Δπιμέλεια: Υαηδόπνπινο Μάθεο Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ 1ν Λύθεην Εαθύλζνπ 28+ Επαναληπτικά Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου Υποψήφια θέματα εξετάσεων Μαΐου - Ιουνίου Κατηγορίες ασκήσεων Κατηγορία Α: Θεωρία / Σωστό Λάθος(1) Κατηγορία Β: Τυχαία τρίγωνα (9) Κατηγορία Γ: Ορθογώνια τρίγωνα (6) Κατηγορία Δ: Κυρτά Τετράπλευρα (8) Κατηγορία Ε: Κύκλος (4+) Ζάκυνθος 2010 11
Καηηγορία Α: Θεωρία ωζηό ή Λάθος Θέμα Α - 1 Δμεηάζεηε αλ ηα παξαθάησ είλαη ζσζηά ή ιαλζαζκέλα 1. Γύν ηξίγσλα κε ηξία δεύγε γσληώλ ίζα, είλαη ίζα Λ 2. Γύν ηξίγσλα κε ηξία δεύγε πιεπξώλ ίζα, είλαη ίζα Λ 3. Γύν ηξίγσλα κε δύν δεύγε πιεπξώλ ίζα θαη έλα δεύγνο νπνησλδήπνηε γσληώλ ίζεο, είλαη ίζα Λ 4. Γύν ηξίγσλα κε δύν δεύγε γσληώλ ίζα θαη έλα δεύγνο νπνησλδήπνηε πιεπξώλ ίζεο, είλαη ίζα Λ 5. Γύν νξζνγώληα ηξίγσλα κε ππνηείλνπζεο ίζεο, είλαη ίζα Λ 6. Ζ κεζνθάζεηνο ηζαπέρεη από ηηο πιεπξέο ηεο γσλίαο Λ 7. ην ηζνζθειέο ηξίγσλν ε δηάκεζνο είλαη θαη ύςνο Λ 8. ην ηζνζθειέο ηξίγσλν ε κεζνθάζεηνο είλαη θαη δηρνηόκνο Λ 9. Οη εληόο, εθηόο θαη ελαιιάμ γσλίεο είλαη παξαπιεξσκαηηθέο Λ 10. Οη νμείεο γσλίεο κε πιεπξέο παξάιιειεο είλαη ίζεο Λ 11. Τπάξρεη ηξίγσλν νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο, ηαπηόρξνλα Λ 12. Κάζε εμσηεξηθή γσλία ηξηγώλνπ ηζνύηαη κε ηελ απέλαληη εζσηεξηθή γσλία. Λ 13. Κάζε ηεηξάπιεπξν κε δύν απέλαληη πιεπξέο παξάιιειεο είλαη παξ/κν Λ 14. Κάζε παξ/κν κε ίζεο δηαγώληεο είλαη ξόκβνο Λ 15. Κάζε παξ/κν κε θάζεηεο δηαγώληεο είλαη ξόκβνο Λ 16. Κάζε παξ/κν κε ίζεο πιεπξέο είλαη ξόκβνο Λ 17. Κάζε νξζνγώλην κε ίζεο δηαγώληεο είλαη ξόκβνο Λ 18. Κάζε νξζνγώλην κε θάζεηεο δηαγώληεο είλαη ηεηξάγσλν Λ 19. Κάζε νξζνγώλην κε ίζεο γσλίεο είλαη ξόκβνο Λ 20. Κάζε νξζνγώλην κε θάζεηεο δηαγώληεο είλαη ξόκβνο Λ 21. Όιεο νη γσλίεο ηνπ ξόκβνπ είλαη νμείεο Λ 22. Οη δηαγώληεο ρσξίδνπλ ην νξζνγώλην ζε 4 ίζα ηζνζθειή ηξίγσλα Λ 23. Οη δηαδνρηθέο γσλίεο ελόο παξ/κνπ είλαη παξαπιεξσκαηηθέο Λ
Καηηγορία Β: Σσταία ηρίγωνα Θέμα Β-1 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ. Φέξνπκε ηα ύςε ΑΓ θαη ΒΔ. Αλ Μ είλαη ην κέζν ηεο ΑΒ λα δείμεηε όηη : α. Σα ηξίγσλα ΑΜΔ θαη ΜΒΓ είλαη ηζνζθειή β. Σν ηξίγσλν ΓΜΔ είλαη ηζνζθειέο γ. 0 180 2 ˆ
Θέμα Β-2 ην ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ΑΓ > ΑΒ. Φέξλνπκε ηε δηρνηόκν Αx ηεο Α θαη ηε ΑΓ ζην Δ, θαη από ην Γ ηελ ηεο ΒΓ, λα δεηρζεί όηη: α. Ζ Αx είλαη κεζνθάζεηνο ησλ ΒΔ, ΖΓ β. ΒΖ = ΔΓ θαη ΒΔ // ΖΓ γ. ΜΓ = ΜΕ δ. 2 0 ε. 90 2 x, πνπ ηέκλεη ηελ x πνπ ηέκλεη ηελ πξνέθηαζε ηεο ΑΒ ζην Ζ. Αλ Μ είλαη ην κέζν
Θέμα Β-3 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ. Αλ ΒΜ ε δηάκεζνο ηνπ θαη ΓΓ ην ύςνο ηνπ θαη Ν ε πξνβνιή ηνπ ζεκείνπ Μ ζηελ πιεπξά ΑΒ, ηόηε: α. Να δείμεηε όηη ην Ν είλαη κέζν ηνπ ΓΑ β. Να απνδείμεηε όηη // 2 γ. Αλ επηπιένλ ηζρύεη ΒΜ = ΓΓ λα ππνινγίζεηε ζε κνίξεο ηελ νμεία γσλία
Θέμα Β-4 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ˆ = 60º θαη ΑΓ = 2ΑΒ. Από ην Β θέξλνπκε θάζεηε ζηε δηρνηόκν ΑΓ πνπ ηελ ηέκλεη ζην Δ θαη ηελ ΑΓ ζην Ε. Να δείμεηε όηη: α) Σν ηξίγσλν ΑΒΕ είλαη ηζόπιεπξν β) 2 γ) Αλ Μ κέζν ηεο ΒΓ ηόηε i) θαη ii) // 2 δ) ˆ 30 0
Θέμα Β-5 0 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ ( ˆ, ˆ 90 ). Φέξλνπκε ην ύςνο ΑΓ θαη ηελ δηάκεζν ΑΜ. Πξνεθηείλνπκε ην ύςνο ΑΓ πξνο ην κέξνο ηνπ Γ θαη πάλσ ζηελ πξνέθηαζε παίξλνπκε ηκήκα ΓΚ = ΑΓ. Δπίζεο πξνεθηείλνπκε ηε δηάκεζν ΑΜ πξνο ην κέξνο ηνπ Μ θαη πάλσ ζηελ πξνέθηαζε παίξλνπκε ηκήκα ΜΝ = ΑΜ. Α. Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΝΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. Β. Να απνδείμεηε όηη Γ. // 2 Γ. Να απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν ΒΚΝΓ είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην.
Θέμα Β-6 Έζησ ηξίγσλν ΑΒΓ ηνπ νπνίνπ νη δηρνηόκνη ησλ γσληώλ Β θαη Γ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Κ. Από ην Κ θέξλνπκε επζεία παξάιιειε πξνο ηελ πιεπξά ΒΓ, ε νπνία ηέκλεη ηηο πιεπξέο ΑΒ θαη ΑΓ ζηα ζεκεία Γ θαη Δ αληίζηνηρα. Α. Να δείμεηε όηη ηα ηξίγσλα ΚΓΒ θαη ΚΔΓ είλαη ηζνζθειή Β. Να απνδείμεηε όηη ΓΔ = ΒΓ + ΔΓ. Γ. Από ην Κ θέξλνπκε, ΚΛ // ΑΒ πνπ ηέκλεη ηε ΒΓ ζην Λ θαη ΚΜ // ΑΓ πνπ ηέκλεη ηε ΒΓ ζην Μ. Να απνδείμεηε όηη ε πεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ ΚΛΜ είλαη ίζε κε ηε πιεπξά ΒΓ.
Θέμα Β - 7 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ΑΒ < ΑΓ, ε δηρνηόκνο ηνπ ΑΓ θαη ην ζεκείν Μ κέζν ηεο ΒΓ. Αλ ην ζεκείν Δ είλαη ε πξνβνιή ηνπ Β ζηελ ΑΓ λα δείμεηε όηη: α. ΔΜ // ΑΓ β. ΔΜ = 2 γ. ˆ ˆ 2
Θέμα Β-8 Γίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ κε ˆ 2 ˆ θαη κέζν ηεο ΑΒ θαη ΑΓ ην ύςνο από ηελ θνξπθή Α λα απνδείμεηε όηη: α. Σν ΚΝΜΒ είλαη παξαιιειόγξακκν β. Σα επζύγξακκα ηκήκαηα ΚΓ θαη ΜΝ είλαη θαη ηέκλνληαη, γ. Σν ΚΓΜΝ είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην δ. ΓΜ = ΜΝ ˆ 90 0.Αλ είλαη ην Μ κέζν ηεο ΒΓ, ην Ν κέζν ηεο ΑΓ, ην Κ ε. Σν ηξίγσλν ΚΟΝ είλαη ηζνζθειέο, όπνπ Ο είλαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΚΓ κε ηελ ΝΜ
Θέμα Β 9 ε ηξίγσλν ΑΒΓ θέξλνπκε ηηο δηακέζνπο ΑΓ, ΒΔ, ΓΕ θαη ην ηκήκα ΕΖ παξάιιειν θαη ίζν κε ηε δηάκεζν ΒΔ όπσο θαίλεηαη ζην ζρήκα. ΝΑ δείμεηε όηη: α) Σα ηεηξάπιεπξα ΕΒΔΖ, ΑΕΔΖ, ΑΓΓΖ είλαη παξαιιειόγξακκα. β) Οη πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ ΕΓΖ είλαη ίζεο κε ηηο δηακέζνπο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ. γ) Σν Δ είλαη ην βαξύθεληξν ηνπ ηξηγώλνπ ΕΓΖ. δ) Κάζε δηάκεζνο ηνπ ΕΓΖ είλαη ίζε κε ηα ¾ κηαο πιεπξάο ηνπ ΑΒΓ.
Καηηγορία Γ: Ορθογώνιο ηρίγωνο Θέμα Γ-1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ κε Α=90 0 κε Δ, Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ θαη ΑΓ αληίζηνηρα. Αλ ΑΓ ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ, ηόηε λα δείμεηε όηη: α. Ζ πεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ ΔΓΕ είλαη ην ίζε κε ην κηζό ηεο πεξηκέηξνπ ηνπ ΑΒΓ. β. γ. 0 90 όπνπ Ζ ην κέζν ηνπ ΔΕ 4 δ. Αλ ην ΑΕΔΓ ήηαλ ηεηξάγσλν, ηόηε ηη ζπκπεξαίλνπκε γηα ηα αξρηθά ζηνηρεία ηνπ ηξίγσλνπ ΑΒΓ;
Θέμα Γ-2 0 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( 90 ) κε Πξνεθηείλνπκε ηελ ΔΓ πξνο ην κέξνο ηνπ Γ θαηά ηκήκα ΓΕ=ΓΔ. α. Να δείμεηε όηη: Σν ηεηξάπιεπξν ΑΓΔΕ είλαη ξόκβνο β. Να δείμεηε όηη: Ζ ΑΔ είλαη θάζεηε ζηελ ΕΓ θαη ζηελ ΒΕ 0 30 θαη Γ κέζν ηεο ΑΒ θαη Δ κέζν ηεο ΒΓ. γ. Βξείηε ην είδνο ηνπ ηεηξαπιεύξνπ ΑΔΒΕ θαη ην κέηξν όισλ ησλ γσληώλ ηνπ
Θέμα Γ-3 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( ˆ 90 0 ) θαη Γ, Δ, Ε ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αληίζηνηρα. ην εμσηεξηθό ηνπ ηξηγώλνπ θέξλνπκε ηα ηκήκαηα κε Να απνδείμεηε όηη : α. Σν ΑΕΓΔ είλαη νξζνγώλην. β. ΓΔ=ΕΖ θαη ΓΕ=ΔΘ. γ. Σα Γ, Ε, Ζ θαη Γ, Δ, Θ είλαη ζπλεπζεηαθά. δ. Σν ηξίγσλν ΖΓΘ είλαη ηζνζθειέο. ε) Σα Θ, Α, Ζ είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία, κε 2. 2
Θέμα Γ-4 Γίλεηαη ην νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( ˆ 90 0 ) θαη ζεκείν Γ κέζν ηεο ΑΒ. Αλ Δ ζεκείν ηεο ππνηείλνπζαο ΒΓ ώζηε ΓΔ = ΑΓ θαη ΔΕ ΓΔ όπνπ Ε ζεκείν ηεο ΑΓ. Να δείμεηε όηη: α) Σα ηξίγσλα, είλαη ίζα β) AEB ˆ 90 0 γ) ΓΕ κεζνθάζεηε ηεο ΑΔ δ) // ε),όπνπ Π ΔΓΕ, Π ΑΒΓ είλαη νη πεξίκεηξνη ησλ ηξηγώλσλ ΔΓΕ θαη ΑΒΓ αληίζηνηρα. 2
Θέμα Γ-5 Γίλεηαη ην νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( ˆ = 90º) κε β > γ θαη ηα κέζα Γ, Δ, Ε ησλ πιεπξώλ ηνπ ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ αληίζηνηρα. Φέξνπκε ην ύςνο ΑΚ θαη έζησ Θ ην ζεκείν ηνκήο ηεο ΓΔ κε ηελ ΑΕ. Να απνδείμεηε όηη: Α. Σν ηεηξάπιεπξν ΓΔΕΚ είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην. Β. Σν ηεηξάπιεπξν ΑΓΕΔ είλαη νξζνγώλην Γ. 4 Γ.,αλ νη γσλίεο ˆ ˆ είλαη ζπκπιεξσκαηηθέο 4
Θέμα Γ - 6 Γίλεηαη ην νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ θαη Μ ζεκείν ζηελ ππνηείλνπζα ΒΓ ηέηνην ώζηε ΑΜ = ΜΓ. Να δείμεηε όηη: α) Σν ηξίγσλν ΑΜΒ είλαη ηζνζθειέο ηξίγσλν β) 2 γ) Σν ΑΒΝΓ είλαη νξζνγώλην, όπνπ ΜΝ είλαη ε ίζε πξνέθηαζε ηνπ ΑΜ.
Καηηγορία Γ: Σεηράπλεσρα Θέμα Γ-1 Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ κε 0 90 θαη ΑΒ= 2ΒΓ. Θεσξνύκε ην ύςνο ΓΔ πξνο ηελ πιεπξά ΑΓ θαη ηα κέζα Κ θαη Λ ησλ πιεπξώλ ΓΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα. Να απνδείμεηε όηη: α. Σν ηεηξάπιεπξν ΑΛΚΓ είλαη ξόκβνο β. Σν ΓΔΚ είλαη ηζνζθειέο ηξίγσλν γ. Ζ ΔΛ είλαη δηρνηόκνο ηεο γσλίαο δ. 3
Θέμα Γ-2 Γίλεηαη ην ηεηξάπιεπξν ΑΒΓΓ κε δηπιαλό ζρήκα. Αλ ΓΓ= 2ΑΒ θαη 3 ηόηε: 0 90 όπσο θαίλεηαη ζην α. Να απνδείμεηε όηη ην ΑΒΓΓ είλαη ηξαπέδην θαη λα ππνινγίζεηε ηηο γσλίεο ηνπ β. Από ην Β θέξλνπκε, λα απνδείμεηε όηη ην ΑΒΔΓ είλαη ηεηξάγσλν γ. Να απνδείμεηε όηη ην ΓΒΓ είλαη νξζνγώλην θαη ηζνζθειέο ηξίγσλν δ. Να απνδείμεηε όηη ε ΑΓ δηέξρεηαη από ην κέζν ηεο ΒΔ.
Θέμα Γ-3 ε ηξαπέδην ΑΒΓΓ, νη δηρνηόκνη ησλ γσληώλ Α θαη Γ ηέκλνληαη ζην Δ θαη νη δηρνηόκνη ησλ γσληώλ Β θαη Γ ηέκλνληαη ζην Ε. Αλ νη πξνεθηάζεηο ησλ ΑΔ θαη ΒΕ ηέκλνπλ ηε ΓΓ ζηα Θ θαη Ζ αληίζηνηρα, λα δείμεηε όηη: Α. Σα ηξίγσλα ΑΓΘ θαη ΒΓΖ είλαη ηζνζθειή Β. Σα Δ θαη Ε είλαη ηα κέζα ησλ ΑΘ θαη ΒΖ αληίζηνηρα Γ. // Γ. ΔΕ // ΑΒ
Θέμα Γ- 4 (παρόμοια με ηην Γ 1) Γίλεηαη παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ ζην νπνίν ηζρύεη ΑΒ = 2ΒΓ. Από ηελ θνξπθή Α θέξνπκε θάζεηε ζηελ επζεία ΒΓ θαη νλνκάδνπκε Ε, Ζ ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΓΓ, ΑΒ αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη: Α. Σν ηεηξάπιεπξν ΖΒΓΕ είλαη ξόκβνο. Β. Σν ηεηξάπιεπξν ΖΔΓΕ είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην. Γ. Ζ ΔΕ είλαη δηρνηόκνο ηεο γσλίαο ˆ Γ. ˆ 3 ˆ
Θέμα Γ-5 Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΑΒΓΓ, Δ ηπραίν ζεκείν ηεο ΓΓ θαη ΑΕ ε δηρνηόκνο ηεο γσλίαο ΒΑΔ (Ε ζεκείν ηεο ΒΓ). Από ην Γ θέξλνπκε θάζεην ζηελ ΑΕ πνπ ηέκλεη ηελ ΑΔ ζην Ζ, ηελ ΑΕ ζην Θ θαη ηελ ΑΒ ζην Η. Να δείμεηε όηη: Α. ΔΓ = ΔΖ Β. Σα ηξίγσλα ΑΓΗ θαη ΒΑΕ είλαη ίζα Γ. ΑΔ = ΒΕ + ΓΔ
Θέμα Γ - 6 ε παξαιιειόγξακκν ΑΒΓΓ είλαη ΑΒ = 2ΒΓ θαη ˆ > 90º. Φέξλνπκε ηελ ΑΔ ΒΓ θαη έζησ Ε, Ζ ηα κέζα ησλ ΓΓ θαη ΑΒ αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη: Α. Σν ΖΒΓΕ είλαη ξόκβνο Β. ΖΕ = ΖΒ = ΖΔ Γ. Ζ ΔΕ είλαη δηρνηόκνο ηεο ˆ
Θέμα Γ 7 ε ηξαπέδην ΑΒΓΓ ζεσξνύκε ηελ δηάκεζν ΔΕ. Ζ Α Β δηρνηόκνο ηεο ˆ ηέκλεη ηελ δηάκεζν ζην Μ θαη δηέξρεηαη από ηελ θνξπθή Β θαη ε ΑΜ ηέκλεη ηελ ΓΓ ζην Ζ. E M Z Να απνδείμεηε όηη α. Σν ηξίγσλν ΑΒΓ είλαη ηζνζθειέο β. Σν ζεκείν Μ είλαη κέζν ηνπ ΒΓ θαη ην ηξίγσλν ΑΜΓ Δ Η Γ είλαη νξζνγώλην γ. Σν ηεηξάπιεπξν ΑΒΖΓ είλαη ξόκβνο
Θέμα Γ 8 Έζησ ΑΒΓΓ νξζνγώλην θαη Ο ην θέληξν ηνπ. Αλ Κ, Λ είλαη ηα κέζα ησλ ΓΟ θαη ΓΟ αληίζηνηρα λα απνδείμεηε όηη: α. Σα ηξίγσλα ΚΟΑ θαη ΛΟΒ είλαη ίζα β. Σν ηεηξάπιεπξν ΑΒΛΚ είλαη ηζνζθειέο ηξαπέδην. γ. Αλ ε δηάκεζνο ηνπ ηζνζθεινύο ηξαπεδίνπ ΑΒΛΚ είλαη 9 cm, ηόηε λα βξείηε ην κήθνο ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο πνπ ελώλεη ηα κέζα ησλ δηαγσλίσλ ΑΛ θαη ΒΚ.
Καηηγορία Δ: Κύκλος Θέμα Δ 1 Έζησ (Κ, ξ) θύθινο θαη ζεκείν Ρ, ζην επίπεδό ηνπ, ηέηνην ώζηε ΚΡ =2ξ. Φέξλνπκε ηα εθαπηόκελα ηκήκαηα ΡΑ θαη ΡΒ. Να απνδείμεηε όηη: α. ˆ = 30 ν β. ˆ = 120 ν γ. ην ΡΑΒ είλαη ηζόπιεπξν ηξίγσλν δ. Γηαιέμηε πνηεο πηζαλέο ηηκέο κπνξεί λα έρεη ηο μήκος ηοσ ΑΡ (πηζαλώλ νη ζσζηέο απαληήζεηο λα είλαη παξαπάλσ από κία) i. ξ ii. 2ξ iii. ξ/2 iv. 3ξ/2 v. 3ξ vi. 5ξ/4 K Α Β Ρ
Θέμα Δ 2 Γίλεηαη θύθινο θέληξνπ Ο, αθηίλαο R=10 cm θαη ε επίθεληξε γσλία ΑΒ πξνο ηα δύν άθξα Α,Β θαηά ίζα ηκήκαηα ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα. 1) Να ππνινγηζηνύλ νη γσλίεο ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ. 2) Να απνδείμεηε όηη ˆ ˆ 3) Αλ ΟΚ ην απόζηεκα ηεο ρνξδήο ΑΒ λα ππνινγηζηεί ην κήθνο ηνπ. ˆ 0 AOB 120. Πξνεθηείλνπκε ηε ρνξδή
Θέμα Δ 3 Γίλεηαη θύθινο κε δηάκεηξν ΑΒ. ηα ζεκεία Α θαη Β θέξλνπκε ηηο εθαπηόκελεο Αρ θαη Βy, όρη πξνο ην ίδην κέξνο ηεο ΑΒ θαη παίξλνπκε πάλσ ζε απηέο ηκήκαηα ΑΓ=ΒΓ=ΑΒ. 1. Να απνδείμεηε όηη ην ΑΓΒΓ είλαη παξαιιειόγξακκν. 2. Να βξεζνύλ νη γσλίεο ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ΑΓΒΓ. 3. Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Κ, ζην νπνίν ηέκλεηαη ην εκηθύθιην ΑΒ κε ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΓ, είλαη ην κέζν ηνπ ηόμνπ ΑΒ. 4. Αλ Λ είλαη ην ζεκείν ηνκήο ηνπ ΓΒ κε ην εκηθύθιην, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ηα Κ, Ο, Λ είλαη ζπλεπζεηαθά ζεκεία.
Θέμα Δ 4 (ύλη έως ηο Κεθάλαιο 6) Γίλεηαη ην νξζνγώλην ΑΒΓΓ κε A B 30.Με δηάκεηξν ΑΒ γξάθνπκε εκηθύθιην ζην εζσηεξηθό νξζνγσλίνπ πνπ ηέκλεη ηηο δηαγώληεο ΑΓ,ΒΓ ζηα Δ θαη Ζ αληίζηνηρα. Να δείμεηε όηη 1. Σα ηξίγσλα ΑΖΒ θαη ΑΔΒ είλαη νξζνγώληα. 2. A 60 3. ΑΖ = ΖΔ = ΔΒ, όπνπ Ο ην θέληξν ηνπ εκηθπθιίνπ 4. EB είλαη δηρνηόκνο ηεο γσλίαο B 5. // 2 6. ΑΖΔΟ θαη ΖΔΒΟ είλαη ξόκβνη 7. ΓΖ < ΖΒ
Παραλλαγή άζκηζης Δ 4 (Β μορθή) (με ύλη έως 5οσ κεθαλαίοσ) Γίλεηαη ην νξζνγώλην ΑΒΓΓ κε A B 30.Έζησ ΑΖ, ΒΔ νη δηάκεζνη ησλ ηξηγώλσλ ΑΓΜ θαη ΜΒΓ, ελώ Ο ην κέζν ηεο ΑΒ. Να δείμεηε όηη: 1. Σα ηξίγσλα ΑΖΒ θαη ΑΔΒ είλαη νξζνγώληα. 2. Σα ηξίγσλα ΑΓΜ θαη ΒΓΜ είλαη ηζόπιεπξα 3. ΑΖΔΟ θαη ΖΔΒΟ είλαη ξόκβνη 4. Σα Α, Ζ, Δ, Β είλαη νκνθπθιηθά ζεκεία 5. ΑΟ/2 < ΖΜ < ΑΟ