Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Transcript

1 .1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε ζαο πάνηηζη Μπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν ή έλα κόλν θνηλό ζεκείν. ηαθνξεηηθά δελ ζα είλαη δηαθνξεηηθέο. Σην παξαθάησ ζρήκα πνηεο εκηεπζείεο νξίδνληαη: κε αξρή ην ζεκείν κε αξρή ην ζεκείν ψ χ Πνηεο από απηέο είλαη αληηθείκελεο; πάνηηζη Με αξρή ην νξίδνληαη νη εκηεπζείεο x θαη ς Με αξρή ην νη x, ς ληηθείκελεο είλαη : ε x κε ηελ ς ε x κε ηε ς 3. Τα ζεκεία,, θαη είλαη ζπλεπζεηαθά. λ ην είλαη κεηαμύ ησλ, θαη ην κεηαμύ ησλ,, λα δηθαηνινγήζεηε γηαηί ην είλαη κεηαμύ ησλ θαη πάνηηζη θνύ ην είλαη κεηαμύ ησλ θαη ην ζα είλαη αξηζηεξά ηνπ θνύ ην είλαη κεηαμύ ησλ θαη ην ζα είλαη δεμηά ηνπ Τα θαη βξίζθνληαη ινηπόλ εθαηέξσζελ ηνπ άξα ην ζα είλαη κεηαμύ ησλ θαη 1

2 4. Οη εκηεπζείεο Οx θαη Οx ηνπ παξαθάησ ζρήκαηνο είλαη αληηθείκελεο ; Ο x x πάνηηζη Όρη αθνύ δελ έρνπλ ηνλ ίδην θνξέα 5. Πόζεο επζείεο νξίδνπλ ηξία δηαθνξεηηθά ζεκεία ; πάνηηζη Τα δύν εθ ησλ ηξηώλ ζεκείσλ νξίδνπλ κία κόλν επζεία. λ ινηπόλ ην ηξίην ζεκείν είλαη πάλσ ζ απηή (ζρήκα 1), ηόηε ηα ηξία ζεκεία νξίδνπλ κία κόλν επζεία. λ όκσο δελ είλαη πάλσ ζ απηή (ζρήκα ) ηόηε νξίδνληαη δύν αθόκα επζείεο νη θαη Σχήμα 1 Σχήμα

3 ζκήζεις Εμπέδωζης 1. Να γξάςεηε ηα επζύγξακκα ηκήκαηα πνπ νξίδνληαη από όια ηα ζεκεία ησλ παξαθάησ ζρεκάησλ. Μ Κ AB, A,,,, Μ,, Κ,, Μ, Κ,, Κ, Μ, ΚΜ. Σρεδηάζηε ηξεηο επζείεο, νη νπνίεο λα ηέκλνληαη αλά δύν, ρσξίο λα δηέξρνληαη όιεο από ην ίδην ζεκείν θαη βξείηε πόζα είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ησλ επζεηώλ πόζεο εκηεπζείεο θαη πόζα επζύγξακκα ηκήκαηα νξίδνληαη. χ y z z y χ Έζησ xx, yy, zz νη ηξεηο επζείεο Οη επζείεο xx, yy ηέκλνληαη ζε έλα κόλν ζεκείν. Οκνίσο νη yy, zz ηέκλνληαη ζε έλα κόλν ζεκείν, θαη νη zz, xx ζε ζεκείν. Άξα ηξία ζεκεία ηνκήο ησλ επζεηώλ. Με αξρή ην έρνπκε ηηο εκηεπζείεο y, Ay, z, Az, ηέζζεξηο ην πιήζνο. Άιιεο ηέζζεξηο κε αξρή ην θαη άιιεο ηέζζεξηο κε αξρή ην. Σύλνιν, ινηπόλ, δώδεθα εκηεπζείεο. Τα ζεκεία,, αλά δύν δεκηνπξγνύλ έλα επζ. ηκήκα. Άξα έρνπκε ηξία επζ. ηκήκαηα ηα,,. 3

4 3. Σε επζεία ε παίξλνπκε ηα δηαδνρηθά ζεκεία,, θαη ώζηε =. Να δηθαηνινγήζεηε όηη =. = + = + = 4. Σε επζεία ε παίξλνπκε ηα δηαδνρηθά ζεκεία, θαη. λ Μ θαη Ν είλαη ηα κέζα ησλ θαη αληίζηνηρα, λα δηθαηνινγήζεηε όηη = ΜΝ. Μ Ν Δίλαη = Μ θαη = Ν Πξνζζέηνπκε θαηά κέιε. Τόηε + = Μ + Ν = (Μ + Ν) = ΜΝ ος ηρόπος Όια εμαξηώληαη από ηα ηκήκαηα θαη. Θέηνπκε, ινηπόλ, = β θαη = γ. Κάζε άιιν ηκήκα ζα ην εθθξάζνπκε ζπλαξηήζεη ησλ β, γ. = + = β+ γ Μ = Μ = = ΜΝ = (Μ + Ν) = ( + ) = = β+ γ =. Ν = Ν = = 4

5 ποδεικηικές ζκήζεις 1. Σε επζεία ε παίξλνπκε ηα δηαδνρηθά επζύγξακκα ηκήκαηα,,. λ Δ, Ε είλαη ηα κέζα ησλ θαη αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη EZ = A + = + Δ Ε Όια εμαξηώληαη από ηα ηκήκαηα, θαη. Θέηνπκε, ινηπόλ, = β, = γ θαη = δ Κάζε άιιν ηκήκα ζα ην εθθξάζνπκε ζπλαξηήζεη ησλ β, γ θαη δ. Δ = Δ = Ε = Ε = = β + γ + δ ΔΕ = Δ + + Ε = + γ + = (1) A = () πό ηηο (1), () EZ = A + = = β + γ + γ + δ = β + γ + δ (3) + = β + γ + δ + γ = β + γ + δ (4) πό ηηο (3), (4) + = + 5

6 . Σε επζεία ε ζεσξνύκε ηκήκα, ην κέζν ηνπ Μ, ηπραίν εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ ηκήκαηνο Μ θαη ηπραίν ζεκείν εμσηεξηθό ηνπ ηκήκαηνο. Να απνδείμεηε όηη Μ = Μ Έζησ όηη ην βξίζθεηαη πέξαλ ηνπ. Μ = Όια εμαξηώληαη από ηε ζέζε ησλ ζεκείσλ,,,.. Θέηνπκε, ινηπόλ, = β, = γ θαη = δ Κάζε άιιν ηκήκα ζα ην εθθξάδνπκε ζπλαξηήζεη ησλ β, γ θαη δ. = = β γ, = = δ β, = = δ γ Μ = Μ = AB = Μ = Μ = γ - = (1) = () πό ηηο (1), () Μ = M = Μ = δ - = (3) = (4) πό ηηο (3), (4) Μ = 6

7 3. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ηξηάδα ζπλεπζεηαθώλ ζεκείσλ,, ηζρύεη +. λ ηα ζεκεία,,, είλαη ζπλεπζεηαθά, λα απνδείμεηε όηη + +. α) Όηαλ κεηαμύ θαη Πξνθαλώο ηζρύεη ε ηζόηεηα. β) Όηαλ κεηαμύ θαη B γ) Όηαλ κεηαμύ θαη Πξνθαλώο ηζρύεη ε αληζόηεηα Πξνθαλώο ηζρύεη ε αληζόηεηα Δθαξκόδνπκε ην γηα ηε ηξηάδα,, : A + (1) Δθαξκόδνπκε ην γηα ηε ηξηάδα,, : + () (1) A + () + + 7

8 Σύνθεηα Θέμαηα 1. λ,, είλαη ηξία ζπλεπζεηαθά ζεκεία θαη, Δ ηα κέζα ησλ, αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη Δ = Δ Όια εμαξηώληαη από ηε ζέζε ησλ ζεκείσλ,,. Θέηνπκε, ινηπόλ, = β, = γ. Κάζε άιιν ηκήκα ην εθθξάδνπκε ζπλαξηήζεη ησλ β, γ = = γ β = = Δ = Δ = Δ = Δ = = Δ = + Δ = + = = (1) = () πό ηηο (1), () Δ =. 8

9 . πό κηα πεξηνρή δηέξρνληαη ηέζζεξηο επζείεο νδνί, έηζη ώζηε αλά δύν λα δηαζηαπξώλνληαη θαη αλά ηξεηο λα κε δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν. Ζ ηξνραία γηα λα δηεπθνιύλεη ηελ θίλεζε ζέιεη λα ηνπνζεηήζεη έλα ηξνρνλόκν ζε θάζε δηαζηαύξσζε. Πόζνη ηξνρνλόκνη ρξεηάδνληαη; Να εμεηαζζεί ην ίδην πξόβιεκα γηα λ δξόκνπο ( λ ) ε 3 ε 1 ε 4 ε Κάζε επζεία (αο πνύκε ε ) 1 ηέκλεη ηηο ππόινηπεο ζε 3 = 4-1 ζεκεία. Άξα ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ ηνκήο όισλ ησλ επζεηώλ κε όιεο είλαη (4 1).4 = 1. Έηζη όκσο, έρεη ππνινγηζζεί δύν θνξέο ε θάζε δηαζηαύξσζε. Άξα ην πιήζνο ησλ δηαζηαπξώζεσλ είλαη = 6. Δπνκέλσο ζα ρξεηαζηνύλ 6 ηξνρνλόκνη Με ηνπο ίδηνπο ζπιινγηζκνύο, όηαλ νη νδνί είλαη πιήζνπο λ, ζα ρξεηαζηνύλ 1 ηξνρνλόκνη. 9