όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

Transcript

1 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ ορζογφλίοσ δηζηάζεφλ, β Ε= Ε=β β Εκβδόλ Πριιειογράκκοσ Εκβδόλ ηρηγώλοσ Ε=σ =βσ β σ Ε= σ = βσ β= γσ γ υ Εκβδόλ ηρπεδίοσ β B+β E= υ Δ υ Εκβδόλ ηζοπιεύροσ ηρηγώλοσ πιεσράς Ε= ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ

2 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ Εκβδόλ ρόκβοσ δ Ε= δ δ δ Εκβδόλ ηεηρπιεύροσ κε θάζεηες δηγφλίοσς Ε= δ δ δ δ Πρόηζε Η δηάκεζος ηρηγώλοσ τφρίδεη ηο ηρίγφλο ζε δύο ηζοδύλκ ηρίγφλ Μ=Μ Μ Άιιοη ηύποη γη ηο εκβδόλ ηρηγώλοσ Ε = τ τ - τ - β τ - γ όπου + β + γ τ= Ε=η ρ όπου ρ η κηίν ηου εγγεγρμμένου κύκλου ηου ηριγώνου βγ Ε= R όπου R η κηίν ηου περιγεγρμμένου κύκλου ηου ηριγώνου Ε = βγημ = γημ = βημ Νόκος εκηηόλφλ β γ Σε κάθε ηρίγωνο ιζχύει : = = = R ημ ημ ημ ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ

3 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ Προηάζεης λ δύο ηρίγφλ έτοσλ ίζες βάζεης, ηόηε ο ιόγος ηφλ εκβδώλ ηοσς ηζούηη κε ηολ ιόγο ηφλ ληίζηοητφλ συώλ, ελώ λ έτοσλ ίζ ύυε, ηόηε ο ιόγος ηφλ εκβδώλ ηοσς ηζούηη κε ηολ ιόγο ηφλ ληίζηοητφλ βάζεφλ λ δύο ηρίγφλ είλη όκοη ηόηε ο ιόγος ηφλ εκβδώλ ηοσς ηζούηη κε ηο ηεηράγφλο ηοσ ιόγοσ οκοηόηεης ΙΚΗ ΠΡΟΣΗ λ κη γφλί ελός ηρηγώλοσ είλη ίζε ή πρπιερφκηηθή κε κη γφλί ελός άιιοσ ηρηγώλοσ, ηόηε ο ιόγος ηφλ εκβδώλ ηφλ δύο ηρηγώλφλ είλη ίζος κε ηολ ιόγο ηφλ γηλοκέλφλ ηφλ πιεσρώλ ποσ περηέτοσλ ηης γφλίες σηές A ˆ = Aˆ Ε β γ η = Ε β γ ˆ ˆ 0 + = 80 γ β γ β β γ ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ

4 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ Δπωηήζειρ ηος ηύπος «Σωζηό-Λάθορ» λ δύν ηξίγσλ έρνπλ ίζ εκβδά, ηόηε η ηξίγσλ πηά είλη ίζ Σ Λ Έλ ηξίγσλν ρσξίδεηη πό κί δηάκεζό ηνπ ζε δύν ηζνδύλκ ηξίγσλ Σ Λ Ο ηύπνο ηνπ Ήξσλ Δ = τ τ - τ - βτ - γ ηζρύεη κόλν ζε νξζνγώλη ηξίγσλ Σ Λ δ δ Ο ηύπνο Δ = όπνπ δ, δ νη δηγώληνη ελόο ηεηξπιεύξνπ ηζρύεη ζε θάζε ηεηξάπιεπξν κε θάζεηεο δηγώληνπο Σ Λ λ νη γσλίεο θη ησλ ηξηγώλσλ θη ΔΕ είλη ζπκπιεξσκηηθέο, ηόηε = Σ Λ 5 λ νη γσλίεο θη ησλ ηξηγώλσλ θη ΔΕ είλη πξπιεξσκηηθέο, ηόηε = Σ Λ 6 Ζ επζεί πνπ ζπλδέεη η κέζ ησλ δύν βάζεσλ ηξπεδίνπ ην δηηξεί ζε δύν ηζνδύλκ ηξπέδη Σ Λ Δπωηήζειρ πολλπλήρ επιλογήρ ύν ηξίγσλ, η νπνί έρνπλ δύν πιεπξέο ίζεο κί πξνο κί θη ίζ εκβδά, έρνπλ ληίζηνηρ ίζ όι η ύςε ηνπο όιεο ηηο δηκέζνπο ηνπο ηηο δηκέζνπο πνπ ληηζηνηρνύλ ζηηο ίζεο πιεπξέο η ύςε πνπ ληηζηνηρνύλ ζηηο ίζεο πιεπξέο Δ ηηο δηρνηόκνπο πνπ ληηζηνηρνύλ ζηηο ίζεο πιεπξέο δδ Ο ηύπνο Δ = δ, δ νη δηγώληεο ελόο ηεηξπιεύξνπ εθθξάδεη ην εκβδό ελόο ηεηξπιεύξνπ κε δύν πό ηηο πιεπξέο ηνπ ίζεο ελόο ηεηξπιεύξνπ κε ηηο πιεπξέο ηνπ θάζεηεο λά δύν ελόο ηεηξπιεύξνπ κε θάζεηεο δηγώληνπο ελόο νξζνγσλίνπ κε δηγώληεο πνπ έρνπλ ζρέζε δ = δ Δ ελόο ηζνζθεινύο ηξπεδίνπ ε ηζόπιεπξν ηξίγσλν πιεπξάο γ ην εκβδόλ ηνπ ηζνύηη κε υ γ γ γ π γ Δ γ 6 λ ζε δύν ηξίγσλ, ζπκβίλεη // ηόηε = ηξίγσλν = ηξίγσλν γσλί = γσλί = 90 - Δ ηξίγσλν ηξίγσλν 5 Ζ δηάκεζνο ελόο ηξηγώλνπ ην ρσξίδεη ζε δύν ηζνδύλκ ηξίγσλ κόλν όηλ ην ηξίγσλν είλη ηζνζθειέο κόλν όηλ ην ηξίγσλν είλη νξζνγώλην κόλν όηλ ην ηξίγσλν είλη κβιπγώλην πάλη Δ κόλν όηλ ην ηξίγσλν είλη ηζόπιεπξν 6 ε δύν ηξίγσλ θη ν ηύπνο = ηζρύεη όηλ γσλί = γσλί = γσλί = γσλί = 90 + Δ γσλί = ή γσλί + = 80 5 Σν εκβδόλ ηξηγώλνπ ηζνύηη κε γεκ βζπλ βγζπλ 90 - τ τ τ βτ γ Δ γζπλ ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ

5 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ 8 λ έλ ηεηξάπιεπξν έρεη θάζεηεο ηηο δηγώληέο ηνπ δ, δ, ηόηε ην εκβδόλ ηνπ ηζνύηη κε δ δ Δπωηήζειρ νάπηςξηρ δδ δδ δ δ Δ δ δ Έζησ ηξίγσλν θη έζησ, Δ, Ε η κέζ ησλ πιεπξώλ, θη ληίζηνηρ Ν δείμεηε όηη: ΔΕ = ΕΔ β ΔΕ = Όηλ νη δηγώληεο ελόο θπξηνύ ηεηξπιεύξνπ ζρεκηίδνπλ γσλί Ο = 0, λ δείμεηε όηη ηζρύεη: Ο = ΟΟ β = Δλόο νξζνγσλίνπ πξιιεινγξάκκνπ ην εκβδόλ ηνπ είλη ίζν κε όπνπ ε κί δηγώληόο ηνπ είμηε όηη ε νμεί γσλί Ο ησλ δηγσλίσλ ηνπ είλη 0, 0 Ο Έλ ηξίγσλν έρεη γσλί = 60, β = cm, = cm θη είλη ηζνδύλκν κε ηζόπιεπξν ηξίγσλν Ν ππνινγηζηεί ε πιεπξά ηνπ ηζνπιεύξνπ πηνύ ηξηγώλνπ 5 ην εζσηεξηθό ελόο ηξηγώλνπ πίξλνπκε έλ ζεκείν Κ έηζη ώζηε λ είλη γσλί Κ = γσλί Κ = 0 θη Κ = cm, Κ = 6 cm, Κ = 0 cm Ν ππνινγηζηνύλ η εκβδά ησλ ηξηγώλσλ: Κ θη β Κ 6 Πξνεθηείλνπκε ηηο πιεπξέο,, ηξηγώλνπ ληηζηνίρσο θηά ηκήκη =, Δ = θη Ε = Ν δείμεηε όηη: ΕΔ = θη β ΔΕ = 7 Ε A B Δ ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ 5

6 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ 7 ίλεηη ηξίγσλν κε ύςνο Ζ = π, γσλί = 60 θη γσλί = 5 Ν ππνινγίζεηε ζπλξηήζεη ηνπ π: Σηο πιεπξέο ηνπ ηξηγώλνπ β Σν εκβδόλ ηνπ γ Σ ύςε πξνο ηηο πιεπξέο θη 8 Έζησ ηξίγσλν ηηο πιεπξέο ηνπ,, πίξλνπκε ληίζηνηρ η ζεκεί, Δ, Ε έηζη ώζηε: =, Δ =, Ε = λ γλσξίδνπκε όηη = Δ, λ ππνινγίζεηε: Σ εκβδά ησλ ηξηγώλσλ Δ, ΔΕ, Ε β Σν εκβδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΔΕ 9 ίλεηη ηζνζθειέο ηξίγσλν = κε = 6 cm θη γσλί = 0 Ν βξεζεί ην εκβδόλ ηνπ ηξηγώλνπ β λ Δ ζεκείν ηεο, ηέηνην ώζηε Δ = Δ θη ην ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ, λ βξεζεί ην εκβδόλ ηνπ ηξηγώλνπ Δ 0 Έλ ηξίγσλν έρεη = 7 cm, β = 8 cm, γ = 5 cm Ν δείμεηε όηη ην ηξίγσλν είλη νξζνγώλην β λ είλη ην ύςνο ηνπ ηξηγώλνπ, λ ππνινγίζεηε ην ιόγν B ίλεηη ηξίγσλν, νη δηάκεζνη Μ,Ν θη ην θέληξν βάξνπο Κ Ν πνδείμεηε όηη: ΚΝ=ΚΜ= 6 β Κ= γ ΝΚΜ= δ ΝΜ= ε ΝΜ=ΘΛ όπνπ Θ,Λ η κέζ ησλ Κ θη Κ ληίζηνηρ ίλεηη ηξπέδην // θη Ο ην ζεκείν ηνκήο ησλ δηγσλίσλ ηνπ Ν πνδείμεηε όηη: Ο =ΟΟ Έλ ηξίγσλν είλη εγγεγξκκέλν ζε θύθινζ δηάκεζνο Μ πξνεθηεηλνκέλε ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην ζεκείν, Ν πνδεηρζεί όηη: = ίλεηη ηξίγσλν κε β=γ θη ε δηάκεζόο ηνπ Φέξνπκε ηελ ρ θάζεην ζηελ πνπ ηέκλεη ηελ ζην Δ θη ηελ ζην Ε θη Δς πξάιιειν ζηελ πνπ ηέκλεη ηελ ζην Μ Ν πνδείμεηε όηη: Ε= Ε β=ε γ = 8 5 ην δηπιλόζρήκ η ζεκεί Κ θη Λ είλη κέζ ησλ ηκεκάησλ θη ληηζηνίρσο Ν δείμεηε όηη: Ο ιόγνο ησλ εκβδώλ ησλ ηξηγώλσλ Κ θηλ είλη ίζνο κε βλ Ρ είλη ην ζεκείν ηνκήο ησλ Λ θη Κ, ηόηε η ηξίγσλ Λ θη ΚΡ έρνπλ ίζ εκβδά K Λ ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ 6

7 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ 6 Σν νηθόπεδν ηνπ ζρήκηνο έρεη ηελ πιεπξά ίζε κε 55m, ηελ πιεπξά ίζε κε 5m, ηελ Ε πιεπξά ίζε κε 0m θη ηηο γσλίεο A θη νξζέο Πξέπεη λ ρξρζεί έλο δξόκνο ΔΖΕ, κε Δ// θη ΕΖ//, ν νπνίνο ζ ρσξίζεη ην νηθόπεδν ζε δύν ηεκάρη Δ θη ΕΖ, όπσο ζην ζρήκ Ν βξεζεί ην εκβδόλ ηνπ νηθνπέδνπ β Ν βξεζεί ην εκβδόλ ηνπ ηεκρίνπ Δ γ Ν βξεζεί ην Ε έηζη, ώζηε ην ηεκάρην ΕΖ λ έρεη ην ίδην εκβδόλ κε ην ηεκάρην Δ δπνην είλη ην πιάηνο ηνπ δξόκνπ ΔΖΕ ζηελ πεξίπησζε γ ; 7 ίλεηη νξζνγώλην ηξπέδην κε //, Δ Ζ <, A 90, =, =, =5 Ν ππνινγίζεηε: ηελ πξνβνιή ηεο πάλσ ζηελ β ην εκβδόλ ηνπ ηξπεδίνπ γ ην εκβδόλ ηνπ ηξηγώλνπ 8 ίλεηη ηξίγσλν θη Δ ην κέζν ηεο πιεπξάο Πξνεθηείλνπκε ηελ πιεπξά πξνο ην κέξνο ηνπ θηά επζύγξκκν ηκήκ = θη θέξνπκε ηελ Ν πνδείμεηε όηη Δ = Δ β Ν βξείηε ηνπο ιόγνπο θη γ λ Μ είλη ε δηάκεζνο ηνπ ηξηγώλνπ, λ πνδείμεηε όηη Δ = ΜΔ 9 Θεσξνύκε ηξεηο δηδνρηθέο γσλίεο ˆ xoy, ˆ yoz, zox ˆ έηζη ώζηε xoy ˆ = πίξλνπκε η ζεκεί,, ληίζηνηρ έηζη ώζηε Ο=, Ο= θη Ο=6 Ν ππνινγίζεηε ην εκβδό Δ Ο ηνπ ηξηγώλνπ Ο ΔΟA β Ν ππνινγίζεηε ην ιόγν ησλ εκβδώλ ΔOB 0 ίλεηη πξιιειόγξκκν θη ζεκείν Μ ηεο πιεπξάο ˆ yoz =50 ηηο εκηεπζείεο Ox, Oy, Oz Μ Ν πνδείμεηε όηη ηζρύεη: Δ Μ = Δ Μ + Δ Μ β Ν βξείηε ην εκβδό ηνπ πξιιεινγξάκκνπ, όηλ Δ Μ = 8 ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ 7

8 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ην νηθόπεδν ζρήκηνο νξζνγσλίνπ πξιιεινγξάκκνπ ρξάρζεθε δξόκνο ΘΕΗΖ ζρήκηνο πιγίνπ πξιιεινγξάκκνπ, ν νπνίνο ρσξίδεη ην νηθόπεδν ζε δύν ηεκάρη ΕΘ θη ΗΖ έηζη ώζηε ην ηεκάρην ΕΘ λ έρεη εκβδό δηπιάζην πό ην εκβδό ηνπ ΗΖ, δειδή Δ ΕΘ=Δ ΗΖ ίλνληη: = 0, = 5, ΘΖ = 5, Ζ = 0 0 A x Z I B 0 Θ 5 Η 5 y Ν ππνινγίζεηε ην εκβδό ηνπ δξόκνπ ΘΕΗΖ β Ν ππνινγίζεηε ην κήθνο x ηνπ ηκήκηνο Ε γ Ν ππνινγίζεηε ην πιάηνο y ηνπ δξόκνπ ίλεηη ηζόπιεπξν ηξίγσλν πιεπξάο εγγεγξκκέλν ζε θύθιν θέληξνπ Ο ηελ πιεπξά ζεσξνύκε ην ζεκείν Δ έηζη ώζηε Δ = Ν πνδείμεηε όηη Δ = β Ν πνδείμεηε όηη ΔΕ = θη πξνεθηείλνπκε ηελ Δ πνπ ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην ζεκείν Ε 7 7 γ Ν βξείηε ην ιόγν ησλ εκβδώλ ησλ ηξηγώλσλ Δ θη ΔΕ Σξίγσλν είλη εγγεγξκκέλν ζε θύθιν Φέξλνπκε ηε δηάκεζν Μ Ζ πξνέθηζή ηεο ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην ζεκείν λ β +γ =, λ δείμεηε όηη: 5 5 Μ = β Μ= γ 0 0 ηηο πιεπξέο,, ηξηγώλνπ πίξλνπκε ληίζηνηρ η ζεκεί, Δ, Ε ηέηνη ώζηε λ είλη: = AB, Δ=ι, Ε=ι, όπνπ 0<ι< Ν δείμεηε όηη: E E A Z β γ λ ι=, ην ηξίγσλν ΔΕ έρεη ην ειάρηζην δπληό εκβδόλ E E AB ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ 8

9 ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ 5 ην ζρήκ πνπ θνινπζεί, δίλεηη θύθινο Ο,R δηκέηξνπ θη εκηεπζεί x ηέηνη, ώζηε ε γσλί x λ είλη 0 ν Έζησ όηη ε x ηέκλεη ηνλ θύθιν ζην ζεκείν Φέξνπκε ηελ εθπηνκέλε ηνπ θύθινπ ζην, ε νπνί ηέκλεη ηε x ζην ζεκείν Ρ Ρ x 0 0 Ο Ν πνδείμεηε όηη: = R β PB R = γ PA Ρ 6 ίλεηη ην νξζνγώλην ηξίγσλν ηνπ πξθάησ ζρήκηνο κε θάζεηεο πιεπξέο =0, =0 θη όηη είλη ην ύςνο πνπ ληηζηνηρεί ζηελ ππνηείλνπζ ηνπ ηξηγώλνπν βξείηε : ην εκβδόλ ηνπ ηξηγώλνπ β ην κήθνο ηνπ ύςνπο γ ην κήθνο ηεο πξνβνιήο ηεο πιεπξάο πάλσ ζηελ ππνηείλνπζ 7 ίλεηη ηζνζθειέο ηξίγσλν κε == θη = Ν ππνινγίζεηε: ηε γσλί A β ην εκβδόλ ηνπ ηξηγώλνπ γ ηε δηάκεζν Μ = κ β 8 ίλεηη θύθινο Ο,R θη ζεκείν, ώζηε OA R πό ην ζεκείν θέξνπκε ηέκλνπζ Δ ηνπ θύθινπ πνπ ηέκλεη πηόλ ζη ζεκεί θη Δ λ = Δ, λ ππνινγίζεηε: ηε ρνξδή Δ, σο ζπλάξηεζε ηνπ R β ην ιόγν ησλ εκβδώλ O ΚΩΝΣΤΝΤΙΝΟΣ ΤΣΙΜΣ - ΜΘΗΜΤΙΚΟΣ 9