Ν. Καστάνης: Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών, Α.Π.Θ. 541 24, Θεσσαλονίκη, nioka@math.auth.gr

2 Γ. Θωμαΐδης: T.Θ. 400 29, 564 04, Θεσσαλονίκη, gthom@otenet.gr Ν. Καστάνης: Τμήμα Μαθηματικών, Σχολή Θετικών Επιστημών, Α.Π.Θ. 541 24, Θεσσαλονίκη, nioka@math.auth.gr Κ. Τζανάκης: Παιδαγωγικό Τμήμα Δ.Ε., Πανεπιστήμιο Κρήτης 741 00, Ρέθυμνο, tzanakis@edc.uoc.gr Στο εξώφυλλο εικονίζεται ο μαθηματικός - παιδαγωγός Νικόλαος Σωτηράκης (1898-1974) ISBN 960-431-997-3 Copyright: Μάρτιος 2006, Θεσσαλονίκη Eκτύπωση Bιβλιοπωλείο www.ziti.gr Π. ZHTH & Σια OE 18ο χλμ Θεσ/νίκης-Περαίας T.Θ. 4171 Περαία Θεσσαλονίκης T.K. 570 19 Tηλ.: 23920 72.222 (10 γραμ.) - Fax: 23920 72.229 e-mail: info@ziti.gr Aρμενοπούλου 27 546 35 Θεσσαλονίκη Tηλ. 2310 203.720, Fax 2310 211.305 e-mail: sales@ziti.gr

3 ΕΝΑΡΚΤΗΡΙΑ ΟΜΙΛΙΑ Τ ο Τμήμα μας έχει μια ιδιαίτερη ευαισθησία στην Ιστορία των Μαθηματικών. Αυτό φαίνεται με τα τρία σχετικά μαθήματα που περιλαμβάνονται στα προγράμματα σπουδών του, τα τελευταία 15 χρόνια. Επιβεβαιώνεται επίσης και από το γεγονός ότι είναι το μόνο Τμήμα Μαθηματικών στην Ελλάδα που ενδιαφέρθηκε και εξέδωσε την Ιστορία του. Όσον αφορά τη Διημερίδα αυτή, που έχει να κάνει με τη σχέση της Ιστορίας των Μαθηματικών με την Μαθηματική Παιδεία, αξίζει να σημειωθεί ότι το Τμήμα μας έχει κάποιο προηγούμενο ιστορικό: το 1991 πραγματοποιήθηκε εδώ ένα συμπόσιο για τη Διδακτική Αξιοποίηση της Ιστορίας των Επιστημών και το 1997 μια συνάντηση εργασίας για τη Συνύφανση της Ιστορίας των Μαθηματικών με τη Διδακτική τους, που οργανώθηκαν και οι δύο συναντήσεις από την Ελληνική Εταιρεία Ιστορίας Επιστημών και Τεχνολογίας. Μέσα στο ίδιο πλαίσιο προσήνειας και ενδιαφέροντος φιλοξενείται και η σημερινή συνάντηση, η οποία, όπως φαίνεται, εκτός από τον ευνοϊκό περιβάλλοντα χώρο έχει αξιοσημείωτες προδιαγραφές, όπως: Τη συνύπαρξη εισηγητών από το χώρο της Φιλοσοφίας, της Κλασικής Φιλολογίας, της Ιστορίας και της Διδακτικής των Μαθηματικών, Την πολύπλευρη προσέγγιση στην Αρχαία Ελληνική Ιστορία των Μαθηματικών και στην Ιστορία της Ελληνικής Μαθηματικής Εκπαίδευσης του 19 ου αιώνα, και Την ανάδειξη νέων διδακτικών διαστάσεων της Ιστορίας των Μαθηματικών. Στις καινοτομίες του Διημέρου αυτού δεν πρέπει να παραβλεφθεί η ηλεκτρονική διάθεση, από ιστοσελίδα του Τμήματός μας, όλων (ή σχεδόν όλων) των εισηγήσεων, δύο μήνες πριν την εκδήλωση. Το γεγονός αυτό βοηθάει, χωρίς αμφιβολία, την ουσιαστική συμμετοχή και τη δυνατότητα κριτικής στάσης. Εύχομαι όλα αυτά τα στοιχεία να συνδυαστούν δημιουργικά με τις προφορικές παρουσιάσεις και με τη ζωντανή συζήτηση στις συνεδριάσεις της εν λόγω συνάντησης. Καλή επιτυχία. Π. Μωυσιάδης Πρόεδρος του Τμήματος Μαθηματικών Α.Π.Θ.

5 ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΟΣ Ε ίναι ιδιαίτερη χαρά και τιμή για την Περιφερειακή Διεύθυνση Εκπαίδευσης να συνδιοργανώνει με το Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης τη διημερίδα με θέμα: «Η Ιστορία των μαθηματικών, της μαθηματικής εκπαίδευσης και οι διδακτικές τους προεκτάσεις», ένα τμήμα με μεγάλη παράδοση κι εμπειρία στη διοργάνωση επιστημονικών συναντήσεων και παράλληλα πλούσιο ερευνητικό και συγγραφικό έργο στην ιστορία των μαθηματικών. Η συνεργασία όλων των φορέων της εκπαίδευσης και του ανθρώπινου δυναμικού, που με συνέπεια, σοβαρότητα και αφοσίωση υπηρετούν την έρευνα ενός α- παιτητικού αλλά άκρως ενδιαφέροντος γνωστικού και επιστημονικού πεδίου, όπως τα μαθηματικά, μόνο θετικά αποτελέσματα μπορεί να επιφέρει για την επιστήμη και την πρόοδο. Είναι καθήκον όλων να βρούμε τις κατάλληλες μεθόδους και τα νέα μέσα, ώστε να βοηθήσουμε μαθητές και νέους ανθρώπους κάθε εκπαιδευτικής βαθμίδας να κατανοήσουν και να εντρυφήσουν στο γοητευτικό κόσμο των μαθηματικών, ο οποίος δεν περιορίζεται στα πλαίσια ενός μαθήματος αλλά με το πνεύμα, την ουσία και τη φιλοσοφία του διαπερνά όλες τις εκφάνσεις της ανθρώπινης φύσης και δραστηριότητας. Το μάθημα της Ιστορίας των μαθηματικών μπορεί να συμβάλει προς την κατεύθυνση αυτή, διότι αποδεικνύει τη στενή σχέση που τα μαθηματικά είχαν κι έχουν με όλους τους τομείς του επιστητού. Εξάλλου, οι κυριότεροι κλάδοι των μαθηματικών προέκυψαν από τις ανάγκες της ιστορικής πραγματικότητας και τη ζωής, όπως των εμπορικών υπολογισμών, της μέτρησης του εδάφους και της πρόβλεψης αστρονομικών γεγονότων. Αυτές οι τρεις ανάγκες σχετίζονται με την υπό την ευρεία έννοια υποδιαίρεση των μαθηματικών στη μελέτη της δομής, του χώρου και της μεταβολής. Θα ήθελα να συγχαρώ όλους όσοι συνέβαλαν στο σχεδιασμό και την υλοποίηση της διημερίδας. Εύχομαι καλή επιτυχία στις εργασίες της και περιμένω, όπως και η υπόλοιπη εκπαιδευτική και επιστημονική κοινότητα, την ανακοίνωση των αποτελεσμάτων και συμπερασμάτων της. Δρ. Γ. Καρατάσιος Περιφερειακός Διευθυντής Εκπαίδευσης Κεντρικής Μακεδονίας

7 ΧΑΙΡΕΤΙΣΜΟΣ Π ριν από αρκετά χρόνια, τον Αύγουστο του 1991, ξανά σε αυτόν εδώ τον χώρο, είχε διοργανωθεί μια αντίστοιχη συνάντηση με θέμα την «Διδακτική αξιοποίηση της Ιστορίας των Επιστημών», στα πλαίσια της Ελληνικής Εταιρείας Ιστορίας των Επιστημών και της Τεχνολογίας, με βασικό διοργανωτή και πάλι τον Ν. Καστάνη. Αν και το ενδιαφέρον μου για το θέμα ανάγεται σε ακόμα παλιότερη εποχή, ήταν η πρώτη φορά που συμμετείχα τουλάχιστον στην Ελλάδα σε επιστημονική συνάντηση με αυτή την θεματολογία. Τότε ακόμα, η διεθνής ομάδα International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics (HPM Group), που τελεί υπό την αιγίδα της International Commission on Mathematical Instruction (ICMI), αν και αριθμούσε αρκετά χρόνια ζωής, δεν είχε επεκταθεί τόσο όσο σήμερα, ούτε οι δραστηριότητες που γίνονται στα πλαίσια της ήταν ακόμα τόσο συστηματικά οργανωμένες. Στην Ελλάδα, πολύ λίγοι ήταν αυτοί που ήδη δραστηριοποιούνταν στον χώρο αυτό, μεταξύ αυτών και οι σημερινοί βασικοί διοργανωτές, ο Ν. Καστάνης κι ο Γ. Θωμαϊδης. Έκτοτε πέρασαν 15 χρόνια σχεδόν, η ομάδα HPM επεκτάθηκε, διάφορες δραστηριότητες άρχισαν να παίρνουν συστηματικότερο χαρακτήρα και να βελτιώνονται (όπως το ανά τετραετία Satellite Meeting της ομάδας του αντιστοίχου συνεδρίου της ICMI (ICME), και το HPM Newsletter που έχει βελτιωθεί σημαντικά τα τελευταία 5 χρόνια και διακινείται πια και μέσω του διαδικτύου), νέες δραστηριότητες εμφανίστηκαν (όπως το θερινό Ευρωπαϊκό πανεπιστήμιο European Summer University on the History and Epistemology in Mathematics Education, ο συλλογικός τόμος History in Mathematics Education: The ICMI Study που εκδόθηκε το 2000 ως μια ICMI Study με επιμελητές τον αείμνηστο J. Fauvel και τον J. van Maanen καταγράφοντας την διεθνή εμπειρία στον χώρο και ανοίγοντας νέες κατευθύνσεις για περαιτέρω έρευνα, καθώς επίσης και η δημιουργία διαδικτυακού τόπου της ομάδας). Γενικότερα, η ομάδα διευρύνθηκε γεωγραφικά, οι δραστηριότητές της απέκτησαν μεγαλύτερο βάθος και συστηματικότητα, έτσι ώστε, να αποτελεί πια μαζί με την ομάδα PME (Psychology in Mathematics Education) τις δύο βασικότερες διεθνείς ομάδες μελέτης που τελούν υπό την αιγίδα της ICMI. Η τωρινή μας συνάντηση είναι η τρίτη κατά σειρά στον ελληνικό χώρο με παρόμοια θεματολογία, μαζί με την προαναφερθείσα το 1991 και την συνάντηση το 1997 εδώ πάλι, που κατέγραψε την ελληνική εμπειρία κατά την προετοιμασία της ICMI Study που εκδόθηκε τρία χρόνια αργότερα.

8 Ιστορία και Μαθιηματική Εκπαίδευση Ελπίζω ότι και η τωρινή μας συνάντηση θα είναι εξ ίσου γόνιμη με τις προηγούμενες, θέτοντας τα θεμέλια για μια συστηματικότερη συνεργασία των ενδιαφερομένων πάνω στις διδακτικά αξιοποιήσιμες όψεις της ιστορίας των μαθηματικών και της μαθηματικής εκπαίδευσης και τους τρόπους με τους οποίους μπορεί τούτο να γίνει στην καθημερινή πράξη σε όλες τις εκπαιδευτικές βαθμίδες. Ευχαριστώ ιδιαίτερα τον Ν. Καστάνη και τον Γ. Θωμαϊδη που είχαν την ιδέα να γίνει η συνάντηση αυτή και ανέλαβαν όλο το βάρος της διοργάνωσης, την Επιστημονική Επιτροπή που έκρινε και συνέβαλε στην βελτίωση των εργασιών που θα παρουσιαστούν, το Τμήμα Μαθηματικών του ΑΠΘ και την Περιφερειακή Διεύθυνση Α βάθμιας & Β βάθμιας Εκπαίδευσης Κ. Μακεδονίας για την υλική και ηθική στήριξη της προσπάθειας και τις Εκδόσεις Ζήτη για την έκδοση των πρακτικών και την αμέριστη συμπαράσταση σε πολλά άλλα επί μέρους ζητήματα που απαιτούσαν οικονομική και υλική υποστήριξη. Τέλος, ευχαριστώ όλους εσάς για την συμμετοχή σας και ελπίζω ότι τούτη η συνάντηση, μέσω των ομιλιών και συζητήσεων που θα γίνουν, θα είναι χρήσιμη και εποικοδομητική για όλους μας. Κώστας Τζανάκης Πρόεδρος της International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σ τον παρόντα τόμο περιέχονται τα κείμενα των εισηγήσεων που παρουσιάστηκαν στη διήμερη συνάντηση με θέμα Ιστορία των Μαθηματικών, της μαθηματικής εκπαίδευσης και οι διδακτικές τους προεκτάσεις. Η συνάντηση πραγματοποιήθηκε στις 14 & 15 Απριλίου 2006 στη Θεσσαλονίκη, υπό την αιγίδα του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ. και της Περιφερειακής Διεύθυνσης Πρωτοβάθμιας & Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Κ. Μακεδονίας. Σκοπός της συνάντησης ήταν να φέρει σε επαφή τους Έλληνες ερευνητές που ασχολούνται με την Ιστορία των Μαθηματικών και ιδιαίτερα με τους τομείς εκείνους όπου η τελευταία συναντά και επηρεάζει το χώρο της μαθηματικής εκπαίδευσης. Το ζήτημα αυτό έχει προσελκύσει τις τελευταίες δεκαετίες το ενδιαφέρον ερευνητών από όλο τον κόσμο και έχει γίνει αντικείμενο πολλών δραστηριοτήτων, κυρίως μέσα στο πλαίσιο της International Study Group on the Relations Between the History and Pedagogy of Mathematics (HPM Group). Μια τέτοια, ιδιαίτερα σημαντική δραστηριότητα υπήρξε η συγγραφή και δημοσίευση του συλλογικού τόμου History in Mathematics Education: The ICMI Study (με επιμέλεια των J. Fauvel και J. van Maanen), στη σειρά των εκδόσεων της Διεθνούς Επιτροπής για τη Μαθηματική Εκπαίδευση (ICMI Study Series, Kluwer Academic Publishers, 2000). Σε όλες αυτές τις δραστηριότητες υπάρχει τα τελευταία χρόνια σημαντική Ελληνική συμμετοχή, έτσι ώστε, το καλοκαίρι του 2004, στο (ανά τετραετία) συνέδριο της HPΜ που έλαβε χώρα στην Ουψάλα της Σουηδίας, να ανατεθεί στους Κώστα Τζανάκη και Νίκο Καστάνη η προεδρία της HPM Group και η επιμέλεια έκδοσης του Ενημερωτικού της Δελτίου (Newsletter) αντίστοιχα για την περίοδο 2004-2008. Η θεματολογία της συνάντησης αυτής οργανώθηκε σε τρεις ενότητες. Η πρώτη επικεντρώνεται στα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά και αποβλέπει στην ανάδειξη ορισμένων χαρακτηριστικών της μαθηματικής σκέψης στον Αρχαίο Ελληνικό Πολιτισμό. Στη δεύτερη ενότητα προσεγγίζονται πλευρές της Ελληνικής μαθηματικής παιδείας του 19 ου αιώνα, και στην τρίτη επισημαίνονται μερικές διδακτικές όψεις της Ιστορίας των Μαθηματικών. Όλες οι εισηγήσεις κρίθηκαν από την ακόλουθη

10 Ιστορία και Μαθιηματική Εκπαίδευση επιστημονική επιτροπή: Κ. Ζορμπαλά, Γ. Θωμαΐδης, Ν. Καστάνης, Μ. Λάμπρου, Μ. Παντέκη, Κ. Τζανάκης και Χ. Φίλη. Οι συζητήσεις που έγιναν κατά τη διάρκεια της διήμερης συνάντησης στη Θεσσαλονίκη και ο ανά χείρας τόμος των εισηγήσεων, πιστεύουμε ότι θα συμβάλλουν αποφασιστικά στη συσπείρωση και οργάνωση ενός ελληνικού τμήματος της HPM, στην ανάπτυξη ερευνητικών συνεργασιών και στην πραγματοποίηση παρόμοιων εκδηλώσεων σε άλλες πόλεις. Οι επιμελητές της έκδοσης

11 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Προσεγγίσεις στην Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών Γιάννης Θωμαΐδης Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου...15 Γιάννης Πετράκης H γλώσσα των μαθηματικών κειμένων του Ευκλείδη και του Πρόκλου...29 Βαγγέλης Σπανδάγος Οι εκδόσεις των έργων των Αρχαίων Ελλήνων Μαθηματικών και Αστρονόμων στη νεότερη Ελλάδα...47 Προσεγγίσεις στην Ιστορία της Μαθηματικής Παιδείας Ανδρέας Πούλος (Εισαγωγή) Οι πολλαπλές διαστάσεις του παιδαγωγικού και μαθηματικού έργου του Νικολάου Σωτηράκη...71 Κωνσταντίνα Ζορμπαλά Κυρίαρχες απόψεις στην Ελληνική Σχολική Γεωμετρία τον 19 ον αιώνα...95 Γιώργος Ζούμπος Ο Ιταλός μαθηματικός Ottavio F. Mossotti και η περίοδος της καθηγεσίας του στην Ιόνιο Ακαδημία (1836-1841)...113 Ανδρέας Καστάνης Η Διδασκαλία των Μαθηματικών στην Στρατιωτική Σχολή Ευελπίδων κατά την πρώτη Οθωνική περίοδο (1834-1854)...131 Νίκος Καστάνης O Αμερικανικός Πεσταλοτσισμός στην Ελληνική Μαθηματική Παιδεία (1830-1836)...153 Χριστίνα Φίλη Η επιστημονική δραστηριότητα του Νικολάου Νικολαΐδη στο Παρίσι (1862-1865)...171

12 Ιστορία και Μαθιηματική Εκπαίδευση Διδακτικές Προσεγγίσεις στην Ιστορία των Μαθηματικών Κώστας Τζανάκης (Εισαγωγή) Η Διεθνής Ομάδα Μελέτης των Σχέσεων μεταξύ Ιστορίας των Μαθηματικών και Μαθηματικής Εκπαίδευσης...201 Κατερίνα Βερυκάκη & Νίκος Καστάνης Εννοιολογικές αλλαγές: Μια αναβάθμιση του διδακτικού ρόλου της Ιστορίας των Μαθηματικών...213 Ελένη Δημητριάδου Φανερώνω ή πείθω: Επιστημολογικά και διδακτικά ζητήματα που συνδέονται με την έννοια της απόδειξης...233 Γιάννης Θωμαΐδης & Κώστας Τζανάκης Ανάγνωση ιστορικών κειμένων και συζητήσεις για την έννοια της απόδειξης σε μια διαθεματική προσέγγιση της Ευκλείδειας Γεωμετρίας...253 Δημήτρης Πατσόπουλος Ευκλείδης ή Ήρων; Μετρήσεις απόστασης απρόσιτων σημείων στα βυζαντινά εγχειρίδια Γεωμετρίας...273 Ευρετήριο συγγραφέων...287

15 Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου Γιάννης Θωμαΐδης Πειραματικό Σχολείο Πανεπιστημίου Μακεδονίας gthom@otenet.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζουμε το ζήτημα της γενικότητας των μεθόδων αλγεβρικής ε- πίλυσης αριθμητικών προβλημάτων που χρησιμοποιεί ο Διόφαντος στο έργο του Αριθμητικά. Συνδυάζοντας τις υποδείξεις διδακτικού χαρακτήρα που περιέχονται στην εισαγωγή του έργου, με στοιχεία που προκύπτουν από τη μελέτη των διαδικασιών επίλυσης, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ορισμένες ιδιότυπες πρακτικές του Διόφαντου, με εμφανείς διδακτικές όψεις, αποτελούν δομικά στοιχεία της γενικότητας των μεθόδων του. Εισαγωγή Tο περιεχόμενο των Αριθμητικών του Διόφαντου, έργο που σύμφωνα με την επικρατέστερη εκδοχή γράφτηκε γύρω στο 250 μ.χ. στην Αλεξάνδρεια, θα μπορούσε σήμερα να χαρακτηριστεί επιγραμματικά ως αλγεβρική επίλυση αριθμητικών προβλημάτων κατά την προ-συμβολική περίοδο της Άλγεβρας. 1 Ένα πολύ χαρακτηριστικό στοιχείο αυτού του έργου είναι ότι τα αριθμητικά προβλήματα που περιέχει διατυπώνονται με τελείως γενικό τρόπο, αλλά αμέσως μετά επιλέγονται συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα πάνω στα οποία διεξάγεται η διαδικασία επίλυσης. Έτσι τα τελικά αποτελέσματα που προκύπτουν αποτελούν μια 1 Ο συγκεκριμένος χαρακτηρισμός θέτει ήδη ένα ιστοριογραφικό ζήτημα, με το οποίο όμως δεν πρόκειται να ασχοληθούμε εδώ. Είναι γνωστό ότι ο Αραβικής προέλευσης όρος άλγεβρα προέρχεται από τον τίτλο ενός βιβλίου που έγραψε ο al-khwārizmī στις αρχές του 9 ου αιώνα, με αντικείμενο επίσης την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων, αλλά περιεχόμενο που διαφέρει ουσιωδώς από εκείνο των Αριθμητικών (χωρίς να υπάρχουν ενδείξεις ότι ο al- Khwārizmī γνώριζε το έργο του Διόφαντου). Είναι επίσης γνωστό ότι η άλγεβρα έγινε γνωστή στη Δυτική Ευρώπη κατά το 12 ο αιώνα μέσα από Λατινικές μεταφράσεις του εν λόγω Αραβικού βιβλίου, ενώ η μετάφραση και αξιοποίηση των Αριθμητικών ακολούθησε ύ- στερα από τρεις περίπου αιώνες.

16 Γιάννης Θωμαΐδης ειδική λύση του προβλήματος. Σε γενικές γραμμές, η επίλυση αρχίζει με την εισαγωγή ενός αγνώστου ο οποίος δηλώνεται με το ς, τελικό γράμμα της λέξης αριθμός, στη συνέχεια δημιουργούνται συντομογραφικές εκφράσεις ( υποστάσεις ) για τους υπόλοιπους αγνώστους, εκφράζονται συντομογραφικά οι διάφορες σχέσεις ( επιτάγματα ) του προβλήματος και κατασκευάζεται μια εξίσωση. Η τελευταία μετασχηματίζεται με τους κανόνες της μεταφοράς όρων και της αναγωγής ομοίων όρων σε μια απλοποιημένη μορφή, από την οποία προσδιορίζεται η τιμή του αρχικού αγνώστου (που είναι πάντοτε ένας θετικός ρητός αριθμός). Ας δούμε ως παράδειγμα το πρώτο πρόβλημα του 1 ου Βιβλίου των Αριθμητικών. 2 Στο πρόβλημα αυτό, όπως και στα επόμενα, έχουμε χωρίσει την παρουσίαση σε μικρές ενότητες ώστε να γίνονται φανερά τα επιμέρους δομικά στοιχεία της μεθοδολογίας του Διόφαντου. Διατύπωση του προβλήματος Επιλογή δεδομένων Εισαγωγή του αγνώστου, επιλογή υποστάσεων, δημιουργία και επίλυση μιας εξίσωσης Η λύση του προβλήματος Να διασπαστεί ένας αριθμός σε δύο αριθμούς που έχουν δοθείσα διαφορά. Έστω ότι ο δοθείς αριθμός είναι το 100, η δε διαφορά το 40. Να βρεθούν οι αριθμοί. Ας τεθεί x ο μικρότερος. 3 Τότε ο μεγαλύτερος είναι x + 40. Άρα οι δύο μαζί γίνονται 2x + 40. Δόθηκε όμως ότι είναι 100. Άρα το 100 είναι ίσο με 2x + 40. Από ομοίων όμοια. Αφαιρώ από το 100, το 40 και από το 2x+ 40 ομοίως το 40. Μένουν οι 2x ίσοι με 60. Άρα ο καθένας γίνεται 30. Έρχομαι στις υποστάσεις. Ο μικρότερος είναι το 30, ο μεγαλύτερος το 70 και η απόδειξη φανερή. Για να αξιολογήσουμε την προηγούμενη διατύπωση και λύση του Διόφαντου από τη σκοπιά της νεώτερης συμβολικής Άλγεβρας, ας δούμε πώς διατυπώνει και λύνει 2 Σύμφωνα με τα αναφερόμενα από τον Διόφαντο στην εισαγωγή των Αριθμητικών, το έργο αυτό αποτελούνταν από 13 βιβλία (δηλαδή κεφάλαια). Από αυτά έχουν διασωθεί 10 βιβλία, 6 στο ελληνικό πρωτότυπο και 4 σε μια αραβική μετάφραση του 9 ου αιώνα. 3 Ο Διόφαντος χρησιμοποιεί ως σύμβολο του αγνώστου το τελικό γράμμα της λέξης αριθμός. Επίσης δεν χρησιμοποιεί το σημερινό σύμβολο της πρόσθεσης, αλλά παραθέτει τους προσθετέους τον ένα μετά τον άλλο, και φυσικά γράφει τους αριθμούς σύμφωνα με το αρχαιοελληνικό σύστημα αρίθμησης.

Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου 17 το ίδιο πρόβλημα ο Leonhard Euler στην περίφημη Άλγεβρά του (1770): 4 Ζητείται να διασπαστεί ο α σε δύο μέρη, ώστε το μεγαλύτερο να υπερβαίνει το μικρότερο κατά b. 1 η μέθοδος. Έστω x το μεγαλύτερο μέρος. Τότε το άλλο θα είναι α x. Άρα x = α x + b. Προσθέτοντας x, έχουμε 2x = α + b και διαιρώντας με το 2, x = α + b. 2 2 η μέθοδος. Έστω το μεγαλύτερο μέρος = x. Επειδή αυτό υπερβαίνει το μικρότερο κατά b, είναι φανερό ότι το τελευταίο θα είναι μικρότερο κατά b, και επομένως πρέπει να είναι = x b. Αυτά τα δύο μέρη μαζί, οφείλουν να κάνουν α. Έτσι λοιπόν 2x b = α. Προσθέτοντας το b, έχουμε 2x = α + b, από το οποίο x = α + b, 2 που είναι η τιμή του μεγαλύτερου μέρους. Και αυτή του μικρότερου θα είναι α+ b α+ b 2b b, ή 2 2 2, ή α- b. 2 3 η μέθοδος. Έστω ότι ο μεγαλύτερος από τους δύο αριθμούς εκφράζεται με το x, και ο μικρότερος με το y. Θα έχουμε τότε x + y = α και x y = b. Εδώ η πρώτη εξίσωση δίνει x = α y, και η δεύτερη x = b + y. Επομένως, α y = b + y, α = b + 2y, 2y = α b, τελικά y = α - b και επομένως x = α y = α α - b 2 = α + b. 2 Έχουμε λοιπόν το επόμενο θεώρημα: Όταν το άθροισμα δύο οποιωνδήποτε αριθμών είναι α, και η διαφορά τους είναι b, τότε ο μεγαλύτερος των δύο αριθμών θα είναι το ημιάθροισμα συν η ημιδιαφορά, ενώ ο μικρότερος των δύο αριθμών θα είναι το ημιάθροισμα μείον η ημιδιαφορά. 4 η μέθοδος. Επειδή οι δύο εξισώσεις είναι, x + y = α και x y = b, αν προσθέσουμε τη μία στην άλλη, έχουμε 2x = α + b. Επομένως x = α + b. 2 Επίσης, αν αφαιρέσουμε τις ίδιες εξισώσεις τη μία από την άλλη, έχουμε 2y = α b 2 4 Βλ. L. Euler, Elements of Algebra (σ.194 και σ.208)

18 Γιάννης Θωμαΐδης και επομένως y = α - b. 2 Όπως γίνεται φανερό από τα παραπάνω, οι λύσεις του Euler στηρίζονται στη χρήση γενικών μεταβλητών για τα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος, καθώς και διαφορετικών συμβόλων για κάθε άγνωστο. Τα μέσα αυτά, που καθιερώθηκαν ύστερα από τη συστηματική χρήση τους στο έργο του F. Viète In Artem Analytikem Isagoge (1591), έκαναν δυνατή την αναπαράσταση και το χειρισμό των δεδομένων, των σχέσεων και των ζητουμένων ενός μαθηματικού προβλήματος με συμβολικό τρόπο, καθώς και την έκφραση των αποτελεσμάτων στη μορφή κλειστών αλγεβρικών τύπων. Έτσι λοιπόν, αν στο συγκεκριμένο πρόβλημα ο δοθείς αριθμός είναι α = 2290 και η δοθείσα διαφορά b = 410, τότε ο αναγνώστης του Euler για να βρει τη λύση (2290 = 1350 + 940) δεν έχει παρά να αντικαταστήσει τις τιμές αυτές στους τύπους του ημιαθροίσματος και της ημιδιαφοράς. Αντίθετα, ο αναγνώστης του Διόφαντου πρέπει να επαναλάβει όλη τη διαδικασία επίλυσης με τα νέα αριθμητικά δεδομένα. Η έλλειψη από το έργο του Διόφαντου των συμβολικών εργαλείων της σύγχρονης Άλγεβρας οδηγεί σε ορισμένα βασικά ερωτήματα: 1. Η εξάρτηση των λύσεων του Διόφαντου από συγκεκριμένους αριθμούς αποκαλύπτει απλώς τον ειδικό χαρακτήρα τους, ή υποδηλώνει κάποια διαφορετική αντίληψη περί γενίκευσης στα Μαθηματικά; 2. Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στη γενική διατύπωση ενός προβλήματος στα Α- ριθμητικά και την αντίστοιχη ειδική λύση; 3. Πώς αντιλαμβάνονταν οι αρχαίοι αναγνώστες των Αριθμητικών ότι η μέθοδος επίλυσης ενός προβλήματος που διεξάγεται με συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα, είναι έγκυρη σε όλες τις περιπτώσεις που υπονοεί η γενική διατύπωσή του; Συνδετικός κρίκος στα ερωτήματα αυτά είναι, όπως βλέπουμε, η γενικότητα των μεθόδων του Διόφαντου. Η σημασία, ειδικότερα, του τρίτου ερωτήματος προκύπτει άμεσα από τον εμφανή διδακτικό προσανατολισμό των Αριθμητικών. Στο εισαγωγικό τμήμα του έργου ο Διόφαντος, απευθυνόμενος σε κάποιον διψασμένο για μάθηση τιμιότατο Διονύσιο, εκθέτει ορισμένες ψυχολογικές, διδακτικές και μεθοδολογικές παρατηρήσεις σχετικά με την επίλυση προβλημάτων. Ο Διόφαντος τονίζει το γεγονός ότι οι ψυχές των αρχάριων αμφιβάλλουν για την επιτυχία, αλλά η προθυμία για μάθηση συνοδευόμενη από τη δική του διδασκαλία θα εξασφαλίσει την ταχεία πρόσληψη της νέας γνώσης. Για να πραγματοποιηθεί όμως αυτό απαιτούνται δύο βασικές προϋποθέσεις. Η πρώτη αφορά την εξάσκηση. Ο Διόφαντος παροτρύνει το Διονύσιο να ασκηθεί πρωταρχικά πάνω στο περιεχόμενο των Αριθμητικών έτσι ώστε να γίνει κάτοχος της βασικής θεωρίας και της με-

Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου 19 θοδολογίας, δηλαδή τις πράξεις με τις δυνάμεις του αγνώστου καθώς επίσης τη δημιουργία και επίλυση εξισώσεων (καλώς ούν έχει εναρχόμενον της πραγματείας συνθέσει καί αφαιρέσει καί πολλαπλασιασμοίς τοις περί τά είδη γεγυμνάσθαι... Φιλοτεχνείσθω δε τούτο εν ταις υποστάσεσι των προτάσεων). Από την άλλη μεριά όμως, ο όγκος της ύλης επιβραδύνει την αφομοίωση και δυσχεραίνει τη συγκράτηση στη μνήμη (καί διά τούτο βραδέως βεβαιουμένων υπό των παραλαμβανόντων αυτά καί όντων εν αυτοίς δυσμνημονεύτων). Έτσι λοιπόν η δεύτερη προϋπόθεση αφορά την οργάνωση της ύλης. Ο Διόφαντος ανακοινώνει προς το Διονύσιο ότι προσπάθησε να διαιρέσει τα προβλήματα ώστε στην αρχή να βρίσκονται τα στοιχειώδη και να προχωρεί από τα ευκολότερα στα δυσκολότερα. Διότι με τον τρόπο αυτό, σημειώνει, γίνονται εύκολα αντιληπτά από τους αρχάριους και όσα μαθαίνουν αποτυπώνονται στη μνήμη (ούτως γάρ ευόδευτα γενήσεται τοις αρχομένοις, καί η αγωγή αυτών μνημονευθήσεται...). 5 Το γεγονός ότι η μάθηση συνδέεται δύο φορές με τη συγκράτηση ή αποτύπωση στη μνήμη, δεν είναι άσχετο με το ζήτημα της γενικότητας που θέτουν τα τρία προηγούμενα ερωτήματα. Στον αναγνώστη των Αριθμητικών δεν παρέχονται προς απομνημόνευση τύποι αλγεβρικών ταυτοτήτων ή επίλυσης εξισώσεων, όπως αυτοί που προβάλλονται στα σύγχρονα σχολικά βιβλία Άλγεβρας. Εκείνο που βλέπει και πρέπει να συγκρατήσει στη μνήμη του, είναι μακροσκελείς περιγραφές διαδικασιών που ξεκινούν από αριθμητικά δεδομένα και οδηγούν σε αριθμητικά αποτελέσματα. Για να μεταβιβαστεί όμως η γενικότητα που υποδηλώνεται στη διατύπωση του προβλήματος, μέσω της περιγραφής μιας επίλυσης που χρησιμοποιεί συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα, θα πρέπει η τελευταία να είναι παραδειγματική, δηλαδή να λειτουργεί ως υπόδειγμα. Αυτό επιβάλλει την ύπαρξη κάποιων δεικτών που θα διευκολύνουν τον προσανατολισμό του αναγνώστη λύτη όταν επιχειρήσει να επαναλάβει τη διαδικασία με διαφορετικά δεδομένα. Άρα ο διδάσκων, για να εξασφαλίσει την αποτελεσματικότητα και γενικότητα της μεθόδου επίλυσης που προτείνει, θα πρέπει ν αναλάβει κάποιες πρωτοβουλίες προς αυτή την κατεύθυνση. Θα παρουσιάσουμε τώρα δύο προβλήματα των Αριθμητικών από τα οποία φαίνεται ότι οι μέθοδοι επίλυσης του Διόφαντου περιέχουν βήματα που υποδηλώνουν διδακτικές πρωτοβουλίες αυτού του είδους. Όπως θα διαπιστώσουμε όμως στη συ- 5 Όπως είναι φανερό, ο Διόφαντος εξαίρει εδώ ορισμένες παραδοσιακές αρχές της διδασκαλίας και μάθησης των Μαθηματικών: η οργάνωση της ύλης από το απλό προς το σύνθετο και η συστηματική διδασκαλία, μαζί με την προθυμία για μάθηση και εξάσκηση, θα εξασφαλίσουν σταθερή γνώση. Είναι βέβαια γνωστό ότι η σύγχρονη διδακτική των Μαθηματικών, υπό την επίδραση των λεγόμενων εποικοδομητικών θεωριών μάθησης, αμφισβητεί σοβαρά αυτό το μοντέλο διδασκαλίας και μάθησης.

20 Γιάννης Θωμαΐδης νέχεια, τα βήματα αυτά αποτελούν δομικά στοιχεία της γενικότητας των μεθόδων του Αλεξανδρινού μαθηματικού. Το πρόβλημα 15 του 4 ου Ελληνικού Βιβλίου των Αριθμητικών Να βρεθούν τρεις αριθμοί τέτοιοι, ώστε αν προσθέσουμε δύο οποιουσδήποτε από αυτούς και πολλαπλασιάσουμε το άθροισμα με τον τρίτο, να προκύπτει δεδομένος αριθμός. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να διατυπωθεί σήμερα με γενικό τρόπο, στη μορφή ενός συστήματος τριών εξισώσεων με τρεις αγνώστους: x(y + ω) = α, y(ω + x) = β, ω(x + y) = γ 6 Ο Διόφαντος λύνει το πρόβλημα με τον εξής τρόπο: Διατύπωση του προβλήματος Επιλογή αριθμητικών δεδομένων Εισαγωγή του αγνώστου, επιλογή υποστάσεων και δημιουργία εξισώσεων Να βρεθούν τρεις αριθμοί τέτοιοι, ώστε αν προσθέσουμε δύο οποιουσδήποτε από αυτούς και πολλαπλασιάσουμε το άθροισμα με τον τρίτο, να προκύπτει δεδομένος αριθμός. Έστω ότι το άθροισμα του πρώτου και δεύτερου επί τον τρίτο να δίνει 35, το άθροισμα του δεύτερου και τρίτου επί τον πρώτο να δίνει 27 και το άθροισμα του πρώτου και τρίτου επί τον δεύτερο να δίνει 32. Ας τεθεί ο τρίτος x. Τότε το άθροισμα του πρώτου και δεύτερου θα είναι 35/x. Έστω ότι ο πρώτος είναι 10/x, άρα ο δεύτερος θα είναι 25/x. Υπολείπονται δύο επιτάγματα, το άθροισμα του δεύτερου και τρίτου επί τον πρώτο να δίνει 27 και το άθροισμα του πρώτου και τρίτου επί τον δεύτερο να δίνει 32. 250 Αλλά ο δεύτερος και τρίτος επί τον πρώτο δίνει 10 + 2. 250 Άρα το 10 + x 2 ισούται με 27. x 6 Το σύστημα αυτό ανήκει στην κατηγορία των λεγόμενων κυκλικών συστημάτων, τα ο- ποία μαζί με άλλες μορφές συστημάτων 2 ου βαθμού αποτελούσαν παραδοσιακά ένα ιδιαίτερο κεφάλαιο της σχολικής Άλγεβρας. Βλ. σχετικά Π. Τόγκα, Άλγεβρα και Συμπλήρωμα Αλγέβρας (σ.667). Το ίδιο πρόβλημα περιέχεται και στην Άλγεβρα του Euler (ό.π., σ.222). Μια σύγχρονη γενική λύση του συστήματος δίνουμε στο Παράρτημα.

Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου 21 Απόρριψη των αρχικών υποστάσεων Ανάλυση της κατάστασης και αναγωγή του προβλήματος Επιλογή νέων υποστάσεων, δημιουργία και επίλυση νέων εξισώσεων Η λύση του προβλήματος 250 Επίσης ο πρώτος και ο τρίτος επί τον δεύτερο δίνει 25 + 2. x 250 Άρα το 25 + x 2 ισούται με 32. Επειδή όμως η διαφορά των 32 και 27 είναι 5, θα πρέπει και η 250 250 διαφορά των 25 + x 2 και 10 + x 2 να είναι 5. Αλλά το 25 προέρχεται από τον δεύτερο και το 10 από τον πρώτο. Θέλουμε λοιπόν η διαφορά τους να είναι 5. Όμως ο πρώτος και ο δεύτερος δεν είναι τυχόντες, αλλά έχουν άθροισμα 35. Ανάγεται λοιπόν στο να διασπαστεί ο 35 σε άθροισμα δύο αριθμών ώστε ο ένας να υπερέχει του άλλου κατά 5. 7 Τέτοιοι είναι ο 15 και ο 20. Θέτω τον πρώτο 15/x και τον δεύτερο 20/x. Το άθροισμα του δεύτερου και τρίτου επί τον πρώτο δίνει 300 15 + x 2. Αυτά είναι ίσα με 27. Το άθροισμα του πρώτου και τρίτου επί το δεύτερο δίνει 300 20 + x 2 Αυτά είναι ίσα με 32. Από τη τελευταία προκύπτει ότι είναι 300 2 x ίσα με 12, δηλαδή ο x ίσος με 5. Έρχομαι στις υποστάσεις. Ο πρώτος θα είναι 3, ο δεύτερος 4 και ο τρίτος 5. Παρατηρούμε ότι στην προηγούμενη επίλυση του προβλήματος ο Διόφαντος ενσωματώνει μια διαδικασία δοκιμής και πλάνης. Αναζητώντας δύο αριθμούς με άθροισμα 35, δοκιμάζει αρχικά τους 10 και 25 αλλά η επιλογή αυτή οδηγεί σε δύο ασυμβίβαστες εξισώσεις. Ύστερα από επανεξέταση της κατάστασης καταλήγει σε μια νέα επιλογή (15 και 20) και σε επανάληψη των ίδιων βημάτων, τα οποία οδηγούν τελικά στη λύση του προβλήματος. Το ερώτημα που εύλογα τίθεται είναι το εξής: Για ποιο λόγο ο Διόφαντος ενσωμάτωσε στα Αριθμητικά την αποτυχημένη 7 Αυτό είναι, με διαφορετικά αριθμητικά δεδομένα, το πρώτο πρόβλημα του πρώτου Βιβλίου των Αριθμητικών που εξετάσαμε προηγουμένως.

22 Γιάννης Θωμαΐδης απόπειρα και δεν παρουσίασε την επίλυση με χρήση των ορθών αριθμητικών δεδομένων; Είναι χαρακτηριστικό ότι αυτή η διαδικασία δοκιμής και πλάνης χρησιμοποιείται από το Διόφαντο με συστηματικό τρόπο, και πολλές φορές η επανεξέταση της κατάστασης και η έξοδος από το αδιέξοδο απαιτούν την επίλυση ενός υποπροβλήματος. Μια τέτοια περίπτωση παρουσιάζεται στο επόμενο πρόβλημα. Το πρόβλημα 18 του 4 ου Ελληνικού Βιβλίου των Αριθμητικών Να βρεθούν δύο αριθμοί τέτοιοι, ώστε αν ο κύβος του πρώτου προσλάβει το δεύτερο να προκύπτει κύβος και αν το τετράγωνο του δεύτερου προσλάβει τον πρώτο να προκύπτει τετράγωνο. Το πρόβλημα αυτό, που είναι αρκετά πιο δύσκολο από το προηγούμενο, μπορεί να διατυπωθεί σήμερα γενικά στη μορφή ενός τριτοβάθμιου συστήματος δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους: 3 3 2 2 x + y= α, y + x= β Ο Διόφαντος λύνει το πρόβλημα με το συνήθη τρόπο. Ύστερα από τη γενική διατύπωση, εισάγει συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα, δημιουργεί τις υποστάσεις των αγνώστων και χρησιμοποιεί τα επιτάγματα για να κατασκευάσει τελικά μια εξίσωση. Διατύπωση του προβλήματος Επιλογή αριθμητικών δεδομένων Εισαγωγή του αγνώστου, επιλογή υποστάσεων και δημιουργία μιας εξίσωσης Να βρεθούν δύο αριθμοί τέτοιοι, ώστε αν ο κύβος του πρώτου προσλάβει το δεύτερο να προκύπτει κύβος και αν το τετράγωνο του δεύτερου προσλάβει τον πρώτο να προκύπτει τετράγωνο. Έστω ότι ο κύβος που προκύπτει σύμφωνα με το πρώτο επίταγμα είναι το 8. Ας τεθεί ο πρώτος x. Τότε ο δεύτερος θα είναι 8- x. Έτσι ο κύβος του πρώτου, αφού προσλάβει το δεύτερο, γίνεται ίσος με ένα κύβο. Υπολείπεται τώρα το τετράγωνο του δεύτερου, αφού προσλάβει τον πρώτο, να δίνει τετράγωνο. Αλλά το τετράγωνο του δεύτερου, αφού προσλάβει τον πρώτο, δίνει x + x+ 64-16x. Αυτό πρέπει να είναι να είναι ίσο με τετράγωνο, έστω με εκείνο που έχει πλευρά 3 x + 8, δηλαδή το 6 3 x + 16x + 64. 3 6 3

Διδακτικές όψεις της γενίκευσης στα Αριθμητικά του Διόφαντου 23 Απόρριψη των αρχικών υποστάσεων Ανάλυση της κατάστασης και αναγωγή του προβλήματος Προσδιορισμός νέων δεδομένων μέσω ενός υποπροβλήματος Επιλογή νέων υποστάσεων, δημιουργία και επίλυση μιας νέας εξίσωσης Η λύση του προβλήματος 6 3 6 3 Άρα είναι x + x + 64-16x ίσο με x + 16x + 64. Προσθέτουμε στα δύο μέρη αυτά που λείπουν και αφαιρούμε τα όμοια 3 από τα όμοια. Μένουν 32x ίσοι με x. Τα διαιρούμε όλα με το x. Άρα μένουν 2 32x ίσα με 1. 2 32x ήταν τετρά- Αλλά η μονάδα είναι τετράγωνο. Αν και το γωνο τότε θα είχε λυθεί η εξίσωση. 2 3 Αλλά το 32x προέρχεται από το διπλάσιο του 16x, το δε 3 3 16x προέρχεται από το διπλάσιο γινόμενο του 8 και του x, 2 δηλαδή το διπλάσιο του 8. Άρα το 32x προέρχεται από το τετραπλάσιο του 8. Ανάγεται λοιπόν στην εύρεση ενός κύβου ο οποίος όταν τετραπλασιάζεται να δίνει τετράγωνο. 3 Έστω x ο ζητούμενος κύβος. Αυτός όταν τετραπλασιάζεται 3 γίνεται 4x και πρέπει να είναι ίσος με τετράγωνο. Έστω το 2 16x. Άρα ο x είναι ίσος με 4. Έρχομαι στις υποστάσεις. Ο κύβος είναι το 64. Θέτω λοιπόν τον δεύτερο ίσο με 64 - x. Υπολείπεται τώρα το τετράγωνο του δεύτερου, αφού προσλάβει τον πρώτο, να δίνει τετράγωνο. Αλλά το τετράγωνο του δεύτερου, αφού 6 3 προσλάβει τον πρώτο, δίνει x + 4096 + x - 128x. Αυτό πρέπει να είναι ίσο με τετράγωνο, έστω με εκείνο που έχει πλευρά 3 x + 64, δηλαδή το x 6 + 4096 + 128x 3. Από την ισότητα προκύπτει τώρα 3 256x = x, και γίνεται ο x ίσος με 1/16. Έρχομαι στις υποστάσεις. Ο πρώτος θα είναι 1/16 και ο δεύτερος 262143/4096 Όπως παρατηρούμε και εδώ, μια αρχική επιλογή, ο κύβος 8, οδηγεί στην εξίσωση 2 32x = 1 την οποία ο Διόφαντος απορρίπτει επειδή δεν έχει ρητή λύση. Ακολουθεί η επανεξέταση της κατάστασης που οδήγησε σ αυτήν την εξίσωση, διατυπώνεται μια ικανή συνθήκη και μέσω ενός υπο-προβλήματος προσδιορίζεται ο κατάλληλος κύβος, που είναι το 64. Το ερώτημα τίθεται πάλι και απαιτεί μιαν απάντηση: Για ποιο λόγο ο Διόφαντος ενσωματώνει στην παρουσίαση της επίλυσης την αποτυχημένη επιλογή του κύβου 3

24 Γιάννης Θωμαΐδης 8 και δεν αρχίζει απ ευθείας με τον κύβο 64; Η συχνή εμφάνιση αυτής της διαδικασίας δοκιμής και πλάνης στα Αριθμητικά έχει οδηγήσει πολλούς ιστορικούς στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για ένα στοιχείο της μεθοδολογίας του Διόφαντου. Ήδη από τα μέσα του 19 ου αιώνα, ο G.H.F. Nesselmann την είχε χαρακτηρίσει Μέθοδο του αναδρομικού υπολογισμού και του παράπλευρου προβλήματος 8, ενώ πιο πρόσφατα ο B.L. van der Waerden, για μια ανάλογη περίπτωση που εμφανίζεται στο πρόβλημα 10 του 3 ου Ελληνικού Βιβλίου των Αριθμητικών, γράφει χαρακτηριστικά: Αυτό που εφαρμόζει εδώ ο Διόφαντος είναι η μέθοδος της λαθεμένης υπόθεσης (method of wrong hypothesis) αρχίζει υποθέτοντας ορισμένες εκφράσεις για τους άγνωστους αριθμούς, και, όταν αυτό τον βάζει σε μπελάδες (brings him into trouble), ψάχνει για τις αιτίες της δυσκολίας και για τις αλλαγές στις υποθέσεις που θα του δώσουν τη δυνατότητα να λύσει το πρόβλημα. 9 Οι προηγούμενοι χαρακτηρισμοί και οι περιγραφές απέχουν όμως πολύ από μια ερμηνεία του φαινομένου, η οποία θα έδινε ικανοποιητική απάντηση στο ερώτημα: Γιατί ο Διόφαντος θέλει να αποκαλύψει στον αναγνώστη των Αριθμητικών τους μπελάδες και τις δυσκολίες του; Ή για να το θέσουμε κάπως διαφορετικά: Ποιο σκοπό εξυπηρετεί η δημοσιοποίηση μιας ευρετικής διαδικασίας η οποία υπό κανονικές συνθήκες πραγματοποιείται σε ένα πρόχειρο σημειωματάριο; Σε μια πρώτη προσέγγιση, φαίνεται εύλογο να υποθέσουμε ότι αυτή η ιδιότυπη συμπεριφορά του Διόφαντου οφείλεται σε διδακτικούς λόγους. 10 Αντί να σβήσει τα ίχνη που τον οδήγησαν σε μια λαθεμένη επιλογή και να παρουσιάσει την τελική, άψογη λύση, ο καλός δάσκαλος δείχνει στο μαθητή το δύσκολο δρόμο που χρειάστηκε να διανύσει. Ο συγγραφέας των Αριθμητικών εμφανίζεται εδώ ένας πρόδρομος της λεγόμενης γενετικής μεθόδου διδασκαλίας. Αυτή θα ήταν πράγματι μια ελκυστική ερμηνεία, αν ο Διόφαντος την ακολουθούσε με συνέπεια σε όλα τα στά- 8 Βλ. Th. Heath, Diophantus of Alexandria (σ.56, υποσημείωση). 9 Το απόσπασμα αυτό υπάρχει στο βιβλίο του Waerden Science Awakening (σ.284) και επαναλαμβάνεται αυτούσιο στο πιο πρόσφατο Geometry and Algebra in Ancient Civilizations (σ.104) 10 Η διδακτική σημασία της διαδικασίας δοκιμής και πλάνης του Διόφαντου έχει επισημανθεί αρκετές φορές, αλλά συνήθως συνδέεται με τη λεγόμενη μέθοδο regula falsi στην ο- ποία, όπως είναι γνωστό, η λύση του προβλήματος προσδιορίζεται από το συντελεστή αναλογίας ανάμεσα στα δεδομένα και σε ένα αποτέλεσμα που προκύπτει με βάση μια αυθαίρετη υπόθεση. (Βλ. Τ. Heath, Diophantus of Alexandria, σσ.112 & 175 και Β. Lumpkin, From Egypt to Benjamin Banneker: African origins of false position methods, σ.282). Προφανώς η ευρετική διαδικασία του Διόφαντου έχει πολύ πιο σύνθετα χαρακτηριστικά από τον προσδιορισμό μιας απλής αναλογίας.