ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

Transcript

1 ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3 dy όπνπ o ηόπνο S νξίδεηαη από ηηο αληζόηεηεο: y,, +y ε απνζήθε ρεκηθώλ αληηδξαζηεξίσλ πεξηέρνληαη f νξγαληθά θαη g αλόξγαλα αληηδξαζηήξηα. Από ηελ απνζήθε παίξλνπκε ζηελ ηύρε s αληηδξαζηήξηα. Πνηα ε πηζαλόηεηα ζε απηά λα πεξηέρνληαη νξγαληθά αληηδξαζηήξηα;

2 ΘΔΜΑΣΑ Β επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = tan - (/y).. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) 5 b) tan ( ) a) 4 5 e b) e 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S y dy όπνπ o ηόπνο S νξίδεηαη από ηηο y, y /,. 5. Γνρείν πεξηέρεη ζθαηξίδηα αξηζκεκέλα από έσο. Από ην δνρείν εμάγνληαη δηαδνρηθά 7 ζθαηξίδηα. a. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ε κεγαιύηεξε έλδεημε ζθαηξηδίνπ λα είλαη ν 9; b. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα έρνπλ εμαρζεί 4 ζθαηξίδηα κε άξηηα έλδεημε θαη 3 κε πεξηηηή;

3 ΘΔΜΑΣΑ B Ιαλνπάξηνο 9. α) Να βξεζεί ε δεύηεξε παξάγσγνο ηεο y σο πξνο ηεο ζπλάξηεζεο πνπ νξίδεηαη από ηηο ζρέζεηο = ln t θαη y = t - ρσξίο λα απαιεηθζεί ην t. β) Να ππνινγηζηεί ην νιηθό δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο: f(,y, z) = ( + z + ) y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) 6 ( ) b) ( ) a 3/ tan a) ( a ) b) a 4. Να ππνινγηζηεί ην δηπιό νινθιήξσκα: y dy, όπνπ ν ηόπνο Α νξίδεηαη από ηηο A ζρέζεηο y, y /,. 5. Πξνζήθε Α πεξηέρεη α νξγαληθά θαη β αλόξγαλα αληηδξαζηήξηα, ελώ πξνζήθε Β πεξηέρεη α νξγαληθά θαη β αλόξγαλα αληηδξαζηήξηα. Δπηιέγνπκε ζηελ ηύρε κία πξνζήθε θαη από απηήλ παίξλνπκε S αληηδξαζηήξηα. Αλ ζε απηά ππάξρνπλ νξγαληθά αληηδξαζηήξηα, πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα έρνπκε επηιέμεη ηελ απνζήθε Α θαη πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα έρνπκε επηιέμεη ηελ απνζήθε Β.

4 ΘΔΜΑΣΑ Α Ιαλνπάξηνο 9. α) Να βξεζεί ε δεύηεξε παξάγσγνο ηεο y σο πξνο ηεο ζπλάξηεζεο πνπ νξίδεηαη από ηηο ζρέζεηο = e -t θαη y = e t ρσξίο λα απαιεηθζεί ην t. β) Να ππνινγηζηεί ην νιηθό δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο: f(,y, z) = ( + y + z) z.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) b) 3 a) tan b) ln 4. Να ππνινγηζηεί ην δηπιό νινθιήξσκα: y ( ) dy, όπνπ ν ηόπνο Α νξίδεηαη από ηελ A ηνκή ηνπ θύθινπ + (y-) = θαη ηεο επζείαο y = όηαλ >. 5. (I) Νόκηζκα ξίπηεηαη άξηηεο θνξέο. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ησλ ελδερόκελσλ όπνπ νη θεθαιέο (Κ) είλαη ίζεο κε ηα γξάκκαηα (Γ). (II) Αλ ην λόκηζκα ξηθζεί πεξηηηέο θνξέο λα βξεζεί ε πηζαλόηεηα ησλ ελδερόκελσλ όπνπ νη θεθαιέο είλαη m πεξηζζόηεξεο από ηα γξάκκαηα.

5 ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΣΑ B επηέμβπιορ 8. Να πποζδιοπιζηούν με ηη μέθοδο ηυν ελασίζηυν ηεηπαγώνυν οι ζςνηελεζηέρ a και b ηηρ εξίζυζηρ y = be a, ώζηε να πεπιγπάθει ηα πειπαμαηικά ζημεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να ςπολογιζηούν ηα ολοκληπώμαηα: a) 9 3 b) 4 3. Να ςπολογιζηεί με διπλά ολοκληπώμαηα ηο εμβαδόν ηος ηόπος πος πεπικλείεηαι από ηην καμπύλη = 3 - y - y και ηον άξονα ηυν y. 4. Να ςπολογιζηούν ηα ολοκληπώμαηα:: e a) e b) 5 α. Σι είναι ζςνδςαζμοί με επαναλήτειρ N ανηικειμένυν ανά m ( C m ); β. Δείξαηε όηι C N m N m m γ. Πόζοι είναι οι ηπόποι καηανομήρ 4 όμοιυν ανηικειμένυν ζε δοσεία και ποια η πιθανόηηηα ζε κάθε δοσείο να πεπιέσονηαι ανηικείμενα; Εξηγείζηε αναλςηικά.

6 ΘΔΜΑΣΑ Α Ινύληνο 8. Να πξνζδηνξηζηνύλ κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ νη ζπληειεζηέο a θαη b ηεο εμίζσζεο y = a+b, ώζηε λα πεξηγξάθεη ηα πεηξακαηηθά ζεκεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) 4 b) ln( ) 3. Να ππνινγηζηεί ην δηπιό νινθιήξσκα: y dy όηαλ ν ηόπνο Α νξίδεηαη από ηηο ζρέζεηο: y, y /,. 4. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα:: tan a) a 3 / b) ( a ) a 5 α. Ση είλαη ζπλδπαζκνί κε επαλαιήςεηο Ν αληηθεηκέλσλ αλά m ( C m N ); β. Γείμαηε όηη C N m N m m γ. Πόζνη είλαη νη ηξόπνη θαηαλνκήο 3 όκνησλ αληηθεηκέλσλ ζε 3 δνρεία θαη πνηα ε πηζαλόηεηα ζε θάζε δνρείν λα πεξηέρεηαη έλα αληηθείκελν; Δμεγείζηε αλαιπηηθά.

7 ΘΔΜΑΣΑ B Ινύληνο 8. Να πξνζδηνξηζηεί κε ηε κέζνδν ησλ ειαρίζησλ ηεηξαγώλσλ ν ζπληειεζηήο a ηεο εμίζσζεο y = e a, ώζηε λα πεξηγξάθεη ηα πεηξακαηηθά ζεκεία ( i, y i ), i =,,, N.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: / e a) b) 3 3. Να ππνινγηζηεί ην δηπιό νινθιήξσκα: dy όηαλ ν ηόπνο Α νξίδεηαη από ηηο ζρέζεηο: y, y. 4. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα:: / 3 a) sin b) ln 5 α. Ση είλαη δηαηάμεηο κε επαλαιήςεηο N αληηθεηκέλσλ αλά m ( B m ); β. Γείμαηε όηη B m N N m γ. Πόζνη είλαη νη ηξόπνη θαηαλνκήο 4 δηαθνξεηηθώλ αληηθεηκέλσλ ζε δνρεία θαη πνηα ε πηζαλόηεηα ζε θάζε δνρείν λα πεξηέρνληαη αληηθείκελα; Δμεγείζηε αλαιπηηθά.

8 ΘΔΜΑΣΑ Β Ιαλνπάξηνο 8. α) Να βξεζεί ε δεύηεξε παξάγσγνο ηεο y σο πξνο ηεο ζπλάξηεζεο πνπ νξίδεηαη από ηηο ζρέζεηο a(cos t t sin t ) θαη y a(sin t tcos t ) ρσξίο λα απαιεηθζεί ην t. β) Να ππνινγηζηνύλ ηα ηνπηθά αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο: f(,y) = + y y + + y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) 3 4 b) ln( ) a) 3 cos 5. b) Να ππνινγηζηεί κε δηπιά νινθιεξώκαηα ην εκβαδόλ ηνπ ηόπνπ πνπ νξίδεηαη από ηνλ θύθιν + y = 8, ηνλ άμνλα ησλ θαη ηελ παξαβνιή y =. 5. Από κηα θάιπε πνπ πεξηέρεη n ζθαηξίδηα παίξλνπκε έλα ηπραίν πιήζνο ζθαηξηδίσλ. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ην πιήζνο ησλ ζθαηξηδίσλ απηώλ λα είλαη άξηην;

9 ΘΔΜΑΣΑ Α Ιαλνπάξηνο 8. α) Να βξεζεί ε δεύηεξε παξάγσγνο ηεο y σο πξνο ηεο ζπλάξηεζεο πνπ νξίδεηαη από ηηο ζρέζεηο t θαη y 3 t ρσξίο λα απαιεηθζεί ην t. β) Να ππνινγηζηνύλ ηα ηνπηθά αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο: f(,y) = + y + y y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) 3 4 b) sin cos a) b) 7 4. Να ππνινγηζηεί κε δηπιά νινθιεξώκαηα ην εκβαδόλ ηνπ ηόπνπ πνπ νξίδεηαη από ηνλ θύθιν + y = 6 θαη ηελ παξαβνιή = (y - ). 5. (I) Νόκηζκα ξίπηεηαη άξηηεο θνξέο (n). Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ησλ ελδερόκελσλ όπνπ νη θεθαιέο (Κ) είλαη ίζεο κε ηα γξάκκαηα (Γ). (II) Αλ ην λόκηζκα ξηθζεί πεξηηηέο θνξέο (n+) λα βξεζεί ε πηζαλόηεηα ησλ ελδερόκελσλ όπνπ νη θεθαιέο είλαη m πεξηζζόηεξεο από ηα γξάκκαηα.

10 ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 7. α) Να βξεζνύλ ηα ηνπηθά αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο f() = e /. β) Να ππνινγηζηεί ε z(,y)/ όηαλ z = u + v, = u v θαη y = uv.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) b) ln a) 3 cos π b) sin e 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: dy S όπνπ o ηόπνο S νξίδεηαη από ηελ θακπύιε y = - θαη ηελ επζεία y = Γνρείν πεξηέρεη ζθαηξίδηα αξηζκεκέλα από έσο. Από ην δνρείν εμάγνληαη δηαδνρηθά 7 ζθαηξίδηα. c. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ε κεγαιύηεξε έλδεημε ζθαηξηδίνπ λα είλαη ν 9; d. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα έρνπλ εμαρζεί 4 ζθαηξίδηα κε άξηηα έλδεημε θαη 3 κε πεξηηηή;

11 ΘΔΜΑΣΑ Β επηέκβξηνο 7. α) Να απνδεηρζεί όηη από όια ηα νξζνγώληα παξαιιειεπίπεδα κε ζηαζεξό άζξνηζκα αθκώλ ν θύβνο έρεη ηνλ κεγαιύηεξν όγθν.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) 5 b) tan ( ) a) 4 5 b) a ln, a> 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: dy S όπνπ o ηόπνο S νξίδεηαη από ηηο y =, y = (-4) θαη y = Tξία ηκήκαηα θνηηεηώλ έρνπλ ηελ παξαθάησ ζύλζεζε: Tκήκα Φνηηήηξηεο Φνηηεηέο A 6 4 B 6 5 Γ 7 5 Eπηιέγνπκε ζηελ ηύρε έλα από ηα ηξία ηκήκαηα θαη από απηό κία νκάδα ηξηώλ αηόκσλ. Aλ ε νκάδα απηή απνηειείηαη από δύν θνηηήηξηεο θαη έλαλ θνηηεηή, πνηά είλαη ε πηζαλόηεηα λα έρεη επηιεγεί ην A ηκήκα, πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα έρεη επηιεγεί ην B ηκήκα θαη ηέινο πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα έρεη επηιεγεί ην Γ ηκήκα;

12 ΘΔΜΑΣΑ Α Ινύληνο 7. α) Να βξεζνύλ ηα ηνπηθά αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο πνπ νξίδεηαη από = t e t θαη y = t e - t. β) Να ππνινγηζηεί ην νιηθό δηαθνξηθό ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = tan - (/y) + tan - (y/).. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) 7 b) ln a) 3 5 cos b) ln 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: dy S όπνπ o ηόπνο S νξίδεηαη από ηηο y =, y = /4 θαη y =. 5. Έλα λόκηζκα ξίρλεηαη ηόζεο θνξέο έσο όηνπ εκθαληζζνύλ είηε θεθαιή (Κ), είηε 6 δηαδνρηθέο θνξέο γξάκκαηα (Γ).. Να θαηαζθεπαζηεί ν δεηγκαηνρώξνο S ηνπ πεηξάκαηνο ηύρεο.. Πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα ώζηε ην λόκηζκα λα έρεη ξηθζεί πεξηζζόηεξεο από 4 θνξέο; 3. Γεδνκέλνπ όηη θαηά ηηο δύν πξώηεο ξίςεηο δελ εκθαλίζηεθε θεθαιή, πνηα είλαη ε πηζαλόηεηα λα έρεη ξηθζεί 3 ή 4 θνξέο;