ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ (Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε.) ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΙΙΙ Υποέργο: 8 Τίτλος: ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΕΣ ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΑΣΥΜΜΕΤΡΩΝ ΚΤΙΡΙΑΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Επιστημονικός Υπεύθυνος: Γεωργούσης Γεώργιος ΠΑΡΑ ΟΤΕΟ Τίτλος Παραδοτέου: Επισκόπηση δημοσιευμένης έρευνας στη σεισμική συμπεριφορά κτιρίων: Υποθέσεις, αμφιλεγόμενα και ερευνητική πορεία (State of the Art Report) στο Πλαίσιο του Πακέτου Εργασίας: 1 Συντάκτες: 1. Γεωργούσης Γεώργιος, Επιστημονικός Υπεύθυνος, Καθηγητής Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε 2. Τσομπάνος Αχιλλέας, Μέλος ΟΕΣ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Περίληψη (Abstract) 2 2. Εισαγωγή 4 3. Διατάξεις του Ελληνικού Αντισεισμικού Κανονισμού (ΕΑΚ) 10 4. Διατάξεις του Ευροκώδικα (EC) 8-2004 15 5. Ουσιώδη σημεία 18 6. Μελέτες σε μονώροφα ασύμμετρα κτίρια 27 7. Ασύμμετρα πολυώροφα κτίρια 36 8. Ως συμπέρασμα 45 9. Βιβλιογραφία 46 [1]
1. Περίληψη Η κατανόηση της σεισμικής συμπεριφοράς ασύμμετρων φορέων έχει αποτελέσει το αντικείμενο μελέτης πολλών ερευνητών σε όλο τον κόσμο, και πολλές εργασίες έχουν δημοσιευθεί σχετικά. Παρ όλα αυτά, πολλά στοιχεία της απόκρισης ασύμμετρων κατασκευών σε ισχυρές σεισμικές διεγέρσεις παραμένουν ασαφή και η σχετική έρευνα δεν έχει φθάσει σε συμπεράσματα που να είναι καθολικά αποδεκτά για να αποτελέσουν στέρεες βάσεις ενός αντισεισμικού κανονισμού. Το βέβαιο γεγονός της ανελαστικής συμπεριφοράς σε ισχυρούς σεισμούς και τα αντικρουόμενα αποτελέσματα εν χρόνω λεπτομερών αναλύσεων δεν έχουν οδηγήσει μέχρι σήμερα σε σταθερούς πυλώνες αντισεισμικού σχεδιασμού. Η παράμετρος της ασυμμετρίας αποτελεί ίσως το σημαντικότερο πρόβλημα στην ανάλυση κατασκευών: συμμετρικές κατασκευές μπορούν να επιλυθούν ως επίπεδοι φορείς, με σαφείς καταστατικές εξισώσεις συμπεριφοράς, και ο σχεδιασμός ενός επίπεδου φορέα δύναται να λάβει τη μορφή μιας απλής στατικής ανάλυσης, εκτιμώντας τα σεισμικά φορτία μέσω ενός φάσματος σχεδιασμού. Περαιτέρω, ο σχεδιασμός αυτός μπορεί να είναι και ασφαλής εάν συνδυαστεί με τον ικανοτικό έλεγχο κόμβων. Τα πράγματα όμως περιπλέκονται στην περίπτωση ασύμμετρων και επιπλέον ανελαστικών φορέων. Οι διατάξεις των αντισεισμικών κανονισμών που ισχύουν στη χώρα μας (ΕΑΚ- 2000 και Ευρωκώδικας 8 (ΕΝ 1998-1:2004)) και συνδέονται με την ασυμμετρία του φορέα παρουσιάζονται συγκριτικά και η έννοια της δυναμικής εκκεντρότητας αναπτύσσεται καταρχήν στα μονώροφα κτίρια, όπου είναι σαφής ο ορισμός της. Λεπτομερής αναφορά γίνεται την έννοια του πλασματικού ελαστικού άξονα πολυώροφων κτιρίων, όπου, στη διεθνή βιβλιογραφία, υπάρχει και σημαντική ελληνική συνεισφορά. Ακολουθεί ευρεία αναφορά στη δημοσιευμένη έρευνα σε ελαστικά και ανελαστικά μονώροφα κτιριακά συστήματα. Η δυναμική απόκριση πολυώροφων ελαστικών (ασύμμετρων) συστημάτων είναι το επόμενο θέμα πού αναπτύσσεται. Ακολουθεί, τέλος, η εκτενής αναφορά στην απόκριση ανελαστικών πολυώροφων κατασκευών. [2]
Abstract The understanding of the seismic response behavior of asymmetric building systems has been the subject of many investigations, all over the world, and a reasonable amount of relevant papers has been published. Despite this research work, many issues remain unclear and there are not generally accepted guide lines which may form the provisions of a code for an earthquake resistant structural design. The certain event that the deformations sustained by a given structure will exceed its elastic limits during a strong ground motion and the conflicting results of many detailed time history analyses, have no led to a specific concept for an earthquake resistant design. The issue of asymmetry is probably the most important, but unclear, factor during the structural design. Symmetric structures may be analyzed as planar systems and the structural design can be implemented by means of a simple static analysis after assessing the horizontal loading through an acceleration design spectrum. Besides, this procedure can be considered as an earthquake resistant design when combined with the capacity concept, as required in modern building code. However, this procedure becomes inefficient in asymmetric and inelastic building structures. The provisions concerning the asymmetry of buildings of the codes in use in Greece (ΕΑΚ-2000 and Eurocode 8 (ΕΝ 1998-1:2004)) are presented in a comparative manner and the concept of dynamic eccentricity is first outlined for single story eccentric systems. Detailed description of the axis of optimum torsion of multistory building is given and a full list of references is provided, where, as can be seen, the participation of papers originated from Greece is significant. Next, the research work on the seismic response of elastic and inelastic single story systems is presented. Finally, it follows the behavior of inelastic multi story building with some sort of asymmetry. [3]
2. Εισαγωγή Η τρωτότητα ασύμμετρων κατασκευών σε εδαφικές διεγέρσεις έχει, δυστυχώς, επανειλημμένα διαπιστωθεί, ανά την υφήλιο, μετά από ισχυρούς σεισμούς. Μελέτες πού εκπονήθηκαν μετά τον καταστρεπτικό σεισμό στο Μεξικό το 1985, (Rosenblueth & Meli, 1986; Chandler, 1986) καταδεικνύουν ότι το 50% των καταστροφών οφείλονται αμέσως ή εμμέσως στις ασυμμετρίες που υπάρχουν σε όλες τις κατασκευές. Ασυμμετρίες, οι οποίες μπορεί μεν να ελήφθησαν υπόψη, αλλά αντιμετωπίσθηκαν με έναν στατικό τρόπο (αγνοήθηκε δηλαδή η δυναμική απόκριση του φορέα), όπως επίσης και ασυμμετρίες που έχουν ένα πιθανολογικό χαρακτήρα (π.χ. ασυμμετρίες στην κατανομή μάζας, ακαμψίας, αντοχής κλπ), που δεν προβλέπονται, αλλά υπεισέρχονται στην απόκριση μιας κατασκευής. Ας σημειωθεί εδώ ότι και μία απόλυτα συμμετρική κατασκευή, όταν ένα μέλος της ξεπερνάει το όριο ελαστικότητας, αποτελεί πλέον έναν ανελαστικό και ασύμμετρο φορέα με απρόβλεπτη συμπεριφορά. Το ίδιο συμβαίνει και σε έναν ασύμμετρο φορέα, όπου υπάρχει μεν σύμπτωση κέντρου μάζας (CM) και κέντρου ακαμψίας (CS), αλλά οι αντοχές των επιμέρους δομικών στοιχείων δεν είναι ανάλογες της ακαμψίας τους. Ως παράδειγμα, ας εξετασθεί η περίπτωση το μονώροφου κτιρίου του Σχήματος 1, που υπόκειται στη σεισμική διέγερση του Kern County (1952-Taft, S69E) κατά τον άξονα y (Georgoussis, 2013a). Όταν τα δομικά στοιχεία El1, El2 και El3 έχουν αντοχές ανάλογες των ακαμψιών τους (δηλαδή 0.5, 0.25 και 0.25 αντίστοιχα της συνολικής φέρουσας ικανότητας του φορέα, V d ) και ελαστο-πλαστική συμπεριφορά, τότε η απόκριση του κτιρίου είναι καθαρά μεταφορική ως αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διαρροής όλων δομικών στοιχείων [4]
(a) Ground acceleration along the y-direction y b/2 El1 El2 0.5K 0.25K El3 0.25K CM=CR x 0.3b 0.1b b 0.4b Σχήμα 1 Ασύμμετρο μονώροφο κτίριο με σύμπτωση κέντρων μάζας και ακαμψίας 0.6 0.4 0.2 V, El1 θ(e-03)rad El2 El3 (a) El1.. yield t 3.71s El2.. yield t 3.70s 0-0.2-0.4 El3.. yield -0.6 t 3.15s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 (s) 0.6 (b) El1.. yield 0.4 V, t 3.71s El1 θ(e-03)rad El2.. yield 0.2 El2 t 3.71s El3 0-0.2-0.4 El3.. yield -0.6 t 2.85s 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 (s) Σχήμα 2 Σεισμική απόκριση ασύμμετρου μονώροφου κτιρίου, με σύμπτωση κέντρων μάζας και ακαμψίας, αλλά με αντοχές δομικών στοιχείων μη αναλογικές της ακαμψίας τους [5]
Όταν όμως υπάρχει μια μικρή απόκλιση στις αντοχές των El1 και El3 (έστω ότι οι αντοχές των El1, El2 και El3 είναι ίσες με το 0.52, 0.25 και 0.23 της V d που θεωρείται ίση με το 25% του βάρους του κτιρίου), τότε η απόκριση του φορέα, μετά τη διαρροή του El3 (τη χρονική στιγμή t=3.15s από την έναρξη της διέγερσης) αποκτά και μία στρεπτική μορφή όπως φαίνεται στο Σχήμα 2(α), και η μέγιστη στροφή που τελικά παρατηρείται στον φορέα είναι ίση με 0.00094rad (αρκετά αργότερα, τη χρονική στιγμή t=7.94s). Εντονότερη είναι η στρεπτική καταπόνηση όταν υπάρχει μεγαλύτερη χρονική διαφορά φάσεως στις διαρροές των ακραίων στοιχείων El1 και El3. Έστω ότι υπάρχει μεγαλύτερη διαφορά στις αντοχές αυτών των στοιχείων, π.χ. 0.55 και 0.2 αντίστοιχα της V d. Η διαρροή του El3 επέρχεται ενωρίτερα όπως φαίνεται στο Σχήμα 2(β) (τη χρονική στιγμή t=2.85s από την έναρξη της διέγερσης) και αυξάνεται η χρονική περίοδος που μεσολαβεί μέχρι τη διαρροή των άλλων στοιχείων, με αποτέλεσμα η τελική μέγιστη στροφή του φορέα να είναι σημαντικά μεγαλύτερη: 0.00215rad. Ανάλογες είναι και οι διαπιστώσεις των Myslimaj and Tso (2002; 2004). Ο φορέας του ανωτέρω παραδείγματος απλά δείχνει πόσο περίπλοκο είναι το πρόβλημα της ασυμμετρίας στις δομικές κατασκευές που υπόκεινται σε ισχυρούς σεισμούς. Γι αυτό το λόγο, τα τελευταία χρόνια, η ερευνητική προσπάθεια κατανόησης της επίδρασης των ασύμμετρων παραγόντων που επηρεάζουν την σεισμική συμπεριφορά ενός δομικού έργου έχει ενταθεί και περιλαμβάνει, με τη βοήθεια της ραγδαίας εξέλιξης των ηλεκτρονικών υπολογιστών, μελέτες τόσο στο ελαστικό όσο και στο ανελαστικό στάδιο. Οι πραγματικές κατασκευές είναι σχεδόν πάντοτε μη συμμετρικές καθώς η τέλεια συμμετρικότητα είναι μια ιδεατή κατάσταση. Οι ασυμμετρίες των κατασκευών είναι πολλών διαφορετικών τύπων και είναι δύσκολο να οριστούν. Ειδικά για τα κτίρια και για πρακτικούς σκοπούς, οι αντισεισμικοί κανονισμοί ξεχωρίζουν δυο ειδών ασυμμετρίες: την ασυμμετρία καθ ύψος και την ασυμμετρία στην κάτοψη. Υπάρχει φυσικά και η περίπτωση η ασυμμετρία ενός κτιρίου να είναι μίξη και των δυο τύπων. Στην επιστημονική βιβλιογραφία γίνεται αναφορά στους δυο αυτούς τύπους [6]
ασυμμετρίας και επομένως η παρούσα βιβλιογραφική μελέτη θα ακολουθήσει αυτήν την διάκριση. Ξεκινώντας με την ασυμμετρία κάτοψης, οι αποτιμήσεις της σεισμικής απόκρισης κτιριακών κατασκευών, καταδεικνύουν ότι αυτού του τύπου η ασυμμετρία, η οποία οφείλεται σε ασύμμετρη κατανομή των στοιχείων ακαμψίας ή μάζας του κτιρίου είναι μια από τις πιο συχνές αιτίες σημαντικών ζημιών, αφού έχει ως αποτέλεσμα τις περιστροφές των πλακών σε συνδυασμό με τις οριζόντιες μετακινήσεις. Η έρευνα πάνω στο φαινόμενο της σεισμικής απόκρισης ασύμμετρων κατασκευών έχει αρχίσει από πολύ παλιά με σκοπό τη βελτίωση των διατάξεων των κανονισμών που αντιμετωπίζουν την στροφική συμπεριφορά των κτιρίων. Μια από τις πρώτες μελέτες είναι αυτή των Housner & Outinet (1958), η οποία έδειξε ότι η στατική μέθοδος αντιμετώπισης του προβλήματος (το σημείο εφαρμογής της εξωτερικής δύναμης να είναι το CM) υποβαθμίζει τις δυνάμεις που αναπτύσσονται στα φέροντα στοιχεία του κτιρίου, ειδικά σε αυτά που βρίσκονται στην περίμετρο του. Επίσης, η μελέτη αυτή έδειξε ότι η δυναμική μεγέθυνση των αναπτυσσομένων ελαστικών δυνάμεων εξαρτάται, όχι μόνο από τη στατική εκκεντρότητα (απόσταση CM από CS), αλλά και από τον λόγο της στροφικής προς τη μεταφορική συχνότητα. Για να αντιμετωπίσουν το πρόβλημα σε πρακτικό επίπεδο, οι Bustamante & Rosenbluth (1960) εισήγαγαν την έννοια της διπλής δυναμικής μεγέθυνσης της στατικής εκκεντρότητας, η οποία ορίστηκε ως εκκεντρότητα σχεδιασμού (e d : design eccentricity). Δυναμικές επιλύσεις ελαστικών μονώροφων συστημάτων (π.χ. Tso & Dempsey, 1980; Dempsey & Tso, 1982, Anastassiadis et al 1998) έδειξαν, κυρίως μέσω της ιδιομορφικής μεθόδου (modal analysis), ότι ο υπολογισμός των στοιχείων που ευρίσκονται στην εύκαμπτη πλευρά του κτιρίου πρέπει να στηρίζεται σε μεγεθυμένη στατική εκκεντρότητα, ενώ για τα στοιχεία που ευρίσκονται στην άκαμπτη πλευρά του κτιρίου, η στατική εκκεντρότητα πρέπει να μειώνεται (Zhu and Tso, 1992). Για τα πολυώροφα κτίρια, τα παραπάνω ισχύουν όταν τα κτίρια μπορούν να χαρακτηρισθούν ως αναλογικά κτίρια (proportionate buildings), όταν δηλαδή τα επιμέρους επίπεδα δομικά στοιχεία έχουν ανάλογα μητρώα ακαμψίας (π.χ. Reinhorn et al, 1977; Riddle and Vasquez, 1984). Τα κτίρια αυτά έχουν ελαστικό άξονα που έχει ιδιότητες ανάλογες με αυτές [7]
του ελαστικού κέντρου CS των μονώροφων κτιρίων (μία φόρτιση που διέρχεται από το άξονα αυτόν προκαλεί μόνο μετατόπιση του κτιρίου, ενώ μια στρεπτική καταπόνηση προκαλεί μόνο στροφή γύρω από αυτόν τον άξονα), αλλά προφανώς η μεγάλη πλειονότητα των πολυώροφων κατασκευών δεν ανήκει στην κατηγορία των αναλογικών κτιρίων. Πρέπει να τονισθεί ότι σημερινοί αντισεισμικοί κανονισμοί ευνοούν τη δημιουργία μικτών φορέων (συνδυασμό δηλαδή πλαισίων, τοιχίων, συζευγμένων τοιχωμάτων κλπ) όπου δεν υπάρχει απολύτως καμία αναλογικότητα μεταξύ των αντιστοίχων μητρών ακαμψίας. Για να ορισθεί επομένως η στατική εκκεντρότητα ως η απόσταση του κέντρου μάζας από το κέντρο ακαμψίας (CS), θα πρέπει πρώτα να υπάρξει ένας ορισμός του τελευταίου. Στο παρελθόν, το θέμα αυτό έχει αποτελέσει το αντικείμενο πολλών μελετών (Smith and Vezina 1985; Poole 1977; Humar 1984), χωρίς όμως να υπάρξει ένας γενικής αποδοχής ορισμός της έννοιας του κέντρου ακαμψίας σε πολυώροφα κτίρια (διεξοδική είναι η περιγραφή του προβλήματος από τον Tso, 1990). Βεβαίως μπορεί να καθοριστούν σημεία στους ορόφους τέτοια ώστε μια οριζόντια φόρτιση, που διέρχεται από τα σημεία αυτά (rigidity centers, CRs), να προκαλεί μόνο μετατόπιση του φορέα, αλλά τα σημεία αυτά εξαρτώνται από την ίδια τη φόρτιση και σε καμία περίπτωση δεν αποτελούν τα κέντρα στροφής σε περίπτωση στρεπτικής καταπόνησης του φορέα (Cheung and Tso 1986). Είναι δε, τέτοια η διασπορά τους από τον κατακόρυφο άξονα (και μάλιστα εναλλασσόμενη, δεξιά και αριστερά, από την γραμμή του διέρχεται από τα κέντρα μάζας των ορόφων) που καθιστούν αδύνατη την εφαρμογή της διπλής εκκεντρότητας σχεδιασμού, e d. Χαρακτηριστική είναι η εργασία των Goel & Chopra (1993), που πρότειναν, για να ξεπεράσουν το πρόβλημα καθορισμού των κέντρων ακαμψίας, τρείς έμμεσες φορτίσεις, οι οποίες όμως αποτελούν μια θεωρητική προσέγγιση και είναι πρακτικά δύσκολο να εφαρμοσθούν σε πραγματικές μελέτες. Στον ελληνικό κανονισμό (ΕΑΚ) το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται μέσω του πλασματικού ελαστικού άξονα, όπως αναφέρεται διεξοδικά στο παρακάτω κεφάλαιο, ενώ εις ότι αφορά τις διατμητικές παραμορφώσεις σε χαμηλά τοιχώματα (που δεν μπορεί να αμεληθούν και καθορίζουν την ακαμψία τους) σημαντική είναι η εργασία των Tena- Colunga & Perez-Osornio (2005). [8]
Στη συνέχεια της παρούσας επισκόπησης περιγράφονται συνοπτικά οι διατάξεις των κανονισμών που ισχύουν στη χώρα μας (ΕΑΚ-2000, EC8-2004) και η πρόοδος που έχει επιτευχθεί τα τελευταία χρόνια επάνω στο θέμα της ασυμμετρίας, μονώροφων και πολυωρόφων, ελαστικών και ανελαστικών, κατασκευών. Καθώς το πλήθος των σχετικών μελετών, από τη δεκαετία του 70, είναι εξαιρετικά μεγάλο, στοιχεία από δημοσιευμένες έρευνες (παλαιότερες μελέτες, προ του 2002) μπορούν να ευρεθούν σε εκθέσεις (State of the Art Reports) του EAEE Task Group (TG) 8: Behavior of Irregular and Complex Structures (Rutenberg 1998, 2002) και επίσης στην παλαιότερη μελέτη των Chandler et al (1996). [9]
3. Διατάξεις του Ελληνικού Αντισεισμικού Κανονισμού (ΕΑΚ) Κατά τον Ελληνικό Αντισεισμικό Κανονισμό (ΕΑΚ-2000) οι μέθοδοι υπολογισμού της σεισμικής απόκρισης μιας κατασκευής είναι δύο: Α. Η δυναμική φασματική μέθοδος Β. Η απλοποιημένη φασματική μέθοδος (ισοδύναμη στατική μέθοδος) Η δυναμική φασματική μέθοδος περιλαμβάνει πλήρη ιδιομορφική ανάλυση (modal analysis), υπολογισμό της μέγιστης σεισμικής απόκρισης για κάθε ιδιομορφή και τέλος, εκτίμηση της πιθανούς μέγιστης απόκρισης μέσω ενός συνδυαστικού κανόνα (SRSS ή CQC). Η μέθοδος απαιτεί αυξημένη υπολογιστική εργασία, πού παραπέμπει σε ακαδημαϊκή μελέτη και το σπουδαιότερο: δεν έχει επιστημονικό υπόβαθρο σε φορείς που είναι βέβαιο ότι θα ξεπεράσουν τα όρια ελαστικότητας ακόμα και στην περίπτωση ενός μέτριου σεισμού. Η εφαρμογή της μεθόδου σε μικρού ή μέτριου μεγέθους κατασκευές ξεφεύγει από τα όρια της επαγγελματικής πράξης και δεν παρέχει εποπτεία στο στάδιο μόρφωσης του φορέα (προμελέτη) που αποτελεί και το σημαντικότερο στάδιο μιας μελέτης. Η απλοποιημένη φασματική μέθοδος προκύπτει από την προηγούμενη με θεώρηση όμως μόνο της θεμελιώδους ιδιομορφής. Συνεπώς επιτρέπει τον άμεσο υπολογισμό της σεισμικής απόκρισης μέσω μιας ψευδό-στατικής ανάλυσης, όπου οι επιβαλλόμενες ισοδύναμες σεισμικές δυνάμεις εκτιμώνται από ένα φάσμα σχεδιασμού. Η μέθοδος, επειδή στηρίζεται σε μια απλή στατική επίλυση, παρέχει εποπτεία, αλλά έχει ακρίβεια σε μικρού ύψους κτίρια, όπου η πρώτη ιδιομορφή έχει δεσπόζοντα ρόλο. Κατά τον κανονισμό, η μέθοδος εφαρμόζεται σε κτίρια μέχρι 5 ορόφους και σε κανονικά κτίρια μέχρι 10 ορόφους. Η κανονικότητα ορίζεται ως εξής: - Τα πατώματα λειτουργούν ως διαφράγματα, με λόγο πλευρών μικρότερο του 4 και κενά που δεν υπερβαίνουν το 35% της κάτοψης του ορόφου. - Η αύξηση ή μείωση ΔΚ i =K i+1 -K i της σχετικής δυσκαμψίας K i ενός ορόφου σε κάθε οριζόντια διεύθυνση δεν υπερβαίνει τις τιμές 0.35 K i και 0.50 K i αντίστοιχα. Ως δυσκαμψίες ορίζονται οι καμπτικές δυσκαμψίες των κατακόρυφων στοιχείων του ορόφου. [10]
- Η αύξηση ή μείωση Δm i =m i+1 -m i της μάζας m i ενός ορόφου (εξαιρουμένου του ανώτατου) δεν υπερβαίνει τις τιμές 0.35 m i και 0.50 m i αντίστοιχα. Ιδιαίτερη αναφορά γίνεται στις δυναμικές εκκεντρότητες που θα πρέπει να ληφθούν υπόψη κατά την εφαρμογή της απλοποιημένης φασματικής μεθόδου. Οι εκκεντρότητες αυτές, μετρούμενες από το πραγματικό ή πλασματικό ελαστικό άξονα του κτιρίου, και σε κάθε μια από τις κύριες διευθύνσεις του, ορίζονται ως εξής: e d1 =αe s +βb e d2 =γe s - βb (1β) όπου: e s είναι στατική εκκεντρότητα του φορέα (απόσταση κέντρου μάζας από τον πραγματικό ή πλασματικό ελαστικό άξονα), α, γ: οι συντελεστές δυναμικής μεγέθυνσης και: (1α) b είναι η τυχηματική εκκεντρότητα, που στηρίζεται στις πρακτικές αποκλίσεις που υφίστανται ανάμεσα στην πραγματική και την υπολογιστική τιμή (ή και κατανομή) μαζών, ακαμψιών, αντοχών, κλπ και δίνεται ως ποσοστό (β=0.05) της κάθετης, προς τη διεύθυνση του σεισμού, διάστασης του κτιρίου, b. Συνήθη πολυώροφα με τοιχώματα και πλαίσια δεν διαθέτουν ελαστικό άξονα (κατά την έννοια του ελαστικού κέντρου μονώροφων κτιρίων), αλλά κατά τον κανονισμό δύναται να ορισθεί ένας κατακόρυφος άξονας βέλτιστης στρέψης (πλασματικός ελαστικός άξονας: ΠΕΑ) που χαρακτηρίζεται από την εξής ιδιότητα: ένα σύνολο συνεπίπεδων οριζοντίων δυνάμεων που διέρχεται από τον άξονα αυτόν, προκαλεί την ελάχιστη στρεπτική παραμόρφωση του φορέα. Ο ορισμός του άξονα αυτού στηρίζεται σε εργασίες των Μακάριου και Αναστασιάδη (αρχικά στις εργασίες τους Makarios and Anastassiadis (1998a,b) και στη συνέχεια στις Makarios (2005, 2008) και Makarios et al (2006)). Πρακτικά, η θέση του άξονα μπορεί να προσδιοριστεί από μια ελαστική επίλυση όταν ο φορέας υπόκειται σε στρεπτική φόρτιση (δηλαδή σε επιβαλλόμενες στρεπτικές ροπές σε κάθε όροφο) που έχει την μορφή της ψευδο-στατικής φόρτισης (π.χ. της μορφής του ανεστραμμένου τριγώνου) που επιβάλει η ισοδύναμη στατική μέθοδος. Η μέθοδος στηρίζεται στο θεώρημα αμοιβαιότητας του Betti, και το σημείο μηδενικής μετατόπισης στον όροφο που αντιστοιχεί στο 80% (περίπου) του ύψους του κτιρίου καθορίζει τη θέση του πλασματικού ελαστικού άξονα. Ένας εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού του ΠΕΑ [11]
μπορεί επίσης να προκύψει και με την αναλυτική μέθοδο που προτείνουν οι Marino and Rossi (2004) ή ακόμα και μέσω του ιδιομορφικού κέντρου (modal center of rigidity, m-cr) που προτείνει ο Γεωργούσης (αρχικά με τη μέθοδο του συνεχούς μέσου (Georgoussis, 2008) και στη συνέχεια σε ομοιόμορφα διακριτά συστήματα (Georgoussis, 2009, 2012), αλλά και σε συστήματα με εσοχές (Georgoussis, 2011a,b)) και που στην ουσία αποτελεί το κέντρο ακαμψίας ενός ισοδύναμου μονώροφου ιδιομορφικού (modal) συστήματος που αντιπροσωπεύει το πραγματικό πολυώροφο ασύμμετρο κτίριο. Όπως δηλαδή η δυναμική απόκριση ενός πολυώροφου επίπεδου φορέα, που αντιστοιχεί σε κάποια ιδιομορφή του (έστω στην πρώτη που αποτελεί και τη δεσπόζουσα συμπεριφορά σε χαμηλά ή μέτριου ύψους κτίρια) μπορεί να αποδοθεί από έναν μονοβάθμιο ταλαντωτή, με τον ίδιο ακριβώς τρόπο και οι τρείς πρώτες ιδιομορφές ενός πολυώροφου ασύμμετρου κτιρίου μπορούν να αποδοθούν από ένα ασύμμετρο μονώροφο ιδιομορφικό (modal) σύστημα (Georgoussis, 2012). Όταν τα κέντρο ακαμψίας του συστήματος αυτού (m-cr) συμπέσει με το κέντρο μάζας του (στην πραγματικότητα δηλαδή ο άξονας που διέρχεται από τα CΜ των ορόφων του πραγματικού κτιριακού φορέα διέλθει και από το m-cr) δεν υπάρχει καμία σύζευξη μεταξύ των πρώτων ιδιομορφών σε μεταφορά και στροφή, με συνέπεια η συμπεριφορά του πραγματικού κτιρίου να είναι κατ ουσία μόνο μεταφορική όταν και η εδαφική διέγερση είναι μεταφορική. Αξίζει να σημειωθεί ότι συμπεριφορά αυτή συνεπάγεται και μία σχεδόν ταυτόχρονη διαρροή στα στοιχεία ακαμψίας του φορέα όταν ο σχεδιασμός τους (τα όρια ελαστικότητας των κρίσιμων διατομών τους) στηρίζεται σε μια ελαστική (στατική) επίλυση του αντίστοιχου συμμετρικού φορέα (στην επίλυση δηλαδή ενός επίπεδου συστήματος). Ως αποτέλεσμα, η μεταφορική συμπεριφορά του ασύμμετρου πολυώροφου κτιρίου δεν περιορίζεται μόνο στο ελαστικό στάδιο, αλλά να συνεχίζεται και στο ανελαστικό σε περίπτωση ισχυρού σεισμού, όπου θα ξεπερασθούν τα όρια ελαστικότητας στις κρίσιμες διατομές των στοιχείων ακαμψίας (Georgoussis, 2013α). Στην ειδική περίπτωση κτιρίων χωρίς στρεπτική ευαισθησία, οι συντελεστές α και γ μπορούν να λάβουν τις τιμές 1.5 και 0.5 αντίστοιχα. Κατά τον ΕΑΚ, στρεπτικά ευαίσθητο χαρακτηρίζεται ένα κτίριο όταν η δεσπόζουσα ιδιομορφή του είναι η [12]
στρεπτική ταλάντωση και πρακτικά, κατά τον κανονισμό και κατ αναλογία προς τα μονώροφα συστήματα, μπορεί να ελεγχθεί από το αν η ακτίνα δυσκαμψίας ως προς το κέντρο μάζας κάθε ορόφου είναι μικρότερη από την ακτίνα αδράνειας της μάζας του ορόφου. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, ο κανονισμός παραπέμπει στην εφαρμογή της δυναμικής φασματικής μεθόδου. Παρά το γεγονός ότι οι συντελεστές α και γ έχουν προκύψει από παραμετρικές αναλύσεις ελαστικών συστημάτων, πρέπει να σημειωθεί η ασάφεια που υπάρχει σχετικά με την ακριβή τιμή τους. Οι σημερινοί κανονισμοί προηγμένων χωρών, με σημαντική έρευνα πάνω στο θέμα αυτό αποφεύγουν να δώσουν συγκεκριμένες τιμές και παραπέμπουν στην σχετική βιβλιογραφία (π.χ. ο κανονισμός του Καναδά: National building Code of Canada, NBCC-2010 και ο κανονισμός των ΗΠΑ, IBC- 2012), και με την ίδια λογική κινείται και η τελευταία έκδοση του Ευροκώδικα 8 (ΕC8-2004) που παραπέμπει στα εθνικά παραρτήματα. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι προηγούμενες εκδόσεις των ως άνω κανονισμών πρότειναν συγκεκριμένες τιμές για τους συντελεστές α, γ, αλλά διάφορες μεταξύ τους, γεγονός που καταδεικνύει την ασάφεια που υπάρχει γύρω από το θέμα αυτό. Το ίδιο ισχύει και για την τυχηματική εκκεντρότητα που αναμφίβολα έχει έναν πιθανολογικό χαρακτήρα. Για παράδειγμα, ο προηγούμενος κανονισμός του Καναδά (National Building Code of Canada NBCC, 1995) ορίζει τους ίδιους συντελεστές α και γ με τον ΕΑΚ, αλλά δίνει διπλάσιο μέγεθος στην τυχηματική εκκεντρότητα: β=0.10. Ο κανονισμός των ΗΠΑ (Uniform Building Code UBC, 1994) και της Ν. Ζηλανδίας (New Zealand Standards NZS, 1992) ορίζουν α=γ=1.0 και για τον συντελεστή β, ο μεν NZS δίνει την τιμή β=0.10, ο δε UBC προτείνει μια τιμή ίση με 0.1A x, όπου, η παράμετρος A x λαμβάνει τιμές στο διάστημα 1 έως 3. Χαρακτηριστική είναι η περίπτωση της παλαιότερης έκδοσης του EC8 (1993): εδώ ορίζεται ότι α=γ=1.0, αλλά ο πρώτος όρος του δευτέρου μέλους της εξίσωσης (1α) μεγεθύνεται με την πρόσθετη εκκεντρότητα e o. Δηλαδή, οι ανωτέρω εξισώσεις παίρνουν τη μορφή ed1 es eo 0. 05b (2.a) ed 2 es 0. 05b (2.b) [13]
Όπου η πρόσθετη εκκεντρότητα e o λαμβάνει την μικρότερη τιμή από τις ακόλουθες εκφράσεις e e o 0.1( b c) 10e / b 0.1( b c), (3.a) 1 s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 o r es ( r es ) 4es (3.b) 2es Στους ανωτέρω τύπους, c είναι η παράλληλη προς τη διεύθυνση του σεισμού διάσταση του κτιρίου, r η ακτίνα αδράνειας του ορόφου ως προς το κέντρο μάζας και ρ η ακτίνα δυσκαμψίας (resilience radius) ως προς το κέντρο ακαμψίας του ορόφου. Η ακτίνα δυσκαμψίας δεν ορίζεται ως προς τον πραγματικό ή πλασματικό άξονα του κτιρίου όπως στον ΕΑΚ (στον EC8-1993 δεν υπάρχει η έννοια αυτού του άξονα), αλλά επαφίεται στον μελετητή να ορίσει το κέντρο ακαμψίας του ορόφου. Χαρακτηριστική είναι η εργασία των Moghadam and Tso (2000a) στο θέμα αυτό. Για να προσδιορίσουν το κέντρο ακαμψίας (ανά όροφο) σε παράδειγμα πολυώροφου κτιρίου, προσέφυγαν σε δύο πρόσθετες φορτίσεις, από τις επιλύσεις των οποίων προέκυψε τελικά και η ακτίνα δυσκαμψίας. [14]
4. Διατάξεις του Ευρωκώδικα 8(ΕΝ 1998-1:2004) Κατά τον ΕC8, οι μέθοδοι ελαστικής ανάλυσης που περιγράφει ο ΕΑΚ μπορούν επίσης να εφαρμοσθούν ( the lateral force method of analysis and modal response spectrum analysis ), αλλά, εναλλακτικά, είναι δυνατόν να εφαρμοσθούν, υπό συνθήκες, και οι ακόλουθες δύο μέθοδοι μη γραμμικής ανάλυσης (4.3.3.1): - Μη γραμμική στατική (υπέρ-ώθηση) ανάλυση (non-linear static pushover analysis) - Μη γραμμική εν χρόνω (δυναμική) ανάλυση ((non-linear time history (dynamic) analysis) O ΕC8 είναι σε γενικές γραμμές λιγότερο αυστηρός από τον ΕΑΚ και δεν προτρέπει πάντοτε σε αναλύσεις χωρικών φορέων. Σε κανονικά κτίρια επιτρέπει την ανάλυση επίπεδων συστημάτων και υπό όρους και σε μη κανονικά, εφόσον δεν υπερβαίνουν σε ύψος τα 10μ και κατά τις δύο κύριες διευθύνσεις του κτιρίου η ακτίνα δυσκαμψίας είναι μεγαλύτερη από την τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων της ακτίνας αδράνειας και της εκκεντρότητας του κέντρου μάζας από το κέντρο ακαμψίας του ορόφου. Η κανονικότητα του κτιρίου εδώ ορίζεται με διαφορετικούς όρους, που αναφέρονται τόσο στα γεωμετρικά και στατικά μεγέθη της κάτοψης του κτιρίου όσο και στην καθ ύψος γεωμετρία του φορέα. Σε ότι αφορά την κάτοψη, η ύπαρξη κανονικότητας απαιτεί και την ικανοποίηση των ακόλουθων σχέσεων σε κάθε κύρια διεύθυνση του φορέα (κατωτέρω αναφέρονται για ανάλυση κατά τον άξονα y): e 0. 30 (4.α) ox r x rx l s (4.β) Όπου e ox η κατά το άξονα x εκκεντρότητα του CM από το κέντρο ακαμψίας, r x η ακτίνα δυσκαμψίας K / K y (ως προς CS) και l s η ακτίνα αδράνειας ως προς το CM του ορόφου. Σε αντίθεση με τον ΕΑΚ, ο ΕC8 δεν ορίζει το κέντρο ακαμψίας δια μέσου της έννοιας του πλασματικού ελαστικού άξονα. Απλά, στο εδάφιο (9) της παραγράφου 4.2.3.3 αναφέρεται ότι σε συστήματα με πλαίσια και τοιχώματα, οι θέσεις των κέντρων ακαμψίας σε όλους τους ορόφους μπορεί να υπολογιστεί ως το κέντρο των ροπών αδράνειας των διατομών των κατακόρυφων στοιχείων του φορέα. Η διευκρίνιση αυτή μπορεί σε αποβεί πολύ δυσμενής ως προς τον χαρακτηρισμό [15]
ενός κτιρίου ως κανονικό ή μη. Για παράδειγμα, ας εξετασθεί η κανονικότητα του φορέα του παρακάτω σχήματος (Georgoussis et al, 2013b). Η ακαμψία του κατά τον άξονα x στηρίζεται σε δύο τοιχώματα Wx: 30x400cm, συμμετρικά ως προς το CM σε αποστάσεις 3μ. Ομοίως, η ακαμψία του κατά y στηρίζεται στα τοιχώματα Wa και Wb (με εγκάρσιες διαστάσεις 30x500cm και 30x400cm αντίστοιχα) και, επίσης, στο πλαίσιο FR που συνίσταται από δύο υποστυλώματα 80x80cm. Ας υποθέσουμε ότι το Wa ευρίσκεται αριστερά του CM σε απόσταση 4μ και το FR δεξιά του CM σε απόσταση 6μ. Για θέσεις του Wb από το αριστερό άκρο του φορέα (x=-7.5m) έως τη θέση x=3.6m, καμία από τις εξισώσεις (4) δεν ικανοποιείται. Επιπλέον, η δεύτερη των παραπάνω εξισώσεων ικανοποιείται μόνο όταν το Wb παίρνει θέσεις x>5.6m. Όλα αυτά σημαίνουν ότι, ανεξάρτητα από το ύψος του κτιρίου, ο φορέας για τις περισσότερες δυνατές θέσεις του Wb θα πρέπει να θεωρηθεί ως μη κανονικός και επομένως θα πρέπει να επιλυθεί με τη δυναμική φασματική μέθοδο (ή κατά τον ΕC8: modal response spectrum analysis ) (a) Model structure y Wx Wa 10m 6m CM Wx x 4m 15m Wb 6m x FR 1.00 0.75 0.50 0.25 A/g (b) EC8-2004 spectrum Flat Linear Hyperbolic 0.4 0.15 0.3 0.6 0.9 1.2 T(s) 1.5 Σχήμα 3 Ομοιόμορφο καθ ύψος πολυώροφο κτίριο, που για θέσεις, x, του τοιχώματος Wb μεταξύ -7.5μ και 5.6μ, θα χαρακτηρισθεί, κατά τον ΕC8,ως μη κανονικό Η καθ ύψος δομική μορφή του φορέα που επιτρέπει τον χαρακτηρισμό του κανονικού κτιρίου ορίζεται από τις παρακάτω γενικές συνθήκες: Όλα τα φέροντα στοιχεία (τοχώματα, πλαίσια, πυρήνες) διήκουν από τη θεμελίωση έως την κορυφή του κτιρίου (ή της σχετικής εσοχής). Η ακαμψία και η μάζα ορόφων παραμένουν σταθερές ή μεταβάλλονται βαθμιαία, χωρίς απότομες μεταβολές. Σε κάθε περίπτωση, η μεταβολή της ακαμψίας δεν θα [16]
πρέπει είναι δυσανάλογη, από όροφο σε όροφο. Συνιστάται επίσης να λαμβάνονται υπόψη και οι μη-κανονικότητες (irregularities) που εισάγουν οι μη-φέρουσες τοιχοποιίες. Εφ όσον υπάρχουν εσοχές, η καθ ύψος γεωμετρία του φορέα, που καθορίζει την κανονικότητα του, συνοψίζεται από το παρακάτω σχήμα Σχήμα 4 Κριτήρια καθ ύψους κανονικότητας κτιρίων σύμφωνα με τον ΕC8-2004 [17]
5. Ουσιώδη σημεία Τα τελευταία χρόνια, βοηθούσης και της ραγδαίας ανάπτυξης των Η/Υ, παρατηρείται μια μεγάλη αύξηση στον αριθμό των δημοσιεύσεων σε επιστημονικά περιοδικά και συνέδρια, στην περιοχή της στρεπτικής συμπεριφοράς ανελαστικών κτιρίων. Τα σημεία που υπάρχει έλλειψη συμφωνίας μεταξύ των αποτελεσμάτων και των συμπερασμάτων, λόγω διαφορετικών παραδοχών και ορισμών είναι τα εξής: 1. H έννοια της εκκεντρότητας: οι διαφορετικές θέσεις των στοιχείων ακαμψίας μπορεί να προκαλέσουν, ως προς το γεωμετρικό κέντρο της κάτοψης, εκκεντρότητα του κέντρου ακαμψίας (CR), όπως φαίνεται στο Σχήμα 5 (περιπτώσεις b,c), αλλά μπορεί να υπάρξει και εκκεντρότητα του κέντρου μάζας (CM), όπως φαίνεται στο Σχήμα 6 (περιπτώσεις b,f). Στο ελαστικό στάδιο δεν υφίσταται η διάκριση αυτή, αλλά αυτό δεν ισχύει στους ανελαστικούς φορείς. Πιο αναλυτικά, τα απλά μοντέλα που κατά κανόνα τα οποία χρησιμοποιούνται, μπορούν να ταξινομηθούν ως εξής: (i) Μοντέλα με εκκεντρότητα του CR από το γεωμετρικό κέντρο της κάτοψης (Σχήμα 5b,c),. Η θέση των στοιχείων ακαμψίας είναι συμμετρική ως προς το γεωμετρικό κέντρο της κάτοψης που συμπίπτει με το CM, αλλά η διαφορετική ακαμψία τους μετατοπίζει το CR. Συνήθως χρησιμοποιούνται 3 στοιχεία ακαμψίας κατά τη διεύθυνση του σεισμού: τα δύο στα άκρα της πλάκας και το μεσαίο συνήθως στο CM (CM model) ή στο CR (CR model) (ii) Μοντέλο με εκκεντρότητα μάζας. Η κατανομή των ακαμψιών είναι συμμετρική ως προς το γεωμετρικό κέντρο της κάτοψης και η εκκεντρότητα οφείλεται στην μετατόπιση του CM από το παραπάνω κέντρο (Σχήμα 6b,f) κατά την εκκεντρότητα e s. Σύμφωνα με τη διάταξη αυτή, το στοιχείο ακαμψίας στην εύκαμπτη πλευρά της πλάκας δεν μπορεί να βρίσκεται στο άκρο της, αν αυτή είναι ορθογώνια σε κάτοψη και η μάζα είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη. (iii) Πιο πολύπλοκα κτιριακά μοντέλα, που κατά καιρούς έχουν χρησιμοποιηθεί φαίνονται επίσης στο ίδιο σχήμα. Η επιλογή των μοντέλων, ειδικά για μη γραμμικές αναλύσεις, είναι ο βασικός λόγος της μεγάλης διασποράς των αποτελεσμάτων. Συνήθως χρησιμοποιούνται τρία στοιχεία ακαμψίας κατά τη διεύθυνση της σεισμικής διέγερσης και δύο ή τρία στην εγκάρσια διεύθυνση. Στο Σχήματα 5 και 6 φαίνονται οι [18]
θέσεις των στοιχείων ακαμψίας. Γενικά, τα μοντέλα αυτά δεν είναι μπορούν να θεωρηθούν αντιπροσωπευτικά όταν δεν έχουν τις ίδιες μη γραμμικές ιδιότητες, και επομένως τα αντίστοιχα ευρήματα προσιδιάζουν μόνο σε αυτά (model specific). Οι βασικές διαφορές μεταξύ όμοιων μοντέλων στα οποία οι αντοχές των μελών υπολογίζονται με διαφορετικό τρόπο (βάσει διάφορων κανονιστικών οδηγιών) δεν επιτρέπει τη γενίκευση των αποτελεσμάτων σε ανελαστικά συστήματα. Σχήμα 5 Ασύμμετρα συστήματα (TU), με εκκεντρότητα ακαμψίας (b,c), που συνήθως που συνήθως χρησιμοποιούνται σε μελέτες σεισμικής απόκρισης ανελαστικών συστημάτων, και το ισόρροπο (balanced) μοντέλο (ΤΒ), με τα αποτελέσματα του οποίου, συγκρίνονται τα μεγέθη των TU (Correnza et al, 1994). [19]
2. Η χρήση της τυχηματικής (ενδεχόμενης) εκκεντρότητας στο καθορισμό της αντοχής των μελών. Η θεώρηση της τυχηματικής εκκεντρότητα (e α ) στις κανονιστικές διατάξεις για τον καθορισμό των αντοχών των μελών του φορέα που αναλαμβάνουν σεισμικά φορτία, είναι ένα δύσκολο θέμα. Το πρόβλημα έγκειται στο γεγονός ότι η τυχηματική εκκεντρότητα αποσκοπεί στο να συμπεριλάβει αστάθμητους παράγοντες: κυρίως στροφικές σεισμικές κινήσεις, κατασκευαστικές ατέλειες, κλπ.. Αντίθετα, η στατική εκκεντρότητα είναι παράμετρος η οποία καθορίζεται ρητά στην ανάλυση, χωρίς να σχετίζεται με άλλους τύπους αστάθμητων εκκεντροτήτων. Επομένως, αφού η επίδραση της e α στην αντοχή περιλαμβάνει ιδιότητες που δεν μπορούν να συμπεριληφθούν στην ανάλυση, ορισμένοι μελετητές δεν λαμβάνουν υπόψη την επίδραση της e α στον υπολογισμό της αντοχής των δομικών στοιχείων Chandler et al (1991). Το επιχείρημα εναντίον αυτής της προσέγγισης είναι, ότι το μοντέλο που μελετάται (κατά τη διάρκεια μιας έρευνας) δεν είναι αυτό που στην πράξη σχεδιάζεται. Ακόμα υπάρχουν πρακτικά προβλήματα όταν εφαρμόζονται οι διατάξεις των κανονισμών, όπως για παράδειγμα ο UBC/SEAOC (Correnza et al, 1995). Εδώ επιχειρείται να ελεγχθεί η παραμόρφωση στο εύκαμπτο μέρος του κτιρίου μέσω της αύξησης της τυχηματικής εκκεντρότητας. Επομένως δεν είναι δυνατόν να αμεληθεί εντελώς η e α. [20]
Σχήμα 6 Απλά μονοβάθμια συστήματα, με και χωρίς εγκάρσια στοιχεία ακαμψίας, που έχουν χρησιμοποιηθεί σε μελέτες σεισμικής απόκρισης ανελαστικών συστημάτων (Goel and Chopra, 1990) 3. Το δομικό σύστημα αναφοράς: Η επιλογή του συστήματος αναφοράς εξαρτάται από τη κύρια παράμετρο που θέλουμε να αντιστοιχήσουμε μεταξύ ενός μονοβάθμιου και ενός πολυβάθμιου κτιριακού φορέα. Μια καλή προσέγγιση είναι να θεωρήσουμε το σύστημα αναφοράς ως ένα παράγοντα αντιστοίχησης των αποτελεσμάτων. Ένα τέτοιο σύστημα αναφοράς είναι συνήθως ένας μονοβάθμιος ταλαντωτής ο οποίος έχει την ίδια περίοδο και συνολική αντοχή ίση με την τέμνουσα βάσης του πολυβάθμιου φορέα. Εναλλακτικά σε ασύμμετρους φορείς, το σύστημα αναφοράς μπορεί είναι συμμετρικό (για συστήματα με εκκεντρότητα μάζας) ή στρεπτικά ισορροπο, ΤΒ (για συστήματα με εκκεντρότητα CR), όπως φαίνεται στο Σχήμα 5α. Δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ των συμμετρικών και των ΤΒ, με την προϋπόθεση ότι η επίδραση της τυχηματικής εκκεντρότητας e α δεν λαμβάνεται υπόψη. Όταν η e α λαμβάνεται [21]
υπόψη, το σύστημα αναφοράς ΤΒ καθίσταται μη ισόρροπο (TU) στην μετελαστική περιοχή. Είναι διαδεδομένη η άποψη ότι ο σχεδιασμός συστημάτων που συμπεριφέρονται ως ΤΒ στην ελαστική περιοχή (service load), αλλά μεταπίπτουν σε TU σε ένα ισχυρό σεισμό (ultimate load), δεν αποτελεί σωστή προσέγγιση (Tso, 1993). 4. Υπερ-αντοχή (OS): Η υπερ-αντοχή εμφανίζεται όταν η συνολική αντοχή ενός στρεπτικά μη ισορροπου κτιρίου TU, σχεδιασμένου με κάποιον κανονισμό, είναι μεγαλύτερη από την αντοχή ενός αντίστοιχου στρεπτικά ισόρροπου κτιρίου (ΤΒ). Ο λόγος των δύο αντοχών ορίζεται ως Os (>1.0), και προκύπτει επειδή θέτουμε διαφορετικές τιμές στην εκκεντρότητα των εύκαμπτων και δύσκαμπτων πλευρών του κτιρίου. Έτσι, ο λόγος O S είναι χαρακτηριστικό κατασκευών σχεδιασμένων σύμφωνα με κάποιον κανονισμό. Μερικοί ερευνητές (Rutenberg, 1992) χρησιμοποιούν την κανονικοποιημένη αντοχή, δηλαδή τη συνολική αντοχή του TU συστήματος διαιρεμένη με την αντοχή του ΤΒ συστήματος αναφοράς, έτσι ώστε να διαχωρίζεται η επίδραση της αυξημένης συνολικής αντοχής στην συμπεριφορά του φορέα. Κατά μία άποψη, η χρήση της κανονικοποιημένης αντοχής είναι πιο δόκιμη για την βελτιστοποίηση της κατανομής της αντοχής στα μέλη του φορέα, ενώ η χρήση της μη κανονικοποιημένης αντοχής είναι κατάλληλη για την σύγκριση της απόκρισης μη συμμετρικών κατασκευών με τα συστήματα αναφοράς τους. 5. Εγκάρσια στοιχεία ακαμψίας: Στο σχήμα 5c φαίνεται μια διάταξη του Σχήματος 5b στην οποία έχουν προστεθεί και στοιχεία ακαμψίας κατά στην εγκάρσια x διεύθυνση. Συστήματα που χρησιμοποιούν εγκάρσια στοιχεία αλλά όχι και εγκάρσιες σεισμικές κινήσεις, έχουν μελετηθεί από τους Goel and Chopra (1994), αλλά έχουν αμφισβητηθεί, ως προς τη χρησιμότητα τους (αφού σε επίπεδο έρευνας προσδίδουν πάντοτε ευμενέστερα αποτελέσματα) από τους Correnza J.C. et al (1994). Οι De la Llera and Chopra (1994), προτείνουν τα εγκάρσια στοιχεία να μην λαμβάνονται υπ όψιν όταν δεν λαμβάνεται υπ όψιν η σεισμική κίνηση στην x διεύθυνση. Παρότι η ύπαρξη εγκάρσιων στοιχείων έχει βρεθεί σε μερικές περιπτώσεις να μην είναι σημαντική (De Stefano et all, 1993), με την προϋπόθεση ότι οι γραμμικές [22]
ιδιότητες του συστήματος παραμένουν σταθερές, η ύπαρξη ή μη όμως τέτοιων στοιχείων επηρεάζουν την στρεπτική αντοχή του συστήματος και αυτό αποτελεί μια παράμετρο που δεν έχει μελετηθεί από τους περισσότερους ερευνητές. Οι Correnza et al (1994) προτείνουν ότι σε συστήματα με εγκάρσια στοιχεία ακαμψίας και μικρές ή μέτριες περιόδους, είναι βασικό να ληφθεί υπόψη η εγκάρσια σεισμική διέγερση, όταν συγκρίνεται η απόκριση αυτών των συστημάτων με τα αντίστοιχα τους που περιλαμβάνουν στοιχεία ακαμψίας κατά μια μόνο διεύθυνση, κατά την οποία εισάγεται η διεύθυνση του σεισμού. Αν και υπάρχουν αμφιβολίες για το κατά πόσον η διαξονική διέγερση είναι απαραίτητη (Tso et al, 1993), είναι ευρέως αποδεκτή η άποψη ότι οι στατικές επιλύσεις με στοιχεία και σεισμική κίνηση στη μία διεύθυνση, παρέχουν ασφαλή αποτελέσματα, δεδομένου μάλιστα ότι αυτό συμφωνεί με τις διατάξεις και το πνεύμα αντισεισμικών κανονισμών, όπως ο EC8, ο οποίος για κανονικά ασύμμετρα κτίρια επιτρέπει την χρήση επίπεδων προσομοιωμάτων για τον αντισεισμικό σχεδιασμό στις δύο κύριες διευθύνσεις. 6. Στρεπτική αντοχή και ακτίνα αντοχής : Για να γίνει η σύγκριση διαφορετικών συστημάτων επιβάλλεται να οριστούν οι μη γραμμικές ιδιότητες των προς σύγκριση συστημάτων. Έχει προταθεί από διαφόρους ερευνητές (πχ. De Stefano et al, 1993) ότι για να θεωρηθούν δύο συστήματα όμοιας συμπεριφοράς θα πρέπει να ελέγχονται: ως προς τη στρεπτική αντοχή (την ροπή στρέψης όταν όλα τα στοιχεία ακαμψίας διαρρέουν υπό στροφική παραμόρφωση και η συνολική τέμνουσα είναι μηδέν), την τέμνουσα διαρροής και η θέση του κέντρου αντοχής, CP (τη θέση δηλαδή της συνολικής τέμνουσας όταν όλα τα στοιχεία ακαμψίας έχουν διαρρεύσει κατά την ίδια διεύθυνση). Εναλλακτικά μπορεί να χρησιμοποιηθεί η ακτίνα αντοχής. Η στρεπτική αντοχή είναι προφανής παράμετρος για συστήματα με μη συμμετρική κατανομή ακαμψίας, αλλά απαιτείται προσοχή για το μέλος που βρίσκεται κοντά στο σημείο στροφής και προφανώς δεν έχει διαρρεύσει.. Αντίθετα, η ακτίνα αντοχής, επειδή υπολογίζεται σε σχέση με το CP, δεν είναι τόσο ευαίσθητη στην λεπτομερή θέση των στοιχείων ακαμψίας. Σε ένα μονώροφο μοντέλο, οι αντοχές σε στρέψη D R (ως προς το κέντρο ακαμψίας C S ) και η τέμνουσα διαρροής F X (που διέρχεται από το [23]
κέντρο αντοχής C R ) φαίνονται στο Σχήμα 7 (De Stefano et al, 1993) μαζί με τις εκκεντρότητες των δύο σημείων από το CM. Σχήμα 7 Μοντελοποίηση ενός μονώροφου κτιριακού φορέα με απλή ασυμμετρία (De Stefano et al, 1993) 7. Ο μη συζευγμένος λόγος της μεταφορικής προς την στροφική ιδιοσυχνότητα (Ω): O ορισμός αυτής της παραμέτρου εξαρτάται από το αν η μη συζευγμένη στροφική ιδιοσυχνότητα ορίζεται γύρω από το CR (Ω R ), ή το CM (Ω Μ ). Μία εναλλακτική μέθοδος ορισμού έχει που προταθεί από τους Chandler and Duan (1991) είναι το Ω 0. Το πρόβλημα προκύπτει επειδή η μη συζευγμένη στροφική ιδιοσυχνότητα υπολογίζεται ως προς το CR ενώ το η ακτίνα αδράνειας (mass radius of gyration, r) υπολογίζεται ως προς το CM. Προφανώς οι διαφορές ανάμεσα στις τρείς μεθόδους [24]
αυξάνονται με την εκκεντρότητα και άρα δύο μοντέλα i και j στα οποία ισχύει Ω mi =Ω rj αντιπροσωπεύουν διαφορετικά συστήματα. Το πλεονέκτημα παραμετρικών μελετών με τη χρήση του Ω 0 είναι προφανής: για δεδομένο Ω 0 είναι δυνατό να μεταβάλλουμε την εκκεντρότητα χωρίς να μεταβάλουμε τις φυσικές παραμέτρους του συστήματος, π.χ. την κατανομή μάζας με το στατικό σύστημα να μένει ανεπηρέαστο. Μόνο το κέντρο μάζας αλλάζει θέση. 8. Λόγος απόσβεσης: συνήθως λαμβάνεται ίσος με δύο έως πέντε τοις εκατό της κρίσιμης σε κάθε μια από τις δύο συζευγμένες ιδιομορφές. Αυτές οι διαφορές δεν φαίνεται να επηρεάζουν σημαντικά τα αποτελέσματα των μελετών της μη γραμμικής απόκρισης των κτιρίων. Το θέμα της απόσβεσης είναι αντικείμενο πάντως πολλών πειραματικών ερευνών. 9. Παραμένουσα ακαμψία μετά τη διαρροή: Σπανίως η μετ-ελαστική συμπεριφορά των δομικών στοιχείων θεωρείται καθαρά πλαστική. Συνήθως η απόκριση θεωρείται δι-γραμμική με την ακαμψία του ανελαστικού κλάδου να είναι περίπου ίση με 5% της αρχικής τιμής. Μικρές διακυμάνσεις στο ποσοστό αυτό έχουν αμελητέα επιρροή στα τελικά αποτελέσματα. Πρέπει να σημειωθεί όμως η χρησιμότητα της, έστω, μικρής παραμένουσας μετ-ελαστικής ακαμψίας: ένας καθαρά πλαστικός κλάδος επιμηκύνει κατά πολύ τον χρόνο επίλυσης του προβλήματος και πολλές φορές, επειδή δεν επιτυγχάνεται η απαιτούμενη σύγκλιση (trouble converging) κατά τη διάρκεια επαναλαμβανομένων επιλύσεων, είναι δυνατόν να ληφθούν εντελώς λανθασμένα αποτελέσματα. 10. Επιλογή σεισμικής κίνησης: Το συχνοτικό περιεχόμενο (frequency content), ο αριθμός και η μορφή των παλμικών κινήσεων και ο αριθμός των χρόνο-ιστοριών που θα χρησιμοποιηθούν σε μια παραμετρική μελέτη, καθώς και τα σχετικά επίπεδα κανονικοποίησης (PGA), επηρεάζουν τα αποτελέσματα των μη γραμμικών δυναμικών αναλύσεων. Εάν χρησιμοποιηθεί ένας μικρός αριθμός χρόνο-ιστοριών με διαφορετικά χαρακτηριστικά, αναμένονται μεγάλες αποκλίσεις στην απόκριση ανάλογα με την επιλογή των σεισμικών κινήσεων. Μια μέθοδος είναι να [25]
υποβάλλουμε τα συμμετρικά και τα αντίστοιχα μη-συμμετρικά συστήματα σε έναν αριθμό κινήσεων και για κάθε κίνηση να υπολογίσουμε το λόγο των αποκρίσεων των μη συμμετρικών προς τα συμμετρικά συστήματα, εκτιμώντας τις μεγεθύνσεις λόγω ασυμμετρίας στα δύσκαμπτα και εύκαμπτα άκρα των πλακών και στα CM ή CR, και στη συνέχεια να υπολογίσουμε τη μέση μεγέθυνση. Εναλλακτικά, μπορεί να επιλεγεί ένα σύνολο σεισμικών κινήσεων συμβατών με το φάσμα απόκρισης Σε αυτήν την περίπτωση το δυναμικό φάσμα απόκρισης κάθε κίνησης έχει αιχμές, ενώ το φάσμα απόκρισης σχεδιασμού είναι ομαλό. Επομένως για κάθε περίοδο η φασματική επιτάχυνση σχεδιασμού μπορεί να είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την δυναμική τιμή. Πάντως επειδή χρησιμοποιούνται διαφορετικά σύνολα σεισμικών κινήσεων σε διάφορες μελέτες, υπάρχουν μεγάλες αποκλίσεις στα αποτελέσματα. [26]
6. Μελέτες σε μονώροφα ασύμμετρα κτίρια Στο παρελθόν η σεισμική απόκριση κατασκευών με ασυμμετρίες μπορούσε να μελετηθεί μόνο με ισοδύναμα μονώροφα μοντέλα. Τα μοντέλα αυτά θεωρούνταν κατάλληλα για να διερευνηθεί και να ποσοτικοποιηθεί η συμπεριφορά κάποιων τύπων πολυώροφων κτιρίων και να προταθούν μέθοδοι σχεδιασμού. Τα τελευταία χρόνια βέβαια, με την ραγδαία ανάπτυξη των Η/Υ, τα πολυώροφα μοντέλα κτιρίων έχουν αρχίσει να χρησιμοποιούνται συχνότερα για τον προσδιορισμό της μη γραμμικής (ανελαστικής) σεισμικής απόκρισης ασύμμετρων κτιρίων. Παρόλα αυτά, εξαιτίας της πολυπλοκότητας αυτών των μοντέλων, η εφαρμογή τους είναι εφικτή σε μικρό αριθμό πραγματικών κτιρίων. Για το λόγο αυτό τα μονώροφα μοντέλα παραμένουν δημοφιλή καθώς είναι ικανά να δώσουν βασικές ποιοτικές πληροφορίες για την στροφική συμπεριφορά ασύμμετρων κτιρίων. Οι τελευταίες δημοσιεύσεις σε μονώροφα μοντέλα εστιάζουν κυρίως στην ανελαστική συμπεριφορά του φέροντος οργανισμού και στη διαξονική διέγερση. Συγκεκριμένα, η ανελαστική συμπεριφορά είναι σημαντική γιατί η ικανότητα των κατασκευών να αντέξουν ισχυρούς σεισμούς εξαρτάται από την πλάστιμη συμπεριφορά τους και την ικανότητα τους στην απόσβεση ενέργειας. Παρά την έντονη ερευνητική δραστηριότητα, η πολυπλοκότητα της σεισμικής απόκρισης και ο μεγάλος αριθμός παραμέτρων που επηρεάζουν τη συμπεριφορά μη κανονικών ανελαστικών κτιρίων, συγκρινόμενος με κτίρια ελαστικά, οδηγεί σε απουσία γενικών και καθολικά αποδεκτών αποτελεσμάτων. Για αυτό το λόγο πολλές μελέτες έχουν ως στόχο την εξαγωγή συγκεκριμένων, και γενικά αποδεκτών, αποτελεσμάτων. Ενδιαφέρον παρουσιάζουν δύο δημοσιεύσεις από τους Perus and Faifar (2002, 2005). Το πρόβλημα που διερευνούν αφορά την επίδραση των πλαστικών στροφών στα δομικά στοιχεία του φορέα στην στροφική συμπεριφορά του κτιρίου και τις σχετικές συγκρίσεις με την συμπεριφορά της αντίστοιχης ελαστικής κατασκευής. Για την άντληση χρήσιμων συμπερασμάτων η μελέτη βασίστηκε σε μονώροφα μοντέλα με διαξονική εκκεντρότητα χωρίς κανονιστικούς περιορισμούς. Τα βασικά ποιοτικά αποτελέσματα της παραμετρικής ανάλυσης, σε κτίρια κυρίως στρεπτικά άκαμπτα και με εκκεντρότητα μάζας (Σχήμα 8α) συνοπτικά είναι τα εξής: η γενική στρεπτική απόκριση μη γραμμικών κατασκευών είναι παρόμοια με την απόκριση των [27]
αντιστοίχων ελαστικών (Σχήμα 9), καθώς οι διαφορές μεταξύ της ελαστικών και ανελαστικών παραμορφώσεων είναι μεγαλύτερες στη μεταφορική παρά στην στρεπτική απόκριση του φορέα. Αυτό όμως που παίζει σημαντικό ρόλο (και προσδιορίζει το είδος της απόκρισης του φορέα) είναι το μέγεθος των ανελαστικών παραμορφώσεων. Σχήμα 8 Μονώροφα συστήματα με (α) εκκεντρότητα μάζα, και (β) εκκεντρότητα ακαμψίας που χρησιμοποιήθηκαν από τους Perus and Faifar (2002, 2005) Σχήμα 9 Ο λόγος ανελαστικών/ελαστικών μετακινήσεων που υπολογίσθηκε από τους Perus and Faifar (2002, 2005) Ο λόγος ανελαστικών/ελαστικών μετακινήσεων στην εύκαμπτη πλευρά του φορέα γενικά μειώνεται, αλλά οι απαιτήσεις σε πλαστιμότητα αυξάνονται. Επίσης, η ανελαστική στροφική απόκριση είναι πολύ περισσότερο εξαρτώμενη από τα χαρακτηριστικά του σεισμού (κυρίως το φάσμα συχνοτήτων frequency content- της [28]
διέγερσης) από ότι η ελαστική απόκριση. Εντονότερα είναι τα φαινόμενα στις δύσκαμπτες κατασκευές (κτίρια με μικρή δεσπόζουσα περίοδο) και ηπιότερα στις εύκαμπτες κατασκευές (κτίρια με σχετικά μεγάλη δεσπόζουσα περίοδο). Πολλές μελέτες επίσης εστιάζουν στη διερεύνηση της συμπεριφοράς μονώροφων κτιρίων στα οποία η ανελαστική συμπεριφορά των φερόντων στοιχείων ανταποκρίνεται καλύτερα στα πειραματικά μοντέλα. Οι Dutta and Das (2002a,b) μελέτησαν την απομείωση της αντοχής κατασκευών (σχεδιασμένων κατά τους κανονισμούς) υπό διαξονική σεισμική καταπόνηση. Οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν δυο απλά υστερητικά μοντέλα φορτίου-μετατόπισης (Σχήμα 10) για τα φέροντα στοιχεία, τα οποία λαμβάνουν υπόψη την απομείωση της ακαμψίας και αντοχής στοιχείων από οπλισμένο σκυρόδεμα υπό ανακυκλιζόμενη φόρτιση. Τα αποτελέσματα της ερευνάς τους έδειξαν ότι οι απαιτήσεις σε πλαστιμότητα είναι εντονότερες όταν χρησιμοποιούνται υστερητικά μοντέλα φορτίου-μετατόπισης και ότι οι αναλύσεις υπό μονο-αξονική σεισμική καταπόνηση υποβαθμίζουν τις απαιτήσεις μιας κατασκευής. Τα συμπεράσματα αυτά έρχονται σε αντίθεση με τα αποτελέσματα των Myslimaj & Tso (2004) που εκτιμούν ότι το μοντέλο φορτίουμετατόπισης (υστερητικό ή ελαστο-πλαστικό) δεν παίζει σημαντικό ρόλο την συνολική στρεπτική απόκριση της κατασκευής. [29]
Σχήμα 10 Τα υστερητικά μοντέλα φορτίου-μετατόπισης που χρησιμοποιήθηκαν από τους Dutta and Das (2002a,b) Οι De Stefano & Pintucchi (2002) πρότειναν ένα μονώροφο μοντέλο το οποίο λαμβάνει υπόψη την ανελαστική αλληλεπίδραση της αξονικής δύναμης και των διαξονικών διατμητικών δυνάμεων στα μέλη του φορέα. Οι συγγραφείς κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα μοντέλα ασύμμετρων κτιρίων, που αγνοούν την ως άνω αλληλεπίδραση, υπερεκτιμούν την στρεπτική απόκριση τους κατά 20-30%, εκτός αν πρόκειται για δύσκαμπτες κατασκευές (κτίρια με μικρή δεσπόζουσα περίοδο). Πρόσφατα οι Tso and Myslimaj έχουν εστιάσει το ενδιαφέρον τους στην αλληλεξάρτηση που υπάρχει στα δομικά στοιχεία μεταξύ αντοχής και ακαμψίας τους (Tso and Myslimaj 2003; Myslimaj and Tso 2005). Ξεκινώντας από την άποψη του Paulay ότι η ακαμψία ενός φέροντος στοιχείου (π.χ. ενός τοιχώματος) εξαρτάται κατ ουσία από την αντοχή του σε κάμψη (Paulay 1998,2001), μελέτησαν, υπό διαξονική σεισμική διέγερση, την απόκριση μονώροφων συστημάτων στα οποία η ακαμψία των φερόντων στοιχείων καθοριζόταν από την αντίστοιχη αντοχής τους. Το συμπέρασμα τους ήταν ότι για να μειωθεί η στρεπτική απόκριση, πρέπει το κέντρο ακαμψίας (CR) του κτιρίου και το κέντρο αντοχής (CV), να βρίσκονται σε συμμετρικές θέσεις ( απέναντι ) ως προς το κέντρο μάζας (CM). Επίσης πρότειναν δυο μεθόδους [30]
υπολογισμού της αντοχής των δομικών στοιχείων για την επίτευξη της προαναφερθείσας θέσης των CV, CR. Η μία χρησιμοποιεί την μέθοδο στατικής ισορροπίας (SEAB) και η άλλη επιτυγχάνει κατανομή αντοχής ίση με αυτήν των μετακινήσεων διαρροής (YDDB). Τα αποτελέσματα φαίνονται στο Σχήμα 11. Σχήμα 11 Θέσεις των CR και CV σε 4 διαφορετικά μοντέλα και η συμπεριφορά τους στην διέγερση του El Centro-1940 (Myslimaj and Tso 2005) Σχετική με τα παραπάνω είναι και η μελέτη των Aziminejad & Moghadam (2005), η οποία αναφέρεται στην στρεπτική συμπεριφορά μονώροφων μοντέλων, σε σχέση με τη θέση των κέντρων μάζας (CM), ακαμψίας (CR) και αντοχής (CV), όταν η ένταση της σεισμικής διέγερσης ποικίλει, από ελαφρά δόνηση μέχρι έναν ισχυρό σεισμό. Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η συμμετρική θέση των CM, CR και CV, που προτείνουν οι Tso & Myslimaj, είναι η καλύτερη (δηλαδή η στρέψη του δίσκου είναι ελάχιστη) όταν η δόνηση είναι ισχυρή και όλα τα δομικά στοιχεία εισέρχονται στο ανελαστικό στάδιο, όχι όμως όταν η κατασκευή συμπεριφέρεται ελαστικά. [31]
Οι Pettinga et al. (2005), διεξήγαν παραμετρικές αναλύσεις σε μονώροφα μοντέλα υπό μονοαξονικές και διαξονικές σεισμικές διεγέρσεις. Ο στόχος τους ήταν να επεκτείνουν τη μέθοδο performance-based design σε κτίρια με διπλή εκκεντρότητα. Στα μοντέλα που χρησιμοποιήθηκαν, η στρεπτική ακαμψία τους εξαρτάτο τόσο από δομικά στοιχεία μιας διεύθυνσης (torsionally unrestrained systems), όσο και από αυτά των δύο κυρίων διευθύνσεων (torsionally restrained systems). Ενάντια στην αρχική τους πεποίθηση διαπίστωσαν ότι συστήματα με μικρή στρεπτική ακαμψία, παρουσιάζουν γενικά μικρότερες στροφές. Οι Trombeti and Conte (2005), ανέπτυξαν μια απλή μέθοδο (ALPHA) για την εκτίμηση τις μέγιστης στρεπτικής απόκρισης σε ελεύθερες και εξαναγκασμένες ταλαντώσεις μονώροφων γραμμικών ελαστικών συστημάτων. Η ακρίβεια της μεθόδου έχει ελεγχθεί σε συστήματα αντιπροσωπευτικά κατασκευών με ασυμμετρίες κάτοψης (Pintucchi et al. 2005). Οι Heredia-Zavoni and Machicao-Barrionuevo (2004), χρησιμοποίησαν ένα γραμμικό μονώροφο σύστημα, με διπλή εκκεντρότητα, για να εκτιμήσουν τις επιδράσεις των ορθογώνιων συνιστωσών του σεισμού. Διαπίστωσαν ότι η επίδρασή τους εξαρτάται από την ιδιοπερίοδο, από το αν το σύστημα είναι εύκαμπτο ή όχι, καθώς και από τις συνθήκες του εδάφους θεμελίωσης. Συγκεκριμένα, η εφαρμογή διαξονικών σεισμικών διεγέρσεων επηρεάζει σημαντικά την απόκριση στρεπτικά άκαμπτων συστημάτων με μεγάλες μεταφορικές ιδιοπεριόδους σε μαλακά εδάφη. Αντίθετα σε σκληρά εδάφη, η διαξονική διέγερση είναι σημαντική σε στρεπτικά εύκαμπτα κτίρια με μικρές μεταφορικές ιδιοπεριόδους. Γενικά, η διαξονική διέγερση δεν έχει σημαντική επίδραση σε συστήματα στα οποία η στρεπτική τους ακαμψία προκύπτει από δομικά στοιχεία τοποθετημένα στις δύο κυρίες διευθύνσεις του κτιρίου (torsionally restrained systems). Οι Ghersi & Rossi (2006) χρησιμοποίησαν επίσης μονώροφα συστήματα, με διπλή εκκεντρότητα, για να εκτιμήσουν τις επιδράσεις των ορθογώνιων συνιστωσών του σεισμού. Δοκίμασαν διάφορες μεθόδους υπολογισμού (procedures) των αντοχών των δομικών στοιχείων, κάνοντας χρήση των ιδιοτήτων της ιδιομορφικής (modal) ανάλυσης, προκειμένου να διερευνήσουν την σεισμική συμπεριφορά τους τόσο στο [32]