ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ

Η πρόταση υλοποιείται στο πλαίσιο της Δράσης «Ενίσχυση Μεταδιδακτόρων Ερευνητών/τριών» του ΕΠΕΔΒΜ με Δικαιούχο την Γενική Γραμματεία Έρευνας και Τεχνολογίας και συγχρηματοδοτείται από το Ευρωπαϊκό Ταμείο (ΕΚΤ) και από Εθνικούς Πόρους. Κωδικός Πρότασης & Ακρωνύμιο Πρότασης: SH4_3510 EDARCPADSS ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΕΝΝΟΙΑΣ ΤΗΣ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ Τριανταφύλλου Χρυσαυγή Μεταδιδάκτωρ ερευνήτρια, Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Παράρτημα Πάτρας, Παιδαγωγικό Τμήμα, Σπηλιωτοπούλου Βασιλική Επιστημονική Υπεύθυνη, Α.Σ.ΠΑΙ.Τ.Ε. Παράρτημα Πάτρας, Παιδαγωγικό Τμήμα, ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο βασικός στόχος της έρευνάς μας είναι να μελετήσει επιστημολογικής και διδακτικής φύσης θέματα που αφορούν την έννοια της περιοδικότητας. Επιλέξαμε να μελετήσουμε την έννοια της περιοδικότητας διότι διαδραματίζει κυρίαρχο ρόλο στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών δεδομένου ότι εμπλέκεται σε διαφορετικές θεματικές περιοχές πολλών γνωστικών αντικείμενων σχεδόν σε όλη τη διάρκεια της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης αλλά και διότι απαιτείται η εφαρμογή της σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης στους χώρους των Μαθηματικών, της Φυσικής και της εφαρμοσμένης μηχανικής. Τα μεθοδολογικά μας σχέδια κάλυψαν τρεις βασικές συνιστώσες των σχολικών παιδαγωγικών πρακτικών οι οποίες αποτέλεσαν και τις τρεις ερευνητικές μας φάσεις. Στην πρώτη ερευνητική φάση αναλύσαμε ελληνικά σχολικά βιβλία των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών (φυσικής, αστρονομίας και εφαρμοσμένης τεχνολογίας). Στην δεύτερη ερευνητική φάση το ερευνητικό μας ενδιαφέρον επικεντρώθηκε στον τρόπο με τον οποίον φοιτητές, που έχουν ολοκληρώσει τον κύκλο των σπουδών τους σε επίπεδο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, αντιλαμβάνονται την έννοια της περιοδικότητας και τις αναπαραστάσεις της. Στην τρίτη ερευνητική φάση εστιάσαμε το ερευνητικό μας ενδιαφέρον στις πρακτικές εκπαιδευτικών δευτεροβάθμιας 1

εκπαίδευσης στα Μαθηματικά και σε συναφείς με τα Μαθηματικά ειδικότητες οι οποίοι διδάσκουν πτυχές της έννοιας σε διαφορετικά γνωστικά αντικείμενα. Η ανάλυση των σχολικών κειμένων ανέδειξε τη συσχέτιση των συλλογισμών τεκμηρίωσης της νέας γνώσης και της εννοιολογικής κατανόησης στοιχείων της έννοιας. Στη συνέχεια, διερευνήσαμε πώς εκπαιδευτικοί μαθηματικών και φυσικών επιστημών διαχειρίζονται την τεκμηρίωση της νέας γνώσης σε σχολικά κείμενα που αναλύσαμε στην πρώτη ερευνητική φάση και ανιχνεύσαμε αν και με ποιο τρόπο οι δύο παραπάνω παράγοντες (δηλ. η επιχειρηματολογία του σχολικού κειμένου και οι διδακτικές πρακτικές των εκπαιδευτικών) επηρεάζουν την κατανόηση της έννοιας από τους συμμετέχοντες φοιτητές. ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ & ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ Αν και οποιαδήποτε επιστημονική έννοια είναι ανεξάρτητη από οποιοδήποτε κείμενο, η έκφρασή της και η κατανόησή της απαιτεί τη χρήση εξειδικευμένων εκφράσεων και εικόνων (Yore, Pimm, & Tuan, 2007) ενώ ταυτόχρονα απαιτείται η αναγνώριση και η σύνδεση των στοιχείων τα οποία διαμορφώνουν την επιχειρηματολογία που αναπτύσσεται στο κείμενο (Lin & Yang, 2007). Η επιχειρηματολογία, ως ανθρώπινη ικανότητα κατανόησης του κόσμου γύρω μας, αποτελεί εδώ και αιώνες κοινή πρακτική των μαθηματικών και των φυσικών επιστήμων (Lakatos, 1976). Ταυτόχρονα υιοθετούμε την άποψη ότι οι αναπαραστάσεις της έννοιας (μαθηματικές εκφράσεις, διαγράμματα, εικόνες) αλλά και η οργάνωση της γνώσης σε ένα σχολικό κείμενο είναι κοινωνικο-πολιτισμικά εργαλεία που εκφράζουν σε συμπυκνωμένη μορφή επιστημονικά πρότυπα γνώσης (Pea, 1993 Lektorsky, 1995). Οι εκπαιδευτικοί οργανώνουν τη διδασκαλία τους με βάση αυτά τα εργαλεία τα οποία επηρεάζουν και τον τρόπο σκέψης των μαθητών (Rezat & Strässer, 2012). Συγκεκριμένα, θεωρούμε ότι κάθε σχολικό κείμενο έχει στόχο να εισάγει και να τεκμηριώσει τη νέα επιστημονική γνώση με τρόπο που είναι αποδεκτό σε κάθε επιστημονικό πεδίο. Εντοπίζοντας το ενδιαφέρον μας σε συγκεκριμένες θεματικές ενότητες που σχετίζονται με την έννοια της περιοδικότητας μελετούμε τον τρόπο οργάνωσης και τεκμηρίωσης της νέας γνώσης στα σχολικά κείμενα. Τα ερευνητικά μας ερωτήματα διαμορφώνονται ως ακολούθως: Πώς δομείται και αναπτύσσεται η επιχειρηματολογία στα σχολικά κείμενα; Αν και με ποιο τρόπο συνδέεται η τεκμηρίωση της νέας γνώσης με θέματα εννοιολογικής κατανόησης; Με ποιο τρόπο διαφοροποιείται η επιχειρηματολογία στα σχολικά κείμενα μαθηματικών και φυσικής; Ποιοί τρόποι τεκμηρίωσης ενεργοποιούνται με τις προτεινόμενες ασκήσεις στο συγκεκριμένο δείγμα θεματικών ενοτήτων; Στη δεύτερη ερευνητική φάση υιοθετούμε την αντίληψη ότι η περιοδικότητα ως αφηρημένη έννοια γίνεται αντιληπτή μέσα από συγκεκριμένες καταστάσεις (Radford, 2013). Υπό αυτή τη θεωρητική αντίληψη σχεδιάσαμε τρεις ερευνητικές δραστηριότητες που αφορούν διαφορετικές καταστάσεις που συναντάται η έννοια στα σχολικά κείμενα (απλή αρμονική ταλάντωση, περιοδικές και μη περιοδικές κινήσεις, ελικοειδή ελατήρια σε ένα αυτοκίνητο). Τα ερευνητικά μας ερωτήματα τέθηκαν σε προπτυχιακούς φοιτητές και είναι τα ακόλουθα: 2

Πώς ερμηνεύουν και συνδέουν αναπαραστάσεις σχολικών κειμένων της έννοιας; Πώς ερμηνεύουν γραφικές παραστάσεις περιοδικών κινήσεων και εάν και με ποιο τρόπο τις διαχωρίζουν από γραφικές παραστάσεις επαναλαμβανόμενων αλλά μη - περιοδικών κινήσεων; Με ποιο τρόπο μηχανολόγοι μηχανικοί - μελλοντικοί εκπαιδευτικοί σε επαγγελματικά λύκεια - επεξηγούν ένα σχολικό κείμενο της ειδικότητάς τους; Ποια επίπεδα συναίσθησης αναδεικνύονται μέσα από τις επεξηγήσεις τους σε σχέση με την αναγνώριση συνδέσεων ανάμεσα στο θεωρητικό και το πρακτικό πλαίσιο της ενότητας; Στην τρίτη ερευνητική φάση αναζητούμε πώς εκπαιδευτικοί διαφορετικών ειδικοτήτων εισάγουν τους μαθητές τους στην έννοια. Ειδικότερα αναζητούμε ποιες αναπαραστάσεις της έννοιας κυριαρχούν στη διδασκαλία τους, το είδος των παραδειγμάτων που χρησιμοποιούν και με ποιο τρόπο τα εντάσσουν στη διδασκαλία τους, αλλά και γενικότερα πώς διαχειρίζονται στη διδασκαλία τους την οργάνωση της νέας γνώσης σε σχέση με το σχολικό κείμενο. Με αυτούς τους γενικότερους στόχους σχεδιάσαμε δύο ερευνητικές δράσεις διαμορφώνοντας τις παρακάτω ερευνητικές ερωτήσεις: Ποια/ες είναι οι βασικές αναπαραστάσεις της έννοιας στις πρακτικές των εκπαιδευτικών; Με ποιο τρόπο διαχειρίζονται λανθασμένες απαντήσεις μαθητών σε σχέση με την διαφορά περιοδικής και επαναλαμβανόμενης αλλά μη περιοδικής κίνησης; Ακολουθούν ή τροποποιούν την οργάνωση της νέας γνώσης των σχολικών κειμένων που αναφέρονται σε πτυχές της έννοιας; Πώς δικαιολογούν τις τυχόν τροποποιήσεις τους; Τι θα πρότειναν ώστε οι μαθητές τους να αποκτήσουν μια ολοκληρωμένη άποψη της έννοιας όπου στοιχεία της από διαφορετικά γνωστικά αντικείμενα να συνυπάρχουν αρμονικά; Τέλος, μέσα από την έρευνά μας θα προσπαθήσουμε να διαφωτίσουμε πτυχές του ζητήματος μεταφοράς της γνώσης από ένα γνωστικό αντικείμενο σε ένα άλλο, ένα ζήτημα το οποίο παραμένει ανοικτό ερευνητικά προκαλώντας συνέχεια τις διδακτικές πρακτικές της τυπικής εκπαίδευσης. METHODOLOGY Τα ερευνητικά μας δεδομένα Η έρευνά μας υλοποιήθηκε από το Φεβρουάριο του 2013 έως το Φεβρουάριο του 2015. Αρχικά αναλύσαμε 110 θεματικές ενότητες, 214 οπτικές αναπαραστάσεις και 162 προτεινόμενες ασκήσεις από 12 ελληνικά σχολικά εγχειρίδια (μαθηματικών, φυσικής, αστρονομίας και εφαρμοσμένης τεχνολογίας). Στη τελική μας έκθεση τα ερευνητικά μας ευρήματα αφορούν ειδικά τα σχολικά εγχειρίδια των μαθηματικών και της φυσικής (72 θεματικές ενότητες, 184 οπτικές αναπαραστάσεις & 143 προτεινόμενες ασκήσεις) διότι η αρχική μας ανάλυση έδειξε ότι αποτελούν τα βασικά σχολικά αντικείμενα τα οποία εισάγουν τους μαθητές στην έννοια σε επίπεδο δευτεροβάθμιας γενικής και επαγγελματικής εκπαίδευσης. Επιπλέον, συμμετείχαν στην έρευνα 288 προπτυχιακοί φοιτητές (230 τεχνολογικής εκπαίδευσης και 58 πανεπιστημιακής εκπαίδευσης) από 4 Τεχνολογικά και 2 Πανεπιστημιακά Ιδρύματα. 3

Τα δεδομένα μας ήταν οι απαντήσεις των συμμετεχόντων σε ερωτηματολόγια με ανοικτού τύπου ερωτήσεις σε τρεις ερευνητικές δράσεις. Τέλος, συμμετείχαν 50 εκπαιδευτικοί (μαθηματικοί, φυσικοί και μηχανικοί). Τα δεδομένα μας ήταν οι απαντήσεις των εκπαιδευτικών σε ερωτηματολόγια με ανοικτού τύπου ερωτήσεις και ημι - δομημένες συνεντεύξεις που αποτέλεσαν και τις δύο ερευνητικές μας δράσεις. Ανάλυση των ερευνητικών δεδομένων Η προσέγγιση στην ανάλυση των δεδομένων μας προέρχεται από τη Θεμελιωμένη Θεωρία (Grounded theory) η οποία μέσα από τη συστηματική συλλογή και μελέτη των δεδομένων στόχο έχει την ανάπτυξη ενός ερμηνευτικού πλαισίου για το κοινωνικό φαινόμενο το οποίο ερευνάται (Corbin & Strauss, 2008). Η μέθοδος μελέτης των σχολικών κειμένων που ακολουθήσαμε στην ανάλυση της οργάνωσης της νέας γνώσης των σχολικών κειμένων ήταν η δημιουργία δυο επιπέδων ανάλυσης περιεχομένου. Σε πρώτο επίπεδο, η μονάδα ανάλυσης ήταν μια θεματική ενότητα η οποία συνδέεται με μια συγκεκριμένη διδακτική κατάσταση διατηρώντας ακέραια τα στοιχεία που σχετίζονται με θέματα εννοιολογικής κατανόησης. Σε δεύτερο επίπεδο η μονάδα ανάλυσης ήταν κάθε σύνολο προτάσεων ή κειμένου και εικόνας, τα οποία συνθέτουν ένα συλλογισμό. Το σύνολο όλων των συλλογισμών συνθέτουν την επιχειρηματολογία της κάθε θεματικής ενότητας. Με τον τρόπο αυτόν προέκυψε ένα συστημικό δίκτυο συλλογισμών (Σχήμα 1). Αυτό το πλαίσιο υιοθετήθηκε σε κάποιες περιπτώσεις ως φίλτρο συστηματικής ανάλυσης και άλλων ερευνητικών μας δεδομένων. Συγκεκριμένα, μέσα από αυτό το πλαίσιο αναλύσαμε τον τρόπο τεκμηρίωσης που απαιτείται στις προτεινόμενες ασκήσεις του σχολικού βιβλίου, τις απαντήσεις των φοιτητών σε επιλεγμένες ερευνητικές δράσεις και τις απαντήσεις των εκπαιδευτικών σε σχέση με την υιοθέτηση ή τροποποίηση της οργάνωσης της νέας γνώσης στα σχολικά κείμενα αλλά και στην αξιολόγηση της εγκυρότητας των απαντήσεων των μαθητών τους σε σχέση με την διαφορά περιοδικής και επαναλαμβανόμενης αλλά μη περιοδικής κίνησης. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συνθέτοντας τα αποτελέσματα των τριών ερευνητικών φάσεων καταλήγουμε στα παρακάτω συμπεράσματα: Στα σχολικά κείμενα το εννοιολογικό περιεχόμενο και η δομή της επιχειρηματολογίας που αναπτύσσεται συνυπάρχουν ενώ η κατανόηση της έννοιας μέσα από την ανάγνωση του κειμένου διαμορφώνεται μέσα από τη διαλεκτική σχέση των δύο παραπάνω καναλιών σκέψης. Η επιχειρηματολογία που αναπτύσσεται στην οργάνωση της νέας γνώσης στα διδακτικά κείμενα δομείται από μια σειρά συλλογισμών (Triantafillou, Spiliotopoulou & Potari 2015), το είδος των αναπαραστάσεων και την αλληλοσύνδεσή τους (Triantafillou, Spiliotopoulou & Potari, 2013a & 2013b Spiliotopoulou & Triantafillou, 2014 Triantafillou & Spiliotopoulou, 2014). Οι συλλογισμοί αυτοί ανήκουν σε ένα ευρύ φάσμα σκέψης από εμπειρικές αντιλήψεις (οι εμπειρικοί και οι λογικο-εμπειρικοί) σε συλλογισμούς αφηρημένης σκέψης (νομολογικοί και μαθηματικοί (Σχ. 1). 4

Εμπειρικοί Εμπειρικές αντιλήψεις Είδη συλλογισμών Λογικοεμπειρικοί Νομολογικοί Γενικό Ειδικό Ειδικό Γενικό Μαθηματικοί Αφηρημένη σκέψη Σχήμα 1: Το συστημικό δίκτυο (Bliss, Monk & Ogborn, 1983) του φάσματος των συλλογισμών τεκμηρίωσης της νέας γνώσης στα σχολικά κείμενα. Οι εμπειρικοί συλλογισμοί βασίζονται στην επίκληση εμπειριών είτε από την καθημερινή ζωή, είτε από μια πειραματική δραστηριότητα ενώ οι λογικο-εμπειρικοί συλλογισμοί συνδέουν εμπειρικές παρατηρήσεις με λογικά συμπεράσματα. Οι νομολογικοί συλλογισμοί είναι ορισμοί, αξιώματα, νόμοι κλπ. που είτε αποτελούν τη βάση για άλλους συλλογισμούς είτε είναι τα αποτέλεσμα προηγούμενων συλλογισμών. Τέλος, οι μαθηματικοί συλλογισμοί στηρίζονται στην αξιοποίηση μαθηματικών σχέσεων και τεχνικών με στόχο την τεκμηρίωση χαρακτηριστικών της έννοιας. Οι εμπειρικοί και οι λογικο-εμπειρικοί συλλογισμοί βοηθούν τον αναγνώστη να δημιουργήσει συνδέσεις ανάμεσα στην εμπειρική αντίληψη στοιχείων της έννοιας και στα επιστημονικά χαρακτηριστικά της. Οι νομολογικοί συλλογισμοί υποδεικνύουν τα επιστημολογικά και οντολογικά στοιχεία της έννοιας όπως αυτά ορίζονται σε κάθε επιστημονικό πεδίο. Οι μαθηματικοί συλλογισμοί υποστηρίζουν πιο αφηρημένες αντιλήψεις της έννοιας ενώ οι αναπαραστάσεις της έννοιας είναι ως επί το πλείστον συμβολικής μορφής. Σε σχέση με το είδος των αναπαραστάσεων, οι φωτογραφίες περιοδικών κινήσεων βοηθούν τους μαθητές να οπτικοποιήσουν περιοδικά φαινόμενα της καθημερινότητάς τους ενώ οι σχηματικές αναπαραστάσεις και τα γραφήματα κυρίως υποστηρίζουν πιο αφηρημένους τρόπους σκέψης και τεκμηρίωσης. Παρατηρήσαμε ότι από τα σχολικά κείμενα των μαθηματικών απουσιάζουν οι φωτογραφίες ενώ κυριαρχούν αναπαραστάσεις που υποστηρίζουν αφηρημένους τρόπους σκέψης. Θεωρούμε ότι η παραπάνω διαπίστωση δεν είναι τυχαία μιας και γενικότερα στην μαθηματική εκπαιδευτική κοινότητα θεωρείται ότι εικονικής μορφής αναπαραστάσεις αδυνατούν να υποστηρίξουν ένα κατάλληλο μαθηματικό επιχείρημα (Herbel-Eisenmann & Wagner, 2007). Παρότι πρόσφατες έρευνες υποστηρίζουν τον αποφασιστικό και σημαντικό ρόλο των ενσώματων επιρροών στην ανάπτυξη της μαθηματικής σκέψης (Nunez, 2007) αυτό φαίνεται να αγνοείται από τους έλληνες συγγραφείς των μαθηματικών εγχειριδίων. Στην άλλη πλευρά, τα σχολικά κείμενα φυσικής προσπαθούν να φέρουν την έννοια πιο κοντά στις εμπειρίες των μαθητών ιδιαίτερα στις μικρές τάξεις όσον αφορά την ανάπτυξη και τεκμηρίωση της νέας γνώσης (Τριανταφύλλου & Σπηλιωτοπούλου, 2013). Παρόλα αυτά αυτή η προσέγγιση δεν ακολουθείται και στις προτεινόμενες ασκήσεις μιας και οι περισσότερες ασκήσεις φυσικής και σχεδόν όλες οι ασκήσεις των μαθηματικών είναι από-πλαισιωμένες. Οι παραπάνω πρακτικές είναι δυνατόν να περιορίσουν την οικοδόμηση νοήματος διαφορετικών πτυχών της έννοιας μιας και περιορίζεται η εφαρμογή από τους 5

μαθητές πρακτικών μοντελοποίησης περιοδικών φαινομένων από την καθημερινότητά τους. Η έρευνά μας αναδεικνύει ότι η απουσία συγκεκριμένων συλλογισμών μπορεί να δημιουργήσει κενά επιχειρηματολογίας και εννοιολογικής κατανόησης. Για παράδειγμα, διαπιστώσαμε ότι σε ορισμένες διδακτικές ενότητες που αφορούν την απλή αρμονική ταλάντωση η ημιτονοειδής καμπύλη παρουσιάζεται αυθαίρετα (Triantafillou, Spilitopoulou & Potari, 2015). Υποστηρίζουμε ότι εάν ο αναγνώστης δεν ακολουθήσει μια σειρά συλλογισμών οι οποίοι καταλήγουν στην ημιτονοειδή καμπύλη τότε θα έχει χάσει σημαντικά λογικά και εννοιολογικά στοιχεία της. Σε αυτή την περίπτωση οι εκπαιδευτικοί καλούνται να καλύψουν αυτά τα κενά τεκμηρίωσης με το να προσθέσουν τους συλλογισμούς που λείπουν τροποποιώντας το επιχειρηματολογικό σχήμα του σχολικού κειμένου. Σύμφωνα με τα δεδομένα μας αυτές οι τροποποιήσεις από τους εκπαιδευτικούς πραγματοποιούνται για διαφορετικούς λόγους (π.χ. όταν κρίνουν ότι ένα συλλογισμός είναι διδακτικά ακατάλληλος ή όταν θέλουν να προκαλέσουν το ενδιαφέρον των μαθητών τους). Επιπλέον, οι εκπαιδευτικοί ανέφεραν ότι εμπλουτίζουν τη διδασκαλία τους με εικόνες και παραδείγματα της έννοιας από την καθημερινή ζωή εκτός αυτών που αναφέρονται στα σχολικά κείμενα. Θεωρούμε ότι οι τροποποιήσεις των εκπαιδευτικών στον τρόπο τεκμηρίωσης της νέας γνώσης μπορεί να υποστηρίξει τους μαθητές να οπτικοποιήσουν στοιχεία της έννοιας (για παράδειγμα υποστήριξη των λογικο-εμπειρικών συλλογισμών με τη βοήθεια εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας) ή να καλύψουν κενά τεκμηρίωσης (π.χ. καθηγητές φυσικής ανέφεραν ότι χρησιμοποιούν τον τριγωνομετρικό κύκλο για να ορίσουν την ημιτονοειδή συνάρτηση). Σε μερικές περιπτώσεις όμως οι εκπαιδευτικοί μπορεί άθελά τους να περιορίσουν την επαρκή τεκμηρίωση της νέας γνώσης είτε παραλείποντας συλλογισμούς που είναι σημαντικοί ή μη εντάσσοντας παραδείγματα περιοδικών φαινόμενων στην επιχειρηματολογία του κειμένου. Αυτό το γεγονός υποδεικνύει την ανάγκη οι εκπαιδευτικοί να συνειδητοποιήσουν τη σημασία του κάθε είδους συλλογισμού αλλά και να βοηθήσουν τους μαθητές τους να συνειδητοποιήσουν με ποιο τρόπο το κάθε είδος συλλογισμού υποστηρίζει την ανάπτυξη ενός αξιόπιστου επιχειρήματος. Οι αναπαραστάσεις της έννοιας παίζουν καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της επιχειρηματολογίας στο σχολικό κείμενο είτε υποστηρίζοντας νοηματικά ένα συλλογισμό είτε αποτελώντας το αποτέλεσμα μιας σειρά συλλογισμών τεκμηρίωσης. Οι βασικές αναπαραστάσεις της έννοιας σε όλα τα σχολικά κείμενα αλλά και στις πρακτικές όλων των εκπαιδευτικών είναι η ημιτονοειδής καμπύλη (η εικόνα της συνάρτησης ημx) και ο τριγωνομετρικός κύκλος. Οι δύο αυτές αναπαραστάσεις συνδέονται μιας και η ημιτονοειδής καμπύλη είναι το αποτέλεσμα μια σειράς συλλογισμών που βασίζονται κυρίως στον τριγωνομετρικό κύκλο (Triantafillou, Spiliotopoulou & Potari, 2013a). Επιπλέον η ημιτονοειδής καμπύλη αναγνωρίζεται από όλους τους συμμετέχοντες στην έρευνα εκπαιδευτικούς ως το κύριο διδακτικό τους εργαλείο όταν διδάσκουν πτυχές της έννοιας στην τάξη τους ενώ αποτελεί σχεδόν το 20% των αναπαραστάσεων της έννοιας στα σχολικά κείμενα (Spiliotopoulou & Triantafillou, 2014). Για όλους τους παραπάνω λόγους θεωρούμε ότι η ημιτονοειδής καμπύλη αποτελεί την βασική εικόνα της έννοιας στα διαφορετικά σχολικά αντικείμενα. Παρόλα αυτά, αναγνωρίσαμε δυσκολίες στους μαθητές να διαχωρίσουν τα περιοδικά χαρακτηριστικά της ημιτονοειδούς καμπύλης (εικόνα της συνάρτησης f(x) = sinx) από την καμπύλη της συνάρτησης f(x) = e -bx sin(x), θεωρώντας ότι οι δύο καμπύλες μοιράζονται την ίδια περιοδική συμπεριφορά 6

(Triantafillou, Spiliotopoulou & Potari, 2014). Πιθανή εξήγηση για αυτό θα μπορούσε να είναι ότι στο μάθημα της φυσικής δεν είναι απόλυτα σαφής η διαφοροποίηση αυτών των δύο καμπυλών ως προς την περιοδική τους συμπεριφορά. Μια άλλη εξήγηση θα μπορούσε να είναι ότι στα σχολικά κείμενα απουσιάζουν παραδείγματα συναρτήσεων τα οποία να παρουσιάζουν μια επαναλαμβανόμενη αλλά μη περιοδική συμπεριφορά (Τριανταφύλλου, Σπηλιωτοπούλου, Σιδερής & Κεχράκος, 2012). Τέτοιου είδους συγκρίσεις βοηθούν τους μαθητές να κατανοήσουν σημαντικά χαρακτηριστικά της έννοιας δημιουργώντας πλούσιες εννοιολογικά απεικονίσεις της (Bills, Dreyfus, Mason. Tsamir, Watson & Zaslavsky, 2006). Σε περιπτώσεις όπως στην παραπάνω, η ημιτονοειδής καμπύλη θεωρείται ως ένα 'μαθηματικό εργαλείο' το οποίο μεταφέρεται από ένα μαθηματικό σε ένα μη - μαθηματικό γνωστικό αντικείμενο. Υποστηρίζουμε ότι αυτή η αντίληψη υποβαθμίζει το ρόλο αυτού του 'μαθηματικού εργαλείου'. Ο μαθητής δεν μεταφέρει απλά ένα 'εργαλείο' (στην περίπτωσή μας την ημιτονοειδή καμπύλη) αλλά και το σύνολο των συλλογισμών που κατέληξαν σε αυτό. Το ότι το 'εργαλείο' αυτό χρησιμοποιείται σε διαφορετικά πλαίσια κάνει πιο περίπλοκη την εφαρμογή του αλλά κατά τη γνώμη μας δεν αποτελεί και τη μόνη εξήγηση γιατί η μεταφορά γνώσης από ένα γνωστικό αντικείμενο σε άλλο αποτελεί μια πρόκληση για τον κάθε μαθητή. Υποστηρίζουμε μέσα από την έρευνά μας, ότι ο μαθητής δεν μεταφέρει απλά 'εργαλεία' αλλά περίπλοκες δομές τεκμηρίωσης από ένα επιστημονικό πεδίο σε ένα άλλο. Η έρευνά μας αναδεικνύει οντολογικής φύσης διαφορές ανάμεσα στα μαθηματικά και τη φυσική στην περίπτωση μετάβασης από παρατηρήσεις ως αποδεικτικά στοιχεία σε γενικεύσιμες διαπιστώσεις. Συγκεκριμένα, η μετάβαση από παρατηρήσεις σε μαθηματικά μοντέλα σε γενικεύσιμες διαπιστώσεις θεωρείται πιο αξιόπιστος τρόπος τεκμηρίωσης από ότι παρατηρήσεις σε πειραματικές δραστηριότητες. Ο ρόλος της παρατήρησης είτε ως εμπεριστατωμένο στοιχείο είτε ως υποστηρικτικό στοιχείο τεκμηρίωσης παίζει καθοριστικό ρόλο στην επιστημονική τεκμηρίωση υποθέσεων και ιδεών και αποτελεί μέρος της ίδιας της φύσης των φυσικών επιστημών (Ohertman & Lawson, 2008). Πέρα από τις διαφορές που καταγράψαμε ανάμεσα στα μαθηματικά και τη φυσική θεωρούμε ότι τα δύο αυτά επιστημονικά πεδία μοιράζονται πολλές κοινές παιδαγωγικές πρακτικές (π.χ. ενθαρρύνουν και τα δύο τους μαθητές να συμμετέχουν σε πρακτικές τεκμηρίωσης και χρησιμοποιούν κοινές αναπαραστάσεις της έννοιας όπως η ημιτονοειδής καμπύλη). Επιπλέον, οι εκπαιδευτικοί και των δυο γνωστικών αντικειμένων υιοθέτησαν σχεδόν τις ίδιες πρακτικές τεκμηρίωσης όταν κλήθηκαν να ανασκευάσουν παρανοήσεις και να αξιολογήσουν την εγκυρότητα των απαντήσεων μαθητών. Οι φοιτητές από την άλλη πλευρά, φαίνεται ότι συναντούν δυσκολίες να συνδέσουν διαφορετικές πτυχές της έννοιας από τα δύο αντικείμενα αλλά και να συνθέσουν αντικρουόμενες θέσεις τους όσον αφορά την έννοια (π.χ. παρανοήσεις όσον αφορά την περιοδική συμπεριφορά της συνάρτηση f(x) = e -bx sin(x)). Είναι αναγκαίο λοιπόν οι εκπαιδευτικοί να βοηθήσουν τους μαθητές τους να αποκτήσουν μια ενιαία αντίληψη της έννοιας όπου τα στοιχεία της από διαφορετικά γνωστικά αντικείμενα να συνυπάρχουν αρμονικά. Οι εκπαιδευτικοί έκαναν κάποιες προτάσεις σε αυτό το θέμα (π.χ. τη χρήση παραδειγμάτων από καθημερινά περιοδικά φαινόμενα ή τη σύνδεσή τους με τα μαθηματικά μοντέλα που τα περιγράφουν με τη χρήση εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας). Οι παραπάνω προτάσεις των εκπαιδευτικών είναι σημαντικές αλλά παρατηρήσαμε ότι απουσιάζει η αναφορά τους σε πρακτικές συνεργασίας με σκοπό να βοηθήσουν κατάλληλα τους μαθητές τους. Η σύνδεση μαθηματικών και φυσικής είναι ένα σημαντικό θέμα στη σύγχρονη ερευνητική βιβλιογραφία (Frykhlom & 7

Glasson, 2005) διότι μπορεί να ενδυναμώσει τις αντιλήψεις των μαθητών σε κοινές έννοιες όπως αυτή της περιοδικότητας. Επιπλέον, στο τεχνολογικό πλαίσιο αυτό δεν αποτελεί απλά μια προτεινόμενη πρακτική για τους μαθητές και τους εκπαιδευτικούς αλλά μια αναγκαιότητα. Από την ανάλυση των ερευνητικών δεδομένων προέκυψε ότι οι συμμετέχοντες φοιτητές στην περίπτωση που έπρεπε να επιλέξουν αν ένα γράφημα παρουσιάζει ή όχι περιοδική συμπεριφορά γενικά απέφευγαν να υποστηρίζουν τις επιλογές τους χρησιμοποιώντας επιχειρήματα. Προσπαθώντας να εξηγήσουμε αυτή τη στάση των φοιτητών αναγνωρίζουμε ότι η επιχειρηματολογία ως παιδαγωγική πρακτική συνήθως απουσιάζει από τη ελληνικό σχολείο. Ταυτόχρονα παρατηρήσαμε ότι και στην περίπτωση που οι συμμετέχοντες τεκμηρίωσαν την απάντησή τους σπάνια ο ορισμός της περιοδικής συνάρτησης χρησιμοποιήθηκε ως εγγύηση της επιλογής τους ακόμα και στην περίπτωση των συμμετεχόντων που σπουδάζουν μαθηματικά. Από την άλλη πλευρά η πλειονότητα των φοιτητών συμμετείχαν σε πρακτικές που απαιτούσαν οπτικοποίηση και φαντασία. Όταν φοιτητές μηχανολογίας - μελλοντικοί εκπαιδευτικοί - χρειάστηκε να επεξηγήσουν ένα σχολικό κείμενο της ειδικότητάς τους, αναδείχθηκαν τρία επίπεδα συναίσθησης σε σχέση με την αναγνώριση συνδέσεων ανάμεσα στο θεωρητικό και το πρακτικό πλαίσιο της ενότητας. Τα επίπεδα ήταν το επιφανειακά επεξηγηματικό, το μερικά επεξηγηματικό και το σημαντικά επεξηγηματικό. Στο σημαντικά επεξηγηματικό επίπεδο συναίσθησης οι φοιτητές χρησιμοποιούσαν επιχειρηματολογικό λόγο στις επεξηγήσεις τους στις οποίες συνυπήρχαν στοιχεία και του θεωρητικού/επιστημονικού και του πρακτικού πλαισίου (Spiliotopoulou & Triantafillou, in press). Για μια ακόμα φορά συνδέσαμε την ικανότητα κριτικής σκέψης και ανάπτυξης επιχειρηματολογικού λόγου με την εννοιολογική κατανόηση στοιχείων της έννοιας. ΔΙΔΑΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Τα αποτελέσματα της έρευνάς μας αναδεικνύουν την ανάγκη ενδυνάμωσης της παρουσίας του επιχειρηματολογικού λόγου στο αναλυτικό πρόγραμμα όλων των εκπαιδευτικών βαθμίδων. Οι εκπαιδευτικοί χρειάζεται να συνειδητοποιήσουν τη σημασία όλου του φάσματος των συλλογισμών αλλά και να βοηθήσουν τους μαθητές τους να αναγνωρίζουν τις οντολογικές και επιστημολογικές διαφορές ανάμεσα στους συλλογισμούς τεκμηρίωσης στα μαθηματικά και τις φυσικές επιστήμες. Κατά την άποψή μας πρακτικές που μπορεί να βοηθήσουν τους μαθητές προς αυτήν την κατεύθυνση είναι: η συμμετοχή τους σε μια ευρεία γκάμα πρακτικών τεκμηρίωσης οι οποίες θα τους βοηθήσουν να ξεπεράσουν αντικρουόμενες απόψεις σχετικές με την έννοια στα διαφορετικά επιστημονικά πεδία, η συμμετοχή τους σε πρακτικές μοντελοποίησης με καθημερινά περιοδικά φαινόμενα, ενώ οι εκπαιδευτικοί θα πρέπει να οικειοποιηθούν πρακτικές συνεργασίας με συναδέλφους τους σε γειτονικά επιστημονικά πεδία. Αυτές οι πρακτικές συνεργασίας θα μπορούσε να περιέχουν συζητήσεις, ανταλλαγή διδακτικών εμπειριών αλλά και δράσεις με σκοπό να βοηθήσουν τους μαθητές να κατανοήσουν τις διαφορετικές πτυχές της έννοιας. Γενικά, στην κατανόηση της έννοιας το επιστημονικό πλαίσιο φαίνεται ότι επηρεάζεται από το παιδαγωγικό πλαίσιο (σχολικά κείμενα, διδακτικές πρακτικές και συμβάσεις του κάθε επιστημονικού χώρου). Η συνύπαρξη όλων των παραπάνω διαστάσεων δεν βοηθά τους μαθητές να αναπτύξουν μια ολοκληρωμένη αντίληψη της έννοιας. Μερικές από τις προτάσεις μας είναι: (α) η συγγραφή νέων σχολικών κειμένων που να βασίζονται σε σύγχρονες θεωρίες μάθησης και διδασκαλίας, (β) η ανάπτυξη πρακτικών διδασκαλίας και μάθησης που να βασίζονται στη διερεύνηση 8

και στην ανάπτυξη επιχειρηματικού λόγου (Maaß & Artigue, 2013) και (γ) η δημιουργία κοινοτήτων πρακτικής και διερεύνησης ανάμεσα σε εκπαιδευτικούς διαφορετικών ειδικοτήτων (Jaworski, 2006). Όλα τα παραπάνω μπορούν να βοηθήσουν τους μαθητές να αποκτήσουν μια ευρεία και ολοκληρωμένη αντίληψη της έννοιας της περιοδικότητας που αποτελεί βασικό στοιχείο πολλών επιστημονικών πεδίων. REFERENCES Bills, L., Dreyfus, T., Mason, J., Tsamir, P., Watson, A., & Zaslavsky, O. (2006). Exemplification in mathematics education. In J. Novotná, H. Moraová, M. Krátká, & N. Stehliková (Eds.), Proceedings of the 30th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 1, pp. 126-154). Prague, Czech Republic: PME. Bliss, J., Monk, M., & Ogborn, J. (1983). Qualitative data analysis for educational research. London, England: Croom Helm. Corbin, J. M., & Strauss, A. L. (2008). Basics of qualitative research: Techniques and procedures for developing grounded theory (3 rd ed.). Thousand Oaks, CA: SAGE. Dolev, S., & Even, R. (2013). Justifications and explanations in Israeli 7th grade math textbooks. International Journal of Science and Mathematics Education. Advance online publication. doi:10.1007/s10763-013-9488-7. Frykholm, J. & Glasson, G. (2005). Connecting Science and Mathematics Instruction: Pedagogical Content Knowledge for Teachers. School Science and Mathematics. 105(3), 127-141. Herbel-Eisenmann, B. & Wagner, D. (2007). How a textbook might position a mathematics learner. For the Learning of Mathematics, 27(2), 8-14. Jaworski, B. (2006). Theory and practice in mathematics teaching development: critical inquiry as a mode of learning in teaching. Journal of Mathematics Teacher Education, 9(2), 187-211. Lakatos, I. (1976). Proofs and refutations. Cambridge, England: Cambridge University Press. Lektorsky, V. A. (1995). Knowledge and cultural objects. In L. Kuçuradi & R. S. Cohen (Eds.), The concept of knowledge. The Anakara seminar (pp. 191 196). Dordrecht: Kluwer. Lin, F. L., & Yang, K. L. (2007). The reading comprehension of geometric proofs: The contribution of knowledge and reasoning. International Journal of Science and Mathematics Education, 5(4), 729-754. Maaß, K. & Artigue, M. (2013). Implementation of inquiry-based learning in day-today teaching: a synthesis, ZDM, 45(6), pp 779-795. Nunez, R. (2007). The cognitive science of mathematics: Why is it relevant for mathematics education? In R. A. Lesh, E. Hamilton & J. Kaput (Eds.), Foundations for the future in mathematics education. London: Lawrence Erlbaum Associates. 9

Oehrtman, M., & Lawson, A. E. (2008). Connecting science and mathematics: The nature of proof and disproof in science and mathematics. International Journal of Science and Mathematics Education, 6, 377-403. Pea, R. D. (1993). Practices of distributed intelligence and designs for education. In G. Salomon (Ed.), Distributed cognitions (pp. 47 87). Cambridge: Cambridge University Press. Radford, L. (2013). On the role of representations and artefacts in knowing and learning, Educational studies in mathematics, DOI 10.1007/s10649-013-9527- x. Rezat, S., & Strässer, R. (2012). From the didactical triangle to the socio - didactical tetrahedron: Artifacts and fundamental constituents of the didactical situation. ZDM, 44, 641-65. Spiliotopoulou, V. & Triantafillou, C. (2014). Visual Representations of the Concept of Periodicity across Subjects: Their Context and Genre. In C. P. Constantinou, N. Papadouris & A. Hadjigeorgiou (Eds.), E-Book Proceedings of the ESERA 2013 Conference: Science Education Research For Evidencebased Teaching and Coherence in Learning. Part 2, (pp. 334-344) Nicosia, Cyprus: European Science Education Research Association. ISBN: 978-9963- 700-77-6. Spiliotopoulou, V. & Triantafillou, C. (in press). Engineering students teaching plans on periodicity: transforming school texts, Proceedings of NDSTE 2014 conference, Cambridge: Cambridge Scholars Publishing. Triantafillou, C. & Spiliotopoulou, V. (2013). A method of analyzing argumentation in school texts: The case of periodicity in Physics texts (Μια μέθοδος ανάλυσης της επιχειρηματολογίας σχολικών κειμένων: Η περίπτωση της περιοδικότητας στη Φυσική). Proceedings of the 8th Panhellenic Conference of Didactics in Science and New technologies in Education (Πρακτικά 8ου Πανελλήνιου Συνεδρίου Διδακτικής των Φυσικών Επιστημών και Νέων Τεχνολογιών στην Εκπαίδευση), (pp. 260-267),. Volos, April, 26-28. ISBN 987-618-80580-1-9 [in Greek]. Triantafillou, C. & Spiliotopoulou, V. (2014). Periodicity in mathematics and science texts: The co-deployment of visual representations and reasoning. In C. P. Constantinou, N. Papadouris & A. Hadjigeorgiou (Eds.), E-Book Proceedings of the ESERA 2013 Conference: Science Education Research For Evidencebased Teaching and Coherence in Learning. Part 2, (pp. 1200-1211). Nicosia, Cyprus: European Science Education Research Association. ISBN: 978-9963- 700-77-6. Triantafillou, C., Spiliotopoulou, V. & Potari, D. (2013a). Periodicity in textbooks. Reasoning and visual representations. In Lindmeier, A. M. & Heinze, A. (Eds.). Proceedings of the 37th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, pp. 297-304. Kiel, Germany: PME. Triantafillou, C., Spiliotopoulou, V. & Potari, D. (2013b). The nature of argumentation in school texts in different contexts. In Ubuz, B., Haser, Ç., & Mariotti, M. A. (Eds.). Proceedings of the Eighth Congress of the European 10

Society for Research in Mathematics Education (CERME), pp. 256-265. Antalya, Turkey: CERME. Triantafillou, C., Spiliotopoulou, V. & Potari, D. (2014). How undergraduate students make sense out of graphs: the case of periodic motions. 2014. In Nicol, C., Oesterle, S., Liljedahl, P., & Allan, D. (Eds.) Proceedings of the Joint Meeting of PME 38 and PME-NA 36, Vol. 5, pp. 273-280. Vancouver, Canada. Triantafillou, C., Spiliotopoulou, V., & Potari, D. (2015). The Nature of Argumentation in School Mathematics and Physics Texts: The Case of Periodicity. International Journal in Mathematics and Science Education, DOI 10.1007/s10763-014-9609-y. Triantafillou, C., Spiliotopoulou, V., Sideris Ε. & Kexrakos D. (2012). The notion of periodicity in school textbooks and engineering students' perceptions (Η Έννοια της Περιοδικότητας στα Σχολικά Βιβλία και οι Αντιλήψεις των Σπουδαστών ΤΕΙ). Proceedings in 29th Panhellenic Conference of Mathematics Education. (Πρακτικά 29ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας), pp.841-855. ΕΜΕ: Branch of Kalamata [in Greek]. Yore, L. D., Pimm, D., & Tuan, H.-L. (2007). The literacy component of mathematical and scientific literacy. International Journal of Science and Mathematics Education, 5(4), 559 589. 11