Η ΠΟΛΥ-ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ: ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΚΥΠΡΙΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Μιχαήλ, Ε., Σοφοκλέους, Π., Λεμονίδης, Χ., (2009). Η πολύ-πολιτισμική διάσταση του πολλαπλασιασμού: Στάσεις και αντιλήψεις Κυπρίων εκπαιδευτικών για τη χρήση της στη διδασκαλία των Μαθηματικών. Πρακτικά 5 ου διεθνούς διημερίδας διδακτικής Μαθηματικών Τόμος 1, σελ. 17-29. Πανεπιστήμιο Κρήτης. Η ΠΟΛΥ-ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ: ΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΤΙΛΗΨΕΙΣ ΚΥΠΡΙΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ελένη ΜΙΧΑΗΛ *, Παρασκευή ΣΟΦΟΚΛΕΟΥΣ * & Χαράλαμπος ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ** *Τμήμα Επιστημών της Αγωγής, Πανεπιστήμιο Κύπρου **Καθηγητής Διδακτικής των Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας eleni_mic@yahoo.com, skevi_sophocleous@yahoo.gr, lemonidi@auth.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Τα τελευταία χρόνια γίνεται ένας έντονος διάλογος για το ρόλο της ενσωμάτωσης της ιστορίας των μαθηματικών στη μαθηματική εκπαίδευση. Οι εκπαιδευτικοί είναι το κλειδί για την «πετυχημένη» ενσωμάτωση της. Στην παρούσα μελέτη εξετάζονται οι στάσεις και οι αντιλήψεις εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία των μαθηματικών, καθώς τα προσωπικά χαρακτηριστικά των εκπαιδευτικών που επηρεάζουν αυτές τις στάσεις. Μέσα από την ποσοτική και ποιοτική ανάλυση των απαντήσεων των εκπαιδευτικών του δείγματος βρέθηκε ότι έχουν θετικές στάσεις απέναντι στην ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του, ανεξαρτήτως φύλου, επιπρόσθετων σπουδών και γνώσεων επί του θέματος. Όμως, διαπιστώθηκε ότι οι εκπαιδευτικοί του δείγματος έχουν ελάχιστες γνώσεις για την εκπαιδευτική αξία της ενσωμάτωσης της πολύπολιτισμικής διάστασης της πράξης του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του. ABSTRACT In recent years there has been intense debate about the role of the integration of the history of mathematics in mathematics education. Educators are the key to its successful integration. In this paper, we study the attitudes and the perceptions of educators at primary level in Cyprus towards the integration of the history of multiplication in the teaching of mathematics, as well as the educators personal characteristics that affect these attitudes. Through the quantitative and qualitative analysis of the answers of the educators in the sample, it has been found that they have a positive attitude towards the integration of the history of multiplication in its teaching, regardless of their sex, further studies and knowledge of the subject. However, it has also been found that the educators in the sample have little knowledge of the educational value of the integration of the multicultural dimension of the operation of multiplication in its teaching. Λέξεις - Κλειδιά: ιστορία των μαθηματικών, πολύ-πολιτισμική διάσταση του πολλαπλασιασμού, στάσεις, αντιλήψεις, εκπαιδευτικοί. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια παρουσιάζεται διεθνώς ένα αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη σχέση μεταξύ ιστορίας και μαθηματικής εκπαίδευσης (Kool, 2003; Furinghetti,

2007). Η ιστορική προοπτική στη διδασκαλία των μαθηματικών διευκολύνει στην κατανόηση της σημασίας και του νοήματος των μαθηματικών εννοιών. Αφού όπως ισχυρίζεται μια βασική υπόθεση της Διδακτικής των Μαθηματικών «η σημασία μια έννοιας δεν καθορίζεται ολοκληρωτικά από τον σημερινό της ορισμό αλλά είναι συνισταμένη της ιστορίας της στο παρελθόν όσο και σήμερα...» (Sierpinska, 1991, σελ.13). Άρα, η αξιοποίηση της ιστορίας των μαθηματικών στην τάξη επιδρά θετικά στη μάθηση των μαθηματικών και την ανάπτυξη θετικών στάσεων γι αυτά (Philippou & Christou, 1998). Στα σχολικά εγχειρίδια της Κύπρου υπάρχουν ασκήσεις που αναφέρονται στην ιστορία των μαθηματικών, όπως οι τεχνικές των πράξεων του πολλαπλασιασμού που εφάρμοζαν αρχαίοι λαοί. Έτσι, οι μαθητές μέσω αυτών των ασκήσεων αντιλαμβάνονται ότι τα μαθηματικά είναι ανθρώπινο δημιούργημα και συνεχώς εξελίσσονται, καθώς και το ότι υπάρχουν πολλοί και διαφορετικοί τρόποι για να εκτελέσουν ένα απλό πολλαπλασιασμό (Κοοl, 2003). Εκτός αυτού, ο Νικολαντωνάκης (2005), τονίζει ότι διαμέσου της ιστορίας των διαφορετικών τεχνικών πράξεων οι μαθητές οικειοποιούνται την σημασία του αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού. Όμως, δεν έχουν εξεταστεί οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών, σε διεθνές επίπεδο, για την ιστορία των μαθηματικών, παρόλο που παρατηρείται σύμφωνα με τους Gulikers & Blom (2001) ένα αυξημένο ενδιαφέρον από μέρους των εκπαιδευτικών για τη χρήση της ιστορίας των μαθηματικών στην σχολική τάξη. Οι Φιλίππου & Χρίστου (1995) επισημαίνουν ότι οι αντιλήψεις και οι στάσεις των εκπαιδευτικών για τη φύση και τη χρησιμότητα των μαθηματικών επηρεάζουν τη διδασκαλία τους και κατ επέκταση τις αντιλήψεις των μαθητών και τις επιδόσεις τους στα μαθηματικά. Ο κύριος σκοπός της παρούσας εργασίας είναι να μελετηθούν οι στάσεις και οι αντιλήψεις εκπαιδευτικών πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία των μαθηματικών, καθώς και τα χαρακτηριστικά των εκπαιδευτικών (φύλο, επιπρόσθετα προσόντα/διπλώματα και γνώσεις επί του θέματος) που τις επηρεάζουν. Θα διερευνηθεί επίσης ο τρόπος με τον οποίο οι ίδιοι οι εκπαιδευτικοί χειρίζονται την πολυ-πολιτισμική διάσταση της πράξης του πολλαπλασιασμού (τους τρόπους πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι λαοί) σε σχέση με το σημερινό αλγόριθμο του πολλαπλασιασμού. Συγκεκριμένα, εξετάστηκαν τα πιο κάτω ερευνητικά ερωτήματα: 1. Οι εκπαιδευτικοί πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου ανεξαρτήτως φύλου και επιπρόσθετων σπουδών, έχουν θετικές στάσεις για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του; 2. Υπάρχει σχέση μεταξύ των αριθμών των τρόπων που μπορούν να εκτελέσουν ένα πολλαπλασιασμό οι εκπαιδευτικοί και των στάσεων τους απέναντι στην ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του; 3. Υπάρχει σχέση μεταξύ των γνώσεων που δηλώνουν ότι έχουν οι εκπαιδευτικοί επί του θέματος και των στάσεων, καθώς και των αντιλήψεων τους για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία των μαθηματικών;

4. Οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του διαφοροποιούνται με το φύλο και την κατοχή μεταπτυχιακού διπλώματος; 5. Οι εκπαιδευτικοί της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου γνωρίζουν την εκπαιδευτική αξία και εφαρμόζουν την ενσωμάτωση των τεχνικών των πράξεων του πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, οι Ρώσοι Χωρικοί και οι Ινδοί, στη διδασκαλία των μαθηματικών; 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ 2.1 Η αξία της ιστορίας των μαθηματικών στη διδασκαλία τους Η ανάπτυξη των πρώτων μαθηματικών μεθόδων, εννοιών και συμβόλων άρχισε φυσιολογικά από τα πρώτα στάδια της παρουσίας του ανθρώπου στη γη (Φιλίππου, 1995). Συνεπώς, τα μαθηματικά όπως τα γνωρίζουμε σήμερα είναι το αποτέλεσμα μιας εξελικτικής πορείας που διαμορφώθηκε από τις εκάστοτε ανάγκες των ανθρώπων. Η αντιμετώπιση τους στη διδασκαλία ως κάτι που προέρχεται από το παρελθόν και εξελίσσεται στο μέλλον, βοηθά το μαθητή να κατανοήσει τις μαθηματικές έννοιες (Siu, 2000) και συμβάλλει στην πιο σωστή και αποτελεσματική διδασκαλία από μέρους του διδάσκοντα (Barbin, 2000). Αντιθέτως, με μια προσέγγιση, όπου τα μαθηματικά παρουσιάζονται απογυμνωμένα από το ιστορικό κοινωνικό γίγνεσθαι στο οποίο εξελίχθηκαν, τα μαθηματικά φαντάζουν ως ξένα για τους μαθητές που απογοητεύονται από την υπερβολική αυστηρότητα και αφαίρεσή τους (Furinghetti, 2007). Πολλοί ερευνητές αναφέρθηκαν σε συγκεκριμένους λόγους εισαγωγής της ιστορίας των μαθηματικών στην διδακτική των μαθηματικών (Furinghetti, 2007; Siu, 2000; Tzanakis & Arcavi, 2000). Αναλυτικότερα, επισημαίνεται ότι η εισαγωγή της ιστορίας των μαθηματικών στη διδασκαλία των μαθηματικών στο σχολείο συμβάλλει στον πολλαπλασιασμό των κινήτρων για μάθηση, αναδεικνύει τον ανθρώπινο χαρακτήρα της μαθηματικής δραστηριότητας, τροποποιεί τις αντιλήψεις των παιδιών για τα μαθηματικά, αναδεικνύει την αξία των νεότερων τεχνικών μέσα από τη σύγκριση τους με παλιότερες τεχνικές, συμβάλλει στην ανάπτυξη πολυ-πολιτισμικών προσεγγίσεων στα μαθηματικά, παρέχει δυνατότητες διερευνητικών δραστηριοτήτων, ενθαρρύνει τα παιδιά μέσα από τη συνειδητοποίηση του γεγονότος, ότι και άλλοι άνθρωποι στο παρελθόν είχαν προβλήματα με τα μαθηματικά, συμβάλλει στην κατανόηση του ρόλου των μαθηματικών στην κοινωνία, κάνει τα μαθηματικά πιο ελκυστικά, προκαλεί το ενδιαφέρον και εξάπτει τη φαντασία των παιδιών, παρέχει ευκαιρίες διαθεματικής προσέγγισης των μαθηματικών. Εκτός από την ανάγκη για την ενσωμάτωση της ιστορίας των μαθηματικών στη διδακτική των μαθηματικών στα σχολεία, επισημαίνεται και η ανάγκη για την ένταξη της σε προγράμματα σπουδών (Fauvel & Van Maalen, 1997). Σύμφωνα με τους ίδιους η ένταξη της ιστορίας των μαθηματικών στο πρόγραμμα σπουδών των εκπαιδευτικών προκαλεί στους ίδιους τους εκπαιδευτικούς αίσθημα ενθουσιασμού για τα μαθηματικά και συμβάλλει στη διαφορετική αντιμετώπιση των μαθηματικών από μέρους τους και στην ανάπτυξη δεξιοτήτων όπως η μελέτη, η χρήση της βιβλιοθήκης.

Παρά τα οφέλη που προαναφέρθηκαν από την εισαγωγή της ιστορίας των μαθηματικών στη διδακτική πράξη, έχουν επισημανθεί και κάποια μειονεκτήματα. Πιο συγκεκριμένα οι Streefland (1996) και Tzanakis & Arcavi (2000) επισημαίνουν τα εξής επιχειρήματα εναντίον μιας τέτοιας διδακτικής προσέγγισης: (α) η ιστορία των μαθηματικών δεν είναι μαθηματικά, (β) η ιστορία των μαθηματικών μπορεί να προκαλέσει σύγχυση στους μαθητές, (γ) οι δάσκαλοι στερούνται καθαρών κατευθύνσεων στο πώς να ενσωματώσουν με συνέπεια ιστορικά στοιχεία προκειμένου να βοηθήσουν τους μαθητές, (δ) η ενσωμάτωση της ιστορίας των μαθηματικών στη διδασκαλία απαιτεί πολύ χρόνο, (ε) υπάρχει μια γενικευμένη έλλειψη πηγών για χρήση στην τάξη και (στ) η μεγάλη πλειοψηφία των μαχόμενων δασκάλων στερείται γνώσης και ειδίκευσης στην ιστορία των μαθηματικών. Εκτός από τα παραπάνω μειονεκτήματα, ο Πάσχος (2003) αναφέρει ότι η παράθεση κάποιων ιστορικών στοιχείων στο τέλος κάθε κεφαλαίου, στα σχολικά εγχειρίδια, οδηγεί τους δασκάλους να δουν την ιστορία των μαθηματικών ως ξεχωριστό τμήμα από το μαθηματικό πρόγραμμα σπουδών και ως ξένο προς την καθημερινή δραστηριότητα της τάξης. 2.2 Ο πολλαπλασιασμός και οι τεχνικές εκτέλεσής του Οι πράξεις του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, οι οποίες εισάγονται στην αρχή του Δημοτικού Σχολείου, αποτελούν περιεχόμενα που είναι σημαντικά και θεμελιώδη για τους μαθητές, γιατί στη γνώση των απλών πράξεων τους βασίζονται οι μετέπειτα ικανότητες εκτέλεσης πιο σύνθετων πράξεων και αλγορίθμων, η λύση προβλήματος και η εκτίμηση του αποτελέσματος (Λεμονίδης, 2003). Για την εκτέλεση του πολλαπλασιασμού προτάθηκαν διάφορες τεχνικές πράξεων οι οποίες ταξινομούνται σε δύο κατηγορίες σύμφωνα με τον Νικολαντωνάκη (2005): (Α) αυτές που χρειάζονταν μόνον την γνώση των διπλάσιων και των μισών καθώς και την τεχνική της πρόσθεσης όπως η αιγυπτιακή μέθοδος και η μέθοδος των Ρώσων χωρικών και (Β) αυτές που χρειάζονται τους πίνακες του πολλαπλασιασμού όπως η μέθοδος των Ινδών, η κινέζικη μέθοδος πολλαπλασιασμού, ο πολλαπλασιασμός per gelosia και per crocetta καθώς και ο ελληνικός πολλαπλασιασμός. 2.3 Στάσεις και Αντιλήψεις των Εκπαιδευτικών Η στάση είναι μια νοητική κατάσταση, μια κατάσταση της προσωπικότητας, μια δύναμη η οποία ωθεί το υποκείμενο να συμπεριφέρεται με κάποιο τρόπο σχετικά απέναντι σε μια κατηγορία ανθρώπων, ένα αντικείμενο, μια κατάσταση, ένα θεσμό ή μια έννοια (Βαμβούκας & Κανάκης, 1997). Από την άλλη, οι αντιλήψεις είναι προτάσεις τις οποίες αποδέχονται τα άτομα ως ορθές ανάλογα με τις υποκειμενικές τους γνώσεις, αξιολογήσεις και θεωρίες που έχουν διαμορφώσει για τον εαυτό τους και το περιβάλλον τους (Philippou & Christou, 2000). Αρκετοί είναι οι ερευνητές που θεωρούν ότι οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών επηρεάζουν την εκπαιδευτική διαδικασία μάθησης και διδασκαλίας των Μαθηματικών. Όπως χαρακτηριστικά τονίζει η Thompson: Υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις για να πιστέψουμε ότι οι αντιλήψεις των καθηγητών (πεποιθήσεις, απόψεις ή προτιμήσεις τους) για τα Μαθηματικά και τη διδασκαλία τους, επηρεάζουν την αποτελεσματικότητά τους στο ρόλο που έχουν ως διαμεσολαβητές ανάμεσα στο

συγκεκριμένο γνωστικό αντικείμενο και στους υποψήφιους μαθητευόμενους. (Thompson, 1984, σ. 105). Δηλαδή, οι στάσεις και οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών αποτελούν τους βασικούς άξονες που διαμορφώνουν τη διδακτική τους πρακτική στο ίδιο αντικείμενο. Αυτή η διδακτική τους προσέγγιση με τη σειρά της, επιδρά αρνητικά ή θετικά στη διαμόρφωση των αντιλήψεων των μαθητών για τα μαθηματικά (Φιλίππου & Χρίστου, 1995). Έρευνες σε ξεχωριστά πολιτισμικά περιβάλλοντα όπως των Ball (1990) και Philippou (1994), έχουν δείξει ότι οι στάσεις των υποψήφιων εκπαιδευτικών ήταν αρνητικές απέναντι στα μαθηματικά (αναφορά στους Philippou & Christou, 1998). Όμως, έρευνα των Philippou and Christou (1998) που εξέταζε την επίδραση που είχε ένα προκαταρκτικό πρόγραμμα που αφορούσε τα μαθηματικά και βασιζόταν στην ιστορία τους, στις στάσεις υποψήφιων εκπαιδευτικών απέναντι στα μαθηματικά, βρήκε ότι αυτές βελτιώθηκαν. Συγκεκριμένα, βρέθηκε ότι βελτιώθηκαν κυρίως οι στάσεις των υποψήφιων εκπαιδευτικών απέναντι στη φύση και τη χρησιμότητα των μαθηματικών. Αυτό γιατί μέσα από την επαφή που είχαν με την ιστορία των μαθηματικών που αφορούσε δυο συγκεκριμένες θεματικές ενότητες των μαθηματικών, κατανόησαν εννοιολογικά κάποιες έννοιες των μαθηματικών π.χ αξία θέσης ψηφίου, που μέχρι τότε τις χρησιμοποιούσαν καθαρά διαδικαστικά. Όσον αφορά τις αντιλήψεις των εκπαιδευτικών, όπως αναφέρει ο Ball (1994), αναδιαμορφώνονται συνεχώς μέσα από τις εμπειρίες τους στην τάξη (αναφορά στο Lloyd, 2002). Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αναφέρει η Remillard (1999) η οποία εξέτασε τον τρόπο με τον οποίο δύο εκπαιδευτικοί της δημοτικής εκπαίδευσης χρησιμοποιούσαν το ίδιο εγχειρίδιο των μαθηματικών κατά την εφαρμογή του αναλυτικού προγράμματος. Διαπίστωσε λοιπόν, ότι το νόημα που αντλούσαν οι εκπαιδευτικοί αυτοί κατά τη μελέτη των εγχειριδίων προέκυπτε από την αλληλεπίδραση των προσωπικών τους αντιλήψεων με στοιχεία των εγχειριδίων και το νόημα αυτό διαφαινόταν κατά τη διδασκαλία. Στον ελλαδικό χώρο υπάρχουν πολύ λίγες έρευνες, που να αφορούν τις στάσεις και τις αντιλήψεις των εκπαιδευτικών για τη χρήση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία των μαθηματικών και τους παράγοντες από τους οποίους αυτές επηρεάζονται. 3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Το δείγμα της έρευνας αυτής αποτελούν 63 εκπαιδευτικοί πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου, από τους οποίους οι 18 είναι άντρες και οι 45 γυναίκες. Οι εκπαιδευτικοί του δείγματος εργάζονται στα δημοτικά σχολεία με μέσο όρο χρόνων υπηρεσίας 4.13 και ένα μεγάλο μέρος τους είναι μεταπτυχιακοί φοιτητές (42.9%) και κάτοχοι μεταπτυχιακού διπλώματος (33.3%). Για την ολοκληρωμένη απάντηση των ερευνητικών ερωτημάτων της συγκεκριμένης εργασίας, καταρτίστηκε ένα ερωτηματολόγιο που αποτελείτο από δυο μέρη. Το πρώτο μέρος περιλάμβανε 15 δηλώσεις που εξέτασαν τις στάσεις και τις αντιλήψεις των εκπαιδευτικών, καθώς και 4 ερωτήσεις ανοικτού τύπου που αφορούσαν τον τρόπο χειρισμού από μέρους τους δοσμένων τρόπων

πολλαπλασιασμού αρχαίων λαών. Το δεύτερο μέρος ζητούσε τα δημογραφικά στοιχεία των εκπαιδευτικών. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο μέρος του ερωτηματολογίου, δόθηκαν στους εκπαιδευτικούς 15 δηλώσεις και κλήθηκαν να απαντήσουν κατά πόσο συμφωνούν ή διαφωνούν μ αυτές σε μια κλίμακα με 5 διαβαθμίσεις-επιλογές. Για τους σκοπούς της ανάλυσης, οι 15 δηλώσεις ομαδοποιήθηκαν σε 3 γενικές μεταβλητές: στάσεις, αντιλήψεις και γνώσεις για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του. Συγκεκριμένα, οι απαντήσεις στις δηλώσεις: «Πιστεύω ότι η ιστορία του πολλαπλασιασμού ΔΕΝ είναι μαθηματικά», «Για τη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού απαιτείται να γνωρίζω μόνο το σημερινό αλγόριθμό του», «Στο μάθημα των μαθηματικών πρέπει να αναφέρεται μόνο ότι έχει σχέση με μαθηματικά και όχι ιστορικά στοιχεία» και «Στη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού έχω σκοπό οι μαθητές μου να μάθουν ΜΟΝΟ το σημερινό γραπτό αλγόριθμό του» συνθέτουν την ισοδιαστημική μεταβλητή Στάσεις των εκπαιδευτικών. Οι απαντήσεις στις δηλώσεις: «Η ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στα σχολικά μαθηματικά απαιτεί πολύ χρόνο», «Η διδασκαλία των τρόπων που χρησιμοποιούσαν διάφοροι λαοί για να πολλαπλασιάζουν δυσκολεύει τους μαθητές στη μάθηση του αλγορίθμου του πολλαπλασιασμού», «Οι μαθητές γνωρίζοντας τους τρόπους που χρησιμοποιούσαν διάφοροι λαοί για να πολλαπλασιάζουν, καταλαβαίνουν καλύτερα την έννοια του πολλαπλασιασμού», «Η ιστορία του πολλαπλασιασμού είναι ξεχωριστό κεφάλαιο στη διδασκαλία των μαθηματικών», «Η ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία των μαθηματικών αυξάνει τα κίνητρα για μάθηση του πολλαπλασιασμού», «Οι μαθητές αντιλαμβάνονται την αξία των νεότερων τρόπων πολλαπλασιασμού μέσα από τη σύγκρισή τους με παλαιότερους τρόπους», «Η διδασκαλία της ιστορίας του πολλαπλασιασμού επηρεάζει θετικά τις στάσεις των παιδιών απέναντι στα μαθηματικά μέσα από τη συνειδητοποίηση του γεγονότος, ότι και άλλοι άνθρωποι στο παρελθόν αντιμετώπιζαν δυσκολίες με τον πολλαπλασιασμό» και «Η διδασκαλία των τρόπων που πολλαπλασίαζαν οι αρχαίοι λαοί βοηθά τους μαθητές να αντιληφθούν τον ανθρώπινο χαρακτήρα της μαθηματικής δραστηριότητας», συνθέτουν την ισοδιαστημική μεταβλητή Αντιλήψεις των εκπαιδευτικών. Τέλος, οι απαντήσεις στις δηλώσεις: «ΔΕΝ έχω πρόσβαση σε πηγές που να αναφέρονται στη χρήση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του», «ΔΕΝ έχω γνώσεις για την ιστορία του πολλαπλασιασμού» και «Το Αναλυτικό Πρόγραμμα της Κύπρου δίνει τις απαραίτητες οδηγίες για ενσωμάτωση των τρόπων που χρησιμοποιούσαν αρχαίοι λαοί για να πολλαπλασιάζουν στη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού», συνθέτουν την ισοδιαστημική μεταβλητή Γνώσεις των εκπαιδευτικών. Ο συντελεστής αξιοπιστίας Gronbach s Alpha, βρέθηκε α=0,713, δηλαδή υπάρχει εσωτερική συνάφεια και αξιοπιστία στις απαντήσεις των εκπαιδευτικών στις 15 πιο πάνω δηλώσεις. Επιπρόσθετα, το πρώτο μέρος του ερωτηματολογίου περιλάμβανε και τέσσερις ερωτήσεις ανοικτού τύπου που συνοδεύονταν με τις τεχνικές της πράξης του πολλαπλασιασμού που χρησιμοποιούσαν οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, οι Ρώσοι Χωρικοί και οι Ινδοί: «Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να κάνετε τον πολλαπλασιασμό 15Χ17;», «Τους τρόπους πολλαπλασιασμού που

χρησιμοποιούσαν οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι, οι Ρώσοι Χωρικοί και οι Ινδοί, θα τους χρησιμοποιούσατε στη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού πριν ή μετά τη διδασκαλία του σημερινού αλγορίθμου; Δικαιολογήστε την απάντηση σας.», «Σε ποια τάξη θα τους χρησιμοποιούσατε στη διδασκαλία σας και γιατί;» και «Ποιος από τους πιο πάνω τρόπους είναι ο πιο κατάλληλος για αδύνατους μαθητές και γιατί;». Οι απαντήσεις σε αυτές τις ερωτήσεις αποτελούν τα ποιοτικά δεδομένα της μελέτης αυτής. Στο δεύτερο μέρος του ερωτηματολογίου οι εκπαιδευτικοί κλήθηκαν να συμπληρώσουν τα δημογραφικά τους στοιχεία. Συγκεκριμένα ζητήθηκε το φύλο, τα έτη υπηρεσίας στα δημοτικά σχολεία (το τρέχον σχολικό έτος θεωρήθηκε ως ολόκληρο έτος) και τα επιπρόσθετα προσόντα (όπως Κάτοχος Μεταπτυχιακού Διπλώματος είτε άλλου Πανεπιστημιακού Πτυχίου είτε Μεταπτυχιακός φοιτητής/τρια.). Αυτά τα δημογραφικά στοιχεία αποτελούν τις ανεξάρτητες μεταβλητές της έρευνας αυτής. 4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Για να απαντηθούν τα ερευνητικά ερωτήματα της παρούσας εργασίας, έγινε ποσοτική και ποιοτική ανάλυση των δεδομένων που έχουν συλλεγεί από το ερωτηματολόγιο που χορηγήθηκε σε 63 εκπαιδευτικούς πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου. 4.1 Ποσοτική ανάλυση δεδομένων Στην ποσοτική ανάλυση των δεδομένων (15 δηλώσεις) χρησιμοποιήθηκε το στατιστικό πακέτο SPSS και συγκεκριμένα οι στατιστικοί δείκτες μέσος όρος και τυπική απόκλιση, για να εξεταστούν οι στάσεις και οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του. Επιπλέον, χρησιμοποιήθηκε η στατιστική τεχνική Pearson r (Correlations) και η ανάλυση διασποράς (ANOVA) για να διερευνηθεί από ποια χαρακτηριστικά των εκπαιδευτικών: φύλο, επαγγελματική εμπειρία, επιπρόσθετα προσόντα/διπλώματα και γνώσεις επί του θέματος, επηρεάζονται οι στάσεις και οι αντιλήψεις τους για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ N ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΜΕΓΙΣΤΟ ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Στάσεις 63 2.25 5.00 4.1865 0.54619 Πίνακας 1: Ο μέσος όρος των εκπαιδευτικών στην μεταβλητή στάσεις απέναντι στην ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού Σύμφωνα με τον πίνακα 1, οι εκπαιδευτικοί της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης της Κύπρου έχουν θετικές στάσεις για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία αφού ο μέσος όρος των απαντήσεων τους στις δηλώσεις που αφορούν τις στάσεις είναι 4.19.

ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Γνώσεις Στάσεις 0.770 0.038 Φύλο- Στάσεις 0.338-0.123 Αντιλήψεις Στάσεις 0.000 0.459 Επιπρόσθετα προσόντα- Στάσεις 0.278 0.139 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πίνακας 2: Συσχέτιση των ανεξάρτητων μεταβλητών με την εξαρτημένη μεταβλητή στάσεις Όπως προκύπτει από τον πίνακα 2, οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού έχουν στατιστικά σημαντική σχέση με τις στάσεις των εκπαιδευτικών. Όσο πιο θετικές είναι οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών για την ενσωμάτωση της ιστορίας των μαθηματικών τόσο θετικότερες είναι και οι στάσεις τους. Οι γνώσεις, το φύλο και τα επιπρόσθετα προσόντα των εκπαιδευτικών δεν σχετίζονται στατιστικά σημαντικά με τις στάσεις τους. Στάσεις Εκπαιδευτικών χωρίς μεταπτυχιακό* Στάσεις Μεταπτυχιακών Φοιτητών Στάσεις*Γνώση των τρόπων εκτέλεσης ενός πολλαπλασιασμού ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 0.046 4.235 0.038 3.467 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ F Πίνακας 3: Σύγκριση των μέσων όρων των εκπαιδευτικών στη μεταβλητή στάσεις. Σύμφωνα με τον πίνακα 3, από την ανάλυση διασποράς (ANOVA) προκύπτει ότι παρόλο που τα επιπρόσθετα προσόντα των εκπαιδευτικών δεν έχουν στατιστικά σημαντική σχέση με τις στάσεις τους για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του, εντούτοις οι μέσοι όροι των εκπαιδευτικών χωρίς επιπρόσθετα προσόντα διαφέρουν στατιστικά σημαντικά από τους μέσους όρους των εκπαιδευτικών που είναι φοιτητές σε μεταπτυχιακό πρόγραμμα (p=0.046). Επιπρόσθετα, με βάση τον πίνακα 3, οι μέσοι όροι των στάσεων των εκπαιδευτικών διαφέρουν στατιστικά σημαντικά ανάλογα με τον αριθμό των τρόπων που μπορούσαν να εκτελούσαν το δοσμένο πολλαπλασιασμό 15Χ17. ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΠΕΔΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

Γνώσεις-Αντιλήψεις 0.315 0.129 Φύλο-Αντιλήψεις 0.039-0.261 Επιπρόσθετα Αντιλήψεις προσόντα- 0.897-0.017 Πίνακας 4: Συσχέτιση των ανεξάρτητων μεταβλητών με την εξαρτημένη μεταβλητή αντιλήψεις για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού. Σύμφωνα με τον πίνακα 4, μεταξύ του φύλου των εκπαιδευτικών και των αντιλήψεών τους για την ενσωμάτωση της ιστορίας των μαθηματικών υπάρχει στατιστικά σημαντική σχέση, με συντελεστή συσχέτισης ίσο με -0.261. Το γεγονός ότι ο συντελεστής συσχέτισης είναι αρνητικός σημαίνει ότι οι άνδρες έχουν θετικότερες αντιλήψεις από τις γυναίκες. Οι υπόλοιπες μεταβλητές δεν έχουν στατιστικά σημαντική σχέση με τις αντιλήψεις των εκπαιδευτικών για την αξιοποίηση των ιστορίας του πολλαπλασιασμού. 4.2 Ποιοτική Ανάλυση Δεδομένων Στην ποιοτική ανάλυση των δεδομένων (4 ερωτήσεις) χρησιμοποιήθηκε η ανάλυση περιεχομένου όπου κάθε ερώτηση θεωρήθηκε ως μια κατηγορία ανάλυσης και κάθε κατηγορία είχε τις δικές της υποκατηγορίες ανάλογα με την απάντηση που δινόταν από τους εκπαιδευτικούς. ΑΡΙΘΜΟΣ ΠΟΣΟΣΤΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ ΔΑΣΚΑΛΩΝ (%) Σημερινός αλγόριθμος 48 76,20 Επιμεριστική ιδιότητα 34 53,96 Προσεταιριστική ιδιότητα 5 7,93 Μέθοδος των αρχαίων Αιγυπτίων 17 26,98 Μέθοδος των Ρώσων χωρικών 16 25,39 Μέθοδος των Ινδών 14 22,22 Επαναλαμβανόμενη πρόσθεση 8 12,69 Μέθοδος των αρχαίων Ελλήνων 3 4,76 Διπλασιασμός του ενός παράγοντα και διαίρεση του άλλου 4 6,34 Αναφορά μόνο σε αριθμό μεθόδων πολλαπλασιασμού 6 9,52 Καμία απάντηση 9 14,28 Πίνακας 5: Οι τρόποι με τους οποίους οι εκπαιδευτικοί μπορούν να εκτελέσουν τον πολλαπλασιασμό Οι απαντήσεις των εκπαιδευτικών στην ερώτηση «Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να κάνετε τον πολλαπλασιασμό 15Χ17;» ποικίλουν. Οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί (49,19%) αναφέραν δύο με τρεις τρόπους.

Συγκεκριμένα, με βάση τον πίνακα 5, 76,20% (48) των εκπαιδευτικών αναφέρθηκαν στον σημερινό αλγόριθμο, 53,96% (34) στην επιμεριστική ιδιότητα, 26,98% (17) στη μέθοδο των αρχαίων Αιγυπτίων, 25,39% (16) στη μέθοδο των Ρώσων χωρικών, 22,22% (14) στη μέθοδο των Ινδών, 12,69% (8) αναφέρθηκαν στην εκτέλεση του πολλαπλασιασμού ως επαναλαμβανόμενη πρόσθεση, 7,93% (5) αναφέρθηκαν στην προσεταιριστική ιδιότητα, 6,34% (4) ανέφεραν τη δυνατότητα πολλαπλασιασμού του ενός παράγοντα με ταυτόχρονη διαίρεση του άλλου παράγοντα και 4,76% (3) ανέφεραν τον τρόπο των αρχαίων Ελλήνων. Από τους 63 εκπαιδευτικούς, 9 δεν έδωσε καμία απάντηση ενώ 6 ανέφεραν απλά τον αριθμό των μεθόδων πολλαπλασιασμού που γνωρίζουν, χωρίς να τις επισημάνουν. Στην ερώτηση «Τους πιο πάνω τρόπους πολλαπλασιασμού: Αρχαίοι Αιγύπτιοι, Ρώσοι Χωρικοί και Ινδοί, θα τους χρησιμοποιούσατε στη διδασκαλία του πολλαπλασιασμού πριν ή μετά τη διδασκαλία του σημερινού αλγορίθμου», 42,85% (27) των εκπαιδευτικών απάντησαν πως θα χρησιμοποιούσαν τις μεθόδους των αρχαίων λαών πριν από τη διδασκαλία του σημερινού αλγορίθμου, 26,89% (17) μετά από τη διδασκαλία, 15,87% (10) ανάφεραν πως θα τις χρησιμοποιούσαν τόσο πριν όσο και μετά τη διδασκαλία, ενώ 3,17% (2) πως θα τις χρησιμοποιούσαν παράλληλα με τη διδασκαλία. Εξετάζοντας τις αιτιολογίες που έδωσαν οι εκπαιδευτικοί, διαπιστώθηκε ότι λίγοι αναφέρθηκαν στην αξία της ενσωμάτωσης της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία. Συγκεκριμένα, αναφέρθηκαν στη σύγκριση των μεθόδων των αρχαίων λαών με το σημερινό αλγόριθμο καθώς και στην αναγνώριση της εξελικτικής πορείας της πράξης του πολλαπλασιασμού. Χαρακτηριστικά ένας εκπαιδευτικός που υποστήριξε την χρησιμοποίηση αυτών των τρόπων πριν τη διδασκαλία του σημερινού αλγόριθμου ανάφερε: «Θα χρησιμοποιήσω τις μεθόδους των αρχαίων Αιγυπτίων, των Ρώσων χωρικών και των Ινδών πριν τη διδασκαλία του σημερινού αλγορίθμου με στόχο οι μαθητές να κατανοήσουν την πορεία που ακολούθησε η ανθρωπότητα για να καταλήξει στο σημερινό αλγόριθμο.» Επιπρόσθετα, ως αιτιολογίες οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί ανέφεραν ότι θα αξιοποιούσαν τις μεθόδους των αρχαίων λαών ως εναλλακτικούς τρόπους, ως αφόρμηση και αξιολόγηση, με στόχο την εννοιολογική κατανόηση, για να αναπτύξουν οι μαθητές την ικανότητα εκτίμησης του αποτελέσματος καθώς και στρατηγικές όπως η επιμεριστική ιδιότητα. ΤΑΞΗ ΑΡΙΘΜΟΣ ΔΑΣΚΑΛΩΝ ΠΟΣΟΣΤΑ (%) Α τάξη 9 14,28 Β και Γ τάξη 3 4,76 Γ τάξη 14 22,22 Γ τάξη και μετά 5 7,93 Δ τάξη 6 9,52

Δ και Ε τάξη 10 15,87 Ε τάξη 1 1,58 Ε και Στ τάξη 10 15,87 Στ τάξη 3 4,76 Ανάλογα με το επίπεδο των μαθητών 1 1,58 Καμία απάντηση 1 1,58 ΣΥΝΟΛΟ 63 100 Πίνακας 6: Η τάξη στην οποία οι εκπαιδευτικοί επιλέγουν να εισάγουν τις μεθόδους των αρχαίων λαών. Στην ερώτηση «Σε ποια τάξη θα χρησιμοποιούσατε στη διδασκαλία σας τους πιο πάνω τρόπους και γιατί;», οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί του δείγματος, όπως φαίνεται και από τον πίνακα 6, αναφέραν τη Γ τάξη και μετά (77,78%). Μόνο ένας από τους 63 εκπαιδευτικούς του δείγματος δεν αναφέρεται σε συγκεκριμένη τάξη, αλλά επισημαίνει ότι θα αποφασίσει πότε θα εισάγει τις μεθόδους των αρχαίων λαών ανάλογα με το επίπεδο των μαθητών του. Οι αιτιολογήσεις των εκπαιδευτικών ποικίλλουν αλλά ταυτόχρονα κινούνται στην «ίδια γραμμή». Δηλαδή δεν αναφέρονται στον ανθρώπινο χαρακτήρα της πράξης του πολλαπλασιασμού αλλά θεωρούν τους τρόπους αυτούς ως εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσης του πολλαπλασιασμού που βοηθούν τους μαθητές να αντιληφθούν εννοιολογικά τον αλγόριθμο. Πιο συγκεκριμένα, από τους εκπαιδευτικούς που αναφέρθηκαν στη χρήση των μεθόδων των αρχαίων Αιγυπτίων, των Ρώσων χωρικών και των Ινδών από την Α τάξη, ένας ανέφερε χαρακτηριστικά ότι: «Θα τους χρησιμοποιούσα στις μικρές τάξεις για να κατανοήσουν τα παιδιά ότι ο σημερινός αλγόριθμος είναι πιο εύκολος. Ωστόσο, θα τους υπενθύμιζα στις μεγαλύτερες τάξεις για να καλλιεργήσω τη σκέψη των παιδιών αφενός και αφετέρου να αποδείξουμε ότι δεν υπάρχει ένας και μοναδικός, μηχανιστικός τρόπος επίλυσης.» Από το σύνολο των εκπαιδευτικών, 4,76% (3) επιλέγει την εισαγωγή των πράξεων στη Β και στη Γ τάξη, αφού θεωρούν ότι τα παιδιά βρίσκονται στην κατάλληλη νοητική ανάπτυξη για να αντιληφθούν τις μεθόδους αυτές. Ως κατάλληλη τάξη για την εισαγωγή των πιο πάνω μεθόδων θεωρούν την Γ τάξη το 22,22% (14) των εκπαιδευτικών. Οι αιτιολογίες που έδωσαν οι εκπαιδευτικοί ποικίλλουν. Ένα μέρος των εκπαιδευτικών που επιλέγουν την Γ τάξη αιτιολογούν την απάντησή τους εκφράζοντας την άποψη ότι στην Γ Δημοτικού οι μαθητές είναι ήδη εξοικειωμένοι με την προπαίδεια και συνεπώς είναι κατάλληλη στιγμή για να αποκτήσουν μια πιο σφαιρική αντίληψη για την πράξη του πολλαπλασιασμού, γνωρίζοντας και εναλλακτικούς τρόπους εκτέλεσής του. Κάποιοι άλλοι εκπαιδευτικοί υποστηρίζουν την επιλογή τους αναφέροντας ότι θεωρούν κατάλληλη την εισαγωγή των μεθόδων των αρχαίων λαών ταυτόχρονα με την διδασκαλία του διψήφιου πολλαπλασιασμού, έτσι ώστε τα παιδιά να αντιληφθούν εννοιολογικά τον αλγόριθμο. Ένας εκπαιδευτικός ανέφερε χαρακτηριστικά:

«Από την Γ δημοτικού, όπου και ξεκινά ο πολλαπλασιασμός διψήφιων αριθμών. Πρέπει οπωσδήποτε να διδάσκονται από νωρίς οι μέθοδοι των λαών έτσι που οι μαθητές να μην έχουν βρει την εύκολη, αλλά και καθ όλα διαδικαστική λύση, αλγορίθμου.» Οι εκπαιδευτικοί που ανέφεραν ότι θα χρησιμοποιούσαν τους μεθόδους των αρχαίων λαών από την Δ τάξη και μετά, θεωρούν ότι τα παιδιά είναι πιο ώριμα και γνωρίζουν πολύ καλά τον αλγόριθμο και δεν θα δυσκολευτούν να μάθουν μια εναλλακτική διαδικασία. Επιπρόσθετα, κάποιοι από αυτούς υποστηρίζουν ότι σε μικρότερες τάξεις οι τρόποι θα ήταν κατανοητοί από μαθητές οι οποίοι έχουν ιδιαίτερη αγάπη και κλίση στα μαθηματικά ενώ σε αυτήν την ηλικία οι μαθητές είναι ικανοί να κατανοήσουν καλύτερα τις σχέσεις που υπάρχουν (αξία θέσης ψηφίου), να αντιληφθούν το διαφορετικό ενώ είναι πιο δεκτικοί στη διδασκαλία διαφορετικών μεθόδων. Στην ερώτηση «Ποιος από τους πιο πάνω τρόπους είναι ο πιο κατάλληλος για αδύνατους μαθητές και γιατί;», οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί (63,49%) απάντησαν πως θεωρούν ως καταλληλότερη τη μέθοδο των Αρχαίων Αιγυπτίων αφού στηρίζεται στο διπλάσιο με το οποίο είναι εξοικειωμένοι οι μαθητές. Η μέθοδος των Ινδών θεωρείται η καταλληλότερη μόνο από το 14,28% των εκπαιδευτικών αφού, σύμφωνα με τους ίδιους, είναι πιο μηχανιστική μέθοδος, ενώ η μέθοδος των Ρώσων χωρικών μόνο από το 4,76% των εκπαιδευτικών. Ίδιο ποσοστό των εκπαιδευτικών αναφέρει ότι τόσο η μέθοδος των Αρχαίων Αιγυπτίων όσο και η μέθοδος των Ρώσων χωρικών είναι κατάλληλες για αδύνατους μαθητές. Τέλος, 7,93% αναφέρει ότι δεν υπάρχει κοινή κατάλληλη μέθοδος για όλους τους αδύνατους μαθητές, αφού όπως χαρακτηριστικά αναφέρεται από ένα εκπαιδευτικό: «Είμαι της άποψης ότι για το κάθε παιδί θα υπάρχει και κάποιος διαφορετικός τρόπος τον οποίο θεωρεί εύκολο. Αυτό βέβαια μπορεί να ποικίλει από άτομο σε άτομο ανάλογα με τα στυλ μάθησης, και τις προσωπικές του προτιμήσεις». 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Μέσα από την ποσοτική ανάλυση των δεδομένων διαπιστώθηκε ότι οι εκπαιδευτικοί πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης έχουν θετικές στάσεις απέναντι στην ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του, ανεξαρτήτως φύλου, επιπρόσθετων σπουδών και γνώσεων για την ιστορία του πολλαπλασιασμού. Αυτό πιθανόν να οφείλεται στο ότι είχαν θετικές εμπειρίες σε σχέση μ αυτήν τόσο ως εκπαιδευτικοί (αφού υπάρχουν οι τρόποι που πολλαπλασίαζαν οι αρχαίοι λαοί στα εγχειρίδια των μαθηματικών των μεγάλων τάξεων του δημοτικού) όσο και ως εκπαιδευόμενοι, αφού οι περισσότεροι εκπαιδευτικοί του δείγματος της έρευνας έχουν εκπαιδευτική εμπειρία μέχρι και 6 χρόνια και πολύ πιθανόν να έχουν αποφοιτήσει από το Πανεπιστήμιο Κύπρου στο οποίο τα τελευταία χρόνια έχουν σχεδιαστεί μαθήματα των μαθηματικών που περιλαμβάνουν στοιχεία της ιστορίας του πολλαπλασιασμού (Philippou & Christou, 1998).

Επιπρόσθετα, οι θετικές στάσεις των εκπαιδευτικών του δείγματος, πιθανόν να οφείλονται στην κατανόηση από μέρους τους των τρόπων που πολλαπλασίαζαν οι αρχαίοι λαοί και στη μη συνάντηση δυσκολιών σε σχέση με αυτούς. Αυτό γιατί, όταν μπορούν να λύσουν μια άσκηση και να την κατανοήσουν, αποκτούν αυτοπεποίθηση για το γνωστικό αντικείμενο των μαθηματικών ή για τη συγκεκριμένη περιοχή των μαθηματικών και κατ επέκταση θετικές στάσεις προς αυτό, αφού τα επιτεύγματα επηρεάζουν σε μεγάλο βαθμό τις στάσεις (Eisenhart, 1977 αναφορά στον Παπαναστασίου, 2001). Επιπλέον, οι εκπαιδευτικοί που θεωρούν ότι η ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του επηρεάζει θετικά τη μάθηση του (αντιλήψεις) έχουν και θετικότερες στάσεις απέναντι σ αυτήν. Αυτό είναι λογικό αφού οι αντιλήψεις των εκπαιδευτικών επηρεάζουν σε σημαντικό βαθμό τη διδακτική πρακτική που θα ακολουθήσουν στην τάξη τους (Φιλίππου & Χρίστου, 1995), άρα και η στάση τους θα είναι ανάλογη. Εντύπωση προκαλεί το γεγονός ότι οι δάσκαλοι πιστεύουν σε μεγαλύτερο βαθμό από τις δασκάλες ότι η ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του έχει πολλά πλεονεκτήματα και είναι χρήσιμη για τη μάθηση του. Παρόμοιο εύρημα βρήκαν οι Φιλίππου & Χρίστου (1995) για τις στάσεις των κύπριων εκπαιδευτικών απέναντι στα μαθηματικά. Μέσα από την ποιοτική ανάλυση των δεδομένων διαπιστώθηκε ότι ελάχιστοι εκπαιδευτικοί θεωρούν σημαντικό να ενσωματωθεί η πολύ-πολιτισμική διάσταση του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του, με στόχο τα οφέλη που προκύπτουν από αυτήν. Παρόλα αυτά, οι θετικές στάσεις των εκπαιδευτικών για την ενσωμάτωση της ιστορίας του πολλαπλασιασμού στη διδασκαλία του αποτελούν ένα σημαντικό εύρημα το οποίο θα πρέπει να αξιοποιηθεί κατάλληλα και να αποτελέσει ίσως μέσο εισαγωγής καινοτομιών στη διδασκαλία των μαθηματικών. Αυτό γιατί είναι διαδεδομένη η αντίληψη ότι τα θετικά συναισθήματα οδηγούν σε θετικά επιτεύγματα (McLeod, 1992 αναφορά στον Παπαναστασίου, 2001). ΑΝΑΦΟΡΕΣ Βάμβουκας, Μ. Ι. & Κανάκης, Ι. Ν. (1997). Στάσεις των εκπαιδευτικών απέναντι στα Ο Α μέσα διδασκαλίας μάθησης. Παιδαγωγική Επιθεώρηση, 25, 61 86. Barbin, E. (2000). Integrating history: research perspectives. In J. Fauvel & J. van Maanen (Εds.), History in Mathematics Education: the ICMI study (pp. 63-90). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Fauvel, J. & Maanen, J. V. (1997). The Role of the History of Mathematics in the Teaching and Learning of Mathematics: Discussion Document For An ICMI Study (1997 2000). Educational Studies in Mathematics, 34, 255 259. Furinghetti, F. (2007). Teacher education through the history of mathematics. Educational Studies in Mathematics. (υπό εκτύπωση) Gulikers, I., & Blom, K. (2001). A Historical Angle, A survey of recent literature on the use and value of history in geometrical education. Educational Studies in Mathematics, 47, 223-258. Kool, M. (2003). An extra, student in your classroom: How the history of mathematics can enrich interactive mathematical discussions at primary school. Mathematics in School, 32 (1), 19-22. Λεμονίδης, Χ. (2003). Η εισαγωγή των πράξεων του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης στο Δημοτικό: μια πειραματική εφαρμογή. Μέντορας, 7, 34-48.

Lloyd, G. (2002). Mathematics teachers beliefs and experiences with innovative curriculum materials. The Role of Curriculum in Teacher Development. In G.C.Leder, E. Pehkonen, & G. Τörner (Eds), Beliefs: A Hidden Variable in Mathematics Education (pp. 149-159). Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Νικολαντωνάκης, Κ. (2005). Η πολύ πολιτισμική διάσταση της πράξης του πολλαπλασιασμού. Πρακτικά 4ου Διημέρου Διαλόγου για τις κοινωνικές και πολιτισμικές διαστάσεις της Μαθηματικής εκπαίδευσης. Θεσσαλονίκη. Παπαναστασίου, Κ. (2001). Παράγοντες που επηρεάζουν τις στάσεις των μαθητών για τα μαθηματικά. Παιδαγωγική Επιθεώρηση, 31, 165-180. Πάσχος, Θ. (2003). Η αξιοποίηση της Ιστορίας των Μαθηματικών στη διδακτική πρακτική στο γυμνάσιο. Πρακτικά 2 ου Συνεδρίου για τα Μαθηματικά στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών - Πανεπιστήμιο Κύπρου. Philippou, G., & Christou, C. (1998). The effects of a preparatory mathematics program in changing prospective teachers attitudes towards mathematics. Educational Studies in Mathematics, 35, 189-206. Philippou, G., & Christou, C. (2000). A pre-service programme for primary teachers implemented in Greece and Cyprus. In J. Fauvel & J. van Maanen (Εds.), History in mathematics education: the ICMI study (pp. 113-117). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Sierpinska., A. (1991). Μερικές ιδέες πάνω στη μεθοδολογία της έρευνας στη Διδακτική των Μαθηματικών που συνδέεται με την έννοια του επιστημολογικού εμποδίου. Τετράδια Διδακτικής των Μαθηματικών, 7, 11-28. Siu, M. - K. (2000). Historical support for particular subjects. In J. Fauvel & J. van Maanen (Εds.), History in Mathematics Education: the ICMI study (pp. 241-290). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Streefland, L. (1996). Negative numbers: Reflections of a learning researcher. Journal of Mathematical Behavior, 15(1), 57 77. Thompson, A. G. (1984). The relationship of teachers conceptions of mathematics and mathematics teaching to instructional practice. Educational Studies in Mathematics, 15, 105 127. Tzanakis, C., & Arcavi, A. (2000). Integrating history of mathematics in the classroom: An analytic survey. In J. Fauvel & J. van Maanen (Eds.), History in Mathematics Education: the ICMI study (pp. 201 240). Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Φιλίππου, Γ. (1995). Εισαγωγή στις βάσεις και στις βασικές έννοιες των μαθηματικών. Λευκωσία: Σύγχρονη Εποχή Κύπρου. Φιλίππου, Γ., & Χρίστου, Κ. (1995). Στάσεις των δασκάλων της τάξης προς τα μαθηματικά. Σε Γ. Φιλίππου, Κ. Χρίστου & Α. Κάκας (επιμέλεια), Β Πανελλήνιο Συνέδριο: Διδακτική των Μαθηματικών και Πληροφορική στην Εκπαίδευση, (σελ. 219 234). Λευκωσία: Σύγχρονη Εποχή Κύπρου.