Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΤΑΞΕΙΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ

Λεμονίδης, Χ. (2003). Η διδασκαλία του συστήματος αρίθμησης στις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Πρακτικά 3 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών. Επιμέλεια Μ. Κούρκουλος, Κ. Τσανάκης, Γ. Τρούλης. Π.Τ.Δ.Ε. Ρεθύμνου, σελ. 189 198, ISBN 960 87898 0 X. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΣΤΙΣ ΠΡΩΤΕΣ ΤΑΞΕΙΣ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΣΧΟΛΕΙΟΥ Χαράλαμπος Λεμονίδης Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Φλώρινας, 53100 Φλώρινα Περίληψη Οι πολυψήφιοι αριθμοί και το σύστημα αρίθμησης καταλαμβάνουν ένα σημαντικό μέρος της διδακτέας ύλης του Δημοτικού Σχολείου. Στη σημερινή διδασκαλία η εισαγωγή στους διψήφιους αριθμούς και τους κανόνες του αριθμητικού συστήματος γίνεται με φορμαλιστικό τρόπο. Ο χωρισμός του αριθμού σε δεκάδες και μονάδες και οι σχέσεις μεταξύ τους γίνεται χωρίς καμιά ιδιαίτερη προετοιμασία και χωρίς να παίρνονται υπόψη οι ικανότητες και η μέχρι τότε γνώσεις των παιδιών. Κατά την διάρκεια των δύο πρώτων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου εφαρμόσαμε μια πειραματική διδασκαλία η οποία είχε εντελώς διαφορετικό προσανατολισμό από την σημερινή διδασκαλία. Με βάση τις ικανότητες των παιδιών, προεκτείναμε περισσότερο την περίοδο προετοιμασίας για τους κανόνες του συστήματος αρίθμησης, διδάξαμε πολύ μεγαλύτερους αριθμούς και δώσαμε έμφαση στους νοερούς υπολογισμούς και την ανάλυση των αριθμών σε μέρη. Τα αποτελέσματα των αλλαγών αυτών βελτίωσαν θεαματικά τις επιδόσεις των μαθητών σε σχέση με τις επιδόσεις των μαθητών της σημερινής διδασκαλίας. TEACHING OF PLACE VALUE SYSTEM AT FIRST GRATES OF PRIMARY SCHOOL Abstract Charalambos Lemonidis Department of Primary Education of Florina, 53100 Florina Multidigit numbers and the place value system take up a great part of the curriculum in Primary School. In today s teaching the introduction in two-digit numbers and in the rules of the arithmetic system takes place with a formalistic way. The separation of the numbers in decades and unites and the relations between them happens without any particular preparation and without any consideration of the capabilities and the existing knowledge of the children. During the period of the two first grades in Primary School we apply an experimental teaching with a totally different direction from nowadays teaching. Based on capabilities of children we expand more the preparation period for the rules of the place value system, we teach much bigger numbers and we emphasis in mental calculations and in analyze numbers in parts. The results of these changes improve spectacularly the progress of students in today s teaching. Ι. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1

Είναι σημαντική η μάθηση των ιδιοτήτων του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης διότι αυτή συντελεί στην καλή κατανόηση των αριθμών, στην ανάπτυξη των ικανοτήτων της εκτίμησης και των νοερών υπολογισμών και την κατανόηση των πράξεων με πολυψήφιους αριθμούς. Σε έρευνες της Fuson (1990, 1997) διακρίνονται πέντε είδη αντιλήψεων για τους διψήφιους αριθμούς: οι μοναδιαίες, δεκαδικές, διαδοχικές, ξεχωριστές και ενσωματωμένες. Κάθε μία από αυτές περιλαμβάνει μια τριαδική σχέση δύο μορφών ανάμεσα στις αριθμολέξεις, τα γραπτά αριθμητικά σύμβολα και την ποσοτική αντίληψη του αριθμού. Κάθε μια από αυτές τις αντιλήψεις συνδέεται με τις άλλες δύο. 1. Μοναδιαία αντίληψη του πολυψήφιου: Αυτή είναι μια επέκταση της μοναδιαίας αντίληψης του μονοψήφιου αριθμού. Οι ποσότητες δε διαχωρίζονται σε ομάδες και οι αριθμολέξεις και τα αριθμητικά σύμβολα δε διαχωρίζονται σε ξεχωριστά τμήματα. Έτσι αν για παράδειγμα έχουμε 15 καραμέλες το 1 δεν αναφέρεται στο «δέκα» του «δεκαπέντε», και οι ποσότητες δε διαχωρίζονται σε 10 καραμέλες και 5 καραμέλες. 2. Αντίληψη δεκάδων και μονάδων. Η αντίληψη αυτή χτίζεται από το παιδί με τη χρήση των αριθμολέξεων και ευνοείται από τη γλωσσική κατασκευή των αριθμολέξεων που αντιστοιχούν στις δεκάδες. Τα παιδιά σε αυτή τη φάση αρχίζουν και ξεχωρίζουν τις δεκάδες από τις μονάδες μιας αριθμολέξης και αρχίζουν να συνδέουν κάθε μέρος χωριστά στη ποσότητα στην οποία αναφέρεται: «πενήντα» στα πενήντα αντικείμενα και «τρία» στα τρία αντικείμενα. 3. Αντίληψη διαδοχικών δεκάδων και μονάδων. Αυτή η αντίληψη απαιτεί την ικανότητα να ξέρουν ήδη να μετρούν με δεκάδες, αλλά και να «βλέπουν» τις ομάδες των δεκάδων μέσα σε μια ποσότητα. Τα παιδιά θα πρέπει καθώς λένε «πενήντα» τη στιγμή που δείχνουν το τελευταίο, πέμπτο κουτί που περιέχει δέκα καραμέλες να κατανοούν ότι έχουν μετρήσει 50 καραμέλες μέχρι εκείνη τη στιγμή. 4. Αντίληψη ξεχωριστών μονάδων και δεκάδων. Σε αυτήν την περίπτωση τα παιδιά δημιουργούν μια πολυψήφια ποσότητα χρησιμοποιώντας μια ξεχωριστή αντίληψη για τις δεκάδες και τις μονάδες με τη μέτρηση των ομάδων των δεκάδων χρησιμοποιώντας όμως μονοψήφιους αριθμούς για αυτές (μία δεκάδα, δύο δεκάδες, τρεις δεκάδες, τέσσερις δεκάδες) ή παραλείπουν τη λέξη δεκάδα καθώς μετρούν (ένα, δύο, τρία, τέσσερα, δέκα). 5. Αντίληψη ενσωματωμένων διαδοχικών-ξεχωριστών δεκάδων. Πριν από τη δόμηση αυτής της αντίληψης, ένα παιδί που έχει την αντίληψη των διαδοχικών δεκάδων, πρέπει να μετρήσει με δεκάδες μέχρι το πενήντα και να σημειώνει πόσες δεκάδες υπάρχουν για να βρει πέντε δεκάδες στο πενήντα. Αυτή η ενσωματωμένη αντίληψη των δεκάδων επιτρέπει στα παιδιά να μετατοπίζονται γρήγορα μπροστά και πίσω στις δεκάδες π.χ. πενήντα καραμέλες, πέντε ανοιχτά κουτιά με 10 καραμέλες το καθένα (πέντε ομάδες των δέκα) και πέντε κλειστά κουτιά (πέντε δεκάδες). Σε έρευνες που πραγματοποιήθηκαν (Kamii, 1982, Ross, 1986, Ross, 1990) σε καταστάσεις αντιστοίχισης των ψηφίων, ζητούνταν από τους μαθητές να κατασκευάσουν το νόημα για μεμονωμένα ψηφία αντιστοιχώντας τα ψηφία σε ποσότητες μιας συλλογής αντικειμένων. Τα 2

αποτελέσματα έδειξαν ότι ακόμη και στην τετάρτη και πέμπτη τάξη (fourth and fifth grades) όχι περισσότεροι από τους μισούς μαθητές καταλαβαίνουν ότι το 5 στο 25 αντιπροσωπεύει πέντε από τα αντικείμενα και το 2 τα υπόλοιπα 20 αντικείμενα. Οι Kamii και Lewis δηλώνουν ότι, η ανάπτυξη της κατανόησης του συστήματος αρίθμησης σε νεαρούς μαθητές διαβρώνεται από την διδασκαλία των παραδοσιακών αλγορίθμων στην πρόσθεση και αφαίρεση, όπου τα ψηφία όλα χρησιμοποιούνται ατομικά και μεμονωμένα (Kamii & Lewis, 1993). Σημαντική βελτίωση στην κατανόηση του συστήματος αρίθμησης έχει δειχθεί σε παιδιά Πρώτης και Δευτέρας τάξης που συμμετείχαν σε μελέτες μιας ολόκληρης χρονιάς όπου οι μαθητές υποστηρίζονταν για να επινοήσουν την δική τους μέθοδο για πολυψήφιες προσθέσεις και αφαιρέσεις. (βλ. Fuson & Smith, 1994, Hiebert & Wearne, 1992, Kamii, 1989). Στόχος στην εργασία αυτή είναι να παρουσιάσουμε τις διαφοροποιήσεις που επιφέρει στις επιδόσεις των μαθητών, σχετικά με το σύστημα αρίθμησης, μια πειραματική διδασκαλία που εφαρμόστηκε κατά τη διάρκεια δύο χρόνων στην Πρώτη και Δευτέρα τάξη του Δημοτικού Σχολείου. Αρχικά θα παρουσιάσουμε τα κύρια σημεία της πειραματικής διδασκαλίας για το σύστημα αρίθμησης και τις διαφοροποιήσεις της από την κλασική διδασκαλία. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε τις επιδόσεις και συμπεριφορές των μαθητών που διδάχτηκαν με την πειραματική διδασκαλία και θα τις συγκρίνουμε τις επιδόσεις μαθητών που παρακολούθησαν την κλασική διδασκαλία. ΙΙ. Η ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Η διδασκαλία του συστήματος αρίθμησης ξεκινάει στην Α τάξη από τη στιγμή που θα εισαχθούν οι διψήφιοι αριθμοί και οι ιδιότητές τους σχετικά με τις μονάδες και τις δεκάδες. Η σημερινή διδασκαλία Στη σημερινή διδασκαλία η έκταση των αριθμών είναι πολύ περιορισμένη. Στην Α τάξη διδάσκονται οι αριθμοί μέχρι το 20 και τη Β τάξη οι αριθμοί μέχρι το 100. Στην Α τάξη διδάσκονται πολύ λίγο οι ιδιότητες του συστήματος αρίθμησης, αφιερώνονται σε αυτές μόνο δύο μαθήματα. Η εισαγωγή στο σύστημα αρίθμησης γίνεται απότομα και χωρίς καμιά ιδιαίτερη προετοιμασία. Ο τρόπος της διδασκαλίας των εννοιών του συστήματος αρίθμησης είναι μονότονος και φορμαλιστικός. Δεν προτείνονται νοερές ασκήσεις, οι δραστηριότητες και οι ασκήσεις που προτείνονται είναι απλοϊκές και χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία. Η πειραματική διδασκαλία Στην πειραματική διδασκαλία που πραγματοποιήσαμε διδάξαμε αριθμούς με πολύ μεγαλύτερο μέγεθος, στην Α τάξη μέχρι το 100 και στην Β τάξη μέχρι το 1000. Στη διδασκαλία που προτείνουμε, οι αριθμοί από την αρχή διδάσκονται με τη λογική της ανάλυσης και σύνθεσή τους σε επιμέρους αθροίσματα (Λεμονίδης, Χ. 2002α, 2002β). Σημαντικά αθροίσματα θεωρούνται αυτά που αναλύονται με βάση το 5, το 10 καθώς και τα διπλά αθροίσματα (αθροίσματα της μορφής ν+ν, π.χ. 3

3+3). Τα υλικά επίσης που χρησιμοποιούσαμε για την αισθητοποίηση των αριθμών και των πράξεων είχαν την δομή της πεντάδας και της δεκάδας (δίχρωμο αριθμητήριο, βάσεις, κτλ). Οι μαθητές, λοιπόν, είναι συνηθισμένοι να βλέπουν και να χειρίζονται τους αριθμούς με τη λογική του μέρους όλου. Η πειραματική διδασκαλία επίσης έδωσε μεγάλη βαρύτητα στη νοερή επεξεργασία των αριθμών αλλά και στους νοερούς υπολογισμούς. Οι μαθητές των πειραματικών τάξεων παρουσίαζαν πολύ καλύτερες επιδόσεις στους υπολογισμούς από ότι οι μαθητές της κλασικής διδασκαλίας. Η εισαγωγή στις ιδιότητες του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης γίνεται ομαλά και σταδιακά και βασίζεται στις προϋπάρχουσες γνώσεις και σε καταστάσεις οικείες για τους μαθητές. Τέτοιες καταστάσεις μπορεί να αναφέρονται στη γλωσσική δομή των αριθμών-λέξεων. π.χ. το 16 μπορεί να το δούμε σαν δέκα και έξι. Στην ελληνική γλώσσα οι αριθμοί-λέξεις μπορεί να αναλύονται σε μονάδες και δεκάδες, π.χ. το 16 μπορεί να το δούμε σαν δέκα και έξι. Μπορούμε επίσης, να εξασκήσουμε τους μαθητές στο να βρίσκουν αθροίσματα και διαφορές της μορφής, 10+ν, 20+ν, 30+ν, και 1ν-ν, 2ν-ν, 3ν-ν,, π.χ. 23-3=20, 37-7=30. Να βρίσκουν, δηλαδή, τους αριθμούς που προκύπτουν όταν προσθέτονται και αφαιρούνται από διψήφιους αριθμούς οι μονάδες. Το ίδιο μπορεί να γίνει και με τις δεκάδες. Τα παιδιά μικρής ηλικίας συνήθως εκτιμούν την αξία των νομισμάτων και γενικά των αντικειμένων ανάλογα με το πλήθος και το μέγεθός τους και όχι με την συμβατική αξία που έχουν. Για παράδειγμα, ένα παιδί θεωρεί περισσότερα και προτιμά να πάρει μια φούχτα νομίσματα παρά μερικά νομίσματα τα οποία είναι λιγότερα σε αριθμό αλλά έχουν πολύ μεγαλύτερη αξία. Προτείναμε, λοιπόν, δραστηριότητες και παιχνίδια τα οποία ασκούσαν τους μαθητές στις ανταλλαγές και τη συμβατική αξία των αντικειμένων. Για παράδειγμα, δέκα πράσινες μάρκες είναι ισοδύναμες με μία κόκκινη μάρκα. Η ικανότητα αυτή είναι θεμελιακή για την κατανόηση της λειτουργίας του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης. Δώσαμε έμφαση στην νοερή επεξεργασία και χειρισμό από τους μαθητές των αριθμών με βάση τις ιδιότητες του συστήματος αρίθμησης. Για παράδειγμα, θέταμε νοερά ερωτήσεις όπως: Ποιος είναι ο αριθμός που έχει ψηφία το 7 και το 3 και είναι μικρότερος από το 50; Στην πειραματική διδασκαλία χρησιμοποιήσαμε διάφορα υλικά για να αναπαραστήσουμε και να μοντελοποιήσουμε τους πολυψήφιους αριθμούς. Τέτοια υλικά ήταν τα χρήματα, οι κύβοι, το κοντέρ και ο κάθετος άβακας. Ο κάθετος άβακας αποτελείται από κάθετες ράβδους, στις οποίες περνάνε μέχρι δέκα χάντρες ή μάρκες διαφορετικού χρώματος ανάλογα με την τάξη των αριθμών. ΙΙΙ. ΈΡΕΥΝΑ ΣΤΙΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ Μεθοδολογία έρευνας Για να συγκρίνουμε τα αποτελέσματα της πειραματικής διδασκαλίας με τη σημερινή διδασκαλία πήραμε δύο πληθυσμούς μαθητών. Η πειραματική ομάδα και η ομάδα ελέγχου οι οποίες αποτελούνταν από 35 μαθητές και δύο τμήματα η κάθε μία. Οι επιδόσεις των μαθητών των δύο ομάδων ελέγχθηκαν στην αρχή της Α τάξης και βρέθηκε ότι οι δύο ομάδες ήταν ισοδύναμες. Οι δύο ομάδες εξετάστηκαν με τεστ κατά τη διάρκεια δύο χρόνων. Οι ερωτήσεις οι σχετικές με το σύστημα αρίθμησης βρίσκονταν ανάμεσα σε άλλες που τέθηκαν στους μαθητές των δύο ομάδων. Οι ερωτήσεις αυτές, οι σχετικές με το σύστημα αρίθμησης τέθηκαν σε τέσσερις διαφορετικές χρονικές στιγμές: στο τέλος της Α τάξης, στην αρχή της Β τάξης, στα μέσα της Β τάξης και στο τέλος της Β τάξης. Όλες αυτές οι εξετάσεις πραγματοποιήθηκαν με γραπτό τρόπο. 4

Παρουσίαση και ανάλυση των ερευνητικών αποτελεσμάτων Τεστ στο τέλος της Α και αρχή της Β τάξης Στο τέλος της Α τάξης κατά το μήνα Μάιο, τέθηκε μια ερώτηση στην οποία ζητούνταν από τους μαθητές να βρουν τον αριθμό των δεκάδων και των μονάδων σε ένα διψήφιο αριθμό. Πιο συγκεκριμένα η ερώτηση ήταν η εξής: 1) Πόσες δεκάδες και πόσες μονάδες υπάρχουν στον αριθμό 17; Στην αρχή της Β τάξης, κατά το μήνα Σεπτέμβριο, τέθηκαν δύο ερωτήσεις σχετικές με το σύστημα αρίθμησης. Στις ερωτήσεις αυτές δινόταν ο αριθμός των μονάδων και των δεκάδων και ζητούνταν από τους μαθητές να βρουν τους αριθμούς. Οι ερωτήσεις ήταν οι εξής: 2) Ποιος είναι ο αριθμός που έχει 4 μονάδες και 1 δεκάδα; 3) Ποιος είναι ο αριθμός που έχει 0 μονάδες και 2 δεκάδες; Οι επιδόσεις των μαθητών των δύο ομάδων περιγράφονται στον παρακάτω πίνακα. Ερωτήσεις Δεκάδες του 17 Μονάδες του 17 Συνολική επιτυχία στην (1) 4 μονάδες και 1 δεκάδα 0 Συνολική μονάδες και επιτυχία στις 2 δεκάδες (2) και (3) (2) (3) Ομάδα 9 9 4 16 14 13 Ελέγχου 31% 31% 14% 45,5% 40% 37% Πειραμα τική Ομάδα 22 71% 26 84% 22 71% 30 85,5% 30 85,5% 29 83% Πίνακας 1: Ποσοστά επιτυχίας στη διάκριση των μονάδων και των δεκάδων Στην πρώτη άσκηση παρατηρούμε ότι οι επιδόσεις των μαθητών της ομάδας ελέγχου είναι πολύ χαμηλές όσον αφορά την αναγνώριση των δεκάδων (31%) και των μονάδων (31%) σε ένα διψήφιο αριθμό. Η επιτυχία των μαθητών αυτών στην αναγνώριση των δεκάδων και των μονάδων ταυτόχρονα είναι πάρα πολύ χαμηλή (14%). Αντίθετα, η επιτυχία των μαθητών της πειραματικής ομάδας κυμαίνεται σε πολύ υψηλότερα επίπεδα (από 71% μέχρι 84%). Τα πιο συχνά λάθη που συναντούμε στους μαθητές της ομάδας ελέγχου για τον προσδιορισμό των δεκάδων είναι τα εξής: 9 μαθητές (31%) απαντούν ότι υπάρχουν 10 δεκάδες στο 17 και 5 μαθητές (17%) απαντούν ότι υπάρχουν 17. Για τον αριθμό των μονάδων: 3 μαθητές (10,5%) απαντούν ότι υπάρχουν 0 μονάδες στο 17, 2 μαθητές (7%) απαντούν ότι υπάρχουν 17 μονάδες και 2 μαθητές (7%) απαντούν ότι υπάρχει 1 μονάδα. 5

Στις ασκήσεις 2 και 3 σύμφωνα με τα δεδομένα που παρουσιάζονται στον παραπάνω πίνακα 1 παρατηρούμε ότι οι μαθητές της πειραματικής τάξης πετυχαίνουν σε μεγαλύτερο από το διπλάσιο ποσοστό από τους μαθητές της ομάδας ελέγχου. Οι μαθητές της πειραματικής τάξης, δηλαδή, ξέρουν να διακρίνουν πολύ καλύτερα τις μονάδες και τις δεκάδες ενός αριθμού και να σχηματίζουν από αυτές τον αριθμό. Παρατηρούμε επίσης, ότι οι ερωτήσεις 2 και 3 δεν παρουσιάζουν μεταξύ τους διαφορά δυσκολίας και στις δύο ομάδες μαθητών. Στην ομάδα ελέγχου όπου υπήρχε η μεγαλύτερη αποτυχία στις δύο αυτές ερωτήσεις 9 μαθητές, 25,5% του συνόλου των μαθητών, δεν έδωσαν καμία απάντηση. Τα πιο σημαντικά λάθη των μαθητών της ομάδας ελέγχου ήταν τα εξής: Στην δεύτερη ερώτηση 4 μαθητές (11,5%) δίνουν την απάντηση 5. Οι μαθητές αυτοί προσθέτουν τον αριθμό των μονάδων (4) και τον αριθμό των δεκάδων (1). Στην τρίτη ερώτηση, 5 μαθητές (14,5%) απαντούν ότι ο αριθμός που σχηματίζεται από 0 μονάδες και 2 δεκάδες είναι ο αριθμός 2 και 3 μαθητές (8,5%) απαντούν ότι είναι ο αριθμός 12. Τεστ στα μέσα της Β τάξης Το δεύτερο τεστ της Β τάξης (Β2) πραγματοποιήθηκε κατά το μήνα Μάρτιο, δηλαδή, έξι μήνες μετά το πρώτο τεστ στη Β τάξη (Β1). Στην εξέταση αυτή υπήρχαν δύο ερωτήσεις σχετικές με το σύστημα αρίθμησης. Στην πρώτη ερώτηση οι μαθητές έπρεπε να βρουν πόσες μονάδες και πόσες δεκάδες έχει ο αριθμός 52. Στη δεύτερη ερώτηση ζητούνταν να βρεθεί ο αριθμός που σχηματίζεται με 16 μονάδες και 2 δεκάδες. Οι επιδόσεις των μαθητών στις ερωτήσεις αυτές παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. Μον. & Δεκ. στο 52 16 Μον. & 2 Δεκ. Επιτυχία στις 2 ερωτ. Ομάδα Ελέγ. 28 82,5% 10 29,5% 10 29,5% Ομάδα Πειρ. 33 94,5% 26 74,5% 25 71,5% Πίνακας 2: Ποσοστά επιτυχίας στις δύο ερωτήσεις του δεύτερου τεστ Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα βλέπουμε ότι η ερώτηση στην οποία ζητείται να βρεθούν οι μονάδες και οι δεκάδες στον αριθμό 52 έχει μεγάλη επιτυχία και στις δύο ομάδες των μαθητών, 82,5% επιτυχία για την ομάδα ελέγχου και 94,5% για την πειραματική ομάδα. Παρατηρούμε επίσης ότι και οι δύο ομάδες μαθητών παρουσιάζουν βελτίωση στην επίδοσή σε σχέση με το τέλος της Α τάξης, όπου είχε τεθεί αντίστοιχη ερώτηση για τον αριθμό 17 (ερώτηση 1). Εντυπωσιακή, βεβαίως, είναι η βελτίωση που παρουσιάζει η ομάδα ελέγχου (14% επιτυχία στο τεστ στο τέλος της Α τάξης 85,5% επιτυχία στο τεστ Β2). Βελτίωση παρουσιάζουν και οι μαθητές της πειραματικής ομάδας (71% επιτυχία στο τεστ Β1 94,5% επιτυχία στο τεστ στο τέλος της Α τάξης). 6

Η δεύτερη ερώτηση είναι δυσκολότερη από την πρώτη και για τις δύο ομάδες μαθητών. Σε αυτήν πετυχαίνουν μόλις το 30% των μαθητών της ομάδας ελέγχου και το 75% των μαθητών της πειραματικής ομάδας. Το πιο συχνό λάθος στην ερώτηση αυτή ήταν η απάντηση 18. Οι μαθητές εδώ προσθέτουν τον αριθμό 16 των μονάδων και τον αριθμό 2 των δεκάδων. Το λάθος αυτό το κάνουν 10 μαθητές (29,5%) της ομάδας ελέγχου, ένας μαθητής δίνει την απάντηση 162 και ένας άλλος την απάντηση 216. Συνολικά και στις δύο ερωτήσεις η επιτυχία των μαθητών της πειραματικής ομάδας είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτήν της ομάδας ελέγχου. Τεστ στο τέλος της Β τάξης Στο τέλος της Β τάξης στο τρίτο τεστ (Β3) που πραγματοποιήθηκε κατά το μήνα Μάιο θέσαμε δύο ερωτήσεις τις οποίες παρουσιάζουμε παρακάτω: Η πρώτη ερώτηση ήταν απλή και ζητούσε από τους μαθητές να βρουν ποιος αριθμός σχηματίζεται από 8 μονάδες και 9 δεκάδες. Στη δεύτερη ερώτηση δινόταν τέσσερις καρτέλες με τους αριθμούς 5, 8, 1 και 7. Ζητούσαμε από τους μαθητές να διαλέξουν δύο αριθμούς ώστε: α) να σχηματιστεί ο μεγαλύτερος διψήφιος αριθμός και β) να σχηματιστεί ο μικρότερος διψήφιος αριθμός. Οι επιδόσεις των μαθητών στις ερωτήσεις αυτές παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα. 8 μονάδες και 5, 8, 1, 7 Μεγαλύτερος 5, 8, 1, 7 Μικρότερος 5, 8, 1, 7 Συνολική 9 δεκάδες διψήφιος διψήφιος επιτυχία Ομάδα Ελέγχου 18 51,5% 16 45,5% 12 34,5% 12 34,5% Ομάδα Πειραμ. 30 85,5% 21 60% 21 60% 19 54,5% Πίνακας 3: Ποσοστά επιτυχίας στις ερωτήσεις του τρίτου τεστ Παρατηρούμε στον παραπάνω πίνακα ότι τα ποσοστά επιτυχίας είναι μεγαλύτερα στην πειραματική ομάδα. Αυτή η διαφορά των ποσοστών επιτυχίας είναι στατιστικά σημαντική στην πρώτη ερώτηση (z=-3,08, p<0,01) και στη δεύτερη ερώτηση (z=-1,68, p<0,05). Στην πρώτη ερώτηση στην οποία ζητούμε τον αριθμό που σχηματίζεται από 8 μονάδες και 9 δεκάδες, η επιτυχία των μαθητών της ομάδας ελέγχου είναι χαμηλή. Πετυχαίνουν μόνο οι μισοί μαθητές. Ένα συχνό λάθος (6 μαθητές 17%) είναι η απάντηση 89, όπου τοποθετούνται ανάποδα οι μονάδες και οι δεκάδες. Ένα άλλο λάθος (4 μαθητές 11,5%) είναι η απάντηση 17. Εδώ οι μαθητές προσθέτουν τους δύο αριθμούς. Χαμηλή είναι και η επιτυχία των μαθητών της ομάδας ελέγχου και στη δεύτερη ερώτηση. Τα συχνότερα λάθη των μαθητών αυτών για να βρουν το μεγαλύτερο (87) και το μικρότερο (15) διψήφιο 7

παρουσιάζονται παρακάτω. Για το μεγαλύτερο διψήφιο (87) 4 μαθητές 11,4% του συνόλου των μαθητών δίνουν ως απάντηση το μονοψήφιο 8, άλλοι 4 μαθητές (11,4%) δίνουν την απάντηση 81. Για το μικρότερο διψήφιο (15), 5 μαθητές 14,3% του συνόλου των μαθητών δίνουν ως απάντηση το 51, που είναι τα σωστά ψηφία αλλά σε λάθος σειρά. Άλλοι 4 μαθητές (11,4%) δίνουν ως απάντηση το μονοψήφιο αριθμό 1. ΙV. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Σύμφωνα με τα παραπάνω δεδομένα παρατηρήσαμε ότι στο τέλος της Α τάξης και την αρχή της Β τάξης οι επιδόσεις των μαθητών της κλασικής διδασκαλίας σε ερωτήματα του συστήματος αρίθμησης είναι πολύ χαμηλές. Αντίθετα, οι επιδόσεις των μαθητών της πειραματικής διδασκαλίας βρίσκονται σε πολύ υψηλότερα επίπεδα. Συγκεκριμένα, στην ερώτηση η οποία ζητούσε να βρεθεί ο αριθμός των μονάδων και των δεκάδων που υπάρχουν στον αριθμό 17, οι μαθητές της ομάδας ελέγχου που διδάχτηκαν με την κλασική διδασκαλία, πετυχαίνουν μόνο κατά το 14% ενώ στην ίδια ερώτηση πετυχαίνουν το 71% των μαθητών της πειραματικής ομάδας. Στην αρχή της Β τάξης τέθηκαν δύο ερωτήσεις, οι οποίες ζητούσαν από τους μαθητές να σχηματίσουν τους διψήφιους αριθμούς, με δεδομένο τον αριθμό των μονάδων και των δεκάδων. Σε αυτές τις ερωτήσεις πέτυχαν το 37% των μαθητών της ομάδας ελέγχου, ενώ από τους μαθητές της πειραματικής ομάδας πέτυχαν το 83%. Η πολύ χαμηλή επίδοση των μαθητών της κλασικής διδασκαλίας στην πρώτη τάξη είναι πιθανό να οφείλεται στα αρνητικά χαρακτηριστικά της διδασκαλίας, που επισημάναμε παραπάνω και τα οποία είναι τα εξής: Η πολύ μικρή έκταση που καταλαμβάνουν στην Α τάξη οι έννοιες του συστήματος αρίθμησης σε συνδυασμό με τον περιορισμό της διδασκαλίας σε πολύ μικρούς αριθμούς (μέχρι το 20). Η μη ύπαρξη ιδιαίτερης προετοιμασίας και σταδιακής εισαγωγής στο σύστημα αρίθμησης και ο φορμαλιστικός τρόπος με τον οποίο πραγματοποιείται η διδασκαλία. Στο μέσο και προς το τέλος της χρονιάς της Β τάξης κατά το μήνα Μάρτιο, και οι δύο ομάδες πέτυχαν με υψηλά ποσοστά να ξεχωρίζουν τις μονάδες και τις δεκάδες σε ένα αριθμό, όπως το 52. Οι μαθητές της ομάδας ελέγχου παρουσίασαν εκπληκτική βελτίωση από το τέλος της Α τάξης σε αυτού του τύπου την ερώτηση (14% επιτυχία στο τεστ στο τέλος της Α τάξης 85,5% επιτυχία στο τεστ Β2). Βελτίωση παρουσιάζουν και οι μαθητές της πειραματικής ομάδας (71% επιτυχία στο τεστ στο τέλος της Α τάξης 94,5% επιτυχία στο τεστ Β2). Όταν, όμως, ζητείται να βρεθεί ο αριθμός που σχηματίζεται με 16 μονάδες και 2 δεκάδες πετυχαίνουν μόλις το 30% των μαθητών της ομάδας ελέγχου και το 75% των μαθητών της πειραματικής ομάδας. Δηλαδή, οι μαθητές της ομάδας ελέγχου, σε αντίθεση με αυτούς της πειραματικής ομάδας, δεν γνωρίζουν σε βάθος το σύστημα αρίθμησης και δεν μπορούν να ανταποκριθούν σε δύσκολες ερωτήσεις. Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι, οι μαθητές της κλασικής διδασκαλίας στο μέσο της χρονιάς της Β τάξης βελτιώνονται σημαντικά και φτάνουν να ανταποκρίνονται σε ικανοποιητικό βαθμό σε σχετικά απλές ερωτήσεις του συστήματος αρίθμησης, δυσκολεύονται όμως πολύ και πετυχαίνει μόνο το 1/3 των μαθητών σε δυσκολότερες ερωτήσεις. 8

Στην εξέταση που πραγματοποιήθηκε στο τέλος της Β τάξης παρατηρήσαμε γενικά, όπως και σε όλες τις προηγούμενες εξετάσεις, ότι η επίδοση των μαθητών της πειραματικής ομάδας ήταν πολύ καλύτερη από αυτήν των μαθητών της ομάδας ελέγχου. Μόνο οι μισοί μαθητές της ομάδας ελέγχου είναι ικανοί να βρίσκουν τον διψήφιο αριθμό που σχηματίζεται από 8 μονάδες και 9 δεκάδες. Το ένα τρίτο από αυτούς τους μαθητές καταφέρνουν να ανταποκριθούν σε πιο δύσκολες ερωτήσεις του συστήματος αρίθμησης όπου ζητείται να σχηματιστούν οι μεγαλύτεροι και οι μικρότεροι διψήφιοι αριθμοί από τέσσερα δεδομένα ψηφία. Συμπερασματικά μπορούμε να πούμε ότι, υπάρχουν πολλά περιθώρια για βελτίωση της επίδοσης των μαθητών της σημερινής διδασκαλίας στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης. Η βελτίωση αυτή στις επιδόσεις των μαθητών στο σύστημα αρίθμησης μπορεί να επιτευχθεί με αλλαγές στο πρόγραμμα διδασκαλίας των πρώτων τάξεων του δημοτικού σχολείου. Οι αλλαγές αυτές μπορεί να αναφέρονται στα παρακάτω σημεία: Μπορεί να αυξηθεί σημαντικά το μέγεθος των αριθμών που διδάσκονται στις πρώτες τάξεις. Οι μαθητές όταν έρχονται στην πρώτη τάξη γνωρίζουν πολλά πράγματα για τους αριθμούς (βλ. Χ. Λεμονίδης, 2001) με βάση την προϋπάρχουσα αυτή γνώση μπορούμε να προχωρήσουμε πολύ περισσότερο στους αριθμούς. Η διδασκαλία των αριθμών με τη λογική του μέρους-όλου ή της ανάλυσης και σύνθεσης σε επιμέρους αθροίσματα συμβάλλει στην καλύτερη μάθηση τόσο του συστήματος αρίθμησης όσο και των πράξεων. Χρειάζεται, λοιπόν, να αφιερωθεί αρκετός χρόνος στην εισαγωγή του αριθμητικού συστήματος, πριν περάσουμε στη διδασκαλία των ιδιοτήτων του, και να μην εισάγουμε αμέσως και φορμαλιστικά τις ιδιότητες όπως γίνεται σήμερα. Καταστάσεις οικείες για τους μαθητές, οι οποίες μπορεί να αποτελέσουν τη βάση για την εισαγωγή του συστήματος αρίθμησης μπορεί να είναι η γλωσσική δομή των αριθμών-λέξεων, παιχνίδια και δραστηριότητες σχετικές με τις ανταλλαγές και τη συμβατική αξία των αντικειμένων. Τέλος, θεωρείται χρήσιμο για την αναπαράσταση και μοντελοποίηση των πολυψήφιων αριθμών να χρησιμοποιηθούν διάφορα εκπαιδευτικά υλικά, όπως είναι τα χρήματα, οι κύβοι, το κοντέρ και ο κάθετος άβακας. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Fuson, K. C. (1990). Conceptual structures for multiunit numbers: Implications for learning and teaching multidigit addition, subtraction, and place value. Cognition and Instruction, 7, 343-403. Fuson, K. C., Wearne, D., Hiebert, J., Murray, H., Human, P., Olivier, A., Carpenter, T., Fennema, E. (1997). Children s Conceptual Structures for Multidigit Numbers and Methods of Multidigit Addition and Subtraction. Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 28, No. 2, 130-162. Fuson, K. C., & Smith, S. (1994). Supporting Latino First Graders' Ten-Structured Thinking in Urban Classrooms. Paper presented at the Annual Meeting of the American Educational Research Association, New Orleans. 9

Hiebert, J., & Wearne, D. (1992). Links between teaching and learning place value with understanding in first grade. Journal for Research in mathematics Education, 23(2), 98-122. Kamii, C. (1989). Young Children Continue to Reinvent Arithmetic, Second Grade: Implications of Piaget's theory. New York: Teachers College Press. Kamii, C., & Lewis, B. (1993). The Harmful Effects of Algorithms in Primary Arithmetic. Teaching Pre K-8, 23(4), 36-38. Kamii, M. (1982). Children's graphic representation of numerical concepts: a developmental study. Unpublished doctoral dissertation, Harvard University. Λεμονίδης, Χ. (2001). Οι αρχικές αριθμητικές ικανότητες των παιδιών όταν έρχονται στο Δημοτικό Σχολείο. Περιοδικό, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Γ. Τεύχος 55 σσ. 5-21. Λεμονίδης, Χ. (2002α). Μια νέα πρόταση διδασκαλίας στα Μαθηματικά για τις πρώτες τάξεις του Δημοτικού Σχολείου. Themes in Education. Τεύχος 3. Λεμονίδης, Χ. (2002β). Μια διαφορετική διδασκαλία για τους αριθμούς και τις πράξεις στην αρχή του σχολείου. Γέφυρες. Αθήνα (Υπό δημοσίευση) National Council of Teachers of Mathematics. (1991). Professional Standards for Teaching Mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Ross, S. H. (1986). The Development of Children's Place-Value Numeration Concepts in Grades Two through Five. Paper presented at the Annual Meeting of the American Educational Research Association, San Francisco CA. Ross, S. H. (1990). Children's acquisition of place-value numeration concepts: The roles of cognitive development and instruction. Focus on Learning Problems in Mathematics, 12(1), 1-17. 10