ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όταν πηγαίνετε στην ακρογιαλιά για να απολαύσετε τα κύματα της θάλασσας, βιώνετε μια κυματική κίνηση. Οι κυματισμοί σε μια λίμνη, οι μουσικοί ήχοι, ήχοι που δεν ακούμε, οι παλινδρομήσεις ενός μακρού εύκαμπτου ελατηρίου τεντωμένου στο πάτωμα, όλα αυτά είναι κυματικά φαινόμενα. Κύματα μπορεί να παρουσιαστούν οποτεδήποτε ένα σύστημα διαταράσσεται από τη θέση ισορροπίας και η διαταραχή ταξιδεύει, ή διαδίδεται, από μια περιοχή του συστήματος σε μια άλλη. Ο ήχος, το φως, τα κύματα της θάλασσας, οι εκπομπές ραδιοφώνου και τηλεόρασης και οι σεισμοί είναι όλα κυματικά φαινόμενα. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΚΥΜΑΤΩΝ Το κεφάλαιο αυτό αναφέρεται στα μηχανικά κύματα. Κάθε τέτοιο κύμα διαδίδεται μέσα σε κάποιο υλικό που ονομάζεται μέσο. Η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται από τις μηχανικές ιδιότητες του μέσου. Μερικά κύματα είναι περιοδικά και τα σωμάτια του μέσου υφίστανται μια περιοδική κίνηση κατά τη διάδοση του κύματος. Εάν η κίνηση κάθε σωματίου είναι απλή αρμονική ( ημιτονοειδής ), το κύμα καλείται ημιτονοειδές. Στο σχήμα (a) το μέσο είναι ένα σύρμα ή σχοινί υπό μηχανική τάση. Εάν δώσουμε στο αριστερό άκρο ένα μικρό κτύπημα προς τα πάνω ή μια παλινδρομική κίνησης, η παραμόρφωση ταξιδεύει κατά μήκος του σχοινιού. Διαδοχικά τμήματα του μέσου υφίστανται την ίδια πάνω κάτω κίνηση που δώσαμε στο άκρο αλλά σε διαδοχικά επόμενους χρόνους. Επειδή οι μετατοπίσεις είναι κάθετες (εγκάρσιες ) προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος κατά μήκος του μέσου, το κύμα ονομάζεται εγκάρσιο κύμα. Στο σχήμα (b) το μέσο είναι ένα υγρό ή αέριο σε σωλήνα με στερεό τοίχωμα στο δεξιό άκρο και ένα κινούμενο έμβολο στο αριστερό άκρο. Εάν προσδώσουμε στο έμβολο μια απλή κίνηση μπρος πίσω, δημιουργούνται διακυμάνσεις μετατόπισης και πίεσης που ταξιδεύουν κατά μήκος του μέσου. Αυτή τη φορά οι κινήσεις των σωματίων του μέσου είναι μπρος πίσω κατά την ίδια διεύθυνση στην οποία οδεύει το κύμα και έτσι το κύμα ονομάζεται διάμηκες κύμα. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 1
Κάθε ένα από αυτά τα συστήματα έχει μια κατάσταση ισορροπίας. Για το τεντωμένο σχοινί είναι η κατάσταση στην οποία το σύστημα βρίσκεται σε ηρεμία, τεντωμένο κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής. Για το ρευστό σε σωλήνα είναι η κατάσταση στην οποία το ρευστό βρίσκεται σε ηρεμία με ομοιόμορφη πίεση. Τα παραδείγματα αυτά έχουν τρία κοινά στοιχεία. Πρώτον, σε κάθε περίπτωση η διαταραχή οδεύει ή διαδίδεται στο μέσο με ορισμένη ταχύτητα. Δεύτερον, το ίδιο το μέσο δεν ταξιδεύει στο χώρο, τα επιμέρους σωμάτια υφίστανται κινήσεις μπρος πίσω ή πάνω κάτω γύρω από τις θέσεις ισορροπίας τους. Η μορφή της κυματικής διαταραχής είναι αυτή που ταξιδεύει. Τρίτο, για να θέσουμε καθένα από αυτά τα συστήματα σε κίνηση, πρέπει να δώσουμε ενέργεια στο σύστημα με την παραγωγή μηχανικού έργου. Η κυματική κίνηση μεταφέρει αυτή την ενέργεια από μια περιοχή του μέσου σε άλλη. Τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια, αλλά όχι ύλη, από μια περιοχή σε άλλη. Ορίζουμε ως κύμα: «Την κάθε διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο με πεπερασμένη ταχύτητα που μεταφέρει ενέργεια». Χαρακτηριστικά και παραδείγματα μηχανικών και ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων Δεν είναι όλα τα κύματα μηχανικής φύσεως. Μια άλλη ευρεία κατηγορία είναι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, που συμπεριλαμβάνουν το φως, τα ραδιοκύματα, την υπέρυθρη και υπεριώδη ακτινοβολία, τις ακτίνες Χ και γ. Δεν υπάρχει μέσο διάδοσης για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, μπορούν να ταξιδεύουν μέσω του κενού χώρου με ταχύτητα c = 3x10 8 m/s και ελαττώνεται όταν αυτά διαδίδονται σε κάποιο μέσο. Το φως, οι ακτίνες Χ και οι ακτίνες γ είναι παραδείγματα ηλεκτρομαγνητικών εγκάρσιων κυμάτων. Τα ηχητικά κύματα δημιουργούνται από μικρές αυξομειώσεις της πίεσης του ατμοσφαιρικού αέρα και διαδίδονται σε όλες τις διευθύνσεις μακριά από την πηγή. Ανήκουν στην κατηγορία των μηχανικά διαμηκών κυμάτων. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 2
ΤΡΕΧΟΝ ΑΡΜΟΝΙΚΟ ΚΥΜΑ o o o Πλάτος ταλάντωσης κύματος ψ 0 είναι το μέτρο της μέγιστης απομάκρυνσης των σωματιδίων του μέσου. Το πλάτος του κύματος συνήθως δεν είναι σταθερό αλλά σταδιακά μειώνεται κατά μήκος μιας ακτίνας διάδοσης, είτε λόγω απωλειών είτε λόγω διασποράς της ενέργειας του κύματος, εξαιτίας της αύξησης της απόστασης από τη πηγή. Περίοδος Τ του κύματος ονομάζουμε το χρόνο που χρειάζεται κάθε μόριο του υλικού μέσου για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση. Συχνότητα f του κύματος ονομάζουμε τον αριθμό των ταλαντώσεων που εκτελεί ένα σωματίδιο του υλικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα, κάθε δευτερόλεπτο. Η συχνότητα του κύματος είναι η ίδια με τη συχνότητα της πηγής που δημιουργεί το κύμα. Η περίοδος και η συχνότητα του κύματος παραμένουν αναλλοίωτα όταν το κύμα περάσει από ένα υλικό μέσο σε άλλο. o Μήκος κύματος ονομάζουμε την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σωματιδίων τα οποία εκτελούν την ίδια ακριβώς κίνηση, βρίσκονται δηλαδή σε φάση. Σε ένα εγκάρσιο κύμα το μήκος κύματος είναι η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικά όρη ή κοιλάδες και σε ένα διάμηκες η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών πυκνωμάτων ή αραιωμάτων. Το μήκος κύματος είναι ασφαλώς η απόσταση την οποία διανύει η διαταραχή σε χρόνο μιας περιόδου. Για κάθε πλήρη ταλάντωση μιας πηγής κυμάτων παράγεται και ένα κύμα. Η διαταραχή αυτή διαδίδεται στο χρόνο ( Τ ) της μιας ταλάντωσης σε απόσταση λ από τη πηγή. Από τον ορισμό της ταχύτητας υ = Δx/Δt προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος δίνεται από τη σχέση: υ = λ/τ και επειδή Τ = 1/f, τότε υ = λf. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 3
Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι διαφορετική από την ταχύτητα ταλάντωσης ( ωκύτητα Ω) των μορίων του υλικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα. dy dt ( t ) 0 0 όπου ωψ 0 = Ω 0 ( t ) Ω 0 είναι το πλάτος της ωκύτητας 0 0 Μηχανισμός παραγωγής και διάδοσης εγκάρσιου κύματος Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 4
Εξαγωγή και εφαρμογή της εξίσωσης του τρέχοντος αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε μια διεύθυνση χωρίς αρχική φάση Για να δημιουργηθεί ένα αρμονικό κύμα, πρέπει η πηγή των κυμάτων να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση συχνότητας f. Αν το σημείο Ο του σχήματος είναι η πηγή των κυμάτων, τότε η απομάκρυνση του σημείου αυτού από τη θέση ισορροπίας του δίνεται κάθε χρονική στιγμή από τη σχέση ψ = ψ 0ημωt, όπου ψ 0 το πλάτος της ταλάντωσης και ωt η φάση. Αν η πηγή Ο του κύματος αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t 0 = 0, τότε ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος και απέχει x από την πηγή θα αρχίσει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t 1 = x/υ. Άρα την τυχαία χρονική στιγμή t, ενώ το σημείο Ο ταλαντώνεται για χρόνο t-t 0 = t, το σημείο Μ θα αρχίσει να ταλαντώνεται σε χρόνο t t 1 = t x/υ. Αν κατά τη διάδοση του κύματος δεχθούμε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας, τότε το σημείο Μ θα ταλαντώνεται με πλάτος ψ 0 (ίσο με το πλάτος της ταλάντωσης της πηγής Ο). Στην περίπτωση αυτή η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Μ είναι : x 2 x t x 0( t ) 0 ( t ) 02 ( ) T T t x 02 ( ) T Η τελευταία σχέση αποτελεί την εξίσωση του αρμονικού κύματος και μας δίνει την απομάκρυνση ψ από τη θέση ισορροπίας του σημείου που απέχει x από τη πηγή του κύματος, για κάθε χρονική στιγμή t. Είναι προφανές ότι η πιο πάνω εξίσωση ισχύει μόνο αν το κύμα έχει ήδη φτάσει στο σωματίδιο που μας ενδιαφέρει, δηλαδή, με την προϋπόθεση ότι x t, όπου x το χρονικό διάστημα που χρειάζεται το μπροστινό μέρος του κύματος για να φτάσει στο σωματίδιο. Αν το κύμα διαδίδεται κατά την αντίθετη φορά ( από τα δεξιά προς τα αριστερά), τότε η t x εξίσωση του γράφεται: 0 2 ( ) T Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 5
Φάση του κύματος Η ποσότητα 2π( t T ± x λ ) ονομάζεται φάση ( φ ) του κύματος, φ = 2π(t T ± x λ ). x Ξεκινώντας από την προϋπόθεση t, και αντικαθιστώντας το υ = λf καταλήγουμε στο t x ότι 2 ( ) 0 0. Σωματίδια δηλαδή που έχουν φάση μεγαλύτερη από το T μηδέν ήδη ταλαντώνονται, σωματίδια που έχουν φάση μικρότερη από το μηδέν δεν έχουν αρχίσει να ταλαντώνονται και φ = 0 το κύμα φτάνει στο σωματίδιο. Κατά τη διεύθυνση διάδοσης ενός κύματος, σε μια χρονική στιγμή, τα σημεία που προηγούνται έχουν μεγαλύτερη φάση. Γιατί; Η διαφορά φάσης ανάμεσα σε δύο σημεία που απέχουν Δx μια χρονική στιγμή είναι: Δφ = φ 1 φ 2 = 2π ( t T x 1 λ ) 2π (t T x 2 λ ) Δφ = 2π (x 2 x 1 λ ) Δφ = 2π Δx λ Η διαφορά φάσης για το ίδιο σημείο του μέσου για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές t 1 και t 2 είναι: φ 1 = 2π ( t 1 T x λ ) φ 2 = 2π ( t 2 T x λ ) Εφόσον t 2 > t 1 φ 2 > φ 1 Ώστε Δφ = 2π ( t 2 t 1 Δt ) Δφ = 2π T Ασκήσεις 1. Δύο σωματίδια του μέσου διάδοσης ενός κύματος έχουν σε κάποια στιγμή φάσεις φ Α = 3π και φ Β = -5π αντίστοιχα. Ζητούνται όσες περισσότερες πληροφορίες μπορούν να εξαχθούν για τα δύο σωματίδια. 2. Γραμμικό αρμονικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση ψ = 0,1ημ2π ( t 2 x 6 ). α. Να βρεθεί η διαφορά φάσης ανάμεσα σε δύο σημεία που απέχουν από το σημείο αναφοράς Ο αποστάσεις x A = 10m και x B = 23m αντίστοιχα, μετά την άφιξη του κύματος και στο σημείο Β. Δφ = 26π/6 rad. β. Να βρεθεί, για το σημείο Α, η διαφορά φάσης ανάμεσα στις δύο χρονικές στιγμές t 1 = 5sec και t 2 = 5,25sec. Δφ = π/4 rad. T Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 6
3. Κύμα περιγράφεται από την εξίσωση ψ = 0,1ημ(0,5πt πx ). Ζητούνται: α. Οι γραφικές παραστάσεις της φάσης με τη θέση των διαφόρων σωματιδίων κατά μήκος μιας ακτίνας διάδοσης του κύματος, για τις χρονικές στιγμές 2sec, 4sec, 6sec και 8sec. β. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. υ = 0,5 m/s. γ. Σχολιάστε τη μορφή των γραφικών παραστάσεων. Ισοφασική επιφάνεια και μέτωπα κύματος Τα κύματα που παράγει μια πηγή διαδίδονται προς όλες τις διευθύνσεις. Αν το μέσον είναι ομογενές και ισότροπο, η ταχύτητα διάδοσης του κύματος υ είναι η ίδια προς όλες τις διευθύνσεις και γι' αυτό το κύμα φτάνει σε χρόνο t σε σφαιρική επιφάνεια με κέντρο την πηγή των κυμάτων και ακτίνα R = υ t. Ισοφασικές επιφάνειες σφαιρικού κύματος Επομένως όλα τα σημεία της σφαίρας έχουν την ίδια φάση, επειδή η φάση σε ένα σημείο Α του μέσου που απέχει απόσταση x από την πηγή δίνεται από τη σχέση 2 t x Ισοφασικές επιφάνειες επίπεδου κύματος Ισοφασική επιφάνεια ονομάζεται κάθε επιφάνεια της οποίας όλα τα σημεία σε μια χρονική στιγμή έχουν την ίδια φάση. Επομένως τα κύματα διαδίδονται στο χώρο με μορφή σφαιρικών ισοφασικών επιφανειών. Μέτωπο κύματος είναι το σύνολο των σημείων σε ένα κύμα που βρίσκονται την ίδια στιγμή σε φάση. Το σύνολο των ισοφασικών επιφανειών αποτελούν τα μέτωπα κύματος. Δύο διαδοχικά μέτωπα κύματος απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με μήκος κύματος λ. Αν το μέτωπο του κύματος βρίσκεται σε μεγάλη απόσταση από την πηγή, τότε ένα μικρό τμήμα του σφαιρικού μετώπου είναι επίπεδη επιφάνεια και το κύμα ονομάζεται επίπεδο. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 7
Στιγμιότυπο κύματος Η εξίσωση του κύματος περιέχει δυο ανεξάρτητες μεταβλητές, το χρόνο t και την απόσταση x που απέχουν τα σημεία από το Ο (πηγή). α) Αν t = σταθερό, η εξίσωση του κύματος γράφεται: y = y 0 ημ2π (σταθερό x λ ). Η εξίσωση παριστάνει την απομάκρυνση που έχουν τα διάφορα σημεία του μέσου σε μια ορισμένη χρονική στιγμή. Η γραφική παράσταση που προκύπτει από αυτή την εξίσωση, απεικονίζει τις απομακρύνσεις των διαφόρων σωματιδίων του μέσου διάδοσης του κύματος μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή και ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος. Το στιγμιότυπο του κύματος είναι σαν μια φωτογραφία όπου αποτυπώνονται οι θέσεις όλων των σημείων του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα σε μια χρονική στιγμή. Μετά από χρόνο t το στιγμιότυπο μετατοπίζεται σε απόσταση x = υ t, όπως φαίνεται στο σχήμα. t β) Αν x= σταθερό, η εξίσωση του κύματος γράφεται: y yo2. T Η εξίσωση παριστάνει την απομάκρυνση ενός υλικού σημείου του μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 8
Ασκήσεις 4. Ένα σημείο Ο ενός ελαστικού μέσου τη χρονική στιγμή t 0 = 0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ( το Ο είναι η πηγή του κύματος ). Να σχεδιάστε τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t 0 = 0, t 1 = T/4, t 2 = T/2, t 3 = 3T/4, t 4 = T και t 5 = 5T/4. 5. Σε ένα μονοδιάστατο ελαστικό μέσο διαδίδεται ένα κύμα. Το διπλανό σχήμα δείχνει την απομάκρυνση των σωματιδίων του μέσου από τη θέση ισορροπίας τους σε κάποια χρονική στιγμή. Να σχεδιάσετε τη διεύθυνση και τη φορά της ταχύτητας των σωματιδίων που βρίσκονται στα σημεία Α, Β και Γ του μέσου σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις: α. Το κύμα είναι διάμηκες. β. Το κύμα είναι εγκάρσιο και τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται στο επίπεδο της σελίδας. Το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά. 6. Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός τρέχοντος αρμονικού κύματος που διαδίδεται προς τα δεξιά, για τη χρονική στιγμή t. Ζητείται το στιγμιότυπο του κύματος για τη χρονική στιγμή t + T/4. 7. Τρέχον αρμονικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση ψ = 0,1ημ(πt 4πx). Η πηγή του κύματος βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t = 0. Ζητούνται: α. Η διαφορά φάσης δύο σωματιδίων που βρίσκονται στην ίδια ακτίνα διάδοσης του κύματος και απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δx = 0,75m. Δφ = 3π rad. β. Η αλλαγή της φάσης ενός σωματιδίου σε χρόνο Δt = 1,75 sec. Δφ = 1,75π rad. γ. Η γραφική παράσταση φάσης χρόνου για ένα σωματίδιο που βρίσκεται στη θέση x = 0,625 m. δ. Η γραφική παράσταση απομάκρυνσης χρόνου για το σωματίδιο της προηγούμενης ερώτησης και για την πηγή κύματος. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 9
Συμβολή και περίθλαση κυμάτων Όταν δύο ή περισσότερα κύματα διαδίδονται ταυτόχρονα στην ίδια περιοχή ελαστικού μέσου, το καθένα προχωρά ανεξάρτητα από τα άλλα και κάθε χρονική στιγμή η ολική απομάκρυνση κάθε σημείου του μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη των απομακρύνσεων που οφείλονται σε κάθε κύμα χωριστά ( Αρχή της Επαλληλίας). Το αποτέλεσμα της συνάντησης δύο ή περισσοτέρων κυμάτων της ίδιας φύσης σε ένα μέσο ονομάζεται συμβολή κυμάτων. Στο σχήμα ( Ι ) δύο όμοιοι κυματικοί παλμοί κινούνται αντίθετα. Όταν οι παλμοί συναντώνται, έχουμε σύνθετο παλμό διπλάσιου πλάτους, ενώ στη συνέχεια οι παλμοί ταξιδεύουν σαν να μην έγινε ποτέ η συνάντησή τους. Στο σχήμα ( ΙΙ ) έχουμε δύο αντίθετους ( συμμετρικούς ) παλμούς που κινούνται αντίθετα. Το αποτέλεσμα της συμβολής τους, δηλαδή ο παλμός που δημιουργείται κατά τη συνάντηση, έχει μηδενικό πλάτος. Σύμφωνες πηγές Σύμφωνες πηγές είναι οι πηγές που έχουν σταθερή διαχρονικά διαφορά φάσης. Αν η διαφορά φάσης των πηγών είναι 2κπ, κ = 0,1,2, τότε οι πηγές είναι σε φάση. Όταν κ = 0 τότε οι δύο πηγές κάθε χρονική στιγμή έχουν την ίδια φάση Δφ = 0. Οι πηγές αυτές ονομάζονται σύγχρονες. Αν η διαφορά φάσης των πηγών είναι (2κ+1)π, κ = 0,1,2, τότε οι πηγές είναι σε αντίθετη φάση. Η συμβολή των κυμάτων μπορεί να μελετηθεί με τη χρήση μιας λεκάνης κυμάτων. Δύο μικρές σφαίρες (πηγές) οι οποίες κρέμονται από την ίδια ράβδο μόλις που ακουμπούν στην ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Όταν η ράβδος τίθεται σε ταλάντωση, οι σφαίρες δημιουργούν κυκλικά κύματα στην επιφάνεια του νερού. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 10
Ένα σημείο Σ 0 της επιφάνειας του νερού που βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος Π 1Π 2 απέχει εξίσου από τα σημεία Π 1 και Π 2 ( r 1 = r 2 ). To r είναι το διάνυσμα θέσης r( x, y, z). Τα κύματα ξεκινούν ταυτόχρονα από τις πηγές και φτάνουν ταυτόχρονα στο σημείο Σ 0. Όταν στο Σ 0 φτάνουν από τις δύο πηγές «όροι», η σύνθεση των δύο κυμάτων θα μας δώσει «όρος» διπλάσιου ύψους. Μετά από χρόνο Τ/2 στο Σ 0 φτάνουν ταυτόχρονα «κοιλάδες», οι οποίες θα μας δώσουν «κοιλάδα» διπλάσιου βάθους. Σ 0 r 1 r 2 Π 1 Π 2 Η συμβολή των δύο κυμάτων θα αναγκάσει το σημείο Σ 0 να εκτελέσει ταλάντωση με πλάτος διπλάσιο από το πλάτος ταλάντωσης που προκαλεί κάθε κύμα χωριστά, δηλαδή στο Σ 0 τα κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά. Ενισχυτική συμβολή έχουμε και σε σημεία της επιφάνειας του νερού εκτός της μεσοκαθέτου του Π 1Π 2. Σ ένα σημείο Σ 1 όπου r 1 r 2 = λ, όταν φτάνει «όρος» από την πηγή Π 1, ταυτόχρονα φτάνει και «όρος» που προέρχεται από την πηγή Π 2, το οποίο δημιουργήθηκε μία περίοδο Τ πιο πριν. Το ίδιο συμβαίνει και σε όλα τα σημεία για τα οποία η διαφορά των αποστάσεων από τα σημεία Π 1 και Π 2 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ, δηλαδή ισχύσει, r 1 r 2 = κλ. Σ 1 r 1 r 2 Π 1 Π 2 Τα σημεία της επιφάνειας του νερού των οποίων οι αποστάσεις r 1 και r 2 από τις δύο πηγές διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ, δηλαδή r 1 r 2 = κλ Δr = κλ με κ = 0, 1,2,3, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Συνθήκη για ενισχυτική συμβολή. Τα σημεία που ικανοποιούν την πιο πάνω σχέση βρίσκονται πάνω σε καμπύλες γραμμές οι οποίες λέγονται υπερβολές, ( ΓΔ, ΕΖ, ΗΘ ) εκτός της περίπτωσης της μεσοκάθετης. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 11
Ένα σημείο Σ 2, του οποίου οι αποστάσεις r 1 και r 2 από τις πηγές διαφέρουν κατά λ/2 δηλαδή r 1 r 2 = λ/2 παραμένει συνεχώς ακίνητο. Πράγματι, δύο «όροι» ξεκινούν από τις πηγές ταυτόχρονα, οπότε, όταν στο Σ 2 φτάνει «όρος» από την πηγή Π 2, από την πηγή Π 1 φτάνει «κοιλάδα», με αποτέλεσμα τα δύο κύματα να αλληλοαναιρούνται στο σημείο αυτό. Μετά από χρόνο Τ/2 στο Σ 2 φτάνει κοιλάδα από την πηγή Π 2 και «όρος» από την πηγή Π 1. Το άθροισμα τους είναι πάλι μηδέν. Σ 2 r 1 r 2 Π 1 Π 2 Τα σημεία της επιφάνειας του νερού των οποίων οι αποστάσεις r 1 και r 2 από τις δύο πηγές διαφέρουν κατά περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, δηλαδή r 1 r 2 = ( 2κ + 1 ) λ/2, Δr =( 2κ + 1 ) λ/2 όπου κ = 0, 1, 2, 3, μένουν διαρκώς ακίνητα, με άλλα λόγια στα σημεία αυτά έχουμε απόσβεση. Συνθήκη για απόσβεση. Τα σημεία που ικανοποιούν την πιο πάνω σχέση βρίσκονται πάνω σε καμπύλες γραμμές οι οποίες λέγονται υπερβολές. Σημείωση Στην περίπτωση που οι δύο πηγές ταλαντώνονται σε αντίθετη φάση, τότε οι δύο συνθήκες αντιστρέφονται, δηλαδή η Δr = κλ, ισχύει για απόσβεση και η Δr =( 2κ + 1 ) λ/2, ισχύει για ενίσχυση. Όπως είδαμε και πιο πριν η διαφορά φάσης ανάμεσα σε δύο σημεία που απέχουν Δx μια χρονική στιγμή είναι, Δφ = 2π Δx λ. Αν αντικαταστήσουμε το Δx με το Δr, τότε η παραπάνω εξίσωση θα γραφεί ως: Δφ = 2π Δr λ. Δφ = 2π Δr λ Δφ = 2κπ. Στην ενισχυτική συμβολή τα κύματα συμβάλουν σε φάση. Δr = κλ Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 12
r 2 Δr = (2κ+1)λ/2 Δφ = (2κ+1)π. Στη συμβολή απόσβεσης τα κύματα συμβάλουν με αντίθετη φάση. Αρχή του Huygens «Κάθε σημείο μιας ισοφασικής επιφάνειας ενεργεί ως δευτερογενής σημειακή πηγή σφαιρικών κυμάτων. Η μορφή της νέας ισοφασικής επιφάνειας σε κάποια χρονική στιγμή στο μέλλον προκύπτει από την κοινή εξωτερική εφαπτομένη όλων των ισοφασικών επιφανειών που παράγονται από όλα τα σημεία της αρχικής ισοφασικής επιφάνειας». Θεωρούμε ότι ένα κύμα προσπίπτει σε ένα διάφραγμα που έχει μια σχισμή ή οπή με άνοιγμα του οποίου το μέγεθος είναι της τάξεως μεγέθους του μήκους κύματος. Σύμφωνα με την αρχή του Huygens κάθε σημείο της ισοφασικής επιφάνειας που συμπίπτει με το άνοιγμα είναι πηγή εκπομπής δευτερογενών κυμάτων. Αποτέλεσμα αυτού είναι στο πίσω μέρος του διαφράγματος να διαδίδεται τώρα κύμα. Το ίδιο αποτέλεσμα έχουμε τόσο κατά την πρόσπτωση επίπεδου κύματος όσο και κατά την πρόσπτωση σφαιρικού κύματος. Περίθλαση κύματος είναι το φαινόμενο κατά το οποίο, όταν προσπέσει κύμα σε διάφραγμα με σχισμή ή οπή με άνοιγμα συγκρίσιμο με το μήκος κύματος του, τότε το κύμα αλλάζει την ευθύγραμμη διάδοσή του και εξαπλώνεται πίσω από το διάφραγμα. Έτσι εξαιτίας του φαινομένου αυτού είναι δυνατό να παρατηρηθεί κύμα σε σημεία που δεν αναμενόταν η διάδοσή του. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 13
Όταν όμως το άνοιγμα της οπής ή της σχισμής είναι πολύ μεγαλύτερο του μήκους κύματος που προσπίπτει στο διάφραγμα, τότε δεν παρατηρείται το φαινόμενο της περίθλασης αλλά έχουμε περιορισμό του κύματος. Τα φαινόμενα της περίθλασης παρατηρούνται επίσης αν στην πορεία των κυμάτων παρεμβληθεί εμπόδιο. Τα φαινόμενα αυτά γίνονται πιο έντονα αν το μέγεθος του εμποδίου είναι της τάξεως του μεγέθους του μήκους κύματος. Πόσο έντονο είναι το φαινόμενο της περίθλασης εξαρτάται από το λόγο του μήκους κύματος προς το μέγεθος της σχισμής ( ή της οπής ή του εμποδίου ). Αύξηση του μήκους κύματος ( ή ελάττωση του μεγέθους της σχισμής ) κάνει το φαινόμενο πιο έντονο. Αντίθετα ελάττωση του μήκους κύματος ( ή αύξηση του μεγέθους της σχισμής) κάνει το φαινόμενο λιγότερο έντονο. ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ ΚΑΙ ΤΡΟΠΟΙ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ Μια ξεχωριστή περίπτωση συμβολής είναι η συμβολή δύο κυμάτων της ίδιας φύσης με το ίδιο πλάτος και την ίδια συχνότητα, που διαδίδονται σε αντίθετες διευθύνσεις. Το αποτέλεσμα είναι ταλάντωση με σημεία που μένουν μόνιμα ακίνητα και άλλα σημεία που εκτελούν ταλάντωση, όχι όλα με το ίδιο πλάτος. Η ταλάντωση των σημείων αυτών αποτελεί το στάσιμο κύμα. Στάσιμο κύμα από δύο πηγές που βρίσκονται σε φάση Στάσιμο κύμα από ανάκλαση σε κινούμενο άκρο Σ ένα σχοινί διαδίδονται ταυτόχρονα δύο γραμμικά αρμονικά κύματα, αντίθετης φοράς, από δύο πηγές. Το ένα κύμα έχει εξίσωση t x 1 0 2 ( ) T δεξιά. Το δεύτερο κύμα έχει εξίσωση t x 2 0 2 ( ) T και κινείται προς τα και κινείται προς τα αριστερά. Τα δύο αυτά κύματα συναντώνται ( συμβάλλουν ), με αποτέλεσμα η απομάκρυνση ψ κάθε σημείου του σχοινιού από τη θέση ισορροπίας του, σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, αν είναι το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων των δύο κυμάτων, δηλαδή ψ = ψ 1 + ψ 2. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 14
ψ = ψ 1 + ψ 2 ψ = ψ 0 ημ ( t T x λ ) + ψ 0ημ2π ( t T + x λ ) ψ = ψ 0 [ημ2π ( t T x λ ) + ημ2π (t T + x λ )] Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα ημα + ημβ = 2συν ( Α Β ) ημ (Α+Β) καταλήγουμε στην 2 2 σχέση: ψ = 2ψ 0 συν (2π x ) ημ (2π t ). λ T Η ανάκλαση έγινε σε κινούμενο άκρο και δεν έχουμε μεταβολή της φάσης του προσπίπτοντος κύματος. Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο της ανάκλασης δημιουργείται κοιλία του στάσιμου κύματος. Το ίδιο συμβαίνει και στο άκρο της πηγής. Χαρακτηριστικά στάσιμου κύματος 1. Στο στάσιμο κύμα δεν υπάρχει μετακίνηση των διαταραχών όπως στα τρέχοντα. Δηλαδή, δεν υπάρχει διάδοση του κύματος αλλά απλή ταλάντωση των σωματιδίων του μέσου. 2. Στο στάσιμο κύμα υπάρχουν σωματίδια που δεν ταλαντώνονται και ονομάζονται δεσμοί. 3. Ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς όλα τα σωματίδια του μέσου ταλαντώνονται σε φάση, με πλάτη που κυμαίνονται από μηδέν μέχρι ένα μέγιστο, που ονομάζεται κοιλία. 4. Στο στάσιμο κύμα κάθε σημείο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι το ίδιο για όλα τα σημεία, αλλά εξαρτάται από τη θέση του σημείου. 5. Στα στάσιμα κύματα δεν έχουμε μετάδοση ενέργειας γιατί δεν μπορεί να «περάσει» από τους δεσμούς, που είναι συνέχεια ακίνητοι, επομένως η ενέργεια ταλάντωσης κάθε σωματιδίου διατηρείται σταθερή, παρόλο που εναλλάσσεται μεταξύ της κινητικής ενέργειας ταλάντωσης και της ελαστικής δυναμικής ενέργειας. 6. Όλα τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, κάθε χρονική στιγμή κινούνται με την ίδια φορά. Τα σημεία αυτά φτάνουν στις θέσεις της μέγιστης απομάκρυνσής τους ταυτόχρονα, όπως ταυτόχρονα διέρχονται και από τη θέση ισορροπίας τους. Άρα όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια φάση. 7. Δύο σημεία που βρίσκονται δεξιά και αριστερά ενός δεσμού και απέχουν από αυτόν απόσταση μικρότερη από λ/2, κάθε χρονική στιγμή κινούνται με αντίθετες φορές. Τα σημεία αυτά φτάνουν στις θέσεις της μέγιστης απομάκρυνσής τους ταυτόχρονα, όπως ταυτόχρονα διέρχονται και από τη θέση ισορροπίας τους. Άρα όλα τα σημεία που βρίσκονται δεξιά ενός δεσμού και απέχουν από αυτό απόσταση μικρότερη από λ/2 έχουν κάθε χρονική στιγμή διαφορά φάσης π με όλα τα σημεία που βρίσκονται αριστερά του δεσμού και απέχουν από αυτόν απόσταση μικρότερη από λ/2. 8. Στα στάσιμα κύματα δεν έχουμε τοπική μετατόπιση φάσης. Δηλαδή δύο τυχαία σημεία ή θα βρίσκονται σε φάση ή θα έχουν διαφορά φάσης π. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 15
Θέση των δεσμών Εφόσον οι δεσμοί είναι σωματίδια που είναι μονίμως ακίνητα, το πλάτος τους είναι ίσο με το μηδέν: 0 0 x x (2 ) 0 2 (2 1) x (2 1) 2 4 Όπου Κ=1,2,3,.. Η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς δεσμούς δίνεται από τη σχέση: Δx δ = λ/2 Θέση των κοιλιών Στις κοιλίες του στάσιμου κύματος το πλάτος είναι μέγιστο ( ± 2ψ 0 ) και επομένως προκύπτει ότι: x x 0 2 0 (2 ) 1 2 x 2 Όπου Κ = 0,1,2, Η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κοιλίες δίνεται από τη σχέση: Δx κ = λ/2. Η απόσταση ανάμεσα σε ένα δεσμό και σε γειτονική του κοιλία δίνεται από τη σχέση: Δx δ-κ = λ/4. Στάσιμο κύμα από δύο πηγές που βρίσκονται σε αντίθεση φάσης - Στάσιμο κύμα από ανάκλαση σε σταθερό άκρο Στάσιμο κύμα μπορεί να προκύψει από τη συμβολή ενός κύματος και του κύματος που προκύπτει από την ανάκλασή του πάνω σε ακλόνητο εμπόδιο. Το ένα άκρο της χορδής στερεώνεται σε σταθερό σημείο και το άλλο της άκρο δένεται σε δονητή όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο δονητής συνδέεται με μια γεννήτρια συχνοτήτων η οποία θέτει τη χορδή σε ταλάντωση. Αυξάνοντας σταδιακά τη συχνότητα της ταλάντωσης παρατηρούμε τη δημιουργία στάσιμων κυμάτων. Στην ανάκλαση κυμάτων το κύμα που προκύπτει από την ανάκλαση σε σταθερό σημείο παρουσιάζει διαφορά φάσης (π) σε σχέση με το κύμα που προσπίπτει. t x Το κύμα που προσπίπτει έχει εξίσωση: 1 0 2 ( ) T Το κύμα που ανακλάται έχει εξίσωση: t x 2 0 [2 ( )] T Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 16
Χρησιμοποιώντας τις δύο πιο πάνω εξισώσεις και την ταυτότητα ημα + ημβ = 2συν ( Α Β 2 ) ημ (Α+Β) παίρνουμε την εξίσωση: ψ = 2 2ψ 0 ημ (2π x λ ) συν (2π t T ). Η ανάκλαση έγινε σε σταθερό άκρο και έχουμε μεταβολή της φάσης του προσπίπτοντος κύματος κατά π. Αυτό σημαίνει ότι στο σημείο της ανάκλασης δημιουργείται δεσμός του στάσιμου κύματος. Το ίδιο συμβαίνει και στο άκρο της πηγής. Θέση των δεσμών Εφόσον οι δεσμοί είναι σωματίδια που είναι μονίμως ακίνητα, το πλάτος τους είναι ίσο με το μηδέν: Ψ 0 = 0 ημ (2π x δ ) = 0 2π x δ = Κπ x λ λ δ = Κ λ 2 Θέση των κοιλιών Όπου Κ = 0,1,2,.. Στις κοιλίες του στάσιμου κύματος το πλάτος είναι μέγιστο ( ± 2ψ 0 ) και επομένως προκύπτει ότι: Ψ 0 = ±2ψ 0 ημ (2π x κ λ ) = ±1 2π x κ λ = (2K 1) π 2 x κ = (2Κ 1) λ 4 Ασκήσεις: 8. Στο σχήμα έχουμε το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος σε μια χορδή. α. Ποια σημεία αντιστοιχούν σε δεσμούς και ποια σε κοιλίες; Όπου Κ = 1,2,3, β. Πόσο διαφέρουν οι φάσεις των σημείων Α και P και πόσο των σημείων Α και Γ; γ. Πόσο διαφέρουν οι φάσεις των σημείων Α και Ε; δ. Αν λ το μήκος κύματος των κυμάτων από τα οποία δημιουργήθηκε το στάσιμο κύμα, ποια είναι η οριζόντια απόσταση των σημείων Α και Β; 9. Στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση, Ψ = 5ημ(0,2πx)συν(0,5πt), ζητούνται: α. Το μήκος κύματος, η περίοδος, το πλάτος και η ταχύτητα διάδοσης των τρεχόντων κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα. (λ=10cm, T=4sec, ψ 0=2,5cm, υ=2,5cm/s) β. Οι εξισώσεις των δύο τρεχόντων κυμάτων. γ. Η εξίσωση της ταχύτητας των διαφόρων σωματιδίων του μέσου. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 17
δ. Το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = 2/3 sec. ε. Η γραφική παράσταση ταχύτητας θέσης για τη χρονική στιγμή t = 2/3 sec. στ. Το πλάτος και η γραφική παράσταση απομάκρυνσης χρόνου για το σωματίδιο που βρίσκεται στη θέση x = 1,25 cm. Πλάτος 3,53 cm Δύο όμοια κύματα που διαδίδονται στην ίδια διεύθυνση με αντίθετες φορές καθώς και το στάσιμο κύμα που δημιουργείται. Η διαφορά φάσης των δύο κυμάτων για τυχαίο σημείο παραμένει σταθερή σε όλα τα στιγμιότυπα και είναι ανεξάρτητη του χρόνου. Υπάρχουν σημεία για τα οποία τα κύματα είναι συνέχεια σε αντίθεση φάσης, οπότε εκεί έχουμε δεσμούς ( Κ, Μ, Π ), ενώ υπάρχουν σημεία όπου τα κύματα βρίσκονται σε συμφωνία φάσης, οπότε έχουμε κοιλίες ( Λ, Ν, Φ). Στο σχήμα (ΙΙ) φαίνεται καθαρά το φαινόμενο της επαλληλίας δύο κυμάτων. Μεταξύ των σημείων Κ και Μ έχουμε ταυτόχρονα τη συνάντηση δύο όμοιων παλμών που κινούνται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Το αποτέλεσμα θα είναι για εκείνη τη στιγμή ένας παλμός διπλάσιου πλάτους. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 18
Κανονικοί τρόποι ταλάντωσης χορδής Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο παράλληλους τοίχους. Εάν παράγουμε ένα βραχύ ηχητικό παλμό, όπως με το χτύπημα των χεριών σε κάποιο σημείο μεταξύ των τοίχων, το αποτέλεσμα είναι πολλές ηχώ που απέχουν μεταξύ τους κατά κανονικά χρονικά διαστήματα και προκαλούνται από την επαναλαμβανόμενη μπρος πίσω ανάκλαση μεταξύ των τοίχων. Στην ακουστική δωματίων αυτό το φαινόμενο ονομάζεται «μετήχηση» πρόκειται για το βραχνά των μηχανικών ακουστικής. Η ανάλογη κατάσταση με εγκάρσια κύματα σε χορδή είναι η χορδή με κάποιο καθορισμένο μήκος L, με ακλόνητα και τα δύο άκρα. Εάν παράγουμε ένα ημιτονοειδές κύμα σε χορδή κιθάρας, το κύμα ανακλάται και ξανά ανακλάται στα άκρα. Τα κύματα συνδυάζονται για να σχηματίσουν ένα στάσιμο κύμα. Και τα δύο άκρα είναι κόμβοι. Οι γειτονικοί κόμβοι βρίσκονται μεταξύ τους σε απόσταση μισού μήκους κύματος (λ/2). Το μήκος της χορδής επομένως, πρέπει να είναι (λ/2), ή 2(λ/2), ή 3(λ/2), ή γενικά κάποιος ακέραιος αριθμός μισών μήκων κύματος: L = K λ 2 ( Κ = 1,2,3,. ) Δηλαδή, μπορεί να υπάρχει ένα στάσιμο κύμα σε χορδή μήκους L, η οποία έχει δύο ακλόνητα άκρα, μόνον όταν το μήκος κύματος ικανοποιεί την πιο πάνω εξίσωση. Λύνοντας την εξίσωση αυτή ως προς λ και συμβολίζοντας τις δυνατές τιμές του λ με λ Κ, βρίσκουμε: λ κ = 2L K ( K = 1,2,3,.. ) Όταν το μήκος κύματος δεν είναι ίσο προς μία από αυτές τις τιμές, δεν είναι δυνατή η ύπαρξη στάσιμου κύματος. Σε αυτή τη σειρά των επιτρεπτών μηκών κύματος αντιστοιχεί μια σειρά επιτρεπτών συχνοτήτων f Κ, κάθε μία σχετιζόμενη προς το αντίστοιχο μήκος κύματος με την f Κ =υ/λ Κ. Η μικρότερη συχνότητα f 1 αντιστοιχεί στο μεγαλύτερο μήκος κύματος ( η περίπτωση Κ = 1), λ = 2L: f 1 = υ 2L ( χορδή ακλόνητη και στα δύο άκρα ) Αυτή ονομάζεται θεμελιώδης συχνότητα. Οι άλλες συχνότητες είναι f 2 = 2υ/2L, f 3 = 3υ/3L, κ.ο.κ. Αυτές είναι όλες ακέραια πολλαπλάσια της f 1, δηλαδή, 2f 1, 3f 1, 4f 1, κ.ο.κ. και μπορούμε να εκφράσουμε όλες τις συχνότητες ως: f K = Κ υ 2L = Kf 1 ( Κ = 1,2,3,. ). Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 19
Αυτές οι συχνότητες, όλες ακέραια πολλαπλάσια της f 1, ονομάζονται αρμονικές, και η σειρά ονομάζεται αρμονική σειρά. Οι μουσικοί ονομάζουν μερικές φορές τις f 2, f 3, κ.ο.κ. ανώτερες αρμονικές η f 2 είναι δεύτερη αρμονική ή η πρώτη ανώτερη αρμονική, η f 3 είναι η τρίτη αρμονική ή η δεύτερη ανώτερη αρμονική, κ.ο.κ. Θεωρούμε μια τελείως εύκαμπτη χορδή, σχήμα (α). Στη θέση ισορροπίας η τάση είναι F, και η γραμμική πυκνότητα μάζας ( μάζα ανά μονάδα μήκους, m/l) είναι μ. Στο σχήμα (β) η χορδή ηρεμεί. Δεν λαμβάνουμε υπόψη το βάρος της χορδής στη θέση ισορροπίας σχηματίζει μια τέλεια γραμμή. Αρχίζοντας τη στιγμή t = 0, εφαρμόζουμε μια σταθερή εγκάρσια δύναμη F y στο αριστερό άκρο της χορδής. Θα αναμένουμε ότι το άκρο θα κινιόταν με σταθερή επιτάχυνση αυτό θα συνέβαινε εάν η δύναμη εφαρμοζόταν σε σημειακή μάζα. Αλλά εδώ το αποτέλεσμα της δύναμης F y είναι να θέσει, διαδοχικά, όλο και περισσότερη μάζα σε κίνηση. Το κύμα ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα υ, έτσι το σημείο διαχωρισμού μεταξύ του κινούμενου και μη κινούμενου τμήματος της χορδής κινείται με σταθερή ταχύτητα υ. Αποδεικνύεται ότι η ταχύτητα αυτή δίνεται από τη σχέση: F, (εγκάρσιο κύμα). f 2L Συνδυάζοντας τις εξισώσεις: f K 2L F F Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 20
Ασκήσεις: 10. Η χορδή του σχήματος που ακολουθεί πάλλεται σύμφωνα με την εξίσωση: ψ = 0,01ημ(5πx)συν(400πt) (μονάδες S.I. ) Αν η μάζα της χορδής είναι m = 0,01 kg, ζητούνται: α. Το μήκος της χορδής. ( l = 1m) β. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στη χορδή. ( υ = 80 m/s ) γ. Η θεμελιώδης συχνότητα της χορδής. ( f 0 = 40Hz ) δ. Η δύναμη με την οποία έχει τεντωθεί η χορδή. ( F = 64 N) ε. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος της δεύτερης αρμονικής ταλάντωσης της χορδής. ψ = 0,01ημ(2πx)συν(160πt) 11. Χορδή μήκους 20 cm αναγκάζεται σε ταλάντωση που περιγράφεται από την εξίσωση ψ = 0,6ημ(πx/4)συν(πt/0,2) (x,ψ σε cm και t σε sec). α. Nα προσδιορίσετε το πλάτος, τη συχνότητα και το μήκος κύματος των δύο τρεχόντων κυμάτων, που με τη συμβολή τους προκαλούν ταλάντωση της χορδής. (ψ 0 = 0,3 cm, λ = 8cm, f = 2,5Hz). β. Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο τρεχόντων κυμάτων. γ. Να προσδιορίσετε τις θέσεις όλων των δεσμών και των κοιλιών στη χορδή. ( Θέσεις δεσμών: 0, 4cm, 8cm, 12 cm, 16cm, 20cm. Θέσεις κοιλιών: 2cm, 6 cm, 10cm, 14cm, 18cm) δ. Να βρείτε πόσο απέχουν μεταξύ τους τα δύο σωματίδια που ταλαντώνονται με πλάτος 0,3 cm αν βρίσκονται στην ίδια άτρακτο. ( Δx = 2,67 cm ) ε. Αν τα σωματίδια Α και Β βρίσκονται στις θέσεις x Α = 2 cm και x B = 6 cm αντίστοιχα, να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τις γραφικές παραστάσεις της απομάκρυνσής τους σε συνάρτηση με το χρόνο ( ψ Α = f (t ) και ψ Β = f (t )). στ. Να προσδιορίσετε τη θεμελιώδη συχνότητα της χορδής. ( f θ = 0,5Hz ) Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 21
Συμβολή από δύο πηγές - Πείραμα Young Ένα από τα πρώτα ποσοτικά πειράματα συμβολής φωτός έγινε από τον Άγγλο επιστήμονα Thomas Young το 1800. Το πείραμα του αναφερόταν στη συμβολή από δύο πηγές. Η διάταξη του Young φαίνεται στο σχήμα (α). Μονοχρωματικό φως που προέρχεται από λεπτή σχισμή S 0 (πλάτους 1μm περίπου) προσπίπτει σε πέτασμα με δύο άλλες λεπτές σχισμές S 1 και S 2, πλάτους 1μm περίπου ( για την κάθε σχισμή), ενώ η απόσταση μεταξύ τους είναι λίγα μικρόμετρα. Σύμφωνα με την αρχή του Huygens, κυλινδρικά μέτωπα κύματος εκκινούν από τη σχισμή S 0 και φτάνουν στις σχισμές S 1 και S 2 με την ίδια φάση επειδή διανύουν ίσες αποστάσεις από το S 0. Τα κύματα που αναδύονται από τις σχισμές S 1 και S 2 είναι, λοιπόν πάντοτε σε φάση, συνεπώς οι S 1 και S 2,(β), είναι σύμφωνες πηγές. Όμως τα κύματα που προέρχονται από αυτές τις πηγές δε φθάνουν υποχρεωτικά σε φάση στο σημείο P λόγω της διαφοράς δρόμου ( r 2 r 1 ). Για να απλοποιήσουμε την ανάλυση που ακολουθεί, υποθέτουμε ότι η απόσταση D από τις σχισμές προς το πέτασμα είναι τόσο μεγάλη, συγκρινόμενη με την απόσταση μεταξύ των σχισμών α, ώστε οι γραμμές από τις S 1 και S 2 προς το P να είναι σχεδόν παράλληλες, όπως φαίνεται στο σχήμα (γ). Η διαφορά δρόμου δίνεται τότε από την r 2 r 1 = αημθ. Βρήκαμε ότι παρουσιάζεται ενισχυτική συμβολή στο σημείο P ( σε μια έντονα φωτισμένη περιοχή του πετάσματος ) όταν η διαφορά δρόμου α ημθ είναι ακέραιος αριθμός μήκων κύματος, Κλ, όπου Κ = 0, ±1,±2,±3, Συνεπώς παρουσιάζεται ενισχυτική συμβολή σε γωνίες θ για τις οποίες ισχύει α ημθ = Κλ ( Κ = 0, ±1,±2,±3, ) Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 22
Ομοίως συμβολή απόσβεσης συμβαίνει, όπου σχηματίζονται σκοτεινές περιοχές στο πέτασμα, στα σημεία για τα οποία η διαφορά δρόμου είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος (2Κ-1)λ/2: α ημθ = ( 2Κ -1 )λ/2 ( Κ = 0, ±1,±2,±3, ) Συνεπώς η εικόνα στο σχήμα (β) είναι μια διαδοχή φωτεινών και σκοτεινών κροσσών (λωρίδων). Μια φωτογραφία μιας τέτοιας εικόνας φαίνεται στο σχήμα (δ). Μπορούμε να παραγάγουμε μια έκφραση για τις θέσεις των κέντρων των φωτεινών κροσσών του πετάσματος. Στο σχήμα (β), το y μετριέται από το κέντρο της εικόνας και αντιστοιχεί στην απόσταση από το κέντρο του σχήματος (δ). Έστω ότι y ΦΚ είναι η απόσταση από το κέντρο της εικόνας ( θ=0 ) έως το κέντρο της Κ- οστού φωτεινού κροσσού. Συμβολίζουμε την αντίστοιχη τιμή του θ ως θ φκ τότε: y φk = D εφθ φκ. Σε πειράματα αυτού του τύπου τα y φk είναι συχνά πολύ μικρότερα του D. Αυτό σημαίνει ότι η θ φκ είναι πολύ μικρή, η εφθ φκ είναι σχεδόν ίση προς το ημθ φκ και y φk = D ημθ φκ. α ημθ = Κλ Συνδυάζοντας τις εξισώσεις, y φk = K Dλ α y φk = D ημθ φκ. Μπορούμε να μετρήσουμε το D και το α καθώς επίσης και τις θέσεις y φk των φωτεινών κροσσών, συνεπώς αυτό το πείραμα μα παρέχει μια άμεση μέτρησή του μήκους κύματος λ. Το πείραμα του Young ήταν πραγματικά η πρώτη άμεση μέτρηση μηκών κύματος φωτός. Σημειώστε ότι η απόσταση μεταξύ διαδοχικών φωτεινών κροσσών στην εικόνα είναι αντιστρόφως ανάλογη προς την απόσταση μεταξύ των σχισμών. Όσο πιο κοντά είναι οι σχισμές, τόσο εξαπλώνεται η εικόνα. Όταν οι σχισμές είναι πολύ μακριά, οι κροσσοί στην εικόνα είναι πλησιέστερα ο ένας στον άλλο. Ερωτήσεις: 1. Να υπολογίσετε τις αποστάσεις των σκοτεινών κροσσών από τον κεντρικό φωτεινό. 2. Πόσο απέχει ένας σκοτεινός κροσσός από το γειτονικό του φωτεινό; Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 23
Διαφορές τρέχοντος και στάσιμου κύματος Τρέχον κύμα Όλα τα μόρια του μέσου ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος. Έχουμε μεταφορά ενέργειας. Έχει ορισμένη διεύθυνση διάδοσης. Όλα τα σημεία του μέσου κάνουν ταλαντώσεις. Η φάση μετατοπίζεται με την ταχύτητα που διαδίδεται το κύμα. Τα υλικά σημεία του μέσου περνούν από τη θέση ισορροπίας τους σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Δύο σημεία που απέχουν απόσταση μικρότερη από λ έχουν διαφορά φάσης που κυμαίνεται από 0 έως 2π rad. Στάσιμο κύμα Το πλάτος ταλάντωσης των μορίων κυμαίνεται από μηδέν (δεσμός ) μέχρι 2ψ 0 (κοιλία) και εξαρτάται από τη θέση τους. Δεν έχουμε μεταφορά ενέργειας. Δεν έχει διεύθυνση διάδοσης. Υπάρχουν σημεία του μέσου του μέσου που παραμένουν ακίνητα. Η φάση δε μετατοπίζεται. Τα υλικά σημεία του μέσου περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους. Δύο σημεία που απέχουν απόσταση μικρότερη από λ/2 έχουν την ίδια φάση (μεταξύ δεσμών) ή διαφορά φάσης π rad ( εκατέρωθεν δεσμού). Μοντέλο ενός περίπλοκου βαρυτικού κύματος. Τα συμβολόμετρα LASER έχουν την ικανότητα να ανιχνεύουν τα βαρυτικά κύματα τα οποία παράγονται από τα πιο βίαια αστροφυσικά γεγονότα, όπως η συγχώνευση δύο μαύρων τρύπων. Μιχάλης Περικλέους Σελίδα 24