Έρευνα στις γνώσεις των νηπίων σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες. Εισαγωγή

Transcript

1 Το παρακάτω κείμενο δημοσιεύτηκε στο συλλογικό τόμο με τίτλο «Η έρευνα στην προσχολική εκπαίδευση» το Η πλήρης αναφορά είναι η εξής: Λεμονίδης Χ., Χατζηλιαμή Μ. (2002). Έρευνα στις γνώσεις των νηπίων σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες. Στο Ε. Κούρτη. Η έρευνα στην προσχολική εκπαίδευση. Τόμος Β Αθήνα: Τυπωθήτω- Γιώργος Δάρδανος. Έρευνα στις γνώσεις των νηπίων σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες Χαράλαμπος Λεμονίδης. Επίκουρος Καθηγητής Διδακτικής των Μαθηματικών του Α.Π.Θ. στο Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Μυρσίνη Χατζηλιαμή. Μεταπτυχιακή φοιτήτρια του Α.Π.Θ. στο Π.Τ.Δ.Ε. Φλώρινας Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια το αναλυτικό πρόγραμμα και η διδασκαλία των αριθμητικών εννοιών στο νηπιαγωγείο βασίζεται στις έρευνες του Piaget (1941, 1952) και στη φιλοσοφία της μεταρρύθμισης των «Μοντέρνων μαθηματικών». Δίνεται έμφαση στη δράση του παιδιού και στη οικοδόμηση από αυτό των νοητικών του δομών, ενώ το περιεχόμενο αναπτύσσεται με βάση τη θεωρία των συνόλων. Μέσα στο πλαίσιο αυτό οι αντιστοιχίσεις, οι ταξινομήσεις και οι σειροθετήσεις θεωρούνται ως προαριθμητικές έννοιες οι οποίες διαχωρίζονται και προηγούνται στη διδασκαλία για να προετοιμάσουν το λογικό υπόβαθρο του παιδιού, ώστε να δεχθεί αργότερα τη διδασκαλία του αριθμού. Σύμφωνα με αυτήν την λογική, το παιδί πρέπει πρώτα να περάσει ένα στάδιο το λεγόμενο προαριθμητικό. Έτσι θα προετοιμάσει το γνωστικό του υπόβαθρο, με έννοιες λογικού χαρακτήρα, που αναφέρονται στον αριθμό. Αρκετά αργότερα θα αντιμετωπίσει τους αριθμούς και τις καταστάσεις μέσα στις οποίες αυτοί εμφανίζονται. Οι αριθμοί λοιπόν έχουν μια πολύ περιορισμένη έκταση μέσα στο πρόγραμμα του νηπιαγωγείου (διδάσκονται αριθμοί μέχρι το 5, απαρίθμηση μέχρι το 10, και εισαγωγή σε καταστάσεις των τεσσάρων πράξεων). Η λογική της διδασκαλίας αυτής θεωρεί ότι τα παιδιά δεν έχουν καμία γνώση και δεξιότητα σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες, όμως τα παιδιά της ηλικίας αυτής, όπως έδειξαν πολλές έρευνες, κατέχουν μια σειρά από γνώσεις σχετικές με τον αριθμό οι οποίες προέρχονται από το κοινωνικό τους περιβάλλον. Τα αποτελέσματα των διαφόρων ερευνών δείχνουν ότι τα παιδιά έχουν γνώσεις: Σχετικά με την προφορική αρίθμηση (Fuson, K. C, Richards, J. and Briars, D. J., 1982, Fuson, K., & Hall, J.W., 1983, κ.ά), την απαρίθμηση ή καταμέτρηση και την άμεση εκτίμηση μιας συλλογής αντικειμένων (Gelman, R. & Gallistel, C.R., 1978, Gelman, R., & Meck E., 1983, Fischer, J.P.,1992, Κόσυβας, Γ., 1993, κ.ά). Την γραφή και ανάγνωση των ψηφίων (Meljac, Cl., 1979, Kamii, M., 1982, Hughe Martin, 1996). Την εκτέλεση απλών πράξεων και την επίλυση λεκτικών προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης (Carpenter, T.P. & Moser, J.M.,1982, Riley M.-S., Greeno J.-G. & Heller J.-I, 1983, Steffe, L.P., Cobb, P., 1988, κ.ά). Κατά την επίλυση απλών προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης τα παιδιά χρησιμοποιούν αυθόρμητες και άτυπες διαδικασίες/ στρατηγικές τις οποίες δεν παίρνει υπόψη του το πρόγραμμα του νηπιαγωγείου. Σκοπός της έρευνας αυτής είναι να εξετάσουμε και να αναλύσουμε τις αριθμητικές ικανότητες που κατέχουν τα παιδιά του νηπιαγωγείου στην Ελλάδα. Να καταγράψουμε τις άτυπες διαδικασίες λύσης αριθμητικών προβλημάτων. Η μελέτη

2 των αρχικών μαθηματικών ικανοτήτων των παιδιών, σχετικά με τις αριθμητικές έννοιες, είναι απαραίτητη προκειμένου να διαμορφωθεί ένα τέτοιο Αναλυτικό Πρόγραμμα, το οποίο θα λαμβάνει υπόψη του τις ανάγκες τους και τις ήδη υπάρχουσες εμπειρίες τους. Μεθοδολογία έρευνας Η έρευνά μας πραγματοποιήθηκε σε δημόσια νηπιαγωγεία του Νομού Φλώρινας, το μήνα Μάιο της σχολικής χρονιάς Επιλέχθηκε τυχαίο δείγμα 85 μαθητών (Ν= 85) από οκτώ νηπιαγωγεία του Νομού Φλώρινας. Όλα τα νήπια του δείγματος ήταν του επιπέδου μεγάλα νήπια. Ο μέσος όρος ηλικίας των υποκειμένων της έρευνας είναι 5,8 έτη. Τα νηπιαγωγεία ήταν από την πόλη της Φλώρινας και από τα χωριά του Νομού. Οι μαθητές εξετάστηκαν με προσωπική συνέντευξη. Όλες οι ερωτήσεις διατυπώνονταν προφορικά και οι απαντήσεις των μαθητών δίνονταν επίσης προφορικά και καταγράφονταν από τον εξεταστή σ ένα πρωτόκολλο. Ταυτόχρονα γίνονταν βιντεοσκόπηση των μαθητών κατά τη διάρκεια της εξέτασης. Η διάγνωση της διαδικασίας που χρησιμοποιούσαν τα παιδιά στα προβλήματα και τις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης γινόταν με τους εξής τρόπους: α) ο εξεταστής παρατηρούσε κάποια εμφανή χαρακτηριστικά, όπως, αν και πως χρησιμοποιούσαν τα δάκτυλά τους, τη διάρκεια του χρόνου απάντησης δηλαδή, αν απαντούσαν αυτόματα ή αν αργούσαν να απαντήσουν. β) ο εξεταστής με διάφορες ερωτήσεις που υπέβαλε στο παιδί προσπαθούσε να διαγνώσει τη διαδικασία με την οποία αυτός εκτελούσε την πράξη. γ) γινόταν ανάλυση της βιντεοσκοπημένης απάντησης του παιδιού. 1. Ικανότητες των παιδιών σε έννοιες σχετικές με τον αριθμό Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα της έρευνας σχετικά με τις ικανότητες των νηπίων στις εξής δραστηριότητες: προφορική αρίθμηση, απαρίθμηση, γραφή και ανάγνωση αριθμών και διάταξη των αριθμών. 1.1 Προφορική αρίθμηση Σε μια πρώτη φάση της έρευνας εξετάστηκε αν και σε πιο βαθμό, οι μαθητές της ηλικίας αυτής (νηπιακής), κατέχουν την προφορική αριθμητική ακολουθία. Η μάθηση της προφορικής ακολουθίας των φυσικών αριθμών έχει σε μεγάλο βαθμό χαρακτήρα γλωσσικό και, όπως κάθε γλωσσικό υποσύστημα μιας δεδομένης γλώσσας, περιέχει έναν ορισμένο αριθμό από συνθετικούς κανόνες και εξαιρέσεις. Η εκμάθηση των κανόνων αυτών αποτελεί μια μακρόχρονη διαδικασία που ξεκινά από πολύ νωρίς με τη μορφή κοινωνικής γνώσης και εξελίσσεται σε πιο λειτουργική με την οργανωμένη διδασκαλία στο σχολείο (Γαγάτσης, Α., Λεμονίδης, Χ.,1994). Για να εξετάσουμε την ικανότητα του νηπίου στην προφορική απαγγελία της ακολουθίας των αριθμών θέτουμε ερωτήσεις του τύπου : «Μέχρι πόσο ξέρεις να μετράς; Μέτρα όσο ξέρεις». Αν το παιδί δεν καταλαβαίνει την ερώτηση την διατυπώνουμε διαφορετικά ή του υπενθυμίζουμε την αρχή της αριθμογραμμής. «Μπορείς να μετρήσεις 1, 2, 3,...,». Μέγεθος ν 9 10 ν ν ν ν ν ν 99 ν 100 Ν % 9,5% 8% 21% 20% 13% 13% 1% 14%

3 Πίνακας 1: Ποσοστά επιτυχίας σε διαφορετικά μεγέθη αριθμών Το ν συμβολίζει τον αριθμό μέχρι τον οποίο μετράει το παιδί Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα η πλειοψηφία των μαθητών του δείγματος (ποσοστό 90,5%) είναι σε θέση να αριθμεί προφορικά και πάνω από το 10. Δηλαδή τα νήπια κατέχουν τη δομή της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας σε πολύ μεγαλύτερο βαθμό από εκείνον που προβλέπει το αναλυτικό πρόγραμμα. Η διαπίστωση αυτή επιβεβαιώνει τον κοινωνικό χαρακτήρα της μάθησης της προφορικής αριθμητικής ακολουθίας. Οι μισοί μαθητές (ποσοστό 49%) είναι σε θέση να αριθμούν αριθμούς από το 10 μέχρι το 29. Το ένα τρίτο των νηπίων (26%) μπορεί να μετράει αριθμούς από το 30 μέχρι το 69. Παρατηρούμε ότι ένα σημαντικό ποσοστό (14%) φτάνει να μετράει και αριθμούς μεγαλύτερους του Απαρίθμηση Στα πλαίσια της δραστηριότητας αυτής επιδιώκεται να εξεταστεί η ικανότητα των παιδιών στη κατασκευή συλλογών με δεδομένο πλήθος. Η δραστηριότητα «κατασκευή συλλογής» εντάσσεται στη διαδικασία της απαρίθμησης. Η επιτυχία για την κατασκευή μιας συλλογής προϋποθέτει τη γνώση της προφορικής αρίθμησης. Για να εξετάσουμε την ικανότητα κατασκευής μιας συλλογής με βάση ένα δεδομένο αριθμό, τοποθετούμε μπροστά στους μαθητές σε τυχαία διάταξη 30 κυβάκια ομοίου μεγέθους και χρώματος στη συνέχεια, σε μία πρώτη φάση, τους ζητάμε, να μας δώσουν 6 κυβάκια: «Δώσε μου 6 κυβάκια». Ανεξάρτητα με την απάντηση (σωστή, λάθος, ή μη απάντηση), προχωράμε στη δεύτερη φάση καλώντάς τα να κατασκευάσουν αυτή τη φορά μια συλλογή από 13 κυβάκια. Η στατιστική επεξεργασία των δεδομένων έδειξε ότι ένα μεγάλο ποσοστό (88%) των ερωτηθέντων κατασκεύασε σωστά συλλογή των 6 αντικειμένων. Επιτυχία ποσοστού 70.5% σημειώθηκε στην κατασκευή συλλογής 13 αντικειμένων. Παρατηρούμε ότι η επιτυχία των μαθητών μειώνεται αρκετά όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί και περνάμε από μονοψήφιους σε διψήφιους αριθμούς. Ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι, αν και η μεγάλη πλειοψηφία των μαθητών αριθμούσε ανά ένα, υπήρχε ένα μικρό ποσοστό μαθητών (6%) που αριθμούσε ανά δύο. Επιπλέον όλοι σχεδόν οι μαθητές είχαν συνδέσει το όνομα του αριθμού που χρησιμοποιούσαν για να απαριθμήσουν το τελευταίο αντικείμενο, με το πλήθος των στοιχείων της συλλογής (κατοχή «αρχής της πληθικότητας»). Τα παιδιά που δεν είχαν αντιληφθεί αυτή τη σχέση συνήθως απαντούσαν με κάποιο άλλο αριθμό που είχαν αναφέρει κατά την απαρίθμηση τους. Αναφορικά με τα λάθη που έγιναν, τα συνηθέστερα που επισημάνθηκαν ήταν λάθη συγχρονισμού μεταξύ προφορικής ακολουθίας και αντιστοίχησης των αντικειμένων. Δηλαδή υπερπηδούσαν αριθμούς ή αντικείμενα. Πολλά παιδιά τέλος, ξεχνούσαν τον αριθμό και ξανάρχιζαν από την αρχή. Επίδειξη δακτύλων Μία από τις διαδικασίες ποσοποίησης, εξίσου σημαντική με την απαρίθμηση, που μας επιτρέπει να βρίσκουμε πόσα στοιχεία περιέχει ένα δεδομένο σύνολο, είναι η άμεση εκτίμηση (subitizing). Με τον όρο «άμεση εκτίμηση» περιγράφουμε τη γρήγορη, ακριβή και σίγουρη εκτίμηση του πλήθους μιας συλλογής, που παρουσιάζεται κατά μια πολύ σύντομη χρονική διάρκεια. Πρόκειται για μια ολική αντίληψη μιας ποσότητας χωρίς την προσφυγή στην απαρίθμηση. Η δραστηριότητα «επίδειξη δακτύλων», από την πλευρά των παιδιών μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη διαδικασία της άμεσης εκτίμησης (δείχνει αμέσως τον αριθμό των δακτύλων) ή με απαρίθμηση των δακτύλων ένα προς ένα. Για να εξετάσουμε την παραπάνω ικανότητα θέταμε στα νήπια την ερώτηση: «Δείξε μου ν δάκτυλα» όπου ν=4, 5, 6 και 10. Παράλληλα παρατηρούσαμε τον τρόπο απάντησης. Οι μαθητές έχουν τη δυνατότητα να απαντήσουν απαριθμώντας (να

4 μετρήσουν δηλαδή 1-1 τα δάκτυλα τους) ή να κάνουν άμεση εκτίμηση. Οι απαντήσεις των μαθητών παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα 2. Το γεγονός ότι τα δάκτυλα των χεριών είναι δέκα οργανωμένα ανά πέντε, δικαιολογεί το μεγάλο ποσοστό μαθητών που χρησιμοποίησαν τη διαδικασία της άμεσης εκτίμησης για να δείξουν πέντε και δέκα δάκτυλα σε αντίθεση με τα τέσσερα και τα έξι δάκτυλα. Η διδασκαλία θα μπορούσε να αξιοποιήσει αυτό το δεδομένο και να κατασκευάσει παιδαγωγικό υλικό οργανωμένο στη βάση της πεντάδας και της δεκάδας. Δηλαδή, οι πεντάδες και οι δεκάδες θα μπορούσαν να προβληθούν σαν αυτόνομες οντότητες, για την καλύτερη και γρηγορότερη κατανόηση εννοιών σχετικά με τον αριθμό, τις αριθμητικές πράξεις και τη λύση προσθετικών προβλημάτων. Αριθμός Επιτυχία Διαδικασία: Διαδικασία: δακτύλων Άμεση εκτίμηση Απαρίθμηση (94%) 60 (75%) 20 (25%) 5 81 (96%) 75 (91%) 7 (8,5%) 6 66 (77,5%) 54 (82%) 12 (18%) (82%) 66 (94%) 4 (6%) Πίνακας 2: Ποσοστά επιτυχίας και διαδικασίες στην επίδειξη δακτύλων 1.3 Γραφή αριθμών Η τρίτη διαδικασία στην οποία εξετάστηκαν οι μαθητές αφορούσε τη γραφή των αριθμών. Για να εξετάσουμε την ικανότητα γραπτής αναπαράστασης του αριθμού, ζητήσαμε από τα νήπια να μας γράψουν σε μία λευκή κόλα χαρτί τους αριθμούς: 3, 5, 7, 9, 10 και 16 «π.χ. Γράψε τον αριθμό 3». Η στατιστική επεξεργασία των δεδομένων έδειξε ότι, κατά μέσο όρο, ένα ικανοποιητικό ποσοστό μαθητών (42,5%) γράφει σωστά τους αριθμούς που ζητήσαμε. Πιο συγκεκριμένα, 57,5% των νηπίων γράφει σωστά τον αριθμό 3, 50,5% τον αριθμό 5, 36,5% τον αριθμό 7, 40% τον αριθμό 9, 47% τον αριθμό 10 και 23,5% τον αριθμό 16. Παρατηρούμε από τα παραπάνω ότι οι μισοί σχεδόν μαθητές ξέρουν να γράφουν τους μονοψήφιους αριθμούς 3 και 5 καθώς και τον διψήφιο αριθμό 10. Λιγότεροι γνωρίζουν να γράφουν τους αριθμούς 7 και 9 και ακόμη λιγότεροι τον διψήφιο αριθμό 16. Τα συχνότερα λάθη που έγιναν από τα παιδιά ήταν τα «καθρεπτικά λάθη». Τα παιδιά δηλαδή, έγραφαν τους αριθμούς συμμετρικά ως προς νοητό άξονα περιστροφής (το 3 ε κλπ) Παρουσιάστηκε επίσης το φαινόμενο, δύο νήπια να κατασκευάσουν ένα σχήμα το οποίο φαινομενικά δεν είχε καμία σχέση με τον αριθμό που τους ζητήθηκε. Μια άλλη κατηγορία μαθητών ήταν αυτή που χρησιμοποίησε σύμβολα (γραμμές) για να αναπαραστήσει τον αριθμό (π.χ. ο αριθμός 5 με πέντε γραμμές) (ποσοστό 4%).Ένα μικρότερο ποσοστό (2%), για να αποδώσει τον αριθμό, γράφει όλα τα ψηφία που αριθμεί στην αριθμογραμμή για να φτάσει στο δεδομένο αριθμό. Έχουμε δηλαδή απαντήσεις όπως «123», στην ερώτηση «γράψε μου τον αριθμό 3». Όσο αφορά τους διψήφιους αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι του 10, τα παιδιά αντιμετωπίζουν δυσκολία, καθώς δεν κατανοούν την ακριβή σημασία κάθε ψηφίου. (Απαντήσεις του τύπου «106» στην ερώτηση «Γράψε μου τον αριθμό 16» φανερώνουν ότι τα νήπια δεν καταλαβαίνουν πως το 1 συμβολίζει τη δεκάδα, και το 6 τη μονάδα.) 1.4 Ανάγνωση αριθμών

5 Σε αυτή τη φάση της έρευνας γίνεται απόπειρα να διερευνηθεί η ικανότητα μαθητών σχετικά με την αναγνώριση των γραπτών συμβόλων των αριθμών. Για να επιτευχθεί αυτό παρουσιάζουμε στο μαθητή μία κόλα Α4, πάνω στην οποία είναι γραμμένοι: α) στην πρώτη σειρά οι αριθμοί:1, 4, 2 και 5, β) στη δεύτερη σειρά οι αριθμοί:3, 7, 6 και 10, γ) στην τρίτη σειρά οι αριθμοί 11, 9, 13 και 16 και δ) στην τέταρτη σειρά οι αριθμοί 12, 20, 8 και 19. Στη συνέχεια του ζητάμε να διαβάσει τους αριθμούς. Στον παρακάτω πίνακα παρουσιάζονται οι απαντήσεις των μαθητών. Αριθμός Επιτυχία % Όχι απάντηση % , , ,5 70, , Πίνακας 3: Ποσοστά επιτυχίας αναγνώρισης ψηφίων Η μελέτη των δεδομένων μας οδηγεί στη διαπίστωση ότι η πλειοψηφία των μαθητών αναγνωρίζει σε ικανοποιητικό βαθμό τα ψηφία των αριθμών, παρά το γεγονός ότι αυτά, ως αναπαραστάσεις, είναι σημεία. Δεν υπάρχει δηλαδή καμία σχέση μεταξύ του σημαίνοντος και του σημαινόμενου. Σύμφωνα με τα δεδομένα του πίνακα, παρατηρούμε ότι ένα πολύ μεγάλο ποσοστό των μαθητών (πάνω από 86%) αναγνωρίζει τους αριθμούς από το 1 μέχρι το 5. Μικρότερο από το προηγούμενο, αλλά αρκετά μεγάλο ποσοστό (γύρω στο 70%) των μαθητών αναγνωρίζει τους αριθμούς από 6 μέχρι 10, το 11 και το 13. Σχεδόν οι μισοί μαθητές αναγνωρίζουν τους διψήφιους αριθμούς 12, 16, 19 και 20. Τη μικρότερη επιτυχία συγκέντρωσε ο αριθμός 12 (ποσοστό 41,1%). Παρατηρούμε λοιπόν πως η ανάγνωση των μονοψήφιων αριθμών είναι πιο εύκολη συγκρινόμενη με αυτή των διψήφιων αριθμών. Αυτό οφείλεται κυρίως στην αρχή της θέσης των ψηφίων και της έννοιας του μηδενός, που περιέχονται στο αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιούμε σήμερα. Ένα από τα συχνά λάθη των μαθητών είναι ότι μπερδεύουν τον αριθμό 9 με τον αριθμό 6. Όσο αφορά λάθη παιδιών που δε γνωρίζουν διψήφιους αριθμούς, η διαδικασία που ακολουθείται συχνά είναι η ανάλυση τους σε δύο μονοψήφιους π.χ. 12=1 και 2, 20=2 και 0. Σε γενικές γραμμές τα αποτελέσματά μας επιβεβαιώνουν τη άποψη των Kamii & De Clark (1995), ότι η γνώση των συμβόλων των αριθμών δε φαίνεται να παρουσιάζει ιδιαίτερο πρόβλημα για τους μαθητές, καθώς αποτελεί μια κοινωνική γνώση. 1.5 Διάταξη αριθμών Στην πέμπτη φάση της έρευνας εξετάστηκε κατά πόσο οι μαθητές είναι σε θέση να αναγνωρίζουν τους αριθμούς που βρίσκονται ακριβώς πριν και μετά από κάποιο δεδομένο αριθμό. Η ικανότητα αυτή αναφέρεται στην αναγνώριση της διάταξης και διαδοχής των αριθμών της αριθμητικής ακολουθίας. Για να εξετάσουμε την ικανότητα αυτή των νηπίων θέτουμε τις παρακάτω ερωτήσεις: Ποιος αριθμός είναι πριν το ν; Ποιος αριθμός είναι μετά το ν; Οι αριθμοί που θέσαμε ήταν ν=5, 10 και 19. Παράλληλα, παρατηρήσαμε αν τα παιδιά, για να βρουν τον αριθμό που ζητείται, χρησιμοποιούν τις διαδικασίες: α) απαντούν αμέσως β) μετρούν 1-1 αρχίζοντας από την αρχή της αριθμητικής ακολουθίας. Αριθμός Πριν το Μετά το Πριν το Μετά το Πριν το Μετά το Επιτυχία

6 Όχι απάντηση Διαδικασία Αμέσως Διαδικασία Μέτρηση 45% 56% 54% 50,5% 30,5% 28% ,5% 9,5% 6% 12% 26% 29,5% % 89,5% 82,5% 88% 88,5% 87,5% % 10,5% 17,5% 11,5% 11,5% 12,5% Πίνακας 4: Επιτυχίες στη διάταξη των αριθμών Σύμφωνα με τα δεδομένα του πίνακα 4, σχεδόν οι μισοί μαθητές είναι ικανοί να βρίσκουν τους αριθμούς πριν και μετά από το 5 και το 10, ενώ το ένα τρίτο των μαθητών βρίσκουν τους αντίστοιχους αριθμούς για το 19. Όσον αφορά τη διαφορά της δυσκολίας μεταξύ του «πριν» και του «μετά», φαίνεται να είναι πιο εύκολη η απάντηση του «μετά», μόνο για τον αριθμό 5. Αντίθετα, δεν παρουσιάζεται διαφορά δυσκολίας στους αριθμούς 10 και 19. Όσον αφορά τον αριθμό 11 μια ερμηνεία αυτού του αποτελέσματος, είναι ότι δεν παρουσιάζει γλωσσική κανονικότητα, δυσκολεύοντας τους μαθητές. Ο αριθμός 20, μια μη κανονική γλωσσικά αριθμολέξη, με την οποία ξεκινάει μια καινούργια δεκάδα, δημιουργεί πρόσθετες δυσκολίες στους μαθητές. Όσο αφορά τις διαδικασίες, το μεγαλύτερο ποσοστό μαθητών που πέτυχε, χρησιμοποίησε την διαδικασία άμεσης απάντησης. 2. Γνώσεις σχετικές με λύση προβλημάτων και πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης 2.1 Ικανότητα εκτέλεσης πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης Σε αυτή τη φάση της έρευνας μας εξετάζουμε την ικανότητα των νηπίων στις πράξεις της πρόσθεσης και της αφαίρεσης. Θέτουμε στο παιδί προφορικά ερωτήσεις του τύπου: «μ και ν πόσο κάνουν;», «από το μ αν βγάλουμε το ν πόσο μας μένει;». Δεν χρησιμοποιούμε τις λέξεις «συν» και «μείον». Επίσης, δε δείχνουμε στα παιδιά με γραπτά σύμβολα τις προσθέσεις ή τις αφαιρέσεις (π.χ. 2+3 ή 4-2) γιατί δεν καταλαβαίνουν τα γραπτά σύμβολα των πράξεων. Στις πράξεις χρησιμοποιήθηκαν μόνο μονοψήφιοι αριθμοί και επιλέχθηκαν οι μεταβλητές: α) μεγάλοι και μικροί αριθμοί (2+1, 3+2, 2+2, 3+3, 4+5, 5+5, 6+5) (2-2, 4-2, 5-3, 8-4, 9-4), β) διπλά αθροίσματα και διαφορές (2+2, 3+3, 5+5, 2-2, 4-2, 8-4). Για κάθε πράξη που θέτουμε στα παιδιά προσπαθούμε να διαγνώσουμε τη διαδικασία (στρατηγική) που χρησιμοποιούν για να απαντήσουν. Πολλές έρευνες έχουν δείξει ότι τα παιδιά διαθέτουν μια ποικιλία διαδικασιών για τη λύση απλών προσθέσεων και αφαιρέσεων (Carpenter, T.P., Moser, J. M., 1982, Steffe, L.P., Cobb, P., 1988, K. Fuson, K.C., 1992). Οι Carpenter και Moser διαχώρισαν τρεις μεγάλες κατηγορίες διαδικασιών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στις πράξεις της πρόσθεσης και αφαίρεσης: 1. Διαδικασίες με υλικά. Τα παιδιά χρησιμοποιούν αντικείμενα ή τα δάκτυλα τους για να κατασκευάσουν ένα άμεσο μοντέλο της πράξης της πρόσθεσης και της αφαίρεσης που δίνεται σε μια κατάσταση. Οι διαδικασίες αυτές διαχωρίζονται σ αυτές κατά τις οποίες τα παιδιά χρησιμοποιούν τα δάκτυλά τους (Δάκτυλα) από αυτές που χρησιμοποιούν αντικείμενα (Αντικείμενα), για να μοντελοποιήσουν την πράξη. 2. Διαδικασίες αρίθμησης: π.χ. για την πρόσθεση 2+7, τα παιδιά μπορούν να ξεκινήσουν να αριθμούν ένα-ένα ανεβαίνοντας. Μπορεί να ξεκινήσουν από το μεγαλύτερο αριθμό, (7), 8, 9, (Αριθμ. Μ.) ή από το μικρότερο, (2), 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (Αριθμ. μ. ). Στην αρίθμηση αυτή μπορεί να χρησιμοποιήσουν τα δάκτυλά τους, για

7 να μετρήσουν τα βήματα που κάνουν (Αριθμ. Δάκτυλα), ή να μην χρησιμοποιήσουν τα δάκτυλά τους (Αριθμ. Χ. Δάκτυλα). Αντίστοιχες διαδικασίες μπορεί να έχουμε και στην αφαίρεση. 3. Διαδικασίες ανάκλησης ή νοερές διαδικασίες. Στην κατηγορία αυτή μπορεί να έχουμε: Διαδικασίες άμεσης ανάκλησης, κατά τις οποίες το παιδί σε μια πράξη γνωρίζει το αποτέλεσμα απέξω. Διαδικασίες ανάκλησης πράξεων ή υπολογισμού, κατά τις οποίες το παιδί, για να βρει το αποτέλεσμα μιας πράξης, ανακαλεί από τη μνήμη του άλλες γνωστές και με αυτές κατασκευάζει την απάντηση (π.χ. στην πράξη 6+5 κάνει τα εξής: 5+5=10, 10+1=11). Βεβαίως, ο διαχωρισμός αυτός των τριών επιπέδων δεν είναι απόλυτος. Μπορεί να υπάρχουν και άλλες διαδικασίες που συνδυάζουν συμπεριφορές από δύο διαφορετικά επίπεδα. για παράδειγμα, διαδικασίες υπολογισμού με δάκτυλα, κατά τις οποίες το παιδί υπολογίζει το αποτέλεσμα (3 ο επίπεδο), αλλά το επιβεβαιώνει χρησιμοποιώντας τα δάκτυλα του (2 ο επίπεδο). Οι απαντήσεις των μαθητών στις πράξεις παρουσιάζονται παρακάτω στον πίνακα 5. Όσον αφορά την επιτυχία των μαθητών στην εκτέλεση των πράξεων από τον πίνακα 5, μπορούμε να παρατηρήσουμε τα εξής: Οι μισοί μαθητές μπορούν να βρουν το άθροισμα 2+1, ενώ τα διπλά αθροίσματα 2+2, 3+3, 5+5 αλλά και το άθροισμα 3+2 το βρίσκει περίπου το 40% των μαθητών. Όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί τόσο οι προσθέσεις γίνονται δυσκολότερες για τα παιδιά, έτσι στις πράξεις 4+5 και 6+5 τα ποσοστά επιτυχίας πέφτουν στο 17,5% και 14% αντίστοιχα. Όσο αφορά την αφαίρεση, η μεγαλύτερη επιτυχία σημειώθηκε στην πράξη 5-3 (με ποσοστό 41,1%), ενώ στην πράξη 9-4 συναντάμε τις λιγότερες σωστές απαντήσεις (ποσοστό 23,5%). Πράξη χία Επιτυ ,5% % ,5% % % ,5% % % ,5% % % ,5% Διαδικασίες Ανάκλησης Διαδικασίες Αρίθμησης Διαδικασίες με υλικά Άμεση Ανάκλ. Αριθμησ Αριθμησ Δάκτυλα Αντικεί- Υπολογισ Ανάκλ. Πράξης Χ. Δάκτ. Δάκτυλα μενα Δάκτυλα ,5% 10,5% 1% 2% % 11,5% 1% 3,5% % 1% 2% % 1% 2% 7% % 1% 1% 5% % 3,5% 1% 1% 1% 6% % 2% 1% 2% 5% 2% % 1% ,5% 2% 2% 3,5% 1% 3,5% ,5% 1% 6% 1% 3,5% 11,5% % 2% 3,5% 1% 2% 3,5% 6% % 1% 1% 1% 5% 9% Όχι Απάντ % 17 20% 8 9,5% 12 14% 12 14% 23 27% 24 28% 10 11,5% 12 14% 13 15% 18 21% 19 22,5%

8 Πίνακας 5: Ποσοστά επιτυχίας και διαδικασιών στις πράξεις Όσο αφορά τις διαδικασίες, παρουσιάζονται στον πίνακα αυτές που προέρχονται από σωστές απαντήσεις στις πράξεις. Οι λάθος απαντήσεις και οι μη απαντήσεις δεν λαμβάνονται υπόψη. Μπορούμε να παρατηρήσουμε καταρχάς ότι τα νήπια δεν χρησιμοποιούν καθόλου ή χρησιμοποιούν ελάχιστα τα αντικείμενα (κυβάκια) ή τα δάχτυλά τους (1 ο επίπεδο διαδικασίες με υλικά) για να βρουν αθροίσματα ή διαφορές. Σύμφωνα με το ισχύον αναλυτικό πρόγραμμα δεν προβλέπεται η διδασκαλία των πράξεων με αριθμούς. Μπορούμε να πούμε λοιπόν ότι οι μαθητές δεν χρησιμοποιούν αυθόρμητα τις διαδικασίες με υλικά και χρειάζεται παρέμβαση της διδασκαλίας. Η διαδικασία που χρησιμοποιείται περισσότερο από τα νήπια στις προσθέσεις και αφαιρέσεις και ειδικά όταν υπάρχουν μικροί αριθμοί ή διπλά αθροίσματα είναι η διαδικασία της άμεσης ανάκλησης. Δηλαδή, ξέρουν απέξω το αποτέλεσμα της πράξης και το λένε αυτόματα. Όμως, υπάρχει γενικά η τάση στα νήπια που εξετάσαμε, συμπεριλαμβανομένων και αυτών που απαντούν με λάθος αποτέλεσμα, να δίνουν αμέσως ως απάντηση έναν αριθμό. Οι μαθητές που απαντούν λάθος έχουν κυρίως τη τάση να δίνουν ως απάντηση έναν τυχαίο ή σχετικό αριθμό. Δηλαδή, δεν πρόκειται ακριβώς για τη διαδικασία ανάκλησης από τη μνήμη μακράς διάρκειας του αποτελέσματος μιας πράξης, αλλά για μια τυχαία απάντηση που δίνεται εκείνη τη στιγμή. Ωστόσο, ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών (40% για το 2+2 και 5+5 και 30% για το 3+3) γνωρίζει απέξω τα διπλά αθροίσματα. Διαπιστώνουμε επίσης, πράγμα που ήταν αναμενόμενο, ότι τα νήπια δεν χρησιμοποιούν τη διαδικασία της ανάκλησης πράξης. Δηλαδή, δεν είναι ακόμη σε θέση να πραγματοποιήσουν νοερούς υπολογισμούς συνδυάζοντας και ανακαλώντας από τη μνήμη τους κάποιες γνωστές πράξεις. Αντίθετα, σε κάποιες πράξεις, όπως 3+3 (7%), 4+5 (6%), 5-3 (10%), 8-4(6%), 9-4(9%), φαίνεται οι μαθητές να χρησιμοποιούν τη διαδικασία του υπολογισμού με δάκτυλα. Δηλαδή, οι μαθητές σχηματίζουν σχεδόν αμέσως και χωρίς να μετρούν ένα προς ένα με τα δάκτυλά τους τους δύο όρους της πράξης (π.χ. στο 4+5 δείχνουν με το ένα χέρι 4 και το άλλο 5 δάκτυλα) και στη συνέχεια ανακοινώνουν το αποτέλεσμα πάλι χωρίς να μετρήσουν (τα 4 και 5 δάκτυλα είναι 9 δάκτυλα). Η διαδικασία αυτή ευνοείται από τη δομή των δακτύλων που είναι οργανωμένα στη βάση του 5 και του Ικανότητα επίλυσης απλών προβλημάτων πρόσθεσης και αφαίρεσης. Πολλές έρευνες έχουν πραγματοποιηθεί με τον τύπο των προβλημάτων που οι μαθητές μπορεί να λύνουν και τις διαδικασίες που αυτοί χρησιμοποιούν (Carpenter, T.P., Moser, J. M., 1982, Riley M.-S., Greeno J.-G. & Heller J.-I,1983, Καφούση, Σ, Ντζιαχρήστος, Β., 1997, Λεμονίδης, Χ., 1998). Με σκοπό να εξετάσουμε το επίπεδο των παιδιών στην ικανότητα επίλυσης προσθετικών προβλημάτων, θέτουμε τέσσερα προβλήματα με τον εξής τρόπο: Διαβάζουμε το πρόβλημα στο παιδί, τόσες φορές όσες είναι απαραίτητο για να καταλάβει την εκφώνηση. Το παιδί έχει μπροστά του υλικά αντικείμενα (κυβάκια), ώστε να του δίνεται η δυνατότητα, αν θέλει, να κάνει υλική αναπαράσταση του προβλήματος. Τα προβλήματα που εκφωνήθηκαν είναι δύο πρόσθεσης και δύο αφαίρεσης: 1)Η Βάσω έχει 3 αυτοκόλλητα. Η αδελφή της της έδωσε ακόμη 2. Πόσα αυτοκόλλητα θα έχει η Βάσω όλα μαζί και με αυτά που της έδωσε η αδελφή της; 2)Ο Πέτρος έχει 6 αυτοκινητάκια. Πήγε στο διπλανό δωμάτιο και πήρε άλλα 5 αυτοκινητάκια. Πόσα είναι τώρα όλα τα αυτοκινητάκια του Πέτρου;

9 3)Η Κατερίνα έχει 4 τετράδια επάνω στο θρανίο. Από αυτά, τα 2 τα έβαλε στην τσάντα της. Πόσα τετράδια έμειναν επάνω στο θρανίο; 4)Ο Αλέκος στην τούρτα των γενεθλίων του έχει 9 κεράκια. Φύσηξε και έσβησε τα 4. Πόσα κεράκια έμειναν αναμμένα; Οι αριθμοί που χρησιμοποιήθηκαν στο 1 και 3 πρόβλημα είναι μικροί, σε αντίθεση με αυτούς στο 2 και 4 που είναι μεγαλύτεροι. Και τα τέσσερα προβλήματα είναι προβλήματα μετασχηματισμού, το 1 και το 2 θετικού μετασχηματισμού, το 3 και το 4 αρνητικού μετασχηματισμού, όπου άγνωστη είναι η τελική κατάσταση. Τα προβλήματα αυτά θεωρούνται εύκολα ως προς τη σημασιολογική τους δομή. Η εξέλιξη των γεγονότων και των δεδομένων ακολουθεί μια κανονική χρονική εξέλιξη και οι μαθητές μπορούν εύκολα να σχηματίσουν μια νοερή ή υλική αναπαράσταση των προβλημάτων. Επίσης, ο μετασχηματισμός που συντελείται στο πρόβλημα, είναι συμβατός με την αντίστοιχη πράξη. Πρόβ λημα 1ο 3+2 2ο 6+5 3ο 4-2 4ο 9-4 Επιτυχία 46 54% 11 13% 33 39% 32 37% Διαδικασίες Ανάκλησης Διαδικασίες Αρίθμησης Διαδικασίες με υλικά Άμεση Ανάκλ. Αριθμησ Αριθμησ Δάκτυλα Αντικεί- Υπολογισ Ανάκλ. Πράξης Χ. Δάκτ. Δάκτυλα μενα Δάκτυλα % 22% 3,5% 7% % 1% 2% 2% 2% 2% % 1% 1% 3,5% % 5% 2% 2% 3,5% 5% Όχι Απάντ. 9 10,5% 15 17,5% 5 6% 9 10,5% Πίνακας 6: Ποσοστά επιτυχίας και διαδικασιών στα προβλήματα Η επεξεργασία των σχετικών δεδομένων έδειξε ότι ο μέσος όρος των μαθητών που είναι σε θέση να λύνει απλά προβλήματα προσθετικού τύπου είναι 36%. Η μεταβολή του μεγέθους των αριθμών δημιουργεί διαφορά επιτυχίας στα προβλήματα πρόσθεσης (54% επιτυχία στο πρόβλημα 3+2 και 13% επιτυχία στο 6+5). Αντίθετα στα προβλήματα αφαίρεσης δεν παρουσιάζεται διαφορά στην επιτυχία λόγω του μεγέθους των αριθμών. Τα νήπια αντιμετώπισαν μεγαλύτερη δυσκολία σε προβλήματα αφαίρεσης από ότι σε προβλήματα πρόσθεσης. Αυτό φαίνεται από τη σύγκριση της επιτυχίας ανάμεσα στο πρώτο και το τρίτο. Όσο αφορά τις στρατηγικές/ διαδικασίες, γίνεται επεξεργασία μόνο των σωστών απαντήσεων που δίνουν τα νήπια, ενώ οι λάθος απαντήσεις και οι μη απαντήσεις δεν λαμβάνονται υπόψη. Οι διαδικασίες που χρησιμοποιούν τα νήπια στα προβλήματα είναι ανάλογες με αυτές των πράξεων που είδαμε προηγουμένως. Η επεξεργασία των σχετικών δεδομένων έδειξε ότι οι μαθητές του νηπιαγωγείου, όταν επιλύουν προβλήματα πρόσθεσης και αφαίρεσης, έχουν την τάση να δίνουν αμέσως μια απάντηση. Το πρόβλημα στο οποίο χρησιμοποιήθηκαν περισσότερο οι διαδικασίες ανάκλησης είναι το 3 ο, 4-2, με ποσοστό 81%. Οι διαδικασίες αρίθμησης χρησιμοποιούνται από λιγότερα νήπια. Οι διαδικασίες αυτές χρησιμοποιήθηκαν περισσότερο (22%) στο πρώτο πρόβλημα πρόσθεσης (3+2) λόγω του ότι οι αριθμοί ήταν μικροί και επομένως ήταν λίγα τα βήματα ανόδου επάνω στην αριθμογραμμή. Πολύ λίγοι μαθητές χρησιμοποιούν τα αντικείμενα για να απαντήσουν. Τα παιδιά δεν γνωρίζουν να αναπαριστούν ένα απλό πρόβλημα με αντικείμενα και να υπολογίζουν με αυτά. Σε μερικές περιπτώσεις δοκιμάσαμε και μπορούσαν να το κάνουν αυτό τα νήπια μετά από δική μας καθοδήγηση.

10 Συμπεράσματα Τα αποτελέσματα της έρευνας αυτής δείχνουν ότι οι μαθητές πριν εισέλθουν στη βασική εκπαίδευση διαθέτουν διάφορες γνώσεις και δεξιότητες σχετικά με τους αριθμούς. Ένα ικανοποιητικό ποσοστό των μαθητών του δείγματος φαίνεται να είναι σε θέση να αριθμεί προφορικά μέχρι πολύ μεγαλύτερους αριθμούς από το δέκα, να απαριθμεί, να γράφει αριθμούς, να επιδεικνύει με επιτυχία δάκτυλα, να γνωρίζει αριθμούς πριν και μετά από δεδομένο, να διαβάζει σύμβολα αριθμών, να επιλύει προβλήματα προσθετικού τύπου, να εκτελεί πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης. Όσο αφορά τις στρατηγικές που χρησιμοποίησαν τα παιδιά, τόσο για την επίλυση προβλημάτων προσθετικού τύπου, όσο και για την εκτέλεση πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης, σημειώνουμε τα παρακάτω: προφανώς οι μαθητές δεν κινούνται όλοι με τους ίδιους ρυθμούς και δεν ακολουθούν όλοι μια γραμμική εξέλιξη από τα αντικείμενα, στις αριθμήσεις επάνω στην ακολουθία των αριθμών και στη συνέχεια στους νοερούς υπολογισμούς. Αρκετοί μαθητές γνωρίζουν απέξω και μπορεί να ανακαλούν από τη μνήμη τους διπλά αθροίσματα όπως 2+2, 3+3 και 5+5 αλλά και διαφορές της μορφής 2ν-ν με μικρούς αριθμούς όπως το 4-2. Ο τρόπος που αντιμετωπίζουν τις πράξεις δείχνει μια συμπεριφορά του τύπου ή ξέρουν και το λένε αμέσως ή δεν ξέρουν. Γνωρίζουν πολύ λίγο να χρησιμοποιούν τα αντικείμενα ή τα δάκτυλά τους για να αναπαριστούν τις πράξεις που τους προτείνονται. Αυτό βεβαίως είναι ένα κενό το οποίο καλείται να αντιμετωπίσει η διδασκαλία. Οι δύο διαδικασίες που φαίνεται να χρησιμοποιούνται από τους μαθητές είναι αυτή της αρίθμησης και του υπολογισμού με δάκτυλα. Τις διαδικασίες αυτές η διδασκαλία μπορεί να τις αναπτύξει και να τις οργανώσει. Δεν πρέπει όμως να δοθεί μονοσήμαντα βάρος και να αναπτυχθούν υπέρμετρα μόνο οι διαδικασίες αρίθμησης όπως γίνεται στην Α τάξη του δημοτικού (βλ. Χ. Λεμονίδης, 1998). Ταυτόχρονα με τις διαδικασίες αρίθμησης θα πρέπει οι μαθητές να ασκήσουν τις διαδικασίες υπολογισμού με δάκτυλα και αντικείμενα. Οι διαδικασίες αυτές θα αποτελέσουν τις βάσεις προς μια πορεία που έχει στόχο τους νοερούς υπολογισμούς. Τα αποτελέσματα της εργασίας αυτής, αλλά και δεδομένα από διάφορες άλλες σύγχρονες έρευνες, μπορούν να σηματοδοτήσουν τους στόχους και το περιεχόμενο μιας άλλης διδασκαλίας των αριθμητικών εννοιών στο νηπιαγωγείου. Τα παιδιά διαθέτουν ένα σημαντικό αριθμό γνώσεων τις οποίες δεν συνυπολογίζει και δεν εκμεταλλεύεται η σημερινή διδασκαλία στο νηπιαγωγείο. Χρειάζεται μια διδασκαλία περισσότερο φυσική και προσαρμοσμένη στο επίπεδο του παιδιού η οποία βασίζεται στις ήδη υπάρχουσες γνώσεις του. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Γαγάτσης, Α., Λεμονίδης, Χ. (1994). Προφορική Αρίθμηση : Μια βασική και χρήσιμη γνώση που η διδασκαλία την αγνοεί. Διάσταση 4, σ.σ Carpenter, T.P. - Moser, J.M. (1982). The development of addition and substraction problem-solving skills. In Carpenter, T.P. - Moser, J.M. - Romberg, T.P. (Ed.). Addition and Sustraction. A cognitive perspective. Hillsdale, Erlbaum. Fuson, K. (1988). Children s counting and concepts of number. New York : Springer - Verlag.

11 Fischer, J.P. (1992). Apprentissages numeriques. Nancy: Presses Universitaires de Nancy. Fuson, K. C.(1992). Research on whole number addition and subtraction. In D. Grouws (Ed), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan. Fuson, K., & Hall, J.W. (1983). The acquisition of early number word meaning: A conceptual analysis and review. In H.P. Ginsburg (Ed.), The development of mathematical thinking. New-York: Academic Press. Fuson, K. C, Richards, J. and Briars, D. J. (1982). The acquisition and elaboration of the nomber word sequence. In C. Brainerd (Ed), Progress in cognitive development. (Vol 1). Children's logical and mathematical cognition. New-York: Springer-Verlag. Gelman, R. & Gallistel, C.R. (1978). The child s understanding of number. Cambridge : Harvard University Press. Gelman, R., & Meck E. (1983). Preschooler's counting: Principles before skill. Cognition, 13, Hughe Martin, (1996). Τα παιδιά και η έννοια των αριθμών. Εκδόσεις Gutenberg, Αθήνα. Kamii, M. (1982). Children's graphic representation of development study. Ph.D. Thesis, Harvard University, numerical concepts: a Kamii, C. & De Clark, G. (1995). Τα παιδιά ξαναεφευρίσκουν την Αριθμητική. Εκδόσεις Πατάκη. Καφούση, Σ, Ντζιαχρήστος, Β., (1997). Οι μαθηματικές γνώσεις των παιδιών της Πρώτης τάξης του Δημοτικού Σχολείου. Παιδαγωγική έρευνα του Πανεπιστημίου Αθηνών. Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης. Τομέας Μαθηματικών και Πληροφορικής. Κόσυβας, Γ. (1993). Το πρόγραμμα των Μαθηματικών του Νηπιαγωγείου και οι Αρχικές Γνώσεις των Νηπίων για τους Αριθμούς. Εισήγηση στο συνέδριο της Ε.Μ.Ε. στην Καλαμάτα, σ.σ Λεμονίδης, Χ. (1998). Διαδικασίες που χρησιμοποιούν οι μαθητές της Α τάξης του Δημοτικού σε πράξεις και προβλήματα προσθετικού τύπου. Συμπεράσματα και προτάσεις για τη διδασκαλία. Πρακτικά 1 ης Διημερίδας Διδακτικής Μαθηματικών, Ρέθυμνο, σ.σ Meljac, Cl. (1979). Decrire, agir et compter. Paris: P.U.F. Piaget, J., & Szeminska, A. (1941). La genese du nombre chez l'enfant. Neuchatel, Paris: Delachaux & Niestle. Piaget, J. (1952). The child's conception of number. New York: Norton, Riley M.-S., Greeno J.-G. & Heller J.-I, (1983). Development of children's problemsolving ability in arithmetic. In H. Ginsburg (Ed.), The development of mathematical thinking (pp ). New York: Academic Press.

12 Steffe, L.P., Cobb, P., (1988). Construction of arithmetical meanings and strategies. New York: Springer-Verlag.