1
Γενικό Λύκειο Μεγαλόπολης Σχ.έτος: 2011-12 Α Λυκείου Β τετράμηνο ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θέμα: «Χρυσή Τομή» Υπεύθυνες καθηγήτριες: Λέφα Αικατερίνη, ΠΕ 03, Θανόγιαννη Χαρίκλεια, ΠΕ 02. Μαθητές/τριες που εργάστηκαν: Οι άγγελοι του Γιάννη Κοντός Γιάννης Γιαννούλη Βασιλική Καΐκα Χαρά Μπαρμπαλιά Γεωργία Χρόνος: σχολικό έτος 2011-2012 Β τετράμηνο Τόπος συγγραφής: Μεγαλόπολη 2
ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε τις καθηγήτριες μας Λέφα Κατερίνα και Θανόγιαννη Χαρά για το συντονισμό και τη συνεχή βοήθεια που μας προσέφεραν. Τον Κ. Σταυρόπουλο,Ηλεκτρολόγο Μηχανικό του πανεπιστημίου Πατρών με μάστερ στη Φιλοσοφία και υποψήφιο διδάκτορα του Πανεπιστημίου Αθηνών για την επίσκεψη του στο σχολείο μας στις,την παρουσίαση του με θέμα «Η κοσμολογία του Πλάτωνα» και την επιστημονική υποστήριξη που μας παρείχε. Τον καθηγητή μας και συντονιστή των ερευνητικών εργασιών Σταθόπουλο Δημήτρη για την τεχνική υποστήριξη που μας παρείχε.(φωτογράφιση εργασιών, ασύρματο internet) 3
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1.ΠΕΡΙΛΗΨΗ σελ. 5 2.ΠΡΟΛΟΓΟΣ σελ. 5 3.ΕΙΣΑΓΩΓΗ σελ. 6 4.ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1- Τοπολογία σελ. 7 5.ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Πλατωνικά Στερεά σελ. 8 6.ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - Κοσμολογία Πλάτωνα σελ. 20 7.ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 - Πυραμίδες σελ. 23 8.ΣΥΜΕΡΑΣΜΑΤΑ σελ. 28 9.ΕΠΙΛΟΓΟΣ σελ. 28 10.ΑΝΑΦΟΡΕΣ σελ. 29 11.ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ σελ. 33 4
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία θα σας παρουσιάσουμε την δουλειά που κάναμε πάνω στην ερευνητική μας εργασία με θέμα «Χρυσή τομή». Τα θέματα με τα οποία θα ασχοληθούμε είναι η τοπολογία στις αρχαίες πόλεις, τα πλατωνικά στερεά, η κοσμολογία του Πλάτωνα και οι Πυραμίδες. Η εργασία δεν έχει σκοπό να ενημερώσει περί του θέματος σε βάθος αλλά να δημιουργήσει στον αναγνώστη την περιέργεια και την διάθεση να αναζητήσει περισσότερα περί των θεμάτων. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η ακόλουθη εργασία τοποθετείται στο πλαίσιο των ερευνητικών εργασιών που έλαβαν χώρα στο 2 ο τετράμηνο του σχολικού έτους 2011-2012. Στο πλαίσιο των "project (όπως έχουμε ήδη αναφέρει στο 1 ο τετράμηνο) εμείς οι μαθητές καλούμαστε να ερευνήσουμε ένα θέμα που μας αναθέτεται, σε συνεργασία με τους αρμόδιους καθηγητές και τους συμμαθητές μας που έχουν ενταχθεί στην ίδια ομάδα με εμάς, στον χώρο του σχολείου για 3 ώρες κάθε εβδομάδα. Αυτή η εργασία έχει ως αποτέλεσμα οι μαθητές να πληροφορούμαστε και να μελετάμε ενδιαφέροντα θέματα, να αναπτύσσουμε πνεύμα συνεργασίας με τους υπολοίπους καθώς και να μάθουμε να αναζητούμε πληροφορίες όχι μόνο από τη σχολική μας βιβλιοθήκη, αλλά και από προτεινόμενη βιβλιογραφία, το διαδίκτυο, συνεντεύξεις και ερωτηματολόγια. Θα διαπιστώσουμε ότι υπάρχουν κάποια πράγματα τα οποία φαίνονται απλά, αλλά κρύβουν ένα κόσμο γεμάτο μυστικά και σκόπιμες σχέσεις. Έτσι θα υιοθετήσουμε τη θέση των ερευνητών και θα οδηγηθούμε σε πολύ ενδιαφέροντες διαπιστώσεις. Απολαύστε το! 5
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στόχος της εργασίας στο 1 ο κεφάλαιο είναι να γίνει κατανοητό ότι η Αρχαίοι δεν ίδρυαν τις πόλεις τους σε τυχαία σημεία, αλλά λάμβαναν υπόψη τους τη γεωμετρία, γι αυτό και παρατηρούνται γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ αρκετών πόλεων. Στο 2 ο κεφάλαιο θέλουμε να σας παρουσιάσουμε τα 5 μοναδικά πλατωνικά στερεά ( τετράεδρο, εξάεδρο ή κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο) τα οποία όπως φανερώνει και το όνομα τους προέρχονται από τον σπουδαίο φιλόσοφο Πλάτωνα, ο οποίος παρίστανε με αυτά τα δομικά στοιχεία για τη δημιουργία του κόσμου στο έργο-διάλογό του «Τίμαιος». Επίσης, κάνουμε αναφορά στην ανάλυσή τους, την σχέση τους με τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία, τους μετασχηματισμούς τους, την μοναδικότητά τους η οποία οφείλεται στις στερεές γωνίες που δημιουργούν και σε έναν τύπο που ισχύει και για τα 5 πλατωνικά στερεά. Στο 3 ο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τη ζωή του Πλάτωνα και την θεωρία του φιλοσόφου σχετικά με την κοσμογονία του κόσμου. Συγκεκριμένα λέγοντας κοσμογονία, θα μελετήσουμε την ερμηνεία της λέξης αυτής και πού τη χρησιμοποιεί ο Πλάτωνας. Επιπλέον θα πληροφορηθούμε για τις αντιλήψεις του φιλοσόφου σχετικά με τον κόσμο και την ιδιαίτερη αξία που δίνει στο δημιουργό του. Τέλος, θα κάνουμε αναφορά στην εξήγηση που παραδίδει ο Πλάτωνας για τη δημιουργία του κόσμου. 6
Κεφάλαιο 1 ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ ΣΤΙΣ ΑΡΧΑΙΕΣ ΠΟΛΕΙΣ Ξεκινώντας την ερευνητική μας εργασία ασχοληθήκαμε με την τοποθέτηση των αρχαίων πόλεων στην Νότια-Κεντρική Ελλάδα όπως Δελφοί, Αθήνα, Ολυμπία, Άργος και Χαιρώνεια. Ύστερα από μελέτη σε βιβλιογραφία κατανοήσαμε ότι οι θέσεις στις οποίες βρίσκονται οι παραπάνω πόλεις δεν είναι τυχαίες αλλά υπάρχουν γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ τους. Συγκεκριμένα παρατηρήσαμε ότι δημιουργείται ένας κύκλος με κέντρο τους Δελφούς και ακτίνες την απόσταση Δελφοί- Ολυμπία και Δελφοί- Αθήνα, καθώς και ένα εγγεγραμμένο στον κύκλο 7-γωνο με κέντρο τους Δελφούς και κορυφές την Ολυμπία και την Αθήνα. Ακόμα διαπιστώνουμε ότι σχηματίζεται ένας μικρότερος κύκλος με κέντρο το Άργος και ακτίνα την απόσταση Άργος-Αθήνα. Στην περιφέρεια του κύκλου αυτού είναι τοποθετημένες 4 πόλεις: Δελφοί, Χαιρώνεια, Αθήνα και Ολυμπία. Μελετώντας το σχήμα αναρωτηθήκαμε τι σχέση μπορεί να υπάρχει ανάμεσα στις αποστάσεις αυτών των πόλεων. Μάθαμε ότι οι αποστάσεις Δελφοί- Ολυμπία και Δελφοί-Αθήνα είναι ίσες και αποτελούν πλευρές ισοσκελούς τριγώνου με κορυφή τους Δελφούς και βάση την Ολυμπία- Αθήνα. Η απόσταση μεταξύ αυτών των δύο πόλεων αποτελεί επίσης κοινή χορδή των δύο κανονικών 7-γωνων. Επιπλέον η πόλη του Άργους ως κέντρο του μικρού κύκλου ισαπέχει από τις πόλεις που βρίσκονται στην περιφέρεια του. Υπάρχει μια χαρακτηριστική σχέση που συνδέει τις πόλεις Ολυμπία, Χαιρώνεια και Αθήνα, η οποία είναι ότι αποτελούν κορυφές κανονικού 7-γώνου με κέντρο το Άργος, το οποίο εγγράφεται σε κύκλο με κέντρο την ίδια πόλη. Τέλος η ακτίνα του μικρού κύκλου που δημιουργείται από την απόσταση μεταξύ των Άργους-Δελφών είναι διχοτόμος των ακτινών του μεγάλου 7-γώνου με κέντρο τους Δελφούς. 7
Κεφάλαιο 2 ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ Άραγε πόσο γνωστός είναι ο όρος «Πλατωνικά Στερεά» ανάμεσα στους μαθητές και στο ευρύτερο κοινό; Στα πλαίσια της ερευνητικής εργασίας μας δόθηκε η ευκαιρία να γνωρίσουμε τα πέντε πλατωνικά στερεά με αρκετές λεπτομέρειες και να μάθουμε πολλά από τα μυστικά τους. Τα πέντε πλατωνικά στερεά: Ένα από τα πρώτα ερωτήματα που μας γεννήθηκαν είναι από πού προέρχεται η ονομασία τους. Αφού, λοιπόν, ψάξαμε στην βιβλιογραφία, μάθαμε ότι το επίθετο «Πλατωνικά» οφείλεται στον σπουδαίο φιλόσοφο Πλάτωνα (4 ος αιώνας π.χ) ο οποίος τα χρησιμοποιεί σε ένα από τα γνωστά έργα-διαλόγους του, στον «Τίμαιο», ως μοντέλα των δομικών στοιχείων για την δημιουργία του κόσμου. Συγκεκριμένα, κατά τον Πλάτωνα, το πρώτο από τα Πλατωνικά Στερεά, το τετράεδρο, συμβολίζει τη φωτιά γιατί θεωρείται το πιο ευκίνητο, το πιο κοφτερό, το πιο οξύ και το πιο ελαφρύ. Το εξάεδρο ή αλλιώς κύβος συμβολίζει τη γη διότι στέκεται σταθερά στην βάση του, το οκτάεδρο συμβολίζει τον αέρα γιατί περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από νοητό άξονα που διέρχεται από 2 απέναντι κορυφές του. Το δωδεκάεδρο κατά τον φιλόσοφο συμβολίζει το σύμπαν και αντιστοιχεί με το αρχαίο Δωδεκάθεο και το Ζωδιακό Κύκλο. Τέλος το εικοσάεδρο συμβολίζει το νερό γιατί έχει τον μεγαλύτερο όγκο. Ο μεγάλος φιλόσοφος ασχολήθηκε ιδιαίτερα με την αρχή του κόσμου και δημιούργησε την δική του εκδοχή κοσμογονίας, η οποία σήμερα είναι γνωστή ως «Κοσμογονία του Πλάτωνα» και με την οποία ασχολούμαστε στο επόμενο κεφάλαιο. 8
Ο Πλάτωνας μέσα από την αφήγηση του «Τίμαιου» αναφέρει ότι ως βασική μονάδα δημιουργίας θεωρεί δύο τρίγωνα: το ορθογώνιο τρίγωνο με οξεία γωνία ίση με 30 και το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο. Τα δύο αυτά ορθογώνια τρίγωνα αποτελούν τα πρωταρχικά και θεμελιώδη στοιχεία από τα οποία συντίθενται τα τέσσερα θεμελιώδη στοιχεία της φύσης, δηλαδή το τετράεδρο-φωτιά, το εξάεδρο(κύβος)-γη, το οκτάεδροαέρας και το εικοσάεδρο-νερό. Η επιλογή των τριγώνων αυτών από τον Πλάτωνα δεν ήταν τυχαία καθώς για την κοσμογονία του, ύστερα από μια έντονη αφοσίωση, στηρίχτηκε στην πυθαγόρεια αντίληψη ότι οι αριθμοί είναι το ουσιαστικότερο στοιχείο του κόσμου. Τα τρίγωνα αυτά θεωρήθηκαν ως δομικοί λίθοι όλου του κόσμου γιατί η ομορφιά τους ανάγεται στην απλότητα με την οποία συνδέονται οι γωνίες τους. Ο Πλάτωνας μέσα από το έργο του «Τίμαιος» περιγράφει επίσης τους μετασχηματισμούς κατά τους οποίους τα δομικά στοιχεία της φύσης: νερό, αέρας και φωτιά μετατρέπονται από τη μια μορφή στην άλλη καθώς παρουσιάζει και την συσχέτιση αυτών με τα πλατωνικά στερεά. 9
Α)Το νερό εξατμίζεται (υπό ορισμένες συνθήκες) σε υδρατμούς. 1νερό 2,5 αέρας 1εικοσάεδρο 2,5 οκτάεδρα 1 20 6= 2,5 8 6 120 = 120 Συγκεκριμένα στο εικοσάεδρο κάθε έδρα του αποτελεί ισόπλευρο τρίγωνο. Σε κάθε έδρα αν φέρω τα τρία ύψη δημιουργούνται 6 ορθογώνια τρίγωνα με οξείες γωνίες των 30 ο και 60 ο, στην συνέχεια αν διασπάσω αυτά τα 6 ορθογώνια τρίγωνα και τα επανατοποθετήσουμε με διαφορετικό τρόπο δημιουργούνται 2,5 οκτάεδρα. Β) Το νερό μπορεί να διαλυθεί και να δώσει αέρα και φωτιά. 1νερό 2αέρας + 1φωτιά 1εικοσάεδρο 2οκτάεδρα + 1τετράεδρο 1 20 6 = 2 8 6 + 1 4 6 120 = 96 + 24 120 = 120 10
Συγκεκριμένα στο εικοσάεδρο κάθε έδρα του είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Σε κάθε έδρα αν φέρω τα τρία ύψη δημιουργούνται 6 ορθογώνια τρίγωνα με γωνίες 30 ο και 60 ο, στην συνέχεια αν τα διασπάσουμε και τα επανατοποθετήσουμε με διαφορετικό τρόπο μπορούμε να δημιουργήσουμε 2 οκτάεδρα (αέρας) και 1 τετράεδρο (φωτιά). Γ) Η φωτιά μετασχηματίζεται σε αέρα. 2φωτιές 1αέρας 2τετράεδρα 1οκτάεδρο 2 4 6 = 1 8 6 48 = 48 Συγκεκριμένα στα 2 τετράεδρα κάθε έδρα τους αποτελεί ισόπλευρο τρίγωνο. Σε κάθε έδρα, αν φέρω τα τρία ύψη, δημιουργούνται 6 ορθογώνια τρίγωνα με οξείες γωνίες 30 ο και 60 ο, τα οποία αν τα διασπάσω και τα επανατοποθετήσω διαφορετικά μπορώ να δημιουργήσω ένα οκτάεδρο. 11
Δ) Η φωτιά μετασχηματίζεται σε νερό. 5φωτιές 1νερό 5τετράεδρα 1εικοσάεδρο 5 4 6 = 1 20 6 120 = 120 Συγκεκριμένα στα 5 τετράεδρα κάθε έδρα τους σχηματίζει ισόπλευρο τρίγωνο στο οποίο αν φέρουμε τα τρία ύψη δημιουργούνται 6 ορθογώνια τρίγωνα με οξείες γωνίες 30 ο και 60 ο. Αν διασπάσουμε τα τρίγωνα αυτά και τα επανατοποθετήσουμε μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα εικοσάεδρο. Εκτός από την ενδιαφέρουσα φιλοσοφική πλευρά, τα πλατωνικά στερεά εμφανίζουν, επίσης, έντονο μαθηματικό ενδιαφέρον. Τι είδους σχήματα είναι αυτά τα πλατωνικά στερεά; Μπορούμε εμείς να τα κατασκευάσουμε; Ήταν κάποια από τα ερωτήματα που μας απασχόλησαν. Για να μπορέσει κάποιος να αντιληφθεί την σπουδαιότητα και την μοναδικότητα των πλατωνικών στερεών χρειάζεται να γνωρίζει κάποιους βασικούς μαθηματικούς όρους οι οποίοι παρατίθενται παρακάτω: 12
-Κανονικό πολύγωνο: ονομάζεται το πολύγωνο που έχει όλες του τις πλευρές και όλες του τις γωνίες ίσες. Το κανονικό πολύγωνο είναι επίπεδο σχήμα. κανονικό εξάγωνο! -Κανονικό πολύεδρο: ονομάζεται το πολύεδρο που έχει όλες τις έδρες του ίσες και μάλιστα αυτές αποτελούν κανονικά πολύγωνα. Επίσης ένα κανονικό πολύεδρο είναι εγγράψιμο σε σφαίρα. ΤΑ ΠΕΝΤΕ ΠΛΑΤΩΝΙΚΑ ΣΤΕΡΕΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΟΝΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ! Στην συνέχεια παρουσιάζονται αναλυτικά τα πέντε στερεά ως προς τις έδρες τους, τις ακμές τους και τις κορυφές τους. ΑΝΑΛΥΣΗ 1. το τετράεδρο έχει ως έδρες του 4 ισόπλευρα τρίγωνα και σχηματίζει 4 έδρες, 4 κορυφές και 6 ακμές. 13
2. το εξάεδρο ή κύβος αποτελείται από 6 τετράγωνα και δημιουργεί 5 έδρες, 8 κορυφές και 12 ακμές 3. το οκτάεδρο έχει ως έδρες του 8 ισόπλευρα τρίγωνα, αφού στην πραγματικότητα προκύπτει από 2 τετράεδρα το ένα πάνω στο άλλο. Επιπλέον έχει 8 έδρες, 6 κορυφές και 12 ακμές. 14
4. το δωδεκάεδρο αποτελείται από 12 κανονικά πεντάγωνα και σχηματίζει 12 έδρες, 20 κορυφές και 30 ακμές. 5. το εικοσάεδρο έχει ως έδρες του 20 ισόπλευρα τρίγωνα και δημιουργεί 20 έδρες, 12 κορυφές και 30 ακμές. 15
Πολύεδρο Κορυφές K Ακμές A Έδρες E Σύμβολο Schläfli {ν, μ} Διαμόρφωση κορυφής Ανάπτυγμα Τετράεδρο 4 6 4 {3, 3} 3.3.3 Κύβος 8 12 6 {4, 3} 4.4.4 Οκτάεδρο 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3 Δωδεκάεδρο 20 30 12 {5, 3} 5.5.5 Εικοσάεδρο 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3 Τελειώνοντας με την ανάλυση των κανονικών πολυέδρων ασχοληθήκαμε με ένα ακόμα από τα ερωτήματα μας. Είναι πράγματι τα πλατωνικά στερεά πέντε; Μπορούμε να ανακαλύψουμε ένα καινούριο πλατωνικό στερεό κάνοντας τα ονόματα μας διάσημα; Αφού μελετήσαμε σε βιβλιογραφία βρήκαμε τελικά μια μικρή και σύντομη απόδειξη, που αποδείκνυε ότι πράγματι τα πλατωνικά στερεά είναι μόνο πέντε, βασισμένη στην απόδειξη του Ευκλείδη (που αναπτύσσεται στο 8 ο βιβλίο των στοιχείων του) και την οποία θα σας παρουσιάσουμε παρακάτω. 16
Για να κατανοήσει κανείς την απόδειξη πρέπει πρώτα να γνωρίζει τι ονομάζουμε στερεά γωνία. Οι γωνίες χωρίζονται σε κατηγορίες, μια από αυτές είναι και οι επίπεδες γωνίες, τις οποίες μπορούμε να σχεδιάσουμε σε ένα χαρτί. Οι στερεές γωνίες είναι μια πιο σύνθετη κατηγορία η οποία χρειάζεται και τις 3 διαστάσεις του χώρου για να προσδιοριστεί. Για να σχηματίσουμε λοιπόν μια στερεά γωνία χρειαζόμαστε τουλάχιστον 3 πολύγωνα. «στερεά γωνία» Τα πλατωνικά στερεά αποτελούνται από στερεές γωνίες, άρα αυτό που πρόκειται να δείξουμε με την απόδειξη είναι ότι μπορούμε να κατασκευάσουμε στερεές γωνίες μόνο με 5 διαφορετικούς συνδυασμούς. Χρησιμοποιώντας 3 ισόπλευρα τρίγωνα (σχήμα Α) που πρόσκεινται στο ίδιο σημείο σχηματίζεται η στερεά γωνία του τετραέδρου. Χρησιμοποιώντας 4 ισόπλευρα τρίγωνα (σχήμα Β) σχηματίζεται μια από τις στερεές γωνίες του οκταέδρου. Χρησιμοποιώντας πέντε ισόπλευρα τρίγωνα (σχήμα C ) δημιουργείται μια στερεά γωνιά του εικοσαέδρου. Αντίθετα με 6 ισόπλευρα τρίγωνα προκύπτει επίπεδο σχήμα (σχήμα D) διότι 60 6=360. Προχωρώντας στα τετράγωνα παρατηρούμε ότι με τρία τετράγωνα σχηματίζεται μια στερεά γωνία του κύβου (σχήμα Ε) αλλά με 4 τετράγωνα καταλήγουμε πάλι σε ένα επίπεδο σχήμα παρόμοιο με αυτό με τα έξι τρίγωνα αφού 4 90 =360. 17
Συνεχίζοντας με τα πεντάγωνα, τρία κανονικά πεντάγωνα σχηματίζουν μια στερεά γωνία (σχήμα G ) του δωδεκάεδρου αλλά όμως δεν υπάρχει χώρος ούτε καν στο επίπεδο για τέσσερα ή περισσότερα. Τρία κανονικά εξάγωνα που πρόσκεινται στο ίδιο σημείο σχηματίζουν επίπεδο σχήμα (σχήμα Η) ενώ τρία πολύγωνα με περισσότερες πλευρές δεν μπορούν πλέον να συνταχθούν γύρω από ένα σημείο, πράγμα που σημαίνει πως εξαντλήθηκαν όλες οι δυνατότητες για την δημιουργία μιας στερεάς γωνίας. Αφού είναι δυνατό να έχουμε μόνο ΠΕΝΤΕ ΣΤΕΡΕΕΣ ΓΩΝΙΕΣ από ίδια κανονικά πολύγωνα θα πρέπει να υπάρχουν ΤΟ ΠΟΛΥ ΠΕΝΤΕ ΚΥΡΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ. Εκπληκτικό είναι μάλιστα το γεγονός ότι και οι πέντε κανονικές στερεές γωνίες επαναλαμβάνονται στο σχηματισμό των κανονικών πολυέδρων, δηλαδή, όλες οι στερεές γωνίες κάθε πλατωνικού στερεού είναι ίσες. Παρατήρηση: Τρία από τα πέντε πλατωνικά στερεά δημιουργούνται από ισόπλευρα τρίγωνα (τετράεδρο- οκτάεδρο- εικοσάεδρο) ενώ ο κύβος δημιουργείται από τετράγωνα και το δωδεκάεδρο από πεντάγωνα. Τέλος σας παραθέτουμε τα πέντε αναπτύγματα των πλατωνικών στερεών, τα οποία μπορείτε να κατασκευάσετε και μόνοι σας. Επιπλέον, το 1752 ο Leonard Euler απέδειξε ότι για τα πέντε μοναδικά πλατωνικά στερεά ισχύει ο ακόλουθος τύπος που ονομάζεται τύπος του Euler: Κ + Ε = Α + 2 όπου: Κ= το πλήθος των κορυφών Ε= το πλήθος των εδρών Α= το πλήθος των ακμών 18
Τετράεδρο: Κύβος: Οκτάεδρο: Δωδεκάεδρο: Εικοσάεδρο: 19
Κεφάλαιο 3 ΚΟΣΜΟΓΟΝΙΑ ΠΛΑΤΩΝΑ Έχοντας ήδη γνωρίσει κάποια βασικά χαρακτηριστικά των πλατωνικών στερεών θελήσαμε να ασχοληθούμε με την κοσμογονία του Πλάτωνα εξίσου. Η λέξη κοσμογονία, η οποία παραξένεψε αρκετούς από τους μαθητές προέρχεται από τις λέξεις κόσμος + γονια(γίγνομαι) και σημαίνει γένεση-αρχή του κόσμου. Άρα στην πραγματικότητα η κοσμογονία του Πλάτωνα αναφέρεται στην άποψη του φιλοσόφου σχετικά με την δημιουργία του κόσμου. Λίγα λόγια για τον Πλάτωνα: Ο Πλάτωνας υπήρξε σπουδαίος φιλόσοφος κατά την εποχή του 4 ου αιώνα π.χ. Ο ίδιος γεννήθηκε στην Αθήνα, ένα από τα διασημότερα πνευματικά κέντρα της εποχής εκείνης. Η οικογένεια του είχε αριστοκρατικές ρίζες και άνηκε στην υψηλή τάξη. Έκτος από μεγάλος φιλόσοφος ο Πλάτωνας υπήρξε και σπουδαίος μαθηματικός στοχαστής, για αυτό και το έργο του θεωρείται ποικίλο και διαχρονικό. Ο Πλάτωνας ασχολήθηκε με πολλά μαθηματικά θέματα της εποχής του και δέχτηκε επιδράσεις από άλλους σπουδαίους μαθηματικούς της εποχής όπως οι Πυθαγόρειοι. Ο Πλάτωνας έχει αφήσει το στίγμα του στην ιστορία της φιλοσοφίας και των μαθηματικών. Σημαντική ήταν εξίσου η προσφορά της Ακαδημίας του στην οποία δίδαξαν κάποιοι από τους κορυφαίους μαθηματικούς. Η κοσμογονία του Πλάτωνα αναφέρεται μέσα από τον διάλογο που ονομάζεται «Τίμαιος» και θεωρείται πλέον ένα από τα σημαντικότερα έργα του φιλοσόφου. Στον διάλογο αυτό παίρνουν μέρος τέσσερα πρόσωπα: ο Τίμαιος, ο Κριτίας, ο Ερμοκράτης και ο Σωκράτης. Η ερμηνεία του κόσμου από τον Πλάτωνα ξεκινά από την διάκριση του κόσμου σε δύο κατηγορίες, τον αισθητό και τον νοητό κόσμο. Ο αισθητός κόσμος είναι αυτός που αντιλαμβανόμαστε. Ο κόσμος αυτός μεταβάλλεται διαρκώς, βρίσκεται δηλαδή σε μια διαδικασία φθοράς και αναγεννήσεως. Στην πραγματικότητα τα αισθητά πράγματα δεν υπάρχουν, αλλά είναι μια απατή των αισθήσεων. Είναι είδωλα σαν την εικόνα που αντικατοπτρίζεται στον καθρέπτη που μοιάζουν όμως αληθινά. Για τον λόγο αυτό ο άνθρωπος δεν μπορεί να γνωρίσει τα 20
αισθητά πράγματα. Από την άλλη μεριά ο Πλάτωνας μας μιλάει για τον νοητό κόσμο, τον κόσμο των ιδεών. Οι ιδέες του Πλάτωνα δεν είναι νοητά κατασκευάσματα αλλά η αρχή και η ουσία των όντων που αντιλαμβανόμαστε με τις αισθήσεις μας. Οι ιδέες αυτές είναι άυλες, αμετάβλητες και αναλλοίωτες και βρίσκονται έξω από την αισθητή πραγματικότητα. Η αντίληψή τους δεν γίνεται με τις αισθήσεις, αλλά με το νου μας. Ο Πλάτωνας ασχολήθηκε επίσης με του όρους Θεός και θέωση, όλα παράγωγα του αρχαιοελληνικού ρήματος θεάομαι θεώμαι που σημαίνει παρατηρώ, εξετάζω με προσοχή. Θέλησε να ξεχωρίσει επίσης της έννοιες «γέννησις» και «γένεσις» η πρώτη προέρχεται από το ρήμα γεννώ ενώ η δεύτερη από το ρήμα γίγνομαι που σημαίνει μεταβάλλομαι, προκύπτω. Ο Πλάτωνας στο έργο του Τίμαιος, μέσα από την αφήγηση του Τίμαιου, μας λέει ότι τα αισθητά ανήκουν στον κόσμο της γένεσις, που είναι δημιουργημένα. Κάθε δημιουργημένη υπόσταση έχει την αιτία της. Έτσι, η αιτία του αισθητού κόσμου είναι ο δημιουργός της, ο οποίος, όπως κάθε τεχνίτης, εργάζεται με βάση κάποιο σχέδιο, κάποιο υπόδειγμα. Ο δημιουργός, ως άριστος, επέλεξε το υπόδειγμα, που επειδή συγκεντρώνει ωραιότητα και τελειότητα και είναι ποιοτικά υπέρτερο κι επομένως αιώνιο κι αμετάβλητο. Επομένως, ο αισθητός κόσμος δημιουργήθηκε σαν εικόνα του αιώνιου κι άριστου υποδείγματος. Ο Πλάτωνας όπως αναφέραμε παραπάνω έδωσε μεγάλη σημασία στον δημιουργό, πίστευε πως για κάθε πράγμα υπάρχει ένας δημιουργός και έδινε τεράστια σημασία στην ύπαρξη του χωρίς όμως να του χαρίζει ένα ιδιαίτερο όνομα ή προσφώνηση. Ο φιλόσοφος για να εξηγήσει την δημιουργία του κόσμου χρησιμοποίησε τέσσερα βασικά στοιχεία από τα οποία αποτελείται ο κόσμος μας. Για τον φιλόσοφο το σύμπαν μας είναι ορατό και 21
απτό(ανήκει δηλαδή στον αισθητό κόσμο και αποτελεί δημιούργημα του άριστου δημιουργού). Αυτό οφείλεται στα στοιχεία, τα οποία του προσδίδουν αυτές τις ιδιότητες, που είναι το πυρ και η γη αντίστοιχα, αφού δημιούργησε λοιπόν αυτά τα δύο πρώτα στοιχεία τα οποία βρίσκονταν στον τρισδιάστατο χώρο χρησιμοποίησε άλλα δύο συνδετικά τον αέρα και το ύδωρ. Κατά τον Πλάτωνα τα τέσσερα αυτά στοιχεία, κάτω από δεδομένη και σταθερή αναλογία, συναποτελούν τον κόσμο, ο οποίος είναι αδύνατο να διασπαστεί από εξωγενείς παράγοντες. Ο δημιουργός χρησιμοποίησε και τα τέσσερα αυτά στοιχεία χωρίς να αφήσει τίποτα απ εξω ώστε να μην μπορεί να δημιουργηθεί κάτι άλλο καθώς επίσης ήθελε να δημιουργήσει ένα σύνολο όσο το δυνατό πιο τέλειο και ολοκληρωμένο ήθελε δηλαδή να είναι μοναδικό. Σύμφωνα με τον Πλάτωνα επίσης το σχήμα του κόσμου μας οφείλεται στο γεγονός ότι ο δημιουργός ήθελε να σχεδιάσει κάτι το οποίο θα περικλείει μέσα του κάθε πλάσμα, καταλληλότερο ήταν λοιπόν το σχήμα το οποίο μπορεί να περιλάβει όλα τα σχήματα που υπάρχουν. Για αυτόν τον λόγο λοιπόν ο κοσμος μας είναι κυκλικός και σφαιρικός. Στο έργο του «Τίμαιος» ο Πλάτωνας παρουσιάζει επίσης τον τρόπο κατά τον οποίο τα τρία από τα τέσσερα βασικά στοιχεία της φύσης μετατρέπονται από την μια μορφή στην άλλη χρησιμοποιώντας ένα κανονικό πολύεδρο για κάθε ένα από τα στοιχεία. Το τέταρτο στοιχείο, η γη δεν μετασχηματίζεται σε άλλα στοιχεία όμως βοηθά στη διαδικασία του μετασχηματισμού των υπόλοιπων στοιχείων. Οι μετατροπές αυτές ονομάζονται «Μετασχηματισμοί κατά τον Πλάτωνα» και παρουσιάζονται αναλυτικά στο προηγούμενο κεφάλαιο. 22
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ Οι πυραμίδες θεωρούνται από τα αρχαιότερα κατασκευάσματα του ανθρώπου. Η ιστορία τους χρονολογείται πίσω στο 2.686 π.χ έως το 2181 π.χ στην περιοχή της Αιγύπτου. Οι πυραμίδες έκλεψαν το ενδιαφέρον όλου του κόσμου τόσο λόγω της πολυπλοκότητας του χτισίματος και της κατασκευής τους για την εποχή εκείνη όσο και για την ομορφιά και τον επιβλητικό τους χαρακτήρα στην μέση της Αιγύπτου. Σήμερα οι πυραμίδες θεωρούνται το σήμα κατατεθέν της Αιγύπτου. Έντονο ενδιαφέρον έχει προκαλέσει επίσης ο τρόπος με τον οποίον οι αιγύπτιοι κατάφεραν να δημιουργήσουν ένα τόσο καλαίσθητο δημιούργημα, είχαν άραγε τόσο καλές γνώσεις γεωμετρίας; Ήξεραν άραγε την ύπαρξη του χρυσού αριθμού Φ; ή μήπως ήταν όλα τυχαία; ΟΙ ΠΥΡΑΜΙΔΕΣ ΤΗΣ ΓΚΙΖΑΣ: Οι τρείς πυραμίδες της Γκίζας είναι οι μεγαλύτερες και πιο εντυπωσιακές παγκοσμίως. Χτίστηκαν από 3 βασιλείς της 4ης δυναστείας, τον Khufu (γνωστό ως Χέοπα), τον Khafre (Chephren) και τον Menkaure (Mycenious). Η πιο μεγάλη και πιο γνωστή πυραμίδα στην Γκίζα είναι η «Μεγάλη Πυραμίδα», η οποία υψώθηκε από τον Χέοπα. Οι αιγυπτιακές πυραμίδες των αρχαίων και μέσων Βασιλείων ήταν υπερκατασκευές των Βασιλικών τάφων. Σχεδιάστηκαν συμπαγή και ογκώδη για να προστατευτούν το σώμα του Βασιλιά. Το πυραμοειδές σχήμα το οποίο έχουν θεωρείται ότι χρησιμοποιήθηκε για λόγο συμβολισμού. 23
Η Μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας (ονομάζεται επίσης Πυραμίδα του Χέοπα,) είναι η παλαιότερη και μεγαλύτερη από τις τρεις πυραμίδες της Γκίζας και είναι το μόνο από τα επτά θαύματα του αρχαίου κόσμου που επιβιώνει ουσιαστικά χωρίς μεγάλες καταστροφες.. Θεωρείται ότι η πυραμίδα κατασκευάστηκε ως τάφος για την τέταρτη αιγυπτιακή δυναστεία του βασιλιά Χέοπα. Η Κατασκευή της διήρκησε πάνω από 20 χρόνια και ολοκληρώθηκε γύρω στο 2560 π.χ.. Η Μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπα ήταν το υψηλότερο ανθρώπινο δόμημα στον κόσμο για πάνω από 3.800 χρόνια. Υπήρξαν διάφορες επιστημονικές θεωρίες σχετικά με τις τεχνικές κατασκευής της Μεγάλης πυραμίδας. Οι περισσότερες από τις απορίες σχετικά με ην κατασκευή τους βασίζονται στην ιδέα ότι χτίστηκε με τεράστιες πέτρες που τις μετακινούσαν από ένα λατομείο και το σύρσιμο και την άρση τους στη θέση του. Είσοδος της μεγάλης πυραμίδας 24
Η βάση της πυραμίδας καλύπτει 13 στρέμματα, 568.500 τετραγωνικά πόδια και το μήκος της κάθε πλευράς ήταν αρχικά 754 πόδια, αλλά τώρα είναι 745 πόδια. Το αρχικό ύψος ήταν 481 πόδια αλλά τώρα είναι μόνο 449 μέτρα. Εσωτερική διαρύθμιση των πυραμίδων: Τοποθεσία της πυραμίδας και σημασία: Διαβάζοντας σε βιβλιογραφία ανακαλύψαμε ότι η θέση στην οποία οι Αιγύπτιοι αποφάσισαν να χτίσουν την μεγάλη πυραμίδα δεν ήταν καθόλου τυχαία. Η τοποθεσία της Γκίζας προφανώς επιλέχθηκε λόγω της στρατηγικής θέσης που κατέχει η κοιλάδα του Νείλου (στη δυτική όχθη), όπου η δύση συνδέεται με την δύση του ηλίου και τον θάνατο. Οι εργασίες για την κατασκευή της πυραμίδας ξεκίνησαν με έργα υποδομής (εκσκαφές, διαμόρφωση εδάφους, κ.τ.λ.). Οι Αιγύπτιοι φαίνεται ότι χρησιμοποίησαν απλά εργαλεία, όπως τετράγωνα και αλφάδια για την προετοιμασία του εδάφους. Παρόλα αυτά κατάφεραν να επιτύχουν μεγάλη ακρίβεια στις διαστάσεις της πυραμίδας. Η κάθε πυραμίδα ήταν 25
προσεκτικά ευθυγραμμισμένη έτσι ώστε οι πλευρές της να "βλέπουν" προς τους τέσσερις κύριους προσανατολισμούς. Αρχικά, η ανατολική όπως και η δυτική πλευρά ήταν ευθυγραμμισμένες στο βορρά με την βοήθεια αστερισμών. Οι Αιγύπτιοι χτίστες κατάφεραν με μεγάλη ακρίβεια, οι πλευρές της μεγάλης πυραμίδας να αποκλίνουν από τον βορρά κατά μέσο όρο τρία λεπτά της μίας μοίρας. Όταν η μία πλευρά ευθυγραμμιζόταν, οι υπόλοιπες κατασκευαζόταν με βάση αυτή γεωμετρικά και τις σημάδευαν στο έδαφος. Πρόσφατα επίσης, υπήρξαν αρκετές προσπάθειες να αποδωθεί σημασία στη διαγώνια τοποθέτηση των τριών πυραμίδων της Γκίζας. Είναι αξιοπερίεργο το γεγονός ότι δεν υπήρχε κάποιο πρωταρχικό σχέδιο στο οποίο να βασίζεται αυτή η τοποθέτηση. Οι πυραμίδες χτίστηκαν σε διαφορετικές εποχές και σαν ξεχωριστά έργα. Επίσης, οι χώροι που περικλείουν τις πυραμίδες δεν συνδέονται μεταξύ τους όπως κάποιος θα περίμενε. Η διαγώνια τοποθέτηση είναι αποτέλεσμα της διαδικασίας κατασκευής: οι πυραμίδες είναι πιστά ευθυγραμμισμένες στο βορρά και η κάθε μία είναι χτισμένη πλαγίως στην άκρη του οικοπέδου και τραβηγμένη πίσω από τα προγενέστερα μνημεία για να υπάρχει καθαρή θέα των αστερισμών του βορρά. Κατασκευή της πυραμίδας: Οι ογκόλιθοι οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή της πυραμίδας ήταν δύο ειδών. Για την βάση της μεγάλης πυραμίδας χρησιμοποιήθηκαν ογκόλιθοι οι οποίοι εξορύχτηκαν νότια της. Λόγω της χαμηλής ποιότητας όμως οι κατασκευαστές χρησιμοποίησαν ασβεστόλιθους από τα λατομεία της απέναντι όχθης για το περίβλημα της πυραμίδας. Κατά μέσο όρο ο ασβεστόλιθος που χρησιμοποιήθηκε, ζύγιζε συνολικά 2.5 τόνους, αν και το μέγεθος της κατασκευής μειώνεται προς την κορυφή. Επίσης κυβόλιθοι από γρανίτη έχουν χρησιμοποιηθεί στο εσωτερικό για να δώσουν την αίσθηση ότι οι εσωτερικοί διάδρομοι είναι αδιαπέραστοι, έτσι ώστε να αποθαρρύνουν τους επίδοξους ληστές. Μετά την άφιξη των ογκόλιθων στο λιμάνι, έγινε η φόρτωση τους σε ξύλινα έλκυθρα και η ολίσθησή τους έγινε με σχοινιά στην βάση της πυραμίδας. Ωστόσο πολλές εικασίες έχουν γίνει σχετικά με την ανύψωση των ογκόλιθων για την κατασκευή της πυραμίδας με μια από τις πιο πολυσυζητημένες εκδοχές την ύπαρξη ενός είδους ράμπας. 26
Ο χρυσός αριθμός Φ στις πυραμίδες Πολλοί ισχυρισμοί θέλουν τους αιγύπτιους ως γνώστες του χρυσού αριθμού Φ. Υπάρχει όμως αυτή η θεϊκή αναλογία στις πυραμίδες?και αν ναι που; Θεωρείται λοιπόν ότι το Φ βρίσκεται στην κλίση των πυραμίδων καθώς επίσης αξιοθαύμαστο φαντάζει το γεγονός ότι αν θεωρήσουμε το ύψος της πυραμίδας ως ευθύγραμμο τμήμα ο θάλαμος του νεκρού Φαραώ βρίσκεται σε εκείνο το σημείο που έχουμε την χρυσή τομή. Επίσης οι διαστάσεις του πατώματος της πυραμίδας εμπεριέχουν το Φ. Επίσης η μεγάλη πυραμίδα και ο χρυσός λόγος Φ σχετίζονται με τον τετραγωνισμό του κύκλου. Το τετράγωνο συμβολίζει το φυσικό κόσμο, την υλική κατάσταση. Ο κύκλος συμβολίζει τον πνευματικό κόσμο. Όλοι οι μελετητές της Ιερής Γεωμετρίας τείνουν να προσπαθούν τον τετραγωνισμό του κύκλου. Μια κλασική και γνωστή κατασκευή σύμφωνα με το Φ, είναι η Μεγάλη Πυραμίδα στην Αίγυπτο.Ο τετραγωνισμός του κύκλου γίνεται με ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από το ευθύγραμμο τμήμα EΖ που συνδέει το μέσον μιας βάσης με την κορυφή της πυραμίδας, την κατακόρυφο ΕH από την κορυφή της πυραμίδας προς την βάση και το ευθύγραμμο τμήμα ΕZ που ενώνει τα δύο πριν. Αυτό είναι το σχήμα της πυραμίδας με το ορθογώνιοτρίγωνο.υποθέτουμε πως η πλευρά του τετραγώνου της βάσης είναι ίση με 2. Κατασκευάζομε τετράγωνο ΕΘΚΔ, έτσι δημιουργείται ένα διπλό τετράγωνο, το ΘΚΤΗ. Φέρομε τη διαγώνιο ΗΚ, που τέμνει την ΕΔ στο Ι. Η ΕΔ είναι ίση με 1, ως εκ τούτου η διάμετρος του κύκλου είναι επίσης 1. Η ΗK είναι ίση με (5) = 0,618+1+1,618 Χρησιμοποιώντας το διαβήτη με κέντρο το Η και απόσταση την ΗΛ, όπου Λ είναι το σημείο τμήσης της ΗΚ με τον προηγούμενο κύκλο 27
κέντρου Ο, γράφομε τόξο προς τα κάτω που τέμνει την ΚΜΤΓ στο σημείο Μ. Αν ΗΚ= 5 και ΟΛ=ΟΔ=ΟΕ=0,5, η διάμετρος αυτού του κύκλου είναι 1. Αυτό δημιουργεί ΗΛ=0,618+1, ή Φ (1,618). Γράφομε την ΗΜ που τέμνει την ΑΕΔ στο Ι. Βάζομε τον διαβήτη στο Τ και εκτείνομε ως το Μ. Βάζομε πάλι στο σημείο Η και σχηματίζομε τον κύκλο που έχει ακτίνα ΗΙ. Το ΤΜ είναι το ύψος της Μεγάλης Πυραμίδας. Αυτός ο κύκλος αξιοσημείωτα πλησιάζει να έχει την ίδια περιφέρεια όπως η περίμετρος της βάσης ΑΒΓΔ. Επιστρέφομε στο αρχικό ορθογώνιο τρίγωνο ΕΖΗ. Όπου ΕΖ=1, ΖΗ=Φ, ΕΗ = Φ. Εφόσον α 2 +β 2 =γ 2, τότε το ύψος είναι η τετραγωνική ρίζα του Φ. 28
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Με την ολοκλήρωση της συγκεκριμένης ερευνητικής εργασίας αποκομίσαμε σημαντικές γνώσεις πάνω στην πλατωνική φιλοσοφία και κοσμολογία.γνωρίσαμε τα πλατωνικά στερεά από μια διαφορετική οπτική γωνία, αυτή των μαθηματικών, μάθαμε τον συμβολισμό του καθενός και πως σχετίζονται με την κοσμολογία του Πλάτωνα. Ακόμα η ιστορία των πυραμίδων μας συνεπήρε και μας δίδαξε πολλά. Οι κόποι τόσης δουλειάς θα μπορούσαν να παρομοιαστούν με ένα ταξίδι στον κόσμο των μαθηματικών και της πλατωνικής φιλοσοφίας το οποίο έλαβε τέλος φτάνοντας στον προορισμό του, η παραπάνω εργασία είναι η εμπειρία μας από το ταξίδι αυτό την οποία με ενθουσιασμό και αγάπη σας παραθέτουμε. ΕΠΙΛΟΓΟΣ Σαν επίλογο της ερευνητικής μας εργασίας θα θέλαμε να παραθέσουμε ένα ρητό του φιλόσοφου Πλάτωνα: "Οφείλουμε να πετάξουμε μακριά από τη γη, στον ουρανό, και το να πετάξουμε μακριά είναι να γίνουμε όπως ο Θεός, όσο αυτό είναι δυνατό, και το να γίνουμε όπως ο Θεός είναι να γίνουμε αγνοί, δίκαιοι και σοφοί" 29
ΑΝΑΦΟΡΕΣ Τα πλατωνικά στερεά όπως τα κατασκευάσαμε εμείς: 30