ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r

Transcript

1 1. Γίλνληαη δύν κε ζπγγξακκηθά δηαλύζκαηα και β ηνπ επηπέδνπ. Να απνδείμεηε όηη νπνηνδήπνηε δηάλπζκα r ηνπ επηπέδνπ απηνύ κπνξεί λα εθθξαζηεί ζαλ γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ και β ά κνλαδηθό ηξόπν.. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα v (, ) και w (, ) όπνπ α,β,κ αθέξαηνη αξηζκνί κ άξηηνο. Αλ είλαη w v, ηόηε λα βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ Μ(β, α). 3. Γίλεηαη ε εμίζσζε x y x y 0. Γείμηε όηη παξηζηάλεη θύθιν, αλ κόλνλ αλ, 4 με ΑΒ -Γ όπνπ Α, Β, Γ R. 4. Έζησ ηα δηαλύζκαηα, β, γ με 0 γ=. Να δείμεηε όηη : γ. 5. (α) Γίλεηαη θύθινο (O, R) ζεκείν Μ ηνπ επηπέδνπ ηνπ.αλ κεηαβιεηή επζεία (ε) δηεξρόκελε από ην Μ ηέκλεη ηνλ θύθιν ζηα ζεκεία Α Β, ηόηε λα απνδείμεηε όηη ην γηλόκελν ΜΑ είλαη ζηαζεξό. (β) Έζησ θύθινο C: x y 1.Να βξεζεί ην ζύλνιν ησλ ζεκείσλ Ρ ηνπ επηπέδνπ ηνπ, γηα ηα νπνία ηζρύεη : PΑ, όπνπ ΡΑΒ κία ηέκλνπζα επζεία ηνπ θύθινπ C. 6. Γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ησλ x, y πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ, λα βξείηε ηη παξηζηάλεη ζην επίπεδν λα ην ζρεδηάζεηε, ε εμίζσζε : x x y y Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ επηπέδνπ όπνπ ι R. 5 (1 ) 6 (, ) 1 1,ηνπ 8. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ ( ζυνω+λημω, ημω-λζυνω), ηνπ επηπέδνπ όπνπ ι R σ0,. 1

2 9. Να κειεηεζεί ε ζρεηηθή ζέζε ηεο επζείαο (ε): y = ιx + β σο πξνο ηνλ θύθιν C : x y ρ. 10. (α). Γίλεηαη ε εμίζσζε x² - ς² + ς 1 =0. Να απνδείμεηε όηη παξηζηάλεη ζην επίπεδν δπν επζείεο θάζεηεο λα βξείηε ην ζεκείν ηνκήο ηνπο. (β). Γίλεηαη ε εμίζσζε x² + ς² + ς 1 =0. Να απνδείμεηε όηη παξηζηάλεη ζην επίπεδν θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν ηελ αθηίλα. ηε ζπλερεία λα απνδείμεηε όηη νη επζείεο ηνπ α. εξσηήκαηνο είλαη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ απηνύ. 11. Γίλεηαη θύθινο κε εμίζσζε ψ - 4 x - 3 = 5. Αλ Α, Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηνπ θύθινπ κε ηνπο άμνλεο ρ ρ ς ς αληίζηνηρα, λα βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ, ε νπνία είλαη παξάιιειε πξνο επζεία ΑΒ. 1. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο παξαβνιήο ε νπνία έρεη ηελ εζηία ηεο ζηνλ άμνλα ρ ρ εθάπηεηαη ζηελ επζεία y=x Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ, νη νπνίεο ηέκλνπλ ηνπο άμνλεο ζε ζεκεία ησλ νπνίσλ νη ζπληεηαγκέλεο είλαη ζεηηθνί αθέξαηνη αξηζκνί ζρεκαηίδνπλ κε απηνύο ηξίγσλν εκβαδνύ 1 κνλάδνο. ηε ζπλέρεηα λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηεηξαπιεύξνπ κε θνξπθέο ηα ζεκεία ηνκήο ησλ παξαπάλσ επζεηώλ κε ηνπο άμνλεο. 14. Γίλεηαη ε εμίζσζε : x y na x - na y 0, a 0 (1) (α) Γηα πνηεο ηηκέο ηνπ a ε εμίζσζε (1) παξηζηά θύθιν. (β) Πνην ην θέληξν ε αθηίλα ηνπ θύθινπ. (γ) Πνηνο ν γ.η. ησλ θέληξσλ ησλ παξαπάλσ θύθισλ.

3 15. Να απνδείμεηε όηη : (α). Η παξαβνιή κε εμίζσζε C: y² = px, δελ επηδέρεηαη νξηδόληηα εθαπηόκελε. (β). Οη επζείεο ε1 ε κε εμηζώζεηο : xζπλσ +yεκσ = 1 xεκσ yζπλσ = 1 αληίζηνηρα, ηέκλνληαη θάζεηα σ Є [ 0, π ). 16. Γίλεηαη ε εμίζσζε : xζπλσ +yεκσ 1 + ι(xεκσ yζπλσ 1) = 0, (1) όπνπ ι Є R σ Є [ 0, π ). Να απνδείμεηε όηη : (α). ε (1) παξηζηά επζεία ι Є R σ Є [ 0, π ). (β). νη επζείεο ηεο νηθνγέλεηαο (1) δηέξρνληαη από έλα θνηλό ζεκείν, ι Є R. (γ). λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ηνπ θνηλνύ ηνπο ζεκείνπ. 17. Αλ, β δπν κε κεδεληθά δηαλύζκαηα,λα δείμεηε όηη Γίλεηαη ε εμίζσζε x² + ς² - 6ρ 6ς =0. (α). Να απνδείμεηε όηη παξηζηάλεη ζην επίπεδν θύθιν, ηνπ νπνίνπ λα βξείηε ην θέληξν Κ ηελ αθηίλα ξ. (β). Αλ Α, Β είλαη ηα ζεκεία ηνκήο ηνπ θύθινπ κε ηνπο άμνλεο ρ ρ ς ς αληίζηνηρα,λα απνδείμεηε όηη ηα ζεκεία Α, Κ, Β είλαη κεηαμύ ηνπο ζπλεπζεηαθά. (γ). Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ παξαπάλσ θύθινπ ε νπνία δηέξρεηαη από ηελ αξρή ησλ αμόλσλ. 19. Γίλνληαη νη επζείεο ε1 : κx ς = κ - 1 : κ²x ς = κ ε (α). Να κειεηήζεηε όιεο ηηο δπλαηέο ζέζεηο απηώλ ζην επίπεδν. (β). Αλ κ=1, βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ ηνπ α εξσηήκαηνο ην ζεκείν ηνκήο ηνπο, έζησ Μ. (γ). Να βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ εθαπηόκελσλ ηνπ θύθινπ κε εμίζσζε x² + ς² = 1, πνπ άγνληαη από ην ζεκείν Μ. 3

4 0. Έζησ θύθινο C κε εμίζσζε : 0 0 x έλα ζεκείν x- y - y ρ ηνπ Α( x1, y 1). Να βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ ζην ζεκείν Α. 1. Γίλεηαη ε επζεία ε : ς = x - 1. Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ επζεηώλ πνπ απέρνπλ απόζηαζε d = από ηελ επζεία ε.. Γίλεηαη ε παξαβνιή C, ς² = 4ρ ην ζεκείν Α( 1, ). Να βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ εθαπηόκελσλ ηεο παξαβνιήο C πνπ δηέξρνληαη από ην ζεκείν Α. 3. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ M(x, y) από ηα νπνία νη εθαπηόκελεο πξνο ηνλ θύθιν C : x y ρ είλαη κεηαμύ ηνπο θάζεηεο. 4. Να απνδείμεηε ηηο ηζνδπλακίεο : (α) α β α β α β (β) α β α β α β 5. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ M(x, y) από ηα νπνία νη x y εθαπηόκελεο πξνο ηελ έιιεηςε C : 1, είλαη κεηαμύ ηνπο θάζεηεο. a 6. Γίλνληαη ηα ζηαζεξά ζεκεία Α, Β ηνπ επηπέδνπ έζησ Ο ην κέζνλ ηνπ ΑΒ. Να βξεζεί ν γεσκεηξηθόο ηόπνο ησλ ζεκείσλ M ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία ηζρύεη : PΜ (1) όπνπ Ρ ηπραίν ζεκείν. y : 1 7. Γίλεηαη ε έιιεηςε C x ε επζεία (ε) : y = λx + 1. (α) Γείμηε όηη γηα θάζε λ Є R ε (ε) ηέκλεη ηελ C ζε δύν ζεκεία. (β) Αλ Κ, Λ ηα θνηλά ηνπο ζεκεία ηζρύεη αμόλσλ, λα βξείηε ηελ εμίζσζε ηεο (ε). ^ 0 90, όπνπ Ο ε αξρή ησλ 4

5 1 : μx - (λ+5)y + 5μ = 0 8. Θεσξνύκε ηα ζεκεία Μ(ι, κ) ηηο επζείεο: : μx + (5 - λ)y - 5μ = 0 Αλ νη επζείεο ηέκλνληαη θάζεηα, λα βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ. 9. Να δείμεηε όηη νη εθαπηόκελεο ηνπ θύθινπ C : x y 5 νη νπνίεο άγνληαη από ην ζεκείν (4, 3 ) είλαη θάζεηεο. 30. Να βξείηε εθείλν ην ζεκείν ηνπ άμνλα x x γηα ην νπνίν ην άζξνηζκα ησλ απνζηάζεσλ ηνπ από ηα ζεκεία Α(3, 4) Β(1, ) λα είλαη ειάρηζην. 31. ε νξζνθαλνληθό ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ δίλεηαη ην ζηαζεξό ζεκείν Α(α, β) 11 κε. Να βξείηε ηνλ γεσκεηξηθό ηόπν ησλ ζεκείσλ Μ ηνπ επηπέδνπ γηα ηα νπνία είλαη : ( 3 ) = Aλ β 1 β + β 3 -β. Να βξείηε ηελ Προβ. δ 33. Γίλεηαη ε παξαβνιή y x θύθινο κε θέληξν Κ(3, 0) αθηίλα ξ. (α) λα βξείηε ην ξ ώζηε ν θύθινο λα εθάπηεηαη ηεο παξαβνιήο, (β) Γηα απηή ηελ ηηκή ηνπ ξ, λα βξείηε ηηο εμηζώζεηο ησλ θνηλώλ εθαπηόκελσλ ηνπ θύθινπ ηεο παξαβνιήο. 34. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο εθαπηνκέλεο ηνπ θύθινπ C: ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν ειάρηζηνπ εκβαδνύ. x y 1, ε νπνία 35. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα α ( κ, ), β (,κ ) και όπνπ θ, ι ζεηηθνί αθέξαηνη αξηζκνί. Αλ ηζρύεη αξηζκνί θ,ι. γ (1,1) α β / α γ λα βξεζνύλ νη 5

6 36. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο θνηλήο εθαπηνκέλεο ησλ παξαβνιώλ y x και x y. 37. Έζησ, β δπν δηαλύζκαηα ηνπ επηπέδνπ κε κέηξν 1. Έζησ αθόκε ην δηάλπζκα v α x β, x R. Να βξεζεί ν x ώζηε ην v λα είλαη ειάρηζην. Γηα ηελ ηηκή απηή ηνπ x, λα απνδείμεηε όηη ην v είλαη θάζεην ζην β. 38. Γίλεηαη ε εμίζσζε y yx. (α) λα δείμεηε όηη παξηζηάλεη δπν επζείεο ζην επίπεδν πνπ ηέκλνληαη ζηελ αξρή ησλ αμόλσλ όηη ην ζεκείν (, ), ηζαπέρεη από ηηο επζείεο. (β) λα βξεζνύλ νη εμηζώζεηο ησλ δηρνηόκσλ ησλ γσληώλ πνπ ζρεκαηίδνπλ νη παξαπάλσ επζείεο. 39. Να βξεζεί ζεκείν Ρ ηνπ θύθινπ C : x y 8x y 1 0 πνπ απέρεη από ηελ επζεία x y + 4 = 0, ειάρηζηε απόζηαζε. 40. Γίλεηαη ν θύθινο C : x y x y 0 ε επζεία ε : y = x + 1. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ λ ώζηε : (α) ε επζεία ε λα εθάπηεηαη ηνπ θύθινπ C. (β) ε επζεία ε λα ηέκλεη ηνλ θύθιν C ά ρνξδή ΑΒ. (γ) ε ρνξδή ΑΒ λα θαίλεηαη από ηελ αξρή Ο ησλ αμόλσλ, ππό νξζή γσλία. 41. Θεσξνύκε ηα δηαλύζκαηα ( xy, ) και β (, ) κε (0, ). (α) Γείμηε όηη ε εμίζσζε β παξηζηάλεη επζεία (0, ), όπνπ κ ζηαζεξόο πξαγκαηηθόο αξηζκόο. (β) Αλ Ρ ( x 0, y0) είλαη ην ίρλνο ηεο θάζεηεο πνπ θέξλνπκε από ηελ αξρή ησλ 0 y0 κ αμόλσλ ζηελ παξαπάλσ επζεία, δείμηε όηη : x. (γ) Να δείμεηε όηη ε εμίζσζε ( x y ) ( ) 0 παξηζηάλεη θύθιν γηα θάζε πξαγκαηηθή ηηκή ηνπ λ, όηαλ, ν νπνίνο δηέξρεηαη από ην ζεκείν Ρ ( x 0, y0) ηνπ (β) εξσηήκαηνο. Ση ζπκβαίλεη όηαλ ; 6

7 4. Γίλνληαη ηα δηαλύζκαηα a (, ) και β (, ) όπνπ κ, λ, μ, ν ζεηηθνί αθέξαηνη αξηζκνί. Αλ ηζρύεη a // β θ/κ, ηόηε λα δείμεηε ι/λ. 43. Γίλεηαη ην ζεκείν Μ(α, β) κε α, β πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο. Να βξεζεί ε εμίζσζε ηεο επζείαο ε ε νπνία δηέξρεηαη από ην Μ ζρεκαηίδεη κε ηνπο άμνλεο ηξίγσλν ειάρηζηνπ εκβαδνύ. 44. Να απνδείμεηε όηη : (α) (β) = 1 1 uv u v u v. u v u v u v = (α) Γίλνληαη έλαο θύθινο C 1 κε θέληξν K αθηίλα R κηα επζεία ε πνπ δελ έρεη θαλέλα θνηλό ζεκείν κε ηνλ θύθιν C 1. Να απνδείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ C, πνπ εθάπηνληαη ηεο ε ηνπ θύθινπ C 1 εμσηεξηθά, αλήθνπλ ζε ζηαζεξή παξαβνιή. (β) Γίλνληαη δύν θύθινη C1 C, κε θέληξα K 1 K αθηίλεο R1 R αληηζηνίρσο, από ηνπο νπνίνπο ν C είλαη εζσηεξηθόο ηνπ C 1. Να απνδείμεηε ηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ C, πνπ εθάπηνληαη εζσηεξηθά ηνπ C 1 εμσηεξηθά ηνπ C, αλήθνπλ ζε ζηαζεξή έιιεηςε. (γ) Γίλνληαη δύν θύθινη C1 C, κε θέληξα K 1 K αθηίλεο R1 R αληηζηνίρσο, πνπ βξίζθνληαη ν έλαο εθηόο ηνπ άιινπ. Να απνδείμεηε όηη ηα θέληξα ησλ θύθισλ C, πνπ εθάπηνληαη εμσηεξηθά ησλ δύν θύθισλ C1 C, αλήθνπλ ζε θιάδν ζηαζεξήο ππεξβνιήο. 7