολο του Α, όπως είναι και υποσύνολο του Β. Το αντίστροφο δεν ισχύει Δεύτερη περίπτωση: Το Β είναι υποσύνολο του Α Τρίτη περίπτωση: Το Α είναι υποσύνολο του Β. Το Α Β ταυτίζεται ( είναι ίσο) με το Β. Ισχύει ότι το Α Β είναι υποσύνολο του Α, όπως είναι και υποσύνολο του Β. Ειδικά σ αυτή την περίπτωση ισχύει Β Α Β ( επειδή είναι Β=Α Β και κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του) Το Α Β ταυτίζεται ( είναι ίσο) με το Α. Ισχύει ότι το Α Β είναι υποσύνολο του Α, όπως είναι και υποσύνολο του Β. Ειδικά σ αυτή την περίπτωση ισχύει Α Α Β ( επειδή είναι Α=Α Β και κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του) Τέταρτη περίπτωση: Τα Α και Β δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο.

17 Εισαγωγικό κεφάλαιο 43 Σ αυτή την περίπτωση Α Β=. Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου, επομένως ισχύει Α Β Α, όπως ισχύει και Α Β Β. Τα σύνολα Α και Β θα ήταν υποσύνολα του Α Β μόνο αν ήταν κενά σύνολα. 2. Η ένωση δύο συνόλων Α και Β είναι το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα σύνολα Α και Β. α) Α Α Β Κάθε στοιχείο του Α είναι στοιχείο του Α Β, αφού ανήκει σε ένα από τα Α και Β ( στην περίπτωσή μας ανήκει στο Α). Άρα, ο ισχυρισμός Α Α Β είναι σωστός. β) Α Β Β Στοιχεία του Α Β είναι εκείνα τα στοιχεία που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. Όσα απ αυτά ανήκουν στο Α δεν είναι βέβαιο ότι ανήκουν και στο Β. Επομένως το Α Β δεν είναι υποσύνολο του Β για οποιαδήποτε σύνολα Α και Β. Αυτό θα συνέβαινε μόνο αν κάθε στοιχείο του Α ήταν και στοιχείο του Β, δηλαδή μόνο στην περίπτωση που ήταν το Α υποσύνολο του Β. Άρα, ο ισχυρισμός Α Β Β δεν είναι σωστός.

18 Εισαγωγικό κεφάλαιο 44 γ) Α Β Α Κι αυτή η πρόταση είναι λάθος για τους ίδιους λόγους που αναφέραμε στο προηγούμενο ερώτημα. Σε ποια ειδική περίπτωση θα ήταν σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός; δ) Β Α Β Κάθε στοιχείο του Β είναι στοιχείο του Α Β, αφού ανήκει σε ένα από τα Α και Β ( στην περίπτωσή μας ανήκει στο Β). Άρα, ο ισχυρισμός Β Α Β είναι σωστός. Πρόταση: Επαληθεύσετε τις απαντήσεις που δώσαμε με τη βοήθεια διαγραμμάτων του Venn. IV. 1. Αν είναι Α ένα υποσύνολο ενός βασικού συνόλου Ω, τότε το συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των σημείων που ανήκουν στο Ω και δεν ανήκουν στο Α. Το συμπλήρωμα του Α το ονομάζουμε Α. α) Το συμπλήρωμα του κενού συνόλου είναι το σύνολο των σημείων του Ω που δεν ανήκουν στο κενό σύνολο. Αφού το κενό σύνολο δεν έχει κανένα σημείο, συμπλήρωμα του είναι το σύνολο των σημείων του Ω, δηλαδή =Ω β) Το συμπλήρωμα του βασικού συνόλου Ω είναι το σύνολο των σημείων του Ω, τα οποία δεν ανήκουν στο Ω, δηλαδή είναι το κενό σύνολο. Άρα Ω= γ) Σύμφωνα με τον ορισμό του συμπληρώματος, συμπλήρωμα του Α είναι το σύνολο των σημείων του Ω τα οποία δεν ανήκουν στο Α. Αφού δεν ανήκουν στο Α ανήκουν στο Α, άρα ( Α ) =Α 2. Αν είναι Α και Β δύο υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω, τότε το Α ονομάζεται υποσύνολο του Β αν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β.

19 Εισαγωγικό κεφάλαιο 45 α) Το Α είναι υποσύνολο του Β, οπότε κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β. Επομένως όλα τα στοιχεία του Α είναι και στοιχεία του Β, δηλαδή όλα τα στοιχεία του Α είναι στοιχεία της τομής των Α και Β. Στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α δεν μπορούν να ανήκουν στην τομή των Α και Β, αφού στοιχεία του Α Β είναι εκείνα που ανήκουν και στο Α και στο Β. Επομένως, Α Β Α Β=Α. β) Ένωση των Α και Β είναι το σύνολο των σημείων του Ω που ανήκουν σε ένα τουλάχιστον από τα Α και Β. Το Α όμως είναι υποσύνολο του Β, οπότε όλα τα στοιχεία του Α είναι και στοιχεία του Β. Επομένως, Α Β Α Β=Β.

20 Εισαγωγικό κεφάλαιο 46 A. Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. 5 { 1,3,7,15} 2. 3 { x R/ ( x 3)( x+ 3) = 0} 3. 3 { x N/ ( x 3)( x+ 3) = 0} 4. Το σύνολο { 0,1,2,3,...,50 } είναι το σύνολο Ν των φυσικών αριθμών. 5. Το σύνολο { x R/ x Q} 6. { 1, 3} = { x R / x 1 = 0 η x 3= 0} 7. { 5,10} = { x Z / x 5 = 0 και x 10 = 0} είναι το σύνολο των άρρητων αριθμών. 8. R Z 9. N Z 10. R Z ή N Z 11. R Z και N Z 12. Α Q Α R 13. Α N Α R x/ x Ελληνας x/ x Ε υρωπαίος x/ x Bαλκάνιος x/ x Ελληνας 14. { } { } 15. { } { } 16. = { 0} 17. Α για οποιοδήποτε σύνολο Α Ω 20. Α Α 21. Αν Α Β και Α Γ, τότε Β Γ 22. Αν Α Β και Β Α, τότε Β =Α 23. Αν Α =Β, τότε Α Β και Β Α 24. Α=Β Α Β και Β Α Αν Α Ω και Β Ω, τότε Α Β= x Α και x Β 26. Α= { x Ω/ x Α } 27. Α Β Α 25. { }

21 Εισαγωγικό κεφάλαιο Β Α Β 29. Α Β Α 30. Β Α Β 31. Α Β Α Β 32. Α Β Α 33. Α Α = και Α Α =Ω 34. Αν Α Β και Α Β, τότε Β =Ω Β. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Αν είναι Ω= { 1, 2,3,5,8,13 }, Α= { 1, 3,8} και { 3,5,8} σύνολα : α) Α Β β) Α Β γ) Α δ) Β Β= να βρείτε τα ε) Α Β ζ) Α Β η) ( Α Β ) θ) ( Α Β ) Όπως παρατηρείτε ισχύει Α Β = ( Α Β ) και Α Β = ( Α Β ) Αυτές οι δύο ισότητες ισχύουν για κάθε ζεύγος υποσυνόλων του Ω. Αιτιολογήσετε γιατί συμβαίνει αυτό. 2. Δίνονται με περιγραφή των στοιχείων τους τα σύνολα: x Ω= { x Z/0< x< 11}, Α= x Ω/ Z 2 2 x / x 1 Γ = x Β/ x Β Β= { Ω + Α } και { } α) Να γραφούν τα παραπάνω σύνολα με περιγραφή των στοιχείων τους. β) Να αντιστοιχίσετε σε καθένα από τα σύνολα της πρώτης στήλης το ίσο του από τη δεύτερη στήλη.

22 Εισαγωγικό κεφάλαιο 48 Στήλη 1 Στήλη 2 Α Α Β Β Ω ( Β ) Α Β Α Γ Β Γ Α Β Β Γ ( Α Β ) ( Α Β ) Γ 3. Aν Α, Β, Γ είναι υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω, με τη βοήθεια διαγραμμάτων Venn να επαληθεύσετε τις ισότητες i) A (B Γ)=(Α Β) (Α Γ) ii) A (Β Γ)=(Α Β) (Α Γ). Οι λύσεις των προτεινόμενων ασκήσεων βρίσκονται στη σελ. 57 του παρόντος τεύχους.