Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Περιεχόμενα Τόποι. Ορισμός διπλού ολοκληρώματος. Γεωμετρική ερμηνεία. Ιδιότητες και υπολογισμός διπλών ολοκληρωμάτων. Εφαρμογές διπλών ολοκληρωμάτων. Αλλαγή μεταβλητών. Διπλά ολοκληρώματα σε πολικές συντεταγμένες. 4
Στόχοι Μετά την ολοκλήρωση της ενότητα, οι φοιτητές: θα μπορούν να υπολογίζουν διπλά ολοκληρώματα για διαφορετικές μορφές τόπων ολοκλήρωσης, θα είναι σε θέση να αξιοποιούν τη διπλή ολοκλήρωση σε διάφορες εφαρμογές και γεωμετρικά προβλήματα, θα μπορούν να προχωρήσουν, όταν είναι αναγκαίο, σε αλλαγή στη σειρά ολοκλήρωσης, θα είναι σε θέση να πραγματοποιούν αλλαγή μεταβλητών, θα γνωρίζουν τον τρόπο υπολογισμού σε πολικές συντεταγμένες. 5
Τόποι Τόπος ονομάζεται ένα σύνολο που είναι κλειστό και φραγμένο. y Θεωρούμε ένα τόπο Τ και μια διαμέρισή του P = {Τ i }, i = 1,, n, δηλ. Τ = Τ 1 Τ 2 n, με (int i )(int j ) =. y i x i i x 6
Άθροισμα Riemann Άθροισμα Riemann μιας συνάρτησης f (x,y) για τη διαμέριση P καλείται κάθε άθροισμα της μορφής n i1 f( x, y )ΔA i i i όπου (x i,y i ) i και ΔA i είναι το εμβαδόν του i. Η τιμή ενός αθροίσματος Riemann μιας συνάρτησης f (x,y) εξαρτάται από τη διαμέριση, όπως και από την επιλογή των σημείων (x i,y i ). 7
Λεπτότητα διαμέρισης Διάμετρος ενός συνόλου Α καλείται η μέγιστη από τις αποστάσεις δύο τυχαίων σημείων του συνόλου: diam A max{ d(p,q):p,q A} Λεπτότητα της διαμέρισης P ονομάζεται η μέγιστη τιμή των διαμέτρων diam( i ), i = 1, 2,, n: P 1,..., max diam i i n 8
Διπλό ολοκλήρωμα Αν το άθροισμα Riemann της συνάρτησης f (x,y) έχει όριο τον L R, καθώς P 0, δηλ. αν n L lim f( x, y )ΔA P 0 i 1 i i i τότε το όριο αυτό ονομάζεται διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης f στον τόπο Τ και παριστάνεται με f( x, y) da f( x, y) dxdy L 9
Ολοκληρώσιμες συναρτήσεις Μια συνάρτηση f (x,y) που ορίζεται στον τόπο Τ λέγεται ολοκληρώσιμη σ αυτόν, αν για κάθε ε > 0 υπάρχει διαμέριση P = { i } του Τ, τέτοια ώστε n Αν μια συνάρτηση f (x,y) είναι συνεχής στον τόπο Τ, τότε είναι ολοκληρώσιμη σ αυτόν. max f( x, y) ΔA min f ( x, y) ΔA ε i i i1 i1 n i i 10
Γεωμετρική ερμηνεία (όγκος) (1/2) Στερεό Ω {( x, y, z) 3 : 0 z f( x, y), ( x, y) } f( x, y )ΔA όγκος Ω i i i n V ; f( x, y )ΔA i1 παραλληλεπιπέδου i i i VΩ f( x, y) dxdy f(x i,y i ) Τ ΔΤ i 11
Γεωμετρική ερμηνεία (όγκος) (2/2) Η προσέγγιση της τιμής του όγκου θα είναι τόσο καλύτερη, όσο πυκνότερη είναι η διαμέριση P του τόπου Τ. 12
Γεωμετρική ερμηνεία (εμβαδόν) Αν θεωρηθεί η συνάρτηση f (x,y) = 1, τότε: n 1dxdy lim 1ΔAi A εμβαδόν του y P 0 i 1 dxdy x 13
Ιδιότητες ολοκληρωμάτων Έστω f (x,y), g(x,y) ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στον τόπο Τ. Αν κ, λ R, τότε Αν {Τ 1, 2,, Τ n } είναι μια διαμέριση του Τ, τότε κf( x, y) λg( x, y) dxdy κ f( x, y) dxdy λ g( x, y) dxdy f( x, y) dxdy f( x, y) dxdy f( x, y) dxdy... f( x, y) dxdy 1 2 n Αν f (x,y) g(x,y), τότε f( x, y) dxdy g( x, y) dxdy 14
Κανονικός τόπος Ένας τόπος χαρακτηρίζεται κανονικός ως προς y, αν κάθε ευθεία που περνάει από ένα εσωτερικό σημείο του τόπου και είναι παράλληλη προς τον άξονα Οy, τέμνει το σύνορο του τόπου σε δύο το πολύ σημεία. y y = y 2 (x) Γ ΌΑΓΒ: y = y 2 (x) A B ΌΑΔΒ: y = y 1 (x) y = y 1 (x) Δ Τ = {(x,y): a x b, y 1 (x) y y 2 (x)} a x b x 15
Διαδοχικές ολοκληρώσεις (1/3) z z = f(x,y) A x 2 ( ) (, ) y1( x) y ( x) f x y dy a y x x b 16
Διαδοχικές ολοκληρώσεις (2/3) z z = f(x,y) x 0 = a x 1 x 2 ( ) Ax i y n1 V lim A( x )Δx n i 0 a b A() x dx b y ( x) 1 2 1 2 a y ( x) b y ( x) a y ( x) b y ( x) dx 1 2 a y ( x) i f( x, y) dydx f( x, y) dydx i f( x, y) dy x n = b x x i x i+1 Δx i επαναληπτικά ολοκληρώματα 17
Διαδοχικές ολοκληρώσεις (3/3) Η ίδια διαδικασία μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση που ο τόπος Τ είναι κανονικός ως προς x. f x y dxdy d x ( y) y d Γ x = x 1 (y) c 2 (, ) (, ) c x1 ( y) d x ( y) 1 2 c x ( y) d x ( y) dy 1 2 c x ( y) f x y dxdy f( x, y) dxdy f( x, y) dx B A x = x 2 (y) Δ x 18
Ειδικές περιπτώσεις y d c a b x b d f( x, y) dxdy f( x, y) dy dx a c c d a b f( x, y) dxdy y y 1 2 3 1 2 3 x f( x, y) dxdy f( x, y) dxdy f( x, y) dxdy f( x, y) dxdy 1 2 3 19
Εφαρμογές διπλών ολοκληρωμάτων (1/2) Μέση τιμή μιας συνάρτησης f (x,y) στον τόπο Τ: 1 fdxdy fdxdy dxdy Μάζα λεπτού επίπεδου υλικού τόπου Τ με πυκνότητα δ(x,y): M δ( x, y) dxdy Πρώτη ροπή ως προς τον άξονα x: M x yδ( x, y) dxdy Πρώτη ροπή ως προς τον άξονα y: M y xδ( x, y) dxdy 20
Εφαρμογές διπλών ολοκληρωμάτων (2/2) Κέντρο μάζας λεπτού επίπεδου υλικού τόπου Τ με πυκνότητα x M, y y 0 0 M Mx M δ(x,y): Ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα x: I x y 2 δ( x, y) dxdy Ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα y: I y x 2 δ( x, y) dxdy 21
Αλλαγή μεταβλητών (1/4) Έστω οι συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις x = x(u,v) και y = y(u,v) όπου τα σημεία (u,v) ανήκουν στον τόπο *. Οι παραπάνω κατάλληλες συναρτήσεις ορίζουν μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του τόπου * του επιπέδου Ouv στον τόπο Τ του επιπέδου Oxy. Παράδειγμα: Ο τόπος Τ* = {(ρ,θ): 0 < ρ 1, 0 θ < 2π} μετασχηματίζεται στον κυκλικό δίσκο Τ με ακτίνα 1 και κέντρο το (0,0), όταν εφαρμοσθεί ο μετασχηματισμός που περιγράφεται από τις εξισώσεις x = ρcosθ και y = ρsinθ. 22
Αλλαγή μεταβλητών (2/4) θ 2π x ρcosθ y 1 (x,y) * (ρ,θ) y ρsinθ Ο 1 x Ο 1 ρ x y ρ cos θ ρ sin θ ρ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y 0ρ 1 1 23
Αλλαγή μεταβλητών (3/4) y v + Δv v D Α Δτ* C Β x x( u, v) y y( u, v) D Α Δτ Β C u u + Δu x Το εμβαδόν Δτ μπορεί να προσεγγιστεί με το εμβαδόν του τετραπλεύρου που έχει για κορυφές τα σημεία: A ( xy, ) Α 1 B( x x Δ u, y y Δ u) 1 D( x x Δ v, y y Δ v) 1 C( x x Δu x Δ v, y y Δu y Δ v) 1 u v u v u v u v 24
Αλλαγή μεταβλητών (4/4) Συνεπώς, το εμβαδόν Δτ προσεγγίζεται ως i j k uuur uuuur Δτ Α Β Α C x Δu y Δu 0 ; 1 1 1 1 εμβαδόν Α 1 Β 1 C 1 D 1 xvδv yvδv 0 xu xv ( x, y) ( x, y) ΔuΔ v ΔuΔv Δ τ * y y ( u, v) ( u, v) u v u u Δηλ. μετά το μετασχηματισμό, το εμβαδό δεν παραμένει απαραίτητα το ίδιο. ( xy, ) f( x, y) dxdy f( x( u, v), y( u, v)) dudv ( uv, ) * 25
Μετασχηματισμός σε πολικές συντεταγμένες x ρcosθ y ρsinθ Μετατροπή από καρτεσιανές σε πολικές συντεταγμένες x cos θ, x ρsinθ ρ y sin θ, y ρcosθ ρ θ θ ( xy, ) ( ρθ, ) cosθ ρsinθ sinθ ρcosθ ρ f( x, y) dxdy f( ρcos θ, ρsin θ) ρdρdθ * 26
Προσδιορισμός τόπου ολοκλήρωσης (1/2) Τ {( ρ, θ): θ θ θ, ρ ( θ) ρ ρ ( θ)} 1 2 1 2 θ 2 θ 1 θ ρ ( θ) I 2 dθ 2 f ( ρ cos θ, ρ sin θ ) ρdρ θ1 ρ1( θ) Τ θ 2 θ 1 27
Προσδιορισμός τόπου ολοκλήρωσης (2/2) ρ = ρ(θ) θ {( ρ, θ): 0 θ 2 π,0 ρ ρ( θ)} {( ρ, θ): θ θ θ,0 ρ ρ( θ)} 1 2 ρ = ρ(θ) ρ = ρ(θ) θ 2 θ 1 θ 2 θ 1 {( ρ, θ): θ θ θ,0 ρ ρ( θ)} 1 2 28
Τέλος Ενότητας 29
Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Ζυγκιρίδης Θεόδωρος. «Μαθηματική Ανάλυση ΙΙ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/ice260/ 30
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 31
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 32