ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

Transcript

1 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί κε, λα δείμεηε όηη:. α) Είλαη, β). Άξα, θαη όκνηα, Πξνζζέηνπκε ηηο ηξεηο ζρέζεηο: = 2, αθνύ. Πρόβλημα 2: Να βξείηε όια ηα νξζνγώληα ηξίγσλα κε κήθε πιεπξώλ αθέξαηνπο, ησλ νπνίσλ ην εκβαδόλ είλαη αξηζκεηηθά ίζν κε ηελ πεξίκεηξν. Αλ νη θάζεηεο πιεπξέο ηνπ νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ, ηόηε ζύκθσλα κε ην πξόβιεκα έρνπκε: Υςώλνπκε ζην ηεηξάγσλν ηα κέιε ηεο ηειεπηαίαο θαη, κεηά ηηο απινπνηήζεηο, παίξλνπκε:

2 θαη αθνύ ζεηηθνί αθέξαηνη πξνθύπηνπλ νη ιύζεηο:. Άξα ηα δεηνύκελα νξζνγώληα ηξίγσλα είλαη εθείλα πνπ έρνπλ πιεπξέο 6, 8, 10 ή 5, 12, 13. Πρόβλημα 3: Να δείμεηε όηη ν αξηζκόο δηαηξείηαη κε ην 8 γηα θάζε. Πρόβλημα 4: Δίλεηαη ξόκβνο, θαη ηπραία ζεκεία ησλ δηαγσλίσλ ηνπ αληίζηνηρα. Έζησ ην ζεκείν ηνκήο ησλ θαη ην ζεκείν ηνκήο ησλ. Να απνδείμηε όηη. Η γσλία είλαη εμσηεξηθή ηνπ ηξηγώλνπ θαη άξα παίξλνπκε επνκέλσο (1). Από ηα ηζνζθειή ηξίγσλα. Άξα έρνπκε δειαδή (2). Από ηηο (1) θαη (2) έρνπκε

3 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Β ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 Πρόβλημα 1: Να δείμεηε όηη ν αξηζκόο δηαηξείηαη κε ην 8 γηα θάζε. ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 2: Αλ κε, λα ιπζεί ην ζύζηεκα Τν ζύζηεκα γξάθεηαη ηζνδύλακα Από όπνπ παίξλνπκε ηηο ιύζεηο θαη

4 Πρόβλημα 3: Σε θάζε ηξίγσλν λα δείμεηε όηη: α) β) όπνπ είλαη ηα ύςε ηνπ ηξηγώλνπ από ηηο θνξπθέο αληίζηνηρα, θαη είλαη ε αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ α) β) Σην ηξίγσλν είλαη θαη Α π α Αλάινγα έρνπκε Β Α 1 Γ θαη Πξνζζέηνπκε θαηά κέιε ηηο ηξεηο ηειεπηαίεο ζρέζεηο θαη, ιόγσ ηνπ (α), έρνπκε

5 Πρόβλημα 4: Δίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν θαη ην κέζν ηνπ Έζησ ζεκείν πάλσ ζηελ ππνηείλνπζα θαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ ηξηγώλνπ ηέηνηα ώζηε Αλ ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο επζείαο κε ηηο επζείεο αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. Φέξνπκε, άξα ην ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν ηεηξάπιεπξν θαη άξα έρνπκε (1). Επεηδή ηα είλαη νκνθπθιηθά από ηελ ππόζεζε, από ην εγγξάςηκν ηεηξάπιεπξν παίξλνπκε (2). Από ηηο (1) θαη (2) έρνπκε θαη επνκέλσο αθνύ είλαη κέζα ησλ ζα πάξνπκε Άξα. Επνκέλσο θαη αθνύ Από ηηο ηειεπηαίεο ηζόηεηεο παίξλνπκε όηη νη επζείεο είλαη παξάιιειεο. Τειηθά από ην ζεώξεκα ηνπ Θαιή έρνπκε: Δειαδή είλαη παξαιιειόγξακκν.

6 ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Γ ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: Να βξείηε όια ηα δεπγάξηα πνπ ηθαλνπνηνύλ ηελ εμίζσζε αλ ζεηηθνί πξώηνη αξηζκνί. Κάλνληαο ηηο πξάμεηο ζηελ δεδνκέλε εμίζσζε ζα πάξνπκε ε νπνία γίλεηαη Άξα θαη αθνύ ζα έρνπκε ή Αλ, ηόηε αληηθαζηζηώληαο ζηελ πξνεγνύκελε εμίζσζε ζα πάξνπκε, από ηελ νπνία έρνπκε Αλ, έρνπκε, πνπ είλαη άηνπν. Επνκέλσο ην κνλαδηθό δεπγάξη πξώησλ πνπ ηθαλνπνηεί ηελ εμίζσζε είλαη Πρόβλημα 2: Δίλεηαη ζπλάξηεζε, δύν θνξέο παξαγσγίζηκε θαη γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: i) ii) iii) Να απνδείμεηε όηη: α) Η ζπλάξηεζε είλαη θζίλνπζα ζην. β) ηζρύεη ε αληζόηεηα α)παξαγσγίδνληαο ηελ ζπλάξηεζε ζην έρνπκε

7 Άξα από ηελ ππόζεζε, έρνπκε δειαδή ε είλαη θζίλνπζα ζην. Από ηελ κνλνηνλία ηεο ζην παίξλνπκε ή (1). β) ζεσξνύκε ηελ ζπλάξηεζε θαη παξαγσγίδνληαο ζα έρνπκε θαη από ηελ (1) ζα πάξνπκε, επνκέλσο ε είλαη θζίλνπζα ζην, θαη ζα έρνπκε θαη ηειηθά Πρόβλημα 3: Σε ηεηαξηνθύθιην αθηίλαο, παίξλνπκε ζεκείν θαη θέξνπκε θαη θάζεηεο πάλσ ζηηο αθηίλεο αληίζηνηρα. Αλ λα βξείηε ηηο δπλαηέο ηηκέο πνπ κπνξεί λα πάξεη ν ζεηηθόο αξηζκόο 1. Α Έζησ θαη. Τόηε θαη Γ x Μ y R y. Άξα νη ζεηηθνί είλαη νη ξίδεο ηεο εμίζσζεο Κ x Γ Β Πξέπεη: 2 Πξνθαλώο, γηαηί αλ, ηόηε, άηνπν. Από ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα θαη ηελ δεδνκέλε ζρέζε εθθξάδνπκε ην, ζπλαξηήζεη ηνπ, σο εμήο:

8 Παξαγσγίδνληαο, ηελ ζπλάξηεζε έρνπκε Εύθνια δηαπηζηώλνπκε όηη, άξα ε ζπλάξηεζε, έρεη κέγηζηε ηηκή γηα ηελ. Επνκέλσο ζα έρνπκε Πρόβλημα 4: Δίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν θαη ην κέζν ηνπ Έζησ ζεκείν πάλσ ζηελ ππνηείλνπζα θαη εζσηεξηθό ζεκείν ηνπ ηξηγώλνπ ηέηνηα ώζηε Αλ ην ζεκείν ηνκήο ησλ επζεηώλ θαη ηα ζεκεία ηνκήο ηεο επζείαο κε ηηο επζείεο αληίζηνηρα, λα απνδείμεηε όηη ην ηεηξάπιεπξν είλαη παξαιιειόγξακκν. Φέξνπκε, άξα ην ηεηξάπιεπξν είλαη εγγξάςηκν ηεηξάπιεπξν θαη άξα έρνπκε (1). Επεηδή ηα είλαη νκνθπθιηθά από ηελ ππόζεζε, από ην εγγξάςηκν ηεηξάπιεπξν παίξλνπκε (2). Από ηηο (1) θαη (2) έρνπκε θαη επνκέλσο αθνύ είλαη κέζα ησλ ζα πάξνπκε Άξα. Επνκέλσο θαη αθνύ Από ηηο ηειεπηαίεο ηζόηεηεο παίξλνπκε όηη νη επζείεο είλαη παξάιιειεο. Τειηθά από ην ζεώξεκα ηνπ Θαιή έρνπκε: Δειαδή είλαη παξαιιειόγξακκν.