Ροή πραγµατικών ρευστών: Επιβεβαίωση του νόµου του Poiseuille

237 Ιωάννης Α. Σιανούδης Ροή πραγµατικών ρευστών: Επιβεβαίωση του νόµου του Poiseuille Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η επιβεβαίωση ενός ιδιαίτερα χρήσιµου νόµου, του νόµου Poiseuille, ο οποίος περιγράφει την παροχή στα πραγµατικά ρευστά που ρέουν σε σωλήνα κυλινδρικής διατοµής, µέσα από ένα πείραµα, στο οποίο µεταβάλλονται διάφοροι παράµετροι που χαρακτηρίζουν και επηρεάζουν την κίνηση την ρευστού και ελέγχεται η συνεισφορά τους, µετρώντας απλά φυσικά µεγέθη µε τη βοήθεια του υπολογιστή και της τεχνολογίας των αισθητήρων. Μέθοδος Αντίθετα απ ότι δέχεται κανείς για τα ιδανικά ρευστά, στα πραγµατικά ρευστά κυριαρχούν δυνάµεις συνοχής ανάµεσα στα επιµέρους στρώµατα του ρευστού και δυνάµεις συνάφειας ανάµεσα στο ρευστό και στα τοιχώµατα του δοχείο, µε αποτέλεσµα αυτές να καθορίζουν σε µεγάλο βαθµό την ροή του ρευστού. Είναι το δοχείο µέσα στο οποίο κινείται το ρευστό ένας σωλήνας κυκλικής διατοµής, τότε η ταχύτητα του ρευστού έχει µέγιστη τιµή στον άξονα του σωλήνα και µηδενική τιµή στα στρώµατα του ρευστού που εφάπτονται µε τα τοιχώµατά του. Για σχετικά µικρές ταχύτητες µπορεί κανείς να θεωρήσει, ότι νοητοί κυλινδρικοί όγκοι του ρευστού, αυξανόµενης ακτίνας από τον άξονα προς την περιφέρεια, γλιστρούν ο ένας µέσα στον άλλον χωρίς να δηµιουργούνται δίνες, ενώ ανάµεσα στις επιφάνειές τους αναπτύσσονται δυνάµεις τριβής. Η ροή αυτή ονοµάζεται στρωτή ή νηµατοειδής, στον βαθµό που οι ρευµατοειδείς γραµµές που την περιγράφουν είναι µεταξύ τους παράλληλες. Σ αυτήν την περίπτωση, στην στρωτή ροή η δύναµη της τριβής F f σύµφωνα µε τον νόµο του Νεύτωνα, είναι ανάλογη της βαθµίδας

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα Οπτικής 238 ταχύτητας du/dr, του εµβαδού S των επιφανειών που εφάπτονται και µιας σταθεράς η, του συντελεστή εσωτερικής τριβής ή ιξώδες του ρευστού, F R u u = η A = η 2 π r l (1) r r O συντελεστής εσωτερικής τριβής ή το ιξώδες του ρευστού είναι µια σταθερά που χαρακτηρίζει το ίδιο το ρευστό ως προς την ευκολία του να ρέει σε δεδοµένο πεδίο ροής, εξαρτάται από το υλικό και αποτελεί επίσης συνάρτηση της θερµοκρασίας (η = f(t)). Μονάδα µέτρησης του ιξώδους είναι το Poise : 1 P = 10 2 cp = 1 g cm -1 s -1 = 10-1 kg m -1 s -1 Στο διεθνές σύστηµα µονάδων χρησιµοποιείται το Pascal sec [P s]: 1 P s = 10 P Η µέθοδος που ακολουθείται στην µελέτη του νόµου του Poiseuille είναι η ακόλουθη: Θεωρούµε έναν σωλήνα κυλινδρικής διατοµής ακτίνας R γεµάτο µε ρευστό. Κάθε νοητός κύλινδρος του ρευστού µε ακτίνα r κινείται προς την κατεύθυνση της πτώσης της πίεσης DP που δέχονται οι δύο επιφάνειές του S Σχήµα 1.: Νοητός κύλινδρος ρευστού µέσα στον σωλήνα και επιφάνεια της διατοµής του Κινητήρια δύναµη F για την ροή του ρευστού κατά µήκος του σωλήνα αποτελεί η πίεση του ρευστού και µάλιστα η διαφορά πίεσης P στην είσοδο ως προς την έξοδο του (2) P = P 2 P 1

239 Ιωάννης Α. Σιανούδης F 2 = P A = π P r (3) Η τριβή που εµφανίζεται κατά την κίνηση, κατά την ροή του ρευστού, που είναι η δύναµη αντίστασης στην κίνηση αυτή, απορρέει από την αλληλεπίδραση των στρωµάτων του ρευστού και είναι, σύµφωνα µε τον νόµο του Νεύτωνα, ανάλογη της βαθµίδας ταχύτητας u/ r, της επιφάνειας Α και µιας σταθεράς η, του συντελεστή εσωτερικής τριβής ή ιξώδες του ρευστού, F R u u = η A = η 2π r l r r Ο συντελεστή εσωτερικής τριβής χαρακτηρίζει το ίδιο το ρευστό ως υλικό. Η τιµή του εξαρτάται από την θερµοκρασία (η = f(t)). (4) Σε συνθήκες σταθερής κατάστασης οι δύο δυνάµεις, η κινητήρια δύναµη εξ αιτίας της διαφοράς πίεσης F P και η δύναµη της τριβής F f είναι ίσες και αντίθετες. Ως εκ τούτου για τις δύο παραπάνω σχέσεις ισχύει: du 3 η 2 π r l = r π P (4b) dr Λύνοντας την σχέση αυτή ως προς u και ολοκληρώνοντας τα δύο µέρη της προκύπτει η σχέση (5) που µας δίνει το προφίλ της ταχύτητας στο πεδίο ροής, µέσα σε κυκλικής διατοµής σωλήνα: R P1 P2 u( R) = 2 η l r P1 P2 = 2 η l r dr ( R 2 r 2 ) (5) Σχήµα 2.: Το προφίλ της ταχύτητας του ρευστού µέσα στον σωλήνα Όπως φαίνεται και στο σχήµα 2 και απορρέει και από την σχέση (5) η κατανοµή της ταχύτητας έχει σχήµα παραβολής εκ περιστροφής.

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα Οπτικής 240 Σηµαντικό µέγεθος για την ροή ενός ρευστού σε σωλήνα είναι το µέγεθος της παροχής. Ως παροχή Π ορίζεται το γινόµενο της ταχύτητας ροής του ρευστού επί το εµβαδόν της επιφάνειας, τουτέστιν της διατοµής του σωλήνα από την οποία διέρχεται το ρευστό. dv Π = = u R) ds dt ( (6) Ολοκληρώνοντας τη παραπάνω σχέση και λαµβάνοντας υπόψη, ότι, όπως φαίνεται και στο σχήµα, το εµβαδόν στοιχειώδους επιφάνειας στη διατοµή είναι ds = dφ r dr προκύπτει: 2π Π = dφ r dr u( R) 0 Ρ (7) 0 Μετά από αντικατάσταση της (5) στην σχέση (7) και λαµβάνοντας υπόψη, ότι η ταχύτητα στα τοιχώµατα του σωλήνα είναι µηδενική, u(r)=0, έχουµε για την παροχή: π P Π = ( η l R 2 3 2 R r dr 0 Ρ r dr 0 η οποία τελικά διαµορφώνεται στην σχέση (9) : ) (8) π P Π = R 8 η l Η σχέση αυτή είναι γνωστή ως νόµος των Hagen και Poiseuille, ο οποίος εφαρµόζεται για τον υπολογισµό της παροχής ρευστού σε κυκλικής διατοµής σωλήνα, µε την προϋπόθεση ότι το ρευστό ρέει ακολουθώντας στρωτή, νηµατοειδή ροή. Πειραµατική διάταξη Η πειραµατική διάταξη που χρησιµοποιείται φαίνεται σχηµατικά στο σχήµα 1. Αποτελείται από: α) ένα κυλινδρικό δοχείο, β) µία σειρά από διαφορετικής διαµέτρου και µήκους υάλινους σωλήνες, γ) µια µετροταινία και ένα θερµόµετρο, δ) έναν αισθητήρα κίνησης (θέσης) µε τον διασυνδέτη του συνδεδεµένο µε τον υπολογιστή και ε) διάφορα στηρίγµατα και µια σειρά από ρευστά δεδοµένης πυκνότητας και ιξώδους. Η µέτρηση της µεταβολής της απόστασης h τ γίνεται µέσω της µέτρησης της απόστασης κεφαλής αισθητήρα θέσης επιφάνειας ρευστού h m µε γνωστή την αρχική τιµή h 0. 4 (9)

241 Ιωάννης Α. Σιανούδης h t = h 0 h m + h m0 (10) όπου h m0 η τιµή h m κατά την έναρξη της µέτρησης (t=0). Ο αισθητήρας κίνησης (motion sensor) λειτουργεί ως εξής: Αποστέλλει στον ρυθµό που έχει κανείς ορίσει στο πρόγραµµα DataStudio (setup sensor) παλµούς υπερήχων, µε µέγιστο ρυθµό 50/s, οι οποίοι ανακλώνται στην ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού. Ακολούθως ανιχνεύονται από την ίδια την εκπέµπουσα κεφαλή του αισθητήρα (στο µεσοδιάστηµα ανάµεσα σε δύο εκποµπές παλµών ο πιεζο-κρύσταλλος λειτουργεί ως ανιχνευτής υπερήχων) και προσδιορίζεται ο χρόνος t, από τον οποίο προκύπτει, µε γνωστή την ταχύτητα διάδοσης των υπερήχων στον αέρα (c=340m/s), υπολογιστικά από το πρόγραµµα η τιµή της απόστασης µε ακρίβεια µικρότερης του χιλιοστού. Σχήµα 1: Η πειραµατική διάταξη σχηµατικά. Πειραµατική διαδικασία Την επιβεβαίωση του νόµου Poiseuille θα επιχειρήσουµε µεταβάλλοντας, σε τρεις διαδοχικές πειραµατικές φάσεις, τρεις παράγοντες: α) την διαφορά πίεσης P, β) την ακτίνα R του σωλήνα διέλευσης του υγρού και γ) το µήκος του σωλήνα ίδιας διατοµής. Για το πρώτο µέρος θα αξιοποιήσουµε το µεταβαλλόµενο ύψος του ρευστού στο δοχείο-δεξαµενή κατά την εκροή του, ώστε µετρώντας την

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα Οπτικής 242 παροχή µέσα από σωλήνα δεδοµένου µήκους και ακτίνας να βρούµε από την γραφική παράσταση Π=f(P) την σχέση πίεσης παροχής. Στο δεύτερο σκέλος θα χρησιµοποιήσουµε τέσσερις ίδιου µήκους σωλήνες, διαφορετικής διαµέτρου, την οποία θα έχουµε πιο πριν µετρήσει και µέσα από την κατασκευή της γραφικής παράστασης Π=f(R) θα βρούµε την σχέση που συνδέει την παροχή µε την ακτίνα του σωλήνα. Στο τρίτο µέρος του πειράµατος θα µεταβάλλουµε το µήκος του σωλήνα (πέντε διαφορετικού µήκους σωλήνες) σε αναζήτηση της σχέσης παροχής µήκους, επίσης µέσω της γραφικής παράστασης Π=f(L). Στοιχεία της µέτρησης Η µέτρηση που γίνεται στο εν λόγω πείραµα αφορά αποκλειστικά το ύψος της στάθµης του υγρού στο δοχείο-δεξαµενή, κάθε χρονική στιγµή και τον χρόνο. Από αυτά τα µεγέθη προκύπτουν υπολογιστικά η µεταβολή του ύψους που οδηγεί για δεδοµένη ακτίνα του δοχείου στην παροχή και για δεδοµένη πυκνότητα του ρευστού στην πίεση, ήτοι στην διαφορά της πίεσης στα δύο άκρα του σωλήνα εκροής που αναγκάζει το ρευστό να κινηθεί µέσα από αυτόν. Έχει δε µετρηθεί εκ των προτέρων η γεωµετρική διάσταση του σωλήνα, δηλαδή το µήκος και η ακτίνα του, ενώ είναι γνωστή η πυκνότητα και το ιξώδες του ρευστού από άµεσες µετρήσεις ή από πίνακες τιµών. Η παροχή Π ορίζεται ως dv dh Π = = A (11) dt dt όπου V o διερχόµενος όγκος του ρευστού, Α η εγκάρσια διατοµή του δοχείου (Α=πR 2 ) και h το (στιγµιαίο) ύψος του ρευστού στο δοχείο (ελεύθερη επιφάνεια έως µέσο του σωλήνα εκροής, βλ. σχήµα 1). Το αρνητικό πρόσηµο είναι δηλωτικό, ότι το ύψος µειώνεται µε τον χρόνο. Η πίεση στο σηµείο 1, στο αριστερό άκρο του σωλήνα είναι ίση µε την υδροστατική πίεση κατά Pascal, ήτοι p1 = p atm + ρ g h (12) eνώ στο δεξιό µέρος ίση µε την ατµοσφαιρική πίεση (P 2 =P atm ). Λαµβάνοντας υπόψη τον νόµο Poiseuille (9) και τις παραπάνω σχέσεις (10 και 11) προκύπτει: dh dt π ( P1 P2 ) R = 8 η L A 4 π ρ g h R = 8 η L A 4 (13) Μετά από διαχωρισµό των µεταβλητών h και t και ολοκλήρωση, έχουµε:

243 Ιωάννης Α. Σιανούδης H 0 0 dh h t π ρ g R = 8 η L A 0 4 dt ln h h 0 π ρ g R = 8 η L A 4 t (14) Από την οποία προκύπτει η σχέση a t h = h 0 e (15) στην οποία είναι : 4 π ρ g R a = (16) 8 η L A Τα πειραµατικά σηµεία που καταγράφονται στις µετρήσεις µας οδηγούν σε καµπύλη της µορφής (15), από την οποία µε κατάλληλη προσαρµογή εκθετικής λογαριθµικής φθίνουσας συνάρτησης (ελάχιστα τετράγωνα) προκύπτει τιµή για τον συντελεστή α. Εναλλακτικά µπορεί κανείς να χρησιµοποιήσει της σχέση (14) βάζοντας τα πειραµατικά σηµεία σε διάγραµµα ln(h/h 0 )=f(t), όπου τότε ο συντελεστής α δεν είναι παρά η κλήση της ευθείας που θα προκύψει. Απ αυτόν πλέον µπορεί κανείς να υπολογίσει το άγνωστο µέγεθος που ζητείται κάθε φορά, διατηρώντας τα υπόλοιπα σταθερά. Εργασίες α) ιερεύνηση της σχέσης πίεσης-παροχής του ρευστού Λήψη δεδοµένων Αναγνωρίζουµε την πειραµατική διάταξη (σχήµα 1). Έχοντας τοποθετήσει τον κατάλληλο σωλήνα (πχ R 1mm) γεµίζουµε (στρόφιγγα κλειστή) το δοχείο µε το ρευστό, µέχρι ένα δεδοµένο ύψος (πχ 20 cm από το µέσον του οριζόντιου σωλήνα). Ακολούθως, τοποθετούµε τον αισθητήρα θέσης µερικά cm πάνω απ το στόµιο του δοχείου, τον συνδέουµε µε τον διασυνδέτη και τον υπολογιστή, ενώ έχουµε εκκινήσει και κρατήσει σε θέση αναµονής το πρόγραµµα λήψης δεδοµένων (DataStudio). Επιλέγουµε την ταχύτητα δειγµατοληψίας (setup->πχ 10 Ηz) και ξεκινάµε (start) την λήψη δεδοµένων µε ταυτόχρονο άνοιγµα της στρόφιγγας. Το ρευστό που εκρέει συλλέγεται σε δοχείο για ενδεχόµενη επαναχρησιµοποίηση. Η µέτρηση διακόπτεται (stop), όταν το ρευστό έχει σχεδόν αδειάσει από το δοχείο (ή η µεταβολή της ροής του είναι ιδιαίτερα αργή). Αποθηκεύουµε (save) τα δεδοµένα της µέτρησης σε αρχείο, δίνοντας σ αυτό κατάλληλο όνοµα (πχ poise_date_1.ds). Επεξεργασία δεδοµένων Ανοίγουµε µε το πρόγραµµα DataStudio το αρχείο µε τις µετρήσεις µας που µόλις αποθηκεύσαµε και καλούµε την µέτρηση, την οποία θέλουµε να επεξεργαστούµε. Η καµπύλη h m =f(t) που φαίνεται στην οθόνη πρέπει να

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα Οπτικής 244 µετατροπή στη χρήσιµη καµπύλη h t =f(t), µία διαδικασία που περιγράφεται στο παράρτηµα. Στην καµπύλη αυτή γίνεται προσαρµογή λογαριθµικής συνάρτησης κα παράγεται µια νέα καµπύλη µε τα δεδοµένα της (πίνακα τιµών). β) ιερεύνηση της σχέσης ακτίνας-παροχής του ρευστού Λήψη δεδοµένων Ακολουθείται η ίδια διαδικασία, όπως περιγράφεται στο α) µέρος, µε την συµπλήρωση, ότι µετά από κάθε ολοκλήρωση µιας µέτρησης, αντικαθίσταται ο σωλήνας παροχής (εκροής) από άλλον µεγαλύτερης διαµέτρου. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται για πέντε διαφορετικής διαµέτρου σωλήνες. Επεξεργασία δεδοµένων Από κάθε καµπύλη ύψους-χρόνου, όπως προκύπτει στο πρόγραµµα DataStudio, γίνεται η επεξεργασία που χρειάζεται, ώστε να προκύψει νέα καµπύλη παροχής-χρόνου και ακολούθως παροχής-πίεσης, όπως περιγράφεται στο παράρτηµα. Με τα δεδοµένα που θα εξαχθούν, για τυχαίες τιµές της πίεσης, κατασκευάζεται η γραφική παράσταση Φ=f(R), στην οποία µετά από προσαρµογή καµπύλης στα πειραµατικά δεδοµένα προκύπτει ως αποτέλεσµα η σχετική καµπύλη, η οποία και σχολιάζεται, ως προς το εάν συµφωνεί µε τα αναµενόµενα από την θεωρία. γ) ιερεύνηση της σχέσης µήκους-παροχής του ρευστού Λήψη δεδοµένων Ακολουθείται η ίδια διαδικασία, όπως περιγράφεται στο α) µέρος, µε την συµπλήρωση, ότι µετά από κάθε ολοκλήρωση µιας µέτρησης, αντικαθίσταται ο σωλήνας παροχής (εκροής) από άλλον διαφορετικού (µεγαλύτερου) µήκους. Απαιτούνται τουλάχιστον πέντε σωλήνες γι αυτόν τον σκοπό. Επεξεργασία δεδοµένων Από κάθε καµπύλη ύψους-χρόνου, όπως προκύπτει στο πρόγραµµα DataStudio, γίνεται η επεξεργασία που χρειάζεται, ώστε να προκύψει νέα καµπύλη παροχής-χρόνου και ακολούθως παροχής-πίεσης, όπως περιγράφεται στο παράρτηµα. Με τα δεδοµένα που θα εξαχθούν, για τυχαίες τιµές της πίεσης, λαµβάνονται τιµές παροχής, µε τις οποίες για τις δεδοµένες τιµές µήκους γίνεται ένας πίνακας τιµών και κατασκευάζεται η γραφική παράσταση Φ=f(L). Στα πειραµατικά σηµεία γίνεται προσαρµογή καµπύλης ώστε να προκύψει η σχετική καµπύλη (ευθεία), τουτέστιν η σχέση που συνδέει τα δεδοµένα και επιτρέπει να

245 Ιωάννης Α. Σιανούδης γίνει σχολιασµός επί των αποτελεσµάτων, στο κατά πόσο και σε ποιο βαθµό επιβεβαιώνεται η θεωρία.

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα Οπτικής 246 Εναλλακτική διεξαγωγή του πειράµατος χωρίς τη χρήση αισθητήρα και υπολογιστή Πειραµατική διάταξη Η πειραµατική διάταξη που χρησιµοποιείται φαίνεται σχηµατικά στο σχήµα 3. Είναι όµοια µε αυτήν της προηγούµενης, αυτοµατοποιηµένης διαδικασίας. Σχήµα 3: Η Εναλλακτική εκδοχή της πειραµατικής διάταξης για χειροκίνητη χρήση, σχηµατικά. 1. Η µέτρηση µπορεί να γίνει και µε το χέρι ως εξής: Σηµειώνουµε µε ακρίβεια χιλιοστού το αρχικό ύψος της στάθµης του ρευστού στο δοχείο-δεξαµενή. Η 0 = cm 2. Μετράµε την θερµοκρασία του ρευστού µε το θερµόµετρο εργαστηρίου: Τ =.. ο C 3. Ανοίγουµε την στρόφιγγα για την εκκίνηση της εκροής του ρευστού, εκκινώντας ταυτόχρονα ρολόι µε πολλαπλές λήψεις (race times). 4. Πατάµε διαδοχικά το κουµπί στο ρολόι για κράτηµα των χρονικών στιγµών, όταν η ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού (το κάτω µέρος του µηνίσκου) έχει κατέλθει σε συγκεκριµένα, προαποφασισµένα επίπεδα, παρατηρώντας και διαβάζοντας το κάθε ύψος από την

247 Ιωάννης Α. Σιανούδης µετροταινία που έχει τοποθετηθεί κατακόρυφα σ αυτό. Τα δεδοµένα ύψη έχουν ήδη προσδιοριστεί και έχουν αναγραφεί στους πίνακες τιµών εκ των προτέρων. 5. Η επεξεργασία των δεδοµένων γίνεται µε τη χρήση του προγράµµατος Excel ή Origin, µε το οποίο κατασκευάζονται οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις Η=f(t) και ln(h/h 0 ) = f(t). Από την δεύτερη προκύπτει ευθεία γραµµή που περνάει και ταιριάζει καλύτερα στα πειραµατικά δεδοµένα (best fit), στην οποία υπολογίζεται η κλίση. Κλίση =. 6. Επεξεργαζόµαστε τις τιµές µέτρησης κατά αντίστοιχο τρόπο, όπως και παραπάνω, µε τα ίδια ζητούµενα: α) ιερεύνηση της σχέσης πίεσης-παροχής του ρευστού, β) ιερεύνηση της σχέσης ακτίναςπαροχής του ρευστού και γ) ιερεύνηση της σχέσης µήκουςπαροχής του ρευστού Πίνακας τιµών 1 2 3 4 5 6 7 Α/Α Χρόνος t [s] Υψος Η [cm] H/H 0 ln(h/h 0 )

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα Οπτικής 248 Παράρτηµα Στο παρακάτω γράφηµα φαίνεται µια χαρακτηριστική καµπύλη h m =f(t), όπως καταγράφηκε ως η µεταβολή της απόστασης κεφαλής υπερήχουελεύθερης επιφάνειας ρευστού σε πραγµατική µέτρηση. Προκειµένου να παραχθεί η χρήσιµη καµπύλη h t =f(t) προβαίνει κανείς στην µετατροπή της, ακολουθώντας την σχέση (10). Αυτό γίνεται εύκολα εάν πατήσει δεξί κλικ στον κέρσορα που είναι πάνω στην κλίµακα των ψ και επιλέξει τον υπολογισµό (calculation), βάλει στο παράθυρο που θα εµφανιστεί την σχέση y=h 0 x+y 0 και επιβεβαιώσει την ενέργεια. Τότε θα σχηµατιστεί η αντίστοιχη καµπύλη στο γράφηµα και θα µπορεί να κάνει περαιτέρω επεξεργασία είτε στο ίδιο το γράφηµα είτε µεταφέροντας τα δεδοµένα του (export data, δηλ. τον πίνακα τιµών της καµπύλης σε άλλο πρόγραµµα, πχ Excel ή Origin. Σχήµα 5: Οθόνη από το πρόγραµµα DataStudio µε την καµπύλη όπως προέκυψε από τη µέτρηση Σχήµα 6. Η νέα καµπύλη µετά τη µετατροπή της και την προσαρµογή καµπύλης (best fit) µε τις παραµέτρους της εξίσωσης Επόµενη επεξεργασία που χρειάζεται να γίνει είναι η εύρεση της πλησιέστερης µαθηµατικής σχέσης που περιγράφει το φαινόµενο, ήτοι την µεταβολή του ύψους συναρτήσει του

249 Ιωάννης Α. Σιανούδης χρόνου (βλέπε παραπάνω). Η καλύτερη καµπύλη προσαρµογής (best fit) που παρέχει το ίδιο το πρόγραµµα δίνει το αποτέλεσµα (σχ. 6) οπτικά, δηλ. τον βαθµό ταύτισης, αλλά και µαθηµατική µε τη απόδοση των παραµέτρων της εξίσωσης, εν προκειµένω µιας φθίνουσας (λογαριθµική) εκθετικής συνάρτησης. Φωτογραφίες από την πειραµατική διάταξη, στο εργαστήριο Φυσικής Σχήµα 6: Γραφική παράσταση της εξάρτησης του συντελεστή εσωτερικής τριβής (ιξώδες) από την θερµοκρασία για καθαρό νερό.

Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσικής: Πειράµατα Οπτικής 250 Πίνακας της τιµής ιξώδους η [mpa s] για δεδοµένα διαλύµατα γλυκερίνης-νερού σε συνάρτηση µε την θερµοκρασία (πηγή: http://www.dow.com/glycerine/resources/table18.htm)