Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 2016
|
|
- ῾Ερμιόνη Δαμασκηνός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 ΕΞΕΣΑΣΕΑ ΤΛΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ Β ΣΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ (όλα τα τμήματα) Από το βιβλίο «Μαθηματικά Θετικήσ και Τεχνολογικήσ Κατεφθυνςησ Β Τάξησ Γενικοφ Λυκείου» Κεφ. 1 ο : Διανφςματα 1.1. Η Ζννοια του Διανφςματοσ 1.. Πρόςθεςη και Αφαίρεςη Διανυςμάτων 1.3. Πολλαπλαςιαςμόσ Αριθμοφ με Διάνυςμα (χωρίσ τισ Εφαρμογζσ 1 και ) 1.4. Συντεταγμζνεσ ςτο Επίπεδο (Χωρίσ την απόδειξη τησ υποπαραγράφου «Συντεταγμζνεσ Διανφςματοσ», χωρίσ την Εφαρμογή ςτη ςελ. 35 και χωρίσ την απόδειξη τησ ςυνθήκησ παραλληλίασ διανυςμάτων) 1.5. Εςωτερικό Γινόμενο Διανυςμάτων (χωρίσ την απόδειξη του τφπου τησ αναλυτικήσ ζκφραςησ Εςωτερικοφ Γινομζνου) Κεφ. ο : Η Ευθεία ςτο Επίπεδο.1. Εξίςωςη Ευθείασ.. Γενική Μορφή Εξίςωςησ Ευθείασ (χωρίσ την εφαρμογή ).3. Εμβαδόν Τριγώνου (χωρίσ τισ αποδείξεισ των τφπων τησ απόςταςησ ςημείου από ευθεία, του εμβαδοφ τριγώνου και χωρίσ την Εφαρμογή 1). Κεφ. 3 ο : Κωνικζσ Σομζσ 3.1. Ο Κφκλοσ (χωρίσ τισ παραμετρικζσ εξιςώςεισ του κφκλου)
2 Επαναληπηικά θέμαηα και θέμαηα εξεηάζεων Μαθημαηικά Καηεύθυνζης Β Λυκείου Θέμα 1 ο (1999) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(8,0) θαη Β(0,4) ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ Ορς. α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ νξίδεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο θαη ην κέζν Γ ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ. β)να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο (ε) πνπ δηέξρεηαη από ην Γ θαη είλαη θάζεηε ζηελ επζεία ΟΓ. γ) Έζησ Μ ηπραίν ζεκείν ηεο επζείαο (ε). Να δείμεηε όηη ηζρύεη ε ζρέζε Θέμα ο (1999) Θεσξνύκε έλα πιεζπζκό από 1999 κπξκήγθηα. Κάζε κπξκήγθη ραξαθηεξίδεηαη από έλαλ αξηζκό n = 1,, 3,, 1999 θαη θηλείηαη πάλσ ζην θαξηεζηαλό επίπεδν Ορς δηαγξάθνληαο κηα ηξνρηά κε εμίζσζε ( x 1) y n( x y 1).Να δείμεηε όηη : α) ε ηξνρηά θάζε κπξκεγθηνύ είλαη θύθινο θαη λα βξεζνύλ νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ θέληξνπ ηνπ β) θαηά ηελ θίλεζή ηνπο όια ηα κπξκήγθηα δηέξρνληαη από έλα ζηαζεξό ζεκείν Α (πνπ είλαη ε θσιηά ηνπο).πνηεο είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ Α ; γ)νη ηξνρηέο όισλ ησλ κπξκεγθηώλ εθάπηνληαη ηεο επζείαο x y1 0 ζην ζεκείν Α Θέμα 3 ο (000) Γηα ηα δηαλύζκαηα, ηζρύνπλ νη ζρέζεηο 3 (4, ) θαη 3 ( 7,8) α) Να δείμεηε όηη ( 1, ) (, ) β) Να βξεζεί ν πξαγκαηηθόο αξηζκόο θ ώζηε ηα δηαλύζκαηα θαη 3 λα είλαη θάζεηα γ) Να αλαιπζεί ην δηάλπζκα (3, 1) ζε δύν θάζεηεο ζπληζηώζεο, από ηηο νπνίεο ε κία λα είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα Θέμα 4 ο (000) ε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Ορς ε εμίζσζε ηεο επζείαο (ι-1)ρ + (ι+1)ς ι 3 = 0, όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο πεξηγξάθεη ηε θσηεηλή αθηίλα πνπ εθπέκπεη έλαο πεξηζηξεθόκελνο θάξνο Φ. α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θάξνπ Φ β) Σξία πινία βξίζθνληαη ζηα ζεκεία Κ(,), Λ(-1,5), Μ(1,3). Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ θσηεηλώλ αθηίλσλ πνπ δηέξρνληαη από ηα πινία Κ, Λ θαη Μ. γ) Να ππνινγίζεηε πνην από ηα πινία Κ, Λ βξίζθεηαη πιεζηέζηεξα ζηε θσηεηλή αθηίλα πνπ δηέξρεηαη από ην πινίν Μ δ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηεο ζαιάζζηαο πεξηνρήο πνπ νξίδεηαη από ην θάξν Φ θαη ηα πινία Μ θαη Λ.
3 Θέμα 5 ο (001) Γηα ηα δηαλύζκαηα, δίλεηαη όηη 1, (, ) 3 δηαλύζκαηα u 3, v. Να ππνινγίζεηε α) ην εζσηεξηθό γηλόκελν β) ηα κέηξα u, v γ) ην εζσηεξηθό γηλόκελν uv δ) ην ζπλεκίηνλν ηε γσλίαο ησλ δηαλπζκάησλ uv,. Έζησ ηα Θέμα 6 ο (001) Γίλεηαη ε εμίζσζε x y 6x 9 0 α) Να δείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη δύν επζείεο ε 1 θαη ε β) Να δείμεηε όηη νη επζείεο ε 1 θαη ε είλαη θάζεηεο γ) Να βξείηε έλα ζεκείν Μ(θ, ι) κε θ>0, ι>0 ηέηνην ώζηε ην δηάλπζκα (3, ) λα είλαη παξάιιειν πξνο ηε κία από ηηο δύν επζείεο ε 1 θαη ε θαη ην δηάλπζκα ( 16, 4 ) λα είλαη παξάιιειν πξνο ηελ άιιε επζεία Θέμα 7 ο (001) Α) Γίλεηαη ε εμίζσζε x y 6x 8y 0 όπνπ ι, κ πξαγκαηηθνί αξηζκνί δηάθνξνη ηνπ κεδελόο. Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ησλ ι, κ ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ Ο. Β) Έζησ όηη γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο ι, κ ηζρύεη ε ζρέζε 3κ + ι = 0. α) Να δείμεηε όηη όινη νη θύθινη πνπ νξίδνληαη από ηελ εμίζσζε x y 6x 8y 0 γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ησλ ι, κ έρνπλ ηα θέληξα ηνπο ζε επζεία πνπ δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ β) Να βξείηε ηα ι, κ έηζη ώζηε αλ Α, Β ηα ζεκεία ηνκήο ηνπ αληίζηνηρνπ θύθινπ κε ηελ επζεία x y 0, λα ηζρύεη 0 γ) Γηα ηηο ηηκέο ησλ ι, κ πνπ βξήθαηε ζην εξώηεκα β) λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΟΒ. Θέμα 8 ο (επαναλ 003) Γίλεηαη ε εμίζσζε x y 4x y 3 0 θαη ην ζεκείν Μ(,1) Α) Να απνδείμεηε όηη εμίζσζε απηή παξηζηάλεη θύθιν κε θέληξν ην ζεκείν Κ(,-1) θαη αθηίλα ξ = Β) Ν βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηνκέλσλ ηνπ θύθινπ πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν Μ(,1) Γ) Αλ Α, Β ηα ζεκεία επαθήο ησλ παξαπάλσ εθαπηνκέλσλ κε ηνλ θύθιν, λα βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΜΑΒ
4 Θέμα 9 ο (επαναλ 001) Δλόο παξαιιεινγξάκκνπ ΑΒΓΓ, ε πιεπξά ΑΒ αλήθεη ζηελ επζεία κε εμίζσζε 3x7y7 0 θαη ε πιεπξά ΑΓ ζηελ επζεία κε εμίζσζε 4x y5 0. Οη δηαγώληνη ΑΓ, ΒΓ ηνπ παξαιιεινγξάκκνπ ηέκλνληαη ζην ζεκείν Κ(, 5 ). α) Να απνδείμεηε όηη ε θνξπθή Γ έρεη ζπληεηαγκέλεο (6, ) β) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ζηελ νπνία αλήθεη ε πιεπξά ΒΓ γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ζηελ νπνία αλήθεη ε δηαγώληνο ΒΓ. Θέμα 10 ο (επαναλ 001) Αλ 0 θαη 6, 3 α) ηα ζεκεία Α, Β, Γ είλαη ζπλεπζεηαθά β) ην ζεκείν Γ είλαη αλάκεζα ζηα ζεκεία Α, Β γ) ε γσλία ˆ 90 δ) ην δηάλπζκα v είλαη θάζεην ζην λα δείμεηε όηη : Θέμα 11 ο (00) Γίλεηαη έλα ηξίγσλν κε θνξπθέο Α(ι-1, 3ι+), Β(1,) θαη Γ(,3) όπνπ Α)Να δείμεηε όηη ην ζεκείν Α θηλείηαη ζε επζεία θαζώο ην ι κεηαβάιιεηαη ζην Β) Δάλ ι = 1, λα βξείηε α) ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ β) ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ θνξπθή Α(1,5) θαη εθάπηεηαη ζηελ επζεία ΒΓ Θέμα 1 ο (00) Γίλεηαη ε εμίζσζε x y x y 1 0, 0. α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζ ε εμίζσζε απηή παξηζηάλεη θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα β)αλ, λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν Μ(1,) γ) Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ζ ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ θύθισλ βξίζθνληαη ζε θύθιν κε θέληξν Ο(0,0) θαη αθηίλα ξ=1. Θέμα 13 ο α) Να πξνζδηνξηζηνύλ νη ηηκέο ηνπ ι γηα ηηο νπνίεο νη παξαθάησ επζείεο ηέκλνληαη, 1 :, : 1. β)να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ ζεκείνπ ηνκήο
5 Θέμα 14 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε 3x 3y 6x 1y 3 0 α) Να δείμεηε όηη ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν ηνπ νπνίνπ λα βξείηε θέληξν θαη αθηίλα. β) Να βξείηε ηηο εθαπηνκέλεο ηνπ παξαπάλσ θύθινπ πνπ άγνληαη από ην Ο (0,0) γ) Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη παξαπάλσ εθαπηνκέλεο Θέμα 15 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε x y x y 1 0 α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν. β) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε γ) Να εμεηάζεηε αλ όινη νη θύθινη πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν Θέμα 16 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε x y x y ( 1) ( 1) 0 (1) θαη ε επζεία (ε) κε εμίζσζε x y1 0, όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Α) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε ηηκή ηνπ ι θαη λα βξείηε ζπλαξηήζεη ηνπ ι, ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ. Β) Να δείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι, είλαη κηα επζεία παξάιιειε ζηελ επζεία (ε). Γ) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε επζεία (ε) είλαη εμσηεξηθή θάζε θύθινπ πνπ πξνθύπηεη από ηελ (1) Θέμα 17 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε x y ( 1) x 4( 1) y α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν. β) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε γ) Να δείμεηε όινη νη θύθινη πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν δ) Να βξείηε ηελ θνηλή εθαπηνκέλε όισλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ.
6 Θέμα 18 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε x y x 4 y 1 0 α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε παξαπάλσ εμίζσζε παξηζηάλεη θύθιν. β) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε γ) Να δείμεηε όινη νη θύθινη πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ παξαπάλσ εμίζσζε δηέξρνληαη από δύν ζηαζεξά ζεκεία δ) Να βξείηε ηελ θνηλή ρνξδή όισλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ Θέμα 19 ο Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα, κε, 4 θαη ηα δηαλύζκαηα θαη Α) Να βξείηε ην Β) Να βξείηε ην θαζώο θαη ηα, Γ) Να βξείηε ηε γσλία (, ) θαη (, ) 3 θαζώο Θέμα 0 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε ( 1) x (3 1) y (1), όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη επζεία Β) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ εμίζσζε (1) : η) είλαη παξάιιειεο ζηνλ ςς ηη) δηέξρνληαη από ην (0,0) Γ) Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι, δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν. Θέμα 1 ο Γίλνληαη ηα ζεκεία ζην επίπεδν Μ(1+εκθ,-ζπλθ) κε θϵ[0,π) i. Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία θηλνύληαη ζε θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν Κ θαη ηελ αθηίλα ξ ii. Να βξείηε ηηο εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ πνπ άγνληαη από ην Ο(0,0). iii. Αλ Α,Β ηα ζεκεία επαθήο ησλ εθαπηνκέλσλ κε ηνλ θύθιν, λα ππνινγίζεηε ην ζπλεκίηνλν ηεο γσλίαο ησλ δηαλπζκάησλ θαη θαη ζηελ ζπλέρεηα λα ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ AOB
7 Θέμα ο A. Γίλεηαη ε εμίζσζε c : x + y - 8x + 6y - ι + 5 = 0 i. Να βξείηε ηηο ηηκέο ηνπ πξαγκαηηθνύ ι, γηα ηηο νπνίεο ε εμίζσζε c παξηζηάλεη θύθιν. ii. Να βξείηε ην θέληξν Κ θαη ηελ αθηίλα R ησλ θύθισλ c. B. Γίλεηαη ε εμίζσζε (ε κ ): x+y-1+κ(x-y-11)=0 i. Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ κ, ε (ε κ ) παξηζηάλεη επζεία γξακκή. ii. Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο (ε κ ) δηέξρνληαη από ζηαζεξό ζεκείν, ην νπνίν είλαη ην θέληξν Κ ησλ θύθισλ ηνπ Α εξσηήκαηνο. Θέμα 3 ο ίλεηαη ηξίγσλν ΑΒΓ, ην ύςνο ηνπ ΑΓ θαη νη εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ ΑΓ, Α, είλαη νη ΑΓ: x ς + 6 = 0 θαη AΓ: x ς + 1 = 0 αληίζηνηρα. Αλ επίζεο δίλεηαη Β (1,3) λα βξεζνύλ: α. Οη ζπληεηαγκέλεο ηεο θνξπθήο Α. β. Η εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ αλήθεη ε πιεπξά ΑΒ. γ. Η εμίζσζε ηεο επζείαο πνπ αλήθεη ε πιεπξά ΒΓ. δ. Σν ζπλεκίηνλν ηεο νμείαο γσλίαο ησλ επζεηώλ ΑΓ θαη Α. ε. Αλ Κ, Λ, Μ είλαη ηα κέζα ησλ πιεπξώλ ΑΒ, ΑΓ θαη ΒΓ αληίζηνηρα. Να βξεζεί ην εκβαδό ηνπ ηξηγώλνπ ΚΛΜ. Θέμα 4 ο Γίλνληαη ηα κε κεδεληθά δηαλύζκαηα θαη κε x + y - α - β x - α - β y + α + β = 0 1 Α. Γείμηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν αθηίλαο ξ = α - β Β. Αλ 1 θαη 1 ζπλ(α,β) = 4 θαη ε εμίζσζε: λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ θύθινπ. Θέμα 5 ο Γίλνληαη νη επζείεο (ε): λx y 1 = 0 θαη (ζ): x + λy λ = 0. α) Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ λ νη επζείεο ηέκλνληαη ζε ζεκείν Μ, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο. β) Να απνδείμεηε όηη ην ζεκείν Μ θηλείηαη ζηνλ κνλαδηαίν θύθιν. Θέμα 6 ο Γίλεηαη ε εμίζσζε x + y - xζπλζ - yεκζ -1 = 0, 0 ζ < π. α) Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε ζ ε εμίζσζε απηή παξηζηάλεη θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα πξνζδηνξίζεηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα. β) Αλ λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ ζην ζεκείν Μ(1,). γ) Να απνδείμεηε όηη γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ θ ηα θέληξα ησλ παξαπάλσ θύθισλ βξίζθνληαη ζε θύθιν κε θέληξν Ο(0,0) θαη αθηίλα ρ = 1.
8 Θέμα 7 ο Θεσξνύκε ηηο εμηζώζεηο C: x + y + ιx -1 = 0θαη ε: y = λx κε R. α) Να δείμεηε όηη γηα θάζε ηηκή ηνπ πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ λ ε εμίζσζε C παξηζηάλεη θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα. β) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ λ. γ) Να δείμεηε όηη ε επζεία ε ηέκλεη ηνλ θύθιν C ζε δύν ζεκεία Α θαη Β. δ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο θακπύιεο πνπ δηαγξάθεη ην κέζν ηεο ρνξδήο ΑΒ. Θέμα 8 ο ε θαξηεζηαλό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ Οxy, ε εμίζσζε επζείαο (λ 1)x+(λ+1)y λ 3 = 0, όπνπ λ πξαγκαηηθόο αξηζκόο, πεξηγξάθεη ηε θσηεηλή αθηίλα πνπ εθπέκπεη έλαο πεξηζηξεθόκελνο θάξνο Φ. α) Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ θάξνπ Φ. β) Σξία πινία βξίζθνληαη ζηα ζεκεία Κ(,), Λ( 1,5) θαη Μ(1,3). Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ θσηεηλώλ αθηίλσλ πνπ δηέξρνληαη από ηα πινία Κ, Λ θαη Μ. γ) Να ππνινγίζεηε πνην από ηα πινία Κ θαη Λ βξίζθεηαη πιεζηέζηεξα ζηε θσηεηλή αθηίλα πνπ δηέξρεηαη από ην πινίν Μ. δ) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηεο ζαιάζζηαο πεξηνρήο πνπ νξίδεηαη από ην θάξν Φ θαη ηα πινία Λ θαη Μ. Θέμα 9 ο Γύν πινία μεθηλνύλ ηελ ίδηα ρξνληθή ζηηγκή από ηα ιηκάληα Α θαη Β αληίζηνηρα. Οη ζπληεηαγκέλεο ηεο ζέζεο ηνπο είλαη αληίζηνηρα ( +4t,8 9t) θαη (3 t,10 11t), όπνπ t ν ρξόλνο ζε ώξεο. α) Βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ιηκαληώλ Α θαη Β. β) Πνηα είλαη ε απόζηαζή ηνπο κεηά από 30 min; γ) Πνηεο είλαη νη εμηζώζεηο ηεο γξακκήο πνξείαο ηνπο; δ) ε πνην ζεκείν ζα ζπλαληεζνύλ ηα δύν πινία θαη ζε πόζε ώξα; ε) Πνην πινίν θηλείηαη κε κεγαιύηεξε ηαρύηεηα;
9 ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΜΑΪΟΤ ΣΑΞΗ : Β ΗΜ/ ΝΙΑ : ΜΑΘΗΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα 1 ο ( Α = 5, Β = 10, Γ = 10 ) Α) Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο παξαβνιήο κε εζηία ην ζεκείν Δ θαη δηεπζεηνύζα ηελ επζεία δ Β) Γίλεηαη ν θύθινο C : x y θαη έλα ζεκείν ηνπ Α ( x 1, y 1 ). Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ C ζην ζεκείν ηνπ Α έρεη εμίζσζε xx yy. 1 1 Γ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ 1. Αλ ηόηε 1. Σν εκβαδόλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ( ) det(, ) 3. Η εμίζσζε ( x xo) ( y yo) παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ ξ 4. Η παξαβνιή x y έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ ρ ρ 5. Η έιιεηςε C x y : έρεη ηηο εζηίεο ηεο ζηνλ άμνλα ςς Θέμα ο ( Α = 5, Β = 15, Γ = 5 ) Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα, κε, 4 θαη ηα δηαλύζκαηα θαη Α) Να βξείηε ην θαη (, ) 3 θαζώο Β) Να βξείηε ην θαζώο θαη ηα, Γ) Να βξείηε ηε γσλία (, )
10 Θέμα 3 ο ( Α = 5, Β = 10, Γ = 10 ) Γίλεηαη ε εμίζσζε ( 1) x (3 1) y (1), όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Α) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη επζεία Β) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ εμίζσζε (1) : η) είλαη παξάιιειεο ζηνλ ςς ηη) δηέξρνληαη από ην (0,0) Γ) Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι, δηέξρνληαη από ην ίδην ζεκείν. Θέμα 4 ο ( Α = Β = Γ = Γ = Δ = 5 ) Γίλεηαη ε εμίζσζε x y x y ( 1) ( 1) 0 (1), όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο θαη ε επζεία (ε) κε εμίζσζε x y1 0 Α) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε (1) παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε ηηκή ηνπ ι θαη λα βξείηε ζπλαξηήζεη ηνπ ι, ην θέληξν θαη ηελ αθηίλα ηνπ. Β) Να δείμεηε όηη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ θέληξσλ ησλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι, είλαη κηα επζεία παξάιιειε ζηελ επζεία (ε). Γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ πνπ πξνθύπηεη από ηελ (1) θαη έρεη ηε κηθξόηεξε δπλαηή αθηίλα. Γ) Να βξείηε γηα πνηεο ηηκέο ηνπ ι ε επζεία (ε) είλαη εμσηεξηθή ησλ αληίζηνηρσλ θύθισλ πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) Δ) Αλ C ν θύθινο πνπ πξνθύπηεη γηα ι = 1 λα βξείηε ηελ ειάρηζηε απόζηαζε κεηαμύ ελόο ζεκείνπ ηνπ θύθινπ C θαη ηεο επζείαο (ε), θαζώο θαη ην ζεκείν Β ηεο επζείαο πνπ απέρεη από ηνλ θύθιν ηελ ειάρηζηε απηή απόζηαζε.
11 ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΜΑΪΟΤ- ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ : Β ΗΜ/ ΝΙΑ : ΜΑΘΗΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα 1 ο ( Α = 5, Β = 10, Γ = 10 ) Α) Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο έιιεηςεο κε εζηίεο ηα ζεκεία Δ θαη Δ. Β) Γίλεηαη ν θύθινο C : x y θαη έλα ζεκείν ηνπ Α ( x 1, y 1 ). Να απνδείμεηε όηη ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ C ζην ζεκείν ηνπ Α έρεη εμίζσζε xx yy. 1 1 Γ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ 1. Αλ ηόηε 1. Σν εκβαδόλ ελόο ηξηγώλνπ ΑΒΓ είλαη ( ) det(, ) 3. Η εμίζσζε ( x xo) ( y yo) παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ ξ 4. Η παξαβνιή x py έρεη άμνλα ζπκκεηξίαο ηνλ ρ ρ y x 5. Η ππεξβνιή 1 έρεη αζύκπησηεο ηηο επζείεο ε 1 : xy 0 θαη ε : xy 0 Θέμα ο ( Α = 5, Β = 10, Γ = 10 ) Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα, κε, 1 θαη ην δηάλπζκα 4 θαη (, ) 3 θαζώο Α) Να βξείηε ην Β) Να βξείηε ην Γ) Να βξείηε ηε γσλία (, )
12 Θέμα 3 ο ( Α = 5, Β = 5, Γ = 10, Γ=5 ) Γίλεηαη ν θύθινο C κε εμίζσζε εμίζσζε 3x 4y 4 0 x y x y θαη ε επζεία (ε) κε Α) Να βξείηε ην θέληξν Κ θαη ηελ αθηίλα ξ ηνπ θύθινπ C Β) Να δείμεηε όηη ε επζεία ε θαη ν θύθινο C δελ έρνπλ θνηλά ζεκεία Γ) Να βξείηε ην ζπκκεηξηθό Λ ηνπ θέληξνπ Κ σο πξνο ηελ επζεία (ε) Γ) Αλ Λ(, ) λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ θύθινπ κε δηάκεηξν ην ΚΛ 5 5 Θέμα 4 ο ( Α = 4, Β = 3, Γ = 5, Γ=8, Δ=5 ) Γίλεηαη ε παξαβνιή C : y 4x θαη ε εμίζσζε όπνπ ι πξαγκαηηθόο αξηζκόο. ( 1) x y 1 0 (1), Α) Να βξείηε ηελ εζηία θαη ηελ εμίζσζε ηεο δηεπζεηνύζαο ηεο παξαβνιήο C Β) Να δείμεηε όηη ε (1) γηα θάζε πξαγκαηηθή ηνπ ι παξηζηάλεη επζεία γξακκή Γ) Να δείμεηε όηη ε δηεπζεηνύζα ηεο παξαβνιήο δελ αλήθεη ζηελ νηθνγέλεηα επζεηώλ πνπ νξίδεη ε (1) Γ) Να βξείηε ην γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ( xy), ηνπ επηπέδνπ ηα νπνία δελ αλήθνπλ ζηε παξαπάλσ δηεπζεηνύζα θαη δηέξρεηαη από θαζέλα από απηά κόλν κία επζεία από ηελ παξαπάλσ νηθνγέλεηα επζεηώλ Δ) Να δείμεηε όηη όιεο νη επζείεο πνπ πξνθύπηνπλ από ηελ (1) γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι εθάπηνληαη ζην κνλαδηαίν θύθιν.
13 ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ ΜΑΪΟΤ- ΙΟΤΝΙΟΤ ΣΑΞΗ : Β ΗΜ/ ΝΙΑ : ΜΑΘΗΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα 1 ο ( Α = 10, Β = 15 ) Α) Έζησ ηα ζεκεία Α( x 1, y 1 ), Β( x, y ) θαη ην κέζν Μ( xy), ηνπ ΑΒ. Να δείμεηε όηη x1 x y1 y x θαη y. Β) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ 1. Αλ ηόηε.. Γηα νπνηαδήπνηε δηαλύζκαηα, ηζρύεη όηη 3. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Μ( x, y ) από ηελ επζεία (ε) κε εμίζσζε o o xo yo x y 0 δίλεηαη από ηνλ ηύπν d(m, ) 4. Η επζεία (ε) κε εμίζσζε x y 0 είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα κε ζπληεηαγκέλεο (-Β,Α) 5. Η εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ x y ζην ζεκείν ηνπ Α( x 1, y 1 ) έρεη εμίζσζε xx1yy 1 0 Θέμα ο ( Α = 10, Β = 10, Γ = 5 ) Γίλνληαη ηα ζεκεία Α(-,0), Β(4,1) θαη Γ(1,-5). Α) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο ΒΓ Β) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο (ε) πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν Α θαη είλαη θάζεηε ζηε ΒΓ. Γ) Να βξείηε ην εκβαδόλ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ.
14 Θέμα 3 ο ( Α = 8, Β = 6, Γ = 6, Γ=5 ) Γίλεηαη ν θύθινο C κε εμίζσζε yx x y x θαη ε επζεία (ε) κε εμίζσζε Α) Να βξείηε ην θέληξν Δ θαη ηελ αθηίλα ξ ηνπ θύθινπ C Β) Να δείμεηε όηη ε επζεία ε θαη ν θύθινο C έρνπλ δύν θνηλά ζεκεία Γ) Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο παξαβνιήο πνπ έρεη θνξπθή ηελ αξρή ησλ αμόλσλ θαη εζηία ην θέληξν Έ ηνπ θύθινπ C, θαζώο θαη ηελ εμίζσζε ηεο δηεπζεηνύζαο ηεο. Γ) Να δείμεηε όηη όινη νη θύθινη πνπ έρνπλ ηα θέληξα ηνπο ζηελ παξαπάλσ παξαβνιή θαη εθάπηνληαη εμσηεξηθά ηνπ θύθινπ C, εθάπηνληαη θαη ζηελ επζεία x 1 Θέμα 4 ο ( Α = 8, Β1 = 5, Β = 5, Γ = 7 ) Γίλεηαη ηεηξάγσλν ΟΑΒΓ κε Ο(0,0), Α(0,α) θαη Β ζεκείν ζην 1 ν ηεηαξηεκόξην όπνπ α ζηαζεξόο ζεηηθόο πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Έζησ Κ κε ηεηκεκέλε x 1 ζεκείν ηεο πιεπξάο ΑΒ θαη Λ ζεκείν ηεο πιεπξάο ΒΓ ηέηνην ώζηε ΑΚ = ΒΛ. Α) Να κεηαθέξεηε ηα παξαπάλσ ζεκεία ζε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ θαη λα εθθξάζεηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ Β,,Γ,Κ,Λ ζπλαξηήζεη ησλ α, x 1. Β) Να δείμεηε όηη : η) ΑΛ = ΟΚ ηη) ΑΛ ΟΚ Γ) Αλ Μ ην ζεκείν ηνκήο ησλ ΑΛ θαη ΟΚ, λα δείμεηε όηη θαζώο ην ζεκείν Κ θηλείηαη πάλσ ζην ηκήκα ΑΒ ην Μ θηλείηαη ζε ηόμν θύθινπ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r
1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γείμηε όηη : ΡΑ ΡΒ ΡΓ 2 ΒΑ.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Θεσξνύκε ηα κε ζπλεπζεηαθά ζεκεία Α, Β, Γ, Γ. Γείμηε όηη αλ ππάξρεη ζεκείν Ρ ηέηνην ώζηε ΡΑ ΡΓ ΡΒ ΡΓ, ηόηε ην ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν.. *Αλ ΑΒΓΓ είλαη παξαιιειόγξακκν θαη Ρ έλα ζεκείν
=90º ) κε πιεπξέο α, β, γ. Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη (ii) 4α, 4β, 3γ.
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ - 1 ΓΔΝΗΚΔ ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΔ ΑΚΖΔΗ 1 Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ ( =90º ) κε πιεπξέο α, β, γ Να βξεζεί ην είδνο ηνπ ηξηγώλνπ πνπ έρεη πιεπξέο (i) θα, θβ, θγ θαη
B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΔΣΙΚΗ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Δπηκέιεηα: Άιθεο Σδειέπεο
B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΔΣΙΚΗ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Δπηκέιεηα: Άιθεο Σδειέπεο ΚΩΝΙΚΔ ΣΟΜΔ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Α. Σηιρ παπακάηω πποηάζειρ να επιλέξεηε ηη ζωζηή απάνηηζη: 1. Ο θύθινο (ρ-α) +(ς-β) =α
x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12
ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα
ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ Θέμα Α ( Α1 =10, Α2 = 15 ) 1) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ
ΓΡΑΠΣΔ ΠΡΟΑΓΩΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ ΜΑΪΟΤ 06 ΣΑΞΖ : Β ΖΜ/ ΝΗΑ : 9 05 06 ΜΑΘΖΜΑ : Μαζεκαηηθά Καηεύζπλζεο Θέμα Α ( Α =0, Α = 5 ) ) Υαξαθηεξίζηε ηηο παξαθάησ πξνηάζεηο κε - Λ i. Αλ ηόηε ii. iii. Οη επζείεο x x, y y
ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις
ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou
Εξίσωση ευθείας. ) θαη Β( 1,
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΔΣΙΚΗ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΔΤΘΤΝΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Δπηκέιεηα: Άιθεο Σδειέπεο Ι. Ερωτήσεις τύποσ «ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ». Η επζεία ε νπνία δηέξρεηαη από ηα ζεκεία Α(, ) θαη Β(, ) έρεη ζπληειεζηή
ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α
ΑΛΥΤΔΣ ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΜΙΓΑΓΙΚΟΙ ΟΜΑΓΑ Α Ππάξειρ μιγαδικών ). Γίλνληαη νη κηγαδηθνί αξηζκνί = x x 9 θαη w = y, x, y R. α). Να βξείηε ηνπο x, y ώζηε = w. β) Να βξείηε ηνλ. ). Γίλεηαη ν κηγαδηθόο = 6 (3 4 ) x 3
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη
Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14
.1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :
ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 011 ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΑΞΗ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1o Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το άθροισμα των τετραγώνων των καθέτων πλευρών του είναι
iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03. Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf
Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 03 Σηεξενγξαθηθή πξνβνιή ζην δίθηπν Wulf Ζιίαο Χαηδεζενδσξίδεο Οθηώβξηνο / Ννέκβξηνο 2004 Τη είλαη ην δίθηπν Wulf Δπίπεδν ζην νπνίν κπνξνύκε λα αλαπαξαζηήζνπκε ηξηζδηάζηαηα ζρήκαηα,
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)
. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.
ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ
ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ
ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕ ΕΤΘΕΙΕ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 9 Επιμέλεια: Χατζόπουλος Μάκης Μαθηματικός Ρόδος ΕΠΑ.Λ Παραδεισίου ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Παπάλληλερ εςθείερ Αίηημα παπαλληλίαρ Γύν επζείεο (ε 1 ),(ε
Θέμα 3 ο v. Θέμα 5 ο Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ εηθόλσλ ησλ κηγαδηθώλ z γηα ηνπο νπνίνπο
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Γ ΛΤΚΕΙΟΤ ΘΔΤΙΚΗ & ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Δπαλαιεπηηθέο αζθήζεηο θαη ζύλζεηα ζέκαηα Δπηκέιεηα: Άιθεο Τδειέπεο Αζήλα 0 Θέμα ο Έζησ νη α, β R. Να δείμεηε όηη ν κηγαδηθόο αξηζκόο
ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΥΗΜΑΣΑ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΑ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕ ΓΧΝΙΕ
1 ΣΟΚΝ ΠΝΙΧΣΗ ΜΘΗΜΣΙΚΟ ΚΕΦΛΙΟ 6 ο ΥΗΜΣ ΕΕΡΜΜΕΝ Ε ΚΤΚΛΟ ΕΕΡΜΜΕΝΕ ΧΝΙΕ ΟΡΙΜΟ: Εγγεγπαμμένη γσλία νλνκάδεηαη ε γσλία ηεο νπνίαο ε θνξπθή είλαη ζεκείν ηνπ θύθινπ θαη νη πιεπξέο ηεο ηέκλνπλ ηνλ θύθιν. Τν ηόμν
Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.
ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ
ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10
ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο
Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες
Γεωμεηρία Α Λσκείοσ Κεθάλαιο 4ο Παράλληλες εσθείες Ανακεθαλαίωζη θεωρίας Ομαδοποιημένες έννοιες θεωρίας 5 άλσηες αζκήζεις Θέμαηα πολλαπλής επιλογής ΕΑΚΤΝΘΟ 010 11 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 Γύν επζείεο
όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.
ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (iv) (ii) (ii) (ii) 5. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ ι λα ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : x 6 3 9x
Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 4 ( ) 7 ( )( ) (ii) 5 7 9 4 (iv) 5 6 4 9 6 0 9 6 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : 7 5 8 (ii) 4 6 8 5 8 ( 6) 4 4 5 (iv) 7 5 4 7 0 7 ( ) 4 8 4 5 8 Να ιπζνύλ νη εμηζώζεηο : ( ) 0 5
ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ
ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)
x x x x tan(2 x) x 2 2x x 1
ΘΕΡΙΝΟ ΣΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι ΕΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΕ ΑΚΗΕΙ ΜΕΡΟ Ι 1. Να γίλνπλ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ησλ παξαθάησ ζπλαξηήζεσλ. t ( i) e ( ii) ln( ) ( iii). Να βξεζεί ην Π.Ο., ν ηύπνο ηεο αλίζηξνθεο θαη ην Π.Τ. ησλ
Μεζνδνινγία Κύθινπ. Η εμίζσζε ελόο θύθινπ πνπ έρεη θέληξν ηελ αξρή ησλ αμόλσλ είλαη ηεο κνξθήο:
Μεζνδνινγία Κύθινπ Κύθινο νλνκάδεηαη ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ελόο ζπλόινπ άπεηξσλ ζεκείσλ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από έλα ζηαζεξό ζεκείν, ην θέληξν ηνπ. Άξα, έλαλ θύθιν ηνλ ραξαθηεξίδνπλ δύν ζηνηρεία, ην θέληξν
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: έζησ
ΜΙΓΑΔΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ: έζησ έλαο κηγαδηθόο αξηζκόο. αληίζηξνθνο ηνπ κηγαδηθνύ αξηζκνύ a b είλαη ν αξηζκόο Παπάδειγμα: έζησ.αληίζηξνθνο ηνπ αξηζκνύ : Μέηπο μιγαδικού απιθμού: αλ κέηξν δηαλύζκαηνο OM. b ή απόιπηε
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟ I ΜΕΡΟ IΙ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟ I MΗΓΑΓΗΚΟΗ ΑΡΗΘΜΟΗ... ΜΔΣΡΟ ΜΗΓΑΓΗΚΟΤ... 5 ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ... 6 ΠΑΡΑΓΧΓΟ... ΚΑΝΟΝΔ ΠΑΡΑΓΧΓΗΔΗ... 9 ΔΦΑΠΣΟΜΔΝΔ... 47 ΑΟΡΗΣΟ ΟΛΟΚΛΖΡΧΜΑ... 5 ΟΡΗΜΔΝΟ ΟΛΟΚΛΖΡΧΜΑ... 56 ΔΜΒΑΓΑ... 66 ΠΑΝΔΛΛΖΝΗΔ...
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα
ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)
ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΣΗΗ 1 Πνηνη αξηζκνί νλνκάδνληαη πξώηνη θαη πνηνη ζύλζεηνη; Να δώζεηε παξαδείγκαηα. ΑΠΑΝΣΗΗ 1 Όηαλ έλαο αξηζκόο δηαηξείηαη
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ
«Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ
. Άλγεβπα Ά Λςκείος Θεωπία Αζκήζειρ «Τεηπάδιο Επανάληψηρ» ΑΛΓΕΒΡΑ Ά ΛΥΚΕΙΟΥ Σςνοπηική θεωπία Επωηήζειρ θεωπίαρ Θέμαηα Εξεηάζεων Σςνδςαζηικά θέμαηα Θέμαηα ηος ΟΕΦΕ 006 010.. (Α) ΜΕΡΟ: ΕΡΩΣΗΕΙ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΣΑ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Διάρκεια: 3 ώρες Ημερομηνία: 12/5/2019 Έκδοση: 1 η. Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά):
Τα sites blogs που συμμετέχουν (σε αλφαβητική σειρά): blogsschgr/iordaniskos/ Επιμελητής: Ιορδάνης Κόσογλου blogsschgr/pavtryfon/ Επιμελητής: Παύλος Τρύφων eisatoponblogspotgr/ Επιμελητής: Σωκράτης Ρωμανίδης
Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία
Γεωμεηπικοί Τόποι Σςμμεηπίερ Α Λυκείου - Γεωμετρία Ερωτήσεις θεωρίας με κενά για απαντήσεις Εργασίες πάνω στην θεωρία Προπαρασκεσαστικά θέματα Κεφάλαια 3.7 3.8 3.9 ΕΑΚΥΝΘΟΣ 2010 11 Γεωμεηπία Α Λςκείος
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. z2. Να απνδεηρζεί όηη:
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΑΚΖΖ Γύν κηθξέο κύγεο Α θαη Β θηλνύληαη πάλω ζην κηγαδηθό επίπεδν θαη είλαη εηθόλεο ηωλ κηγαδηθώλ θαη αληίζηνηρα, ώζηε λα ηζρύεη ζπλερώο 4. Να απνδεηρζεί όηη: 5 α).
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤ ΕΠΙΠΕΔ Άξοναρ Άξονα κε απσή ηο θαη μοναδιαίο διάνςζμα ηο OI i θαη ηνλ ζπκβνιίδνπκε κε νλνκάδνπκε κηα επζεία πάλσ ζηελ νπνία έρνπκε επηιέμεη ζεκεία θαη Ι έηζη ώζηε ην δηάλπζκα OI λα έρεη
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ
ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΚΑΣΑΛΛΗΛΑ ΓΙΑ 3 Ο Η 4 Ο ΘΔΜΑ ΣΙ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΔ ΔΞΔΣΑΔΙ Α ΛΤΚΔΙΟΤ ΘΔΜΑ 1 0. Έζησ Α, Β ελδερόκελα ελόο δεηγκαηηθνύ ρώξνπ Ω ώζηε λα ηζρύνπλ: (i) Ζ πηζαλόηεηα λα πξαγκαηνπνηεζεί έλα ηνπιάρηζηνλ
f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ
ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ
1.1 Μονάδερ μέηπηζηρ ηόξων (γωνιών) ΤΡΙΓΩΝΟΜΔΤΡΙΚΔΣ ΔΞΙΣΩΣΔΙΣ Ωο κνλάδα κέηξεζεο ησλ ηόμσλ εθηόο από ηελ κνίξα (1 ν ) πνπ είλαη ην 1/360 ηνπ θύθινπ ρξεζηκνπνηνύκε θαη ην αθηίλην (1rad). Τν αθηίλην είλαη
ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =
ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.
ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ ΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΣΡΙΓΩΝΑ
1 ν ΔΛ ΠΤΟΛΔΜΪΣ / users.flo.sch.gr/nikpol 1 ΜΔΣΡΙΚΔ ΥΔΔΙ Σ ΟΡΘΟΩΝΙ ΣΡΙΩΝ = 90 ν Τν ηεηξάγσλν κηο θάζεηεο πιεπξάο είλη ίζν κε ηελ ππνηείλνπζ επί ηελ πξννιή ηεο πιεπξάο ζηελ ππνηείλνπζ. = ή = Σε θάζε νξζνγώλην
α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο
Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α
Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β )
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ & ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /0/03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΔΜΑ Α ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΑΠΑΝΣΗΕΙ ΘΕΜΑΣΩΝ Α.
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ
ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία
1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.
ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s
ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ
ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο
Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα )
Εξετάςεισ περιόδου Μαΐου Ιουνίου 016 Εξεταςτζα Ύλη Άλγεβρασ Β Λυκείου ( όλα τα τμήματα ) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Βϋ Γενικοφ Λυκείου» Κεφ. 1ο: Γραμμικά Συςτήματα 1.1 Γραμμικά υςτιματα (χωρίσ τισ αποδείξεισ
Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ
Τράπεζα Θεμάτωμ Γεωμετρία Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Οη αζθήζεης ηες ηράπεδας ζεμάηωκ απαιιαγμέκες από ηα ζτήμαηα (όποσ ήηακ δσκαηόκ) β έθδοζε 0/11/015 ΗΡΖΣΕΡΖΑ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.
Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Καζεγεηήο: Υαηδόπνπινο Μάθεο Δπαλαιεπηηθά θύιια εξγαζίαο
Δπιμέλεια: Υαηδόπνπινο Μάθεο Καζεγεηήο Μαζεκαηηθώλ 1ν Λύθεην Εαθύλζνπ 28+ Επαναληπτικά Θέματα Γεωμετρίας Α Λυκείου Υποψήφια θέματα εξετάσεων Μαΐου - Ιουνίου Κατηγορίες ασκήσεων Κατηγορία Α: Θεωρία / Σωστό
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013
ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό
Ασκήσεις Οπτική και Κύματα
Παλεπηζηήκην Κξήηεο Τκήκα Επηζηήκεο θαη Τερλνινγίαο Υιηθώλ Ασκήσεις Οπτική και Κύματα Δηδάζθσλ: Δεκήηξεο Παπάδνγινπ Email: dpapa@materials.uc.gr Άλυτες Ασκήσεις: 1. Να πξνζδηνξίζεηε αλ νη αθόινπζεο ζπλαξηήζεηο
ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ
ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΣΑΛΑΝΣΩΗ ΜΕ ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΗ Αρχική θάζε Οη ζρέζεηο x= Aεκσt π = π max ζπλσt α = - α max εκσt ηζρύνπλ, όηαλ ηε ρξνληθή ζηηγκή t=0 ην ζώκα δηέξρεηαη από ηε ζέζε ηζνξξνπίαο (x=0) θαη θηλείηαη θαηά
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ στα ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1.2 και 1.3 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ : ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : ΘΕΜΑ 1 A. Να δηαηππώζεηε ην δεύηεξν λόκν ηνπ Νεύησλα κε ιόγηα θαη λα γξάςεηε ηελ αληίζηνηρε καζεκαηηθή ζρέζε (ηύπν) πνπ
ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ
ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί
1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη
ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ
ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ
Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2
ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.
3ο Δπαναληπηικό διαγώνιζμα ζηα Μαθημαηικά καηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ Θέμα A Α1. Έζησ f κηα ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλα δηάζηεκα
wwwaskisopolisgr 3ο Δπνληπηικό διγώνιζμ ζη Μθημηικά κηεύθσνζης ηης Γ Λσκείοσ 17-18 Θέμ A Α1 Έζησ κη ζπλερήο ζπλάξηεζε ζ έλ δηάζηεκ β λ πνδείμεηε όηη: t dt G β G Α Πόηε κη ζπλάξηεζε ιέγεηη 1-1; Α3 Πόηε
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ. ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: 3 ΧΡΔ
ΔΠΑΝΑΛΖΠΣΗΚΟ ΓΗΑΓΧΝΗΜΑ Γ' ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ζε όλη ηην ύλη) ΘΔΜΑ Α Α. Έζησ ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην, ΓΗΑΡΚΔΗΑ ΔΞΔΣΑΖ: ΧΡΔ α) Πόηε ε είλαη ζπλερήο
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο
B1. Η ζπλάξηεζε f είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην 0,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ. 1 x ln x ln x x ln x. x x x x. f x ln x 0 ln x 1 x e
8 45 38. Θ Ε Μ Α Β B. Η ζπλάξηεζε είλαη ζπλερήο θαη παξαγσγίζηκε ζην,, σο πειίθν παξαγσγίζηκσλ ζπλαξηήζεσλ κε παξάγσγν: ln ln ln ln ln (),. ln ln ln ln ln ln ln ln ln () () ()= Από ηνλ παξαπάλσ πίλαθα
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.
ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ
Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ
x x 15 7 x 22. ΘΔΜΑ Α 3x 2 9x 4 3 3x 18x x 5 y 9x 4 Α1. i. . Η ιύζε είλαη y y x 3y y x 3 2x 6y y x x y 6 x 2y 1 y 6
ΑΠΑΝΣΗΔΙ ΜΑΘΗΜΑ ΑΛΓΔΒΡΑ Β ΛΤΚΔΙΟΤ ΗΜ/ΝΙΑ 4 ΟΚΣΩΒΡΙΟΤ 08 ΓΙΑΡΚΔΙΑ ΩΡΔ ΘΔΜΑ Α Α i 9 4 8 8 5 5 9 4 9 4 9 4 9 4 9 4 4 Η ύζε είλαη,, 6 6 6 5 7 0 5 Γηα 5 ε εμίζωζε 7 Η ύζε είλαη,, 5 γίλεηαη : 5 7 5 7 i 4 4 4
Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής
ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό
Ποιοηικός έλεγτος καρεκλών γραθείοσ - διαζηαζιακές μεηρήζεις ΔΗΖΓΖΣΖ : ΝΣΑΛΟ ΓΔΧΡΓΗΟ
Ποιοηικός έλεγτος καρεκλών γραθείοσ - διαζηαζιακές μεηρήζεις ΔΗΖΓΖΣΖ : ΝΣΑΛΟ ΓΔΧΡΓΗΟ ΖΜΔΗΟ Α Τν νκνίσκα πξέπεη λα ηνπνζεηείηαη ζηελ επηθάλεηα ηνπ θαζίζκαηνο ζπκκεηξηθά ζην ελδηάκεζν επίπεδν κε ηέηνην ηξόπν
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31. Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 31 Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη:Εσθύγραμμη Κίνηζη 9-11-2014 Θέμα 1 ο : 1. Έλα ζώκα θηλείηαη ζε επζεία γξακκή θαη κεηαηνπίδεηαη από ηε ζέζε ρ 1 = +2m ζηε ζέζε ρ 2 = -2m. Πνηα από ηηο επόκελεο
ΓΕ. Λ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Θεσξία Μαζεκαηηθώλ Καηεύζπλζεο Β Λπθείνπ Ιδιόηηηερ Ππόζθεζηρ Διανςζμάηων Γηα ηελ πξόζζεζε ησλ δηαλπζκάησλ ηζρύνπλ νη γλσζηέο ηδηόηεηεο ηεο πξόζζεζεο πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ Γειαδή, αλ,, είλαη ηξία
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. 1. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΒΑΙΚΓ ΓΝΩΓΙ ΣΡΙΓΩΝΟΜΓΣΡΙΑ ΑΠΟ Α ΛΤΚΓΙΟΤ. Σπιγωνομεηπικοί απιθμοί οξείαρ γωνίαρ ζε οπθοκανονικό ζύζηημα αξόνων. y ημω= y π M(,y) ζςνω= π ξ σ εθω= y, 0 ζθω=, y 0 y.σπιγωνομεηπικοί απιθμοί γωνίαρ
ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΒΑΙΚΟΙ ΟΡΙΜΟΙ ΟΜΟΙΟΘΔΣΟ ΗΜΔΙΟΤ Ολνκάδνπκε ομοιοθεζία με κένηπο ηο ζημείο και λόγο ην γεωκεηξηθό κεηαζρεκαηηζκό κε ηνλ νπνίν ζε θάζε ζεκείν ηνπ επηπέδνπ αληηζηνηρνύκε έλα θαη κόλν ζεκείν
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ
Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ 61 Ον/μο:.. Β Λσκείοσ Ύλη: Ηλεκηρικό ρεύμα Το Φως Γενικής Παιδείας 22-3-2015 Θέμα 1 ο : 1. Μία ειεθηξηθή ζπζθεπή ιεηηνπξγεί γηα ρξνληθή δηάξθεηα 0,5h θαη θαηαλαιώλεη 2kWh ειεθηξηθήο
Β. Να δώσετε τον ορισμό του τοπικού ελαχίστου μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α. ΜΟΝΑΔΕΣ 5
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΡΙΑΚΗ ΜΑΡΤΙΟΥ 5 ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > σε κάθε
ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 2017
α: κολάδα β: κολάδες Σειίδα από 8 ΔΝΓΔΙΚΣΙΚΔ ΛΤΔΙ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ 7 ΘΔΜΑ Α Α Έζηω, κε Θα δείμνπκε όηη f ( ) f ( ) Πξάγκαηη, ζην δηάζηεκα [, ] ε f ηθαλνπνηεί ηηο πξνϋπνζέζεηο ηνπ ΘΜΤ Επνκέλωο,
Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)
Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.
Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12
Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;
3. Τα ΑΒΓΓ θαη ΔΒΕΖ είλαη ηεηξάγσλα, ΑΔ=2cm θαη ΔΒ=5cm. Τν εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ζρήκαηνο είλαη: είλαη: (Γ) 10
Α, υμναςίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιοσ 0. Πνηνο από ηνπο πην θάησ αξηζκνύο είλαη ν κεγαιύηεξνο; (Α) 0 0 () 00 () ( 0) ( 0) () 0 0 () ( 0) ( 0). Σην πην θάησ ζρήκα νη επζείεο ε θαη ε είλαη
Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!
Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ
Ο γεωκεηξηθόο ηόπνο ηωλ εηθόλωλ ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ z είλαη ν θύθινο κε θέληξν ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ θαη αθηίλα ξ=2.
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΚΑΗ Γ ΣΑΞΖ ΔΠΔΡΗΝΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΓΔΤΣΔΡΑ 5 ΜΑΪΟΤ 5 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ:ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΖ & ΣΔΥΝΟΛΟΓΗΚΖ ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ ΑΠΑΝΣΖΔΗ ΘΔΜΑ Α Α. Σρνιηθό βηβιίν
Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.
Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε
(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.
ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ. Οπιζμόρ 1: Έζηω d,n. Λέκε όηη ν d δηαηξεί ηνλ n (ζπκβνιηζκόο: dn) αλ. ππάξρεη c ηέηνην ώζηε n. Θεώπημα 2: Γηα d,n,m,α,b ηζρύνπλ:
ΓΙΑΙΡΔΣΟΣΗΣΑ Οπιζμόρ 1: Έζηω,. Λέκε όηη ν δηαηξεί ηνλ (ζπκβνιηζκόο: ) αλ ππάξρεη c ηέηνην ώζηε c. Θεώπημα : Γηα,,m,α,b ηζρύνπλ: i), (άξα ) ii) 1, 1 iii) 0 iv) 0 0 v) m m m vi) α bm vii) α (άξα ) viii)
Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ
ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ
ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.
ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε