Εισαγωγή (Παράγωγος/Μερική παράγωγος/διαφορικό/ολοκλήρωμα)
Παράγωγος συνάρτησης Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x και μια συνάρτηση αυτής, y = f(x). Έστω δύο σημεία P και Q της γραφικής παράσταση της συνάρτησης f(x).
Παράγωγος συνάρτησης Η κλίση της χορδής PQ ορίζεται από τη σχέση: f x0 h f x0 h tan Αν τώρα h 0, τότε: 1) η χορδή PQ τείνει να ταυτιστεί με την εφαπτομένη PS 2) Η γωνία θ τείνει να συμπέσει με την α 3) Το προηγούμενο πηλίκο είναι η κλίση της εφαπτομένης, και ισούται με την παράγωγο της συνάρτησης.
Παράγωγος συνάρτησης Δηλαδή: lim h0 f x h f x 0 0 h df f '( x0 ) dx x 0 tan a Η παράγωγος δείχνει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f(x) στη θέση x 0.
Μερική παράγωγος Τα προηγούμενα αναφέρονταν σε συνάρτηση με μια μεταβλητή. Τι συμβαίνει όμως αν έχω συνάρτηση πολλών μεταβλητών π.χ. f(x,y,z); Στην περίπτωση αυτή ορίζουμε την έννοια της μερικής παραγώγου γενικεύοντας την προηγούμενη ιδέα. f Έτσι είναι η μερική παράγωγος της x συνάρτησης f ως προς τη μεταβλητή x, και υπολογίζεται θεωρώντας ΟΛΕΣ τις άλλες μεταβλητές, εκτός της x, σαν σταθερές.
Ένα παράδειγμα Έστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών t x y Asin 2 T Ποιες είναι οι μερικές παράγωγοι αυτής της συνάρτησης; y t y?,? x
Γενίκευση Μπορώ τώρα να ορίσω μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης όπως οι παρακάτω: 2 2 f, f 2 x x y
Άσκηση Υπολογίστε την παράγωγο για την xt περίπτωση απλού αρμονικού κύματος. 2 y
Διαφορικό Έστω μια ανεξάρτητη μεταβλητή x και Δx μια μεταβολή της. Αν Δx 0, τότε η ποσότητα Δx συμβολίζεται με dx και ονομάζεται διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής x.
Διαφορικό συνάρτησης Έστω μια συνάρτηση y = f(x) της ανεξάρτητης μεταβλητής x. ΕΡΩΤΗΜΑ: Αν η ανεξάρτητη μεταβλητή x μεταβληθεί κατά dx, πόσο θα μεταβληθεί η συνάρτηση y;
Απάντηση Από ένα σχήμα όπως το διπλανό διαπιστώνουμε ότι αν η μεταβλητή x μεταβληθεί κατά Δx (x 1, x 1 +Δx), τότε η y θα μεταβληθεί κατά Δy. To Δy θα είναι ίσο με: Δy tan Δx y=f() x Μάλιστα αν Δx 0, τότε dy tan οπότε: x 1 x + x x 1 Δ dx dy y dy tan dx dx dx dy f ( x) dx y y 2 = y 1 +Δy y 1 φ Δx Δy
Εναλλακτικά Έστω η συνάρτηση y = x 3. Είναι y 1 = x 3, y 2 = (x 1 +Δx) 3. Άρα: 3 3 2 1 1 1 y y y x x x 2 2 3 y 3 x x 3 x x x Αν όμως Δx 0, τότε ο όρος είναι αμελητέος, άρα: 2 y dy 3 x dx dy dx dy f ( x) dx dy dx 3 x x x 2 3
Πρακτικές συνέπειες Η εξίσωση στην οποία καταλήξαμε με τους δύο προηγούμενες τρόπους μας δίνει το δικαίωμα να αντιμετωπίζουμε την παράγωγο ως ένα πηλίκο δύο απειροστών ποσοτήτων, δηλ: dy f ( x) dx f ( x) dy dx
Πρακτικές συνέπειες Έστω λοιπόν ένας κύκλος ακτίνας r. Γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του είναι συνάρτηση της r σύμφωνα με τη σχέση: S r 2 Το ερώτημα είναι: «ποια μεταβολή ds θα υποστεί το εμβαδό αν η ακτίνα του κύκλου μεταβληθεί κατά dr;» dr r
Οι δύο λύσεις 2 2 S r r r 2 2 2 r 2 r r r r 2 r r r αν όμως Δr 0, τότε ο όρος r 2 τείνει στο μηδέν, οπότε S ds 2 r dr 2 Με βάση την ιδέα του διαφορικού: ds ds dr dr 2 r dr
Ένα παρόμοιο πρόβλημα Ο όγκος και η επιφάνεια μιας σφαίρας εξαρτώνται από την ακτίνα της σύμφωνα με τις σχέσεις: 4 V r S 4r 3 3 2 Πόσο θα μεταβληθεί το καθένα από αυτά αν η ακτίνα μεταβληθεί κατά dr;
Ολοκλήρωση Πρόκειται γαι την αντίστροφη διαδικασία από την παραγώγιση. Αν δηλαδή είναι: Τότε df dx x f x dx F x C όπου C μια αυθαίρετη σταθερά. Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια συνάρτηση. f
Ορισμένο ολοκλήρωμα Έχει γεωμετρική ερμηνεία. Χωρίζω το διάστημα [α,b] σε μικρά παραλληλόγραμμα με βάση Δx. Το ύψος τους θα είναι ίσο με f(x). Το άθροισμα όλων αυτών των μικρών εμβαδών δίνει το εμβαδό του χωρίου κάτω από τη γραφική παράσταση, που είναι και το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης b S f x x f x dx a y a f(x i ) x i y=f(x) Δx i b x
Πως «καταστρώνουμε» ένα ολοκλήρωμα στη Φυσική Αναγνωρίζουμε την ανάγκη χρήσης ενός ολοκληρώματος. Εκφράζουμε τις απειροστές ποσότητες που πρέπει να αθροίσουμε. Σχηματίζουμε το ολοκλήρωμα. Προχωράμε στον υπολογισμό του.
Ένα παράδειγμα Για τη ροπή αδράνειας ενος συστήματος σημειακών μαζών γνωρίζουμε ότι ισχύει η σχέση: I i m r i 2 i r i m i O
Εφαρμοφή 1 Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας ράβδου μάζας m και μήκους L γύρω από άξονα που διέρχεται από το μέσο της.
Ο dm Ένα στοιχειώδες τμήμα της ράβδου μάζας dm που απέχει x από το Ο θα έχει ροπή αδράνειας 2 di x dx Η συνολική ροπή αδράνειας θα είναι το άθροισμα αυτών των στοιχειωδών ροπών δηλαδή 2 I di I x dm x
Η x είναι μεταβλητή, επομένως θα πρέπει να συνδέσω το dm με το x. Αν θεωρήσω τη ράβδο ομογενή τότε: M dm M dm dx L dx L Αντικαθιστώ και έχω: M L M L 2 2 I x dx x dx Θα πρέπει τώρα να σκεφτώ τα όρια της ολοκλήρωσης για τη μεταβλητή x. L/2 3 L/2 3 3 2 M M x M L L I x dx L L 3 3 L 8 8 L/2 L/2 3 M 2 L 1 I M L 3 L 8 12 2
Άσκηση Υπολογίστε τη ροπή αδράνειας ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της ράβδου.
Εφαρμογή 2 Πως όμως θα υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος, για παράδειγμα ενός δίσκου συνολικής μάζας M και ακτίνας R γύρω από έναν άξονα που περνά από το κέντρο του; Θα θεωρήσω ότι ο δίσκος αποτελείται από δακτυλίους (γιατί;) Ένας δακτύλιος ακτίνας r έχει ροπή αδράνειας άρα η συνολική ροπή αδράνειας θα είναι: 2 I di r dm Η μάζα dm εξαρτάται από την ακτίνα του δακτυλίου (οι δακτύλιοι οποιασδήποτε ακτίνας έχουν ίδιες μάζες); di dmr 2
Για τη μάζα dm έχω: dm ds dm 2 r dr 2 S r ds 2r dr όπου ρ η επιφανειακή πυκνότητα μάζας. Οπότε: 2 3 di r dm 2 r dr Άρα το ολοκλήρωμα παίρνει τη μορφή: R R R 3 3 2 2 2 I di r dr r dr 0 0 0 Αντικαθιστώντας τον όρο τη σχέση καταλήγουμε στην τελική έκφραση: I M R 2 2 M R 4 R 2 4
Ένα ολοκλήρωμα από τον ηλεκτρισμό Μια ράβδος μήκους L φέρει συνολικό φορτίο Q. Υπολογίστε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε απόσταση a από το άκρο της ράβδου. L, Q a
Προβλήματα κλιμάκωσης Το γενικό πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: «Αν μεταβληθεί το μέγεθος ενός συστήματος πως αλλάζουν οι διάφορες ιδιότητές του;»
Ένα γεωμετρικό πρόβλημα κλιμάκωσης Αν πολλαπλασιάσω όλες τις πλευρές ενός τριγώνου με τον ίδιο αριθμό τι θα συμβεί με το εμβαδό; Το εμβαδό είναι E, αφού η βάση και το ύψος πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο αριθμό (a) το εμβαδό θα πολλαπλασιάζεται με a 2. 2
Ένα πρόβλημα κλιμάκωσης στη φυσική Διαθέτω ένα σώμα από σίδηρο σε μορφή κύβου. Φτιάχνω ένα νέο κύβο, και πάλι από σίδηρο, που κάθε ακμή του είναι 3 φορές μικρότερη από την ακμή του αρχικού. Πόσες φορές μικρότερος θα είναι ο όγκος; Πόσες φορές μικρότερο θα είναι το βάρος;
Ρευστά 1 (πίεση/αρχή Pascal)
Τι είναι τα ρευστά;
Οι τρείς καταστάσεις της ύλης ΣΤΕΡΕΑ ΥΓΡΑ ΑΕΡΙΑ ΣΧΗΜΑ Ορισμένο Ακαθόριστο Ακαθόριστο ΟΓΚΟΣ Ορισμένος Ορισμένος Ακαθόριστος ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ~ 10000 kg/m 3 ~ 1000 kg/m 3 ~ 1 kg/m 3 ΑΛΛΗΛ- ΕΠΙΔΡΑΣΕΙΣ Ισχυρές Μέτριες Αμελητέες ΚΙΝΗΣΗ ΜΟΡΙΩΝ Ταλάντωση Καμπυλόγραμμη κίνηση Σχεδόν ομαλή κίνηση με υψηλή ταχύτητα
Τα ρευστά Με βάση τον προηγούμενο πίνακα οι πιο συγγενικές καταστάσεις είναι τα στερεά και τα υγρά. Παρόλα αυτά εδώ θα κάνουμε μια άλλη επιλογή ομαδοποιώντας τα υγρά και τα αέρια και ονομάζοντάς τα ΡΕΥΣΤΑ.
Τι είναι τα ρευστά; Γιατί κάνουμε αυτή την «περιέργη» επιλογή; Γιατί αυτά τα υλικά έχουν την ιδιότητα να ρέεουν όταν πάνω τους επιδρούν διατμητικές δυνάμεις.
Το πείραμα διάκρισης Έστω ότι σε κάποιο υλικό ασκούμε μια δύναμη παράλληλη προς την επιφάνειά του. Ανάλογα με το αν έχουμε στερεό ή ρευστό παρατηρούμε διαφορετική συμπεριφορά.
Συμπεριφορά στερεού Στο στερεό η δύναμη F πρέπει να αυξάνει καθώς αυξάνεται η παραμόρφωση του σώματος Αν η δύναμη F πάψει να υφίσταται το σώμα τείνει να επιστρέψει στο αρχικό του σχήμα Συμπεριφορά ρευστού Η δύναμη F δεν εξαρτάται από την παραμόρφωση του σώματος αλλά από το πόσο γρήγορα γίνεται αυτή η παραμόρφωση Αν η δύναμη F πάψει να υφίσταται το σώμα δεν εμφανίζει καμμία τάση να επιστρέψει στο αρχικό του σχήμα Το στερεό μπορεί να ισορροπήσει υπό την επίδραση διατμητικών δυνάμεων Το ρευστό ποτέ δεν μπορεί να ισορροπήσει υπό την επίδραση διατμητικών δυνάμεων
Πως γίνεται ο περαιτέρω διαχωρισμός υγρών και αερίων; Στη βάση της ασυμπειστότητας που εμφανίζουν τα υγρά και της συμπιεστότητας που εμφανίζουν τα αέρια.
Μελέτη των Ρευστών
Μηχανική των Ρευστών Πρόκειται ουσιαστικά για τον κλάδο που εφαρμόζει τις βασικές αρχές της Νευτώνειας Μηχανικής στα ρευστά. Δηλαδή νόμους όπως: 1) Ο 2 ος νόμος του Νεύτωνα. 2) Η αρχή διατήρησης της ενέργειας. 3) Η αρχή διατήρησης της μάζας
Χαρακτηριστικά και ιδιότητες των Ρευστών
Η υπόθεση της συνέχειας Αν και δεχόμαστε ότι ένα ρευστό αποτελείται από σωματίδια, εντούτοις πολλές φορές θεωρούμε ότι ένα ρευστό είναι μια συνεχής μάζα χωρίς κενά. Η παραδοχή αυτή μας βοηθά στη μαθηματική μελέτη και μας «βγάζει» από αδιέξοδα.
Πυκνότητα ρευστού Ο ορισμός είναι: Ποια προβλήματα δημιουργούνται αν επιχειρήσουμε να ορίσουμε την πυκνότητα σε ένα σημείο του ρευστού; Αν το V 0 τότε το κλάσμα m/v μπορεί να αλλάζει σημαντικά από σημείο σε σημείο αν δεχθούμε μια ασυνεχή εικόνα για ένα ρευστό. m V
Πίεση ρευστού Κάθε ρευστό έχει πίεση που είναι πρωταρχικά, αποτέλεσμα της κινητικής θεωρίας. Εξαιτίας δηλαδή της ακατάπαυστης κίνησης των σωματίδων ενός ρευστού, έχω συγκρούσεις και αποκατάσταση, σε κάθε σημείο του ρευστού, μιας τιμής πίεσης.
Πίεση Ρευστού Πρόκειται για βαθμωτό μέγεθος Α Σε κάθε σημείο Α όπως ακριβώς αντιστοιχεί μια τιμή πυκνότητα ή μια τιμή θερμοκρασίας, έτσι αντιστοιχεί και μια τιμή πίεσης
Ορισμός της πίεσης Θεωρούμε μια επιφάνεια εμβαδού da στο σημείο Α. Η επιφάνεια αυτή θα δέχεται από το υγρό κάθετη δύναμη df (δεν μπορεί να υπάρχει παράλληλη συνιστώσα προς την επιφάνεια da γιατί τότε και η επιφάνεια θα ασκούσε διατμητική δύναμη και το ρευστό θα βρίσκονταν σε ροιή) Ορίζουμε την πίεση στο Α ως: p df da Η μονάδα στο S.I. το 1 Pa = 1 N/m 2 Α
Ένας αυτοσχέδιος μετρητής πίεσης Μπορεί να αποδειχθεί ότι η πίεση είναι ίδια όποιος και αν είναι ο προσανατολισμός της επιφάνειας da. Κενό Αυτοσχέδιος μετρητής πίεσης Το υγρό ασκεί δύναμη F στο έμβολο εμβαδού Α. Το ελατήριο συμπιέζεται. Αν είναι γνωστή η σταθερά του και μετρήσουμε τη συσπείρωσή του μπορούμε να υπολογίσουμε τη δύναμη Γνωρίζοντας και την επιφάνεια Α μπορούμε να βρούμε την πίεση. Όι μετρητές πίεσης μπορεί να τοποθετηθούν οπουδήποτε στο υγρό. Πίεση υπάρχει σε όλα τα σημεία του υγρού Η πίεση που μερά ένας μετρητής είναι ανεξάρτητη από τον προσανατολισμό του καθώς το υγρό σπρώχνει προς όλες τις κατευθύνσεις το ίδιο
Ορισμένες ενδεικτικές τιμές πίεσης
Μερικές ακόμα μονάδες πίεσης
Ορισμένες ακόμα ιδιότητες ενός Το ιξώδες Η τάση ατμών ρευστού περιληπτικά Συντελεστής επιφανειακής τάσης Περισσότερα για αυτές σε επόμενα μαθήματα.
Υγρό σε ισορροπία Ι ΕΚΤΟΣ ΒΑΡΥΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ: Στην περίπτωση αυτή η πίεση είναι ίδια σε όλα τα σημεία του υγρού (Αρχή του Pascal).
Αρχή του Pascal Αν εφαρμόσω πίεση σε κάποιο τμήμα της επιφάνειας ενός ρευστού αυτή θα μεταδοθεί σε όλα τα τμήματα του ρευστού.
Πρόβλημα 1 Η αρχή λειτουργίας του υδραυλικού πιεστηρίου φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Πιο συγκεκριμένα, αν στο έμβολο εμβαδού α δρα μια δύναμη f ποια δύναμη δρα στο έμβολο εμβαδού Α; ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Αν το μικρό έμβολο έχει διάμετρο 5 cm και το μεγάλο 0,5 m ποιο βάρος πρέπει να τοποθετήσω στο μικρό έμβολο ώστε να ισορροπεί ένα βάρος 2 tons στο μεγάλο έμβολο;
Μια εφαρμογή
Υγρό σε ισορροπία ΙΙ ΕΝΤΟΣ ΒΑΡΥΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ: Στην περίπτωση αυτή η πίεση δεν είναι ίδια σε όλα τα σημεία του υγρού αλλά αυξάνει γραμμικά με το βάθος όπως θα δείξουμε στη συνέχεια.
Μεταβολή της πίεσης με το βάθος Έστω ένα τμήμα υγρού πάχους dy σε βάθος y. Στο κάτω μέρος αυτού του στοιχειώδους όγκου η πίεση πρέπει να είναι υψηλότερη από ότι στο πάνω μέρος ώστε να ισορροπείται τη δύναμη του βάρους. F 0 p A dw p dp A 0 dw dmg pa dm g p A dp A 0 Υποθέτω ότι η πυκνότητα του ρευστού είναι σταθερή (καλή προσέγγιση για υγρά, όχι για αέρια) dm dv p 0 (p+dp) A p A 0
dv g dp A dv Ady Ady g dp A y g dy dp g y 0 p p0 0 0 p p 0 p p g y Εξίσωση που δείχνει τη μεταβολή της πίεσης με το βάθος.
Πως να σπάσετε τον πάτο ενός μπουκαλιού χωρίς να τον αγγίξετε
Πρόβλημα 2 Η μέση πίεση που ασκεί η ανθρώπινη καρδιά στο αίμα (πυκνότητα 1050 kg/m 3 ) είναι 100 mm Hg. Αν ο άνθρωπος είναι ξαπλωμένος η πίεση του αίματος είναι ίδια σε όλα τα σημεία του σώματός του. Α) Αν τώρα ο άνθρωπος σηκωθεί όρθιος, θα εξακολουθεί η πίεση να είναι ίδια παντού; Πιο συγκεκριμένα να υπολογίσετε την πίεση στα πόδια, που απέχουν 130 cm από την καρδιά και στο κεφάλι που απέχει 50 cm από την καρδιά. 130 cm 50 cm
Β) Μπορείτε μήπως τώρα να εξηγήσετε γιατί ορισμένες φορές νιώθετε μια ζάλη αν σηκωθείτε απότομα από το κρεβάτι; Σημείωση: Στη συγκεκριμένη άσκηση υποθέτουμε ότι το αίμα δεν κινείται. Θα λάβουμε υπόψη την κίνηση του αίματος στα επόμενα μαθήματα.
Πρόβλημα 3 Υπο συνθήκες έντασης η καρδιά μπορεί να ασκήσει πίεση 190 mm Hg. Ένας αστροναύτης πρόκειται να προσεδαφιστεί σε ένα μεγάλο πλανήτη όπου η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι 61 m/s 2. Θα μπορεί η καρδιά να διατηρήσει θετική πίεση αίματος στο κεφάλι του αστροναύτη όταν αυτός είναι όρθιος;
Ρευστά 2 (Άνωση/Ασκήσεις)
Άνωση
Άνωση Είναι η δύναμη που εμφανίζεται σε κάθε σώμα που είναι εν μέρει ή εξ ολοκλήρου βυθισμένο σε ένα ρευστό. Κατεύθυνση αυξανόμενης πίεσης Η διαφορά αυτών των δυο δυνάμεων (με κατεύθυνση προς τα επάνω) είναι η δύναμη της άνωσης. Η ΑΝΩΣΗ ΟΦΕΙΛΕΙ ΤΗΝ ΥΠΑΡΞΗ ΤΗΣ ΣΤΗ ΒΑΡΥΤΗΤΑ. Η δύναμη που δρα προς τα επάνω είναι μεγαλύτερη από τη δύναμη που σπρώχνει το σώμα προς τα κάτω εξαιτίας της διαφοράς στην πίεση.
Αρχή Αρχιμήδη Είναι η αρχή που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη δύναμη της άνωσης. Σύμφωνα με αυτή: «Η άνωση που δέχεται ένα σώμα που είναι εν μέρει ή εξ ολοκλήρου βυθισμένο σε ένα ρευστό είναι ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει.» A W A m g ό ύ ό ύ
Δηλαδή: A W A m g ό ύ ό ύ Όμως: m V ό ύ ό ύ ύ A V g Επειδή: ύ V ό ύ V ό έ ύ ώ A V g ύ έ ώ
Πρόβλημα Η πυκνότητα του πάγου είναι 917 kg/m 3 ενώ του θαλασσινού νερού 1024 kg/m 3. Ποιο ποσοστό του όγκου ενός παγόβουνου θα εξέχει από το νερό και θα είναι ορατό;
Πρόβλημα Ένα κυβικό κομμάτι ξύλου ακμής 10 cm επιπλέει στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ λαδιού και νερού όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Αν η πυκνότητα του λαδιού είναι 650 kg/m 3 και του νερού 1000 kg/m 3 να υπολογίσετε: 2 cm Λάδι Ξύλο Νερό 10 cm 10 cm 1) την επιπλέον της ατμοσφαιρκής πίεση στην πάνω επιφάνεια του ξύλινου κύβου. 2) την επιπλέον της ατμοσφαιρκής πίεση στην κάτω επιφάνεια του ξύλινου κύβου. 3) τη μάζα του κύβου.
Πρόβλημα Ορισμένα ψάρια έχουν πορώδη κόκκαλα ή κύστες στο σώμα τους προκειμένου να μειώσουν την μέση πυκνότητά τους και έτσι να επιπλέουν χωρίς δαπάνη ενέργειας. Έτσι για παράδειγμα η σουπιά έχει πορώδη οστά με πυκνότητα 0,62 g/cm 3. Αν το υπόλοιπο σώμα της έχει πυκνότητα 1,067 g/cm 3, ποιο είναι το ποσοστό του συνολικού όγκου που καταλαμβάνουν αυτά τα κόκκαλα ώστε η μέση πυκνότητα να γίνει ίση με του θαλασσινού νερού (1,026 g/cm 3 ).
Άλλες «τεχνικές» που χρησιμοποιούν τα ζώα για να επιπλέουν Πολλοί υδρόβιοι οργανισμοί εκμεταλλεύονται την άνωση για να επιλεύσουν. Γενικά η πυκνότητα του σώματος τους είναι μεγαλύτερη από αυτή του νερού. Πρέπει να υπάρχει κάποιος «μηχανισμός» που να μειώνει τη μέση τους πυκνότητα
Άλλες «τεχνικές» που χρησιμοποιούν τα ζώα για να επιπλέουν Τέτοιοι μηχανισμοί είναι: 1) Η ύπαρξη κύστεων με αέρα (πολλά ψάρια). 2) Όργανα αποτελούμενα από λίπη χαμηλής πυκνότητας (π.χ. καρχαρίες). 3) Υγρά εντός του σώματος με πυκνότητα μικρότερη του νερού (π.χ. καλαμάρια). 4) Πορώδη οστά.
Πρόβλημα Μπορούμε να υπολογίσουμε τη μέση πυκνότητα ενός ζώου ζυγίζοντάς το πρώτα στον αέρα και έπειτα βυθισμένο εξ ολοκλήρου σε κάποιο υγρό. Αν τα βάρη είναι αντιστοίχως W 1 και W 2, ενώ το υγρό έχει πυκνότητα ρ 1 να δείξετε ότι η πυκνότητα του ζώου δίνεται από τη σχέση: 2 1 W1 W W 1 2
Πρόβλημα Κυλινδρικό κομμάτι πάγου (900 kg/m 3 ) ακτίνας 2 m και ύψους 20 cm επιπλέει στη θάλασσα (1030 kg/m 3 ). Μια ομάδα 50 πιγκουίνων με μάζα 5 kg ο καθένας, ανεβαίνει πάνω στο κομμάτι του πάγου. Α) Προσδιορίστε το ύψος που θα εξέχει από την επιφάνεια του νερού ο πάγος πριν και αφού ανέβουν οι πιγκουίνοι.
Β) Το κομμάτι του πάγου ταξιδεύει προς θερμότερα νερά οπότε λιώνει ομοιόμορφα με ρυθμό 500 cm 3 την ώρα. Σε πόσο χρόνο δεν θα μπορεί να υποστηρίξει όλους τους πιγκουίνους; Επίπεδο θαλασσινού νερού
Ρευστά 3 (Δυναμική Ρευστών)
Δυναμική Ρευστών
Ροή Ρευστών (Βασικές Ιδέες) ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΟΓΚΟΣ ΡΕΥΣΤΟΥ: Προκειμένου να αναλύσουμε την κίνηση ενός ρευστού το χωρίζουμε σε απειροστούς όγκους. Καθένας έχει θέση (x,y,z) τη χρονική στιγμή t. ΠΕΔΙΑ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ/ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ: Ορισμένες φορές αντί να ασχολούμαστε με ένα στοιχειώδες τμήμα του ρευστού θα προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση της πυκνότητας και της ταχύτητας σε μια θέση (x,y,z) τη χρονική στιγμή t.
Ροή Ρευστών (Βασικές Ιδέες) ΜΟΝΙΜΗ ΡΟΗ: Η ταχύτητα σε ένα ορισμένο σημείο της ροής είναι σταθερή. Με άλλα λόγια κάθε στοιχιεώδης όγκος ρευστού όταν διέρχεται από το συγκεκριμένο σημείο έχει την ίδια ταχύτητα. ΙΔΑΝΙΚΟ ΡΕΥΣΤΟ: Ένα ρευστό που 1) Είναι ασυμπίεστο. 2) Δεν έχει εσωτερική τριβή (ιξώδες).
Ροή Ρευστών (Βασικές Ιδέες) ΓΡΑΜΜΗ ΡΟΗΣ (για τη μόνιμη ροή): Είναι η διαδρομή που ακολουθεί ΚΑΘΕ σωματίδιο του κινούμενου ρευστού. Ένα σύνολο τέτοιων γραμμών ορίζουν μια φλέβα (ρευματικό σωλήνα). Διατομή του αγωγού Γραμμές ροής Γραμμές ροής
1η βασική εξίσωση: Εξίσωση συνέχειας Έστω δύο διατομές 1 και 2 ενός ρευματικού σωλήνα όπου το ρευστό έχει ταχύτητες u 1 u 2 αντιστοίχως. Σε ένα απειροστό χρονικό διάστημα dt από κάθε διατομή του αγωγού θα διέρχεται υγρό μάζας: dm dv Audt
Αν μεταξύ των σημείων 1 και 2 δεν υπάρχει κάποια πηγή ή κάποια καταβόθρα ρευστού τότε πρέπει: dm dm A u dt A u dt 1 2 1 1 1 2 2 2 και υποθέτοντας ότι το ρευστό είναι ασυμπίεστο δηλ. έχω: 1 2 A1 u1 A2 u2 ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 1) Εκφράζει τη διατήρηση της μάζας (ισχύει για ασυμπίεστο ρευστό). 2) Εκεί που οι γραμμές ροής πυκνώνουν (εμβαδόν ρευματικού σωλήνα μικραίνει) το ρευστό ρέει με μεγαλύτερη ταχύτητα.
Παροχή Ρευστού Εξετάζοντας το γινόμενο Au διαστατικά διαπιστώνουμε ότι έχει μονάδες m 3 /s δηλ. αντιπροσωπεύει τον όγκο του ρευστού που διέρχεται από μια διατομή του αγωγού στη μονάδα του χρόνου. Η συγκεκριμένη ποσότητα ονομάζεται παροχή. dv dt
Πρόβλημα Α) Υπολογίστε τη μέση ταχύτητα του αίματος στην αορτή αν αυτή έχει ακτίνα 1 cm και η παροχή του αίματος είναι (όταν βρισκόμαστε σε ηρεμία) 5 L/min. Β) Κατά τη διάρκεια άσκησης η παροχή μπορεί να φθάσει και τα 25 L/min. Ποια είναι τότε η ταχύτητα ροής του αίματος;
Πρόβλημα Ο υψηλότερος πίδακας νερού στον κόσμο βρίσκεται στην πολιτεία της Arizona και εκτοξεύει νερό σε ύψος 170 m με ρυθμό 26.000 L/min. Α) Ποια η ταχύτητα με την οποία εκτοξεύεται το νερό στη βάση του πίδακα; Β) Ποια σε ύψος 100 m; Γ) Ποια η διάμετρος του πίδακα στη βάση του και ποια σε ύψος 100 m; Υποθέστε ότι το νερό που επιστρέφει πέφτοντας στο έδαφος δεν εμποδίζει το ανερχόμενο νερό.
Πρόβλημα Εξηγείστε γιατί η φλέβα του νερού από μια βρύση έχει μικρότερη διατομή καθώς κατεβαίνουμε προς τα κάτω.
Πρόβλημα Το πλήθος των τριχοειδών αγγείων στον άνθρωπο είναι της τάξης του 10 9. Αν το καθένα από αυτά έχει διάμετρο 8 μm και μήκος 1 mm ενώ η παροχή του αίματος από την καρδιά είναι ίση με 5 L/min να υπολογίσετε: Α) την ταχύτητα με την οποία κινείται το αίμα εντός ενός τριχοειδούς αγγείου. Β) το χρόνο που χρειάζεται το αίμα για να διανύσει ένα τέτοιο αγγείο.
2η βασική εξίσωση: Εξίσωση Bernoulli Έστω δύο διατομές 1 και 2 ενός ρευματικού σωλήνα όπου το ρευστό έχει ταχύτητες u 1 u 2. Σε χρόνο dt το ρευστό στη διατομή 1 θα έχει μετακινηθεί από το a στο b και το ρευστό στη διατομή 2 θα μετακινηθεί από το c στο d. Θα εφαρμόσω το θεώρημα έργου ενέργειας για το ρευστό μεταξύ των διατομών 1 και 2.
Παραγόμενο έργο: Οφείλεται στο γεγονός ότι στα άκρα του ρευστού έχουν δυνάμεις dw F1 dx1 F2 dx2 dw p A dx p A dx F p A και επειδή ισχύει η εξίσωση της συνέχειας dv A dx A dx τελικά είναι: 1 1 2 2 dw p p dv 1 2 1 1 1 2 2 2
Μεταβολή δυναμικής ενέργειας: Οφείλεται στο γεγονός ότι η μάζα dm μεταξύ a και b μετακινήθηκε μεταξύ c και d. Άρα: du U U dm g y dm g y dm1 dm2 dv ό ό 2 2 1 1 du y y g dv 2 1
Μεταβολή κινητικής ενέργειας: Οφείλεται στο γεγονός ότι η μάζα dm μεταξύ a και b που είχε ταχύτητα u 1 μετακινήθηκε μεταξύ c και d όπου έχει ταχύτητα u 2. Άρα: 1 1 dk K K dm u dm u 2 2 dm1 dm2 dv 2 2 ό ό 2 2 1 1 1 2 2 dk u 2 u1 dv 2
Σύμφωνα με το θεώρημα έργου ενέργειας έχω: 1 2 2 dk du dw u 2 u1 dv y2 y1 g dv 2 p 1 p2 dv 1 2 2 u 2 u1 g y2 y1 p1 p2 2 1 u g y p 1 u g y p 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI
Ερμηνεία της εξίσωσης Bernoulli 1 2 ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΙΝΗΤΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Κινητική ενέργεια αναμονάδα όγκου του ρευστού) ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Δυναμική ενέργεια ανα μονάδα όγκου του ρευστού) 2 u g y p ό ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΕΞΩΤΕΡΙΚΑ ΠΡΟΣΦΕΡΟΜΕΝΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ (Προσφερόμενη ενέργεια ανα μονάδα όγκου του ρευστού) Η εξίσωση Bernoulli εκφράζει τη διατήρηση της ενέργειας (ισχύει για ρευστό χωρίς ιξώδες).
Εφαρμογές της εξίσωσης Bernoulli Ακίνητο Ρευστό (u=0): g y p ό p p g y 0 p 0 p 0 0 y p p g y 0 y p p g y 0 0
Εξίσωση Ventouri: Για ροή ρευστού σε οριζόντιο σωλήνα έχω 1 u p 1 u p 2 2 και A u A u 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 Επειδή τώρα A A θα είναι u u άρα 1 2 1 2 p1 p2 Εκεί που έχω μεγάλη πίεση έχω μικρή ταχύτητα και αντιστόφως.
Πρόβλημα Στην αρτηριοσκλήρωση στα τοιχώματα των αρτηριών επικάθεται η ονομαζόμενη πλάκα με αποτέλεσμα η διατομή της αρτηρίας να μειώνεται. Α) Αν τα εμβαδά διατομών είναι Α 1 και Α 2 αντιστοίχως ποια η σχέση των ταχυτήτων u 1 και u 2 ; Πλάκα
Β) Υπολογίστε τη διαφορά της πίεσης του αίματος μεταξύ των σημείων 1 και 2. Γ) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Να γίνουν οι υπολογισμοί στην περίπτωση που η ακτίνα μιας αρτηρίας υποτριπλασιάζεται, η μέση τιμή της ταχύτητας ροής στο ευρύ τμήμα της αρτηρίας είναι 50 cm/s ενώ η πυκνότητα του αίματος 1.050 kg/m 3.
Πρόβλημα Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια δεξαμενή με εμβαδό διατομής Α 1 που είναι γεμάτη με βενζίνη σε ύψος h. Ο χώρος πάνω από τη βενζίνη περιέχει αέρα σε πίεση p 0, και η βενζίνη εκρέει από μια οπή με εμβαδό διατομής Α 2. Υπολογίστε: Α) Την ταχύτητα εκροής. Β) Την παροχή.
Ασκήσεις
Πρόβλημα Υπάρχει ένα όριο στο βάθος που μπορεί να αναπνεύσει ένας δύτης χρησιμοποιώντας έναν σωλήνα που φθάνει στην επιφάνεια της θάλασσας και του παρέχει αέρα από την ατμόσφαιρα. Α) Πόση είναι η πίεση μέσα στους πνεύμονες του δύτη; Β) Πόση είναι η πίεση όταν ο δύτης έχει φθάσει σε βάθος 6,1 m; Καταλαβαίνετε για ποιο λόγο υπάρχει μέγιστο βάθος στην κατάδυση με αυτόν τον τρόπο;
Πρόβλημα Μια μεγάλη κοίλη πλαστική σφαίρα συγκρατείται κάτω από την επιφάνεια μιας λίμνης με τη βοήθεια ενός καλωδίου προσδεδεμένου στον πυθμένα της λίμνης. Η σφαίρα έχει όγκο 0,3 m 3 και η τάση του καλωδίου είναι 700 Ν. Α) Υπολογίστε τη δύναμη της άνωσης που δέχεται η σφαίρα. Β) Πόση είναι η μάζα της σφαίρας; Γ) Κάποια στιγμή κόβουμε το καλώδιο και η σφαίρα ανεβαίνει στην επιφάνεια της λίμνης. Όταν ηρεμήσει ποιο κλάσμα του όγκου της θα είναι βυθισμένο στο νερό;
Πρόβλημα Ένα λάστιχο ποτίσματος έχει εσωτερική διάμετρο 2 cm και συνδέεται με ένα ραντιστήρι που αποτελείται από 24 τρύπες με διάμετρο 0,12 cm η καθεμία. Αν το νερό στο λάστιχο έχει ταχύτητα 1 m/s με ποια ταχύτητα φεύγει από τις τρύπες του ραντιστηριού;
Πρόβλημα Μια κυλινδρική δεξαμενή ακτίνας 5 m και ύψους 5 m είναι γεμάτη με νερό, βρίσκεται στην κορυφή ενός πύργου ύψους 40 m και χρησιμοποιείται για το πότισμα ενός χωραφιού. Α) Ποια η παροχή του νερού από ένα ποτιστικό διαμέτρου 2 cm που βρίσκεται στο έδαφος του χωραφιού; Β) Αν θεωρήσετε ότι η παροχή παραμένει σταθερή, μετά από πόση ώρα θα χρειασθεί η δεξαμενή και πάλι γέμισμα;
Ρευστά 4 (Πραγματικά ρευστά)
Πραγματικά Ρευστά Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με τα ΙΔΑΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ που είναι: 1) Ασυμπίεστα 2) Δεν έχουν εσωτερική τριβή. Ένα πραγματικό ρευστό, έχει εσωτερική τριβή (ιξώδες) ενώ μπορεί και να εμφανίζει στροβιλώδη (τυρβώδη) ροή. Αν περιοριζόμαστε σε υγρά τότε η υπόθεση του ασυμπίεστου εξακολουθεί να ισχύει.
Η έννοια του ιξώδους Πρόκειται για τις δυνάμεις τριβής που αντιτίθονται στην κίνηση ενός τμήματος του ρευστού ως προς κάποιο άλλο. Αυτό έχει ως συνέπεια: 1) Ένα στρώμα ρευστού προσκολλάται στην επιφάνεια του στερεού έχοντας μηδενική ταχύτητα. 2) Προκειμένου να κινηθεί το ένα στρώμα ρευστού ως προς το άλλο απαιτείται δύναμη.
Πλάκα που κινείται με ταχύτητα υ (το ρευστό που έρχεται σε επαφή με αυτήν έχει ταχύτητα επίσης υ) L Ακίνητη πλάκα (το ρευστό που έρχεται σε επαφή με αυτήν έχει ταχύτητα 0) Προκειμένου η πάνω πλάκα να κινείται με ΣΤΑΘΕΡΗ ταχύτητα υ θα πρέπει να δέχεται δύναμη F. Αν η δύναμη αυτή δίνεται από τη σχέση: d F A A dy L τότε το ρευστό ονομάζεται ΝΕΥΤΩΝΕΙΟ.
Εμβαδόν του στρώματος του ρευστού που κινεί η δύναμη F. Απαραίτητη δύναμη σε ένα στρώμα ρευστού ώστε αυτό να κινείται με σταθερή ταχύτητα. F d A dy Συντελεστής ιξώδους 1) Εξαρτάται από τη φύση του ρευστού. Είναι μεγάλος για παχύρευστα (π.χ. μέλι) και μικρός για ρευστά που ρέεουν εύκολα (π.χ. λιπαντικά λάδια). 2) Στο S.I. έχει μονάδες 1 Ν s/m 2. Στην πράξη χρησιμοποιείται και το 1 poise (πουάζ) που είναι 0,1 Ν s/m 2. 3) Εξαρτάται από την θερμοκρασία και μάλιστα για τα υγρά μειώνεται όσο αυξάνει η θερμοκρασία. Βαθμίδα ταχύτητας. Τα επάλληλα στρώματα ρευστού κινούνται το καθένα με σταθερή ταχύτητα, η οποία αυξάνει καθώς απομακρυνόμαστε από την ακίνητη πλάκα..
Τιμές του συντελεστή ιξώδους
Νόμος Poiseuille (Πουαζέϊγ) Ένα πιο ρεαλιστικό πρόβλημα είναι να θεωρήσουμε ένα κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R εντός του οποίου ρέει κάποιο υγρό. Σύμφωνα με τα προηγούμενα θα πρέπει: 1) Η ταχύτητα των δυο στρωμάτων του ρευστού που είναι σε επαφή με τα τοιχώματα του σωλήνα είναι μηδέν και αυξάνει καθώς πηγαίνουμε προς τον άξονα του σωλήνα. 2) Προκειμένου τα στρώματα του υγρού να κινούνται πρέπει να ασκείται δύναμη που στη συγκεκριμένη περίπτωση θα οφείλεται στη διαφορά πίεσης που επικρατεί στα άκρα του σωλήνα.
Σχηματικά έχω: Τοιχώματα ενός κυλινδρικού σωλήνα. Ένα λεπτό στρώμα ρευστού που είναι σε επαφή με καθένα από αυτά έχει μηδενική ταχύτητα. Καθώς απομακρυνόμαστε από τα τοιχώματα τα επάλληλα στρώματα ρευστού κινούνται το καθένα με σταθερή ταχύτητα που βαίνει συνεχώς αυξανόμενη. p 1 p 2 Πιέσεις που επικρατούν στα άκρα του σωλήνα. Ισχύει ότι p 1 >p 2 ώστε να έχουμε ροή του ρευστού προς τα δεξιά.
Μπορεί να δειχθεί ότι στην περίπτωση αυτή ισχύει: p p 4 L 1 2 2 2 R r οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε την παροχή μέσα από το σωλήνα ως: 2 d V dt 2r dr R 2 p1 p2 2 2 p d V 2 dt R r r dr 1 p 2 2 2 R r 4 L o 4 L R R dv p1 p2 2 3 2 R r dr r dr dt 4 L 0 0 dv p p R R dt 4 L 2 4 4 4 1 2 2 dv dt p1 p2 R 8 L 4 Παροχή ρευστού με ιξώδες η σε κυλινδρικό σωλήνα ακτίνας R.
Σύγκριση με την εξίσωση Bernoulli Η προηγούμενη σχέση μας δείχνει ότι προκειμένου να διατηρείται σε ένα σωλήνα μια παροχή ρευστού (Π=dV/dt) σταθερής ταχύτητας θα πρέπει να υπάρχει στα άκρα του διαφορά πίεσης: 8 L p1 p2 p 4 R Αντίθετα σύμφωνα με το νόμο Bernoulli, αν ο σωλήνας είναι οριζόντιος (h 1 =h 2 ) και η ταχύτητα του ρευστού σταθερή (υ 1 =υ 2 ) τότε η διαφορά πιέσεων στα άκρα του είναι 0. 1 2 1 2 p1 1 g h1 p2 2 g h2 p1 p2 2 2
Πρόβλημα Για ένα ρευστό που ρέει σε κυλινδρικό σωλήνα και εμφανίζει εσωτερική τριβή με συντελεστή ιξώδους η δείξτε ότι η παροχή είναι ίδια με αυτή που θα είχαμε αν το ρευστό δεν εμφάνιζε εσωτερική τριβή και η ταχύτητα όλων των επάλληλων στρωμάτων του ήταν η μισή της μέγιστης ταχύτητας.
Πρόβλημα Ένας τρόπος που χρησιμοποιούν διάφοροι οργανισμοί για να ελέξουν την παροχή αίματος σε κάποια περιοχή του σώματος είναι να χρησιμοποιούν μυς που υπάρχουν στην επιφάνεια των αρτηριολίων προκειμένου να μεταβάλλουν τη διάμετρό τους. Α) Σύμφωνα με την έκφραση για την παροχή Π τι θα συμβαίνει στο συγκεκριμένο μέγεθος αν υποδιπλασιάσουμε την ακτίνα; Β) Αν η ακτίνα μειωθεί κατά 20% (και εφόσον η διαφορά πίεσης στα άκρα παραμείνει σταθερή) πόση θα είναι η εκατοστιαία ελάττωση της παροχής;
Γ) Προκειμένου να επιτευχθεί μείωση της παροχής κατά 90%, πόσο θα πρέπει να μεταβληθεί η ακτίνα;
Πρόβλημα Έστω μια καμηλοπάρδαλη ο λαιμός της οποίας έχει μήκος L = 4 m. Α) Αν η αρτηρία του λαιμού έχει ακτίνα 3 mm και η ταχύτητα του αίματος είναι 0,3 m/s, ποια η παροχή; Β) Αν ο συντελεστής ιξώδους για το αίμα είναι 0,004 N s/m 2 να υπολογιστεί η διαφορά πιέσεων που πρέπει να επικρατεί στα δύο άκρα για να ρέει το αίμα.
Γ) Στο προηγούμενο ερώτημα υπολογίσαμε τη διαφορά πίεσης αν αυτή είχε να «υπερνικήσει» μόνο την τριβή. Αυτό θα γίνεται όταν ο λαιμός της καμηλοπάρδαλης είναι οριζόντιος. Αν όμως είναι κατακόρυφος τότε πρέπει η καρδιά να «υπερνικήσει» και την πίεση που οφείλεται στη διαφορά ύψους. Δεδομένου ότι το αίμα πρέπει να φθάνει στους ιστούς στο κεφάλι με πίεση κοντά στη 1 atm ποια πίεση πρέπει να ασκεί η καρδιά στο αίμα;